资源简介

(共51张PPT)
3.4　二元一次方程组及其解法
第1课时　二元一次方程组
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2023·安庆期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（　C　）
A. 3x－6＝0 B. 2x－y＝z
C. x－2y＝1 D. x2＋y＝1
2. 若方程mx－2y＝3x＋4是关于x，y的二元一次方程，则m的取值范
围是（　B　）
A. m≠0 B. m≠3
C. m≠－3 D. m≠2
C
B
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3. 下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　D　）
A. B.
C. D.
D
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4. 若方程组是二元一次方程组，则“……”可能是
（　A　）
A. x＝2y B. xy＝1 C. ＋ ＝2 D. x2＝1
A
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5. （2023·甘孜）有大、小两种盛酒的桶，5个大桶加上1个小桶可以盛
酒3斛（斛是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2
斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1
个小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（　A　）
A. B.
C. D.
A
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 若方程x＋3ym＝5是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 .
7. 请写一个可与x－2y＝10组成二元一次方程组的方程： .（答案不唯一）
8. 某建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土5m3或运
土3m3.如何分配挖土和运土的人数，能使每天挖出的土刚好能被运完？
若设分配x人挖土，y人运土.为求x，y，小聪正确地列出了其中一个方
程x＋y＝96，则另一个方程为 .
1　
x＋y＝ 20
（答案不唯一）
5x＝3y　
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9. 我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，《九章算
术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益
实一斗，当上禾二秉.问上、下禾实一秉各几何？”其大意是今有上等
稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的
谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等
稻子打出来的谷子.问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻
子每捆能打x斗谷子，下等稻子每捆能打y斗谷子.根据题意，可列方程
组为 .
　
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三、 解答题（共42分）
10. （15分）已知方程组是关于x，y的二元一
次方程组，求m的值.
解：因为方程组是关于x，y的二元一次方程
组，所以｜m－2｜＝1，且m－3≠0，解得m＝1
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11. （27分）根据题意，列出二元一次方程组：
（1） 明明到邮局买了面值为0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元，
则这两种邮票明明各买了多少枚？
解：设面值为0.8元的邮票买了x枚，面值为2元的邮票买了y枚.根据题
意，得
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（2） 将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有1只鸡无笼
可放；若每个笼中放5只，则有1个笼无鸡可放（其他每个笼中均放满5
只）.问有多少只鸡和多少个笼？
解：设有x只鸡和y个笼.根据题意，得
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（3） 在长为10m、宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形空地各边
的方向分割出如图所示的三个完全相同的小长方形花圃.求小长方形花
圃的长和宽.
解：设小长方形花圃的长为xm，宽为ym.根据题意，得
第11题
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（附加题）（20分）　某工厂三个车间共有180人，第二个车间的人数
比第一个车间人数的3倍多1，第三个车间的人数比第一个车间人数的
少1.问三个车间各有多少人？
（1） 用一元一次方程解题；
解：（1） 设第一个车间有x人，则第二个车间有（3x＋1）人，第三
个车间有 人.根据题意，得x＋（3x＋1）＋ ＝180，
解得x＝40.所以3x＋1＝121， x－1＝19，即第一个车间有40人，第二
个车间有121人，第三个车间有19人
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（2） 设两个未知数，并且根据条件，列出含有这两个未知数的方程组.
（不必求解）
解： （2） 答案不唯一，如设第一个车间有x人，第二个车间有y人，
则第三个车间有 人.根据题意，得
＋ ＋= ，
= +
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3.4　二元一次方程组及其解法
第2课时　代入消元法
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2023·衢州）下列各组数中，满足方程2x＋3y＝8的是（　A　）
A. B.
C. D.
A
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2. 由 ＝1，可以得到用y表示x的式子为（　C　）
A. y＝ B. 3x＝4y－2
C. x＝ D. x＝
3. 用代入法解方程组下列说法正确的是（　B　）
A. 直接把①代入②，消去y B. 直接把①代入②，消去x
C. 直接把②代入①，消去y D. 直接把②代入①，消去x
C
B
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4. （2023·淮南八公山月考）已知是二元一次方程组
的解，则b－a的值是（　D　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
D
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5. （2023·马鞍山花山期末）若x，y满足5｜x＋y－3｜＋（x－2y）2
＝0，则（　C　）
A. B.
C. D.
C
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二、 填空题（每题6分，共30分）
6. 用代入法解方程组比较简便的方法是先把方程
变形为 ，再代入方程 ，求
得 的值，最后求 的值.
7. （2024·太湖期末）方程组的解为 　　.
8. 若－2amb4与5an＋2b2m＋n的和仍为单项式，则mn＋1的值为 .
x＋
3y＝10　
x＝10－3y　
3x－5y＝2　
y　
x　
　
2　
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9. 若方程组的解为则（a－b）2024＝ .
10. 已知方程组的解也是方程4x＋y＋k＝0的解，则k的值
为 .
1　
－14　
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三、 解答题（共40分）
11. （18分）用代入法解下面的方程组：
（1） （广州中考）
解：
（2） （连云港中考）
解：
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12. （10分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满
足x＋y＝0，求m的值.
解：解方程组得因为x＋y＝0，所
以2m－11＋7－m＝0，解得m＝4
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解：把代入得把代入
ax＋by＝2，得2a－6b＝2.解方程组得综上
所述，a＝2.5，b＝0.5，c＝－5
13. （12分）甲、乙两人一起解关于x，y的方程组甲
正确解得乙因抄错c解得求a，b，c的值.
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（附加题）（20分）　善于思考的小军在解方程组
时，采用了“整体代换”法.
解：将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2（2x＋5y）＋y＝5③.把①
代入③，得2×3＋y＝5，解得y＝－1.把y＝－1代入①，解得x＝4.所
以方程组的解为
请你模仿小军的“整体代换”法解方程组
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解：将方程②变形为3（3x－2y）＋2y＝19③.把①代入③，得3×5＋
2y＝19，解得y＝2.把y＝2代入①，解得x＝3.
所以方程组的解为
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3.4　二元一次方程组及其解法
第3课时　加减消元法
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 用加减消元法解方程组消x和消y分别用（　C　）
A. 加法和加法 B. 加法和减法
C. 减法和加法 D. 减法和减法
C
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2. 用加减消元法解方程组下列方法正确的是
（　A　）
A. ①＋② B. ①－②
C. ①＋②×5 D. ①×5－②
A
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3. （2023·芜湖月考）在解二元一次方程组时，若①
－②可直接消去未知数y，则m和n应满足的条件是（　C　）
A. m＝n B. mn＝1
C. m＋n＝0 D. m＋n＝1
C
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4. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法无法消
元的是（　D　）
A. ①×2－② B. ②×（－3）－①
C. ①×（－2）＋② D. ①－②×3
D
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5. （2024·阜阳期末）已知方程组的解满足x＋y＝2，则
k的值为（　C　）
A. －2 B. －4 C. 2 D. 4
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 对于方程组既可用两方程相加，消去未知数 ；
也可用两方程相减，消去未知数 .
7. （2023·河南）方程组的解为 　　.
y　
x　
　
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8. （2024·泗县期末）已知为二元一次方程组的
解，则a－b的值为 .
9. 在y＝kx＋b中，当x＝2时，y＝－2；当x＝6时，y＝－4，则｜k
－b｜的值为 .
1　
　
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三、 解答题（共42分）
10. （18分）用加减法解下面的方程组：
（1） （2024·广西）
解：
（2） （2024·浙江）
解：
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11. （12分）（2023·定远期末）已知是方程组
的解，求a2022＋b2023的值.
解：把代入方程组得①＋②，得6a＝6，解得a＝1.把a＝1代入①，得3－2b＝5，解得b＝－1.
所以a2022＋b2023＝12022＋（－1）2023＝1－1＝0
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12. （12分）已知关于x，y的方程组和
的解相同，求代数式3a＋7b的值.
解：根据题意，得解得将解代入另外两个方
程，得解得所以 3a＋7b＝－18
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（附加题）（20分）　在解关于x，y的方程组时，由
于粗心，小明看错了方程组中的a，解得小亮看错了方程组
中的b，解得
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（1） 小明把a错看成了什么？小亮把b错看成了什么？
解：（1） 将代入ax＋5y＝15，解得a＝－ .将
代入4x－by＝－2，解得b＝ .所以小明把a错看成了－ ，小亮把b
错看成了
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（2） 求原方程组的解.
解：（2） 将代入4x－by＝－2，解得b＝10.将代
入ax＋5y＝15，解得a＝－1.所以原方程组为
解得
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3.4　二元一次方程组及其解法
第4课时　灵活利用代入法和加减法解二元一次方程组
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. 有下列方程组：① ②
③ ④ 对于这四个方程组，比较
适宜的解法分别是（　C　）
C
A. ①②用代入法，③④用加减法 B. ②③用代入法，①④用加减法
C. ①③用代入法，②④用加减法 D. ②④用代入法，①③用加减法
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2. 解二元一次方程组消元时，下列方法中，比较简
便的是（　B　）
A. 用代入法，将x＝ － 代入②
B. 用加减法，①－②消去x
C. 用代入法，将y＝－ x＋ 代入①
D. 用加减法，②－①消去y
B
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3. 用加减法解方程组时，要使两个方程中某一未知数的
系数相等或互为相反数，有下列四种变形的结果：①
② ③ ④ 其中，变形
正确的是（　B　）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
B
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4. 解方程组时，最简便的方法是（　C　）
A. 直接用①－② B. ②变形为x＝2－2y代入①
C. 把②直接代入① D. 先把①化简，再确定方法
C
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二、 填空题（每题9分，共27分）
5. 对于方程组① ② 解方程组①用
较简便，解方程组②用 较简便.（填“代入法”或“加
减法”）
代入法
加减法　
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6. 已知方程组的解是则可以直接得出方程组
的解为 　　.
7. 方程组 ＋ －7＝ － ＝0的解为 　　.
　
　
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三、 解答题（共45分）
8. （28分）解下面的方程组：
（1）
解：（1） 将①变形，得x＋1＝6y③.将③代入②，得2×6y－y＝11，
解得y＝1.将y＝1代入③，解得x＝5.所以
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解： （2） 将原方程组化简，得由④－①×3，得
y＝20.把y＝20代入①，解得x＝400.所以
（2）
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9. （17分）已知关于x，y的方程组与的
解相同，求a，b的值.
解：由题意，得解得把代入方程ax
＋ y＝5与方程 x－by＝4，得到关于a，b的方程组
解得
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（附加题）（20分）　解方程组若设x
＋y＝A，x－y＝B，则原方程组可变形为解方程组，
得所以解方程组，得我们把某个式子看
成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫作换元法.
请用这种方法解方程组
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解：设x＋y＝A，x－y＝B. 将原方程组变形，得整
理，得①×3＋②×2，得13A＝156，解得A＝12.
把A＝12代入②，解得B＝0.所以解得
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9(共29张PPT)
3.2　一元一次方程及其解法
第1课时　用移项解一元一次方程
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024·芜湖期末）下列等式中，属于一元一次方程的是（　D　）
A. 2x＋y＝1 B. y2－2y＋3＝0
C. 8－3＝5 D. 2x＋1＝0
2. 下列变形属于移项的是（　C　）
A. 由5x－7y＝2，得－2－7y＋5x
B. 由6x－3＝x＋4，得6x－3＝4＋x
C. 由8－x＝x－5，得－x－x＝－5－8
D. 由x＋9＝3x－1，得3x－1＝x＋9
D
C
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3. 解方程3x＋5＝－2x－1的过程中，移项正确的是（　C　）
A. 3x－2x＝－1＋5 B. －3x－2x＝5－1
C. 3x＋2x＝－1－5 D. －3x－2x＝－1－5
4. （2023·六安金安期中）方程3x＝2x＋7的解是（　C　）
A. x＝4 B. x＝－4 C. x＝7 D. x＝－7
5. （2023·合肥蜀山期中）已知方程7x＋2＝3x－6与关于x的方程x＋
1＝k的解相同，则3k2－1的值为（　C　）
A. －26 B. －2 C. 2 D. 26
C
C
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 解方程4x－2＝3－x时有下列步骤：① 合并同类项，得5x＝5；② 移
项，得4x＋x＝3＋2；③ 两边同除以5，得x＝1.正确的解题顺序是
.（填序号）
7. （2024·淮南期末）已知4xm＋1－2＝0是关于x的一元一次方程，则
m的值为 .
8. （2024·青阳期末）当x＝ 时，代数式4x＋2与3x－9的值互为
相反数.
②
①③　
0　
1　
1
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3
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9. （2024·长丰期末）若有a，b两个数满足关系式：a＋b＝ab－1，
则称a，b为“共生数对”，记作（a，b）.例如：2，3满足2＋3＝
2×3－1，则2，3是“共生数对”，记作（2，3）.若（－x，4）是“共
生数对”，则x的值为 .
－ 　
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三、 解答题（共42分）
10. （16分）解方程：
（1） 8y－3＝3；
（2） 2x－19＝7x＋6；
解：y＝
解：x＝－5
（3） x－2＝ x＋ ；
（4） 2x＋3＝11－6x.
解：x＝5
解：x＝1
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11. （14分）列方程，求解下面的问题.
（1） 当x为何值时，代数式6＋3x与2x的值相等？
解：由题意，得6＋3x＝2x，解得x＝－6
（2） 当x为何值时，代数式6＋3x的值比2x的值大5？
解：由题意，得6＋3x＝2x＋5，解得x＝－1
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3
4
5
6
7
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9
10
11
12
12. （12分）已知（m＋1）x｜m｜＋2＝0是关于x的一元一次方程.求：
（1） m的值；
解：（1） 由题意，得m＋1≠0，｜m｜＝1，解得m＝1
（2） 该方程的解.
解：（2） 将m＝1代入（m＋1）x｜m｜＋2＝0，得2x＋2＝0，解得x＝－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：移项、合并同类项，得 y＝ －.两边同除以 ，
得y＝ ，即 ＝－ ，解得 ＝3，即方程中被污染的常数为3
（附加题）（20分）　小明在解方程时，不小心将方程中的一个常数污
染了，被污染的方程是2y－ ＝ y－ .妈妈翻看了书后的答案，告诉小
明此方程的解是y＝－ .求方程中被污染的常数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3.2　一元一次方程及其解法
第2课时　解含括号的一元一次方程
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 方程2（x－1）＝6的解是（　B　）
A. x＝ B. x＝4 C. x＝3 D. x＝2
2. （2024·凤阳期末）解方程（3x＋2）－2（2x－1）＝1，下列去括
号正确的是（　D　）
A. 3x＋2－2x＋1＝1 B. 3x＋2－4x＋1＝1
C. 3x＋2－4x－2＝1 D. 3x＋2－4x＋2＝1
B
D
1
2
3
4
5
6
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8
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10
11
12
3. 下面是解一元一次方程2（x＋3）＝5x的步骤：2（x＋3）＝5x 2x
＋6＝5x 2x－5x＝－6 －3x＝－6 x＝2，下列说法错误的是
（　C　）
A. 步骤①的依据是分配律
B. 步骤②的依据是等式的基本性质1
C. 步骤③的依据是加法结合律
D. 步骤④的依据是等式的基本性质2
C
1
2
3
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5
6
7
8
9
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4. （2023·阜阳颍州期末）如果2（x＋3）的值与－24互为相反数，那
么x的值为（　A　）
A. 9 B. 8 C. －9 D. －8
5. 若方程2（2x－3）＝1－3x的解与关于x的方程8－m＝2（x＋1）的
解相同，则m的值为（　B　）
A. －4 B. 4 C. －12 D. 12
A
B
1
2
3
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5
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8
9
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11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 一元一次方程2（x＋3）＝4的解是 .
7. 若单项式2a3bm＋1与－3anb3是同类项，则关于x的方程3mx－2n（3
－2x）＝mn的解是 .
8. 当a＝ 时，2（2a－3）的值比3（a＋1）的值大1.
9. 对于任意有理数a，b，规定：a△b＝2a－3b.
（1） 0△（－1）＝ ；
（2） 若x△（x＋2）＝4，则x的值为 .
x＝－1　
x＝ 　
10　
3　
－10　
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3
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5
6
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8
9
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12
三、 解答题（共42分）
10. （20分）解方程：
（1） 3（x＋4）＝x；
（2） 3－6 ＝1；
解：x＝－6
解：x＝1
（3） 3（x＋1）＝5（2x－1）；
解：x＝
（4） 15－（7－5x）＝2x＋5－3x.
解：x＝－
1
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7
8
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10
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11. （12分）阅读下面的材料，并回答问题.
解方程：10y－2（7y－2）＝5（4y＋5）－3y.
解：去括号，得10y－14y－4＝20y＋25－3y.①
移项，得10y－14y＋20y－3y＝25－4.②
合并同类项，得13y＝21.③
两边同除以13，得y＝ .④
（1） 上述解方程的过程中，从第几步开始出现错误？
解：（1） 从第①步开始出现错误
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
（2） 求出正确的结果.
解：（2） 去括号，得10y－14y＋4＝20y＋25－3y.移项，得10y－
14y－20y＋3y＝25－4.合并同类项，得－21y＝21.两边同除以－21，
得y＝－1
1
2
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4
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9
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12
12. （10分）解方程3（x＋1）－ （x－1）＝2（x－1）－ （x＋1）
时，可以先不去括号，而把x＋1，x－1分别看成一个整体进行移项、
合并同类项，得 （x＋1）＝ （x－1），两边同乘以 ，得3（x＋1）
＝2（x－1），进而去求解.这种解一元一次方程的方法叫作“整体求解
法”.请你利用这种方法解方程：20－4（2x＋3）－3（x－2）＝8（x
－2）－2（2x＋3）.
解：移项，得8（x－2）－2（2x＋3）＋3（x－2）＋4（2x＋3）＝
20，即11（x－2）＋2（2x＋3）＝20.去括号、移项、合并同类项、系
数化为1，得x＝
1
2
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12
（附加题）（20分）　若关于x的一元一次方程2kx＝3x－（8－x）有
非负整数解，则符合条件的所有整数k的值的和为 .
－1　
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8
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3.2　一元一次方程及其解法
第3课时　解含分母的一元一次方程
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 方程 －1＝2的解是（　D　）
A. x＝2 B. x＝3 C. x＝5 D. x＝6
2. （2024·合肥庐阳期末）解方程 ＝2－ 时，去分母，得
（　D　）
A. x＋1＝2－x B. 2x＋1＝2－x
C. 2（x＋1）＝4－x D. 2（x＋1）＝8－x
D
D
1
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3
4
5
6
7
8
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12
3. 若代数式2x－3与 ＋3的值相等，则x的值为（　A　）
A. 4 B. 9 C. 3 D. 0
4. 把方程 － ＝16的分母化成整数，结果为（　D　）
A. － ＝16 B. － ＝160
C. － ＝160 D. － ＝16
A
D
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8
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12
5. 小齐解关于x的方程 － ＝2，去分母时，等号右边的2忘记乘
以12，他求得的解为x＝1，则k的值为（　A　）
A. 5 B. －5 C. 2 D. －15
A
1
2
3
4
5
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2023·六安三模）关于x的一元一次方程 ＝0的解为 .
7. 已知公式S＝ h，若S＝20，b＝8，h＝4，则 a的值为 .
8. 当a＝ 时，关于x的方程 － ＝1的解是x＝－1.
9. 若关于x的方程x＋m＝3与 －2＝x－1的解的绝对值相等，则m
的值为 .
x＝－ 1
2　
－1　
1或5　
1
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3
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三、 解答题（共42分）
10. （16分）解方程：
（1） －1＝ ；
（2） － ＝1－ ；
解：x＝－2
解：x＝5
（3） ＋ ＝ ；
（4） x－ ＝2－ .
解：m＝－2.7
解：x＝1
1
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11. （12分）（2023·衢州）如图，小红在解方程 ＝ ＋1时，第一
步出现了错误：
（1） 请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；
解：（1） 如图
第11题答案
1
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6
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10
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解：（2） 去分母，得2×7x＝（4x－1）＋6.去括号，得14x＝4x－1
＋6.移项，得14x－4x＝－1＋6.合并同类项，得10x＝5.两边同除以10，得x＝
（2） 写出你的解答过程.
1
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12. （14分）已知关于x的方程 ＋m＝ .
（1） 当m为何值时，方程的解为x＝4？
解：（1） 将x＝4代入 ＋m＝ ，得 ＋m＝ ，
解得m＝－4
解：（2） 当m＝4时，原方程为 ＋4＝ ，解得x＝28
（2） 当m＝4时，求方程的解.
1
2
3
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8
9
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12
（附加题）（20分）　已知a，b为定值，关于x的方程 ＝1－
，无论k取何值，方程的解总是x＝2，则ab的值为 .
－4　
1
2
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12(共9张PPT)
小专题（五）　解一次方程（组）的技巧
第3章　一次方程与方程组
类型一　根据方程（组）的解的概念求方程（组）中的字母的值
1. 已知x＝－m是关于x的方程2（x－3）＋3m－5＝x＋1的解，求m
的值.
解：把x＝－m代入方程2（x－3）＋3m－5＝x＋1，得2（－m－3）
＋3m－5＝－m＋1，解得m＝6
1
2
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5
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7
2. 已知关于x，y的方程组的解也是2x＋y＝－6的
解，求m的值.
解：根据题意，联立方程组解得
代入7x＋9y＝m，得m＝23
1
2
3
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5
6
7
类型二　利用相关知识构建方程组求解
3. 已知（a＋b＋5）2＋｜2a－b＋1｜＝0，求（b－a）2025的值.
解：由题意，得解得所以（b－a）2025＝
[－3－（－2）]2025＝－1
1
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7
类型三　利用中间参数构建方程求解
4. m为何值时，关于x，y的方程组的解互为相反数？
并求这个方程组的解.
解：由题意，得x＋y＝0，即x＝－y③.
将③代入①，得－3y－5y＝2m，则m＝－4y④.将③④代入②，得
－3y＋5y＝－4y－18，解得y＝－3.所以x＝3，m＝12.当m＝12时，这个方程组的解互为相反数，且这个方程组的解为
1
2
3
4
5
6
7
类型四　运用整体思想解方程组
5. 如果关于x，y的二元一次方程组的解是那
么不求a，b的值，你能否求出关于x，y的二元一次方程组
的解？如果能，请求出方程组的解.
解：能　根据题意，得解得
1
2
3
4
5
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7
6. 解方程组：
解：由①，得3（x＋y）－4（x－y）＝－18③.把x＋y，x－y分别
看作整体，则②＋③，得9（x＋y）＝－18，所以x＋y＝－2.把x＋y
＝－2代入②，得－12＋4（x－y）＝0，则x－y＝3.
解方程组得
1
2
3
4
5
6
7
类型五　利用两个方程组同解重新构建方程组求解
7. 已知关于x，y的方程组和的解相
同，求a－b的值.
1
2
3
4
5
6
7
解：由题意，得①×3＋②，得7x＝42，解得x＝6.把
x＝6代入①，解得y＝－2.所以方程组的解为把代入
另外两个方程，得③＋④，得4a＝4＋4b，所以
a－b＝1
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7(共14张PPT)
小专题（六）　寻找实际问题中相等关系的常见方法
第3章　一次方程与方程组
类型一　抓住关键词寻找相等关系
1. （2023·宿迁）古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二
车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？设有车x辆，则根据题意，
可列出方程（　D　）
A. 3（x＋2）＝2x－9 B. 3（x＋2）＝2x＋9
C. 3（x－2）＝2x－9 D. 3（x－2）＝2x＋9
2. 某兴趣小组组织户外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子.若每
名男生看到蓝色帽子比红色帽子多2顶，每名女生看到蓝色帽子比红色
帽子多1倍，则男生有 名.
D
8　
1
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5
6
7
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10
3. A地到B地的铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累
计长度之和为342km，且隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km.请
分别求出隧道累计长度与桥梁累计长度.
解：设隧道累计长度为xkm，则桥梁累计长度为（2x－36）km.由题
意，得x＋2x－36＝342，解得x＝126.所以2x－36＝216，即隧道累计
长度为126km，桥梁累计长度为216km
1
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4. （2023·安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单
价进行了如下调整：甲地涨价10％，乙地降价5元.已知销售单价调整前
甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该
商品的销售单价.
解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为
y元.由题意，得解得即调整
前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元
1
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3
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10
类型二　根据路程、工程、面积、利润等基本数量关系寻找相等关系
5. 某市一项重点工程，甲公司单独完成需3年，乙公司单独完成需6年，
现在两家公司合作完成这项工程后，该市共付工程款360万元.若按两家
公司分别完成的工作量来分配，则甲公司比乙公司多分得（　A　）
A. 120万元 B. 180万元
C. 200万元 D. 240万元
A
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4
5
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8
9
10
6. 如图，在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白
部分），其中AB＝7cm，BC＝11cm，则涂色部分的总面积
为 cm2.
第6题
27　
1
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3
4
5
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8
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10
7. 甲车从A地开往B地，速度是60km/h，乙车比甲车晚1h出发，且从B地
开往A地，速度是90km/h.已知A，B两地相距300km，当两车相距15km
时，乙车行驶的时间为 h.
1.5或1.7　
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（1） 足球、跳绳的单价各是多少元？
解：（1） 设足球的单价是x元，跳绳的单价是y元.根据题意，得
解得即足球的单价是16元，跳绳的单价
是4元
8. 为迎接春季运动会，学校先在体育用品商店购买了30个足球和60根跳
绳，共用了720元；又购买了10个足球和50根跳绳，共用了360元.
1
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10
（2） 该店最近正在开展促销活动，所有商品都按相同的折扣销售，在
该店促销活动期间购买100个足球和100根跳绳只需1800元，该店的商品
是按原价的几折销售的？
解：（2） 设该店的商品是按原价的m折销售的.根据题意，得16×
×100＋4× ×100＝1800，解得m＝9，即该店的商品是按原价的9折
销售的
1
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3
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10
类型三　用不同的式子表示同一个量得到相等关系
9. 一艘轮船沿江从A港用了2h到达B港（顺流），从B港用了3h到达A港
（逆流）.已知水流的速度为2km/h.设轮船在静水中的速度是xkm/h，则
可列方程为（　B　）
A. 3（x＋2）＝2（x－2） B. 2（x＋2）＝3（x－2）
C. 2（x＋2）＝3（x＋2） D. 2（x－2）＝3（x－2）
B
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
10. 周末，小明和爸爸来到如图所示的环形运动场进行跑步锻炼，环形
运动场一圈的路程为400米.
（1） 若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒两人首次相遇；若两人
同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面追上小明.小明
和爸爸的速度各为多少？
第10题
1
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4
5
6
7
8
9
10
解：（1） 设小明的速度为x米/秒，爸爸的速度
为y米/秒.由题意，得解得
即小明的速度为 米/秒，爸爸的速度
为 米/秒
第10题
1
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3
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5
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7
8
9
10
（2） 假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒.两人进行400米赛
跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑了半圈时，故意降速为4米/秒，并
按此速度继续比赛.小明能否在终点前追上爸爸？如果能，求追上时距
离终点还有多少米；如果不能，请说明理由.
1
2
3
4
5
6
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8
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10
解：（2） 因为小明到终点需要的时间为400÷5＝
80（秒），400÷2＝200（米），爸爸到终点需要
的时间为 ＋ ＝83 （秒）.因为80＜83 ，所
以小明能在终点前追上爸爸.设小明追上爸爸需要
的时间为m秒，则追上时距离终点还有（400－
5m）米.由题意，得5m＝200＋4 ，解
得m＝ ，所以400－5m＝ ，即小明能在终
点前追上爸爸，追上时距离终点还有 米
第10题
1
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4
5
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8
9
10(共35张PPT)
3.3　一元一次方程的应用
第1课时　等积变形与行程问题
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. （青海中考）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（　B　）
A. π× x＝π× ×（x－5） B. π× x＝π× ×（x＋5）
C. π×82x＝π×62×（x＋5） D. π×82x＝π×62×5
第1题
B
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3
4
5
6
7
8
9
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2. （2023·连云港）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一
道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二
日，问良马几何日追及之？其大意是快马每天行240里，慢马每天行150
里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？设快马x天可追上慢马.由题
意，得（　D　）
A. ＝ B. ＝ －12
C. 240（x－12）＝150x D. 240x＝150（x＋12）
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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3. 一个底面半径为10cm、高为20cm的圆柱形大杯中装满了水，把水全
部倒入底面半径为5cm的圆柱形小杯中，刚好倒满8杯，则小杯深
（　C　）
A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm
4. （2023·合肥包河期末）已知某铁路桥长1500m，现有一列火车从该
桥上通过，测得火车从开始上桥到完全离桥共用90s，整列火车完全在
桥上的时间是60s.这列火车长（　C　）
A. 100m B. 200m C. 300m D. 400m
C
C
1
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3
4
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6
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8
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11
二、 填空题（每题7分，共28分）
5. 一轮船往返于甲、乙两个港口，逆水航行需3h，顺水航行需2h，水速
为5km/h.若设甲、乙两个港口之间的距离为xkm，则可列方程为
.
6. 一个长方形的周长是40cm，若将长减少8cm，宽增加2cm，长方形就
变成了正方形，则正方形的面积为 cm2.
＋5
＝ －5　
49　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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7. （2023·宿州月考）若将一个底面半径为6cm、高为40cm的“瘦长”
圆柱形钢材锻造成底面半径为12cm的“胖矮”圆柱形零件毛坯，则该零
件毛坯的高是 cm.
8. 某校组织七年级学生开展远足活动，沿着与笔直的铁路并列的公路匀
速前进，每小时行4.5千米.一列火车以每小时120千米的速度迎面驶来，
测得从火车的车头与队首学生相遇，到车尾与队尾学生相遇，共用了12
秒.如果队伍长135米，那么火车长 米.
10　
280　
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三、 解答题（共48分）
9. （15分）把内径为200mm、深为500mm的圆柱形铁桶装满水后，慢慢
地向内径为160mm、深为400mm的圆柱形空木桶里倒水.木桶里装满水
后，铁桶里的水位下降了多少？
解：设铁桶里的水位下降了xmm.根据题意，得π× x＝
π× ×400，解得x＝256，即铁桶里的水位下降了256mm
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10. （16分）已知环形跑道一圈长为400米，小丽与小杰的速度之比为
3∶4，小丽和小杰在跑道上相距8米处同时反向出发，经过28秒后两人首
次相遇，求两人的速度.
解：设小丽的速度为3x米/秒，则小杰的速度为4x米/秒.由题意，得
（3x＋4x）×28＋8＝400，解得x＝2.所以3x＝6，4x＝8，即小丽的
速度为6米/秒，小杰的速度为8米/秒
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11. （17分）（2024·安庆一模）近年来，跑步已经成为全民参与的体
育活动，越来越多的人加入到跑步运动中.某跑步爱好者在一次跑步
中，先按原计划10千米/时的平均速度跑了一半的路程，后因各种因素
影响，平均速度下降了20％，并以此速度跑完了剩下的路程.这样总用
时比原计划多了15分钟，求他此次跑步的总路程.
解：设他此次跑步的总路程为x千米.由题意，得 ＋ －
＝ ，解得x＝20，即他此次跑步的总路程为20km
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附加题）（20分）　A，B两地相距900km，一列快车以200km/h的速
度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以
75km/h的速度从B地匀速驶往A地.两车同时出发，截至它们都到达终点
时，两车恰好相距200km的次数为 .
5　
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3.3　一元一次方程的应用
第2课时　利息与利润问题
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 李阿姨存入银行2000元，定期3年，到期后得到本息共2120元（不计
复利），若设该种储蓄的年利率为x，则可列方程为（　C　）
A. 2000（1＋x）×3＝2120 B. 2000（1＋x％）×3＝2120
C. 2000＋2000x×3＝2120 D. 2000（1＋3×x％）＝2120
C
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2. （2024·泗县期末）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次
降价打8折，第二次降价每个又减10元，经两次降价后的售价为90元，
则可列方程为（　A　）
A. 0.8x－10＝90 B. 0.08x－10＝90
C. 90－0.8x＝10 D. x－0.8x－10＝90
A
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3. 某图书馆给图书购买火灾险，如果每年的保险费率是0.4％，参加保
险6年，一共交付保险费7.8万元，那么该图书馆图书的价值为
（　D　）
A. 300万元 B. 305万元
C. 320万元 D. 325万元
4. （2024·安庆期末）商场元旦促销，某款衣服打8折销售，每件比标
价少35元，此时每件仍可获利15元.下列说法正确的是（　C　）
A. 标价为每件170元 B. 促销价为每件135元
C. 进价为每件125元 D. 不打折时，利润为每件45元
D
C
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5. （牡丹江中考）已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了160元，
其中一件盈利60％，另一件亏损20％，则在这次买卖中，这家商店
（　B　）
A. 不盈不亏 B. 盈利20元
C. 盈利10元 D. 亏损20元
B
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 小龙去年年初把压岁钱存入银行，定期1年，到期得到本息和2150元.
已知这种储蓄的年利率为3.5％，若设小龙存入的压岁钱是x元，则可列
方程为 .
7. （2024·滁州期末）某水果店老板将新进的整箱水果按成本价提高50
％作为标价进行销售.对购买数量较大的顾客给予8折优惠，此时一箱水
果的售价为96元，那么此时一箱水果的利润是 元.
x＋3.5％x＝2150　
16　
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8. 小红的爸爸前年存了年利率为2.10％的2年定期储蓄（不计复利）.今
年到期后，用所得的利息正好为小红买了一个20元的计算器和一个22元
的文具袋.小红的爸爸前年存了 元.
9. 有两种消费券：A券，满60元减20元；B券，满90元减30元，即一次
购物大于或等于60元、90元，付款时分别减20元、30元.小敏有一张A
券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款.若
能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价为 元.
1000　
100或85
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三、 解答题（共42分）
10. （12分）已知某服装店A，B两件服装的成本共500元，分别按成本
提高30％和20％定价后进行销售，两件服装共可获利130元.A，B两件服
装的成本分别是多少？
解：设A服装的成本是x元，则B服装的成本是（500－x）元.根据题
意，得30％x＋20％（500－x）＝130，解得x＝300，500－x＝200，
即A，B两件服装的成本分别是300元、200元
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11. （14分）某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元
的一律打9折，超过200元的，其中200元打9折，超过200元的部分打8
折.某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受8折优惠，他查看
了所买书的定价，发现两次共优惠34元.求该学生第二次购书实际付款
多少元.
解：设若不打折，该学生第二次购书应付款x元.根据题意，得
72÷0.9×（1－0.9）＋200×（1－0.9）＋（x－200）×（1－0.8）＝
34，解得x＝230.200×0.9＋（230－200）×0.8＝204（元），
即该学生第二次购书实际付款204元
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12. （16分）某年，小刚的父母开始参加教育储蓄.有两种储蓄方式：①
直接存一个6年期；② 先存一个3年期，3年后再将本金和利息自动转存
一个3年期.若当年的3年期年利率为5.0％，6年期年利率为5.5％.若想6年
后共可获得8500元，则这两种储蓄方式小刚的父母开始存入的本金分别
是多少（精确到1元）？选择哪种储蓄方式合算？
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解：① 设直接存一个6年期的本金为x元.由题意，得x＋x×5.5％×6＝
8500，解得x≈6391.② 设先存一个3年期，3年后再将本金和利息自动
转存一个3年期的本金为y元.由题意，得y＋y×5.0％×3＋（y＋
y×5.0％×3）×5.0％×3＝8500，解得y≈6428.因为6391＜6428，所以
选择储蓄方式①合算
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① 一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
② 一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，
一律享受9折优惠；
③ 一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受8折优惠.
活动期间，小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这
两次购物改为一次性购物，则小敏需付 元.
324或356　
（附加题）（20分）　某超市在庆元旦促销活动期间，推出如下购物优
惠方案：
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3.3　一元一次方程的应用
第3课时　工程与比例分配问题
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2023·霍邱期中）已知七年级某班30名学生共植树72棵，男生每人
植3棵，女生每人植2棵.设男生有x人，则可列方程为（　D　）
A. 2x＋3（72－x）＝30 B. 3x＋2（72－x）＝30
C. 2x＋3（30－x）＝72 D. 3x＋2（30－x）＝72
D
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2. 中秋节阿柚制作的广式月饼、蛋黄酥、凤梨酥的数量比为2∶1∶3，其中
只有制作广式月饼和蛋黄酥时使用咸蛋黄.若阿柚制作1个广式月饼使用
2个咸蛋黄，制作1个蛋黄酥使用1个咸蛋黄，且总共使用120个咸蛋黄，
则她制作的凤梨酥的个数为（　C　）
A. 45 B. 60
C. 72 D. 120
C
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3. 父亲今年比儿子大30岁，5年前父亲与儿子的岁数比为4∶1，儿子今年
的年龄是（　C　）
A. 25岁 B. 20岁
C. 15岁 D. 10岁
4. 甲、乙、丙三辆车所运货物的质量之比为6∶7∶4.5，已知甲车比乙车少
运货物12吨，则三辆车共运货物（　C　）
A. 120吨 B. 130吨 C. 210吨 D. 150吨
C
C
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5. 《算法统宗》是我国古代数学家程大位的一部著作.在这部著作中，
许多数学问题都是以诗歌的形式呈现，“以碗知僧”就是其中一
首.“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，恰合用尽不
差争.三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹.请问先生明算者，算来寺内几
多僧？”其大意是山中有一个古寺，寺内共有364只碗，3个僧人共用一
只碗吃饭，4个僧人共用一只碗喝汤，碗刚好用完，古寺内僧人的数量
是多少？古寺内僧人的数量是（　C　）
A. 364个 B. 91个 C. 624个 D. 100个
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 已知某种混凝土中水泥、沙子和石子的质量比是2∶3∶5，若要搅拌30吨
这样的混凝土，则需要沙子 吨.
7. （2024·宿州埇桥期末）整理一批图书，单人完成需30h.现计划由一
部分人先做1h，然后增加6人与他们一起做3h，正好完成.假设这些人的
工作效率相同，则应先安排 人.
8. 甲、乙两人原有的钱数之比是6∶5，后来甲用去80元，乙得到20元，
这时甲、乙两人的钱数之比是10∶9.原来甲有 元.
9　
3　
1380　
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9. 某工人加工一批零件，若每天做8个，刚好在原计划时间内完成.由于
在完成25％后进行技术改进，现在每天做的数量比原来的 还多2个，结
果不但提前3天完成，而且超额完成3个.原计划 天完成这批零件
的加工任务.
13　
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三、 解答题（共42分）
10. （12分）某砖厂的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比配制
搅拌而成.现已将前三种材料准备好，共5600千克，则应加入多少千克
的水进行搅拌？
解：设白土、沙土、石膏、水的质量分别为25x千克、2x千克、x千
克、6x千克.根据题意，得25x＋2x＋x＝5600，解得x＝200，6x＝
1200，即应加入1200千克的水进行搅拌
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11. （14分）（2024·陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次
家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，则需
4h；若爸爸单独完成，则需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，
去参加篮球训练了，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务.已知小峰
和爸爸这次一共打扫了3h，求小峰打扫的时间.
解：设小峰打扫了xh，则爸爸打扫了（3－x）h.根据题意，得 ＋
＝1，解得x＝2，即小峰打扫了2h
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12. （16分）为实施乡村振兴战略，解决某山区百姓出行难的问题，当
地政府决定修建一条高速公路.其中一项长为146米的山体隧道贯穿工程
由甲、乙两支工程队负责施工.甲工程队独立施工2天后，乙工程队加
入，两支工程队又联合施工了1天，这3天共掘进26米.已知甲工程队每
天比乙工程队多掘进2米，则按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙
两支工程队还需联合施工多少天？
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12
解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x－2）米.由题
意，得2x＋（x＋x－2）＝26，解得x＝7.所以甲工程队每天掘进7
米，乙工程队每天掘进7－2＝5（米）. ＝10（天），即甲、乙两
支工程队还需联合施工10天
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（附加题）（20分）　甲组的4名工人12月完成的总工作量比此月人均
定额的5倍多20件，乙组的5名工人12月完成的总工作量比此月人均定额
的10倍少5件.
（1） 如果两组工人12月的实际人均工作量相等，那么此月的人均定额
是多少件？
解：（1） 设此月的人均定额是x件.由题意，得 ＝ ，解得x
＝8，即此月的人均定额是8件
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12
（2） 如果12月甲组工人的实际人均工作量比乙组工人的实际人均工作
量少3件，那么此月的人均定额是多少件？
解：（2） 设此月的人均定额是y件.由题意，得 ＋3＝ ，解
得y＝12，即此月的人均定额是12件
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12(共10张PPT)
阶段检测（3.1～3.3）
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 下列说法中，错误的是（　D　）
A. 若x＝y，则x＋5＝y＋5
B. 若4x＋a＝4y＋a，则x＝y
C. 若x＝y，则bx＝by
D. 若cx＝cy，则x＝y
2. （2024·蒙城期末）若关于x的方程2x＋a－4＝0的解是x＝－2，则
a的值为（　B　）
A. －8 B. 8 C. 0 D. 2
D
B
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13
3. 下列变形正确的是（　C　）
A. 3x＋6＝23－2x，移项，得3x－2x＝23＋6
B. 2x－（x＋10）＝5x，去括号，得2x－x＋10＝5x
C. 4x－7x＋2x＝3，合并同类项，得－x＝3
D. 3x＝3－ ，去分母，得9x＝3－（2x－1）
4. 定义运算：a*b＝ab＋2a.若（3*x）＋（x*3）＝14，则x的值为
（　B　）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
C
B
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12
13
5. 一条铁路线上A，B，C三个车站的位置如图所示，B，C两个车站
之间相距500千米，一列火车从B车站出发，向C车站方向行驶，行驶
30分钟后，距A车站130千米；行驶2小时后，距A车站280千米.这列火
车从B车站行驶到C车站所用的时间为（　B　）
A. 4小时 B. 5小时 C. 6小时 D. 7小时
第5题
B
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13
二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 方程2x－3＝6的解是 .
7. 如果－3x2a－1＋6＝0是关于x的一元一次方程，那么a＝ ，方程
的解为x＝ .
8. 如果关于x的方程2－ ＝1和2x＋1＝3的解相同，那么a的值
为 .
9. 甲、乙、丙三个仓库共储煤228吨，已知甲、乙两个仓库的储煤量之
比为2∶7，乙、丙两个仓库的储煤量之比为3∶7，则甲、丙两个仓库分别
储煤 吨、 吨.
x＝4.5　
1　
2　
4　
18　
147　
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13
三、 解答题（共46分）
10. （14分）解方程：
（1） （桂林中考）4x－1＝2x＋5；
解：x＝3
（2） （广元中考） ＋ ＝4.
解：x＝7
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11. （10分）（2024·蒙城期末）某商店以每盏25元的价格采购了一批
节能灯，运输过程中损坏了3盏，并以每盏30元的价格售完，共获利160
元.该商店共采购了多少盏节能灯？
解：设该商店共采购了x盏节能灯.由题意，得25x＋160＝30（x－3），解得x＝50，即该商店共采购了50盏节能灯
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12. （10分）已知关于x的方程3（x－2）＝x－a的解比 ＝ 的
解小 ，求a的值.
解：解3（x－2）＝x－a，得x＝ ；解 ＝ ，得x＝5a.由
题意，得5a－ ＝ ，解得a＝1
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13. （12分）为了提高空气质量，某省农村正在实施“煤改气”工程.
甲、乙两支工程队共同承接了某地“燃气壁挂炉注水”任务.已知甲队
单独施工需20天完成，乙队单独施工需30天完成.
（1） 甲、乙两队合作需要几天完成？
解：（1） 设甲、乙两队合作需要x天完成.根据题意，得 ＋ ＝1，
解得x＝12，即甲、乙两队合作需要12天完成
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（2） 若甲队先单独施工5天，剩下的部分由两队合作完成，则还需要
几天才能完成？
解：（2） 设还需要y天才能完成.根据题意，得 ×5＋ y＝
1，解得y＝9，即还需要9天才能完成
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12
13(共35张PPT)
3.5　二元一次方程组的应用
第1课时　比赛与航行问题
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 某校举行篮球比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负
一场得1分.某队在12场比赛中共得20分.设该队胜x场，负y场，则根据
题意，列出关于x，y的二元一次方程组是（　D　）
A. B.
C. D.
D
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2. 甲、乙两人练习跑步，若乙先跑10米，则甲跑5秒可以追上乙；若乙
先跑2秒，则甲跑4秒可以追上乙.若设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y
米/秒，则下列方程组正确的是（　A　）
A. B.
C. D.
A
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3
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5
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3. 某知识竞赛有25题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分.若小明做了
全部题共得70分，则他做对的题数是（　D　）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
D
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10
11
4. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐
僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修
成正果的故事.现请你欣赏描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖
踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟
空顺风去查妖精的行踪，4分钟行了1000里，逆风返回时4分钟行了600
里，则风速为（　A　）
A. 50里/分 B. 150里/分
C. 200里/分 D. 250里/分
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
二、 填空题（每题7分，共28分）
5. 甲、乙两人分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行.如图所示为
小华绘制的甲、乙两人两次运动情形的示意图.设甲的速度是xkm/h，乙
的速度是ykm/h.根据题意，所列的方程组是 .
　
第5题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. 已知船在顺水中的速度为50km/h，在逆水中的速度为30km/h，则船在
静水中的速度为 km/h.
7. 某市举办中学生足球联赛，一支足球队共参加了15场比赛，负了4
场，共得29分.已知该足球联赛的积分规则是胜一场得3分，平一场得1
分，负一场得0分，则这支足球队胜了 场.
8. 从小明家到学校的路有一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路
每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则从家到
学校需20分钟，从学校到家需30分钟.从小明家到学校的下坡路
长 米.
40　
9　
800　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
三、 解答题（共48分）
9. （14分）足球赛的记分规则是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得
0分.在一次有12支足球队的单循环比赛中（每两队之间比赛一场），某
队所胜的场数比所负的场数多2，结果得了18分.该队在这次比赛中，平
了几场，负了几场？
解：设该队在这次比赛中胜了x场，平了y场，则负了（x－2）场.根据
题意，得解得则x－2＝3，即该队
在这次比赛中，平了3场，负了3场
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. （14分）已知一段隧道长2000m，现有一列火车从隧道通过，测得
从火车开始进入到车身完全通过共用1min，整列火车完全在隧道里的时
间为40s，求火车的速度及车身的长度.
解：设火车的速度为xm/s，车身的长度为ym.根据题意，得
解得即火车的速度为40m/s，车身的长
度为400m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. （20分）已知甲、乙两人相距36千米.
（1） 甲、乙两人相向而行，若甲比乙先走2小时，则他们在乙出发2.5
小时后相遇；若乙比甲先走2小时，则他们在甲出发3小时后相遇.求
甲、乙两人每小时分别走多少千米.
解：（1） 设甲、乙两人每小时分别走x千米、y千米.根据题意，得
解得即甲每小时走6千米，乙
每小时走3.6千米
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 如果甲、乙两人保持（1）中的速度，同时出发同向而行，那么1
小时后，甲、乙两人相距多少千米？
解：（2） 36－6＋3.6＝33.6（千米）或36－3.6＋6＝38.4（千米），即
1小时后，甲、乙两人相距33.6千米或38.4千米
解：（2） 36－6＋3.6＝33.6（千米）或36－3.6＋6＝38.4（千米），即
1小时后，甲、乙两人相距33.6千米或38.4千米
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（附加题）（20分）　某人沿与电车路线并齐的道路行走，每12分钟有
一辆电车从后面赶上，每4分钟有一辆电车迎面开来.若人与电车都是匀
速前进的，则电车每隔 分钟从起点开出一辆.
6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3.5　二元一次方程组的应用
第2课时　物质配比与配套问题
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. （2024·赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1
块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40
块D型钢板，问恰好要用A型钢板、B型钢板各多少块？设恰好要用A型
钢板x块，B型钢板y块，则可列方程组为（　C　）
A. B.
C. D.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 现需用浓度为30％和75％的消毒液配制浓度为60％的消毒药水30kg，
则浓度为30％和75％的消毒液各需（　D　）
A. 12kg，18kg B. 19kg，11kg
C. 17kg，13kg D. 10kg，20kg
3. 某车间35名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母
18个，且1个螺栓要配2个螺母.要使当天生产的螺栓和螺母刚好配套，
则分配生产螺栓的人数为（　C　）
A. 13 B. 14
C. 15 D. 16
D
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. 5月份，甲、乙两个工厂的用水总量为200吨.进入夏季用水高峰期
后，两个工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量
比5月份减少了15％，乙工厂用水量比5月份减少了10％，且两个工厂6
月份的用水总量为174吨.甲工厂6月份的用水量为（　C　）
A. 120吨 B. 80吨 C. 102吨 D. 72吨
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
二、 填空题（每题7分，共28分）
5. 在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的油桃喜获丰收，去年油
桃的利润（利润＝收入－支出）为12000元，今年油桃的收入比去年增
加了20％，支出减少了10％，预计今年的利润比去年的多11400元.设小
明家去年种植油桃的收入为x元，支出为y元.依题意，列方程组
为 .
6. 把含铁72％和含铁58％的两种矿石混合制成含铁64％的矿石70吨，则
需含铁72％的矿石 吨.
　
30　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 某木材加工厂制作桌子的车间有14名工人，每名工人每小时可以加工
10张桌面或30条桌腿.1张桌面需要配4条桌腿，为使每小时加工的桌面
和桌腿刚好配套，该车间应安排 名工人加工桌腿.
8. 用甲、乙两种原料为运动员制作营养品，甲原料每克含0.5单位蛋白
质和1单位铁质，乙原料每克含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质.若运动员
每餐需35单位蛋白质和40单位铁质，则每餐需甲原料 克.
8　
28　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
三、 解答题（共44分）
9. （13分）一张学生课桌由一个桌面和四条桌腿组成，若1立方米的木
料可制作桌面50个或桌腿300条.现有15立方米的木料，请你设计方案使
制作的桌面与桌腿正好配套.
解：设用x立方米的木料制作桌面，y立方米的木料制作桌腿.根据题
意，得解得即用9立方米的木料制作桌
面，6立方米的木料制作桌腿正好配套
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. （14分）有甲、乙两种含银的合金，甲中含银25％，乙中含银37.5
％.现要将它们熔炼成含银30％的合金100kg，则甲、乙两种合金各应取
多少？
解：设甲种合金应取xkg，乙种合金应取ykg.根据题意，得
解得即甲种合金应取
60kg，乙种合金应取40kg
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
11
11. （17分）某地实施农村义务教育学校营养计划——“蛋奶工程”.该
地农村小学每份营养餐的标准是总质量为300克，蛋白质含量为8％，包
括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋.已知牛奶的蛋白质含量为5％，饼干
的蛋白质含量为12.5％，鸡蛋的蛋白质含量为15％，一个鸡蛋的质量为
60克.
（1） 一个鸡蛋中蛋白质的质量为多少克？
解：（1） 60×15％＝9（克），即一个鸡蛋中蛋白质的质量为9克
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？
解：（2） 设每份营养餐中牛奶的质量为x克，饼干的质量为y克.根据
题意，得解得即每份营
养餐中牛奶的质量为200克，饼干的质量为40克
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（附加题）（20分）　用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底
面，制作如图②所示的竖式和横式两种无盖纸盒.现有m张正方形纸板
和n张长方形纸板，如果制作两种无盖纸盒若干个，且恰好将纸板用
完，那么① 2022；② 2023；③ 2024；④ 2025这些数中，m＋n的值可
能为 .（填序号）
　　
④　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3.5　二元一次方程组的应用
第3课时　方案及其他问题
第3章　一次方程与方程组
A. B.
C. D.
一、 选择题（每题8分，共32分）
1. （2024·深圳）有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一
房七客多七客，一房九客一房空.诗的大意是一些客人到李三公的店住
宿，如果每间客房住7人，那么有7人无客房可住；如果每间客房住9
人，那么空出1间客房.设该店有客房x间，客人有y人，则可列方程组为
（　A　）
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. 某农户养的鸡和兔一共有80只.已知鸡和兔的腿一共有230条，则鸡的
只数比兔多（　B　）
A. 14 B. 10 C. 8 D. 以上都不对
3. 小华和家人“五一”假期到公园游玩.湖边有大小两种游船，小华发
现1艘大游船与2艘小游船一次共可以满载游客32人，2艘大游船与1艘小
游船一次共可以满载游客52人.1艘大游船与1艘小游船一次共可以满载
游客的人数为（　C　）
A. 32 B. 30 C. 28 D. 26
B
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4. 现有A，B两种商品，买3件A商品和2件B商品共需160元，买2件A商
品和3件B商品共需190元.如果准备购买A，B两种商品共10件，那么下
列方案中，费用最低的为（　A　）
A. A商品7件和B商品3件 B. A商品6件和B商品4件
C. A商品5件和B商品5件 D. A商品4件和B商品6件
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、 填空题（每题8分，共32分）
5. 一个两位数，个位上的数字比十位上的大5，如果把个位与十位上的
数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99.原来的两位数是 .
6. 某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了200元购买了甲、
乙两种奖品共30件.其中，甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元，则购
买了甲种奖品 件.
27　
10　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. 利用两个相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图①所示
的方式放置，再交换两个木块的位置，按如图②所示的方式放置，则桌
子的高度是 cm.
85　
第7题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8. 某商场开展促销活动，肉粽6折，白粽7折，打折前购买4盒肉粽和5盒
白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元.轩轩想购买肉粽
和白粽各5盒，则他现在以折扣价购买可节省 元.
145　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
三、 解答题（共36分）
9. （16分）根据如图所示的对话，求出今年小亮和爸爸的年龄.
第9题
解：设今年小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁.根据题意，得
解得即今年小亮的年龄为8岁，爸爸的
年龄为34岁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10. （20分）某村40名农民共筹集资金14万元，用于承包本村番茄和茄
子两种塑料大棚.这两种塑料大棚所需劳动力人数和承包金如下表：
大棚种类 每个大棚所需劳动力
人数 每个大棚所需承包金/
万元
番　茄 3 0.8
茄　子 2 1.2
在现有的条件下，这40名农民应分别承包多少个番茄塑料大棚和茄子塑
料大棚，才能使所有的人都有工作且资金正好够用？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解：设这40名农民应分别承包x个番茄塑料大棚和y个茄子塑料大棚.根
据题意，得解得即这40名农民应承包10
个番茄塑料大棚和5个茄子塑料大棚，才能使所有的人都有工作且资金
正好够用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（1） 求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物资.
解：（1） 设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可
以满载运输y件物资.根据题意，得解得
即1辆小货车一次可以满载运输300件物资，1辆大货车一次可以满载运
输400件物资
（附加题）（20分）　某公司购买了一批物资并安排两种货车运往A
地，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆
大货车一次可以满载运输2500件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2） 现有3100件物资需运往A地，准备同时租用这两种货车，且每辆
货车均全部装满，有哪几种租车方案？
解：（2） 设租小货车a辆，大货车b辆.由题意，得300a＋400b＝
3100，所以a＝ .又因为a，b均为正整数，所以或
或所以共有3种租车方案，分别是租9辆小货车，1辆
大货车或租5辆小货车，4辆大货车或租1辆小货车，7辆大货车
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10(共13张PPT)
第3章小测
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （2024·凤阳期末）下列式子的变形中，正确的是（　A　）
A. 由3x＋5＝4x，得3x－4x＝－5
B. 由6＋x＝10，得x＝10＋6
C. 由8x＝4－3x，得8x－3x＝4
D. 由2（x－1）＝3，得2x－1＝3
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. （2024·宿州埇桥期末）方程组 的解为 则被遮盖
的 ， 分别为（　C　）
A. 1，2 B. 1，3 C. 5，1 D. 2，4
3. 下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（　A　）
A. 3x－2＝2x＋1，移项，得3x－2x＝1＋2
B. － ＝1，去分母，得2－3（x－1）＝1
C. 3－x＝2－5（x－1），去括号，得3－x＝2－5x－1
D. 23x＝32，系数化为1，得x＝1
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. （2023·眉山）已知关于x，y的二元一次方程组
的解满足x－y＝4，则m的值为（　B　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
5. 李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一摞（如图），测量后发
现：用2只碗叠放的总高度为7.5cm，用4只碗叠放的总高度为11.5cm.若
将8只碗叠成一摞正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度为
（　B　）
A. 15.5cm B. 19.5cm
C. 23cm D. 30cm
第5题
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 若4x＋3与－x－5互为相反数，则x的值为 .
7. 已知二元一次方程组则2x－y的值为 .
8. 已知方程 ＝3－ 与关于x的一元一次方程2－kx＝x的解相同，则
k的值为 .
　
4　
－ 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. 某书中有一题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏.三人五个多十
枚，四人八枚两个剩.问有几个牧童几个杏？题目大意是牧童们要分一
堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏.若3人一组，每组5个杏，则多
10个杏.若4人一组，每组8个杏，则多2个杏.有多少个牧童，多少个杏？
牧童有 个.
24　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
三、 解答题（共51分）
10. （18分）（2024·霍邱期末）解方程（组）：
（1） x－1＝x－ ；
（2）
解：x＝3
解：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. （9分）已知关于x，y的方程组
（1） 求这个方程组的解；（用含a的式子表示x，y）
解：（1） 由①×3＋②，得5x＝15a－5，解得x
＝3a－1；把x＝3a－1代入①，解得y＝a－2.所以这个方程组的
解为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 若这个方程组的解也是方程x－5y＝3的一个解，求（a－4）2023
的值.
解：（2） 把代入方程x－5y＝3，得3a－1－5a＋10＝3，解得a＝3.所以（a－4）2023＝－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. （10分）（2023·阜阳颍州期末）某车间有15名工人，生产水桶、
扁担两种商品.已知每人每天平均能生产水桶80个或扁担110根，则应分
配多少人生产水桶，多少人生产扁担，才能使每天生产的水桶和扁担刚
好配套？（2个水桶和1根扁担配成一套）
解：设应分配x人生产水桶，则（15－x）人生产扁担.由题意，得80x
＝2×110（15－x），解得x＝11.所以15－x＝4，即应分配11人生产水
桶，4人生产扁担，才能使每天生产的水桶和扁担刚好配套
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. （14分）（2023·蚌埠期末）打折前，在某商场买6件A商品和3件B
商品共需108元，买5件A商品和1件B商品共需84元.打折后，各种商品均
按相同的折扣销售.某消费者买50件A商品和50件B商品共花了750元.
（1） 打折前，一件A商品和一件B商品的价格分别是多少元？
解：（1） 设打折前，一件A商品的价格是x元，一件B商品的价格是y元.由题意，得解得即打折前，一件A商品的价格是16元，一件B商品的价格是4元
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2） 打折后，该商场的商品打几折？
解：（2） 设打折后，该商场的商品打m折.由题意，得
50×16×0.1m＋50×4×0.1m＝750，解得m＝7.5，即打折后，该商场的商品打七五折
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13(共14张PPT)
*3.6　三元一次方程组及其解法
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 下列方程组中，属于三元一次方程组的是（　B　）
A. B.
C. D.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进
行的变形为（　A　）
A. ①＋② B. ①－②
C. ①＋③ D. ②－③
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 已知关于x，y的方程组的解x与y的和是2，则m
的值为（　A　）
A. 4 B. －4
C. 8 D. －8
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （2023·池州期末）一个三位数的各个数位上的数字之和为10，百位
上的数字比十位上的数字大1.如果百位与个位上的数字对调，所得新数
比原数的3倍大61，那么原来的三位数是（　B　）
A. 325 B. 217
C. 433 D. 541
B
1
2
3
4
5
6
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9
10
11
12
二、 填空题（每题6分，共30分）
5. 已知方程组由②，得y＝ ④；由③，
得x＝ ⑤；将④⑤代入①，解得z＝ .
6. 已知有理数x，y，z满足｜x－z－2｜＋｜3x－6y－7｜＋｜3y＋3z
－4｜＝0，则xyz＝ .
5＋z　
10－2z　
1　
1　
1
2
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4
5
6
7
8
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12
7. 已知等式y＝ax2＋bx＋c，且当x＝－1时，y＝4；当x＝1时，y＝
8；当x＝2时，y＝25.当x＝3时，y＝ .
8. 端午节有吃粽子的习惯.某商店购进肉粽、蛋黄粽、豆沙粽的数量之
比为9∶15∶2.为促进销售，将全部粽子包装成A，B，C三种礼盒.礼盒A中
有2个肉粽、4个蛋黄粽；礼盒B中有1个肉粽、3个蛋黄粽、1个豆沙粽；
礼盒C中有4个肉粽、2个豆沙粽.礼盒A、礼盒B、礼盒C的盒数之比
为 .
52　
6∶2∶1　
1
2
3
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10
11
12
9. 某服装厂安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、
1个衣身和1个衣领组成.若每人每天能够缝制衣袖10个或衣身15个或衣
领12个，则应该安排 名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣
袖、衣身和衣领正好配套.
120　
1
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11
12
三、 解答题（共46分）
10. （16分）解三元一次方程组：
（1）
（2）
解：
解：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （14分）如图所示为一个有三条边的算法图，每个“ ”里有一个
数，这个数等于它所在边上两个“ ”里的数之和.请你通过计算确定
三个“ ”里的数之和，并且确定三个“ ”里应填入的数.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解：若把图中三个“ ”里的数按上下左右的顺序分别设为x，y，z.
由题意，得由①＋②＋③，得2（x＋y＋z）＝142，
即x＋y＋z＝71④.由④－①，得z＝－12.由④－②，得x＝50.由④－
③，得y＝33.所以三个“ ”里的数之和为71，三个“ ”里应填入
的数按上下左右的顺序依次为50，33，－12
1
2
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12
12. （16分）某公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜共36吨到
外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种蔬菜，每种
蔬菜不少于1车），相关数据如下表：
蔬菜种类 甲 乙 丙
每辆汽车能装的吨数 2 1 1.5
每吨蔬菜可获得的利润/元 500 700 400
该如何安排，可使该公司恰好获得利润18300元？
1
2
3
4
5
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10
11
12
解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别是x辆，y辆，z辆.由题
意，得解得即
当装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别是15辆，3辆，2辆时，可使该公
司恰好获得利润18300元
解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别是x辆，y辆，z辆.由题
意，得解得即
当装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别是15辆，3辆，2辆时，可使该公
司恰好获得利润18300元
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12
（附加题）（20分）　有甲、乙、丙三种商品，若购买3件甲、2件乙、
1件丙，则共需315元；若购买1件甲、2件乙、3件丙，则共需285元；若
购买甲、乙、丙各1件，则共需 元.
150　
1
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11
12(共11张PPT)
阶段检测（3.4～3.5）
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （无锡中考）方程组的解是（　C　）
A. B.
C. D.
C
1
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6
7
8
9
10
11
12
13
2. （2024·涡阳期末）若方程3x｜m｜＋（m－1）y＝3是关于x，y的二
元一次方程，则m的值是（　B　）
A. ±1 B. －1
C. 1 D. ±2
3. 已知x，y满足方程组则x－y的值是（　A　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
B
A
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13
4. （2024·合肥期末）已知方程组的解满足x＋y
＝5，则k的值为（　C　）
A. －2 B. 2 C. 3 D. 4
C
1
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9
10
11
12
13
5. 某校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸
制作圆柱形包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一
部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面或3个底面.如果1个侧面和2
个底面可以制作一个包装盒，那么这些卡纸最多可以制作的包装盒的个
数为（　C　）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
C
1
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12
13
二、 填空题（每题6分，共30分）
6. 方程2x－y＝1和2x＋y＝7的公共解是 .
7. 已知二元一次方程3x＋y＋6＝0，则当x，y互为相反数时，x＝
，y＝ .
8. 如果是方程组的解，那么代数式a＋b的值
为 .
　
－3
3　
1　
1
2
3
4
5
6
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11
12
13
9. 对于x，y定义一种新运算“*”：x*y＝ax＋by，其中a，b为常数.
如3*5＝15，4*7＝28，则1*2＝ .
10. （湖北中考）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：一
支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.
其大意如下：现有一支竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5
尺；如果将绳索对折后量竿，那么比竿短5尺.绳索长 尺.
13　
20　
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12
13
三、 解答题（共45分）
11. （18分）解方程组：
（1）
（2）
解：
解：
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13
12. （12分）（2023·六安金安月考）关于x，y的方程组
与的解相同，求a，b的值及方程组的解.
解：由题意，得解得将其代入另外两个方程，
得解得
1
2
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4
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13
13. （15分）在某次地震灾民的安置工作中，某企业捐助了一批板材共
24000m2.某灾民安置点用该企业捐助的这批板材全部搭建成A，B两种
型号的板房，计划供2300名灾民临时居住.已知建成一间A型板房和一间
B型板房所需板材及能安置的人数如下表：
板房型号 所需板材/m2 安置人数
A型板房 54 5
B型板房 78 8
1
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3
4
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11
12
13
（1） 该灾民安置点需搭建A型板房和B型板房各多少间？
解：（1） 设该灾民安置点需搭建A型板房x间，B型板房y间.由题意，
得解得即该灾民安置点需搭建A型
板房300间，B型板房100间
（2） 因对灾民人数估计不足，实际安置中，A型板房超员15％，B型板
房超员20％，则该安置点实际有灾民多少人？
解：（2） 5×300×（1＋15％）＋8×100×（1＋20％）＝2685
（人），即该安置点实际有灾民2685人
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13(共15张PPT)
3.1　方　程
第1课时　方　程
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题10分，共30分）
1. 下列各式中，属于方程的是（　D　）
A. x－3 B. 1＋2＝3
C. x－2＞1 D. x－1＝2
2. 下列方程中，解为x＝1的是（　D　）
A. x－1＝－1 B. －2x＝
C. x＝－2 D. 2x－1＝1
D
D
1
2
3
4
5
6
7
3. 甲、乙两人练习跑步，甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，甲先跑6米后，
乙开始跑.设乙x秒后追上甲，依题意可列方程为（　B　）
A. 5x＝4x－6 B. 5x＝4x＋6
C. 5x－4＝6x D. 5x＋4x＝6
B
1
2
3
4
5
6
7
二、 填空题（每题10分，共20分）
4. 有下列式子：① 2x－1；② 2x＋1＝3x；③ －3；④ t＋1＝3.其中，
代数式有 ，方程有 .（填序号）
5. 已知x＝1是方程x＋2m＝7的解，则m的值为 .
①③　
②④　
3　
1
2
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4
5
6
7
三、 解答题（共50分）
6. （20分）检验下面的方程后面括号内的数是不是方程的解.
x＝ x＋2（x＝12，x＝－12）.
解：检验：当x＝12时，左边＝ ×12＝6，右边＝ ×12＋2＝10.因为
左边≠右边，所以x＝12不是原方程的解.当x＝－12时，左边＝ ×
（－12）＝－6，右边＝ ×（－12）＋2＝－6.因为左边＝右边，所以
x＝－12是原方程的解
1
2
3
4
5
6
7
7. （30分）根据题意，设未知数，并列出方程.
（1） 小明说：“我姐姐今年的年龄比我去年年龄的2倍少6岁.”已知姐
姐今年20岁，小明今年几岁？
解：（1） 设小明今年x岁，则去年（x－1）岁.根据题意，得2（x－
1）－6＝20
（2） 已知长方形的周长是16cm，长比宽多2cm，则这个长方形的长是
多少？
解：（2） 设这个长方形的长是xcm，则宽是（x－2）cm.依题意，得
2[x＋（x－2）]＝16
1
2
3
4
5
6
7
（3） 把若干本书发给学生，如果每人发4本，那么还剩2本；如果每人
发5本，那么还差5本.共有多少名学生？
解：（3） 设共有x名学生.依题意，得4x＋2＝5x－5
解：（3） 设共有x名学生.依题意，得4x＋2＝5x－5
1
2
3
4
5
6
7
（附加题）（20分）　已知方程x3＋x＝53＋5的解是x＝5；方程x3＋x
＝（－3）3＋（－3）的解是x＝－3；方程（x＋4）3＋x＋4＝33＋3的
解是x＝－1（由x＋4＝3得出），则方程（x－1）3＋x＝11的解是
.
x＝3　
1
2
3
4
5
6
7
3.1　方　程
第2课时　等式的基本性质
第3章　一次方程与方程组
一、 选择题（每题10分，共30分）
1. （2024·肥东期末）如果x＝y，那么下列等式不一定成立的是
（　D　）
A. x＋a＝y＋a B. x－a＝y－a
C. ax＝ay D. ＝
2. （2024·和县期末）如果2a＋3＝0，那么a的值是（　B　）
A. B. － C. D. －
D
B
1
2
3
4
5
6
7
3. （2023·阜阳颍州期末）运用等式的基本性质进行变形，正确的是
（　C　）
A. 由a＝b，得a＋c＝b－c B. 由2x＝－4，得x＝2
C. 由2m－1＝3，得2m＝3＋1 D. 由ac＝bc，得a＝b
C
1
2
3
4
5
6
7
二、 填空题（每题10分，共20分）
4. 把方程 x＝1变形为x＝2的依据是 .
5. 如图，标有相同字母的物体的质量相同，若A的质量为15克，则当B
的质量为 克时，天平处于平衡状态.
第5题
等式的基本性质2　
7.5　
1
2
3
4
5
6
7
三、 解答题（共50分）
6. （20分）用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明是
根据等式的哪一条基本性质变形得到的.
（1） 如果x＋8＝10，那么x＝10＋ ，根据
变形得到；
（2） 如果4x＝3x＋7，那么4x－ ＝7，根据
变形得到；
（－8）　
等式的基本性
质1　
3x　
等式的基本性质1
1
2
3
4
5
6
7
（3） 如果－3x＝8，那么x＝ ，根据 变
形得到；
（4） 如果 x＝－2，那么 ＝－6，根据 变
形得到.
－ 　
等式的基本性质2　
x　
等式的基本性质2　
1
2
3
4
5
6
7
7. （30分）利用等式的基本性质解下列方程：
（1） 15＝3x；
（2） 2x－7＝－1；
（3） ＝1.
解：x＝5
解：x＝3
解：x＝2
（附加题）（20分）　若a＋9＝b＋8＝c＋7，则（a－b）2＋（b－
c）2－（c－a）2＝ .
－2　
1
2
3
4
5
6
7

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