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专题2.4.有理数的除法
1. 掌握有理数除法法则，并能熟练进行有理数除法的运算；
2. 在归纳、探索有理数法则的过程中体“转化”的思想；
3. 能利用有理数的除法解决生活中的实际问题。
4. 熟练掌握有理数混合（加减乘除）运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯；
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1、有理数除法法则的辨析 2
考点2、有理数的除法运算 3
考点3、有理数乘除法的混合运算 5
考点4、有理数除法的简算 8
考点5、有理数除法的应用 13
考点6、有理数除法的新定义问题 17
模块3：能力培优 19
1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。
有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。
2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。
考点1、有理数除法法则的辨析
【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
例1．（2023·浙江·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】根据有理数的除法法则：两数相除，异号得负，即可得到答案．
【详解】解：，，故选：B．
【点睛】主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键．
变式1．（2023·山东·七年级期末）下列说法正确的是（ ）（多选题）
A．互为相反数的两数相除商必等于1 B．非零的两数相除，同号得正，异号得负；
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数
【答案】BC
【分析】按照有理数的计算法则和特例进行辨别选择．
【详解】解：∵互为相反数（0除外）的两数相除商必等于1，∴选项A不符合题意；
∵非零的两数相除，同号得正，异号得负，∴故选项B符合题意；
∵大于1的两数之积一定大于任何一个因数，∴选项C符合题意；
∵当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数，∴选项D不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数运算结果大小变化的辨别能力，关键是能准确理解法则，并能对各种运算情况考虑全面．
变式2．（2023·江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，，则，．②若，，则，且．
③若，，则，．④若，，则，且．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据有理数的加法法则以及有理数的除法法则分别分析得出即可．
【详解】解：①若，，则，，故①结论正确；
②若，，则a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②结论错误；
③若，，则a＜0，b＜0，故③结论正确；
④若，，则a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故结论错误．
故正确的有2个．故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的除法法则以及有理数加法法则的应用，熟练掌握法则是解题关键．
变式3．（2023·广东·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数
C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定
【答案】C
【分析】应用有理数的乘除法及有理数的加减法法则进行判定即可得出答案．
【详解】解：A．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的和为负数，故A选项不符合题意；B．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的差可能为负数，故B选项不符合题意；
C．若两个数的商是正数，则这个两数为同号，这两个数的积为正数，故C选项符合题意；
D．若两个数的商是正数，这两数的和、积的正负不能确定，积的正负能确定，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的乘除法及有理数的加减法，熟练掌握有理数的乘除法及有理数的加减法法则进行判定即可得出答案．
考点2、有理数的除法运算
【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
例1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘除运算，利用除法法则即可得到结果．
【详解】解： 故选：C．
例2．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的除法法则进行判断便可．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项正确，符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意，故选：B．
【点睛】本题考查了有理数除法，熟记有理数除法法则是解题的关键．
变式1．（23-24七年级·重庆·月考）填空：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】 0
【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键．
根据有理数除法法则计算即可．
【详解】解：（1），故答案为：；
（2），故答案为：；
（3），故答案为：0；
（4）．故答案为：．
变式2．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）下列运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键．根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断．
【详解】解：A、，故计算错误；
B、，故计算错误；C、，故计算正确；
D、，故计算错误；故选：C．
变式3．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）从中任取2个数，所得积的最大值记为a，所得商的最小值记为b，则的值为 ．
【答案】//
【分析】本题考查了有理数的乘除法，有理数的大小比较，根据有理数的乘法与有理数的大小比较求出a、b的值，然后相除即可得解．
【详解】解：∵最大值，
最小值，．故答案为：．
考点3、有理数乘除法的混合运算
【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．
例1．（2023·辽宁沈阳·七年级统考期中）计算 的结果是_____________．
【答案】9
【分析】根据有理数的乘除运算顺序和运算法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘除法，解题的关键是掌握有理数的乘除法混合运算顺序和运算法则．
例2．（2023·广西·七年级校期中）阅读后回答问题：计算．
解：原式= ①
②
③
（1）从第 （填序号）步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①；（2）见解析．
【分析】同级运算应该按照从左到右的顺序进行．
【详解】解：（1）从第①步开始出现错误，同级运算没有按照从左到右的顺序进行；
（2）
【点睛】此题主要考查有理数的乘除法混合运算，乘除法同级运算从左到右进行是解题关键．
例3．（2023·湖北·七年级专题练习）计算：
(1)÷（）÷（）； (2)（）÷（）÷（）；
(3)（）×（）÷； (4)（）÷（）×（）．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝；
（4）原式＝．
【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
变式1．（2023·河北廊坊·七年级统考期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下，自己负责的那一步错误的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【分析】根据乘除的混合运算，按照从左到右的顺序进行计算，先将除法转化为乘法计算，即可求解．
【详解】解： ，
∴甲负责的那一步错误了，故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握运算顺序是解题的关键．
变式2．（23-24七年级·广东·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合法则是解题的关键．
根据有理数乘除混合法则逐项计算并判定即可．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：C．
变式3．（2023·山东·七年级专题练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可；
（2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可；
（3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则．
考点4、有理数除法的简算
【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。
例1．（2023·成都市七年级课时练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14
【详解】试题分析：（1）（2）（3）利用带分数的性质，把复杂的数写成两个数的和，再用乘法分配律计算；（4）（5）（6）把乘数运算，带分数，统一成假分数的乘积形式，约分求解.
试题解析：(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
例2．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算
刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数：
所以，原式
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算：
【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析(2)
【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律：
（1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法；
（2）仿照题意先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案．
【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下：
观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，
∴更喜欢张明的解法；
（2）解：原式的倒数为：
，
．
变式1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题．
【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意．
B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意．
C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意．
D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意．
故选：C．
变式2．（2023·江苏南通·七年级校考阶段练习）计算（能用简便方法的要用简便方法）：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)5.3(2)(3)(4)3750(5)(6)
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的加减法可以解答本题；
（3）根据有理数的乘除法可以解答本题；
（4）根据乘法分配律简便计算；
（5）先计算括号内的，再根据有理数的除法即可解答本题；
（6）根据有理数的除法即可解答本题．
【详解】（1）解：
=5.3；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
变式3．（2023·江苏无锡·七年级校联考阶段练习）计算
(1)； (2)；(3)；
(4)； (5)；（用简便方法计算）(6)；
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【分析】（1）先把减法统一为加法运算，再把同号的两数先加，从而可得答案；
（2）先确定运算结果的符号，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果；
（3）先把运算统一为加法运算，同步把小数化为分数，再利用加法的运算律进行简便运算即可；
（4）利用乘法的分配律进行简便运算即可；
（5）把原式化为再利用分配律进行简便运算即可；
（6）先计算，把除法化为乘法，利用分配律，再根据倒数的含义可得答案．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
∴
【点睛】本题考查的是有理数的四则混合运算，掌握“四则混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
考点5、有理数除法的应用
【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支依次相配，每个组合代表××年，60年为一个循环．如表，我们把天干、地支按顺序排列，给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2022年为例：天干为：；地支为：．对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年，那么2053年为农历 年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
【答案】癸酉
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题干中信息列出关于天干和地支的计算式，然后求解即可．
【详解】解：2053年的天干为：，
地支为：，∴2053年为农历癸酉年．故答案为：癸酉．
例2．（23-24七年级上·四川成都·期中）小张第一次用480元购买了8套儿童服装，以一定价格出售．如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：
，，，，，，0，．
请通过计算说明：
(1)小张卖完这八套儿童服装共卖了多少钱？
(2)这八套儿童服装平均每套盈利了多少元？
【答案】(1)共卖了元 (2)这八套服装平均每套盈利了18元
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是列出算式，熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据题意列出算式进行计算即可；
（2）根据利润等于售价减进价进行计算即可．
【详解】（1）解：
（元）．
（2）解：法一：（元）；
法二：（元）
法三：（元）
答：这八套服装平均每套盈利了18元．
变式1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经过四次试验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表：
物体的质量 1 2 3 4
弹簧的长度 10 12 14 16
已知该弹簧在挂物体后，在弹性限度内能达到的最大长度为，则学习小组在刻度盘上需标注的最大量程是 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据表格中的数据得出质量每增加，弹簧伸长的长度增加，求出弹簧的原长．
【详解】解：根据表格中的数据可知，质量每增加，弹簧伸长的长度增加，弹簧所挂物体质量为时，弹簧的长度为，∴弹簧的原长为：，
∴在弹性限度内能达到的最大长度为时，所挂物体质量为：，
即刻度盘上需标注的最大量程是．故答案为：10．
变式2．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始析的、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌．游戏规则：①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果．②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利；③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜．
（相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为）
【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：

(1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续；
(2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果；
(3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由．
【答案】(1)，否(2)72(3)第六次乙出“＋”和“4”，方案和理由见解析
【分析】本题考查有理数四则运算，绝对值定义．（1）根据题意列式，再利用绝对值定义即可；
（2）根据题意列式即可；（3）根据题意考虑所有可能性并列出即可．
【详解】（1）解：根据题意列式为：，
∵，∴游戏不再继续，即：第二次结果为：；
（2）解：根据题意列式为：，，；
（3）解：乙必胜的方案是：第六次乙出“＋”和“4”，
理由一：此时，第六次结果为76，第七次若甲出“-”和“5”，则结果为71，游戏结束，乙获胜；第七次若甲出“+”和“5”，则结果为81，游戏继续；第八次乙出“÷”和“”，结果为，游戏结束，乙获胜；
理由二：所有的出牌可能有：
①，甲负乙胜；②，乙负；③，乙负；
④，乙负；⑤，乙胜；⑥，甲负乙胜，
∴乙必胜的是第六次乙出“＋”和“4”．
变式3．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？
(2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）．
【答案】(1)一个数抽，另一个数是时，最大值是
(2)一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是
(3)
【分析】本题考查有理数的混合运算；
（1）从中抽张卡片，要使这张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可；
（2）从中抽取张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可．
（3）用学过的运算方法，构造出算式，使结果为即可．
【详解】（1），
，
因为，
所以其中的一个数抽，另一个数是时，最大值是；
（2），
所以其中的一个数抽，另一个数是时，它们相除的最小值是；
（3）从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为，运算式子为：
．
考点6、有理数除法的新定义问题
【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键．
【详解】解：∵，
∴
故选：D
例2．（22-23七年级上·广东广州·期中） （其中表示不超过的最大整数，如，等等）．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，能够理解取整的函数是解答本题的关键．利用取整函数把算式变为，再进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
变式1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　）
小嘉说：247是13的“和倍数” 小淇说：441是9的“和倍数”
小华说：214、357均不是“和倍数”
A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对
【答案】A
【分析】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．根据“和倍数”的定义依次判断即可
【详解】解∶∵，
∴247是13的“和倍数”，故小嘉的说法正确；
∵，
∴441是9的“和倍数”，故小淇的说法正确；
∵，∴214不是“和倍数”，
∵，
∴357不是“和倍数”，故小华的说法正确；故选：A．
变式2．（23-24七年级上·河南许昌·期中）我们规定，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘除法、有理数的大小比较，正确理解规定的运算法则是解题关键．先根据规定的运算法则进行转化，再计算有理数的乘除法求解即可得．
【详解】解：由题意得：，故选：C．
变式3．（2024·北京·七年级校考阶段练习）对于任意的非零且不相等的两个有理数a，b，定义：，解决以下问题：(1)计算；(2)计算；(3)请你举例验证一下交换律即在这一运算中是否成立。（举一个例子即可）。
【答案】(1)(2)；(3)不成立，见解析
【分析】（1）根据新定义直接列式计算即可；
（2）根据新定义先计算，再计算即可；
（3）令，，分别计算和进行验证即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
；
（3）解：令，，则，，
∵，∴在这一运算中不成立．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义的运算是解题的关键．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可
【详解】解：．故选：A．
【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除运算法则是解题的关键．
2．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）在算式□的“□”中填上运算符号“＋”“－”“×”或“÷”，要使运算的结果最小，则添加的运算符号是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
【答案】A
【分析】由、、、，判断出添加的符号．
【详解】∵、、、，
∴要使运算的结果最小，添加的运算符号是：“＋”故选：A
【点睛】本题考查有理数的加减乘除运算，解题的关键是根据法则，正确计算．
3．（2024·山东·七年级校考阶段练习）与运算结果相同的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的乘除法则分别计算，再作比较．
【详解】解： A、，该选项不符合题意；
B、，该选项符合题意；C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考考查了有理数的除法．解题关键点：熟记有理数的除法法则．
4．（23-24七年级上·山东聊城·期末）算式______中的横线内应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数的除法运算，解题的关键是熟知运算法则．根据有理数的除法法则即可求解．
【详解】解：括号内应填．故选：．
5．（23-24七年级上·福建厦门·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（ ）
天数 第3天 第5天
工作进度
A．6天 B．8天 C．9天 D．10天
【答案】C
【分析】此题是典型的工程问题，需要特别注意的是把问题分段分析，分清每段的情况即可．此题是工程问题，把此工作分段进行分析，甲自己做了3天做了，则可知道甲自己做需要天，从而求出乙的工作效率，进而求出结果即可．
【详解】解：甲自己做需天，∴乙的工作效率为：
∴（天），故选：C．
6．（23-24七年级上·河北邯郸·阶段练习）对于式子“”的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数的除法，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解题的关键．
【详解】解：，故选D．
7．（2023·广东·七年级校考阶段练习）两个数的商为正数，那么这两个数是（ ）
A．都是正数 B．都是负数 C．同号 D．至少有一个为正数
【答案】C
【分析】根据有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，并把绝对值相除来判断即可．
【详解】两个有理数的商是正数，那么这两个数一定同号．故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，并把绝对值相除．
8．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）网上一些推广“成功学”的主播，常引用下面这个被称为竹子定律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能长，而且这还是深埋于土下．到了第五年，竹子终于能破土而出，会以每天的速度疯狂生长．此后，仅需要6周的时间，就能长到15米，惊艳所有人！”．这段话的确很励志，须不知，要符合算理的话，需将上文“6周”中的整数“6”改为整数（　　）
A．5 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据题意列出算式进行计算即可．
【详解】解：，竹子生长需要的时间为（天），，
即竹子长成需要8周的时间，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数除法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．
9．（2023·四川资阳·统考二模）天干地支纪年法源于中国，是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支，如表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2014年，尾数4为甲，2014除以12余数为10，10为午，那么2014年就是甲午年．则2023年是( )
A．甲卯年 B．甲寅年 C．癸卯年 D．癸寅年
【答案】C
【分析】先用2023的尾数3查出天干，再用2023除以12的余数查出地支即可．
【详解】2023年，尾数3为癸，2023除以12余数为7，7为卯，那么2023年就是癸卯年，故选：C．
【点睛】本题是考查了推理，读懂天干地支的算法是解决本题的关键．
10．（2023·江苏·七年级）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
【答案】B
【分析】根据公式和新定义的运算将数值代入公式求解即可．
【详解】解：C125 =故选：B．
【点睛】关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法进行解答．
11．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）若计算式子的结果为最大，则应分别在，△中填入下列选项中的（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】将四个选项中的运算符号分别代入式子中进行运算，通过比较结果即可得出结论．
【详解】解：当选取A选项的符号时，；
当选取B选项的符号时，；
当选取C选项的符号时，；
当选取D选项的符号时，，
∵当选取D选项的符号时，计算式子的结果最大，故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
12．（2023·重庆·模拟预测）式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法：
①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果；
②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为；
③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：①中“”的位置有种可能，“”确定位置后，“”的位置有种可能，则添加“”“”两个运算符号，得到的算式有种不同的结果，故①错误；
②结果为，必须添加“”，
若添加“”， 添加“”， 添加“”，则有，故②正确；
③添加的运算符号中有“”，且同时添加三个运算符号，
要是结果最大，不能添加，必须添加“”，此时添加“”， 添加“”，即可得到最大结果，为，故③错误；
综上所述，正确的有②，个数为，故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2022·成都市七年级校联考课时练习）计算：_______ ．
【答案】
【详解】=，得_______
根据 除数=被除数商=（-16）（-15）=.
14．（2023秋·浙江金华·七年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）某种药品的说明书上贴有如图的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是____mg到___mg．
【答案】 15 40
【分析】分每天服用和，分次和次两种服用方法，求出每次服用的剂量，确定最小值和最大值，即可得解．
【详解】解：每天服用时，分次服用，每次服用：；
分次服用，每次服用：；
每天服用时，分次服用，每次服用：；
分次服用，每次服用：；
∴每天最小服用，最多服用；故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的除法的实际应用．根据题意正确的列出算式进行计算，是解题的关键．
15．（2024·四川遂宁·七年级校考期中）若“!”是一种数学运算符号，并且：，，，，…，则_________
【答案】2022
【分析】根据题干所给运算方法可进行求解．
【详解】解：由题意得：；故答案为2022．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握题中所给运算符号是解题的关键．
16．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值；先根据数轴求出，，，再去掉绝对值，即可求解．
【详解】解：根据数轴可知：，，，
原式．故答案为：．
17．（2023春·重庆沙坪坝·九年级联考阶段练习）40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗．这40名学生可分为甲、乙、丙三类，其中甲类学生15人，乙类15人，丙类10人，每类学生的劳动效率为甲类学生可以挖树坑2个或者运树苗20棵，乙类学生可以挖树坑1.2个或者运树苗10棵，丙类学生可以挖树坑0.8个或者运树苗7棵．如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么在完成挖坑任务的同时树苗运得最多为_____棵．
【答案】260
【分析】先求出这三类学生挖树坑相对于运树苗的相对效率，然后由挖树坑相对效率较高那一类先挖树坑，剩下的再由第二高的先挖，再剩下的就由相对效率最低的再来挖．
【详解】解：这三类学生挖树坑的相对效率是
甲类：，乙类：，丙类：．
由上可知，乙类学生挖树坑的相对效率最高，其次是丙类学生，故应先安排乙类学生挖树坑，
可挖：（个）．再安排丙类学生挖树坑，可挖：（个），
还差（个）树坑，由两名甲类学生去挖，这样就能完成挖树坑的任务，
其余13名甲类学生运树苗，可以运：（棵）．故答案为：260．
【点睛】本题关键是根据三类学生的相对效率来求解，挖树坑的效率与运树苗的效率比越高就让他们先来挖树坑，这样效率最高．
18．（2023春·上海·七年级专题练习）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．
例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：．
如果 、◆表示正， 、 表示负（如“◆”为“”，“ ”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或．
①
依次记为：_________________
列式计算：__________________．
②
依次记为：_________________
列式计算：_______．
【答案】①，，，；．（答案不唯一，正确即可）
②，，，；．（答案不唯一，正确即可）
【分析】根据 、◆表示正， 、 表示负结合牌的点数即可表示，出各张牌表示的数，根据“点”游戏规则结合有理数的混合运算法则列式即可．
【详解】解：①四张牌依次记为，，，；
列式计算得：（答案不唯一，正确即可）；
②四张牌依次记为，，，；
列式计算得：（答案不唯一，正确即可）．
【点睛】本题考查新定义问题和有理数的混合运算，理解“点”游戏规则并熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·吉林长春·七年级校考阶段练习）计算.
(1)；(2).
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算进行计算即可求解；
（2）先将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则以及运算律是解题的关键．
20．（2023·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：
(1) (2)
(3)； (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
（4）
．
【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，乘法分配律的应用，掌握“同级运算，按照从左至右的运算顺序进行计算与乘法分配律的应用”是解本题的关键．
21．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
【答案】(1)未超过(2)5小时
【分析】（1）求得上述各数的和，然后根据结果与0的大小关系即可作出判断；（2）根据题意列式求解．
【详解】（1）解：，
答：水库的水位未超过警戒线．
（2）（小时），
答：水库需放水小时．
【点睛】本题考查有理数的混合运算及正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键．
22．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）阅读下列解题过程：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
．
所以原式．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
【答案】
【分析】根据材料提示运用倒数的意义，先计算原式的倒数，结果再求倒数，由此即可求解．
【详解】解：
，
∴原式．
【点睛】本题主要考查倒数的运用，有理数乘除法的运算，掌握运用倒数的计算方法，有理数的乘除法运算法则，乘法分配律的运用是解题的关键．
23．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水．
容器甲 容器乙 容器丙
(1)当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间；
(2)当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间．
【答案】(1)(2)当时间为，，，甲、乙两个容器中水位的高度相差
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，圆柱的容积计算，关键是注意分类讨论．
（1）甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，即乙容器水位达到甲容器中水的水位；
（2）分水还未达到管子连接处、乙水位达到了管子连接处两种情况讨论．
【详解】（1）解：，，．
（2）解：分两种情况：①乙容器中水还未达到管子连接处，i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时；，丙装满时间为，
即后，此时丙水位达到了管子连接处，，丙处水流入乙；此时容器乙高度增加速度，
i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时；
当时，，
ii) 当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时；此时丙水位达到了管子连接处，丙处水流入乙；
时，，
乙装满时间为；
②乙水位达到了管子连接处，当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时；
即后，，时，
综上，当时间为，，，甲、乙两个容器中水位的高度相差．
24．（2023·北京海淀区·七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于　 　类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于　 　类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是　 　（填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④
【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；
（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．
【详解】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A；
（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，
∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；
②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；③若m＝1，n＝1，③错误；
④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；综上，①④正确．故答案为：①④．
【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．
25．（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题：
(1)已知m，n是有理数，当时，则______；
(2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值；
(3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值．
【答案】(1)0；(2)1或；(3)或3．
【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键；
（1）先判断同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可；
（2）先判断m，n，t全负或m，n，t两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可；
（3）先判断m，n，t两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案．
【详解】（1）解：∵m，n是有理数，当时，∴同号，
当，时，，
当，时，；
（2）∵∴m，n，t全负或m，n，t两正一负
①当m，n，t全负时，
②当m，n，t两正一负时
Ⅰ）当，，时，
Ⅱ）当，，时，
Ⅲ）当，，时，
综上所述，的值为1或；
（3）∵∴，，．
∴
又∵，∴m，n，t两正一负
由（2）可知的值为或3．
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专题2.4.有理数的除法
1. 掌握有理数除法法则，并能熟练进行有理数除法的运算；
2. 在归纳、探索有理数法则的过程中体“转化”的思想；
3. 能利用有理数的除法解决生活中的实际问题；
4. 熟练掌握有理数混合（加减乘除）运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1、有理数除法法则的辨析 2
考点2、有理数的除法运算 3
考点3、有理数乘除法的混合运算 5
考点4、有理数除法的简算 8
考点5、有理数除法的应用 13
考点6、有理数除法的新定义问题 17
模块3：能力培优 19
1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。
有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。
2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。
考点1、有理数除法法则的辨析
【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
例1．（2023·浙江·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
变式1．（2023·山东·七年级期末）下列说法正确的是（ ）（多选题）
A．互为相反数的两数相除商必等于1 B．非零的两数相除，同号得正，异号得负；
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数
变式2．（2023·江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，，则，．②若，，则，且．
③若，，则，．④若，，则，且．
A．1 B．2 C．3 D．4
变式3．（2023·广东·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数
C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定
考点2、有理数的除法运算
【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
例1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（23-24七年级·重庆·月考）填空：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
变式2．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）下列运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）从中任取2个数，所得积的最大值记为a，所得商的最小值记为b，则的值为 ．
考点3、有理数乘除法的混合运算
【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．
例1．（2023·辽宁沈阳·七年级统考期中）计算 的结果是_____________．
例2．（2023·广西·七年级校期中）阅读后回答问题：计算．
解：原式= ①
②
③
（1）从第 （填序号）步开始出现错误；
（2）请写出正确的解答过程．
例3．（2023·湖北·七年级专题练习）计算：
(1)÷（）÷（）； (2)（）÷（）÷（）；
(3)（）×（）÷； (4)（）÷（）×（）．
变式1．（2023·河北廊坊·七年级统考期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下，自己负责的那一步错误的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
变式2．（23-24七年级·广东·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·山东·七年级专题练习）计算：
(1)；(2)；(3)．
考点4、有理数除法的简算
【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。
例1．（2023·成都市七年级课时练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
例2．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算
刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数：
所以，原式
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算：
变式1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　）
A． B． C． D．
变式2．（2023·江苏南通·七年级校考阶段练习）计算（能用简便方法的要用简便方法）：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
变式3．（2023·江苏无锡·七年级校联考阶段练习）计算
(1)； (2)；(3)；
(4)； (5)；（用简便方法计算）(6)；
考点5、有理数除法的应用
【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支依次相配，每个组合代表××年，60年为一个循环．如表，我们把天干、地支按顺序排列，给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2022年为例：天干为：；地支为：．对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年，那么2053年为农历 年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
例2．（23-24七年级上·四川成都·期中）小张第一次用480元购买了8套儿童服装，以一定价格出售．如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：
，，，，，，0，．
请通过计算说明：(1)小张卖完这八套儿童服装共卖了多少钱？(2)这八套儿童服装平均每套盈利了多少元？
变式1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经过四次试验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表：
物体的质量 1 2 3 4
弹簧的长度 10 12 14 16
已知该弹簧在挂物体后，在弹性限度内能达到的最大长度为，则学习小组在刻度盘上需标注的最大量程是 ．
变式2．（23-24七年级上·福建宁德·期末）【问题情境】在数学活动课上，同学们玩“计算竟大”游戏：每场游戏开始析的、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌，四张数字牌上分别标有一个数字，四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号，双方都能看到对方牌面的信息．游戏开始，两人依次轮流出牌，每次只有一人出牌．游戏规则：①第一次，由先出牌者出一张数字牌，直接做为第一次结果．②从第二次开始，每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌，与上一次结果进行相应运算，运算结果记为本次结果．若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大，则游戏继续；否则游戏结束，本次出牌者失利，对方获得本场游戏胜利；③若游戏继续，则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止．若最后一次结果们绝对值大于上一次结果的绝对值，则最后一次出牌者获得本场游戏胜利，否则对方获胜．
（相应的运算示例：若上一次的结果为，本次出牌的符号为“÷”，数字为“2”，则相应的运算为）
【问题解决】在某一场游戏前，甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下：

(1)若第一次甲出“2”，第二次乙出“-”和“3”，直接写出第二次的结果，并判断游戏是否继续；
(2)若第一次甲出“”，第二次乙出“-”和“1”，第三次甲出“÷和“”，第四次乙出“×”和“3”，第五次甲出“×”和“2”，请列出综合算式求第五次的结果；
(3)在（2）的基础上，第六次乙应如何出牌才能保证最后结果总是自己胜出？请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案，并说明该方案乙必胜的理由．
变式3．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题：
(1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？
(2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？
(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）．
考点6、有理数除法的新定义问题
【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（22-23七年级上·广东广州·期中） （其中表示不超过的最大整数，如，等等）．
变式1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　）
小嘉说：247是13的“和倍数” 小淇说：441是9的“和倍数”
小华说：214、357均不是“和倍数”
A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对
变式2．（23-24七年级上·河南许昌·期中）我们规定，则（ ）
A． B．1 C． D．
变式3．（2024·北京·七年级校考阶段练习）对于任意的非零且不相等的两个有理数a，b，定义：，解决以下问题：(1)计算；(2)计算；(3)请你举例验证一下交换律即在这一运算中是否成立。（举一个例子即可）。
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期末）在算式□的“□”中填上运算符号“＋”“－”“×”或“÷”，要使运算的结果最小，则添加的运算符号是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
3．（2024·山东·七年级校考阶段练习）与运算结果相同的是（　　）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级上·山东聊城·期末）算式______中的横线内应填（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级上·福建厦门·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（ ）
天数 第3天 第5天
工作进度
A．6天 B．8天 C．9天 D．10天
6．（23-24七年级上·河北邯郸·阶段练习）对于式子“”的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广东·七年级校考阶段练习）两个数的商为正数，那么这两个数是（ ）
A．都是正数 B．都是负数 C．同号 D．至少有一个为正数
8．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）网上一些推广“成功学”的主播，常引用下面这个被称为竹子定律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能长，而且这还是深埋于土下．到了第五年，竹子终于能破土而出，会以每天的速度疯狂生长．此后，仅需要6周的时间，就能长到15米，惊艳所有人！”．这段话的确很励志，须不知，要符合算理的话，需将上文“6周”中的整数“6”改为整数（　　）
A．5 B．7 C．8 D．9
9．（2023·四川资阳·统考二模）天干地支纪年法源于中国，是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支，如表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 已 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2014年，尾数4为甲，2014除以12余数为10，10为午，那么2014年就是甲午年．则2023年是( )
A．甲卯年 B．甲寅年 C．癸卯年 D．癸寅年
10．（2023·江苏·七年级）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
11．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）若计算式子的结果为最大，则应分别在，△中填入下列选项中的（ ）
A．， B．， C．， D．，
12．（2023·重庆·模拟预测）式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法：
①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果；
②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为；
③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2022·成都市七年级校联考课时练习）计算：_______ ．
14．（2023秋·浙江金华·七年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）某种药品的说明书上贴有如图的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是____mg到___mg．
15．（2024·四川遂宁·七年级校考期中）若“!”是一种数学运算符号，并且：，，，，…，则_________
16．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是 ．
17．（2023春·重庆沙坪坝·九年级联考阶段练习）40名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗．这40名学生可分为甲、乙、丙三类，其中甲类学生15人，乙类15人，丙类10人，每类学生的劳动效率为甲类学生可以挖树坑2个或者运树苗20棵，乙类学生可以挖树坑1.2个或者运树苗10棵，丙类学生可以挖树坑0.8个或者运树苗7棵．如果他们的任务是：挖树坑30个，运树苗不限，那么在完成挖坑任务的同时树苗运得最多为_____棵．
18．（2023春·上海·七年级专题练习）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．
例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：．
如果 、◆表示正， 、 表示负（如“◆”为“”，“ ”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或．
①
依次记为：_________________
列式计算：__________________．
②
依次记为：_________________
列式计算：_______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·吉林长春·七年级校考阶段练习）计算.
(1)； (2).
20．（2023·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）乘除计算：
(1) (2)
(3)； (4)
21．（2023·浙江温州·七年级校考阶段练习）有一个水库某天的水位为米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：，，0，，，．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
22．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）阅读下列解题过程：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
．
所以原式．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
23．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水．
容器甲 容器乙 容器丙
(1)当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间；
(2)当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间．
24．（2023·北京海淀区·七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于　 　类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于　 　类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是　 　（填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
25．（23-24七年级上·福建福州·期末）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题：
(1)已知m，n是有理数，当时，则______；
(2)已知m，n，t是有理数，当时，求的值；
(3)已知m，n，t是有理数，，且，求的值．
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