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第五章 一元一次方程
5.1 方程
第2课时 等式的性质
1.通过使学生亲身经历运用所学探索等式的性质的确定性的过程，激发学生的数学学习兴趣，增强学生学好数学的信心，进而培养学生自我探究和实践能力．
2.通过让学生从事自主学习、合作交流等数学活动，理解并掌握等式的性质，在实际操作中学习知识，在解决问题中深化认知，发展和提高学生的应用意识.
3.通过使学生经历利用等式的性质解方程的过程，逐步培养学生观察、分析、概括和逻辑思维能力，从而渗透“化归”的思想.
学习重点：等式的性质和运用
学习难点：应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=m”的形式
用观察的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗？
（1）3x－5=22；（2）0.28－0.13y=0.27y+1.
用估算的方法解比较复杂的方程是困难的.因此，我们还要讨论怎样解方程.
诸如m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子，都是等式.我们可以用a=b表示一般的等式.
首先，给出关于等式的两个基本事实：
等式两边可以交换.如果a=b，那么b=a.
相等关系可以传递.如果a=b，b=c，那么a=c.
学生活动一 【一起探究】
思考：在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等.引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用具体的数试一试.
等式两边同时加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等.
例如：对于等式a=b，在等式两边都加上-5，
计算a+（-5）与b+（-5）的值.
当a=b=2时，a+（-5）=2+（-5）=-3；b+（-5）=2+（-5）=-3.
因此，当引入负数后，这条性质仍然成立.
可见，a+（-5）=b+（-5）
类似地，a-（-5）=b-（-5）
等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
例如：对于等式a=b，在等式两边都乘以-5，
计算a×（-5）与b×（-5）的值，
当a=b=2时，a×（-5）=2×（-5）=-10；b×（-5）=2×（-5）=-10.
因此，当引入负数后，这条性质也成立.
可见，a×（-5）=b×（-5）
类似地，a÷（-5）=b÷（-5）
等式的性质1：
等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等.
如果a＝b，那么a±c＝b±c.
学生活动一 【一起归纳】
等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，
结果仍相等.
如果a＝b，那么ac＝bc；
如果a＝b，c≠0，那么
根据等式的性质填空，并说明依据：
（1）如果2x=5-x，那么2x+ =5；
（2）如果m+2n=5+2n，那么m= ；
（3）如果x=-4，那么 ·x=28；
（4）如果3m=4n，那么 m= ·n.
学生活动二 【一起探究】
解:（1）2x+x=5;根据等式的性质1，等式两边加x，结果仍相等.
(2)m=5;根据等式的性质1，等式两边减2n，结果仍相等.
(3)-7·x=28;根据等式的性质2，等式两边乘-7，
结果仍相等.
(4) m=2·n;根据等式的性质2，等式两边除以2，
结果仍相等.
用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式,并说明是根据哪条性质以及怎样变形的:
(1)如果3x=-2x-1,那么3x+ =-1；两边同时 ，
根据是 ；
(2)如果x=5，那么x= ；两边同时 ，
根据是 ；
学生活动三 【一起探究】
2x
加2x
等式的性质1
10
乘2
等式的性质2
(3)如果x-2=x- ，那么x- =- + ；
两边同时 ，根据是 .
2－x
x
2
等式的性质1
利用等式的性质解下列方程：
（1）x+7=26； （2）－5x=20； （3）－ x－5=4.
解：（1）两边减7，得
x = 19
于是
x+7-7=26-7
（2）-5x=20 （3） － x－5=4
解：（2）两边除以-5，得
于是
x = -4
（3）两边加5，得
化简，得
两边乘-3，得
x = -27
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x=m（常数）的形式，等式的性质是转化的重要依据.
学生活动三 【一起归纳】
学生活动四 【一起探究】
一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等.例如，
将x = -27代入方程 的左边，得
因为方程的左右两边相等，
所以x = -27是方程 的解.
1．用适当的数或整式填空，使所得的式子仍是等式，并注明根据．
(1)如果x＋2＝3，那么x＝3＋_____，根据是______________；
(2)如果4x＝3x－7，那么4x－____＝－7，根据是__________；
(3)如果－2x＝6，那么x＝_____，根据是______________；
(4)如果 x＝－4，那么____＝－8，根据是____________．
(－2)
等式的性质1
3x
等式的性质1
－3
等式的性质2
x
等式的性质2
2．如果mx＝my，那么下列等式中不一定成立的是 ( )
A．mx＋1＝my＋1 B．mx－3＝my－3
C．－ mx＝－ my D．x＝y
D
3．下列方程的变形，符合等式的性质的是 ( )
A．由2x－3＝7得2x＝7－3 B．由－3x＝5得x＝5＋3
C．由2x－3＝x－1得2x－x＝－1－3
D．由－ x＝1得x＝－4
D
4．由x＋2＝0得x＝－3可分两步，按步骤完成下列填空：
第一步：根据等式的性质___，等式两边____得到x＝－2；
第二步：根据等式的性质___，等式两边____得到x＝－3.
1
减2
2
5．利用等式的性质解方程：
(1)x－4＝1; (2)3x＋5＝0.
解：x＝5
乘
解：x＝－
1.关于等式的两个基本事实:
等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a.
相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c.
2.等式的基本性质:
等式的性质1
等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
等式的性质2
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
1．下列等式变形正确的是 ( )
A．若x－1＝y＋1，则x＝y
B．若m＝n，则 ＝
C．若2x＝－2x，则x＝－2
D．若2x＝3，则x＝
B
3．若a＝b，则下列等式：①－a＝－b；②2－a＝2－b；
③ ＝ ；④a2＝b2；⑤ ＝1.其中正确的有_______.
(填序号)
①②④
2．若a－9＝2017－b，则a＋b＝________．
2026
4．已知2x2－3＝5，你能求出x2＋3的值吗？说明过程．
解：由2x2－3＝5，得2x2－3＋3＝5＋3，x2＝4，
所以x2＋3＝7.
5.小明学习了《等式的性质》后对小亮说：“我发现4可以等于3，你看这里有一个方程4x－2＝3x－2，等式的两边同时加上2，得4x＝3x，然后等式的两边再同时除以x，得4＝3.”
(1)请你想一想，小明的说法对吗？为什么？
(2)你能求出方程4x－2＝3x－2的解吗？
解：
(1)不对．因为在等式4x＝3x的两边同除以x，而x刚好为0；
(2)方程的两边加2，得4x＝3x，然后在方程两边减3x，
得x＝0.
完成课后练习题.

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