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8.2 向量的数量积（同步练习）-高中数学沪教版（2020）必修第二册
一、单选题
1．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|=1，则向量a与b的夹角为（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量 =(-3，1)， =(1，-2)，则向量与夹角的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．135°
3．已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．非零向量，的夹角为，且，则的最小值为(　　)
A． B． C． D．1
5．已知正四面体 的棱长为2，则 （　　）
A．-2 B．0 C．2 D．4
6．已知向量 =（-2，m）， =（1，2），若向量 在向量 方向上的投影为2，则实数m=（　　）
A．- B．1± C．1- D．1+
7．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的法向量为，已知P(－1， 3， 2)，则P到平面OAB的距离等于 （　　）
A．4 B．2 C．3 D．1
8．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为 ；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为 .若 分别为 的最小值、最大值，其中 , ,则 满足（　　）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．设 ， ， 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（　　）
A．
B． 与 不垂直
C．
D．
11．下列空间向量为单位向量且与轴垂直的有（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知向量 ， ，若向量 ∥ ，则实数 　 　
13．已知向量，的夹角的余弦值为，，，则　 　．
14．在 中， ， ，若 ，点 为线段 的中点，则 的值为　 　．
四、解答题
15．已知 ， ， 与 的夹角为 ．
（1）求 与 的值；
（2）若 与 垂直，求实数 的值．
16．已知单位向量 的夹角 ，向量 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求向量 的夹角.
17．已知向量 ， 满足 ， ，向量 ， ．
（1）若 与 的夹角为 ，求 的值；
（2）若 ，求向量 与 的夹角 的值．
18．已知 三个顶点的坐标分别为 ，且 （O为坐标原点）．
（1）求 的大小；
（2）试判断 的形状．
19．在长方体中，，M为中点，．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2） 分别为直线上的点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【点评】把|a＋b|=1两边都平方，|a＋b|=（a＋b)=a+b+ 2 ab=2+2ab=1，所以ab=，=.，选C。
【点评】向量的平方就等于模的平方是一条非常重要的性质，考试中经常考到。此题的关键就是想到应用这条性质。一般情况下，题中若有向量的模都要先考虑这一条。
2．【答案】D
【解析】解：由题意得，
又∵
∴
故答案为：D
【点评】根据向量的夹角公式，结合向量的数量积与向量的求模公式直接求解即可.
3．【答案】A
【解析】由题意，，解得，
又，
所以，
又，所以与的夹角为．
故答案为：A.
【点评】 根据 求得n，利用夹角公式求得向量与的夹角.
4．【答案】C
【解析】【点评】
所以的最小值是。选C
5．【答案】B
【解析】如图，取 中点 ，连接 ，
则 ， ，∴ 平面 ，于是有 ，∴ ．
故答案为：B.
【点评】由正四面体的几何性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得出线面垂直，结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，利用数量积的直线即可得出答案。
6．【答案】D
【解析】解： 由题意，
解得，
故选D．
【点评】利用向量 在向量 方向上的投影的计算公式可得结果.
7．【答案】B
【解析】【点评】因为向量在平面OAB的法向量投影的绝对值为P到平面OAB的距离，所以.
8．【答案】D
【解析】作图知，只有 ，其余均有 ，故答案为：D．
【点评】利用已知条件作图，再结合向量的几何法和数量积的运算法则求出和其余均有 ，再利用集合间的包含关系和最值的应用，从而求出m和M的取值范围。
9．【答案】B,C
【解析】对于A选项： ，A不符合题意；
对于 B选项：因为D为BC的中点， ，B符合题意；
对于C选项： ，故正确；
对于D选项： ，而 ，D不正确.
故答案为：BC.
【点评】 根据向量的运算性质、数量级公式以及向量模的定义对四个选项逐一判断即可．
10．【答案】A,C,D
【解析】A，由平面向量数量积的运算律，可知A符合题意；
B， ，
∴ 与 垂直，即B不符合题意；
C，∵ 与 不共线，
∴若 ，则 显然成立；
若 ，由平面向量的减法法则可作出如下图形：
由三角形两边之差小于第三边，可得 .C符合题意；
D， ，即D符合题意.
故答案为：ACD
【点评】根据题意由向数量积的运算性质结合向量模的性质对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】B,C
【解析】若为单位向量且与轴垂直，则需满足：向量模长为1，且向量必须落在平面内，
结合选项判断知B、C符合题意，A项中与轴平行，D项中.
故答案为：BC
【点评】由空间直角坐标系的特征逐项进行判断，可得答案。
12．【答案】
【解析】因向量 ∥ ，所以－m＝6，m＝－6,
故答案为-6.
【点评】根据向量平行则有，进而得出m的值。
13．【答案】
【解析】解：， ，， .
故答案为：-2.
【点评】利用平面向量数量积公式计算即可.
14．【答案】3
【解析】由题意， ， ， ，则 .
【点评】由已知得到向量的数量积，利用向量的线性运算，即可求出 的值.
15．【答案】（1）解：∵ ， ， 与 的夹角为 ，
∴ ；
．
（2）若 与 垂直，则 ，
即 ，
，
．
【解析】【点评】 (1)根据数量积的定义可求 ，根据 可求 的值；
(2)由题意得 ，进而求出实数 的值．
16．【答案】（1）解：根据题意，向量 ，
若 ，设 ，
则有 ，
则有 ，解可得
（2）解：根据题意，设向量 的夹角为 ；
若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
又由 ，所以 ； 故向量 的夹角为
【解析】【点评】（1）由共线向量的充要条件直接求解即可；
（2）由向量的夹角公式直接即可.
17．【答案】（1）解： ．
∴ ．
∴
（2）解：∵ ，∴ ，
即
．
∴ ，又
∴
【解析】【点评】（1）根据向量的模的计算公式直接计算即可得答案；（2）由向量 得 ，再结合已知化简求值即可.
18．【答案】（1）解：题意知
∵ ，
∴
∴
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，∴
（2）解：∵ ，
∴
同理： ，
∴ 是等边三角形
【解析】【点评】（1） 由题意知 ，再利用 （O为坐标原点），得出 ，再利用平方法结合数量积的运算法则，得出 的值，从而结合数量积求向量夹角公式，从而求出 的值 ，再利用三角形中角的取值范围，所以
，从而求出 的大小。
（2）利用三角形法则得出 ，再利用数量积求向量夹角公式结合数量积的定义，从而求出 的值，同理， ，再结合等边三角形的形状，从而判断出三角形 的形状。
19．【答案】（1）解：设，以D为原点，以的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
由可得，解得，
，
故，
异面直线与所成角的范围，
则异面直线与所成角的余弦值为．
（2）解：取中点为，连接，则
而，
则四边形为平行四边形，则平面平面，
则平面，
设点B到平面的距离为d，则，D值即为的最小值．
，
设平面的法向量为，则 ，即 ，
取，则，故，
则的最小值为．
【解析】【点评】（1） 设，以D为原点，以的方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，由结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出m的值，进而可得的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和异面直线与所成角的取值范围，进而得出异面直线与所成角的余弦值。
（2） 利用已知条件结合中点坐标公式得出中点坐标，连接，则再利用结合平行和相等的传递性，所以，则四边形为平行四边形，则，再利用线线平行证出线面平行，则平面，设点B到平面的距离为d，则，d的值即为的最小值，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量，再结合数量积得出d的值，从而得出的最小值。

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