资源简介 第 01 讲 集合目录01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................202 知识导图·思维引航..........................................................................................................................303 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4知识点 1:元素与集合 ................................................................................................................................................4知识点 2:集合间的基本关系 ....................................................................................................................................5知识点 3:集合的基本运算 ........................................................................................................................................5知识点 4:集合的运算性质 ........................................................................................................................................6解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6题型一:集合的表示:列举法、描述法 ...................................................................................................................7题型二:集合元素的三大特征 ...................................................................................................................................8题型三:元素与集合间的关系 .................................................................................................................................10题型四:集合与集合之间的关系 .............................................................................................................................11题型五:集合的交、并、补运算 .............................................................................................................................13题型六:集合与排列组合的密切结合 .....................................................................................................................15题型七:容斥原理 .....................................................................................................................................................17题型八:集合的创新定义运算 .................................................................................................................................2004 真题练习·命题洞见........................................................................................................................2205 课本典例·高考素材........................................................................................................................2406 易错分析·答题模板........................................................................................................................26易错点:在解含参数集合问题时忽视空集 .............................................................................................................26答题模板 .....................................................................................................................................................................26考点要求 考题统计 考情分析本讲为高考命题热点,题型以选择题为主,2024年 I卷第 1题,5分考查内容、频率、题型、难度均变化不大. 重点是2023年 I卷第 1题,5分(1)集合的概念与表示 集合间的基本运算,主要考查集合的交、并、补2023年 II卷第 2题,5分(2)集合的基本关系 运算,常与一元二次不等式解法、一元一次不等2022年 I卷 II卷第 1题,5分(3)集合的基本运算 式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解2021年 I卷 II卷第 1题,5分法结合.同时适当关注集合与充要条件相结合的解2020年 I卷 II卷第 1题,5分题方法.复习目标:1、了解集合的含义,了解全集、空集的含义.2、理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系.3、会求两个集合的并集、交集与补集.4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用 Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.知识点 1:元素与集合1、集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外,还可以是其他对象.2、集合元素的特征(1)确定性:集合中的元素必须是确定的,任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素.(2)互异性:集合中任何两个元素都是互不相同的,即相同元素在同一个集合中不能重复出现.(3)无序性:集合与其组成元素的顺序无关.3、元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作 a A )和不属于(记作 a A )两种.4、集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图).知识点诠释:(1)列举法把集合的元素一一列举出来,并用花括号括起来.(2)描述法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.5、常用数集的表示数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N *或 N Z Q R+【诊断自测】(2024·广东惠州·一模)设集合M = x Z∣100 < 2x <1000 ,则 M 的元素个数为( )A.3 B.4 C.9 D.无穷多个【答案】A【解析】由函数 y = 2 x 在R 上单调递增,及 26 = 64, 27 = 128, 29 = 512, 210 = 1024,可得M = 7,8,9 ,则其元素个数为 3,知识点 2:集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合 A、 B ,如果集合 A中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A为集合 B 的子集 ,记作 A B (或 B A),读作“ A包含于 B ”(或“ B 包含 A ”).(2)真子集:对于两个集合 A与 B ,若 A B ,且存在 b B ,但 b A,则集合 A是集合 B 的真子集,记作 A B (或 B A ).读作“ A真包含于 B ”或“ B 真包含 A ”.(3)相等:对于两个集合 A与 B ,如果 A B ,同时 B A,那么集合 A与 B 相等,记作 A = B.(4)空集:把不含任何元素的集合叫做空集,记作 ; 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.【诊断自测】(2024·高三·四川成都·阶段练习)已知集合 A = 1,2 , B = 2,3 ,则集合C = z z = x + y , x A, y B 的子集个数为( )A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】C = 3,4,5 ,故其子集的个数为 8,故选:D.知识点 3:集合的基本运算(1)交集:由所有属于集合 A且属于集合 B 的元素组成的集合,叫做 A与 B 的交集,记作 A B ,即 A B = x | x A且x B .(2)并集:由所有属于集合 A或属于集合 B 的元素组成的集合,叫做 A与 B 的并集,记作 A B ,即 A B = x | x A或x B .(3)补集:对于一个集合 A,由全集U 中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集U 的补集,简称为集合 A的补集,记作CU A,即CU A = {x | x U ,且x A}.【诊断自测】(2024·陕西西安·一模)已知全集U = R ,集合M = {x | y = 1 x}, N = { 2 , 0,1, 2, 3},则 ( U M ) I N =( ).A.{ 2 , 0,1} B.{2, 3} C.{1, 2, 3} D. 2 【答案】B【解析】由1 x 0 解得M = ,1 ,所以 UM = 1,+ ,所以 ( U M ) N = 2, 3 .故选:B知识点 4:集合的运算性质(1) AI A = A, AI = , A I B = B I A, A B A, A B B .(2) A U A = A, A U = A, A U B = B U A, A A B , B A B .(3) A I (CU A) = , A U (CU A) = U ,CU (CU A) = A .(4) A B = A A B = B A B U B U A A U B = 【诊断自测】(2024·江西鹰潭·一模)已知集合 A = x | x2 5x 6 ,集合B = x | x a ,若B R A ,则a的取值范围为( )A. 6,+ B. 6,+ C. , 1 D. ,1 【答案】A【解析】因为 A = x | x2 5x 6 = x | x2 5x 6 0 = x | 1 x 6 , R A ={x x < 1或 x > 6},因为集合B = x | x a ,B R A ,所以 a > 6 ,故选:A.解题方法总结(1)若有限集 A 中有n个元素,则 A 的子集有2n个,真子集有 2n 1个,非空子集有 2n 1个,非空真子集有 2n 2 个.(2)空集是任何集合 A 的子集,是任何非空集合 B 的真子集.(3) A B A I B = A A U B = B CU B CU A .(4)CU (A I B) = (CU A) U (CU B) , CU (A U B) = (CU A) I (CU B) .题型一:集合的表示:列举法、描述法【典例 1-1】(2024· 2广东江门·一模)已知集合 A = 1,0,1 ,B = m | m 1 A,m 1 A ,则集合 B 中所有元素之和为( )A.0 B.1 C.-1 D. 2【答案】C【解析】根据条件分别令m2 1 = 1,0,1,解得m = 0, ±1, ± 2 ,又m 1 A ,所以m = 1, ± 2 ,B = 1, 2, 2 ,所以集合 B 中所有元素之和是 1,故选:C.【典例 1-2】已知集合 A = { 3, 2,0,1,2,3,7}, B = {x∣x A, x A},则B =( )A.{0,1,7} B.{1,7} C.{0,2,3} D.{0,1,2,3,7}【答案】B【解析】因为 A = { 3, 2,0,1,2,3,7},B = {x∣x A, x A},所以B = {1,7}.故选:B.【方法技巧】1、列举法,注意元素互异性和无序性,列举法的特点是直观、一目了然.2、描述法,注意代表元素.ì kπ ü【变式 1-1】(2024·新疆·一模)已知集合 A = ísin k N ,且0 k 4 ,则集合A 的元素个数为( ) 4 A.3 B.2 C.4 D.5【答案】A【解析】当 k = 0 时, sinkπ= sin0 = 0,4k = 1 sin kπ sin π 2当 时, = = ,4 4 2kπ 2π π当 k = 2 时, sin = sin = sin =1,4 4 2kπ当 k = 3时, sin = sin 3π 2= ,4 4 2当 k = 4 时, sinkπ= sin 4π = sinπ = 0,4 4ì üA 0, 2= ,1 故 í ,共三个元素. 2 故选:A.【变式 1-2】(2024·高三·山东泰安·期中)已知集合 A = 1,2,3 ,B = 3,5 ,则C = x x = 2a + b, a A,b B 中的元素个数为( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】由题意, x = 2a + b ,当a =1,b = 5 x = 7,当a =1,b = 3 x = 5,当a = 2,b = 5 x = 9,当 a = 2,b = 3 x = 7 ,当a = 3,b = 5 x =11,当a = 3,b = 3 x = 9,由集合中元素满足互异性,所以C = 5,7,9,11 .故选:B故选:A.题型二:集合元素的三大特征ì 2 2 ü【典例 2-1】设集合 A = í2,3, a 3a, a + + 7 ,B ={| a 2 |,3},已知 4 A且 4 B ,则a的取值集合 a 为 .【答案】{4}ì【解析】因为 4 A,即 4 í2,3, a22 3a, a + + 7ü , a 2 a 2所以a 3a = 4或 + + 7 = 4,a若a2 3a = 4,则 a = 1或 a = 4 ;若 a2+ + 7 = 4,即 a2a + 3a + 2 = 0,则a = 1或 a = 2 .由a22 3a 与 a + + 7 互异,得 a 1,a故 a = 2 或 a = 4 ,又 4 B ,即 4 {| a 2 |,3},所以 | a 2 | 4,解得 a 2 且 a 6 ,综上所述,a的取值集合为{4}.故答案为:{4}【典例 2-2】由a, a, a , a2 构成的集合中,元素个数最多是 .【答案】2【解析】当 a = 0 时,a = a = a = a2 = 0,此时元素个数为 1;2 ìa, a > 0当 a 0 时, a = a = í , a, a < 0所以一定与a或 a中的一个一致,此时元素个数为 2.所以由 a, a,| a |, a2 构成的集合中,元素个数最多是 2 个.故答案为:2.【方法技巧】1、研究集合问题,看元素是否满足集合的特征:确定性、互异性、无序性。2、研究两个或者多个集合的关系时,最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。b【变式 2-1】(2024·高三·天津河西·期中)含有 3 ì个实数的集合既可表示成 ía, ,1üa ,又可表示成 a2 ,a + b,0 ,则 a2022 + b2022 = .【答案】1ì b ü 2【解析】因为 ía, ,1 = a ,a + b,0 , a b显然 a 0 ,故 = 0,则b = 0;a此时两集合分别是 a,1,0 , a, a2 ,0 ,则a2 =1,解得 a = 1或 1.当 a = 1时,不满足互异性,故舍去;当 a = 1时,满足题意.所以 a 2022 + b2022 = ( 1)2022 + 02022 = 1故答案为:1 .【变式 2-2】(2024·高三·山东潍坊·期中)英语单词“banana”所含的字母组成的集合中含有 个元素.【答案】3【解析】英语单词“banana”所含的字母组成的集合为 b,a,n ,共 3 个元素.故答案为:3.【变式 2-3】(2024· 2云南大理·模拟预测)已知 x∣ax 4x +1 = 0 = b ,其中a,b R,则b =( )1 1A 0 B 1 C 1. . 或 2 . 2 D.4 4【答案】B【解析】由题意知:b为方程ax2 4x +1 = 0的根,1当 a = 0 时,b = ;4ìab2 4b +1 = 0 1当 a 0 时,二次方程有两个相同的根,则有 í ,此时b = . 16 4a = 0 2故选:B.题型三:元素与集合间的关系【典例 3-1】已知集合 A = x x = 4k, k Z ,B = x x = 4m +1,m Z ,C = x x = 4n + 2,n Z ,D = x x = 4t + 3, t Z ,若 a B ,b C ,则下列说法正确的是( )A. a + b A B. a + b B C. a + b C D. a + b D【答案】D【解析】因为 a B ,b C ,则由题意可设 a = 4m + 1,b = 4n + 2 ,其中m Z,n Z,则a + b = 4 m + n + 3,且m + n Z ,故 a + b D ,故选:D.3-2 2024· · · x 1,2, x2【典例 】( 高三 山东青岛 开学考试)已知 ,则 x的取值为( )A.1 B.1 或 2 C.0 或 2 D.0 或 1 或 2【答案】C【解析】由元素和集合关系可知: x = 1或 x = 2 或 x = x2 ,解的 x = 0 或1或2,由集合的性质可知,当 x = 1时, 1,2,1 不满足互异性,所以 x的取值为 0或2 .故选:C.【方法技巧】1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集,尤其是 N 与 N*的区别.2、当集合用描述法给出时,一定要注意描述的是点还是数 .【变式 3-1】(2024·全国·模拟预测)已知集合 A = x x = 3k +1,k Z ,则下列表示正确的是( ).A. 2 A B. 2023 AC.3k 2 +1 A D. 35 A【答案】A【解析】当 k = 1时, x = 2,所以 2 A,故 A 正确;当 k = 674时, x = 3 674 + 1 = 2023,所以 2023 A ,故 B 错误;当 k = 1或 k = 0 时,3k2 +1= 3k +1,所以3k 2 +1 A,故 C 错误;当 k = 12时, x = 12 3 + 1 = 35 ,所以 35 A ,故 D 错误.故选:A【变式 3-2】(2024·贵州贵阳·模拟预测)若集合 A ={x | 2mx 3 > 0,m R},其中2 A且1 A ,则实数 m 的取值范围是( ) 3 , 3ù é3 , 3 3 , 3 é3 3ùA. ú B. ê ÷ C. ÷ D. ,è 4 2 4 2 è 4 2 ê 4 2ú 【答案】Aì2m 2 3 > 0 3 3【解析】由题意可得 í < m 2m 1 3 0,解得 . 4 2故选:A.【变式 3-3】已知 A = x x2 ax +1 0 ,若2 A,且3 A ,则a的取值范围是( )é5 ,10 5 ,10 ù é5 10 A. ê ÷ B. ú C. ,+ 2 3 2 3 ê2 ÷D. , 3 ÷ è è 【答案】A5 10【解析】由题意得 4 2a + 1 0 且9 3a + 1 > 0 ,解得 a < .2 3故选:A题型四:集合与集合之间的关系【典例 4-1】(2024·四川德阳·三模)已知集合 A = x |1< x < 2024 ,B = x | x < a ,若 A B,则实数a 的取值范围是( )A. (2024,+ ) B.[2024, + ) C. ( , 2024] D. ( ,2024)【答案】B【解析】集合 A = x |1< x < 2024 ,B = x | x < a ,又 A B,则 a 2024 ,所以实数 a 的取值范围是[2024, + ) .故选:B【典例 4-2】(2024·全国·模拟预测)已知集合 1,0 B 1,0,1,2 ,则满足条件的集合 B 的个数为( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】由 1,0 B可得1 B且 0 B ,根据 B 为 1,0,1,2 的真子集,可得B = 1,0 或B = 1,0, 1 或B = 1,0,2 ,故满足条件的集合 B 的个数为 3.故选:A【方法技巧】1、注意子集和真子集的联系与区别.2、判断集合之间关系的两大技巧:(1)定义法进行判断(2)数形结合法进行判断【变式 4-1】(2024·河南驻马店·一模)已知集合M ìx x k 1 , k Zü , N ì k 1 ü= í = + = íx x = + , k Z , x0 M ,则 x0 与N2 4 4 2 的关系是( ) A. x0 N B. x0 NC. x0 M 且 x0 N D.不能确定【答案】AM ìx | x k 1 2k +1= = + = ,k Zü ì k 1 k + 2 ü【解析】 í , N = íx | x = + = , k Z2 4 4 4 2 4 , 由 k Z ,可得 2k + 1是奇数, k + 2是整数,所以M N,因为 x0 M ,所以 x0 N .故选:A.【变式 4-2】已知集合M , N I ,若M N = N ,则( )A. I M I N B.M I N C. I M I N D.M I N【答案】C【解析】M N = N , N M ,若把 I 看作全集,作出韦恩图如图所示:∴N 的补集包含 M 的补集.故选:C.【变式 4-3】(2024·青海西宁·二模)设集合 A = 1,2a +1 , B = 3,a 1,3a 2 ,若 A B,则a =( )A. 2 B. 1 C.1 D.3【答案】C【解析】由已知得,若 2a + 1 = 3 ,解得 a = 1,此时 A = 1,3 ,B = 0,1,3 ,符合题意;若 2a + 1 = a 1 ,解得a = 2 ,此时 A = 1, 3 ,B = 8, 3,3 ,不符合题意;若 2a +1 = 3a 2 ,解得 a = 3 ,此时 A = 1,7 , B = 2,3,7 ,不符合题意,综上所述, a = 1 .故选:C.题型五:集合的交、并、补运算【典例 5-1】已知集合 A = x x 2 x 5 0 ,B = x 3 2x 5 ,则 R A I B =( )A. -1,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2 【答案】C【解析】由 x 2 x 5 0,得 2 x 5,则 A = x 2 x 5 ,则 R A = x x < 2 或 x > 5 ,由 3 2x 5,得 1 x 4 ,则B = x 1 x 4 ,所以 RA B = x 1 x < 2 .故选:C.【典例 5-2】(2024·广东深圳·二模)对于任意集合M , N ,下列关系正确的是( )A.M U M U N N = M U N B. MUN M I N = MUN M U MUN N C.M I M U N N = M I N D. MUN (M I N) = MUNM I MUN N 【答案】B【解析】对于A :如图所知, M UN N 为区域①,所以M M N N = M ,故A 错误;对于B : M N M N 为区域①和③; M NM 为区域③, M N N 为区域①,则 M N M M N N 也为为区域①和③;两边相等,故B 正确;对于C : M N N 为区域①, M M N N 为区域①,不等于区域②(区域②为 M N ),故C 错误;对于D : M N (M N )为区域①和③;而 M NM 为区域③, M N N 为区域①,所以 M N M M N N 为空集,所以D 错误;故选:B .【方法技巧】1、注意交集与并集之间的关系2、全集和补集是不可分离的两个概念【变式 5-1】已知集合U = R , A = y y = 1 x + x 1 ,B = x x x2 < 0 ,则 U AUB =( )A. 0,1 B. 0,1 C. ,0 1,+ D. ,0 1,+ 【答案】B【解析】因为函数 y = 1 x + x 1的定义域为 1 ,所以函数 y = 1 x + x 1值域为 0 ,所以 A = 0 ,不等式 x x2 < 0的解集为 x x < 0 或 x >1 ,所以B = x x < 0或 x >1 ,∴ A B = x x 0或 x >1 ,则 U A B = x 0 < x 1 .故选:B.2【变式 5-2】(2024·四川德阳·二模)已知集合 A = x∣x x 2 0 ,B = x∣y = lnx ,则 U A B =( )A. x 0 < x <1 B. x 0 < x < 2 C. x 1< x < 2 D. x x > 2 【答案】B【解析】因为 A = x∣x2 x 2 0 = x x 2或 x 1 ,则 U A = x 1< x < 2 ,又B = x∣y = lnx = x x > 0 ,所以 U A B = x 0 < x < 2 .故选:B题型六:集合与排列组合的密切结合【典例 6-1】(2024·福建厦门·二模)设集合 A = 1,0,1 ,B = x1, x2 , x3 , x4 , x5 xi A, i =1,2,3,4,5 ,那么集合 B 中满足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的个数为( )A.60 B.100 C.120 D.130【答案】D【解析】由题意知集合 B 中满足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的个数,即指 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 中取值为-1 或 1 的个数和为 1 或 2 或 3,1 2 2 3 3故满足条件的元素的个数为C 5 2 + C 5 2 + C 5 2 = 10 + 40 + 80 = 130(个),故选:D【典例 6-2】(2024·全国·模拟预测)已知V ABC 的三个顶点的横纵坐标均在集合 1,2,3,4 内,则这样的三角形共有( )A.64 个 B.125 个C.432 个 D.516 个【答案】D【解析】由题意,横纵坐标均在集合 1,2,3,4 内的点共有 4 4 = 16 个,3 16 15 14从这 16 个点中任意选出三个点,共有C16 = = 560 个,3 2 13其中三个点共线的情况有C4 4 2+C34 2+4 = 44个,所以满足题目要求的三角形共有560 44 = 516 .故选:D【典例 6-3】 card(AI B) = card(B IC) = card(C I A) =1,且 AIBIC = ,则称 (A,B,C)为 N 的“有序子集列”.现有N ={1,2,3,4,5,6},则 N 的“有序子集列”的个数为( )A.540 个 B.1280 个 C.3240 个 D.7680 个【答案】D【解析】根据题意,优先确定两两交集card(AI B) = card(B IC) = card(C I A) =1中的元素,六个元素中选择三个进行排列,然后再排其余的三个元素,其余的三个元素可能再 A,B,C 的某一个里面可能都不3 3在,所以其余的三个元素都有 4 种选择方法,所以 N 的“有序子集列”的个数为A 6 4 = 7680 (个).故选:D.【方法技巧】利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题,需要运用分析与转化的思想方法。【变式 6-1】设集合 A = 1,2,3,4 ,B = 5,6,7 ,则从 A 集合到 B 集合所有不同映射的个数是( )A.81 B.64 C.12 D.以上都不正确【答案】A【解析】集合A 中的每一个元素,在集合 B 中都有唯一对应的元素与之对应,A 中有 4 个元素,每个元素可以有 3 种对应方式,共有34 = 81种不同的对应方式,即从集合A 到集合 B 的不同映射的个数是 81 .故选:A【变式 6-2】已知 A, B 1,2,3,L,2022,2023 ,则由集合 A, B构成的集合 A,B 的个数为( )A.24045 22023 B.24045 22022C.24046 22023 D.24046 22022【答案】B【解析】由于{1,2,3,L,2022,2023}的子集个数为22023,因此集合{A,B}是从{1,2,3,L,2022,2023}的22023个子集中挑选 2 个子集组成的集合,22023 22023 1 于是集合{A,B}的个数为C2 4045 2022 .22023= = 2 22故选:B.【变式 6-3】(2024·高三·四川雅安·开学考试)已知集合U = {x Z∣1 x 5},非空集合 A U ,且A 中所有元素之和为奇数,则满足条件的集合A 共有( )A.12 个 B.14 个 C.16 个 D.18 个【答案】C【解析】U ={x Z∣1 x 5}= 1,2,3,4,5 ,由于A 中所有元素之和为奇数,且非空集合 A U ,当A 中只有一个元素时,则 A = 1 ,或 A = 3 ,或 A = 5 ,当A 中有 2 个元素时,则A 中的元素必为一偶一奇,故有2 3 = 6个满足条件的A ,当A 中有 3 个元素时,则A 中的元素必为 2 偶一奇或者三个元素均为奇数,故有 4 个满足条件的A ,当A 中有 4 个元素时,则A 中的元素必为一偶 3 奇,故有 2 个满足条件的A ,当A 中有 5 个元素时,则 A = 1,2,3,4,5 满足条件,故共有3 + 6 + 4 + 2 + 1 = 16 ,故选:C【变式 6-4】(2024·上海静安·一模)已知直线ax+by +c = 0的斜率大于零,其系数 a、b、c 是取自集合{ 2, 1,0,1,2}中的 3 个不同元素,那么这样的不重合直线的条数是( )A.11 B.12 C.13 D.14【答案】A【解析】因为直线ax+by +c = 0的斜率大于零,所以 ab < 0 ,当 c = 0,a 有 2 种选法,b 有 2 种选法,c 有 1 种选法;因为直线 2x + 2y = 0与直线 x + y = 0重合,所以这样的直线有 2 2 1 1 = 3 条;当 c < 0时,a 有 1 种选法,b 有 2 种选法, c 有 2 种选法;所以这样的直线有 2 1 2 = 4条,当 c > 0时,a 有 2 种选法,b 有 1 种选法, c 有 2 种选法;所以这样的直线有 2 1 2 = 4条,综上:这样的不重合直线的条数是 3+8=11 条,故选:A题型七:容斥原理【典例 7-1】(2024·高三·北京·强基计划)一群学生参加学科夏令营,每名同学参加至少一个学科考试.已知有 100 名学生参加了数学考试,50 名学生参加了物理考试,48 名学生参加了化学考试,学生总数是只参加一门考试学生数的 2 倍,也是参加三门考试学生数的 3 倍,则学生总数为( )A.108 名 B.120 名 C.125 名 D.前三个答案都不对【答案】A【解析】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为 x, y , z ;参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为c,a,b;同时参加了三门学科考试的学生数为m,如图.ìx + b + c + m =100 y + c + a + m = 50根据题意,有 í z + a + b + m = 48, x + y + z + a + b + c + m = 2 x + y + z = 3m前面三个等式相加,可得 x + y + z + 2(a + b + c) + 3m =198.3 m由第四个等式可得 x + y + z = m , a + b + c = ,2 23因此 m + m + 3m = 198,2解得m = 36.因此学生总数为3m = 108 .故选:A【典例 7-2】“四书五经”是中国传统文化瑰宝,是儒家思想的核心载体,其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况,随机调查了 200 位学生,其中阅读过《大学》的有 60 位,阅读过《论语》的有 160 位,阅读过《大学》或《论语》的有 180 位,阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有 20 位.则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是( )A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.4【答案】A【解析】如下图,阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是 160+60-180=40,阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数是 40-20=20,20由样本估计总体,得所求比值为 = 0.1.200故选:A【方法技巧】容斥问题本身存在包容与排斥的一种计数问题,所以我们在处理这一类问题的时候必须要注意扣除掉重复的部分,也要保证没有遗漏,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理.【变式 7-1】(2024·高三·湖北·期末)某校高一年级有 1200 人,现有两种课外实践活动供学生选择,要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知,选择其中一项活动的人数占总数的 60%到 65%,选择另一项活动的人数占 50%到 55%,则下列说法正确的是( )A.同时选择两项参加的人数可能有 100 人B.同时选择两项参加的人数可能有 180 人C.同时选择两项参加的人数可能有 260 人D.同时选择两项参加的人数可能有 320 人【答案】B【解析】根据题意,60% + 50% 1 = 10% , 65% + 55% 1 = 20% ,则同时选 A,B 的人数在10% 到 20% 之间,换算成人数为1200 10% =120,1200 20% = 240,即 120到 240 之间,因此符合题意的选项只有 B.故选:B.【变式 7-2】(2024·高三·福建三明·期中)某班有 45 名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有 20 人,同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人,同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人,同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人,则同时参加这三个兴趣小组的同学有人 .【答案】5【解析】以集合A 、 B 、C 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生,如下图所示:设同时参加这三个兴趣小组的同学有 x人,由图可得20+ 9 x + 11 x + 15 x + x = 55 2x = 45,解得 x = 5 .故答案为:5 .【变式 7-3】(2024·江西·模拟预测)2021 年是中国共产党成立 100 周年,电影频道推出“经典频传:看电影,学党史”系列短视频,传扬中国共产党的伟大精神,为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频,某大学社团有 50 人,观看了《青春之歌》的有 21 人,观看了《建党伟业》的有 23 人,观看了《开国大典》的有 26 人.其中,只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有 4人,只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有 7 人,只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有 6 人,三支短视频全观看了的有 3 人,则没有观看任何一支短视频的人数为 .【答案】3【解析】把大学社团 50 人形成的集合记为全集 U,观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为 A,B,C,依题意,作出韦恩图,如图,观察韦恩图:因观看了《青春之歌》的有 21 人,则只看了《青春之歌》的有 21 4 6 3 = 8 (人),因观看了《建党伟业》的有 23 人,则只看了《建党伟业》的有 23 4 7 3 = 9 (人),因观看了《开国大典》的有 26 人,则只看了《开国大典》的有 26 6 7 3 = 10 (人),因此,至少看了一支短视频的有3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 47 (人),所以没有观看任何一支短视频的人数为50 47 = 3 .故答案为:3题型八:集合的创新定义运算【典例 8-1】(多选题)(2024·山西·一模)群的概念由法国天才数学家伽罗瓦(1811-1832)在 19 世纪30 年代开创,群论虽起源于对代数多项式方程的研究,但在量子力学 晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G 是一个非空集合,“ o ”是一个适用于G 中元素的运算,若同时满足以下四个条件,则称G对“ o ”构成一个群:(1)封闭性,即若a,b G,则存在唯一确定的 c G ,使得 c = a o b ;(2)结合律成立,即对G 中任意元素a,b,c都有 a ob oc = a o boc ;(3)单位元存在,即存在 e G ,对任意 a G ,满足aoe =eoa = a,则 e 称为单位元;(4)逆元存在,即任意 a G ,存在b G ,使得 a o b = b o a = e,则称a与b互为逆元,b记作a 1 .一般地, a o b 可简记作 ab,a o a 可简记作 a2 , a2 o a可简记作a3,以此类推.正八边形 ABCDEFGH 的中心为O .以 e 表示恒等变换,即不对正八边形作任何变换;以 r 表示以点O 为中心,将π正八边形逆时针旋转 的旋转变换;以m表示以OA所在直线为轴,将正八边形进行轴对称变换.定义运算4“ o ” p q表示复合变换,即 f o g 表示将正八边形先进行 g 变换再进行 f 变换的变换.以形如 r m p,q N,并r0 = m0规定 = e 的变换为元素,可组成集合G ,则G 对运算“ o ”可构成群,称之为“正八边形的对称变换群”,记作 D8 .则以下关于 D8 及其元素的说法中,正确的有( )A mr2. D ,且mr28 = r2mB. r3m与 r5m互为逆元C. D8 中有无穷多个元素D. D8 中至少存在三个不同的元素,它们的逆元都是其本身【答案】ABD【解析】我们有:1o由于两次轴对称等价与不变换,故m2 = e;由于旋转45o施行 8 次等价于旋转360o也就是不变,故 r8 = e;由于先旋转再关于OA对称和先关于OA对称再旋转等效,故 rm= mr .2o D8 一共是 16 个元素,变换后 ABCDEFGH 逆时针排列的有 8 个,顺时针排列的有 8 个.这就说明:mr2 = r2m, A 正确; r3m r5m = r3r5m2 = r8 = e,B 正确;D8 一共是 16 个元素,C 错误;2 4 2D 中,m = e, r = r88 = e, mr4 mr4 = m2r8 = e,D 正确.故选:ABD【典例 8-2】已知全集U 且集合A 、 B 是非空集合,定义 A B = x | x A B且 x U A B ,已知A = x 2 < x < 5 ,B = x x 3 ,则 A B = .【答案】 x x 5 【解析】 A B = x x < 5 , U A B = x | x 2或 x > 3 ,因为 A B = x | x A B且 x U A B ,所以 A B = x x 5 .故答案为: x x 5 .【方法技巧】1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识,一般情况下,它所涉及到的知识和方法并不难,难在转化.2、集合的创新定义题,主要是在题干中定义“新的概念,新的计算公式,新的运算法则,新的定理”,要根据这些新定义去解决问题,有时为了有助于理解,还可以用类比的方法进行理解。【变式 8-1】定义集合运算: Ae B = z | z = xy x + y , x A, y B ,集合 A = 0,1 , B = 2,3 ,则集合AeB所有元素之和为 .【答案】18【解析】依题意,当 x = 0, y = 2或 y = 3 时, z = 0;当 x =1, y = 2时, z = 6;当 x =1, y = 3时, z = 12 ,因此集合 Ae B = {0,6,12},所以集合 AeB所有元素的和为 0+6+12=18.故答案为:18【变式 8-2】如果集合 U 存在一组两两不交(两个集合交集为空集时,称为不交)的非空子集A1, A2 ,L, Ak k N*,k 2 ,且满足 A1 U A2 ULU Ak = U ,那么称子集组 A1, A2 ,L, Ak 构成集合 U 的一个 k 划分.若集合 I 中含有 4 个元素,则集合 I 的所有划分的个数为( )A.7 个 B.9 个 C.10 个 D.14 个【答案】D【解析】不妨设 I = 1,2,3,4 ,则:I 的 2 划分有 2,3,4 U 1 , 1,3,4 U 2 , 1,2,4 U 3 , 1,2,3 U 4 , 1,2 U 3,4 , 1,3 U 2,4 , 1,4 U 2,3 ;I 的 3 划分有 1,2 U 3 U 4 , 1,3 U 2 U 4 , 1,4 U 2 U 3 , 2,3 U 1 U 4 , 2,4 U 1 U 3 , 3,4 U 1 U 2 ;I 的 4 划分只有 1 U 2 U 3 U 4 .综上, I 的划分共有 7 + 6 + 1 = 14 个,D 正确.故选:D.【变式 8-3】(2024·上海嘉定·二模)若规定集合E = 0,1,2,LL,n 的子集 a1,a2 ,a3,L,am 为 E 的第 k个子集,其中 k = 2a1 + 2a2 + 2a3 +LL+ 2am ,则 E 的第 211 个子集是 .【答案】{0,1,4,6,7}【解析】因27 = 128 < 211,28 = 256 > 211,则 E 的第 211 个子集必包含 7,此时 211 128 = 83;又因26 = 64 < 83,27 = 128 > 83,则 E 的第 211 个子集必包含 6,此时83 64 = 19 ;又24 = 16 < 19,25 = 32 > 19,则 E 的第 211 个子集必包含 4,此时19 16 = 3;又21 = 2 < 3,22 = 4 > 3, 则 E 的第 211 个子集必包含 1;而20 =1.综上所述, E 的第 211 个子集是{0,1,4,6,7} .故答案为:{0,1,4,6,7} .1.(2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题)已知集合 A = x∣ 5 < x3 < 5 , B = { 3, 1,0,2,3},则 AI B =( )A.{ 1,0} B.{2,3} C.{ 3, 1,0} D.{ 1,0,2}【答案】A【解析】因为 A = x | 3 5 < x < 3 5 , B = 3, 1,0,2,3 ,且注意到1< 3 5 < 2 ,从而 AI B = 1,0 .故选:A.2.(2024 年高考全国甲卷数学(理)真题)集合 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ,则 A A B = ( )A. 1,4,9 B. 3, 4,9 C. 1,2,3 D. 2,3,5 【答案】D【解析】因为 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ,所以B = 1,4,9,16,25,81 ,则 AI B = 1,4,9 , A AI B = 2,3,5 故选:D3.(2023 年北京高考数学真题)已知集合M = {x∣x + 2 0}, N = {x∣x 1< 0},则M N = ( )A.{x∣ 2 x <1} B.{x∣ 2 < x 1}C.{x∣x 2} D.{x∣x <1}【答案】A【解析】由题意,M = {x∣x + 2 0} = {x | x 2}, N = {x∣x 1< 0} = {x | x <1},根据交集的运算可知,M I N ={x | 2 x <1}.故选:A4.(2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题)设集合 A = 0, a ,B = 1,a 2,2a 2 ,若 A B,则a =( ).A.2 B.1 C 2. 3 D. 1【答案】B【解析】因为 A B,则有:若a 2 = 0,解得 a = 2 ,此时 A = 0, 2 ,B = 1,0,2 ,不符合题意;若 2a 2 = 0 ,解得 a = 1,此时 A = 0, 1 ,B = 1, 1,0 ,符合题意;综上所述: a = 1 .故选:B.5.(2023 年高考全国甲卷数学(理)真题)设全集U = Z ,集合M = {x∣x = 3k +1,k Z}, N = {x∣x = 3k + 2, k Z}, U(M N ) = ( )A.{x | x = 3k,k Z} B.{x∣x = 3k 1, k Z}C.{x∣x = 3k 2,k Z} D. 【答案】A【解析】因为整数集Z = x | x = 3k,k Z U x | x = 3k +1,k Z U x | x = 3k + 2,k Z ,U = Z ,所以, U M U N = x | x = 3k,k Z .故选:A.2p6.(2023 *年高考全国乙卷数学(理)真题)已知等差数列 an 的公差为 ,集合 S = cosa n N ,若3 nS = a,b ,则 ab = ( )1A.-1 B. C.0 D 1.2 2【答案】B2π 2π 2π【解析】依题意,等差数列{an}中, an = a1 + (n 1) × = n + (a1 ),3 3 3显 然 函 数 y = cos[2π n + (a 2π )]的 周 期 为 3 , 而 n N*1 , 即 cos an 最 多 3 个 不 同 取 值 , 又3 3{cosan | n N*}={a,b},则在 cos a1, cos a2 , cos a3 中, cos a1 = cos a2 cos a3 或 cos a1 cos a2 = cos a3 ,于是有 cosq = cos(q2π+ ),即有q2π+ (q + ) = 2kπ,k Z,解得q = kππ , k Z ,3 3 3π所以 k Z , ab = cos(kπ ) cos[(kππ 4π ) + ] = cos(kπ π ) cos kπ = cos2 kπ cos π 1= .3 3 3 3 3 2故选:B1.在平面直角坐标系中,集合C ={(x, y) | y = x}表示直线 y = x ,从这个角度看,集合ì ì2x y =1D = í(x, y) |üíx 4y 5 表示什么?集合C,D 之间有什么关系? + = ì ì2x y =1ü【解析】集合D = í(x, y) | í 表示直线2x y =1与直线 x + 4y = 5x 4y 5 交点的集合, + = 即D = {(1,1)} . 则 D C .2.请解决下列问题:(1)设a,b R, P ={1,a},Q ={ 1, b},若 P = Q,求 a b的值;(2)已知集合 A ={x | 0 < x < a}, B ={x |1< x < 2},若B A,求实数 a 的取值范围.【解析】(1)由于 P = Q,所以 a = 1,且 b = 1,\ a b = 0 .(2)Q A = {x | 0 < x < a}, B = {x |1< x < 2},且B A,\ a 2如图所示.3.已知全集U = A B ={x N | 0 x 10}, A CU B ={1,3,5,7},试求集合 B.【解析】QU = A B ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A U B ={1,3,5,7},\ U B = {1,3,5, 7} .故B = U U B ={0,2,4,6,8,9,10} .4.学校举办运动会时,高一(1)班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛,有 14 人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人 【解析】解:如图.设同时参加田径和球类比赛的有 x 人,则 28 = 15 + 8 + 14 3 3 x ,\ x = 3 ,即同时参加田径和球类比赛的有 3 人,而只参加游泳一项比赛的有15 3 3 = 9 (人).5 2.已知集合 A = 1,3,a , B = {1,a + 2} ,是否存在实数 a,使得 A B = A 若存在,试求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.【解析】解: A B = A B A\{1,a + 2} 1,3, a2 ,ìa a + 2 = a2ì + 2 = 3 \ 2a + 2 1ía 1 或 í , 2 a2 1 a 3 2 a 3\ a = 2 ,∴存在实数 a = 2 ,使得 A B = A .易错点:在解含参数集合问题时忽视空集易错分析:由于空集是一个特殊的集合,它是任何集合的子集,因此对于集合 A B 就有可能忽视了A = ,导致解题结果错误.尤其是在解含参数的集合问题时,更应注意到当参数在某个范围内取值时,所给的集合可能是空集的情况.考生由于思维定式的原因,往往会在解题中遗忘了这个集合,导致答案错误或答案不全面.答题模板1、模板解决思路解决集合中的参数问题,常根据所给条件,并结合集合间的关系或集合的运算等知识列出关于参数的方程(组)或不等式(组),求解即可.2、模板解决步骤第一步:将已知集合化成最简形式.第二步:通过画数轴等方式分析条件.第三步:列出关于参数的方程(组)或不等式(组).第四步:解出参数的取值范围.【易错题 1】已知集合 A = 1,1 ,B = x ax =1 ,若 AI B = B ,则 a 的取值集合为( )A. 1 B. 1 C. 1,1 D. 1,0,1 【答案】D【解析】由 AI B = B ,知B A,因为 A = 1,1 ,B = {x | ax =1},若B = ,则方程 ax =1无解,所以 a = 0满足题意;若B ,则B = {x | ax =1}ìx x 1 ü= í = , a 1因为B A,所以 = ±1,则满足题意 a = ±1;a故实数 a 取值的集合为 1,0,1 .故选:D.【易错题 2】已知集合 A = x 1 x 3 ,集合 B = x 1 m x 1+ m .若 B A,则m 的取值范围是( )A. , 2 B. 1,3 C. 3,1 D. 0,2 【答案】A【解析】当m < 0时,B = f ,满足B A;ì1 m 1当m 0 时,若B A,只需 í 0 m 2 1,解得+ m 3综上,m 的取值范围是 , 2 故选:A.第 01 讲 集合目录01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................202 知识导图·思维引航..........................................................................................................................303 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4知识点 1:元素与集合 .........................................................................................................................4知识点 2:集合间的基本关系 .............................................................................................................5知识点 3:集合的基本运算 .................................................................................................................5知识点 4:集合的运算性质 .................................................................................................................5解题方法总结 ........................................................................................................................................6题型一:集合的表示:列举法、描述法 ............................................................................................6题型二:集合元素的三大特征 ............................................................................................................7题型三:元素与集合间的关系 ............................................................................................................7题型四:集合与集合之间的关系 ........................................................................................................8题型五:集合的交、并、补运算 ........................................................................................................8题型六:集合与排列组合的密切结合 ................................................................................................9题型七:容斥原理 ..............................................................................................................................10题型八:集合的创新定义运算 ..........................................................................................................1104 真题练习·命题洞见........................................................................................................................1205 课本典例·高考素材........................................................................................................................1306 易错分析·答题模板........................................................................................................................14易错点:在解含参数集合问题时忽视空集 ......................................................................................14答题模板 ..............................................................................................................................................15考点要求 考题统计 考情分析本讲为高考命题热点,题型以选择题为主,2024年 I卷第 1题,5分考查内容、频率、题型、难度均变化不大. 重点是2023年 I卷第 1题,5分(1)集合的概念与表示 集合间的基本运算,主要考查集合的交、并、补2023年 II卷第 2题,5分(2)集合的基本关系 运算,常与一元二次不等式解法、一元一次不等2022年 I卷 II卷第 1题,5分(3)集合的基本运算 式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解2021年 I卷 II卷第 1题,5分法结合.同时适当关注集合与充要条件相结合的解2020年 I卷 II卷第 1题,5分题方法.复习目标:1、了解集合的含义,了解全集、空集的含义.2、理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系.3、会求两个集合的并集、交集与补集.4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用 Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.知识点 1:元素与集合1、集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合.构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外,还可以是其他对象.2、集合元素的特征(1)确定性:集合中的元素必须是确定的,任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素.(2)互异性:集合中任何两个元素都是互不相同的,即相同元素在同一个集合中不能重复出现.(3)无序性:集合与其组成元素的顺序无关.3、元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作 a A )和不属于(记作 a A )两种.4、集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图).知识点诠释:(1)列举法把集合的元素一一列举出来,并用花括号括起来.(2)描述法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.5、常用数集的表示数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 N N *或 N Z Q R+x【诊断自测】(2024·广东惠州·一模)设集合M = x Z∣100 < 2 <1000 ,则 M 的元素个数为( )A.3 B.4 C.9 D.无穷多个知识点 2:集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合 A、 B ,如果集合 A中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A为集合 B 的子集 ,记作 A B (或 B A),读作“ A包含于 B ”(或“ B 包含 A ”).(2)真子集:对于两个集合 A与 B ,若 A B ,且存在 b B ,但 b A,则集合 A是集合 B 的真子集,记作 A B (或 B A ).读作“ A真包含于 B ”或“ B 真包含 A ”.(3)相等:对于两个集合 A与 B ,如果 A B ,同时 B A,那么集合 A与 B 相等,记作 A = B.(4)空集:把不含任何元素的集合叫做空集,记作 ; 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.【诊断自测】(2024·高三·四川成都·阶段练习)已知集合 A = 1,2 , B = 2,3 ,则集合C = z z = x + y , x A, y B 的子集个数为( )A.5 B.6 C.7 D.8知识点 3:集合的基本运算(1)交集:由所有属于集合 A且属于集合 B 的元素组成的集合,叫做 A与 B 的交集,记作 A B ,即 A B = x | x A且x B .(2)并集:由所有属于集合 A或属于集合 B 的元素组成的集合,叫做 A与 B 的并集,记作 A B ,即 A B = x | x A或x B .(3)补集:对于一个集合 A,由全集U 中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集U 的补集,简称为集合 A的补集,记作CU A,即CU A = {x | x U ,且x A}.【诊断自测】(2024·陕西西安·一模)已知全集U = R ,集合M = {x | y = 1 x}, N = { 2 , 0,1, 2, 3},则 ( U M ) I N =( ).A.{ 2 , 0,1} B.{2, 3} C.{1, 2, 3} D. 2 知识点 4:集合的运算性质(1) AI A = A, AI = , A I B = B I A, A B A, A B B .(2) A U A = A, A U = A, A U B = B U A, A A B , B A B .(3) A I (CU A) = , A U (CU A) = U ,CU (CU A) = A .(4) A B = A A B = B A B U B U A A U B = 【诊断自测】(2024·江西鹰潭·一模)已知集合 A = x | x2 5x 6 ,集合B = x | x a ,若B R A ,则a的取值范围为( )A. 6,+ B. 6,+ C. , 1 D. ,1 解题方法总结(1)若有限集 A 中有n个元素,则 A 的子集有2n个,真子集有 2n 1个,非空子集有 2n 1个,非空真子集有 2n 2 个.(2)空集是任何集合 A 的子集,是任何非空集合 B 的真子集.(3) A B A I B = A A U B = B CU B CU A .(4)CU (A I B) = (CU A) U (CU B) , CU (A U B) = (CU A) I (CU B) .题型一:集合的表示:列举法、描述法1-1 2024· · A = 1,0,1 B = m | m2【典例 】( 广东江门 一模)已知集合 , 1 A,m 1 A ,则集合 B 中所有元素之和为( )A.0 B.1 C.-1 D. 2【典例 1-2】已知集合 A = { 3, 2,0,1,2,3,7}, B = {x∣x A, x A},则B =( )A.{0,1,7} B.{1,7} C.{0,2,3} D.{0,1,2,3,7}【方法技巧】1、列举法,注意元素互异性和无序性,列举法的特点是直观、一目了然.2、描述法,注意代表元素.ì kπ【变式 1-1】(2024·新疆·一模)已知集合 A = ísin k N ,且0 k 4ü ,则集合A 的元素个数为( ) 4 A.3 B.2 C.4 D.5【变式 1-2】(2024·高三·山东泰安·期中)已知集合 A = 1,2,3 ,B = 3,5 ,则C = x x = 2a + b, a A,b B 中的元素个数为( )A.3 B.4 C.5 D.6题型二:集合元素的三大特征ì【典例 2-1】设集合 A = í2,3, a2 3a, a2+ + 7ü ,B ={| a 2 |,3},已知 4 A且 4 B ,则a的取值集合 a 为 .【典例 2-2】由a, a, a , a2 构成的集合中,元素个数最多是 .【方法技巧】1、研究集合问题,看元素是否满足集合的特征:确定性、互异性、无序性。2、研究两个或者多个集合的关系时,最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。b【变式 2-1 ì ü】(2024·高三·天津河西·期中)含有 3 个实数的集合既可表示成 ía, ,1a ,又可表示成 a2 ,a + b,0 ,则 a2022 + b2022 = .【变式 2-2】(2024·高三·山东潍坊·期中)英语单词“banana”所含的字母组成的集合中含有 个元素.2【变式 2-3】(2024·云南大理·模拟预测)已知 x∣ax 4x +1 = 0 = b ,其中a,b R,则b =( )1 1A.0 B 1 1. 或 C. D.4 2 2 4题型三:元素与集合间的关系【典例 3-1】已知集合 A = x x = 4k, k Z ,B = x x = 4m +1,m Z ,C = x x = 4n + 2,n Z ,D = x x = 4t + 3, t Z ,若 a B ,b C ,则下列说法正确的是( )A. a + b A B. a + b B C. a + b C D. a + b D【典例 3-2】(2024·高三· 2山东青岛·开学考试)已知 x 1,2, x ,则 x的取值为( )A.1 B.1 或 2 C.0 或 2 D.0 或 1 或 2【方法技巧】1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集,尤其是 N 与 N*的区别.2、当集合用描述法给出时,一定要注意描述的是点还是数 .【变式 3-1】(2024·全国·模拟预测)已知集合 A = x x = 3k +1,k Z ,则下列表示正确的是( ).A. 2 A B. 2023 AC.3k 2 +1 A D. 35 A【变式 3-2】(2024·贵州贵阳·模拟预测)若集合 A ={x | 2mx 3 > 0,m R},其中2 A且1 A ,则实数 m 的取值范围是( ) 3 , 3ù é3 , 3 3 , 3 é3 3ùA. B. ÷ C. ÷ D.è 4 2 ú ê4 2 è 4 2 ê, 4 2ú 3-3 A = x x2【变式 】已知 ax +1 0 ,若2 A,且3 A ,则a的取值范围是( )é5A. ê ,10 5 ,10 ù é5 10 ÷ B. ú C. ,+ 2 3 2 3 ê2 ÷D. , 3 ÷ è è 题型四:集合与集合之间的关系【典例 4-1】(2024·四川德阳·三模)已知集合 A = x |1< x < 2024 ,B = x | x < a ,若 A B,则实数a 的取值范围是( )A. (2024,+ ) B.[2024, + ) C. ( , 2024] D. ( ,2024)【典例 4-2】(2024·全国·模拟预测)已知集合 1,0 B 1,0,1,2 ,则满足条件的集合 B 的个数为( )A.3 B.4 C.5 D.6【方法技巧】1、注意子集和真子集的联系与区别.2、判断集合之间关系的两大技巧:(1)定义法进行判断(2)数形结合法进行判断【变式 4-1】(2024·河南驻马店·一模)已知集合M ì k 1 ü= íx x = + , k Z , Nìx x k 1 ü= í = + , k Z , x0 M ,则 x0 与N 的关系是( ) 2 4 4 2 A. x0 N B. x0 NC. x0 M 且 x0 N D.不能确定【变式 4-2】已知集合M , N I ,若M N = N ,则( )A. I M I N B.M I N C. I M I N D.M I N【变式 4-3】(2024·青海西宁·二模)设集合 A = 1,2a +1 , B = 3,a 1,3a 2 ,若 A B,则a =( )A. 2 B. 1 C.1 D.3题型五:集合的交、并、补运算【典例 5-1】已知集合 A = x x 2 x 5 0 ,B = x 3 2x 5 ,则 R A I B =( )A. -1,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2 【典例 5-2】(2024·广东深圳·二模)对于任意集合M , N ,下列关系正确的是( )A.M U M U N N = M U N B. MUN M I N = MUN M U MUN N C.M I M U N N = M I N D. MUN (M I N) = MUNM I MUN N 【方法技巧】1、注意交集与并集之间的关系2、全集和补集是不可分离的两个概念【变式 5-1】已知集合U = R , A = y y = 1 x + x 1 B = x x x2, < 0 ,则 U AUB =( )A. 0,1 B. 0,1 C. ,0 1,+ D. ,0 1,+ 【变式 5-2】(2024·四川德阳·二模)已知集合 A = x∣x2 x 2 0 ,B = x∣y = lnx ,则 U A B =( )A. x 0 < x <1 B. x 0 < x < 2 C. x 1< x < 2 D. x x > 2 题型六:集合与排列组合的密切结合【典例 6-1】(2024·福建厦门·二模)设集合 A = 1,0,1 ,B = x1, x2 , x3 , x4 , x5 xi A, i =1,2,3,4,5 ,那么集合 B 中满足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的个数为( )A.60 B.100 C.120 D.130【典例 6-2】(2024·全国·模拟预测)已知V ABC 的三个顶点的横纵坐标均在集合 1,2,3,4 内,则这样的三角形共有( )A.64 个 B.125 个C.432 个 D.516 个【典例 6-3】 card(AI B) = card(B IC) = card(C I A) =1,且 AIBIC = ,则称 (A,B,C)为 N 的“有序子集列”.现有N ={1,2,3,4,5,6},则 N 的“有序子集列”的个数为( )A.540 个 B.1280 个 C.3240 个 D.7680 个【方法技巧】利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题,需要运用分析与转化的思想方法。【变式 6-1】设集合 A = 1,2,3,4 ,B = 5,6,7 ,则从 A 集合到 B 集合所有不同映射的个数是( )A.81 B.64 C.12 D.以上都不正确【变式 6-2】已知 A, B 1,2,3,L,2022,2023 ,则由集合 A, B构成的集合 A,B 的个数为( )A.24045 22023 B.24045 22022C.24046 22023 D.24046 22022【变式 6-3】(2024·高三·四川雅安·开学考试)已知集合U = {x Z∣1 x 5},非空集合 A U ,且A 中所有元素之和为奇数,则满足条件的集合A 共有( )A.12 个 B.14 个 C.16 个 D.18 个【变式 6-4】(2024·上海静安·一模)已知直线ax+by +c = 0的斜率大于零,其系数 a、b、c 是取自集合{ 2, 1,0,1,2}中的 3 个不同元素,那么这样的不重合直线的条数是( )A.11 B.12 C.13 D.14题型七:容斥原理【典例 7-1】(2024·高三·北京·强基计划)一群学生参加学科夏令营,每名同学参加至少一个学科考试.已知有 100 名学生参加了数学考试,50 名学生参加了物理考试,48 名学生参加了化学考试,学生总数是只参加一门考试学生数的 2 倍,也是参加三门考试学生数的 3 倍,则学生总数为( )A.108 名 B.120 名 C.125 名 D.前三个答案都不对【典例 7-2】“四书五经”是中国传统文化瑰宝,是儒家思想的核心载体,其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况,随机调查了 200 位学生,其中阅读过《大学》的有 60 位,阅读过《论语》的有 160 位,阅读过《大学》或《论语》的有 180 位,阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有 20 位.则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是( )A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.4【方法技巧】容斥问题本身存在包容与排斥的一种计数问题,所以我们在处理这一类问题的时候必须要注意扣除掉重复的部分,也要保证没有遗漏,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理.【变式 7-1】(2024·高三·湖北·期末)某校高一年级有 1200 人,现有两种课外实践活动供学生选择,要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知,选择其中一项活动的人数占总数的 60%到 65%,选择另一项活动的人数占 50%到 55%,则下列说法正确的是( )A.同时选择两项参加的人数可能有 100 人B.同时选择两项参加的人数可能有 180 人C.同时选择两项参加的人数可能有 260 人D.同时选择两项参加的人数可能有 320 人【变式 7-2】(2024·高三·福建三明·期中)某班有 45 名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有 20 人,同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人,同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人,同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人,则同时参加这三个兴趣小组的同学有人 .【变式 7-3】(2024·江西·模拟预测)2021 年是中国共产党成立 100 周年,电影频道推出“经典频传:看电影,学党史”系列短视频,传扬中国共产党的伟大精神,为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频,某大学社团有 50 人,观看了《青春之歌》的有 21 人,观看了《建党伟业》的有 23 人,观看了《开国大典》的有 26 人.其中,只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有 4人,只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有 7 人,只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有 6 人,三支短视频全观看了的有 3 人,则没有观看任何一支短视频的人数为 .题型八:集合的创新定义运算【典例 8-1】(多选题)(2024·山西·一模)群的概念由法国天才数学家伽罗瓦(1811-1832)在 19 世纪30 年代开创,群论虽起源于对代数多项式方程的研究,但在量子力学 晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G 是一个非空集合,“ o ”是一个适用于G 中元素的运算,若同时满足以下四个条件,则称G对“ o ”构成一个群:(1)封闭性,即若a,b G,则存在唯一确定的 c G ,使得 c = a o b ;(2)结合律成立,即对G 中任意元素a,b,c都有 a ob oc = a o boc ;(3)单位元存在,即存在 e G ,对任意 a G ,满足aoe =eoa = a,则 e 称为单位元;(4)逆元存在,即任意 a G ,存在b G ,使得 a o b = b o a = e,则称a与b互为逆元,b记作a 1 .一般地, a o b 可简记作 ab,a o a 可简记作 a2 , a2 o a可简记作a3,以此类推.正八边形 ABCDEFGH 的中心为O .以 e 表示恒等变换,即不对正八边形作任何变换;以 r 表示以点O 为中心,将π正八边形逆时针旋转 的旋转变换;以m表示以OA所在直线为轴,将正八边形进行轴对称变换.定义运算4“ o ”表示复合变换,即 f o g p q表示将正八边形先进行 g 变换再进行 f 变换的变换.以形如 r m p,q N,并规定 r0 = m0 = e 的变换为元素,可组成集合G ,则G 对运算“ o ”可构成群,称之为“正八边形的对称变换群”,记作 D8 .则以下关于 D8 及其元素的说法中,正确的有( )A.mr2 D8,且mr2 = r2mB. r3m与 r5m互为逆元C. D8 中有无穷多个元素D. D8 中至少存在三个不同的元素,它们的逆元都是其本身【典例 8-2】已知全集U 且集合A 、 B 是非空集合,定义 A B = x | x A B且 x U A B ,已知A = x 2 < x < 5 ,B = x x 3 ,则 A B = .【方法技巧】1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识,一般情况下,它所涉及到的知识和方法并不难,难在转化.2、集合的创新定义题,主要是在题干中定义“新的概念,新的计算公式,新的运算法则,新的定理”,要根据这些新定义去解决问题,有时为了有助于理解,还可以用类比的方法进行理解。【变式 8-1】定义集合运算: Ae B = z | z = xy x + y , x A, y B ,集合 A = 0,1 , B = 2,3 ,则集合AeB所有元素之和为 .【变式 8-2】如果集合 U 存在一组两两不交(两个集合交集为空集时,称为不交)的非空子集A , A ,L, A k N*1 2 k ,k 2 ,且满足 A1 U A2 ULU Ak = U ,那么称子集组 A1, A2 ,L, Ak 构成集合 U 的一个 k 划分.若集合 I 中含有 4 个元素,则集合 I 的所有划分的个数为( )A.7 个 B.9 个 C.10 个 D.14 个【变式 8-3】(2024·上海嘉定·二模)若规定集合E = 0,1,2,LL,n 的子集 a1,a2 ,a3,L,am 为 E 的第 k个子集,其中 k = 2a1 + 2a2 + 2a3 +LL+ 2am ,则 E 的第 211 个子集是 .1.(2024 3年新课标全国Ⅰ卷数学真题)已知集合 A = x∣ 5 < x < 5 , B = { 3, 1,0,2,3},则 AI B =( )A.{ 1,0} B.{2,3} C.{ 3, 1,0} D.{ 1,0,2}2.(2024 年高考全国甲卷数学(理)真题)集合 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ,则 A A B = ( )A. 1,4,9 B. 3, 4,9 C. 1,2,3 D. 2,3,5 3.(2023 年北京高考数学真题)已知集合M = {x∣x + 2 0}, N = {x∣x 1< 0},则M N = ( )A.{x∣ 2 x <1} B.{x∣ 2 < x 1}C.{x∣x 2} D.{x∣x <1}4.(2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题)设集合 A = 0, a ,B = 1,a 2,2a 2 ,若 A B,则a =( ).A.2 B.1 C 2. 3 D. 15.(2023 年高考全国甲卷数学(理)真题)设全集U = Z ,集合M = {x∣x = 3k +1,k Z}, N = {x∣x = 3k + 2, k Z}, U(M N ) = ( )A.{x | x = 3k,k Z} B.{x∣x = 3k 1, k Z}C.{x∣x = 3k 2,k Z} D. 6.(2023 年高考全国乙卷数学(理)真题)已知等差数列 a 2pn 的公差为 ,集合 S = cosan n N* ,若3S = a,b ,则 ab = ( )1A.-1 B. C.0 D 1.2 21.在平面直角坐标系中,集合C ={(x, y) | y = x}表示直线 y = x ,从这个角度看,集合ì ì2x y =1D = í(x, y) |üíx 4y 5 表示什么?集合C,D 之间有什么关系? + = 2.请解决下列问题:(1)设a,b R, P ={1,a},Q ={ 1, b},若 P = Q,求 a b的值;(2)已知集合 A ={x | 0 < x < a}, B ={x |1< x < 2},若B A,求实数 a 的取值范围.2.已知全集U = A B ={x N | 0 x 10}, A CU B ={1,3,5,7},试求集合 B.4.学校举办运动会时,高一(1)班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛,有 14 人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人 5 2.已知集合 A = 1,3,a , B = {1,a + 2} ,是否存在实数 a,使得 A B = A 若存在,试求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.易错点:在解含参数集合问题时忽视空集易错分析:由于空集是一个特殊的集合,它是任何集合的子集,因此对于集合 A B 就有可能忽视了A = ,导致解题结果错误.尤其是在解含参数的集合问题时,更应注意到当参数在某个范围内取值时,所给的集合可能是空集的情况.考生由于思维定式的原因,往往会在解题中遗忘了这个集合,导致答案错误或答案不全面.答题模板1、模板解决思路解决集合中的参数问题,常根据所给条件,并结合集合间的关系或集合的运算等知识列出关于参数的方程(组)或不等式(组),求解即可.2、模板解决步骤第一步:将已知集合化成最简形式.第二步:通过画数轴等方式分析条件.第三步:列出关于参数的方程(组)或不等式(组).第四步:解出参数的取值范围.【易错题 1】已知集合 A = 1,1 ,B = x ax =1 ,若 AI B = B ,则 a 的取值集合为( )A. 1 B. 1 C. 1,1 D. 1,0,1 【易错题 2】已知集合 A = x 1 x 3 ,集合 B = x 1 m x 1+ m .若 B A,则m 的取值范围是( )A. , 2 B. 1,3 C. 3,1 D. 0,2 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第01讲 集合(八大题型)(讲义)(学生版)第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考).pdf 第01讲 集合(八大题型)(讲义)(教师版)第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考).pdf