第五章 一元函数的导数及其应用 单元检测卷(B卷)(含解析)高二数学人教A版(2019)选择性必修二

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第五章 一元函数的导数及其应用 单元检测卷(B卷)(含解析)高二数学人教A版(2019)选择性必修二

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(10)一元函数的导数及其应用—高二数学人教A版(2019)选择性必修一、二册单元检测卷(B卷)
【满分:150】
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.曲线上点P处的切线平行于直线则点P的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知,,,则( )
A. B. C. D.
3.若方程在上有两个不同的根,则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知函数,若是函数的极大值点,则函数的极小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数,若恒成立,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.一个矩形铁皮的长为,宽为,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,若记小正方形的边长为,小盒子的容积为,则( )
A.当时,V取得最小值 B.当时,V取得最大值
C.当时,V取得最小值 D.当时,V取得最大值
7.若关于x的不等式恒成立,则实数m的最大值为( )
A. B. C.1 D.
8.设函数,,若的最小值为,则的最大值为( )
A. B. C.0 D.
二、选择题:本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数及其导函数定义域均为R,若是不恒为0的奇函数,则( )
A. B.
C.为奇函数 D.为偶函数
10.已知函数(a,b,c均为常数且)的导函数满足,且,则下列说法正确的有( )
A.
B.
C.是的极值点
D.不等式的解集为
11.设函数则下列说法正确的是( )
A.当时,的图象位于x轴下方
B.存在单调递增区间
C.有且仅有两个极值点
D.在区间上有最大值
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知,则曲线在点处的切线方程为_____________.
13.函数的所有极值之和为________.
14.函数的最小值为_____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
15.(13分)设函数,曲线在点处的切线方程为.
(1)求a,b;
(2)证明:.
16.(15分)已知
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)设是函数的极值点,证明:.
17.(15分)已知函数.
(1)求的极值;
(2)若在区间有2个零点,求m的取值范围.
18.(17分)已知是函数的一个极值点.
(1)求a;
(2)求函数的单调区间;
(3)若函数有3个零点,求b的取值范围.
19.(17分)已知函数,.
(1)当时,求在上的值域;
(2)若的极大值为4,求实数m的值.
答案以及解析
1.答案:B
解析:因为,直线的斜率为2,则由,解得.把代入,得,所以点P的坐标为,故选:B.
2.答案:A
解析:令,则,所以在R上单调递增,所以当时,,即当时,,所以,即,又因为,所以,综上所述:.故选:A.
3.答案:A
解析:,,令,,
即与,有两个不同的交点,则,,
令,即,解得,令,即,解得,
故上单调递增,在上单调递减,故在处取得极大值,也是最大值,,且当时,,当时,,
当时,趋向于0,故,故选:A.
4.答案:A
解析:因为,所以.因为是函数的极大值点,所以,解得,所以.当时,,单调递增;当时,,单调递减;当时,,单调递增.所以当时,有极小值,且极小值为.
5.答案:A
解析:可变形为
,令,则,所以单调递增,不等式可化为,所以,所以,所以.故选A.
6.答案:B
解析:小盒子容积为,
则,令,解得或(舍),
当时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以当时,V取得极大值也是最大值,无极小值,故B正确.故选:B.
7.答案:B
解析:显然首先,,不等式,
令,,则,
所以在定义域内严格单调递增,所以若有成立,
则必有,即对于任意的恒成立,
令,,则,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,所以当时,取得最小值,
从而,所以m的取值范围是,即实数m的最大值为.故选:B
8.答案:B
解析:由,,得,由,得,由,得,所以在上递减,在上递增,所以,因为的最小值为,所以,
所以,,因为,,
所以的最大值为.故选:B.
9.答案:ACD
解析:因为函数及其导函数的定义域均为R,是不恒为0的奇函数,
所以,所以,故B错误;
因为,则,所以,
所以为奇函数,故C正确;
因为,所以,所以为偶函数,故D正确;
因为,所以,即,故A正确,故选:ACD.
10.答案:ABD
解析:由,则,又,故,又,即,即有,解得,
即,,则,故A、B正确;
对C:由恒成立,故单调递增,故无极值点,故C错误;
对D:即为,即,解得,故D正确.
故选:ABD.
11.答案:AB
解析:因为函数,可得函数的定义域为,且,
令,可得,当时,;当时,,
当时,,由,所以,即,所以在上单调递减,因为时,,当时,的图象在x轴的下方,所以A正确;当时,,所以,又因为,所以存在使得,所以当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单递增,当时,函数取得极小值,无极大值,所以函数只有一个极值点,且在区间上先减后增,没有最大值,所以C、D错误.故选:AB.
12.答案:
解析:,则,又,故切线方程为,即.故答案为:.
13.答案:4
解析:函数的定义域为,求导得,
由,得或,由,得或,
因此函数在上单调递减,在上单调递增,
于是当时,取得极大值,当时,取得极小值,所以函数的所有极值之和为.故答案为:4
14.答案:
解析:函数的定义域为,且,
令,则,函数在上单调递增.
,,所以,存在,使得,则,.当时,,则,此时函数单调递减;
当时,,则,此时函数单调递增.所以,函数在处取得极小值,亦即最小值,即.故答案为:1.
15.答案:(1),;
(2)证明见解析
解析:(1)函数的定义域为,.将代入,解得,即,
由切线方程,则切线斜率.
故,,解得,.
(2)证明:由(1)知,
从而等价于.
设函数,则.
所以当时,,当时,.
故在上单调递减,在上单调递增,
从而在上的最小值为.
设函数,
从而在上的最大值为.
故,即.
16.答案:(1)
(2)证明见解析
解析:(1)当时,,,切点为,
所以在处的切线方程为,即
(2)证明:的定义域为,
,令,
则,记此方程的实数根为,,且
记,由,,
则知.
当时,;当时,,
所以在上递减,在上递增,
则是函数唯一的极值点,
,其中,
所以,记
,所以在单调递减,,故
17.答案:(1)当时,在处取极大值
(2)
解析:(1)因为,定义域为,所以,
当时,由于,则恒成立,
所以在上单调递增,无极值,
当时,令,解得,
当时,,则在上单调递增;
当时,,则在上单调递减:
所以当时,在处取极大值,无极小值;
(2),
令,得,令,在区间有2个零点,
即与在区间有2个交点,
,,,
当,,在上单增,
当,,在上单减,
,的最大值为,,
与在区间有2个交点,则.
18.答案:(1);
(2)的单调增区间为,单调减区间为;
(3)
解析:(1),由是函数的一个极值点,
则,解之得.经检验符合题意.
(2)由(1)可得,

由,可得或,由,可得,
则函数的单调增区间为,单调减区间为.
(3)由(2)可得,函数的极大值为,函数的极小值为,又,
函数的简图如下:
当直线与函数的图像有3个交点时,
函数有3个零点,则b的取值范围为
19.答案:(1)
(2)3
解析:(1)时,,,令,得或,
所以在单调递增,单调递减,单调递增,
又,,,,所以的值域为.
(2),令,解得:或,
当时,,单调递增,无极值,舍;
当时,或,在和单调递增,在单调递减,在时取得极大值,又,不符合题意,舍去;
当时,或,在和单调递增,在单调递减,在时取得极大值,故,解得.综上得,.

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