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湘教版九年级上册数学同步练习卷
第2章 单元测试
一、单选题
1．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．4 B．－4 C．1 D．－1
【答案】D
【详解】根据关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根可知△=0，求出a的取值即可．
解：根据题意得：4－4×1×（－a）=0，解得：a=－1．
2．关于x的一元二次方程 的实数根说法正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有实数根
【答案】D
【详解】试题解析：
故方程有实数根.
3．下面对关于的一元二次方程的表述错误的是（ ）
A．判别式的值为16 B．方程有一根是1
C．a不等于0 D．a不等于2
【答案】C
【详解】可化为：，
方程是一元二次方程，
，
即
，
把代入，
则方程的左右两边相等，
4．如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，将剪下的部分打开，得到的菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知，，
5．已知关于的方程有两个不相等的实根为、，且满足．则的值是（ ）
A．-3 B．4 C．-3或4 D．1
【答案】B
【详解】∵关于x的方程有两个不相等的实根为、，
∴△=4（a-1）2-4（a2-7a-4）=20a+20＞0，解得a＞-1，
∴x1+x2=-2（a-1），x1 x2=a2-7a-4，
而x1x2-3x1-3x2-2=0，即x1x2-3（x1+x2）-2=0，
∴a2-7a-4+6（a-1）-2=0，a2-a-12=0，解得a1=4，a2=-3，
∴a=4．
6．用“整体法”求得方程（2x+5）2-4(2x+5)+3=0的解为（ ）
A．x1=1 x2=3 B．x1=-2 x2=3 C．x1=-3 x2=-1 D．x1=-2 x2=-1
【答案】D
【详解】解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选D．
点睛：本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解答此题的关键．
7．一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【详解】Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程没有实数根.
8．已知实数满足，那么（ ）
A．a2+b2=3 B．a2+b2=-5 C．a2+b2=3或a2+b2=5 D．a2+b2=2
【答案】A
【详解】解：设a2+b2=y，则原方程转化为（y-1）（y+3）=12，
整理，得（y+5）（y-3）=0，
解得 y1=-5（不合题意，舍去），y2=3．
则a2+b2=3．
9．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【详解】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x1 x2=2n＞0，y1 y2=2m＞0，
∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y1 y2=2m，y1+y2=-2n，
∴2m-2n=y1 y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，
∵y1、y2均为负整数，
∴（y1+1）（y2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x1 x2=2n，x1+x2=-2m，
∴2n-2m=x1 x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，
∵x1、x2均为负整数，
∴（x1+1）（x2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
10．在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+3x+1=0 B．=-1 C．x2+2x+3=0 D．
【答案】A
【详解】根据一元二次方程根的判别式可知：
A、由方程知a=1，b=3，c=1，所以△= b2-4ac=9-4=5＞0，有两个不相等的实数根，故正确；
B、根据算术平方根的意义，可知结果不能为负，故不正确；
C、由方程知a=1，b=2，c=3，所以△= b2-4ac=4-12=-8＞0，无实数根，故不正确；
D、解分式方程，去分母得x=1，当x=1时，x-1=0，原分式方程无解，故不正确.
二、填空题
11．一元二次方程的解为 ．
【答案】x=或x=2
【详解】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=,
12．若两个连续偶数的积是224，则这两个偶数的和是 ．
【答案】.或
【详解】设其中一个偶数为，则，解得，则另一个偶数为16或-14．故这两个偶数的和是或．
13．已知方程组有两组不相等的实数解，则的取值范围 ．
【答案】且
【详解】,把①代入②得,
整理得,当且时,方程有两个不相等的根,解得k<1且k≠0,所以当k<1且k≠0时,方程组有两组不相等的实数解.
故答案为：且.
14．关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围为 ．
【答案】m＞．
【详解】∵关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，
∴△<0，
即，
解得m＞．
故答案为m＞．
15．实数、满足，则的值为 ．
【答案】或
【详解】设x=a+b，则原方程可化为：
x2+x-2=0
∴x=-2或x=1，
∴（a+b）2的值为4或1，
16．若a4-a2-12=0，则a2= ．
【答案】4
【详解】设y=a2，则原方程化为y2-y-12=0，
解得，y1=4，y2=-3，
∵a2是非负数，
∴a2=4．
17．设，为整数，方程有两个负实数根，则 ．
【答案】
【详解】解：设方程的两个根为x1x2，由根与系数的关系得出x1＋x2＝＜0，x1x2＝＞0
因为│a│＝1，所以a＝﹣1
又因为方程有两个负实数根，则＝b2－4ac＝﹣16－4b≥0，
所以b≤﹣4
又因为﹣b－5＞0，
解得﹣5＜b，
所以﹣5＜b≤﹣4
因为b是整数，所以b＝﹣4
三、解答题
18．若方程无实数根，化简：
【答案】
【详解】解：方程无实数根，
，解得，
∴.
19．计算或解方程：
(1)3； (2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3＝0.
【答案】（1）原式＝20；（2）x1＝－1，x2＝－2.
【详解】(1)3=3= 20 .
(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3＝0,
(2x+1+3)(2x+1+1)=0,
(2x+4)(2x+2)=0,
解得x1＝－1，x2＝－2.
20．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱.
（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？
（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？
（3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由.
【答案】（1）1440元；（2）每箱应降价5元；（3）不能，理由见解析
【详解】解：设每箱饮料降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12-x）元；
（1）依题意得：（12-3）（100+20×3）=1440（元）
答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元；
（2）要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得，
（12-x）（100+20x）=1400，
整理得x2-7x-10=0，
解得x1=2，x2=5；
为了多销售，增加利润，
∴x=5，
答：每箱应降价5元，可使每天销售饮料获利1400元．
（3）不能，理由如下：
要使每天销售饮料获利1500元，依据题意列方程得，
（12-x）（100+20x）=1500，
整理得x2-7x+15=0，
因为△=49-60=-11＜0，
所以该方程无实数根，即不能使每天销售该饮料获利达到1500元．
21．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价下降1元,每月能售出 个台灯，若售价下降x元(),每月能售出 个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）月获利能否达到9600元，说明理由．
【答案】（1）800；600+200x；（2）每个台灯的售价为37元；（3）月获利不能达到9600元，理由见解析.
【详解】解：（1）∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个，
∴若售价下降1元，每月能售出600+200=800个台灯，若售价下降x元()，每月能售出600+200x个台灯；
（2）设每个台灯的售价为x元，
由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=8400，
解得：x1=36，x2=37，
当x=36时，600+200(40-x)=1400＞1210（舍去），
当x=37时，600+200(40-x)=1200＜1210（符合题意），
答：每个台灯的售价为37元；
（3）月获利不能达到9600元，
理由：设每个台灯的售价为x元，
由题意得：(x-30)[600+200(40-x)]=9600，
整理得：x2-73x+1338=0，
∵△=b2-4ac=-23＜0，
∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元.
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x1+x2﹣x1x2=7，求m的值．
【答案】（1）见解析；
【详解】（1）∵△=[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）=m2+4＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=m﹣2，x1x2=﹣m，
∵x1+x2﹣x1x2=7，
∴m﹣2+m=7，解得m=，
∴m的值为．
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湘教版九年级上册数学同步练习卷 第2章 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．4 B．－4 C．1 D．－1
2．关于x的一元二次方程 的实数根说法正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有实数根
3．下面对关于的一元二次方程的表述错误的是（ ）
A．判别式的值为16 B．方程有一根是1
C．a不等于0 D．a不等于2
4．如图，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，将剪下的部分打开，得到的菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的方程有两个不相等的实根为、，且满足．则的值是（ ）
A．-3 B．4 C．-3或4 D．1
6．用“整体法”求得方程（2x+5）2-4(2x+5)+3=0的解为（ ）
A．x1=1 x2=3 B．x1=-2 x2=3 C．x1=-3 x2=-1 D．x1=-2 x2=-1
7．一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
8．已知实数满足，那么（ ）
A．a2+b2=3 B．a2+b2=-5 C．a2+b2=3或a2+b2=5 D．a2+b2=2
9．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+3x+1=0 B．=-1 C．x2+2x+3=0 D．
二、填空题
11．一元二次方程的解为 ．
12．若两个连续偶数的积是224，则这两个偶数的和是 ．
13．已知方程组有两组不相等的实数解，则的取值范围 ．
14．关于x的方程x2﹣3x+m+1=0没有实数根，则m的取值范围为 ．
15．实数、满足，则的值为 ．
16．若a4-a2-12=0，则a2= ．
17．设，为整数，方程有两个负实数根，则 ．
三、解答题
18．若方程无实数根，化简：
19．计算或解方程：
(1)3； (2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋3＝0.
20．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱.
（1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？
（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？
（3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由.
21．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价下降1元,每月能售出 个台灯，若售价下降x元(),每月能售出 个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）月获利能否达到9600元，说明理由．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x1+x2﹣x1x2=7，求m的值．
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