资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
阶段拔尖专训6 一元二次方程根与系数关系的应用
类型 1 已知一根求另一根
1.如果 4 是关于x的一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.[2023怀化] 已知关于x的一元二次方程x +mx-2=0的一个根为-1，则m的值为 ，另一个根为 .
3.已知关于x的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是1，求方程的另一个根.
类型 2 求与两根有关的代数式的值
4.已知实数a，b分别满足 且a≠b,则( 的值为 ( )
A.36 B.50 C.28 D.25
5.[2024 东莞一模] 关于 x 的一元二次方程 的两实数根x ，x 满足 则 的值是 ( )
A.8 B.16 C.32 D.16或40
6.[2024广州越秀区模拟] 已知m，n是方程 的两个实数根，则 的值为 .
7.已知关于 x的一元二次方程
(1)试判断这个方程根的情况；
(2)若对于m=1，2，3，…，2022，相应的一元二次方程的两个根分别记为求的值.
类型 3 求字母系数的值 (或取值范围)
8.已知关于 x 的方程 的两个实数根为 x ，x ，若 3，则m的值为 ( )
A. -3 B.-1 C.—3 或 1 D.-1或3
9.[2023绵阳模拟] 若关于 x 的方程 的两个实数根满足关系式 则k的值为 ( )
A.11 B.-1 C.11或-1 D.11或—1或1
10.已知关于x的一元二次方程x -3x+k+1=0的两根的平方和小于5，则k的取值范围是 .
11.已知关于x的一元二次方程
(1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
(2)当k取满足(1)中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式 的值.
类型 4 已知两根求新方程
12.如果方程 的两个根是x ，x ，那么 请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知关于x的方程 求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
(2)已知a,b满足 且 求 的值；
(3)已知a,b,c均为实数,且. ，求正数 c 的最小值.
阶段拔尖专训6.一元二次方程根与系数关系的应用
1. A 【点拨】设方程的另一个根为lì利用根与系数的关系得4+t≈6，然后解关于t的方程即可.
2. -1;2 【点拨】将x=-1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于-2，即可求出方程的另一个根.
3.(1)【证明】: ∴方程总有两个不相等的实数根.
(2)【解】设方程的另一个根为m，由根与系数的关系得1×m=-5，解得m=-5.
∴方程的另一个根为-5.
4. C 【点拨】根据题意，a，b可看作方程 的两根，则根据根与系数的关系得到.a+b=6, ab=4,然后把原式变形得到原式 再利用整体代入的方法计算即可.
5. C 【点拨】先根据根的判别式求得 m的取值范围为m>0，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到x + ,进而求得m=2或m=-1(舍去)，从而求得 ，把原式变形，代入计算即可.
6.2021 【点拨】∵m,n是方程. 的两个实数根，
7.【解】
有两个不等的实数根.
的两根为α ,β ,
当m=1时
故
当m=2时,
故
当m=3时,
故
当m=4时，
故
当m=5时,
故
当m=6时, 故
…
当 m = 2 022 时,α2022 + β oz = - 2,α ozz β oz2 =-4 090 506,
故
8. A 【点拨】∵方程 的两个实数根为x ,x ,
解得m=1或m=-3.
∵方程有两个实数根，
即
∴m=1不合题意，舍去.
∴m=-3.
故选 A.
9. C 【点拨】由根与系数的关系可得 再结合| 两边进行平方整理得到(x + 从而可求得k的值，将k的值代入方程，检验方程是否有两个不相等的实数根，从而确定答案.
【点拨】设关于x的一元二次方程 k+1=0的两根为x ,x ,则
∵关于x的一元二次方程 的两根的平方和小于5，
即
解得k>1.
又∵关于x的一元二次方程. 有两个实数根，
∴△=9-4k-4≥0,解得
综上所述，k的取值范围为
11.【解】(1)根据题意得k≠0且。 解得 且 k≠0.
(2)∵k取满足(1)中条件的最小整数，
∴k=1，此时方程变为
∴α+β=1.
=2α+1+β+1+β+2 024
=2(α+β)+2 026
=2×1+2 026
=2 028.
12.【解】(1)设关于x的方程. 的两根为x ,x ,则有 且由已知所求方程的两根为
∴所求方程为 即 0(n≠0).
(2)∵a,b满足a -15a-5=0,b -15b-5=0,且a≠b,∴a，b可看作方程. 的两根.
∴a+b=15.
(3)∵a+b+c=0, abc=16,
∴a，b可视为方程 的两根.
又∵c为正数，
∴c ≥64.∴c≥4.
∴正数c的最小值为4.

展开更多......

收起↑