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第2课时　函数的表示方法
第三章　函数
3.1　函数的概念与性质
3.1.1　函数及其表示方法
学习任务 1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．
(数学抽象)
2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(数学抽象)
3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(直观想象、数学运算)
4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(数学建模)
必备知识·情境导学探新知
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．
(2)如下图是某中学升学率的变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
问题　根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么方法表示函数的．
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
知识点1　函数的表示方法
代数式(或解析式)
图象
表格
提醒　对3种表示法的说明
解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域
列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性
图象法 图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点
思考　1．任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？
知识点2　用集合语言对函数的图象进行描述
(1)定义：将函数y＝f (x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即F＝{(x，y)|y＝f (x)，x∈A}．
(2)F是函数y＝f (x)的图象，必须满足下列两条：
①图象上________的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f (x)；
②满足函数关系y＝f (x)的点(x，y)都在______________．
任意一点
函数的图象F上
知识点3　分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同________，有不同的________，则称其为分段函数．
[提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数．
取值区间
对应方式
思考　2．分段函数是一个函数还是几个函数？
提醒　分段函数的定义域、值域和图象
(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集．
(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．
(3)图象：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．
2
3
题号
4
1
×
2
3
题号
4
1
(2)函数y＝|x|不是分段函数． (　　)
×
[提示]　常数函数的图象是垂直于y轴的直线．
×
(3)常数函数的图象是垂直于x轴的直线． (　　)
2
3
题号
4
1
1　[由题设给出的表知f (3)＝4，则f ( f (3))＝f (4)＝1．]
2．已知函数f (x)由下表给出，则f ( f (3))＝________．
x 1 2 3 4
f (x) 3 2 4 1
1
2
3
题号
4
1

2
3
题号
4
1
1　3　[由f (x)的表格可得f (2)＝2，则由函数图象可知g( f (2))＝g(2)＝1，由函数图象可知g(2)＝1，由表格可知f (1)＝3，故f (g(2))＝3．]
4．已知函数y＝f (x)的对应关系如表所示，
x 1 2 3
f (x) 3 2 1
函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则g( f (2))的值为______，f (g(2))的值为________．
1
3
关键能力·合作探究释疑难
类型1　函数的3种表示方法
【例1】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解]　①列表法如下：
x(台) 1 2 3 4 5
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x(台) 6 7 8 9 10
y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图象法如图所示：
③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
反思领悟　1．函数的3种表示法的选择
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．
2．用3种方法表示函数时要注意的问题
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
[跟进训练]
1．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f (x)的图象的形状大致是(　　)
A　　　　　　　B 　　　　　C　　　　　　　D
√
类型2　函数解析式的求法
考向1　待定系数法求函数解析式
【例2】　(1)已知f (x)是一次函数，且满足2f (x＋3)－f (x－2)＝2x＋21，求f (x)的解析式．
(2)已知f (x)为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x－1)－f (x)＝4x，求f (x)的解析式．
[解]　(1)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
则2f (x＋3)－f (x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，
所以f (x)＝2x＋5．
(2)因为f (x)为二次函数，设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f (0)＝1，得c＝1．
又因为f (x－1)－f (x)＝4x，
所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，
求得a＝－2，b＝－2，
所以f (x)＝－2x2－2x＋1．
x2－4x＋3(x≥1)
√
f (x)＝2x＋2或f (x)＝－2x－6
[解]　(1)f (－4)＝－4＋2＝－2，
f (3)＝2×3＝6，f (－2)＝－2＋2＝0，
f ( f (－2))＝f (0)＝02＝0．
反思领悟　分段函数问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验．
(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．
√
x 2 3 4 5 …
y 1 …
反思领悟　描点法作函数图象的3个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
提醒：(1)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
(2)分段函数的图象是在同一个直角坐标系内分别作出各段的图象，在作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
学习效果·课堂评估夯基础
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
√
A　[令x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f (t)＝3(t－1)＋2＝3t－1．
∴f (x)＝3x－1．]
2．已知函数f (x＋1)＝3x＋2，则f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3x－1 B．f (x)＝3x＋1
C．f (x)＝3x＋2 D．f (x)＝3x＋4
2
3
题号
4
1

2
3
题号
4
1
4．函数y＝f (x)的图象如图所示，则其解析式为
_______________________．
[提示]　解析法、列表法、图象法．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数的三种表示方法是什么？
[提示]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．
(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．
2．你是怎样理解分段函数的？
[提示]　待定系数法、换元法、配凑法、消元法、解方程组等方法．
3．求函数的解析式有哪些常用方法？第2课时　函数的表示方法
学习任务 1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(数学抽象) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(数学抽象) 3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(直观想象、数学运算) 4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(数学建模)
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．
(2)如下图是某中学升学率的变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 50 100 200 300 500
氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
问题　根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么方法表示函数的．
知识点1　函数的表示方法
对3种表示法的说明
解析法 利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域
列表法 采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性
图象法 图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点
1．任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？
[提示]　不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
知识点2　用集合语言对函数的图象进行描述
(1)定义：将函数y＝f (x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图象，即F＝{(x，y)|y＝f (x)，x∈A}．
(2)F是函数y＝f (x)的图象，必须满足下列两条：
①图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f (x)；
②满足函数关系y＝f (x)的点(x，y)都在函数的图象F上．
知识点3　分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
2．分段函数是一个函数还是几个函数？
[提示]　分段函数是一个函数，而不是几个函数．
分段函数的定义域、值域和图象
(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集．
(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．
(3)图象：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数y＝的定义域为(－∞，1]． (　　)
(2)函数y＝|x|不是分段函数． (　　)
(3)常数函数的图象是垂直于x轴的直线． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
[提示]　(1)分段函数y＝的定义域为(－∞，1]∪(1，＋∞)＝R．
(2)函数y＝|x|＝是分段函数．
(3)常数函数的图象是垂直于y轴的直线．
2．已知函数f (x)由下表给出，则f (f (3))＝________．
x 1 2 3 4
f (x) 3 2 4 1
1　[由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1．]
3．(2024·上海卷)已知函数f (x)＝，则f (3)＝________．
　[因为3>0，所以f (3)＝.]
4．已知函数y＝f (x)的对应关系如表所示，
x 1 2 3
f (x) 3 2 1
函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则g(f (2))的值为______，f (g(2))的值为________．
1　3　[由f (x)的表格可得f (2)＝2，则由函数图象可知g(f (2))＝g(2)＝1，由函数图象可知g(2)＝1，由表格可知f (1)＝3，故f (g(2))＝3．]
类型1　函数的3种表示方法
【例1】　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解]　①列表法如下：
x(台) 1 2 3 4 5
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x(台) 6 7 8 9 10
y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
②图象法如图所示：
③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．
　1．函数的3种表示法的选择
解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．
2．用3种方法表示函数时要注意的问题
(1)解析法必须注明函数的定义域．
(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系．
(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．
[跟进训练]
1．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f (x)的图象的形状大致是(　　)
A　　　 　　　　　　B
C　　　 　　　　　　D
A　[当点P在AB上时：y＝×x×1＝x，0≤x≤1．
当点P在BC上时：y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM
＝AB2－AD·DM－AB·BP－CP·CM
＝12－×1××1×(x－1)－×(2－x)×＝－x＋，1当点P在CM上时：y＝×1＝－x＋，2由条件可知函数y＝f (x)的图象由三段构成，结合一次函数的图象可知选项A正确．]
类型2　函数解析式的求法
　待定系数法求函数解析式
【例2】　(1)已知f (x)是一次函数，且满足2f (x＋3)－f (x－2)＝2x＋21，求f (x)的解析式．
(2)已知f (x)为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x－1)－f (x)＝4x，求f (x)的解析式．
[解]　(1)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
则2f (x＋3)－f (x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，
所以f (x)＝2x＋5．
(2)因为f (x)为二次函数，设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f (0)＝1，得c＝1．
又因为f (x－1)－f (x)＝4x，
所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，
求得a＝－2，b＝－2，
所以f (x)＝－2x2－2x＋1．
　换元法(或配凑法)求函数解析式
【例3】　已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________．
x2－4x＋3(x≥1)　[(法一：换元法)令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(法二：配凑法)f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因为＋1≥1，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．]
　方程组法求函数解析式
【例4】　(1)已知函数f (x)对于任意的x都有f (x)－2f (－x)＝1＋2x，则f (x)＝________．
(2)已知函数f (x) 满足f (x)＋2f ＝x(x≠0)，则f (x)＝________．
(1)x－1　(2)(x≠0)　[(1)由题意，在f (x)－2f (－x)＝1＋2x中，以－x代替x，可得f (－x)－2f (x)＝1－2x，
联立可得 消去f (－x)，
可得f (x)＝x－1．
(2)f (x)＋2f ＝x(x≠0)，
以代替x，
得f ＋2f (x)＝．
联立
解得f (x)＝(x≠0)．]
　函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)，可用待定系数法．
(2)换元法：已知函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)解方程组法：已知f (x)与f ，f (－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x)．
[跟进训练]
2．(1)若f (－1)＝x＋＋1，则f (x)的解析式为(　　)
A．f (x)＝x2＋x＋1(x≥－1)
B．f (x)＝x2－1(x≥－1)
C．f (x)＝x2＋3x＋3(x≥－1)
D．f (x)＝(x－1)2(x≥－1)
(2)已知函数f (x)满足f (x)＋2f ＝3x，函数解析式为f (x)＝________．
(3)已知一次函数f (x)满足f (f (x))＝4x＋6，则f (x)的解析式为________．
(1)C　(2)－x(x≠0)　(3)f (x)＝2x＋2或f (x)＝－2x－6　[(1)已知f (－1)＝x＋＋1，
令t＝－1≥－1，则＝t＋1，x＝(t＋1)2，
所以f (t)＝(t＋1)2＋t＋1＋1＝t2＋3t＋3(t≥－1)，
所以f (x)＝x2＋3x＋3(x≥－1)．
(2)由f (x)＋2f ＝3x可得f ＋2f (x)＝，
解得f (x)＝－x(x≠0)．
(3)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，于是有解得或
所以f (x)＝2x＋2或f (x)＝－2x－6．]
类型3　分段函数及其应用
【例5】　已知函数f (x)＝
(1)求f (－4)，f (3)，f (f (－2))；
(2)若f (a)＝10，求a的值；
(3)求f (x＋1)．
[解]　(1)f (－4)＝－4＋2＝－2，
f (3)＝2×3＝6，f (－2)＝－2＋2＝0，
f (f (－2))＝f (0)＝02＝0．
(2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意；
当－1可得a＝±，不符合题意；
当a≥2时，2a＝10，可得a＝5，符合题意．
综上可知，a＝5．
(3)当x＋1≤－1，即x≤－2时，
f (x＋1)＝x＋1＋2＝x＋3；
当－1当x＋1≥2，即x≥1时，f (x＋1)＝2(x＋1)＝2x＋2．
综上可知，f (x＋1)＝
　分段函数问题的常见解法
(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验．
(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．
[跟进训练]
3．设f (x)＝若f (a)＝f (a＋2)，则f ＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
B　[若0＜a＜2，则a＋2＞2，
由f (a)＝f (a＋2)，得＝2(a＋2)－4，
解得a＝或a＝0(舍去)，
所以f ＝f (4)＝2×4－4＝4．
若a≥2，由f (a)＝f (a＋2)，
得2a－4＝2(a＋2)－4，无解．
综上，f ＝4，故选B．]
类型4　函数的图象及应用
【例6】　(1)作出函数y＝，x∈[2，＋∞)的图象并求出其值域．
(2)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
①5公里以内(含5公里)，票价2元；
②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
[解]　(1)列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]．
(2)设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20]．
由题意得函数的解析式如下：y＝
函数图象如图所示：
　描点法作函数图象的3个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
提醒：(1)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
(2)分段函数的图象是在同一个直角坐标系内分别作出各段的图象，在作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
[跟进训练]
4．已知函数f (x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f (x)；
(2)画出f (x)的图象；
(3)若f (a)＝2，求实数a的值．
[解]　(1)当0≤x≤2时，f (x)＝1＋＝1，
当－2f (x)＝1＋＝1－x，
∴f (x)＝
(2)函数f (x)的图象如图所示．
(3)∵f (a)＝2，
由函数图象可知a∈(－2，0)，
∴1－a＝2，
即a＝－1．
1．设函数f (x)＝2f ＋1，则f (10)＝(　　)
A．1　 B．－1　　　　
C．10　　　　 D．
B　[由f (x)＝2f ＋1，可得f ＝2f (x)＋1，
联立方程组解得f (x)＝－1，
所以f (10)＝－1．故选B．]
2．已知函数f (x＋1)＝3x＋2，则f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3x－1
B．f (x)＝3x＋1
C．f (x)＝3x＋2
D．f (x)＝3x＋4
A　[令x＋1＝t，则x＝t－1，
∴f (t)＝3(t－1)＋2＝3t－1．
∴f (x)＝3x－1．]
3．函数f (x)＝若f (x)＝3，则x＝________．
　[若x≤－1，由x＋2＝3，得x＝1＞－1(舍去)；若－1＜x＜2，由x2＝3，得x＝±，由于－＜－1(舍去)，故x＝．]
4．函数y＝f (x)的图象如图所示，则其解析式为________．
f (x)＝　[当0≤x≤1时，设f (x)＝kx(k≠0)，又函数过点(1，2)，故k＝2，∴f (x)＝2x；当1当x≥2时，f (x)＝3．
综上，f (x)＝]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．函数的三种表示方法是什么？
[提示]　解析法、列表法、图象法．
2．你是怎样理解分段函数的？
[提示]　(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系．
(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围．
(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集．分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．
(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．
3．求函数的解析式有哪些常用方法？
[提示]　待定系数法、换元法、配凑法、消元法、解方程组等方法．
课时分层作业(十九)　函数的表示方法
一、选择题
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(　　)
　
A　　　　　B　　　　C　 　　　D
A　[因为汽车先启动、再加速、到匀速、最后减速，s随t的变化是先慢、再快、到匀速、最后慢，故A选项比较适合题意．]
2．已知函数f (x)＝则f (3)的值是(　　)
A．1　 B．2　　　　
C．8　　　　 D．9
A　[f (3)＝3－2＝1．故选A．]
3．已知函数f ＝－2，则f (x)的解析式为(　　)
A．f (x)＝x2－2x－1
B．f (x)＝x2－2(x≠0)
C．f (x)＝x2－2x－3(x≠1)
D．f (x)＝x2－2x－1(x≠1)
D　[令t＝，可得x＝(t≠1)．所以f (t)＝(t－1)2－2＝t2－2t－1(t≠1)，
因此f (x)的解析式为f (x)＝x2－2x－1(x≠1)．
故选D．]
4．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以是(　　)
A．f (x)＝x2－1
B．f (x)＝－(x－1)2＋1
C．f (x)＝(x－1)2＋1
D．f (x)＝(x－1)2－1
D　[由题意设f (x)＝a(x－1)2＋b(a>0)，由于点(0，0)在图象上，
所以a＋b＝0，a＝－b，故符合条件的是D．]
5．(多选)已知函数f (x)＝满足f (f (a))＝－1的a的值有(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．－2
AD　[设t＝f (a)，则f (t)＝－1．
若t>0，则－t2＝－1，解得t＝1或t＝－1(舍去)，所以f (a)＝1，当a>0时，－a2＝1，方程无解；当a≤0时，a2＋2a＋1＝1，解得a＝0或a＝－2，满足条件．
若t≤0，则t2＋2t＋1＝－1，即t2＋2t＋2＝0，
Δ＝22－4×2＝－4<0，方程无解．故选AD．]
二、填空题
6．设函数f (x)＝若f (m)＞m，则实数m的取值范围是________．
(－∞，－1)　[由题意，得或
解得m＜－1．]
7．若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．
y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)　[由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0．]
8．下面叙述了两件事：
(1)小张驾车离开旅馆，在加油站加油时发现公文包遗留在旅馆房间里，于是返回旅馆取了公文包再驾车离开．
(2)小张驾车离开旅馆，一路匀速行驶，只在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间．
小张离开旅馆的距离与时间的函数关系可用图象法表示，请在图中选择与事件相吻合的图象．
则(1)与图________吻合，(2)与图________吻合．
[答案]　③　②
三、解答题
9．已知函数f (x)＝
(1)求f (f (f (5)))的值；
(2)画出函数f (x)的图象，观察图象写出此函数的值域；
(3)函数值y取何值时，只有唯一的x值与之对应？
[解]　(1)因为5>4，
所以f (5)＝－5＋2＝－3．
因为－3<0，
所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1．
因为0<1<4，
所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1，
即f (f (f (5)))＝－1．
(2)图象如图所示．
观察图象可知此函数的值域为(－∞，8]．
(3)作直线y＝m，
观察图象可知，当m∈[－2，－1)∪(4，8]时，直线y＝m与函数图象有唯一公共点，所以函数值y取[－2，－1)∪(4，8]内的值时只有唯一的x值与之对应．
10．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．(0，4]　　　 B．
C． D．
C　[因为y＝x2－3x－4＝－，所以对称轴为直线x＝，当x＝时，y＝－．
因为x＝0时，y＝－4，
由二次函数图象可知
解得≤m≤3，所以m的取值范围是．]
11．(多选)以下判断中正确的是(　　)
A．f (x)＝与g(x)＝ 表示同一函数
B．函数y＝f (x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．函数f (x)＝x2＋2＋的最小值为2
D．若f (x)＝|x－1|－|x|，则f ＝1
BD　[A选项，f (x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
而g(x)＝ 定义域为R，故两者不是同一函数，A错误；
B选项，根据函数定义，可知y＝f (x)的图象与直线x＝1可以无交点，也可以有1个交点，故函数y＝f (x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，B正确；
C选项，由均值不等式得f (x)＝x2＋2＋≥2＝2，
当且仅当x2＋2＝时，等号成立，但x2＋2＝无解，故等号取不到，
所以f (x)＝x2＋2＋的最小值不为2，C错误；
D选项，f (x)＝|x－1|－|x|，
则f ＝＝0，
故f ＝f (0)＝|0－1|－|0|＝1，D正确．故选BD．]
12．若函数f (x)满足f (x＋3)＝，则f (x)在[1，＋∞)上的值域为________；若f (f (x))＝，则实数x的值为________．
(1，2]　1　[因为f (x＋3)＝＝1＋，
所以f (x)＝1＋．
当x≥1时，1所以f (x)在[1，＋∞)上的值域为(1，2]，
因为f (f (x))＝，
所以f (x)＝2，
即1＋＝2，
所以x＝1．]
13．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
－　[在同一平面直角坐标系内，
作出直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．
由题意，可知2a＝－1，则a＝－．]
14．(1)已知f (x2＋2)＝x4＋4x2，求f (x)的解析式．
(2)已知f (x)是一次函数，且f (f (x))＝4x－1，求f (x)的解析式．
[解]　(1)因为f (x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，
则f (t)＝t2－4(t≥2)，
所以f (x)＝x2－4(x≥2)．
(2)因为f (x)是一次函数，
设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
则f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b．
又因为f (f (x))＝4x－1，
所以a2x＋ab＋b＝4x－1．
所以解得或
所以f (x)＝2x－或f (x)＝－2x＋1．
15．设函数f (x)＝
(1)请在下列直角坐标系中画出函数f (x)的图象．
(2)根据(1)的图象，试分别写出函数f (x)与函数y＝t的图象有2，3，4个交点时，相应的实数t的取值范围．
(3)记函数g(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使g(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数g(x)图象上的不动点．试问：函数f (x)图象上是否存在不动点？若存在，求出不动点的坐标；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)函数f (x)的图象如图：
(2)根据图象可知当－22时，
f (x)与y＝t有2个交点；
当t＝1或t＝2时，f (x)与y＝t有3个交点；
当1(3)若f (x)图象上存在不动点，
则f (x)＝x有解，则y＝f (x)与y＝x有交点．
由图象可知：
若－1≤x≤2，则－x2＋2＝x，
解得x＝1(舍去x＝－2)，即不动点为(1，1)；
若x>2，则3x－8＝x，
解得x＝4，即不动点为(4，4)．
综上，函数f (x)图象上存在不动点(1，1)，(4，4)．
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