第01讲 数列的基本知识与概念(六大题型)(讲义)(含答案)第六章 数列 2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)

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第01讲 数列的基本知识与概念(六大题型)(讲义)(含答案)第六章 数列 2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)

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第 01 讲 数列的基本知识与概念
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1:数列的概念.........................................................................................................................4
知识点 2:数列的分类.........................................................................................................................4
知识点 3:数列的两种常用的表示方法.............................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................5
题型一:数列的周期性........................................................................................................................5
题型二:数列的单调性........................................................................................................................6
题型三:数列的最大(小)项............................................................................................................8
题型四:数列中的规律问题................................................................................................................9
题型五:数列的恒成立问题..............................................................................................................10
题型六:递推数列问题......................................................................................................................11
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................13
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................14
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................15
易错点:对数列的概念理解不准......................................................................................................15
答题模板:数列单调性的判断与应用..............................................................................................15
考点要求 考题统计 考情分析
2023 年北京卷第 10 题,4 分
(1)数列的概念 高考对数列概念的考查相对较少,考查内
2022 年乙卷(理)第 4 题,5 分
(2)数列的分类 容、频率、题型、难度均变化不大.重点是数列
2021 年北京卷第 10 题,4 分
(3)数列的性质 与函数结合考查单调性、周期性、最值性.
2020 年浙江卷第 11 题,4 分
复习目标:
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
知识点 1:数列的概念
(1)数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
(2)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以正整数集 N *(或它的有限子集 {1,2, ,n})
为定义域的函数 an f (n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.                    
(3)数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和通项公式法.
【诊断自测】下列说法中,正确的是( )
A.数列2,4,6,8可表示为集合 2,4,6,8
B.数列1,2,3,4 与数列 4,3,2,1是相同的数列
C.数列 n2 + n 的第 k 项为 k 2 + k
D.数列0,1,2,3,4,L可记为 n
知识点 2:数列的分类
(1)按照项数分:有限和无限
ì递增数列:an+1 an

递减数列:a2 n+1
an
( )按单调性来分: í
常数列:an+1 an C(常数)
摆动数列
1
【诊断自测】已知函数 f (x) x + ,设 an f (n) n N+ ,则下列说法中错误的是(x )
A. an 是无穷数列 B. an 是递增数列
C. an 不是常数列 D. an 中有最大项
知识点 3:数列的两种常用的表示方法
(1)通项公式:如果数列{an}的第 n项与序号 n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫
做这个数列的通项公式.                   
(2)递推公式:如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与
它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
【诊断自测】 n N* ,数列 1, 3,7, 15,31,× × × 的一个通项公式为( )
A. an 2n 1 cos nπ B. a n nπn 1 2 sin 2
C a 2n. n 1 D. an 1
n 1 2n
解题方法总结
ìS ,n 1
(1 1)若数列{an}的前 n项和为 Sn ,通项公式为 an ,则 an í
Sn Sn 1 ,n 2 ,n N
*
注意:根据 Sn 求 an 时,不要忽视对 n 1的验证.
ìa a ìa a
(2)在数列{an}中,若 a
n n 1 n n 1
n 最大,则 í ,若 an 最小,则a í
.
n an+1 an an+1
题型一:数列的周期性
ì
2an , a
1
n <
【典例 1-1】在数列 a 2 4n 中, an+1 í ,若 a1 ,则 a 1 ( ) 2a 5
2020
n
1,an 2
4 3 2 1
A. B. C. D.
5 5 5 5
【典例 1-2】(2024·陕西安康·模拟预测)在数列 an 中, an > 0, a1 1, a2 2 ,若对
"n N*, a2 2 2n + an+1 + an+2 10 ,则 a2024 ( )
A. 2 B.1 C. 3 D. 5
【方法技巧】
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
【变式 1-1】(2024·陕西榆林·三模)现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏,从甲开始依次进行,当
甲报出 1,乙报出 2 后,之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字,则第 2024 个被报
出的数应该为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【变式 1-2】(2024· *山东济宁·三模)已知数列 an 中, a1 2,a2 1,an+1 an an 1 n 2,n N ,则
a2024 ( )
A. 2 B. 1 C.1 D.2
a
【变式 1-3】(2024·辽宁· n *模拟预测)数列 an 中, a1 4, a2 3, an+1 n N , n 2a ,则 a1000 的值为n 1
( )
1 3 4
A. B. C.3 D.
4 4 3
【变式 1-4】(2024·全国· 5 3模拟预测)已知函数 f x x + 2x + 3x,数列 an 的首项为 1,且满足
an+3 an n N* .若 f a2023 + f a2024 + a2025 0,则数列 an 的前 2023 项和为( )
A.0 B.1 C.675 D.2023
题型二:数列的单调性
【典例 2-1】(2024·北京西城·三模)对于无穷数列{an},定义 dn an+1 an ( n 1,2,3,L),则“{an}为递增
数列”是“{dn}为递增数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不
必要条件
【典例 2-2】(2024·江西·模拟预测)已知数列 an 满足 an n a a R ,则“ a 1 ”是 an 是递增数列的
( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【方法技巧】
解决数列的单调性问题的 3 种方法
作差比较法 根据 an+1-an 的符号判断数列 an 是递增数列、递减数列或是常数列
an+1
作商比较法 根据 (aa n
>0或an <0) 与 1 的大小关系进行判断
n
数形结合法 结合相应函数的图象直观判断
【变式 2-1】(2024·天津南开·二模)设数列 an 2的通项公式为 an n + bn,若数列 an 是单调递增数列,
则实数 b 的取值范围为( ).
A. 3, + B. 2, + C. 2, + D. 3, +
【变式 2-2】(2024·江苏泰州·模拟预测)等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn ,则“ S1 + S3 < 2S2 ”是“{an}为
递减数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不
必要条件
2
【变式 2-3】数列 an 中前 n项和 Sn 满足 Sn ln + 2n +1 l R ,若 an 是递增数列,则l 的取值范围为
( )
0, 1A. + B. ,+
1
÷ C. , + ÷ D. 1, +
è 2 è 2
2
【变式 2-4】(2024·陕西安康·模拟预测)已知数列 an 的通项公式为 a en +mnn ,则“ m 21”是
“"n N*, an a10 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
ì 3 a n 3,n < 7
【变式 2-5】已知数列 an 满足: a í *n n 6 ,( n N , a > 0),数列 an 是递增数列,则实
a , n 7
数 a的可能取值为( )
15 16
A.2 B. C. D.4
7 7
【变式 2-6】(2024·浙江宁波·二模)已知数列 an 满足 an ln2 n ,对任意 n 1, 2,3 都有 an > an+1,且对
任意 n n n 7,n N 都有 an < an+1,则实数l 的取值范围是( )
é 1 1ù 1 1 1 1 1 1ù
A. ê , ú B. , ÷ C. , D. , 14 8 è14 7 è15 7 ÷ è15 8ú
【变式 2-7】(2024·江西·二模)已知数列 a 2 n *n 的首项 a1为常数且a1 , a + 2a 4 n N ,若数列3 n+1 n
an 是递增数列,则 a1的取值范围为( )
2 , 2 2 , 2 U 2 4 A. B.3 3 ÷ ÷
, ÷
è è 3 3 è 3 3

C. 0,
2 2 2 4
÷ D.3
0,
3 ÷
U , ÷
è è è 3 3
题型三:数列的最大(小)项
4 n+2
【典例 3-1】已知 an n × ( ) ,则数列 an 的偶数项中最大项为(5 )
A. a10 B.a8 C. a6 D.a4
6 *
【典例 3-2】(2024·上海·模拟预测)数列 an n N 的最小项的值为 .4n 29
【方法技巧】
求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)将数列视为函数 f (x) 当 x∈N*时所对应的一列函数值,根据 f(x)的类型作出相应的函数图象,
或利用求函数最值的方法,求出 f (x) 的最值,进而求出数列的最大(小)项.
ìan a
( 2 n 1) 通 过 通 项 公 式 an 研 究 数 列 的 单 调 性 , 利 用 í ,(n 2)确 定 最 大 项 , 利 用
an an+1
ìan an 1
í ,(n 2)确定最小项.
an an+1
a
(3)比较法:若有 an+1 an f (n +1) f (n) > 0或 a > 0 时
n+1 > 1,则 a >a ,则数列 a n a n+1 n
n 是递增
n
a
数列,所以数列 an 的最小项为 a1 f (1) ;若有 a n+1n+1 an f (n +1) f (n) < 0 或 an > 0 时 < 1,则an
a a a n 1 < an ,则数列 n+ 是递减数列,所以数列 n 的最大项为 a1 f (1) .
【变式 3-1】(2024·北京西城·一模)在数列 an 中,a1 2, a2 3 . *数列 bn 满足bn an+1 an n N .若
bn 是公差为 1 的等差数列,则 bn 的通项公式为bn , an 的最小值为 .
【变式 3-2】(2024·广东梅州·二模)已知数列 an 的通项公式 an 1
n 3n +1
( n N*n ),则2
n
ak a1 × a2 × × × an 的最小值为 .
k 1
n
【变式 3-3】数列 an 的通项 an n2 5 ,则数列 an 中的最大项的值为 .+
3-4 a 1 x n ax n 2,3,4, × × × b n+1【变式 】设 n 是 的展开式中 项的系数( ),若 n n + 7 a ,则bn 的最大值n+2
是 .
a sin nπ 16n + n N* 【变式 3-5】已知 6 2 + sin nπ ,则数列 an 的最小值为 .
6
【变式 3-6】在数列 an 中, a1 4, an an 1 + 2(2 n 100),则数列 an 的最大项的值是 .
题型四:数列中的规律问题
【典例 4-1】(2024·浙江绍兴·二模)汉诺塔(Tower of Hanoi),是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图
所示,有三根相邻的标号分别为 A、B、C 的柱子, A 柱子从下到上按金字塔状叠放着 n个不同大小的圆
盘,要把所有盘子一个一个移动到柱子 B 上,并且每次移动时,同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子
的上方,请问至少需要移动多少次?记至少移动次数为H n ,例如:H (1) 1, H (2) 3,则下列说法正
确的是( )
A. H (3) 5 B. H (n) 为等差数列
C. H (n) +1 为等比数列 D.H 7 <100
【典例 4-2】(2024·辽宁·二模)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于
解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量
总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前 10 项依次是 0,2,4,8,12,
18,24,32,40,50,则此数列的第 30 项为( )
A.366 B.422 C.450 D.600
【方法技巧】
特殊值法、列举法找规律
【变式 4-1】(2024·陕西西安·三模)定义 a1 1,1 , a2 1,2 , a3 2,1 , a4 1,3 , a5 2,2 ,
a6 3,1 , × × × n N* ,则 a2017 ( )
A. 1,63 B. 63,1 C. 64,1 D. 1,64
【变式 4-2】(2024·全国·模拟预测)据中国古代数学名著《周髀算经》记截:“勾股各自乘,并而开方除之
(得弦).”意即“勾” a、“股”b 与“弦” c之间的关系为 a2 + b2 c2 (其中 a b ).当 a,b,c N* 时,有如下勾
股弦数组序列: (3, 4,5), (5,12,13), (7, 24,25), (9, 40,41),L,则在这个序列中,第 10 个勾股弦数组中的“弦”
等于( )
A.145 B.181 C.221 D.265
【变式 4-3】(2024·四川·模拟预测)分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 曼德尔布罗特在 20 世纪 70 年
代创立的一门新学科,它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照
图①的分形规律生长成一个图②的树形图,则在图②中第 5 行的黑心圈的个数是( )
A.12 B.13 C.40 D.121
【变式 4-4】(2024·云南保山·二模)我国南宋数学家杨辉 126l 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如
图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的
一种几何排列,若去除所有为 1 的项,其余各项依次构成数列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则
此数列的第 56 项为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
题型五:数列的恒成立问题
【典例 5-1】已知数列 a n + 2 a
1 1 1
n 的前 n 项和 S n n N* 且 a1 1,若 + +L+ < mn m, n N*3 a1 a 2 an
恒成立,则m 的最小值为 .
ì 1 ü 2 ì Sn ü 1
【典例 5-2】记 Sn ,Tn 分别为数列 an ,í 前 n 项和,已知 a1 ,í 是公差为 的等差数列.若Tn < m
an 3 an 3
恒成立,则m 的最小值为 .
【方法技巧】
分离参数,转化为最值问题.
【变式 5-1】已知数列 an 的前 n项和为 Sn ,且满足 Sn 2an 2,若 Sn + n 1 lan 对于任意的正整数 n恒
成立,则实数l 的取值范围为 .
【变式 5-2】(2024·高三·重庆·期中)已知数列{ an }满足 a1 2,an+1 3an + 2,若对任意正整数 n 1都有
k(an +1) 2n 3恒成立,则 k 的取值范围是 .
【变式 5-3】(2024·全国·模拟预测)已知数列 an 满足 an+1 + an 2n 1,若 an+1 > an 对 n N* 恒成立,则 a1
的取值范围为 .
题型六:递推数列问题
2
【典例 6-1】(2024·天津·二模)在数列 an 中,若 a1a2 × × × a 3n 2nn ( n N* ),则a3的值为( )
A.1 B.3 C.9 D.27
ìa 1,n为奇数 10
【典例 6-2】(2024· n重庆·模拟预测)已知数列 an 满足: a1 1, an+1 í n ,则 a2 ,n k ( ) 为偶数 k 1
A.511 B.677 C.1021 D.2037
【方法技巧】
列举法
1 1 1
【变式 6-1】(2024·贵州遵义·一模)数列 an 满足 a1 ,对任意正整数 p,q 都有 apaq ( + )a2 p q p+q ,则
a6
a ( )8
16 32
A.4 B. C.6 D.
3 3
【变式 6-2】(2024·广东汕头·三模)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,
后人称为“三角垛”.已知一个三角垛,最顶层有 1 个小球,第二层有 3 个,第三层有 6 个,第四层有 10 个,
则第 30 层小球的个数为( )
A.464 B.465 C.466 D.467
【变式 6-3】图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二
是第 1 代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第 2 代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为 1,
则第 n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )
A. 2n 1;n B. 2n 1; n +1
C. 2n+1 1;n D. 2n+1 1; n +1
【变式 6-4】某剧场有 30 排座位,第一排有 20 个座位,从第二排起,后一排都比前一排多 2 个座位.
(1)写出前五排座位数.
(2)第 n排与第 n +1排座位数有何关系?
(3)第 n排座位数 an 与第 n +1排座位数 an+1能用等式表示吗?
【变式 6-5】观察下面的图形及相应的点数,回答
(1)写出图中点数构成的数列 an 的一个递推公式;并根据这个递推公式,求出数列 an 的通项公式;
ì
S 1
ü 3
(2)若 n 是数列 í 的前 n项和,证明: Sn < .
an 4
.
1 3
1.(2023 年北京高考数学真题)已知数列 an 满足 an+1 a 6 + 6(n 1,2,3,L),则( )4 n
A.当 a1 3时, an 为递减数列,且存在常数M ≤0,使得 an > M 恒成立
B.当 a1 5时, an 为递增数列,且存在常数M 6 ,使得 an < M 恒成立
C.当 a1 7时, an 为递减数列,且存在常数M > 6,使得 an > M 恒成立
D.当 a1 9时, an 为递增数列,且存在常数M > 0,使得 an < M 恒成立
2.(2022 年新高考浙江数学高考真题)已知数列 an 满足a1 1,a
1
n+1 an a
2
n n N* ,则( )3
A.2 100a
5 5
< 100 < B. < 100a100 < 3
7 7
C.3 < 100a100 < D. < 100a100 < 42 2 2 2
3.(2022 年高考全国乙卷数学(理)真题)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我
国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列 bn :
1
b 1 1+ b
1 b 1+
2 1+ 3 1
1 a , a +
1 , a1 + 1 ,…
*
,依此类推,其中ak N (k 1,2,L).则( )
1 1 a a +2 2 a3
A.b1 < b5 B.b3 < b8 C.b6 < b2 D.b4 < b7
4.(2022 年新高考北京数学高考真题)已知数列 an 各项均为正数,其前 n 项和 Sn 满足
an × Sn 9(n 1,2,L).给出下列四个结论:
① an 的第 2 项小于 3; ② an 为等比数列;
③ an 为递减数列; ④ a
1
n 中存在小于 的项.100
其中所有正确结论的序号是 .
1.根据下列条件,写出数列 an 的前 5 项:
(1 a n 1) 1 1, an an 1 + 2 (n 2);
2
(2) a1 3, an an 1 +1(n 2) .3
1
2.已知数列 an 满足 a1 2, an 2 (n 2)a ,写出它的前 5 项,并猜想它的通项公式.n 1
3.写出下列数列的前10项,并绘出它们的图像:
(1)素数按从小到大的顺序排列成的数列;
(2)欧拉函数j n (n N )的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
4.已知数列 an 的第 1 项是 1,第 2 项是 2,以后各项由 an an 1 + an 2 n > 2 给出.
(1)写出这个数列的前 5 项;
b a2 a n+1( )利用数列 n ,通过公式 n 构造一个新的数列 bn ,试写出数列 ba n 的前 5 项.n
5.假设某银行的活期存款年利率为0.35% 某人存 10 万元后,既不加进存款也不取款,每年到期利息连同
本金自动转存,如果不考虑利息税及利率的变化,用 an 表示第 n年到期时的存款余额,求 a1、 a2、a3及
an .
x
6.已知函数 f x 2 1 x x R ,设数列 an 的通项公式为 a2 n
f (n)(n N*) .
1
(1)求证 an .2
(2) an 是递增数列还是递减数列?为什么?
易错点:对数列的概念理解不准
易错分析:解题时容易找不到数列中的每项之间的相似地方,总结不出来一般规律。
1 1 3 2 5
【易错题 1】已知数列{an}的前 5 项依次为 , , , , ,则 an 的一个通项公式为 an .3 2 5 3 7
8 15 24
【易错题 2】数列 1, , , ,…的一个通项公式是 .
5 7 9
答题模板:数列单调性的判断与应用
1、模板解决思路
判断数列的单调性的方法,一般采用作差法比较数列中相邻两项的大小; 当数列各项符号相同时,
也可用作商法比较; 还可以利用数列通项公式所对应的函数的单调性判断数列的单调性.
2、模板解决步骤
第一步:根据条件求出数列的通项公式.
a
第二步:作差 an+1 an (或作商 n+1 ),并化简.an
a
第三步:讨论 an+1 an 与0 (或 n+1 与 1)的大小,得出数列的单调性.an
【典型例题 1】设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则“ an 是递增数列”是“ Sn 是递增数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2
【典型例题 2】已知数列 an 的通项公式为 an kn n 2,若 an 为递增数列,则 k 的取值范围为( )
1, 1 1A. + B. 0, + C. , + ÷ D. ,+
è 2 è 3 ÷ 第 01 讲 数列的基本知识与概念
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1:数列的概念.........................................................................................................................4
知识点 2:数列的分类.........................................................................................................................4
知识点 3:数列的两种常用的表示方法.............................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一:数列的周期性........................................................................................................................6
题型二:数列的单调性........................................................................................................................8
题型三:数列的最大(小)项..........................................................................................................13
题型四:数列中的规律问题..............................................................................................................17
题型五:数列的恒成立问题..............................................................................................................20
题型六:递推数列问题......................................................................................................................23
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................27
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................35
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................37
易错点:对数列的概念理解不准......................................................................................................37
答题模板:数列单调性的判断与应用..............................................................................................38
考点要求 考题统计 考情分析
2023 年北京卷第 10 题,4 分
(1)数列的概念 高考对数列概念的考查相对较少,考查内
2022 年乙卷(理)第 4 题,5 分
(2)数列的分类 容、频率、题型、难度均变化不大.重点是数列
2021 年北京卷第 10 题,4 分
(3)数列的性质 与函数结合考查单调性、周期性、最值性.
2020 年浙江卷第 11 题,4 分
复习目标:
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
知识点 1:数列的概念
(1)数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
(2)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以正整数集 N *(或它的有限子集 {1,2, ,n})
为定义域的函数 an f (n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.                    
(3)数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和通项公式法.
【诊断自测】下列说法中,正确的是( )
A.数列2,4,6,8可表示为集合 2,4,6,8
B.数列1,2,3,4 与数列 4,3,2,1是相同的数列
C.数列 n2 + n 的第 k 项为 k 2 + k
D.数列0,1,2,3,4,L可记为 n
【答案】C
【解析】对于 A,由数列的定义易知 A 错误;
对于 B,两个数列排列次序不同,是不同的数列,故 B 错误;
对于 C 2,数列 n + n 的第 k 项为 k 2 + k ,故 C 正确;
对于 D,因为0 N ,所以 n N ,这与数列的定义不相符,故 D 错误.
故选:C.
知识点 2:数列的分类
(1)按照项数分:有限和无限
ì递增数列:an+1 an

递减数列:an+1 an
(2)按单调性来分: í
常数列:an+1 an C(常数)
摆动数列
【诊断自测】已知函数 f (x) x
1
+ ,设 an f (n) n N+ ,则下列说法中错误的是(x )
A. an 是无穷数列 B. an 是递增数列
C. an 不是常数列 D. an 中有最大项
【答案】D
【解析】对于 A , an 显然是无穷数列,故 A 正确;
a a n 1 1 1 1对于 B,因为 n+1 - n + + - n - 1- > 0,即 an+1 > an ,即 an 1 n n(n 1) n 是递增数列,故 B 正确;+ +
对于 C,因为 a1 2 a 2
1 5
, 2 + , a1 a2 ,故 an 不是常数列,故 C 正确;2 2
对于 D,由 B 知, a 1n 是递增数列,当 n趋近于无穷大时, an n + 也趋近于无穷大,所以 an 中无最大n
项,故 D 错误.
故选:D
知识点 3:数列的两种常用的表示方法
(1)通项公式:如果数列{an}的第 n项与序号 n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫
做这个数列的通项公式.                   
(2)递推公式:如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与
它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
【诊断自测】 n N* ,数列 1,-3,7,-15,31,× × × 的一个通项公式为( )
A. a 2n -1 cos nπ a 1 2n sin nπn B. n - 2
C. an 2
n -1 D. an -1
n 1- 2n
【答案】D
【解析】对于选项 A:因为 a1 2 -1 cos π -1 1,故 A 错误;
对于选项 B:因为 a2 1- 22 sinπ 0 -3,故 B 错误;
对于选项 C:因为 a2 2
2 -1 3 -3,故 C 错误;
对于选项 D:检验可知对 n 1,2,3,4,5均成立,故 D 正确;
故选:D.
解题方法总结
ìS ,n 1
(1)若数列{an}
1
的前 n项和为 Sn ,通项公式为 an ,则 an í
S - S ,n 2 ,n N * n n-1
注意:根据 Sn 求 an 时,不要忽视对 n 1的验证.
ìan an-1 ìan a2 {a } a n-1( )在数列 n 中,若 n 最大,则 í ,若 a 最小,则 .
an a
n í
n+1 an an+1
题型一:数列的周期性
ì 1
2an , an <
【典例 1-1】在数列 an 中, an+1
2 4
í ,若 a1 ,则 a ( )
2a 1,a 1- 5
2020
n n 2
4 3 2 1
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】C
ì2a , a 1 <
a
n n 2 4
【解析】因为 n+1 í 且 a1 ,
2a -1,a 1 5
n n 2
4 3 3 1
所以 a2 2a1 -1 2 -1 , a3 2a2 -1 2 -1 ,5 5 5 5
a4 2a
2 a 2a 4 4 33 , 5 4 , a6 2a5 -1 2 -1 ,LL,5 5 5 5
a a a a 2所以 n 是以 4为周期的周期数列,所以 2020 4 504+4 4 .5
故选:C
【典例 1-2】(2024·陕西安康·模拟预测)在数列 an 中, an > 0, a1 1, a2 2 ,若对
"n N*, a2 2 2n + an+1 + an+2 10 ,则 a2024 ( )
A. 2 B.1 C. 3 D. 5
【答案】A
2 2
【解析】由 an+1 + an+2 + a
2 10 a2n+3 与 n + a
2
n+1 + a
2 10 a2 2n+2 相减得: n+3 - an 0,
即 (an+3 - an )(an+3 + an ) 0,又 an > 0,故 an+3 an ,所以 a2024 a2021 L a2 2 .
故选:A.
【方法技巧】
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
【变式 1-1】(2024·陕西榆林·三模)现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏,从甲开始依次进行,当
甲报出 1,乙报出 2 后,之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字,则第 2024 个被报
出的数应该为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】A
【解析】报出的数字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6L,除了首项以外是个周期为 6 的周期数列.
去掉首项后的新数列第一项为 2,
因为 2023 337 6 +1,所以原数列第 2024 个被报出的数应该为 2.
故选:A.
*
【变式 1-2】(2024·山东济宁·三模)已知数列 an 中, a1 2,a2 1,an+1 an - an-1 n 2,n N ,则
a2024 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】C
【解析】由 a1 2,a2 1,an+1 an - an-1 n 2,n N* ,得
a3 a2 - a1 -1,
a4 a3 - a2 -2,
a5 a4 - a3 -1,
a6 a5 - a4 1,
a7 a6 - a5 2,
a8 a7 - a6 1,
LL
则{an}是以 6 为周期的周期数列,
所以 a2024 a337 6+2 a2 1 .
故选:C
a
【变式 1-3】(2024·辽宁·模拟预测)数列 an 中, a 4 a 3 a n n N*1 , 2 , n+1 , n 2 aa ,则 1000 的值为n-1
( )
1 3 4
A. B. C.3 D.
4 4 3
【答案】A
an *
【解析】因为 a1 4, a2 3, an+1 n N , n 2a ,n-1
a a2 3 a 1令 n 2,可得 3 ;令n 3,可得 a4 3 a 4 a 4 ;1 2
a 1 a 4
令 n 4 4 5,可得 a5 a 3 ;令 n 5,可得
a6
3 a 3

4
a a
令 n 6 6 7,可得 a7 4;令 n 7,可得 a8 3a a ;5 6
可知数列 an 是以 6 为周期的周期数列,
所以 a
1
1000 a166 6+4 a4 .4
故选:A.
5 3
【变式 1-4】(2024·全国·模拟预测)已知函数 f x x + 2x + 3x,数列 an 的首项为 1,且满足
an+3 an n N* .若 f a2023 + f a2024 + a2025 0,则数列 an 的前 2023 项和为( )
A.0 B.1 C.675 D.2023
【答案】B
5
【解析】因为函数 f x x + 2x3 + 3x,则 f (x) 5x4 + 6x2 + 3 > 0,
所以函数 f x x5 + 2x3 + 3x在R 上单调递增,且是奇函数.
Qa *n+3 an n N ,\a1 a2023 1,a2 a2024 ,a3 a2025 ,
\ f a1 + f a2 + a3 f a2023 + f a2024 + a2025 0,
\ f a1 - f a2 + a3 f -a2 - a3 ,\a1 -a2 - a3,即 a1 + a2 + a3 0 ,
\数列 an 的前 2023 项和为674 a1 + a2 + a3 + a2023 0 + a1 1.
故选:B.
题型二:数列的单调性
【典例 2-1】(2024·北京西城·三模)对于无穷数列{an},定义 dn an+1 - an ( n 1,2,3,L),则“{an}为递增
数列”是“{dn}为递增数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不
必要条件
【答案】D
【解析】{an}为递增数列时,有 dn an+1 - an > 0,不能得到{dn}为递增数列,充分性不成立;
{dn}为递增数列时,不一定有 dn > 0,即不能得到{an}为递增数列,必要性不成立.
所以“{an}为递增数列”是“{dn}为递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
【典例 2-2】(2024·江西·模拟预测)已知数列 an 满足 an n - a a R ,则“ a 1 ”是 an 是递增数列的
( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 a 1时 an n - a 0,则 an n - a n - a ,
所以 an+1 - an n +1- a - n - a 1 > 0,即 an+1 > an ,所以 an 是递增数列,故充分性成立;
ì1
5 a n 5
,n 1
当 a

4时 n - í ,则 a1 < a2 < a 4
所以当数列 an 是递增数列, a可以大于1,所以必要性不成立,
所以“ a 1 ”是 an 是递增数列的充分不必要条件.
故选:B
【方法技巧】
解决数列的单调性问题的 3 种方法
作差比较法 根据 an+1-an 的符号判断数列 an 是递增数列、递减数列或是常数列
a
根据 n+1作商比较法 (an >0或an <0) 与 1 的大小关系进行判断an
数形结合法 结合相应函数的图象直观判断
【变式 2-1】(2024· 2天津南开·二模)设数列 an 的通项公式为 an n + bn,若数列 an 是单调递增数列,
则实数 b 的取值范围为( ).
A. -3, + B. -2, + C. -2, + D. -3, +
【答案】A
2
【解析】由题意可得 an+1 - an > 0恒成立,即 n +1 + b n +1 - n2 - bn 2n +1+ b > 0 ,
即b > -2n -1,又 n 1,-2n -1 -3,故b -3, + .
故选:A.
【变式 2-2】(2024·江苏泰州·模拟预测)等差数列{an}中,其前 n 项和为 Sn ,则“ S1 + S3 < 2S2 ”是“{an}为
递减数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不
必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为d ,
由 S1 + S3 < 2S2 ,可得 a1 + a1 + a2 + a3 < 2 a1 + a2 ,
所以 a3 - a2 < 0,即 d < 0 ,
所以{an}为递减数列,
所以“ S1 + S3 < 2S2 ”是“{an}为递减数列”的充分条件,
若{an}为递减数列,则 a1 > a2 > a3,
所以 S1 + S3 - 2S2 a1 + a1 + a2 + a3 - 2 a1 + a2 a3 - a2 < 0,
所以 S1 + S3 < 2S2 ,
所以“ S1 + S3 < 2S2 ”是“{an}为递减数列”的必要条件,
所以“ S1 + S3 < 2S2 ”是“{an}为递减数列”的充分必要条件,
故选:C.
2
【变式 2-3】数列 an 中前 n项和 Sn 满足 Sn ln + 2n +1 l R ,若 an 是递增数列,则l 的取值范围为
( )
0, + 1 ,+ 1 A. B. ÷ C. - , + ÷ D. -1, +
è 2 è 2
【答案】B
【解析】因为 Sn ln
2 + 2n +1 l R ,
则 Sn+1 l n +1
2 + 2 n +1 +1 l R ,
两式相减得 an+1 Sn+1 - Sn l(2n +1) + 2,
因为数列{an}是递增数列,
所以当 n 2时, an+1 - an [l(2n +1) + 2]-[2l(n -1) + l + 2] 2l > 0,解得l > 0 .
当 n 1时, a1 S1 l + 3, a2 3l + 2,
所以 a2 - a1 (3l + 2) - (l + 3) 2l -1 > 0 l
1
,解得 > .
2
l 1综上 > .
2
故选:B.
2
【变式 2-4】(2024·陕西安康·模拟预测)已知数列 an 的通项公式为 an en +mn,则“ m -21”是
“"n N*, an a10 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
m
【解析】二次函数 y x2 + mx 图象的开口向上,对称轴是直线 x - ,
2
且 y ex 在定义域R 内单调递增,
m
当 x < - 时, y x2 + mx 2单调递减, y ex +mx单调递减;2
x m当 > - 时, y x2 + mx 单调递增, y ex
2 +mx单调递增;
2
2
因为 a en +mn中的自变量 nn 为正整数,且"n N
*, an a10,
19 m 21
则 - ,解得-21 m -19 ,
2 2 2
显然 -21, -19 是 -21, + 的真子集,
“ m -21” “"n N*所以 是 , an a10 ”的必要不充分条件.
故选:B.
ì 3- a n - 3,n < 7
【变式 2-5】已知数列 an 满足: an í n-6 ,( n N* , a > 0),数列 an 是递增数列,则实
a , n 7
数 a的可能取值为( )
15 16
A.2 B. C. D.4
7 7
【答案】C
ì 3- a n - 3,n < 7【解析】因为 an f n í n-6 , n N*,且 an 为递增数列,
a , n 7
ì3- a > 0 ì3- a > 0

所以 ía >1 ,即 ía >1
15
,解得 < a < 3,
a > a
7
7 6 6 3- a - 3 < a
16
结合选项可知 符合题意,
7
故选:C.
【变式 2-6】(2024·浙江宁波·二模)已知数列 a a ln2n 满足 n - n ,对任意 n 1, 2,3 都有 an > an+1,且对
任意 n n n 7,n N 都有 an < an+1,则实数l 的取值范围是( )
é 1 , 1ù 1 , 1 1 1 1 1ùA. ê ú B. ÷ C. , ÷ D. , 14 8 è14 7 è15 7 è15 8ú
【答案】C
【解析】因为对任意 n 1, 2,3 都有 an > an+1,
所以数列 an 在 1,3 上是递减数列,
因为对任意 n n n 7,n N 都有 an < an+1,
所以数列 an 在 7, + 上是递增数列,
ì
l > 0

1 7 1 1
所以 í > ,解得 < l < ,
2l 2 15 7
1 15
< 2l 2
1 1l 所以实数 的取值范围是 , .
è15 7 ÷
故选:C.
【变式 2-7】(2024·江西·二模)已知数列 an
2
的首项 a1为常数且a1 , an+1 + 2a
n
n 4 n N* ,若数列3
an 是递增数列,则 a1的取值范围为( )
2 2 2 2 2
A. - , ÷ B. - , ÷ U ,
4
÷
è 3 3 è 3 3 è 3 3
0, 2 0, 2 U 2 4 C. ÷ D.3 ÷
,
3 3 3 ÷è è è
【答案】B
n
【解析】因为 an+1 + 2an 4 ,
a 1- 4n+1 1 n 所以 n+1 -2 an - 46 ÷

è 6
2 2
由于a1 ,即 a1 - 03 ,3
ì 4n ü 2
可得数列 ían - 6 是首项为
a1 - ,公比为-2的等比数列, 3
1 n
则 an 4 + a
2
- 1 ÷ -2
n-1
,因为数列 a6 3 n 是递增数列,可得 an+1 > a ,è n
1 4n+1 (a 2) ( 2)n 1 2即 + 1 - × - > 4
n + (a1 - ) × (-2)
n-1
6 3 6 3 对任意的正整数
n都成立.
n 2 1 2 1当 为偶数时, a1 > - 2n
ì n ü
3 3 恒成立,由于数列
í - 23 3 单调递减,
2 1 2n 2 4 2 2可得 - - -3 3 3 3 3 ,则
a1 > - 3 ;
n 2 1 n ì2 1 n ü当 为奇数时, a1 < + 2 í + 2 3 3 恒成立,由于数列 3 3 单调递增,
2 1 2n 2 2 4
4
可得 + + ,则 a1 <3 3 3 3 3 ;3
2 2 2 4
综上可得 a1的取值范围是 - , U , .
è 3 3 ÷ ÷ è 3 3
故选:B .
题型三:数列的最大(小)项
4 n+2
【典例 3-1】已知 an n × ( ) ,则数列 an 的偶数项中最大项为(5 )
A. a10 B.a8 C. a6 D.a4
【答案】D
(n +1)(4)n+3
【解析】数列 a a 4 n +1n 中, an n × (
4)n+2,则 n+1 54 ,5 an n × ( )n+2 5 n
5
4 n +1
令 >1,解得 n < 4,则当 n < 4时, an+1 > an ,即 a5 n 4
> a3 > a2 > a1,
同理当 n > 4时, an+1 < an ,即 a5 > a6 > a7 > a8 >L,而当 n 4时, a5 a4 ,
所以数列 an 的偶数项中最大项为a4 .
故选:D
6
【典例 3-2】(2024·上海· *模拟预测)数列 an n N 的最小项的值为 .4n - 29
【答案】-6
6 29
【解析】令 an < 0,得 n < ,4n - 29 4
令 a
6
n > 0 n
29
,得 > ,
4n - 29 4
所以当 n 7 时, an < 0,当n 8时, an > 0,
y 6而函数 在 1,7 上单调递减,
4x - 29
所以当 n 7时, an 取得最小值-6,
6 *
即数列 an n N 的最小项的值为-6 .4n - 29
故答案为:-6 .
【方法技巧】
求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)将数列视为函数 f (x) 当 x∈N*时所对应的一列函数值,根据 f(x)的类型作出相应的函数图象,
或利用求函数最值的方法,求出 f (x) 的最值,进而求出数列的最大(小)项.
ìa a
( 2 n n-1) 通 过 通 项 公 式 an 研 究 数 列 的 单 调 性 , 利 用 í ,(n 2)确 定 最 大 项 , 利 用
an an+1
ìan an-1
í ,(n 2)确定最小项.
an an+1
a
(3)比较法:若有 an+1 - an f (n +1) - f (n) > 0或 an > 0 时
n+1 > 1,则 an+1>a ,则数列 an n 是递增an
a
数列,所以数列 an 的最小项为 a1 f (1) ;若有 an+1 - an f (n +1) - f (n) < 0 或 an > 0 时 n+1 < 1,则an
a an an n+1 < an ,则数列 是递减数列,所以数列 的最大项为 a1 f (1) .
【变式 3-1】(2024·北京西城·一模)在数列 an a *中, 1 2, a2 -3 .数列 bn 满足bn an+1 - an n N .若
bn 是公差为 1 的等差数列,则 bn 的通项公式为bn , an 的最小值为 .
【答案】 n - 6 -13
【解析】由题意b1 a2 - a1 -5,又等差数列 bn 的公差为 1,所以bn -5 + n -1 ×1 n - 6;
故 an+1 - an n - 6,所以当 n 6 时, an+1 - an 0,当 n > 6时, an+1 - an > 0,
所以 a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6 a7 < a8 < a9 < ×××,显然 an 的最小值是 a6 .
又 an+1 - an n - 6,所以 a6 a1 + a2 - a1 + a3 - a2 + a4 - a3 + a5 - a4 + a6 - a5
2 + -5 + -4 + -3 + -2 + -1 -13,即 an 的最小值是-13 .
故答案为: n - 6,-13
n 3n +1
【变式 3-2】(2024·广东梅州·二模)已知数列 an 的通项公式 an -1 *2n ( n N ),则
n
ak a1 × a2 × × × an 的最小值为 .
k 1
7
【答案】- / -3.5
2
n a 3n +1 n a 3n +1【解析】由于当 为奇数时, n - n ,当 为偶数时, n n ,2 2
n
要求 ak a1 × a2 × × × an 的最小值,只需要考虑出现奇数个奇数项时即可,
k 1
3 n +1 +1
a n+1 3n + 4
又 n+1 2
a 3n +1
<1 a < a ,
n 2 3n +1 n+1 n
2n
且当 n 4 a
3 4 +1
时, 4 4 <1,因此n 4时, an < a4 <1,2
n
n 7 7当 2, ak a1a2 -2 - ,
k 1 4 2
n
a a a a a a 7 5 13 1 455 7当n 5, k 1 2 3 4 5 -2 - - ÷ ÷ - > - ,
k 1 4 è 4 16 è 2 256 2
7
综上,最小值为- .
2
7
故答案为:-
2
a a n【变式 3-3】数列 n 的通项 n 2 ,则数列 an 中的最大项的值为 .n + 5
2
【答案】 9
a n
n +1 n +1
【解析】因为 n n2 5 ,则
an+1
+ n +1 2 + 5 n2 + 2n + 6 ,
n +1
2
a n2
3 2
n+1 + 2n + 6
n +1 × n + 5 n + n + 5n + 5
则 ,
a n 2 3 2n n × n + 2n + 6 n + 2n + 6n
n2 + 5
an+1
令 >1,即 n3a + n
2 + 5n + 5 > n3 + 2n2 + 6n,因为 n N*,
n
解得 n 1,所以 a2 > a1,
an+1
令 <1,解得 n 2,n N*a ,n
所以 a1 < a2 ,a2 > a3 > a4 > a5 >L,
2 2
故数列 an 中的最大项为 a2,其值为 a2 .22 + 5 9
2
故答案为: 9 .
【变式 3-4】设 an 是 n a1- x 的展开式中 x 项的系数( n 2,3,4, × × × n+1),若bn n + 7 a ,则bn 的最大值n+2
是 .
2
【答案】 33
a C2a C2 ,\b n+1 n+1 n 1
【解析】 n n n (n + 7)an+2 (n + 7)C
2
n+2 (n + 7)(n + 2) n 14 ,+ + 9
n
因为 y n
14
+ 在 0, 14 是减函数,在 14,+ 是增函数,且 n 2,3,4,L,n
n 3 y 3 14 23 14 15 23 15 时, + ,所以 n 4时 ymin 4 + , > ,3 3 4 2 3 2
y 15
a 1 2
所以 min
n+1
,所以bn (n + 7)a 的最小值是 152 + 9 33
.
n+2 2
2
故答案为: 33
a sin nπ 16+ n N*
【变式 3-5】已知 n 6 2 sin nπ+ ,则数列 an 的最小值为 .
6
19
【答案】
3
Qan 2 + sin
nπ 16
+ - 2
【解析】 6 2 + sin nπ ,
6
t 2 nπ 16令 + sin > 0,\an t + - 2 ,6 t
由对勾函数的性质得:
当 t 0,4 时递减, t 4,+ 时递增,
当 t 3, n 12k + 3 k N 时, an 有最小值,
16 19
最小值为3+ - 2 .
3 3
19
故答案为:
3
【变式 3-6】在数列 an 中, a1 4, an an-1 + 2(2 n 100),则数列 an 的最大项的值是 .
【答案】4
【解析】根据 a1 4以及 an an-1 + 2(2 n 100),可知 an > 0,
2
所以 an an-1 + 2 ① a
2
,则 n+1 an + 2 ②,
由② - ① 2 2得 an+1 - an an - an-1,即 an+1 + an an+1 - an an - an-1 (2 n 100),
因为 an > 0,所以 an+1 - an 与 an - an-1 同号,
又因为 a2 a1 + 2 6 ,且 a2 - a1 6 - 4 < 0 ,
所以 an - an-1 < 0,所以数列 an 为单调递减数列,
所以因此数列 an 的最大项是 a1,其值是 4.
故答案为:4.
题型四:数列中的规律问题
【典例 4-1】(2024·浙江绍兴·二模)汉诺塔(Tower of Hanoi),是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图
所示,有三根相邻的标号分别为 A、B、C 的柱子, A 柱子从下到上按金字塔状叠放着 n个不同大小的圆
盘,要把所有盘子一个一个移动到柱子 B 上,并且每次移动时,同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子
的上方,请问至少需要移动多少次?记至少移动次数为H n ,例如:H (1) 1, H (2) 3,则下列说法正
确的是( )
A. H (3) 5 B. H (n) 为等差数列
C. H (n) +1 为等比数列 D.H 7 <100
【答案】C
【解析】由题意知若有 1 个圆盘,则需移动一次:
若有 2 个圆盘,则移动情况为: A C, A B,C B,需移动 3 次;
若有 3 个圆盘,则移动情况如下:
A B, A C, B C, A B,C A,C B, A B,共 7 次,故 H (3) 7 ,A 错误;
由此可知若有 n 个圆盘,设至少移动 an 次,则 an 2an-1 +1 ,
所以 an +1 2 an-1 +1 ,而 a1 +1 1+1 2 0,故 an +1 为等比数列,
a 2n -1 H n 2n故 n 即 -1,该式不是 n 的一次函数,
则 H (n) 不为等差数列,B 错误;
H n +1 +1
又H n 2n -1 n,则H n +1 2 , 2 ,则 H (n) +1H n 1 为等比数列,C 正确,+
H 7 27 -1 127 >100,D 错误,
故选:C
【典例 4-2】(2024·辽宁·二模)大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于
解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量
总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前 10 项依次是 0,2,4,8,12,
18,24,32,40,50,则此数列的第 30 项为( )
A.366 B.422 C.450 D.600
【答案】C
【解析】由题意,大衍数列的偶数项为 2,8,18,32,50,L,
2
可得该数列 an 的偶数项的通项公式为 a2n 2n ,
所以此数列 an 的第 30 项为 a30 2 152 450 .
故选:C.
【方法技巧】
特殊值法、列举法找规律
【变式 4-1】(2024·陕西西安·三模)定义 a1 1,1 , a2 1,2 , a3 2,1 , a4 1,3 , a5 2,2 ,
a *6 3,1 , × × × n N ,则 a2017 ( )
A. 1,63 B. 63,1 C. 64,1 D. 1,64
【答案】D
【解析】依题意,把 a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,L排列成如下数阵:
(1,1)
(1,2), (2,1)
(1,3), (2, 2), (3,1)
(1,4), (2,3), (3, 2), (4,1)
LL,LL,LL,LL,LL
第 n 行有 n 个数对,各个数对的两数和为 n +1,每个数对的第一个数从左起依次为 1,2,3,…,n,
n(n +1) n(n +1) 63(63+1)
则前 n 行共有 个数对,显然数列{ }单调递增,而 2016,
2 2 2
所以 a2017 是第 64 行第一个数对,即 1,64 .
故选:D
【变式 4-2】(2024·全国·模拟预测)据中国古代数学名著《周髀算经》记截:“勾股各自乘,并而开方除之
(得弦).”意即“勾” a、“股”b 与“弦” c之间的关系为 a2 + b2 c2 (其中 a b ).当 a,b,c N* 时,有如下勾
股弦数组序列: (3, 4,5), (5,12,13), (7, 24,25), (9, 40,41),L,则在这个序列中,第 10 个勾股弦数组中的“弦”
等于( )
A.145 B.181 C.221 D.265
【答案】C
a2 + b2 c2 a2 2【解析】因为 ,所以 c - b2 c + b c - b .
在给定的勾股弦数组序列中, c - b 1,所以 a2 c + b.
*
易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为 an 2n +1 n N ,
所以 a2n 2n +1
2 4n2 + 4n +1 2n2 + 2n + 2n2 + 2n +1),n N* ,
故“ 2弦”的通项公式为 cn 2n + 2n +1 n N* .
所以第 10 个勾股弦数组中的“弦”等于 2 102 + 2 10 +1 221.
故选:C.
【变式 4-3】(2024·四川·模拟预测)分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 曼德尔布罗特在 20 世纪 70 年
代创立的一门新学科,它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照
图①的分形规律生长成一个图②的树形图,则在图②中第 5 行的黑心圈的个数是( )
A.12 B.13 C.40 D.121
【答案】C
【解析】设题图②中第 n行白心圈的个数为 an ,黑心圈的个数为bn ,
依题意可得 a + b 3n-1n n ,且有 a1 1,b1 0 ,
所以 an + bn 是以 a1 +b1 =1为首项,3 为公比的等比数列,
\a + b 3n-1n n ①;
又 an+1 2an + bn ,bn+1 2bn + an ,
故有 an+1 - bn+1 an - bn ,
∴ an - bn 为常数数列,且 a1 - b1 1,所以 an - bn 是以 a1 - b1 1为首项,1 为公比的等比数列,
\an - bn 1②;
由①②相加减得:
a 3
n-1 +1 3n-1 -1
\ n ,bn ;2 2
4
b 3 -1所以 5 40.2
故选:C.
【变式 4-4】(2024·云南保山·二模)我国南宋数学家杨辉 126l 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如
图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的
一种几何排列,若去除所有为 1 的项,其余各项依次构成数列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则
此数列的第 56 项为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
【答案】B
【解析】由题意可知:若去除所有的为 1 的项,则剩下的每一行的个数为 1,2,3,4,...,
n n +1
可以看成构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列,则Tn ,2
可得当 n 10 ,所有项的个数和为 55,第 56 项为 12,
故选:B.
题型五:数列的恒成立问题
n + 2 a 1 1 1
【典例 5-1 a n S 】已知数列 的前 项和 nn n n N* 且 a1 1,若 + +L+ < m m, n N*3 a1 a2 a n
恒成立,则m 的最小值为 .
【答案】2
n + 2 a
【解析】由 Sn
n n N* , a1 1,3
n + 2 a n +1 a
则当 n 2 时, a S - S n - n-1n n n-1 ,3 3
整理得 n -1 an
a n +1
n +1 a nn-1 ,即 an-1 n -1

n n +1
∴ an a
a a a a 3 4 n n +1
1
2 3 × n-1 n 1 L ,
a1 a2 an-2 an-1 1 2 n - 2 n -1 2
显然对于 n 1也成立,
n n +1 1 2∴ an 的通项公式 a ,所以 2
1 1-
n a n n +1 n n +1÷ ,2 n è
1 1 L 1 2 é 1 1 1 1 1 ù 1∴ + + + ê 1- ÷ + - ÷ +L -

÷ 2 1-

÷ < 2a1 a2 an è 2 è 2 3 è n +1 n +1
ú
è n +1
1 1 1 *
又因为 + +L+ < m m, n Na1 a a
恒成立,
2 n
所以m 2,
所以m 的最小值为 2 .
故答案为: 2 .
ì 1 ü 2 ì S ü 1
【典例 5-2】记 Sn ,Tn 分别为数列 an ,í 前 n 项和,已知 a1 ,a 3 í
n 是公差为 的等差数列.若Ta 3 n
< m
n n
恒成立,则m 的最小值为 .
【答案】3
2 S ì S ü
【解析】∵ a1 ,∴ S1 a1 1,∴
1 1 ∵ í n
1
a ,又 是公差为 的等差数列,3 1 an 3
Sn 1 1 n n + 2∴ + -1 S n + 2a 3 3 ,所以 n a3 n ,n
n +1
即当 n 2时, Sn-1 a3 n-1 ,
n + 2
∴ a S S an n +1 a - n-1n n n-1 - ,3 3
n -1 a an +1 a n n +1整理得: n n-1 ,即 a ,n-1 n -1
a a
∴ a a × 2 × 3 L
an-1 a× n 2 3 4 n n +1
n n +1
n 1 ,a1 a2 an-2 an-1 3 1 2 n - 2 n -1 3
n n +1 1 3 1 1
显然对于 n 1也成立,∴ a , 3 - ,n 3 an n n +1 è n n +1÷
1 1 1
+ + + 3é 1 1 1 1 1 1 - ù∴ ê ÷ + - ÷ +L - ÷ú 3
1 1- < 3
a .1 a2 an è 2 è 2 3 è n n +1 è n +1
÷

所以m 3,即m 的最小值为3.
故答案为:3.
【方法技巧】
分离参数,转化为最值问题.
【变式 5-1】已知数列 an 的前 n项和为 Sn ,且满足 Sn 2an - 2,若 Sn + n -1 lan 对于任意的正整数 n恒
成立,则实数l 的取值范围为 .
é33
【答案】 ê ,+ 16 ÷
【解析】根据 Sn 2an - 2,当 n 1时, a1 2 ;
当 n 2时, Sn-1 2an-1 - 2,两式相减可得 an 2an - 2an-1,
a
\ n 2,\ a 2 1- 2
n
a 数列 n 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,\an 2
n , S n+1 ,n 2 - 2
n-1 1- 2
则 Sn + n -1 lan 可变为 2n+1 - 3 + n l ×2n ,
l 2 n - 3 b n - 3 b b n - 2 n - 3 4 - n即 + n ,令 n n ,则 n+1 - n n+1 - n n+1 ,\b5 - b4 0,2 2 2 2 2
b < b < b < b
n - 3 1 33
且 1 2 3 4 b5 > b6 > b7 >L,\ 2 +è 2n ÷
2 + ,
max 16 16
33 é33\l ,即实数l 的取值范围是 ,+ .
16 ÷ ê16
é33 ,+ 故答案为: ê16 ÷
.

【变式 5-2】(2024·高三·重庆·期中)已知数列{ an }满足 a1 2,an+1 3an + 2,若对任意正整数 n 1都有
k(an +1) 2n - 3恒成立,则 k 的取值范围是 .
é1
【答案】 ê ,+

9 ÷
【解析】由 an+1 3an + 2可得 an+1 +1 3(an +1),又因为 a1 2,所以 a1 +1 3,
即数列 an +1 是一个以 3 为首项,3 为公比的等比数列,
a +1 3 3n-1所以 n 3
n

对任意正整数 n 1都有 k(a +1) 2n - 3,则 k ×3n
2n - 3
n 2n - 3,即 k ,3n
b 2n - 3 2 n +1 - 3 b b 2n - 3 8 - 4n设 n n ,则 n+1 - n n+1 - n n+1 ,3 3 3 3
当 n 2时,bn+1 - bn 0 ,当 n > 2时,bn+1 - bn < 0,
即b1 b2 b3 b4 > b5 > b6 >L > bn (n > 4) b b
1
,所以 n 2 b3 max ,9
1
所以 k
9
é1
故答案为: ê ,+

÷ .
9
【变式 5-3】(2024·全国·模拟预测)已知数列 a *n 满足 an+1 + an 2n -1,若 an+1 > an 对 n N 恒成立,则 a1
的取值范围为 .
1 , 1- 【答案】 ÷
è 2 2
【解析】法一:
由 an+1 + an 2n -1,得 an+2 + an+1 2n +1,两式相减得 an+2 - an 2,
则数列 a2n+1 , a2n 都是以 2 为公差的单调递增数列.
ìa > a
要使 an+1 > an 对 n N*
2 1
恒成立,只需 í ,
a3 > a2
ì1- a > a
而a2 1- a a
1 1 1 1
1, 3 2 + a1,则 í - < a <
2 + a 1 a
,解得 .
1 > - 1 2
1 2
法二:
由 an+1 + an 2n -1,得 an+2 + an+1 2n +1,两式相减得 an+2 - an 2,
又a2 1- a1,则 a2n 1- a1 + 2 n -1 2n - a1 -1, a2n+1 a1 + 2 n +1-1 2n + a1 ,
ìa
a 2n+2
> a2n+1
要使 n+1 > an 对 n N* 恒成立,即 í
a

2n+1 > a2n
ì2n + 2 - a1 -1 > 2n + a1 1
即 í ,解得- < a
1
<
2n + a1 > 2n
.
- a1 -1 2
1 2
1 1
故答案为: - ,2 2 ÷
.
è
题型六:递推数列问题
2
【典例 6-1】(2024·天津·二模)在数列 an 中,若 a1a2 × × × a n -2n *n 3 ( n N ),则a3的值为( )
A.1 B.3 C.9 D.27
【答案】D
1-2 1
【解析】当 n 1时, a1 3 ,3
当 n 2时, a1a2 3
4-4 1,所以 a2 3,
当n 3 9-6时, a1a2a3 3 27,所以 a3 27 .
故选:D.
ìa -1,n为奇数 10
【典例 6-2】(2024·重庆·模拟预测)已知数列 an 满足: a1 1, a nn+1 í n ,则 a2 ,n k ( ) 为偶数 k 1
A.511 B.677 C.1021 D.2037
【答案】B
10
【解析】 ak a1 + a2 +L+ a10 a1 + a1 -1+ a3 + a3 -1+L+ a9 + a9 -1
k 1
2 a1 + a3 + a5 + a7 + a9 - 5 2 1+ 22 + 24 + 26 + 28 - 5
2 4 +16 + 64 + 256 - 3 677 .
故选:B.
【方法技巧】
列举法
1 1
【变式 6-1】(2024·贵州遵义·一模)数列 an 满足 a
1
1 ,对任意正整数 p,q 都有 a2 p
aq ( + )ap q p+q ,则
a6
a ( )8
16 32
A.4 B. C.6 D.
3 3
【答案】B
1 1 *
【解析】由 apaq ( + )ap+q ,得 ( p + q)a pa × qa b nap q p+q p q ,令 n n
(n N ) ,
依题意,对任意正整数 p,q 都有bp+q bpbq ,令 p 1, q n(n N*),
则"n N*,bn+1 b1b
1 1
n ,而b1 a1 ,即bn+1 b ,2 2 n
因此数列 b 1 1 1 1 1n 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,bn n ,即 na , a 2 n 2n n n ×2n ,
a6 8 2
8 16
所以 6 .a8 6 2 3
故选:B
【变式 6-2】(2024·广东汕头·三模)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,
后人称为“三角垛”.已知一个三角垛,最顶层有 1 个小球,第二层有 3 个,第三层有 6 个,第四层有 10 个,
则第 30 层小球的个数为( )
A.464 B.465 C.466 D.467
【答案】B
【解析】设三角垛第 n层小球的个数为 an .
由题意可知, a1 1, a2 3 a1 + 2, a3 6 a2 + 3, a4 10 a3 + 4,
所以,当 n 2时,有 an an-1 + n .
所以,
a1 1,
a2 3 a1 + 2,
a3 6 a2 + 3,
a4 10 a3 + 4,
L
an an-1 + n,
两边同时相加可得, a1 + a2 + a3 + a4 +L+ an a1 + a2 + a3 +L+ an-1 +1+ 2 + 3 + 4 +L+ n,
n n +1
所以, an 1+ 2 + 3 + 4 L n

+ + .
2
1 2
当 n 1时, a1 1,满足题意.2
n n +1
所以, an .2
a 30 31所以, 30 465 .2
故选:B.
【变式 6-3】图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二
是第 1 代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第 2 代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为 1,
则第 n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )
A. 2n -1;n B. 2n -1; n +1
C. 2n+1 -1;n D. 2n+1 -1; n +1
【答案】D
【解析】第一代“勾股数”中正方形的个数为1+ 2 3,面积和为 2,
第二代“勾股数”中正方形的个数为1+ 2 + 22 7,面积和为 3,
第三代“勾股数”中正方形的个数为1+ 2 + 22 + 23 15,面积和为 4,

第 n 代“勾股数”中正方形的个数为1+ 2 + ...+ 2n 2n+1 -1,面积和为 n +1,
故选:D
【变式 6-4】某剧场有 30 排座位,第一排有 20 个座位,从第二排起,后一排都比前一排多 2 个座位.
(1)写出前五排座位数.
(2)第 n排与第 n +1排座位数有何关系?
(3)第 n排座位数 an 与第 n +1排座位数 an+1能用等式表示吗?
【解析】(1)由题意可知,后一排都比前一排多 2 个座位,
所以前五排座位分别为:20,22,24,26,28;
(2)由题意可知,后一排都比前一排多 2 个座位,
故第 n排与第 n +1排座位数的关系为:第 n +1排比第 n排多两个座位;
(3)由(2)可知,能用等式表示第 n排座位数 an 与第 n +1排座位数 an+1的关系,
即 an+1=an+2 .
【变式 6-5】观察下面的图形及相应的点数,回答
(1)写出图中点数构成的数列 an 的一个递推公式;并根据这个递推公式,求出数列 an 的通项公式;
ì ü
(2)若 S
1 3
n 是数列 í 的前 n项和,证明: Sa n
< .
n 4
【解析】(1)由题可得 a1 3, a2 8, a3 15, a4 24 ,可得 a2 - a1 5,a3 - a2 7, a4 - a3 9,…,
所以数列 an 的递推公式为 an - an-1 2n +1, a1 3, n N*;
\an an - an-1 + an-1 - an-2 + an-2 - an-3 + + a2 - a1 + a1
2n +1+ 2n -1+ 2n - 3 +K+ 5 + 3 n2 + 2n,
所以数列 an 的通项公式为 an n2 + 2n, n N* .
1 1 1

1 1
- (2)由(1)知, an n n + 2 2 è n n + 2 ÷


S 1 1 K 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1\ n + + + 1- + - + - +K+ - + -

a ÷1 a2 an 2 è 3 2 4 3 5 n -1 n +1 n n + 2
1 1 1 1 1 3 1 + - - - 1 1
2 2 n +1 n + 2 ÷ 4 2
+ ÷,
è è n +1 n + 2
1 1 1
∵n N* ,\ +2 n +1 n + 2 ÷
> 0,
è
3
所以 Sn < .4
1 3
1.(2023 年北京高考数学真题)已知数列 an 满足 an+1 an - 6 + 6(n 1,2,3,L),则( )4
A.当 a1 3时, an 为递减数列,且存在常数M ≤0,使得 an > M 恒成立
B.当 a1 5时, an 为递增数列,且存在常数M 6 ,使得 an < M 恒成立
C.当 a1 7时, an 为递减数列,且存在常数M > 6,使得 an > M 恒成立
D.当 a1 9时, an 为递增数列,且存在常数M > 0,使得 an < M 恒成立
【答案】B
1 3 1 3
【解析】法 1:因为 an+1 an - 6 + 6,故 a4 n+1 - 6 an - 6 ,4
对于 A ,若 a1 3,可用数学归纳法证明: an - 6 -3即 an 3,
证明:当 n 1时, a1 - 6 -3 -3,此时不等关系 an 3成立;
设当 n k 时, ak - 6 -3成立,
1
则 ak +1 - 6 a
3 27
k - 6 -54,-

÷,故 ak +1 - 6 -3成立,4 è 4
由数学归纳法可得 an 3成立.
而 an+1 - a
1 1
n an - 6
3 - an - 6 a - 6
é 2 ù
4 n ê
an - 6 -1ú , 4
1 an - 6
2 -1 9 5 -1 > 0, an - 6 < 0 ,故 a4 4 4 n+1
- an < 0,故 an+1 < an ,
故 an 为减数列,注意 ak +1 - 6 -3 < 0
a 6 1- a - 6 3 1 9故 n+1 n a
2
4 n
- 6 a
4 n
- 6 an - 6 ,结合 a4 n+1
- 6 < 0,
9 n n
所以6 - an+1 6 - a 6 a
9
n ,故 - n+1 3 ÷ ,故 a
9
n+1 6 - 3

4 4 ÷

è è 4
n
9
若存在常数M ≤0,使得 an > M 恒成立,则6 - 3 4 ÷
> M ,
è
6 - M n
>
9
故 ÷ ,故 n < log
6 - M
9 ,故 an > M3 恒成立仅对部分
n成立,
3 è 4 4
故 A 不成立.
对于 B,若 a1 = 5,可用数学归纳法证明:-1 an - 6 < 0即5 an < 6 ,
证明:当 n 1时,-1 a1 - 6 -1 0,此时不等关系5 an < 6 成立;
设当 n k 时,5 ak < 6 成立,
则 a
1
- 6 a - 6 3 1 k +1 4 k - ,04 ÷,故-1 ak +1 - 6 < 0成立即è
由数学归纳法可得5 ak +1 < 6成立.
而 a
1
- a a - 6 3n+1 n n - an - 6 an - 6
é1
ê an - 6
2 -1ùú ,4 4
1 a - 6 2n -1< 0, an - 6 < 0 ,故 a4 n+1
- an > 0,故 an+1 > an ,故 an 为增数列,
若M 6,则 an < 6恒成立,故 B 正确.
对于 C,当 a1 7时, 可用数学归纳法证明:0 < an - 6 1即6 < an 7,
证明:当 n 1时,0 < a1 - 6 1,此时不等关系成立;
设当 n k 时,6 < ak 7成立,
则 a
1
k +1 - 6 ak - 6
3 0,
1 ù
ú,故0 < ak +1 - 6 1成立即6 < a4 4 k +1
7
è
由数学归纳法可得6 < an 7成立.
a é1 2 ù而 n+1 - an an - 6 ê an - 6 -1ú < 0,故 an+1 < an ,故 an 为减数列, 4
n
又 a
1 2 1
n+1 - 6 an - 6 an - 6 an - 6 ,结合 an+1 - 6 > 0 a 1 可得:4 4 n+1 - 6 a1 - 6 ÷ ,所以è 4
n
a 6 + 1 n+1 ÷ ,
è 4
a 6 1
n

若 n+1 + ÷ ,若存在常数M > 6,使得 an > M 恒成立,
è 4
M 6 1
n
则 - ÷ 恒成立,故
n log 1 M - 6 , n的个数有限,矛盾,故 C 错误.
è 4 4
对于 D,当 a1 9时, 可用数学归纳法证明: an - 6 3即 an 9,
证明:当 n 1时, a1 - 6 3 3,此时不等关系成立;
设当 n k 时, ak 9成立,
a 6 1 a 27则 k +1 - k - 6
3 > 3,故 ak +1 9成立4 4
由数学归纳法可得 an 9成立.
而 an+1 - an an - 6
é1 a - 6 2 -1ùê n ú > 0 ,故 an+1 > an ,故 a4 n 为增数列,
a - 6 1 9 a - 6 a - 6 2 > a - 6 a - 6 > 0 a 6 a 6 9
n-1 9 n-1
又 n+1 n n ,结合 可得: - > -

4 4 n n n+1 1 4 ÷
3 4 ÷
,所以
è è
n-1
a 6 + 3 9 n+1 ÷ ,
è 4
n-1
若存在常数M > 0,使得 an < M 恒成立,则M 6 3
9
> + ÷ ,
è 4
M 6 3 9
n-1
M - 6
故 > + ,故 n < log 9 +1
è 4 ÷ 4 è 3
÷ ,这与 n 的个数有限矛盾,故 D 错误.

故选:B.
a a 1 12 - a - 6 3 + 6 - a a3 9 2法 :因为 n+1 n n n n - an + 26an - 48,4 4 2
f x 1 x3 9令 - x2 + 26x - 48 3 2,则 f x x - 9x + 26 ,
4 2 4
令 f x > 0 2 3 2 3,得0 < x < 6 - 或 x > 6 + ;
3 3
令 f x < 0,得6 2 3 2 3- < x < 6 + ;
3 3
2 3 2 3 2 3 2 3
所以 f x 在 - ,6 - ÷÷和 6 + , + ÷÷上单调递增,在 6 - ,6 + ÷÷ 上单调递减,
è 3 è 3 è 3 3
令 f x 0 1 x3 9 2,则 - x + 26x - 48 0 1,即 x - 4 x - 6 x -8 0 ,解得 x 4或 x 6或 x 8,
4 2 4
注意到 4 6 2 3 2 3< - < 5,7 < 6 + < 8,
3 3
所以结合 f x 的单调性可知在 - , 4 和 6,8 上 f x < 0 ,在 4,6 和 8,+ 上 f x > 0,
a 1 a - 6 3 1对于 A,因为 n+1 n + 6,则 an+1 - 6 an - 6
3

4 4
1 3
当 n 1时, a1 3, a2 - 6 a1 - 6 < -3,则a2 < 3,4
假设当 n k 时, ak < 3,
1 1
n k 1 a - 6 a - 6 3 < 3 - 6 3当 + 时, k +1 k < -3,则 a4 4 k +1
< 3,
综上: an 3,即 an - , 4 ,
因为在 - , 4 上 f x < 0 ,所以 an+1 < an ,则 an 为递减数列,
a 1 3 1 9因为 n+1 - an +1 an - 6 + 6 - a +1 a3n n - a2n + 26a - 47,4 4 2 n
令 h x 1 x3 9 - x2 + 26x - 47 x 3 h x 3 2,则 x - 9x + 26,
4 2 4
-9
h x x - 3 6因为 开口向上,对称轴为 2 ,
4
所以 h x 在 - ,3 3 2上单调递减,故 h x h 3 3 - 9 3 + 26 > 0,
4
所以 h x 在 - ,3 1 3 9 2上单调递增,故 h x h 3 3 - 3 + 26 3 - 47 < 0,
4 2
故 an+1 - an +1< 0,即 an+1 < an -1,
假设存在常数M ≤0,使得 an > M 恒成立,
取m1 - M + 4,其中M -1< M M ,且 M Z,
因为 an 1 < an -1,所以 a2 < a1 -1, a3 < a2 -1,L,a- M +4 < a+ - M +3 -1,
上式相加得, a- M +4 < a1 - - M + 3 3+ M - 3 M ,
则 am a M +4 < M ,与 an > M1 恒成立矛盾,故 A 错误;
对于 B,因为 a1 5,
当 n 1时, a1 5 < 6, a
1 1
2 a1 - 6
3 + 6 5 - 6 3 + 6 < 6,
4 4
假设当 n k 时, ak < 6,
3
当 n k +1时,因为 ak < 6,所以 ak - 6 < 0,则 ak - 6 < 0 ,
所以 a
1
k +1 a - 6
3
k + 6 < 6,4
1 3 1
又当 n 1时, a2 - 5 a1 - 6 +1 5 - 6
3 +1 > 0,即 a2 > 5,4 4
假设当 n k 时, ak 5,
当 n k +1时,因为 ak 5,所以 ak - 6 -1,则 ak - 6
3 -1,
所以 a
1
k +1 ak - 6
3 + 6 5,
4
综上:5 an < 6 ,
因为在 4,6 上 f x > 0,所以 an+1 > an ,所以 an 为递增数列,
此时,取M 6,满足题意,故 B 正确;
a 1 a 3对于 C,因为 n+1 n - 6 + 6,则 an+1 - 6
1
an - 6
3

4 4
a 1
3 4
注意到当 1 7时, a2 7 - 6
3 1+ 6 + 6 a 1 1 + 6 - 6 1, 3 ÷ + 6

4 4 4 ÷
+ 6,
è 4 è 4
3
1 é 1 4 ù 1 13a4

ê ÷ + 6 - 6

4 4 ú
+ 6 + 6
êè ú è 4
÷

1
1 3
k -1
2
猜想当 n 2时, a ÷ + 6,k
è 4
1 4
1 3n -1
当 n 2与n 3时, a2 + 6与 a
1 2
3
+ 6满足 a 1 4 ÷è 4 n 4 ÷
+ 6,
è
1 3k -12
假设当 n k 时, a 1 ,k + 6
è 4 ÷
é 1
3
3k -1 ù 1 3k+1 -12 2
当 n k +1 1时,所以 a a - 6 3 1+ 6 ê 1 ú 1 k +1 k + 6 - 6 + 6 4 4 ê 4 ÷ ú 4 ÷ + 6,è è

1 n
综上: a 1
3 -1
2
n ÷ + 6 n 2 ,
è 4
1 n 13 -1 3n -12 2
易知3n -1 > 0,则0 1< ÷ <1,故 a
1
n ÷ + 6 6,7 n 2 ,è 4 è 4
所以 an 6,7 ,
因为在 6,8 上 f x < 0 ,所以 an+1 < an ,则 an 为递减数列,
假设存在常数M > 6,使得 an > M 恒成立,
é ù *
记m0 log3 ê2log 1 M - 6 +1ú ,取m m0 +1,其中m0 -1< m0 m0 ,m0 N ,
4
则3
m > 3m0 2log 1 M - 6 +1,
4
1 1 m 1 2 3
m 1-1 3m -1
故 3 -1 > log M - 6 1 22 1 ,所以 ÷ < M - 6,即 ÷ + 6 < M ,4 è 4 è 4
所以 am < M ,故 an > M 不恒成立,故 C 错误;
对于 D,因为 a1 9,
1
当 n 1时, a2 - 6 a
3 27
1 - 6 > 3,则 a2 > 9,4 4
假设当 n k 时, ak 3,
1
当 n k +1时, ak +1 - 6 ak - 6
3 1 9 - 6 3 > 3,则 ak +1 > 9,4 4
综上: an 9,
因为在 8,+ 上 f x > 0,所以 an+1 > an ,所以 an 为递增数列,
因为 a
1
n+1 - an -1 an - 6
3 + 6 1 9- an -1 a
3
n - a
2
n + 26an - 49,4 4 2
令 g x 1 x3 9 - x2 + 26x - 49 x 9 ,则 g x 3 x2 - 9x + 26 ,
4 2 4
-9
g x x -因为 开口向上,对称轴为 2 3
6

4
3 2
所以 g x 在 9, + 上单调递增,故 g x g 9 9 - 9 9 + 26 > 0 ,
4
所以 g x g 9 1 9 93 - 92 + 26 9 - 49 > 0,
4 2
故 an+1 - an -1 > 0,即 an+1 > an +1,
假设存在常数M > 0,使得 an < M 恒成立,
取m2 M +1,其中M -1< M M ,且 M Z,
因为 an+1 > an +1,所以 a2 > a1 +1, a3 > a2 +1,L, a M +1 > a M +1,
上式相加得, a M +1 > a1 + M > 9 + M -1 > M ,
则 am a2 M +1 > M ,与 an < M 恒成立矛盾,故 D 错误.
故选:B.
1
2.(2022 2 *年新高考浙江数学高考真题)已知数列 an 满足a1 1,an+1 an - an n N ,则( )3
2 100a 5 5 7 7A. < 100 < B. < 100a < 3 C.3 < 100a < D. < 100a2 2 100 100 2 2 100
< 4
【答案】B
【解析】∵ a1 1
2
,易得 a2 0,1 ,依次类推可得 an 0,1 3
1 1 3 1 1
由题意, a +n+1 an 1- a3 n ÷
,即
è a a

n+1 n 3- an an 3- an
1 1 1 1
∴ - >an+1 an 3- a 3

n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
即 - > , - > , - >a a 3 a a 3 a a 3 ,…,
- > , (n 2)
2 1 3 2 4 3 an a

n-1 3
1 1
累加可得 -1 > n -1
1 1
,即 > (n + 2), (n 2)an 3 a 3

n
a 3 1∴ n < , n 2 ,即 a100 < ,100a
100
100 < < 3 ,n + 2 34 34
1 1 1 1 1 1 1- <
又 a a 3
+ ÷ , (n 2)
n+1 n 3- an 3 - 3 è n +1 ,
n + 2
1 1 1
- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ +a a 3 2 ÷,
- < 1+
a a 3 3 ÷,
- < 1+ ÷ ,…, - < 1+ ÷ , (n 3),
2 1 è 3 2 è a4 a3 3 è 4 an an-1 3 è n
1
累加可得 -1
1
< n -1 1+ 1 1+ +L 1+ , (n 3)
an 3 3

è 2 3 n ÷


1 1 33 1 1 1 1∴ - < + + +L+
< 33 1 1 1+ 4 + 96 < 39
a100 3 è 2 3 100
÷ 3 2 6 ÷ , è
1
即 < 40a ,∴ a
1 5
100 > ,即100a100 > ;
100 40 2
5
综上: < 100a100 < 3.2
故选:B.
3.(2022 年高考全国乙卷数学(理)真题)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我
国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列 bn :
1
b 1 1 + b 1
1 b 1+
2 +
3 1 *
1 a , a
a +
+ 1 , 1 1 ,…,依此类推,其中ak N (k 1,2,L).则( )1 1 a a2 2 + a3
A.b1 < b5 B.b3 < b8 C.b6 < b2 D.b4 < b7
【答案】D
【解析】[方法一]:常规解法
*
因为ak N k 1,2,L ,
a a 1
1 1
>
所以 1 < 1 + a ,a
1
1 a + ,得到b1 > b2 ,
2 1 a2
a 1 11 + > a1 +
同理 a2 a 1+ ,可得b2 < b3,b1 > b32 a3
1 1 , a 1 1> + < a +
a 1 1 1 1 1
又因为 2 a2 + a2 + a2 + ,
a 1+ a33 a
1
3 +a4 a4
故b2 < b4 ,b3 > b4 ;
以此类推,可得b1 > b3 > b5 > b7 > … ,b7 > b8 ,故 A 错误;
b3 > b7 > b8,故 B 错误;
1 1
>
a a 12 2 + 1 ,得b2 < b6 ,故 C 错误;a3 +… a6
a 1 11 + > a1 +
a 12 + 1 a
1
2 +… 1 ,得b4 < b7 ,故 D 正确.a3 + a6 +a4 a7
[方法二]:特值法
a 1, b 2,b 3 b 5 ,b 8 b 13 ,b 21 34不妨设 n 则 1 2 , 3 4 , 5 6 ,b7 , b
55
8 ,2 3 5 8 13 21 34
b4 < b7 故 D 正确.
4.(2022 年新高考北京数学高考真题)已知数列 an 各项均为正数,其前 n 项和 Sn 满足
an × Sn 9(n 1,2,L).给出下列四个结论:
① an 的第 2 项小于 3; ② an 为等比数列;
③ a 1n 为递减数列; ④ an 中存在小于 的项.100
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】由题意可知,"n N*, an > 0,
当 n 1 2时, a1 9,可得 a1 3;
9 9 9 9
当 n 2时,由 Sn 可得 Sn-1 a -an a
,两式作差可得 n
n-1 an a

n-1
9 9
所以, - a
9
- a 3 2
an-1 a
n ,则
n a
2 ,整理可得 a2 + 3a2 - 9 0,
2
因为 a2 > 0,解得 a
3 5 - 3
2 < 3,①对;2
2
假设数列 a 2 9 81n 为等比数列,设其公比为q,则 a2 a1a3,即 ÷ ,
è S2 S1S3
S 2 S S a2 1+ q 2 2 2所以, 2 1 3,可得 1 a1 1+ q + q ,解得 q 0,不合乎题意,
故数列 an 不是等比数列,②错;
9 9 9 a - a
当 n 2时, an -
n-1 n > 0,可得 an < an-1,所以,数列 an 为递减数列,③对;an an-1 anan-1
1 1
假设对任意的 n N* , an ,则 S 100000 1000,100 100000 100
a 9 9 1所以, 100000 ,与假设矛盾,假设不成立,④对.
故答案为:①③④.
1.根据下列条件,写出数列 an 的前 5 项:
n-1
(1) a1 1, an an-1 + 2 (n 2);
a 3 a 2(2) 1 , n an-1 +1(n 2) .3
1 a 1 a a + 2n-1【解析】( )因为 1 , n n-1 (n 2),
1
所以 a2 a1 + 2 1+ 2 3,
a 23 a2 + 2 3 + 4 7 ,
a a + 234 3 7 + 8 15,
a a 45 4 + 2 15 +16 31,
故数列的前 5 项分别为 1,3,7,15,31.
2
(2)因为 a1 3, an a +1(n 2)3 n-1
2 2
所以 a2 a1 +1 3+1 3,3 3
a 2 a 1 23 2 + 3+1 3,3 3
a 24 a +1
2
3+1 3,
3 3 3
a 2 a 1 25 4 + 3+1 3,3 3
故数列的前 5 项分别为 3,3,3,3,3.
2.已知数列 an
1
满足 a1 2, an 2 - (n 2)a ,写出它的前 5 项,并猜想它的通项公式.n-1
1 1 3 1 2 4 1 3 5
【解析】 a1 2, a2 2 - 2 - , a3 2 - 2 - , a4 2 - 2 - a1 2 2 a2 3 3 a3 4 4
a 15 2 - 2
4 6
-
a .4 5 5
猜想 a
n +1
n .n
3.写出下列数列的前10项,并绘出它们的图像:
(1)素数按从小到大的顺序排列成的数列;
(2)欧拉函数j n (n N )的函数值按自变量从小到大的顺序排列成的数列.
【解析】(1)素数从小到大依次是: 2、3、5、 7、11、13、17 、19、 23、 29,
绘出图像如图所示:
(2)j 1 1,j 2 1,j 3 2,j 4 2,j 5 4,
j 6 2 ,j 7 6 ,j 8 4,j 9 6,j 10 4,
依次为1、1、 2、 2、 4、 2、6、 4、6、 4,
绘出图像如图所示:
4.已知数列 an 的第 1 项是 1,第 2 项是 2,以后各项由 an an-1 + an-2 n > 2 给出.
(1)写出这个数列的前 5 项;
an+1
(2)利用数列 an ,通过公式bn a 构造一个新的数列 bn ,试写出数列 bn 的前 5 项.n
【解析】(1)由 a1=1,a2=2,an=an﹣1+an﹣2,
得 a3=a2+a1=2+1=3,
a4=a3+a2=2+3=5,
a5=a4+a3=3+5=8;
a
2 b 2
2
( )依题意有: 1 a1 1
2,
a3 3b2 a 2 ,2
a4 5b3 a 3 ,3
a
b 5
8
4 a 5 ,4
a a + a 5 + 8 13
b 6 5 45 a .5 a5 8 8
5.假设某银行的活期存款年利率为0.35% 某人存 10 万元后,既不加进存款也不取款,每年到期利息连同
本金自动转存,如果不考虑利息税及利率的变化,用 an 表示第 n年到期时的存款余额,求 a1、 a2、a3及
an .
【解析】 a1 =10 1+0.35% =10.035, a2 =10 1+0.35% 2 10.070 ,
a3 =10 1+0.35% 3 10.105, an =10 1+0.35% n .
x
6 2 -1.已知函数 f x x x R ,设数列 an 的通项公式为 an f (n)(n N*) .2
1
(1)求证 an .2
(2) an 是递增数列还是递减数列?为什么?
n 1 1 1 1 1
【解析】(1 2 -1 1 n)由题意得 an 1- ,因为 n为正整数,所以 2 2,0 < n ,1-n n n ,所以 a2 2 2 2 2 2 n

2
(2) an 是递增数列,
2n -1 1 1
证明:因为 an n 1- n ,所以 an+1 1- n+1 ,2 | 2 2
a 1 1 1所以 n+1 - an n - n+1 = n+1 > 0,所以 an 是递增数列.2 2 2
易错点:对数列的概念理解不准
易错分析:解题时容易找不到数列中的每项之间的相似地方,总结不出来一般规律。
1 1 3 2 5
【易错题 1】已知数列{an}的前 5 项依次为 , , , , ,则 an 的一个通项公式为 an .3 2 5 3 7
n
【答案】
n + 2
【解析】根据题意,数列 a 1 1 3 2 5 1 2 3 4 5n 的前 5 项依次为 , , , , ,即 , , , , ,3 2 5 3 7 3 4 5 6 7
则 a nn 的一个通项公式为 an ,n + 2
n
故答案为:
n + 2
8 15 24
【易错题 2】数列 -1, ,- , ,…的一个通项公式是 .
5 7 9
n n + 2
a 1 n 【答案】 n - (n 为正整数)2n +1
3
【解析】把 1 写成 的形式,观察分母发现是以 3 为开始的奇数列,
3
再观察分子中各数,可以发现:3 1 3,8 2 4,15 3 5,24 4 6L,且各项正负交替,
8 15 24 1 3 , 2 4 , 3 5 , 4 6则 -1, ,- , ,…可以写成:- - ,L
5 7 9 3 5 7 9
n n n + 2
所以数列的通项公式为 an -1 .2n +1
n n n + 2
故答案为: an -1 (n 为正整数).2n +1
答题模板:数列单调性的判断与应用
1、模板解决思路
判断数列的单调性的方法,一般采用作差法比较数列中相邻两项的大小; 当数列各项符号相同时,
也可用作商法比较; 还可以利用数列通项公式所对应的函数的单调性判断数列的单调性.
2、模板解决步骤
第一步:根据条件求出数列的通项公式.
a
第二步:作差 a n+1n+1 - an (或作商 ),并化简.an
a
第三步:讨论 a - a 与0 (或 n+1n+1 n 与 1)的大小,得出数列的单调性.an
【典型例题 1】设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则“ an 是递增数列”是“ Sn 是递增数列”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】 an 是等比数列是递增数列,则 a1 0,1 q > 0或 a1 > 0,q >1,
S n-1n 是递增数列, Sn - Sn-1 an a1q > 0 ,即得 a1 > 0,q > 0 或 a1 < 0, q < 0
“ an 是等比数列是递增数列”是“ Sn 是递增数列”既不充分也不必要条件.
故选:D.
2
【典型例题 2】已知数列 an 的通项公式为 an kn - n - 2,若 an 为递增数列,则 k 的取值范围为( )
1, 0, 1 1A. + B. + C. , +

÷ D. ,+ ÷
è 2 è 3
【答案】D
2 *
【解析】 an kn - n - 2,若 an 为递增数列,则 an+1 > an n N ,
有 k n +1 2 - n +1 - 2 > kn2 - n - 2 n N* 1 *,解得 k > n N ,则 k 1> 2n +1 è 2n ,+1÷ max
1 1 1 1
n 1时 2n 1÷ 3,所以
k > ,则 k 的取值范围为 ,+ è + ÷
.
max 3 è 3
故选:D

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