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2.1.1认识有理数
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
有理数 理解并掌握整数、分数和有理数的意义 ★
会比较有理数的大小 ★★
数轴 正确理解数轴的意义；能用数轴上的点表示有理数 ★
会借助数轴比较有理数的大小 ★★
相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求有理数的相反数 ★
掌握相反数的性质 ★★
绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求有理数的绝对值 ★
会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 ★★
倒数 会求有理数的倒数
掌握倒数的性质
注：负倒数课标不作要求.
二、核心纲要
1. 有理数：整数与分数统称有理数.
2. 有理数的分类
注：①小学学过的π不是有理数.
②“四非”：非负数，非负整数，非正数，非正整数.(不要丢掉“0”)
③“0”既不是正数也不是负数.
3. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
4. 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.特别地，0的相反数是0.
5. 绝对值
(1)绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离.数a的绝对值记作|a |.
(2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0.
6.(1)倒数：若a与b的乘积是1，则称a与b互为倒数；反之，若a与b互为倒数，则 ab =1.
注：①0没有倒数；
②求带分数的倒数时要先将其变成假分数，然后再求倒数.
(2)负倒数：若a与b的乘积是--1，则称a与b互为负倒数；反之，若a与b互为负倒数，则ab=-1.
7.比较有理数大小的常用方法
①代数法：正数大于非正数，零大于一切负数.
②数轴法：数轴右边的数比左边的数大.
③绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小.
④特殊值法：给题目中的字母一个特定的值，然后代入求值，进而比较大小.
8.数学思想方法
(1)初步理解分类讨论的思想.
分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结果，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.
(2)体会数形结合思想.
数形结合思想是一种重要的数学方法，数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.本章中的“数”就是有理数，“形”就是数轴，由于任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，就把数和形巧妙的结合起来了，数轴是数形结合常用的工具，运用数形结合思想可解决与数轴有关的各种问题.
本节重点讲解：一个方法(比较大小)，两个思想(分类讨论、数形结合)，六个概念(有理数、数轴、相反数、绝对值、倒数和负倒数).
三、全能突破
1.(1)下列说法中，正确的是( )
A.正数和负数统称为有理数 B.任何有理数均有倒数
C.绝对值相等的两个数相等 D.任何有理数的绝对值一定是非负数
(2)下列语句正确的是( )
A.数轴上的点只表示整数 B.不同的有理数可能用数轴上的同一点表示
C.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 D.有些分数在数轴上不能表示
2.下列各对数中，不是相反数的是( )
A.+(-3)与 -[-(-3)] 与
C.—(—8)与 ——8 | D.-5.2与
3.(1)有下列四个命题：①最大的负整数是--1；②最小的整数是1；③最小的负整数是 ； ④最小的正整数是 1.其中正确的说法有 .
(2)下列数中：15 ， ， ,-5,3. 8,23%,0.420,—I—0.05|,—π 负有理数有 ，分数有 .
4.—a的相反数是2,则a= ;若3m+7与--10互为相反数,则 的相反数是 .
5.数轴上，若点 M、N表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6，则这两点所表示的数为 .
6.绝对值小于 |—4.5|的整数有 ,和为 .
7.已知|x|=3,|y|=2,且x>y,求x+y的值.
8.比较大小： 与 与-|-3.14|
9.若m、n互为相反数，p、q互为倒数，且a为最大的负整数，求 的值.
能力提升
10.下列说法正确的是( )
A.一个数的负倒数等于它本身的数是±1 B.一个数的倒数等于它本身的数是0，±1
C.一个数的绝对值等于它本身的数是0 D.一个数的相反数等于它本身的数是0
11.若m+n=0,n+p=0,且m--q=0,则( )
A. p与q 相等 B. m与p互为相反数 C. m与n 相等 D. n与q 相等
12.对于任意有理数a，下列式子中取值不可能为0的是( )
A. |a+1| B. |--1|+a C. |a|+1 D. 1-|a|
13.下列说法正确的个数是( )
(1)|a|一定大于0;(2)-a一定是负数;(3)|-m|的倒数一定是 /m;(4)-|a|-1一定是负数;(5)若 ab =0,则a,b均为0;(6)若|x|=|y|,则x与y相等或互为相反数;(7)若|x|+|y|=0,则x，y中至少有一个为0.
A.0 B.1 C.2 D.3
14.如果|m+n|=|m|+|n|,则下列说法正确的是( )
A. m、n同号 B. m、n异号
C. m、n为任意有理数 D. m、n同号或m、n中至少一个为零
15.数轴上的点A、B、C分别对应的数为0、-1、x，点C与点A 的距离大于点C 与点B 的距离，则( )
A. x>0 B. x>-1 D. x<-1
16.有理数a、b满足a>0,b<0,|a|<|b|,则下列结论正确的是( )
A.-aC.-a<-b17.(1)数轴上的点A、B分别表示的数为--3和4，点C是AB的中点，则点C所表示的数是 .
(2)已知数轴上A、B两点之间的距离为5，且点 A 到原点的距离为2，那么点 B所对应的数为 .
18.已知019.当320.若x、y满足2011|x-1|+2012|y+1|=0.求x+y+2012的值.
21.试比较2a与a 的大小.
22.-4的倒数的相反数是( )
A. -4 B.4 D
23如图1-1-1所示，若点 A 是有理数a 在数轴上对应的点，则关于a、-a、1 的大小关系正确的是( )
A. a<1<-a B. a<-a<1
C.1<-a24.(2011·鄂尔多斯)如果a与1互为相反数,则|a|等于( )
A.2 B.-2 C.1 D.—1
25. a、b是有理数,如果|a-b|=a+b,那么对于结论:
(1)a一定不是负数；(2)b可能是负数.其中( )
A.只有(1)正确 B.只有(2)正确
C.(1)(2)都正确 D.(1)(2)都不正确
26.已知m、n、l都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m+n+l的最大值是 ，最小值是 .
27.在数轴上，N点与O点的距离是N点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是 .
基础演练
1.(1)D;(2)C; 2. A
3.(1)①④;(2)-3/ ,-5,- ,-|-0.05| - ,3.8,- ,0.420,23%,-|-0.05
【提示】π是无理数.
4.2;1;m-1.
【提示】a与-a互为相反数；
5.3;-3.
6. -4,--3,-2,--1,0,1,2,3,4;0.
7. ∵|x|=3,|y|=2,
∴x=±3,y=±2.
∵x>y,
∴x=3,y=2或x=3,y=-2.
①当x=3,y=2时,x+y=3+2=5.
②当x=3,y=-2时,x+y=3+(-2)=1.
且
【提示】对于两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
(2)<(方法同(1)).
9.由题意得:m+n=0, pq=1,a=-1.
∴原式
能力提升
10. D
【提示】一个数的负倒数等于它本身的数不存在；一个数的倒数等于它本身的数是±1；一个数的绝对值等于它本身的数是非负数；一个数的相反数等于它本身的数是0；所以选 D.
11. A
【提示】因为m+n=0,n+p=0,所以m与n和n与p互为相反数，所以m = p.
又因为m-q=0,所以p=q.
12. C
13. C
【提示】(1)|a|≥0(易丢掉0);(2)-a可以是正数、负数或0；(3)m是正数时成立，m是负数时应为 m是0不成立;(4)正确;(5)a、b至少有一个为0;(6)正确;(7)x,y同时为0.
14. D
【提示】可以采用特殊值法对m、n的符号分同号，异号和零三种情况进行讨论.
15. C
【提示】画数轴分析.
16. B
【提示】①结合数轴和绝对值的几何意义分析.②特殊值法.
17.(1
【提示】先确定两点间的距离，再确定距离的一半，进而确定点的位置.
(2)±3,±7
【提示】特殊值法：对x进行赋值
19. ∵30,a--6<0.
∴原式=a--3+a--6=2a--9
20.∵2011|x-1|≥0,2012|y+1|≥0,且2011|x--1|+2012|y+1|=0,
∴ |x--1|=0, |y+1|=0.
∴x-1=0,y+1 =0.
∴x= 1,y=--1.
∴原式=--1+1+2012 = 2012.
21. ∵2a-a=a,(1)当a>0时,2a>a.
(2)当a<0时,2a(3)当a=0时,2a=a.
【提示】此题采用作差法. a-b>0 a>b,a-b<0 a中考链接
22. D;23. A;24. C
巅峰突破
25. A
【提示】如果a≥b,则从|a-b|=a+b,得a-b=a+b,此时b=0,a≥0;如果a0.综上所述,不论a,b大小如何,总有a≥0,b≥0,所以(1)的说法正确,(2)的说法错误.
故选 A.
26.最大值 209;最小值57.
【提示】由385=5×7×11,易知要使m+n+l最大,可取m=n=77,l=55,要使m+n+l最小,可取m=n=11,l=35,所以最大值是209,最小值是57.
27.24或40.
【提示】N点与O 点的距离是 N 点与 30所对应点之间距离的4倍.
(1)若N点在数0和30之间,设 N点到O 点的距离为x,则5x=30. x=6.所以N=24.
(2)若N点在 30 右边,设 N 点到O 点的距离为x，那么N点到30所对应的点的距离即为x，O点到30所对应的点的距离为 3x，则3x=30,x=10.
所以4x=40. N=40.
N点表示的数是24或40.