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函数概念5分小题问题的类型与解法
函数概念问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数概念的问题。从题型上看是选择题（或填空题），难度系数为低（或中）档，但也有可能出现高档难度的问题。纵观近几年各种考试试卷，归结起来函数概念问题主要包括：①函数图像及运用；②函数定义及运用；③求函数值的问题；④求函数值域（或最值）的问题；⑤函数零点及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数概念问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、（理）函数f(x)=-+（-）sinx的大致图像为（ ）
（文）函数f(x)=-+（-）sinx在区间[-2.8,2.8]的大致图像为（ ）（2024全国高考甲卷）
2、已知函数f(x)的大致图像如图所示，则f(x)的解析式可以为（ ）（成都市高20211级高三一诊）
A f(x)= B f(x)= C f(x)= D f(x)=
3、函数f(x)=的图像大致为（ ）（成都市高2020级高三三珍）
4、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
5、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数图像及运用的问题，这类问题主要包括：①已知函数解析式，求作函数图像；②函数图像的平移变换；③函数图像的伸缩变换；④函数图像的对称变换；⑤函数图像的翻折变换；⑥函数图像的旋转变换；解答这类问题需要理解函数图像的定义，掌握函数图像的基本作法；⑦函数图像的识图和变图；⑧函数图像的运用问题；
（2）作函数图像的基本方法有：①直接作图法；②描点作图法；③图像变换法；
(3)函数图像的识图与辨图问题主要包括：①已知函数图像，确定函数解析式选；②已知函数解析式，确定函数的图像；
（4）已知函数图像，确定函数解析式的基本方法是：①从图像的左右，上下分布观察函数定义域域和函数的值域；② 从图像的变化趋势观察函数的单调性；③ 从图像的对称性观察函数的奇偶性；④从图像的循环往复观察函数的周期性；
（5）已知函数的解析式，确定函数图像的基本方法是：①从函数的定义域判断图像的左右位置，从函数的值域判断图像上下位置；②从函数的单调性，判断图像的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图像的对称性；④从函数的周期性，判断图像的循环往复；⑤从函数的极值点判断函数的最值点。
（6）函数图像的运用问题主要包括：①运用函数图像研究函数的性质；②运用函数图像求解不等式；③运用函数图像求函数的零点；
（7）解答函数图像运用问题的常用方法是：①定性分析法；②定量分析法；③函数模型法。
[练习1]解答下列问题：
1、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
2、函数f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）
3、函数y=在［-6，6］的图像大致为（ ）（2019全国高考新课标III）
【典例2】解答下列问题：
已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=f(x)+f(y)，则（ ）（2023全国高考新高考I）
A f(0)=0 B f(1)=0 C f(x)是偶函数 D x=0为f(x)的极小值点
2、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
3、基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020全国高考新高考I）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数解析式即运用的问题，解答这类问题需要理解函数解析式的定义，掌握求函数解析式的基本方法；
（2）函数解析式是指表示函数y与自变量x之间的关系的式子；
（3）求函数解析式的基本方法有：①待定系数法；②拼凑法；③换元法；④运用方程思想求解函数解析式；⑤直接代入法；⑥运用轴对称图形和中心对称图形的性质求函数解析式；⑦根据应用问题的类型与特征求函数解析式。
[练习2]解答下列问题：
1、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能够完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新增订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）（2020全国高考新课标II）
A 10名 B 18名 C 24名 D 32名
【典例3】解答下列问题：
设f(x)=，0A 14 2（x-1），x 1， B 16 C 2 D 6
2、已知函数f(x)=-2，x<0，则 f(-1)+f(1)=（ ）（成都市高2021级高三一诊）
A -1 sin，x≥0， B 0 C 1 D 2
3、（理）已知函数f(x)=，x≥1，则f(2)的值为 。
，x<1，
（文）已知函数f(x)=，x≥1，则f(4）的值为 。（成都市高2021级高三三珍）
，x<1，
4、已知函数f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，则a=（）（成都市2020级高
+a，x0，三零诊）
A - B 0 C 1 D 2
5、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
6、已知函数f(x)= |x-1|，x0，则f(f())=（ ）（2021成都市高三零诊）
A 0 lnx， x>0， B 1 C e-1 D 2
『思考问题3』
（1）【典例3】是求函数值的问题，这类问题主要包括：①已知函数的解析式，求函数值；②分段函数求值；③抽象函数求值，解答这类问题需要理解函数值的定义，掌握求函数值的基本方法；
（2）已知函数的解析式，求函数值的基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出结果；
（3）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果；
（4）抽象函数求值的基本方法是赋值法，其基本步骤是：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
[练习3]解答下列问题：
1、函数f(x)= -x，x＜1，若f(a)=2，则a的值为 。（2021成都市高三二诊）
+1，x1,
2、已知函数f(x)= sin(x+)，x0，则f(-2)+ f(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
+1， x>0，
A B C D
3、已知函数f(x)= -3x，则“a>1”是“f(a)> f(1)”的（ ）（2020成都市高三三诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【典例4】解答下列问题：
设函数f(x)=（x+a）ln（x+b），若f(x)≥0，则+的最小值为（ ）（2024全国高考新高考II）
A B C D 1
2、下列函数最小值为4的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A y=+2x+4 B y=|sinx|+ C y=+ D y=lnx+
3、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
『思考问题4』
（1）【典例4】求函数值域（或最值）的问题，解答这类问题需要理解函数值域（或最值）的定义，掌握求函数值域（或最值）的基本方法；
（2）求函数值域的常用方法有：①运用基本函数的值域求值域；②常数分离法；③配方法；④判别式法；⑤换元法；⑥运用重要不等式求函数的值域；⑦数形结合法；⑧运用函数的单调性求值域；⑨运用函数的导数求值域；
（3）求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值。
[练习4]解答下列问题：
1、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
【典例5】解答下列问题：
设、函数f(x)=-1，g(x)=cosx+2ax（a为常数），当x（-1，1）时，曲线y=f(x)与y=g(x）恰有一个交点，则a=（ ）（2024全国高考新高考II）
A -1 B C 1 D 2
2、函数f(x)= -2023|x-2|的零点个数为（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、已知f(x)为函数y=cos（2x+ ）向左平移个单位所得函数，则y=f(x)与y=x-的交点个数为（ ）（2023全国高考甲卷）
A 1 B 2 C 3 D 4
4、（理）若正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的
一个大于e的零点，则的值为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A B C e D
5、（理）已知函数f(x)= ，x>0，则关于x的方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个
x，x0，数有可能值为（ ）
A 3或4或6 B 1或3 C 4或6 D 3
（文）已知函数f(x)= |lnx|，x>0，若函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点，，，
-3-x，x0，则..的值为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B - C 0或- D 0或-
6、（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）
『思考问题5』
（1）【典例5】是与函数零点及运用的问题，解答这类问题需要理解函数零点的定义，同时注意方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系；
（2）方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系是：方程f(x)=0有解函数y=f(x)的图像与X轴有交点函数y=f(x)有零点；
（3）判断函数是否有零点（或零点个数）的基本方法是：①解方程法：令f(x)=0，如果方程有解，则方程有几个解函数y=f(x)就有几个零点；②运用函数零点存在定理，具体运用定理时应该注意：1＞函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图像是连续的曲线，2＞f(a).f(b)<0，3＞结合函数的图像和性质得出结果；③数形结合法：把问题转化为函数图像与X轴的交点问题（或两个函数图像的交点的问题）。
[练习5]解答下列问题：
1、（理）若函数f(x)= + 的零点为，则（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高三一诊）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
3、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A （- 2，0）（2，+） B （- 2，0）（0，2）
C （- e，0）（e，+） D （- e，0）（0，e）
（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（2020成都市高三一诊）
A （- 1，0）（0，1） B （- 1，0）（1，+）
C （- e，0）（0，e） D （- e，0）（e，+）
函数概念5分小题问题的类型与解法
函数概念问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数概念的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），也可能是大题；难度系数为低（或中）档，但也有可能出现高档难度的问题。纵观近几年各种考试试卷，归结起来函数概念问题主要包括：①函数图像及运用；②函数定义及运用；③求函数值的问题；④求函数值域（或最值）的问题；⑤函数零点及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数概念问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
对称图形的性质求函数解析式；⑦根据应用问题的类型与特征求函数解析式。
【典例1】解答下列问题：
1、（理）函数f(x)=-+（-）sinx的大致图像为（ ）
（文）函数f(x)=-+（-）sinx在区间[-2.8,2.8]的大致图像为（ ）（2024全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数导函数定义与性质；③函数值定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；⑤求函数值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数奇偶性和函数值的性质，运用判断函数奇偶性和求函数值的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)是偶函数，可以排除A，C；求出f（）的值，从而破除D，就可得出选项。（文）根据函数奇偶性和函数值的性质，运用判断函数奇偶性和求函数值的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)是偶函数，可以排除A，C；求出f（）的值，从而破除D，就可得出选项。
【详细解答】（理）函数f(x)的定义域为R关于原点对称，f(-x)=- +（-）sin(-x)=-+（-）sinx=f(x)， 函数f(x)是偶函数，可以破除A，C；f（）=-+（-）sin=-+（-）>0，排除D，综上所述，B正确，选B。
（文）函数f(x)的定义域为R关于原点对称，f(-x)=- +（-）sin(-x)=-+（-）sinx=f(x)， 函数f(x)是偶函数，可以破除A，C；f（）=-+（-）sin=-+（-）>0，排除D，综上所述，B正确，选B。
2、已知函数f(x)的大致图像如图所示，则f(x)的解析式可以为（ ）（成都市高20211级高三一诊）
A f(x)= B f(x)= C f(x)= D f(x)=
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②指数函数定义与性质；③对数函数定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性，指数函数和对数函数的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合函数的大致图像对各选项的解析式进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+）与图像不符，A错误；对B，f(x)==，定义域为R，f(0)==0，f(-x)==-f(x)，函数f(x)是奇函数，图像关于原点对称，当x→+时，函数f(x)的图像与x轴无限逼近，函数 f(x)=的大致图像与已知图像吻合，B正确，选B。
3、函数f(x)=的图像大致为（ ）（成都市高2020级高三三珍）
【解析】
【考点】①函数图像定义与性质；②求定义域的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据函数图像的性质，运用求函数定义域，判断函数单调性与奇偶性的基本方法，求出函数的定义域，判断函数f(x)的单调性与奇偶性，从而确定出函数f(x)的大致图像就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（-，-）（-，）（，+），可以排除D；f(-x)===f(x)，函数f(x)是偶函数，当x（-，）时，f(x)=<0，当x（-，-）（，+）时，f(x)=>0，可以排除C；当x相当大时，函数f(x)单调递增，可以排除B，A正确，选A。
4、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③函数奇偶性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】根据指数函数，余弦三角函数和函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，得到函数y=（-）cosx是奇函数，从而排除B，D；当x（0，]时，->0，cosx>0，从而得到y=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出选项。
【详细解答】设f(x)= （-）cosx，区间[-，]关于原点对称，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函数f(x)在[-，]上是奇函数，图像关于原点对称，B，D错误；当x（0，]时，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C错误，A正确，选A。
5、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③正弦三角函数定义与性质；④幂函数定义与性质；⑤判断函数奇偶性的基本方法；⑥函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性，幂函数，余弦三角函数和正弦三角函数的性质，运用函数图
像和判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的函数进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对A，设f(x)= ， f(-x)= = =-
=- f(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； f(1)
= =1，f(3)= =-<0，与已知图像符合，A正确；对B，设g(x)= ， g(-x) ===-=- g(x)，函数g(x)奇函数，函数g(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； g(1)= =0，，g(3)= =>0，与已知图像不符合，B错误；对C，h(x)= ， h(-x)= = =-=- h(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；0< h(1)= =cos1<1，与已知图像不符合，C错误；对D，u(x)= ，
u(-x)= = =-=- u(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；0< u(1)= =sin1<1，与已知图像不符合，D错误，综上所述，A正确，选A。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数图像及运用的问题，这类问题主要包括：①已知函数解析式，求作函数图像；②函数图像的平移变换；③函数图像的伸缩变换；④函数图像的对称变换；⑤函数图像的翻折变换；⑥函数图像的旋转变换；解答这类问题需要理解函数图像的定义，掌握函数图像的基本作法；⑦函数图像的识图和变图；⑧函数图像的运用问题；
（2）作函数图像的基本方法有：①直接作图法；②描点作图法；③图像变换法；
(3)函数图像的识图与辨图问题主要包括：①已知函数图像，确定函数解析式选；②已知函数解析式，确定函数的图像；
（4）已知函数图像，确定函数解析式的基本方法是：①从图像的左右，上下分布观察函数定义域域和函数的值域；② 从图像的变化趋势观察函数的单调性；③ 从图像的对称性观察函数的奇偶性；④从图像的循环往复观察函数的周期性；
（5）已知函数的解析式，确定函数图像的基本方法是：①从函数的定义域判断图像的左右位置，从函数的值域判断图像上下位置；②从函数的单调性，判断图像的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图像的对称性；④从函数的周期性，判断图像的循环往复；⑤从函数的极值点判断函数的最值点。
（6）函数图像的运用问题主要包括：①运用函数图像研究函数的性质；②运用函数图像求解不等式；③运用函数图像求函数的零点；
（7）解答函数图像运用问题的常用方法是：①定性分析法；②定量分析法；③函数模型法。
[练习1]解答下列问题：
1、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）（答案：D）
A - 21 B -22 C -23 D -24
2、函数f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：B）
3、函数y=在［-6，6］的图像大致为（ ）（2019全国高考新课标III）（答案：B）
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=f(x)+f(y)，则（ ）（2023全国高考新高考I）
A f(0)=0 B f(1)=0 C f(x)是偶函数 D x=0为f(x)的极小值点
【解析】
【考点】①抽象函数定义与性质；②抽象函数求值的基本方法；③抽象函数判断奇偶性的基本方法；④确定函数极值的基本方法。
【解题思路】根据抽象函数的性质，运用抽象函数求值，判断奇偶性和确定极值的基本方法，对各个选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，当x=y=0时，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，A正确；对B，当x=y=1时，f(1)=f(1)+f(1)=0，f(1)=0，B正确；对C，当x=y=-1时，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0，f(-1)=0，当x=x，y=-1时，f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，函数f(x)是偶函数，C正确；对D，对任意的实数b，当x=y=b时，f(bb)=f(b)+f(b)=2f(b)=f()，f(b)=f()=0，函数f(x)=0在R是恒成立，f(x)不存在极值点，D错误，综上所述，ABC正确，选ABC。
2、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②函数解析式定义与性质；④已知函数解析式与函数值，确定自变量值的基本方法。
【解题思路】根据对数和函数解析式的性质，运用函数解析式和已知函数解析式，函数值，确定自变量值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出的值就可得出选项。
【详细解答】当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s， =2000ln(1+)，v=2000ln(1+)=2=22000ln(1+), ln(1+)=2ln(1
+)=ln, 1+=, =+2,D正确，选D。
3、基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020全国高考新高考I）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
【解析】
【考点】①函数定义与性质；②求函数解析式的基本方法； ③已知函数值，求自变量的基本方法。
【解题思路】根据函数性质和求函数解析式的基本方法，求出累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的函数解析式，运用已知函数值，求自变量的基本方法，求出累计感染病例数增加1倍，需要时间的近似值就可得出选项。
【详细解答】设新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数b人，指数增长率r与.T近似
满足=1+rT，当=3.28时，T=6，3.28=1+6r，r=0.38， I（t）= = ，
b= ，I（t+）= =.=b=2=2b，=2，0.38t
=ln20.69，t18(天)，B正确，选B。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数解析式即运用的问题，解答这类问题需要理解函数解析式的定义，掌握求函数解析式的基本方法；
（2）函数解析式是指表示函数y与自变量x之间的关系的式子；
（3）求函数解析式的基本方法有：①待定系数法；②拼凑法；③换元法；④运用方程思想求解函数解析式；⑤直接代入法；⑥运用轴对称图形和中心对称图形的性质求函数解析式；⑦根据应用问题的类型与特征求函数解析式。
[练习2]解答下列问题：
1、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能够完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新增订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）（2020全国高考新课标II）（答案：B）
A 10名 B 18名 C 24名 D 32名
【典例3】解答下列问题：
1、设f(x)=，0A 14 2（x-1），x 1， B 16 C 2 D 6
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②幂函数定义与性质；③分段函数求值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数和幂函数的性质，运用分段函数求值的基本方法，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程求出m的值，从而求出f()的值就可得出选项。
【详细解答】 ①当0m=，f()=f(8)=2（8-1）=14；②当m 1时，f(m)=2m-2，f(m+1)=2m，f(m)=f(m+1)，
2m-2=2m，显然不成立，综上所述，f()=14，A正确，选A。
2、已知函数f(x)=-2，x<0，则 f(-1)+f(1)=（ ）（成都市高2021级高三一诊）
A -1 sin，x≥0， B 0 C 1 D 2
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出 f(-1)+f(1)的值就可得出选项。
【详细解答】-1<0， f(-1)=1-2=-1，1≥0， f(1)=sin=1，f(-1)+f(1)=-1+1=0，B正确，选B。
3、（理）已知函数f(x)=，x≥1，则f(2)的值为 。
，x<1，
（文）已知函数f(x)=，x≥1，则f(4）的值为 。（成都市高2021级高三三珍）
【解析】 ，x<1，
【考点】①分段函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③对数函数定义与性质；④求分段函数值的基本方法。
【解题思路】（理）根据分段函数，指数函数和对数函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件就可求出f(2)的值。 （文）根据分段函数，指数函数和对数函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件就可求出f(2)的值。
【详细解答】 （理）2<1，f(2)==。
（文） 4>1，f(4）==4。
4、已知函数f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，则a=（）（成都市2020级高三零诊）
+a，x0，
A - B 0 C 1 D 2
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②幂函数定义与性质；③指数函数定义与性质；④分段函数求值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，幂函数和指数函数的性质，运用分段函数求值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】 f(-1)=1+a，a>-1，1+a >0，f(f(-1))= =4=，1+a=2，即a=1，
C正确，选C。
5、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(-2)+ f(ln4)的值就可得出选项。
【详细解答】 -2<1， f(-2)= （2+2）=4=2，ln4>1， f(ln4)= =4，f(-2)+ f(ln4)=2+4=6，C正确，选C。
6、已知函数f(x)= |x-1|，x0，则f(f())=（ ）（2021成都市高三零诊）
A 0 lnx， x>0， B 1 C e-1 D 2
【解析】
【考点】①分段函数的定义与性质；②分段函数求值的基本方法。
【解答思路】根据分段函数的性质和求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(f())的函数值就可得出选项。
【详细解答】 f()=ln=-1， f(-1)=|-1-1|=2， f(f()) =2，D正确，选D。
『思考问题3』
（1）【典例3】是求函数值的问题，这类问题主要包括：①已知函数的解析式，求函数值；②分段函数求值；③抽象函数求值，解答这类问题需要理解函数值的定义，掌握求函数值的基本方法；
（2）已知函数的解析式，求函数值的基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出结果；
（3）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果；
（4）抽象函数求值的基本方法是赋值法，其基本步骤是：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
[练习3]解答下列问题：
1、函数f(x)= -x，x＜1，若f(a)=2，则a的值为 。（2021成都市高三二诊）
+1，x1,（答案：若f(a)=2，则a的值为-1。）
2、已知函数f(x)= sin(x+)，x0，则f(-2)+ f(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
+1， x>0，（答案：C）
A B C D
3、已知函数f(x)= -3x，则“a>1”是“f(a)> f(1)”的（ ）（2020成都市高三三诊）（答案：A）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【典例4】解答下列问题：
1、设函数f(x)=（x+a）ln（x+b），若f(x)≥0，则+的最小值为（ ）（2024全国高考新高考II）
A B C D 1
【解析】
【考点】①一元一次函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求一元二次函数最值的基本方法。
【解答思路】根据一元一次函数，对数函数盒一元二次函数的性质，运用求一元二次函数最值的基本方法，结合问题条件求出+的最小值就可得出选项。
【详细解答】f(x)=（x+a）ln（x+b）≥0，x+a≥0，且x+b≥1，或x+a≤0，且0-a=1-b，+=+=2-2b+1，当且仅当b=,即a=-,b=时，+=
+=为最小值，C正确，选C。
2、下列函数最小值为4的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A y=+2x+4 B y=|sinx|+ C y=+ D y=lnx+
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②基本不等式及运用；③指数函数定义与性质；④对数函数定义与性质；⑤求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据一元二次函数，指数函数，对数函数的性质和基本不等式，运用求函数最值的基本方法，分别求出各选项函数的最小值就可得出选项。
【详细解答】对A，函数y=+2x+4当且仅当x=- =-1时，=1+2 （-1）+4=3
4，排除A；对B，由|sinx|=，得|sinx|=2，而|sinx|1，等号不能成立，函数y=|sinx|+不存在最小值，排除B，对C，+=+2224，当且仅当=，即x=1时，等号成立，函数y=+最小值为4，C正确，选C。
3、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据分段函数和对数函数的性质；运用求函数最值的基本方法就可求出函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值。
【详细解答】①当x时，f(x)=|2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，x，（x）=2-=，
令（x）=0得：x=1，x[，1）时，（x）<0，x[1，+ ）时，（x）0，
函数f(x)在[，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增，= f(x)=21-1-2ln1=1；②当0f()=1-2-2ln=2ln2>2ln>2>1，综上所述，函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1。
『思考问题4』
（1）【典例4】求函数值域（或最值）的问题，解答这类问题需要理解函数值域（或最值）的定义，掌握求函数值域（或最值）的基本方法；
（2）求函数值域的常用方法有：①运用基本函数的值域求值域；②常数分离法；③配方法；④判别式法；⑤换元法；⑥运用重要不等式求函数的值域；⑦数形结合法；⑧运用函数的单调性求值域；⑨运用函数的导数求值域；
（3）求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值。
[练习4]解答下列问题：
1、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）（答案：的取值范围是（0，1）。）
【典例5】解答下列问题：
1、设、函数f(x)=a-1，g(x)=cosx+2ax（a为常数），当x（-1，1）时，曲线y=f(x)与y=g(x）恰有一个交点，则a=（ ）（2024全国高考新高考II）
A -1 B C 1 D 2
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②确定函数零点的基本方法。
【解答思路】根据函数零点的性质，运用确定函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】 函数f(x)=a-1，g(x)=cosx+2ax（a为常数），曲线y=f(x)与y=g(x）恰有一个交点，方程a-1=cosx+2ax只有一个实数解，函数h(x)=a-cosx+a-1只有一个零点，函数h(x)的定义域为R关于原点对称，h(-x)=a-cos(-x)+a-1=a-cosx+a-1
=h(x)，函数h(x)是偶函数，函数h(x)只有一个零点，h(0)=0-1+a-1=a-2=0，a=2，D正确，选D。
2、函数f(x)= -2023|x-2|的零点个数为（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②指数函数定义与性质；③分段函数函数定义与性质；④确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，指数函数和函数零点的性质，运用确函数零点的基本方法，结
合问题条件得出、函数f(x)= -2023|x-2|的零点个数就可得出选项。 y
【详细解答】 f(x)= -2023|x-2|=0，=2023|x-2|， 1
在同一直角坐标系中作出函数y=和函数y=2023|x-2|的 0 1 2 x
图像如图所示，由图知函数y=和函数y=2023|x-2|有三个不同的交点，函数f(x)=
-2023|x-2|的零点个数为3个，D正确，选D。
3、已知f(x)为函数y=cos（2x+ ）向左平移个单位所得函数，则y=f(x)与y=x-的交点个数为（ ）（2023全国高考甲卷）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考点】①三角函数图像平移定义与性质；②三角函数诱导公式及运用；③正弦型三角函数定义与性质；④函数零点定义与性质；⑤确定函数零点的基本方法。
【解答思路】根据三角函数图像平移的性质和三角函数诱导公式，结合问题条件得到函数f(x)的解析式，运用正弦型三角函数，函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，求出函数y=f(x)与y=x-的交点个数就可得出选项。 y
【详细解答】f(x)=cos[2（x+）+ ]
=cos(2x+）=-sin2x，在同一直角坐标系中 - ---0 x
作出函数f(x)与y=x-的图像如图所示，由图知，函数f(x)与y=x-的交点有3个，
C正确，选C。
4、（理）若正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的
一个大于e的零点，则的值为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A B C e D
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数确定函数零点的基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解答思路】根据函数零点的性质，结合问题条件得到（-1）= ，（-e）（ln-1）=，从而得到（-e）=，（ln-1）（-e）=（ln-1）（-e）=，由此得到（-e）=（ln-1）（-e），设函数h(x)=x(-e)，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数h(x)的导函数（x），由（x）0在（0，+）上恒成立，得到函数h(x) 在（0，+）上单调递增，从而得到=（ln-1），求出的值就可得出选项。
【详细解答】正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的一个大于e的零点，--=0.，（-e）（ln（-1）-=0，（-1）=，（-e）（ln-1）=，（-e）=，（-e）（ln-1）=（ln-1）（-e）=，（-e）=（ln-1）（-e）=，设函数h(x)=x(-e)（x>0），（x）=-e+x=(x+1) -e0在（0，+）上恒成立，函数h(x) 在（0，+）上单调递增， h()= h(ln-1)=， =ln-1，===e，C正确，选C。
5、（理）已知函数f(x)= ，x>0，则关于x的方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个
x，x0，数有可能值为（ ）
A 3或4或6 B 1或3 C 4或6 D 3
（文）已知函数f(x)= |lnx|，x>0，若函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点，，，
-3-x，x0，则..的值为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B - C 0或- D 0或-
【解析】
【考点】①函数零点的定义与性质；②确定函数零点的基本方法；③函数求导公式，法则和
基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑤函数图像及运用；⑥数学换元
法及运用。
【解题思路】（理）根据和零点的性质和函数求导公式，法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数导函数判断函数单调性和确定函数零点的基本方法，作出函数f(x)的图像，由数学换元法得到e f(x) -a f(x)-1=0(aR)， e t-at-1=0(aR)，利用方程e t-at-1=0(aR)，的根，结合函数f(x)图像确定出方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个数的所有可能值就可得出选项。（文）根据函数零点的性质和函数图像，运用确定函数零点的基本方法，得到函数g(x) 的三个不同的零点，，，从而求出..的值就可得出选项。
【详细解答】（理）当x>0时， (x)= =，令 (x)=解得：x=1，,当x（0，1）时，（x）>0，当x（1，+）时，（x）<0，函数f(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，= f(1)= =1， y y=
f()==0，当 x0时， (x)=（x+1）， 1
令 (x)= 0解得：x=-1，当x（-，-1）时， -1 0 1 y=
EMBED Equation.DSMT4 （x）<0，当x（-1，0）时，（x）>0， -
函数f(x)在（-，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，= f(-1)=- =-，作出函数f(x)的图像如图所示，设t= f(x)， e f(x) -a f(x)-1=0(aR)， e t-at-1=0(aR)，
= +4e>0，. =-，①当>1时，-<=-.<0，如图此时函数f(x)的图像与直线y=t有三个不同的交点，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)有3个不同的解；②当=1时，=
-.=-，如图此时函数f(x)的图像与直线y=t有三个不同的交点，方程e f(x) -a f(x)-1
=0(aR)有3个不同的解；③当0<<1时，=-.<-，如图此时函数f(x)的图像与直线y=t仍有三个不同的交点，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)仍有3个不同的解，综上所述，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)仍有3个不同的解，D正确，选D。（文）函数g(x)的零点，方程f(x) =m(mR)的根，函数f(x)的图像与直线y=m的交点的横坐标，作出函数f(x)的图像如图所示，①当m>时，直线y=m和函数f(x)的图像至多有两个交点，与函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点不符；②当m=时，直线y=m和函数f(x)的图像有三个不同的交点，此时=-，|ln|=-ln，|ln|=ln，-ln= ln， ln+ ln
=ln(.)=0，.=1，.. =-1 y
=- ； ③当0图像有四个不同的交点，与函数g(x)= f(x) –m - - 0 1 x
(mR)有三个不同的零点不符；④当m=时，
直线y=m和函数f(x)的图像有三个不同的交点，此时=-，=0，=1，.. =-01=0；⑤当m<0时，直线y=m和函数f(x)的图像只有一个交点，与函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点不符，综上所述，..的值为或0，D正确，选D。
6、（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②周期函数定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④函数图像及运用；⑤求函数零点的基本方法。
【解题思路】（理）根据奇函数和周期函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，由g(x)= f(x)- 的零点，函数f(x)与函数y=的交点，在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像，运用函数图像确定出函数g(x)= f(x)- 的所有零点，就可求出所有零点之和。（文）根据奇函数和周期函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，由g(x)= f(x)- 的零点，函数f(x)与函数y=的交点，在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像，运用函数图像确定出函数g(x)= f(x)- 的所有零点，就可求出所有零点之和。
【详细解答】（理）定义在R上的奇函数f(x)满足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函数f(x)是以4为周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 x
的周期函数，当x[0，1]时，f(x)=，
在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像如图所示，由图知函数f(x)
与函数y=的图像在[-2，2]上有三个交点，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有两点交点<，且+=52=10，在[6，10]上有两个交点<，且+=92=18，在[-6，-2]上有两个交点<，且+=-52=-10，函数g(x)共有9个零点<<<<<<<<，+++++++
+=-10+0+10+18=18。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函数f(x)是以4为周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
的周期函数，当x[0，1]时，f(x)=，
在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像如图所示，由图知函数f(x)与函数y=的图像在[-2，2]上有三个交点，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有两点交点<，且+=52=10，在[6，10]上有一个交点=10，在[-6，-2]上有,一个交点=-5，, 函数g(x)共有7个零点<<<<<<，且++++++=-5+0+10+9=14。
『思考问题5』
（1）【典例5】是与函数零点及运用的问题，解答这类问题需要理解函数零点的定义，同时注意方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系；
（2）方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系是：方程f(x)=0有解函数y=f(x)的图像与X轴有交点函数y=f(x)有零点；
（3）判断函数是否有零点（或零点个数）的基本方法是：①解方程法：令f(x)=0，如果方程有解，则方程有几个解函数y=f(x)就有几个零点；②运用函数零点存在定理，具体运用定理时应该注意：1＞函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图像是连续的曲线，2＞f(a).f(b)<0，3＞结合函数的图像和性质得出结果；③数形结合法：把问题转化为函数图像与X轴的交点问题（或两个函数图像的交点的问题）。
[练习5]解答下列问题：
1、（理）若函数f(x)= + 的零点为，则（-1）=（ ）（答案：B）
A B 1 C D 2
（文）若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍）（答案：B）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高三一诊）（答案：A）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
3、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A （- 2，0）（2，+） B （- 2，0）（0，2）（答案：D）
C （- e，0）（e，+） D （- e，0）（0，e）
（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（2020成都市高三一诊）（答案：A）
A （- 1，0）（0，1） B （- 1，0）（1，+）
C （- e，0）（0，e） D （- e，0）（e，+）

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