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第12章 复数——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．复数（i为虚数单位）的共轭复数( )
A.i B. C. D.
2．已知i为虚数单位,若,则( )
A. B. C.i D.
3．复数的模为( )
A. B.2 C. D.3
4．已知,则( )
A. B. C. D.
5．复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
6．已知复数（i是虚数单位），则( )
A. B. C. D.
7．若，则( )
A.i B.2i C. D.
8．若,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. B.复数的虚部为
C.若复数z为纯虚数，则 D.
10．在复数范围内，方程的两个根分别为，，则( )
A. B. C. D.
11．下列命题中错误的是( )
A.若x是实数，则x可能不是复数
B.若z是虚数，则z不是实数
C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D.-1没有平方根
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为________.
13．已知复数（），则复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，则实数________.
14．已知复数,分别为方程的两根,则______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.
(1)若函数的对称中心为(-1，2)，求函数的解析式.
(2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：.
则有即.
类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系.
①若，方程在复数集内的根为、、，当时，求的最大值；
②若，函数的零点分别为、、，求的值.
16．人们把一元三次方程的求根公式称为卡尔达诺公式,该公式为：对不完全的一元三次方程的三个根分别为：,,,其中,．
（1）求的三个根;
（2）求的三个根．
17．已知复数.
（1）若z为实数,求m的值.
（2）若z为纯虚数,求m的值.
18．已知复数，，其中i是虚数单位，.
（1）若为纯虚数，求m的值；
（2）若，求的取值范围.
19．计算：.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,所以.
2．答案：B
解析：因为,所以,,所以.故选B.
3．答案：C
解析：,.
故选：C.
4．答案：B
解析：,则.
5．答案：B
解析：求复数 的共轭复数, 即实部相同, 虚 部互为相反数,
,所以 的共轭复数为
综上所述, 本题正确答案为B
6．答案：A
解析：由已知有，故.
故选：A.
7．答案：D
解析：依题意，，则，
所以.
故选：D
8．答案：B
解析：因为,,
所以.
故选:B
9．答案：AD
解析：因为，A正确；
复数的虚部为，B不正确；
若，则，，C不正确；
设，，所以，
，D正确.
故选：AD.
10．答案：BD
解析：对于A,B，在复数范围内，方程的两个根分别为，，
根据韦达定理可得，故A错误B正确;
对于C,D，在复数范围内，方程的两个根分别为，，
根据求根公式可得，，
从而，，
故C错误D正确;
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：因为复数包含实数，故A错误；根据虚数的定义可知B正确；一个复数为纯虚数的充要条件是实部为零，虚部不为零，故C错误；-1的平方根为，故D错误.故选ACD.
12．答案：
解析：设复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，
因为且，所对应的向量，满足，即，
不妨令，，则，，
又，设，即
则，
所以
，
所以当时取得最大值，即.
故答案为：
13．答案：4
解析：复平面内满足的点Z的集合围成的图形为以为圆心，以m半径的圆，
复平面内满足的点Z的集合围成的图形面积为，
则，解得（负值舍去）.
故答案为：4.
14．答案：-2
解析：因为,分别为方程的两根,
所以,,
所以.
故答案为：-2.
15．答案：(1)
(2)0；10
解析：(1)由题有为奇函数，则恒成立.
即，
整理得：Error! Digit expected.恒成立.
则，，
故.
(2)①若，则，
由题有的三个实根为，，.
设
展开得
，
故.
则.
又，
故，
综上：当时，
的最大值为0.
②，时，
，
由
有，
同时除以得：
令，，，
由题知，，是方程的三个根，
则.
展开得
则
.Error! Digit expected.
16．答案：（1）, ,．
（2）,,
．
解析：（1）一元三次方程,
可得,,
,
,
．
（2）,,
令,则,
此时,,
,
,
．
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,得,即
（2）由题意得,得,即.
18．答案：（1）；（2）
解析：（1）因为为纯虚数，所以，
解得.
（2）由，得.
因此.
因为，所以当时，；
当时，，
故的取值范围是.
19．答案：
解析：原式
故答案为：.
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