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第二章 轴对称
3 简单的轴对称图形
第4课时 等腰三角形的判定
列清单·划 重点
知识点① 等腰三角形的判定
1.定义：有两边___________的三角形叫做等腰三角形.
2.定理：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的__________也相等.
知识点② 等边三角形的判定
1. 三边相等的三角形叫做__________三角形.
2.三个内角都__________的三角形是等边三角形.
3.有一个角是的____________三角形是等边三角形.
知识点③ 含： 角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的_____________.
明考点·识方法
考点① 等腰三角形的判定
典例1 如图所示，已知 是 的一个外角，CD平分 且 ∥求证： 为等腰三角形.
思路导析 根据角平分线的定义得到 结合平行线的性质即可证得 从而得到结论.
变式 如图所示，在△ABC中，∠A = 36°, AB = AC, BD 是△ABC的角平分线. 若在边AB 上截 取 BE = BC,连接DE，则图中等腰三角形共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
考点② 等边三角形的判定
典例2 如图,在△ABC中,∠A=40°,点 E 在边 AC 上,连接 BE,∠C = ∠CBE. 若∠ABE = 20°, 求证:△BCE是等边三角形.
思路导析 根据有一角是 60°的等腰三角形是等边三角形即可求证.
变式 下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是 ( )
A.∠A=∠B=∠C B. AB=AC,∠B=60° C.∠A=60°,∠B=60° D. AB=AC,且∠B=∠C
考点③ 含 30°角的直角三角形的性质
典例3 如 图 所示，在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB 于点E,垂足为点 D,CE 平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为 ( )
B. 1 C. 2 D. 3
思路导析 先根据线段垂直平分线的性质得出故可得出 再由角平分线定义得出 求出 然后在 中根据 角所对的直角边等于斜边的一半得出
变式 如图所示，在中，点 P是 BC 边上的动 点，则AP 长不可能是 ( )
A. 3.5 B. 4 C. 5 D. 7
当堂测·夯基础
1.如图所示,BD 是∠ABC 的平分线,直线AD∥BC,若AB=5,则 AD的长度为( )
A. 15 B. 10 C. 5 D. 2.5
2.小敏设计了一种晾衣架，在挂衣服的时候可以任意角度收拢两个挂衣杆 OA 和OB，然后套进衣服后松开即可.如图1 所示，衣架杆OA=OB.如图2所示，若衣架收拢时衣 服领口宽 AB = 36 cm,且∠AOB=60°,那么这个衣架杆的长OA=OB=( )
图1 图2
A.18 cm B.24 cm C.36 cm D.72 cm
3.如图所示,点 P 是∠AOB 平分线OC 上一点,PD⊥OB,垂足为点 D.点 Q 是射线 OA上的一个动点.若OP = 4,∠AOB=60°,则线段 PQ 长度的最小值是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,△ABC 的角平分线BD 长为 8 cm,则 AC 的长为____________.
5.如图,CE 是△ABC 的角平分线,EF∥BC,交 AC 于点 F.已知∠AFE=60°.
(1)求∠FEC的度数;
(2)若点 F 是 AC 的中点,请判断△AEF的形状，并说明理由.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 1.相等 2.边
知识点2 1.等边 2.相等 3.等腰
知识点3 一半
【明考点·识方法】
典例1 证明:因为 CD平分∠ACE,所以
因为CD∥AB,所以∠A=∠ACD,∠B=∠ECD,所以∠A=∠B,
所以 AC=BC,所以△ABC为等腰三角形.
变式 D
典例 2 证明:因为∠C=∠CBE,所以△BCE为等腰三角形，
又因为∠A=40°,∠ABE=20°,
所以∠BEA=180°-∠A-∠ABE=180°-40°-20°=120°,
所以∠BEC=180°-∠BEA=180°-120°=60°,
所以△BCE是等边三角形.
变式 D
典例3 B 变式 D
【当堂测·夯基础】
1. C 2. C 3. B 4.12 cm
5.解:(1)因为 EF∥BC,所以∠AFE=∠ACB=60°,
因为 CE 是△ABC的角平分线,所以
因为 EF∥BC,所以∠FEC=∠ECB=30°,所以∠FEC的度数为30°;
(2)△AEF是等边三角形,理由:
由(1),得∠FEC=∠ACE=30°,所以 FE=FC,
因为点 F 是AC 的中点，所以AF=FC,所以 AF=EF,
因为∠AFE=60°,所以△AEF是等边三角形.
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