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2024年江苏省南通市中考数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（　　）
A．﹣3℃ B．3℃ C．﹣5℃ D．5℃
2．2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（　　）
A．158.2×109 B．15.82×1010
C．1.582×1011 D．1.582×1012
3．计算的结果是（　　）
A．9 B．3 C．3 D．
4．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．球 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥
5．如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　）
A．41° B．51° C．49° D．59°
6．红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（　　）
A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450
C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200
7．将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2）
8．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（　　）
A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h
10．在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB AE请对两位同学的发现作出评判（　　）
A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确
C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．分解因式：ax﹣ay＝　 　．
12．已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是 　 　cm2．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：　 　．
14．社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6m，则旗杆AC的高度为 　 　m．
15．若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 　 　cm．
16．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 　 　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 　 　．
18．平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为 　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；
（2）解方程1．
20．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
组别 家庭月均用水量（单位：吨） 频数
A 2.0≤t＜3.4 7
B 3.4≤t＜4.8 m
C 4.8≤t＜6.2 n
D 6.2≤t＜7.6 6
E 7.6≤t＜9.0 2
合计 50
根据上述信息，解答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 　 　组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？
21．（10分）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
22．（10分）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．
（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 　 　；
（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．
23．（10分）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．
（1）求图中阴影部分的面积；
（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
24．（12分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
25．（13分）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y上，且x0．求点P到y轴的距离；
（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．
26．（13分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
图序 角平分线AD的长 ∠BAD的度数 腰长 两腰之和 两腰之积
图① 1 60° 2 4 4
图② 1 45° 2
图③ 1 30°
　 　
　 　
　 　
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB AC之间的数量关系：　 　．
【变式思考】
（2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB AC之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
2024年江苏省南通市中考数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．A 2．C 3．B 4．D 5．C
6．A 7．D 8．B 9．D 10．C
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．ax﹣ay＝a（x﹣y） 12．12π 13．k＜1 14．6
15． 16．R≥3.6 17．3 18．
三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）解：（1）2m（m﹣1）﹣m（m+1）
＝m2﹣2m﹣m2﹣m
＝﹣3m；
（2）1，
3x﹣（3x+3）＝2x，
3x﹣3x﹣3＝2x，
∴x，
经检验，x是原方程的解．
20．（10分）解：（1）由题意得，C组的频数n50＝15．
∴B组的频数m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20．
故答案为：20；15．
（2）由题意，根据中位数的意义，∵50÷2＝25，
∴中位数是第25个数和第26个数的平均数．
又∵A组频数为7，B组频数为20，
∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B组．
故答案为：B．
（3）由题意，∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（个），
∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：1200648（个）．
21．（10分）证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
22．（10分）解：（1）P（甲在2号出入口开展志愿服务活动），
故答案为：；
（2）
∵一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种情况，
∴P（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）．
23．（10分）解：（1）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD，
S＝S△ABC﹣S扇形；
（2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，
∵AP，AB＝3，
∴BP．
24．（12分）解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
∴，
∴，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，
∴80a+60（10﹣a）≤700，
∴a≤5，
∵每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为200万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
25．（13分）解：（1）若a＝﹣1，b＝3，则y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10，
∵当x1时，y取得最小值，
∴x0＝1；
（2）∵点P（a，b）在双曲线y上，
∴b，
∴y＝（x﹣a）2+（x）2＝2x2﹣（2a）x+a2，
∵x0，
∴a1＝2，a2＝﹣1，
当a＝2时，点P到y轴的距离为2；
当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1；
综上所述，点P到y轴的距离为2或1；
（3）∵a2﹣2a﹣2b+3＝0，
∴b，
由题意得：x0，
∵1≤x0＜3，
∴13，
整理得：1≤a2＜9，
∴﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3，
∵a为整数，
∴a＝﹣2或﹣1或1或2，共4个．
26．（13分）解：（1）如图③，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB，
∴AC＝AB，
两腰之和为AB+AC，两腰之积为AB AC，
猜想：AB+AC＝2，
证明：如图，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB，
∴AB+AC，AB AC，
∴AB+AC＝2；
故答案为：，，，AB+AC＝2；
（2）AB+ACAB AC．
证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，
则DE＝AD sin∠BAD＝1×sin30°，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，
在Rt△ACG中，CG＝AC sin∠BAC＝AC sin60°AC，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴AB ACAB AC ，
∴AB AC＝AB+AC；
（3）补全图形如图所示：
设∠A＝α，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝α，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，
如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，
∵S△BMN＝S△BEM+S△BEN，
∴BM NGBM EFBN EH，
∵∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴BM BN sin72°＝（BM+BN） EH，
∴，
∵sin∠CBD＝sin36°，
∴EH＝BE sin36°，
∴，
∵BE为定长，sin36°和sin72°为定值，
∴为定值，
即为定值．
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