资源简介

第 01 讲 集合
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：元素与集合 ................................................................................................................................................4
知识点 2：集合间的基本关系 ....................................................................................................................................5
知识点 3：集合的基本运算 ........................................................................................................................................5
知识点 4：集合的运算性质 ........................................................................................................................................6
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6
题型一：集合的表示：列举法、描述法 ...................................................................................................................7
题型二：集合元素的三大特征 ...................................................................................................................................8
题型三：元素与集合间的关系 .................................................................................................................................10
题型四：集合与集合之间的关系 .............................................................................................................................11
题型五：集合的交、并、补运算 .............................................................................................................................13
题型六：集合与排列组合的密切结合 .....................................................................................................................15
题型七：容斥原理 .....................................................................................................................................................17
题型八：集合的创新定义运算 .................................................................................................................................20
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................22
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................24
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................26
易错点：在解含参数集合问题时忽视空集 .............................................................................................................26
答题模板 .....................................................................................................................................................................26
考点要求 考题统计 考情分析
本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，
2024年 I卷第 1题，5分
考查内容、频率、题型、难度均变化不大. 重点是
2023年 I卷第 1题，5分
（1）集合的概念与表示 集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补
2023年 II卷第 2题，5分
（2）集合的基本关系 运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等
2022年 I卷 II卷第 1题，5分
（3）集合的基本运算 式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解
2021年 I卷 II卷第 1题，5分
法结合.同时适当关注集合与充要条件相结合的解
2020年 I卷 II卷第 1题，5分
题方法.
复习目标：
1、了解集合的含义，了解全集、空集的含义.
2、理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.
3、会求两个集合的并集、交集与补集.
4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用 Venn图表示集合间的基本关系和基本
运算．
知识点 1：元素与集合
1、集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以
是其他对象．
2、集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．
3、元素与集合的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作 a A )和不属于(记作 a A )两种．
4、集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．
知识点诠释：
（1）列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来.
（2）描述法
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合
中元素所具有的共同特征.
5、常用数集的表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N *或 N Z Q R+
【诊断自测】（2024·广东惠州·一模）设集合M = x Z∣100 < 2x <1000 ，则 M 的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．无穷多个
【答案】A
【解析】由函数 y = 2 x 在R 上单调递增，及 26 = 64, 27 = 128, 29 = 512, 210 = 1024，
可得M = 7,8,9 ，则其元素个数为 3，
知识点 2：集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合 A、 B ，如果集合 A中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们
就说这两个集合有包含关系，称集合 A为集合 B 的子集 ，记作 A B （或 B A），读作“ A包含于 B ”
（或“ B 包含 A ”）.
（2）真子集：对于两个集合 A与 B ，若 A B ，且存在 b B ，但 b A，则集合 A是集合 B 的真子
集，记作 A B （或 B A ）.读作“ A真包含于 B ”或“ B 真包含 A ”.
（3）相等：对于两个集合 A与 B ，如果 A B ，同时 B A，那么集合 A与 B 相等，记作 A = B．
（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ； 是任何集合的子集，是任何非空集合的真
子集.
【诊断自测】（2024·高三·四川成都·阶段练习）已知集合 A = 1,2 , B = 2,3 ，则集合
C = z z = x + y , x A, y B 的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】C = 3,4,5 ，故其子集的个数为 8，
故选：D.
知识点 3：集合的基本运算
（1）交集：由所有属于集合 A且属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A与 B 的交集，记作 A B ，
即 A B = x | x A且x B ．
（2）并集：由所有属于集合 A或属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A与 B 的并集，记作 A B ，
即 A B = x | x A或x B ．
（3）补集：对于一个集合 A，由全集U 中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全
集U 的补集，简称为集合 A的补集，记作CU A，即CU A = {x | x U ,且x A}．
【诊断自测】（2024·陕西西安·一模）已知全集U = R ，集合M = {x | y = 1 x}， N = { 2 , 0,1, 2, 3}，
则 ( U M ) I N =（ ）．
A．{ 2 , 0,1} B．{2, 3} C．{1, 2, 3} D． 2
【答案】B
【解析】由1 x 0 解得M = ,1 ，
所以 UM = 1,+ ，所以 ( U M ) N = 2, 3 .
故选：B
知识点 4：集合的运算性质
（1） AI A = A， AI = ， A I B = B I A， A B A， A B B ．
（2） A U A = A， A U = A， A U B = B U A， A A B ， B A B ．
（3） A I (CU A) = ， A U (CU A) = U ，CU (CU A) = A ．
（4） A B = A A B = B A B U B U A A U B =
【诊断自测】（2024·江西鹰潭·一模）已知集合 A = x | x2 5x 6 ，集合B = x | x a ，若B R A ，
则a的取值范围为（ ）
A． 6,+ B． 6,+ C． , 1 D． ,1
【答案】A
【解析】因为 A = x | x2 5x 6 = x | x2 5x 6 0 = x | 1 x 6 ，
R A ={x x < 1或 x > 6}，
因为集合B = x | x a ，B R A ，所以 a > 6 ，
故选：A.
解题方法总结
（1）若有限集 A 中有n个元素，则 A 的子集有2n个，真子集有 2n 1个，非空子集有 2n 1个，非空真
子集有 2n 2 个．
（2）空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集．
（3） A B A I B = A A U B = B CU B CU A ．
（4）CU (A I B) = (CU A) U (CU B) , CU (A U B) = (CU A) I (CU B) ．
题型一：集合的表示：列举法、描述法
【典例 1-1】（2024· 2广东江门·一模）已知集合 A = 1,0,1 ，B = m | m 1 A,m 1 A ，则集合 B 中
所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D． 2
【答案】C
【解析】根据条件分别令m2 1 = 1,0,1，解得m = 0, ±1, ± 2 ，
又m 1 A ，所以m = 1, ± 2 ，B = 1, 2, 2 ，
所以集合 B 中所有元素之和是 1，
故选：C．
【典例 1-2】已知集合 A = { 3, 2,0,1,2,3,7}, B = {x∣x A, x A}，则B =（ ）
A．{0,1,7} B．{1,7} C．{0,2,3} D．{0,1,2,3,7}
【答案】B
【解析】因为 A = { 3, 2,0,1,2,3,7}，B = {x∣x A, x A}，
所以B = {1,7}.
故选：B.
【方法技巧】
1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.
2、描述法，注意代表元素.
ì kπ ü
【变式 1-1】（2024·新疆·一模）已知集合 A = ísin k N ,且0 k 4 ，则集合A 的元素个数为（ ）
4
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【解析】当 k = 0 时， sin
kπ
= sin0 = 0，
4
k = 1 sin kπ sin π 2当 时， = = ，
4 4 2
kπ 2π π
当 k = 2 时， sin = sin = sin =1，
4 4 2
kπ
当 k = 3时， sin = sin 3π 2= ，
4 4 2
当 k = 4 时， sin
kπ
= sin 4π = sinπ = 0，
4 4
ì ü
A 0, 2= ,1 故 í ，共三个元素.
2
故选：A.
【变式 1-2】（2024·高三·山东泰安·期中）已知集合 A = 1,2,3 ，B = 3,5 ，则
C = x x = 2a + b, a A,b B 中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由题意， x = 2a + b ，
当a =1,b = 5 x = 7，
当a =1,b = 3 x = 5，
当a = 2,b = 5 x = 9，
当 a = 2,b = 3 x = 7 ，
当a = 3,b = 5 x =11，
当a = 3,b = 3 x = 9，
由集合中元素满足互异性，所以C = 5,7,9,11 .
故选：B
故选：A．
题型二：集合元素的三大特征
ì 2 2 ü
【典例 2-1】设集合 A = í2,3, a 3a, a + + 7 ，B ={| a 2 |,3}，已知 4 A且 4 B ，则a的取值集合
a
为 .
【答案】{4}
ì
【解析】因为 4 A，即 4 í2,3, a2
2
3a, a + + 7ü ，
a
2 a 2所以a 3a = 4或 + + 7 = 4，a
若a2 3a = 4，则 a = 1或 a = 4 ；
若 a
2
+ + 7 = 4，即 a2a + 3a + 2 = 0，则
a = 1或 a = 2 .
由a2
2
3a 与 a + + 7 互异，得 a 1，a
故 a = 2 或 a = 4 ，
又 4 B ，即 4 {| a 2 |,3}，所以 | a 2 | 4，解得 a 2 且 a 6 ，
综上所述，a的取值集合为{4}.
故答案为：{4}
【典例 2-2】由a, a, a , a2 构成的集合中，元素个数最多是 .
【答案】2
【解析】当 a = 0 时，a = a = a = a2 = 0，此时元素个数为 1；
2 ìa, a > 0
当 a 0 时， a = a = í ，
a, a < 0
所以一定与a或 a中的一个一致，此时元素个数为 2.
所以由 a, a,| a |, a2 构成的集合中，元素个数最多是 2 个.
故答案为:2.
【方法技巧】
1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。
2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。
b
【变式 2-1】（2024·高三·天津河西·期中）含有 3 ì个实数的集合既可表示成 ía, ,1üa ，又可表示成
a2 ,a + b,0 ，则 a2022 + b2022 = ．
【答案】1
ì b ü 2
【解析】因为 ía, ,1 = a ,a + b,0 ，
a
b
显然 a 0 ，故 = 0，则b = 0；
a
此时两集合分别是 a,1,0 , a, a2 ,0 ，
则a2 =1，解得 a = 1或 1.
当 a = 1时，不满足互异性，故舍去；
当 a = 1时，满足题意.
所以 a 2022 + b2022 = ( 1)2022 + 02022 = 1
故答案为：1 .
【变式 2-2】（2024·高三·山东潍坊·期中）英语单词“banana”所含的字母组成的集合中含有 个元
素.
【答案】3
【解析】英语单词“banana”所含的字母组成的集合为 b,a,n ，共 3 个元素.
故答案为：3.
【变式 2-3】（2024· 2云南大理·模拟预测）已知 x∣ax 4x +1 = 0 = b ，其中a,b R，则b =（ ）
1 1
A 0 B 1 C 1． ． 或 2 ． 2 D．4 4
【答案】B
【解析】由题意知：b为方程ax2 4x +1 = 0的根，
1
当 a = 0 时，b = ；
4
ìab2 4b +1 = 0 1
当 a 0 时，二次方程有两个相同的根，则有 í ，此时b = .
16 4a = 0 2
故选:B.
题型三：元素与集合间的关系
【典例 3-1】已知集合 A = x x = 4k, k Z ，B = x x = 4m +1,m Z ，C = x x = 4n + 2,n Z ，
D = x x = 4t + 3, t Z ，若 a B ，b C ，则下列说法正确的是（ ）
A． a + b A B． a + b B C． a + b C D． a + b D
【答案】D
【解析】因为 a B ，b C ，
则由题意可设 a = 4m + 1，b = 4n + 2 ，其中m Z,n Z，
则a + b = 4 m + n + 3，且m + n Z ，
故 a + b D ，
故选：D．
3-2 2024· · · x 1,2, x2【典例 】（ 高三 山东青岛 开学考试）已知 ，则 x的取值为（ ）
A．1 B．1 或 2 C．0 或 2 D．0 或 1 或 2
【答案】C
【解析】由元素和集合关系可知： x = 1或 x = 2 或 x = x2 ，
解的 x = 0 或1或2，
由集合的性质可知，当 x = 1时， 1,2,1 不满足互异性，
所以 x的取值为 0或2 .
故选：C.
【方法技巧】
1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是 N 与 N*的区别．
2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数 ．
【变式 3-1】（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = x x = 3k +1,k Z ，则下列表示正确的是（ ）.
A． 2 A B． 2023 A
C．3k 2 +1 A D． 35 A
【答案】A
【解析】当 k = 1时， x = 2，所以 2 A，故 A 正确；
当 k = 674时， x = 3 674 + 1 = 2023，所以 2023 A ，故 B 错误；
当 k = 1或 k = 0 时，3k2 +1= 3k +1，所以3k 2 +1 A，故 C 错误；
当 k = 12时， x = 12 3 + 1 = 35 ，所以 35 A ，故 D 错误.
故选：A
【变式 3-2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合 A ={x | 2mx 3 > 0,m R}，其中2 A且1 A ，则实
数 m 的取值范围是（ ）
3 , 3ù é3 , 3 3 , 3 é3 3ùA． ú B． ê ÷ C． ÷ D． ,è 4 2 4 2 è 4 2 ê 4 2ú
【答案】A
ì2m 2 3 > 0 3 3
【解析】由题意可得 í < m
2m 1 3 0
，解得 .
4 2
故选：A.
【变式 3-3】已知 A = x x2 ax +1 0 ，若2 A，且3 A ，则a的取值范围是（ ）
é5 ,10 5 ,10 ù é5 10 A． ê ÷ B． ú C． ,+ 2 3 2 3 ê2 ÷
D． , 3 ÷ è è
【答案】A
5 10
【解析】由题意得 4 2a + 1 0 且9 3a + 1 > 0 ，解得 a < ．
2 3
故选：A
题型四：集合与集合之间的关系
【典例 4-1】（2024·四川德阳·三模）已知集合 A = x |1< x < 2024 ，B = x | x < a ，若 A B，则实数
a 的取值范围是（ ）
A． (2024,+ ) B．[2024, + ) C． ( , 2024] D． ( ,2024)
【答案】B
【解析】集合 A = x |1< x < 2024 ，B = x | x < a ，又 A B，则 a 2024 ，
所以实数 a 的取值范围是[2024, + ) .
故选：B
【典例 4-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合 1,0 B 1,0,1,2 ，则满足条件的集合 B 的个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由 1,0 B可得1 B且 0 B ，根据 B 为 1,0,1,2 的真子集，
可得B = 1,0 或B = 1,0, 1 或B = 1,0,2 ，故满足条件的集合 B 的个数为 3.
故选：A
【方法技巧】
1、注意子集和真子集的联系与区别.
2、判断集合之间关系的两大技巧：
（1）定义法进行判断
（2）数形结合法进行判断
【变式 4-1】（2024·河南驻马店·一模）已知集合
M ìx x k 1 , k Zü , N ì k 1 ü= í = + = íx x = + , k Z , x0 M ，则 x0 与N2 4 4 2 的关系是（ ）
A． x0 N B． x0 N
C． x0 M 且 x0 N D．不能确定
【答案】A
M ìx | x k 1 2k +1= = + = ,k Zü ì k 1 k + 2 ü【解析】 í ， N = íx | x = + = , k Z2 4 4 4 2 4
，

由 k Z ，可得 2k + 1是奇数， k + 2是整数，
所以M N，因为 x0 M ，所以 x0 N .
故选：A.
【变式 4-2】已知集合M , N I ，若M N = N ，则（ ）
A． I M I N B．M I N C． I M I N D．M I N
【答案】C
【解析】M N = N , N M ，若把 I 看作全集，作出韦恩图如图所示：
∴N 的补集包含 M 的补集.
故选：C．
【变式 4-3】（2024·青海西宁·二模）设集合 A = 1,2a +1 , B = 3,a 1,3a 2 ,若 A B,则a =（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．3
【答案】C
【解析】由已知得,若 2a + 1 = 3 ,解得 a = 1，
此时 A = 1,3 ,B = 0,1,3 ，符合题意;
若 2a + 1 = a 1 ,解得a = 2 ,
此时 A = 1, 3 ,B = 8, 3,3 ,不符合题意;
若 2a +1 = 3a 2 ,解得 a = 3 ,此时 A = 1,7 , B = 2,3,7 ,不符合题意,
综上所述, a = 1 .
故选:C.
题型五：集合的交、并、补运算
【典例 5-1】已知集合 A = x x 2 x 5 0 ，B = x 3 2x 5 ，则 R A I B =（ ）
A． -1,2 B． 1,2 C． 1,2 D． 1,2
【答案】C
【解析】由 x 2 x 5 0，得 2 x 5，则 A = x 2 x 5 ，则 R A = x x < 2 或 x > 5 ，
由 3 2x 5，得 1 x 4 ，则B = x 1 x 4 ，
所以 RA B = x 1 x < 2 .
故选：C．
【典例 5-2】（2024·广东深圳·二模）对于任意集合M , N ，下列关系正确的是（ ）
A．M U M U N N = M U N B． MUN M I N = MUN M U MUN N
C．M I M U N N = M I N D． MUN (M I N) = MUNM I MUN N
【答案】B
【解析】
对于A ：如图所知， M UN N 为区域①，所以M M N N = M ，故A 错误；
对于B ： M N M N 为区域①和③； M NM 为区域③， M N N 为区域①，则
M N M M N N 也为为区域①和③；两边相等，故B 正确；
对于C ： M N N 为区域①， M M N N 为区域①，不等于区域②（区域②为 M N ），故C 错误；
对于D ： M N (M N )为区域①和③；而 M NM 为区域③， M N N 为区域①，所以
M N M M N N 为空集，所以D 错误；
故选：B .
【方法技巧】
1、注意交集与并集之间的关系
2、全集和补集是不可分离的两个概念
【变式 5-1】已知集合U = R ， A = y y = 1 x + x 1 ，B = x x x2 < 0 ，则 U AUB =（ ）
A． 0,1 B． 0,1
C． ,0 1,+ D． ,0 1,+
【答案】B
【解析】因为函数 y = 1 x + x 1的定义域为 1 ，
所以函数 y = 1 x + x 1值域为 0 ，
所以 A = 0 ，
不等式 x x2 < 0的解集为 x x < 0 或 x >1 ，
所以B = x x < 0或 x >1 ，
∴ A B = x x 0或 x >1 ，
则 U A B = x 0 < x 1 ．
故选：B．
2
【变式 5-2】（2024·四川德阳·二模）已知集合 A = x∣x x 2 0 ,B = x∣y = lnx ，则 U A B =
（ ）
A． x 0 < x <1 B． x 0 < x < 2
C． x 1< x < 2 D． x x > 2
【答案】B
【解析】因为 A = x∣x2 x 2 0 = x x 2或 x 1 ，
则 U A = x 1< x < 2 ，又B = x∣y = lnx = x x > 0 ，
所以 U A B = x 0 < x < 2 .
故选：B
题型六：集合与排列组合的密切结合
【典例 6-1】（2024·福建厦门·二模）设集合 A = 1,0,1 ，B = x1, x2 , x3 , x4 , x5 xi A, i =1,2,3,4,5 ，
那么集合 B 中满足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的个数为（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
【答案】D
【解析】由题意知集合 B 中满足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的个数，
即指 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 中取值为-1 或 1 的个数和为 1 或 2 或 3，
1 2 2 3 3
故满足条件的元素的个数为C 5 2 + C 5 2 + C 5 2 = 10 + 40 + 80 = 130（个），
故选：D
【典例 6-2】（2024·全国·模拟预测）已知V ABC 的三个顶点的横纵坐标均在集合 1,2,3,4 内，则这样
的三角形共有（ ）
A．64 个 B．125 个
C．432 个 D．516 个
【答案】D
【解析】由题意，横纵坐标均在集合 1,2,3,4 内的点共有 4 4 = 16 个，
3 16 15 14
从这 16 个点中任意选出三个点，共有C16 = = 560 个，3 2 1
3
其中三个点共线的情况有C4 4 2+C
3
4 2+4 = 44个，
所以满足题目要求的三角形共有560 44 = 516 .
故选：D
【典例 6-3】 card(AI B) = card(B IC) = card(C I A) =1，且 AIBIC = ，则称 (A,B,C)为 N 的“有
序子集列”．现有N ={1,2,3,4,5,6}，则 N 的“有序子集列”的个数为（ ）
A．540 个 B．1280 个 C．3240 个 D．7680 个
【答案】D
【解析】根据题意，优先确定两两交集card(AI B) = card(B IC) = card(C I A) =1中的元素，六个元
素中选择三个进行排列，然后再排其余的三个元素，其余的三个元素可能再 A,B,C 的某一个里面可能都不
3 3
在，所以其余的三个元素都有 4 种选择方法，所以 N 的“有序子集列”的个数为A 6 4 = 7680 （个）．
故选：D.
【方法技巧】
利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法。
【变式 6-1】设集合 A = 1,2,3,4 ,B = 5,6,7 ，则从 A 集合到 B 集合所有不同映射的个数是（ ）
A．81 B．64 C．12 D．以上都不正确
【答案】A
【解析】集合A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一对应的元素与之对应，
A 中有 4 个元素，每个元素可以有 3 种对应方式，共有34 = 81种不同的对应方式，
即从集合A 到集合 B 的不同映射的个数是 81 .
故选：A
【变式 6-2】已知 A, B 1,2,3,L,2022,2023 ，则由集合 A, B构成的集合 A,B 的个数为（ ）
A．24045 22023 B．24045 22022
C．24046 22023 D．24046 22022
【答案】B
【解析】由于{1,2,3,L,2022,2023}的子集个数为22023，
因此集合{A，B}是从{1,2,3,L,2022,2023}的22023个子集中挑选 2 个子集组成的集合，
22023 22023 1
于是集合{A，B}的个数为C2 4045 2022 ．
22023
= = 2 2
2
故选：B．
【变式 6-3】（2024·高三·四川雅安·开学考试）已知集合U = {x Z∣1 x 5}，非空集合 A U ，且A 中
所有元素之和为奇数，则满足条件的集合A 共有（ ）
A．12 个 B．14 个 C．16 个 D．18 个
【答案】C
【解析】U ={x Z∣1 x 5}= 1,2,3,4,5 ，
由于A 中所有元素之和为奇数，且非空集合 A U ，
当A 中只有一个元素时，则 A = 1 ,或 A = 3 ,或 A = 5 ，
当A 中有 2 个元素时，则A 中的元素必为一偶一奇，故有2 3 = 6个满足条件的A ，
当A 中有 3 个元素时，则A 中的元素必为 2 偶一奇或者三个元素均为奇数，故有 4 个满足条件的A ，
当A 中有 4 个元素时，则A 中的元素必为一偶 3 奇，故有 2 个满足条件的A ，
当A 中有 5 个元素时，则 A = 1,2,3,4,5 满足条件，
故共有3 + 6 + 4 + 2 + 1 = 16 ，
故选：C
【变式 6-4】（2024·上海静安·一模）已知直线ax+by +c = 0的斜率大于零，其系数 a、b、c 是取自集
合{ 2, 1,0,1,2}中的 3 个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】A
【解析】因为直线ax+by +c = 0的斜率大于零，
所以 ab < 0 ，
当 c = 0，a 有 2 种选法，b 有 2 种选法，c 有 1 种选法；
因为直线 2x + 2y = 0与直线 x + y = 0重合，
所以这样的直线有 2 2 1 1 = 3 条；
当 c < 0时，a 有 1 种选法，b 有 2 种选法， c 有 2 种选法；
所以这样的直线有 2 1 2 = 4条，
当 c > 0时，a 有 2 种选法，b 有 1 种选法， c 有 2 种选法；
所以这样的直线有 2 1 2 = 4条，
综上：这样的不重合直线的条数是 3+8=11 条，
故选：A
题型七：容斥原理
【典例 7-1】（2024·高三·北京·强基计划）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考
试．已知有 100 名学生参加了数学考试，50 名学生参加了物理考试，48 名学生参加了化学考试，学生总数
是只参加一门考试学生数的 2 倍，也是参加三门考试学生数的 3 倍，则学生总数为（ ）
A．108 名 B．120 名 C．125 名 D．前三个答案都不对
【答案】A
【解析】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为 x， y ， z ；
参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为c，a，b；
同时参加了三门学科考试的学生数为m，如图．
ìx + b + c + m =100

y + c + a + m = 50
根据题意，有 í
z + a + b + m = 48
，
x + y + z + a + b + c + m = 2 x + y + z = 3m
前面三个等式相加，可得 x + y + z + 2(a + b + c) + 3m =198．
3 m
由第四个等式可得 x + y + z = m ， a + b + c = ，
2 2
3
因此 m + m + 3m = 198，
2
解得m = 36．因此学生总数为3m = 108 ．
故选：A
【典例 7-2】“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》
《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了 200 位学生，其中阅读过《大学》
的有 60 位，阅读过《论语》的有 160 位，阅读过《大学》或《论语》的有 180 位，阅读过《大学》且阅读
过《论语》及《中庸》的有 20 位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与
该校学生总数比值的估计值是（ ）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【答案】A
【解析】如下图，阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是 160＋60－180＝40，
阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数是 40－20＝20，
20
由样本估计总体，得所求比值为 = 0.1.
200
故选：A
【方法技巧】
容斥问题本身存在包容与排斥的一种计数问题，所以我们在处理这一类问题的时候必须要注意扣除掉
重复的部分，也要保证没有遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方
法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数
时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理.
【变式 7-1】（2024·高三·湖北·期末）某校高一年级有 1200 人，现有两种课外实践活动供学生选择，
要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的 60%到 65%，选择另一
项活动的人数占 50%到 55%，则下列说法正确的是（ ）
A．同时选择两项参加的人数可能有 100 人
B．同时选择两项参加的人数可能有 180 人
C．同时选择两项参加的人数可能有 260 人
D．同时选择两项参加的人数可能有 320 人
【答案】B
【解析】根据题意，60% + 50% 1 = 10% ， 65% + 55% 1 = 20% ，
则同时选 A，B 的人数在10% 到 20% 之间，换算成人数为1200 10% =120,1200 20% = 240，即 120
到 240 之间，
因此符合题意的选项只有 B．
故选：B.
【变式 7-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有 45 名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参
加一个兴趣小组的同学有 20 人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小
组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有
人 .
【答案】5
【解析】以集合A 、 B 、C 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：
设同时参加这三个兴趣小组的同学有 x人，由图可得20+ 9 x + 11 x + 15 x + x = 55 2x = 45，
解得 x = 5 .
故答案为：5 .
【变式 7-3】（2024·江西·模拟预测）2021 年是中国共产党成立 100 周年，电影频道推出“经典频传：看
电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》
《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有 50 人，观看了《青春之歌》的有 21 人，观看了《建
党伟业》的有 23 人，观看了《开国大典》的有 26 人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有 4
人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有 7 人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有 6 人，
三支短视频全观看了的有 3 人，则没有观看任何一支短视频的人数为 .
【答案】3
【解析】把大学社团 50 人形成的集合记为全集 U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为 A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有 21 人，则只看了《青春之歌》的有 21 4 6 3 = 8 (人)，
因观看了《建党伟业》的有 23 人，则只看了《建党伟业》的有 23 4 7 3 = 9 (人)，
因观看了《开国大典》的有 26 人，则只看了《开国大典》的有 26 6 7 3 = 10 (人)，
因此，至少看了一支短视频的有3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 47 (人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为50 47 = 3 .
故答案为：3
题型八：集合的创新定义运算
【典例 8-1】（多选题）（2024·山西·一模）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在 19 世纪
30 年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学 晶体结构学等其他学科中也有十分
广泛的应用.设G 是一个非空集合，“ o ”是一个适用于G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G
对“ o ”构成一个群：（1）封闭性，即若a,b G，则存在唯一确定的 c G ，使得 c = a o b ；（2）结合律成立，
即对G 中任意元素a,b,c都有 a ob oc = a o boc ；（3）单位元存在，即存在 e G ，对任意 a G ，满足
aoe =eoa = a，则 e 称为单位元；（4）逆元存在，即任意 a G ，存在b G ，使得 a o b = b o a = e，则称a
与b互为逆元，b记作a 1 .一般地， a o b 可简记作 ab,a o a 可简记作 a2 , a2 o a可简记作a3，以此类推.正八边
形 ABCDEFGH 的中心为O .以 e 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以 r 表示以点O 为中心，将
π
正八边形逆时针旋转 的旋转变换；以m表示以OA所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算
4
“ o ” p q表示复合变换，即 f o g 表示将正八边形先进行 g 变换再进行 f 变换的变换.以形如 r m p,q N，并
r0 = m0规定 = e 的变换为元素，可组成集合G ，则G 对运算“ o ”可构成群，称之为“正八边形的对称变换
群”，记作 D8 .则以下关于 D8 及其元素的说法中，正确的有（ ）
A mr2． D ，且mr28 = r2m
B． r3m与 r5m互为逆元
C． D8 中有无穷多个元素
D． D8 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身
【答案】ABD
【解析】我们有：
1o由于两次轴对称等价与不变换，故m2 = e；
由于旋转45o施行 8 次等价于旋转360o也就是不变，故 r8 = e；
由于先旋转再关于OA对称和先关于OA对称再旋转等效，故 rm= mr .
2o D8 一共是 16 个元素，变换后 ABCDEFGH 逆时针排列的有 8 个，顺时针排列的有 8 个.
这就说明：mr2 = r2m， A 正确；
r3m r5m = r3r5m2 = r8 = e，B 正确；
D8 一共是 16 个元素，C 错误；
2 4 2D 中，m = e, r = r88 = e, mr4 mr4 = m2r8 = e，D 正确.
故选：ABD
【典例 8-2】已知全集U 且集合A 、 B 是非空集合，定义 A B = x | x A B且 x U A B ，已知
A = x 2 < x < 5 ，B = x x 3 ，则 A B = .
【答案】 x x 5
【解析】 A B = x x < 5 ， U A B = x | x 2或 x > 3 ，
因为 A B = x | x A B且 x U A B ，所以 A B = x x 5 .
故答案为： x x 5 .
【方法技巧】
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和
方法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，
要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。
【变式 8-1】定义集合运算： Ae B = z | z = xy x + y , x A, y B ，集合 A = 0,1 , B = 2,3 ，则集合
AeB所有元素之和为 ．
【答案】18
【解析】依题意，当 x = 0, y = 2或 y = 3 时， z = 0；当 x =1, y = 2时， z = 6；
当 x =1, y = 3时， z = 12 ，因此集合 Ae B = {0,6,12}，
所以集合 AeB所有元素的和为 0+6+12=18.
故答案为：18
【变式 8-2】如果集合 U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集
A1, A2 ,L, Ak k N*,k 2 ，且满足 A1 U A2 ULU Ak = U ，那么称子集组 A1, A2 ,L, Ak 构成集合 U 的一个 k 划
分．若集合 I 中含有 4 个元素，则集合 I 的所有划分的个数为（ ）
A．7 个 B．9 个 C．10 个 D．14 个
【答案】D
【解析】不妨设 I = 1,2,3,4 ，则：
I 的 2 划分有 2,3,4 U 1 ， 1,3,4 U 2 ， 1,2,4 U 3 ， 1,2,3 U 4 ， 1,2 U 3,4 ， 1,3 U 2,4 ，
1,4 U 2,3 ；
I 的 3 划分有 1,2 U 3 U 4 ， 1,3 U 2 U 4 ， 1,4 U 2 U 3 ， 2,3 U 1 U 4 ， 2,4 U 1 U 3 ，
3,4 U 1 U 2 ；
I 的 4 划分只有 1 U 2 U 3 U 4 .
综上， I 的划分共有 7 + 6 + 1 = 14 个，D 正确.
故选：D.
【变式 8-3】（2024·上海嘉定·二模）若规定集合E = 0,1,2,LL,n 的子集 a1,a2 ,a3,L,am 为 E 的第 k
个子集，其中 k = 2a1 + 2a2 + 2a3 +LL+ 2am ，则 E 的第 211 个子集是 ．
【答案】{0,1,4,6,7}
【解析】因27 = 128 < 211,28 = 256 > 211，则 E 的第 211 个子集必包含 7，此时 211 128 = 83；
又因26 = 64 < 83,27 = 128 > 83,则 E 的第 211 个子集必包含 6，此时83 64 = 19 ；
又24 = 16 < 19,25 = 32 > 19,则 E 的第 211 个子集必包含 4，此时19 16 = 3；
又21 = 2 < 3,22 = 4 > 3, 则 E 的第 211 个子集必包含 1；而20 =1.
综上所述， E 的第 211 个子集是{0,1,4,6,7} .
故答案为：{0,1,4,6,7} .
1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合 A = x∣ 5 < x3 < 5 , B = { 3, 1,0,2,3}，则 AI B =（ ）
A．{ 1,0} B．{2,3} C．{ 3, 1,0} D．{ 1,0,2}
【答案】A
【解析】因为 A = x | 3 5 < x < 3 5 , B = 3, 1,0,2,3 ，且注意到1< 3 5 < 2 ，
从而 AI B = 1,0 .
故选：A.
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）集合 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ，则 A A B = （ ）
A． 1,4,9 B． 3, 4,9 C． 1,2,3 D． 2,3,5
【答案】D
【解析】因为 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ，所以B = 1,4,9,16,25,81 ，
则 AI B = 1,4,9 ， A AI B = 2,3,5
故选：D
3．（2023 年北京高考数学真题）已知集合M = {x∣x + 2 0}, N = {x∣x 1< 0}，则M N = （ ）
A．{x∣ 2 x <1} B．{x∣ 2 < x 1}
C．{x∣x 2} D．{x∣x <1}
【答案】A
【解析】由题意，M = {x∣x + 2 0} = {x | x 2}， N = {x∣x 1< 0} = {x | x <1}，
根据交集的运算可知，M I N ={x | 2 x <1}.
故选：A
4．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合 A = 0, a ，B = 1,a 2,2a 2 ，若 A B，则a =（ ）．
A．2 B．1 C 2． 3 D． 1
【答案】B
【解析】因为 A B，则有：
若a 2 = 0，解得 a = 2 ，此时 A = 0, 2 ，B = 1,0,2 ，不符合题意；
若 2a 2 = 0 ，解得 a = 1，此时 A = 0, 1 ，B = 1, 1,0 ，符合题意；
综上所述： a = 1 .
故选：B.
5．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集U = Z ,集合
M = {x∣x = 3k +1,k Z}, N = {x∣x = 3k + 2, k Z}， U(M N ) = （ ）
A．{x | x = 3k,k Z} B．{x∣x = 3k 1, k Z}
C．{x∣x = 3k 2,k Z} D．
【答案】A
【解析】因为整数集Z = x | x = 3k,k Z U x | x = 3k +1,k Z U x | x = 3k + 2,k Z ，U = Z ，所以，
U M U N = x | x = 3k,k Z ．
故选：A．
2p
6．（2023 *年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列 an 的公差为 ，集合 S = cosa n N ，若3 n
S = a,b ，则 ab = （ ）
1
A．－1 B． C．0 D 1．
2 2
【答案】B
2π 2π 2π
【解析】依题意，等差数列{an}中， an = a1 + (n 1) × = n + (a1 )，3 3 3
显 然 函 数 y = cos[
2π n + (a 2π )]的 周 期 为 3 ， 而 n N*1 ， 即 cos an 最 多 3 个 不 同 取 值 ， 又3 3
{cosan | n N
*}={a,b}，
则在 cos a1, cos a2 , cos a3 中， cos a1 = cos a2 cos a3 或 cos a1 cos a2 = cos a3 ，
于是有 cosq = cos(q
2π
+ )，即有q
2π
+ (q + ) = 2kπ,k Z，解得q = kπ
π
, k Z ，
3 3 3
π
所以 k Z ， ab = cos(kπ ) cos[(kπ
π 4π
) + ] = cos(kπ π ) cos kπ = cos2 kπ cos π 1= .
3 3 3 3 3 2
故选：B
1．在平面直角坐标系中，集合C ={(x, y) | y = x}表示直线 y = x ，从这个角度看，集合
ì ì2x y =1D = í(x, y) |
ü
íx 4y 5 表示什么？集合
C，D 之间有什么关系？
+ =
ì ì2x y =1ü
【解析】集合D = í(x, y) | í 表示直线2x y =1与直线 x + 4y = 5x 4y 5 交点的集合， + =
即D = {(1,1)} . 则 D C .
2．请解决下列问题：
（1）设a,b R, P ={1,a},Q ={ 1, b}，若 P = Q，求 a b的值；
（2）已知集合 A ={x | 0 < x < a}, B ={x |1< x < 2}，若B A，求实数 a 的取值范围.
【解析】（1）由于 P = Q，所以 a = 1，且 b = 1，\ a b = 0 .
（2）Q A = {x | 0 < x < a}, B = {x |1< x < 2}，且B A，\ a 2
如图所示.
3．已知全集U = A B ={x N | 0 x 10}, A CU B ={1,3，5,7}，试求集合 B.
【解析】QU = A B ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， A U B ={1,3,5,7}，
\ U B = {1,3,5, 7} .故B = U U B ={0,2,4,6,8,9,10} .
4．学校举办运动会时,高一(1)班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛,
有 14 人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人,没有
人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
【解析】解:如图.
设同时参加田径和球类比赛的有 x 人,则 28 = 15 + 8 + 14 3 3 x ,
\ x = 3 ,
即同时参加田径和球类比赛的有 3 人,
而只参加游泳一项比赛的有15 3 3 = 9 (人).
5 2．已知集合 A = 1,3,a , B = {1,a + 2} ,是否存在实数 a,使得 A B = A 若存在,试求出实数 a 的值;若不
存在,请说明理由.
【解析】解: A B = A B A\{1,a + 2} 1,3, a2 ，
ì
a a + 2 = a
2
ì + 2 = 3
\ 2
a + 2 1
ía 1

或 í ，
2 a
2 1
a 3 2
a 3
\ a = 2 ，
∴存在实数 a = 2 ，使得 A B = A .
易错点：在解含参数集合问题时忽视空集
易错分析：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合 A B 就有可能忽视了
A = ，导致解题结果错误．尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，
所给的集合可能是空集的情况．考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错
误或答案不全面．
答题模板
1、模板解决思路
解决集合中的参数问题，常根据所给条件，并结合集合间的关系或集合的运算等知识列出关于参数的
方程（组）或不等式（组），求解即可．
2、模板解决步骤
第一步：将已知集合化成最简形式．
第二步：通过画数轴等方式分析条件．
第三步：列出关于参数的方程（组）或不等式（组）．
第四步：解出参数的取值范围．
【易错题 1】已知集合 A = 1,1 ，B = x ax =1 ，若 AI B = B ，则 a 的取值集合为（ ）
A． 1 B． 1 C． 1,1 D． 1,0,1
【答案】D
【解析】由 AI B = B ，知B A，因为 A = 1,1 ，B = {x | ax =1}，
若B = ，则方程 ax =1无解，所以 a = 0满足题意；
若B ，则B = {x | ax =1}
ìx x 1 ü= í = ，
a
1
因为B A，所以 = ±1，则满足题意 a = ±1；
a
故实数 a 取值的集合为 1,0,1 .
故选：D.
【易错题 2】已知集合 A = x 1 x 3 ，集合 B = x 1 m x 1+ m .若 B A，则m 的取值范围是（ ）
A． , 2 B． 1,3 C． 3,1 D． 0,2
【答案】A
【解析】当m < 0时，B = f ，满足B A；
ì1 m 1
当m 0 时，若B A，只需 í 0 m 2
1
，解得
+ m 3
综上，m 的取值范围是 , 2
故选：A.第 01 讲 集合
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：元素与集合 .........................................................................................................................4
知识点 2：集合间的基本关系 .............................................................................................................5
知识点 3：集合的基本运算 .................................................................................................................5
知识点 4：集合的运算性质 .................................................................................................................5
解题方法总结 ........................................................................................................................................6
题型一：集合的表示：列举法、描述法 ............................................................................................6
题型二：集合元素的三大特征 ............................................................................................................7
题型三：元素与集合间的关系 ............................................................................................................7
题型四：集合与集合之间的关系 ........................................................................................................8
题型五：集合的交、并、补运算 ........................................................................................................8
题型六：集合与排列组合的密切结合 ................................................................................................9
题型七：容斥原理 ..............................................................................................................................10
题型八：集合的创新定义运算 ..........................................................................................................11
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................12
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................13
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................14
易错点：在解含参数集合问题时忽视空集 ......................................................................................14
答题模板 ..............................................................................................................................................15
考点要求 考题统计 考情分析
本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，
2024年 I卷第 1题，5分
考查内容、频率、题型、难度均变化不大. 重点是
2023年 I卷第 1题，5分
（1）集合的概念与表示 集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补
2023年 II卷第 2题，5分
（2）集合的基本关系 运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等
2022年 I卷 II卷第 1题，5分
（3）集合的基本运算 式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解
2021年 I卷 II卷第 1题，5分
法结合.同时适当关注集合与充要条件相结合的解
2020年 I卷 II卷第 1题，5分
题方法.
复习目标：
1、了解集合的含义，了解全集、空集的含义.
2、理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.
3、会求两个集合的并集、交集与补集.
4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用 Venn图表示集合间的基本关系和基本
运算．
知识点 1：元素与集合
1、集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以
是其他对象．
2、集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．
3、元素与集合的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作 a A )和不属于(记作 a A )两种．
4、集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．
知识点诠释：
（1）列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来.
（2）描述法
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合
中元素所具有的共同特征.
5、常用数集的表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N *或 N Z Q R+
x【诊断自测】（2024·广东惠州·一模）设集合M = x Z∣100 < 2 <1000 ，则 M 的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．无穷多个
知识点 2：集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合 A、 B ，如果集合 A中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们
就说这两个集合有包含关系，称集合 A为集合 B 的子集 ，记作 A B （或 B A），读作“ A包含于 B ”
（或“ B 包含 A ”）.
（2）真子集：对于两个集合 A与 B ，若 A B ，且存在 b B ，但 b A，则集合 A是集合 B 的真子
集，记作 A B （或 B A ）.读作“ A真包含于 B ”或“ B 真包含 A ”.
（3）相等：对于两个集合 A与 B ，如果 A B ，同时 B A，那么集合 A与 B 相等，记作 A = B．
（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ； 是任何集合的子集，是任何非空集合的真
子集.
【诊断自测】（2024·高三·四川成都·阶段练习）已知集合 A = 1,2 , B = 2,3 ，则集合
C = z z = x + y , x A, y B 的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
知识点 3：集合的基本运算
（1）交集：由所有属于集合 A且属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A与 B 的交集，记作 A B ，
即 A B = x | x A且x B ．
（2）并集：由所有属于集合 A或属于集合 B 的元素组成的集合，叫做 A与 B 的并集，记作 A B ，
即 A B = x | x A或x B ．
（3）补集：对于一个集合 A，由全集U 中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全
集U 的补集，简称为集合 A的补集，记作CU A，即CU A = {x | x U ,且x A}．
【诊断自测】（2024·陕西西安·一模）已知全集U = R ，集合M = {x | y = 1 x}， N = { 2 , 0,1, 2, 3}，
则 ( U M ) I N =（ ）．
A．{ 2 , 0,1} B．{2, 3} C．{1, 2, 3} D． 2
知识点 4：集合的运算性质
（1） AI A = A， AI = ， A I B = B I A， A B A， A B B ．
（2） A U A = A， A U = A， A U B = B U A， A A B ， B A B ．
（3） A I (CU A) = ， A U (CU A) = U ，CU (CU A) = A ．
（4） A B = A A B = B A B U B U A A U B =
【诊断自测】（2024·江西鹰潭·一模）已知集合 A = x | x2 5x 6 ，集合B = x | x a ，若B R A ，
则a的取值范围为（ ）
A． 6,+ B． 6,+ C． , 1 D． ,1
解题方法总结
（1）若有限集 A 中有n个元素，则 A 的子集有2n个，真子集有 2n 1个，非空子集有 2n 1个，非空真
子集有 2n 2 个．
（2）空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集．
（3） A B A I B = A A U B = B CU B CU A ．
（4）CU (A I B) = (CU A) U (CU B) , CU (A U B) = (CU A) I (CU B) ．
题型一：集合的表示：列举法、描述法
1-1 2024· · A = 1,0,1 B = m | m2【典例 】（ 广东江门 一模）已知集合 ， 1 A,m 1 A ，则集合 B 中
所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D． 2
【典例 1-2】已知集合 A = { 3, 2,0,1,2,3,7}, B = {x∣x A, x A}，则B =（ ）
A．{0,1,7} B．{1,7} C．{0,2,3} D．{0,1,2,3,7}
【方法技巧】
1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.
2、描述法，注意代表元素.
ì kπ
【变式 1-1】（2024·新疆·一模）已知集合 A = ísin k N ,且0 k 4
ü
，则集合A 的元素个数为（ ）
4
A．3 B．2 C．4 D．5
【变式 1-2】（2024·高三·山东泰安·期中）已知集合 A = 1,2,3 ，B = 3,5 ，则
C = x x = 2a + b, a A,b B 中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型二：集合元素的三大特征
ì
【典例 2-1】设集合 A = í2,3, a2 3a, a
2
+ + 7ü ，B ={| a 2 |,3}，已知 4 A且 4 B ，则a的取值集合
a
为 .
【典例 2-2】由a, a, a , a2 构成的集合中，元素个数最多是 .
【方法技巧】
1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。
2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。
b
【变式 2-1 ì ü】（2024·高三·天津河西·期中）含有 3 个实数的集合既可表示成 ía, ,1a ，又可表示成
a2 ,a + b,0 ，则 a2022 + b2022 = ．
【变式 2-2】（2024·高三·山东潍坊·期中）英语单词“banana”所含的字母组成的集合中含有 个元
素.
2
【变式 2-3】（2024·云南大理·模拟预测）已知 x∣ax 4x +1 = 0 = b ，其中a,b R，则b =（ ）
1 1
A．0 B 1 1． 或 C． D．
4 2 2 4
题型三：元素与集合间的关系
【典例 3-1】已知集合 A = x x = 4k, k Z ，B = x x = 4m +1,m Z ，C = x x = 4n + 2,n Z ，
D = x x = 4t + 3, t Z ，若 a B ，b C ，则下列说法正确的是（ ）
A． a + b A B． a + b B C． a + b C D． a + b D
【典例 3-2】（2024·高三· 2山东青岛·开学考试）已知 x 1,2, x ，则 x的取值为（ ）
A．1 B．1 或 2 C．0 或 2 D．0 或 1 或 2
【方法技巧】
1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是 N 与 N*的区别．
2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数 ．
【变式 3-1】（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = x x = 3k +1,k Z ，则下列表示正确的是（ ）.
A． 2 A B． 2023 A
C．3k 2 +1 A D． 35 A
【变式 3-2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合 A ={x | 2mx 3 > 0,m R}，其中2 A且1 A ，则实
数 m 的取值范围是（ ）
3 , 3ù é3 , 3 3 , 3 é3 3ùA． B． ÷ C． ÷ D．
è 4 2 ú ê4 2 è 4 2 ê
,
4 2ú
3-3 A = x x2【变式 】已知 ax +1 0 ，若2 A，且3 A ，则a的取值范围是（ ）
é5
A． ê ,
10 5 ,10 ù é5 10 ÷ B． ú C． ,+ 2 3 2 3 ê2 ÷
D． , 3 ÷ è è
题型四：集合与集合之间的关系
【典例 4-1】（2024·四川德阳·三模）已知集合 A = x |1< x < 2024 ，B = x | x < a ，若 A B，则实数
a 的取值范围是（ ）
A． (2024,+ ) B．[2024, + ) C． ( , 2024] D． ( ,2024)
【典例 4-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合 1,0 B 1,0,1,2 ，则满足条件的集合 B 的个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【方法技巧】
1、注意子集和真子集的联系与区别.
2、判断集合之间关系的两大技巧：
（1）定义法进行判断
（2）数形结合法进行判断
【变式 4-1】（2024·河南驻马店·一模）已知集合
M ì k 1 ü= íx x = + , k Z , N
ìx x k 1 ü= í = + , k Z , x0 M ，则 x0 与N 的关系是（ ）
2 4 4 2
A． x0 N B． x0 N
C． x0 M 且 x0 N D．不能确定
【变式 4-2】已知集合M , N I ，若M N = N ，则（ ）
A． I M I N B．M I N C． I M I N D．M I N
【变式 4-3】（2024·青海西宁·二模）设集合 A = 1,2a +1 , B = 3,a 1,3a 2 ,若 A B,则a =（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．3
题型五：集合的交、并、补运算
【典例 5-1】已知集合 A = x x 2 x 5 0 ，B = x 3 2x 5 ，则 R A I B =（ ）
A． -1,2 B． 1,2 C． 1,2 D． 1,2
【典例 5-2】（2024·广东深圳·二模）对于任意集合M , N ，下列关系正确的是（ ）
A．M U M U N N = M U N B． MUN M I N = MUN M U MUN N
C．M I M U N N = M I N D． MUN (M I N) = MUNM I MUN N
【方法技巧】
1、注意交集与并集之间的关系
2、全集和补集是不可分离的两个概念
【变式 5-1】已知集合U = R ， A = y y = 1 x + x 1 B = x x x2， < 0 ，则 U AUB =（ ）
A． 0,1 B． 0,1
C． ,0 1,+ D． ,0 1,+
【变式 5-2】（2024·四川德阳·二模）已知集合 A = x∣x2 x 2 0 ,B = x∣y = lnx ，则 U A B =
（ ）
A． x 0 < x <1 B． x 0 < x < 2
C． x 1< x < 2 D． x x > 2
题型六：集合与排列组合的密切结合
【典例 6-1】（2024·福建厦门·二模）设集合 A = 1,0,1 ，B = x1, x2 , x3 , x4 , x5 xi A, i =1,2,3,4,5 ，
那么集合 B 中满足1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3的元素的个数为（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
【典例 6-2】（2024·全国·模拟预测）已知V ABC 的三个顶点的横纵坐标均在集合 1,2,3,4 内，则这样
的三角形共有（ ）
A．64 个 B．125 个
C．432 个 D．516 个
【典例 6-3】 card(AI B) = card(B IC) = card(C I A) =1，且 AIBIC = ，则称 (A,B,C)为 N 的“有
序子集列”．现有N ={1,2,3,4,5,6}，则 N 的“有序子集列”的个数为（ ）
A．540 个 B．1280 个 C．3240 个 D．7680 个
【方法技巧】
利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法。
【变式 6-1】设集合 A = 1,2,3,4 ,B = 5,6,7 ，则从 A 集合到 B 集合所有不同映射的个数是（ ）
A．81 B．64 C．12 D．以上都不正确
【变式 6-2】已知 A, B 1,2,3,L,2022,2023 ，则由集合 A, B构成的集合 A,B 的个数为（ ）
A．24045 22023 B．24045 22022
C．24046 22023 D．24046 22022
【变式 6-3】（2024·高三·四川雅安·开学考试）已知集合U = {x Z∣1 x 5}，非空集合 A U ，且A 中
所有元素之和为奇数，则满足条件的集合A 共有（ ）
A．12 个 B．14 个 C．16 个 D．18 个
【变式 6-4】（2024·上海静安·一模）已知直线ax+by +c = 0的斜率大于零，其系数 a、b、c 是取自集
合{ 2, 1,0,1,2}中的 3 个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
题型七：容斥原理
【典例 7-1】（2024·高三·北京·强基计划）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考
试．已知有 100 名学生参加了数学考试，50 名学生参加了物理考试，48 名学生参加了化学考试，学生总数
是只参加一门考试学生数的 2 倍，也是参加三门考试学生数的 3 倍，则学生总数为（ ）
A．108 名 B．120 名 C．125 名 D．前三个答案都不对
【典例 7-2】“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》
《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了 200 位学生，其中阅读过《大学》
的有 60 位，阅读过《论语》的有 160 位，阅读过《大学》或《论语》的有 180 位，阅读过《大学》且阅读
过《论语》及《中庸》的有 20 位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与
该校学生总数比值的估计值是（ ）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【方法技巧】
容斥问题本身存在包容与排斥的一种计数问题，所以我们在处理这一类问题的时候必须要注意扣除掉
重复的部分，也要保证没有遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方
法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数
时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理.
【变式 7-1】（2024·高三·湖北·期末）某校高一年级有 1200 人，现有两种课外实践活动供学生选择，
要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的 60%到 65%，选择另一
项活动的人数占 50%到 55%，则下列说法正确的是（ ）
A．同时选择两项参加的人数可能有 100 人
B．同时选择两项参加的人数可能有 180 人
C．同时选择两项参加的人数可能有 260 人
D．同时选择两项参加的人数可能有 320 人
【变式 7-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有 45 名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参
加一个兴趣小组的同学有 20 人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小
组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有
人 .
【变式 7-3】（2024·江西·模拟预测）2021 年是中国共产党成立 100 周年，电影频道推出“经典频传：看
电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》
《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有 50 人，观看了《青春之歌》的有 21 人，观看了《建
党伟业》的有 23 人，观看了《开国大典》的有 26 人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有 4
人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有 7 人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有 6 人，
三支短视频全观看了的有 3 人，则没有观看任何一支短视频的人数为 .
题型八：集合的创新定义运算
【典例 8-1】（多选题）（2024·山西·一模）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在 19 世纪
30 年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学 晶体结构学等其他学科中也有十分
广泛的应用.设G 是一个非空集合，“ o ”是一个适用于G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G
对“ o ”构成一个群：（1）封闭性，即若a,b G，则存在唯一确定的 c G ，使得 c = a o b ；（2）结合律成立，
即对G 中任意元素a,b,c都有 a ob oc = a o boc ；（3）单位元存在，即存在 e G ，对任意 a G ，满足
aoe =eoa = a，则 e 称为单位元；（4）逆元存在，即任意 a G ，存在b G ，使得 a o b = b o a = e，则称a
与b互为逆元，b记作a 1 .一般地， a o b 可简记作 ab,a o a 可简记作 a2 , a2 o a可简记作a3，以此类推.正八边
形 ABCDEFGH 的中心为O .以 e 表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以 r 表示以点O 为中心，将
π
正八边形逆时针旋转 的旋转变换；以m表示以OA所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算
4
“ o ”表示复合变换，即 f o g p q表示将正八边形先进行 g 变换再进行 f 变换的变换.以形如 r m p,q N，并
规定 r0 = m0 = e 的变换为元素，可组成集合G ，则G 对运算“ o ”可构成群，称之为“正八边形的对称变换
群”，记作 D8 .则以下关于 D8 及其元素的说法中，正确的有（ ）
A．mr2 D8，且mr2 = r2m
B． r3m与 r5m互为逆元
C． D8 中有无穷多个元素
D． D8 中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身
【典例 8-2】已知全集U 且集合A 、 B 是非空集合，定义 A B = x | x A B且 x U A B ，已知
A = x 2 < x < 5 ，B = x x 3 ，则 A B = .
【方法技巧】
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和
方法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，
要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。
【变式 8-1】定义集合运算： Ae B = z | z = xy x + y , x A, y B ，集合 A = 0,1 , B = 2,3 ，则集合
AeB所有元素之和为 ．
【变式 8-2】如果集合 U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集
A , A ,L, A k N*1 2 k ,k 2 ，且满足 A1 U A2 ULU Ak = U ，那么称子集组 A1, A2 ,L, Ak 构成集合 U 的一个 k 划
分．若集合 I 中含有 4 个元素，则集合 I 的所有划分的个数为（ ）
A．7 个 B．9 个 C．10 个 D．14 个
【变式 8-3】（2024·上海嘉定·二模）若规定集合E = 0,1,2,LL,n 的子集 a1,a2 ,a3,L,am 为 E 的第 k
个子集，其中 k = 2a1 + 2a2 + 2a3 +LL+ 2am ，则 E 的第 211 个子集是 ．
1．（2024 3年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合 A = x∣ 5 < x < 5 , B = { 3, 1,0,2,3}，则 AI B =（ ）
A．{ 1,0} B．{2,3} C．{ 3, 1,0} D．{ 1,0,2}
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）集合 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ，则 A A B = （ ）
A． 1,4,9 B． 3, 4,9 C． 1,2,3 D． 2,3,5
3．（2023 年北京高考数学真题）已知集合M = {x∣x + 2 0}, N = {x∣x 1< 0}，则M N = （ ）
A．{x∣ 2 x <1} B．{x∣ 2 < x 1}
C．{x∣x 2} D．{x∣x <1}
4．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合 A = 0, a ，B = 1,a 2,2a 2 ，若 A B，则a =（ ）．
A．2 B．1 C 2． 3 D． 1
5．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集U = Z ,集合
M = {x∣x = 3k +1,k Z}, N = {x∣x = 3k + 2, k Z}， U(M N ) = （ ）
A．{x | x = 3k,k Z} B．{x∣x = 3k 1, k Z}
C．{x∣x = 3k 2,k Z} D．
6．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列 a 2pn 的公差为 ，集合 S = cosan n N* ，若3
S = a,b ，则 ab = （ ）
1
A．－1 B． C．0 D 1．
2 2
1．在平面直角坐标系中，集合C ={(x, y) | y = x}表示直线 y = x ，从这个角度看，集合
ì ì2x y =1D = í(x, y) |
ü
íx 4y 5 表示什么？集合
C，D 之间有什么关系？
+ =
2．请解决下列问题：
（1）设a,b R, P ={1,a},Q ={ 1, b}，若 P = Q，求 a b的值；
（2）已知集合 A ={x | 0 < x < a}, B ={x |1< x < 2}，若B A，求实数 a 的取值范围.
2．已知全集U = A B ={x N | 0 x 10}, A CU B ={1,3，5,7}，试求集合 B.
4．学校举办运动会时,高一(1)班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛,
有 14 人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人,没有
人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
5 2．已知集合 A = 1,3,a , B = {1,a + 2} ,是否存在实数 a,使得 A B = A 若存在,试求出实数 a 的值;若不
存在,请说明理由.
易错点：在解含参数集合问题时忽视空集
易错分析：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合 A B 就有可能忽视了
A = ，导致解题结果错误．尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，
所给的集合可能是空集的情况．考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错
误或答案不全面．
答题模板
1、模板解决思路
解决集合中的参数问题，常根据所给条件，并结合集合间的关系或集合的运算等知识列出关于参数的
方程（组）或不等式（组），求解即可．
2、模板解决步骤
第一步：将已知集合化成最简形式．
第二步：通过画数轴等方式分析条件．
第三步：列出关于参数的方程（组）或不等式（组）．
第四步：解出参数的取值范围．
【易错题 1】已知集合 A = 1,1 ，B = x ax =1 ，若 AI B = B ，则 a 的取值集合为（ ）
A． 1 B． 1 C． 1,1 D． 1,0,1
【易错题 2】已知集合 A = x 1 x 3 ，集合 B = x 1 m x 1+ m .若 B A，则m 的取值范围是（ ）
A． , 2 B． 1,3 C． 3,1 D． 0,2

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