资源简介

第 01 讲 函数的概念及其表示
目录
01 考情透视·目标导航.................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.................................................................................................................................................4
知识点 1：函数的概念 ................................................................................................................................................4
知识点 2：函数的三要素 ............................................................................................................................................4
知识点 3：函数的表示法 ............................................................................................................................................5
知识点 4：分段函数 ....................................................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................5
题型一：函数的概念 ...................................................................................................................................................6
题型二：同一函数的判断 ...........................................................................................................................................7
题型三：给出函数解析式求解定义域 .......................................................................................................................8
题型四：抽象函数定义域 ...........................................................................................................................................8
题型五：函数定义域的综合应用 ...............................................................................................................................9
题型六：待定系数法求解析式 ...................................................................................................................................9
题型七：换元法求解析式 .........................................................................................................................................10
题型八：方程组消元法求解析式 .............................................................................................................................11
题型九：赋值法求解析式 .........................................................................................................................................11
题型十：求值域的 7 个基本方法 .............................................................................................................................12
题型十一：数形结合求值域 .....................................................................................................................................14
题型十二：值域与求参问题 .....................................................................................................................................15
题型十三：判别式法求值域 .....................................................................................................................................15
题型十四：三角换元法求值域 .................................................................................................................................16
题型十五：分段函数求值、求参数问题 .................................................................................................................16
题型十六：分段函数与方程、不等式 .....................................................................................................................17
04 真题练习·命题洞见 ...............................................................................................................................................18
05 课本典例·高考素材 ...............................................................................................................................................18
06 易错分析·答题模板 ...............................................................................................................................................20
易错点：错求抽象函数的定义域 .............................................................................................................................20
答题模板：求抽象函数的定义域 .............................................................................................................................20
考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解函数的含义，会求简
单函数的定义域和值域． 高考对函数的概念及其表示的考查相
2024年上海卷第 2题，5分
（2）在实际情景中，会根据不 对稳定，考查内容、频率、题型、难度均
2024年 I卷第 8题，5分
同的需要选择恰当的方法（如图 变化不大．高考对本节的考查不会有大的
2023年北京卷第 15题，5分
象法、列表法、解析法）表示函 变化，仍将以分段函数、定义域、值域及
2022年浙江卷第 14题，5分
数． 最值为主，综合考查不等式与函数的性
2021年浙江卷第 12题，5分
（3）了解简单的分段函数，并 质．
会简单的应用．
复习目标：
1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素
2、会求常见函数的定义域和值域
3、掌握求函数解析式的方法
知识点 1：函数的概念
（1）一般地，给定非空数集 A ， B ，按照某个对应法则 f ，使得 A 中任意元素 x ，都有 B 中唯一
确定的 y与之对应，那么从集合 A 到集合 B 的这个对应，叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作：
x y f (x) ， x A．集合 A 叫做函数的定义域，记为 D ，集合{ y y f ( x ) ， x A}叫做值域，记为 C ．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
【诊断自测】下列图象中，y 不是 x 的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点 2：函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3
【诊断自测】下列四组函数：① f x x, g x x2 ；② f x x, g x 3 x ；③
f x x2 - 2x +1, g t t 2 - 2t +1； ④ f x 1, g x x0 ；其中表示同一函数的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．③④
知识点 3：函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
1- x2
【诊断自测】已知函数 f 1- x x 0 ，则 f x 2 （ ）x
1 1
A． -1 x 0 x -1 2 B． 2
-1 x 1
x -1
4
C． -1 x
4
0
x -1 2 D． x -1 2
-1 x 1
知识点 4：分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分
段函数．
ì2x-1, x <1,

【诊断自测】（2024·吉林·模拟预测）已知 f x í x 若 f a 1，则实数 a的值为（ ）
, x 1.
2
A．1 B．4 C．1 或 4 D．2
解题方法总结
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于 1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切 y tan x 的定义域是 x x R,且 x kx p+ ,k Z ü ；2
（6）已知 f x 的定义域求解 f ég x ù 的定义域，或已知 f ég x ù 的定义域求 f x 的定义域，遵循
两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
2、基本初等函数的值域
（1） y kx + b (k 0) 的值域是 R ．
2
（2） y ax2 bx 4ac - b+ + c (a 0) 的值域是：当 a > 0时，值域为 {y y }；当 a < 0 时，值域为
4a
{y y 4ac - b
2
}．
4a
k
（3） y (k 0) 的值域是{y y 0}．
x
（4） y a x (a > 0 且 a 1) 的值域是 (0，+ ) ．
（5） y loga x (a > 0且 a 1) 的值域是 R ．
题型一：函数的概念
【典例 1-1】下列对应是从集合 A 到集合 B 的函数的是（ ）
A． A N, B N, f : x y x –1 2 B． A N, B N, f : x y ± x
C． A N, B Q, f : x y
1
D． A R, B y | y > 0 , f : x y x
x –1
【典例 1-2】已知 f x 是定义在有限实数集 A 上的函数，且1 A，若函数 f x 的图象绕原点逆时针
旋转30o后与原图象重合，则 f 1 的值可能是（ ）
A 3．0 B． C 3． D． 3
3 2
【方法技巧】
利用函数概念判断：（1）A，B 是非空的实数集；（2）数集 A 中的任何一个元素在数集 B 中只有一个
元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集 B 中有可能存在与数集 A 中元素不对应的元素.
π
【变式 1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函数 y f x 的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像重合，
2
则在以下各项中， y f x 的定义域不可能是（ ）
A． -2, -1,0,1,2 B． -1,0,1
C． -π, π D．R
1
【变式 1-2】将函数 y sin x + x x
π
éê0,
ù
ú ÷的图象绕着原点沿逆时针方向旋转q 角得到曲线Γ ，已知2 è 2
曲线Γ 始终保持为函数图象，则 tanq 的最大值为（ ）
A 1 2
3
． 2 B． 3 C．1 D． 2
【变式 1-3】存在定义域为R 的函数 f x ，满足对任意 x R ，使得下列等式成立的是（ ）
A f x2． x3 B． f cos x x
C f x2． + x x D． f x x2 +1
题型二：同一函数的判断
【典例 2-1】下列各组函数相等的是（ ）
2
A． f x 4 x2 ， g x x B． f x x -1， g x x -1x
C． f x 1， g x 0
x, x 0
x D． f x x ， g x ì í
-x, x < 0
【典例 2-2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
2
A． f x x -1 与 g x x +1 B． f x x2 -1与 g x x -1
x -1
C． f 1t 1+ t 与 g x 1+ x D． f x 1与 g x x ×
1- t 1- x x
【方法技巧】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
【变式 2-1】（多选题）下列各组函数表示的是不同函数的是（ ）
A． f (x) -2x3 与 g(x) x × -2x
B． f x x 与 g(x) x2
C． f x x +1与 g x x + x0
D． f (x) x × x +1 与 g(x) x2 + x
【变式 2-2】以下四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． f x x与 g x x2
B． f (x) 1+ x × 1- x 与 g(x) 1- x2
C． y x0 与 y 1
D． f (x) x +1 × x -1与 g(x) x2 -1
【变式 2-3】（多选题）（2024·高三·浙江金华·期末）已知函数 g x f ex h x e f x ， ．（ ）
A．若 f x 0，则 g x h x 0
B．若 f x x ，则 g x h x
C．对于 g x h x ，若 f x xa ，则a 1
D．对于 g x h x ，若 f x loga x a > 0,a 1 ，则 a e
题型三：给出函数解析式求解定义域
1
【典例 3-1】（2024·北京通州·二模）已知函数 f x x 2 + lg x - 2 的定义域为 ．
【典例 3-2】已知等腰三角形的周长为 40cm，底边长 y cm 是腰长 x cm 的函数，则函数的定义域为(
A． 10,20 B． 0,10 C． 5,10 D． 5,10
【方法技巧】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子 f x 有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
【变式 3-1】函数 f x ln x +1 + 1- x 的定义域是 .
f x lg1+ 2x【变式 3-2】（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 的定义域是 .
x
1
【变式 3-3】（2024·北京平谷·模拟预测）函数 f x + ln 1- x 的定义域是
x + 2
题型四：抽象函数定义域
y f 1
f x
【典例 4-1】已知函数 x +12 ÷
的定义域是 2,4 ，则函数 g x
è ln x 2 的定义域为（ ）-
A． 2,3 B． 2,3
C． 2,3 U 3,6 D． 2,3 U 3,4
f (3x - 2)
【典例 4-2】已知 f (x) 的定义域为[1,3]，则 g(x) 的定义域为（
2x 3 ）-
é
A． ê1,
3 U 3 , 5ù é1, 5ù÷ B．
2 è 2 3ú ê 3ú
3 3 5 3 5
C ù． 1, ÷ U , ÷ D． ,
è 2 è 2 3 è 2 3ú
【方法技巧】
1、抽象函数的定义域求法：（1）若 f (x) 的定义域为 (a，b)，求 f [g(x)]中 a < g (x) < b 的解 x 的范围，
即为 f [g(x)]的定义域．（2）已知 f [g(x)]的定义域，求 f (x) 的定义域，则用换元法求解.
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先
求出各个函数的定义域，再取交集．
【变式 4-1】（2024·高三·河北邢台·期末）若函数 f (3x - 2)的定义域为[-2,3]，则函数 f (2x + 3)的定义
域为 ．
2
【变式 4-2】已知函数 f x 的定义域为 1,2 ，求 f 2x +1 的定义域 .
【变式 4-3】（1）已知函数 f x + 2 的定义域为 1,3 ，则函数 f x 的定义域为 ．
（2 2）已知函数 f x +1 的定义域为 3,8 ，则函数 f x 的定义域为 ．
题型五：函数定义域的综合应用
x +1
【典例 5-1】已知函数 f x 2 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围为（ ）ax - 2ax +1
ì 1 ü
A． ía 0 a B． a a 0,或 a >1
2
C． a 0 a <1 D． a a 0,或 a 1
x2 +1
【典例 5-2】若函数 f (x)
2 + a

2
ln 2x +1 a 的定义域为 R ，则实数 a的取值范围是（ ）+
A． (-2,+ ) B． (-1, + ) C． (-2,-1) D． (-2,-1) (-1,+ )
【方法技巧】
对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．
x +1
【变式 5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函数 f (x) 的定义域为R ，则实数 a的取
ax2 - 2ax +1
值范围是 .
【变式 5-2】若函数 f x ax2 + 4ax + 3 的定义域为R ，则实数 a的取值范围为 ．
1 1
5-3 x ,+ f (x) g(x) log é2x2【变式 】当 ÷时，函数 和2 2ax - ln x 2è
- (2a + 3)x + 2ù 有意义，则实
数 a的取值范围是 .
题型六：待定系数法求解析式
【典例 6-1】一次函数 f x 在R 上单调递增，且 f f x-1 4x+5，则 f x .
【典例 6-2】已知二次函数 f x 满足 f 0 0， f x -1 f x + 3x - 5，则不等式 f x > 0的解集
为 ．
【方法技巧】
当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．
【变式 6-1】已知函数 f (x) 是一次函数，且[ f (x)]2 - 3 f (x) 4x2 -10x + 4，则 f (x) 的解析式为 .
【变式 6-2】已知二次函数 f x ax2 + bx + c a 0 ，其图象过点 1,-1 ，且满足
f x + 2 f x + 4x + 4，则 f x 的解析式为 .
题型七：换元法求解析式
1
【典例 7-1】已知 f(x＋ )＝x2 1＋ 2 ，则函数 f(x)＝ ．x x
【典例 7-2】已知 f x +1 x + 2 x ，则 f x （ ）
A． f x x2 B． f x x2 -1 x 1
C f x x2． -1 x 0 D f x x2． +1 x 1
【方法技巧】
当已知表达式为 f g(x) 时，可考虑配凑法或换元法．
【变式 7-1】设 f x 是定义在R+上的函数，且"a R, f x a 有唯一解或无解，且对任意 x R+ ，

均有 f x f f x
3 1
+ ÷ ，请写出一个符合条件的 f x .
è 2x 4
【变式 7-2】若 f x 是定义域为 0, + 上的单调函数，且对任意实数 x 0, + 都有
f é f x 1 1ê -
ù
ex ú
+1，其中 e是自然对数的底数，则 f ln3 （　　）
e
4
A．4 B．
3
1
C． e + 2 D．
3
【变式 7-3】（2024·高三·江西·期中）设 f x 是定义在R 上的单调函数，若"x R, f ( f (x) - 2x ) 11，
则不等式 f x < 7 的解集为 .
【变式 7-4】设 f x 是定义在R 上的单调增函数，且满足 f -1- x + f x -7 ，若对于任意非零实
é
x f f x 1 x 1
ù
数 都有 ê + - - + 2ú -4，则 f 2024 .
ê f x + 3 x ú
题型八：方程组消元法求解析式
【典例 8-1】已知 f x 为奇函数， g x 为偶函数，且满足 f x + g x ex + x，则 f x =（ ）
ex - e- x ex + e- xA． B．
2 2
ex - e- x - 2x ex - e- xC D + 2x． ．
2 2
1
【典例 8-2】已知 f x + 2 f ÷ x x 0 ，那么 f x ．
è x
【方法技巧】
1
若已知成对出现 f (x) ， f ( ) 或 f (x) ， f (-x) 等类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一
x
个方程，消元的方法求出 f ( x ) ．
π
【变式 8-1】（2024·高三·辽宁丹东·期中）若 x 0, ÷ ，函数 f x 满足 f sinx + 2 f cosx cos2x，
è 2
f 1 则 2 ÷
．
è
【变式 8-2】已知 f x 满足 f x + 2 f -x x - 5，则 f x ．
【变式 8-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数 f (x) 对定义域{x∣x 0}内的任意实数 x 满足
f (2x) 2- 2 f ÷ 4x ，则 f (x) .
è x
题型九：赋值法求解析式
【典例 9-1】已知函数 f x 的定义域为 R，且 f x + y + f x - y 2 f x f y ， f 0 1，请写出满
足条件的一个 f x （答案不唯一）．
【典例 9-2】已知函数 y f x ，x R，且 f 0 2 ，
f 0.5 f 1 f 0.5n
2, 2,L, 2, n N
*
f 0 f 0.5 f 0.5 n 1 ，则函数 y f x 的一个解析式为 .-
【方法技巧】
若已知抽象函数表达式，则常用赋值法
【变式 9-1】已知函数 f x 满足 f x + 2 f x +1，则 f x 的解析式可以是 （写出满足条件的
一个解析式即可）．
【变式 9-2】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）写出满足 f x - y f x + f y - 2xy 的函数的解析
式 ．
【变式 9-3】对"x, y R，函数 f x, y 都满足：① f 0, y y +1；② f x +1,0 f x,1 ；③
f x +1, y +1 f x, f x +1, y ；则 f 3,2023 ．
【变式 9-4】设偶函数 f(x)满足： f 1 2 ，且当时 xy 0时， f ( x2 f (x) f (y)+ y2 ) f (x) ，+ f (y)
则 f -5 ．
题型十：求值域的 7 个基本方法
【典例 10-1】求下列函数的值域：
(1) y 3x2 - x + 2；
(2) y -x2 - 6x - 5 ；
3x +1
(3) y ；
x - 2
(4) y x + 4 1- x ；
(5) y x + 1- x2 ；
(6) y | x -1| + | x + 4 |；
2
(7) y 2x - x + 2 ；
x2 + x +1
2
y 2x - x +1(8) x
1
> ；
2x -1 è 2 ÷
【典例 10-2】求下列函数的值域．
(1) y x - 2；
x2(2) y - x ；
x2 - x +1
(3) y x - 1- 2x ；
x2(4) y - 4x + 3 2 ；2x - x -1
2
(5) y x + 8 （ x >1）．
x -1
【方法技巧】
函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法：根据最基本函数值域（如 x 2 ≥0， a x > 0 及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭
观察能直接得到些简单的复合函数的值域．
（2）配方法：对于形如 y a x 2 + b x + c a 0 的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二
次函数的定义城求出函数的值域．
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形 y ax + b + cx + d 的值城，可通过换元将原函
数转化为二次型函数．
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．
（7）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如
y ax+b + cx+d 或 y ax+b+ cx+d 的函数，当 ac>0 时可利用单调性法．
【变式 10-1】求下列函数的值域．
（1）求函数 y x + 2x +1的值域．
x22 y - 3x + 4（ ）求函数 2 的值域．x + 3x + 4
（3）求函数 y ( 1+ x + 1- x + 2)( 1- x2 +1)， x [0,1]的值域．
【变式 10-2】求下列函数的值域：
(1) f x 2x - x -1；
(2) f x 2x - 3 , x 1,3 ；
x +1
2
(3) f x x + 2x +1 2 , x 3,5 .x + x +1
【变式 10-3】求下列函数的值域
y 3 + x（1） 4 - x ；
5
（2） y 2 ；2x - 4x + 3
（3） y 1- 2x - x ；
x24 y + 4x + 3（ ） 2 ；x + x - 6
（5） y 4 - 3 + 2x - x2 ；
（6） y x + 1- 2x ；
（7） y x - 3 + 5 - x ；
（8） y -x2 - 6x - 5
y 3x +1（9） ；
x - 2
2
10 y 2x - x +1（ ） (x 1> ) .
2x -1 2
题型十一：数形结合求值域
y sin x + 2【典例 11-1】函数 的值域为
cos x - 2
【典例 11-2】函数 y x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域为 .
【方法技巧】
根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图形模型．
11-1 y 1- x
2
【变式 】函数 的值域是 ．
x + 2
【变式 11-2】函数 f (x) 2x - 3 - -x2 + 6x - 8 的值域是 ．
【变式 11-3】函数 y x2 - 2x + 5 - x2 - 4x +13 的值域为 .
2
【变式 11-4】函数 f x 1- x - 2 3 的值域为 .
x - 4
题型十二：值域与求参问题
2
【典例 12-1】若函数 f x x + ax - 2 -2,2 a
x2
的值域为 ，则 的值为 .
- x +1
【典例 12-2】若函数 y ax2 + 4x +1的值域为 0, + ，则 a的取值范围为（ ）
A． 0,4 B． 4, + C． 0,4 D． 4, +
【方法技巧】
值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决.
【变式 12-1】已知函数 f x 1- x + a, x [m,n]的值域为 m, n (m < n)，则实数 a的取值范围为（ ）
3 1 1 1 3
A ． - ,
B ÷ ． -1,-
C
4 4 4 ÷ ．
[0, ) D． (- ,0]
è è 4 4
ìa, a b 2
【变式 12-2】定义min a,b í 若函数 f x min x - 3x + 3,- x - 3 + 3 ，则 f x b,a b 的最大值 >
é3 ù
为 ；若 f x 在区间 m, n 上的值域为 ê , 2ú ，则 n - m的最大值为 ． 4
ìx2 - 2x + 2, x 0

【变式 12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函数 y í a 的值域为R ，则实数 a的取值范围
x + + 3a , x < 0 x
为 ．
题型十三：判别式法求值域
y x -1【典例 13-1】函数 2 ， x > 0的值域为 ．x - 6x + 7
2
【典例 13-2】函数 f x -x + x -1 2 的值域是 ．x +1
【方法技巧】
判别式法：把函数解析式化为关于 x 的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，
2
形如 y Ax + B ， ax 2 bx c 或 y ax + bx + c+ + 的函数值域问题可运用判别式法（注意 x 的取值范围必须
dx2 + ex + f
为实数集 R）．
【变式 13-1】已知a, b R，且 a2 + b2 + ab 1，则b 的取值范围是 .
【变式 13-2】已知 a > 0，函数 f (x) ax - x2 + 2x - x2 的最大值为 2 ，则实数 a的值为 .
2
【变式 13-3 f x x - x +1】函数 2 的值域是 .x - x + 2
题型十四：三角换元法求值域
【典例 14-1】求函数 y x + 2x2 - 4x + 6 的值域.
2
【典例 14-2】（2024·高三·河南·期中）函数 f (x) 1+ 3 - x 的值域为（ ）
x + 2
A． é2 - 6,2 + 3ù é B． - 3, 6ù C． é 2 - 3,2 + 6 ù D． é- 6, 3ù
【方法技巧】
充分利用三角函数的有界性，求出值域．因为常出现反解出 y 的表达式的过程，故又常称此为反解有
界性法．
2
【变式 14-1】（2024· -x + 4x - 3 + 3上海徐汇·模拟预测）函数 y 的值域为 .
x +1
题型十五：分段函数求值、求参数问题
ì
sinπx, x
1

2
3 1
【典例 15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x í f x + ÷ , < x 2，则 f 2024 （2 ） è 2
f x - 2 , x > 2


A 1． -1 B．0 C． 2 D．1
ìx2 + x, x 0
【典例 15-2】已知函数 f x í ，若 f a 6，则a （ ）
5x + 6, x < 0
A．0 B．2 C．-3 D．2 或 3
【方法技巧】
根据分段函数解析式求函数值，首先明确自变量的值属于哪个区间，其次选择相应的解析式代入解决.
ìlog x +1, x 1
【变式 15-1】（2024· 2全国·模拟预测）已知函数 f x í 2 f a 2 a
x , x 1
，若 ，则 的值为（ ）
<
A．2 或- 2 B．2 或 2 C． 2 或- 2 D．1 或 2
ì
x ,0 < x <1f x f m f m 1 f 2 【变式 15-2】（2024·全国·模拟预测）设 í ，若 + ，则
（ ）
2 x -1 , x 1

è m ÷

A．14 B．16 C．2 D．6
ì2x + 2- x , x 3

【变式 15-3】（2024·江苏南通·二模）已知函数 f x í f x ，则
f log 9 （
, x ） ÷ > 3
2
è 2
8 10 80 82
A． B． C． D．
3 3 9 9
题型十六：分段函数与方程、不等式
ìx +1, x 0,
【典例 16-1】已知函数 f x í 若 a é f a - f -a ù > 0 a2x 1, x 0, ，则实数 的取值范围是（ ） - - <
A． 2, + B． -2,0 U 0,2
C． - ,-2 U 2,+ D． -2,0 0,2
ìex , x 0 1
【典例 16-2】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 f x í ，则不等式 f x 的解集是
ln x, x > 0 2
（ ）
A． - , - ln 2 U 0, e ù B． - , - ln 2
C． 0, e ù D． - ,- ln 2 U 0, e
【方法技巧】
已知函数值或函数的范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但是一定要注意
检验所求自变量的值或范围是否符合相应段自变量的范围.
ìx +1, x 0
【变式 16-1】（2024·湖北·一模）已知函数 f x í
ln x +1
f x ≤1
, x > 0 ，则关于 x 的不等式 的解集
为 ．
【变式 16-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x ì
x + 2, x -1
í x2 2x, x 1，则不等式
f x > -3的解集
- + > -
是 .
1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数为 f (x) 的定义域为 R， f (x) > f (x -1) + f (x - 2)，且当 x < 3
时 f (x) x ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． f (10) >100 B． f (20) >1000
C． f (10) <1000 D． f (20) <10000
ì
f x x , x > 02．（2024 年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知 í ,则 f 3 ．
1, x 0
1
3 x．（2023 年北京高考数学真题）已知函数 f (x) 4 + log2 x ，则 f ÷ ．è 2
1．若 f x x2 + bx + c，且 f 1 0， f 3 0，求 f -1 的值.
2．已知函数 f x -x +1， g x x -1 2 ， x R ．
（1）在图1中画出函数 f x ， g x 的图象；
（2）定义："x R ，用m x 表示 f x ， g x 中的较小者，记为m x min f x , g x ，请分别用图
象法和解析式法表示函数m x ．（注：图象法请在图 2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
3．函数 r f p 的图象如图所示，曲线 l 与直线 m 无限接近，但永不相交．
（1）函数 r f p 的定义域、值域各是什么？
（2）r 取何值时，只有唯一的 p 值与之对应？
4．画出定义域为{x | -3 x 8，且 x 5}，值域为{y | -1 y 2，y 0}的一个函数的图象.
（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点P(x, y) 的坐标满足-3 x 8，-1 y 2 ，那么其中哪些点不能在图象上？
5．给定数集 A R, B (- ,0]，方程u2 + 2v 0，①
（1）任给u A，对应关系 f 使方程①的解 v 与 u 对应，判断 v f (u)是否为函数；
（2）任给 v B ，对应关系 g 使方程①的解 u 与 v 对应，判断u g(v)是否为函数.
易错点：错求抽象函数的定义域
易错分析： f (g(x)) 定义域不是指 g(x) 的范围，而是指 x 的范围.
答题模板：求抽象函数的定义域
1、模板解决思路
解决本模板问题的要点是知道函数 f (g(x)) 中 g(x) 的范围，也就是函数 f (h(x))中 h(x) 的范围，解不
等式就可得到函数 f (h(x))的定义域．
2、模板解决步骤
第一步：由函数 f (g(x)) 的定义域，即 x 的取值范围，求出 g(x) 的取值范围．
第二步：用集合或区间表示所求定义域．
f (x +1)
【易错题 1】函数 f x 的定义域为 0,3 ，则函数 y 的定义域是 .
x -1
【易错题 2】若函数 f x + 3 的定义域为 -5, -2 ，则F x f x +1 + f x -1 的定义域为 .第 01 讲 函数的概念及其表示
目录
01 考情透视·目标导航 ................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 ................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 ................................................................................................................................................4
知识点 1：函数的概念 ................................................................................................................................................4
知识点 2：函数的三要素 ............................................................................................................................................4
知识点 3：函数的表示法 ............................................................................................................................................5
知识点 4：分段函数 ....................................................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6
题型一：函数的概念 ...................................................................................................................................................7
题型二：同一函数的判断 ...........................................................................................................................................9
题型三：给出函数解析式求解定义域 .....................................................................................................................12
题型四：抽象函数定义域 .........................................................................................................................................13
题型五：函数定义域的综合应用 .............................................................................................................................15
题型六：待定系数法求解析式 .................................................................................................................................17
题型七：换元法求解析式 .........................................................................................................................................19
题型八：方程组消元法求解析式 .............................................................................................................................21
题型九：赋值法求解析式 .........................................................................................................................................23
题型十：求值域的 7 个基本方法 .............................................................................................................................26
题型十一：数形结合求值域 .....................................................................................................................................32
题型十二：值域与求参问题 .....................................................................................................................................36
题型十三：判别式法求值域 .....................................................................................................................................39
题型十四：三角换元法求值域 .................................................................................................................................42
题型十五：分段函数求值、求参数问题 .................................................................................................................44
题型十六：分段函数与方程、不等式 .....................................................................................................................46
04 真题练习·命题洞见 ..............................................................................................................................................47
05 课本典例·高考素材 ..............................................................................................................................................48
06 易错分析·答题模板 ..............................................................................................................................................50
易错点：错求抽象函数的定义域 .............................................................................................................................50
答题模板：求抽象函数的定义域 .............................................................................................................................50
考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解函数的含义，会求简
单函数的定义域和值域． 高考对函数的概念及其表示的考查相
2024 年上海卷第 2 题，5 分
（2）在实际情景中，会根据不 对稳定，考查内容、频率、题型、难度均
2024 年 I 卷第 8 题，5 分
同的需要选择恰当的方法（如图 变化不大．高考对本节的考查不会有大的
2023 年北京卷第 15 题，5 分
象法、列表法、解析法）表示函 变化，仍将以分段函数、定义域、值域及
2022 年浙江卷第 14 题，5 分
数． 最值为主，综合考查不等式与函数的性
2021 年浙江卷第 12 题，5 分
（3）了解简单的分段函数，并 质．
会简单的应用．
复习目标：
1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素
2、会求常见函数的定义域和值域
3、掌握求函数解析式的方法
知识点 1：函数的概念
（1）一般地，给定非空数集 A ， B ，按照某个对应法则 f ，使得 A 中任意元素 x ，都有 B 中唯一
确定的 y与之对应，那么从集合 A 到集合 B 的这个对应，叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作：
x y f (x) ， x A．集合 A 叫做函数的定义域，记为 D ，集合{ y y f ( x ) ， x A}叫做值域，记为 C ．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
【诊断自测】下列图象中，y 不是 x 的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】任作一条垂直于 x 轴的直线 x a，移动直线，
根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点，
结合选项可知 D 不满足要求，因此 D 中图象不表示函数关系．
故选：D.
知识点 2：函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
【诊断自测】下列四组函数：① f x x, g x x2 ；② f x x, g x 3 x 3 ；③
f x x2 - 2x +1, g t t 2 - 2t +1； ④ f x 1, g x x0 ；其中表示同一函数的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【解析】① f x x,g x x2 x ，两个函数对应法则不一样，不是同一函数；
3
② f x x, g x 3 x x，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；
③ f x x2 - 2x +1, g t t 2 - 2t +1，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；
④ f x 1 x R , g x x0 x 0 ，两个函数定义域不一样，不是同一函数.
故选：B.
知识点 3：函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
1- x2
【诊断自测】已知函数 f 1- x 2 x 0 ，则 f x （ ）x
1 1
A． 2 -1 x 0 B． 2 -1 x 1 x -1 x -1
4
C． -1 x
4
0 -1 x 1
x -1 2 D． x -1 2
【答案】B
【解析】令 t 1- x ，则 x 1- t ，由于 x 0，则 t 1，
1- 1- t
2
f t 1可得 -1， t 1 ，
1- t 2 t -1 2
所以 f x
1
2 -1 x 1 x -1 .
故选：B.
知识点 4：分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分
段函数．
ì2x-1, x <1,
【诊断自测】（2024·吉林·模拟预测）已知 f x í x 若 f a 1，则实数 a的值为（ ）
, x 1.
2
A．1 B．4 C．1 或 4 D．2
【答案】B
【解析】当a < 1时， f a 2a-1 1，则 a -1 0，解得： a 1（舍去）；
当a 1时， f a a 1，则 a 2，解得： a 4 .
2
故选：B.
解题方法总结
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于 1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
p ü
（5）三角函数中的正切 y tan x 的定义域是 x x R,且 x kx + ,k Z
2
；

（6）已知 f x 的定义域求解 f é g x ù 的定义域，或已知 f é g x ù 的定义域求 f x 的定义域，遵循
两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
2、基本初等函数的值域
（1） y kx + b (k 0) 的值域是 R ．
2
（2） y ax2 + bx 4ac - b+ c (a 0) 的值域是：当 a > 0时，值域为 {y y }；当 a < 0 时，值域为
4a
2
{y y 4ac - b }．
4a
3 y k（ ） (k 0) 的值域是{y y 0}．
x
（4） y a x (a > 0 且 a 1) 的值域是 (0，+ ) ．
（5） y loga x (a > 0且 a 1) 的值域是 R ．
题型一：函数的概念
【典例 1-1】下列对应是从集合 A 到集合 B 的函数的是（ ）
A． A N, B N, f : x y x –1 2 B． A N, B N, f : x y ± x
C． A N, B Q, f : x y
1
D． A R, B y | y > 0 , f : x y x
x –1
【答案】A
【解析】对于 A 选项，对集合 A 中的任意一个数 x，集合 B 中都有唯一的数 y 与之对应，是函数；
对于 B 选项， x 4时， y ±2，有两个 y 与之对应，不是函数；
对于 C 选项，当 x 1时， y 不存在，不是函数；
对于 D 选项，集合 A 中的元素 0 在集合 B 中没有对应元素，不是函数.
故选：A
【典例 1-2】已知 f x 是定义在有限实数集 A 上的函数，且1 A，若函数 f x 的图象绕原点逆时针
旋转30o后与原图象重合，则 f 1 的值可能是（ ）
A．0 B 3 C 3． ． D． 3
3 2
【答案】C
π
【解析】由题意得到，问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与下一个点会
6
重合，
我们可以通过代入和赋值的方法，
π π
当 f 1 3 3, ,0时，此时得到的圆心角为 , ,0，然而此时 x 0或者 x 1时，都有 2个 y 与之对应，
3 3 6
而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y ，
x 3
π
因此只有当 时旋转 ，此时满足一个 x 只会对应一个 y .
2 6
故选.：C.
【方法技巧】
利用函数概念判断：（1）A，B 是非空的实数集；（2）数集 A 中的任何一个元素在数集 B 中只有一个
元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集 B 中有可能存在与数集 A 中元素不对应的元素.
π
【变式 1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函数 y f x 的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像
2
重合，则在以下各项中， y f x 的定义域不可能是（ ）
A． -2, -1,0,1,2 B． -1,0,1
C． -π, π D．R
【答案】B
【解析】对于函数 y f x π图象上任一点 a,b 逆时针旋转 可得 -b,a ，
2
即 -b,a 也在函数 y f x 图象上，
所以 a,b , -b,a , -a,-b , b,-a 均在函数 y f x 图象上，a,b,-a,-b都在定义域内，
从而结合函数定义有 f (0) 0，当 a 0时，有 f (a) a, f (a) -a, f (a) 0
若定义域为 -1,0,1 ，则 f (1), f (-1)不存在满足题意的对应值，故 B 错误；
故选：B.
1 é π ù
【变式 1-2】将函数 y sin x + x x 0, ÷的图象绕着原点沿逆时针方向旋转q 角得到曲线2 Γ ，已知è ê 2 ú
曲线Γ 始终保持为函数图象，则 tanq 的最大值为（ ）
3
A 1． 2 B
2
． 3 C．1 D． 2
【答案】B
1
【解析】由题设 y cos x +1 1，在原点处的切线斜率 k = y |x=0= cos0 +1
3
=
2 2 ，2
y 3 x a [0, π] tana 3所以切线方程为 ，设切线倾斜角为 ，则 ，
2 2 2
1
当 y sin x + x 绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，
2
则q +a
π π
，故q -a ，显然q 为锐角，
2 2
所以 tanq tan
π a cosa 1 2 - ÷ ，故 tanq
2
的最大值为 ．
è 2 sina tana 3 3
故选：B
【变式 1-3】存在定义域为R 的函数 f x ，满足对任意 x R ，使得下列等式成立的是（ ）
A f x2． x3 B． f cos x x
C． f x2 + x x D f x x2． +1
【答案】D
2 3
【解析】对于 A，因为 x a a > 0 有两个不相等的根 a 和- a ，所以当 x a 时， f a a 2 ；
3
当 x - a ， f a -a 2 ，与函数的定义不符，故 A 不成立；
对于 B，令 x 0，则 f cos 0 f 1 0，令 x 2π，则 f cos 2π f 1 2π ，与函数定义不符，故 B 不
成立；
对于 C，令 x 0，则 f 0 0，令 x=- 1，则 f 0 -1 1，与函数定义不符，故 C 不成立；
对于 D， f x x2 +1 x 2 +1，"x R ， f x 唯一确定，符合函数定义.故 D 成立，
故选：D.
题型二：同一函数的判断
【典例 2-1】下列各组函数相等的是（ ）
2
A． f 4x x2 ， g x x B． f x x -1， g x x -1x
0 ì x, x 0C． f x 1， g x x D． f x x ， g x í
-x, x < 0
【答案】D
【解析】对于 A 中，函数 f x 4 x2 的定义域为 R， g x x 的定义域为 0, + ，
所以定义域不同，不是相同的函数，故 A 错误；
2
对于 B 中，函数 f x x -1 R g x x的定义域为 ， -1的定义域为 x | x 0 ，
x
所以定义域不同，不是相同的函数，故 B 错误；
对于 C 0中，函数 f x 1的定义域为 R，与 g x x 1的定义域为{x | x 0}，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故 C 错误；
ìx, x 0 ìx, x 0对于 D 中，函数 f x x í g x x, x 0 与 í x, x 0 的定义域均为 R， - < - <
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故 D 正确；
故选：D.
【典例 2-2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
2
A f x x -1． 与 g x x +1 B． f x x2 -1与 g x x -1
x -1
C f t 1+ t g x 1+ x． 与 D． f x 1与 g x x 1 ×
1- t 1- x x
【答案】ABD
【解析】对于 A: f x 定义域为 - ,1 1, + ， g x 定义域为R ，A 不能表示同一个函数,A 选项正确；
对于 B: f x x -1与 g x x -1解析式不同，B 不能表示同一个函数，B 选项正确；
对于 C:解析式及定义域都相同，C 选项是同一函数，C 选项不正确；
对于 D: f x 定义域为R ， g x 定义域为 - ,0 0, + ，D 不能表示同一个函数，D 选项正确；
故选:ABD.
【方法技巧】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
【变式 2-1】（多选题）下列各组函数表示的是不同函数的是（ ）
A． f (x) -2x3 与 g(x) x × -2x
B． f x x 与 g(x) x2
C． f x x +1与 g x x + x0
D． f (x) x × x +1 与 g(x) x2 + x
【答案】ACD
【解析】A. f (x) -2x3 的定义域为 x | x 0 ，且 f (x) -2x3 -x -2x ， g(x) x × -2x 的定义域为
x | x 0 ，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；
B. f x x 的定义域为 R， g(x) x2 x 定义域为 R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；
C. f x x +1的定义域为 R， g x x + x0 的定义域为 x | x 0 ，所以不是同一函数，故错误；
ìx 0
D.，由 í 得 x 0x 1 0 ，所以 f (x) x × x +1 的定义域为
x | x 0 ，由
+ x
2 + x 0 ，得 x 0 或 x -1，

所以函数 g(x) x2 + x 的定义域为 x | x 0或 x -1 ，所以不是同一函数，故错误；
故选：ACD
【变式 2-2】以下四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． f x x与 g x x2
B． f (x) 1+ x × 1- x 与 g(x) 1- x2
C． y x0 与 y 1
D． f (x) x +1 × x -1与 g(x) x2 -1
【答案】B
【解析】从定义域，对应关系，值域是否相同，逐项判断即可．
对于 A： f x 的值域为R ， g x 的值域为 0, + ，所以 A 错误；
1+ x 0对于 B： f x ì的定义域需满足 í ，即为 -1,1
1- x 0
，

g x 的定义域满足1- x2 0，即为 -1,1 ，且 1+ x × 1- x 1- x2 ，
所以 f x 和 g x 是同一个函数，B 正确；
对于 C： y x0 的定义域为 - ,0 U 0, + ， y 1的定义域为R ，所以 C 错误；
ìx +1 0对于 D： f x 的定义域满足 í 1, +
x -1 0
，即为 ，
g x 的定义域需满足 x2 -1 0，即为 - , -1 1, + ，所以 D 错误，
故选：B
【变式 2-3】（多选题）（2024·高三·浙江金华·期末）已知函数 g x f ex ， h x e f x ．（ ）
A．若 f x 0，则 g x h x 0
B．若 f x x ，则 g x h x
C g x h x f x xa．对于 ，若 ，则a 1
D．对于 g x h x ，若 f x loga x a > 0,a 1 ，则 a e
【答案】CD
x
【解析】对 A：若 f x 0，则 g x f e 0， h x e f x e0 1，故 A 错误；
B f x x g x f ex ex ex h x e f x x对 ：若 ，则 ， e ，
g x h x ，故 B 错误；
a
对 C：若 f x x ，则 g x f ex ex a ea x h x e f x a， ex ，
又 g x h x a x xa，故 e e ，故a x xa ，即 lna + ln x a ln x ，
即 a -1 ln x lna 恒成立，故a 1，故 C 正确；
对 D：若 f x loga x a > 0,a 1 ，则 g x f ex log exa x loga e，
h x e f x eloga x ，又 g x h x ，故 x log e eloga xa 恒成立，
ln x 1 1 1 1
即 x log e
1
x eloga x e ln a eln x ln a x ln aa ，故 ln x + ln
= × ln x ，
è ln a ÷
ln a ÷ è ln a
1 1
即 -1

÷ × ln x ln
1
÷恒成立，故 1，即 a e，故 D 正确.
è ln a è ln a ln a
故选：CD.
题型三：给出函数解析式求解定义域
1
【典例 3-1】（2024·北京通州·二模）已知函数 f x x 2 + lg x - 2 的定义域为 ．
【答案】 x x > 2
ìx 0
【解析】根据题意可得 í ,解得 x > 2
x - 2 > 0
故定义域为 x x > 2 .
故答案为： x x > 2
【典例 3-2】已知等腰三角形的周长为 40cm，底边长 y cm 是腰长 x cm 的函数，则函数的定义域为(
A． 10,20 B． 0,10 C． 5,10 D． 5,10
【答案】A
【解析】由题设有 y 40 - 2x ，
ì40 - 2x > 0
由 í 得10 < x < 20，故选 A.
x + x > 40 - 2x
【方法技巧】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子 f x 有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
【变式 3-1】函数 f x ln x +1 + 1- x 的定义域是 .
【答案】 -1,1
ìx +1 > 0
【解析】由 f x 的解析式可得 í ，
1- x 0
解得-1 < x 1；
所以其定义域为 -1,1 .
故答案为： -1,1
1+ 2x
【变式 3-2】（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 f x lg 的定义域是 .
x
【答案】 (
1
- ,- ) U (0,+ )
2
f x lg1+ 2x 1+ 2x【解析】函数 有意义，则 > 0 x(2x +1) > 0，解得 x 1< - 或 x > 0，
x x 2
f x 1+ 2x所以函数 lg 的定义域是 (- , 1- ) U (0,+ ) .
x 2
故答案为： (
1
- ,- ) U (0,+ )
2
1
【变式 3-3】（2024·北京平谷·模拟预测）函数 f x + ln 1- x 的定义域是
x + 2
【答案】 - , -2 -2,1
1 ìx + 2 0
【解析】函数 f x + ln 1- x 有意义的条件是 í ，解得 x <1且 x -21 x 0 ，x + 2 - >
所以函数 f x 定义域为 - , -2 -2,1 .
故答案为： - , -2 -2,1 .
题型四：抽象函数定义域
1 f x
【典例 4-1】已知函数 y f x +1÷的定义域是 2,4 g x

，则函数 ln x 2 的定义域为（2 - ）è
A． 2,3 B． 2,3
C． 2,3 U 3,6 D． 2,3 U 3,4
【答案】A
【解析】因为函数 y f
1 x +1 ÷的定义域是 2,4 ，所以 2 x 4 ，
è 2
2 1所以 x +1 3，所以函数 f x 的定义域为 2,3 ，
2
ì2 x 3f x
所以要使函数 g x x - 2 > 0ln x 有意义，则有 ，解得 2 < x < 3，- 2 í
x - 2 1
所以函数 g x
f x

的定义域为
2,3
ln x 2 .-
故选：A.
【典例 4-2】已知 f (x) 的定义域为[1,3]，则 g(x)
f (3x - 2)
的定义域为（
2x 3 ）-
é1, 3 3 5ù é 5ùA． ê 2 ÷
U ,
è 2 3 ú
B． 1,
ê 3ú
1, 3 C． ÷ U
3 , 5 3 5D ù ÷ ． ,
è 2 è 2 3 è 2 3ú
【答案】A
【解析】因为 f x 定义域为 1,3 ，所以 f 3x - 2 的定义域为1 5 3x - 2 3，解得1 x ，
3
2x 3 0 x 3 é1,
3 3 5 , ù由分母不为 0 ，得 - ，即 ，所以函数定义域为：
2 ê 2 ÷ è 2 3ú
.

故选：A .
【方法技巧】
1、抽象函数的定义域求法：（1）若 f (x) 的定义域为 (a，b)，求 f [g(x)]中 a < g (x) < b 的解 x 的范围，
即为 f [g(x)]的定义域．（2）已知 f [g(x)]的定义域，求 f (x) 的定义域，则用换元法求解.
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先
求出各个函数的定义域，再取交集．
【变式 4-1】（2024·高三·河北邢台·期末）若函数 f (3x - 2)的定义域为[-2,3]，则函数 f (2x + 3)的
定义域为 ．
é 11 ù
【答案】 ê- , 2 2 ú
【解析】因为-2 x 3，所以-8 3x - 2 7 ，所以 f (x) 的定义域为[-8,7]，
要使 f (2x + 3)
11
有意义，需满足-8 2x + 3 7，解得- x 2 ，
2
所以函数 f (2x 3) é
11
+ ù的定义域为 ê- , 2ú . 2
é 11 ù
故答案为： ê- , 2ú . 2
【变式 4-2】已知函数 f x2 的定义域为 1,2 ，求 f 2x +1 的定义域 .
3
【答案】 0, ÷
è 2
【解析】∵ f x2 的定义域为 1,2 ，即1< x < 2，
∴1< x2 < 4，
故需1< 2x +1< 4，
3
∴ 0 < x < ．
2
3
∴ f 2x +1 的定义域为 0,

．
è 2 ÷

故答案为： 0,
3
÷
è 2
【变式 4-3】（1）已知函数 f x + 2 的定义域为 1,3 ，则函数 f x 的定义域为 ．
（2）已知函数 f x +1 的定义域为 3,8 2，则函数 f x 的定义域为 ．
【答案】 3,5 -3, -2 U 2,3
【解析】（1）令u x + 2，则 f x + 2 f u ，
因为函数 f x + 2 的定义域为 1,3 ，所以u x + 2 3,5 ，
所以函数 f x 的定义域为 3,5 ．
（2）令u x +1， v x2，则 f x +1 f u ， f x2 f v ．
因为函数 f x +1 的定义域为 3,8 ，所以u x +1 4,9 ，
所以函数 f x 的定义域为 4,9 ，
2
所以 v x 4,9 ，所以 x -3, -2 2,3 ，
2
所以函数 f x 的定义域为 -3, -2 U 2,3 ．
故答案为： 3,5 ； -3, -2 U 2,3
题型五：函数定义域的综合应用
x +1
【典例 5-1】已知函数 f x 2 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围为（ ）ax - 2ax +1
ì
A． ía 0 a
1 ü
B． a a 0,或 a >1
2
C． a 0 a <1 D． a a 0,或 a 1
【答案】C
【解析】由函数 f x x +1 的定义域为 R，得"x R ， 22 恒成立.ax - 2ax 1 ax - 2ax +1 0+
当 a 0时，1 0恒成立；
当 a 0时，D 4a2 - 4a < 0，解得 0 < a < 1 .
综上所述，实数 a 的取值范围为 a 0 a <1 .
故选：C.
x2 +1
【典例 5-2】若函数 f (x)
2 + a

ln 2x2 +1 a 的定义域为 R ，则实数 a的取值范围是（ ）+
A． (-2,+ ) B． (-1, + ) C． (-2,-1) D． (-2,-1) (-1,+ )
【答案】B
2
【解析】因为 2x +1 + a 2 + a ， f (x) 的定义域为 R ，
所以首先满足 2 + a > 0恒成立，∴a > -2 ，
x2ln 2 +1 2+ a 0 2x +1 2 2再者满足 + a 1，变形得到 2x +1 1- a,Q2x +1 2, + \1- a < 2
\a > -1 ，最终得到 a > -1 .
故选：B.
【方法技巧】
对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．
【变式 5-1】（2024·高三·上海嘉定·期中）已知函数 f (x)
x +1
的定义域为R ，则实数 a
ax2 - 2ax +1
的取值范围是 .
【答案】0 a <1
f (x) x +1【解析】函数 2 的定义域为R ，ax - 2ax +1
得"x R, ax2 - 2ax +1 0恒成立，
当 a 0时，1 0恒成立；
当 a 0时，D 4a2 - 4a < 0，得 0 < a < 1，
综上，实数 a的取值范围是0 a <1.
故答案为：0 a <1
【变式 5-2】若函数 f x ax2 + 4ax + 3 的定义域为R ，则实数 a的取值范围为 ．
é 3ù
【答案】 ê0, 4ú
【解析】由题意得， ax2 + 4ax + 3 0 在 R 上恒成立，
当 a 0时，3 > 0，成立；
ìa > 0 ìa > 0 3
当 a 0时， íΔ 0，即 í 2 ，解得
0 < a ；
16a - 4a 3 0 4
é
综上所述， a ê0,
3 ù
4 ú
.

é0, 3ù故答案为： ê . 4ú
x 1
1
5-3 ,+ f (x) g(x) log é2x2【变式 】当 ÷时，函数 和 2 - (2a + 3)x + 2ùè 2 2ax - ln x
有意义，则实
数 a的取值范围是 .
1 , 1 【答案】 ÷
è 2e 2
1 ì2ax - lnx > 0,
【解析】由题意知，当 x ,+

2 ÷
时，不等式组 í2x2è - 2a + 3 x + 2 > 0
成立.
2a lnx h x lnx h x 1- lnx对于 2ax - lnx > 0，整理得 > ，令 ，则 ，
x x x2
1
当 x , e
ù 1
ú 时， h x …0, h x 单调递增; x e, + 时， h x < 0, h x 单调递减，所以 h(x)max h e ，è 2 e
则 2a
1 1
>
e ，解得
a >
2e ；
2x2 - 2a + 3 x + 2 > 0 2a + 3对于 ，整理得 < x 1+ ，由于G x 1 1 x + 在 , + ÷上的最小值为G 1 2，所2 x x è 2
2a + 3 1
以 < 2，解得 a < .
2 2
1
综上可得 < a
1
< .
2e 2
1 , 1 故答案为： ÷ .
è 2e 2
题型六：待定系数法求解析式
【典例 6-1】一次函数 f x 在R 上单调递增，且 f f x-1 4x+5，则 f x .
【答案】 2x + 3
【解析】设 f x kx + b，则 f x -1 kx - k + b ，
f f x -1 k kx - k + b + b k 2x - k 2 + kb + b 4x + 5，
ìk 2 4
则 í 2 .又 f x 在R 上单调递增，即 k > 0，
-k + kb + b 5
所以 k 2，b 3，则 f x 2x + 3 .
故答案为： 2x + 3
【典例 6-2】已知二次函数 f x 满足 f 0 0， f x -1 f x + 3x - 5，则不等式 f x > 0的解集
为 ．

【答案】 0,
7
3 ÷
．
è
【解析】由二次函数 f x 满足 f 0 0，
设 f x 2的表达式为 f x ax + bx （ a 0， a,b为常数），
则 f x -1 a x -1 2 + b x -1 ax2 + b - 2a x + a - b；
f x + 3x - 5 ax2 + b + 3 x - 5，
ì
ìb - 2a b + 3 a
3
-
f x -1 f x + 3x - 5 2根据 ，得 í
a - b -5
，解得 í ，
b 7
2
所以 f x 3 - x2 7+ x，
2 2
令 f x 3 7 7 - x2 + x > 0，则3x2 - 7x < 0，解得0 < x < ，2 2 3
所以 f x 0, 7 的解集为 ÷．
è 3
7
故答案为： 0, 3 ÷
．
è
【方法技巧】
当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．
【变式 6-1】已知函数 f (x) 是一次函数，且[ f (x)]2 - 3 f (x) 4x2 -10x + 4，则 f (x) 的解析式为 .
【答案】 f (x) -2x + 4或 f (x) 2x -1
【解析】设 f (x) kx + b ( k 0 )，
则[ f (x)]2 - 3 f (x) (kx + b)2 - 3(kx + b) k 2x2 + (2kb - 3k)x + b2 - 3b 4x2 -10x + 4，
k 2 4
则{2kb - 3k -10 ，解得 k -2 ，b 4 ，或 k 2，b = -1，
b2 - 3b 4
故 f (x) -2x + 4或 f (x) 2x -1.
故答案为： f (x) -2x + 4或 f (x) 2x -1.
【变式 6-2 2】已知二次函数 f x ax + bx + c a 0 ，其图象过点 1,-1 ，且满足
f x + 2 f x + 4x + 4，则 f x 的解析式为 .
【答案】 f x = x2 - 2
【解析】根据题意可知 a + b + c -1，
a x + 2 2又 + b x + 2 + c ax2 + bx + c + 4x + 4恒相等，
化简得到 4a + b x + 4a + 2b + c b + 4 x + c + 4恒相等，
ì4a + b b + 4

所以 í4a + 2b + c c + 4，故 a 1，b 0， c -2，

a + b + c -1
2
所以 f x 的解析式为 f x = x - 2 .
2
故答案为： f x = x - 2 .
题型七：换元法求解析式
1
【典例 7-1 1】已知 f(x＋ )＝x2＋ 2 ，则函数 f(x)＝ ．x x
【答案】x2－2(|x|≥2)
1 1
【解析】配凑法. f(x 1 1＋ )＝x2＋ 2 ＝(x2＋2＋ 2 )－2＝(x＋ )2－2，所以 f(x)＝x2－2(|x|≥2).x x x x
【典例 7-2】已知 f x +1 x + 2 x ，则 f x （ ）
A． f x x2 B． f x x2 -1 x 1
C． f x x2 -1 x 0 D． f x x2 +1 x 1
【答案】B
【解析】令 x +1 t ， t 1，则 x t -1， x t -1 2 ，
所以 f t t -1 2 + 2 t -1 t 2 -1 t 1 ，
所以 f x 2的解析式为： f (x) x -1 x 1
故选：B.
【方法技巧】
当已知表达式为 f g(x) 时，可考虑配凑法或换元法．
【变式 7-1】设 f x 是定义在R+上的函数，且"a R, f x a 有唯一解或无解，且对任意 x R+ ，
均有 f x f f x
3
+
1
÷ ，请写出一个符合条件的 f x .
è 2x 4
1 3
【答案】- 或 （答案不唯一）
2x 4x
【解析】当 f x 1 - x > 0 时，
2x
f f x 3 1 3 1 1 +
f + f - x，
è 2x ÷ -2x 2x ÷ è è x ÷ 2
f x f f x 3 1+ - 1 1所以 ÷ - x
；
è 2x 2x è 2 ÷ 4
3
或者，当 f x x > 0 时，
4x
f f x 3 + ÷ f
3 3+ 9 x ÷ f

÷ ，
è 2x è 4x 2x è 4x 3
3 x 3 1
所以 f x f f x + ÷ ÷ .
è 2x 3 è 4x 4
故答案为： f x 1 3 - 或 f x （答案不唯一）.
2x 4x
【变式 7-2】若 f x 是定义域为 0, + 上的单调函数，且对任意实数 x 0, + 都有
f é 1 ù 1ê f x - x ú +1，其中 e是自然对数的底数，则 f ln3 （　　） e e
4
A．4 B．
3
C． e 2
1
+ D．
3
【答案】B
【解析】∵ f x é 1 ù 1是定义域为 0, + 上的单调函数，且 f f x - +1，
ê ex ú e
∴在 0, + 1上存在唯一一个实数 t 使得 f t +1，
e
于是 f x 1-
ex
t .
令 x t
1
，得 +1
1
- t t
1 1
，即-t + +1 t .e e e e
画出 y -t
1 1 y 1+ + 与 t 的图像如图所示：e e
1 1
由图像可知， y -t + +1与 y t 的图像在 0, + 上只有 1 个交点，e e
1
且 t 1是方程-t + +1
1
t 的解，e e
1 1 1 4
所以 f x +1，故 f ln 3 +1 +1 .
ex eln3 3 3
故选:B.
【变式 7-3】（2024·高三·江西·期中）设 f x 是定义在R 上的单调函数，若
"x R, f ( f (x) - 2x ) 11，则不等式 f x < 7 的解集为 .
【答案】 (- ,2)
【解析】由"x R, f ( f (x) - 2x ) 11，可得 f (x) - 2x 必为定值，
设 f (x) - 2x m，即 f (x) 2x + m，
由 f (m) 2m + m 11，解得m 3，所以 f (x) 2x + 3，
则不等式 f x < 7 ，即为 2x + 3 < 7 ，可得 2 x < 4 ，解得 x < 2，
所以不等式 f x < 7 的解集为 - , 2 .
故答案为： - , 2 .
【变式 7-4】设 f x 是定义在R 上的单调增函数，且满足 f -1- x + f x -7 ，若对于任意非零实
é 1 1 ù
数 x 都有 f ê f x + - x - + 2ú -4，则 f 2024 .ê f x + 3 x ú
【答案】2021
1 1
【解析】令 t f x + - x - + 2f x f t -4+ 3 x ，则 ，
令 x t ，则 t f t
1 t 1 1+ - - + 2 -4 -1- t - + 2 1
f t + 3 t t ，解得 t -1或- .2
f 1-1- x + f x -7 f -1- - 1 1 7而 ，则 ÷÷ + f - ÷ -7，故 f - ÷ - ，因此 t -1.
è è 2 è 2 è 2 2
则-1 f x
1
+ - x 1- + 2
f x + 3 x ，
1 1 1 1 f x + 3- x即 f x + 3+ x + f x + 3- x - f x + 3 x x f x + 3 x f x .+ 3
因此 f x + 3- x 0或 x f x + 3 1，
当 x f x + 3 1时， f x 1 - 3，在 0, + 上单调递减，不满足题意，舍去；
x
当 f x x - 3时，满足题意.
则 f 2024 2021 .
故答案为： 2021
题型八：方程组消元法求解析式
【典例 8-1】已知 f x x为奇函数， g x 为偶函数，且满足 f x + g x e + x，则 f x =（ ）
exA - e
- x exB + e
- x
． ．
2 2
exC - e
- x - 2x ex - e- xD + 2x． ．
2 2
【答案】D
【解析】由题意知， f (x) 为奇函数， g(x)为偶函数，
则 f (-x) - f (x), g(-x) g(x)，
ì f (x) + g(x) ex + x ì f (x) + g(x) ex + x
所以 í ，即 ，
f (-x) + g(
í
-x) e- x - x - f (x) + g(x) e
- x - x
x - x
解得 f (x) e - e + 2x .
2
故选：D
1
【典例 8-2】已知 f x + 2 f ÷ x x 0 ，那么 f x ．
è x
2 x
【答案】 - x 0
3x 3
【解析】∵ f x + 2 f 1 ÷ x ， x 0，
è x
f 1 ∴ ÷ + 2 f x
1
．
è x x
ì
f x + 2 f
1
÷ x
è x
联立方程组 í ，
f 1 + 2 f x
1

è x
÷
x
解得 f x 2 x - x 0 ．
3x 3
2 x
故答案为： - x 0 .
3x 3
【方法技巧】
1
若已知成对出现 f (x) ， f ( ) 或 f (x) ， f (-x) 等类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一
x
个方程，消元的方法求出 f ( x ) ．
π
【变式 8-1】（2024·高三·辽宁丹东·期中）若 x 0, ÷ ，函数 f x 满足
è 2
f sinx + 2 f cosx 1 cos2x，则 f ÷ ．
è 2
1
【答案】- /-0.5
2

【解析】由题意知： x 0,
π
， f sinx + 2 f cosx cos2x，
è 2 ÷
ì
f sinx + 2 f sin π - x ÷÷ cos2x
è è 2
所以得： í ，
π π
f sin - x2 ÷÷
+ 2 f sinx cos2 - x ÷ -cos2x
è è è 2
解之得： f sinx -cos2x 2sin2x -1，即 f x 2x2 -1，
1 1
所以得： f ÷ - ．
è 2 2
1
故答案为：-
2
【变式 8-2】已知 f x 满足 f x + 2 f -x x - 5，则 f x ．
5
【答案】-x -
3
【解析】因为 f x + 2 f -x x - 5，所以 f -x + 2 f x -x - 5，
ì f x + 2 f -x x - 5 f x x 5联立 í f ，解得 - - . -x + 2 f x -x - 5 3
5
故答案为：-x - .
3
【变式 8-3】（2024·河南·模拟预测）已知函数 f (x) 对定义域{x∣x 0}内的任意实数 x 满足
f (2x) - 2 f 2 ÷ 4x ，则 f (x) .
è x
2 x 16【答案】- -
3 3x
2
【解析】由 f (2x) - 2 f ÷ 4x ，得 f (2x) - 2 f
4
÷ 2 × (2x)，即 f (x) - 2 f
4 4
x 2x ÷
2x ①，将 x 换为 ，得
è è è x x
f 4 2 f (x) 2 4 ÷ - ②，由①+2②，得-3 f (x) 2x
16 2 16
+ ，故 f (x) - x - .
è x x x 3 3x
2 x 16故答案为：- - .
3 3x
题型九：赋值法求解析式
【典例 9-1】已知函数 f x 的定义域为 R，且 f x + y + f x - y 2 f x f y ， f 0 1，请写出满
足条件的一个 f x （答案不唯一）．
【答案】1, cos x（答案不唯一）
【解析】令 x 0，则 f y + f -y 2 f 0 f y ，
又 f (0) 1，
所以 f y + f -y 2 f y ，即 f (-y) f (y)，
所以函数为偶函数，
不妨取偶函数 f (x) 1，则 f x + y + f x - y 1+1 2 1 1 2 f x f y ，
也可取 f (x) cos x，则 cos(x + y) + cos(x - y) 2cos x cos y，满足题意.
故答案为：1, cos x（答案不唯一）
【典例 9-2】已知函数 y f x ，x R，且 f 0 2 ，
f 0.5 f 1 f 0.5n
2, 2,L, 2, n N*
f 0 f 0.5 f 0.5 n -1 ，则函数 y f x 的一个解析式为 .
【答案】 f (x) 2 ×4x （不唯一）
f 0.5 f 1 f 0.5n
【解析】由题意， 2, 2,L, 2, n N*f 0 f 0.5 f 0.5 n -1 ，
f 0.5n n
累乘可得 2 ，即 f 0.5n 2 ×2n ，
f (0)
令 x 0.5n，则 n 2x，
所以 f (x) 2 ×22x 2 × 4x ，
故答案为： f (x) 2 ×4x （不唯一）
【方法技巧】
若已知抽象函数表达式，则常用赋值法
【变式 9-1】已知函数 f x 满足 f x + 2 f x +1，则 f x 的解析式可以是 （写出满足条件的
一个解析式即可）．
f x 1【答案】 x （答案不唯一）
2
【解析】设 f x ax ，由 f x + 2 f x +1，
代入可得， a x + 2 ax +1 1，解得 a ，
2
\ f x 1 x .
2
故答案为： f x 1 x .（答案不唯一只要正确即可）
2
【变式 9-2】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）写出满足 f x - y f x + f y - 2xy 的函数的解
析式 ．
f x x2【答案】
【解析】 f x - y f x + f y - 2xy 中，令 x y 0 ，得 f (0) 0；
令 y x 得 f x - x f x + f x - 2x2 ，故 f x + f x 2x2，
则 f x x2 ．
故答案为： f x x2 ．
【变式 9-3】对"x, y R，函数 f x, y 都满足：① f 0, y y +1；② f x +1,0 f x,1 ；③
f x +1, y +1 f x, f x +1, y ；则 f 3,2023 ．
【答案】 22026 - 3
【解析】由题意， x, y R ，
在 f x, y 中，
f 0, y y +1， f x +1,0 f x,1 ， f x +1, y +1 f x, f x +1, y ，
解: 由题意, 有, f 1, y f 0, f (1, y -1) f 1, y -1 +1 ,
∵ f (1,0) f (0,1) 2 ,
∴ f (1, n) n + 2, n N* ,
∴有 f (2, y) f (1, f (2, y -1)) f (2, y -1) + 2 ,
∵ f (2,0) f (1,1) 1+ 2 3 ,
∴ f (2,n) 2n + 3, n N* ,
∴当 f (3, n) f (2, f (3, n -1)) 2 f (3, n -1)) + 3 , 即 f (3, n) + 3 2 f (3,n -1)) + 6 2( f (3, n -1) + 3) ,
∵ f (3,0) + 3 f (2,1) + 3 5 + 3 8 ,
∴ f (3, n) + 3 8 2n 2n+3 ,
∴ f (3, n) 2n+3 - 3,n N* ， f (3, 2023) 22026 - 3 .
故答案为: 22026 - 3 .
f (x) f (y)
【变式 9-4】设偶函数 f(x)满足： f 1 2 ，且当时 xy 0时， f ( x2 + y2 ) f (x) ，+ f (y)
则 f -5 ．
2
【答案】
25
【解析】利用初始值和递推关系，逐渐求得 f 2 ， f 2 ， f 5 ， f 10 ， f 20 ，最后求得
f 1 f 1
f 5 . 2 2 再利用偶函数的性质得出所求. f 2 f 1 +1 1f 1 ，+ f 1
2 2 f
2 f 2
f 2 f 2 + 2
1 1 1
÷ ，
è f 2 + f 2 1+1 2
1
2 2 f 1 f 2
2
f 5 f 1 + 2 2 2 ,
f 1 + f 2 2 1+ 5
2
2 2
2 2 f 5 f 5
f 10 f 5 + 5 1÷ 5 5 ,
è f 5 + f 5 2 2+ 5
5 5
1 1 2 2 f 10 f 10 f 20 f 10 + 10 5 5 1 ÷ ,
è f 10 + f 10 1 1+ 10
5 5
2 2
f 20 1 2f 5
f 5 f 20 + 5 10 5
2
÷
è f 20 + f 5 1 2
,
+ 25
10 5
∵f(x)是偶函数，
\ f -5 f 5 2 ．
25
2
故答案为： ．
25
题型十：求值域的 7 个基本方法
【典例 10-1】求下列函数的值域：
(1) y 3x2 - x + 2；
(2) y -x2 - 6x - 5 ；
y 3x +1(3) ；
x - 2
(4) y x + 4 1- x ；
(5) y x + 1- x2 ；
(6) y | x -1| + | x + 4 |；
2x2(7) y - x + 2 2 ；x + x +1
2x2 - x +1 1
(8) y x > ；
2x -1 è 2 ÷
1 23
【解析】（1 2 2）因为 y 3x - x + 2 3(x - ) + , x R ，
6 12
23
故 y 3x2 - x + 2的值域为[ , + ) ；
12
（2）令 t -x2 - 6x - 5,\t 0 ，则-5 x -1，
而 t -x2 - 6x - 5 -(x + 3)2 + 4，则0 t 4，
故 y -x2 - 6x - 5 t [0, 2]，
即 y -x2 - 6x - 5 的值域为[0,2]；
3 y 3x +1 3(x - 2) + 7 7（ ） 3 +x ，- 2 x - 2 x - 2
7 7
因为 0 3+ 3x - 2 ，故 ，x - 2
3x +1
所以 y 的值域为 y R | y 3 ;
x - 2
（4）令 1- x u,u 0 ，则 y x + 4 1- x -u2 + 4u +1 -(u - 2)2 + 5，
当u 2时，-(u - 2)2 + 5取到最大值 5，无最小值，
故 y x + 4 1- x 的值域为 (- ,5]；
（5）因为1- x2 0,\-1 x 1，令 x cosa ,a [0, π] ,
故 y x + 1- x2 cosa + sina 2 sin(a
π
+ )，
4
π π 5π π
由于a + [ , ]，故 2 sin(a + ) [-1, 2]，
4 4 4 4
即函数 y x + 1- x2 的值域为[-1, 2]；
ì-2x - 3, x < -4
（6） y x -1 + x + 4

í5, -4 x 1 ，

2x + 3, x >1
当 x<- 4时， y > 5；当 x >1时， y > 5；当-4 x 1时， y 5，
故 y | x -1| + | x + 4 |的值域为[5, + )；
（7）因为 x2 + x +1 > 0恒成立，故 x R ,
2
y 2x - x + 2则由 2 可得 (y - 2)x
2 + (y +1)x + y - 2 0 ，
x + x +1
当 y 2时， x 0，适合题意；
当 y 2时，由于 x R ，故 (y - 2)x2 + (y +1)x + y - 2 0 恒有实数根，
故D (y +1)2 - 4(y - 2)2 0，解得1 y 5且 y 2，
2x2y - x + 2故 的值域为[1,5]2 ；x + x +1
1
y 2x
2 - x +1 x 2x -1 +1
（8） x
1 1 1
+ x - + 2 1 + ，2x -1 2x -1 2x -1 2 x - 2
2
1 1
x 1 , 1 1 1因为 > \ x - > 0，故 x - + 2 1 2 (x - ) ×
2 2 ，
2 2 2 x - 2 x 1-
2 2
1
x 1- 2 x 1+ 2当且仅当 ，即 时等号成立，2 x 1- 2
2
2x2y - x +1 2 1
1
故 + ，即函数值域为[ 2 + , + )；
2x -1 2 2
【典例 10-2】求下列函数的值域．
(1) y x - 2；
x2(2) y - x 2 ；x - x +1
(3) y x - 1- 2x ；
2
(4) y x - 4x + 3
2x2
；
- x -1
2
(5) y x + 8 （ x >1）．
x -1
【解析】（1）因为 x 0，所以 x - 2 -2．故值域为 -2, + ．
1 2
（2）因为 y 1
1 4 1
- 2 ，且 x
2 - x 1+1 x - 3 3 ÷ + ，所以0 < 2 ，所以- y <1，故函x - x +1 è 2 4 4 x - x +1 3 3
é 1
数的值域为 ê- ,13 ÷
．

1- t 2
（3）令 1- 2x t ，则 t 0，且 x ，
2
1 1
所以 y - t +1 2 +1 1 t 0 - , ù（ ）．故函数的值域
2 2 è 2 ú
．
2
y x - 4x + 3 x -1 x - 3 x
1
- 3 2x 1 7+ -
（4） 2x2 x 1 x 1 2x 1 2x 1，其中 x 1，
x - 3
2 2 1 7- - - + + - ，2x +1 2x +1 2 2 2x +1
x - 3 1- 3 2
当 x 1时， - ．
2x +1 2 1+1 3
7
0 y x - 3 1又因为 2 2x +1 ，所以 ．2x +1 2
2- , - U 2 1- , 1 故函数的值域为 ÷ ÷ U , + 3 ÷ ．è è 3 2 è 2
（5）因为 x >1，所以 x -1 > 0，所以
x2 + 8 x -1 2 + 2 x -1 + 9y x 1 9 9- + + 2 2 x -1 × + 2 8，
x -1 x -1 x -1 x -1
9
当且仅当 x -1 ，即 x 4时，取等号，即 y 取得最小值 8．
x -1
故函数的值域为 8,+ ．
【方法技巧】
函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法：根据最基本函数值域（如 x 2 ≥0， a x > 0 及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭
观察能直接得到些简单的复合函数的值域．
（2）配方法：对于形如 y a x 2 + b x + c a 0 的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二
次函数的定义城求出函数的值域．
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形 y ax + b + cx + d 的值城，可通过换元将原函
数转化为二次型函数．
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．
（7）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如
y ax+b + cx+d 或 y ax+b+ cx+d 的函数，当 ac>0 时可利用单调性法．
【变式 10-1】求下列函数的值域．
（1）求函数 y x + 2x +1的值域．
2
（2） 求函数 y x - 3x + 4 2 的值域．x + 3x + 4
（3）求函数 y ( 1+ x + 1- x + 2)( 1- x2 +1)， x [0,1]的值域．
1 1 1 1
【解析】(1) y x + 2x +1 [2x +1+ 2 2x +1 +1]-1 ( 2x +1 +1)2 -1 -1 - .
2 2 2 2
1 1
当 x - 时，y 取最小值- ，
2 2
1
所以函数值域是[- , + )．
2
（2）由函数解析式得 (y -1)x2 + 3(y +1)x + 4y - 4 0 .
①当 y 1时，①式是关于 x 的方程有实根．
所以D 9(y +1)2
1
-16(y -1)2 0 ，解得 y 7 .
7
又当 y 1时，存在 x 0使解析式成立，
所以函数值域为[
1 ,7]．
7
（3）令 1+ x + 1- x u ，
因为 x [0,1]，所以 2 u2 2 + 2 1- x2 4，
所以 2 u 2，
2 + 2 u + 2
所以 2，
2 2
y u + 2 2所以 u [ 2 + 2,8]．
2
所以该函数值域为[ 2 + 2,8]．
【变式 10-2】求下列函数的值域：
(1) f x 2x - x -1；
f x 2x - 3(2) , x 1,3 ；
x +1
2
(3) f x x + 2x +1 2 , x 3,5 .x + x +1
【解析】（1）令 t x -1，则 x t 2 +1， t 0，
1 2y 2t 2 2 t 2 t 15 15所以 + - - ÷ + ，
è 4 8 8
所以 f x é15的值域为 ê ,+

÷ .
8
2x - 3 5
（2） f x 2 - ，
x + 1 x + 1
由反比例函数性质可知， f x 在 1,3 上单调递增，
所以 f 1 < f x < f 3 1 3，即 - < f x <2 4 ，
1 3
所以 f x 的值域为 - ,2 4 ÷ .è
2
f x x + 2x +1 x 1
（3） x2
1+ 1+
+ x +1 x2 + x +1 x 1 1 ,+ +
x
t x 1 1令 + ，则 y 1+ ，
x t +1
1
由对勾函数性质可知， t x + 3,5 10 t 26在 上单调递增，所以 < < ，
x 3 5
1 10 26
由反比例函数性质可知， y 1+ 在 , 单调递减，t +1 è 3 5 ÷
36 y 16< < f x 36 16 所以 ，即 的值域为 , ÷ .31 13 è 31 13
【变式 10-3】求下列函数的值域
3 + x
（1） y 4 - x ；
5
（2） y 2 ；2x - 4x + 3
（3） y 1- 2x - x ；
2
（4 y x + 4x + 3） ；
x2 + x - 6
（5） y 4 - 3 + 2x - x2 ；
（6） y x + 1- 2x ；
（7） y x - 3 + 5 - x ；
（8） y -x2 - 6x - 5
3x +1
（9） y ；
x - 2
2x210 y - x +1(x 1（ ） > ) .
2x -1 2
3 + x 7
【解析】（1）分式函数 y -1-4 x x 4 ，- -
定义域为 x x 4 7，故 0 ，所有 y -1x 4 ，-
故值域为 (- , -1) (-1, + ) ；
5
（2）函数 y 2 中，分母 t 2x
2 - 4x + 3 2 x -1 2 +1 1，
2x - 4x + 3
5
则 y 0,5 ，故值域为 0,5 ；
t
1
（3）函数 y 1- 2x - x 中，令1- 2x 0得 x ，
2
易见函数 y 1- 2x 和 y -x都是减函数，
1 1 1
故函数 y 1- 2x - x 在 x 时是递减的，故 x 时 ymin - ，2 2 2
é 1
故值域为 ê- ,+ 2 ÷；
2
4 y x + 4x + 3 x +1 1 3（ ） 2 + , x -3 ， x + x - 6 x - 2 x - 2
故值域为 y y 1 y 2 ü且 ；
5
（5） y 4 - 3 + 2x - x2 4 - -(x -1)2 + 4 ， x -1,3
而0 -(x -1)2 + 4 4 ， x 0,4 ，
\0 -(x -1)2 + 4 2，\4 - 2 4 - -(x -1)2 + 4 4 - 0，
即 2 y 4，故值域为 2,4 ；
1 ù
（6）函数 y x + 1- 2x ，定义域为 - , ，令 t 1- 2x 0，
è 2 ú
1- t 2 1- t 2 t 2 1
所以 x ，所以 y + t - + t + , t 0，对称轴方程为 t 1，
2 2 2 2
所以 t 1时，函数 y
1 1
max - +1+ 1，故值域为 - ,1 ；2 2
ìx - 3 0
（7）由题意得 í ，解得3 x 5
5 - x 0
，
y2 2 + 2 x - 3 5 - x 2 + 2 - x - 4 2则 +1,3 x 5，
故- x - 4 2 +1 0,1 ， 2 - x - 4 2 +1 0,2 ，\2 y2 4，
由 y 的非负性知， 2 y 2，故函数的值域为 é ù 2, 2 ；
2 2
（8）函数 y -x2 - 6x - 5 - x + 3 + 4 ，定义域为 -5, -1 ，- x + 3 + 4 0, 4 ，故
y - x + 3 2 + 4 0,2 ，即值域为 0,2 ；
y 3x +1 7（9）函数 3 + ，定义域为 x x 2 ，
x - 2 x - 2
7
故 0 ，所有 y 3，故值域为 (- ,3) U (3,+ )x - 2 ；
2x2 - x +1 2x -1 2 + 2x -1 + 2 1 é ù
（10）函数 y ê 2x 1 2 1- + + ，2x -1 2 2x ú-1 2 ê 2x -1 ú 2
1 2 1
令 t 2x -1
1
，则由 x > 知， t > 0， y t +2 2 ÷
+ ，
è t 2
2
根据对勾函数 t + 在 0, 2 递减，在 é 2, + 递增,t
1
可知 t 2 时， y
1
2 2 1 1+ 2 + é min ，故值域为 2 + , + .2 2 2 ê ÷ 2
题型十一：数形结合求值域
y sin x + 2【典例 11-1】函数 的值域为
cos x - 2
é-4 - 7 ù
【答案】 ê ,
-4 + 7
3 3 ú
y sin x + 2【解析】 表示点 cos x,sin x 与点 2, -2 连线的斜率，
cos x - 2
Q cos x,sin x 的轨迹为圆 x2 + y2 1，
y sin x + 2\ 表示圆 x2 + y2 1上的点与点 2, -2 连线的斜率，
cos x - 2
由图象可知：过 2, -2 作圆 x2 + y2 1的切线，斜率必然存在，
则设过 2, -2 的圆 x2 + y2 1的切线方程为 y + 2 k x - 2 ，即 kx - y - 2k - 2 0，
-2k - 2
\圆心 0,0 -4 ± 7到切线的距离 d 1，解得： k ，
k 2 +1 3
é
2 2 2, 2 -4 - 7 -4 + 7
ù
结合图象可知：圆 x + y 1上的点与点 - 连线的斜率的取值范围为 ê , ú，
3 3
sin x + 2 é-4 - 7 -4 + 7 ù
即 y 的值域为 , .
cos x - 2 ê 3 3
ú

é-4 - 7 ù
故答案为： ê ,
-4 + 7
ú .
3 3
【典例 11-2】函数 y x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域为 .
【答案】 é 26,+
【解析】原式为 y x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 x -1 2 + 0 - 2 2 + x - 2 2 + 0 - 3 2 ，即可看作是动点
A x,0 到定点M 1,2 , N 2,3 的距离之和，
设 N 2,3 关于 x 轴的对称点为 N 2, -3 ，连接MN 交 x 轴于A ，此时 AM + AN 最小，且最小值为
MN 1- 2 2 + 2 + 3 2 26 ，故函数 y x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域为 é 26,+ ，
故答案为： é 26,+
【方法技巧】
根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图形模型．
11-1 y 1- x
2
【变式 】函数 的值域是 ．
x + 2
é ù
【答案】 ê0
3
，
3 ú
f x 1- x
2
【解析】设函数 ，令 y 1- x2 ，则点M x，y 位于一个单位圆 x 轴的上半部分，如图所示．
x + 2
1- x2 y - 0
将函数 f x 改写为 f x ，则表示定点 A -2，0 与点M x，yx - -2 所连直线MA的斜率．x + 2
当直线MA与上半单位圆相切时，在直角三角形MOA中，MO 1, OA 2, \ MAO 30°，所以
3 é 3 ù 2 é ùkMA tan30° ．又 kAO 0 ，所以 f x 0，
1- x 3
ê ú ．即函数 y 的值域为3 ê
0， ú ．
3 x + 2 3
【变式 11-2】函数 f (x) 2x - 3 - -x2 + 6x - 8 的值域是 ．
【答案】[3 - 5,5]
【解析】 f (x) 2x - 3- -x2 + 6x -8 2x - 3- 1- x - 3 2 ，
由-x2 + 6x -8 0，解得 2 x 4 ，
令 t 2x - 3- 1- x - 3 2 1- x - 3 2，即 2x - 3 - t ，
将函数 f (x) 2x 3 2- - -x2 + 6x - 8 的值域转化为 y 1- x - 3 与 y 2x - 3- t 有交点时的 t 的取值范围，
在同一坐标系中作函数 y 1- x - 3 2 与 y 2x - 3- t 的图象如图所示：
由图象知：当直线 y 2x - 3- t 与半圆 x - 3 2 + y2 1相切时，t 最小，
3- t
此时 1，解得 t 3 ± 5，由图象知 t 3 - 5，
1+ 4
当直线 y 2x - 3- t 过点 A 4,0 时，t 最大，此时 t 5，
所以 t [3 - 5,5]，即 f (x) 的值域是[3 - 5,5]，
故答案为：[3 - 5,5]
【变式 11-3】函数 y x2 - 2x + 5 - x2 - 4x +13 的值域为 .
【答案】[- 2, 2)
【解析】由题设 y (x -1)2 + (0 - 2)2 - (x - 2)2 + (0 - 3)2 ，
所以所求值域化为求 x 轴上点C到 A(1, 2)与 B(2,3) 距离差的范围，如下图示，
由图知： CA - CB AB ，即- AB CA - CB AB ，
当C, A, B 三点共线且A 在C, B 之间时，左侧等号成立；
当C, A, B 三点共线且 B 在C, A之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；
所以- AB CA - CB < AB ，即 y | CA | - | CB | [- | AB |,| AB |) [- 2, 2) ，
所以函数值域为[- 2, 2) .
故答案为：[- 2, 2)
1- x211-4 f x - 2 3【变式 】函数 的值域为 .
x - 4
é 3 2 3 ù
【答案】 ê ,
3 3
ú

2
【解析】设 y 1- x2 x2，则有 + y2 1 y 0 f x 1- x - 2 3 y - 2 3， ，
x - 4 x - 4
2 2
其几何意义为半圆 x + y 1 y 0 上一动点 P 到定点 A 4,2 3 的连线的斜率．
如图：B 1,0 ,则 k 2 3AB ，3
设过点 A 的直线为 y - 2 3 k x - 4 ，
整理为 kx - y + 2 3 - 4k 0，由点到直线的距离公式可得
2 3 - 4k
15k 2 3 11 3 1，化简得 -16 3k +11 0 k 或 （舍），
k 2 +1 3 15
3 f x 2 3所以 ，
3 3
é 3 2 3 ù
故答案为: ê , ú .
3 3
题型十二：值域与求参问题
2
【典例 12-1 f x x + ax - 2】若函数 的值域为 -2,2 ，则 a2 的值为 .x - x +1
【答案】 2
y x
2 + ax - 2
【解析】设 ，可得 y -1 x2 - y + a x + y + 2 0
x2
，
- x +1
2
由题意可知，关于 x 的方程 y -1 x - y + a x + y + 2 0在 R 上有解，
若 y 1，可得- a +1 x + 3 0，则 a -1；
2 2
若 y 1，则D y + a - 4 y -1 y + 2 0，即3y - 2a - 4 y - a2 + 8 0，
2 2
由题意可知，关于 y 的二次方程3y - 2a - 4 y - a + 8 0的两根为-2、 2，
ì2a - 4
0 3
由韦达定理可得 í 2 ，解得 a 2 .
a + 8- -4
3
综上所述， a 2 .
故答案为： 2 .
【典例 12-2】若函数 y ax2 + 4x +1的值域为 0, + ，则 a的取值范围为（ ）
A． 0,4 B． 4, + C． 0,4 D． 4, +
【答案】C
【解析】当 a 0时， y 4x +1 0，即值域为 0, + ，满足题意；
2
若 a 0，设 f x ax + 4x +1，则需 f x 的值域包含 0, + ，
ìa > 0
\íΔ 16 4a 0，解得：
0 < a 4 ；
-
综上所述： a的取值范围为 0,4 .
故选：C.
【方法技巧】
值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决.
【变式 12-1】已知函数 f x 1- x + a, x [m,n]的值域为 m, n (m < n)，则实数 a的取值范围为（ ）
3 1 1A． - ,
1 3B
4 4 ÷ ．
-1,- ÷ C．[0, ) D． (- ,0]
è è 4 4 4
【答案】C
【解析】由题意得 f (x) 1- x + a在[m， n]上单调递减，
因为函数的值域为[m， n]，
ì f (m) 1- m + a n
所以 í ， 1- m - 1- n n - m (1- m) - (1- n)
f (n) 1- n + a m
( 1- m - 1- n)( 1- m + 1- n) ，
Qm < n，\ 1- m - 1- n 0 ，\ 1- m + 1- n 1，\ 1- m 1- 1- n ，
\a n + 1- n -1 -( 1- n)2 + 1- n -( 1- n 1- )2 1+
2 4 ，
Qm < n 1，\ 1- m > 1- n ，结合 1- m + 1- n 1可得： 1- n [0， )2 ，
\a [0 1， )4 ．
故选：C ．
【变式 12-2】定义min
a, a b
a,b ì í 2b,a b若函数 f x min x - 3x + 3,- x - 3 + 3 ，则 f x 的最大值 >
é3 ù
为 ；若 f x 在区间 m, n 上的值域为 ê , 2ú ，则 n - m的最大值为 ． 4
3 3 + 2 5【答案】
4
2
【解析】当 x - 3x + 3 - x - 3 + 3时，解得 x 1或 x 3，
ì - x - 3 + 3, x - ,1 3, +
所以 f x í
x
2 - 3x + 3, x 1,3 ，
作出 f x 的图象如下图所示：
由图象可知：当 x 3时， f x 有最大值，所以 f x f 3max 3；
当 f x 3 3 3 21时，解得 x 或 或 ；
4 4 2 4
当 f x 2 x 3 + 5时， 或 x 4，
2
m 3 3 é , ù n 3+ 5 f x é
3 ù
由图象可知：当 ê4 2ú， 时， 的值域为 ê
, 2 ，此时 n - m的最大值为
2 4 ú
3+ 5 3 3 + 2 5
- ；
2 4 4
m 4, n 21 f x é3 ,2ù n m 5 3 + 2 5当 时， 的值域为 ê ú ，此时4 4 - < ， 4 4
3+ 2 5
由上可知， n - m的最大值为 ，
4
3+ 2 5
故答案为：3； .
4
ìx2 - 2x + 2, x 0

【变式 12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函数 y í a 的值域为R ，则实数 a的取值

x + + 3a , x < 0
x
范围为 ．
【答案】 - ,0 U 1, +
【解析】当 x 0 时， f x x2 - 2x + 2 x -1 2 +1，此时 f x 1,+ ，
当 a 0且 x < 0 时， f x x，
此时 f x - ,0 ，且 - ,0 U 1, + R，所以不满足；
a 0 f x x a当 > 且 x < 0 时， + + 3a ，
x
由对勾函数单调性可知 f x 在 - , - a 上单调递增，在 - a ,0 上单调递减，
所以 f x f - a 3a - 2 a ，此时 f x - ,3a - 2 a ùmax ，
若要满足 f x 的值域为R ，只需要3a - 2 a 1，解得a 1；
y x, y a当 a<0且 x < 0 时，因为 均在 - ,0 上单调递增，
x
所以 f x x a+ + 3a 在 - ,0 上单调递增，且 x 0时， f x + ， x - 时， f x - ，
x
所以此时 f x - ,+ ，此时显然能满足 f x 的值域为R ；
综上可知， a的取值范围是 - ,0 1,+ ，
故答案为： - ,0 1,+ .
题型十三：判别式法求值域
y x -1【典例 13-1】函数 2 ， x > 0的值域为 ．x - 6x + 7
2 + 2 ù
【答案】 - ,
1
- ú

- ,+

4 7 ÷è è
x -1 2
【解析】因为 y yx - 6y +1 x + 7 y +1 0
x2
，整理得 ，
- 6x + 7
2
可知关于 x 的方程 yx - 6y +1 x + 7 y +1 0 有正根，
若 y 0 ，则-x +1 0，解得 x 1，符合题意；
y 0 x2 6 1 1若 ，则 - + y ÷
x + 7 + 0，
è y
ì ì 1
6
1
+ 6 + y
y 0 > 0
可得 í 2 或 í 2 ，
1 27 + < 0 Δ 6 1 4 7 1 y + ÷ - + ÷ 0 è y è y
1 7 1 2 2 1解得 < - 或 - 4且 0
1
，则- < y < 0或 y > 0 y 2 + 2y y y 或 - ；7 4
1 2 + 2
综上所述： y > - 或 y < - ，
7 4
x -1 , 2 + 2
ù 1
即函数 y 2 ， x > 0

的值域为 - - ú - ,+

.
x - 6x + 7 è 4 è 7
÷

2 + 2 ù
- ,- 1 故答案为： ú - ,+ 4 ÷
.
è è 7
2
13-2 f x -x + x -1【典例 】函数 的值域是 ．
x2 +1
é 3 , 1 ù【答案】 ê- - 2 2 ú
【解析】由题知函数的定义域为R ，
-x2 + x -1 2
所以，将 y 整理得 1+ y x - x + y +1 02 ，x +1
所以，当 y -1时， x 0；
ì
y -1 Δ 1- 4 y +1
2 0 é 3 1 ù
当 时， í ，解得 y ê- , -1÷ U -1, - ， y -1 2 è 2
ú
y é 3 , 1 - - ù
2 3 1
所以， ê ú ，即函数 f x
-x + x -1 é
的值域是 ê- , -
ù
2 2 x2 +1 2 2 ú
é 3
故答案为： ê- ,
1
- ù
2 2 ú
【方法技巧】
判别式法：把函数解析式化为关于 x 的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，
2
形如 y Ax + B ， ax 2 bx c 或 y ax + bx + c+ + 的函数值域问题可运用判别式法（注意 x 的取值范围必须
dx2 + ex + f
为实数集 R）．
【变式 13-1】已知a, b R，且 a2 + b2 + ab 1，则b 的取值范围是 .
é 2 3 ù
【答案】 ê- ,
2 3
3 2 ú
【解析】因为 a2 + b2 + ab 1，所以 a2 + ab + b2 -1 0 .
又因为a, b R，
2
所以D b - 4 b2 -1 0 2 3 2 3，解得- b .
3 2
é 2 3 ù
故答案为： ê- ,
2 3
3 2 ú
.

【变式 13-2】已知 a > 0，函数 f (x) ax - x2 + 2x - x2 的最大值为 2 ，则实数 a的值为 .
【答案】1
【解析】Q y ax - x2 + 2x - x2 ，
\ y - 2x - x2 ax - x2 ，
两边平方得： y2 - 2y 2x - x2 + 2x - x2 ax - x2 ，
即 y2 + 2x - ax 2y 2x - x2 ，
再平方得： y4 + 4x2 + a2x2 + 4xy2 - 2axy2 - 4ax2 8xy2 - 4x2 y2 ，
化简得： (4y2 + 4 + a2 - 4a)x2 - (4y2 + 2ay2 )x + y4 0，
当 4y2 + 4 + a2 - 4a 0 ，即 4y2 + (a - 2)2 0 时， a 2, y 0，
此时 f (x) 2 2x - x2 2 -(x -1)2 +1 最大值为 2，不符题意.
所以 4y2 + 4 + a2 - 4a 0 .
因为方程有解，所以D 0，
即D (4y2 + 2ay2 )2 - 4y4 (4y2 + 4 + a2 - 4a) 0 ，
化简得： y2 2a，因为 y 0，所以0 y 2a ，
又因为 y 的最大值为 2 ，所以 2a 2 ，
所以 a 1 .
故答案为：1.
2
【变式 13-3 x - x +1】函数 f x 2 的值域是 .x - x + 2
é 3
【答案】 ,1
ê7 ÷
x2f x - x +1【解析】
x2
，
- x + 2
2
x2 - x + 2 x 1- 7因为 ÷ + > 0
è 2 4
所以函数 f x 的定义域为 x R
x2y - x +1令 ，整理得方程： y -1 x2 + 1- y2 x + 2y -1 0x - x + 2
当 y 1时，方程无解；
当 y 1时，Δ 1- y 2 - 4 y -1 2y -1 0
不等式整理得：7y2 -10y + 3 0
y é 3解得： ,1

÷
ê7
x2 - x +1 é 3
所以函数 f x ,1
x2
的值域为 .
- x + 2 ê 7 ÷
é 3
故答案为： ê ,1

÷
7
题型十四：三角换元法求值域
【典例 14-1】求函数 y x + 2x2 - 4x + 6 的值域.
p
【解析】Q2x2 - 4x + 6 2(x -1)2 + 4，\可设 x -1 2 tanq |q |<

è 2 ÷
，

则 y 2 tanq +1 2( 2 + sinq )+ 2secq +1 .
cosq
2 + sinq
设u |q |
p
< ÷，则u > 0，从而u cosq - sinq 2 .cosq è 2
u 1
2 2u +1cos(q +j) 2 （其中 cosj ， sinj 2 2 ）， cos(q +j) 1，u +1 u +1 u2 +1
u2 +1 2 ，u2 +1 2，u2 1且u > 0 .\u 1 .\ y 2 +1
故函数的值域为[ 2 +1,+ ) .
2
【典例 14-2】（2024·高三·河南·期中）函数 f (x) 1+ 3 - x 的值域为（ ）
x + 2
A． é 2 - 6,2 + 3ù B． é- 3, 6ù C． é 2 - 3,2 + 6 ù D． é- 6, 3ù
【答案】C
【解析】依题意3 - x2 0且 x -2，所以函数 f (x) 的定义域为 é - 3, 3ù .
1+ 3 sinq
设 x 3 cosq ，q 0,p ，则 y ，q 0,p ，其几何含义表示点P 3 cosq , 3 sinq 与
3 cosq + 2
A -2, -1 的斜率， P 为圆弧 x2 + y2 3 y 0 上一动点，
1
如图，当 P 为圆弧为右端点B 3,0 时，斜率最小，最小值为 kAB 2 - 3 ，3 + 2
当 AP 与圆弧相切时，直线 AP 的斜率存在且最大，设 AP : y +1 k(x + 2) ，即 kx - y + 2k -1 0，
2k -1
则圆心到直线 AP 的距离 d 3，即 k 2 - 4k - 2 0 ，如图，显然 k > 0，所以
2 k 2 + 6 .k +1
所以函数 f (x) 的值域为 é 2 - 3,2 + 6 ù .
故选：C.
【方法技巧】
充分利用三角函数的有界性，求出值域．因为常出现反解出 y 的表达式的过程，故又常称此为反解有
界性法．
2
【变式 14-1 2024 -x + 4x - 3 + 3】（ ·上海徐汇·模拟预测）函数 y 的值域为 .
x +1
é3 , 9 + 17
ù
【答案】 ê ú
4 8
【解析】Q-x2 + 4x - 3 -(x - 2)2 +1 0 1 x 3 .
令 x - 2 cosq 且 θ∈[0，π]
-x2∴ y + 4x - 3 + 3
x +1
sinq + 3
= 2 2，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率， cos q + sin q 1 q 0, π ，故点
cosq + 3
cosq ,sinq 在单位圆的上半部分.
-3 - 0 3 sinq - -3 sinq
如图，斜率最小为 ，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率， × -1
-3 -1 4 cosq - -3 cosq ，化简得
ì
sinq + cosq
1
-
3
sinq + cosq 1 2 2 - 17 -1 - 17 -1，由
3 í
sin q + cos q 1 ，解得 sinq , cosq ，故切线的斜率为
-1 < cosq < 0 6 6

0 < sinq <1
17 -1
sinq - -3 + 36 9 + 17 é3 , 9 + 17 ù
cosq - -3 .所以斜率的取值范围，也即函数的值域为 ê ú .- 17 -1
+ 3 8
4 8
6
é3 9 + 17 ù
故答案为： ê ,4 8 ú
题型十五：分段函数求值、求参数问题
ì
sinπx, x
1

2
3 1
【典例 15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x í f x + ÷ , < x 2，则 f 2024 （2 2 ） è
f x - 2 , x > 2


A 1． -1 B．0 C． 2 D．1
【答案】D
f 2024 f 2 f 7 f 3 f 3 f 1 f 5 1 f π【解析】由题意知 ÷ ÷ ÷ ÷ sin 1．
è 2 è 2 è 2 è 2 2
故选：D．
ìx2 + x, x 0
【典例 15-2】已知函数 f x í ，若 f a 6，则a （ ）
5x + 6, x < 0
A．0 B．2 C．-3 D．2 或 3
【答案】B
【解析】当 a 0 f a a2时，则 + a 6 ，解得： a 2或 a -3（舍去）
当 a < 0时，则 f a 5a + 6 6，解得： a 0（舍去）
综上所述： a 2
故选：B.
【方法技巧】
根据分段函数解析式求函数值，首先明确自变量的值属于哪个区间，其次选择相应的解析式代入解决.
【变式 15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x ì
log
2
x +1, x 1
íx2
f a 2
, x 1 ，若 ，则
a的值为
<
（ ）
A．2 或- 2 B．2 或 2 C． 2 或- 2 D．1 或 2
【答案】A
【解析】当a 1时， log2a +1 2，解得 a 2，
当a < 1时， a2 2，得 a - 2 ，
所以 a的值是 2 或- 2 ．
故选：A.
ì x ,0 < x <1f x f m f m +1 2 【变式 15-2】（2024·全国·模拟预测）设 í ，若 ，则
f
2 x -1 , x 1

è m ÷
（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
【答案】A
ìm > 0
【解析】因为 f x 的定义域为 0, + ，则 í m > 0
m +1 > 0
，解得 ，
若m 1，则m +1 2 >1，可得 2 m -1 2m - 2 2m，不合题意；
若0
1
< m <1，则m +1 >1，可得 m 2m ，解得m ；4
1
综上所述：m .
4
所以 f
2
÷ f 8 14 .
è m
故选：A.
ì2x + 2- x , x 3

【变式 15-3】（2024·江苏南通·二模）已知函数 f x í f x ，则
f log 9 （
, x ） ÷ > 3
2
è 2
8 10 80 82
A． B． C． D．
3 3 9 9
【答案】B
ì2x + 2- x , x 3
f x 【解析】因为 í f x ÷ , x > 3
è 2
由于 log2 9 > 3，则 f (log
1
2 9) f ( log2 9) f (log2 3) 2
log2 3 + 1 1 10log 3 + 2 2 ．2 3 3 3
故选：B
题型十六：分段函数与方程、不等式
ìx +1, x 0,【典例 16-1】已知函数 f x í 若 a é f a - f -a ù > 0 a2x 1, x 0, ，则实数 的取值范围是（ ） - - <
A． 2, + B． -2,0 U 0,2
C． - ,-2 U 2,+ D． -2,0 0,2
【答案】D
【解析】由 a é f a - f -a ù > 0 ，
若 a > 0，则 f a - f -a > 0 ，即a +1- é-2 -a -1 ù > 0，解得 a < 2，所以0 < a < 2
若 a<0，则 f a - f -a < 0 ，即-2a -1- (-a +1) < 0，解得 a > -2 ，所以-2 < a < 0，
综上，不等式的解为 -2,0 0,2 .
故选：D
ìex , x 0 1
【典例 16-2】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 f x í ，则不等式 f x 的解集
ln x, x > 0 2
是（ ）
A． - , - ln 2 U 0, e ù B． - , - ln 2
C． 0, e ù D． - ,- ln 2 U 0, e
【答案】A
【解析】当 x 0 时，由 f (x)
1
得 ex
1
，两边取以 e 为底的对数得： x - ln 2，
2 2
1
当 x > 0时，由 f (x)
1
得 ln x
1
，解得
2 2 0 < x e
2 e ，
综上 x - ln 2或0 < x e .
故选：A.
【方法技巧】
已知函数值或函数的范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但是一定要注意
检验所求自变量的值或范围是否符合相应段自变量的范围.
x +1, x 0
【变式 16-1】（2024·湖北·一模）已知函数 f x
ì
íln x +1 , x > 0 ，则关于 x 的不等式 f x ≤1的解
集为 ．
【答案】 - , e -1
【解析】当 x 0 时， f x x +1 1得 x 0 ，\ x 0
当 x > 0时， f x ln x +1 1，得-1 < x e -1，所以0 < x e -1，
综上： f x ≤1的解集为 - , e -1 ，
故答案为： - , e -1 .
ìx + 2, x -1
【变式 16-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x í x2 2x, x 1，则不等式 f x > -3的解集 - + > -
是 .
【答案】 -5,3
【解析】当 x -1时，由 f x > -3得 x + 2 > -3，解得 x > -5，此时，-5 < x -1；
当 x > -1时，由 f x > -3得-x2 + 2x > -3，即 x2 - 2x - 3 < 0，解得-1 < x < 3，此时，-1 < x < 3 .
综上所述，不等式 f x > -3的解集是 -5,3 .
故答案为： -5,3 .
1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数为 f (x) 的定义域为 R， f (x) > f (x -1) + f (x - 2)，且当
x < 3时 f (x) x ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． f (10) >100 B． f (20) >1000
C． f (10) <1000 D． f (20) <10000
【答案】B
【解析】因为当 x < 3时 f (x) x ，所以 f (1) 1, f (2) 2，
又因为 f (x) > f (x -1) + f (x - 2)，
则 f (3) > f (2) + f (1) 3, f (4) > f (3) + f (2) > 5，
f (5) > f (4) + f (3) > 8, f (6) > f (5) + f (4) >13, f (7) > f (6) + f (5) > 21，
f (8) > f (7) + f (6) > 34, f (9) > f (8) + f (7) > 55, f (10) > f (9) + f (8) > 89，
f (11) > f (10) + f (9) >144, f (12) > f (11) + f (10) > 233, f (13) > f (12) + f (11) > 377
f (14) > f (13) + f (12) > 610, f (15) > f (14) + f (13) > 987，
f (16) > f (15) + f (14) >1597 >1000，则依次下去可知 f (20) >1000，则 B 正确；
且无证据表明 ACD 一定正确.
故选：B.
ì
f x x , x > 02．（2024 年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知 í ,则 f 3 ．
1, x 0
【答案】 3
ì
f x x , x > 0【解析】因为 í ,故 f 3 3，
1, x 0
故答案为： 3 .
1
3．（2023 x年北京高考数学真题）已知函数 f (x) 4 + log2 x ，则 f ÷ ．è 2
【答案】1
1
【解析】函数 f (x) 4x + log2 x
1 1
，所以 f ( ) 42 + log2 2 -1 1.2 2
故答案为：1
1 2．若 f x x + bx + c，且 f 1 0， f 3 0，求 f -1 的值.
f x x2【解析】因为 + bx + c ,且 f 1 0 , f 3 0
ì1+ b + c 0 ìb -4
则 í
9 + 3b c
,解方程组可得
+ 0 í c 3
则 f x x2 - 4x + 3
所以 f -1 -1 2 - 4 -1 + 3 8
2．已知函数 f x -x +1， g x x -1 2 ， x R ．
（1）在图1中画出函数 f x ， g x 的图象；
（2）定义："x R ，用m x 表示 f x ， g x 中的较小者，记为m x min f x , g x ，请分别用图
象法和解析式法表示函数m x ．（注：图象法请在图 2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
【解析】（1） f x ， g x 的图象如下图所示：
2
（2）当 x 0 时， x -1 -x +1，则m x f x -x +1；
当0 < x <1 2 2时， x -1 < -x +1，则m x g x x -1 ；
x 1 x -1 2当 时， -x +1，则m x f x -x +1；
ì-x +1, x - ,0 1, +
综上所述：m x í .
x -1
2 , x 0,1
m x 图象如下图所示：
3．函数 r f p 的图象如图所示，曲线 l 与直线 m 无限接近，但永不相交．
（1）函数 r f p 的定义域、值域各是什么？
（2）r 取何值时，只有唯一的 p 值与之对应？
【解析】（1）由图可知，函数 r f ( p)的定义域为 -5,0 2,6 ，值域为 0，+ ；
（2）由图可知，当0 r < 2 或 r > 5时，只有唯一的 p 值与之对应，故 r 0,2 U 5, + .
4．画出定义域为{x | -3 x 8，且 x 5}，值域为{y | -1 y 2，y 0}的一个函数的图象.
（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点P(x, y) 的坐标满足-3 x 8，-1 y 2 ，那么其中哪些点不能在图象上？
【解析】1）由题意可知：定义域为{x | -3 x 8，且 x 5}，值域为{y | -1 y 2，y 0}，图象可以是如
下图所示：
（2）由题意可知中：线段 AB : x 5(-1 y 2)，和线段CD : y 0(-3 x 8) 上的点不在图象上如下图所
示：
5．给定数集 A R, B (- ,0]，方程u2 + 2v 0，①
（1）任给u A，对应关系 f 使方程①的解 v 与 u 对应，判断 v f (u)是否为函数；
（2）任给 v B ，对应关系 g 使方程①的解 u 与 v 对应，判断u g(v)是否为函数.
【解析】（1） v
1 1
- u2 2，对于任意u R ，有唯一的 v 0与之对应，所以 v - u ,u R是函数.
2 2
（2）取 v -2 (- ,0]，则u ±2，即对于 v -2，A 中有两个数与 v 对应，所以u g(v)不是函数.
易错点：错求抽象函数的定义域
易错分析： f (g(x)) 定义域不是指 g(x) 的范围，而是指 x 的范围.
答题模板：求抽象函数的定义域
1、模板解决思路
解决本模板问题的要点是知道函数 f (g(x)) 中 g(x) 的范围，也就是函数 f (h(x))中 h(x) 的范围，解不
等式就可得到函数 f (h(x))的定义域．
2、模板解决步骤
第一步：由函数 f (g(x)) 的定义域，即 x 的取值范围，求出 g(x) 的取值范围．
第二步：用集合或区间表示所求定义域．
【易错题 1】函数 f x 的定义域为 0,3 f (x +1)，则函数 y 的定义域是 .
x -1
【答案】 -1,1 1,2
【解析】根据抽象函数求定义域的基本原则可得出关于实数 x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.函
数 f x 0,3 y f (x +1) ì
0 < x +1<3
定义域为 ，对于函数 ，有 ，
x í-1 x -1 0
解得-1 < x < 2且 x 1
y f (x +1)因此函数 的定义域为 -1,1 1,2 .
x -1
故答案为： -1,1 1,2 .
【易错题 2】若函数 f x + 3 的定义域为 -5, -2 ，则F x f x +1 + f x -1 的定义域为 .
【答案】 -1,0
ì-2 x +1 1
【解析】先由函数 f x + 3 的定义域求出 x + 3的范围，进而可得 í 2 x 1 1，解不等式组可得函数F x - -
的定义域．函数 f x + 3 的定义域为 -5, -2 ，则-5 x -2，
可得-2 x + 3 1
ì-2 x +1 1 ì-3 x 0
进而有 í -1≤ x≤ 0
-2 x -1 1
，解得 í
-1
，故
x 2
则F x f x +1 + f x -1 的定义域为 -1,0

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