第02讲平面向量的数量积及其应用（八大题型）（讲义）（含答案）第五章平面向量与复数 2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

资源简介

第 02 讲平面向量的数量积及其应用
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：平面向量的数量积 .............................................................................................................4
知识点 2：数量积的运算律 .................................................................................................................5
知识点 3：数量积的性质 .....................................................................................................................5
知识点 4：数量积的坐标运算 .............................................................................................................6
解题方法总结 ........................................................................................................................................7
题型一：平面向量的数量积运算 ........................................................................................................7
题型二：平面向量的夹角问题 ..........................................................................................................10
题型三：平面向量的模长 ..................................................................................................................13
题型四：平面向量的投影、投影向量 ..............................................................................................15
题型五：平面向量的垂直问题 ..........................................................................................................19
题型六：建立坐标系解决向量问题 ..................................................................................................20
题型七：平面向量的实际应用 ..........................................................................................................26
题型八：向量回路恒等式 ..................................................................................................................31
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................32
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................34
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................38
易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错 ......................................................................38
答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积 ..............................................................................38
考点要求考题统计考情分析
平面向量数量积的运算、化简、证明及数量
积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考
2024 年 I 卷第 3 题，5 分的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出
2024 年 II 卷第 3 题，5 分现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函
（1）平面向量的数量积
2023 年 I 卷第 3 题，5 分数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工
（2）平面向量数量积的
2023 年 II 卷第 13 题，5 分具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇
几何意义
2023 年甲卷（理）第 4 题，5 分点，务必引起重视．
2022 年 II 卷第 4 题，5 分预测命题时考查平面向量数量积的几何意义
及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合
的解答题也是热点．
复习目标：
（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义
（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系．
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
知识点 1：平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
r r r r r r r r
已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 | a || b | cosq 叫做 a 与b r的数量积（或内积），记作 a ×b ，即 ar ×b
r
= | ar || b | cosq ，规定：零向量与任一向量的数量积为 0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
r r r①向量的投影： | a | cosq 叫做向量 a 在 b 方向上的投影数量，当q 为锐角时，它是正数；当q 为钝角
时，它是负数；当q 为直角时，它是 0．
r r r r r r r r r
② a ×b 的几何意义：数量积 a ×b 等于 a 的长度 | a | 与b 在 a 方向上射影 | b | cosq 的乘积．
r r r r uuur uuur r uuur③ r设 a ， b 是两个非零向量，它们的夹角是q ,e 与 b 是方向相同的单位向量， AB = a,CD = b ，过 AB
uuur uuuur r
的起点 A 和终点 B ，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1, B1 ，得到 A1B1 ，我们称上述变换为向量 a
r uuuur r r r r
向向量b 投影， A1B1 叫做向量 a 在向量b 上的投影向量．记为 | a | cosqe ．
uuur uuur
【诊断自测】（2024·安徽安庆·三模）已知线段 AB 是圆O的一条长为 4 的弦，则 AO × AB =（）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【解析】取 AB 中点C ，连接OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur易知OC ^ AB，所以 AO × AB = AC + CO × AB = 2 4 1+ 0 = 8 .
故选：C．
知识点 2：数量积的运算律
r r r
已知向量 a 、b 、 c 和实数l ，则：
r r r r
① a ×b = b × a ；
r r r r r r
② (la) × b = l(a ×b) = a × (lb)；
r r r r r r r
③ (a + b) × c = a × c + b × c ．
uuur uuur uuur uuur
【诊断自测】（2024·四川雅安·模拟预测）在VABC 中， AB = 4 ， AC = 3，且 AB ^ AC ，则 AB × BC =
（）
A．16 B． 16 C． 20 D． 20
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【解析】因为 AB ^ AC ，所以 AB × AC = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
AB × BC = AB × AC AB = AB × AC AB = 0 42 = 16 .
故选：B
知识点 3：数量积的性质
r r r r r r
设 a 、b 都是非零向量， e 是与b 方向相同的单位向量，q 是 a 与 e 的夹角，则
r r r r r r r r r
① e × a = a × e =| a | cosq ．② a ^ b a ×b = 0．
r r r r r r r r r r r r
③当 a 与b 同向时， a ×b =| a || b |；当 a 与b 反向时， a ×b = | a || b |．
r r r
特别地， a × a =| a |2
r r r
或 | a |= a × a ．
r r r r r r r r
④ cosq a ×b= r r (| a || b | 0) ．⑤ | a ×b |≤| a || b |．
| a || b |
r π π
【诊断自测】（2024·西藏·模拟预测）已知向量 a = cos a + ÷ ,sin a + ÷÷，
è è 3 è 3
r
b cos a 5π ,sin a 5π
r r
= + ÷ + ÷÷．若 2a + b ^6 6
r r
a + xb ，则实数 x 的值是（）
è è è
1
A 2 B C 1．．． 2 D．22
【答案】A
r r r r
a = b =1 a ×b = cos a π+ cos a 5π+ + sin a 5π+ sin a π+ 【解析】由题意得， 3 ÷ 6 ÷ ÷ ÷
．
è è è 6 è 3
π 5π r r r r= cos a + a ÷ = cos
π ÷ = 0，因为 2a + b ^ a + xb ，
è 3 6 2

è
r r
所以 2a + b r r r 2 r 2× a + xb = 0，所以 2 a + x b = 0 ，所以 2 + x = 0，解得 x = 2．
故选：A．
知识点 4：数量积的坐标运算
r r r r
已知非零向量 a = (x1 ，y1) ，b = (x2 ，y2 ) ，q 为向量 a 、 b 的夹角．
结论几何表示坐标表示
r r r r
模 | a |= a × a | a |= x2 + y2
r r r r r r
数量积 a ×b =| a || b | cosq a ×b = x1x2 + y1 y2
r r
a ×b x1x2 + y1 y2
夹角 cosq = r r cosq = 2 2 2 2
| a || b | x1 + y1 × x2 + y2
r r
a ^ b 的充要 r r
a ×b = 0 x1x2 + y1 y2 = 0
条件
r r
a∥b 的充要 r r r r
a = lb（b 0） x1 y2 x2 y1 = 0
条件
r r
r r
r r
| a ×b | | a || b |（当
| a ×b |与
r r
| x1x2 + y1 y2 |≤
r r 且仅当 a∥b 时等号成 2 2 2 2
| a || b | x1 + y1 × x2 + y的关系 2
立）
r r r
【诊断自测】已知平面向量 a = 1, 3 ,b 3,1 ar= ，且 ^ b r la ，则实数l 的值为（）
A 2 3 B 3 C 1 3．．．
3 2 2
D．
3
【答案】B
r 2 r r
【解析】由已知得 a = 12 + 3 = 2 ， a ×b =1 3 + 3 1 = 2 3 ，
r
ar b lar r r又 ^ ，所以 a × b lar 0 r r = r，即 a ×b la2 = 0，
所以 2 3 4l = 0 3，解得l = .
2
故选：B.
解题方法总结
r r
（1）b 在 a 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于 0．
r r r r r r r
（2 r r r r r）数量积的运算要注意 a = 0 时， a ×b = 0 ，但 a ×b = 0 时不能得到 a = 0 或 b = 0 ，因为 a ^ b 时，
ar
r
也有 ×b = 0 ．
r r
3 | ar | ar ar cosq a ×b r
r r r
（）根据平面向量数量积的性质： = × ， = r r ， a ^ b a ×b = 0等，所以平面向量| a || b |
数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若 a、 b 、 c 是实数，则 ab = ac b = c （ a 0）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量
r ra b cr r
r r
、、满足 a ×b = ar r r r× c （ a 0），则不一定有 b = c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时
乘以一个向量．
r r r
（5）数量积运算不适合结合律，即 (ar r r×b) × c a × (b cr) r r r× ，这是由于 (a ×b) × c 表示一个与 c 共线的向量，
r r r
ar (b cr) r r r r r r r× × 表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此 (a ×b) × c 与 a × (b × c) 不一定相等．
题型一：平面向量的数量积运算
r r r r r
【典例 1-1】设平面向量 a = (1,3) ， | b | 2 | ar= ，且 b |= 10 ，则 2a + b · r ra b =（）
A．1 B．14 C． 14 D． 10
【答案】B
r r r
【解析】因为 a = (1,3) ，所以 a = 10,又 | b |= 2，
r
| ar b |2 ar2 2ar
r r
b r
r
则 = × + b 2 =14 2a ×b =10,
r r
所以 a ×b = 2，
2ar r则 + b · r ra r r r r b = 2a2 a ×b b 2
= 20 2 4 =14，
故选：B.
uuur uuur
【典例 1-2】在RtVABC 中， C = 90°， AB = 4 ， AC = 2，O为VABC 的外心，则 AO × BC =（）
A．5 B．2 C． 4 D． 6
【答案】D
【解析】在RtVABC 中， AB = 4 ， AC = 2，\BC = 42 22 = 2 3 ， B = 30°
uuuv uuuv
\ AO, BC =150°
又O为VABC 的外心，\O 是 AB 的中点，\ AO = 2
uuur uuur uuur uuur
\ AO × BC = AO BC 1× ×cos150° = 2 2 3 ÷ = 6
è 2
故选：D
【方法技巧】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量
数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
r r r
【变式 1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量 ar | a
r 2 b | 3 ar π，b 满足 = ， = ，且与b 的夹角为，6
r r r则 a + b × 2ar b =（）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解析】`
r r r r π
由 | a = 2，b |= 3 ，且 a与b 的夹角为，6
所以 r ra + b × r r r 2 r r r22a b = 2a + a ×b b
r 2 r r
2 a a b cos π
r 2
= + × b
6
2
= 2 22 + 2 3 3 3 = 8 .2
故选：B.
r r r
【变式 1-2】已知 a
r
= 6 b = 3 ar
r r
，，向量在b 方向上投影向量是 4e，则 a ×b 为（）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【答案】A
ar
r r r r
【解析】在b 方向上投影向量为 a cosq ×e = 4e ，
r r r
\ a cos r rq = 4，\ a ×b = a b cosq = 4 3 =12 .
故选：A
【变式 1-3】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知边长为 1 的正方形 ABCD，点 E，F 分别是 BC，CD 的中
uuur uuur
点，则 AE × EF = （）
3 1 3 1
A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】D
uuur uuur uuur uuur
【解析】边长为 1 的正方形 ABCD， AB × AD = 0 ， AB = AD =1，
uuur uuur uuur uuur
AE AB BE AB 1
uuur uuur 1 uuurAD EF BD 1= + = + ， = =
2 2 2
uuur uuur
AD AB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2
所以 AE × EF = AB
1 AD 1 1 1 1 1+ ÷ ×

AD AB

÷ = AD AB = .
è 2 è 2 2 4 2 4
故选：D.
【变式 1-4】（2024·陕西安康·模拟预测）菱形 ABCD的边长为 2, DAB = 60o，以D为圆心作圆且与
uuur uuur
AQuu×urAEAB 相切于E,Q是eD与CD 的交点，则 =AE .
【答案】1+ 3 / 3 +1
uuur uuur
【解析】由题可知 DE = 3 ， AE =1则 DQ = 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AD × AE = AD AE cos 60° =1, DQ × AE = DQ AE cos 0° = 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故 AQ × AE = (AD + DQ) × AE = AD × AE + DQ × AE =1+ 3，
uuur uuur
AQ
故 uu
×urAE =1+ 3
AE .
故答案为：1+ 3
uuur uuur
【变式 1-5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知VABC
1
是边长为 1 的正三角形， AN = NC, P 是BN 上一
3
uuur uuur 2 uuur uuur uuur
点且 AP = mAB + AC ，则 AP × AB = （）9
A 2
1
． 9 B C
2
．．
9 3
D．1
【答案】A
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur
【解析】Q AN = NC ，\ AN = AC ，且 AP = mAB + AC = mAB
8
+ AN ，
3 4 9 9
而 P, B, N
8 1
三点共线，\m + =1，即m = ，
9 9
uuur 1 uuurAP AB 2
uuur
\ = + AC ，
9 9
uuur uuur 1 uuur 2 uuur uuur 1 2 o 2
所以 AP × AB = AB + AC × AB = + cos 60 = .
è 9 9 ÷ 9 9 9
故选：A.
题型二：平面向量的夹角问题
r r r r r
【典例 2-1】（2024· r陕西安康·模拟预测）已知单位向量 a,b 满足 a 3b = 3，则 cos a,b = .
1
【答案】
6
r r r
【解析】因为 a 3b = 3 r，且 | a |=| b |=1，
r r
所以 | a 3b |2 = 9，
ar
r r
所以 2 6ar ×b + 9b 2 = 9，
r
即 a
r 1
×b = .
6
r r r r r r
又 a ×b = a × b cos a
r,b , ar = b =1，
r
所以 cos a
r,b 1= .
6
1
故答案为： .
6
r r r
【典例 2-2】（2024·陕西·二模）已知 a = 1,
3
2 ÷÷
,b = 1, 3 r，则向量 a,b 的夹角的余弦值为 .
è
5 7
【答案】
14
r r 1 3+
ar
r
【解析】设向量 ,b 夹角为q ，则 cosq
a ×br 2 5 7= r = =a b 7 14
.
2
2
5 7
故答案为： .
14
【方法技巧】
r
ar
r r r ar ×b x x + y y
求夹角，用数量积，由 ×b =| a | × | b | cosq 得 cosq = r r = 1 2 1 2 ，进而求得| a | × | b | x 2 + y 2 2 21 1 x2 + y2
r r
向量 a,b 的夹角．
r r r r r r r r
【变式 2-1】（2024·江西宜春·三模）已知 a ，b 均为非零向量，若 | 2a b |=| b |= 2 | a |，则 a 与b 的夹角
为．
π
【答案】
3
r r r r r r r r r r r r r r
【解析】由 | 2a b |=| b |，可得 | 2a b |2 =| b |2，即 4 | a |2 4a ×b+ | b |2 =| b |2，解得 a ×b =| a |2 ，
r r r r r r ra ×b | a |2 1
因为 | b |= 2 | a |，所以 cos a,b = r r = r = ，
| a || b | 2 | a |2 2
r r r r
又因为0 a,b π ，所以 a,b
π
= ．
3
π
故答案为： .
3
r r r r
【变式 2-2】已知 a = 2,1 ,b = k, 2 ,k R,a 与b 的夹角为q ．若q 为钝角，则 k 的取值范围是．
【答案】 k <1且 k 4
r r
cosq a ×br 2k 2【解析】由 = ar
=
b 2 ，且q× 为钝角，所以 2k 2 < 0，解得 k <1，5 × k + 4
r r r r
当 a / /b时，则 2 2 k = 0，解得 k = 4 ，此时 a与b 夹角为 π，不成立，
\k <1且 k 4．
故答案为： k <1且 k 4．
ur uur π ur uur ur uur
【变式 2-3】（2024·高三·天津宁河·期末）已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为，则向量 e1 + 2e3 2
与 2e1 3e2
的夹角为．
2p
【答案】 /120°
3
ur uur
e e π【解析】因为单位向量 1 与 2 的夹角为，3
ur uur ur uur
e e e e cos π 1 1 1 1所以 1 × 2 = 1 × 2 = = ，3 2 2
ur uur ur uur ur2 ur uur uur2所以 e1 + 2e2 × 2e1 3e2 = 2e1 + e1 ×e2 6e2 = 2 1 6 7+ = ，2 2
ur uur
ur uur
e1 + 2e2 2
ur2 ur uur uur2
= e1 + 4e1 ×e2 + 4e2 =1 4
1
+ + 4 = 7，故 e
2 1
+ 2e2 = 7 ，
ur uur 2 ur2 ur uur uur2 ur uur 2e1 3e 12 = 4e1 12e1 ×e2 + 9e2 = 4 12 + 9 = 7，故 2e1 3e2 = 7 ，2
ur uur ur uur
ur uur ur uur e1 + 2e2 × 2e1 3e2
7

所以 cos e1 + 2e2 , 2e1 3e2 = ur uur ur uur
1
= 2 = ，
e1 + 2e 22 × 2e1 3e2 7 7
ur uur ur uur
又 e1 + 2e2 , 2e1 3e2 0, π ，
uv uur ur uur
e 2e 2e 2π所以向量 1 + 2 与 1 3e2 的夹角为 .3
2π
故答案为：
3
r r r r r
【变式 2-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）平面向量 a与b 相互垂直，已知a = (6, 8) ， | b |= 5，且b 与
r
向量 (1,0)的夹角是钝角，则b = .
【答案】 ( 4, 3)
r r r r
【解析】设b = (x, y),Qar ^ b r，\a ×b = 0，\6x 8y = 0，①， | b |= x2 + y2 = 5，②，
r
因为b 与向量 (1,0)夹角为钝角，\ x < 0 ，③，
ìx = 4 r
由①②③解得 íy 3，\b = ( 4, 3) . =
故答案为： ( 4, 3) .
r r r r r r
【变式 2-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知非零向量 a,b满足 2 a
r
= b ，且 a
r r
^ a b ，则 a，b的夹角
大小为．
π
【答案】
3
r r r r r
【解析】因为 a ^ a b ，设向量 a 与b 的夹角为 6，
r r r r r
所以 a × (a b)
r r r r
= a2 a ×b = a 2 a × b cosq = 0，
r
又因为 2 a
r
= b ，
1
所以 a
r 2 2 ar r × a cosq = 0，所以 cosq = .
2
0 π因为 q < π，所以q = .
3
r r π
所以向量 a，b的夹角大小为 .3
π
故答案为： .
3
r r r ra c a
r b 1 cr r
r r r
【变式 2-6】（2024·上海·模拟预测）已知向量，b ，满足 = = ， = 2 ，且 a + b + c = 0 ，
cos ar cr
r
,b cr则 = ．
4
【答案】 /0.8
5
ar
r r r r 2 r r【解析】由题 +b = -c ，故 a + b cr 2 cr= = 2 r r r即 a2 + b 2 + 2ag b = c 2 ，
r r
1 1 r r+ + 2agb = 2， agb = 0；
r r r r r 2 r 2 r 2 r r2 r r ra + c = b ，故 a + c = b = b 即 a2 + c + 2agc = b 2，
r r r r
1+ 2 + 2agc =1， agc = 1；
r
b cr r
r r 2 r r r r r r
+ = -a ，故 b + c = a 2 = a2即b 2 2+ c + 2b gc = ar2 ，
r r r r
1+ 2 + 2b gc =1， b gc = 1，
ar r
r r r
c · b cr ar·b ar b ·cr cr所以 = + + 2 = 2cr2 = 4，
ar r r r 2 r r r r
r r r r 2 r r r且 c = a c = a2 + c 2 2a·c = 5 ， b c = b c = b 2 + c 2 2b·cr = 5 ，
r r
r
r r r r a c r· b c
所以 cos a c,b
4 4
c = r r r r = = .
a c b c 5 5 5
4
故答案为： .
5
题型三：平面向量的模长
r r r r r r r
【典例 3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知向量 a，b 满足 a =1，b = 3，a b = 2, 6 ，则 3ar + b =
【答案】3 2
r r r r r r 2 r 2 r2 r r 2 r r
【解析】 a =1，b = 3，a b = 2, 6 可得 a b = a + b 2a ×b=22 + 6 =10 a ×b=0，
r r 2 r2 r r
故 3ar + b = 9a + b + 6a ×b= 9 + 9 = 3 2 ，
故答案为：3 2
r r r r r
【典例 3-2】（2024· r r r浙江温州·二模）平面向量 a,b 满足 a = 2,1 ， a P b ， a ×b = 10 ，则 b = ．
【答案】 2
r r
【解析】设向量b = x, y r x y，由 a P b 可得 = ，
2 1
r
又 ar ×b = 10 ，则 2x + y = 10 ，
x 2 10 10
r 2 10 10
解得 = ， y = ，则b =
5 5
,
5 5 ÷÷
，
è
r 2 2 2 10 10
所以 b = ÷÷ + ÷÷ = 2 .
è 5 è 5
故答案为： 2
【方法技巧】
r r
求模长，用平方， | a |= a2 ．
r r r r
【变式 3-1】（2024·安徽池州·模拟预测）已知向量 a = 4, 2 ，b = 2,l ，且 a与b 共线，则
r
3ar + 2b = .
【答案】 4 5
r r
【解析】因为 a与b 共线，
所以 4l - -2 -2 = 0 l =1，
r
所以b = 2,1 ，
r r
所以3a + 2b=3 4,-2 + 2 -2,1 = 8,-4 ，
3ar
r
所以 + 2b = 82 + -4 2 = 4 5 ，
故答案为： 4 5 .
r r r r r r r
【变式 3-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量m ， n满足 m =1， n = 2，且 m n ^ m，则
mr r n =（）
A．1 B． 3 C． 7 D．2
【答案】B
【解析】因为 mr nr mr (mr nr) mr ^ ，所以 × = 0，
1 r r
所以 | mr |2 | mr || nr | cosq = 0，所以 cosq = ，其中q 是m, n的夹角，
2
所以 mr r n = (mr nr)2 = 1 1+ 4 2 2 1 = 3 .
2
故选：B.
r r π r r r
【变式 3-3】（2024·高三·上海奉贤·期中）已知平面向量 a ，b 的夹角为，若 a =1, 2a b = 10 ，则4
r
b 的值为 .
【答案】3 2
r r r r r r r r
【解析】由 2a b = 10 两边平方得 r r 2 2 2 π 22a b =10 ， 4a 4a ×b + b = 4 4 1 b ×cos + b =10，4
r 2 r r r r
b 2 2 × b 6 = 0, b 3 2 b + 2 = 0，解得 b = 3 2
故答案为：3 2
题型四：平面向量的投影、投影向量
【典例 4-1】（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在直线 x + 2y +1 = 0上.若向
r uuur r
量 a = 1,2 ，则OP 在 a 上的投影向量为（）
1 , 2 1 2 A． ÷ B．5 5
, ÷
è è 5 5
5 , 2 5

C． D5 5 ÷÷ ．
1, 2
è
【答案】A
uuur
【解析】由题可设P 2t 1, t ，则OP = 2t 1, t ，
uuur r r
所以OPga = 2t 1, t g 1,2 = 1，又 a = 12 + 22 = 5 ，
uuur r
故OP 在 a 上的投影向量为
uuur r r uuur r r uuur ruuur uuur
cos OP,a a OPga a OPga
r 1 r
= 1 2OP r

OP uuur r r = r 2 a = a = , ÷，
a OP a a a 5 è 5 5
故选：A.
【典例 4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形 ABCD中， AD / /BC 且BC = 2AD, AB ^ AD, AC 与BD
uuur uuur
交于点O，则向量BO在向量BA上的投影向量为（）
1 uuur 1 uuur 2 uuur 3 uuur
A． BA B． BA C． BA D． BA
2 3 3 4
【答案】C
【解析】在直角梯形 ABCD中， AD / /BC 且BC = 2AD, AB ^ AD，过O作OE ^ AB于E ，
BE BO BC BE BE 2 2
则OE / / AD / /BC ，故 = = = 2 ，从而 = = =EA OD AD BA BE + EA 2 +1 3 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因此BO × BA =| BO || BA | cos OBE =| BE || BA |
2
= | BA |2 ，
3
uuur uuur
uuur uuur BO × BA uuuruuur BA 2
uuur
所以向量BO在向量BA上的投影向量为 = BA .| BA |2 3
故选：C
【方法技巧】
ar
r r uuur uuur r uuur
设， b r r是两个非零向量，它们的夹角是q ,e 与 b 是方向相同的单位向量， AB = a,CD = b ，过 AB 的
uuur uuuur r
起点 A 和终点 B ，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1, B1 ，得到 A1B1 ，我们称上述变换为向量 a 向
r uuuur r
向量b 投影， A1B1 叫做向量 a
r r r
在向量b 上的投影向量．记为 | a | cosqe ．
r r r r r r r
【变式 4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量 a,b满足 a = 2,b = 3,0 , a b = 10 ，则向量 a
r
在向量b 方向上的投影向量为（）
1 1 1 A． ,0÷ B． ,0
è 6 3 ÷
C． ,02 ÷
D． 1,0
è è
【答案】C
r ra 2, b 3 ar
r
【解析】因为 = = ， b = 10 ，
r r 2 r r r r r r
所以 a b = a2 r
3
2a ×b b 2 22 2ar+ = ×b + 32 =10，得 a ×b = ，
2
r r 3r r a ×b r r
所以向量 a 在向量b 方向上的投影向量为 r 2 ×b
2 b 1= = 3,0 = 1 ,0
9 6 2 ÷
.
b è
故选：C
r r r r
【变式 4-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知向量 a = 3, 4 ，b = 2,0 ，则 a 在b 上的投影向量为
（　　）
3
A． ,0

÷ B． 3,0 C． 2,0 D． 6,0
è 2
【答案】B
r r
r r
r
【解析】因为 a = 3, 4 ，b = 2,0 ，所以 a ×b = 6 ， b = 2，
r r r r
r r a ×b b 6 b 3
所以 a 在b 上的投影向量为 r × r = = 2,0 = 3,0 b b 2 2 2 .
故选：B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【变式 4-3】在三角形 ABC 中，若 AB × AC = 0, BC = 2BO，则向量 AO 在向量 AB 上的投影向量
为 .
1 uuur
【答案】 AB
2
uuur uuur
【解析】因为BC = 2BO ，所以O为线段BC的中点，
uuur uuur uuur uuur
因为 AB × AC = 0，所以 AB ^ AC ，所以 BAC = 90° ,
所以OA = OB = OC ，
所以VAOB为等腰三角形，
uuur uuur
所以向量 AO 在向量 AB 上的投影向量为
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AO × AB AB AO × AB cos BAO AB
uuur × uuur = uuur × uuur
AB AB AB AB
1 uuur
uuur uuur AB
AO × AB × 2uuur
AO uuurAB 1 uuur ,
= uuur × uuur = AB
AB AB 2
1 uuur
故答案为： AB .
2
r r 5π r r r r r r
【变式 4-4】已知向量 a 与b 的夹角为， a = 3 b ，设b a在 a 上的投影向量为la ，则l =（）6
3 1
A 1
3
． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】A
r r r rr r r r b a ×a a r
【解析】b a在 a 上的投影向量为la ，即 r × r = la，
a a
r r r 2
l b ×a a则有 = r 2 ，
a
r r 5π r r
又向量 a 与b 的夹角为， a = 3 b ，6
r 2 r 2
3 b 3 3 b
所以 è 2
÷
l 3= r 2 =
.
3 b 2
故选：A.
2 2
【变式 4-5 x y】已知双曲线C : 2 2 = 1(a > 0,b > 0)的左a b 右焦点分别为 B，C，以 BC 为直径的圆与渐近线
uuur uuur
交与点 A，连接 AB 与另一条渐近线交与点 E，O为原点，OE //AC ，且 AC = 2 .若BA在BC 上的投影向量
3 uuur uuur uuur
为 BC ，则（）
4 AO × BC =
A． 4 B． 2 3 C． - 2 D． 3
【答案】A
【解析】以 BC 为直径的圆与渐近线交与点 A，AB 与另一条渐近线交与点 E，
则 BAC = 90°，由OE //AC ，所以OE ^ AB， EOB = AOC = ACB，
又OA = OC ，则 OAC = AOC = ACB，即VAOC 是等边三角形，
uuur
AC = 2 ，则 BC = 4 ，
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur BA cos B
由BA在BC 上的投影向量 BA cos B
BC 3
× uuur = BC uuur 3=
BC 4 ，即 BC 4
，
uuur uuur uuur uuur 3 uuur 2
所以BA × BC = BA BC cos B = BC =12，
4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由图得， AO × BC = (BO BA) × BC = BO × BC BA × BC = 8 12 = 4 .
故选：A.
题型五：平面向量的垂直问题
r r
【典例 5-1】（2024·西藏林芝· r模拟预测）已知向量 a = (x,3),b = (2, x r r+ 5)，若 a ^ (a b)，则 x =（）
A．2 或 3 B． 2或 3 C．1 或 6 D． 1或 6
【答案】D
r r r
【解析】由题意，向量 a = (x,3),b = (2, x 5) ar+ ，可得 b = (x 2, 2 x)，
r r r
因为 a ^ (a b)，则 x(x 2) +3( 2 x) = 0，即 x2 5x 6 = 0，解得 x= 1或 6．
故选：D
r r r r
【典例 5-2】（2024· r甘肃张掖·模拟预测）已知向量 a,b 满足 a = b = 1 r，且 a ^ b ，若
r rla b ar r+ ^ + mb ，则（）
A．l + m = 0 B．l + m = 1
C．lm = 1 D．lm = 0
【答案】A
r r r r
【解析】根据题意， a ^ b ，所以 a ×b = 0，
r r r r又 lar r+ b ^ a + mb r，所以 la + b × ar + mb = 0，
r 2 r r r2 r r
即la + 1+ lm a ×b + mb = 0 ，因为 a = b = 1，
所以l + m = 0 .
故选：A.
【方法技巧】
ar
r r
^ b ar ×b = 0 x1x2 + y1 y2 = 0
r r r r
【变式 5-1】（2024· · a r r辽宁模拟预测）若，b 是夹角为60° 的两个单位向量，la + b 与 2a b 垂直，则
l =（）
A．0 B．2 C． 1 D． 2
【答案】A
r r
【解析】 a ，b 是夹角为60° 的两个单位向量，
r r r ra = b =1 a b 1 1 1则， × = cos 60° = ，
2
r r r r
因为la + b 与 2a b 垂直，
则 r r rla + b × 2ar b r r= 2lar2 + 2 l ar ×b b 2 = 0，
即 2l 1+ 2 l 1 = 0，解得l = 0 .
2
故选：A.
ur uur r ur uur
【变式 5-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知 e1 ， e2 是单位向量，且它们的夹角是60°，若 a = 2e1 + e2 ，
r ur uur r r
b = le1 e2 ，且 a ^ b，则l =（）
2 4
A． B． C．1 D． 2
5 5
【答案】B
r r r r ur uur ur uur ur2 ur uur uur2 l 2
【解析】由 a ^ b得， a ×b = (2e1 + e2 ) × (le1 e2 ) = 2le1 + l 2 e1 ×e2 e2 = 0 ，即 2l + 1 = 0 ，解得2
l= 4 ，
5
故选：B．
r r r r r
【变式 5-3】（2024·重庆· r模拟预测）已知 | a |=1,| b |= 2 r r，且 a与b 不共线，若向量a + kb 与a kb 互相
垂直，则实数 k 的值为（）
1 1
A． B 1． C．±2 D．±22 2
【答案】C
r r
【解析】因为向量ar kb ar+ 与 kb 互相垂直，
ar r所以 + kb × r rar kb = 0，即 ar2 k 2b 2 = 0 ，
即12
1
k 2 22 = 0，解得 k = ± .2
故选：C
题型六：建立坐标系解决向量问题
【典例 6-1】（2024·全国·模拟预测）已知在菱形 ABCD 中， AB = BD = 6，若点 M 在线段 AD 上运动，
uuur uuuur
则BC × BM 的取值范围为．
【答案】 18,18 ．
【解析】 AB = BC = BD ，
记 AC, BD 的交点为O，以O为原点， AC, BD 所在直线分别为 x，y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系，
uuur
则B 0,3 ，C 3 3,0 ，BC = 3 3, 3 ， A 3 3,0 ，D 0, 3 ，
uuuur uuur
故 AM = l AD = 3 3l, 3l ， 0≤l ≤1，
则M 3 3 3 3l, 3l ，
uuuur
故BM = uuur3 3 3 3l, 3l 3 ，又BC = 3 3, 3
uuur uuuur
则BC × BM = 36l 18 18,18 ．
uuur uuur uuur
【典例 6-2】如图，已知正方形 ABCD的边长为3，且 2BC = 3BE + AB，连接 BE 交CD 于F ，则
uuur uuurCA + 2BF × 1 uuur uuur CA 4BF ÷ =
è 3
【答案】 69
【解析】以 B 为坐标原点，BC为 x 轴正方向，BA为 y 轴正方向，建立直角坐标系，则C 3,0 ， A 0,3 ，
uuur uuur
设E x, y ，可得 AE = x, y 3 , EC = 3 x, y ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为 2BC = 3BE + AB，则BE + AB = 2 BE BC ，可得 AE = 2EC ，
ìx = 2 3 x ìx = 2
即 í ，解得 í 2,1
y 3 = 2y y 1
，即E 的坐标为，
=
uuur uuur
设F 3, m ，则BE = 2,1 ，BF = 3,m ，
uuur uuur 3
由BE / /BF 可得 2m = 3，解得m = ，2
uuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur
则BF = 3, ÷，CA = 3,3 ，可得CA + 2BF = 3,6 ,
1 CA 4BF = 13, 5
è 2 3
uuur uuur 1 uuur uuur所以 CA + 2BF × CA 4BF ÷ = 3 13 + 6 5 = 69．
è 3
故答案为： 69 .
【方法技巧】
y a 3 y y
( , yC 2 2 a) D (0, a) C(a,a)C (bcosθ，bsinθ) D (0,b) C(a,a)
θ
x xA xB (a, 0) x A B (a, 0) A B (a, 0) A B(a, 0)
边长为 a的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形
y y
y y
D(bcosθ，bsinθ) C(a+bcosθ，bsinθ) (0，asinθ)
D C(a-acosθ，asinθ) D(bcosθ,bsinθ) C(a-bcosθ,bsinθ) A(rcosθ,rsinθ)
x
O
θ x x x
A B(a, 0) A B(a, 0) A B(a, 0)
平行四边形直角梯形等腰梯形圆
【变式 6-1】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介
绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形 ABCD, EFGH 均为正方形，
uuur uuur
AD = AE = 2，则FB × AH = .
【答案】16
【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，因为 AD = AE = 2，
所以F 2,0 , B 2,2 , A 0,2 , H 4,2 ，
uuur uuur uuur uuur
所以FB = 4,2 , AH = 4,0 ，所以FB × AH =16 .
故答案为：16 .
uuur uuur
AB AD 1【变式 6-2】（2024·天津·二模）已知菱形 ABCD边长为 1，且 × = , E 为线段 AD 的中点，若
2
uuur uuur 5 uuur
F 在线段CE上，且BF = lBA + BC ，则l = ，点G 为线段 AC 上的动点，过点G 作BC的平行线交
6
uuuur uuuur uuur
边 AB 于点M ，过点M 做BC的垂线交边BC于点 N ，则 MG + MN × MF 的最小值为 .
1 31
【答案】
3 80
【解析】如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，则有 A 0,0 、B 1,0 ，
uuur uuur
AB 1由 × AD = ，则 DAB =120°，
2

则D
1
,
3 1 3 1 3
÷÷ ，则E , ÷ ，C , ÷，
è 2 2 4 4 ÷ 2 2 ÷è è
uuur uuur 1 3 uuur uuur 5 uuur
则BA = 1,0 ，BC = ,2 2 ÷÷，由BF = lBA + BC ，è 6
uuur
BF 5 5 3
7 5 3
即 = l , ，则F12 12 ÷÷
l + , ÷÷，
è è 12 12
uuur 1 3 uuur
则CF
5 3
= l + , ÷÷ ，EF = l + ,12 12 6 6 ÷÷
，
è è
1 3 5 3
又F 在线段CE上，故有 l + ÷ l + ÷ 12 ÷
= 0，
è 6 è 6 ÷è 12
1 uuur 3 5 3 1 5 3
解得l = ，即BF = ，，F , ；
3 è 4 12
÷÷ 4 12 ÷÷ è
uuur uuur
设 AG = m AC ，m 0,1 ，
1 3
则G m, m ÷÷ ，由GM / /BC ，则M m,0 ，
è 2 2
由MN ^ BC ， DAB =120°，则 ABC = 60°，则 NMB = 30°，
3 3 1 3
则MN = BM 3= 1 m ，故 N + m, 1 m 2 2 4 4 4 ÷÷
，
è
uuuur
MG 1 m, 3
uuuur 3 3 3 uuur
则 = m ÷÷，MN = m, 1 m MF
1 5 3
=
2 2 4 4 4 ÷÷
，
è
m, ÷÷，
è è 4 12
uuuur uuuur uuur é ù则 MG + MN MF 1 m 3 3× = + m 1 ÷ m 3 3÷ + ê m + 1 m 5 3
è 2 4 4 è 4
ú
2 4 12
3 5 m 1
3
= m + m
3 5 3
+
è 4 4 ÷ ÷
÷
è 4 ÷è 4 4 12
5 m 2 17= m 3 5 5+ + m +
4 16 16 16 16
5
= m 2 3 1 m +
4 4 2
5 m 3
2
31=
4 ÷
+ ，
è 10 80
3 uuuur uuuur uuur 31则当m = 时， MG + MN × MF 有最小值 .10 80
1 31
故答案为：； .
3 80
【变式 6-3】窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意
蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓 ABCD 是边长为 50cm 的
正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为 10cm 的小正方形 EFGH 拼接而成，则
tan HAB = ．
13
【答案】
9
【解析】根据正方形的对称性，设其中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
设OG与 x p轴正方向的夹角为q,q (0, )，
2
则G 5 2 cosq ,5 2 sinq , H (5 2 cos( p pq + ),5 2 sin(q + ))，即2 2
H ( 5 2 sin q,5 2 cos q),C(25,25), A( 25, 25), D( 25,25)，
uuur uuur所以CG = 5 2 cosq 25,5 2 sinq 25 ,CH = 5 2 sinq 25,5 2 cosq 25 ，
uuur uuur
因为G, H ,C 三点共线，所以CG P CH ，即 5 2 cosq 25 5 2 cosq 25 = 5 2 sinq 25 5 2 sinq 25 ，
2 7 2
解得 cos q = ,sin q = 1 cos2 q = ，
10 10
uuur uuur
所以G(1,7), H ( 7,1), F (7, 1)，所以 AH = (18,26), AB = (50,0) ，
uuur uuur
cos HAB uAuuHr × AB 18 50 9 10所以 = uuur = =AH AB 2 2 50 ，又 HAB为锐角，所以× 50 18 + 26
sin HAB 1 cos2 HAB 13 10= = ，所以
50
tan HAB sin HAB 13 == = ；
cos HAB 9
13
故答案为：
9
uuur uuur uuur
【变式 6-4】如图，正八边形 ABCDEFGH 中，若 AE = l AC + m AF l，m R ，则l + m 的值为．
【答案】 2
【解析】
如图，以 HD、BF 所在的直线分别为 x、y轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心O即为坐标原点，设
o
AC 交 y M 360轴与点， AOB = COB = AOH = EOD = = 45o ，
è 8 ÷
ABC =180o 45o =135o ，所以 BAC = 22.5o ，
HAC = HAB CAB = 135o 22.5o = 112.5o，所以 HAC + AHO = 180o ，
即 AC ^ y 轴，VAOM、VMOC 为等腰直角三角形，
设OD = 2，则OD = OF = OE = OA = OC = 2 ，F 0,2 ，
所以 AM = OM = MC = 2 ，所以 A 2, 2 ，C 2, 2 ，C 与E 关于 x 轴对称，
所以 E 2, 2 ，
uuur
AE = uuur uuur2 2,2 2 ， AF = 2,2 + 2 ， AC = 2 2,0 ，
uuur uuur uuur
由 AE = l AC + m AF 得 2 2,2 2 = l 2 2,0 + m 2,2 + 2 ，
ì2 2 = 2 2l + 2m ì l = 2 2
即 í ，解得 í ， 2 2 = m 2 + 2 m = 2 2 2
所以l + m = 2 2 2 + 2 2 = 2 .
故答案为： 2 .
题型七：平面向量的实际应用
r r r
【典例 7-1】（2024·高三· r广东汕头·期末）设 a表示向东走了 10 km，b 表示向南走了 5 km，则a + 2b
所表示的意义为（）
A．向东南走了10 2 km B．向西南走了10 2 km
C．向东南走了5 6 km D．向西南走了5 6 km
【答案】A
r r
【解析】a + 2b 可以表示向东走了 10 km，再向南走了 10km，由勾股定理可知，
ar
r
+ 2b 所表示的意义为向东南走了10 2 km.
故选：A.
【典例 7-2】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了
ur ur ur ur
一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W = F × S （其中W 是功，F 是力， S 是位移）
uur uur
一物体在力F1 = 2,4 和F2 = 5,3 的作用下，由点 A(1,0)移动到点B 2,4 ，在这个过程中这两个力的合力
对物体所作的功等于（）
A．25 B．5 C． 5 D． 25
【答案】A
uur uur uur uur uuur
【解析】因为F1 = 2,4 ，F2 = 5,3 ，所以F1 + F2 = ( 3,7)，又 A(1,0)，B 2,4 ，所以 AB = (1, 4)，故
uur uur uuur
W = (F1 + F2 ) × AB = 3 + 7 4 = 25 .
故选：A.
【方法技巧】
用向量方法解决实际问题的步骤
【变式 7-1】一条东西方向的河流两岸平行，河宽 250 3m，河水的速度为向正东3km/h．一艘小货船
准备从河南岸码头 P 处出发，航行到河对岸 Q（ PQ与河的方向垂直）的正西方向并且与 Q 相距 250m 的码
头 M 处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5km/h，则当小货船的航程最短时，小
货船航行速度的大小为（）
A．3 3km/h B．6km/h C．7km/h D．3 6km/h
【答案】C
【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段PM ，设小货船航行速度为v，水流的速度为
v1，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为 v2，作出示意图如下：
PQ = 250 3m ，QM = 250m，在Rt PQ 250 3△PQM 中，有 tan PMQ = = = 3，
QM 250
r r
所以 PMQ
p p
= ， MPQ = ， v1, v
p p 2p
2 = + = ，
3 6 2 6 3
r r r
所以 v = v2 v1，
r r r
所以 v = v2 v1 2 r 2 r 2 r r 2p= v2 + v1 2v 2 21 × v2 = 5 + 3 2 5 3cos = 7，3
所以小货船航行速度的大小为7km/h ，
故选：C.
【变式 7-2】（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体 M 吊在水平杆子 AB 上.已知物体 M 的重力
大小为 20 牛，且 AOM =150°，在下列角度中，当角q 取哪个值时，绳OB承受的拉力最小.（）
A． 45° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
uuur uuur
【解析】作出示意图，设与物体M 平衡的力对应的向量为ON ，则 | ON |= 20，
uuur uuur uuur uuur
以ON 为对角线作平行四边形OPNQ，则ON = OP + OQ ， | OQ |是绳OB承受的拉力大小，
由 AOM =150°，得 AON = 30°，所以 ONQ = AON = 30° ，
ON OQ 20 OQ
△ ONQ 中，由正弦定理得 = =sin OQN sin ONQ ，即 sin(180° q ) sin 30° ，
uuur
| OQ | OQ 20sin 30° 10可得 = = =sin(180° q ) sinq ，
uuur
结合0° < q <180°，可知当q = 90°时， | OQ |达到最小值 10.
综上所述，当角q = 90°时，绳OB承受的拉力最小.
故选：C
【变式 7-3】在水流速度10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以10 3km/h的速度从河的南岸垂直到
达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　）
A．北偏西30°，20km/h
B．北偏西60°，10 2km/h
C．北偏东30°，10 2km/h
D．北偏东60°，20km/h
【答案】A
【解析】
uuur
如图，船从点 O 出发，沿OC 方向行驶才能使船垂直到达对岸，
uuur uuur uuur uuur
依题意，OA ^ OB， | OA |=10,| OB |=10 3 ，
uuur
uuur uuur uuur |OB | 3
则 |OC |= |OA |2 + |OB |2 = 20，则cos BOC = uuur = ，|OC | 2
因为 BOC 为锐角，故 BOC = 30°，
故船以20km/h 的速度，以北偏西30°的方向行驶，才能垂直到达对岸.
故选:A.
【变式 7-4】在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受
uur uur uur uur uur uur
的重力为G ，所受的两个拉力分别为F1 ，F2 ，且 | F1 |=| F2 |，F1 与F2 的夹角为q ，则以下结论不正确的是
（　　）
uur r
A． | F
1
1 |的最小值为 | G |2
B．q 的范围为[0, π]
π uur 2 rC．当q = 时，
2 | F1 |= | G |
2
2π uur r
D．当q = 时， | F1 |=| G |3
【答案】B
uur uur uur uur r uur uur
【解析】如图，对于选项 A：当F1 、F2 方向同向时，有 F1 + F2 = G，此时 | F1 |取得最小值，且 | F1 |最小值为
1 r| G |
2 ，
A 正确；
uur uur r
对于选项 B：当q = p 时，有 F1 + F2 = 0 ，行李包不会处于平衡状态，即q p ，B 错误；
uur uur r p
对于选项 C：当行李包处于平衡时， F1 + F2 = G，若q = ，2
uur uur r
则有 (F 2 21 + F2 ) = G ，变形得，
uur2 uur2 r uur r
F + F = G21 2 ，即 | F1 |
2
= | G |，C 正确；
2
q 2p
uur uur r uur r
对于 D 选项：若 = ，则有则有 (F + F )21 2 = G2 ，变形可得则有 | F1 |=| G |，D 正确，3
故选：B．
题型八：向量回路恒等式
【典例 8-1】如图，在平面四边形 ABCD中， | AC |= 3， | BD |= 4

，则 (AB+ DC) × (BC+ AD) = ．
【答案】 7

【解析】由题意得， AB+ DC = (AC+ CB) + (DB+ BC) = AC BD ，

BC+ AD = (BA+ AC) + (AB+ BD) = AC+ BD ，
因为 | AC |= 3， | BD |= 4，

从而 (AB+ DC) × (BC+ AD) =| AC |2 | BD |2 = 9 16 = 7 .
故答案为： 7 .
uuur
【典例 8-2】如图，在平面四边形 ABCD中，若 AC = 6， uuur uuur uuur uuur uuurAB + DC × AC + BD =11，则 BD = ．
【答案】5
【解析】由题意可得：
uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2AB + DC × AC + BD = AC + CB + DB + BC × AC + BD = AC BD × AC + BD = AC BD ，
uuur uuur uuur2 2
故36 BD =11，则BD = 25，即 BD = 5 .
故答案为：5.
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
向量回路恒等式： AB + CD = AD + CB
uuuv uuuv uuuv uuuv
【变式 8-1】如图，已知在四边形 ABCD中， AC = l1, BD = l2 ．则 AB + DC × BC + AD = ．
【答案】 l 21 l
2
2
【解析】
如图，设E, F ,G, H 分别为 AB, BC,CD, DA的中点．
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
则EG = EB + BC + CG ．又EG = EA + AD + DG，
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
故 2EG = EB + EA + BC + AD + CG + DG = BC + AD．
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
同理， 2HF = AB + DC ．又EG = EF + EH , HF = HE + HG，
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv则 AB + DC × BC + AD = 4EG × HF = 4 EF + EH × HE + HG
uuuv 2 uuuv 2 uuuv uuuv uuuv uuuv= 4 EF + EH + EH × HG + EF × HE = l 21 l 22 .
l 2故答案为 1 l
2
2
r r r r r r r r r r
1．（2024 年北京高考数学真题）设 a ，b 是向量，则“ a + b · a b = 0 ”是“ a = b或a = b ”的（）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
r r r r r r2 2 r r r r2 2
【解析】因为 a + b × a b = a b = 0，可得 a = b ，即 a = b ，
r r r r r r
可知 a + b × a b = 0等价于 a = b ，
r r r r r r r r r
若a = b或a = b，可得 a = b ，即 a + b × ar b = 0，可知必要性成立；
r r r r r r r若 ar b ar b 0 ar+ × = ，即 = b ，无法得出a = b或a = b，
r r r r r r r例如 a = 1,0 ,b r= 0,1 ，满足 a = b ，但 a b且 a b，可知充分性不成立；
ar r r r r r r r综上所述，“ + b × a b = 0 ”是“ a b且 a b ”的必要不充分条件.
故选：B.
r r r
2．（2024 年新课标全国Ⅰ r r卷数学真题）已知向量 a = (0,1),b = (2, x)，若b ^ (b 4a)，则 x =（）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】D
r
【解析】因为b ^ r r r r rb 4a ，所以b × b 4a = 0，
r2 r r
所以b 4a ×b = 0即 4 + x2 4x = 0，故 x = 2，
故选：D.
r r r r r r r r r
3．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 a,b满足 a =1, a + 2b = 2，且 b 2a ^ b，则 b = （）
A 1． 2 B
2 3
． C． D．1
2 2
【答案】B
r r r r r r【解析】因为 b 2a ^ b，所以 b 2a ×b = 0 r2 r r，即b = 2a ×b ，
r r r
又因为 a =1, a + 2b = 2，
r r r2 r2
所以1+ 4a ×b + 4b =1+ 6b = 4，
r
从而 b 2= .
2
故选：B.
r r
4．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量 a = x +1, x ,b = x, 2 ，则（）
r r r r
A．“ x = 3”是“ a ^ b ”的必要条件 B．“ x = 3”是“ a / /b ”的必要条件
r r r r
C．“ x = 0 ”是“ a ^ b ”的充分条件 D．“ x = 1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分条件
【答案】C
r r r r
【解析】对 A，当 a ^ b时，则 a ×b = 0 ，
所以 x × (x +1) + 2x = 0，解得 x = 0或 3，即必要性不成立，故 A 错误；
r r r r
对 C，当 x = 0时， a = 1,0 ,b = 0,2 ，故 a ×b = 0 ，
r r
所以 a ^ b，即充分性成立，故 C 正确；
r r
对 B，当 a / /b时，则 2(x +1) = x2 ，解得 x =1± 3 ，即必要性不成立，故 B 错误；
2 r r对 D，当 x = 1+ 3 时，不满足 2(x +1) = x ，所以 a / /b不成立，即充分性不立，故 D 错误.
故选：C.
r r r r
5．（2023 年北京高考数学真题）已知向量 ar，b 满足 a
r
+ b = (2,3), ar r b = ( 2,1)，则 | a |2 | b |2 =（）
A． 2 B． 1 C．0 D．1
【答案】B
r r r
【解析】向量 ar,b 满足 ar + b = (2,3), ar b = ( 2,1)，
r r r r r r
所以 | a |2 | b |2 = (a + b) × (a b) = 2 ( 2) + 3 1 = 1.
故选：B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
1．已知VABC 的外接圆圆心为O，且 2AO = AB + AC ， AO = AB ，则向量BA在向量BC 上的投影向量为
（）
1 uuur 3 uuur 1 uuur uuurA． BC B． BC C． BC D 3．4 4 BC4 4
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】设 AB 中点为D，则 2AO = AB + AC = 2AD，即 AO = AD，故BC边为圆O的直径，
uuur uuur uuur uuur
则 AO = OB ，又 AO = AB ，则VABO 为正三角形，
uuur 1 uuur
则有 BA = BC ，
2
uuur
uuur uuur uuur BC 1 uuur
向量BA在向量BC 上的投影向量 BA cos60° uuur = BCBC 4 ，
故选：A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur ABuug2．已知非零向量 AB 与 AC 满足 u
Br C CAuuguBrC uAuBur g uAuCur 1= 且 = 2 ，则VABC 为（）| AB | | AC | | AB | | AC |
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【答案】D
uuur uuur uuur uuur
VABC ABuuguBr C CA【解析】中， = uu
guBrC ，
| AB | | AC |
uuur uuur uuur uuur
\ uuAurBgBCuuur C= uuurAgBCuuur ，
| AB | | BC | | AC | | BC |
uuur uuur uuur uuur
\cos < AB ， BC >= cos < CA， BC >，
\B = C ，VABC 是等腰三角形；
uuur uuur
又 u
AuBur g uAuCur 1= ，
| AB | | AC | 2
1 1 cos A 1\ =
2 ，
\cos A 1= p， A =
2 3
，
∴ VABC 是等边三角形.
故选：D.
3．已知 O，N，P 在DABC 所在平面内，且 OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0，且
PA PB = PB PC = PC PA，则点 O，N，P 依次是DABC 的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
【答案】C
uuur uuur uuur
【解析】因为 OA = OB = OC ，所以O到定点 A, B,C 的距离相等，所以O为DABC 的外心，由
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuv uuuv
NA + NB + NC = 0，则 NA + NB = NC ，取 AB 的中点E ，则 NA + NB = 2 NE = CN ，所以 2 NE = CN ，所
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuur uuur uuur uuur uuur
以 N 是DABC 的重心；由 PA PB = PB PC = PC PA，得 (PA PC) × PB = 0，即 AC × PB = 0，所以 AC ^ PB，
同理 AB ^ PC ，所以点 P 为DABC 的垂心，故选 C.
考点：向量在几何中的应用.
uuuv uuuv
4．如图，在eC 中，是不是只需知道eC 的半径或弦 AB 的长度，就可以求出 AB × AC 的值？
【解析】只与弦 AB 的长度有关，与半径无关.理由如下：
设eC 的半径为 r，AB 的长度为 2a，取 AB 的中点 D，连接 CD，则CD ^ AB .
在Rt△ACD 中， AD = a, AC = r, cos CAD
a
= ，
r
uuur uuur
AB a\ × AC = 2a × r ×cos CAD = 2ar × = 2a2 .
r
r r r r r r
5．已知 a = 4, b = 3, (2a 3b) × (2a + b)
r
= 61 r，求 a与b 的夹角q .
r r r r
【解析】因为 a = 4, b = 3, (2a
r r
3b) × (2a + b) = 61，
4 ar 2 r
r r 2
所以 4a ×b 3 b = 61，
r r r r
即64 4a ×b 27 = 61，所以 a ×b = 6 ，
r r
因此 cosq
a ×b 1
= r r = a b 2 ，
r r
所以 a与b 的夹角q 为120o .
6．如图，在VABC 中，已知 AB = 2, AC = 5, BAC = 60° ，BC，AC 边上的两条中线 AM，BM 相交于点 P，
求 MPN 的余弦值.
【解析】∵M，N 分别是 BC，AC 的中点，
uuuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
\ AM = (AB AC), BN AN AB 1+ = = AC AB .
2 2
uuuur uuur
uuuur uuur
MPN , cos MPN uAuuMur × BuuNQ AM 与BN 的夹角等于 \ = ur .| AM || BN |
uuuur uuur 1 uuur uuur uuur uuurQ AM × BN = (AB + AC) 1× AC AB

2 è 2 ÷
1 uuur uuur uuurAB AC 1 AB 1
uuur2 uuur uuur
= × + AC 1 AB × AC 1 1 1= 2 5 cos 60° 22 + 52 = 3，
4 2 4 2 4 2 4
uuuur 1 uuur2 uuur uuur uuur2| AM |= AB + 2AB AC AC 1× + = 2 1 2 394 4 2 + 2 2 5 + 5 ÷ = ，è 2 2
uuur uuur2 uuur uuur uuur2
| BN | 1= AC AC × AB + AB 1= 52 2 1 5 + 22 21= ，
4 4 2 2
\cos MPN 3 4 91= =
39 21 91 ．

2 2
7．一条河的两岸平行，河的宽度 d = 500m ，一般船从河岸边的 A 处出发到河对岸.已知船在静水中的速度
v1的大小为 v1 =10km / h，水流速度 v2的大小为 v2 = 2km / h .如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距
离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最
短.
【解析】设 v1与 v2的夹角为q ，船行驶的时间为 t, d = 500m = 0.5km .
d 0.5 0.05
（1）当q 为钝角时， t1 = = = hsin(p q ) v1 10sinq sinq
；
t d 0.5 0.05（2）当q 为锐角时， 2 = = = hsinq v1 10sinq sinq
；
d 0.5
（3）当q 为直角时， t3 = = = 0.05hv1 10
；
当q 为钝角时，0 < sinq <1, t1 > 0.05h = t3 ，
当q 为锐角时，0 < sinq <1, t2 > 0.05h = t3 .
所以当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.
易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错
易错分析：（1）解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知角之间
r r r r r r
的关系是互补还是相等．（2）向量 a,b 的数量积 a ×b 与代数中 a ， b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的
“ ”．
uuur uuur
【易错题 1】在VABC 中， a = 5，b = 8， c = 7，则BC ×CA的值为 .
【答案】-20
【解析】QVABC 中， a = 5，b = 8， c = 7，
2 2 2
\cosC a + b c 25 + 64 49 1= = =
2ab 2 5 8 2
QC (0,p )，\C
p
=
3
uuur uuur
因此， BCgCA = abcos(p C) = 5 8 cos
2p
= 20
3
故答案为： 20
r r r r
【易错题 2】已知 b = 3, a
r r 1
在b 上的投影向量为 b ，则 a ×b 的值为 .2
9
【答案】
2
r r
【解析】设 a与b 的夹角为q ，
r
Q ar
r
cosq br 1 r 1 1 r 3 r
r r r 3 9
= b ,\ a cosq r = ,\ a cosq = ,\a ×b = a b cosq = 3 =
b 2 b 2 2 2 2 .
9
故答案为：
2
答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积
1、模板解决思路
通过定义法求解本模板问题时，要将待求数量积的向量用已知模和夹角的向量表示出来，再运算求解．
2、模板解决步骤
r r
第一步：根据条件，把向量 a,b 用已知模和夹角的向量表示出来．
r r r r
第二步：将 a,b 的表示式代入 a ×b ，再根据定义法求数量积．
第三步：进一步求解相关问题．
π uuur uuur uuur uuur
【经典例题 1】已知在边长为 2 的菱形 ABCD中， DAB = ，点E 满足BE = 3EC ，则 AC × AE = .3
21
【答案】
2
uuur uuur
【解析】如图，设 AC 与BD交于点O，过点E 作BD的平行线交 AC 于点F .因为BE = 3EC ，
uuur uuur uuur uuur uuur
所以FC
1 OC 1 7= = AC ，所以 AF = AC ，
4 8 8
因为四边形 ABCD
π
是边长为 2 的菱形， DAB = ，
3
uuur uuur uuur
所以 AC = 2 3，且EF ^ AC ，所以 AE在 AC 上的投影向量为 AF ，
uuur uuur uuur uuur uuur2
所以 AC AE AC AF
7 AC 21× = × = = .
8 2
21
故答案为：
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【经典例题 2】如图，在△ABC 中， | AB + AD |=| AB AD |，BC = 2 BD， | AD |= 2，则 AC × AD = ．
【答案】 4 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】由 | AB + AD |=| AB AD | ,可知 | AB + AD |2 =| AB AD |2，
uuur uuur uuur uuur
\ AB × AD = 0 ,则 AB ^ AD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AC × AD = (AB + BC) × AD = AB × AD + BC × AD = BC × AD
uuur uuur uuur
= 2BD × AD = 2 | AD |2 = 4 2
故答案为： 4 2 ．第 02 讲平面向量的数量积及其应用
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：平面向量的数量积 .............................................................................................................4
知识点 2：数量积的运算律 .................................................................................................................4
知识点 3：数量积的性质 .....................................................................................................................5
知识点 4：数量积的坐标运算 .............................................................................................................5
解题方法总结 ........................................................................................................................................6
题型一：平面向量的数量积运算 ........................................................................................................7
题型二：平面向量的夹角问题 ............................................................................................................7
题型三：平面向量的模长 ....................................................................................................................8
题型四：平面向量的投影、投影向量 ................................................................................................9
题型五：平面向量的垂直问题 ..........................................................................................................10
题型六：建立坐标系解决向量问题 ..................................................................................................11
题型七：平面向量的实际应用 ..........................................................................................................13
题型八：向量回路恒等式 ..................................................................................................................15
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................16
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................17
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................18
易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错 ......................................................................18
答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积 ..............................................................................19
考点要求考题统计考情分析
平面向量数量积的运算、化简、证明及数量
积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考
2024 年 I 卷第 3 题，5 分的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出
2024 年 II 卷第 3 题，5 分现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函
（1）平面向量的数量积
2023 年 I 卷第 3 题，5 分数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工
（2）平面向量数量积的
2023 年 II 卷第 13 题，5 分具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇
几何意义
2023 年甲卷（理）第 4 题，5 分点，务必引起重视．
2022 年 II 卷第 4 题，5 分预测命题时考查平面向量数量积的几何意义
及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合
的解答题也是热点．
复习目标：
（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义
（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系．
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
知识点 1：平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
r r r r r
已知两个非零向量 ar b | ar与，我们把数量 || b | cosq 叫做 ar b r r与的数量积（或内积），记作 a ×b ，即 a ×b
= | ar
r
|| b | cosq ，规定：零向量与任一向量的数量积为 0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
r r
①向量的投影： | a | cosq r叫做向量 a 在 b 方向上的投影数量，当q 为锐角时，它是正数；当q 为钝角
时，它是负数；当q 为直角时，它是 0．
r r r r
a b r
r r r r
② × 的几何意义：数量积 a ×b 等于 a 的长度 | a | 与b 在 a 方向上射影 | b | cosq 的乘积．
r r③ a b r
r uuur r uuur r uuur
设，是两个非零向量，它们的夹角是q ,e 与b 是方向相同的单位向量， AB = a,CD = b ，过 AB
uuur uuuur r
的起点 A和终点 B ，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1, B1 ，得到 A1B1 ，我们称上述变换为向量 a
r uuuur r
向向量b A B ar r r投影， 1 1 叫做向量在向量b 上的投影向量．记为 | a | cosqe ．
uuur uuur
【诊断自测】（2024·安徽安庆·三模）已知线段 AB 是圆O的一条长为 4 的弦，则 AO × AB =（）
A．4 B．6 C．8 D．16
知识点 2：数量积的运算律
r r r
已知向量 a 、b 、 c 和实数l ，则：
r r r r
① a ×b = b × a；
r r r r r r
② (la) × b = l(a ×b) = a × (lb)；
r r r r r r r
③ (a + b) × c = a × c + b × c ．
uuur uuur
【诊断自测】（2024·四川雅安·模拟预测）在VABC 中， AB = 4 ， AC = 3，且 AB ^ AC ，则
uuur uuur
AB × BC =（）
A．16 B． 16 C． 20 D． 20
知识点 3：数量积的性质
r r r
设 a 、b
r r r
都是非零向量， e 是与b 方向相同的单位向量，q 是 a 与 e 的夹角，则
r r r r r r r r r
① e × a = a × e =| a | cosq ．② a ^ b a ×b = 0．
r r r r r r r r r r r r
③当 a 与b 同向时， a ×b =| a || b |；当 a 与b 反向时， a ×b = | a || b |．
r r r r r r
特别地， a × a =| a |2 或 | a |= a × a ．
r r r r r r r r
④ cosq a ×b= r r (| a || b | 0) ．⑤ | a ×b |≤| a || b |．
| a || b |
r π π
【诊断自测】（2024·西藏·模拟预测）已知向量 a = cos a + ÷ ,sin3
a +
3 ÷÷
，
è è è
r 5π 5π r r r rb = cos a + ÷ ,sin a + ÷÷．若 2a + b ^ a + xb ，则实数 x 的值是（6 6 ）è è è
1
A． 2 B． C 1．
2 2
D．2
知识点 4：数量积的坐标运算
r r r r
已知非零向量 a = (x1 ，y1) ，b = (x2 ，y2 ) ，q 为向量 a 、b 的夹角．
结论几何表示坐标表示
r r r r
模 | a |= a × a | a |= x2 + y2
r r r r r r
数量积 a ×b =| a || b | cosq a ×b = x1x2 + y1 y2
r r
cosq a ×b
x1x2 + y1 y2
夹角 = r r cosq = x2 + y2 × x2 + y2| a || b | 1 1 2 2
r r
a ^ b 的充要 r r
a ×b = 0 x1x2 + y1 y2 = 0
条件
r r
a∥b 的充要 r r r r
a = lb（b 0） x1 y2 x2 y1 = 0
条件
r r r r
r r | a ×b | | a || b |（当
| a ×b |与
r r | x1x2 + y1 y2 |≤
r r 且仅当 a∥b 时等号成 x2 + y2 × x2 + y2| a || b | 的关系 1 1 2 2
立）
r r r r r
【诊断自测】已知平面向量 a = 1, 3 ,b = 3,1 ，且 a ^ b la ，则实数l 的值为（）
A 2 3． B 3． C 1． 2 D
3
．
3 2 3
解题方法总结
r
（1）b ar在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于 0．
r r r r r r r r r r r
（2）数量积的运算要注意 a = 0 时， a ×b = 0 ，但 a ×b = 0 时不能得到 a = 0 或 b = 0 ar，因为 ^ b 时，
ar
r
也有 ×b = 0 ．
r rr r r r r
（3）根据平面向量数量积的性质： | a |= ar ar cosq a ×b× ， = r r ， a ^ b a ×b = 0等，所以平面向量| a || b |
数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若 a、 b 、 c 是实数，则 ab = ac b = c （ a 0）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量
r r
ar b cr ar b ar r r
r
c a 0 b = cr、、满足 × = × （），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时
乘以一个向量．
r r r r
（5）数量积运算不适合结合律，即 (a ×b) r r× c a × (b cr) r r r× ，这是由于 (a ×b) × c 表示一个与 c 共线的向量，
r r r ra × (b cr) ar r r r r r r× 表示一个与共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此 (a ×b) × c 与 a × (b × c) 不一定相等．
题型一：平面向量的数量积运算
r r r r r r
【典例 1-1】设平面向量 a = (1,3) ， | b |= 2，且 | a b |= 10 ，则 2ar r+ b · a b =（）
A．1 B．14 C． 14 D． 10
uuur uuur
【典例 1-2】在RtVABC 中， C = 90°， AB = 4 ， AC = 2，O为VABC 的外心，则 AO × BC =（）
A．5 B．2 C． 4 D． 6
【方法技巧】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量
数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
r
ar | ar
r
= 2 b |= 3 ar
r π
【变式 1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量，b 满足，，且与b 的夹角为，6
则 r rar + b r× 2a b =（）
A．6 B．8 C．10 D．14
r
ar 6 b 3 r r r1-2 = = a b 4e ar
r
【变式】已知，，向量在方向上投影向量是，则 ×b 为（）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【变式 1-3】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知边长为 1 的正方形 ABCD，点 E，F 分别是 BC，CD 的中
uuur uuur
点，则 AE × EF = （）
3 1 3 1
A． B． C． D．
4 4 4 4
【变式 1-4】（2024·陕西安康·模拟预测）菱形 ABCD的边长为 2, DAB = 60o，以 D为圆心作圆且与
uuur uuur
AQ × AE
AB 相切于E,Q是eD与CD的交点，则 uuur =AE .
uuur 1 uuur
【变式 1-5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知VABC 是边长为 1 的正三角形， AN = NC, P 是BN 上一
3
uuur uuur 2 uuur uuur uuur
点且 AP = mAB + AC ，则 AP × AB = （）9
A 2
1
． 9 B C
2
．．
9 3
D．1
题型二：平面向量的夹角问题
r r r r
【典例 2-1 r】（2024·陕西安康·模拟预测）已知单位向量 a,b 满足 a 3b
r
= 3，则 cos a,b = .
r 3 r r
【典例 2-2】（2024· r陕西·二模）已知 a = 1, ÷÷ ,b = 1, 3 ，则向量 a,b 的夹角的余弦值为 .
è 2
【方法技巧】
r r r r r
r
求夹角，用数量积，由 a ×b =| a | × | b | cosq 得 cos a ×b x x + y yq = r r = 1 2 1 2 ，进而求得| a | × | b | x 2 + y 21 1 x
2 + y 22 2
r r
向量 a ,b 的夹角．
r r r r r r r r
【变式 2-1】（2024·江西宜春·三模）已知 a，b 均为非零向量，若 | 2a b |=| b |= 2 | a |，则 a与b 的夹角
为．
r r r
【变式 2-2】已知 a = 2,1 ,b r= k, 2 ,k R,a 与b 的夹角为q ．若q 为钝角，则 k 的取值范围是．
ur uur π ur uur ur uur
【变式 2-3】（2024·高三·天津宁河·期末）已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为，则向量 e1 + 2e2 与 2e1 3e3 2
的夹角为．
r r r r r
【变式 2-4】（2024·四川绵阳·模拟预测）平面向量 a与b 相互垂直，已知a = (6, 8) ， | b |= 5，且b 与
r
向量 (1,0)的夹角是钝角，则b = .
r r r r r r r r r
【变式 2-5】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知非零向量 a,b满足 2 a = b ，且 a ^ a b ，则 a，b的夹
角大小为．
r r r r r r
【变式 2-6】（2024·上海·模拟预测）已知向量 a，b ， c 满足 a
r
= b = 1 cr = 2 ar b cr，，且 + + = 0，
cos ar
r
则 c
r,b r c = ．
题型三：平面向量的模长
r r r r r
【典例 3-1】（2024·重庆· ar模拟预测）已知向量，b 满足 a =1，b = 3
r
，a b = 2, 6 r，则 3a + b =
r r r r r
【典例 3-2】（2024·浙江温州·二模）平面向量 ar,b 满足 a = 2,1 ar P b r，， a ×b = 10 ，则 b = ．
【方法技巧】
r r
求模长，用平方， | a |= a2 ．
r r r r
【变式 3-1】（2024·安徽池州·模拟预测）已知向量 a = 4, 2 ，b = 2,l ，且 a与b 共线，则
r r3a + 2b = .
3-2 r
r r r r r r
【变式】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量m ， n满足 m =1， n = 2，且 m n ^ m，则
mr nr =（）
A．1 B． 3 C． 7 D．2
r r π r r r
【变式 3-3】（2024·高三·上海奉贤·期中）已知平面向量 a，b 的夹角为，若 a =1, 2a b = 10 ，则4
r
b 的值为 .
题型四：平面向量的投影、投影向量
【典例 4-1】（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在直线 x + 2y +1 = 0上.若向
r uuur r
量 a = 1,2 ，则OP 在 a上的投影向量为（）
1 , 2 1 , 2 A． B．
è 5 5 ÷ è 5 5 ÷
5 2 5
C． , ÷÷ D． 1, 2
è 5 5
【典例 4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形 ABCD中， AD / /BC 且BC = 2AD, AB ^ AD, AC 与BD
uuur uuur
交于点O，则向量BO在向量BA上的投影向量为（）
1 uuur 1 uuur uuur uuur
A． BA B． BA
2
C． BA
3
D． BA
2 3 3 4
【方法技巧】
r r r r uuur r uuur r uuur
设 a ， b 是两个非零向量，它们的夹角是q ,e 与 b 是方向相同的单位向量， AB = a,CD = b ，过 AB 的
uuur uuuur
起点 A和终点 B ，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A1, B1 ，得到 A
r
1B1 ，我们称上述变换为向量 a 向
r uuuur
b A B ar
r
向量投影， 1 1 叫做向量在向量b
r
上的投影向量．记为 | a | cosqer ．
r r r r r
【变式 4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量 a,b满足 a = 2,b = 3,0 , ar b = 10 ，则向量
r r
a在向量b 方向上的投影向量为（）
1 ,0 1A． ÷ B． ,0
1
÷ C． ,0÷ D． 1,0 è 6 è 3 è 2
r r
【变式 4-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知向量 a = r r3, 4 ，b = 2,0 ，则 a在b 上的投影向量为
（　　）
3
A． ,0

÷ B． 3,0 C． 2,0 D． 6,0
è 2
uuur uuur uuur uuur uuur
【变式 4-3】在三角形 ABC
uuur
中，若 AB × AC = 0, BC = 2BO，则向量 AO 在向量 AB 上的投影向量
为 .
r r 5π r r r r r r
【变式 4-4】已知向量 a与 b 的夹角为， a = 3 b ，设 b a在 a上的投影向量为la ，则 l =（）6
3 1 3
A． B． C 1． D．
2 2 2 2
x2 y2
【变式 4-5】已知双曲线C : 2 2 = 1(a > 0,b > 0)的左右焦点分别为 B，C，以 BC 为直径的圆与渐近线a b
uuur uuur
交与点 A，连接 AB 与另一条渐近线交与点 E，O为原点，OE //AC ，且 AC = 2 .若BA在BC 上的投影向量
3 uuur uuur uuur
为 BC ，则
4 AO × BC =
（）
A． 4 B． 2 3 C． - 2 D． 3
题型五：平面向量的垂直问题
5-1 2024· · ar
r r
【典例】（西藏林芝模拟预测）已知向量 = (x,3),b = (2, x 5) r+ ，若 a ^ (ar b)，则 x =（）
A．2 或 3 B． 2或 3 C．1 或 6 D． 1或 6
r r r r
【典例 5-2】（2024· r甘肃张掖·模拟预测）已知向量 a,b 满足 a = b = 1 ar，且 ^ b ，若
r rlar + b ^ ar + mb ，则（）
A．l + m = 0 B．l + m = 1
C．lm = 1 D．lm = 0
【方法技巧】
r r r a ^ b ar ×b = 0 x1x2 + y1 y2 = 0
ar
r r r
【变式 5-1】（2024· r r辽宁·模拟预测）若，b 是夹角为60° 的两个单位向量，la + b 与 2a b 垂直，则
l =（）
A．0 B．2 C． 1 D． 2
ur uur r ur uur
【变式 5-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知 e1 ， e2 是单位向量，且它们的夹角是60°，若 a = 2e1 + e2 ，
r ur uur r r
b = le1 e2 ，且 a ^ b，则l =（）
2 4
A． B． C．1 D． 2
5 5
r r r r r r
【变式 5-3】（2024·重庆·模拟预测）已知 | a |=1,| b |= 2，且 a与b 不共线，若向量ar + kb r与a kb 互相
垂直，则实数 k 的值为（）
1 1
A． B 1． 2 C．± D．±22 2
题型六：建立坐标系解决向量问题
【典例 6-1】（2024·全国·模拟预测）已知在菱形 ABCD 中， AB = BD = 6，若点 M 在线段 AD 上运动，
uuur uuuur
则BC × BM 的取值范围为．
uuur uuur uuur
【典例 6-2】如图，已知正方形 ABCD的边长为3，且2BC = 3BE + AB，连接 BE 交CD于 F ，则
uuur uuur 1 uuur uuurCA + 2BF × CA 4BF ÷ =
è 3
【方法技巧】
y a 3 y y
C ( 2 , 2 a)
y
D (0, a) C(a,a)
C (bcosθ，bsinθ) D (0,b) C(a,a)
θ
x
A B (a, 0) x A B (a, 0)
x x
A B (a, 0) A B(a, 0)
边长为 a的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形
y y
y y
D(bcosθ，bsinθ) C(a+bcosθ，bsinθ) (0，asinθ)
D C(a-acosθ，asinθ) D(bcosθ,bsinθ) C(a-bcosθ,bsinθ) A(rcosθ,rsinθ)
x
O
θ x x
A B(a, 0) A B(a, 0) A
x
B(a, 0)
平行四边形直角梯形等腰梯形圆
【变式 6-1】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介
绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形 ABCD, EFGH 均为正方形，
uuur uuur
AD = AE = 2，则FB × AH = .
uuur uuur 1
【变式 6-2】（2024·天津·二模）已知菱形 ABCD边长为 1，且 AB × AD = , E 为线段 AD 的中点，若
2
uuur uuur uuur
F 在线段CE上，且BF = lBA
5
+ BC ，则l = ，点G 为线段 AC 上的动点，过点G 作BC 的平行线交
6
uuuur uuuur uuur
边 AB 于点M ，过点M 做BC 的垂线交边BC 于点 N ，则 MG + MN × MF 的最小值为 .
【变式 6-3】窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意
蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓 ABCD 是边长为 50cm 的
正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为 10cm 的小正方形 EFGH 拼接而成，则
tan HAB = ．
uuur uuur uuur
【变式 6-4】如图，正八边形 ABCDEFGH 中，若 AE = l AC + m AF l，m R ，则l + m 的值为．
题型七：平面向量的实际应用
r r r
【典例 7-1】（2024·高三·广东汕头· r期末）设 a表示向东走了 10 km，b 表示向南走了 5 km，则a + 2b
所表示的意义为（）
A．向东南走了10 2 km B．向西南走了10 2 km
C．向东南走了5 6 km D．向西南走了5 6 km
【典例 7-2】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了
ur ur ur ur
一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W = F × S （其中W 是功， F 是力， S 是位移）
uur uur
一物体在力F1 = 2,4 和F2 = 5,3 的作用下，由点 A(1,0)移动到点B 2,4 ，在这个过程中这两个力的合力
对物体所作的功等于（）
A．25 B．5 C． 5 D． 25
【方法技巧】
用向量方法解决实际问题的步骤
【变式 7-1】一条东西方向的河流两岸平行，河宽 250 3m，河水的速度为向正东3km/h．一艘小货船
准备从河南岸码头 P 处出发，航行到河对岸 Q（ PQ与河的方向垂直）的正西方向并且与 Q 相距 250m 的码
头 M 处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5km/h，则当小货船的航程最短时，小
货船航行速度的大小为（）
A．3 3km/h B．6km/h C．7km/h D．3 6km/h
【变式 7-2】（2024·广东梅州·二模）如图，两根绳子把物体 M 吊在水平杆子 AB 上.已知物体 M 的重力
大小为 20 牛，且 AOM =150°，在下列角度中，当角q 取哪个值时，绳OB承受的拉力最小.（）
A． 45° B．60° C．90° D．120°
【变式 7-3】在水流速度10km/h 的自西向东的河中，如果要使船以10 3km/h的速度从河的南岸垂直到
达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　）
A．北偏西30°，20km/h
B．北偏西60°，10 2km/h
C．北偏东30°，10 2km/h
D．北偏东60°，20km/h
【变式 7-4】在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受
uur uur uur uur uur uur
的重力为G ，所受的两个拉力分别为F1 ，F2 ，且 | F1 |=| F2 |，F1 与F2 的夹角为q ，则以下结论不正确的是
（　　）
uur
| F | 1
r
A． 1 的最小值为 | G |2
B．q 的范围为[0,π]
q π
uur r
C．当 = 2时， | F |= | G |
2 1 2
q 2π
uur r
D．当 = 时， | F
3 1
|=| G |
题型八：向量回路恒等式

【典例 8-1】如图，在平面四边形 ABCD中， | AC |= 3， | BD |= 4，则 (AB+ DC) × (BC+ AD) = ．
uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur
【典例 8-2】如图，在平面四边形 ABCD中，若 AC = 6， AB + DC × AC + BD =11，则 BD = ．
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
向量回路恒等式： AB + CD = AD + CB
uuuv uuuv
【变式 8-1】如图，已知在四边形 ABCD中， AC = l1, BD = l2 ．则 AB + DC
uuuv uuuv
× BC + AD = ．
r r r r r r r r
1．（2024 年北京高考数学真题）设 a，b 是向量，则“ ar + b · ar b = 0 ”是“ a = b或a = b ”的（）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
r r r r2．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量 a = (0,1),b = (2, x)，若b ^ (b 4ar)，则 x =（）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
r r r r r r r r r
3．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 a,b满足 a =1, a + 2b = 2，且 b 2a ^ b ，则 b = （）
A 1 B 2 C 3． 2 ．． D．12 2
r r
4．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量 a = x +1, x ,b = x, 2 ，则（）
r r r r
A．“ x = 3”是“ a ^ b ”的必要条件 B．“ x = 3”是“ a / /b ”的必要条件
r r r r
C．“ x = 0 ”是“ a ^ b ”的充分条件 D．“ x = 1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分条件
r r r r
5 r r r r．（2023 年北京高考数学真题）已知向量 a，b 满足 a + b = (2,3), a b = ( 2,1)，则 | a |2 | b |2 =（）
A． 2 B． 1 C．0 D．1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
1．已知VABC 的外接圆圆心为O，且 2AO = AB + AC ， AO AB
uuur
= ，则向量BA在向量BC 上的投影向量
为（）
1 uuur uuur uuur uuur
A． BC
1
B 3． BC C． BC D 3．4 4 BC4 4
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
ABgBC CAgBC A
2．已知非零向量 AB 与 AC 满足 uuur = uuur 且 uu
Bur g uAuCur 1=
| AB | | AC | | AB | | AC | 2
，则VABC 为（）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
3．已知 O，N，P 在DABC 所在平面内，且 OA = OB = OC , NA + NB + NC = 0，且
PA PB = PB PC = PC PA，则点 O，N，P 依次是DABC 的（）
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
uuuv uuuv
4．如图，在eC 中，是不是只需知道eC 的半径或弦 AB 的长度，就可以求出 AB × AC 的值？
r r r r r r
5．已知 a = 4, b = 3, (2a 3b) × (2a
r
+ b) = 61 r，求 a与b 的夹角q .
6．如图，在VABC 中，已知 AB = 2, AC = 5, BAC = 60° ，BC，AC 边上的两条中线 AM，BM 相交于点 P，
求 MPN 的余弦值.
7．一条河的两岸平行，河的宽度 d = 500m ，一般船从河岸边的 A 处出发到河对岸.已知船在静水中的速度
v1的大小为 v1 =10km / h，水流速度 v2的大小为 v2 = 2km / h .如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距
离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最
短.
易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错
易错分析：（1）解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知角之间
r r r r r
的关系是互补还是相等．（2）向量 a,b 的数量积 a r×b 与代数中 a ， b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的
“ ”．
uuur uuur
【易错题 1】在VABC 中， a = 5，b = 8， c = 7，则BC ×CA的值为 .
r r r r r
【易错题 2】已知 b = 3, a
r 1
在b 上的投影向量为 b ，则 a ×b 的值为 .2
答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积
1、模板解决思路
通过定义法求解本模板问题时，要将待求数量积的向量用已知模和夹角的向量表示出来，再运算求解．
2、模板解决步骤
r r
第一步：根据条件，把向量 a,b 用已知模和夹角的向量表示出来．
r r r r
第二步：将 a,b 的表示式代入 a ×b ，再根据定义法求数量积．
第三步：进一步求解相关问题．
π uuur uuur uuur uuur
【经典例题 1】已知在边长为 2 的菱形 ABCD中， DAB = ，点E满足BE = 3EC ，则 AC × AE = .3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【经典例题 2】如图，在△ABC 中， | AB + AD |=| AB AD |，BC = 2 BD， | AD |= 2，则 AC × AD = ．

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第02讲 平面向量的数量积及其应用（八大题型）（讲义）（含答案）第五章 平面向量与复数 2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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