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指数与指数函数（或对数与对数函数）5分小题问题的类型及解法
指数与指数函数（或对数与对数函数）问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必有指数与指数函数(或对数与对数函数）的问题。从题型上看是选择题（或填空题），难度系数为低（或中）档，但也有出现高档问题的可能。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来指数与指数函数（或对数与对数函数）问题主要包括：①指数，对数的运算；②指数函数，对数函数概念及运用；③指数函数，对数函数图像及运用；④指数函数，对数函数性质及运用；⑤指数函数，对数函数的综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答指数与指数函数（或对数与对数函数）问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
已知a>1，-=-，则a= （2024全国高考甲卷）
2、（理）若a=ln(ln)，b=ln，c=-，则（ ）
A c（文）若a=ln，b=ln，c=-，则（ ）（成都市高2021级高三一诊）
A c3、（理）设a=，b=9sin，c=，则（ ）
A b（文）已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（ ）（2023全国高考乙卷）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
4、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
声源 与声源的距离/m声压级/dB
5、噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量 燃油汽车 10 60-90
声音的强弱，定义声压级=20lg，其中常数 混合动力汽车 10 50-60
（>0）是听觉下限固值，P是实际声压，如表 电动汽车 10 40
为不同声源的声压级，已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（）（2023全国高考新高考I）
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
6、日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射，因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用=
表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数（也称衰减系数），D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强，已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6）（ ）（成都市高2020级高三一诊）
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
4、已知a=，b=，c=，则（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A c7、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A c8、（理）已知函数f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知函数f(x)=- +2|x|+3，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）(2021成都市高三零诊)
A b>a>c B b>c>a C a>b>c D a>c>b
『思考问题1』
（1）【典例1】是指数和对数运算的问题，解答时需要理解指数和对数的定义，掌握指数和对数的运算法则和基本方法，同时注意分数指数幂与n次根式之间的关系；
（2）求解根式的运算（或化简）问题的基本方法是：①把根式化为分数指数幂；②运用指数的运算法则和基本方法进行运算；③将运算结果进行化简；
（3）运用对数的基本运算性质解答问题时应该注意：①对数运算性质成立的条件；②灵活运用公式，作为一个公式既要能够从左边用到右边，也要能够从右边用到左边；
（4）对数的换底公式主要用来解决底数不同的对数运算问题，对数的恒等式通常用于指数和对数的混合式子的运算；
（5）在解答实际问题，到底是从左边用到右边还是从右边用到左边，必须依据问题给定的条件和需要解决的问题结合起来综合考虑。
[练习1]解答下列问题：
1、设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）(2021成都市高三一诊)
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
2、计算+ - 3的值为 （2021成都市高三三诊）
3、（理）已知<，<，设a=3，b=5，c=8，则（ ）
A a（文）设a=2，b=3，C=，则（ ）（2020全国高考新课标III）
A a4、已知a=，b=，c=ln ，则（ ）（2020成都市高三一诊）
A a>b>c B a>c>b C b>a>c D b>c>a
【典例2】解答下列问题：
1、已知实数a，b满足2>2>1，则（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 12、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
3、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
4、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量p（mg/L）与时间t(h)之间的关系为p=,如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln20.69,ln31.10,ln51.61）（2021成都市高三二诊）
A 4h B 6h C 8h D 10h
5、已知函数f(x)= -2，x1，且f(a)=-3，则f(6-a)=（ ）（2020全国高考新课标I）
A - -（x+1），x>1， B - C - D -
6、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型，I（t）= ，其中k为最大确诊病例数，当I（）=0.95k时，标志已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln193）（2020全国高考新课标III）
A 60 B 63 C 66 D 69
『思考问题2』
（1）【典例2】是指数函数和对数函数定义及运用的问题，解答这类问题需要理解指数函数和对数函数的定义，注意指数函数和对数函数的结构特征；
（2）指数函数的结构特征是：①解析式是y=；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③指数是自变量x；
（3）理解的是函数的定义时，需要注意对数函数的结构特征，对数函数的结构特征是：①解析式是y=x；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③真数是自变量x。
[练习2]解答下列问题：
1、基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，
在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020
全国高考新高考I）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
2、已知函数f(x)= -，则f(3)=（ ）（2020成都市高三三诊）
A 2 B C 3 D
【典例3】解答下列问题：
1、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
2、（理）若函数f(x)= + 的零点为，则（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A（- 2，0） （2，+）B（- 2，0） （0，2）C（- e，0） （e，+）D（- e，0） （0，e）（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（2020成都市高三一诊）
A（- 1，0）（0，1）B（- 1，0）（1，+）C（- e，0）（0，e）D（- e，0）（e，
+）
『思考问题3』
（1）【典例3】是指数函数和对数函数图像运用的问题，解答这类问题需要掌握指数函数和对数函数的图像，注意指数函数和对数函数的底数取值对图像的影响；
（2）比较两个指数幂大小时，应尽量化为同底数（或同指数），①底数相同，可运用指数函数的单调性解答问题；②指数相同，可转化为底数相同（或借助函数图像）解答问题；③底数不同，指数也不同，解答问题时需要借助一个中间量；
（3）指数函数的底数a＞0,且a≠1是一个隐含条件，指数函数的单调性与底数相关，实际解答问题时，应该根据问题的条件确定底数的取值范围（不能确定时，应分两种不同情况分别考虑），然后依据指数函数的图像和性质得到问题的结果；
（4）对数函数与指数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称；解答相关问题时注意分辨底数a的取值，确定问题涉及对数函数图像两种基本类型的哪一种，再根据相关基本类型的特征去解答问题；
（5）已知函数的解析式判断其图像的基本方法是：①取函数的特殊点（一般是三个关键点中的某一点）；②看函数的图像是否经过所取的点；③得出结果。
[练习3]解答下列问题：
1、函数f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）
【典例4】解答下列问题：
设a=，b=9sin，c=，则（ ）（2024全国高考乙卷）
A b2、设a=ln，b= ，c =3，则a，b，c的大小关系为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A b3、设a=0.1，b=，c=-ln0.9，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A a4、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
5、设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A a6、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
7、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国
高考新高考II）
8、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）
（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（2021成都市高三二诊）
『思考问题4』
（1）【典例4】是指数函数和对数函数性质运用的问题，解答这类问题需要理解并掌握指数函数和对数函数的性质，注意指数函数和对数函数底数的取值对函数性质的影响；
（2）指数函数和对数函数性质的运用问题主要包括：①指数函数和对数函数单调性的运用；②复合函数的单调性问题；③求函数的值域或最值；④指数函数和对数函数的应用问题；
（3）运用指数函数（或对数函数）的性质解答问题的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②作出指数函数（或对数函数）的大致图像；③分辨问题与指数函数（或对数函数）的哪些性质相关；④借助函数的图像，结合指数函数（或对数函数）的相关性质解答问题；
（4）求解指数函数（或对数函数）的复合函数单调性问题，对函数y=（或y= g(x)）的单调性，单调区间的问题时，需要注意底数取值对指数函数（或对数函数）性质的影响，其解答的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②判断内层函数和外层函数的单调性；③运用复合函数单调性的判断法则判断函数的单调性；
（5）解答指数函数（或对数函数）的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题的类型，建立相应的指数函数（或对数函数）模型；②借助于指数函数（或对数函数）的图像并结合指数函数（或对数函数）的性质解答问题；③结合实际应用问题的实际意义得出结果。
[练习4]解答下列问题：
1、（理）若+a=+2b，则（ ）
A a>2b B a<2b C a> D a<
（文）设函数y=f(x)的图像与y=的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+ f(-4)=1，则a=（）
（2020全国高考新课标I）
A -1 B 1 C 2 D 4
2、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）
A -1 B - C - D -
【典例5】解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)=的值域为M，若（1，+）M，则实数a的取值范围是（ ）A （-，] B [0，] C -，-][，+） D [，+）
（文） 已知函数f(x)=的值域为M，若（1，+）M，则实数a的取值范围是（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A （-，1） B （-，1] C （1，+） D [1，+）
已知函数f(x)=（+），g(x)=（-），给出下列四个结论：①f()3、（理）f(x)=--cosx，若实数，，成等差数列，且f()+f()+f()=0，则++=（ ）
A 0 B C D 3
（文）已知函数f(x)=-，若实数m，n满足f(m)+f(n)=0，则m+n=（ ）（成都市高2021级高三三珍）
A 1 B 2 C e D 4
4、已知函数f(x)=x-m，若函数f(x)存在最小值，且最小值为，则实数m的值为
。（成都市高2021级高三三珍）
5、当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，则（2）=（ ）（2022全国高考甲卷）
A -1 B - C D 1
6、已知x=和x=分别是函数f(x)=2-e（a>0且a1）的极小值点和极大值点，若
<，则a的取值范围是 （2022全国高考乙卷理）
7、若曲线y=(x+a) 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 （2022全国高考新高考I卷）
8、写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程： ， （2022全国高考新高考II卷）
『思考问题5』
（1）【典例5】是指数函数和对数函数的综合应用问题，解答这类问题需要熟悉指数函数（或对数函数）的图像，性质，注意指数函数（或对数函数）底数的取值对函数图像，性质的影响；
（2）求解指数函数（或对数函数）的定义域，值域（或最值），单调性，奇偶性问题的基本方法是：①把问题化归于指数函数（或对数函数）；②运用指数函数（或对数函数）的性质并借助于指数函数（或对数函数）的图像来解答问题；
（3）解答指数函数和对数函数综合问题的基本方法是：①图像法，在同一直角坐标系中分别作出问题涉及的所有函数的图像，借助于图像寻找结论；②代数法，分别运用指数函数，对数函数的性质求出问题中涉及的所有元素的取值范围，再根据结果得出结论。
[练习5]解答下列问题：
1、若关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（ ）（2021成都市高三零诊）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）lnt的最小值为（ ）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）
（2021成都市高三一诊）
A B C - D -
3、（理）若x=-2是函数f(x)=（+ax-1）的极值点，则f(x)的极小值为（ ）
A -1 B -2 C 5 D 1
（文）若-<-，则（ ）（2020全国高考新课标II）
A ln(y-x+1)>0 B ln(y-x+1)<0 C ln|x-y|>0 D ln|x-y|<0
指数与指数函数（或对数与对数函数）5分小题问题的类型及解法
指数与指数函数（或对数与对数函数）问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必有指数与指数函数(或对数与对数函数）的问题。从题型上看是选择题（或填空题），难度系数为低（或中）档，但也有出现高档问题的可能。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来指数与指数函数（或对数与对数函数）问题主要包括：①指数，对数的运算；②指数函数，对数函数概念及运用；③指数函数，对数函数图像及运用；④指数函数，对数函数性质及运用；⑤指数函数，对数函数的综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答指数与指数函数（或对数与对数函数）问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知a>1，-=-，则a= （2024全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②对数运算法则和基本方法；③对数换底公式及运用。
【解题思路】根据对数的性质，运用对数的运算法则与基本方法和对数换底公式，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】-=-==-，2-10lg2lga-12
=2（lga+lg2）（lga-6lg2）=0，a>1，lga+lg2>0，lga-6lg2=0，a==64。
2、（理）若a=ln(ln)，b=ln，c=-，则（ ）
A c（文）若a=ln，b=ln，c=-，则（ ）（成都市高202111级高三一诊）
A c【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】（理）根据对数和指数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定出a，b，c的大小关系就可得出选项。（文）根据对数和指数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】（理）e<<，1（文）a=ln=ln，b=ln=ln，-=->0，a=ln
3、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②判断复合函数单调性的基本方法；③运用函数单调性比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的单调性，利用函数单调性比较实数大小的基本方法，求出a，b，c的大小关系就可得出选项。 y
【详细解答】设g(x)=-，作出函数g(x)的 0 1 x
图像如图所示，由图知函数g(x)在（-，1）上
单调递增，在（1，+）上单调递减，函数f(g(x))在R上单调递增，函数f(x)在（-，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，<<1，>1，-1-1+=
-2<-2=2-2=0，-1-1+=-2>-2=2-2=0，b=f()>c
=f()>a=f()， A正确，选A。 声源 与声源的距离/m声压级/dB
4、噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量 燃油汽车 10 60-90
声音的强弱，定义声压级=20lg，其中常数 混合动力汽车 10 50-60
（>0）是听觉下限固值，P是实际声压，如表 电动汽车 10 40
为不同声源的声压级，已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（）（2023全国高考新高考I）
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③对数的运算法则与基本方法；④指数的运算法则与基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用对数和指数的运算法则与基本方法，结合问题条件得到实际声压p的表示式，从而判断各选项的正确与错误就可得出选项。
【详细解答】压级=20lg，p=，=，=，=，对A，≥， ≥ ，A正确；对B，≤=≤10，
≤10，B错误；对C，==100， =100，C正确；对D，
=≤100， ≤100 ，D正确，综上所述，A，C，D正确，选ACD。
5、日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射，因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用=
表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数（也称衰减系数），D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强，已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6）（ ）（成都市高2020级高三一诊）
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②对数定义与性质；③对数运算法则和基本方法。
【解答思路】根据指数和对数的性质，结合问题条件得到=30%，运用对数运算法则和基本方法，求出K的近似值就可得出选项。
【详细解答】海区10米深处的光强是海面光强的30%，=30%，-10K=ln0.3
=ln3-1n2-ln51.1-0.7-1.6-1.2，K0.12，A正确，选A。
6、已知a=，b=，c=，则（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A c解析】
【考点】①对数定义与性质；②对数运算法则与基本方法；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和对数运算法则，运用对数运算和比较实数大小的基本方法，结合问题条件得到a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】b-c=2024-1-1+2023=-2+>-2
+>0，b>c，可以排除C；a-b=-2024+1=
-2024=>0，a>b，可以排除B，D，A正确，选A。
7、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A c【解析】
【考点】①对数定义与性质；②求对数值的基本方法；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和求对数值的基本方法，分别求出a，b的近似值，运用实数比较大小的基本方法，得到a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 1<2<，0< a=2<，3>， b=3> =， c=， a8、（理）已知函数f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知函数f(x)=- +2|x|+3，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）(2021成都市高三零诊)
A b>a>c B b>c>a C a>b>c D a>c>b
【解析】
【考点】①函数求值的基本方法；②对数定义与性质；③实数大小比较的基本方法。
【解答思路】（理）根据函数求值的基本方法和对数的性质，结合问题条件分别求出a，b，c的值，运用实数大小比较的基本方法得出a，b，c的大小关系就可得出选项。（文）根据函数求值的基本方法和对数的性质，结合问题条件分别求出a，b，c的值，运用实数大小比较的基本方法得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】（理） a= f(ln2)= <0，b= f(-ln3)= >0，a0，，c>a，可以排除B，A正确，选A。（文）b- a= f(-ln3)- f(ln2)= -(-ln3) +2ln3+3 +( ln2) -2ln2-3=（ ln2+ ln3）（ln2- ln3）-2（ln2- ln3）=（ln2- ln3）（ ln2+ ln3-2）>0， b>a，可以排除C，D，a- c= f(ln2)- f(e)= -( ln2) +2ln2+3 +-2e-3=（e+ ln2）(e- ln2)-2(e- ln2)= (e- ln2) （e+ ln2-2）>0，，a>c，可以排除B，A正确，选A。
『思考问题1』
（1）【典例1】是指数和对数运算的问题，解答时需要理解指数和对数的定义，掌握指数和对数的运算法则和基本方法，同时注意分数指数幂与n次根式之间的关系；
（2）求解根式的运算（或化简）问题的基本方法是：①把根式化为分数指数幂；②运用指数的运算法则和基本方法进行运算；③将运算结果进行化简；
（3）运用对数的基本运算性质解答问题时应该注意：①对数运算性质成立的条件；②灵活运用公式，作为一个公式既要能够从左边用到右边，也要能够从右边用到左边；
（4）对数的换底公式主要用来解决底数不同的对数运算问题，对数的恒等式通常用于指数和对数的混合式子的运算；
（5）在解答实际问题，到底是从左边用到右边还是从右边用到左边，必须依据问题给定的条件和需要解决的问题结合起来综合考虑。
[练习1]解答下列问题：
1、设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）(2021成都市高三一诊)（答案：C）
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
2、计算+ - 3的值为 （2021成都市高三三诊）（答案：
+- 3=+1=。）
3、（理）已知<，<，设a=3，b=5，c=8，则（ ）（答案：A）
A a（文）设a=2，b=3，C=，则（ ）（2020全国高考新课标III）（答案：A）
A a4、已知a=，b=，c=ln ，则（ ）（2020成都市高三一诊）（答案：C）
A a>b>c B a>c>b C b>a>c D b>c>a
【典例2】解答下列问题：
1、已知实数a，b满足2>2>1，则（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 1【解析】
【考点】①对数定义与性质；②实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出1，a，b，2的大小关系就可得出选项。
【详细解答】实数a，b满足2>2>1， 2>b>a＞1，B正确，选B。
2、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②函数解析式定义与性质；④已知函数解析式与函数值，确定自变量值的基本方法。
【解题思路】根据对数和函数解析式的性质，运用函数解析式和已知函数解析式，函数值，确定自变量值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出的值就可得出选项。
【详细解答】当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s， =2000ln(1+)，v=2000ln(1+)=2=22000ln(1+), ln(1+)=2ln(1
+)=ln, 1+=, =+2,D正确，选D。
3、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数，偶函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】函数f(x)= （a. - ）是偶函数，函数y=是R上的奇函数，函数y= a. - 是R上奇函数， a. -=-（a. - ）=（a-1）+(a-1) =（a-1）（+）=0，+>0，a-1=0，即a=1。
4、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量p（mg/L）与时间t(h)之间的关系为p=,如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln20.69,ln31.10,ln51.61）（2021成都市高三二诊）
A 4h B 6h C 8h D 10h
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②对数定义与性质；③函数解析式定义与性质；④已知函数解析式与函数值，确定自变量值的基本方法。
【解题思路】根据指数和对数的性质，结合问题条件求出函数p关于时间t的解析式，运用函数解析式和函数值，确定自变量值的基本方法确定出污染物减少50%大约需要的时间就可得出选项。
【详细解答】前2小时消除了20%的污染物，80%=，-2k=3ln2-ln5-ln2=2ln2-ln5
=-0.23, k=0.115, p=,50%=,-0.115t=-ln2=-0.69，即t=
=6(h)，B正确，选B。
5、已知函数f(x)= -2，x1，且f(a)=-3，则f(6-a)=（ ）（2020全国高考新课标I）
A - -（x+1），x>1， B - C - D -
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③分段函数定义与性质；④求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据指数函数，对数函数和分段函数的性质，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值，运用分段函数求证的基本方法求出f(6-a)的值就可得出选项。
【详细解答】当 x1时，0<1，-2< f(x)=-2-1， f(a)=-3， f(a)= -（a+1）
=-3，（a+1）=3， a+1=8，a=7， f(6-a)= f(6-7)= f(-1)= -2=-2=-，A正确，选A。
6、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型，I（t）= ，其中k为最大确诊病例数，当I（）=0.95k时，标志已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln193）（2020全国高考新课标III）
A 60 B 63 C 66 D 69
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③已知函数值求自变量值的基本方法。
【解题思路】根据已知函数值求自变量值的基本方法，结合问题条件得到关于的方程，运用指数函数和对数函数的性质求出的值就可得出选项。
【详细解答】 I（）= =0.95k， 0.95（1+）=1，
=，+5366，C正确，选C。
『思考问题2』
（1）【典例2】是指数函数和对数函数定义及运用的问题，解答这类问题需要理解指数函数和对数函数的定义，注意指数函数和对数函数的结构特征；
（2）指数函数的结构特征是：①解析式是y=；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③指数是自变量x；
（3）理解的是函数的定义时，需要注意对数函数的结构特征，对数函数的结构特征是：①解析式是y=x；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③真数是自变量x。
[练习2]解答下列问题：
1、基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，
在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020
全国高考新高考I）（答案：B）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
2、已知函数f(x)= -，则f(3)=（ ）（2020成都市高三三诊）（答案：B）
A 2 B C 3 D
【典例3】解答下列问题：
1、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③函数奇偶性定义与性质；
④判断函数奇偶性的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】根据指数函数，余弦三角函数和函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，得到函数y=（-）cosx是奇函数，从而排除B，D；当x（0，]时，->0，cosx>0，从而得到y=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出选项。
【详细解答】设f(x)= （-）cosx，区间[-，]关于原点对称，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函数f(x)在[-，]上是奇函数，图像关于原点对称，B，D错误；当x（0，]时，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C错误，A正确，选A。
2、（理）若函数f(x)= + 的零点为，则（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②指数定义与性质；③对数定义与性质。
【解题思路】（理）根据函数零点的性质，结合问题条件得到关于的指数与对数表达式，运用指数和对数的性质，求出（-1）的值就可得出选项。（文）设t= x，t（0，+ ），结合问题条件得到函数f(t)=t-lnt-1，根据函数零点的性质，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数f(t)在（0，+ ）上的最小值为0，从而得到函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数就可得出选项。
【详细解答】 （理）函数f(x)= + 的零点为，+=0，
=-，=，+=+（），g（）= g（），=，=，（-1）=1，B正确，选B。（文） 函数f(x)= x-x-lnx-1，函数f(x)= x-ln（x）-1，设t= x，t（0，+ ），函数f(x)= x-ln（x）-1，函数f(t)=t-lnt-1，（t）=1-=，令（t）=0解得：t=1，当t（0，1）时，（t）<0，当t[1，+ ）时，（t）>0，函数f(t)在（0，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增， f(1)=1-ln1-1=1-0-1=0，函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为1，B正确，选B。
3、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A（- 2，0） （2，+）B（- 2，0） （0，2）C（- e，0） （e，+）D（- e，0） （0，e）（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（2020成都市高三一诊）
A（- 1，0）（0，1）B（- 1，0）（1，+）C（- e，0）（0，e）D（- e，0）（e，+）
【解析】
【考点】①轴对称图形的定义与性质；②函数零点的定义与性质；③求函数函数零点的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】（理）根据轴对称图形定义与性质，结合问题条件作出函数f(x)图像，由方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)=kx-2k+e-1，设g(x)=kx-2k+e-1，在同一直角坐标系中作出函数g(x)，依据条件可知方程有三个不相等的实数根，得到函数f(x)与函数g(x)应该有三个不同的交点，从而以得到实数k的取值范围。（文）根据轴对称图形定义与性质，结合问题条件作出函数f(x)图像，由方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)=kx-2k+e-1，g(x)=kx-2k
+e-1，在同一直角坐标系中作出函数g(x)，依据条件可知方程有三个不相等的实数根，从而得到函数f(x)与函数g(x)应该有三个不同的交点，进一步可以得到实数k的取值范围。
【详细解答】（理）定义在R上的函数f(x)满足f(2-x) y
= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，函数f(x) f(x)
的图像关直线x= =2对称，作出函数f(x)的图像如图
(1)所示， EMBED Equation.DSMT4 方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)+1=kx-2k+e，
设g(x)= f(x)+1, h(x)=kx-2k+e，在同一直角坐标系中作出函 0 1 2 3
数g(x)，函数 h(x)的图像如图（2）所示，方程f(x) -kx -1 (图1)
+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，函数g(x)与函数h(x)
有三个不同的交点，令h(x)=0，得x=2- ，令x=0，得 y
h(x)=-2k+e,函数h(x)的图像与X，Y轴的交点分别为（2- g(x) h(x)
，0），（0，-2k+e）,①当k>0时，如图函数g(x)与函 h(x)
数h(x)有三个不同的交点，2- <1，k②当k<0时，如图函数f(x)与函数g(x)有三个不同的交点， -1 （图2）
EMBED Equation.DSMT4 2- >3， k>-e，-e（文）定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)， y
当x 2时，函数f(x)=x，函数f(x)的图像关直线x= f(x)
=2对称，作出函数f(x)的图像如图(1)所示，
设g(x)=k(x-2)+2，在同一直角坐标系中作出函数f(x)， 0 1 2 3 4 x
函数g(x)的图像如图（2）所示，方程f(x)=k(x-2)+2 (图1)
有三个不相等的实数根，函数f(x)与函数g(x)的图像
有三个不同的交点，令g(x)=0，得x=2- ，令x=0，得 y
g(x)=-2k+2，函数g(x)的图像与X，Y轴的交点分别为（2- g(x) h(x)
，0），（0，-2k+2）,①当k>0时，如图函数f(x)与函 h(x)
数g(x)的图像有三个不同的交点，2- <0，k<1， 0 1 2 3 4
0的交点，2- >4， k>-1，-1程f(x) =k(x-2) +2有三个不相等的实数根时，实数k的取值范围是（- 1，0） （0，1），A正确，选A。
『思考问题3』
（1）【典例3】是指数函数和对数函数图像运用的问题，解答这类问题需要掌握指数函数和对数函数的图像，注意指数函数和对数函数的底数取值对图像的影响；
（2）比较两个指数幂大小时，应尽量化为同底数（或同指数），①底数相同，可运用指数函数的单调性解答问题；②指数相同，可转化为底数相同（或借助函数图像）解答问题；③底数不同，指数也不同，解答问题时需要借助一个中间量；
（3）指数函数的底数a＞0,且a≠1是一个隐含条件，指数函数的单调性与底数相关，实际解答问题时，应该根据问题的条件确定底数的取值范围（不能确定时，应分两种不同情况分别考虑），然后依据指数函数的图像和性质得到问题的结果；
（4）对数函数与指数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称；解答相关问题时注意分辨底数a的取值，确定问题涉及对数函数图像两种基本类型的哪一种，再根据相关基本类型的特征去解答问题；
（5）已知函数的解析式判断其图像的基本方法是：①取函数的特殊点（一般是三个关键点中的某一点）；②看函数的图像是否经过所取的点；③得出结果。
[练习3]解答下列问题：
1、函数f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：B）
【典例4】解答下列问题：
1、设a=，b=9sin，c=，则（ ）（2024全国高考乙卷）
A b【解析】
【考点】①幂函数定义与性质；②正弦三角函数定义与性质；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据幂函数和正弦三角函数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a==>c==，
2、设a=ln，b= ，c =3，则a，b，c的大小关系为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A b【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a=ln=-ln3<-1，3、设a=0.1，b=，c=-ln0.9，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A a【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】设a=x，b=，c=-ln（1-x），lna-lnb=lnx+x-lnx+ln（1-x）= x+ln（1-x），
令f(x)= x+ln（1-x），x(0，0.1]，（x）=1-=<0在(0，0.1]恒成立，函数f(x) 在(0，0.1]上单调递减，当x(0，0.1]时，f(x)< f(0)=0+ln(1-0)=0, lna-lnb
<0，a0在(0，0.1]恒成立，函数u（x）在(0，0.1]上单调递增，
当x(0，0.1]时，u（x）>u（0）=（1-0）1-1=0，（x）=>0在(0，0.1]恒成立，函数g(x)在(0，0.1]上单调递增，当x(0，0.1]时，g(x)> g(0)=0+ln(1-0)=0，
a-c>0，a>c，可以排除A，D，C正确，选C。
4、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(-2)+ f(ln4)的值就可得出选项。
【详细解答】 -2<1， f(-2)= （2+2）=4=2，ln4>1， f(ln4)= =4，f(-2)+ f(ln4)=2+4=6，C正确，选C。
5、设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A a【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a=2ln1.01=ln =ln1.0201> b=ln1.02，a>b，可以排除A，D；设f(x)
=2ln(1+x)- +1，x(0，1)，令t=，t(1，)，x=，2ln(1+x)- +1，2ln-t+1，g(t)= 2ln-t+1，(t)= -1=
=->0在(1，)上恒成立，函数g(t) 在(1，)上单调递增，当t(1，)时，g(t)> g(1)= 2ln-1+1=0， a>c；设g(x)=ln(1+2x)- +1，x(0，1)，令t=，t(1，)，x=， ln(1+2x)- +1， ln -t+1，u(t)= ln -t+1，
上单调递减，，当t(1，)时，u(t)< u(1)= ln-1+1=0， c>b，综上所述， (t) = -1==-<0在(1，)上恒成立，函数u(t) 在(1，)上单调
递减， b6、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据分段函数和对数函数的性质；运用求函数最值的基本方法就可求出函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值。
【详细解答】①当x时，f(x)=|2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，x，（x）=2-=，
令（x）=0得：x=1，x[，1）时，（x）<0，x[1，+ ）时，（x）0，
函数f(x)在[，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增，= f(x)=21-1-2ln1=1；②当0f()=1-2-2ln=2ln2>2ln>2>1，综上所述，函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1。
7、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④两条直线垂直的充分必要条件及运用；⑤两点之间距离公式及运用。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，运用函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程，从而得到点M，N的坐标，运用两条直线垂直的充分必要条件和两点之间的距离公式得到关于的表示式，利用指数函数的性质就可求出的取值范围。
【详细解答】<0，>0， A（，1-），B（，-1），（）=-，（）=，曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程分别为：y=-(x-+1)+1，y= (x-+1)
-1，M(0，-(-+1)+1)，N（0， (-+1)-1），直线AM垂直直线BN，-.
=-1，+=0，|AM|==-，|BN|=
==-，
==，<0，0<<1，即的取值范围是（0，1）。
8、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）
（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（2021成都市高三二诊）
【解析】
【考点】①函数图像及运用；②函数单调性的定义与性质；③对数的定义与性质；④指数的定义与性质；⑤比较实数大小的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数图像和函数单调性的性质，结合问题条件得到函数f(x)的图像关于直线x=1对称，[1，+）上单调递减，运用对数和指数的性质，确定ln2，0.03，
的大小，就可得出且在求出a，b，c的大小关系。（文）根据偶函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到函数f(x)的图像关于Y轴对称，[0，+）上单调递减，运用对数和指数的性质，确定0.3，0.1，的大小，就可求出a，b，c的大小关系。
【详细解答】（理）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()=<-2，<<2， b=f(0.1)< c=f()『思考问题4』
（1）【典例4】是指数函数和对数函数性质运用的问题，解答这类问题需要理解并掌握指数函数和对数函数的性质，注意指数函数和对数函数底数的取值对函数性质的影响；
（2）指数函数和对数函数性质的运用问题主要包括：①指数函数和对数函数单调性的运用；②复合函数的单调性问题；③求函数的值域或最值；④指数函数和对数函数的应用问题；
（3）运用指数函数（或对数函数）的性质解答问题的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②作出指数函数（或对数函数）的大致图像；③分辨问题与指数函数（或对数函数）的哪些性质相关；④借助函数的图像，结合指数函数（或对数函数）的相关性质解答问题；
（4）求解指数函数（或对数函数）的复合函数单调性问题，对函数y=（或y= g(x)）的单调性，单调区间的问题时，需要注意底数取值对指数函数（或对数函数）性质的影响，其解答的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②判断内层函数和外层函数的单调性；③运用复合函数单调性的判断法则判断函数的单调性；
（5）解答指数函数（或对数函数）的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题的类型，建立相应的指数函数（或对数函数）模型；②借助于指数函数（或对数函数）的图像并结合指数函数（或对数函数）的性质解答问题；③结合实际应用问题的实际意义得出结果。
[练习4]解答下列问题：
1、（理）若+a=+2b，则（ ）（答案：B）
A a>2b B a<2b C a> D a<
（文）设函数y=f(x)的图像与y=的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+ f(-4)=1，则a=（）
（2020全国高考新课标I）（答案：B）
A -1 B 1 C 2 D 4
2、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）（答案：C）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：D）
A -1 B - C - D -
【典例5】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=的值域为M，若（1，+）M，则实数a的取值范围是（ ）（成都市高2021级高三二诊）
A （-，] B [0，] C -，-][，+） D [，+）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③复合函数定义与性质；④参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据指数函数，一元二次函数和复合函数的性质，运用参数分类讨论的原则和基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。（文）根据指数函数，一元二次函数和复合函数的性质，运用参数分类讨论的原则和基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设g(x)=ax-x+1，①当a=0时，g(x)=-x+1，函数f(x)=的值域M为（0，+）， （1，+）M成立； ②当a>0时，函数g(x)的最小值为g()=-+1=-+1，函数f(x)=的值域为M，,且（1，+）M，-+1≤0，0（文）设g(x)=x+2x+a，函数f(x)=的值域M为（0，+）， （1，+）M成立； 函数g(x)的最小值为g(-1)=1-2+a=--1+a≤0，a≤1，-若函数f(x)=的值域为M，且（1，+）M，则实数a的取值范围是 （-，1]， B正确，选B。
2、已知函数f(x)=（+），g(x)=（-），给出下列四个结论：①f()【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质，运用并集实数大小的基本方法，，结合问题条件对各结论的正确性进行判断就可得出其中所有正确结论的序号。
【详细解答】对①，<+<6，1<-<，g()，①错误；对②，设存在（0，1），使得f()=，=+，=-，g(）==，②正确；对③，设f(x)=（+）=a，g(x)=（-）=b，x（1，+），=+，=-，-=-，+=（+）=+=（+1）>，>1，b-a>0，对任意x（1，+），都有a=f(x)（-1）>，对任意x（0，+），都有|x-f(x)|≤|g(x)-x，④正确，综上所述，其中所有正确结论的序号是②③④。
3、已知函数f(x)=--cosx，若实数，，成等差数列，且f()+f()+f()=0，则++=（ ）（成都市高2021级高三三珍）
A 0 B C D 3
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③等差中项定义与性质。
【解题思路】（理）根据指数函数，余弦三角函数和等差中项的性质，结合问题条件对各选项的值是否满足进行验证值就可得出选项。（文）根据指数函数，余弦三角函数和等差中项的性质，结合问题条件对各选项的值是否满足进行验证值就可得出选项。
【详细解答】（理）实数，，成等差数列，=，对A，++=3
=0，=0，+=0，f()+f()+f()=--cos+--cos
+--cos=（++）[1-]- cos （1+2cos），当且仅当+=，即++=时，f()+f()+f()=（++）[1-]- cos （1+2cos）=0，C正确，选C。
（文）函数f(x)=-，若实数m，n满足f(m)+f(n)=0，实数，，成等f(m)+f(n)=-+-=（+）（1-）=（+）（1-）=0，+0，1-=0，=1，m+n=2，B正确，选B。
4、已知函数f(x)=x-m，若函数f(x)存在最小值，且最小值为，则实数m的值为
。（成都市高2021级高三三珍）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②数学换元法及运用；③函数求导法则，公式和基本方法；④参数分类讨论的法则和基本方法；⑤运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和一元二次函数的性质，运用数学换元法得到关于t的一元二次函数，利用参数分类讨论的法则与基本方法和运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出m的值。
【详细解答】设t=，t（0，+），x=lnt，f(x)=x-m，f(t)=tlnt-m，（t）=lnt+1-2mt， （t）=-2m，①当m＜0时，（t）>0在（0，+）上恒成立，函数（x）在（0，+）上单调递增，（1）=0+1-2m=1-2m>0，存在（0，1），使（）= ln+1-2m=0，函数f(t)在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，函数f(t)的最小值为f()=(2m-1)-m=m-=，=，或=-，>0，=-， ln（-）+1-2m（-）=0，-ln(-m)=-3，ln(-m)=3=ln，m=-；②当m>0时，令 （t）=-2m=0，解得t=，t（0，）时，（t）<0，t（，+）时，（t）>0，函数（t）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，函数（t）在（0，+）上的最小值为（）=ln+1-2m=ln，若≥1，即0时，（）=ln<0，t→0时，（t）
=lnt+1-2mt→-，t→+时，（t）=lnt+1-2mt→-，函数（t）<0在（0，+）
上恒成立，函数f(t)在（0，+）上单调递减，此时函数f(t)没有最小值，即函数f(x)没有最
小值与题意不符，综上所述，若函数f(x)存在最小值，且最小值为，则实数m的值为
-
5、当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，则（2）=（ ）（2022全国高考甲卷）
A -1 B - C D 1
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，函数求导公式，法则和基本方法，运用函数导函数求函数最值的基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而求出（2）的值就可得出选项。
【详细解答】当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，（x）=-， （1）
a-b=0①，f(1)= aln1+b=b=-2②，联立①②解得：a=b=-2，（2）=-=-1+=-， B正确，选B。
6、已知x=和x=分别是函数f(x)=2-e（a>0且a1）的极小值点和极大值点，若
<，则a的取值范围是 （2022全国高考乙卷理）
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数极值定义与性质；⑤判断函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】（x）=2lna-2ex=2(lna—ex)，设函数g(x)= 2lna-2ex，（x）=2lna-2e=2(lna-e)，①当a>1时，存在R，使（）=0，x（-∞，）时，（x）<0，x（，+∞）时，（x）>0，函数（x）=g(x)在（-∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，此时，函数f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分别取得极小值和极大值，必有>，与题意不符；②当0R，使（）=0，x（-∞，）时，（x）>0，x（，+∞）时，（x）<0，函数（x）=g(x)在（-∞，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，此时，函数f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分别取得极小值和极大值，且<，
（）>0，2 lna-2e >0，>，000且a1）的极小值点和极大值点，且<，则a的取值范围是（0，）。
7、若曲线y=(x+a) 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 （2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数在某点导数的几何意义及运用；④求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】设f(x)= (x+a) ，根据函数导函数的性质，函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法，求出曲线的切线方程，由切线过坐标原点，得到关于点横坐标的一元二次方程，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范围。
【详细解答】设f(x)= (x+a) ，曲线y= f(x)与切线的切点为（，（+a）），（x）=+ (x+a) = (x+a+1) ，（）=（+a+1），曲线y= f(x)在点（，（+a））处的切线方程为：y-（+a）=（+a+1）(x-)，y=（+a+1）x+（+a）-（+a+1），切线过坐标原点，（--a-++a）=-（+a-a）=0，+a-a=0，过坐标原点的切线有两条，=+4a=a(a+4)>0，a<-4或a>0，
若曲线y=(x+a) 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（-∞，-4）（0，+∞）。
8、写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程： ， （2022全国高考新高考II卷）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数在某点导数的几何意义及运用；④求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】设f(x)= ln|x|，由绝对值的性质，分x>0和x<0两种情况考虑问题，根据函数导函数的性质，函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法，求出曲线的切线方程，由切线过坐标原点，得到关于切点横坐标的方程，求解方程求出切点横坐标，从而就可求出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程。
【详细解答】①当x>0时，设f(x)= ln|x|= lnx，曲线y= f(x)与切线的切点为（，ln），
（x）= ，（）=，曲线y= f(x)在点（，ln）处的切线方程为：y- ln
=(x-)，即y=x+ ln-1，切线过坐标原点， ln-1=0，=e，曲线过坐标原点的切线方程为y=；②当x<0时，设f(x)= ln|x|= ln（-x），曲线y= f(x)与切线的切点为（，ln （-）），（x）= ，（）= ，曲线y= f(x)在点（，ln(-)）处的切线方程为：y- ln（-）= (x-)，即y=x+ ln（-）-1，切线过坐标原点， ln（-）-1=0，=-e，曲线过坐标原点的切线方程为y=-，综上所述，曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程是y=或y=-。
『思考问题5』
（1）【典例5】是指数函数和对数函数的综合应用问题，解答这类问题需要熟悉指数函数（或对数函数）的图像，性质，注意指数函数（或对数函数）底数的取值对函数图像，性质的影响；
（2）求解指数函数（或对数函数）的定义域，值域（或最值），单调性，奇偶性问题的基本方法是：①把问题化归于指数函数（或对数函数）；②运用指数函数（或对数函数）的性质并借助于指数函数（或对数函数）的图像来解答问题；
（3）解答指数函数和对数函数综合问题的基本方法是：①图像法，在同一直角坐标系中分别作出问题涉及的所有函数的图像，借助于图像寻找结论；②代数法，分别运用指数函数，对数函数的性质求出问题中涉及的所有元素的取值范围，再根据结果得出结论。
[练习5]解答下列问题：
1、若关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（ ）（2021成都市高三零诊）（答案：A）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）lnt的最小值为（ ）（答案：C）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）
（2021成都市高三一诊）（答案：C）
A B C - D -
3、（理）若x=-2是函数f(x)=（+ax-1）的极值点，则f(x)的极小值为（ ）（答案：A）
A -1 B -2 C 5 D 1
（文）若-<-，则（ ）（2020全国高考新课标II）（答案：A）
A ln(y-x+1)>0 B ln(y-x+1)<0 C ln|x-y|>0 D ln|x-y|<0

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