资源简介

第 01 讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：导数的概念和几何意义 ............................................................................................................................4
知识点 2：导数的运算 ................................................................................................................................................4
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6
题型一：导数的定义及变化率问题 ...........................................................................................................................6
题型二：导数的运算 ...................................................................................................................................................7
题型三：在点 P 处的切线...........................................................................................................................................9
题型四：过点 P 的切线...............................................................................................................................................9
题型五：公切线问题 .................................................................................................................................................10
题型六：已知切线或切点求参数问题 .....................................................................................................................11
题型七：切线的条数问题 .........................................................................................................................................12
题型八：利用导数的几何意义求最值问题 .............................................................................................................13
题型九：牛顿迭代法 .................................................................................................................................................14
题型十：切线平行、垂直、重合问题 .....................................................................................................................16
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题 .............................................................................................................17
题型十二：切线斜率的取值范围问题 .....................................................................................................................18
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................18
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................19
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................20
易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置 .........................................................................................................20
答题模板：求曲线过点 P 的切线方程.....................................................................................................................20
考点要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷第 6题，5分
2024年 I卷第 13题，5分 高考对本节内容的考查相对稳定，考查内
（1）导数的定义
2023年甲卷第 8题，5分 容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导
（2）导数的运算
2022年 I卷第 15题，5分 数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为
（3）导数的几何意义
2021年甲卷第 13题，5分 主．
2021年 I卷第 7题，5分
复习目标：
（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．
（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．
（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
知识点 1：导数的概念和几何意义
1、概念
f (x) f (x + Dx) - f (x )函数 在 x = x Dy0 处瞬时变化率是 lim = lim 0 0 ，我们称它为函数 y = f x 在 x = xDx 0 Dx Dx 0 Dx 0
处的导数，记作 f (x0 ) 或 y x= x ．0
知识点诠释：
①增量 Dx 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于 0． Dx 0 的意义： Dx 与 0 之间距离要多近有
多近，即 | Dx - 0 |可以小于给定的任意小的正数；
②当 Dx 0 时，Dy 在变化中都趋于 0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
Dy f (x0 + Dx) - f (x= 0 ) 无限接近；
Dx Dx
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即 f (x0 ) = lim
Dy lim f (x0 + Dx) - f (x )= 0 ．
Dx 0 Dx Dx 0 Dx
2、几何意义
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数 f (x0 ) 的几何意义即为函数 y = f (x) 在点 P(x0 ，y0 )处的切线的斜率．
3、物理意义
函数 s = s(t)在点 t0 处的导数 s (t0 ) 是物体在 t0 时刻的瞬时速度v，即 v = s (t0 ) ； v = v(t) 在点 t0 的导数
v (t0 ) 是物体在 t0 时刻的瞬时加速度a，即 a = v (t0 ) ．
【诊断自测】设 f x f (1) - f (1+ 2Δx)为 R 上的可导函数，且 f 1 =1，则 lim ＝（ ）
Δx 0 Δx
A．2 B．－2 C．1 D．－1
知识点 2：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
f (x) = c （c为常数） f (x) = 0
f (x) = xa (a Q) f (x) = axa-1
f (x) = ax (a > 0 x，a 1) f (x) = a lna
f (x) = log a x (a > 0，a 1) f (x) 1=
x ln a
f (x) =ex f (x) = ex
f (x) = ln x f (x) 1=
x
f (x) = sin x f (x) = cos x
f (x) = cos x f (x) = -sin x
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：[ f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) ；
（2）函数积的求导法则：[ f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x) ；
f (x) f (x)g(x) - f (x)g (x)
（3）函数商的求导法则： g(x) 0 ，则[ ] = ．
g(x) g 2 (x)
3、复合函数求导数
复合函数 y = f [g(x)]的导数和函数 y = f (u) ，u = g(x)的导数间关系为 y x = yu ux ：
【诊断自测】求下列函数的导数：
(1) y = xcosx - lnx sinx；
(2) y x cos x + x= + ．
x2 +1 ln x
解题方法总结
1、在点的切线方程
切 线 方 程 y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) 的 计 算 ： 函 数 y = f (x) 在 点 A(x0 ，f (x0 )) 处 的 切 线 方 程 为
ìy0 = f (x0 )
y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) ，抓住关键 í ．
k = f (x0 )
2、过点的切线方程
设切点为 P(x0 ，y0 )，则斜率 k = f (x0 )，过切点的切线方程为： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因为切线方程过点 A(m，n)，所以 n - y0 = f (x0 )(m - x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有几个值，就有几条
切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
3、高考常考的切线方程
（1） y = x 是 y = ln(x +1)的切线，同时 y = x -1是 y = ln x 1的切线，也是 y = 1 - 和 y = xlnx 的切线.
x
（2） y = x 是 y = sin x 的切线， y = x 是 y=tan x 的切线.
（3） y = ex 是 y = e x 的切线， y = x +1是 y = e x 的切线.
题型一：导数的定义及变化率问题
【典例 1-1】若函数 y = f x f (x + h) - f (x - h)在区间 ( a , b ) 内可导，且 x0 (a,b) ，则 lim 0 0 的值为（ ）
h 0 h
A． f x0 B． 2 f x 0
C．-2 f x0 D．0
【典例 1-2】如图 1，现有一个底面直径为10cm 高为 25cm 的圆锥容器，以 2cm3 /s 的速度向该容器内注入
溶液，随着时间 t （单位：s）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图 2 所示，忽略容器的厚度，
则当 t = π时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
3 300 3A cm / s B 300
3 3
cm / s C 150 cm / s D 150． ． ． ． cm / s
6π 5π 3π 2π
【方法技巧】
利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解．
【变式 1-1】（多选题）已知 f x ， g x 在 R 上连续且可导，且 f x0 0，下列关于导数与极限的说法
中正确的是（ ）
f x0 -Δx - f x0 f t + Δh - f t -ΔhA． lim = f x0 B． lim

= f t
Δx 0 Δx Δh 0 2Δh
f
C lim x +3Δx - f x
g x + Δx - g x g x
． 0 0

= f x D． lim
0 0 = 0
Δx 0 3Δx 0 Δx 0 f x0 + Δx - f x0 f x0
【变式 1-2】（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整
W = f t - f b - f a改、设企业的污水排放量W t 与时间 的关系为 ，用 的大小评价在 a,b 这段时间内
b - a
企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正
确的命题是（ ）
A．在 t1,t2 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在 t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在 t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在 0, t1 ， t1,t2 ， t2,t3 这三段时间中，在 t1,t2 的污水治理能力最强
题型二：导数的运算
【典例 2-1】求下列函数的导数．
(1) y = xe x
ln x
(2) y = ；
x2 +1
(3) y = 2sin(1-3x)
3
(4) y = - ln x+ 1+ x2 .
4
1
【典例 2-2】已知函数 f ( x ) x-1 2满足满足 f (x) = f (1)e - f (0)x + x ；求 f ( x ) 的解析式
2
【方法技巧】
（1）对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求
导问题．
(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
f x 1 2【变式 2-1】已知 = x + 2xf 2022 - 2022lnx，则 f 2022 = .
2
【变式 2-2】设函数 f x = x x +1 x +2 L x +10 ，则 f (0) 的值为（ ）
A．10 B．59 C．10 9 … 2 1 D．0
a a = 2 f x 1【变式 2-3】在等比数列 n 中， 1012 ，若函数 = x x - a1 x - a2 L x - a2023 ，则 f 0 =2
（ ）
A． -2 2022 B． 2 2 0 2 2 C． -2 2023 D． 2 2 0 2 3
【变式 2-4】若定义域都为 R 的函数 f x 及其导函数 f x ，满足对任意实数 x 都有
2024
f x - f 2025- x = 2x-2025，则 f k = ．
k =1
【变式 2-5】求下列函数的导数：
x x
(1) y = 2 e2 + xe2 ÷ ；
è
(2) y = a 2 x + x 2 ；
(3) y = sin4 3x ×cos3 4x；
y x ln x(4) = - ln x +1 ．
x +1
题型三：在点 P 处的切线
1
【典例 3-1】（湖南省 2024 届高三数学模拟试题）曲线 y = ln 2x在点 ,0÷处的切线方程为（2 ）è
A．2x - y +1 = 0 B．2x - y -1= 0 C． 2x - y + 2 = 0 D． 2x - y - 2 = 0
【典例 3-2】（2024·全国·模拟预测）已知曲线 f x = xlnx在点 1, f 1 处的切线为 l ，则 l 在 y 轴上的截距
为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【方法技巧】
ìy
y = f (x) 0
= f (x0 )
函数 在点 A(x0 ，f (x0 )) 处的切线方程为 y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) ，抓住关键 í ．
k = f (x0 )
【变式 3-1】曲线 f ( x) = 2e x - sin x - 2 在点 (0, f (0))处的切线方程为（ ）
A． y = 3x B． y = 2x C． y = x D． y = -x
【变式 3-2】（2024·山东济宁·三模）已知函数 f ( x ) 为偶函数，当 x < 0 时， f (x) = ln(-x) + x2 ，则曲线
y = f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程是（ ）
A．3x - y - 2 = 0 B． 3x + y - 2 = 0 C．3x + y + 2 = 0 D．3x - y + 2 = 0
【变式 3-3】（2024·四川·三模）已知函数 f x = ax +a +cos x a R ，则曲线 y = f x 上一点 0,-2 处的
切线方程为（ ）
A． 2x + y + 2 = 0 B． x + y +2 = 0
C．3x + y + 2 = 0 D． 3x + y - 2 = 0
题型四：过点 P 的切线
【典例 4-1】已知函数 f x = x3 -6x2 +9x -7，直线 l 过点 0,1 且与曲线 y = f x 相切，则直线 l 的斜率为
（ ）
A．24 B． 24 或 -3 C．45 D．0 或 45
【典例 4-2】过点 0,m 可作 f x = ex - x的斜率为 1 的切线，则实数m= .
【方法技巧】
设切点为 P(x0 ，y0 )，则斜率 k = f (x0 )，过切点的切线方程为： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因为切线方程过点 A(a,b) ，所以 b - y0 = f (x0 )(a - x0 ) 然后解出 x0 的值．
4 A 8C : f x = x + ,0 【变式 4-1】曲线 2 过点 ÷ 的切线方程为 .x è 3
【变式 4-2】过点 0,-2 作曲线 f x = ln x-2的切线，则切线方程为 .
【变式 4-3】（2024·山西吕梁·二模）若曲线 f x = lnx在点P x0, y 0 处的切线过原点O 0,0 ，则
x0 = .
【变式 4-4】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数 f x = aln x a 0 ，过原点作曲线
y = f x 的切线 l ，则切线 l 的斜率为 ．
题型五：公切线问题
【典例 5-1】若直线 y = kx + b 与曲线C1 : y = 3 + e x x + 2和曲线C 2 : y = e 同时相切，则b =（ ）
9 3
A． - ln
3 1
B． 2 - ln2 C． - ln
1
D．3 - ln3
2 2 2 2 2
【典例 5-2】（2024·湖南长沙·一模）若直线 y = k1 x+1 -1与曲线 y = ex 相切，直线 y = k2 x+1 -1与曲线
y = ln x相切，则 k1k2 的值为（ ）
A．1 B． e C． 2 D． e-1
【方法技巧】
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关
切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
【变式 5-1】（2024·广东茂名·一模）曲线 y = lnx与曲线 y = x 2 + 2ax 有公切线，则实数 a 的取值范围是（ ）

A． - ,
1
- ù é
1 1 1
ú B． ê- , +
ù é
÷ C．2 2
- , ú D． ê ,+ 2 2 ÷è è
【变式 5-2】（2024· 1辽宁大连·一模）斜率为1的直线 l 与曲线 y = ln(x + a)和圆 x2 + y 2 = 都相切，则实数 a
2
的值为（ ）
A． 0或2 B．-2或 0 C．－1或 0 D． 0或1
【变式 5-3】若存在直线 y = kx + b ，使得函数F x 和G x 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足
F x kx + b G x 2，则称此直线 y = kx + b 为F x 和G x 的“隔离直线”.已知函数 f x = x ，
g x = alnx(a > 0)，若 f x 和 g x 存在唯一的“隔离直线”，则a = （ ）
A． e B． 2 e C． e D．2e
【变式 5-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = ex-1, g x 1= ex2 ，若直线 l 是曲线 y = f x 与曲线
4
y = g x 的公切线，则 l 的方程为（ ）
A． ex - y = 0 B．ex- y-e =0
C． x- y = 0 D． x - y -1 = 0
题型六：已知切线或切点求参数问题
【典例 6-1】若直线 y = kx 与曲线 y = log3x相切，则实数 k = （ ）
A． e ln 3 B． elog3e
1 1
C． D． log e
e e 3
【典例 6-2】（2024·全国·模拟预测）若直线 y = 2 x - b 与曲线 f (x) = e2 x - 2ax(a > -1) 相切，则b的最小值为
（ ）
A．-e B．－2 C．－1 D．0
【方法技巧】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处
的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
1
【变式 6-1 2】已知直线 y = kx + b 与函数 f x = x + lnx的图象相切，则 k - b 的最小值为 ．
2
【变式 6-2】（2024· x重庆·模拟预测）已知直线 y = ax + b 与曲线 y = e x 相切于点 x0 , e 0 ，若 x0 - ,3 ，则
a + b 的取值范围为（ ）
A． - , e B 3． -e ,e ù C． 0,e D． 0,e3 ù
【变式 6-3】已知函数 g x = x ax+2ln x ，若曲线 y = g x 在 x = 1处的切线方程为 y = 6x + b，则
a + b = ．
1
【变式 6-4】（2024·四川·模拟预测）已知m > 0, n > 0 ，直线 y = x + m +1与曲线 y = lnx -n+3相切，则
e
m+ n = ．
【变式 6-5】对给定的实数b，总存在两个实数 a ，使直线 y = ax - b 与曲线 y = ln x-b 相切，则b的取值
范围为 .
题型七：切线的条数问题
【典例 7-1】若过点 1,b 可以作曲线 y = ln x +1 的两条切线，则（ ）
A． ln 2 < b < 2 B．b > ln 2
C． 0 < b < ln 2 D．b > 1
【典例 7-2】若过点 a,b 可以作曲线 y = ln x的两条切线，则（ ）
A． eb > 0 > a B． ln a > 0 > b C． eb > a > 0 D． ln a > b > 0
【方法技巧】
设切点为 P(x0 ，y0 )，则斜率 k = f (x0 )，过切点的切线方程为： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因为切线方程过点 A(a,b) ，所以 b - y0 = f (x0 )(a - x0 ) 然后解出 x0 的值，有多少个解对应有多少条
切线．
【变式 7-1】（2024·内蒙古·三模）若过点 a,2 可以作曲线 y = lnx的两条切线，则 a 的取值范围为（ ）
A． - , e2 B． - ,ln2
C． 0,e2 D． 0,ln2
y ax +1【变式 7-2】若曲线 = x 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数 a 的值为（ ）e
1 1
A． B 2． C 3． D．
4 4 3 3
x
【变式 7-3】（2024·全国·二模）若曲线 f x = x 有三条过点 0,a 的切线，则实数 a 的取值范围为（e ）
1 4 1 4
A． 0, e2 ÷
B． 0, ÷ C． 0, ÷ D． 0, ÷
è è e2 è e è e
【变式 7-4 f x = x3】已知 - x，如果过点 2,m 可作曲线 y = f x 的三条切线.则下列结论中正确的是（ ）
A．-1 < m < 8 B．0 < m < 7 C． -3 < m < 5 D． -2 < m < 7
【变式 7-5】已知函数 f x 1= - x > 0 ，若过点P a,b 可作两条直线与曲线 y = f x 相切，则下列结论
x
正确的是（ ）．
A．-1 < ab < 0 B．0 < ab < 1
C．a2 +b2 的最大值为 2 D．eb > a
【变式 7-6】过点 2,0 f x = xex 1 1作曲线 的两条切线，切点分别为 x1, f x1 ， x2 , f x2 ，则 + =x1 x2
（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【变式 7-7】（2024·高三· x北京海淀·期末）若关于 x 的方程 log a x - a = 0 （ a > 0 且 a 1）有实数解，则 a 的
值可以为（ ）
5
A．10 B． e C．2 D．
4
题型八：利用导数的几何意义求最值问题
【典例 8-1】（2024· 3 2四川眉山·三模）若关于 x 的不等式 lnx ax -bx -1 a 0 b恒成立，则 的最大值为
a
（ ）
1 2 1 2
A．
e2
B． 2 C． D．e e e
3x + y +1
【典例 8-2】（2024·四川凉山·二模）已知点P x, y 是曲线 y = x 2 上任意一点，则 的最大值为
x2 + y +1 2
（ ）
A 2 5 - 15 B 2 5 - 15 C 15 + 2 5 D 15 + 2 5． ． ． ．
10 5 10 5
【方法技巧】
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
2 2
【变式 8-1】（2024·湖北·模拟预测）设D = x - a + ex - 2 a + a +1，其中 e 2.71828 ，则D的最小值
为（ ）
A． 2 B． 2 +1 C． 3 D． 3 +1
【变式 8-2】（2024·辽宁辽阳·一模）设曲线 y = x 4 在点 1,1 处的切线为 l，P 为 l 上一点，Q 为圆
C : x - 5 2 17+ y2 = 上一点，则 PQ 的最小值为（
4 ）
A 17 B 17 C 17 D 17． ． ． ．
2 3 4 5
【变式 8-3】（2024·宁夏银川·一模）已知实数 x, y 满足 2x2 - 5ln x - y = 0，m R ，则
x2 + y2 - 2mx + 2my + 2m2 的最小值为（ ）
A 9 B 3 2． ． C 2． D 1．
2 2 2 2
【变式 8-4】设点 P 在曲线 y = x2 +1(x 0) 上，点Q在曲线 y = x - 1(x 1)上，则 | PQ |的最小值为 .
2
【变式 8-5】已知 y = (x - a)2 + xex - a +1 a R ，则 y 的最小值为 .
1
【变式 8-6】（2024· 2高三·山东青岛·期末）已知动点 P，Q 分别在圆M : (x - ln m) + (y - m)2 = 和曲线
4
y = ln x上，则 PQ 的最小值为 ．
1
【变式 8-7】（2024·河南·一模）记函数 y = e x 的图象为C1，作C1关于直线 y = x 的对称曲线得到C2，则曲2
线C1上任意一点与曲线C2上任意一点之间距离的最小值为 ．
x
【变式 8-8 e】已知函数 y = 的图象与函数 y = ln(2x)的图象关于某一条直线 l 对称，若 P ，Q分别为它们
2
图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A 2 ln 2 B 2 ln 2 C 2(1+ ln 2)． ． ． D． 2 1- ln 2
2 4 2
【变式 8-9】（2024· 2全国·模拟预测）若函数 f x = x +3x -4lnx，点 P 是曲线 y = f x 上任意一点，则点
P 到直线 l : x - y -3 = 0的距离的最小值为（ ）
A B 3 2 6． 4 2 ． C．3 2 D．
2 2
8-10 A a, a , B b, eb【变式 】若点 a,b R ，则 A, B 两点间距离 AB 的最小值为 .
【变式 8-11】实数 a,b 1
2
满足 3 e
a -b + a2 = 3ln a + b +1， c R , a - c 2 + b + c 2 的最小值是（
a ）
A．4 B． 0 C．2 D．10
【变式 8-12】已知 y = mx + n
n
是曲线 f (x) = ex 的一条切线，则 2 的最小值为（m ）
1 1
A． - 3 B． -
1
2 C． - e D．-1e e
题型九：牛顿迭代法
【典例 9-1】（2024·山东潍坊·三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 f x = 0的根就
是函数 f x 的零点 r ，取初始值 x0, f x 的图象在点 x0 , f x0 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x1, f x
的图象在点 x1, f x1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到 x1, x2 ,L, xn ，它们越来越
接近 r ．设函数 f x = x2 +bx x 16， 0 = 2，用牛顿迭代法得到 x1 = ，则实数b =（19 ）
1 2 3A．1 B． 2 C． 3 D． 4
-x
【典例 9-2】已知函数 f x = e ，若曲线 y = f x 在 x = 0 处的切线交 x 轴于点 a1,0 ，在 x = a1处的切线
交 x 轴于点 a2,0 ，依次类推，曲线 y = f x 在 x = an-1处的切线交 x 轴于点 a n , 0 ，则
1 1 1
+ + +L 1+
a1a2 a2a3 a3a4 a a
的值是（ ）
2023 2024
2025 2023 2022 2023
A． B． C． D．
2024 2022 2023 2024
【方法技巧】
数形结合处理.
【变式 9-1】（2024·湖北咸宁·模拟预测）英国数学家牛顿在 17 世纪给出一种求方程近似根的方法一
Newton-Raphson method 译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设 r 是 f x = 0的根，选取 x0 作为 r 的初始近似值，
过点 x0, f x0 做曲线 y = f x 的切线 l ： y - f x0 = f x0 x- x0 ，则 l 与 x 轴交点的横坐标为
f
x x 1 = x 00 - f x 0 0 f x ，称x1是 r 的一次近似值；重复以上过程，得 r 的近似值序列，其中0
f
x x x= - n n+1 n f x 0 xf x n ，称 n +1 是 r 的 n + 1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零n
点大小，则函数 f x = lnx+ x-3的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后 3 位，参考数据：
ln2 = 0.693）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
f x
【变式 9-2】（2024·北京·模拟预测）给定函数 f x ，若数列 x nn 满足 xn+1 = xn - f x ，则称数列 xn 为n
函数 f x 2的牛顿数列．已知 xn 为 f x = x - x-2的牛顿数列， a
xn - 2
n = ln ，且a1 =1, xn < -1 n Nx +1 + ，n
数列 an 的前n项和为 Sn ．则S2023 =（　　）
A． 2 2023 - 1 B． 2 2024 - 1
1 2022 1 2023C ． ÷ -1 D

．
2 ÷
-1
è è 2
【变式 9-3】英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用
f x
广泛，若数列 xn 满足 xn+1 = xn - n 2f ，则称数列 xn 为牛顿数列．如果函数 f x = 2x -8x ，数列 xn n
x + 2
为牛顿数列，设 an = ln n ，且 a1 = 1， xn > 2．数列 an 的前nx - 2 项和为 Sn ，则 S n = ．n
【变式 9-4】令函数 f (x) = x2 + x -1，对抛物线 y = f (x) ，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点 (1,1) 处
作抛物线的切线，交 x 轴于 x1,0 ；在点 x1, f x1 处作抛物线的切线，交 x 轴于 x2,0 ；在点 x2 , f x2
处作抛物线的切线，交 x 轴于 xn ,0 ；……由此能得到一个数列 xn 随着 n 的不断增大， xn会越来越接近
函数 f x 的一个零在点 x0 ，因此我们可以用这种方法求 f x 零点 x0 的近似值.①设 xn+1 = g xn ，则
g xn = ；②用二分法求方程 x2 + x -1= 0在区间(0,1)上的近似解，根据前 4 步结果比较，可以得到
牛顿切线法的求解速度 （快于 等于 慢于）二分法.
题型十：切线平行、垂直、重合问题
【典例 10-1】（2024·高三·广东深圳·期末）已知曲线 E : y = e x 与 y 轴交于点 A ，设 E 经过原点的切线为 l ，
设 E 上一点 B 横坐标为m(m 0)，若直线 AB / /l ，则m所在的区间为（ ）
3 3
A． -1 < m < 0 B． 0 < m < 1 C．1< m < D． < m< 2
2 2
【典例 10-2】（2024·高三·广西·开学考试）曲线 f (x) = ln x + 2x +3在 A 点处的切线与直线 x + 3y - 2 = 0垂直，
则切线方程为（ ）
A． x + 3y + 2 = 0 B．3x - y -1= 0
C． x - 3y + 2 = 0 D．3x - y + 2 = 0
【方法技巧】
利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.
【变式 10-1】（2024· 2全国·模拟预测）已知函数 f x = x + a + lnx 的图象上存在不同的两点 A, B ，使得曲
线 y = f x 在点 A, B 处的切线都与直线 x + 2y = 0垂直，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． - ,1- 2 B． 1- 2,0 C． - ,1+ 2 D． 0,1+ 2
【变式 10-2】（2024·河北邢台·二模）已知函数 f x = x2 +2ln x的图像在 A x1, f x1 ，B x2, f x2 两个
不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A． x1 + x2 = 2 x
10 10
B． 1 + x2 = C． x3 1
x2 = 2 D． x1x2 = 3
【变式 10-3】已知函数 f x = ea × x+ ln x+a a R ，过坐标原点 O 作曲线 y = f x 的切线 l，切点为 A，
过 A 且与 l 垂直的直线 l1交 x 轴于点 B，则 OAB 面积的取值范围是（ ）
2
A． e+1,+ B 2． 2e,+ C． ée ,+ D． é e +1 , +
ìx2 + x, x < 0
【变式 10-4】已知函数 f (x) =

í 1 的图象上存在不同的两点A 、 B ，使得曲线 y = f (x) 在这两
- , x > 0 x
点处的切线重合，则点A 的横坐标的取值范围可能是（ ）
1
A． ( 1- ， 0)2 B． (-1, - ) C
1
． ( 1) (1, 2)
2 2
， D．
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题
【典例 11-1 3】已知函数 f x = asin3x +bx +4 a R,b R ， f x 为 f x 的导函数，则
f 2016 + f -2016 + f 2015 - f -2015 = .
1
【典例 11-2】（2024·海南海口·二模）已知函数 f x 的定义域为R ， f x +1 是偶函数，当 x < 时，
2
f x = ln 1-2x ，则曲线 y = f x 在点 2, f 2 处的切线斜率为（ ）
2 2
A． B． - C．2 D．-2
5 5
【方法技巧】
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
【变式 11-1】（2024·北京·模拟预测）记函数 f x = sin wx +j w > 0,0 f x f T 0 y f x π为 的导函数．若 ÷ = ， = + ÷ 为偶函数，则w的最小值为（8 8 ）．è è
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 11-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = x3 + a-1 x2 - x+b是定义在 m，2+m 上的奇函数，
f x 为 f x 的导函数，则 f a+b+m =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
x
【变式 11-3】（2024·全国·模拟预测）已知 f x 为奇函数，且当 x < 0 时， f x = x ，其中 e 为自然对数e
的底数，则曲线 f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 ．
题型十二：切线斜率的取值范围问题
1
【典例 12-1】过函数 f (x) = e2 x - x 图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（
2 ）
é 3p é p 3p
A． ê0, ÷ B． ê0, ÷ ,p

÷
4 2 è 4
3p ,p p 3p C． ÷ D． ,
è 4 è 2 4 ÷
【典例 12-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数 f x = a x - x1 x - x2 x - x3 (a > 0)，设曲线 y = f x 在
点 x i , f x i 处切线的斜率为ki i =1,2,3 ，若 x1, x2 , x3均不相等，且 k2 = -2 ，则 k1 + 4k3 的最小值为 ．
【方法技巧】
利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.
b
【变式 12-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线 y = kx + b 恒在曲线 y = ln x+2 的上方，则 的取值范围
k
是（ ）
A． 1,+ 3B． ,+ ÷ C． 0,+
4 ,+ D．
4 ÷è è 5
2
【变式 12-2】点 P 在曲线 y = x3 - x + 上移动，设点 P 处切线的倾斜角为a ，则角a 的范围是（ ）
3
p p 3p 3p p 3p
A．[0, ] B． ( , ] C．[ ,p ) D．[0, ) [ ,p )
2 2 4 4 2 4
1．（2024 6年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 f x = x + 3x -1在 0, -1 处的切线与坐标轴围成的面积
为（ ）
1
A． B 3 C 1 3． ．
6 2 2
D． -
2
ex2 + 2sin x．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数 f x = 2 ，则曲线 y = f x 在 0,1 处的切线与1+ x
两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
1 1
A B C 1 2． ． ． 2 D．6 3 3
x e
3 2023 e．（ 年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 y = 在点 1, ÷处的切线方程为（ ）x +1 è 2
y e x e e e e 3eA． = B． y = x C． y = x + D． y = x +
4 2 4 4 2 4
4．（多选题）（2022 年新高考全国 I 卷数学真题）已知函数 f (x) = x3 - x +1，则（ ）
A． f ( x ) 有两个极值点 B． f ( x ) 有三个零点
C．点(0,1)是曲线 y = f (x) 的对称中心 D．直线 y = 2x是曲线 y = f (x) 的切线
5．（2022 年新高考全国 I 卷数学真题）若曲线 y = (x + a)ex 有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围
是 ．
1．在高台跳水运动中， t s 时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是 h(t) = -4.9t 2 + 4.8t +11．高度
h 关于时间 t 的导数是速度 v，速度 v 关于时间 t 的导数 v 的物理意义是什么？试求 v， v 关于时间 t 的函数
解析式．
2．求下列函数的导数；
(1) y = 2x3 - 3x2 + 5
2 4
(2) y = +
x x +1
(3) y = 2 x + log 2 x
(4) y = xnex
3
(5) y x -1=
sin x
sin x
(6) y =
sin x + cos x
3．设函数 f x = 1- ex 的图象与 x 轴相交于点 P，求曲线在点 P 处的切线方程．
4．已知函数 f x p p满足 f (x) = f ( )sin x - cos x ，求 f x 在 x = 的导数．
4 4
5．设曲线 y = e2ax 在点 0,1 处的切线与直线2x - y +1 = 0垂直．求 a 的值．
易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置
易错分析：对导数的几何意义理解错误，切线的斜率 k 是在切点处的导数．解题时，要注意所给的点
是否是切点．
答题模板：求曲线过点 P 的切线方程
1、模板解决思路
求函数图象过某点的切线方程，关键是求该函数的导函数，先设出切点坐标，再将切点的横坐标代入，
即可得切线的斜率，最后根据切点及斜率写出切线方程．
2、模板解决步骤
第一步：设切点 A x0 , y0 ，则以 A 为切点的切线方程为 y - y0 = f x0 x - x0 ；
第 二 步 ： 根 据 题 意 点 B x1, y1 在 切 线 上 ， 点 B x1, y1 在 曲 线 y = f (x) 上 ， 得 到 方 程 组
ìy1 = f x1 ,
í ，从而求出切点 A x , y ，代入方程 y - y = f xy - y = f x x - x 0 0 0 0 x - x0 ，即可求得切 1 0 0 1 0
线方程．
x +1 1
【易错题 1】（2024·高三·山东德州·开学考试）过点 0,e 与曲线 y = x x < - ÷相切的直线与 x 轴的交e è 2
点坐标为 .
【易错题 2】已知曲线方程为 y = x 2 ，则过点 A(2, 4) 且与曲线相切的直线方程为 .第 01 讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：导数的概念和几何意义 ............................................................................................................................4
知识点 2：导数的运算 ................................................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6
题型一：导数的定义及变化率问题 ...........................................................................................................................6
题型二：导数的运算 ...................................................................................................................................................9
题型三：在点 P 处的切线.........................................................................................................................................11
题型四：过点 P 的切线.............................................................................................................................................13
题型五：公切线问题 .................................................................................................................................................15
题型六：已知切线或切点求参数问题 .....................................................................................................................19
题型七：切线的条数问题 .........................................................................................................................................22
题型八：利用导数的几何意义求最值问题 .............................................................................................................28
题型九：牛顿迭代法 .................................................................................................................................................38
题型十：切线平行、垂直、重合问题 .....................................................................................................................42
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题 .............................................................................................................46
题型十二：切线斜率的取值范围问题 .....................................................................................................................48
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................50
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................53
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................54
易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置 .........................................................................................................54
答题模板：求曲线过点 P 的切线方程.....................................................................................................................54
考点要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷第 6题，5分
2024年 I卷第 13题，5分 高考对本节内容的考查相对稳定，考查内
（1）导数的定义
2023年甲卷第 8题，5分 容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导
（2）导数的运算
2022年 I卷第 15题，5分 数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为
（3）导数的几何意义
2021年甲卷第 13题，5分 主．
2021年 I卷第 7题，5分
复习目标：
（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．
（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．
（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
知识点 1：导数的概念和几何意义
1、概念
Dy f (x + Dx) - f (x )
函数 f (x) 在 x = x0 处瞬时变化率是 lim = lim 0 0 ，我们称它为函数 y = f x 在 x = xDx 0 Dx Dx 0 Dx 0
处的导数，记作 f (x0 ) 或 y x= x ．0
知识点诠释：
①增量 Dx 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于 0． Dx 0 的意义： Dx 与 0 之间距离要多近有
多近，即 | Dx - 0 |可以小于给定的任意小的正数；
②当 Dx 0 时，Dy 在变化中都趋于 0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
Dy f (x
= 0
+ Dx) - f (x0 ) 无限接近；
Dx Dx
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
Dy
刻的瞬间变化率，即 f (x0 ) = lim = lim
f (x0 + Dx) - f (x0 ) ．
Dx 0 Dx Dx 0 Dx
2、几何意义
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数 f (x0 ) 的几何意义即为函数 y = f (x) 在点 P(x0 ，y0 )处的切线的斜率．
3、物理意义
函数 s = s(t)在点 t0 处的导数 s (t0 ) 是物体在 t0 时刻的瞬时速度v，即 v = s (t0 ) ； v = v(t) 在点 t0 的导数
v (t0 ) 是物体在 t0 时刻的瞬时加速度a，即 a = v (t0 ) ．
f (1) - f (1+ 2Δx)
【诊断自测】设 f x 为 R 上的可导函数，且 f 1 =1，则 lim ＝（ ）
Δx 0 Δx
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】B
f 1 - f 1+ 2Dx
【解析】因为 f 1 lim = =1，
Dx 0 -2Dx
f
lim 1 - f 1+ 2Dx 所以 = -2 .
Dx 0 Dx
故选：B．
知识点 2：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
f (x) = c （c为常数） f (x) = 0
f (x) = xa (a Q) f (x) = axa-1
f (x) = ax (a > 0，a 1) f (x) = ax lna
f (x) = log a x (a > 0，a 1) f (x) 1=
x ln a
f (x) =ex f (x) = ex
f (x) = ln x f (x) 1=
x
f (x) = sin x f (x) = cos x
f (x) = cos x f (x) = -sin x
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：[ f (x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) ；
（2）函数积的求导法则：[ f (x)g(x)] = f (x)g(x) + f (x)g (x) ；
f (x) f (x)g(x) - f (x)g (x)
（3）函数商的求导法则： g(x) 0 ，则[ ] = ．
g(x) g 2 (x)
3、复合函数求导数
复合函数 y = f [g(x)]的导数和函数 y = f (u) ，u = g(x)的导数间关系为 y x = yu u

x ：
【诊断自测】求下列函数的导数：
(1) y = xcosx - lnx sinx；
(2) y x cos x + x= + ．
x2 +1 ln x
【解析】（1） y = cos x + x -sin x sin x- + ln x cos x
ù 1
ú = cos x 1- ln x - sin x
x + .
è x ÷ è x
x2 +1
- x 2x 1- sin x ln x cos x + x-
（2） y = 2 x + x
x2 2+1 ln x 2
1- 3x2 x 1- sin x ln x - cos x + x
= 2 x + x
2 2x +1 ln x 2
1- 3x2 x 1- sin x ln x - cos x + x
= + .
2 x 2 2x2 +1 x ln x
解题方法总结
1、在点的切线方程
切 线 方 程 y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) 的 计 算 ： 函 数 y = f (x) 在 点 A(x0 ，f (x0 )) 处 的 切 线 方 程 为
ìy0 = f (x0 )
y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) ，抓住关键 í ．
k = f (x0 )
2、过点的切线方程
设切点为 P(x0 ，y0 )，则斜率 k = f (x0 )，过切点的切线方程为： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因为切线方程过点 A(m，n)，所以 n - y0 = f (x0 )(m - x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有几个值，就有几条
切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
3、高考常考的切线方程
（1） y = x 是 y = ln(x +1) 1的切线，同时 y = x -1是 y = ln x的切线，也是 y = 1 - 和 y = xlnx 的切线.
x
（2） y = x 是 y = sin x 的切线， y = x 是 y=tan x 的切线.
（3） y = ex 是 y = e x 的切线， y = x +1是 y = e x 的切线.
题型一：导数的定义及变化率问题
f (x + h) - f (x
【典例 1-1】若函数 y = f x 在区间 ( a , b ) 内可导，且 x (a,b) ，则 lim 0 0 - h)0 的值为（h ）h 0
A． f x0 B． 2 f x 0
C．-2 f x0 D．0
【答案】B
【解析】由题意知，
f
lim x0 + h - f x0 - h f x0 + h - f x0 - h f x0 + h - f x0 - h= lim2· = 2lim = 2 f x
h 0 h h 0 2h h 0 x0 + h - x - h 0
.
0
故选：B
【典例 1-2】如图 1，现有一个底面直径为10cm 高为 25cm 的圆锥容器，以 2cm3 /s 的速度向该容器内注入
溶液，随着时间 t （单位：s）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图 2 所示，忽略容器的厚度，
则当 t = π时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
3
A 300
3 3 3
． cm / s B 300． cm / s C 150． cm / s D 150． cm / s
6π 5π 3π 2π
【答案】C
【解析】设注入溶液的时间为 t （单位：s）时，溶液的高为 hcm ，
1 π 1
2
h 150t则 ×
3 5 ÷
×h = 2t ，得 h = 3 .
è π
h 1 150因为 = 3 ，
3 πt 2
1 150 3 150
所以当 t = π时， h = 3 = ，
3 π3 3π
3 150
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为 cm / s .
3π
故选：C
【方法技巧】
利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解．
【变式 1-1】（多选题）已知 f x ， g x 在 R 上连续且可导，且 f x0 0，下列关于导数与极限的说法
中正确的是（ ）
f x -Δx - f x
A lim 0 0 f fx B lim t + Δh - f t -Δh ． = ． = f t
Δx 0 Δx 0 Δh 0 2Δh
f x +3Δx - f x g x0 + Δx0 0 lim - g x0 g x C． lim = f x = 0
Δx 0 3Δx 0
D． Δx 0 f x0 + Δx - f x0 f x0
【答案】BCD
f x0 - Dx - f x0 f éx + -Dx ù - f x 【解析】 lim = - lim 0 0 = - f x ，故 A 错；
Dx 0 Dx Dx 0 -Dx 0
f t + Dh - f t - Dh f t + 2Dh - f tlim = lim = f t ，故 B 对；
Dh 0 2Dh Dh 0 2Dh
f
lim x0 +3Dx - f x0 = f x0 ，由导数的定义知 C 对；Dx 0 3Dx
g x0 + Dx - g x0
g x + Dx
lim 0 - g x
lim
0 = Dx 0 Dx
g x
= 0

，故 D 对；
Dx 0 f x0 + Dx - f x0 f x + Dx - f x lim 0 0 f x0
Dx 0 Dx
故选：BCD
【变式 1-2】（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整
f b - f a
改、设企业的污水排放量W 与时间 t 的关系为W = f t ，用- 的大小评价在 a,b 这段时间内
b - a
企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正
确的命题是（ ）
A．在 t1,t2 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在 t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在 t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在 0, t1 ， t1,t2 ， t2,t3 这三段时间中，在 t1,t2 的污水治理能力最强
【答案】D
【解析】设甲企业的污水排放量W 与时间 t 的关系为W = h t ，乙企业的污水排放量W 与时间 t 的关系为
W = g t .
对于 A 选项，在 t1,t
h t2 - h t1
2 这段时间内，甲企业的污水治理能力 h(t) = - t t ，2 - 1
g t2 - g t1
乙企业的污水治理能力 g(t) = - .由图可知，h t1 -h t2 > g t1 - g t t t 2 ，2 - 1
所以 h(t) > g(t) ,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故 A 选项错误；
对于 B 选项，由图可知， h(t)在 t2 时刻的切线斜率小于 g(t)在 t2 时刻的切线斜率，
但两切线斜率均为负值，故在 t2 时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故 B 选项错误；
对于 C 选项，在 t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
故甲、乙两企业的污水排放都达标，故 C 选项错误；
对于 D 选项，由图可知，甲企业在 0, t1 ， t1,t2 ， t2,t3 这三段时间中，
在 t1,t2 时 h(t1) - h(t2 )的差值最大，所以在 t1,t2 时的污水治理能力最强，故 D 选项正确，
故选：D.
题型二：导数的运算
【典例 2-1】求下列函数的导数．
(1) y = xe x
ln x
(2) y =
x2
；
+1
(3) y = 2sin(1-3x)
3
(4) y = - ln x+ 1+ x2 .
4
x x
【解析】（1） y = e + xe = x+1 ex
x2 +1
- 2x ln x 2
（2） y x +1- 2x
2 ln x
= x =
2 2 2 2x +1 x x +1
（3） y = 2 -3 cos(1-3x) = -6cos(1-3x)
3 1 2x 3 x 3 x 1+ x2
（4） y = - + = - + = - +
4x 2 1+ x2 4x 1+ x2 4x 1+ x2
1
【典例 2-2】已知函数 f ( x ) 满足满足 f (x) = f (1)ex-1 - f (0)x + x2；求 f ( x ) 的解析式
2
x-1 1 2
【解析】 f (x) = f (1)e - f (0)x + x f (x) = f (1)ex-1 - f (0) + x
2
令 x = 1得： f (0) =1
f (x) = f (1)ex-1 1- x + x2 f (0) = f (1)e-1 =1 f (1) = e
2
得： f (x) = ex - x
1
+ x2
2
【方法技巧】
（1）对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求
导问题．
(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
1
【变式 2-1 2】已知 f x = x + 2xf 2022 - 2022lnx，则 f 2022 = .
2
【答案】 -2021
1
【解析】因为 f x = x2 + 2xf 2022 - 2022ln x ，
2
f x x 2 f 2022 2022 f 2022 2022 2 f 2022 2022所以 = + - ，所以 = + - ，
x 2022
解得 f 2022 = -2021，
故答案为: -2021 .
【变式 2-2】设函数 f x = x x +1 x +2 L x +10 ，则 f (0) 的值为（ ）
A．10 B．59 C．10 9 … 2 1 D．0
【答案】C
【解析】函数 f (x) = x(x +1)(x + 2)L(x +10)的定义域为R ，
设 g(x) = (x +1)(x + 2)L(x +10)，则 f (x) = xg x ，
所以 f (x) = g x + x × g x
所以 f (0) = g 0 +0 g 0 =1 2 ... 9 10 .
故选：C.
【变式 2-3】在等比数列 an 中， a1012 = 2 ，若函数 f x
1
= x x - a1 x - a2 L x - a2023 ，则 f 0 =2
（ ）
A． -2 2022 B． 2 2 0 2 2 C． -2 2023 D． 2 2 0 2 3
【答案】A
【解析】设 g x = x-a1 x-a2 L x-a2023 ，
1
则 f x = xg x ， f x 1= g x 1+ xg x ，
2 2 2
所以， f 0 1= g 0 .
2
因为 an 是等比数列，且 a1012 = 2 ，
2 2
所以， a1a2023 = a2a2022 = L = a1011a1013 = a1012 = 2 ，
所以， g 0 = 0-a1 0-a2 L 0-a = -1 20232023 × a1a La = -220232 2023 ，
2022
所以， f 0 = -2 .
故选：A.
【变式 2-4】若定义域都为 R 的函数 f x 及其导函数 f x ，满足对任意实数 x 都有
2024
f x - f 2025- x = 2x-2025，则 f k = ．
k =1
【答案】2024
【解析】对 f x - f 2025- x = 2x-2025，两边同时求导导数得 f x + f 2025- x = 2，
则 f 1 + f 2024 = 2， f 2 + f 2023 = 2，L， f 1012 + f 1013 = 2，
2024
从而 f k = 2 1012 = 2024 ．
k =1
故答案为：2024
【变式 2-5】求下列函数的导数：
x x
(1) y = 2 e2 + xe2 ÷ ；
è
(2) y = a 2 x + x 2 ；
(3) y = sin4 3x ×cos3 4x；
y x ln x(4) = - ln x +1 ．
x +1
1 x x 1 x x
【解析】（1） y = 2 e2 + e2 + xe2 ÷ = 3+ x e2
è 2 2
（2） y = 2a 2 x ln a + 2x
（3） y = 12 sin3 3x × cos3 4x +12 sin 4 3x cos2 4x
1+ ln x x +1 - x ln x
（4） y
1 ln x
= - =
x +1 2 x +1 x +1 2
题型三：在点 P 处的切线
1
【典例 3-1】（湖南省 2024 届高三数学模拟试题）曲线 y = ln 2x在点 ,0÷处的切线方程为（ ）
è 2
A．2x - y +1 = 0 B．2x - y -1= 0 C． 2x - y + 2 = 0 D． 2x - y - 2 = 0
【答案】B
1
【解析】由题意， y = ln 2x的导函数 y = ，故曲线 y = ln 2x
1
在点 ,0

÷处的切线斜率为 k = 2 ，x è 2
1
则切线方程 y = 2 x - = 2x -1，即2x - y -1= 0，
è 2 ÷
故选：B .
【典例 3-2】（2024·全国·模拟预测）已知曲线 f x = xlnx在点 1, f 1 处的切线为 l ，则 l 在 y 轴上的截距
为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由 f x = xlnx得 f x = lnx+1，所以直线 l 的斜率 k = f 1 =1，
又 f 1 = 0，所以直线 l 的方程为 y = x - 1，令 x = 0 ，得 y = -1，即 l 在 y 轴上的截距为-1.
故选：B
【方法技巧】
ìy = f (x )
函数 y = f (x) 0 0在点 A(x0 ，f (x0 )) 处的切线方程为 y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ) ，抓住关键 í ．
k = f (x0 )
【变式 3-1】曲线 f ( x) = 2e x - sin x - 2 在点 (0, f (0))处的切线方程为（ ）
A． y = 3x B． y = 2x C． y = x D． y = -x
【答案】C
【解析】由函数 f ( x) = 2e x - sin x - 2 ，可得 f (x) = 2ex - cos x ，
则 f (0) =1且 f (0) = 0，即切线的斜率为 k = 1，切点坐标为 (0,0) ，
所以切线方程为 y = x .
故选：C.
【变式 3-2】（2024·山东济宁·三模）已知函数 f ( x ) 为偶函数，当 x < 0 时， f (x) = ln(-x) + x2 ，则曲线
y = f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程是（ ）
A．3x - y - 2 = 0 B． 3x + y - 2 = 0 C．3x + y + 2 = 0 D．3x - y + 2 = 0
【答案】A
【解析】函数 f ( x ) 为偶函数，当 x < 0 时， f (x) = ln(-x) + x2 ，
则当 x > 0 时， f (x) = f (-x) = ln x + x2 ，求导得 f (x)
1
= + 2x，则 f (1) = 3，而 f (1) =1，
x
所以曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程是 y -1 = 3(x -1)，即3x - y - 2 = 0 .
故选：A
【变式 3-3】（2024·四川·三模）已知函数 f x = ax +a +cos x a R ，则曲线 y = f x 上一点 0,-2 处的
切线方程为（ ）
A． 2x + y + 2 = 0 B． x + y +2 = 0
C．3x + y + 2 = 0 D． 3x + y - 2 = 0
【答案】C
【解析】由题意可得 f 0 = -2，即 a +1 = -2，所以 a = -3，
所以 f x = -3x +cos x -3， f x = -3-sin x，
则 f 0 = -3，
所以曲线 y = f x 上一点 0,-2 处的切线方程为 y +2 = -3x，即3x + y + 2 = 0 .
故选：C.
题型四：过点 P 的切线
3
【典例 4-1】已知函数 f x = x -6x2 +9x -7，直线 l 过点 0,1 且与曲线 y = f x 相切，则直线 l 的斜率为
（ ）
A．24 B． 24 或 -3 C．45 D．0 或 45
【答案】B
3 2
【解析】由 f x = x -6x +9x -7，得 f x = 3x2 -12x+9，
设直线 l 与曲线 y = f x 相切的切点为P x0, y 0 ，
则 f x 在P x 20, y 0 处的切线斜率为 f x0 =3x0 -12x0 +9，
3
所以，切线方程为 y - x0 - 6x20 + 9x0 - 7 = 3x20 -12x0 + 9 x - x0 ，
将点 0,1 3 2的坐标代入并整理，得 x0 - 3x0 + 4 = 0 ，
即 x0 +1 x
2
0 - 2 = 0，解得 x0 = -1或 x 0 = 2，
所以直线 l 的斜率为 24 或 -3 .
故选：B.
【典例 4-2】过点 0,m 可作 f x = ex - x的斜率为 1 的切线，则实数m= .
【答案】2-2ln2
【解析】由 f x = ex -1，设切点的横坐标为 x0 ，由 f x0 = ex0 -1=1，解得 x0 = ln2 ，
f ln2 = eln2故 - ln2 = 2- ln2，由过点 ln2,2-ln2 且斜率为 1 的切线方程：
y - 2- ln2 = x - ln2，令 x = 0 得： y = 2-2ln2 .，即m = 2 - 2ln 2 .
故答案为： 2 - 2ln2 .
【方法技巧】
设切点为 P(x0 ，y0 )，则斜率 k = f (x0 )，过切点的切线方程为： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因为切线方程过点 A(a,b) ，所以 b - y0 = f (x0 )(a - x0 ) 然后解出 x0 的值．
4 8
【变式 4-1】曲线C2 : f x = x + 过点 A ,0

÷ 的切线方程为 .x è 3
【答案】3x - 4y -8 = 0或3x + y -8 = 0
x x 4 x 4+ D + - -
【解析】 f (x) = lim x + Dx x = lim é1 4 ù 4- =1- ，
Dx 0 Dx Dx 0 ê x(x + Dx)
ú x2
8
因为点 A ,0÷ 不在曲线上，
è 3
所以设切线的切点是 (x 0 , y0 ) ，则切线的斜率 k = f (x )
4
0 =1- x2 ，0
8
又切线过点 (x0 , y0 ) 和 ,0÷，
è 3
k y= 0 3y0
所以 x 8
=
- 3x0 -8 ，0 3
3(x 40 + ) 2
所以1 4 3y0 x0 3x0 +12- = = = ，
x20 3x0 -8 3x0 -8 3x
2
0 -8x0
3 2
化简得 x0 + 3x0 - 4x0 = 0 ，
因为 x0 0，所以 x0 = -4 或 x0 =1.
4 3 4
所以 k =1- = ，或 k =1-(-4)2 4 12
= -3，
3
所以所求切线方程是 y = (x
8) y 3(x 8- 或 = - - )，
4 3 3
即3x - 4y -8 = 0或3x + y -8 = 0 .
故答案为：3x - 4y -8 = 0或3x + y -8 = 0 .
【变式 4-2】过点 0,-2 作曲线 f x = ln x-2的切线，则切线方程为 .
1
【答案】 y = x - 2
e
【解析】设切点为 x0, lnx0 -2 ，由 f x = ln x-2
1
得 f x = ，
x
l : y lnx 2 1则切点处的切线 - 0 - = x - x0 x ，0
因为切线过点 0,-2 ，所以 lnx0 = 1，解得 x0 = e，
1
所以切线方程为 y - -1 = x - e 1即 y = x - 2 .
e e
1
故答案为： y = x - 2
e
【变式 4-3】（2024·山西吕梁·二模）若曲线 f x = lnx在点P x0, y 0 处的切线过原点O 0,0 ，则
x0 = .
【答案】 e
1
【解析】因为 f x = lnx，所以 f x = ，
x
1
所以 f x 在点P x , y 处的切线方程为 y - lnx0 = x - x0 0 x 0 .0
又切线过原点O 0,0 ，则-lnx0 = -1，所以 x0 = e .
故答案为： e
【变式 4-4】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数 f x = aln x a 0 ，过原点作曲线
y = f x 的切线 l ，则切线 l 的斜率为 ．
a
【答案】
e
a a
【解析】根据题意得， f (x) = ，设切点坐标为 x0, y 0 ，则 f (x0) = x ，x 0
a
所以切线 l 的方程为 y = (x - x0 ) + yx 0 ，0
a
将点 0,0 代入，可得0 = (0 - x0 ) + yx 0，整理得 y0 = a ，0
故 a ln x0 = a ，解得 x0 = e，
故 f (x
a a
0 ) = ，即切线 l 的斜率为 ．e e
a
故答案为： .
e
题型五：公切线问题
【典例 5-1】若直线 y = kx + b C : y = 3 + e x与曲线 1 和曲线C 2 : y = e x + 2 同时相切，则b =（ ）
9 3
A． - ln
3 1 1
B． 2 - ln2 C． - ln D．3 - ln3
2 2 2 2 2
【答案】A
【解析】设直线直线 y = kx + b 与曲线C1 : y = 3 + e
x
相切于 (m,3+ em )，
与曲线C 2 : y = e
x + 2
相切于点 (n, en+2 )，
曲线C1 : y = 3 + e
x
，其导数 y = e x ，则有 y | mx = m = e ，
则在点 (m,3+ em )处切线的方程为 y - (3 + em ) = em (x - m)，
即 y = em x - mem + (3 + em )，曲线C : y = e x + 2 y = e x+ 2 y | = en+ 22 ，其导数 ，则有 x=n ，
则在 (n, en+2 )处切线的方程为 y - en+2 = en+2 (x - n) ，即 y = en+2 x - nen+2 + en+2 ，
则有em = en+2，则有m = n + 2，
3 3
又由mem - (3 + em ) = nen+2 - en+2 en+2，则有 = ，则 n = ln - 2，
2 2
b = -nen+2 + en+2 9 3 ln 3则 = - ；
2 2 2
故选：A．
【典例 5-2】（2024·湖南长沙·一模）若直线 y = k1 x+1 -1与曲线 y = ex 相切，直线 y = k2 x+1 -1与曲线
y = ln x相切，则 k1k2 的值为（ ）
A．1 B． e C． 2 D． e-1
【答案】A
x
【解题思路】设出两个切点，根据导数几何意义得 x 11 e = 1， x2 ln x2 =1，再利用函数 f x = xln x的单调性
x
得到 x 12 = e ，最后代入计算即可.
【解析】设直线 y = k x1 x+1 -1与曲线 y = e 相切于点 x1, ex1 ，
因为直线 y = k1 x+1 -1与曲线 y = ln x相切于点 x2,ln x2 ，
设h x = ex，h x = ex ，且直线 y = k1 x+1 -1过定点 -1,-1 ，
x1
k = e x k e +1则 11 ，且 1 = ，所以 x x1x 1 1
e = 1，
1 +
设 g x 1= ln x，则 g x 1= ，则 k2 = ，且直线 y = k2 x+1 -1x 过定点 -1,-1 ，x 2
k ln x2 +1则 2 = ，所以 x2 ln x2 =1x +1 ，2
令 f x = xln x，则 f x =1+ ln x，

当 x 0,
1 1
÷时， f x <0， f x 单调递减，当 x e ,+ ÷时， f x >0， f x 单调递增，则è è e
f x = f 1 1min ÷ = - ，且 f 1 = 0，è e e
当 x 0 时， f x 0，且 f x < 0，所以当 x 0,1 时， f x < 0，
因为 f x2 = x2 ln x =1 f ex1 = x ex2 ， 11 =1，即 f x2 = f ex1 =1 > 0 ，
1
所以 x2 1,+ ，ex1 1,+ x x1，所以 x2 = e 1 ，故 k1k2 = e × =1x .2
故选：A.
【方法技巧】
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关
切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
【变式 5-1】（2024·广东茂名·一模）曲线 y = lnx与曲线 y = x 2 + 2ax 有公切线，则实数 a 的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A． - , -
ù é
B． - , +
ù é
÷ C． - , D． ,+ ÷
è 2ú ê 2 è 2 ú ê2
【答案】B
y 1【解析】两个函数求导分别为 = , y = 2x + 2a，
x
设 y = lnx， y = x 2 + 2ax 2图象上的切点分别为 x1,lnx1 ， x2 , x2 + 2ax2 ，
x
则过这两点处的切线方程分别为 y = + lnx1 -1， y = 2x2 +2a x- x2x 2 ，1
1
则 = 2x2 + 2a
2
， lnx1 - 1 = - x
2
，所以2a = ex2 -1x 2 -2x2，1
2
设 f 2x = ex -1 - 2x ， f x = 2 xex -1 -1 ， f 1 = 0，
x2令 g(x) = f (x) 2= 2 xe -1 -1 ，所以 g x = 2 2x2 +1 ex -1 > 0，
所以 g(x)在R 上单调递增，且 f 1 = 0，
则 f x 在 - ,1 上单调递减，在 1,+ 上单调递增，
所以2a f 1 = -1 a 1， - .
2
故选：B.
1
【变式 5-2】（2024·辽宁大连·一模）斜率为1的直线 l 与曲线 y = ln(x + a)和圆 x2 + y 2 = 都相切，则实数 a
2
的值为（ ）
A． 0或2 B．-2或 0 C．－1或 0 D． 0或1
【答案】A
【解析】依题意得，设直线 l 的方程为 y = x+b，
1 b 2
由直线和圆 x2 + y 2 = 相切可得， =2 2 2 ，解得b = ±1，2 1 + (-1)
当b = 1时， y = x + 1和 y = ln(x + a)相切，
设切点为 (m,n) 1，根据导数的几何意义， =1，
m + a
ìn = 0
ìn = m +1
又切点同时在直线和曲线上，即 ín = ln(m + a)，解得 í
m = -1，

a = 2
即 y = x + 1和 y = ln(x + 2)相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
y = x - 1和 y = ln x仍会保持相切状态，即b = -1时， a = 0 ，
综上所述， a = 2 或 a = 0 .
故选：A
【变式 5-3】若存在直线 y = kx + b ，使得函数F x 和G x 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足
F x kx + b G x ，则称此直线 y = kx + b 为F x 和G x 的“隔离直线”.已知函数 f x = x2，
g x = alnx(a > 0)，若 f x 和 g x 存在唯一的“隔离直线”，则a = （ ）
A． e B． 2 e C． e D．2e
【答案】D
2
【解析】当 f x = x 与 g x = alnx相切时，只有唯一的“隔离直线”，
且“隔离直线”为公切线.设切点为 x0, y0 ，
ì a
ì f x0 = g x0 , 2x0 = ,
则 í xf x g x , 即í 0 所以 x0 = e,a = 2e . 0 = 0
x
2
0 = alnx0 ,
故选：D.
1
【变式 5-4 x-1 2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = e , g x = ex ，若直线 l 是曲线 y = f x 与曲线
4
y = g x 的公切线，则 l 的方程为（ ）
A． ex - y = 0 B．ex- y-e =0
C． x- y = 0 D． x - y -1 = 0
【答案】B
【解析】设 l : y = kx + m与曲线 y = f x 相切于点 A x0, y0 ，与 y = g x 相切于点B x1, y1 ，
f x = ex-1 l k = ex0 -1 e x0 -1由 ，可得 的斜率 ，所以 x0 + m = e x0 -1 ①，
g x 1 1 1 e e又由 = ex 2，可得 k = ex1，所以 ex1x1 + m = x1 ，即m = - x21 ②，2 2 2 4 4
x 1
又因为 e 0 -1 = ex1 ③，2
1 e e 1
将②③代入①中，可得 ex1x0 - x
2
1 = x1，由③易知， x1 > 0 ,则 x0 -1 = x1 ④，2 4 2 2
x1 e 1 1
将④代入③，可得 e 2 = x ，则 x1 -1- ln
x = 0
2 1
，
2 1 ֏ 2
令h x = x -1- lnx h x x -1，则 = ，当0 < x < 1时，h x < 0,h x 单调递减；
x
当 x > 1时，h x > 0,h x 单调递增．所以h x h 1 = 0，当且仅当 x = 1时取等号，
1
故 x
e
1 =1，可得 x1 = 2 ，所以m = - 2
2 = -e, k e= 2 = e ，
2 4 2
所以 l 的方程为 y = e x -1 ，即ex- y-e =0．
故选：B．
题型六：已知切线或切点求参数问题
【典例 6-1】若直线 y = kx 与曲线 y = log3x相切，则实数 k = （ ）
A． e ln 3 B． elog3e
1 1
C． D． log3ee e
【答案】D
1 1
【解析】设切点为 x0,log3x0 ，由 y = log x可得 y = ，则 y 3 = = k ，xln3 x=x0 x0ln3
ì 1
= k ì
x
0
= e
所以 í x0ln3 ，解得 í 1 ，即 k
1
= log3e .
k = e kx0 = log3x0 eln3
.故选：D.
【典例 6-2】（2024·全国·模拟预测）若直线 y = 2 x - b 与曲线 f (x) = e2 x - 2ax(a > -1) 相切，则b的最小值为
（ ）
A．-e B．－2 C．－1 D．0
【答案】C
【解析】设切点坐标为 x0, y0 ．由已知，得 f x = 2e2x -2a，则 f x0 = 2e2x0 -2a = 2，
1
解得 x0 = ln a +1 ．2
2x
又切点在切线 y = 2 x - b 与曲线 f x = e -2ax上，
所以 ln(a +1)-b = a +1-aln a +1 ，所以-b = a +1 é 1- ln a +1 ù ．
令 t = a+1 t > 0 , g t = t 1-lnt t > 0 1 ，则 g t =1- lnt + t - ÷ = -lnt ．
è t
令 g t = -lnt = 0，解得 t = 1．当 t 0,1 时， g t > 0，则 g t 在 0,1 上单调递增；
当 t 1, + 时， g t < 0，则 g t 在 1,+ 上单调递减．
所以 g t g 1 =1，即-b 1，所以b -1，则b的最小值为－1．
故选：C．
【方法技巧】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处
的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
1
【变式 6-1】已知直线 y = kx + b 与函数 f x = x2 + lnx的图象相切，则 k - b 的最小值为 ．
2
7
【答案】 /3.5
2
1 2
【解析】设切点为P x , x + ln x ÷， f
1 k x 10 2 0 0
(x) = x + ，所以切线的斜率 =
x 0
+ ，
è x0
1 2 1 1 1 2
则切线方程为 y - x0 + ln x2 0 ÷
= x0 + x ÷
(x - x0 )，即 y = x0 + ÷ x - xx 2 0
+ ln x0 -1，
è è 0 è 0
故 k - b
1
= x2 10 + x0 + - ln x0 +12 x ，0
g(x) 1= x2 + x 1+ - ln x +1(x > 0) g (x) x 1 1 1 (x -1)(x +1)
2
令 ，则 = + - 2 - = ，2 x x x x2
当 x (0,1) 时， g (x) < 0， g(x)单调递减，
当 x (1,+ )时， g (x) > 0， g(x)单调递增，
g(x) 7 7所以 min = g(1) = ，即 k - b 的最小值为 .2 2
7
故答案为：
2
【变式 6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知直线 y = ax + b x与曲线 y = e x 相切于点 x 00 , e ，若 x0 - ,3 ，则
a + b 的取值范围为（ ）
A - , e B -e3 ,eù C 0,e D 0,e3． ． ． ． ù
【答案】B
【解析】因为 y = e x ，所以 y = e x ，∴ a = ex0 ．
又∵切点 x0 , ex0 在直线 y = ax + b 上，
∴ e x0 = ax0 + b = x0e x0 + b ，解得b = 1- x0 ex0 ．∴ a +b = 2- x0 ex0 ．
令 g x = 2- x ex ，则 g x = 1- x ex， x - ,3 ，
令 g x > 0，解得： x < 1；令 g x < 0，解得：1 < x < 3 ；
可得 g x 在 - ,1 上单调递增，在 1,3 上单调递减，
x < 2 时， g x > 0， 2 < x < 3时， g x < 0，
当 x
3
趋近负无穷时， g x 趋近 0， g 3 = -e ； g x = g 1max = e，
a + b -e3故 的取值范围为 ,eù ．
故选：B．
【变式 6-3】已知函数 g x = x ax+2ln x ，若曲线 y = g x 在 x = 1处的切线方程为 y = 6x + b，则
a + b = ．
【答案】-2
【解析】函数 g x = x ax+2ln x ， g x = 2ax+2ln x+2，
若曲线 y = g x 在 x = 1处的切线方程为 y = 6x + b，则切点坐标为 1,6+b ，切线斜率 k = 6 ，
ì g 1 =1 a + 2ln1 = a = 6 + b ìa = 2
则有 í
g 1 = 2a + 2ln1 2 2a 2 6
，解得
+ = + = í
，
b = -4
所以 a + b = -2 ．
故答案为：-2 .
1
【变式 6-4】（2024·四川·模拟预测）已知m > 0, n > 0 ，直线 y = x + m +1与曲线 y = lnx -n+3相切，则
e
m+ n = ．
【答案】2
【解析】设切点坐标为 x0, y0 ，对函数 y = lnx -n+3
1
求导得 y = ，
x
k 1 1则切线斜率 = = xx e ，得 0
= e，
0
所以 y0 = ln e - n + 3 = 4 - n
1
，且 y0 = ×e + m +1 = 2 + m ，e
则 4 - n = 2 + m ，即m + n = 2．
故答案为：2.
【变式 6-5】对给定的实数b，总存在两个实数 a ，使直线 y = ax - b 与曲线 y = ln x-b 相切，则b的取值
范围为 .
【答案】 - ,0
ìx0 > b,

1 = a,
【解析】由 y = ln x-b 得 y 1 = ，设切点坐标为 x , y ，则
x b 0 0 í
x0 - b ，
- y
0
= ax0 - b,
y0 = ln x0 - b ,
消去 x0 , y0 可得b 1-a =1+ lna,a 1 1+ lna，所以b = ,a 1，1- a
1
1+ lna + lna令 f a = ,a 1，则 f a = a ，当a>1 时， f a > 0, f a 单调递增；1- a (1- a)2
1
当 0 < a < 1时，令 g a = + lna g a 1 1 a -1，则 = - 2 = 2 < 0，a a a a
所以 g a 在区间 0,1 上单调递减，因为 g 1 =1> 0，
所以当 0 < a < 1时， g a > 0，即 f a > 0, f a 单调递增.
因为当 a 趋近于 0 时， f a 趋近于负无穷大- ，当 a 从 1 左边趋近于 1 时， f a 趋近于正无穷大，
当 a 从 1 右边趋近于 1 时， f a 趋近于负无穷大，当 a 趋近于正无穷大时， f a 趋近于 0，
作出 f a 的大致图象，
所以若对给定的实数b，总存在两个实数 a ，使直线 y = ax - b 与曲线 y = ln x-b 相切，
则b的取值范围为 - ,0 .
故答案为： - ,0
题型七：切线的条数问题
【典例 7-1】若过点 1,b 可以作曲线 y = ln x +1 的两条切线，则（ ）
A． ln 2 < b < 2 B．b > ln 2
C． 0 < b < ln 2 D．b > 1
【答案】B
【解题思路】设切点点P t, ln t +1 1,b b 1- t，写出切线方程，将点 代入切线方程得 = + ln t +1 ，此方
t +1
程有两个不同的解，利用导数求 b 的范围.
【解析】在曲线 y = ln x +1 P t, ln t +1 y 1上任取一点 ， = ，
x +1
所以曲线 y = ln x +1 y ln t 1 1在点 P 处的切线方程为 - + = x - t .
t +1
由题意可知，点 1,b 在直线 y - ln t 1 1 x t 1- t+ = - 上，可得b = + ln t +1 ，
t +1 t +1
令函数 f t 1- t= + ln t 1 2+ = -1+ ln t +1 , t -1,+ ，
t +1 t +1
f t -2 1 t -1则 = + =(t +1)2 t +1 (t +1)2 .
当 -1 < t < 1时， f t < 0，此时 f t 单调递减，
当 t > 1时， f t > 0，此时 f t 单调递增，
所以 f (t)min = f 1 = ln2 .
设 h x = ln x -1 1+ , x > 0 ，
x
h x 1 1 x -1所以 = -
x x2
= ，
x2
所以当 x > 1时，h x > 0，h x 在 1, + 上单调递增，
当0 < x < 1时，h x < 0，h x 在 0,1 上单调递减，
所以h x h 1 = 0，
1
所以 ln x 1- ，
x
所以 f t 2 2 1 1= -1+ ln t +1 -1+1- = ，
t +1 t +1 t +1 t +1
1
当 t -1时， + ，所以 f t + ，
t +1
x + 2当 时， 0, ln t +1 + ，所以 f t + ，
t +1
y = f (t)的图象如图：
由题意可知，直线 y = b与 f t 的图象有两个交点，则b > ln 2 .
故选：B
【典例 7-2】若过点 a,b 可以作曲线 y = ln x的两条切线，则（ ）
A． eb > 0 > a B． ln a > 0 > b C． eb > a > 0 D． ln a > b > 0
【答案】C
【解析】设切点坐标为 t,ln t t > 0 ，
Q y 1 1 1 1= ，\ 切线斜率 k = ，\ 在点 t,lnt 处的切线方程为： y = x - t + ln t = x + ln t -1；
x t t t
Q 切线过点 a,b b a，\ = + ln t -1，
t
Q 过点 a,b 可以作曲线 y = ln x的两条切线，
\ 令 g t a= + ln t -1，则 y = b与 g t 有两个不同交点，
t
g t a 1 t - a= - 2 + = 2 t > 0 ，t t t
当 a 0 时， g t > 0，\g t 在 0,+ 上单调递增，不合题意；
当 a > 0 时，若 t 0,a ，则 g t < 0；若 t a,+ ，则 g t > 0；
\g t 在 0,a 上单调递减，在 a,+ 上单调递增，
\g t = g a =1+ lna-1= lnamin ，\b > ln a ，即eb > a，
又 a > 0 ，\eb > a > 0 .
故选：C.
【方法技巧】
设切点为 P(x0 ，y0 )，则斜率 k = f (x0 )，过切点的切线方程为： y - y0 = f (x0 )(x - x0 ) ，
又因为切线方程过点 A(a,b) ，所以 b - y0 = f (x0 )(a - x0 ) 然后解出 x0 的值，有多少个解对应有多少条
切线．
【变式 7-1】（2024·内蒙古·三模）若过点 a,2 可以作曲线 y = lnx的两条切线，则 a 的取值范围为（ ）
A． - , e2 B． - ,ln2
C． 0,e2 D． 0,ln2
【答案】C
1
【解析】在曲线 y = lnx上任取一点P t,lnt ，对函数 y = lnx求导，得 y = ，
x
所以曲线 y = lnx 1在点 P 处的切线方程为 y - lnt = x - t .
t
由题意可知，点 a,2 在直线 y - lnt 1= x - t 上，可得 a = 3t - tlnt .
t
令 f t = 3t - tlnt,t 0,+ ，则 f t = 3- lnt -1= 2 - lnt .
当 t e2 ,+ 时， f t < 0, f t 单调递减，
当 t 0,e2 时， f t > 0, f t 单调递增，
所以 f (t)max = f e2 = e2 ，且当 t 0,e3 时， f t > 0，当 t e3,+ 时， f t < 0，
又直线 y = a 与曲线 y = f t 的图象有两个交点，
所以 a
2
的取值范围为 0,e .
故选：C
ax +1
【变式 7-2】若曲线 y = x 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数 a 的值为（ ）e
1 1
A． B 2． C． D 3．
4 4 3 3
【答案】A
y f (x) ax +1 f (x) -ax + a -1【解析】设 = = x ，则 =e ex ，
ax
设切点为 (x , 0
+1) f (x ) -ax + a -10 x ，则 0 =
0
x ，e 0 e 0
y ax0 +1 -ax + a -1所以切线方程为 - = 0x x (x - x0 )，e 0 e 0
ax +1 -ax + a -1
又该切线过原点，所以 0 - 0 = 0x (0 - x ) ，e 0 ex0 0
2
整理得 ax0 + x0 +1 = 0 ①，因为曲线 y = f (x) 只有一条过原点的切线，
1
所以方程①只有一个解，故D = 1 - 4a = 0 ，解得 a = .
4
故选：A
x
【变式 7-3】（2024·全国·二模）若曲线 f x = x 有三条过点 0,a 的切线，则实数 a 的取值范围为（e ）
0, 1 0, 4 1 4 A． 2 ÷ B．e ÷
C． 0, ÷ D． 0, ÷
è è e2 è e è e
【答案】B
x 1- x
【解析】设该切线的切点为 (x 00 , x )，则切线的斜率为 k = f (x ) =
0 ，
e 0 0 ex0
x 1- x
所以切线方程为 y - 0 0
ex
= (x - x )，
0 ex0 0
x 1- x 2
又切线过点 (0 , a ) ，则 a - 0 0x = (0 - x )，整理得 a
x
= 0 .
e 0 ex0 0 ex0
x2
要使过点 (0 , a ) 的切线有 3 条，需方程 a = 0x 有 3 个不同的解，e 0
x2
即函数 y = 0 图象与直线 y = ax 在 R 上有 3 个交点，e 0
2
设 g(x) x= ，则 g (x)
x(2 - x)
=
ex
，
ex
令 g (x) > 0 0 < x < 2，令 g (x) < 0 x < 0或 x > 2 ，
所以函数 g(x)在 (0 , 2 ) 上单调递增，在 (- ,0)和 (2,+ ) 上单调递减，
且极小值、极大值分别为 g 0 = 0, g 2 4= ，如图，
e2
0 a 4< < x
2
由图可知，当 2 时，函数 y = 0x 图象与直线 y = a 在 R 上有 3 个交点，e e 0
即过点 (0 , a ) 的切线有 3 条.
4
所以实数 a 的取值范围为0 < a < 2 .e
故选：B.
【变式 7-4】已知 f x = x3 - x，如果过点 2,m 可作曲线 y = f x 的三条切线.则下列结论中正确的是（ ）
A．-1 < m < 8 B．0 < m < 7 C． -3 < m < 5 D． -2 < m < 7
【答案】D
x , x3【解析】设切点为 0 0 - x0 ， f x =3x2 -1 ∴ 2， 切线斜率为3x0 - 1，
∴ 3 2切线方程为 y - x0 - x0 = 3x0 -1 x - x 2,m m - x30 ，将 代入得方程 0 - x0 = 3x20 -1 2 - x0 ，即
2 x30 - 6 x
2
0 + 2 + m = 0 ，
由题设该方程有 3 个不等实根.
3 2 2
令u x = 2x -6x +2+m，u x = 6x -12x = 6x x-2 ，
当 x < 0 时,u (x) > 0 ,当0 < x < 2时,u (x) < 0 ,当 x > 2 时,u (x) > 0 ,
所以u(x) 在 (- ,0)上递增,在 (0 , 2 ) 上递减,在 (2,+ ) 上递增,
所以u(x) 在 x = 0 时取得极大值u(0) = 2+m ,在 x = 2 时取得极小值u(2) = 2 8-6 4+ 2+ m = m-6 ,
ìu(0) = 2 + m > 0
由三次函数图象知 í ,解得 -2 < m < 6u(2) m 6 0 , = - <
因为 -2 < m < 6 可以推出, -2 < m < 7 ，所以 -2 < m < 7 也正确.
故选：D
1
【变式 7-5】已知函数 f x = - x > 0 ，若过点P a,b 可作两条直线与曲线 y = f x 相切，则下列结论
x
正确的是（ ）．
A．-1 < ab < 0 B．0 < ab < 1
C．a2 +b2 的最大值为 2 D．eb > a
【答案】A
2
【解题思路】由导数几何意义切线斜率 k = f (x0 )可得bx0 + 2 x0 - a = 0 （ x0 > 0），进而将问题转化为方程
bx 2
1
0 + 2 x0 - a = 0 有两个不等的正实根，即可得 ab 范围可判断 A 项、B 项， a = ，b = -2 ，可判断 C 项、4
D 项.
1 1 1 1
【解析】由 f (x) = - 可得 f (x) = 2 ，设切点为 (x0 ,- )（ x > 0），则 f 0 (x0 ) =x x2 ，x x 0 0
1 1
- - b - - b
又因为 k x= 0 = f (x )，即 x0 1= ，
x - a 0 20 x0 - a x0
2
整理得bx0 + 2 x0 - a = 0 （ x0 > 0），
因为过点 P(a,b) 可作两条直线与函数 y = f (x) 相切，
2
所以方程bx0 + 2 x0 - a = 0 有两个不等的正实根，
ì
Δ = 4 + 4ab > 0
ìab > -1
2
所以 í - > 0 b < 0 -1 < ab < 0
b
，解得 í ，所以 ，

a a > 0
- > 0 b
故 A 项正确，B 项错误；
C D a
1
= b = -2 -1 < ab < 0 a2 + b2 > 2 eb = e-2
1 1
对于 项、 项，取 ， ，满足 ，此时 ， = 2 < = a，故 C 项、4 e 4
D 项错误；
故选：A.
1 1
【变式 7-6】过点 2,0 f x = xex作曲线 的两条切线，切点分别为 x1, f x1 ， x2 , f x2 ，则 + =x1 x2
（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意得 f x = x +1 ex 2,0 f x = xex，过点 作曲线 的两条切线，
x ex0x x 2 x
设切点坐标为 x0 , x 00e ，则 x +1 e 0 = 00 ，即 x 00 - 2x0 - 2 e = 0x 2 ，0 -
由于ex0 > 0 x 2，故 0 - 2 x0 - 2 = 0 ，D = 12 > 0 ，
由题意可知x1，x2为 x
2
0 - 2 x0 - 2 = 0 的两个解，则 x1 + x2 = 2， x1x2 = -2，
1 1 x + x
+ = 1 2故 = -1x .1 x2 x1x2
故选：B
x
【变式 7-7】（2024·高三·北京海淀·期末）若关于 x 的方程 log a x - a = 0 （ a > 0 且 a 1）有实数解，则 a 的
值可以为（ ）
5
A．10 B． e C．2 D．
4
【答案】D
x
【解析】对比选项可知我们只需要讨论 a > 1时，关于 x 的方程 log a x - a = 0 的解的情况，
若关于 x 的方程 log xa x - a = 0 （ a > 0 且 a 1）有实数解，
即 f x = ax与 g x = loga x的图像有交点，
因为 f x = ax与 g x = loga x互为反函数，
所以 f x = ax与 g x = loga x的图像关于直线对称，
如图所示：
f x = ax设函数 与直线 y = x 相切，切点为P x0, y0 ，
x0
f x = ax ì ì
x = e
lna a ln a =1 0，则有 í x ，解得： í e ， a 0 = x0 a = e
e
由图像可知，当a 1, eù 时，曲线 f x = ax与直线 y = x 有交点，
即 f x = ax与 g x = log x xa 的图像有交点，即方程 log a x - a = 0 有解.
故选：D.
题型八：利用导数的几何意义求最值问题
b
【典例 8-1】（2024· 3 2四川眉山·三模）若关于 x 的不等式 lnx ax -bx -1 a 0 恒成立，则 的最大值为
a
（ ）
1 2 1 2
A． 2 B． C． D．e e2 e e
【答案】C
lnx +1 b b lnx +1
【解题思路】将不等式化为
x2
a x - a ÷
恒成立，即 y = a x - ÷的图象恒在 f x = 2 的图象的è è a x
f x y = a x b- f x 1 ,0 b上方，利用导数研究函数 ，依题意得出当直线 ÷与 在点 ÷处相切时 取得最大
è a è e a
值得结果.
【解析】依题意，a 0, x 0
lnx +1 a x b > ，不等式化为 -
x2 a ÷
，
è
f x lnx +1
1 2
= × x - 2x lnx +1 设 ，则
x2 f x = x
-1- 2lnx ，
x4
=
x3
1-
当 x 0,e 2 ÷时， f x > 0, f x 单调递增；
è
1-
当 x e 2 , + ÷ 时， f x < 0, f x 单调递减，
è
所以 f x 1 e 1在 -x = e 2处取得极大值，也即最大值 ，又 -x > e 2 时， f x > 0，2
lnx +1 a b b 由题知不等式 2 x - ÷恒成立，所以 y = a x - ÷的图象恒在 f x 的图象x è a è a
b b
的上方，显然 a < 0 不符题意；当 a > 0 时， 为直线 y = a x - 的横截距，
a è a ÷
其最大值为 f x 1的横截距，再令 f x = 0，可得 x = ，且当直线 y = a x b- ÷与e è a
f x 1在点 ,0 b处相切时，横截距 取得最大值，
è e ÷ a
3 1
此时，切线方程为 y = e x -
, a = e3 ,b = e2 b 1÷ ，所以 取得最大值为 .
è e a e
故选：C.
3x + y +1
【典例 8-2】（2024·四川凉山·二模）已知点P x, y 是曲线 y = x 2 上任意一点，则 的最大值为
x2 + y +1 2
（ ）
A 2 5 - 15． B 2 5 - 15． C 15 + 2 5 D 15 + 2 5． ．
10 5 10 5
【答案】D
【解题思路】
3x + y +1
判断直线 3x + y + 1 = 0 与曲线的位置关系，利用式子 3x + y +1 ( 3)2 +12 表示的几何意义，转= ×
x2 + (y +1)2 x2 + (y +1)2
化为点 P 与点 (0, -1) 确定的直线同直线 3x + y + 1 = 0 夹角正弦最值求解即可.
3x + y +1
【解析】依题意， 3x + y +1 ( 3)2 +1 ，令直线 l : 3x + y + 1 = 02 ，显然
l 过点 A(0, -1)，
= ×
x2 + (y +1)2 x2 + (y +1)2
ì 3x + y +1 = 0
由 í 2 ，得 3x + x
2 +1 = 0，显然D = ( 3 )2 - 4 < 0 ，
y = x
即直线 l 与曲线 y = x 2 相离，且 3x + x2 +1 > 0，则曲线 y = x 2 上的点 P 在直线 l 上方，
3x + y +1
过 P 作 PH ^ l 于H ，则 | PH |= 2 ，而 | PA |= x
2 + (y +1)2 ，
( 3) +1
3x + y +1
因此 = 2
| PH |
× = 2sin PAH
x2
，
+ (y +1)2 | PA |
令过点A 的直线与曲线 y = x 2 相切的切点为 (t , t 2 ) ，由 y = x 2 ，求导得 y = 2x ，
2
2t t +1则此切线斜率 = ，解得 t = ±1，即切点为 (±1,1)，
t - 0
而点A 在曲线 y = x 2 的对称轴上，曲线 y = x 2 在过点A 的两条切线所夹含原点的区域及内部，
3x + y +1
当点 P 的坐标为 (1,1) 时，锐角 PAH 最大， sin PAH 最大，
x2 + ( y +1)2
最大，
2 + 3 sin PAH | PH | 2 + 3此时 | PH |= ,| PA |= 5 ， = = ，
2 | PA | 2 5
3x + y +1 2 + 3 2 5 + 15
所以 2 2 的最大值为 2sin PAH = = .x + ( y +1) 5 5
故先：D
【方法技巧】
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
2
【变式 8-1】（2024·湖北·模拟预测）设D = x - a 2 + ex - 2 a + a +1，其中 e 2.71828 ，则D的最小值
为（ ）
A． 2 B． 2 +1 C． 3 D． 3 +1
【答案】A
x
【解析】令Q x, e ，P a,2 a ，则点Q在函数 f x = ex图象上， P 在函数 g x = 2 x 的图象上，
容易知道 g x = 2 x 图象是抛物线 y2 = 4x图象的上半部分，
记抛物线焦点为 F 1,0 ，过 P 作抛物线的准线 l : x = -1的垂线，垂足为 M ，如图所示：
D = x - a 2则 + ex 2- 2 a + a +1 = PQ + PM = PQ + PF FQ ，
当且仅当 P 在线段 FQ上时，取最小值.
设这时Q点坐标为Q x , ex00 ，又 f x = ex，
ex e
x0 - 0
所以有 0 × = -1 e2x0 =1- x x = 0 0,1 x0 -1 0，解得 0 ，即该点为 ，
所以 FQ 1- 0 2 + 0 -1 2 = 2 ，因此Dmin = 2 .
故选：A.
【变式 8-2】（2024·辽宁辽阳·一模）设曲线 y = x 4 在点 1,1 处的切线为 l，P 为 l 上一点，Q 为圆
C : x - 5 2 + y2 17= 上一点，则 PQ 的最小值为（
4 ）
A 17 B 17 C 17． ． ． D 17．
2 3 4 5
【答案】A
【解析】 y = 4x3， y |x=1= 4，则 l 的方程为 y -1= 4 x-1 ，即 y = 4x - 3，
因为圆心C 5,0 到 l 的距离为 17 ，
所以 PQ 的最小值为 17 17 17- = .
4 2
故选：A
【变式 8-3】（2024·宁夏银川·一模）已知实数 x, y 满足 2x2 - 5ln x - y = 0，m R ，则
x2 + y2 - 2mx + 2my + 2m2 的最小值为（ ）
A 9． B 3 2 C 2． ． D 1．
2 2 2 2
【答案】B
【解析】Q x2 + y2 - 2mx + 2my + 2m2 = x - m 2 + y + m 2 ，又 y = 2x2 - 5ln x ，
\ x2 + y2 - 2mx + 2my + 2m2 表示点 m,-m 与曲线 y = 2x2 - 5ln x 上的点之间的距离；
Q 点 m,-m 的轨迹为 y = -x ，\ x2 + y2 - 2mx + 2my + 2m2 表示直线 y = -x 上的点与曲线 y = 2x2 - 5ln x 上
的点之间的距离；
2
令 f x = 2x -5ln x f x 4x 5，则 = - ，
x
令 f x = -1 4x 5 5，即 - = -1，解得： x = 1或 x = - （舍），
x 4
又 f 1 = 2-5ln1= 2，
2 1+ 2 3 2\ x + y2 - 2mx + 2my + 2m2 的最小值即为点 1,2 到直线 y = -x 的距离d Qd = = ，
2 2
\ x2 + y2 - 2mx + 2my 3 2+ 2m2 的最小值为 .
2
故选：B.
【变式 8-4】设点 P 在曲线 y = x2 +1(x 0) 上，点Q在曲线 y = x - 1(x 1)上，则 | PQ |的最小值为 .
3 2 3
【答案】 / 2
4 4
【解析】由 y = x2 +1，得： x2 = y -1， x = ± y -1 .
所以 y = x2 +1 x 0 与 y = x - 1 互为反函数．
则它们的图象关于 y = x 对称．
要使 PQ 的距离最小，则线段 PQ 垂直直线 y = x .
点 P 在曲线 y = x2 +1 x 0 上，点 Q 在曲线 y = x - 1 上，
设 P(x, x2 +1)，Q (x, x -1) .
又 P，Q 的距离为 P 或 Q 中一个点到 y = x 的最短距离的两倍．
以 Q 点为例，Q 点到直线 y = x 的最短距离
x 1 1
2 3
- - +
x - x -1 è 2 ÷ 4
d = =
2 2
所以当 x 1
1 5
- = 3 2，即 x = 时，d 取得最小值 ，
2 4 8
则 PQ 2 3 2 3 2的最小值等于 = .
8 4
3 2
故答案为：
4
2
【变式 8-5】已知 y = (x - a)2 + xex - a +1 a R ，则 y 的最小值为 .
1
【答案】 / 0.5
2
【解析】设点P x, xex f x = xex是函数 图象上的点，点Q a,a -1 是直线 l : y = x -1上的点，
2
则 (x - a)2 + xex - a +1 可以转化为 P ，Q两点之间的距离，
2 2
即 (x - a)2 + xe x - a +1 = PQ ，所以 y = PQ ，
因为 f x = x +1 ex，设函数 f x = xex在点M x0, y0 的切线 l1与直线 l 平行，
x x
则直线 l 0 01的斜率为 1，可得 f x0 = 1+ x0 e =1，整理得e 1+ x0 -1= 0，
令 g x = ex 1+ x -1，则 g x = ex 2+ x ，当 x< - 2 时 g x < 0，当 x > -2 时 g x > 0，
所以 g x 在 - ,-2 上单调递减，在 -2,+ 上单调递增，
且当 x 无限趋向于负无穷大时 g x 无限趋近于-1， g 0 =0， g -2 = -e-2 -1< 0，
当 x 无限趋向于正无穷大时 g x 无限趋向于正无穷大，所以 g x 有且仅有一个零点 0，
x
所以方程e 0 1+ x0 -1= 0有且仅有一个解 x0 = 0，则M 0,0 ，
0 - 0 -1 2
故 PQ 的最小值为点M 0,0 到直线 l : y = x -1的距离 d = = ，
12 + -1 2 2
2
2 x 2 2 1即 y = (x -a) + xe -a +1 的最小值为 2 ÷÷ = .è 2
1
故答案为： 2 .
2 2 1
【变式 8-6】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点 P，Q 分别在圆M : (x - ln m) + (y - m) = 和曲线
4
y = ln x上，则 PQ 的最小值为 ．
1
【答案】 2 -
2
1
【解析】由题意得M lnm,m ，即圆心 M 在 y = e x 上，半径为 2 ，
故 PQ 的最小值等于 MQ 1的最小值减去半径 2 ，
设Q n, lnn ，由于 y = e x 与 y = ln x关于 y = x 对称，
MQ 的最小值等于Q到直线 y = x 的距离的最小值的 2 倍，
y = ln x y 1 1由 ，可得 = ，令 = 1，解得 n = 1，
x n
故 y = ln x在点Q 1,0 处的切线与 y = x 平行，此时Q 1,0 到 y = x 的距离最小，
1- 0 2
最小值为 = ，
1+1 2
2
故 MQ 的最小值为 2 = 2 ，
2
则 PQ 的最小值等于 2 1- .
2
1
故答案为： 2 -
2
1
【变式 8-7】（2024·河南·一模）记函数 y = e x 的图象为C1，作C1关于直线 y = x 的对称曲线得到C2，则曲2
线C1上任意一点与曲线C2上任意一点之间距离的最小值为 ．
2 5ln2e
【答案】
5
【解析】由题意可知： y = e x ，设 A a, ea 为曲线C1上的一点，
1
令过点 A a的切线斜率为 k = e = ，解得 a = -ln2 ，
2
1 1 -ln2 -
1 1 2 2 5ln2e
所以 A -ln2, ÷，所以点 A 到直线 y = x 的距离为 d = =2 5 ，è 2 2 1+ 1 ÷
è 2
2 5ln2e
所以曲线C1上任意一点与曲线C2上任意一点之间距离的最小值为 2d = ．
5
2 5ln2e
故答案为： .
5
ex
【变式 8-8】已知函数 y = 的图象与函数 y = ln(2x)的图象关于某一条直线 l 对称，若 P ，Q分别为它们
2
图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A 2 ln 2 B 2 ln 2 C 2(1+ ln 2)． ． ． D． 2 1- ln 2
2 4 2
【答案】D
x a
【解析】设 P a,b 为函数 y e b e= 图象上任意一点，则 = ， P a,b 关于直线 y = x 的对称点为Q b,a ，
2 2
又 y = ln(2b) = ln ea = a ，即点Q b,a 在函数 y = ln(2x)的图象上，
ex
所以函数 y = 的图象与函数 y = ln(2x)的图象关于直线 y = x 对称，
2
所以这 P ，Q两点之间距离的最小值等于点 P 到直线 y = x 距离最小值的2倍，
y e
x
y e
x
由 = ，则 = ，
2 2
ex ex0 ex0
函数 y = 在点 P(x0 , y0 )处的切线斜率为 k = ，令 k = =1，解得 x0 = ln 2， y0 =1，
2 2 2
y = x ln 2-1 2 1- ln 2 所以点 P 到直线 距离的最小值为d = = ，
2 2
所以这 P ，Q两点之间距离的最小值为2d = 2 1- ln 2 .
故选：D
【变式 8-9】（2024· 2全国·模拟预测）若函数 f x = x +3x -4lnx，点 P 是曲线 y = f x 上任意一点，则点
P 到直线 l : x - y -3 = 0的距离的最小值为（ ）
A B 3 2 C D 6． 4 2 ． ．3 2 ．
2 2
【答案】C
f x = x2【解析】 +3x -4lnx的定义域为 0,+ ，
由函数 f x = x2 +3x -4lnx，可得 f x = 2x 4+ 3- ，
x
4
令 2x + 3- =1，可得 x = 1，负值舍去，
x
又 f 1 = 4，
所以平行于直线 l 且与曲线 y = f x 相切的直线与曲线 y = f x 的切点坐标为 1,4 ．
1- 4 - 3
点 1,4 到直线 l 的距离 d = = 3 2 ，即点 P 到直线 l 的距离的最小值为3 2 .
2
故选：C．
【变式 8-10】若点 A a, a , B b, eb a,b R ，则 A, B 两点间距离 AB 的最小值为 .
2 1
【答案】 / 2
2 2
【解析】点 A a,a 在直线 y = x b上，点B b, e 在曲线 y = e x 上，
即求 AB 的最小值等价于求直线 y = x 上的点到曲线 y = e x 上的点的距离的最小值，
过 y = e x 上的点 m, em 作 y = e x m m的切线，可得 y -e = e x -m ，
令em =1，可得m = 0 ，故该切线为 y = x + 1，
则直线 y = x + 1与 y = x 的距离即为 AB 的最小值，
1
此时 AB
2
= = ，即 AB 2= .
1+1 2 min 2
2
故答案为： .
2
1 2
【变式 8-11】实数 a,b满足 3 e
a -b + a2 = 3ln a + b +1 2， c R , a - c + b + c 2 的最小值是（
a ）
A．4 B． 0 C．2 D．10
【答案】C
1 a2 -b 2
【解析】化简已知
a3
e + a = 3ln a + b +1得，
ln 1 2
e a3 ea
2 -b 2 a -b-3ln a 2+ a = 3ln a +b +1，即 e + a - b - 3ln a = 1，
令 a2 - b - 3ln a = x，原式化简为 ex + x =1，
令 g(x) = ex + x -1，则 g (x) = ex +1 > 0，所以 g(x)在 R 上单调递增，
又 g(0) = 0，所以 g(x)有唯一零点 x = 0 ，所以 ex + x =1，此方程有唯一根为 0，
即 a2 - b - 3ln a = 0，即b = a2 - 3ln a ，
分别设 y = f (x) = x2 - 3ln x (x > 0)与 y = -x ，
则 (a - c)2 + (b + c)2 表示曲线 y = f (x) 上的点 ( a , b ) 到直线 y = -x 的距离的平方，
下面求 y = f (x) 上与 y = -x 平行的切线，
3
因为 f (x) = x2 - 3 ln x ，所以 f (x) = 2x - ，
x
3
当 2x - = -1时， x > 0x ，解得： x = 1，所以切点为
P (1,1) ，
2
所以 P 到直线 y + x = 0 距离为： d = = 2 ，
2
此距离即为曲线 y = f (x) 上的点到直线 y = -x 的距离的最小值，
所以 (a - c)2 + (b + c)2 的最小值为 2.
故选：C.
【变式 8-12】已知 y = mx + n 是曲线 f (x) = ex
n
的一条切线，则 的最小值为（
m 2 ）
1 1
A． - 3 B． - C
1
． - D．-1
e e2 e
【答案】B
【解析】因为 f (x) = ex ，所以 f (x) = e x ，
设切点为 (x0 ,e
x0 )，则 f (x0 ) = e
x0 ，
所以切线方程为 y - ex0 = ex0 (x - x ) x x，即 y = e 0 x - x e 00 0 + e
x0 ，
n 1- x
所以m = e x0 , n = (1 - x0 )e
x0 ，则 = 0 ，
m2 ex0
令 g(x)
1- x x - 2
= x ，则 g (x) = x ，e e
当 x (- ,2)时， g (x) < 0，当 x (2, + ) 时， g (x) > 0，
所以 g(x)在 (- ,2) 上单调递减，在 (2,+ ) 上单调递增；
则 g(x)
1
min = g(2) = - 2 .e
故选：B．
题型九：牛顿迭代法
【典例 9-1】（2024·山东潍坊·三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 f x = 0的根就
是函数 f x 的零点 r ，取初始值 x0, f x 的图象在点 x0 , f x0 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x1, f x
的图象在点 x1, f x1 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到 x1, x2 ,L, xn ，它们越来越
接近 r ．设函数 f x = x2 +bx 16， x 0 = 2，用牛顿迭代法得到 x1 = ，则实数b =（19 ）
3
A．1 B 1． 2 C
2
． 3 D． 4
【答案】D
【解析】 f (x) = 2x +b， f (2) = 4+b， f 2 = 4+2b，
则 f ( x ) 在 2, f 2 处的切线方程为 y - 4+2b = 4+b x -2 ，
16 ,0 4 2b 4 b 16- + = + 3由题意得，切线过 19 ÷ 代入得， - 2÷，解得b = ，è è19 4
故选：D．
-x
【典例 9-2】已知函数 f x = e ，若曲线 y = f x 在 x = 0 处的切线交 x 轴于点 a1,0 ，在 x = a1处的切线
交 x 轴于点 a2,0 ，依次类推，曲线 y = f x 在 x = an-1处的切线交 x 轴于点 a n , 0 ，则
1 1 1 1
+ + +L+
a a 的值是（ ）1 2 a2a3 a3a4 a2023a2024
2025 2023 2022 2023
A． B． C． D．
2024 2022 2023 2024
【答案】D
【解析】由 f x = e-x -x，则 f x = -e ，所以 f 0 =1， f 0 = -1，
则函数在 x = 0 处的切线为 y = -x +1，令 y = 0 ，解得 x = 1，即 a1 = 1，
-a
同理可得曲线 y = f x 在 x = a n-1n-1 n 2 处的切线方程为 y -e = -e-an-1 x-an-1 ，
令 y = 0 ，解得 x = an-1 + 1，即 an = an-1 + 1 n 2 ，
所以 an - an-1 = 1 n 2 ，即 an 是以1为首项，1为公差的等差数列，
1 1 1 1
所以 an = n ，则 = = -a ，nan+1 n n +1 n n +1
1 1 1 1
所以 + + +L+a1a2 a2a3 a3a4 a2023a2024
1 1 1 1 1 1 L 1 1 1 2023= - + - + - + + - =1- = .
2 2 3 3 4 2023 2024 2024 2024
故选：D
【方法技巧】
数形结合处理.
【变式 9-1】（2024·湖北咸宁·模拟预测）英国数学家牛顿在 17 世纪给出一种求方程近似根的方法一
Newton-Raphson method 译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设 r 是 f x = 0的根，选取 x0 作为 r 的初始近似值，
过点 x0, f x0 做曲线 y = f x 的切线 l ： y - f x0 = f x0 x- x0 ，则 l 与 x 轴交点的横坐标为
f x
x x = - 0 1 0 f x 0 f x 0 ，称x1是 r 的一次近似值；重复以上过程，得 r 的近似值序列，其中0
f
x x xn n+1 = n - f xf x n 0 ，称 xn +1 是 r 的 n + 1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零n
点大小，则函数 f x = lnx+ x-3的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后 3 位，参考数据：
ln2 = 0.693）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
【答案】C
【解析】易知 f x = lnx+ x-3在定义域上单调递增， f 2 = 2+ ln2-3< 0 < f 3 = ln3，即函数的零点有
且只有一个，且在区间 2,3 上.
1
不妨取 x 0 = 2作为初始近似值， f x = +1，x
f 2x 2 2 ln 2 -1 2 2ln 2 - 2 2 0.614= - = - = - = + 2.205
由题意知 1 f 2 1 +1 3 3 .
2
故选：C.
f x
【变式 9-2】（2024·北京·模拟预测）给定函数 f x ，若数列 xn 满足 xn+1 = xn - nf x ，则称数列 xn 为n
函数 f x x - 2的牛顿数列．已知 xn 为 f x = x2 - x-2的牛顿数列， an = ln nx +1 ，且a1 =1, xn < -1 n N+ ，n
数列 an 的前n项和为 Sn ．则S2023 =（　　）
A． 2 2023 - 1 B． 2 2024 - 1
2022 2023
C 1 1 ． 2 ÷
-1 D． ÷ -1
è è 2
【答案】A
2 2
【解析】 f x = 2x-1 x x - x - 2 x + 2， n+1 = xn - n n = n2x 1 2x 1 ，n - n -
x2n + 2 - 2 2
xn+1 - 2 2xn -1 x - 2 = = n ln
xn+1 - 2 = 2ln xn - 2
x +1 x2 + 2 x +1 ÷ ，则两边取对数可得n+1 n 1 è n xn+1 +1 x +1
.
+ n
2xn -1
即 an+1 = 2an，所以数列 an 是以1为首项，2为公比的等比数列.
1 1- 22023
所以 S2023 = = 2
2023 -1.
1- 2
故选：A
【变式 9-3】英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用
f x
广泛，若数列 xn
n 2
满足 xn+1 = xn - f x ，则称数列 xn 为牛顿数列．如果函数 f x = 2x -8，数列 xn n
为牛顿数列，设 an = ln
xn + 2
x - 2 ，且
a1 = 1， xn > 2．数列 an 的前n项和为 Sn ，则 S n = ．
n
【答案】 2 n - 1 / -1 + 2 n
【解析】∵ f x = 2x2 -8，∴ f x = 4x，
f x 2x 2n n -8 x 2n +4
又∵ xn+1 = xn - = x - =f x nn 4xn 2x
，
n
xn + 2
2 x - 2 2∴ x n n+1 + 2 = ， xn+1 - 2 = ，2xn 2xn
2
x
∴ n+1 -
2 xn + 2 =
x ÷
，
n+1 - 2 è xn - 2
又 xn > 2
2
x
∴ ln n+1
+ 2 xn + 2 xn + 2
x - 2 ÷
= ln = 2ln ，
è n+1 è x
÷ ÷
n - 2 è xn - 2
又 an = ln
xn + 2 a
x - 2 ，且 1
= 1，
n
所以 an+1 = 2an，
∴数列 an 是首项为1，公比为2的等比数列，
n
∴ a 的前n项和为 S 1 1- 2 ，则 S = = 2nn n n -1.1- 2
故答案为： 2 n - 1 .
【变式 9-4】令函数 f (x) = x2 + x -1，对抛物线 y = f (x) ，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点 (1,1) 处
作抛物线的切线，交 x 轴于 x1,0 ；在点 x1, f x1 处作抛物线的切线，交 x 轴于 x2,0 ；在点 x2 , f x2
处作抛物线的切线，交 x 轴于 xn ,0 ；……由此能得到一个数列 xn 随着 n 的不断增大， xn会越来越接近
函数 f x 的一个零在点 x0 ，因此我们可以用这种方法求 f x 零点 x0 的近似值.①设 xn+1 = g xn ，则
g xn = ；②用二分法求方程 x2 + x -1= 0在区间(0,1)上的近似解，根据前 4 步结果比较，可以得到
牛顿切线法的求解速度 （快于 等于 慢于）二分法.
x 2 + 1
【答案】 n 2x 1 快于n +
【解析】 f (x) = x2 + x -1， f (x) = 2x +1， f (xn ) = 2xn +1，
所以切线方程为 y - (x 2n + xn - 1) = (2 xn + 1)(x - xn ) ，
x x
2 +1 x2
令 y = 0 ，得 = n ，所以 xn+1 = g(x )
+1
n =
n
2xn +1 2x
，
n +1
x 0 +1 1 f (1二分法计算： 1 = = ， )
1
= - < 0， f (1) =1> 0；
2 2 2 4
1 1 3 5 1 3+ +
x = 2 3= ， f ( ) = > 0；4 16 x 2 4
5
2 3 = = = 0.625
，
2 4 2 8
f (5) 1
1 5
= > 0 +， x 2 8 9= = = 0.5625， x4 - x3 = 0.06258 64 4 2 16
用切线逼近法：
4 13 2
1+1 2 x ' g 2
+1
9 13
+1
x = g(1) = = ， = 13 ÷ = = ， x ' = g = è 21
÷

1 ，2 +1 3 2 è 3 4 3 ÷
0.6180
+1 21 è 21 26
3 +121
x ' 0.618
2 +1
= 0.61803， x 4 - x 3 < 0.00014 <0.0625，2 0.618+1
因此牛顿切线法的求解速度快于二分法．
x 2n + 1故答案为： 2x 1 ；快于．n +
题型十：切线平行、垂直、重合问题
【典例 10-1】（2024·高三·广东深圳·期末）已知曲线 E : y = e x 与 y 轴交于点 A ，设 E 经过原点的切线为 l ，
设 E 上一点 B 横坐标为m(m 0)，若直线 AB / /l ，则m所在的区间为（ ）
3 3
A． -1 < m < 0 B． 0 < m < 1 C．1< m < D． < m< 2
2 2
【答案】D
【解析】由 y = e x ，求导得 y = e x ，设直线 l 与曲线 E 相切的切点坐标为 (x0 ,ex0 )，则直线 l 的斜率为ex0 ，
直线 l 的方程为 y - ex0 = ex0 (x - x ) l (0,0) 0 - e x0 = e x0 ，由直线 过原点 ，即 0 (0 - x0 ) ，解得 x0 =1，
依题意，直线 AB 的斜率为 ex0 = e，而点 A(0,1)，则直线 AB 的方程为 y = ex +1，
ì y = ex +1
由 í x 消去 y 得 ex - ex -1 = 0，显然my e 是方程= e
x - ex -1 = 0的不为零的根，

令 g (x) = e x - ex -1，求导得 g (x) = e x - e ，当 x < 1时， g (x) < 0，当 x > 1时， g (x) > 0，
于是函数 g(x)在 (- ,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增， g (x)min = g (1) = -1 < 0，
显然 g(0) = 0，即 g(x)在 (- ,1)上有唯一零点 0，而 g (2) = e2 - 2e -1 > 0 ，
3
则 g(x) 3 3 3在 (1,+ )上有唯一零点，即1 < m < 2 ，又 g ÷ = e2 - e -1 = e

e -

÷ -1 < 0.2e -1 < 0，
è 2 2 è 2
所以m 3所在的区间为 < m< 2 .
2
故选：D
【典例 10-2】（2024·高三·广西·开学考试）曲线 f (x) = ln x + 2x +3在 A 点处的切线与直线 x + 3y - 2 = 0垂直，
则切线方程为（ ）
A． x + 3y + 2 = 0 B．3x - y -1= 0
C． x - 3y + 2 = 0 D．3x - y + 2 = 0
【答案】D
【解析】由 f (x) = ln x + 2x +3，得 f x 1= + 2， x > 0 ，
x
设 A(t, ln t + 2t + 3) 1， t > 0 ，则 f t = + 2 ，
t
1
由题意可得，直线 x + 3y - 2 = 0的斜率为- ，所以曲线 f x 在过点A 处的切线的斜率为 3，
3
所以 f t 1= + 2 = 3，解得 t = 1，
t
则可得切点 A(1,5)，所以切线方程为 y -5 = 3(x -1)，即3x - y + 2 = 0 .
故选：D．
【方法技巧】
利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.
【变式 10-1】（2024· 2全国·模拟预测）已知函数 f x = x + a + lnx 的图象上存在不同的两点 A, B ，使得曲
线 y = f x 在点 A, B 处的切线都与直线 x + 2y = 0垂直，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． - ,1- 2 B． 1- 2,0 C． - ,1+ 2 D． 0,1+ 2
【答案】A
【解题思路】根据题意知 f (x) = 2有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的
范围.
1
【解析】由题意知 f (x) = 2x + 2a + ，因为切线与直线 x + 2y = 0垂直，
x
所以曲线 y = f x 在点 A, B 处的切线斜率都是2，
即关于 x 的方程 f x = 2x + 2a 1+ = 2有两个不相等的正实数根，
x
2 1
化简得， x - 1- a x + = 0有两个不相等的正实数根，
2
ì 1- a > 0

则 í 2 1 ，解得 . Δ = 1- a - 4 > 0
a <1- 2
2
故选：A.
【变式 10-2】（2024·河北邢台·二模）已知函数 f x = x2 +2ln x的图像在 A x1, f x1 ，B x2, f x2 两个
不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
x 10 10A． 1 + x2 = 2 B． x1 + x2 = C． x1x2 = 2 D． x1x2 =3 3
【答案】B
【解题思路】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到 x1, x2 的关系，在结合不等
式求 x1 + x2 的取值范围即可.
2
【解析】因为 f x = x +2ln x， x > 0 .
所以 f x = 2x 2+ ， x > 0 .
x
由因为 f x 在 A x1, f x1 ，B x2 , f x2 两个不同点处的切线相互平行，
所以 f x1
2 2
= f x2 2x1 + = 2x2 + ，又 x1 x2 ，所以 x1x2 = 1x x ，故 CD 错误；1 2
因为 x1 > 0, x2 > 0 且 x1 x2 ，所以 x1 + x2 > 2 x1x2 = 2，故 A 不成立；
x 1 , x 3 10当 1 = 2 = 时， x1 + x2 = .故 B 成立.3 3
故选：B
【变式 10-3】已知函数 f x = ea × x+ ln x+a a R ，过坐标原点 O 作曲线 y = f x 的切线 l，切点为 A，
过 A 且与 l 垂直的直线 l1交 x 轴于点 B，则 OAB 面积的取值范围是（ ）
2
A． e+1,+ B． 2e,+ C 2． é e ,+ D． é e +1 , +
【答案】D
【解题思路】先设出切点 x0, f x0 ，求出 f x0 ，根据点斜式写出切线 l 方程，根据切线 l 过原点求出切
点坐标和直线 l 的斜率；再根据已知条件求出直线 l1的方程，进一步求出点 B 坐标；最后根据三角形面积
公式表示出 OAB 面积，利用基本不等式求解即可.
【解析】因为 f x = ea × x+ ln x+a，
所以 f x = ea 1+ .
x
设切点A 为 x0, f x0 ，
f x = ea 1则 0 + ， f x0 = ea × xx 0 + ln x0 +a .0
a 1
所以切线 l 方程为 y = e + ÷ x - x + ea × x + ln xx 0 0 0 + a .è 0
因为切线 l 过坐标原点 O，
所以将 0,0 代入切线方程，整理得 ln x0 + a -1 = 0 x = e1- a，解得： 0 .
所以 f x a 1-a 1-a0 = e ×e + lne +a = e+1-a+a = e+1，
1-a 1则点 A e ,e +1 k a， l = e + = ea 1+ a a-1x e1-a = e + e .0
因为直线 l1过 A 且与直线 l 垂直，
k 1所以 l = -1 ea + ea-1
，
l y 1则直线 1的方程为 = - 1-aa a-1 x - e + e +1.e + e
令 y = 0 ，解得 x = e +1 ea 1 e+ ea-1 + e1-a = a e + 2 + ÷e + a ，è e e
e 2 1 所以点 B 坐标为 + + ÷e
a e + ，0 .
èè e ea
÷

S 1 1 é 1 a e ù所以 OAB = yA OB = e +1 e + 2 + e +2 2 ê è e ÷ ea ú .
1 a e 1 a e e 2 1 ee e+1因为 + 2 + ÷e + a 2 e + 2 +
a a
e e e ÷
e = 2 e +1 ，当且仅当 + + e =ea è e ÷ ea
，即 e = 时，等号成
è è e
立，
1
所以 S OAB e +1 2 e +1 = e +1
2
.
2
故选：D
ìx2 + x, x < 0

【变式 10-4】已知函数 f (x) = í 1 的图象上存在不同的两点A 、 B ，使得曲线 y = f (x) 在这两
- , x > 0 x
点处的切线重合，则点A 的横坐标的取值范围可能是（ ）
A ( 1． - ， 0) B． (
1
-1, - )
2 C (
1
． 2 ，
1) D． (1, 2)
2
【答案】A
【解题思路】方法一：设 A x1, f x1 ，B x2 , f x2 ，不妨设 x1 < x2 ，利用导数的几何意义判断出
x1 < 0 < x2 ，写出函数 f ( x ) 在 A, B 两点处的切线方程，再根据两直线重合列式，消去x2，得
1 x4 - 2x 1-1 = 0 f (x) = x4 - 2x -1 f 1 11 1 ，构造函数 ，由 - ÷ = > 0， f (0) = -1 < 0 ，可求出结果.4 4 è 2 64
方法二：易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，
两区间一定属于同一单调区间，分析函数的单调区间即可得出结果.
【解析】解法一：
当 x < 0 时， f (x) = x 2 + x 的导数为 f (x) = 2x +1；
x > 0 f (x) 1= - f 当 时， 的导数为 (x)
1
= 2 ，x x
设 A x1, f x1 ，B x2 , f x2 为该函数图象上的两点，且 x1 < x2 ，

当 x1 < x2 < 0，或0 < x1 < x2 时， f (x1 ) f (x2 )，故 x1 < 0 < x2 ，
x < 0 f ( x ) A x , f x y - (x 2当 1 时，函数 在点 1 1 处的切线方程为 1 + x1 ) = (2 x1 + 1)(x - x1 ) ；当 x2 > 0时，函数
f ( x ) 在点B x2 , f x 1 12 处的切线方程为 y + =x x 2 (x - x2 ) ．2 2
1 2 2
两直线重合的充要条件是 2 = 2xx 1
+1 ①，- = -xx 1 ②，2 2
1
由 x1 < 0 < x
1
2 得0 < <1x ，由①②
x4可得 1 - 2x1 -1 = 0，
2 4
1 1 1
设 f (x)
1
= x4 - 2x -1 ，由 f -

4 ÷
= > 0， f (0) = -1 < 0 ，可得 x - ,0 ，A 可能；
è 2 64 1 ÷è 2
f ( 1) 5由 - = > 0，B 不正确；
4
2 1
由①可得 x2 > 1 ②
2
，由 可得 = x < x > 8x 1 4 ，即有 2 ，则 C，D 不正确．2
解法二：
如图，易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的内公切线，两
1
区间一定属于同一单调区间， x > 0 时， f x = - 2属于单调增区间，故当 x < 0 时， f x = x + x的单调
x
1
增区间为 - ,0÷，根据图像，A 可以位于此区间，另一个点 B 所在区间 + ，不好把握.
è 2
故选：A．
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题
【典例 11-1 3】已知函数 f x = asin3x +bx +4 a R,b R ， f x 为 f x 的导函数，则
f 2016 + f -2016 + f 2015 - f -2015 = .
【答案】8
【解析】设 g (x) = f (x) - 4 = a sin 3x + bx3 ，显然 g(x)为奇函数，
又 f (x) = 3a cos 3x + 3bx2 为偶函数，
所以 f (2016) + f (-2016) + f (2015) - f (-2015) = g(2016) + 4+ g(-2016) + 4+ f (2015) - f (2015) = 8 .
故答案为：8
【典例 11-2】（2024·海南海口·二模）已知函数 f x 的定义域为R ， f x +1 1是偶函数，当 x < 时，
2
f x = ln 1-2x ，则曲线 y = f x 在点 2, f 2 处的切线斜率为（ ）
2 2
A． B． - C．2 D．-2
5 5
【答案】C
【解析】因为 f x +1 是偶函数，所以函数 f x 的图象关于 x = 1对称，则 f 2- x =f x ，
x 3 1当 > 时，\2 - x < ，
2 2
\ f 2 - x = ln é 1- 2 2 - x ù = ln 2x - 3 ，
\ f x = ln 2x-3 ，则 f x 2= ，
2x - 3
\ f 2 = 2，即曲线 y = f x 在点 2, f 2 处切线的斜率为 2.
故选：C.
【方法技巧】
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
【变式 11-1】（2024·北京·模拟预测）记函数 f x = sin wx +j w > 0,0 为 f x T π 的导函数．若 f ÷ = 0， y = f x + ÷ 为偶函数，则w的最小值为（8 8 ）．è è
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由 f (x) =wcos(wx +j) T 2π T π π且 = ，则 f ( ) = f ( ) = w cos( +j) = 0 ，
w 8 4w 4
π π 5π π π π
又04 4 4 4 2 4
y = f π 由 x + ÷ 为偶函数，即 f (x
π
+ ) = sin(wx wπ π+ + ) 为偶函数，
è 8 8 8 4
wπ π π
所以 + = + kπ且 k Z ，则w = 2 + 8k > 0， k Z ，
8 4 2
当 k = 0 时w的最小值为 2.
故选：B
【变式 11-2】（2024· 3 2全国·模拟预测）已知函数 f x = x + a-1 x - x+b是定义在 m，2+m 上的奇函数，
f x 为 f x 的导函数，则 f a+b+m =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以m+ 2+ m = 0，得m = -1．
由 f x 为奇函数可得 f 0 = 0，得b = 0，
又 f -x = - f x ，所以 a = 1，
所以 f x = x3 - x， f x =3x2 -1，
故 f a+b+m = f 0 = -1，
故选：A.
x
【变式 11-3】（2024·全国·模拟预测）已知 f x 为奇函数，且当 x < 0 时， f x = x ，其中 e 为自然对数e
的底数，则曲线 f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 ．
【答案】 2ex - y - e = 0
x 0, f x -x【解析】由题设，当 x > 0 时，- < - = - x = - f x ，故 x > 0 时， f x = xex，e
所以 f x = x+1 ex, f 1 = 2e，而 f 1 = e，
故切线方程为 y -e = 2e(x -1)，即 2ex - y - e = 0 ．
故答案为： 2ex - y - e = 0
题型十二：切线斜率的取值范围问题
f (x) 1【典例 12-1】过函数 = e2 x - x 图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（
2 ）
é 3p é p 3p
A． ê0, ÷ B． ê0, 4 2 ÷
,p ÷
è 4
3p ,p p , 3p C． D．4 ÷ ÷è è 2 4
【答案】B
1 2 x
【解析】由题意，函数 f (x) = e - x ，可得 f (x) = e2x -1，
2
因为e2x > 0，所以e2x -1> -1，即切线的斜率 k > -1，
设切线的倾斜角为q ，则 tan q > -1
p 3p
又因为0 q < p ，所以0 q < 或 < q < p ，
2 4
é0, p U 3p 即切线的倾斜角的范围为 ê 2 ÷
,p ÷ .
è 4
故选：B.
【典例 12-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数 f x = a x - x1 x - x2 x - x3 (a > 0)，设曲线 y = f x 在
点 x i , f x i 处切线的斜率为ki i =1,2,3 ，若 x1, x2 , x3均不相等，且 k2 = -2 ，则 k1 + 4k3 的最小值为 ．
【答案】18
【解析】由于 f x = a x - x1 x - x2 x - x3 (a > 0)，
故 f x = a é x - x1 x - x2 + x - x2 x - x3 + x - x3 x - x1 ù，
故 k1 = a x1 - x2 x1 - x3 ,k2 = a x2 - x3 x2 - x1 ， k3 = a x3 - x1 x3 - x2 ，
1 1 1 1 1 1
则 + + = + +k1 k2 k3 a x1 - x2 x1 - x3 a x2 - x3 x2 - x1 a x3 - x1 x3 - x2
x3 - x2 + x1 - x + x - x = 3 2 1 = 0
a x1 - x2 x
，
2 - x3 x3 - x1
1 1 1
由 k2 = -2 ，得 + =k k 2 ，1 3
由 k2 = -2 ，即 k2 = a x2 - x3 x2 - x1 < 0，知x2位于 x1 , x3之间，
不妨设 x1 < x2 < x3，则 k1 > 0, k3 > 0 ，
1 1 k 4k 2 k 4k 2 5 k1 4k
k 4k
故 1 + 3 = 1 + 3 + ÷ = + +
3 ÷ 2 1 3
è k k è k k
5 + 2 × ÷÷ =18，
1 3 3 1 è k3 k1
ì k1 4k= 3
k3 k1
当且仅当 í ，即 k1 = 6, k3 = 3时等号成立，
1 1 1+ =
k1 k3 2
故则 k1 + 4k3 的最小值为 18，
故答案为：18
【方法技巧】
利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.
b
【变式 12-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线 y = kx + b 恒在曲线 y = ln x+2 的上方，则 的取值范围
k
是（ ）
A． 1,+ 3B． ,+ ÷ C． 0,+
4
D． ,+

è 4 è 5 ÷
【答案】A
【解析】设直线 y = kx + t 与曲线切于点 x0,ln x0 +2 ，
1
则 y = ，
x + 2
1
所以切线方程为 y = x + ln x0 + 2
x
- 0
x0 + 2 x0 + 2
，
1
所以 k = > 0 t = ln x
x
+ 2 - 0
x0 + 2
， 0 x0 + 2
，
b t
所以 > = x0 + 2 ln x0 + 2 - x0 + 2 + 2，k k
设 g x = xln x- x+2， g x = ln x，
当0 < x < 1时， g x < 0，当 x > 1时， g x > 0，
即 g x 在 (0,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增，
所以 g x g 1 =1 b，所以 > 1 .
k
故选：A.
2
【变式 12-2】点 P 在曲线 y = x3 - x + 上移动，设点 P 处切线的倾斜角为a ，则角a 的范围是（ ）
3
A．[0,
p ] pB． ( ,
3p ] [3pC． ,p )
p 3p
D．[0, ) [ ,p )
2 2 4 4 2 4
【答案】D
【解析】由 y = f (x) = x3
2
- x + ，
3
则 f ' (x) = 3x2 -1 -1，
则 tan a -1，
又a 0,p ，
所以a [0,
p ) [3p ,p )，
2 4
故选：D.
1．（2024 6年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 f x = x + 3x -1在 0, -1 处的切线与坐标轴围成的面积
为（ ）
1
A． B 3 1 3． C． 2 D． -6 2 2
【答案】A
5
【解析】 f x = 6x + 3，所以 f 0 = 3，故切线方程为 y = 3(x - 0) -1 = 3x -1，
1 1 1 1
故切线的横截距为 ，纵截距为 -1，故切线与坐标轴围成的面积为 1 =
3 2 3 6
故选：A.
x
2 2024 e + 2sin x．（ 年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数 f x = ，则曲线 y = f x 在 0,1 处的切线与
1+ x2
两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
1 1
A． B 1
2
． C． D．
6 3 2 3
【答案】A
ex + 2cos x 1+ x2 - ex + 2sin x ×2x
【解析】 f x = 2 ，1+ x2
e0 + 2cos 0 1+ 0 - e0 + 2sin 0 0
则 f 0 = 2 = 3， 1+ 0
即该切线方程为 y -1 = 3x ，即 y = 3x +1，
令 x = 0，则 y =1，令 y = 0
1
，则 x = - ，
3
1 1 1
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 S = 1 - = .
2 3 6
故选：A.
x e
3．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 y e= 在点 1, ÷处的切线方程为（ ）x +1 è 2
y e x e e e e 3eA． = B． y = x C． y = x + D． y = x +
4 2 4 4 2 4
【答案】C
ex 1, e y e【解析】设曲线 y = 在点 ÷处的切线方程为 - = k x -1 ，x +1 è 2 2
x
因为 y e= ，
x +1
ex x +1 - ex x
所以 y
xe
= =
x +1 2 ，x +1 2
e
所以 k = y |x=1= 4
y e e所以 - = x -1
2 4
ex e e e
所以曲线 y = 在点 1,
x 1 2 ÷
处的切线方程为 y = x + .
+ è 4 4
故选：C
4．（多选题）（2022 年新高考全国 I 卷数学真题）已知函数 f (x) = x3 - x +1，则（ ）
A． f ( x ) 有两个极值点 B． f ( x ) 有三个零点
C．点(0,1)是曲线 y = f (x) 的对称中心 D．直线 y = 2x是曲线 y = f (x) 的切线
【答案】AC
2 3 3
【解析】由题， f x =3x -1，令 f x > 0得 x > 或 x < - ，3 3
令 f (x) < 0 3 3得- < x < ，
3 3
f ( x ) ( , 3 3所以 在 - - )， ( ,+ ) 3 3上单调递增， (- , ) x 3上单调递减，所以 = ± 是极值点，故 A 正
3 3 3 3 3
确；
因 f ( 3 2 3 3 2 3- ) = 1+ > 0 ， f ( ) = 1- > 0， f -2 = -5< 0，
3 9 3 9
所以，函数 f x 3 在 - , - 3 ÷÷ 上有一个零点，è
x 3

当 时， f x
3 3
f ÷ > 0 ，即函数 f x 在 , + ÷上无零点，
3 ÷ ÷è 3 è 3

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