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专题2.2.有理数的减法
1.掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法法则进行简单的计算；
2.会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题；
3.理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算；
4.在学习、探究有理数减法法则的过程中，体会“化归”的数学思想，强化应用意思。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1、有理数减法法则的辨析 2
考点2、有理数的减法运算 3
考点3、有理数加减法统一成加法 4
考点4、有理数的加减混合运算 5
考点5、有理数加减混合运算中的简便计算 9
考点6、有理数加减法混合运算的实际应用 14
考点7、有理数加减混合运算的新定义 17
模块3：能力培优 20
1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。
2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。如：
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
3. 有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。
4．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式
可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。
例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。
考点1、有理数减法法则的辨析
【解题方法】有理数减法的法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
例1．（2023·山东淄博·七年级统考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数
C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零
变式1．（2023·广东·七年级期末）（多选题）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·广东·七年级校联考阶段练习）下面说法中，正确的是（ ）
A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数；
C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零．
考点2、有理数的减法运算
【解题方法】将减法转化为加法，根据加法法则计算即可。
例1．（2023·浙江金华·七年级校考阶段练习）下列计算中，不正确的是（ ）
A．（ 6）+（ 4）= 2 B． 9 （ 4）= 5 C．| 9 | + 4 = 13 D． 9 4 = 13
变式1．（2023·浙江·七年级统考期中）在(－5)－(　　)＝－7中的括号里应填(　　)
A．－12 B．2 C．－2 D．12
变式2．（23-24七年级上·广西南宁·期中）下列运算错误的是（　　）
A． B． C． D．
考点3、有理数加减法统一成加法
【解题方法】有理数加减法统一成加法的两种方法：①先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；②利用同号得正，异号得负口诀省略括号和加号的形式．
例1．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）将式子省略括号和加号后变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法；
读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减．
则关于这两种读法，下列说法正确的是（ ）
A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确
变式2．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）将式子改写成省略括号的形式为( )
A． B． C． D．
考点4、有理数的加减混合运算
【解题方法】有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。
例1．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）计算:
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
变式1．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题
(1)； (2)；
(3)；(4)．
变式2．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算．
(1)； (2)．
(3)； (4)．
考点5、有理数加减混合运算中的简便计算
【解题方法】运用运算律简化计算常见方法：
①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。
例1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算题（能简算的要简算）
(1) (2)
(3) (4)
例2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算（能简算的要简算）：
(1)； (2)；
(3)． (4)．
例3．（2023·广东七年级课时练习）观察下列等式
_________
将以上三个等式两边分别相加得：
.
（1）猜想并写出： ；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ；
（3）探究并计算：．
变式1．（2023·广西·七年级月考中）计算（能简算的要简算）：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
变式2.（2024·山东·七年级期中）计算（能简算的要简算）：
(1)－＋－； (2)－8 721＋53－1 279＋4；
(3)－＋. (4)
变式3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用较为简便的方法计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
考点4、有理数加减法混合运算的实际应用
【解题方法】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m）
时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
甲地
乙地
下列说法中正确的是（　　）
A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高
C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低
例2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元．如果小宇在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为 元．
菜品 单价（含包装费） 数量
水煮牛肉（小） 30元 1
醋溜土豆丝（小） 12元 1
豉汁排骨（小） 30元 1
手撕包菜（小） 12元 1
米饭 3元 2
变式1．（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）某集团公司对所属甲、乙两工厂前5个月经营情况记录如下表所示（其中“”表示盈利，“”表示亏损，单位：万元），则这5个月甲厂比乙厂多盈利（　　）万元
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份
甲厂
乙厂
A．3 B．2.7 C．2.6 D．2.4
变式2．（2024·北京海淀·一模）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：
小云参与了所有活动．
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ；（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ．
考点7、有理数加减混合运算的新定义
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）大家都知道，九点五十五分可以说成十点差五分．这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，，198写成，写成，7683写成，；总之，数字上画一条杠表示减去它，按这个方法计算：= ．
例2．（2023·陕西咸阳·七年级阶段练习）已知表示小于或等于的最大整数，如：，，．现定义，如，则______________．
变式1．（2023·重庆·七年级校考阶段练习）阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a b＝n可以使（a+c） b＝n+c，a （b+c）＝n﹣2c，如果1 1＝2，那么2020 2020＝_____．
变式2．（2023·贵州·七年级阶段练习）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“﹣”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
　 　1 　 　2 　 　3 　 　4＝0
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（至少写出4个满足条件的m的值）
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果为（ ）
A．2 B． C．8 D．
2．（2023·浙江杭州·一模）“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”是对新疆地区昼夜温差的真实写照．据统计，吐鲁番三月份某天的最高气温是，最低气温是，则吐鲁番这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）某海滨浴场某日气温变化情况如图所示，该浴场气温在以上时才允许游泳，请根据图象分析该浴场在这一天开放的时间为（ ）
A．5小时 B．8小时 C．12小时 D．10小时
4．（2023·山东青岛·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两个负数相减，等于绝对值相减 B．两个负数的差一定大于零
C．负数减去正数，等于两个负数相加 D．正数减去负数，等于两个正数相减
5．（2024·广西柳州·三模）大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
6．（2024·重庆七年级月考）给出下列计算：①②③④，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广西梧州·七年级校考期中）把写成省略括号的形式后，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（ ）
A． B． C．5 D．9
10.（2024 南京七年级期中）M、N两地的高度差记为M﹣N，例如：M地比N地低2米，记为M﹣N＝﹣2（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米）
两地的高度差 D﹣A E﹣D F﹣E G﹣F H﹣G B﹣H
测量结果 3.3 ﹣4.2 ﹣0.5 2.7 3.9 ﹣5.6
则A﹣B的值为（　　）
A．0.4 B．﹣0.4 C．6.8 D．﹣6.8
11．（2023·江苏常州·七年级校考期中）小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（ ）．
A．0 B． C． D．50
12．（2023·浙江·七年级校考期中）读一读，式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“”表示为，这里“”是求和符号．例如：，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为，又知可表示为．通过对以上材料的阅读，计算（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.（23-24七年级上·重庆·期中）给出下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则．其中正确的是 ．（填序号）
14．（2023·辽宁大连·七年级校考期末）如图，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶8844.43m，最低处位于亚洲西部名为死海的湖－415m，两处高度相差______m．
15．（2023·四川宜宾·七年级统考期中）若“方框”表示运算，则“方框”______．
16．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）已知，，且，则 ．
17．（2023·山东七年级期中）八年级甲班人，其中有人参加语文课外小组，有人参加数学兴趣小组，有人既参加语文课外小组又参加数学兴趣小组，其余的人参加文艺活动小组，则参加文艺活动小组的人有________人．
18．（22-23七年级上·浙江温州·期中）众所周知，六点五十五分可以说成七点差五分，有时这样表达更清楚，这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，；270写成，；7683写成，．按这个方法请计算= ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·广东·期中）计算下列各式：
(1) (2)
(3) (4)
20．（23-24七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）十一国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表．请解答下列问题：（写出计算过程）
高度变化 记作
上升千米 千米
下降千米 千米
上升千米 千米
下降千米 千米
(1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？
(2)若飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？
21．（2023·河南南阳·七年级统考期中）【问题探索】如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为l）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长度为_____．(2)图中点A所表示的数是_____，点B所表示的数是_____．
(3)【实际应用】由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”根据对话可知丽丽现在的岁数是_____，奶奶现在的岁数是_____．
22．（2023·成都市七年级期中）问题：能否将，，，，，这个数分成两组并分别求和，且使所求的两个和的差为？
解答：，要满足题设要求，需将这个数分成两组，一组的和为，另一组的和为，然后把它们相减下面给出一种分法，例如：．
应用：在，，，，，，，，，这个数前面任意添上“”或“”．
(1)能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法，若不能，请说明理由
(2)能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法，若不能，请说明理由．
23．（2023·浙江七年级期中）如图，一辆货车从超市出发，向东走了千米到达小华家，继续向东走了千米到达小颖家，然后向西走了千米到达小明家，最后回到超市超市及小明家、小华家、小颖家的大小忽略不计．

(1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用个单位长度表示千米，请画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小华家和小颖家的位置；(2)小明家距小华家多远？(3)货车一共行驶了多少千米？
24．（2023·广东·七年级统考期中）设表示不大于的最大整数，为正整数除以3的余数计算：(1)(2)
25．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：
，，，，，，，，……
(1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：
同号得__________，异号得__________，并把绝对值__________；一个数与0相“乘加”等于__________；
(2)根据法则计算：__________；__________；
(3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：
① ②
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专题2.2.有理数的减法
1.掌握有理数的减法法则，会将有理数的减法法则进行简单的计算；
2.会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题；
3.理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算；
4.在学习、探究有理数减法法则的过程中，体会“化归”的数学思想，强化应用意思。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
考点1、有理数减法法则的辨析 2
考点2、有理数的减法运算 3
考点3、有理数加减法统一成加法 4
考点4、有理数的加减混合运算 5
考点5、有理数加减混合运算中的简便计算 9
考点6、有理数加减法混合运算的实际应用 14
考点7、有理数加减混合运算的新定义 17
模块3：能力培优 20
1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。
2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。如：
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
3. 有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。
4．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式
可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。
例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4
这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。
考点1、有理数减法法则的辨析
【解题方法】有理数减法的法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
例1．（2023·山东淄博·七年级统考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数
C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零
【答案】A
【分析】根据有理数的减法法则结合举反例解答即可
【详解】A.减去一个数，等于加上这个数的相反数，正确；
B.如，-7-2=-9是负数，所以被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数错误；
C.如0-(-5)=5，所以零减去一个有理数，差一定是负数错误；
D.如5-3=2>0，所以两个数的差必小于零错误；故选A．
【点睛】本题考查有理数的减法运算，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解答本题关键．
变式1．（2023·广东·七年级期末）（多选题）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】如图可知，，，且离原点更近一些，由此分析即可；
【详解】解：如图可知，，，且离原点更近一些，故：
A、正确，符合题意；B、由图知，故错误，不符合题意；
C、因为，所以，故C错误，不符合题意；
D、因为，所以，且离原点更近一些，则，故，符合题意；
故选AD．
【点睛】本题考查数轴上的点的特征，绝对值的定义，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
变式2.（2023·广东·七年级校联考阶段练习）下面说法中，正确的是（ ）
A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数；
C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零．
【答案】C
【分析】根据有理数的加法法则可判断A项，根据有理数的减法法则可判断B、C两项，根据相反数的性质举出反例可判断D项，进而可得答案．
【详解】解：A、两个有理数的和不一定比这两个有理数的差大，故本选项说法错误，不符合题意；
B、两个有理数的差一定不小于被减数，故本选项说法错误，不符合题意；
C、零减去一个有理数等于这个有理数的相反数，故本选项说法正确，符合题意；
D、绝对值相等的两数之差不一定为零，如3与﹣3的绝对值相等，但3－（﹣3）=6，故本选项说法错误，不符合题意 ．故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加法与减法以及相反数的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握有理数的基本知识是解题关键．
考点2、有理数的减法运算
【解题方法】将减法转化为加法，根据加法法则计算即可。
例1．（2023·浙江金华·七年级校考阶段练习）下列计算中，不正确的是（ ）
A．（ 6）+（ 4）= 2 B． 9 （ 4）= 5 C．| 9 | + 4 = 13 D． 9 4 = 13
【答案】A
【分析】运用有理数的加减混合运算法则，逐一计算即可判断．
【详解】A．（ 6）+（ 4）=－10，故错误；B． 9 （ 4）=－9+4=－5，故正确；
C．| 9 | + 4 =9+4=13，故正确；D． 9 4 =－13，故正确；故选A．
【点睛】本题考查了有理数的加法，有理数的减法和去绝对值，熟记运算法则是解题的关键．
变式1．（2023·浙江·七年级统考期中）在(－5)－(　　)＝－7中的括号里应填(　　)
A．－12 B．2 C．－2 D．12
【答案】B
【详解】试题分析：
减去一个数等于加数这个数的相反数.同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加. 故选B.
变式2．（23-24七年级上·广西南宁·期中）下列运算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握相关的运算性质是解题的关键．
根据有理数的加减法则对各选项依次计算判断即可．
【详解】A．，原式计算错误，故此选项符合题意；
B．，原式计算正确，故此选项不符合题意；
C．，原式计算正确，故此选项的计算正确；
D．，故此选项不符合题意；故选：A．
考点3、有理数加减法统一成加法
【解题方法】有理数加减法统一成加法的两种方法：①先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；②利用同号得正，异号得负口诀省略括号和加号的形式．
例1．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）将式子省略括号和加号后变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数加减计算化简．根据题意利用“同号得正，异号得负”即可化简该式．
【详解】解：，故选：C．
变式1．（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法；
读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减．
则关于这两种读法，下列说法正确的是（ ）
A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确
【答案】D
【分析】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数的加减混合运算的读法．据此解答即可．
【详解】解：对于式子，
可读作：负，负，正与负的和；也可读作：负减加减，
∴两种读法都正确．故选：D．
变式2．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）将式子改写成省略括号的形式为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用有理数的加减运算法则化简得出答案．
【详解】解：，故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握去括号法则及正确去括号是解题关键．
考点4、有理数的加减混合运算
【解题方法】有理数的混合运算步骤：
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。
例1．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）计算:
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算等知识点，灵活运用有理数的加减法可以解答本题，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可；
（2）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可；
（3）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可；
（4）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可；
（5）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
变式1．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）计算下列各题
(1)； (2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题；
（2）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题；
（3）去掉括号，然后将同分母分数结合，可得，即可求解；
（4）去掉括号，将同分母分数结合，原式可化为，结合有理数的加减混合运算，即可求解本题．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
变式2．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算．
(1)； (2)．
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算；
（1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
考点5、有理数加减混合运算中的简便计算
【解题方法】运用运算律简化计算常见方法：
①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。
例1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算题（能简算的要简算）
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)13(2)(3)16(4)
【分析】（1）运用有理数的加法、减法法则处理；
（2）运用有理数的加法处理，可运用加法结合律简化运算；
（3）可运算加法结合律、有理数加法、减法运算法则处理；
（4）小数变形为分数，运用加法结合律、加法、减法运算法则处理．
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查有理数的加减法，加法运算律；掌握有理数的运算法则是解题的关键．
例2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算（能简算的要简算）：
(1)； (2)；
(3)． (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．熟练掌握加法的交换律和结合律是解答本题的关键．
例3．（2023·广东七年级课时练习）观察下列等式
_________
将以上三个等式两边分别相加得：
.
（1）猜想并写出： ；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ；
（3）探究并计算：．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）观察所给算式，根据观察到的规律写出即可；
（2）①、②都是根据得出的规律展开，再合并，最后求出结果即可；
（3）根据观察到的规律展开，然后合并，即可求出结果.
【详解】解：（1）故答案为；
（2）①原式=+…+=1-；
②原式=+…+=1-，故答案为，；
（3）
所以：原式=×
=×=.
【点睛】本题考查有理数的混合运算，能根据已知算式得出这一规律是解题的关键.
变式1．（2023·广西·七年级月考中）计算（能简算的要简算）：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)3 (2) (3) (4)
【分析】（1）先将分数化为小数，然后按照加法运算律进行简便运算；（2）根据同分母结合计算；
（3）先算绝对值，再计算减法；（4）根据同分母结合计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查了分数和小数的加减混合运算及绝对值，正确运用加法运算律是解题的关键．
变式2.（2024·山东·七年级期中）计算（能简算的要简算）：
(1)－＋－； (2)－8 721＋53－1 279＋4；
(3)－＋. (4)
【答案】（1）；（2）-9942；（3）;(4)
【分析】（1）根据有理数的加法和减法可以解答本题；
（2）根据有理数的加法和减法可以解答本题；
（3）根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题；
【解析】(1) －＋－；
(2) －8 721＋53－1 279＋4＝(－8 721－1 279)＋ ＝－10 000＋58＝－9 942；
(3) －＋
(4) 原式=
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
变式3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用较为简便的方法计算下列各题：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)1
【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加减混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键；（1）利用交换律与结合律化为，再计算即可；
（2）先求解绝对值，再计算即可；（3）先化为省略加号的和的形式，再计算即可；
（4）利用交换律与结合律化为，再计算即可；
【详解】（1）解：
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
考点4、有理数加减法混合运算的实际应用
【解题方法】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。
例1．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m）
时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
甲地
乙地
下列说法中正确的是（　　）
A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰 B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高
C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小 D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低
【答案】D
【分析】本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义，正确的列出算式，是解题的关键．依次进行计算判断即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰，故选项A不正确，
∵，
∴乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项B不正确，
∵，
∴这七天内，甲地的水位变化比乙地大，故选项C不正确，
∵，∴甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项D正确，故选：D．
例2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元．如果小宇在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为 元．
菜品 单价（含包装费） 数量
水煮牛肉（小） 30元 1
醋溜土豆丝（小） 12元 1
豉汁排骨（小） 30元 1
手撕包菜（小） 12元 1
米饭 3元 2
【答案】54
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据满3元减元，满元减元，满元减元，即可得到结论．
【详解】解：小宇应采取的订单方式是一份，一份，
所以点餐总费用最低可为元，
答：他点餐总费用最低可为元．故答案为：．
变式1．（2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）某集团公司对所属甲、乙两工厂前5个月经营情况记录如下表所示（其中“”表示盈利，“”表示亏损，单位：万元），则这5个月甲厂比乙厂多盈利（　　）万元
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份
甲厂
乙厂
A．3 B．2.7 C．2.6 D．2.4
【答案】B
【分析】先分别求出这5个月甲厂、乙厂的盈利或亏损，再作差即可得．
【详解】解：这5个月甲厂的盈利为（万元），
这5个月乙厂的盈利为（万元），
则这5个月甲厂比乙厂多盈利（万元），故选：B．
【点睛】本题考查了有理数加减的应用，正确列出运算式子是解题关键．
变式2．（2024·北京海淀·一模）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：
小云参与了所有活动．
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ；（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ．
【答案】 鲁班锁； 1，2，3
【分析】本题主要考查了逻辑推理：
（1）根据小云参与了所有活动．可得小云第一个挑战必定成功，再由只挑战成功一个，可得小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，即可；
（2）根据题意可得小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，然后分三种情况讨论，即可．
【详解】解：∵小云参与了所有活动．∴小云第一个挑战必定成功，
∵小云只挑战成功一个，∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，
∴挑战成功的活动名称为鲁班锁；故答案为：鲁班锁；
（2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，
∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，
若第一次挑战华容道，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战魔方，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战鲁班锁，当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3．故答案为：1，2，3
考点7、有理数加减混合运算的新定义
【解题方法】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
例1．（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）大家都知道，九点五十五分可以说成十点差五分．这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，，198写成，写成，7683写成，；总之，数字上画一条杠表示减去它，按这个方法计算：= ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，以及有理数的加减混合运算，根据题目提供的计算方法计算即可．
【详解】解：原式．故答案为：．
例2．（2023·陕西咸阳·七年级阶段练习）已知表示小于或等于的最大整数，如：，，．现定义，如，则______________．
【答案】/
【分析】根据题意列出算式解答即可．
【详解】根据题意可得：，，
，∴，故答案为．
【点睛】此题考查解有理数的大小比较，有理数的加减运算，关键是根据题意正确列出算式式计算．
变式1．（2023·重庆·七年级校考阶段练习）阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a b＝n可以使（a+c） b＝n+c，a （b+c）＝n﹣2c，如果1 1＝2，那么2020 2020＝_____．
【答案】﹣2017
【分析】由题中所给程序可计算出（1+2019） 1，即2020 1＝2021的值，再计算2020 （1+2019），进而求解2020 2020的值．
【详解】解：由（a+c） b＝n+c，a （b+c）＝n﹣2c可得出，
（a+c） b＝a b+c＝n+c，a （b+c）＝a b﹣2c＝n﹣2c，
∵1 1＝2，∴（1+2019） 1＝1 1+2019＝2+2019＝2021，即2020 1＝2021．
又∵2020 （1+2019）＝2020 1﹣2×2019＝2021﹣2×2019＝2021﹣4038＝﹣2017，
∴2020 2020＝﹣2017．故答案为：﹣2017．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及定义新运算题型，解题关键是明确各个字母之间的关系．
变式2．（2023·贵州·七年级阶段练习）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“﹣”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．
（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；
　 　1 　 　2 　 　3 　 　4＝0
（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（至少写出4个满足条件的m的值）
（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？
【答案】（1）-，+，+，-或+，-，-，+；（2）或，或；（3）这n个整数互不相同，在这个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．
【分析】（1）根据“运算平衡”数组的定义即可求解；（2）根据“运算平衡”数组的定义得到关于m的方程，解方程即可；（3）根据“运算平衡”数组的定义可以得到n个数的规律．
【详解】解：（1）∵，
∴数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组，故答案为：-，+，+，-或+，-，-，+；
（2）∵数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，
∴；-1+4+6+m=0；1-4+6+m=0；1+4-6+m=0；1+4+6-m=0；-1-4+6+m=0；-1+4-6+m=0；-1+4+6-m=0；1-4-6+m=0；1-4+6-m=0；1+4-6-m=0；-1-4-6+m=0；-1-4+6-m=0，-1+4-6-m=0，1-4-6-m=0；-1-4-6-m=0；共16种情况，
解得：或，或；
（3）由题意得可知这n个整数互不相同，在这个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，解题的关键在于能够准确读懂题意进行求解．
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果为（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的加减法，根据有理数加减法法则进行计算即可
【详解】解：，故选：C．
2．（2023·浙江杭州·一模）“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”是对新疆地区昼夜温差的真实写照．据统计，吐鲁番三月份某天的最高气温是，最低气温是，则吐鲁番这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的减法的应用，依题意，用最高温减去最低温，即可作答．
【详解】解：∵吐鲁番三月份某天的最高气温是，最低气温是，
∴吐鲁番这天的温差（最高气温与最低气温的差）为： 故选：C．
3．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期中）某海滨浴场某日气温变化情况如图所示，该浴场气温在以上时才允许游泳，请根据图象分析该浴场在这一天开放的时间为（ ）
A．5小时 B．8小时 C．12小时 D．10小时
【答案】D
【分析】根据图象得出相关信息即可解答．
【详解】解∶由图象可知∶10时到20时的温度在以上，
∴该浴场在这一天开放的时间为（小时）．故选：D．
【点睛】本题考查了从图象获取信息，有理数的减法的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
4．（2023·山东青岛·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两个负数相减，等于绝对值相减 B．两个负数的差一定大于零
C．负数减去正数，等于两个负数相加 D．正数减去负数，等于两个正数相减
【答案】C
【分析】根据有理数的减法逐项判断．
【详解】解：A、两个负数相减，不一定等式绝对值相减，错误，例如：-2-（-1）=-2+1=-1；|-2|-|-1|=2-1=1；
B、两个负数的差不一定大于零，错误，例如：（-3）-（-1）=-3+1=-2；
C、负数减去正数，等于负数加上这个正数的相反数，即加上一个负数，正确；
D、正数减去负数，等于两个正数相减，错误；故选C．
【点睛】本题是对有理数减法的考查，要知道减去一个数等于加上这个数的相反数．
5．（2024·广西柳州·三模）大约公元前2200年在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加减法运算，由题意知，每行、每列及每条对角线上的3个数之和为，则由第三行可得“梦”表示的数，由第一行可得“中”“国”两字表示的数之和，最后求得结果．
【详解】解：由于一条对角线的数分别为，则其和为，第三行“梦”表示的数为，第一行“中”“国”两字表示的数之和为，则“中”“国”“梦”这三个字表示的数之和是；故选：B．
6．（2024·重庆七年级月考）给出下列计算：①②③④，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出各个式子的值，然后进行判断即可．
【详解】解：①，故①正确；②，故②错误；
③，故③正确；④，故④正确；
综上分析可知，正确的有3个，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数减法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算法则，准确计算．
7．（2023·广西梧州·七年级校考期中）把写成省略括号的形式后，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据有理数的加减法则解答即可.
【详解】解：；故选：B.
【点睛】本题考查了有理数的加减，属于应知应会题型，熟知有理数的加减法则是关键.
8．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了数轴与有理数，以及有理数的加减运算，解题的关键是根据数轴，正确的判断出，，，的取值范围以及大小关系．根据有理数，，，在数轴上的位置，确定大小关系，对选项逐个判断即可．
【详解】解：由题意可得：，，，，则A正确，不符合题意；
∵，，∴，即，B错误，符合题意；
∵，∴， ∵，C正确，不符合题意；
∵，∴，D正确，不符合题意；故选：B．
9．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】D
【分析】根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案．此题考查了有理数的加减混合运算，根据图形，发现规律是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
，，
∴，故选：D．
10.（2024 南京七年级期中）M、N两地的高度差记为M﹣N，例如：M地比N地低2米，记为M﹣N＝﹣2（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米）
两地的高度差 D﹣A E﹣D F﹣E G﹣F H﹣G B﹣H
测量结果 3.3 ﹣4.2 ﹣0.5 2.7 3.9 ﹣5.6
则A﹣B的值为（　　）
A．0.4 B．﹣0.4 C．6.8 D．﹣6.8
【分析】观察表格，若将表格中的所有数加起来，即是B﹣A的值，若结果大于0，则B比A高，若结果小于0，则A比B高．
【解答】解：B﹣A＝（D﹣A）+（E﹣D）+（F﹣E）+（G﹣F）+（B﹣G）
＝3.3﹣4.2﹣0.5+2.7+3.9﹣5.6＝0.4（米）．A比B地高0.4米，故选：A．
【点评】此题考查有理数的减法，此题是一道应用题，同学们要读懂题意，才能得出正确的答案．所以一定要细心．
11．（2023·江苏常州·七年级校考期中）小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（ ）．
A．0 B． C． D．50
【答案】D
【分析】根据题意，先规定正方向为正、负方向为负，再利用有理数加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：规定正方向为正、负方向为负，则
，故选：D．
【点睛】本题考查利用正负数的意义解决实际问题，按照题意规定正负，运用有理数加减运算求解是解决问题的关键．
12．（2023·浙江·七年级校考期中）读一读，式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“”表示为，这里“”是求和符号．例如：，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为，又知可表示为．通过对以上材料的阅读，计算（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据题意得出新定义的含义，然后根据含义得出算式，最后进行计算．
【详解】解：
．故选：B ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13.（23-24七年级上·重庆·期中）给出下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，且，则．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查了有理数减法法则，解题关键是熟记法则，准确进行判断即可．
【详解】解：①，所以，则，①正确；
②若，所以，则，②正确；
③若，所以，则，③错误；
④若，且，所以，则，，④正确．故答案为：①②④．
14．（2023·辽宁大连·七年级校考期末）如图，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶8844.43m，最低处位于亚洲西部名为死海的湖－415m，两处高度相差______m．
【答案】
【分析】用陆地最高处珠穆朗玛峰的峰顶的高度减去死海的高度即可得到答案．
【详解】解：，即两处高度相差m，故答案为：．
【点睛】此题考查了减法的应用，正确计算是解题的关键．
15．（2023·四川宜宾·七年级统考期中）若“方框”表示运算，则“方框”______．
【答案】
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：“方框”．故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）已知，，且，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查绝对值，有理数的加法法则，有理数减法计算，先根据绝对值法则求出的值，再利用分两种情况代入计算即可．掌握相关的运算法则是解题的关键．
【详解】∵，，∴，
∵，∴分两种情况：
当时，；
当时，；故答案为：或．
17．（2023·山东七年级期中）八年级甲班人，其中有人参加语文课外小组，有人参加数学兴趣小组，有人既参加语文课外小组又参加数学兴趣小组，其余的人参加文艺活动小组，则参加文艺活动小组的人有________人．
【答案】7
【分析】首先计算出实际参加语文课外小组和参加数学兴趣小组的总人数，然后用总人数68减去实际参加语文课外小组和参加数学兴趣小组的总人数，即可得到参加文艺活动小组的人数．
【详解】解：
答：参加文艺活动小组的人有7人．故答案为：7
【点睛】本题主要考查的是有理数的加减混合运算的应用，掌握加法和减法的意义是解题的关键．
18．（22-23七年级上·浙江温州·期中）众所周知，六点五十五分可以说成七点差五分，有时这样表达更清楚，这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，；270写成，；7683写成，．按这个方法请计算= ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义并熟练加以运用．先根据新定义计算出，，再相减即可．
【详解】解：根据新的加减记数法可得，，
，
∴．故答案为：2022．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24七年级上·广东·期中）计算下列各式：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
20．（23-24七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）十一国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表．请解答下列问题：（写出计算过程）
高度变化 记作
上升千米 千米
下降千米 千米
上升千米 千米
下降千米 千米
(1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？
(2)若飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？
【答案】(1)此时这架飞机比起飞点高了千米
(2)第四个动作是下降，下降千米
【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性．
（１）计算即可求解；
（２）计算第四个动作是下降，下降千米即可求解；
【详解】（1）解：
∴此时这架飞机比起飞点高了千米
（2）解：
∴第四个动作是下降，下降千米
21．（2023·河南南阳·七年级统考期中）【问题探索】如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为l）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长度为_____．
(2)图中点A所表示的数是_____，点B所表示的数是_____．
(3)【实际应用】由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，丽丽去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在这么大，我就106岁啦！”根据对话可知丽丽现在的岁数是_____，奶奶现在的岁数是_____．
【答案】(1)8(2)14，22(3)14，60
【分析】（1）观察数轴可知三根这样长的木棒长为，即可求得这根木棒的长度．
（2）A点在6的右侧，距离6有8个单位长度，故A点为14；B点在A的左侧，距离A有8个单位长度，故B点为22．（3）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示妙妙的年龄，B端表示奶奶的年龄，则木棒的长度表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出．
【详解】（1）观察数轴可知三根这样长的木棒长为（），则这根木棒的长为，
故答案为：8．
（2）由（1）可知这根木棒的长为8，
所以A点表示为，B点表示的数是．故答案为：14，22．
（3）题意可知：当奶奶像丽丽这样大时，妙妙为岁，
所以奶奶与丽丽的年龄差为岁，
所以现在丽丽的年龄为（岁），
奶奶的年龄（岁）．故答案为：14，60．
【点睛】本题考查数轴的认识、用数轴表示数及有理数的加减法，解题的关键是读懂题干及正确理解题意．
22．（2023·成都市七年级期中）问题：能否将，，，，，这个数分成两组并分别求和，且使所求的两个和的差为？
解答：，要满足题设要求，需将这个数分成两组，一组的和为，另一组的和为，然后把它们相减下面给出一种分法，例如：．
应用：在，，，，，，，，，这个数前面任意添上“”或“”．
(1)能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法，若不能，请说明理由
(2)能否使它们的和等于若能，给出一种添加符号的方法，若不能，请说明理由．
【答案】(1)能，见解析 (2)不能，见解析
【分析】（1）要让其计算的和为，个数的和，是负奇数，相邻的两个数相减其和是，不行．就考虑用两组相邻奇数与相邻偶数相减求和就可以了．（2）根据数的和的奇偶性原则，一组数的和的奇偶性是不变的，是一个奇数，答案得出．
【详解】（1）解：能使它们的和等于，如：
.（答案不唯一）
（2）解：不能. 因为一组数的和的奇偶性是不变的，而是一个奇数，所以无论怎样分，其和不可能为偶数，当然也不会等于.
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算法则，及整数和的奇偶性的运用．解题的关键是掌握有理数的运算法则和奇偶性的运用.
23．（2023·浙江七年级期中）如图，一辆货车从超市出发，向东走了千米到达小华家，继续向东走了千米到达小颖家，然后向西走了千米到达小明家，最后回到超市超市及小明家、小华家、小颖家的大小忽略不计．

(1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用个单位长度表示千米，请画出数轴，并在数轴上表示出小明家、小华家和小颖家的位置；(2)小明家距小华家多远？(3)货车一共行驶了多少千米？
【答案】(1)见解析；(2)小明家距小华家千米；(3)货车一共行驶了千米．
【分析】（1）分别求出小华家、小颖家、小明家在数轴上代表的数值，再在数轴上描点即可得；
（2）根据数轴图，列出式子，计算有理数的减法即可得；
（3）根据所走的行程，列出式子，计算有理数的加法即可得．
【详解】（1）解：依题意得：小华家在数轴上表示的数为：，
小颖家在数轴上表示的数为：，
小明家在数轴上表示的数为：，
则在数轴上的位置如下所示：

（2）依题意得小明家距小华家距离为：（千米），
答：小明家距小华家千米；
（3）依题意得货车一共行驶的距离为：（千米），
答：货车一共行驶了千米．
【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减法；熟练掌握数轴的定义是解题关键．
24．（2023·广东·七年级统考期中）设表示不大于的最大整数，为正整数除以3的余数计算：(1)(2)
【答案】(1)0(2)2
【分析】根据题意可求出、的值，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可．
【详解】（1）由题意可知：表示不大于的最大整数，为正整数除以3的余数计算
∴．
（2）由题意可知：．
【点睛】本题考查了实数新定义运算，正确理解题意进行运算是解题的关键．
25．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对有理数a，b定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：
，，，，，，，，……
(1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：
同号得__________，异号得__________，并把绝对值__________；一个数与0相“乘加”等于__________；
(2)根据法则计算：__________；__________；
(3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：
① ②
【答案】(1)正；负；相加；这个数的绝对值(2)；(3)①；②
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键．
（1）根据题中给出的例子归纳出结论即可；
（2）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可；
（3）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值．
故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值．
（2）解：；
．
故答案为：；．
（3）解：，
故答案为：①；②．
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