资源简介

(共14张PPT)
小专题（九）　平行线的“拐点”问题
第4章　相交线和平行线
类型一　过拐点作平行线
1. 如图，AB∥CD，EF⊥CD于点F. 若∠BEF＝150°，则∠ABE的
度数是 （　D　）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第1题
D
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2. 如图，AB∥CD，∠A＝54°，∠AEC＝18°，则∠C的度数是
（　A　）
A. 36° B. 34° C. 32° D. 30°
第2题
A
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3. 如图所示为一条沿湖公路.若第一次拐弯后两条道路所成的角∠A＝
100°，第二次所成的角∠B＝135°，第三次所成的角是∠C，这时的
道路（CQ）恰好和第一次拐弯之前的道路（AP）平行，则∠C的度数
为 .
第3题
145°　
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4. 如图，AB∥DE，∠B＝70°，∠D＝140°，求∠BCD的度数.
第4题
解：如图，过点C作FG∥AB. ∵ AB∥DE，∴ AB∥FG∥DE. ∴ ∠D
＋∠FCD＝180°，∠B＋∠BCG＝180°.∵ ∠D＝140°，∠B＝
70°，∴ ∠FCD＝180°－∠D＝180°－140°＝40°，∠BCG＝
180°－∠B＝180°－70°＝110°.∴ ∠BCD＝180°－∠FCD－
∠BCG＝180°－40°－110°＝30°
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5. 如图，∠BED＝∠B＋∠D，猜想AB与CD之间有怎样的位置关系，
并说明理由.
　第5题
解：AB∥CD　理由：如图，过点E作∠BEF＝∠B，∴ AB∥EF.
∵ ∠BED＝∠BEF＋∠FED，∠BED＝∠B＋∠D，∠BEF＝∠B，
∴ ∠FED＝∠D. ∴ CD∥EF. ∴ AB∥CD.
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6. 如图①，AM∥NC，点B位于AM，NC之间，∠BAM为钝角，
AB⊥BC，垂足为B.
（1） 若∠C＝40°，则∠BAM的度数为 ；
130°　
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解：如图，过点B作BF∥DM，∴ ∠ADB＋∠DBF＝180°.
∵ BD⊥AM，∴ ∠ADB＝90°.∴ ∠DBF＝90°＝∠ABD＋∠ABF.
又∵ AB⊥BC，∴ ∠ABC＝90°＝∠CBF＋∠ABF. ∴ ∠ABD＝
∠CBF.
∵ AM∥NC，BF∥DM，∴ NC∥BF. ∴ ∠C＝∠CBF. ∴ ∠ABD＝
∠C
（2） 如图②，过点B作BD⊥AM，交AM的反向延长线于点D，试说
明：∠ABD＝∠C.
第6题
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解：AB∥EF　理由：如图，过点C作CG∥AB，过点D作
DH∥AB，则CG∥DH. ∵ CG∥AB，∠B＝25°，∴ ∠BCG＝25°.
∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠GCD＝∠BCD－∠BCG＝45°－25°＝20°.
∵ CG∥DH，∴ ∠CDH＝∠GCD＝20°.∵ ∠CDE＝30°，∴ ∠HDE
＝∠CDE－∠CDH＝30°－20°＝10°.∵ ∠E＝10°，∴ ∠HDE＝
∠E. ∴ DH∥EF. ∴ AB∥EF.
7. 如图，∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，
AB与EF平行吗？请说明理由.
第7题
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8. （1） 如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，求∠BCD
的度数.
解：（1） 如图，过点C作CH∥AB，∴ ∠B＋∠BCH＝180°.
又∵ AB∥DE，∴ CH∥DE. ∴ ∠HCD＋∠D＝180°.∴ ∠B＋∠BCH
＋∠HCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
∴ ∠BCD＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°
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（2） 如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之
间的数量关系吗？请说明理由.
解：（2） ∠B＋∠BCD＋∠D＝360°　理由：如图，由（1），知
∠B＋∠BCH＝180°，∠HCD＋∠D＝180°，∴ ∠B＋∠BCH＋
∠HCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
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（3） 如图②，AB∥EF，根据（2）中的结果，直接写出∠B＋∠C＋
∠D＋∠E的度数.
　　
第8题
解：（3） ∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°
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类型二　补全截线或被截线
9. 一张纸条如图所示，BC∥DE，将纸条沿着BE进行折叠.若∠ABC＝
38°，求∠DEF的度数.
　第9题
解：如图，延长AB交DR于点T. ∵ BC∥DE，∴ ∠ATR＝∠ABC＝
38°.∵ AT∥EC，∴ ∠CER＝∠ATR＝38°.由题意，知∠DEB＝
∠CEB＝ ×（180°－38°）＝71°，∴ ∠DEF＝180°－∠DEB＝
109°
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10. 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，则∠BEF与∠EFC相等吗？请说明
理由.
第10题
解：∠BEF＝∠EFC
理由：如图，延长BE交DC的延长线于点H. ∵ AB∥CD，∴ ∠1＝
∠H. 又∵ ∠1＝∠2，∴ ∠H＝∠2.∴ BH∥CF. ∴ ∠BEF＝∠EFC.
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10(共15张PPT)
4.2　平 行 线
4.2.1　平 行 线
第4章　相交线和平行线
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列说法中，正确的是 （　C　）
A. 在同一平面内，没有公共点的两条线段是平行线
B. 在同一平面内，不重合的两条直线是平行线
C. 在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
D. 在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线
C
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2. 已知一平面内有∠AOB，P是平面内任意一点，过点P画一条直线与
OA平行，则这样的直线（　D　）
A. 有且只有一条 B. 有两条
C. 不存在 D. 有一条或不存在
3. 下列推理正确的是（　C　）
A. 因为a∥d，b∥c，所以c∥d
B. 因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C. 因为a∥b，a∥c，所以b∥c
D. 因为a∥b，d∥c，所以a∥c
D
C
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4. 在同一平面内，直线l1，l2满足下列条件，分别写出其对应的位置
关系：
（1） 若l1与l2没有公共点，则l1与l2 ；　
（2） 若l1与l2有且只有一个公共点，则l1与l2 ；
（3） 若l1与l2有两个以上的公共点，则l1与l2 .
平行　
相交　
重合　
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5. 观察如图所示的三棱柱，用符号表示下列线段的位置关系：AC
CC1，BC B1C1.
第5题
⊥　
∥　
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6. 如图，PC∥AB，QC∥AB，则点P，C，Q （填“在”或
“不在”）同一条直线上.理由：
.
第6题
在　
过直线外一点有且只有一条直线与
这条直线平行　
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7. （教材P184练习第2题变式）如图，在∠AOB内有一点P.
（1） 过点P画l1∥OA；
解：（1） 如图所示
（2） 过点P画l2∥OB；
解：（2） 如图所示
（3） 用量角器量一量l1与l2的夹角，与∠O的大小有怎样的关系？
第7题
解：（3） 测量过程略　l1和l2的夹角与∠O相等或互补
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8. 在如图所示的方格图中，经过线段AB外一点C，用直尺画线段AB的
垂线EF和平行线GH，并通过测量，写出EF，GH的位置关系.
第8题
解：如图所示　测量过程略　EF⊥GH
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9. （教材P184练习第3题变式）如图，在同一平面内，经过直线a外一
点O的4条直线中，与直线a相交的直线有（　B　）
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
第9题
B
10. 同一平面内有三条直线，如果其中只有两条平行，那么
它们（　C　）
A. 没有交点 B. 有一个交点
C. 有两个交点 D. 有三个交点
C
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11. 在某段高铁的修建中，铁路路基要通过一平地上的点E. 如图，
AB，CD是一河流的两岸，并且AB∥CD，E为直线AB外一点，现在
要使铁路路基过点E且与岸CD平行，建筑工人在修建时过点E，修建
路基EF，使EF∥AB，这种作法正确的理由是
.
第11题
如果两条直线都和第
三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　
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12. 如图，D，E，F是线段AB的四等分点.
（1） 过点D作DH∥BC交AC于点H，过点E作EG∥BC交AC于点
G，过点F作FM∥BC交AC于点M.
解：（1） 如图所示
（2） 量一量线段CH，HG，GM，MA的长度，你有什么发现？
解：（2） 测量过程略
CH＝HG＝GM＝MA
　第12题
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（3） 量一量线段BC，DH，EG，FM的长度，你又有什么发现？
　第12题
解：（3） 测量过程略
FM∶EG∶DH∶BC＝AF∶AE∶AD∶AB＝1∶2∶3∶4
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13. 在书写艺术字时，常运用画“平行线段”这种基本作图方法，如图
所示为书写的字母“M”.
（1） 请从正面、上面、右面三个不同的方向上各找出一组平行线段，
并用字母表示出来.
解：（1） 答案不唯一，如正面：AB∥EF；上
面：A'B'∥AB；右面：DD'∥HR
第13题
（2） EF与A'B'有何位置关系？
解：（2） EF∥A'B'
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（3） 图中AB所在的直线与RH所在的直线有公共点吗？若没有公共
点，能否说这两条直线平行？你还能找出两组具有类似位置关系的直线
吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？
解：（3） AB所在的直线与RH所在的直线没有公
共点
不能说这两条直线平行　具有类似位置关系的还有
EF所在的直线和DD'所在的直线，BB'所在的直线
和DH所在的直线（答案不唯一）　可知在叙述平
行线的概念时，必须要加上“在同一平面内”这一
限制条件
第13题
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13(共13张PPT)
4.1　相 交 线
4.1.3　同位角、内错角、同旁内角
第4章　相交线和平行线
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列图形中，∠1和∠2不属于同位角的是（　C　）
C
A. B. C. D.
2. 如图，∠4的内错角是（　D　）
A. ∠1 B. ∠2 C. ∠3 D. ∠5
第2题
D
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3. 如图，下列说法中，错误的是（　C　）
A. ∠C与∠1是内错角 B. ∠A与∠B是同旁内角
C. ∠2与∠3是内错角 D. ∠A与∠3是同位角
第3题
C
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4. （教材P178练习第1题变式）如图，∠A与
是内错角；∠B与 是同位角；∠ACB
与 是同旁内角.
第4题
∠ACD，∠ACE
∠DCE，∠ACE 　
∠A，∠B　
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5. 如图，写出图中各对角的位置关系：
第5题
（1） ∠C和∠D是 角；
（2） ∠B和∠GEF是 角；
（3） ∠A和∠D是 角；
（4） ∠CFD和∠AFB是 角.
同旁内　
同位　
内错　
对顶　
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6. 如图，△ABC的顶点A在直线DE上.
（1） 与∠B是同旁内角的有哪些角？它们分别是哪两条直线被哪一条
直线所截形成的？
解：（1） ∠EAB与∠B是同旁内角，它们是直线DE与BC
被直线AB所截形成的；∠BAC与∠B是同旁内角，它们是
直线AC与BC被直线AB所截形成的；∠C与∠B是同旁内
角，它们是直线AB与AC被直线BC所截形成的
第6题
（2） 与∠C是内错角的有哪些角？它们分别是哪两条直线被哪一条直
线所截形成的？
解：（2） ∠1与∠C是内错角，它们是直线DE与BC被直线AC所截形成的
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7. （教材P179练习第3题变式）如图，找出图中用数字标出的角中的同
位角、内错角和同旁内角.
第7题
解：同位角有∠3与∠7，∠4与∠6，∠2与∠8
内错角有∠1与∠4，∠3与∠5，∠2与∠6，∠4与∠8
同旁内角有∠2与∠4，∠2与∠5，∠4与∠5，∠3与∠6
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8. 如图，下列判断正确的是（　A　）
A. ∠3与∠6是同旁内角 B. ∠2与∠4是同位角
C. ∠1与∠6是对顶角 D. ∠5与∠3是内错角
第8题
A
9. 如图，图中能与∠C构成同旁内角的角有（　D　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第9题
D
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10. 如图，∠6与∠9是 角，它们是直线 与 被直
线 所截形成的；∠3与∠5是 角，它们是直线
与 被直线 所截形成的；与∠1是同位角的角为
；在标有数字的九个角中，同位角共有 对，内错角共有 对，
同旁内角共有 对.
第10题
内错　
AC　
DE　
BE　
同位　
BC　
AC　
BE　
∠7，∠8
6　
4　
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11. 如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝40°，∠2＝105°.求：
（1） ∠1的同位角的度数；
解：（1） ∠1的同位角是∠4，因为∠2＋∠4＝180°，∠2
＝105°，所以∠4＝75°
第11题
（2） ∠4的内错角的度数；
解：（2） ∠4的内错角是∠5，因为∠5＝∠1，∠1＝40°，
所以∠5＝40°
（3） ∠3的同旁内角的度数.
解：（3） ∠3的同旁内角是∠4，由（1），得∠4＝75°
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12. 如图所示为一个跳棋棋盘，下面是它的游戏规则：一个棋子从某一
个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角.跳动时，每一步只能
跳到它的同位角、内错角或同旁内角的位置上.如从起始位置∠1跳到终
点位置∠3的路径有路径1：∠1 ∠9 ∠3；路径2：
∠1 ∠12 ∠6 ∠3等.
（1） 写出从∠1到∠8的一条路径；
解：（1） 路径不唯一，如∠1 ∠9 ∠8
第12题
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（2） 写出从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳
到终点位置∠8的路径；
解：（2） ∠1 ∠10 ∠5 ∠8
第12题
（3） 写出从起始位置∠1跳到终点位置∠8的路径，要求跳遍所有的
角，且不能重复.
解：（3） 路径不唯一，如∠1 ∠9 ∠2 ∠10 ∠3 ∠4 ∠11 ∠5 ∠6 ∠12 ∠7 ∠8
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12(共24张PPT)
第4章总结提升
第4章　相交线和平行线
01
体系构建
02
考点突破
03
素养提升
目
录
考点一　相交线与垂线
第1题
1. 如图，按各组角的位置，判断错误的是（　D　）
A. ∠1与∠2是对顶角 B. ∠3与∠4是内错角
C. ∠2与∠5是同位角 D. ∠5与∠6是同旁内角
D
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2. 过直线l外一点P画直线l的垂线CD，下列的三角板放置正确的是
（　D　）
D
A. B. C. D.
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3. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，
∠AOC＝66°，则∠EOF的度数为 .
第3题
123°　
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4. 如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地的缺水问题，
政府准备投资修建一个蓄水池.
（1） 不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄
的距离之和最小.
解：（1） 如图，连结AC，BD交于点H，则点H即为
蓄水池的位置
第4题
（2） EF是河流的一条边，若计划把河水引入蓄水池中，
则怎样开渠最短？请说明理由.
解：（2） 如图，过点H作HG⊥EF，垂足为G，则线
段HG即为开渠的路线　理由：直线外一点和直线上各点
的连线中，垂线段最短.
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考点二　平行线及其判定
5. 在同一平面内，直线a，b相交于点O，且直线a∥c，则直线b和c
的位置关系是（　B　）
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 平行或垂直
6. 如图，下列条件中，能判定AB∥DC的是（　D　）
A. ∠1＝∠2 B. ∠1＝∠E
C. ∠3＋∠A＝180° D. ∠3＋∠C＝180°
第6题
B
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7. 如图，CE⊥DG，垂足为C，∠BAF＝50°，∠ACE＝140°.试判
断AB和CD的位置关系，并说明理由.
第7题
解：AB∥CD　理由：∵ CE⊥DG，∴ ∠ECG＝90°.∵ ∠ACE＝
140°，∴ ∠ACG＝∠ACE－∠ECG＝50°.∵ ∠BAF＝50°，
∴ ∠BAF＝∠ACG. ∴ AB∥DG，即AB∥CD.
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考点三　平行线的性质
8. （2022·陕西）如图，AB∥CD，BC∥EF. 若∠1＝58°，则∠2的
度数为（　B　）
A. 120° B. 122° C. 132° D. 148°
第8题
B
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18
9. （2023·南通）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，C分别
在直线m，n上.若m∥n，∠1＝50°，则∠2的度数为（　A　）
A. 140° B. 130° C. 120° D. 110°
第9题
A
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8
9
10
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16
17
18
10. 一个小区大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE，CD平行于地
面AE，那么∠ABC＋∠BCD的度数为 .
第10题
270°　
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14
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17
18
11. 如图，BD∥AF∥CE，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP是
∠BAF的平分线.求∠PAC的度数.
第11题
解：∵ BD∥AF，∠ABD＝60°，∴ ∠BAF＝∠ABD＝60°.∵ AP是
∠BAF的平分线，∴ ∠PAF＝ ∠BAF＝30°.又∵ AF∥CE，∠ACE
＝36°，∴ ∠CAF＝∠ACE＝36°.∴ ∠PAC＝∠PAF＋∠CAF＝30°
＋36°＝66°
1
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18
12. 如图，当光线从空气射入水中时，原本直线传播的光线的方向发生
了偏折，这就是折射现象.已知图中∠1＝47°，∠2＝30°，则光的传
播方向改变的度数为（　A　）
A. 13° B. 15° C. 17° D. 19°
第12题
A
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18
13. 如图，AB∥EF，点C在EF上，∠EAC＝∠ECA，CB平分
∠DCF，且AC⊥BC. 有下列结论：① CA平分∠DCE；② AE∥CD；
③ ∠1＋∠B＝90°；④ ∠BDC＝2∠1.其中，正确的有（　D　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第13题
D
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5
6
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18
14. 如图，用数字表示的角中，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角
有c对，则ab－c＝ .　
第14题
9　
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4
5
6
7
8
9
10
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18
15. 如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，∠DOE∶∠BOD＝
3∶2.若∠AOC＝28°，则∠EOF的度数为 .
第15题
48°　
1
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17
18
16. 如图，∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＝105°，则∠4＝
时，AB∥EF.
第16题
105°　
1
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6
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10
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15
16
17
18
17. 如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，则
BD与CE平行吗？请说明理由.
第17题
解：BD∥CE　理由：∵ ∠1＝∠2，∴ AD∥BE. ∴ ∠D＝∠DBE.
∵ ∠3＝∠D，∴ ∠DBE＝∠3.∴ BD∥CE.
1
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18
18. 如图，AM∥BN，∠A＝60°，P是射线AM上一动点（不与点A重
合），BC平分∠ABP交射线AM于点C，BD平分∠PBN交射线AM于
点D.
（1） 求∠CBD的度数.
解：（1） ∵ AM∥BN，∴ ∠ABN＋∠A＝180°.
∴ ∠ABN＝180°－60°＝120°.∴ ∠ABP＋∠PBN
＝120°.∵ BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴ ∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP. ∴ 2∠CBP
＋2∠DBP＝120°.∴ ∠CBD＝∠CBP＋∠DBP＝
60°
第18题
1
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17
18
（2） 当点P运动时，∠APB∶∠ADB的比值是否随之变化？若不变，
请求出这个比值；若变化，请找出变化规律.
解：（2） 不变　∵ AM∥BN，∴ ∠APB＝
∠PBN，∠ADB＝∠DBN. ∵ BD平分∠PBN，
∴ ∠PBN＝2∠DBN. ∴ ∠APB∶∠ADB＝
∠PBN∶∠DBN＝2
第18题
1
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18
（3） 当∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数.
解：（3） ∵ AM∥BN，∴ ∠ACB＝∠CBN.
∵ ∠ACB＝∠ABD，∴ ∠CBN＝∠ABD. ∴ ∠ABC
＋∠CBD＝∠CBD＋∠DBN. ∴ ∠ABC＝∠DBN.
由（1），知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴ ∠ABC＋∠DBN＝60°.∴ ∠ABC＝30°
第18题
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17
18(共15张PPT)
4.2　平 行 线
4.2.3　平行线的性质
第4章　相交线和平行线
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （2023·云南）如图，直线c与直线a，b都相交.若a∥b，∠1＝
35°，则∠2的度数为（　D　）
A. 145° B. 65° C. 55° D. 35°
第1题
D
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16
2. （教材P190例4变式）（2023·泸州）如图，AB∥CD，若∠D＝
55°，则∠1的度数为（　A　）
A. 125° B. 135° C. 145° D. 155°
第2题
A
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16
3. （2022·长沙）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则
∠DCF的度数为（　C　）
A. 65° B. 70° C. 75° D. 105°
第3题
C
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16
4. （2023·济宁）如图，a，b是直尺的两边，a∥b，把三角板的直角
顶点放在b上.若∠1＝35°，则∠2的度数是（　B　）
A. 65° B. 55° C. 45° D. 35°
第4题
B
5. 如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截.若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝
126°32'，则∠2的度数是 .　
第5题
53°28'　
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16
6. 如图，直线a∥b，点C，A分别在直线a，b上，AC⊥BC. 若∠1＝
50°，则∠2的度数为 .　
第6题
40°　
7. 如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数
是 .
第7题
74°　
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16
8. （教材P191例6变式）如图，将方格图中的图形向右平行移动4格，再
向下平行移动3格，画出平行移动后的图形.
第8题
解：如图所示
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16
9. 如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°.求∠2的度数.
第9题
解：∵ AB∥CD，∠1＝54°，∴ ∠1＝∠ABC＝54°.∵ BC平分
∠ABD，∴ ∠ABD＝2∠ABC＝108°.∵ AB∥CD，∴ ∠BDC＝180°
－∠ABD＝72°.∴ ∠2＝∠BDC＝72°
1
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16
10. 如图，EF∥AC，∠ABD的顶点B在直线EF上.若∠CAB＝40°，
∠ABD＝60°，则∠DBF的度数为（　B　）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
第10题
B
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16
11. 如图，要使图形A经过平行移动后与下方图形拼成一个长方形，下列
移动方法正确的是（　A　）
A. 向右平行移动4格，再向下平行移动4格
B. 向右平行移动6格，再向下平行移动5格
C. 向右平行移动4格，再向下平行移动3格
D. 向右平行移动5格，再向下平行移动3格
第11题
A
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16
12. 如图，AB∥CD，CD∥EF，则∠BCE等于 （　C　）
A. ∠2－∠1 B. ∠1＋∠2
C. 180°＋∠1－∠2 D. 180°－∠1＋∠2
第12题
C
13. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，AB∥CD，那么∠α的度数
是 .
第13题
15°　
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16
14. 如图，DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝40°，则
∠EDC的度数为 .
第14题
20°　
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15. 如图，AB∥CD，∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于
点E，BF交CD于点F.
（1） 求∠1＋∠2的度数；
解：（1） ∵ BF，DE分别平分∠ABD和∠BDC，
∴ ∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2.又∵ AB∥CD，∴
∠ABD＋∠BDC＝180°，即2∠1＋2∠2＝180°.∴ ∠1
＋∠2＝90°
第15题
（2） 若∠2＝40°，求∠3的度数.
解：（2） ∵ ∠2＝40°，∠1＋∠2＝90°，∴ ∠1＝90°
－∠2＝50°.又∵ AB∥CD，∴ ∠1＋∠3＝180°.∴ ∠3＝
180°－∠1＝130°
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16. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，P为BC上一点，设∠CDP＝
∠α，∠DPC＝∠β.当点P在BC上运动时（点P不与点B，C重合），
∠α与∠β的和与∠B有什么关系？
　第16题
解：如图，过点P作PQ∥AB，交AD于点Q. ∵ AB∥CD，∴ PQ∥CD.
∴ ∠DPQ＝∠α.∵ PQ∥AB，∴ ∠CPQ＝∠B. 又∵ ∠CPQ＝∠DPQ＋
∠β＝∠α＋∠β，∴ ∠α＋∠β＝∠B
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16(共15张PPT)
小专题（八）　平行线的性质与判定的综合应用
第4章　相交线和平行线
类型一　利用平行线的性质与判定求角或确定角的关系
1. 如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝66°，则∠C的度数是
（　A　）
A. 114° B. 124° C. 134° D. 144°
第1题
A
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2. 如图，∠1＝75°，∠2＝75°，∠3＝112°，则∠4的度数是
（　C　）
A. 34° B. 44° C. 68° D. 105°
第2题
C
1
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5
6
7
8
9
10
3. 如图，AB∥CD，∠A＝∠C，∠B＝50°，则∠C的度数
为 ，∠D的度数为 .
第3题
130°　
50°　
1
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6
7
8
9
10
4. 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝65°，求∠BAD的度
数.请将解题过程补充完整.
第4题
1
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5
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10
解：∵ AB∥CD（已知），
∴ ∠4＝∠ （　 　）.
∵ ∠3＝∠4（已知），
∴ ∠3＝∠ .
∵ ∠1＝∠2（已知），
∴ ∠1＋∠CAF＝∠2＋∠CAF，
即∠BAE＝∠ .
∴ ∠3＝∠ .
∴ AD∥BE（　 　）.
∴ ∠B＋∠ ＝180°.
∵ ∠B＝65°，
∴ ∠BAD＝ .
BAE　
两直线平行，同位角相等　
BAE　
CAD　
CAD　
内错角相等，两直线平行　
BAD　
115°　
第4题
1
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10
5. 如图，∠1＋∠AFE＝180°，∠A＝∠2，试说明：∠A＝∠C＋
∠AFC. 请将解题过程补充完整.
第5题
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
解：∵ ∠1＋∠AFE＝180°，
∴ CD∥EF（　 　）.
∵ ∠A＝∠2，
∴ （　 　）.
∴ AB∥CD∥EF.
∴ ∠A＝ ，∠C＝ （　
　）.　
∵ ∠AFE＝∠CFE＋∠AFC，
∴ （等量代换）.
同旁内角互补，两直线平行　
AB∥CD　
同位角相等，两直线平行　
∠AFE　
∠CFE　
两直线平行，内错角相
等　
∠A＝∠C＋∠AFC　
第5题
1
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10
类型二　利用平行线的性质与判定确定位置关系
6. 如图，AB∥DE，∠1＝∠2，则AE与DC的位置关系是（　B　）
A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定
第6题
B
1
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3
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5
6
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8
9
10
7. 下面是小明做的一道解答题，请帮他把解答过程补充完整.
第7题
如图，CD∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°.
（1） EF与AB有怎样的位置关系？请说明理由.
（2） 若∠CEF＝68°，求∠ACB的度数.
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9
10
解：（1） EF AB.
理由：∵ CD∥AB， ，
∴ ∠DCB＝∠ABC＝ （　 　）.
∵ ∠CBF＝20°，
∴ ∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝ .
∵ ∠EFB＝130°，
∴ ∠ABF＋∠EFB＝ .
∴ EF∥AB（　 　）.
∥　
∠DCB＝70°　
70°　
两直线平行，内错角相等　
50°　
180°　
同旁内角互补，两直线平行　
（1） EF与AB有怎样的位置关系？请说明理由.
第7题
1
2
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6
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（2） ∵ EF∥AB，CD∥AB，
∴ EF∥CD（　
　）.
∴ ∠CEF＋∠ECD＝180°.
∵ ∠CEF＝68°，
∴ ∠ECD＝112°.
∴ ∠ACB＝∠ECD－∠DCB＝ .
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线
也互相平行　
42°　
第7题
1
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6
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10
8. 如图，AB∥CD，EF分别交AB，CD于点E，F，H，M是CD上
的点，∠1＋∠2＝90°，BH⊥EM于点G，则EF与BH平行吗？请说
明理由.
第8题
解：EF∥BH　理由：∵ AB∥CD，∴ ∠2＋∠AEM＝180°，即∠2＋
∠1＋∠FEM＝180°.∵ ∠1＋∠2＝90°，∴ ∠FEM＝90°.
∵ BH⊥EM，∴ ∠HGM＝90°.∴ ∠FEM＝∠HGM. ∴ EF∥BH.
1
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9. 如图，EF⊥AC，垂足为F，BD⊥AC，垂足为M，∠1＝∠C，点
N在AD上.若∠2＝∠3，则AB与MN平行吗？请说明理由.
第9题
解：AB∥MN　理由：∵ EF⊥AC，BD⊥AC，∴ EF∥BD. ∴ ∠3＝
∠CDM. ∵ ∠2＝∠3，∴ ∠2＝∠CDM. ∴ MN∥CD. ∴ ∠AMN＝∠C.
∵ ∠1＝∠C，∴ ∠1＝∠AMN. ∴ AB∥MN.
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10. 如图，∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3.
（1） DE与BC平行吗？为什么？
解：（1） DE∥BC　∵ ∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠ADG
＝180°，∴ ∠ADG＝∠2.∴ AB∥EF. ∴ ∠B＝∠EFC.
∵ ∠B＝∠3，∴ ∠3＝∠EFC. ∴ DE∥BC
第10题
（2） 若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度数.
解：（2） ∵ DE∥BC，∠C＝76°，∴ ∠AED＝∠C＝
76°，∠C＋∠DEC＝180°.∴ ∠DEC＝180°－∠C＝
104°.∵ ∠AED＝2∠3，∴ ∠3＝38°.∴ ∠CEF＝∠DEC
－∠3＝66°
1
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5
6
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8
9
10(共15张PPT)
4.1　相 交 线
4.1.2　垂　线
第4章　相交线和平行线
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 下列说法中，正确的是（　B　）
A. 一条直线的垂线只有一条
B. 若两条直线相交所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直
C. 若两条直线相交，则交点叫做垂足
D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
B
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14
2. （教材P180习题4.1第2题变式）（2022·河南）
第2题
如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O. 若∠1＝
54°，则∠2的度数为（　B　）
A. 26° B. 36° C. 44° D. 54°
B
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14
3. 如图，C是线段AB上方一点，连结AC，BC，过点C作CP⊥AB，
垂足为P. 若BC＝6，AC＝3，则CP的长可能是（　A　）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 7
第3题
A
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14
4. 如图，如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重
合，其理由是
.
第4题
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂
直　
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14
5. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.
若∠AOM＝40°，则∠NOD的度数为 .
第5题
130°　
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14
6. （教材P176练习第3题变式）如图，P是∠AOB的边OB上的一点.
（1） 过点P画OB的垂线，交OA于点C；
解：（1） 如图所示
（2） 过点P画OA的垂线，垂足为H；
解：（2） 如图所示
（3） 线段PH的长度是点P到 的距离，线段 的长度是
点C到OB的距离；
OA　
PC　
（4） 判断线段PC，PH，PO的大小关系（用“＜”连接），并说明
判断的依据.
解：（4） PH＜PC＜PO，判断的依据是直线外一点和直线上所有各点的连线中，垂线段最短
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7. 如图，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，射线OD在∠AOC内部，
OD⊥OA，求∠BOD的度数.
第7题
解：因为∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，∠AOB＋∠BOC＋∠AOC＝
360°，所以∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°.因为OD⊥OA，所以
∠AOD＝90°.所以∠DOC＝∠AOC－∠AOD＝30°.所以∠BOD＝
∠BOC＋∠DOC＝150°
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8. 如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD
的是（　C　）
A. ∠AOD＝90° B. ∠AOC＝∠BOC
C. ∠BOC＋∠BOD＝180° D. ∠AOC＋∠BOD＝180°
第8题
C
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9. 如图，AD⊥BD于点D，BC⊥CD于点C，AB＝acm，BC＝
bcm，则BD长的取值范围是（　D　）
A. 大于acm B. 小于bcm
C. 大于acm或小于bcm D. 大于bcm且小于acm
第9题
D
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10. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，且∠BOD＝2∠BOC. 若以O
为端点的射线OE⊥CD，则∠BOE的度数为（　B　）
A. 30° B. 150°或30°
C. 150° D. 以上均不正确
第10题
B
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11. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点
到直线距离的线段共有 条.
第11题
12. 在同一平面内，已知线段AB的长为10cm，点A，B到直线l的距离
分别为6cm和4cm，则符合条件的直线l有 条.
5　
3　
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14
（1） 从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由.
解：（1） 如图，沿AB走最近　理由：两点之间线段最短.
（2） 从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由.
解：（2） 如图，沿BD走最近　理由：直线外一点和直线上所有各点
的连线中，垂线段最短.
（3） 从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由.
第13题
解：（3） 如图，沿AC走最近　理由：直线外一点和直线上所有各点
的连线中，垂线段最短.
13. 如图，火车站、码头分别位于点A，B处，直线a和直线b分别表示
河流与铁路.
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14. 如图，直线AB，CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，
EO⊥AB于点O，FO⊥CD于点O，OP平分∠EOF吗？请判断并说明
理由.
解：OP平分∠EOF　理由：因为EO⊥AB，FO⊥CD，所以∠EOB
＝∠COF＝90°.所以∠EOB－∠BOC＝∠COF－∠BOC，即
∠COE＝∠BOF. 因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝∠BOP.
所以∠COE＋∠COP＝∠BOF＋∠BOP，即∠POE＝∠POF. 所以
OP平分∠EOF.
第14题
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14(共16张PPT)
4.2　平 行 线
4.2.2　平行线的判定
第4章　相交线和平行线
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. 如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（　C　）
A. AD∥BC B. AB∥CD
C. AD∥EF D. EF∥BC
第1题
C
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2. 如图，BD平分∠ABC，若∠1＝∠2，则（　D　）
A. AD＝BC B. AB＝CD
C. AB∥CD D. AD∥BC
第2题
D
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3. 如图，下列条件中，不能判定a∥b的是（　D　）
A. ∠1＝∠3 B. ∠2＋∠4＝180°
C. ∠4＝∠5 D. ∠2＝∠3
第3题
D
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4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，则 ∥ ，理由
是 .
第4题
BC　
ED　
内错角相等，两直线平行（或垂直于同一条直线的两条直线平行）
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5. 如图，舞台上的灯光由灯带上位于点A和点C的两盏激光灯控制.光线
AB与灯带AC的夹角∠A＝40°，当光线CB'与灯带AC的夹角∠ACB'
＝ 时，CB'∥AB.
第5题
140°　
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6. （教材P188练习第1题变式）如图，点B在射线CA上，BD⊥BE，
∠1＋∠C＝90°，则射线CF与BD平行吗？试说明理由.
第6题
在下列解答中，填空（理由或数学式）.
CF∥BD. 理由如下：
∵ BD⊥BE（已知），
∴ ∠DBE＝90°（垂直的定义）.
∴ （　∠1　）＋（　∠2　）＝90°.
又 ∵∠1＋∠C＝90°（　已知　），
∴ （　∠2　）＝（　∠C　）（等量代换）.
∴ BD∥CF（　同位角相等，两直线平行　）.
∠1
∠2
已知
∠2
∠C
同位角相等，两直线平行
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7. （教材P188练习第3题变式）如图所示为一个由4条线段构成的“鱼”
形图案，其中∠1＝∠2＝50°，∠3＝130°，请找出图中的平行线，并
说明理由.
第7题
解：OA∥BC，OB∥AC　理由：∵ ∠1＝50°，∠2＝50°（已
知），∴ ∠1＝∠2.∴ OB∥AC（同位角相等，两直线平行）.∵ ∠2＝
50°，∠3＝130°（已知），∴ ∠2＋∠3＝180°.∴ OA∥BC（同旁内
角互补，两直线平行）.
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8. 如图，有下列条件：① ∠DCA＝∠CAF；② ∠C＝∠EDB；③
∠BAC＋∠C＝180°；④ ∠GDE＋∠B＝180°.其中，能判定
AB∥CD的是（　C　）
A. ①④ B. ②③④
C. ①③④ D. ①②③
第8题
C
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13
9. 如图，若∠3＝∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是
（　D　）
A. ∠1＝∠2
B. ∠1＝∠3且∠2＝∠4
C. ∠1＋∠3＝90°且∠2＋∠4＝90°
D. ∠1＋∠2＝90°
第9题
D
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13
10. 如图，∠1＝∠A，∠2＝∠B，则图中的平行线有 对.
第10题
3　
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13
解：∵ AG同时平分∠BAC与∠EDF（　 　），　
∴ ∠DAC＝ ∠BAC，∠GDF＝ ∠EDF（　 　）.
又∵ ∠BAC＝∠EDF（　 　），
∴ ∠DAC＝∠GDF（　 　）.
∴ AC∥DF（　 　）.
11. 某品牌遮阳伞如图①所示，图②是其剖面图.若AG同时平分∠BAC
与∠EDF，且∠BAC＝∠EDF，请在以下推理过程中的括号内填写适
当的理由.
第11题
已知　
角平分线的定义
　
已知　
等量代换　
同位角相等，两直线平行　
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12. 如图，∠C＝∠1，∠2＋∠D＝90°，∠1＋∠D＝90°，则AB与
CD平行吗？为什么？
第12题
解：AB∥CD　∵ ∠2＋∠D＝90°，∠1＋∠D＝90°（已知），
∴ ∠2＝∠1（同角的余角相等）.∵ ∠C＝∠1（已知），∴ ∠2＝∠C
（等量代换）.∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
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13. 一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，C为直角顶点，边AB和
边DE所在的直线交于点P. 若固定三角板ABC不动，改变三角板CDE
的位置（其中点C的位置始终不变），则当∠APD的度数为多少时，
DE∥AC？
第13题
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13
解：如图①，当∠APD＋∠A＝180°时，DE∥AC（同旁内角互补，
两直线平行）.∵ ∠A＝60°，∴ ∠APD＝180°－∠A＝180°－60°＝
120°.如图②，当∠APD＝∠BAC＝60°时，DE∥AC（同位角相
等，两直线平行）.综上所述，当∠APD的度数为120°或60°时，
DE∥AC
第13题
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13(共17张PPT)
4.1　相 交 线
4.1.1　对 顶 角
第4章　相交线和平行线
01
基础过关
02
能力进阶
03
思维拓展
目
录
1. （教材P172练习第1题变式）如图，下列各组角中，互为对顶角的是
（　A　）
A. ∠1和∠2 B. ∠1和∠3
C. ∠2和∠4 D. ∠2和∠5
第1题
A
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2. （2022·北京）如图，利用工具测量角，则∠1的度数为（　A　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
第2题
A
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3. （2022·苏州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，
∠1＝25°，则∠2的度数是（　D　）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
第3题
D
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4. 如图，三条直线相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数是（　B　）
A. 210° B. 180° C. 150° D. 120°
第4题
B
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5. 如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平
分∠EOB，则∠AOD的度数为 .
第5题
60°　
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6. 如图，∠1与∠2 互补，则图中与∠1相等的角共有 个.
第6题
3　
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14
7. 如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能
进入围墙，只能站在墙外，应如何测量（运用本节知识）？
第7题
解：延长AO与BO，在AO的延长线上取一点C，在BO的延长线上取
一点D，测出∠COD的度数，根据“对顶角相等”即可得到∠AOB的
度数
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8. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OD平分∠BOF，∠COE＝
90°，∠DOF＝30°.
（1） 求∠AOC的度数；
解：（1） 因为OD平分∠BOF，所以∠BOD＝∠DOF
＝30°.所以∠AOC＝∠BOD＝30°
第8题
（2） 试判断射线OE是否平分∠AOF，并说明理由.
解：（2） 射线OE平分∠AOF
理由：由题意，得∠DOE＝180°－∠COE＝90°，所
以∠COE＝∠DOE. 因为∠AOC＝30°＝∠DOF，所以
∠COE－∠AOC＝∠DOE－∠DOF，即∠AOE＝
∠EOF. 所以射线OE平分∠AOF. 　
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9. 有下列说法：① 有公共顶点且相等的两个角是对顶角；② 若一个角
的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角是对顶角；③
两直线相交所形成的角中，有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶
角.其中，正确的是 （　B　）
A. ①② B. ②③ C. ② D. ①③
B
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10. （教材P171例2变式）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝
80°，∠BOE∶∠DOE＝3∶2，则∠AOE的度数是 （　D　）
A. 100° B. 116° C. 120° D. 132°
第10题
D
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11. 如图，直线DE与BC相交于点O，∠1与∠2互余，∠AOE＝
116°，则∠1的度数是 .　
第11题
26°　
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14
12. 如图，直线AB和DF相交于点O，∠COB＝90°，OE平分
∠AOF，求2∠EOF－∠COD的度数.
第12题
解：因为 OE平分∠AOF，所以∠AOF＝2∠EOF. 因为∠AOF＝
∠BOD，∠COB＝90°，所以2∠EOF－∠COD＝∠AOF－∠COD
＝∠BOD－∠COD＝∠COB＝90°
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14
13. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，射线OF在
∠BOD内部.
（1） 若∠AOC＝56°，求∠BOE的度数；
解：（1） 由题意，得∠AOD＝180°－∠AOC＝124°.
因为OE平分∠AOD，所以∠DOE＝∠AOE＝ ∠AOD
＝62°.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝118°
第13题
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14
（2） 若∠DOE∶∠DOF∶∠BOF＝7∶3∶1，求∠COE的度数.
解：（2） 因为OE平分∠AOD，所以∠AOE＝∠DOE.
因为∠DOE∶∠DOF∶∠BOF＝7∶3∶1，所以
∠AOE∶∠DOE∶∠DOF∶∠BOF＝7∶7∶3∶1.所以∠AOE＝
×180°＝70°，∠DOF＝ ×180°＝
30°，∠BOF＝ ＝10°.所以∠BOD＝∠DOF＋
∠BOF＝40°.因为直线AB，CD相交于点O，所以
∠AOC＝∠BOD＝40°.所以∠COE＝∠AOC＋∠AOE
＝110°
第13题
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13
14
14. 观察图形，寻找对顶角（不含平角）：
（1） 如图①，图中共有 对对顶角；
（2） 如图②，图中共有 对对顶角；
（3） 如图③，图中共有 对对顶角；
（4） 探究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，
若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
2　
6　
12　
n（n－1）　
（5） 若有2024条直线相交于一点，则可形成 对对顶角.
第14题
4094552　
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5
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