资源简介

第 01 讲 平面向量的概念及线性运算
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：向量的有关概念 .................................................................................................................4
知识点 2：向量的线性运算 .................................................................................................................4
知识点 3：平面向量基本定理和性质 .................................................................................................5
知识点 4：平面向量的坐标表示及坐标运算 .....................................................................................7
解题方法总结 ........................................................................................................................................7
题型一：平面向量的基本概念 ............................................................................................................8
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题 ....................................................................................9
题型三：共线定理及其应用 ..............................................................................................................10
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 ......................................................................12
题型五：平面向量的直角坐标运算 ..................................................................................................15
题型六：向量共线的坐标表示 ..........................................................................................................16
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................16
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................17
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................19
易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件 ..................................................................................19
答题模板：用基底表示向量 ..............................................................................................................19
考点要求 考题统计 考情分析
（1）向量的有关概念
2024 年 I 卷第 3 题，5 分
（2）向量的线性运算和
2024 年甲卷（理）第 9 题，5 分 通过对近 5 年高考试题分析可知，高考在
向量共线定理
2023 年北京卷第 3 题，5 分 本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，
（3）平面向量基本定理
2022 年 I 卷第 3 题，5 分 考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运
和性质
2021 年乙卷（文）第 13 题，5 分 算，预计后面几年的高考也不会有大的变化．
（4）平面向量的坐标表
2022 年乙卷（文）第 3 题，5 分
示及坐标运算
复习目标：
（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
（3）了解平面向量基本定理及其意义
（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
知识点 1：向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
uuur uuur uuur
（2）向量的模：向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度，记作 | AB |．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于 1 个单位的向量．
r
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定： 0 与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【诊断自测】下列命题中，正确的是（ ）
r r r r r r r r
A．若 a = b ，则a = b B．若 a > b ，则 a > b
r r r r r r r r r r
C．若a = b，则 a / /b D．若 a //b,b // c ，则 a / /c
知识点 2：向量的线性运算
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
①交换律
a+b
a+b r r r r
求两个向量和的 b b a + b = b + a
加法
运算 a a ②结合律
r r r r
三角形法则平行四边形法则 (a + b) + c = a
r
+ (b r+ c)
r r
求 a 与b 的相反 a-b
r b
向量 -b 的和的 r r r r
减法 r r a - b = a + (-b)
运算叫做 a 与b a
的差 三角形法则
1 | lar | | l || ar（ ） = |
r r l(ma
r) = (lm)ar
求实数l 与向量 （2）当 l > 0 时， la 与 a 的方向相同；当
(l m)ar lar r数乘 r r r + = + maa 的积的运算 l < 0 时，la 与 a 的方向相同； r r
r l(a
r
+ b) r= la + lb
当l = 0 时，la = 0
【注意】
r
（1）向量表达式中的零向量写成 0 ，而不能写成 0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或
重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须
重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首
尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA - OB = BA ， AM - AN = NM ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA = OB+CA OA - OB = CA BA - CA = BA + AC = BC ．
uuur uuur uuuur
【诊断自测】MP + PQ - MN =（ ）
uuur uuur uuuur uuur
A．QN B． NQ C．PM D．MP
知识点 3：平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
r r r r r r
如果 ar = lb(l R) ar / /b ar r，则 ；反之，如果 / /b 且 b 0 ，则一定存在唯一的实数l ，使 a = lb ．（口
诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
ur uur
e e r如果 1 和 2 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量 a ，都存在唯一的一对
r ur uur ur uur
实数 l1,l2 ，使得 a = l1e1 + l2 e2 ，我们把不共线向量 e1 ， e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记
ur uur ur uur r ur uur为 e1,e2 ，l1e1 + l2 e2 叫做向量 a 关于基底 e1,e2 的分解式．
ur uur r
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量 e1 与 e2 不共线，平面内的任一向量 a 都可以分解成形如
r ur uur ur uur ur uura = l1e1 + l2 e2 的形式，并且这样的分解是唯一的． l1e1 + l2 e2 叫做 e1 ， e2 的一个线性组合．平面向量基本
定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
r ur uur ur uur
推论 1：若 a = l1e1 + l2 e2 = l3 e1 + l4 e2 ，则l1 = l3 ,l2 = l4 ．
ur uur r
推论 2 r：若 a = l1e1 + l2 e2 = 0 ，则l1 = l2 = 0 ．
3、线段定比分点的向量表达式
uuur uuur
如 图 所 示 ， 在 △ABC 中 ， 若 点 D 是 边 BC 上 的 点 ， 且 BD = lDC （ l -1）， 则 向 量
uuur uuur uuur
AD AB + l AC= ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神
1+ l
奇”之功效，建议熟练掌握．
A
B D C
4、三点共线定理
uuur uuur uuur
平面内三点 A，B，C 共线的充要条件是：存在实数 l, m ，使OC = lOA + mOB，其中 l + m = 1，O为
平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C 三点共线
uuur uuur
存在唯一的实数l ，使得 AC = l AB ；
uuur uuur uuur
存在唯一的实数l ，使得OC = OA + l AB ；
uuur uuur uuur
存在唯一的实数l ，使得OC = (1- l)OA + lOB ；
uuur uuur uuur
存在l + m = 1，使得OC = lOA + mOB．
5、中线向量定理
uuur 1 uuur uuur
如图所示，在△ABC 中，若点 D 是边 BC 的中点，则中线向量 AD = (AB + AC)，反之亦正确．
2
A
B D C
uuur uuur uuur
【诊断自测】在 VABC 中，已知 D 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点，E 是 AC 的中点，且 DE = l AB + m AC ，
则l + m = （ ）
1
A - B C 1． ． -1 ． D．1
2 2
知识点 4：平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
r r
在平面直角坐标中，分别取与 x 轴， y 轴正半轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底，那么由平面
ar r
r r
向量基本定理可知，对于平面内的一个向量 ，有且只有一对实数 x, y 使 a = xi + yj ，我们把有序实数对
(x, y)叫做向量 ar 的坐标，记作 ar = (x, y) ．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
uuur
一一对
向量 (x, y)
应
向量OA
一

一对 应 点 A(x, y)．
r r r r r
（3）设 a = (x1, y1)， b = (x2 , y
r
2 ) ，则 a + b = (x1 + x2 , y1 + y2 )， a - b = (x1 - x2 , y1 - y2 )，即两个向量的和
与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
r r
若 a = (x, y) ， l 为实数，则 la = (lx,l y)，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相
应坐标．
uuur uuur uuur
（4）设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )，则 AB = OB - OA = (x1 - x2 , y1 - y2 )，即一个向量的坐标等于该向量的有
向线段的终点的坐标减去始点坐标．
（5）平面向量的直角坐标运算
uuur uuur
①已知点 A(x1 ，y1)， B(x2 ，y2 ) ，则 AB = (x2 - x1 ，y2 - y1) ， | AB |= (x - x )
2 + (y - y )22 1 2 1
r r r r② r已知 a = (x1, y1)，b = (x2 , y2 ) ，则 a ± b = (x1 ± x2 ，y1 ± y2 ) ，la = (lx1,l y1)，
r
ar b= x x y y | ar× 1 2 + 1 2 ， |= x
2
1 + y
2
1 ．
r r ra∥b x1 y2 - x y
r
2 1 = 0 ， a ^ b x1x2 + y1 y2 = 0
【诊断自测】已知点 A(2,3), B(1,4)
uuur uuur
，且 AP = -2PB ，则点 P 的坐标是 ．
解题方法总结
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称
为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向
量．
uuuur uuuuur uuuuuur uuuur
即 A1A2 + A2 A3 +L + An-1An = A1An ．
r r r r r
（2） || ar | - | b || | ar b | | ar± | + | b | r，当且仅当 a,b 至少有一个为 0 时，向量不等式的等号成立．
r r r r r r r
（3）特别地： || a | - | b || | ar ± b | | ar r± b | | a | + | b | ar或 当且仅当 ,b 至少有一个为 0 时或者两向量共线时，
向量不等式的等号成立．
uuur uuur uuur
（4）减法公式： AB - AC = CB ，常用于向量式的化简．
uuur uuur uuur
（5） A、 P 、 B 三点共线 OP = (1- t)OA + tOB (t R)，这是直线的向量式方程．
题型一：平面向量的基本概念
【典例 1-1】（2024·高三·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于 0
r r
r r a b r r r
C．若 a ，b 都为非零向量，则使 r + r = 0a b 成立的条件是 a 与b 反向共线
r r r r r r
D．若a = b，b = c，则 a = c
【典例 1-2】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，
r r r r r
但它们的模能比较大小；③若la = 0 (λ 为实数)，则 λ 必为零；④已知 λ，μ 为实数，若la = mb ，则 a 与
r
b 共线.其中错误命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传
递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相
等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．
【变式 1-1】下列说法中，正确的是（ ）
r r r r
A．若 | a |>| b |，则 a > b
r r r r
B．若 | a |=| b |，则a = b
r r r r
C．若a = b，则 a//b
r r r r
D．若 a b，则 a 与b 不是共线向量
r
【变式 1-2】设 a 是非零向量，λ 是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
r r r r
A． a 与la 的方向相反 B． a 与l 2 a 的方向相同
r r r r
C． -la a D． -la l a
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
uuur uuur uuur
【典例 2-1】若 AB = 7，AC = 4 ，则 BC 的取值范围是（ ）
A．[3，7] B． 3，7 C． 3，11 D． (3，11)
uuur uuur uuur
【典例 2-2】在平行四边形 ABCD中， E 为BD的中点，F 为BC 上一点，则 AB + AD - 2AF = （ ）
uuur uuur uuur uuur
A． 2FE B． 2EF C．FE D． 2CF
【方法技巧】
（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪
子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．
（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或
首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似
三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
uuur r uuur r uuur 1 uuur uuur
【变式 2-1】如图，在平行四边形 ABCD中， AB = a, AD = b，点 E 满足 EC = AC ，则DE =（ ）．
3
2 r rar 1 b 2 ar 1 b 1 ar 2
r r
A． - B． + C． - b
1 ar 2D． + b
3 3 3 3 3 3 3 3
【变式 2-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示，平行四边形 ABCD的对角线相交于点O，E 为 AO 的

中点，若DE = l AB+ m AD l, m R ，则l + m 等于（ ）．
A 1 B -1 C 1
1
． ． ． 2 D．- 2
uuur uuur uuur
【变式 2-3】已知矩形 ABCD的对角线交于点 O，E 为 AO 的中点，若DE = l AB + m AD（l ，m 为实数），
则l 2 - m 2 =（ ）
1 7
A - B 3 - 2 2 1+ 2． ． C． D．
2 9 2 2
【变式 2-4】（2024·高三·安徽·开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角
uuur uuur uuur
形来构造无理数. 已知 AB = BC = CD =1, AB ^ BC, AC ^ CD, AC 与BD交于点O ，若 DO = lAB + mAC ，则
l + m = （ ）
A． 2 -1 B．1- 2 C． 2 +1 D．- 2 - 1
题型三：共线定理及其应用
r r uuur r r uuur r r uuur r r
【典例 3-1】已知平面向量 a ，b 不共线， AB = 4a + 6b ， BC = -a + 3b，CD = a + 3b ，则（ ）
A．A ， B ，D三点共线 B．A ， B ，C 三点共线
C． B ，C ，D三点共线 D．A ，C ，D三点共线
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur
【典例 3-2】如图，在VABC 中， AC = 3AN , P是BN 上的一点，若 AP = m + AB + AC，则实数m 的值
è 3 ÷ 9
为（ ）
1
A B 2 C 2
1
． ． 9 ． 3 D．9 3
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
要证明 A，B，C 三点共线，只需证明 AB 与 BC 共线，即证 AB = l BC （ l R）．若已知 A，B，C 三
uuur uuur uuur uuur
点共线，则必有 AB 与 BC 共线，从而存在实数l ，使得 AB = l BC ．
uuur 2 uuur
【变式 3-1】如图，VABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 满足 AN = AB ，AM 与 CN 交于点 D，
3
uuur uuuur
AD = l AM ，则l =（ ）
A 2
3 4 5
． 3 B． C． D．4 5 6
【变式 3-2】（2024·重庆·模拟预测）已知点G 是VABC 的重心，点M 是线段 AC 的中点，若
uuuur uuur uuur
GM = l AB + m AC ，则l + m = （ ）
1 1 1 1
A． B． C．- D．-
12 6 6 12
ur uur r ur uur r ur uur r r
【变式 3-3】已知 e1,e2 是两个不共线的单位向量， a = e1 - e2 ,b = -2e1 + ke2 ，若 a与b 共线，则 k = .
uuur uuur uuur uuur
【变式 3-4】已知VABC 的重心为 G，经过点 G 的直线交 AB 于 D，交 AC 于 E，若 AD = l AB， AE = m AC ，
1 1
则 + =l m .
【变式 3-5】如图，点 G 为△ABC 的重心，过点 G 的直线分别交直线 AB，AC 点 D，E 两点，
uuur uuur uuur uuur 1 1
AB = 3mAD(m > 0)， AC = 3nAE(n > 0)，则m + n＝ ；若 n > m > 0 ，则 + 的最小值为 .
m n - m
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur
【变式 3-6】如图，在VABC 中， AD = AB, AE = AC,CD 与 BE 交于点P, AB = 2， AC = 3, AP × BC =1，
2 3
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
则 AB × AC 的值为 ；过点 P 的直线 l分别交 AB, AC 于点 M , N ,设 AM = mAB, AN = nAC (m > 0, n > 0)，
则m + 2n 的最小值为 .
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用
ur uur
【典例 4-1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量 e1 、 e2 ，则以下四组向量中不能构成平面向
量的基底的是（ ）
ur uur ur uur ur uur uur ur
A． 2e1 + e2 和 e1 - e2 B． e1 + 3e2 和 e2 + 3e1
ur uur uur ur ur ur uur
C． 3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 D． e1 和 e1 + e2
【典例 4-2】如图，在△ABC 中，点 D，D，E 分别为 BC 和 BA 的三等分点，点 D 靠近点 B，AD 交 CE 于
uuur r uuur r uuur
点 P，设BC = a ，BA = b ，则BP＝（ ）
1 r 3 r 1 r 4 r r r
A．- a + b B． a + b
1
C． a
r 3 2 r 4
+ b D． a + b
7 7 7 7 7 7 7 7
【方法技巧】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或
数乘运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
uuur uuur uuur
（3）三点共线定理：A，B，P 三点共线的充要条件是：存在实数 l, m ，使OP = lOA + mOB，其中
l + m = 1，O 为 AB 外一点．
AD
【变式 4-1】（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，点 D 在边 AB 上且满足 = 2，E 为 BC 的中点，直线
DB
uuur
DE 交 AC 的延长线于点 F，则BF = （ ）
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A．BA + 2BC B．-BA + 2BC C． 2BA - BC D．-2BA + BC
【变式 4-2】（2024·山西吕梁·三模）已知等边VABC 的边长为 1，点D, E 分别为 AB, BC 的中点，若
uuur uuur uuur
DF = 3EF ，则 AF =（ ）
1 uuur 5 uuur 1 uuurAB AC AB 3
uuur
A． + B． + AC
2 6 2 4
1 uuur uuurAB AC 1
uuur 3 uuur
C． + D． AB + AC
2 2 2
uur uuur uuur
【变式 4-3】在VABC 中， AB = 2, AC = 3, BC = 4，I 为VABC 的内心，若 AI = l AB + mBC ，则3l + 6m 的值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
uuur uuur
【变式 4-4】（2024·江苏扬州·模拟预测）在VABC 中，DC = 2BD, M 为线段 AD 的中点，过M 的直线分别
uuur 2 uuur uuur uuur
与线段 AB AC 交于P Q，且 AP = AB, AQ = l AC ，则l =（ ）
3
1 1
A． B． C 1
2
．
6 3 2
D． 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【变式 4-5】如图，平面内有三个向量OA，OB ，OC ，其中OA,OB =120o ，OA,OC = 30o，且
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA = OB =1， OC = 2 3 ，若OC = mOA + nOB，则m + n = .
【变式 4-6】（2024·福建漳州·模拟预测）在VABC 中，D是边BC上一点，且 BD = 2DC, E 是 AC 的中点，记
uuur ur uuur r uuur
AC = m, AD = n，则BE =（ ）
5 r ur 7 r ur 7 ur r 5 ur r
A． n - 3m B． n - 3m C． m - 3n D． m - 3n
3 2 2 2
【变式 4-7】（2024·河北衡水·模拟预测）在VABC 中，D是BC的中点，直线 l分别与 AB, AD, AC 交于点
uuur 4 uuuur uuur uuur uuur uuurM , E, N ，且 AB = AM ， AE = 2ED, AC = l AN ，则l =（
3 ）
8 5 7 5
A． B． C． D．
5 3 4 2
uuur uuur
【变式 4-8】（2024·河南·模拟预测）在VABC 中，点E 为 AC 的中点， AF = 2FB ， BE 与CF 交于点 P ，且
uuur uuur
满足BP = lBE ，则l 的值为（ ）
1 3
A． B 1． 2 C
2
． 3 D．3 4
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【变式 4-9】在VABC 中，BE = EC, BF
1
= BA + BC ，点 P 为 AE 与 BF 的交点， AP = l AB + m AC ，则2 2
l - m = ．
【变式 4-10】（2024·高三·河南·期中）已知VABC 为等边三角形，分别以 CA，CB 为边作正六边形，如图
所示，则（ ）
uuur 9 uuur uuur uuur 7 uuur uuur
A．EF = AD + 4GH B．EF = AD + 3GH
2 2
uuur uuur uuur uuur 9 uuur uuur
C．EF = 5AD + 4GH D．EF = AD + 3GH2
题型五：平面向量的直角坐标运算
uuur uuur uuur
【典例 5-1 】已知 O为 VABC 的外心，若 A(0,0), B(2,0), AC =1, BAC =120o , 且 AO = l AB + m AC ，则
l + m = （ ）
13
A 2． 3 B． 2 C．1 D． 6
1
【典例 5-2】 O为坐标原点， A(6,3) ，若点 P 在直线OA上，且 OP = PA ， P 是OB的中点，则点 B 的坐
2
标为 ．
【方法技巧】
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求向量的坐标．
（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．
uuur uuur
【变式 5-1】已知点O 0,0 ，向量OA = 1,3 ，OB = -3,5 uuur uuur，点 P 满足 AP = 2PB，则点 P 的坐标为 ．
【变式 5-2】已知梯形 ABCD 中， AB / /CD, AB = 2CD ，三个顶点 A(4,2), B(2,4),C(1,2) .则顶点D的坐
标 .
【变式 5-3】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形 ABCD中，点 A 0,0 ，B -4,4 ，D 2,6 ．若 AC 与
BD的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为 ,
【变式 5-4】如图所示，在四边形 ABCD 中，已知 A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线 AC 与
BD 交点 P 的坐标为 ．
uuur
【变式 5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，P0 1,0 ，把向量OPi 顺时针旋转定角
uuuur
q 得到OQi ，Qi 关于 y 轴的对称点记为Pi+1 ， i = 0,1,L,10，则P11的坐标为
题型六：向量共线的坐标表示
r r
【典例 6-1】已知 a = 4, -2 r，b = 6, y r，且 a / /b ，则 y = ．
uuur uuur uuur
【典例 6-2】已知向量 AB = 2,3 , BC = 2m,5 ,CD = 3, -1 ，若 A, B, D 三点共线，则m = .
【方法技巧】
r r
r（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若 a = (x1, y1)， b = (x2 , y2 ) ，则 a
r
∥b 的充要条件是
r r r
x1 y2 - x2 y1 = 0 ；②若 a
r
∥b(b 0) r，则 a = lb ．
（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，
也可以利用坐标对应成比例来求解．
r r r r r r
【变式 6-1】已知向量 a = 3,4 ,b = -1,5 ,c = 2,3 ，若 a - c 与 tcr + b 共线，则实数 t = .
r r r r r
【变式 6-2】已知向量 a = 1,1 ,b = m, -2 ，若 a// a + b ，则m = ．
【变式 6-3】在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-1,2)， B(1,1)，C(-3,1)．则 AB 的中点坐标为 ；当
uuur uuur uuur
实数m = 时， (mOC + OB)// AB．
r r r r
1．（2023 r r年北京高考数学真题）已知向量 a，b 满足 a + b = (2,3), a
r
- b = (-2,1) | ar，则 |2 - | b |2 =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．1
uuur uuur
2．（2022 年新高考全国 I 卷数学真题）在VABC 中，点 D 在边 AB 上，BD = 2DA．记CA mr= ，CD = nr，则
uuur
CB =（ ）
A．3mr 2nr- B r．-2m + 3nr C．3mr 2nr+ D． 2mr 3nr+
uuur
3．（2020 年新高考全国卷Ⅱ数学试题（海南卷））在VABC 中，D 是 AB 边上的中点，则CB =（ ）
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A． 2CD + CA B．CD - 2CA C． 2CD - CA D．CD + 2CA
r r r
4．（2024 r年上海秋季高考数学真题）已知 k R,a = 2,5 ,b = 6,k ，且 a / /b ，则 k 的值为 ．
r r r r
5．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量 a = 2,5 ,b = l, 4 ，若 a//b ，则l = ．
uuuv uuuv uuuv
1．（1）如图（1），在VABC 中，计算 AB + BC + CA；
uuuv uuuv uuuv uuuv
（2）如图（2），在四边形 ABCD 中，计算 AB + BC + CD + DA；
uuuuv uuuuv uuuuv uuuuuuv uuuuv
（3）如图（3），在 n 边形 A1A2 A3L An 中， A1A2 + A2 A3 + A3 A4 +L+ An-1An + An A1 = 证明你的结论.
2．飞机从甲地沿北偏西 15°的方向飞行 1400km 到达乙地，再从乙地沿南偏东 75°的方向飞行 1400km 到达
丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
uuur uuur uuur
3．如图，在任意四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 中点．求证： AB + DC = 2EF ．
uuuv 1 uuuv
4．在DABC 中， AD = AB, DE / /BC ，且与边 AC 相交于点 E，DABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N.设
4
uuuv v uuuv v v v uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
AB = a, AC = b，用 a，b 分别表示向量 AE, BC, DE, DB, EC, DN , AN .
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
5．已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量OA,OB,OC,OD满足等式OA + OC = OB + OD .
（1）作出满足条件的四边形 ABCD.
（2）四边形 ABCD 有什么特点？请证明你的猜想.
uuuv uuuv uuuv uuuv
6．如图，O 是平行四边形 ABCD 外一点，用OA,OB,OC 表示OD .
易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件
易错分析： 平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，且不能含有零向量.
ur uur
【易错题 1】如果 e1,e2 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是
（ ）
uur ur uur ur uur uur ur
A． e2 ， e1 - 2e2 B． e1 + 2e2 ， e2 + 2e1
ur uur uur ur ur uur ur uur
C． e1 - 3e2 ，6e2 - 2e1 D． e1 - e2 ， e1 - 3e2
uuur r uuur r
【易错题 2】在△ABC 中，D 是边 BC 的中点，E 是边 AC 上一点，且 AE = 2EC ，记 AB=a ， AC = b ，
uuur r r
DE = xa + yb，则 x - y = （ ）
1 1 2
A．- B． C - D
2
． ．
3 3 3 3
答题模板：用基底表示向量
1、模板解决思路
当待求向量的两个端点都能够确定位置时，一般在平面图形中借助三角形法则或平行四边形法则将向
量不断向基底转化．当待求向量某个端点的位置不能确定时，一般通过向量共线定理和平面向量基本定理
解决．
2、模板解决步骤
第一步：找一个向量所在的三角形或平行四边形，用三角形的另外两条边或平行四边形的邻边对应的
r r
向量 a,b 表示待求向量．
第二步：根据题中给出的线段的数量关系进行转化．
r r
第三步：将不是基底的向量作为待求向量按照第一步、第二步的方法不断进行转化为 a,b ，直到关系
r r
式中只用 a,b 表示.
uuur uuur uuur uuur uuur
【典型例题 1】在VABC 中， 2BD = BC ，3AE = AD ，则BE =（ ）
2 uuur uuurBA 1 BC 2
uuur
BA 1
uuur
A． - B． + BC
3 2 3 6
1 uuur 1 uuur 2 uuur uuur
C． BA + BC D． BA
1
+ BC
2 4 3 4
uuur
【典型例题 2】在VABC 中，点E 是 AB 上靠近A 的三等分点，F 是CE上靠近C 的三等分点，则 AF =
（ ）
1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A． AB
1 2
+ AC B． AB
1 AC 1 AB 2 AC 2 AB 2+ C． + D． + AC
9 3 9 3 9 3 9 3第 01 讲 平面向量的概念及线性运算
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：向量的有关概念 .................................................................................................................4
知识点 2：向量的线性运算 .................................................................................................................4
知识点 3：平面向量基本定理和性质 .................................................................................................5
知识点 4：平面向量的坐标表示及坐标运算 .....................................................................................7
解题方法总结 ........................................................................................................................................8
题型一：平面向量的基本概念 ............................................................................................................9
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题 ..................................................................................10
题型三：共线定理及其应用 ..............................................................................................................14
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用 ......................................................................19
题型五：平面向量的直角坐标运算 ..................................................................................................26
题型六：向量共线的坐标表示 ..........................................................................................................30
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................31
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................32
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................35
易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件 ..................................................................................35
答题模板：用基底表示向量 ..............................................................................................................36
考点要求 考题统计 考情分析
（1）向量的有关概念
2024 年 I 卷第 3 题，5 分
（2）向量的线性运算和
2024 年甲卷（理）第 9 题，5 分 通过对近 5 年高考试题分析可知，高考在
向量共线定理
2023 年北京卷第 3 题，5 分 本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，
（3）平面向量基本定理
2022 年 I 卷第 3 题，5 分 考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运
和性质
2021 年乙卷（文）第 13 题，5 分 算，预计后面几年的高考也不会有大的变化．
（4）平面向量的坐标表
2022 年乙卷（文）第 3 题，5 分
示及坐标运算
复习目标：
（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
（3）了解平面向量基本定理及其意义
（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
知识点 1：向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
uuur uuur uuur
（2）向量的模：向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度，记作 | AB |．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于 1 个单位的向量．
r
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定： 0 与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【诊断自测】下列命题中，正确的是（ ）
r r r r r r r r
A．若 a = b ，则a = b B．若 a > b ，则 a > b
r r r r r r r r r r
C．若a = b，则 a / /b D．若 a //b,b // c ，则 a / /c
【答案】C
r r r r
【解析】对于 A：若 a = b ，则 a,b只是大小相同，并不能说方向相同，A 错误；
对于 B：向量不能比较大小，只能相同，B 错误；
r r r r
对于 C：若a = b，则 a,b方向相同，C 正确；
r r r r r r r
对于 D：若 a //b,b // c ，如果b 为零向量，则不能推出 a,c 平行，D 错误.
故选：C.
知识点 2：向量的线性运算
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
①交换律
a+b
a+b r r r r
求两个向量和的 b b a + b = b + a
加法
运算 a a ②结合律
r r
三角形法则平行四边形法则 (a
r
+ b) + cr = ar (b cr+ + )
r
求 ar 与b 的相反
b a-br
向量 -b 的和的 r r r r
减法 r r a - b = a + (-b)
运算叫做 a 与b a
的差 三角形法则
（1） | lar | r=| l || a | r r
l 2 l 0 lar r
l(ma) = (lm)a
求实数 与向量 （ ）当 > 时， 与 a 的方向相同；当
(l m)ar r r数乘 r r r + = la + maa 的积的运算 l < 0 时，la 与 a 的方向相同； r rl(a r
r
r + b) = la + lb
当l = 0 时，la = 0
【注意】
r
（1）向量表达式中的零向量写成 0 ，而不能写成 0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或
重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须
重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首
尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA - OB = BA ， AM - AN = NM ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA = OB+CA OA - OB = CA BA - CA = BA + AC = BC ．
uuur uuur uuuur
【诊断自测】MP + PQ - MN =（ ）
uuur uuur uuuur uuur
A．QN B． NQ C．PM D．MP
【答案】A
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
【解析】MP + PQ - MN = NP + PQ = NQ，
故选：A．
知识点 3：平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
ar
r r r r r r
如果 = lb(l R)，则 ar / /b r；反之，如果 a / /b 且 b 0 r，则一定存在唯一的实数l ，使 a = lb ．（口
诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
ur uur
如果 e e r1 和 2 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量 a ，都存在唯一的一对
r ur uur ur uur
实数 l1,l2 ，使得 a = l1e1 + l2 e2 ，我们把不共线向量 e1 ， e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记
ur uur ur uur ur uur为 e1,e r2 ，l1e1 + l2 e2 叫做向量 a 关于基底 e1,e2 的分解式．
ur uur r
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量 e1 与 e2 不共线，平面内的任一向量 a 都可以分解成形如
r ur uur ur uur ur uura = l1e1 + l2 e2 的形式，并且这样的分解是唯一的． l1e1 + l2 e2 叫做 e1 ， e2 的一个线性组合．平面向量基本
定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
ur uur ur uur
推论 1 r：若 a = l1e1 + l2 e2 = l3 e1 + l4 e2 ，则l1 = l3 ,l2 = l4 ．
r ur uur r
推论 2：若 a = l1e1 + l2 e2 = 0 ，则l1 = l2 = 0 ．
3、线段定比分点的向量表达式
uuur uuur
如 图 所 示 ， 在 △ABC 中 ， 若 点 D 是 边 BC 上 的 点 ， 且 BD = lDC （ l -1）， 则 向 量
uuur uuur uuur
AD AB + l AC= ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神
1+ l
奇”之功效，建议熟练掌握．
A
B D C
4、三点共线定理
uuur uuur uuur
平面内三点 A，B，C 共线的充要条件是：存在实数 l, m ，使OC = lOA + mOB，其中 l + m = 1，O为
平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C 三点共线
uuur uuur
存在唯一的实数l ，使得 AC = l AB ；
uuur uuur uuur
存在唯一的实数l ，使得OC = OA + l AB ；
uuur uuur uuur
存在唯一的实数l ，使得OC = (1- l)OA + lOB ；
uuur uuur uuur
存在l + m = 1，使得OC = lOA + mOB．
5、中线向量定理
uuur uuur uuur
如图所示，在△ABC 中，若点 D 是边 BC 1的中点，则中线向量 AD = (AB + AC)，反之亦正确．
2
A
B D C
uuur uuur uuur
【诊断自测】在 VABC 中，已知 D 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点，E 是 AC 的中点，且 DE = l AB + m AC ，
则l + m = （ ）
1
A．- B 1． -1 C． 2 D．12
【答案】A
【解析】因为 D 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点，E 是 AC 的中点，
uuur uuur uuur uuur uuur
所以DE = DC + CE
2 1
= BC - AC
3 2
2 uuur uuur uuur
= (AC 1- AB) - AC
3 2
2 uuur uuur
= - AB 1+ AC ，
3 6
uuur uuur uuur
因为DE = l AB + m AC ，
2
所以l = - , m
1 2 1 1
= ，所以l + m = - + = - .
3 6 3 6 2
故选：A
知识点 4：平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
r r
在平面直角坐标中，分别取与 x 轴， y 轴正半轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底，那么由平面
r r r r
向量基本定理可知，对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x, y 使 a = xi + yj ，我们把有序实数对
(x, y) r r叫做向量 a 的坐标，记作 a = (x, y) ．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
uuur
(x, y) 一 一对 应 OA 一 一对 应向量 向量 点 A(x, y)．
r r r r r r
（3）设 a = (x1, y1)， b = (x2 , y2 ) ，则 a + b = (x1 + x2 , y1 + y2 )， a - b = (x1 - x2 , y1 - y2 )，即两个向量的和
与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
r
若 a = (x, y) ， l r为实数，则 la = (lx,l y)，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相
应坐标．
uuur uuur uuur
（4）设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )，则 AB = OB - OA = (x1 - x2 , y1 - y2 )，即一个向量的坐标等于该向量的有
向线段的终点的坐标减去始点坐标．
（5）平面向量的直角坐标运算
uuur uuur
①已知点 A(x1 ，y1)， B(x2 ，y2 ) ，则 AB = (x2 - x1 ，y - y
2 2
2 1) ， | AB |= (x2 - x1) + (y2 - y1)
② ar
r r
已知 = (x1, y
r
1)，b = (x2 , y2 ) ，则 a ± b = (x1 ± x2 ，y
r
1 ± y2 ) ，la = (lx1,l y1)，
ar
r
×b= x x r 21 2 + y1 y2 ， | a |= x1 + y
2
1 ．
ar
r
b x y x y 0 ar
r
∥ 1 2 - 2 1 = ， ^ b x1x2 + y1 y2 = 0
uuur uuur
【诊断自测】已知点 A(2,3), B(1,4)，且 AP = -2PB ，则点 P 的坐标是 ．
【答案】 (0,5)
【解析】如图，连接 AP,OA, BP，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
设O为坐标原点，建立平面直角坐标系，OP = OA + AP = OA - 2PB = OA - 2(OB - OP) ，
uuur uuur uuur
整理得OP = 2OB - OA = (2,8) - (2,3) = (0,5) ．
故答案为： (0,5)
解题方法总结
（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称
为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向
量．
uuuur uuuuur uuuuuur uuuur
即 A1A2 + A2 A3 +L + An-1An = A1An ．
r r r r r r r r
（2） || a | - | b || | a ± b | | a | + | b | r，当且仅当 a,b 至少有一个为 0 时，向量不等式的等号成立．
r r r r r3 || a | | b || | a b | | ar b | | ar
r r r r
（ ）特别地： - ± 或 ± | + | b |当且仅当 a,b 至少有一个为 0 时或者两向量共线时，
向量不等式的等号成立．
uuur uuur uuur
（4）减法公式： AB - AC = CB ，常用于向量式的化简．
uuur uuur uuur
（5） A、 P 、 B 三点共线 OP = (1- t)OA + tOB (t R)，这是直线的向量式方程．
题型一：平面向量的基本概念
【典例 1-1】（2024·高三·福建厦门·开学考试）下列命题不正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于 0
r r
r r a b r r r
C．若 a ，b 都为非零向量，则使 r + r = 0a b 成立的条件是 a 与b 反向共线
r r r r r r
D．若a = b，b = c，则 a = c
【答案】A
【解析】A 选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A 错误；
B 选项，由零向量的定义知，零向量的长度为 0，故 B 正确；
r r r r r r
a b a b r r a b r
C 选项，因为 r 与 rb 都是单位向量，所以只有当
r 与 r 是相反向量，即 与 是反向共线时 r + r = 0
a a b a b a b
才成立，故 C 正确；
D 选项，由向量相等的定义知 D 正确.
故选：A
【典例 1-2】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，
r r r r r
但它们的模能比较大小；③若la = 0 (λ 为实数)，则 λ 必为零；④已知 λ，μ 为实数，若la = mb ，则 a 与
r
b 共线.其中错误命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点.
②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.
r r r r
③错误.因为la = 0，所以 l = 0 或a = 0 .
r r r r
④错误.当 λ＝μ＝0 时，la = mb ，此时， a 与b 可以是任意向量.
所以错误命题有 3 个.
故选：C.
【方法技巧】
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传
递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相
等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．
【变式 1-1】下列说法中，正确的是（ ）
r r r r
A．若 | a |>| b |，则 a > b
r r r r
B．若 | a |=| b |，则a = b
r r r r
C．若a = b，则 a//b
r r r r
D．若 a b，则 a 与b 不是共线向量
【答案】C
【解析】对于 A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故 A 错误.
对于 B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故 B 错误.
r r r r r r
对于 C，若a = b，则 a,b必定共线，故 a//b ，故 C 成立.
r r
对于 D，当 a b时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
r r
故 a 与b 可以为共线向量，故 D 错误.
故选：C
r
【变式 1-2】设 a 是非零向量，λ 是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
r r r r
A． a 与la 的方向相反 B． a 与l 2 a 的方向相同
r r r r
C． -la a D． -la l a
【答案】B
r r r r
【解析】对于 A，当l > 0时， a 与la 的方向相同，当l < 0 时， a 与la 的方向相反，故 A 不正确；对于 B，
显然l 2 > 0，即 B 正确；
r r r r
对于 C， -la = l a ，由于 l 与 1 的大小不确定，故 -la 与 a 的大小关系不确定，故 C 不正确；
r r
对于 D， l a 是向量，而 -la 表示长度，两者不能比较大小，故 D 不正确．
故选：B
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
uuur uuur uuur
【典例 2-1】若 AB = 7，AC = 4 ，则 BC 的取值范围是（ ）
A．[3，7] B． 3，7 C． 3，11 D． (3，11)
【答案】C
uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】由题意知 AB = 7，AC = 4 ，且 BC =| AC - AB | ,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
当 AC, AB同向时， BC 取得最小值， BC =| AC - AB |=|| AC | - | AB ||=| 4 - 7 |= 3；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
当 AC, AB反向时， BC 取得最大值， BC =| AC - AB |=|| AC | + | AB ||=| 4 + 7 |=11；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
当 AC, AB不共线时， BC 取得最小值，3 =|| AC | - | AB ||<| BC |<|| AC | + | AB ||=11，
uuur
故 BC 的取值范围是 3，11 ，
故选：C
uuur uuur uuur
【典例 2-2】在平行四边形 ABCD中， E 为BD的中点，F 为BC 上一点，则 AB + AD - 2AF = （ ）
uuur uuur uuur uuur
A． 2FE B． 2EF C．FE D． 2CF
【答案】A
uuur uuur uuur
【解析】因为 E 为BD的中点，则 AB + AD = 2AE ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AB + AD - 2AF = 2AE - 2AF = 2FE .
故选：A.
【方法技巧】
（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪
子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．
（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或
首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似
三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
uuur r uuur r uuur 1 uuur uuur
【变式 2-1】如图，在平行四边形 ABCD中， AB = a, AD = b，点 E 满足 EC = AC ，则DE =（ ）．
3
2 r 1 r 2 r 1 r 1 r 2 r 1 r 2 r
A． a - b B． a + b C． a - b D． a + b
3 3 3 3 3 3 3 3
【答案】A
uuur 1 uuur uuur 2 uuur
【解析】由题意知，点E 满足 EC = AC ，可得 AE = AC ，
3 3
uuur uuur uuur 2 uuur uuurDE AE AD AC AD 2
uuur uuur uuur r
(AB AD) AD 2 a 1
r
则 = - = - = + - = - b .
3 3 3 3
故选：A.
【变式 2-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图所示，平行四边形 ABCD的对角线相交于点O，E 为 AO 的

中点，若DE = l AB+ m AD l, m R ，则l + m 等于（ ）．
1
A．1 B．-1 C 1． 2 D．- 2
【答案】D

DE DA AE AD 1

AC AD 1
1 3
【解析】由题意知 = + = - + = - + (AB+ AD) = AB- AD，
4 4 4 4
1 3 1
因为DE = l AB+ m AD l, m R ，所以l = ，m = - ，l + m = - ，4 4 2
故选：D．
uuur uuur uuur
【变式 2-3】已知矩形 ABCD的对角线交于点 O，E 为 AO 的中点，若DE = l AB + m AD（l ，m 为实数），
则l 2 - m 2 =（ ）
1 7
A - B C 3 - 2 2． ． ． D 1+ 2．
2 9 2 2
【答案】A
【解析】如图
在矩形 ABCD中，
uuur 1 uuur uuurDO = DA + DC ，2
在VDAO中，
uuur 1 uuur uuurDE = DA + DO ，2
uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur\DE = DA + DA + DC ÷ = DA + DC = AB - AD，2 è 2 2 4 4 4 4
l 1 , m 3\ = = - ，
4 4
\l 2 - m 2 1 9 1= - = - ．
16 16 2
故选：A．
【变式 2-4】（2024·高三·安徽·开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角
uuur uuur uuur
形来构造无理数. 已知 AB = BC = CD =1, AB ^ BC, AC ^ CD, AC 与BD交于点O ，若 DO = lAB + mAC ，则
l + m = （ ）
A． 2 -1 B．1- 2 C． 2 +1 D．- 2 - 1
【答案】A
【解析】以C 为坐标原点，CD,CA所在直线分别为 x, y 轴建立如图所示的坐标系，
由题意得 AC = 2 ，
2 2 uuur uuur
则 A 0, 2 , B , ÷÷ ,C 0,0 , AB
2 , 2= - ， AC =2 2 2 2 ÷÷ 0, - 2 .è è
因为CB = CD =1, DCB = 90o + 45o =135o，故 BDC = 22.5o，
2 tan 22.5o
因为 tan 45o = 2 o = 1，所以 tan 22.5
o = 2 -1（负值舍去），
1- tan 22.5
所以OC = DC × tan 22.5o = 2 -1，
uuur故O 0, 2 -1 .又D -1,0 ，则DO = 1, 2 -1 ，
ì
1 2= l
uuur uuur uuur 2
因为 DO = lAB + mAC ，所以 í ，

2 -1
2
= - l - 2m
2
ìl = 2
解得 í ，所以l + m = 2 -1，
m = -1
故选：A.
题型三：共线定理及其应用
r r uuur r r uuur r r uuur r r
【典例 3-1】已知平面向量 a ，b 不共线， AB = 4a + 6b ， BC = -a + 3b，CD = a + 3b ，则（ ）
A．A ， B ，D三点共线 B．A ， B ，C 三点共线
C． B ，C ，D三点共线 D．A ，C ，D三点共线
【答案】D
r r r r
【解析】因为平面向量 a ，b 不共线，所以 a ，b 可以作为平面内的一组基底，
uuur r r uuur r r uuur r r
又 AB = 4a + 6b ， BC = -a + 3b，CD = a + 3b ，
uuur uuur uuur r r r r r uuur uuur uuur r r r r r r
所以 BD = BC + CD = a + 3b - a + 3b = 6b， AC = AB + BC = -a + 3b + 4a + 6b = 3a + 9b，
uuur r r uuur r uuur uuur
对于 A：因为 AB = 4a + 6b ， BD = 6b，显然不存在实数 t 使得 AB = tBD，
所以A ， B ，D三点不共线，故 A 错误；
uuur r r uuur r r n uuur uuur对于 B：因为 AB = 4a + 6b ， AC = 3a + 9b ，不存在实数 使得 AB = nAC ，
所以A ， B ，C 三点不共线，故 B 错误；
uuur r r uuur r r uuur uuur
对于 C：因为 BC = -a + 3b，CD = a + 3b ，不存在实数m 使得BC = mCD ，
所以 B ，C ，D三点不共线，故 C 错误；
uuur r r uuur r r uuur uuur
对于 D：因为 AC = 3a + 9b ，CD = a + 3b ，所以 AC = 3CD ，
uuur uuur
所以 AC //CD，故A ，C ，D三点共线，故 D 正确.
故选：D
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur
【典例 3-2】如图，在VABC 中， AC = 3AN , P是BN 上的一点，若 AP = m +

÷ AB + AC，则实数m 的值
è 3 9
为（ ）
1 2 1A． B． 9 C
2
． D．
9 3 3
【答案】D
uuur 1 uuur uuur uuur
【解析】由题意可知， AN = NC ，所以
2 AC = 3AN
，
uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
又 AP = m + ÷ AB + AC，即 AP =

m
1 AB 1+ + AN .
è 3 9 ÷è 3 3
1 1
因为B P N 1三点共线，所以 m + ÷ + =1，解得m = .
è 3 3 3
故选：D.
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
要证明 A，B，C 三点共线，只需证明 AB 与 BC 共线，即证 AB = l BC （ l R）．若已知 A，B，C 三
uuur uuur uuur uuur
点共线，则必有 AB 与 BC 共线，从而存在实数l ，使得 AB = l BC ．
uuur 2 uuur
【变式 3-1】如图，VABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 满足 AN = AB ，AM 与 CN 交于点 D，
3
uuur uuuur
AD = l AM ，则l =（ ）
2 3 4 5A． 3 B． C． D．4 5 6
【答案】C
uuuur 1 uuur 1 uuur uuur uuuur uuur uuur
【解析】在VABC
l l
中，点 M 是 BC 的中点， AM = AB + AC ，则 AD = l AM = AB + AC ，
2 2 2 2
uuur uuur uuur uuur uuur
又 AN
2 3l
= AB ，于是得 AD = AN
l AC 3l l+ ，因点 C，D，N 共线，则有 + =1，解得l=
4
，
3 4 2 4 2 5
4
所以l= .
5
故选：C
【变式 3-2】（2024·重庆·模拟预测）已知点G 是VABC 的重心，点M 是线段 AC 的中点，若
uuuur uuur uuur
GM = l AB + m AC ，则l + m = （ ）
1 1 1 1
A． B． C．- D．-
12 6 6 12
【答案】C
uuuur 1 uuuur 1 uuuur uuur 1 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur【解析】GM = BM = AM - AB = AC - AB ÷ = - AB + AC ，3 3 3 è 2 3 6
l 1所以 = - , m
1
= ,l + m 1= -
3 6 6 .
故选：C
ur uur ur uur r ur uur r r
【变式 3-3
r
】已知 e1,e2 是两个不共线的单位向量， a = e1 - e2 ,b = -2e1 + ke2 ，若 a与b 共线，则 k = .
【答案】2
ur uur r ur uur r
【解析】因为 ar = e1 - e2 与b = -2e1 + ke2 共线，所以b = la
r
，
ur uur ur uur ur uur
2e ke ì
-2 = l
即- 1 + 2 = l e1 - e2 ，又 e1,e2 不共线，所以 ík l ，所以 k = 2 . = -
故答案为： 2
uuur uuur uuur uuur
【变式 3-4】已知VABC 的重心为 G，经过点 G 的直线交 AB 于 D，交 AC 于 E，若 AD = l AB， AE = m AC ，
1 1
则 + =l m .
【答案】3
【解析】
uuur 2 uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
如图，设 F 为 BC 的中点，则 AG = AF = AB + AC ，又 AB = AD ， AC = AE3 3 l m ，
uuur 1 uuur uuur
则 AG = AD
1 AE 1 1 1 1+
3l 3m ，又 G，D，E 三点共线，∴
+ =1，即 + = 33l 3m l m .
故答案为：3.
【变式 3-5】如图，点 G 为△ABC 的重心，过点 G 的直线分别交直线 AB，AC 点 D，E 两点，
uuur uuur uuur uuur 1 1
AB = 3mAD(m > 0)， AC = 3nAE(n > 0)，则m + n＝ ；若 n > m > 0 ，则 + 的最小值为 .
m n - m
【答案】 1 3+ 2 2
【解析】因为点 G 为△ABC 的重心，
uuur
AG 1
uuur 1 uuur
所以 = AB + AC ，
3 3
uuur uuur uuur uuur
因为 AB = 3mAD(m > 0)， AC = 3nAE(n > 0)，
uuur uuur uuur
所以 AG = mAD + nAE ，
因为D,G, E 三点共线，
所以m + n =1，
则 n =1- m > m, 则0
1 1 1 1 1
< m < ，代入 + 得 + ,0
1
< m <
2 m n - m m 1- 2m 2
f m 1 1令 = + ，0 < m 1< ，
m 1- 2m 2
f m -1 2= +
m2 1- 2m 2
-2m2 + 4m -1
=
m2 1- 2m 2
令 f m = 0 2 - 2 2 + 2，则m = 或 （舍）
2 2
2 - 2
且当m 0, ÷÷时， f m < 0 , f m 递减
è 2

m 2 - 2

当 ,
1
÷÷ 时， f m > 0， f m 递增
è 2 2
2 - 2
所以当m = 时， f m 有极小值，即最小值，
2
f m 1 1= + = 3 + 2 2
且 min 2 - 2 1- 2 - 2
2
故答案为:1；3+ 2 2 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【变式 3-6】如图，在VABC 中， AD
1
= AB, AE 1= AC,CD 与 BE 交于点P, AB = 2， AC = 3, AP × BC =1，
2 3
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
则 AB × AC 的值为 ；过点 P 的直线 l分别交 AB, AC 于点 M , N ,设 AM = mAB, AN = nAC (m > 0, n > 0)，
则m + 2n 的最小值为 .
8
【答案】 4
5
uuur uuur uuur uuur r uuur r
【解析】设 AP = xAB + y AC ，令 AB = a, AC = b ，
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
因为 AD = AB, AE = AC ，所以 AB = 2AD, AC = 3AE ，
2 3
uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AP = 2xAD + y AC = xAB + 3y AE ，
B, P, E ì
2x + y =1
又 与C , P, D
2
分别共线，所以 í x = , y
1
=
x + 3y =1
，解得 .5 5
uuur uuur r
AP 2× BC = ar 1+ b
r
因为 ÷ × b - ar =1，
è 5 5
r r r
所以 2ar2 ar- ×b - b 2 + 5 0 8 ar= ，即 - ×b - 9 + 5 = 0，
r r uuur uuur
解得a ×b = 4，即 AB × AC = 4 .
uuuur uuur uuur uuur
因为 AM = mAB, AN = nAC ，
uuur 1 uuuur uuur 1 uuur
所以 AB = AM , AC = AN ，
m n
uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuuur 1 uuur
所以 AP = AB + AC = AM + AN ，
5 5 5m 5n
2 1
因为M , P, N 共线，所以 + =1，
5m 5n
所以m + 2n
2 1 4 4n m 4 4n m 8
= m + 2n + ÷ = + + + 2 × = ，
è 5m 5n 5 5m 5n 5 5m 5n 5
4 2
当且仅当m = , n = 时，等号成立，
5 5
8
所以m + 2n 的最小值为 .
5
8
故答案为：4； .
5
题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用
ur uur
【典例 4-1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量 e1 、 e2 ，则以下四组向量中不能构成平面向
量的基底的是（ ）
ur uur ur uur ur uur uur ur
A． 2e1 + e2 和 e1 - e2 B． e1 + 3e2 和 e2 + 3e1
ur uur uur ur ur ur uur
C． 3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 D． e1 和 e1 + e2
【答案】C
ur uur ur uur
【解析】对 A：不存在实数l ，使得 2e1 + e2 = l e1 - e2 ，
ur uur ur uur
故 2e1 + e2 和 e1 - e2 不共线，可作基底；
ur uur uur ur
对 B：不存在实数l ，使得 e1 + 3e2 = l e2 + 3e1 ，
ur uur uur ur
故 e1 + 3e2 和 e2 + 3e1 不共线，可作基底；
ur uur uur ur ur uur
对 C：对 3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 ，因为 e1,e2 是不共线的两个非零向量，
uur ur ur uur
且存在实数-2，使得 2e2 - 6e1 = -2 3e1 - e2 ，
ur uur uur ur
故3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 共线，不可作基底；
ur ur uur ur ur uur
对 D：不存在实数l ，使得 e1 = l e1 + e2 ，故 e1 和 e1 + e2 不共线，可作基底.
故选：C.
【典例 4-2】如图，在△ABC 中，点 D，D，E 分别为 BC 和 BA 的三等分点，点 D 靠近点 B，AD 交 CE 于
uuur
P BC ar
uuur r uuur
点 ，设 = ，BA = b ，则BP＝（ ）
1 r r r r
A．- a
r 3
+ b 1B． a
r 4 1
+ b C． a
r 3 b 2 ar 4+ D． + b
7 7 7 7 7 7 7 7
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【解析】设 AP = l AD，EP = m EC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以BP = AP - AB = l AD - AB = l BD - BA - AB，
uuur 1 uuur uuur l uuur uuur
又BD = BC ，所以BP = BC + 1- l BA，
3 3
uuur 2 uuur
因为BE = BA，
3
uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur uuur
所以BP = BE + EP = BA + m EC = BA + m BC - BE3 3 = 1- m BA + m BC，3
ìl ì 3

= m
3
l =
7
所以 í2 2 ，解得 í m 1
，
- =1- l m =
3 3 7
uuur 1 uuur 4 uuur r r
所以BP = BC BA
1 a 4+ = + b，
7 7 7 7
故选：B.
【方法技巧】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或
数乘运算，基本方法有两种：
（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
（2）将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
uuur uuur uuur
（3）三点共线定理：A，B，P 三点共线的充要条件是：存在实数 l, m ，使OP = lOA + mOB，其中
l + m = 1，O 为 AB 外一点．
AD
【变式 4-1】（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，点 D 在边 AB 上且满足 = 2，E 为 BC 的中点，直线
DB
uuur
DE 交 AC 的延长线于点 F，则BF = （ ）
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A．BA + 2BC B．-BA + 2BC C． 2BA - BC D．-2BA + BC
【答案】B
【解析】
uuur uuur uuur
由题，A，C，F 三点共线，则BF = lBA + 1- l BC ，
uuur uuur uuur uuur uuur
D，E，F 三点共线，则BF = m BD + 1- m BE m= BA 1- m+ BC ，
3 2
ì
l
m
=

∴ 3
ìl = -1
í 1 　，得 1 l - m
í
m = -3
　，
- =
2
uuur uuur uuur
∴ BF = -BA + 2BC ．
故选：B.
【变式 4-2】（2024·山西吕梁·三模）已知等边VABC 的边长为 1，点D, E 分别为 AB, BC 的中点，若
uuur uuur uuur
DF = 3EF ，则 AF =（ ）
1 uuur uuurAB 5 AC 1
uuur 3 uuur
A． + B． AB + AC
2 6 2 4
1 uuur uuur 1 uuur 3 uuur
C． AB + AC D． AB + AC
2 2 2
【答案】B
uuur uuur
【解析】在VABC 中，取 AC, AB 为基底，
uuur uuur uuur uuur
则 AC = AB = 2, AC, AB = 60o ，
uuur uuur
因为点D, E 分别为 AB, BC 的中点，DF = 3EF ,
uuur 1 uuur uuur
所以EF = DE
1
= AC ，
2 4
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuurAF AE EF AB AC AC 1 uuurAB 3 uuur所以 = + = + + = + AC .2 4 2 4
故选：B.
uur uuur uuur
【变式 4-3】在VABC 中， AB = 2, AC = 3, BC = 4，I 为VABC 的内心，若 AI = l AB + mBC ，则3l + 6m 的值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设VABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
uur uur uur r
根据内心的性质可知 aIA + bIB + cIC = 0 ，
uur b uuur c uuur
于是 AI = AB + AC
a + b + c a + b + c
1 uuur 2 uuur
= AB + AC
3 9
1 uuur 2 uuur 2 uuur
= AB + AB + BC
3 9 9
5 uuur uuur
= AB 2+ BC ，
9 9
于是3l + 6m = 3．
故选：C.
uuur uuur
【变式 4-4】（2024·江苏扬州·模拟预测）在VABC 中，DC = 2BD, M 为线段 AD 的中点，过M 的直线分别
uuur 2 uuur uuur uuur
与线段 AB AC 交于P Q，且 AP = AB, AQ = l AC ，则l =（ ）
3
1 1
A B C 1 D 2． ． ． 2 ．6 3 3
【答案】B
【解析】
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur
如图，因DC = 2BD, 则 AC - AD = 2(AD - AB) ,即 AD = AB + AC （*），3 3
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
又 AM
1 2
= AD , AP = AB, AQ = l AC ,代入（*）得，2AM = AP
1
+ AQ ,
2 3 3l
uuuur 1 uuur 1 uuurAM AP AQ P, M ,Q 1 1 1即 = + ，因 三点共线，故 + = 1，解得，l = .
2 6l 2 6l 3
故选：B.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【变式 4-5】如图，平面内有三个向量OA，OB ，OC ，其中OA,OB =120o ，OA,OC = 30o，且
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA = OB =1， OC = 2 3 ，若OC = mOA + nOB，则m + n = .
【答案】6
【解析】
连接 AB ,交OC 于点D ,
uuur uuur
则 DOA = OAD = OBD = 30° , BOD = 90° , OD = OB tan 30° 3= ,
3
uuur uuur 3 uuurOD = DA = , DB 2 3= ,
3 3
uuur uuur uuur uuur
OD OA AD OA 1
uuur uuur uuur
法一：由平面向量基本定理得 = + = + AB
2
= OA 1+ OB,
3 3 3
uuur uuur
OC = 2 3 = 6 OD ,
uuur uuur uuur uuur uuur
\OC = 6 2 1 OA + OB ÷ = 4OA + 2OB, m + n = 6.
è 3 3
uuur
OC OC
k m n,k uuur 2 3= = + = = = 6,\m + n = 6.法二：根据等高线定理可得 OD OD 3
3
故答案为：6
【变式 4-6】（2024·福建漳州·模拟预测）在VABC 中，D是边BC上一点，且 BD = 2DC, E 是 AC 的中点，记
uuur ur uuur r uuur
AC = m, AD = n，则BE =（ ）
5 r ur 7 r ur ur r ur r
A． n - 3m B． n - 3m
7 5
C． m - 3n D． m - 3n
3 2 2 2
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】BE = AE - AB
1
= AC - (AC + CB)
2
1 uuur uuur 1 uuur
= - AC - 3CD = - AC - 3
2 2
uuur uuur
AD - AC
5 uuur uuurAC 3AD 5 mr r= - = - 3n ，
2 2
故选：D．
【变式 4-7】（2024·河北衡水·模拟预测）在VABC 中，D是BC的中点，直线 l分别与 AB, AD, AC 交于点
uuur 4 uuuur uuur uuur uuur uuurM , E, N ，且 AB = AM ， AE = 2ED, AC = l AN ，则l =（
3 ）
8 5 7 5
A． B． C． D．
5 3 4 2
【答案】B
uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur uuur 1 4 uuuur uuur 4 uuuur l uuur
【解析】由 AE = 2ED ，得 AE = AD = AB + AC = AM + l AN = AM + AN .3 3 3 è 3 ÷ 9 3
M , E, N 4 l 1 l 5因为 共线，所以 + = ，解得 = .
9 3 3
故选：B.
uuur uuur
【变式 4-8】（2024·河南·模拟预测）在VABC 中，点E 为 AC 的中点， AF = 2FB ， BE 与CF 交于点 P ，且
uuur uuur
满足BP = lBE ，则l 的值为（ ）
1
A B 1 C 2
3
． ． 2 ．3 3
D．
4
【答案】B
uuur uuur
【解析】如图，因为点E 为 AC 的中点， AF = 2FB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以， AP = AF + FP = AF + xFC = AF + x AC - AF = 1- x AF + xAC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAP = AB + BP = AB + lBE = AB + l AE - AB = 3 1- l1- l AB + l AE = AF l+ AC ，2 2
ì3 1- l
=1- x 3 1- l l 3- 2l 1
所以 í 2 ，即 + = =1，解得l =
l = x 2 2 2
2
2
所以，l 1的值为 2 .
故选：B
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【变式 4-9】在VABC 中，BE = EC, BF
1
= BA + BC2 2 ，点 P 为 AE 与 BF 的交点， AP = l AB + m AC ，则
l - m = ．
1
【答案】 / 0.25
4
uuur 1 uuur uuur
【解析】因为BF = BA + BC ，所以F 为 AC 中点，2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
B, P, F 三点共线，故可设BP = k BF ，即 AP - AB = k AF - AB ，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur
整理得 AP = k AF + 1- k AB = 1- k AB + k AC ，
2
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
因为BE = EC ，所以 AE - AB = AC
1 1 2
- AE ，即 AE = AC + AB ，
2 2 2 3 3
A, P, E 三点共线，
uuur uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur uuur
可得 AP = mAE = m AC + AB mAC
2
÷ = + mAB ，
è 3 3 3 3
ì2m 1
=1- k
ì
k = 3 2
所以 ím 1 ，解得 í 3
，
= k m =
3 2 4
uuur 1 uuur 1 uuur 1 1 1
可得 AP = AB + AC ，则l = , m = ，l - m = .
2 4 2 4 4
1
故答案为:
4
【变式 4-10】（2024·高三·河南·期中）已知VABC 为等边三角形，分别以 CA，CB 为边作正六边形，如图
所示，则（ ）
uuur 9 uuur uuur uuur uuur uuur
A．EF = AD + 4GH
7
B．EF = AD + 3GH
2 2
uuur uuur uuur uuur
EF 9
uuur uuur
C．EF = 5AD + 4GH D． = AD + 3GH2
【答案】A
uuur uuur
【解析】选取 AB, AC 为基底，
uuur uuur uuur uuur uuur
EF = EH + HF = 3AB + AC ，
uuur uuur uuur uuur uuur
AD = BG = 2BC = -2AB + 2AC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
GH = GB + BH = 2CB + AB = 2AB - 2AC + AB = 3AB - 2AC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
设EF = xAD + yGH = -2xAB + 2xAC + 3y AB - 2y AC
uuur uuur
= (-2x + 3y)AB + (2x - 2y)AC ，
ì-2x + 3y = 3 ì x
9
=
\í2x 2y 1 ，
\í 2 ，
- = y = 4
uuur uuur uuur
即EF
9
= AD + 4GH .
2
故选：A
题型五：平面向量的直角坐标运算
uuur uuur uuur
【典例 5-1 】已知 O为 VABC 的外心，若 A(0,0), B(2,0), AC =1, BAC =120o , 且 AO = l AB + m AC ，则
l + m = （ ）
13
A 2． 3 B． 2 C．1 D． 6
【答案】D
1 3
【解析】若 A(0,0), B(2,0), AC =1, BAC =120o ，则有C - , ÷÷ ，如图所示，
è 2 2
设VABC 的外心O x, y ，由 OA = OB ，得 x2 + y2 = x - 2 2 + y2 ，解得 x =1，
2 2
OA = OC 2 2 1 y 1 1 y 3
2 3
由 ，得 + = + 2 ÷
+ - ÷÷ ，解得 y = ，è è 2 3
2 3 uuur O 1, AO 1, 2 3

得 3 ÷÷，则
= ，
è è 3
÷÷

uuur
AC 1 3
uuur
又 = - , ÷÷， AB = 2,0
è 2 2
，

uuur uuur uuur 2 3 1 3
由 AO = l AB + m AC ，即 1, ÷÷ = l 2,0 + m - ,3 2 2 ÷÷，è è
ì2l 1- m =1 ìl 5=
2 6
得 í ，解得 í ，
3 m 2 3= m
4
=
2 3 3
l m 13故 + = .
6
1
【典例 5-2】 O为坐标原点， A(6,3) ，若点 P 在直线OA上，且 OP = PA ， P 是OB的中点，则点 B 的坐
2
标为 ．
【答案】 (4, 2)或 (-12,-6)

【解析】由题可知， A(6,3) ，点 P 在直线OA上，则OP// PA，

又Q OP
1
= PA ，\OP
1
= ± PA，
2 2
P m,n , B a,b 设点 ，则OP = m, n ，PA = 6 - m,3 - n ，

①当OP
1
= PA时，则 m, n 1= 6 - m,3 - n ，
2 2
ìm 1 = 6 - m
\ 2
ìm = 2
í ，解得： í ，\P 2,1
n 1
，
= 3 - n
n =1
2
QP是OB的中点，
ì0 + a
= 2
\ 2
ìa = 4
í0 b ，解得： í ，
\B 4,2 .
+ =1 b = 2
2

OP 1

PA m, n 1②当 = - 时，则 = - 6 - m,3 - n ，
2 2
ì
m
1
= - 6 - m
2 ìm = -6\í 1 ，解得： í ，
\P -6, -3 ，
n 3 n n = -3= - - 2
QP是OB的中点，
ì0 + a
= -6 ìa = -12
\ 2í ，解得： í ，\B -12, -6
0 + b 3 b = -6
，
= -
2
综上可得，点 B 的坐标为 (4, 2)或 (-12,-6) .
故答案为： (4, 2)或 (-12,-6) .
【方法技巧】
（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求向量的坐标．
（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．
uuur uuur uuur uuur
【变式 5-1】已知点O 0,0 ，向量OA = 1,3 ，OB = -3,5 ，点 P 满足 AP = 2PB，则点 P 的坐标为 ．
5 13
【答案】 - ,
è 3 3 ÷
uuur uuur
【解析】因为点O 0,0 ，向量OA = 1,3 ，OB = -3,5 ，
所以 A 1,3 ，B -3,5 ，
uuur
设P x, y ，则 AP = x, y - 1,3 = x -1, y - 3 ，
uuur
PB = -3,5 - x, y = -3- x,5 - y ，
ìx 5= -
uuur uuur ìx -1 = 2 -3- x 3 P 5 ,13 因为 AP = 2PB，所以 íy - 3 = 2 5 - y ，解得 í ，所以
- ÷ .
y 13= è 3 3
3
5 ,13- 故答案为： 3 3 ÷è
【变式 5-2】已知梯形 ABCD 中， AB / /CD, AB = 2CD ，三个顶点 A(4,2), B(2,4),C(1,2) .则顶点D的坐
标 .
【答案】 2,1
【解析】∵在梯形 ABCD中， AB = 2DC ， AB / /CD ， A(4,2)，B(2,4)，C(1,2) ．
uuur uuur
∴ AB = 2DC ．设点 D 的坐标为 (x, y)．
uuur uuur
则DC = (1- x, 2 - y)， AB = (-2,2) ．
∴ (-2,2) = 2(1- x, 2 - y)，即 (-2,2) = (2 - 2x, 4 - 2y)，
ì2 - 2x = -2, ìx = 2,
∴ í 解得 í 故点D的坐标为 (2,1)．
4 - 2y = 2, y =1.
故答案为： (2,1)．
【变式 5-3】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形 ABCD中，点 A 0,0 ，B -4,4 ，D 2,6 ．若 AC 与
BD的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为 ,
1 ,11 【答案】 2 2 ÷è
【解析】在平行四边形 ABCD中，
因为 AC 与BD的交点为M ，且E 为DM 的中点，
uuur uuur uuuur
所以 AE
1
= AD + AM2
1 éuuur 1 uuur uuur uuur uuur= ê AD + AB + AD ù 3ú = AD 1+ AB2 2 4 4
3 2,6 1 4,4 1 ,11= + - = ，
4 4 ֏ 2 2
uuur
由A 为坐标原点，所以向量 AE的坐标即为E 的坐标，
1 ,11 故点E 的坐标为
è 2 2 ÷
．

1 ,11 故答案为： ÷ .
è 2 2
【变式 5-4】如图所示，在四边形 ABCD 中，已知 A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线 AC 与
BD 交点 P 的坐标为 ．
27 16
【答案】 ,7 7 ÷è
uuur uuur uuur uuur
【解析】设 P(x，y)，则DP = (x－1，y)，DB = (5，4)，CA = (－3，6)，DC = (4，0)．
uuur uuur
由 B，P，D 三点共线可得DB = lDB = 5l, 4l ．
uuur uuur uuur uuur uuur
又因为CP = DP - DC = 5l - 4,4l ，由CP与CA共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
l 4解得 = ，
7
uuur
DP 4
uuur
DB 20 ,16 x 1, y 20所以 = = ÷，即 - = ,
16
÷，7 è 7 7 è 7 7
ìx 20-1 = ì x
27
=
7
故 í
7
í .
y 16 y 16= =
7 7
27 ,16 所以 P 的坐标为 ÷ .
è 7 7
27 16
故答案为： ,7 7 ÷è
uuur
【变式 5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，P0 1,0 ，把向量OPi 顺时针旋转定角
uuuur
q 得到OQi ，Qi 关于 y 轴的对称点记为Pi+1 ， i = 0,1,L,10，则P11的坐标为
【答案】 -cosq ,-sinq
uuur uuuur
【解析】把向量OP0 顺时针旋转定角q 得到OQ0 ，得Q0 cos -q ,sin -q ，
Q0 关于 y 轴的对称点记为P1，则P1 cos q - π ,sin q - π ，即P1 -cosq ,-sinq
uuur uuuur
把向量OP 顺时针旋转定角q 得到OQ1 ，得Q1 cos -π ,sin -π1 ，即Q1 -1,0
Q关于 y1 轴的对称点记为P2，则P2 0,1 ，
以此类推可得当 i为奇数时，Pi -cosq ,-sinq ，
当 i为偶数时，Pi 0,1 ，
故P11的坐标为 -cosq ,-sinq .
故答案为： -cosq ,-sinq
题型六：向量共线的坐标表示
r r r
【典例 6-1 r】已知 a = 4, -2 ，b = 6, y ，且 a / /b ，则 y = ．
【答案】-3
r r
【解析】由 a / /b 可得 4y = -2 6 ，解得， y=- 3 .
故答案为：-3 .
uuur uuur uuur
【典例 6-2】已知向量 AB = 2,3 , BC = 2m,5 ,CD = 3, -1 ，若 A, B, D 三点共线，则m = .
1
【答案】-
6
uuur uuur uuur
【解析】由BD = BC + CD = (2m + 3,4) ，又 A, B, D 三点共线，
uuur uuur
所以 AB = 2,3 与BD = (2m + 3,4)共线，得 2 4 - 3 2m + 3 = 0 m 1，解得 = - .
6
1
故答案为：-
6
【方法技巧】
r r
r r（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若 a = (x1, y1)， b = (x2 , y2 ) ，则 a∥b 的充要条件是
x r
r r r r
1 y2 - x2 y1 = 0 ；②若 a∥b(b 0)，则 a = lb ．
（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，
也可以利用坐标对应成比例来求解．
r r r r r r r
【变式 6-1】已知向量 a = 3,4 ,b = -1,5 ,c = 2,3 ，若 a - c 与 tc + b 共线，则实数 t = .
【答案】-6
r r r
【解析】因 a - c = (3, 4) - (2,3) = (1,1) r， tc + b = t(2,3) + (-1,5) = (2t -1,3t + 5) ，
ar cr r
r
则由 - 与 tc + b 共线可得，3t + 5 = 2t -1，解得 t = -6 .
故答案为：-6 .
r r r r r
【变式 6-2】已知向量 a = 1,1 ,b = m, -2 ，若 a// a + b ，则m = ．
【答案】-2
r r r r
【解析】因为 a = 1,1 ,b = m, -2 ，所以 a + b = 1,1 + m,-2 = m +1,-1 ，
r r r
又因为 a// a + b ，所以1 m +1 =1 -1 ，所以m = -2 .
故答案为：-2．
【变式 6-3】在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-1,2)， B(1,1)，C(-3,1)．则 AB 的中点坐标为 ；当
uuur uuur uuur
实数m = 时， (mOC + OB)// AB．
3
【答案】 0, ÷ / 0,1.5 3
è 2
-1+1 1+ 2 3
【解析】因为 A(-1,2) B(1,1) C(-3,1)

， ， ，所以 AB 的中点坐标为 , ÷，即 0, ；è 2 2 2 ÷è
uuur uuur uuur
又 AB = 1,1 - -1,2 = 2,-1 ，OB = (1,1) ，OC = (-3,1)，
uuur uuur
则mOC + OB = m -3,1 + 1,1 = -3m +1, m +1 ，
uuur uuur uuur
因为 (mOC + OB)// AB，则 2 m +1 = -1 -3m +1 ，解得m = 3 .
3
故答案为： 0, ÷ ；3
è 2
r r r r
1．（2023 r r r r年北京高考数学真题）已知向量 a b 满足 a + b = (2,3), a - b = (-2,1)，则 | a |2 2， - | b | =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．1
【答案】B
r r r r r r
【解析】向量 a,b 满足 a + b = (2,3), a - b = (-2,1)，
r r r r r r
所以 | a |2 - | b |2 = (a + b) × (a - b) = 2 (-2) + 3 1 = -1.
故选：B
uuur
2 2022 r
uuur r
．（ 年新高考全国 I 卷数学真题）在VABC 中，点 D 在边 AB 上，BD = 2DA．记CA = m，CD = n ，则
uuur
CB =（ ）
A 3mr． - 2nr B r．-2m + 3nr C．3mr 2nr+ D． 2mr r+ 3n
【答案】B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】因为点 D 在边 AB 上，BD = 2DA，所以BD = 2DA，即CD - CB = 2 CA - CD ，
uuur uuur uuur r ur r r
所以CB = 3CD - 2CA = 3n - 2m = -2m + 3n．
故选：B．
uuur
3．（2020 年新高考全国卷Ⅱ数学试题（海南卷））在VABC 中，D 是 AB 边上的中点，则CB =（ ）
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A． 2CD + CA B．CD - 2CA C． 2CD - CA D．CD + 2CA
【答案】C
【解析】
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
CB = CA + AB = CA + 2AD = CA + 2 CD - CA = 2CD - CA
故选：C
r r r
4．（2024 年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知 k R,a = 2,5 ,b = 6,k r，且 a / /b ，则 k 的值
为 ．
【答案】15
Qar
r
【解析】 / /b ，\2k = 5 6，解得 k =15．
故答案为：15．
r r r r
5．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知向量 a = 2,5 ,b = l, 4 ，若 a//b ，则l = ．
8
【答案】
5
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： 2 4 - l 5 = 0 ，
8
解方程可得：l = .
5
8
故答案为： .
5
uuuv uuuv uuuv
1．（1）如图（1），在VABC 中，计算 AB + BC + CA；
uuuv uuuv uuuv uuuv
（2）如图（2），在四边形 ABCD 中，计算 AB + BC + CD + DA；
uuuuv uuuuv uuuuv uuuuuuv uuuuv
（3）如图（3），在 n 边形 A1A2 A3L An 中， A1A2 + A2 A3 + A3 A4 +L+ An-1An + An A1 = 证明你的结论.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
【解析】（1） AB + BC + CA = AC + CA = AC - AC = 0
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
（2） AB + BC + CD + DA = AC + CD + DA = AD + DA = AD - AD = 0 .
uuuur uuuur uuuur uuuuuur uuuur r
（3） A1A2 + A2 A3 + A3 A4 +L+ An-1An + An A1 = 0 .
证明如下：
uuuur uuuur uuuur uuuuuur uuuur
A1A2 + A2 A3 + A3 A4 +L+ An-1An + An A1
uuuur uuuur uuuuuur uuuur
= A1A3 + A3 A4 +L+ An-1An + An A1
uuuur uuuuuur uuuur
= A1A4 +L+ An-1An + An A1
L
uuuur uuuur uuuur uuuur r
= A1An + An A1 = A1An - A1An = 0
2．飞机从甲地沿北偏西 15°的方向飞行 1400km 到达乙地，再从乙地沿南偏东 75°的方向飞行 1400km 到达
丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
【解析】如图，丙地在甲地的北偏东 45°方向，距甲地 1400km.
设甲地为A ，乙地为 B ，丙地为C ，作出示意图，
则 AB = BC =1400km， NAB = SBA =15° ， SBC = 75°，
\ ABC = SBC - SBA = 60° ，
∴ ABC 是等边三角形，
\ BAC = 60° ， AC =1400km ，
\ NAC = BAC - BAN = 45°，
即丙地在甲地北偏东 45° ，丙地距甲地1400km .
uuur uuur uuur
3．如图，在任意四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 中点．求证： AB + DC = 2EF ．
【解析】因为 E，F 分别是 AD，BC 中点，
uuur uuur uuur uuur
所以， AE = ED，BF = FC .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为 AB = AE + EF + FB，DC = DE + EF + FC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以， AB + DC = AE + EF + FB + DE + EF + FC = AE + DE +
uuur uuur
FB + FC uuur uuur+ 2EF = 2EF .
uuuv 1 uuuv
4．在 ABC 中， AD = AB, DE / /BC ，且与边 AC 相交于点 E， ABC 的中线 AM 与 DE 相交于点 N.设
4
uuuv v uuuv v v v uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
AB = a, AC = b，用 a，b 分别表示向量 AE, BC, DE, DB, EC, DN , AN .
uuur 1 r uuur r r uuur 1 r r【解析】如图 AE = b, BC = b - a, DE = b - a ，4 4
uuur r uuur r uuur r r
DB 3= a, EC 3= b, DN 1= b - a4 4 8
uuur uuuur r r
AN 1= AM 1= a + b .4 8
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
5．已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量OA,OB,OC,OD满足等式OA + OC = OB + OD .
（1）作出满足条件的四边形 ABCD.
（2）四边形 ABCD 有什么特点？请证明你的猜想.
【解析】（1）作图，
通过作图可以发现四边形 ABCD 为平行四边形.
（2）四边形 ABCD 为平行四边形，证明如下：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为OA + OC = OB + OD ，所以OA - OB = OD - OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为OA - OB = BA,OD - OC = CD .
uuur uuur
所以BA = CD，即 AB / / CD ，因此四边形 ABCD 为平行四边形.
uuuv uuuv uuuv uuuv
6．如图，O 是平行四边形 ABCD 外一点，用OA,OB,OC 表示OD .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】OD = OA + AD = OA + BC = OA + OC - OB = OA - OB + OC .
易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件
易错分析： 平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，且不能含有零向量.
ur uur
【易错题 1】如果 e1,e2 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是
（ ）
uur ur uur ur uur uur ur
A． e2 ， e1 - 2e2 B． e1 + 2e2 ， e2 + 2e1
ur uur uur ur ur uur ur uur
C． e1 - 3e2 ，6e2 - 2e1 D． e1 - e2 ， e1 - 3e2
【答案】C
ur uur ur uur
【解析】根据平面基底的定义知，向量 e1 ， e2 为不共线非零向量，即不存在实数l ，使得 e1 = le2 ，
uur ur uur uur ur uur
对于 A 中，向量 e2 和 e1 - 2e2 ，假设存在实数l ，使得 e2 = l e1 - 2e2 ，显然l 无解，可以作为一个基底；
ur uur uur ur ur uur uur ur ì1 = 2l
对于 B 中，向量 e1 + 2e2 和 e2 + 2e1 ，假设存在实数l ，使得 e1 + 2e2 = l e2 + 2e1 ，可得 í 无解，所以
2 = l
ur uur uur ur
e1 + 2e2 和 e2 + 2e1 可以作为基底；
ur uur uur ur ur uur uur ur ì1 = -2l
对于 C 中，向量 e1 - 3e2 和6e2 - 2e1 ，假设存在实数l ，使得 e1 - 3e2 = l 6e2 - 2e1 ，可得 í ，解得
-3 = 6l
l 1
ur uur uur ur
= - ，所以 e1 - 3e2 和6e - 2e2 2 1
不可以作为基底；
ur uur ur uur ur uur ur uur ì1 = l
对于 D 中，向量 e1 - e2 和 e1 - 3e2 ，假设存在实数l ，使得 e1 - e2 = l e1 - 3e2 ，可得 í 1 3l 无解，所以 - = -
ur uur ur uur
e1 - e2 和 e1 - 3e2 可以作为基底．
故选:C．
uuur r uuur r
【易错题 2】在△ABC 中，D 是边 BC 的中点，E 是边 AC 上一点，且 AE = 2EC ，记 AB=a ， AC = b ，
uuur r r
DE = xa + yb，则 x - y = （ ）
1
A -
1 2
B C - D 2． ． ． ．
3 3 3 3
【答案】C
【解析】由 D 是边 BC 的中点， AE = 2EC ，
uuur uuur uur uur uuur uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur r r
则DE = DB + BE
1
= CB + BC + CE 1 BC CE 1 (AC AB) ( 1 1 1 1 1= + = - + - AC) = - AB + AC = - a + b ，
2 2 2 3 2 6 2 6
uuur r r 1 1 2
DE = xa + yb，则 x = - ， y = ，所以 x - y = - .2 6 3
故选：C
答题模板：用基底表示向量
1、模板解决思路
当待求向量的两个端点都能够确定位置时，一般在平面图形中借助三角形法则或平行四边形法则将向
量不断向基底转化．当待求向量某个端点的位置不能确定时，一般通过向量共线定理和平面向量基本定理
解决．
2、模板解决步骤
第一步：找一个向量所在的三角形或平行四边形，用三角形的另外两条边或平行四边形的邻边对应的
r r
向量 a,b 表示待求向量．
第二步：根据题中给出的线段的数量关系进行转化．
r r
第三步：将不是基底的向量作为待求向量按照第一步、第二步的方法不断进行转化为 a,b ，直到关系
r r
式中只用 a,b 表示.
uuur uuur uuur uuur uuur
【典型例题 1】在VABC 中， 2BD = BC ，3AE = AD ，则BE =（ ）
2 uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur
A． BA - BC B． BA + BC
3 2 3 6
1 uuur uuur uuur uuur
C． BA
1
+ BC 2 1D． BA + BC
2 4 3 4
【答案】B
uuur 1 uuur uuur 1 uuur
【解析】由题意知 AE = AD ，BD = BC ，
3 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur1 1 uuur uuur uuur 1 BC uuur 2 uuur 1 uuur所以BE = BA + AE = BA + AD = BA + BD - BA = BA + - BA÷ = BA + BC .3 3 3 è 2 3 6
故选：B.
uuur
【典型例题 2】在VABC 中，点E 是 AB 上靠近A 的三等分点，F 是CE上靠近C 的三等分点，则 AF =
（ ）
1 uuur 1 uuur uuurAB AC 2 AB 1
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
A． + B． + AC C． AB
2 AC 2 AB 2+ D． + AC
9 3 9 3 9 3 9 3
【答案】C
【解析】由点E 是 AB 上靠近A 的三等分点，F 是CE上靠近C 的三等分点，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur得 AF = AC + CF = AC + CE = AC + AE - AC3 3
2 uuur 1 1 uuur 1 uuur 2 uuur
= AC + AB = AB + AC .
3 3 3 9 3
故选：C.

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