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第三部分 三角形 6大模型
模型 01 A字模型
【模型介绍】图形像“A”字，故曰“A”字模型.
已知 图示 结论（性质）
已知△ABC，延长 AB至 D， ∠1+∠2=∠A+180°
延长 AC至 E
1．（2023·陕西西安·西安高级中学）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，
若∠1 = 125°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．55°
2．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形 ABCDE 中，若去掉一个 30°的角后得到一
个六边形 BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（ ）
A．210° B．110° C．150° D．100°
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3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形 剪掉一个角得到五边形．下列判断
正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了 360°；
结论③：通过图中条件可以得到∠1 + ∠2 = 240°；
A．只有①对 B．①和③对 C．①、②、③都对 D．①、②、③都不对
4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如
图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1 + ∠2 = 度．
5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，∠ ＝50°，若沿图中虚线剪去∠ ，
则∠1＋∠2＝ °．
6．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，∠ 的两边上各有一点 , ，连接 ，
求证：∠ + ∠ = 180° + ∠ ．
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第三部分 三角形6大模型
模型01 A字模型
1．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，
由题意知，，
，，
，
，
．
故选A．
2．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（　　　）
A．210° B．110° C．150° D．100°
【答案】A
【详解】解：∵∠A=30°，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°
∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故选A．
3．（2023·河北秦皇岛·统考二模）如图，将四边形剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）
结论①：变成五边形后外角和不发生变化；
结论②：变成五边形后内角和增加了；
结论③：通过图中条件可以得到；

A．只有①对 B．①和③对 C．①、②、③都对 D．①、②、③都不对
【答案】B
【详解】解：①任意多边形的外角和是，故①正确；
根据多边形内角和定理，
四边形剪掉一个角得到五边形内角和增加了，故②错误，
如图所示，

∵
∴，故③正确，
故选：B．
4．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则 度．
【答案】240
【详解】解：如图，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
故答案为：240．
5．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在四边形纸片中，，若沿图中虚线剪去，则 °．

【答案】
【详解】解：三角形的内角和等于，，
，.
，
.
故答案为：.

6．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
【答案】见解析
【详解】解：和是的外角，
．
又，
．
模型02 8字模型
1．（2023下·北京海淀·七年级北京市十一学校校考期中）如图，相交于点O，连接．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由三角形外角的性质可知，，，
∴，
∴四个选项中只有C选项结论正确，
故选C．
2．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，和的平分线相交于点P，若，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，设，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，即,
∴，
故选：B．

3．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，与交于点，甲、乙两人要证明，做法如下：
甲：是和的外角，
，
故得证．
乙：作一圆通过，，，四点，
与对同弧，与对同弧．
，，
．
对于甲、乙两人的做法，以下结论正确的是（ ）
A．甲、乙两人的做法都是正确的 B．甲的做法正确，乙的做法错误
C．乙的做法正确，甲的做法错误 D．甲、乙两人的做法都是错误的
【答案】B
【详解】解：是和的外角，
，
即，所以甲的做法正确；
点、、、不一定在同一个圆上，
乙的做法不正确．
故选：B
4. （2023·陕西榆林·统考一模）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °．
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
【答案】(1)110
(2)27°
【详解】（1）解：由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，
在△AOB中，∠A+∠B=180°∠AOB=180°70°=110°，
∴∠C+∠D=110°；
（2）∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵∠C=60°，
∴∠BAC+∠ABC=180°∠C=180°60°=120°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，
∴2∠1+2∠3=120°，
∴∠1+∠3=60°，
由图知△ABF与△DEF为对顶三角形，
∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，
又∵∠ADE比∠BED大6°，
∴∠ADE∠BED=6°②，
联立①②得，
解得：，
∴∠BED=27°．
5．阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析
【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．
故答案为：360°；540°；720°；1080°．
6．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．
【答案】360°
【详解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，
∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，
∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．
7．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【详解】解：（1）如图①，连接AD，
由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如图②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，
8．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．
（2）如图②，分别平分，若，求的度数．
（3）如图③，直线平分的外角平分的外角，若，则________用的代数式表示）
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）∵分别平分，
设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，
则有，
∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC，
∴；
（3）如图，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2=180°-∠1，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠ABC+∠4，
∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∵，
∴．
9．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）6；（3）∠P＝45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．
【详解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
模型03 飞镖模型
1．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（ ）
A．165° B．120° C．150° D．135°
【答案】A
【详解】∵图中是一副三角板，
∴∠1=45°，
∴∠2=180°-∠1=180°-45°=135°，
∴ =∠2+30°=135°+30°=165°．
故选A．
2．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点是的内心，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点是的内心，
∴分别是的角平分线，
∴，,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义，角平分线的定义，三角形的内角定理，掌握三角形内心的定义是解题的关键．
3．（2023上·河北邯郸·八年级统考期末）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °．
【答案】 增大 10
【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长，
∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠ABE+∠ADE=30°，
∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线，
∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，
同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，
∴∠BCD增大了10°．
故答案为：增大，10．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中所给的结论是解题的关键．
4．（2023·河北邯郸·统考一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若保持不变，则将图中 （填“增大”或“减小”） 度，淇淇说，“改得不错”．
【答案】 增大 5
【分析】连接，利用三角形的内角和计算即可．
【详解】解：连接，
故答案为：增大，5
【点睛】本题主要考查三角形的内角和，添加辅助线利用三角形内角和计算是解决本题的关键．
5．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵
∴
同理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴,
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．
6．如图，若，则 ．
【答案】230°
【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．
【详解】解：如图
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案为：230°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．
7．如图，中，
(1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；
(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，再由、的三等分线交于点、，可得 再根据三角形的内角和定理，即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理可得，再由、的等分线交于点、，可得 再根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵、的三等分线交于点、，
∴
∴，
；
（2）解：∵，
∴，
∵、的等分线交于点、，
∴
∴，
．
【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键．
8．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；
②如图3，平分，平分，若，求的度数；
③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)①；②；③
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，连接并延长．
根据外角的性质，可得，，
又∵，，
∴，
故答案为：；
（2）①由（1）可得，
∵，，
∴；
②由（1）可得，
∴，
∴，
∴；
③设，，
则，，
则，，
解得，
所以，
即的度数为．
9．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．
模型应用
（1）直接应用：
①如图2，，则__________；
②如图3，__________；
（2）拓展应用：
①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；
②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；
③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；
④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为__________．
【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1
=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）
=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=∠BOC-（120°-50°）
=120°-35°
=85°；
②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=120°-（120°-50°）
=120°-21°
=99°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）
=180°-（∠BOC-∠C）
=180°-（120°-44°）
=142°；
④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
联立得：∠B-∠C+2∠D=0．
\
模型04 老鹰抓小鸡模型
1．如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【详解】由折叠的性质可知
∵
∴
∴
故选C
2．（2022上·湖北恩施·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：
，
∴，
∵，
∴，
即．
故选B．
3．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于( )
A．40° B．60° C．80° D．140°
【答案】C
【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得
．
又，，
，
∴，
故选： C
【点睛】此题综合运用了平角的定义、折叠的性质和三角形的内角和定理．
4．如图，在四边形纸片中，，，将纸片折叠，使点，落在边上的点，处，折痕为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形中，，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
5．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在中，请根据题意，探索不同情境中（或）与的数量关系．

(1)如图①，若∠A＝60°，沿图中虚线截去，则＝ ．
(2)如图②，翻折后，点A落在点处，若，求的度数．
(3)如图③，纸片沿折叠，使点A落在点处，若，，则的度数为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：
，
，
故答案为：．
（2）解：连接，如图所示：

，
,
，
，
，
．
（3）解：如图，设与交于点，
，
，
由折叠可得，，
，
又，
，
故答案为：
6．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．
(1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．
(2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．
(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数
(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】(1)260°
(2)160°
(3)
(4)
【详解】（1）解：∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，
∴，
故答案为：260°；
（2）∵∠A＝80°，
∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，
∵翻折，
∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,
∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，
∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，
故答案为：160°；
（3）解：连接．如图所示：
∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，
∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，
∵，
∴，
∴，
∴．
（4）解：如图，设AB与交于点F，
∵，，
由折叠可得，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
7．如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C’的位置，
（1）①若，则 ；
②若，则 ；
③探索 、与之间的数量关系，并说明理由；
（2）直接按照所得结论，填空：
①如图中，将△ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在△ABC内点A’、B’的位置，则 ；
②如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则 ；
③若将n边形也按照上面方式折叠，则 ；
（3）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点落在△ABC边上方点的位置， 探索、与之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③；（3）
（3）由外角的性质可知∠2=∠3+∠C，∠3=∠1+∠C，整理可得.
【详解】解：（1）①∵，
∴∠CEC′=160°，∠CDC′=130°，
∵ ∠CED=80°，∠CDE=65°,
∴∠C= 180°-80°-65°=35°；
②∵，
∴ ∠CED+∠CDE=180°-42°=138°,
∴∠CEC′+∠CDC′=276°，
∴360°-276°=84°；
③，
因为，，
所以，
因为在四边形中，，
所以，
因为，
所以.
（2）① 由①得
2∠C，2∠B，2∠A，
∴2(∠A+∠B +∠C)=360°;
②∵2∠C，2∠B，2∠A，2∠D，
∴ 2(∠A+∠B +∠C+∠D)=2×360°=720°;
③∵n边形内角和是，
∴ ；
（3）.
∵∠2=∠3+∠C，
∠3=∠1+∠=∠1+∠C，
∴∠2=∠1+∠C +∠C=∠1+2∠C，
∴.
模型05 双角平分线模型
1．（2023·青海·统考一模）如图，在中，是的平分线，是的平分线，与相交于点，若，则的度数是 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的度数是．
2．（2023·山东青岛·统考一模）【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于．
如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【初步应用】
如图③，点D，E分别是的边延长线上一点，
（1）若，则______；
（2）若，则______；
（3）若，则______．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是的边延长线上一点，
（4）若，分别作和的平分线交于点O，则______；
（5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______；
（6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）60；（5）100；（6）．
【详解】（1）由三角形外角的性质可得出．
故答案为：；
（2）∵，，
∴．
∵，，
∴．
故答案为：；
（3）由（2）同理可得．
∵，，
∴
故答案为：；
（4）∵和的平分线交于点O，
∴，，
∴．
由（2）可知，
∴，
∴．
故答案为：；
（5）∵，，
∴．
由（2）可知，
∴，
∴．
故答案为：100；
（6）∵，，
∴．
由（3）可知，
∴，
∴．
故答案为：．
3．如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ．
【答案】61°
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
4．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ．
【答案】
【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=α．
∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，
根据规律推导，
∴ ，
故答案为．
5．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：．
（2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．
（3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）设．
由的内角和为，得．①
由的内角和为，得．②
由②得．③
把③代入①，得，
即，
即
（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴
由三角形内角和定理得，，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），
=90°-∠A；
（3）如图：
∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D
∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，
在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A①
在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
把①代入②得∠D=∠A．
6．（1）如图（a），平分，平分.
①当时，求的度数.
②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论.
（2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）不正确，
【详解】（1）①，
．
∵平分，平分，
，
；
（2）①，
．
∵平分，平分，
，
；
（2），
，
．
∵平分，平分，
，
．
模型06 三角形折叠模型
1．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，在中，，D为的中点，E为边上一点，将沿着翻折，得到，连接．当时，则的度数为 ．
【答案】/20度
【详解】解：D为的中点，
，
有翻折可知：，，，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
2．（2023·江西·模拟预测）如图，在中，，，点P是边上一点，点D是边上一点，将沿折叠，使点A落在边上的处，若，则的度数为 ．
【答案】/60度
【详解】∵在中，，，
∴，
由折叠知，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，有一个三角形纸片，，，将纸片一角折叠，使点C落在外．若，则的大小为 ．

【答案】/度
【详解】解：如图，记的交点为，

∵，，
∴，
由折叠可得：，
∵，，
∴，而，
∴；故答案为：
4．如图，在中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为 ．
【答案】2
【详解】解：沿折叠，使点落在点处，
，，
，
又为的中点，AE=AE'
∴AE:AC=1:3
，
即，
．
故答案为：2．
5．综合与实践：直角三角形折叠中的数学。数学活动：在综合实践活动课上，老师让同学们以“直角三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动，探究折痕长度的有关问题．在中，．
（1）如图1，勤学组将点沿折叠，使得点与点重合，折痕交于点交于点则的长为 ．
如图2，乐学组将点沿折叠，使得点的对应点落在边上，折痕交于点则的长为 ．
（2）如图3，博学组将点沿折叠，使得点与点重合，折痕交于点交于点求线段的长度；
如图4，善思组在博学组的基础上，将点沿折叠，使得点的对应点落在上，则的长度为_ ．
（3）如图5，奋进组将点沿折叠，使得点的对应点落在边上，求的长度；
如图6，创新组在奋进组的基础上，将点沿折叠，使得点的对应点落在上，折痕交于点再把展开，将点沿折叠，使得点的对应点落在的延长线上，折痕交于点得到如图7所示的图形，请直接写出的长．
【答案】（1）①2；②；（2）①；②；（3）①；②
【详解】解：
根据折叠的性质得：AD=BD，ED⊥AB；
，∴DE//BC
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=
由折叠的性质得BE⊥AC，
∴
∴
∴
将点沿折叠与点重合，
是的垂直平分线．
．
又
．
在Rt中，，
由勾股定理得出，则；
根据折叠的性质得出，
∴
∴∴
∴,∴
∴GF=
过点作于如图．
又
即
设
则
将点沿折叠，使得点的对应点落在边上，
解得
由折叠的性质可得
即
6. 如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．118° C．100° D．90°
【答案】B
【详解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠CED＝＝99°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．
故选：B．
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