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(共17张PPT)
2　角
第四章　基本平面图形
第1课时　角
1. 给出下列关于角的说法：① 由两条射线组成的图形是角；② 角的边
越长，角越大；③ 在角一边的延长线上取一点D；④ 角可以看成是由
一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.其中，正确的个数是（　A　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
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2. 下列关于平角和周角的说法，正确的是（　D　）
A. 平角是一条线段
B. 周角是一条射线
C. 两个锐角的和不一定小于平角
D. 反向延长射线OA，就形成平角
D
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3. （1） 2160″＝ '＝ °.
（2） 2.6°＝ '＝ ″.
4. （2022·益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公
路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公
路的夹角∠APB＝ .
（第4题）
36　
0.6　
156　
9360　
90°　
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5. 如图.
（第5题）
（1） 以B为顶点的角有几个？把它们表示出来.
解：（1） 以B为顶点的角有3个，分别是∠ABD（或∠ABE），
∠ABC，∠DBC（或∠EBC）.
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（2） 指出以射线BA为边的角.
解：（2） 以射线BA为边的角有2个，分别是∠ABD（或∠ABE）和
∠ABC.
（3） 以D为顶点，DC为一边的锐角有几个？请分别表示出来.
解：（3） 以D为顶点，DC为一边的锐角有1个，是∠CDE.
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6. 如图，下列表示角的方法中，不正确的是（　B　）
A. ∠A B. ∠E C. ∠α D. ∠1
（第6题）
B
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7. ★下列各式中，角度互化正确的是 （　D　）
A. 63.5°＝63°50'
B. 23°12'36″＝23.48°
C. 18°18'18″＝18.33°
D. 22.25°＝22°15'
D
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8. 若∠A＝38°15'，∠B＝38.15°，则（　A　）
A. ∠A＞∠B
B. ∠A＜∠B
C. ∠A＝∠B
D. 无法确定
A
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9. A，B，C三个城市的位置如图所示，城市A在城市C的南偏西30°
方向上，且∠ACB＝145°，则城市B在城市C的 方
向上.
（第9题）
北偏东65°　
10. 小亮研究钟面角（时针与分针组成的角）时，得到2：15的钟面角的度数为 .
22.5°　
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11. （1） 在一条直线上依次有A，B，C，D四个点，则这条直线上共
有多少条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线
段有AB，AC，AD，共3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端
点的线段也各有3条，这样共有4×3＝12（条）线段.但每条线段都被重
复计算一次，所以一共有 ＝6（条）线段.若在一条直线上有5个点，
则这条直线上一共有 条线段.若在一条直线上有n个点，则这条直
线上一共有 条线段.
10　
　
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（2） 根据（1）中的结论，若在一个锐角∠AOB内部画2条射线OC，
OD，则这个图形中共有 个角；若在一个锐角∠AOB内部画n条射
线，则这个图形中共有 个角.
6　
　
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12. （2024·惠州惠城期末）如图，A地和B地都是海上观测站，从A地
发现它的北偏东60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏
东30°的方向上，试在图中确定这艘船的位置.
解：如图，这艘船的位置用点P表示，则点P即为所求作.
（第12题答案）
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13. （核心素养·运算能力）钟面上的数学.
【基础知识】
钟表上，时针每小时转动的角度是30°.
（1） 时针每分钟转动的角度是0.5°，0.5°＝ '＝ ″.
30　
1800　
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（2） 在某一天的5点到6点之间（包括5点整和6点整），假设这一时刻
是5点x分.
① 求时针和分针重合时x的值.
解：（2） ① 根据题意，得6x－0.5x＝5×30，解得x＝27 .所以分针与时针重合时x的值为27 .
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② 用含有x的代数式表示时针与分针的较小的夹角.
解：（2）② 当分针没有超过时针时，夹角为（0.5x＋5×30－6x）°
＝（150－5.5x）°；当分针超过了时针时，夹角为（6x－5×30－
0.5x）°＝（5.5x－150）°.综上所述，时针和分针的较小的夹角为
（150－5.5x）°或（5.5x－150）°.
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【类比分析】
（3） 小明17点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的较小的
夹角是90°，他做完作业后还是当天17点多钟，且时针和分针的较小的
夹角还是90°，求小明做作业用了多长时间.
解：（3） 设小明开始写作业的时间是17点a分.根据题意，得150－
5.5a＝90，解得a＝ .设小明写完作业的时间是17点b分.根据题意，
得5.5b－150＝90，解得b＝ . － ＝ （分）.所以小明做作业
用了 分.
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13(共11张PPT)
3　多边形和圆的初步认识
第四章　基本平面图形
1. 如图所示的图形中，属于多边形的有（　A　）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
（第1题）
A
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2. 若过多边形的一个顶点最多可作3条对角线，则这个多边形是
（　C　）
A. 四边形 B. 五边形
C. 六边形 D. 七边形
C
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3. 有下列说法：① 等腰三角形是正多边形；② 等边三角形是正多边
形；③ 长方形是正多边形；④ 正方形是正多边形.其中，正确的个数为
（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
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4. 如图，每个扇形中的数据表示该扇形占圆面积的百分比，其中扇形
DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1∶2.
（第4题）
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（1） 求这五个扇形的圆心角的度数.
解：（1） 因为一个周角为360°，所以∠AOB＝360°×15％＝54°，
∠BOC＝360°×25％＝90°，∠COD＝360°×30％＝108°.所以
∠AOD＝360°－∠AOB－∠BOC－∠COD＝360°－54°－90°－
108°＝108°.又因为∠DOE∶∠AOE＝1∶2，所以∠DOE＝108°×
＝36°，∠AOE＝108°× ＝72°.
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（2） 若扇形所在圆的半径为2，试求扇形BOC与扇形COD的面积.
解：（2） 因为扇形所在圆的半径为2，所以S扇形BOC＝π×22×25％＝
π，S扇形COD＝π×22×30％＝ π.
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5. 一个正方形切去一个角后，剩余图形中的角有（　D　）
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 3个或4个或5个
6. ★过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个
多边形对角线的总条数为 .
D
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7. （新情境）（2024·宝鸡凤翔二模改编）马面裙（如图①），又名
“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，将图①中的马面
裙的裙面抽象成数学图形，如图②中的涂色部分所示， 和 所在圆
的圆心均为点O，且点A在OB上，点D在OC上.若OA＝AB＝6dm，
∠AOD＝90°，则该马面裙的裙面（图②中涂色部分）的面积为
dm2.
（第7题）
27π　
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8. 如图，正方形ABCD的内部有若干个点，用这些点及正方形ABCD的
顶点A，B，C，D把原正方形分割成一些三角形（点不重叠）.
（第8题）
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（1） 填写下表：
正方形ABCD内部点的个数 1 2 3 4 … n
分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 2n＋2
8
10
2n＋2
（2） 原正方形能否被分割成2 024个三角形？若能，求出此时正方形
ABCD内部点的个数；若不能，请说明理由.
解：能.令2n＋2＝2024，解得n＝1011.所以原正方形能被分割成2024个
三角形，此时正方形ABCD的内部有1011个点.
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8(共23张PPT)
第四章复习
第四章　基本平面图形
线段
长度
前面
一条
射线
射线
射线
考点一　 直线、射线、线段及其有关计算
典例1　（2023·卫辉期末）如图，C为线段AB上一点，D为线段BC
的中点，AC∶CD＝4∶1，且AB＝12.
（典例1图）
（1） 求AC的长.
解：（1） 因为D为线段BC的中点，所以CD＝BD. 因为AC∶CD＝
4∶1，所以AC＝4CD. 所以AB＝AC＋BC＝4CD＋2CD＝12，解得
CD＝2.所以AC＝4CD＝4×2＝8.
（2） 若点E在直线AB上，且AE＝3，求DE的长.
解：（2） 由（1），易得BD＝2.分两种情况讨论：① 如图①，当点E
在线段AB上时，DE＝AB－AE－BD＝12－3－2＝7.② 如图②，当
点E在线段BA的延长线上时，DE＝AB＋AE－BD＝12＋3－2＝13.
综上所述，DE的长为7或13.
①
②
（典例1图答案）
提示
　　第（2）小题要注意点E是在直线AB上，不是在线段AB上，因此需进行分类讨论.
跟踪训练
1. 已知C是线段AB的中点，D是线段AC的三等分点.若线段AB＝
12cm，则线段BD的长为（　C　）
A. 10cm B. 8cm
C. 10cm或8cm D. 2cm或4cm
C
提示
　　由已知条件可得角之间的倍数关系，通过设未知数列方程来求解
较为简便.
考点二　 角及其有关计算
典例2　如图，∠BOE＝2∠AOE，OF平分∠AOB，∠EOF＝20°，
则∠AOB＝ .
（典例2图）
120°　
跟踪训练
2. 如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，
OB位于直线CE的两侧，OB平分∠COD.
（第2题）
（1） 当∠AOC＝60°时，求∠DOE的度数.
解：（1） 因为∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，所以∠BOC＝90°－
60°＝30°.因为OB平分∠COD，所以∠COD＝2∠BOC＝60°.所以
∠DOE＝180°－∠COD＝180°－60°＝120°.
（2） 猜想∠AOC和∠DOE之间的数量关系，并说明理由.
解：（2） ∠DOE＝2∠AOC. 理由：因为∠AOB＝90°，所以∠BOC
＝90°－∠AOC. 因为OB平分∠COD，所以∠COD＝2∠BOC＝2×
（90°－∠AOC）.所以∠DOE＝180°－∠COD＝180°－2×（90°
－∠AOC）＝2∠AOC.
考点三　 多边形和圆的初步认识
典例3　已知从n边形的一个顶点出发共引出4条对角线；从m边形的一
个顶点出发引出的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长
为7，周长为63.求（n－m）t的值.
解：由题意，得n＝4＋3＝7，m＝6＋2＝8，t＝63÷7＝9.所以（n－
m）t＝（7－8）9＝－1.
跟踪训练
3. 如图，圆O的直径为10cm，两条直径AB，CD互相垂直，点E在
上，且∠AOE＝40°，OF是∠BOE的平分线.求图中涂色部分的面积
（结果保留π）.
（第3题）
解：因为∠AOB＝180°，∠AOE＝40°，所以∠BOE＝140°.因为
OF是∠BOE的平分线，所以∠BOF＝ ∠BOE＝70°.因为两条直径
AB，CD互相垂直，所以∠BOC＝90°.所以∠COF＝90°－70°＝
20°.因为圆O的直径为10cm，所以圆O的半径为5cm.所以涂色部分的
面积＝ ＝ π（cm2）.
1. 若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数
可能为（　C　）
A. 14或15 B. 13或14
C. 13或14或15 D. 14或15或16
C
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2. 已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分
∠AOC，则∠DOM的度数是（　C　）
A. 50° B. 20°或50°
C. 30°或50° D. 30°
C
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3. （2024·邢台信都期中）计算：
（1） 35°28'48″＝ °.
（2） 77°54'36″＋34°27'44″＝ ° ' ″.
4. 如图，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部
分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11
个部分……现有12条直线，最多可将平面分成 个部分.
（第4题）
35.48　
112　
22　
20　
79　
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5. 如图，C为线段AB的中点，E为线段BC上的点，D为线段AE的中
点.
（第5题）
（1） 若线段AB＝a，CE＝b，且｜a－15｜＋（b－4.5）2＝0，求
a，b的值.
解：（1） 由题意，得a－15＝0，b－4.5＝0.所以a＝15，b＝4.5.
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（2） 在（1）的条件下，求线段DE的长.
解：（2） 因为C为线段AB的中点，AB＝15，所以AC＝ AB＝
×15＝7.5.因为CE＝4.5，所以AE＝AC＋CE＝7.5＋4.5＝12.因为D为
线段AE的中点，所以DE＝ AE＝ ×12＝6.
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（3） 若AB＝15，AD＝2BE，求线段CE的长.
解：（3） 因为D为线段AE的中点，所以AE＝2AD＝2DE. 因为AD
＝2BE，所以AE＝4BE. 因为AE＝AB－BE＝15－BE，所以15－
BE＝4BE. 所以BE＝3.因为C为线段AB的中点，所以BC＝ AB＝
×15＝7.5.所以CE＝BC－BE＝7.5－3＝4.5.
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6. （2023·枣庄薛城期末）已知O为直线AB上一点，∠COE是直角，
OF平分∠AOE.
（1） 如图①，若∠COF＝36°，则∠BOE＝ ；若∠COF＝
m°，则∠BOE＝ .∠BOE和∠COF之间的数量关系
为 .
（第6题）
72°　
2m°　
∠BOE＝2∠COF　
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（2） 当∠COE绕点O按逆时针方向旋转至如图②所示的位置时，
（1）中∠BOE和∠COF之间的数量关系是否仍成立？请说明理由.
（第6题）
解：（1）中∠BOE和∠COF之间的数量关系仍成立.理由：因为∠COE是直角，所以∠EOF＝90°－∠COF. 又因为OF平分∠AOE，所以∠AOE＝2∠EOF＝2（90°－∠COF）.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－2（90°－∠COF）＝2∠COF.
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6(共20张PPT)
1　线段、射线、直线
第四章　基本平面图形
1. （2023·鞍山期末）如图，下列用语句表述图中点与直线的关系，错
误的是（　B　）
A. 点P在直线AB外
B. 点C在直线AB外
C. 直线AC不经过点M
D. 直线AC经过点B
（第1题）
B
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2. （2024·襄阳樊城期末）如图，将一块三角形木板截去一部分后，发
现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的
数学知识为 .
（第2题）
两点之间线段最短　
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3. 如图，在平面内有A，B，C三点.
（1） 画直线AB，射线AC，线段BC.
解：（1） 如图，直线AB，射线AC，线段BC即为所求作.
（第3题答案）
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（2） 在线段BC上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，并延
长AD至点E，使DE＝AD.
解：（2） 如图，线段AD和线段DE即为所求作（画
法不唯一）.
（3） 数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？
解：（3） 图中共有8条线段，6条射线.
（第3题答案）
（第3题答案）
（第3题答案）
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4. 如图，点C，D在线段AB上，AB＝48mm，且D为线段BC的中点
CD＝18mm.求线段BC和线段AD的长.
（第4题）
解：因为D为线段BC的中点，CD＝18mm，所以BC＝2CD＝2×18
＝36（mm）.因为AB＝48mm，所以AC＝AB－BC＝48－36＝12
（mm）.所以AD＝AC＋CD＝12＋18＝30（mm）.所以线段BC的长
为36mm，线段AD的长为30mm.
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5. （易错题）（2024·德州武城期末）已知线段AB＝12cm，C是直线
AB上一点，BC＝4cm，M是线段AB的中点，N是线段BC的中点，则
线段MN的长是（　D　）
A. 4cm B. 6cm
C. 5cm或8cm D. 4cm或8cm
D
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6. 已知线段AB＝9，C是线段AB的中点，D是线段AB的三等分点，则
C，D两点间的距离为（　B　）
A. 3 B. 1.5 C. 1.2 D. 1
7. 过平面上四个点中的任意两点画直线，可以画出的直线共有
（　D　）
A. 1条 B. 4条
C. 1条或4条 D. 1条或4条或6条
B
D
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8. 如图，线段AB＝9，C，D，E分别为线段AB（端点A，B除外）上
顺次排列的三个不同的点.若图中所有线段长度的和为46，则下列结论
中，一定成立的是（　C　）
A. CD＝3 B. DE＝2
C. CE＝5 D. EB＝5
（第8题）
C
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9. ★如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6
个交点.按照这样的规律，20条直线两两相交最多有 个交点.
（第9题）
190　
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10. （2024·聊城东昌府期中）如图，在平面内有四点A，B，C，D，
请用尺规作图完成（不写作法，保留作图痕迹）.
（1） 画直线AB.
解：（1） 如图，直线AB即为所求作.
（第10题答案）
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（2） 画射线AC.
解：（2） 如图，射线AC即为所求作.
（第10题答案）
（第10题答案）
（第10题答案）
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（3） 连接BC，并延长BC到点E，使得CE＝AB＋BC.
解：（3） 如图，线段BC，CE即为所求作.
（第10题答案）
（第10题答案）
（第10题答案）
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（4） 在线段BD上取点P，使PA＋PC的值最小.
解：（4） 如图，点P即为所求作.
（第10题答案）
（第10题答案）
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11. 如图，给出线段a，b，c.用圆规和直尺画一条线段，使线段的长度
为2a＋b－c.
（第11题）
解：如图，线段AE即为所求作.
（第11题答案）
（第11题答案）
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12. 如图，A，B，C，D四点在同一条直线上.
（第12题）
（1） 若AB＝CD.
① 比较线段的长短：AC BD（填“＞”“＜”或“＝”）.
② 若BC＝ AC，且AC＝12cm，则线段AD的长为 cm.
＝　
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（2） 若AB∶BC∶CD＝3∶4∶5，且线段AB的中点M和线段CD的中点N
之间的距离是16cm，求线段AD的长.
解：根据题意，设AB＝3xcm，则BC＝4xcm，CD＝5xcm，AD＝
12xcm.因为M是线段AB的中点，N是线段CD的中点，所以AM＝
BM＝ xcm，CN＝DN＝ xcm.又因为MN＝16cm，所以 x＋4x＋
x＝16，解得x＝2.所以AD＝12×2＝24（cm）.所以线段AD的长为
24cm.
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13. 已知M，N分别是线段AC，BC的中点.
（1） 如图，点C在线段AB上，且AC＝9cm，BC＝6cm，求线段MN
的长.
（第13题）
解：（1） 因为AC＝9cm，M是线段AC的中点，所以CM＝ AC＝
4.5cm.同理，得CN＝ BC＝3cm.所以MN＝CM＋CN＝7.5cm.所以线
段MN的长为7.5cm.
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（2） 若C为线段AB上任意一点，且AC＝acm，BC＝bcm，用含a，
b的代数式表示线段MN的长.
解：（2） 因为M，N分别是线段AC，BC的中点，所以MC＝ AC
＝ acm，CN＝ BC＝ bcm.所以MN＝CM＋CN＝ a＋ b＝
（cm）.所以线段MN的长为 cm.
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（3） 若点C在线段AB的延长线上，且AB＞BC，AC＝acm，BC＝
bcm，请画出图形，并用含a，b的代数式表示线段MN的长.
解：（3） 画出图形如图所示.当点C在线段AB的延长线上时，AB＞BC. 因为M，N分别是线段AC，BC的中点，所以MC＝ AC＝ acm，CN＝ BC＝ bcm.所以MN＝M－CN＝ a－ b＝ （cm）.所以线段MN的长为 cm.
（第13题答案）
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