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函数性质5分小题问题的类型与解法
函数性质问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数性质的问题。从题型上看是选择题(或填空题），难度系数为低（或中）档，但也有可能是高档。纵观近几年各种考试试卷，归结起来函数性质问题主要包括：①函数单调性及运用；②函数奇偶性，周期性及运用；③函数单调性，奇偶性和周期性的综合运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数性质问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
已知函数f(x)=--2ax-a，x＜0，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
+ln（x+1），x 0， （2024全国高考新高考I）
A （-，0] B [-1,0] C [-1,1] D [0,+）
2、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
3、设函数f(x)=在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围是（ ）（2023全国高考新高考I）
A （-，-2] B [-2，0） C （0，2] D [2，+）
4、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
-1，05、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= f(x-2)，x>2，有下列结论：
①函数f(x)在（-6，-5）上单调递增；②函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4个不相等的实数根，则这4个根之和为8；④记函数f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值为，则数列{}的前7项和为。其中所有正确结论的编号是 （成都市2019级高三零诊）
6、下列函数中是增函数的为（ ）（2021全国高考甲卷）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数单调性及运用的问题，解答这类问题需要理解增函数，减函数，函数单调性的定义，掌握增函数，减函数，函数单调性的性质和判断（或证明）函数单调性的基本方法，判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）图像法的基本方法是：①作出函数的图像；②确定判断（或证明）的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出结果；
（3）定义法的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）的区间；③在相应的区间上任取，，且＜； ④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据④得出结果。
（4）比较函数值f()，f()的大小的基本方法是：①求差法；②求商法；
（5）求差法的基本方法是：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③根据②得出结果；
（6）求商法的基本方法是：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③根据②得出结果；
（7）对含参数的函数，在判断（或证明）函数的单调性时，应注意对参数的可能情况先进行分别考虑，然后再综合得出结论。
[练习1]解答下列问题：
1、若定义在R上的奇函数f(x)在（-，0）上单调递减，且f(2)=0，则满足x f(x-1) 0的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）
A [-1,1] [3，+） B [-3,-1] [0，1] C[-1,0] [1，+） D [-1,0] [1，3]
2、（理）设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)（ ）
A 是偶函数，且在（，+）上单调递增 B 是奇函数，且在（-，）上单调递减C 是偶函数，且在（-，-）上单调递增 D 是奇函数，且在（-，-）上单调递减
（文）设函数f(x)= - ，则f(x)（ ）（2020全国高考新课标II）
A 是奇函数，且在（0，+）上单调递增 B 是奇函数，且在（0，+）上单调递减
C 是偶函数，且在（0，+）上单调递增 D 是偶函数，且在（0，+）上单调递减
【典例2】解答下列问题：
1、若y=+ax+sin(x+)为偶函数，则a= （2023全国高考甲卷）
已知函数f(x)= 是偶函数，则a=（ ）（2023全国高考乙卷）
A - 2 B -1 C 1 D 2
3、若f(x)=（x+a）ln是偶函数，则a=( )(2013全国高考新高考II)
A -1 B 0 C D 1
4、若奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x)，且当x[0,1]时，f(x)=，则f(23)=（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A -1 B - C 0 D
5、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
6、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
7、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
8、若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a= ，b= （2022全国高考乙卷文）
9、已知函数f(x)及其到函数（x）的定义域均为R，记g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
10、若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，则=（ ）（2022全
国高考新高考II卷）
A - 3 B -2 C 0 D 1
11、（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）
12、设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（2021全国高考乙卷）
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数奇偶性，周期性及运用的问题，解答这类问题需要理解奇函数，偶函数，函数周期的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性，周期性的基本方法；
(2)判断（或证明）函数奇偶性，周期性的基本方法是：①图像法；②定义法；
（3）在具体判断（或证明）函数的奇偶性，周期性时，如果已知函数的解析式，一般应该采用定义法；如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出）应该采用图像法；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性时，在验证f(-x)与f(x)时，需要分段分别进行验证。
（5）用定义法判断（或证明）函数周期性的基本方法是：①确定一个常数T；②验证f(x+T)
与f(x)的值是否相等；③得出结果；
周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
[练习2]解答下列问题：
1、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
2、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
3、函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17，则f(f())= （2021成都市高三一诊）
4、关于函数f(x)=sinx+ 有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关
于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是
（2020全国高考新课标III）
【典例3】解答下列问题：
已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当x<3时，f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）（2024全国高考新高考I）
A f(10) >100 B f(20) >1000 C f(10) <1000 D f(20) <10000
2、已知函数f(x)=3x-sinx，若f(a)+f(-2)>0，则实数a的取值范围为 。（成都市高2021级高三二诊）
3、（理）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x [1，2]时，f(x)=a+b，若f(0)+ f(3)=6，则f()=（ ）
A - B - C D
（文）设f(x)的定义域在R上的奇函数，且f(x+1)= f(-x)，若f(-)=，则f()=（ ）（2021全国高考甲卷）
A - B - C D
『思考问题3』
（1）【典例3】是函数性质综合运用的问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，奇偶性和周期性，并能灵活运用函数的单调性，奇偶性和周期性解答相关问题；
（2）对于具体问题首先应该弄清楚它与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关，然后结合函数的相应性质进行解答；
（3）解答函数性质综合问题的关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，注意两个常用结论：①f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)；②若奇函数在x=0处与意义，则有f(0)=0。
[练习3]解答下列问题：
1、已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则（ ）（2021全国高考新高考II）
A f(-)=0 B f(-1)=0 C f(2)=0 D f(4)=0
2、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）
（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(
0.3),b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（20
21成都市高三二诊）
函数性质5分小题问题的类型与解法
函数性质问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数性质的问题。从题型上看是选择题(或填空题），难度系数为低（或中）档，但也有可能是高档。纵观近几年各种考试试卷，归结起来函数性质问题主要包括：①函数单调性及运用；②函数奇偶性，周期性及运用；③函数单调性，奇偶性和周期性的综合运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数性质问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=--2ax-a，x＜0，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
+ln（x+1），x 0， （2024全国高考新高考I）
A （-，0] B [-1,0] C [-1,1] D [0,+）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③指数函数定义与性质；④对数函数定义与性质；⑤判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，一元二次函数，指数函数和对数函数的性质，运用判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，区间不等式求出a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)在R上单调递增，一元二次函数=--2ax-a在（-，0）上的最大值< f(0)=-0-0-a=-a≤1+0=1①，且-a≥0②，联立①②解之得：-1≤a≤0，B正确，选B。 ,
2、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②判断复合函数单调性的基本方法；③运用函数单调性比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的单调性，利用函数单调性比较实数大小的基本方法，求出a，b，c的大小关系就可得出选项。 y
【详细解答】设g(x)=-，作出函数g(x)的 0 1 x
图像如图所示，由图知函数g(x)在（-，1）上
单调递增，在（1，+）上单调递减，函数f(g(x))在R上单调递增，函数f(x)在（-，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，<<1，>1，-1-1+=
-2<-2=2-2=0，-1-1+=-2>-2=2-2=0，b=f()>c
=f()>a=f()， A正确，选A。
3、设函数f(x)=在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围是（ ）（2023全国高考新高考I）
A （-，-2] B [-2，0） C （0，2] D [2，+）
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③判断复合函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，区间不等式求出a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设g(x)=x（x-a）=-ax，函数f(g(x))在R上单调递增，函数f(x)在（0，1）
上单调递减，函数g(x)在（0，1）上单调递减，x=-=≥1，a≥2，即若函数f(x)=在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围是[2，+），D正确，选D。
4、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法得到关于k的不等式，求解不等式求出实数k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 (x)= k-=，①当k0时， (x)<0在（1，+）恒成立，函数f(x)在（1，+）上单调递减，与题意不符；②当k>0时，令 (x)=0解得x=，函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增， 1，k2，综上所述，若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是[2，+），B正确，选B。 -1，05、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= f(x-2)，x>2，有下列结论：
①函数f(x)在（-6，-5）上单调递增；②函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4个不相等的实数根，则这4个根之和为8；④记函数f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值为，则数列{}的前7项和为。其中所有正确结论的编号是 （成都市2019级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数零点定义与性质；③函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质，结合问题条件作出函数f(x)的图像如图所示，对①，由函数图像得到函数f(x)在（5，6）上单调递增，从而得到函数f(x)在（-6，-5）上单调递增，结论①正确；对②，当x>0时，函数f(x)的图像与直线y=x只有一个交点，由奇函数的性质得到函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有3个交点，从而得到②错误；对③，设f(x)=t，由方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，得到t=0或t=1，当t=1时，根据图像f(x)=1只有一个根=2，由方程恰有4个不同的根，有两种可能：（1）t=a=，由f(x)= ，结合函数图像得到+=2，=4，从而得到+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，由f(x)= -，结合函数图像得到+=-2，=-4，从而得到+++=2-2-4=-4，③错误；对④，由函数图像可知，当x[1，2]时，= f(2)=1，得到=1，从而得到数列{}是以=1为首项，为公比的等比数列，===，④正确；就可得出其中所有正确结论的编号。 -1，0【详细解答】函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= f(x-2)，x>2，作出函数f(x)的图像如图所示，对①，函数f(x)在 y
（5，6）上单调递增，函数f(x)在（-6，-5） 1
上单调递增，结论①正确；对②，当x>0时，
函数f(x)的图像与直线y=x只有一个交点， 0 1 2 3 4 5 6 x
函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有3个交点，
②错误；对③，设f(x)=t，方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，解得t=0或t=1，当t=1时，f(x)=1只有一个根=2，方程恰有4个不同的根，有两种可能：（1）t=a=，f(x)= 得到+=2，=4，+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，f(x)= -，得到+=-2，=-4， +++=2-2-4=-4，③错误；对④，当x[1，2]时，= f(2)=1，=1，数列{}是以=1为首项，为公比的等比数列，===，④正确；其中所有正确结论的编号是①④。
6、下列函数中是增函数的为（ ）（2021全国高考甲卷）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
【解析】
【考点】①正比例函数的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③一元二次函数的定义与性质；④幂函数的定义与性质。
【解题思路】根据正比例函数，指数函数，一元二次函数和幂函数的性质结合问题条件分别对各选项的单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，-1<0， f(x)=-x是减函数，即A错误；对B，0< <1， f(x)=
是减函数，即B错误；对C，当x （- ，0）时，函数 f(x)= 是减函数，C错误；对D，>0，函数 f(x)= 是R上的增函数，D正确，选D。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数单调性及运用的问题，解答这类问题需要理解增函数，减函数，函数单调性的定义，掌握增函数，减函数，函数单调性的性质和判断（或证明）函数单调性的基本方法，判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）图像法的基本方法是：①作出函数的图像；②确定判断（或证明）的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出结果；
（3）定义法的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）的区间；③在相应的区间上任取，，且＜； ④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据④得出结果。
（4）比较函数值f()，f()的大小的基本方法是：①求差法；②求商法；
（5）求差法的基本方法是：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③根据②得出结果；
（6）求商法的基本方法是：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③根据②得出结果；
（7）对含参数的函数，在判断（或证明）函数的单调性时，应注意对参数的可能情况先进行分别考虑，然后再综合得出结论。
[练习1]解答下列问题：
1、若定义在R上的奇函数f(x)在（-，0）上单调递减，且f(2)=0，则满足x f(x-1) 0的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）（答案：D）
A [-1,1] [3，+） B [-3,-1] [0，1] C[-1,0] [1，+） D [-1,0] [1，3]
2、（理）设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)（ ）（答案：D）
A 是偶函数，且在（，+）上单调递增 B 是奇函数，且在（-，）上单调递减C 是偶函数，且在（-，-）上单调递增 D 是奇函数，且在（-，-）上单调递减
（文）设函数f(x)= - ，则f(x)（ ）（2020全国高考新课标II）（答案：A）
A 是奇函数，且在（0，+）上单调递增 B 是奇函数，且在（0，+）上单调递减
C 是偶函数，且在（0，+）上单调递增 D 是偶函数，且在（0，+）上单调递减
【典例2】解答下列问题：
1、若y=+ax+sin(x+)为偶函数，则a= （2023全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②三角函数诱导公式及运用；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解答思路】根据偶函数的性质，运用三角函数诱导公式和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】函数y=+ax+sin(x+)=+ax+cosx为偶函数， -ax
+cosx=+ax+cosx,(4-2a)x=0，a=2。
2、已知函数f(x)= 是偶函数，则a=（ ）（2023全国高考乙卷）
A - 2 B -1 C 1 D 2
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解答思路】根据偶函数的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= 是偶函数，f(-x)===f(x)=，
==0，x0，=0，ax=2x，a=2，D正确，
选D。
3、若f(x)=（x+a）ln是偶函数，则a=( )(2013全国高考新高考II)
A -1 B 0 C D 1
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=（x+a）ln是偶函数， f(-x)=（-x+a）ln =-（-x+a）ln ，2a ln =0, a=0， B正确，选B。
4、若奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x)，且当x[0,1]时，f(x)=，则f(23)=（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A -1 B - C 0 D
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②周期函数定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据奇函数和周期函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，运用求函数值的基本方法，求出f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，从而求出f(23)的值就可得出选项。
【详细解答】奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x)， f(x+2)=-f(2-x)，f(x+2)=-f(x+4)，f(x)=-f(x+2)=f(x+4)， 函数f(x)是以4为周期的周期函数，当x[0,1]时，f(x)=， f(0)==0，f(1)==，f(2)=-f(0)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-， f(23)=f(45+3)
=f(3)=-，f(23)=-，B正确，选B。
5、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③函数奇偶性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】根据指数函数，余弦三角函数和函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，得到函数y=（-）cosx是奇函数，从而排除B，D；当x（0，]时，->0，cosx>0，从而得到y=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出选项。
【详细解答】设f(x)= （-）cosx，区间[-，]关于原点对称，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函数f(x)在[-，]上是奇函数，图像关于原点对称，B，D错误；当x（0，]时，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C错误，A正确，选A。
6、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③正弦三角函数定义与性质；④幂函数定义与性质；⑤判断函数奇偶性的基本方法；⑥函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性，幂函数，余弦三角函数和正弦三角函数的性质，运用函数图像和判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的函数进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对A，设f(x)= ， f(-x)= = =-
=- f(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； f(1)
= =1，f(3)= =-<0，与已知图像符合，A正确；对B，设g(x)= ， g(-x) ===-=- g(x)，函数g(x)奇函数，函数g(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； g(1)= =0，，g(3)= =>0，与已知图像不符合，B错误；对C，h(x)= ， h(-x)= =
=-=- h(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；
0< h(1)= =cos1<1，与已知图像不符合，C错误；对D，u(x)= ， u(-x)= = =-=- u(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；0< u(1)= =sin1<1，与已知图像不符合，D错误，综上所述，A正确，选A。
7、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关
于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数对称性定义与性质；③函数周期性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；⑤判断函数周期性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性，对称性和周期性的性质，运用判断函数奇偶性和周期性的基本方法，得到函数f(x)是以4为周期的偶函数，结合问题条件求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，从而求出=的值，就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)，g(x)的定义域均为R，y=g(x)的图像关于直线x=2对称， g(2-x)= g(2+x)， f(x)+g(2-x)=5，f(-x)+g(2+x)=5， f(x)= f(-x)，函数f(x)是R上的偶函数， g(2)=4，f(x)+g(2-x)=5， f(0)+g(2)= f(0)+4=5， f(0)=1， g(x)- f(x-4)=7，g（2-x)=f(-x
-2)+7，5- f(x)= f(-x-2)+7， f(x)+ f(-x-2)=-2， f(x)+ f(x+2)=-2， f(x+2)+ f(x+4)=-2，
f(x)= f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函数， f(0)+ f(2)=-2，f(0)=1， f(2)=-3，
f(3)= f(4-1)= f(-1)= f(1)=-1，f(4)= f(4+0)= f(0)=1， f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=-3-1-1+1=-4，
=-45+ f(21)+ f(22)=-20+ f(1)+ f(2)=-20-1-3=-24，=-24，D正确，选D。
8、若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a= ，b= （2022全国高考乙卷文）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值。
【详细解答】函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数， a+= 0，x=
=-1，a=-，函数f(x)=ln|a+|+b的定义域为（- ，-1）（-1，1）（1，+），
f(0)=ln|-+1|+b=-ln2+b=0，b=ln2，若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a=-，
b=ln2。
9、已知函数f(x)及其到函数（x）的定义域均为R，记g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③轴对称图形定义与性质；④周期函数定义与性质；⑤判断函数周期性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)关于直线x=对称，函数g(x)=（x）关于直线x=2对称，从而得到函数f(x)关于点（2，t）对称，函数g(x)=（x）关于点（，0）对称，运用周期函数的性质和判断函数周期性的基本方法，得到函数f(x)，函数g(x)=（x）均为以2为周期的周期函数，从而得到 f(0) = f(2) =t， f(-1)= f(4) ，可以判断A错误，C正确；g(-)=g()=0，g(-1)= g(1)，可以判断B正确，D错误，就可得出选项。
【详细解答】 f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，函数f(x)关于直线x=对称，函数g(x)=（x）关于直线x=2对称，函数f(x)关于点（2，t）对称，函数g(x)=（x）关于点（，0）对称，函数f(x)，函数g(x)=（x）均为以2为周期的周期函数， f(0) = f(2) =t，f(-1)= f(1) ，f(-1)= f(1) ，f(1)= f(2) ，f(2)= f(4) ，f(-1)= f(4) ，A错误，C正确； g(-)
= g(2-)= g()=0，g(-1)= g(1)=0，g(1)+ g(2)=0， g(-1)+ g(2)=0，B正确，D错误，综上所述，BC正确，选BC。
10、若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，则=（ ）（2022全
国高考新高考II卷）
A - 3 B -2 C 0 D 1
【解析】
【考点】①抽象函数定义与性质；②求抽象函数值的基本方法；③周期函数定义与性质；④判断函数是周期函数的基本方法。
【解题思路】根据抽象函数和周期函数的性质，运用判断函数是周期函数的基本方法，得到函数f(x)是以6为周期的周期函数，利用求抽象函数值的基本方法，结合问题条件求出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，f(6)的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】当x=x，y=1时， f(1)=1，f(x+1)+ f(x-1)= f(x). f(1)， f(x+1)+ f(x-1)= f(x)， f(x+2) = f(x+1)- f(x)，f(x+3) = f(x+2)- f(x+1)， f(x+3) = -f(x)， f(x)= f(x+6)，函数f(x)是以6为周期的周期函数，当x=x，y=1时，f(1)+ f(1)= f(1). f(0)， f(0)=2， f(2) = f(1) -f(0)=1-2=-1，f(3) = f(2)- f(1)=-1-1=-2，------， f(6) = f(5)-f(4)=1-（-1）=2， f(1)+ f(2)+----+ f(6)= 1-1-2-1+1+2=0，=40- f(23)- f(24)=0- f(5)- f(6)=0-1-2=-3，=-3，A正确，选A。
11、（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②周期函数定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④函数图像及运用；⑤求函数零点的基本方法。
【解题思路】（理）根据奇函数和周期函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，由g(x)= f(x)- 的零点，函数f(x)与函数y=的交点，在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像，运用函数图像确定出函数g(x)= f(x)- 的所有零点，就可求出所有零点之和。（文）根据奇函数和周期函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，由g(x)= f(x)- 的零点，函数f(x)与函数y=的交点，在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像，运用函数图像确定出函数g(x)= f(x)- 的所有零点，就可求出所有零点之和。
【详细解答】（理）定义在R上的奇函数f(x)满足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函数f(x)是以4为周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 x
的周期函数，当x[0，1]时，f(x)=，
在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像如图所示，由图知函数f(x)
与函数y=的图像在[-2，2]上有三个交点，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有两点交点<，且+=52=10，在[6，10]上有两个交点<，且+=92=18，在[-6，-2]上有两个交点<，且+=-52=-10，函数g(x)共有9个零点<<<<<<<<，+++++++
+=-10+0+10+18=18。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函数f(x)是以4为周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
的周期函数，当x[0，1]时，f(x)=，
在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像如图所示，由图知函数f(x)
与函数y=的图像在[-2，2]上有三个交点，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有两点交点<，且+=52=10，在[6，10]上有一个交点=10，在[-6，-2]上有,一个交点=-5，, 函数g(x)共有7个零点<<<<
<<，且++++++=-5+0+10+9=14。
12、设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的函数奇偶性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数g(x)= f(x-1)-1= -1 =的定义域为（- ，0）（0，+）关于原点对称，g(-x)= =- -- g(x)，函数g(x)= f(x-1)-1不是奇函数，A错误；对B，函数g(x)= f(x-1)+1=+1=的定义域为（- ，
0）（0，+）关于原点对称，g(-x)= =-=- g(x)，函数g(x)= f(x-1)+1是奇函数，B
正确，选B。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数奇偶性，周期性及运用的问题，解答这类问题需要理解奇函数，偶函数，函数周期的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性，周期性的基本方法；
(2)判断（或证明）函数奇偶性，周期性的基本方法是：①图像法；②定义法；
（3）在具体判断（或证明）函数的奇偶性，周期性时，如果已知函数的解析式，一般应该采用定义法；如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出）应该采用图像法；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性时，在验证f(-x)与f(x)时，需要分段分别进行验证。
（5）用定义法判断（或证明）函数周期性的基本方法是：①确定一个常数T；②验证f(x+T)
与f(x)的值是否相等；③得出结果；
周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
[练习2]解答下列问题：
1、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）（答案：a=1。）
2、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）（答案：同时具有下列性质①②③的函数f(x)= 。）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
3、函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17，则f(f())= （2021成都市高三一诊）（答案：f(f())=-1。）
4、关于函数f(x)=sinx+ 有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关
于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是
（2020全国高考新课标III）（答案：其中所有真命题的序号是②③。）
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，且当x<3时，f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）（2024全国高考新高考I）
A f(10) >100 B f(20) >1000 C f(10) <1000 D f(20) <10000
解析】
【考点】①一元一次函数定义与性质；②函数值定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据一元一次函数和函数值的性质，运用求函数值的基本方法，结合问题条件求出f(1)，f(2)的值，从而求出f(3)，f(4)，----f(10)，f(20)的取值范围就可得出选项。【详细解答】当x<3时，f(x)=x，f(1)=1，f(2)=2，函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x-1)+f(x-2)，f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3，f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5，f(5)>f(4)+f(3)
>5+3=8，f(6)>f(5)+f(4）>8+5=13，f(7)>f(6)+f(5）>13+8=21，f(8)>f(7)+f(6）>21+13=34，
f(9)>f(8)+f(7）>34+21=55，f(10)>f(9)+f(8）>55+34=89，f(11)>f(10)+f(9）>89+55=144，
f(12)>f(11)+f(10）>144+89=233，f(13)>f(12)+f(11）>233+144=377，f(14)>f(13)+f(12）
>377+233=610，f(15)>f(14)+f(13）>610+377=987，f(16)>f(15)+f(14）>987+610=1597>1000，
f(20)>f(16)，f(20)>1000，B正确，选B。
2、已知函数f(x)=3x-sinx，若f(a)+f(-2)>0，则实数a的取值范围为 。（成都市高2021级高三二诊）
【解析】
【考点】①函数单调性定义与性质；②函数奇偶性定义与性质；③判断（或证明）函数单调性和奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据函数单调性和奇偶性的性质，运用判断（或证明）函数单调性和奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x）的定义域为R关于原点对称，f(-x）=-3x+sinx=-(3x-sinx)=-f(x）,
函数f(x）是奇函数，(x)=3-cosx>0在R上恒成立，函数f(x）在R上单调递增，
不等式f(a)+f(-2)>0，不等式f(a)-f(2-)>0，不等式f(a)>f(2-)，不等式+a-2>0，a<-2或a>1，若f(a)+f(-2)>0，则实数a的取值范围为（ -，-2）（1，+）。
3、（理）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x [1，2]时，f(x)=a+b，若f(0)+ f(3)=6，则f()=（ ）
A - B - C D
（文）设f(x)的定义域在R上的奇函数，且f(x+1)= f(-x)，若f(-)=，则f()=（ ）（2021全国高考甲卷）
A - B - C D
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③周期函数定义与性质；④求函数值的基本方法。
【解答思路】（理）根据奇函数和偶函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，运用周期函数性质得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值得到当x [1，2]时，函数f(x)的解析式，利用求函数值的基本方法求出f()的值就可得出选项。（文）根据奇函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以2为周期的周期函数，运用周期函数的性质和求函数值的基本方法求出f()的值就可得出选项。
【详细解答】（理） f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，f(x+1)=- f(-x+1)，f(x+2)= f(-x+2)， f(x+4)=- f(x+2)，函数f(x)是以4为周期的周期函数，当x [1，2]时，f(x)=a +b， f(1)=a+b=0①，f(0)=- f(2)=-（4a+b）=-4a-b，f(3)= -f(1)=0，f(0)+ f(3)=6， f(0)+ f(3)= f(0)=- 4a-b =6②，联立①②解得：a=-2，b=2，当x [1，2]时，f(x)=-2+2， f()=f(4+)= f()=-f()=-（-2+2）=， f()=，D正确，选D。（文） f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)= f(-x)，f(x)=- f(x+1)， f(x)= f(x+2)， 函数f(x)是以2为周期的周期函数， f(-)=， f()=f(2-) = f(-) =，C正确，选C。
『思考问题3』
（1）【典例3】是函数性质综合运用的问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，奇偶性和周期性，并能灵活运用函数的单调性，奇偶性和周期性解答相关问题；
（2）对于具体问题首先应该弄清楚它与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关，然后结合函数的相应性质进行解答；
（3）解答函数性质综合问题的关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，注意两个常用结论：①f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)；②若奇函数在x=0处与意义，则有f(0)=0。
[练习3]解答下列问题：
1、已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则（ ）（2021全国高考新高考II）（答案：B）
A f(-)=0 B f(-1)=0 C f(2)=0 D f(4)=0
2、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（答案： b=f(0.03)< c=f()（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(
0.3),b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（20
21成都市高三二诊）（答案： b=f(0.1)< c=f()

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