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第1课时　函数的概念
第三章　函数
3.1　函数的概念与性质
3.1.1　函数及其表示方法
学习任务 1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(数学抽象)
2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(数学抽象、数学运算)
必备知识·情境导学探新知
通过即时聊天工具，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等；通过即时聊天工具，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在即时聊天工具成了我们生活不可缺少的一部分．大部分学生都有即时聊天工具的账号，这样账号与学生之间就有对应关系，即账号(可能不止一个)对应唯一一位同学．在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个)，那么这种对应关系在数学中叫什么呢？
知识点1　函数的概念
定义 给定两个__________A与B，以及对应关系f ，如果对于集合A中的______实数x，在集合B中都有____确定的实数y与x对应，则称f 为定义在集合A上的一个函数，记作：y＝f (x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量
三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A
定义域 自变量x的取值的范围 (即非空实数集A)
值域 所有函数值组成的集合{y|y＝f (x)，x∈A}
非空实数集
每一个
唯一
思考　1．在函数的概念中，如果函数y＝f (x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
[提示]　确定．
思考　2．函数f (x)与f (a)(a是常数)有何区别与联系？
[提示]　(1) f (a)表示当x＝a时函数f (x)的值，是一个常量．
(2) f (x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量．
(3) f (a)是f (x)的所有取值中的一个．
提醒　对对应关系f 的理解
(1)y＝f (x)不是表示“y等于f 与x的乘积”，而是表示“y是x的函数”，其中x是自变量．
(2) f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象、表格．
(3)在研究两个或多个函数时，除用符号f (x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
知识点2　同一个函数
一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域____，对应关系也____(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
相同
相同
提醒　(1)两个函数是不是同一个函数，与函数用什么字母表示无关，例如，函数y＝f (x)＝x2，x∈A与函数u＝f (t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．
(2) f (x)＝x2和f (x－1)＝x2由于对应关系f 所施加的对象不同(前者为x，后者为x－1)，因此两者不是同一个函数．
(3)即使两个函数的定义域和值域都分别相同，它们也不一定是同一个函数．如函数f (x)＝x2，x∈[0，2]和函数g(x)＝2x，x∈[0，2]．
学习效果·课堂评估夯基础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个集合都可以建立函数关系． (　　)
[提示]　集合A，B应为非空数集．
[提示]　符合函数的定义．
√
×
(2)集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y． (　　)
(3)函数的值域即为集合B． (　　)
[提示]　值域是集合B的子集．
[提示]　x∈ ，不是函数．
[提示]　两个函数的定义域不同．
(5)函数f (x)＝x2，x∈[0，2]与h(x)＝x2，x∈(0，2)表示同一个函数．
(　　)
×
×
×
(－∞，0)∪(0，1]
关键能力·合作探究释疑难
类型1　函数的判断
【例1】　(1)(多选)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)
A　　　　　　B　　　　　C　　　　　　D
√
√
(2)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为f (x)＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有(　　)
A．7个 B．8个　　　
C．9个　　　 D．无数个
√
(3)在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是(　　)
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，f 为“除以3”；
②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，f 为“求3x的平方根”；
③A＝R，B＝R，f 为“求平方”；
④A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，f 为“乘以0”．
A．①④ B．②③④
C．②③ D．③④
√
(1)BC　(2)C　(3)D　[(1)对于A，由图象可知，函数的定义域为[0，1]，而集合M＝{x|0≤x≤2}，不符合题意；
对于B，由图象可知，函数的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，满足函数的定义，故正确；
对于C，由图象可知，函数的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，满足函数的定义，故正确；
对于D，由图象可知，图形中一个x(除0外)有两个y值与之相对应，不满足函数的定义，故不正确．
(2)因为函数的值域为{1，4}，所以其定义域由1，－1，2，－2组成，因此有{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9种情况．
(3)①在对应关系f 下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f 下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③④符合函数的定义．]
反思领悟　函数的判断
(1)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
(2)判断一个对应关系是否为函数的方法
√
2．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　)
A　　　　 B　　　 　C　　　 　D
C　[由函数的定义知选C．]
√
[解]　(1)因为f (x)的定义域是R，g(x)的定义域是[0，＋∞)，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数．
(2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数．
(3)因为f (x)的定义域是{x|x≠－1}，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数．
(4) f (x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数．
反思领悟　判断两个函数是否为同一个函数的步骤
发现规律　求函数定义域的常用方法
(1)若f (x)是分式，则应考虑使分母______．
(2)若f (x)是二次根式，则被开方数____________．
(3)若f (x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分有意义的x取值集合的____．
(4)若f (x)是实际问题的解析式，则应使实际问题有意义．
不为零
大于或等于零
交集
(5)复合函数定义域的求法：
①已知f (x)的定义域为A，求f (g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A，求x的范围；
②已知f (g(x))的定义域为A，求f (x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g(x)的范围，此范围就是f (x)的定义域．
提醒：复合函数定义域的求解原则：同在对应法则f 下的范围相同，即f (t)，f (φ(x))，f (h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)的范围相同．
[0，4]
(1，2)


反思领悟　1．求函数值的方法的两种类型
(1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值．
(2)求f (g(a))的值应遵循由内向外的原则．
2．求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．
16
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
1．下列说法正确的是(　　)
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是非空的数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
C　[由函数的定义知，函数的定义域、值域为非空的数集．]
√
2
3
题号
4
1
√
D　[在选项D中，x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图象．]
2．下列图象中不能表示函数的图象的是(　　)
A　　　 　B　　　 　C　　　　D
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
26
[提示]　(1)y＝f (x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f 是对应关系(可以是解析式、图象、表格或文字描述等)．
(2)函数符号f (x)表示的对应关系与字母f 无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对函数概念你是怎样理解的？
[提示]　函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应关系是否完全一致，与用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是没有关系的，定义域和对应关系完全一致的两个函数才算同一个函数．
2．怎样判断两个函数是同一个函数？
[提示]　对应关系f 是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当f (　　)的括号内输入自变量x的一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值，如f (x)＝3x＋5，f 表示“自变量x的3倍加上5”，若x＝4，则f (4)＝3×4＋5＝17．需要注意的是：这里的“x”既可以是一个数，也可以是一个代数式，还可以是某个函数符号，如f (x)＝3x＋5，则f (2x－1)＝3(2x－1)＋5，f (φ(x))＝3φ(x)＋5等．
3．怎样理解对应关系“f ”的含义？
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函数概念的形成与发展
17世纪是工业生产和科学技术飞速发展的时代．天文学、航海业及机械工业的发展，促进了数学的进一步研究与发展．当时人们把函数理解为变化的数量关系，把曲线理解为几何形象．法国哲学家、数学家笛卡儿(R．Descartes，1596－1650)引入了坐标系，创立了解析几何．他把几何问题转化为代数问题．对此，恩格斯给予了很高的评价，他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学．”
英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿(I．Newton，1643－1727)，以流数来定义描述连续量——流量(fluxion)的变化率，用以表示变量之间的关系．因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那个时代函数的概念．
函数(function)一词首先是由德国哲学家莱布尼茨(G．W．Leibniz，1646－1716)引入的．他用函数一词来表示一个随着曲线上的点的变动而变动的量，并引入了常量、变量、参变量等概念．瑞士数学家欧拉(L．Euler，1707－1783)于1734年引入了函数符号f (x)，并称变量的函数是一个解析表达式，认为函数是一个公式确定的数量关系．他于1775年在《微分学》中写道：“如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面的变量也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数．”
直到1837年，德国数学家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805－1859)放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和运算组成的表达式的观点，提出了y＝f (x)是x与y之间的一种对应的现代数学观点．在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷关于函数的定义沿用至今，他抓住了函数概念的本质——“对应规律”，摆脱了隐于这一概念之中的有关时间、运动等其他非本质的因素．
1859年我国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家李善兰(1811－1882)第一次将“function”译成函数，这一名词一直沿用至今．
综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的．
你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？3.1　函数的概念与性质
3.1.1　函数及其表示方法
第1课时　函数的概念
学习任务 1．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(数学抽象) 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(数学抽象、数学运算)
通过即时聊天工具，我们可以结交很多全国各地的新朋友，可以与远方的亲朋好友面对面交流，可以传送文件，还可以通过聊天练习打字、学会上网等；通过即时聊天工具，我们开心的时候可以找人分享，不开心的时候可以找人倾诉，所以说现在即时聊天工具成了我们生活不可缺少的一部分．大部分学生都有即时聊天工具的账号，这样账号与学生之间就有对应关系，即账号(可能不止一个)对应唯一一位同学．在数学领域也有类似的对应问题，即实数x(可能不止一个)对应实数y(唯一一个)，那么这种对应关系在数学中叫什么呢？
知识点1　函数的概念
定义 给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f ，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f 为定义在集合A上的一个函数，记作：y＝f (x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量
三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A
定义域 自变量x的取值的范围 (即非空实数集A)
值域 所有函数值组成的集合{y|y＝f (x)，x∈A}
1．在函数的概念中，如果函数y＝f (x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？
[提示]　确定．
2．函数f (x)与f (a)(a是常数)有何区别与联系？
[提示]　(1)f (a)表示当x＝a时函数f (x)的值，是一个常量．
(2)f (x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量．
(3)f (a)是f (x)的所有取值中的一个．
对对应关系f 的理解
(1)y＝f (x)不是表示“y等于f 与x的乘积”，而是表示“y是x的函数”，其中x是自变量．
(2)f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象、表格．
(3)在研究两个或多个函数时，除用符号f (x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
知识点2　同一个函数
一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
(1)两个函数是不是同一个函数，与函数用什么字母表示无关，例如，函数y＝f (x)＝x2，x∈A与函数u＝f (t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．
(2)f (x)＝x2和f (x－1)＝x2由于对应关系f 所施加的对象不同(前者为x，后者为x－1)，因此两者不是同一个函数．
(3)即使两个函数的定义域和值域都分别相同，它们也不一定是同一个函数．如函数f (x)＝x2，x∈[0，2]和函数g(x)＝2x，x∈[0，2]．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个集合都可以建立函数关系． (　　)
(2)集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y． (　　)
(3)函数的值域即为集合B． (　　)
(4)y＝是函数． (　　)
(5)函数f (x)＝x2，x∈[0，2]与h(x)＝x2，x∈(0，2)表示同一个函数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
[提示]　(1)集合A，B应为非空数集．
(2)符合函数的定义．
(3)值域是集合B的子集．
(4)x∈ ，不是函数．
(5)两个函数的定义域不同．
2．函数f (x)＝的定义域为________．
(－∞，0)∪(0，1]　[要使函数有意义，
则解得x≤1且x≠0，
即函数的定义域为(－∞，0)∪(0，1]．]
3．若f (x)＝，则f (3)＝________．
－　[f (3)＝＝－．]
类型1　函数的判断
【例1】　(1)(多选)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
(2)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为f (x)＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有(　　)
A．7个 B．8个　　　
C．9个　　　 D．无数个
(3)在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是(　　)
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，f 为“除以3”；
②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，f 为“求3x的平方根”；
③A＝R，B＝R，f 为“求平方”；
④A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，f 为“乘以0”．
A．①④ B．②③④
C．②③ D．③④
(1)BC　(2)C　(3)D　[(1)对于A，由图象可知，函数的定义域为[0，1]，而集合M＝{x|0≤x≤2}，不符合题意；
对于B，由图象可知，函数的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，满足函数的定义，故正确；
对于C，由图象可知，函数的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，满足函数的定义，故正确；
对于D，由图象可知，图形中一个x(除0外)有两个y值与之相对应，不满足函数的定义，故不正确．
(2)因为函数的值域为{1，4}，所以其定义域由1，－1，2，－2组成，因此有{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9种情况．
(3)①在对应关系f 下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f 下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③④符合函数的定义．]
　函数的判断
(1)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
(2)判断一个对应关系是否为函数的方法
[跟进训练]
1．下列对应关系中是A到B的函数的是(　　)
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图
C．A＝R，B＝R，f ：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝
B　[A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对x∈A，y值可能不存在也可能不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．]
2．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
C　[由函数的定义知选C．]
类型2　同一个函数的判断
【例2】　(源自北师大版教材)下列各组中的两个函数是否为同一个函数？
(1)f (x)＝，g(x)＝()2；
(2)f (x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；
(3)f (x)＝，g(x)＝x－1；
(4)f (x)＝x＋，g(t)＝t＋．
[解]　(1)因为f (x)的定义域是R，g(x)的定义域是[0，＋∞)，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数．
(2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数．
(3)因为f (x)的定义域是{x|x≠－1}，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数．
(4)f (x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数．
　判断两个函数是否为同一个函数的步骤
[跟进训练]
3．下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？
(1)f (x)＝|x|，φ(t)＝；
(2)y＝·，y＝；
(3)y＝，y＝x－3．
[解]　(1)f (x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f (x)与φ(t)的对应关系也相同，∴f (x)与φ(t)是同一个函数．
(2)y＝·的定义域为{x|－1≤x≤1}，y＝的定义域为{x|－1≤x≤1}，即两者定义域相同．又∵y＝·＝，∴两函数的对应关系也相同．故y＝·与y＝是同一个函数．
(3)∵y＝＝|x－3|与y＝x－3的定义域相同，但对应关系不同，
∴y＝与y＝x－3不是同一个函数．
类型3　求函数的定义域
【例3】　求下列函数的定义域：
(1)f (x)＝·＋2；
(2)y＝；
(3)已知f (x＋1)的定义域为(2，4)．
①求f (x)的定义域；②求f (2x)的定义域．
[解]　(1)要使此函数有意义，应满足
解得1≤x≤4，所以此函数的定义域是[1，4]．
(2)因为00无意义，所以x＋1≠0，即x≠－1．①
作为分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负，所以|x|－x>0，即x＜0．②
由①②可得函数y＝的定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)．
(3)①∵f (x＋1)的定义域为(2，4)，
∴2②∵f (x)的定义域为(3，5)，
∴由3<2x<5得即f (2x)的定义域为．
　求函数定义域的常用方法
(1)若f (x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f (x)是二次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f (x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分有意义的x取值集合的交集．
(4)若f (x)是实际问题的解析式，则应使实际问题有意义．
(5)复合函数定义域的求法：
①已知f (x)的定义域为A，求f (g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A，求x的范围；
②已知f (g(x))的定义域为A，求f (x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g(x)的范围，此范围就是f (x)的定义域．
提醒：复合函数定义域的求解原则：同在对应法则f 下的范围相同，即f (t)，f (φ(x))，f (h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)的范围相同．
[跟进训练]
4．(1)已知函数y＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
(2)已知函数f (x)的定义域为(1，3)，则函数g(x)＝的定义域为________．
(1)[0，4]　(2)(1，2)　[(1)当a＝0时，1≥0恒成立，所以a＝0符合题意；
当a≠0时，由题意知解得0综上，a的取值范围为[0，4]．
(2)依题意，解得1类型4　求函数值(值域)
【例4】　(1)已知f (x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f (2)＝________，f (g(2))＝________．
(2)求下列函数的值域：
①y＝；
②y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
③y＝；
④y＝2x－．
(1)　[∵f (x)＝，∴f (2)＝＝．又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f (g(2))＝f (6)＝＝．]
(2)[解]　①(利用不等式性质)因为x2＋2≥2，
所以0<，所以y＝的值域为．
②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①)，可得函数的值域为[2，6)．
图①
③(分离常数法)y＝＝＝3－．
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
④(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，
所以y＝2(t2＋1)－t＝＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图②)，可得函数的值域为．
图②
　1．求函数值的方法的两种类型
(1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值．
(2)求f (g(a))的值应遵循由内向外的原则．
2．求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．
(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域．
(3)分离常数法：将形如y＝(a≠0)的函数分离常数，变形过程为＝＝，再结合x的范围确定的范围，从而确定函数的值域．
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法．
(5)图象法：利用函数图象的直观性求函数值域的方法．
[跟进训练]
5．已知函数f (x)＝－1，且f (a)＝3，则a＝________．
16　[因为f (x)＝－1，
所以f (a)＝－1．
又因为f (a)＝3，
所以－1＝3，a＝16．]
6．求下列函数的值域：
(1)y＝＋1；(2)y＝．
[解]　(1)因为≥0，
所以＋1≥1，
即所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)因为y＝＝－1＋，
又函数的定义域为R，
所以x2＋1≥1，
所以0<≤2，则y∈(－1，1]．
所以所求函数的值域为(－1，1]．
1．下列说法正确的是(　　)
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是非空的数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
C　[由函数的定义知，函数的定义域、值域为非空的数集．]
2．下列图象中不能表示函数的图象的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
D　[在选项D中，x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数的图象．]
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．{x|x≤1}　　　 B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
D　[由题意可知
解得0≤x≤1．]
4．已知函数f (x)＝．若f (a)＝5，则实数a＝________．
26　[∵f (a)＝5，即＝5，
∴a－1＝25，
∴a＝26．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．对函数概念你是怎样理解的？
[提示]　(1)y＝f (x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f 与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f 是对应关系(可以是解析式、图象、表格或文字描述等)．
(2)函数符号f (x)表示的对应关系与字母f 无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示．
(3)函数的定义域必须是非空数集，因此定义域为空集的函数不存在．如y＝就不是函数．
(4)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．
(5)f (a)表示当x＝a时函数f (x)的值，是一个常量，而f (x)是自变量x的函数，表示的是变量．
2．怎样判断两个函数是同一个函数？
[提示]　函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应关系是否完全一致，与用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是没有关系的，定义域和对应关系完全一致的两个函数才算同一个函数．
3．怎样理解对应关系“f ”的含义？
[提示]　对应关系f 是函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当f (　　)的括号内输入自变量x的一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值，如f (x)＝3x＋5，f 表示“自变量x的3倍加上5”，若x＝4，则f (4)＝3×4＋5＝17．需要注意的是：这里的“x”既可以是一个数，也可以是一个代数式，还可以是某个函数符号，如f (x)＝3x＋5，则f (2x－1)＝3(2x－1)＋5，f (φ(x))＝3φ(x)＋5等．
函数概念的形成与发展
17世纪是工业生产和科学技术飞速发展的时代．天文学、航海业及机械工业的发展，促进了数学的进一步研究与发展．当时人们把函数理解为变化的数量关系，把曲线理解为几何形象．法国哲学家、数学家笛卡儿(R．Descartes，1596－1650)引入了坐标系，创立了解析几何．他把几何问题转化为代数问题．对此，恩格斯给予了很高的评价，他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学．”
英国数学家、物理学家、自然哲学家牛顿(I．Newton，1643－1727)，以流数来定义描述连续量——流量(fluxion)的变化率，用以表示变量之间的关系．因此曲线是当时研究考察的主要模型，这是那个时代函数的概念．
函数(function)一词首先是由德国哲学家莱布尼茨(G．W．Leibniz，1646－1716)引入的．他用函数一词来表示一个随着曲线上的点的变动而变动的量，并引入了常量、变量、参变量等概念．瑞士数学家欧拉(L．Euler，1707－1783)于1734年引入了函数符号f (x)，并称变量的函数是一个解析表达式，认为函数是一个公式确定的数量关系．他于1775年在《微分学》中写道：“如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面的变量也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数．”
直到1837年，德国数学家狄利克雷(P．G．L．Dirichlet，1805－1859)放弃了当时普遍接受的函数是用数学符号和运算组成的表达式的观点，提出了y＝f (x)是x与y之间的一种对应的现代数学观点．在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷关于函数的定义沿用至今，他抓住了函数概念的本质——“对应规律”，摆脱了隐于这一概念之中的有关时间、运动等其他非本质的因素．
1859年我国清代数学家、天文学家、翻译家和教育家李善兰(1811－1882)第一次将“function”译成函数，这一名词一直沿用至今．
综上所述可知，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的．
你能以函数概念的发展为背景，谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗？
课时分层作业(十八)　函数的概念
一、选择题
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．函数值域中的每一个值都有定义域中的至少一个值与它对应
B．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集
C．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了
D．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
ACD　[根据函数的概念可判断，A，C，D是正确的．对于B，如函数y＝1，值域是{1}，是有限集．]
2．(多选)下列各图是函数图象的是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
BD　[根据函数的定义可知，定义域内的每一个x只有一个y和它对应，满足条件的只有BD．]
3．已知集合A＝{x|y＝x－1}，B＝{y|y＝x2－1}，则A∩B＝(　　)
A． 　　　　　　　 B．{(0，－1)，(1，0)}
C．[－1，＋∞) D．{0，1}
C　[A＝{x|y＝x－1}，所以A＝R，由y＝x2－1≥－1，得B＝{y|y＝x2－1}＝[－1，＋∞)，
则A∩B＝[－1，＋∞)．]
4．与函数y＝为同一函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝－x
C．y＝－ D．y＝x2
B　[函数y＝的定义域为(－∞，0]，而y＝－的定义域为[0，＋∞)，y＝x2的定义域为(－∞，0)，因而排除C、D．又y＝x中，x≤0，∴y≤0，即值域为(－∞，0]，这与函数y＝的值域不同，∴排除A．故选B．]
5．f (x)的定义域A＝{x∈Z|0≤x≤3}，则f (x)＝＋6x的值域为(　　)
A． B．
C． D．{0，4}
D　[因为定义域A＝{x∈Z|0≤x≤3}＝{0，1，2，3}，所以f (0)＝f (3)＝0，f (1)＝f (2)＝4，故f (x)的值域为{0，4}．]
二、填空题
6．试写出一个与函数y＝x2定义域和值域都相同的函数，其解析式可以为________．
y＝(x＋1)2(答案不唯一)　[y＝x2的定义域、值域均为R，写出的函数其定义域、值域均为R的都可以．]
7．已知函数f (x)＝，又知f (t)＝6，则t＝________．
－　[由f (t)＝6，得＝6，即t＝－．]
8．函数y＝的值域是________．
(0，8]　[通过配方可得函数y＝
＝，∵(x－2)2＋1≥1，
∴0＜≤8，故0＜y≤8．
故函数y＝的值域为(0，8]．]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝．
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)求f (－1)，f (12)的值．
[解]　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，所以x≥－4且x≠1，即函数f (x)的定义域为[－4，1)∪(1，＋∞)．
(2)f (－1)＝＝－3－，
f (12)＝＝－4＝－．
10．(多选)记无理数e＝2.718 281 828 459 045…小数点后第n位上的数字为m，则m是关于n的函数，记作m＝f (n)，其定义域为A，值域为B，则(　　)
A．f (5)＝8
B．函数f (n)的图象是一群孤立的点
C．n是关于m的函数
D．B A
AB　[根据函数的定义可知，定义域A＝N*，
对应关系：数位n对应数字7，1，8，2，8，1，8，2，8，…，
f (5)＝8，函数f (n)的图象是一群孤立的点，故A，B正确；
对于C，n不是关于m的函数，如m＝8时，n可能为3，5，7，9，不符合函数的定义，故C错误；因为0∈B，0 A，所以D错误．故选AB．]
11．(多选)给定集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成定义在集合M上的函数的是(　　)
A．“求倒数” B．“加上1”
C．“求绝对值” D．“求平方”
CD　[在A中，y＝，
当x＝－1时，y＝＝－1 N，错误；
在B中，y＝x＋1，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，错误；
在C中，y＝|x|，满足函数定义，正确；
在D中，y＝x2满足函数定义，正确．]
12．已知函数y＝f (x＋1)的定义域为[1，2]，则函数y＝f (2x－1)的定义域为________．
　[∵函数y＝f (x＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，可得2≤x＋1≤3，
∴函数y＝f (x)的定义域为[2，3]，令2≤2x－1≤3，解得≤x≤2，
故函数y＝f (2x－1)的定义域为．]
13．函数f (x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f (x) 1 3 1
　
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f (g(1))的值为________；满足f (g(x))>g(f (x))的x的值是________．
1　2　[∵g(1)＝3，f (3)＝1，
∴f (g(1))＝1．
当x＝1时，f (g(1))＝f (3)＝1，
g(f (1))＝g(1)＝3，
f (g(x))当x＝2时，f (g(2))＝f (2)＝3，
g(f (2))＝g(3)＝1，
f (g(x))>g(f (x))，符合题意；
当x＝3时，f (g(3))＝f (1)＝1，
g(f (3))＝g(1)＝3，
f (g(x))故满足f (g(x))＞g(f (x))的x的值为2．]
14．已知f (x)＝2x－1，g(x)＝．
(1)求f (x＋1)，g，f (g(x))；
(2)写出函数f (x)与g(x)的定义域和值域．
[解]　(1)f (x)＝2x－1，g(x)＝，
可得f (x＋1)＝2(x＋1)－1＝2x＋1，
g＝＝；
f (g(x))＝2g(x)－1＝＝．
(2)函数f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)，由x2≥0，1＋x2≥1，0<≤1，可得函数g(x)的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，1]．
15．已知函数f (x)＝．
(1)求f (2)与f ，f (3)与f ．
(2)由(1)中求得结果，你能发现f (x)与f 有什么关系？证明你的发现．
(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 024)＋f ＋f ＋…＋f 的值．
[解]　(1)∵f (x)＝，
∴f (2)＝＝，
f ＝＝，
f (3)＝＝，
f ＝＝．
(2)由(1)发现f (x)＋f ＝1．证明如下：
f (x)＋f ＝＝＝1．
(3)f (1)＝＝，
由(2)知f (2) ＋ f ＝1，
f (3)＋f ＝1，…，
f (2 024) ＋ f ＝1，
∴原式＝＋1＋…＋1＝＋1×2 023＝．
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