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第03讲 等式与不等式的性质
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1)不等式的性质 2019年全国卷，5分 2018年全国卷，5分 2017年山东卷，5分 2016年浙江卷，5 分 2016年全国卷，5 分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主. （2）重点是等式的性质和不等式的性质，主要考查不等式的性质以及运用不等式的性质比较代数式的大小关系，常与一元二次不等式解法、幂函数、指数函数、对数函数三角函数结合.
(
考试要求
小
)
1、掌握等式性质；
2、会比较两个数的大小；
3、理解不等式的性质，并能简单应用。
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1:比较大小的方法
1、作差法
相减与0比较：
2、作商法
相除与1比较：
知识点2:等式的性质
序号 性质 具体内容
1 对称性
2 传递性
3 可加减性
4 可乘性
5 可除性
知识点3:不等式的性质
序号 性质 具体内容
1 对称性
2 传递性
3 可加性
4 可乘性
5 同向可加性
6 同向同正可乘性
7 同正可乘方性
(
题型展示
小
)
题型一:代数式的大小比较
【例1】若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直接求解法，特殊值法
方法1：直接求解法
对选项A ：，，当时，，A错，
对选项B：是增函数，，故B错；
对选项C：幂函数是增函数，，，C对；
对选项D：取，满足，，D错．
方法2：特殊值法
取，满足；
对选项A ：，A错，排除A；
对选项B：因为，B错，排除B；
取，满足；
对选项D：，知D错，排除D；
对选项C：幂函数是增函数，，，C对；答案为C．
【变式1】已知为不相等的实数，记，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】作差法
，答案为A.
题型二:不等式的基本性质
【例2】已知，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
对选项A：由，得，即，A错；
对选项B：由及正弦函数的单调性有增有减，当在递减区间时不成立，B错；
对选项C：由，，得，故，C正确；
对选项D：由，得，但的值不一定大于1，故不一定成立，D错；答案为C.
【变式2】（2018·全国）设，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由于真数相同，可以利用换底公式，求出，得到的范围。
,即
又即；答案为B.
题型三:不等式性质的应用
【例3】已知，则的取值范围是 .
【答案】(-2,13)
【解析】
，答案为：
【变式3】（2024武汉模拟）已知实数，则的取值范围是 .
【答案】(4,24)
【解析】
，答案为：
(
考场演练
)
【题1】（2019·全国）若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【题型】幂、指、对大小比较
【解析】直接求解法，特殊值法
方法1：直接求解法
对选项A ：，，当时，，A错，
对选项B：是增函数，，故B错；
对选项C：幂函数是增函数，，，C对；
对选项D：取，满足，，D错．
方法2：特殊值法
取，满足；
对选项A ：，A错，排除A；
对选项B：因为，B错，排除B；
取，满足；
对选项D：，知D错，排除D；
对选项C：幂函数是增函数，，，C对；答案为C．
【题2】（2018·全国）设，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【题型】对数的运算和不等式
【解析】
由于真数相同，可以利用换底公式，求出，得到的范围。
,即
又即；答案为B.
【题3】（2017·山东）若，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【题型】幂、指、对大小比较
【解析】中间值法、构造函数法
，且，
，
排除C、D选项；
构造函数，则，单调递增，
；答案为B.
【题4】（2016·浙江）已知，且.若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【题型】对数函数性质与不等式
【解析】
，
当时，，，
当时，，
观察各选项，答案为D.
【易错提醒】在解不等式时，一定要注意对分为和两种情况进行讨论
【题5】（2016·北京）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【题型】函数单调性与不等式
【解析】
对选项A：由，得，即，A错；
对选项B：由及正弦函数的单调性有增有减，当在递减区间时不成立，B错；
对选项C：由，，得，故，C正确；
对选项D：由，得，但的值不一定大于1，故不一定成立，D错；答案为C.
【题6】（2016·全国）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【题型】幂、指、对大小比较
【解析】特殊值法
令，，
对选项A：， A错；
对选项B：， B错；
对选项D：， D错；
选项C正确；答案为C．
【题7】（2015·浙江）设，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【题型】充分、必要条件与不等式
【解析】特殊值法
取，，但，故是不充分条件；
取，，但，故是不必要条件；
则 “”是“”的既不充分也不必要条件.答案为D.
【题8】（2024·全国新Ⅰ卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【题型】集合与不等式
【解析】
，且，；答案为A.
【题9】（2024·上海）已知则不等式的解集为 ．
【答案】
【题型】解一元二次不等式
【解析】
或，
故不等式的解集为，答案为：.
【题10】（2023·全国新Ⅰ卷）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【题型】集合与一元二次不等式
【解析】直接求解法、选项代入法
方法1 直接求解法
，而，
．答案为C．
方法2 选项代入法
，将代入不等式，只有使不等式成立，
．答案为C．
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第03讲 等式与不等式的性质
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考纲导向
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考点要求 考题统计 考情分析
(1)不等式的性质 2019年全国卷，5分 2018年全国卷，5分 2017年山东卷，5分 2016年浙江卷，5 分 2016年全国卷，5 分 （1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主. （2）重点是等式的性质和不等式的性质，主要考查不等式的性质以及运用不等式的性质比较代数式的大小关系，常与一元二次不等式解法、幂函数、指数函数、对数函数三角函数结合.
(
考试要求
小
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1、掌握等式性质；
2、会比较两个数的大小；
3、理解不等式的性质，并能简单应用。
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1:比较大小的方法
1、作差法
相减与0比较：
2、作商法
相除与1比较：
知识点2:等式的性质
序号 性质 具体内容
1 对称性
2 传递性
3 可加减性
4 可乘性
5 可除性
知识点3:不等式的性质
序号 性质 具体内容
1 对称性
2 传递性
3 可加性
4 可乘性
5 同向可加性
6 同向同正可乘性
7 同正可乘方性
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题型展示
小
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题型一:代数式的大小比较
【例1】若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】已知为不相等的实数，记，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
题型二:不等式的基本性质
【例2】已知，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2018·全国）设，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三:不等式性质的应用
【例3】已知，则的取值范围是 .
【变式3】（2024武汉模拟）已知实数，则的取值范围是 .
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考场演练
)
【题1】（2019·全国）若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题2】（2018·全国）设，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题3】（2017·山东）若，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【题4】（2016·浙江）已知，且.若，则（ ）
A． B．
C． D．
【题5】（2016·北京）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【题6】（2016·全国）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【题7】（2015·浙江）设，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【题8】（2024·全国新Ⅰ卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【题10】（2023·全国新Ⅰ卷）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
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