资源简介

第 02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：四个公理.............................................................................................................................4
知识点 2：直线与直线的位置关系.....................................................................................................5
知识点 3：直线与平面的位置关系.....................................................................................................6
知识点 4：平面与平面的位置关系.....................................................................................................7
知识点 5：等角定理.............................................................................................................................7
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”............................................................8
题型二：截面问题..............................................................................................................................12
题型三：异面直线的判定..................................................................................................................20
题型四：异面直线所成的角..............................................................................................................23
题型五：平面的基本性质..................................................................................................................29
题型六：等角定理..............................................................................................................................31
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................34
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................37
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................39
易错点：空间点、线、面间的位置关系判断错误..........................................................................39
答题模板：异面直线所成的角..........................................................................................................41
考点要求 考题统计 考情分析
本节内容是高考命题的热点，重点关注异
（1）基本事实的应用 2023 年上海卷第 15 题，5 分 面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置
（2）空间位置关系的判 2022 年上海卷第 15 题，5 分 关系问题．对于空间几何体的点、线、面 的
断 2022 年 I 卷第 9 题，5 分 位置关系，除了题目难度逐步提升，还增加了
（3）异面直线所成的角 2021 年乙卷（文）第 10 题，5 分 截面问题，对考生的空间想象能力要求有所提
升，需要考生有更强大的逻辑推理能力．
复习目标：
（1）借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位
置关系的定义．
（2）了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
知识点 1：四个公理
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【诊断自测】在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，直线 A1C 与平面 AB1D1的交点为M ， A1C1与 B1D1交于点O，则
下列结论正确的是（ ）
A．A ，M ，O三点确定一个平面 B．A ，M ，O三点共线
C．D，D1，O，M 四点共面 D．A ，B1， B ，M 四点共面
【答案】B
【解析】如下图所示：
根据题意，连接 A1C1, AC ，则 A1C1 / / AC ，
所以 A1,C1,C, A四点共面，所以 A1C 面 ACC1A1 ，
又M A1C ，所以M 面 ACC1A1 ，
又M 面 AB1D，所以点M 在面 ACC1A1 与面 AB1D1的交线上面，
同理可得点O在面 ACC1A1 与面 AB1D1的交线上面，
所以A ，M ，O三点共线，
故 A 选项错误，B 选项正确；
由异面直线判定定理可知 C 选项中OM , DD1为异面直线，
故 C 选项错误；
由异面直线判定定理可知 D 选项中 AM , BB1为异面直线，
故 D 选项错误.
故选：B.
知识点 2：直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号 a I b = P a∥b a Ia = A,b a , A b
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平 两条异面直线不同在如
面 何一个平面内
【诊断自测】两条直线 a,b 分别和异面直线 c,d 都相交，则直线 a,b 的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线
【答案】D
【解析】已知直线 c与 d 是异面直线，直线 a与直线b 分别与两条直线 c与直线 d 相交于点 A, B,C, D ，
根据题意可得当点D与点 B 重合时，两条直线相交，当点D与点 B 不重合时，两条直线异面，
所以直线 a,b 的位置关系是异面或相交.
故选:D．
知识点 3：直线与平面的位置关系
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号 l a l Ia = P l ∥a
公共点个数 无数个 1 0
【诊断自测】四棱锥P - ABCD 如图所示，则直线 PC（ ）
A．与直线 AD 平行 B．与直线 AD 相交
C．与直线 BD 平行 D．与直线 BD 是异面直线
【答案】D
【解析】根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，可以判断直线 PC 与直
线 AD、直线 BD 是异面直线.
故选：D.
知识点 4：平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号 a ∥ b a I b = l a ^ b ，a I b = l
公共点个数 0 无数个公共点且都 无数个公共点且都在
在唯一的一条直线上 唯一的一条直线上
【诊断自测】下列说法正确的是（ ）
A．若直线 l, m, n两两相交，则直线 l, m, n共面
B．若直线 l, m与平面a 所成的角相等，则直线 l, m互相平行
C．若平面a 上有三个不共线的点到平面 b 的距离相等，则平面a 与平面 b 平行
D．若不共面的 4 个点到平面a 的距离相等，则这样的平面a 有且只有 7 个
【答案】D
【解析】对于 A 中，当直线 l,m, n交于同一点时，则直线 l,m, n可能不共面，所以 A 错误；
对于 B 中，当直线 l, m倾斜方向不同时，直线 l, m与平面a 所成的角也可能相等，所以 B 错误；
对于 C 中，当这 3 个点不在平面 b 的同侧时，平面a 与平面 b 相交，所以 C 错误；
对于 D 中，根据题意，显然这 4 个点不可能在平面a 的同侧，
当这 4 个点在平面a 两侧 1，3 分布时，这样的平面a 有 4 个，
当这 4 个点在平面a 两侧 2，2 分布时，这样的平面a 有 3 个，
所以这样的平面a 有且只有 7 个，所以 D 正确.
故选：D．
知识点 5：等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【诊断自测】已知空间中两个角a ， b ，且角a 与角 b 的两边分别平行，若a = 70°，则 b = ．
【答案】70°或110°
【解析】根据等角定理知：a = b 或a + b =180°，
若a = 70°，则 b = 70°或110° .
故答案为：70°或110°
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
【典例 1-1】如图，在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1中，M，N，P，Q 分别为棱 AB，BC， B1C1 ， A1B1 上的
点．已知 AB = 6， A1B1 = 3，B1Q = B1P =1，BM = BN = 4，正四棱台 ABCD - A1B1C1D1的高为 6．
证明：直线 MQ，BB1，NP 相交于同一点．
【解析】证明：在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1中，因为B1Q = B1P =1，BM = BN = 4，B1Q∥BM ，
B1P∥BN ，
所以四边形B1QMB ，B1PNB均为梯形，则直线 MQ 与BB1必相交，NP 与BB1必相交．
延长 MQ，BB1，NP，设 MQ 的延长线与BB1的延长线交于点 E，NP 的延长线与BB1的延长线交于点 F．
在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1中， AB / / A1B1 ， BC // B1C1，
EB1 QB1 1 FB1 PB1 1则 = = ， = = ，
EB MB 4 FB NB 4
得EB1 = FB1，所以点 E，F 重合，
即直线 MQ，BB1，NP 相交于同一点．
【典例 1-2】空间四边形 ABCD中，点M , N , P,Q分别在 AB,BC,CD,DA上，且
AM CN CP AQ
= = = = k
MB NB PD QD ．求证：
M , N , P,Q四点共面．
AM CN CP AQ
【解析】∵ = = = = kMB NB PD QD ，
所以QM / /BD ， NP / /BD ，得到QM / /PN ，
所以M , N , P,Q四点共面.
【方法技巧】
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【变式 1-1】在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^ BC, ACB
π
= ，侧棱长为 3，侧面积为
6 9 + 3 3
.
(1)求三棱锥B - A1B1C 的体积;
(2)若点 D、E 分别在三棱柱的棱CC1, BB1上，且CD > BE ，线段 A1E, A1D, DE 的延长线与平面 ABC 交于
F ,G, H 三点，证明：F ,G, H 共线.
【解析】（1）由题意知 2AB = AC, BC = 3AB，
所以该三棱柱的侧面积为 2AB + 3AB + AB BB1 = 9 + 3 3 = 3+ 3 3AB AB =1, BC = 3，
又 AB ^ BC，直三棱柱 ABC - A1B1C1中BB1 ^ AB，
且BC I BB1 = B, BC、BB1 平面BC1，
所以 AB ^平面BC1，
又 AB / / A1B1 ，所以 A1B1 ^平面BC1，
1 1
故三棱锥B - A1B1C 的体积为VB- A B C = VA -B = A B BC BB
3
= ；
1 1 1 1BC 3 1 1 2 1 2
（2）由基本事实的推论知两条相交直线共面，所以 A1, F ,G, E, D 平面 A1FG ，
又H ED, ED 平面 A1FG ，所以 H 平面 A1FG ，
而 H 平面 ABC ，平面 ABC I平面 A1FG = FG ，
所以H FG ，即F ,G, H 共线.
【变式 1-2】已知在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E、F 分别为D1C1、C1B1的中点， AC I BD = P，
A1C1 I EF = Q ．求证：
(1)D，B，F，E 四点共面；
(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P、Q、R 三点共线；
(3)DE、BF、CC1三线交于一点．
【解析】（1）证明：因为 EF 是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1．
在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以 EF ∥ BD ．
所以 EF、BD 确定一个平面，即 D、B、F、E 四点共面．
（2）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，设平面 AA1C1C 为a 、平面 BDEF 为 b ．
因为Q A1C1，所以Q a ．又Q EF ，所以Q b ．所以 Q 是a 与 b 的公共点．
同理，P 也是a 与 b 的公共点．所以a b = PQ ．
又 A1C b = R，所以R A1C ，R a ，且R b ．则R PQ ，
故 P、Q、R 三点共线．
（3）因为 EF ∥ BD 且EF < BD ，所以 DE 与 BF 相交，
设交点为 M，则由M DE ，DE 平面D1DCC1 ，得M 平面D1DCC1 ，
同理，点M 平面B1BCC1．又平面D1DCC1 平面B1BCC1 = CC1，
所以M CC1 ．所以 DE、BF、CC1三线交于一点 M．
【变式 1-3】如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 、F 分别是 B1C1 和C1D1的中点．
(1)证明：E 、F 、D、 B 四点共面；
(2)对角线 A1C 与平面BDC1 交于点O， AC, BD 交于点M ，求证：点C1,O,M 共线；
(3)证明： BE 、DF 、CC1三线共点．
【解析】（1）连接EF , BD, B1D1
Q在长方体 ABCD - A1B1C1D1中
\B1D1 / /BD
Q E 、F 分别是 B1C1 和C1D1的中点
\EF / /B1D1
\EF / /BD
\ E 、F 、D、 B 四点共面
（2）Q AA1 / /CC1
\ A, A1,C,C1 确定一个平面 AA1C1C
O A1C, A1C 面 AA1C1C
\O 面 AA1C1C
Q对角线 A1C 与平面BDC1 交于点O
\O 面BDC1
O在面 AA1C1C 与面BDC1 的交线上
Q AC BD=M
\M 面 AA1C1C 且M 面BDC1
\面 AA1C1C 面BDC1 =C1M
\O C1M
即点C1,O,M 共线.
（3）延长DF , BE交于G
QDG 面DCG
\G DG
\G 面DCG
QBE 面BCG
\G BE
\G 面BCG
Q面DCG 面BCG = CC1
\G CC1
\ BE 、DF 、CC1三线共点.
题型二：截面问题
【典例 2-1】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体 ABCD - A1B1C1D1外接球的体积为 4 3π，E 、F 、G 分
别为棱 AA1、A1B1、A1D1的中点，则平面EFG 截球的截面面积为（ ）
5π 4π 2π π
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】A
【解析】
设正方体 ABCD - A1B1C1D1外接球的半径为 R ，棱长为 a，
因为正方体 ABCD - A1B1C1D1外接球的体积为 4 3π，
4
所以 πR3 = 4 3π ，则
3 R = 3
，
2 2由3a = 2 3 ，得 a = 2，
设球心O到平面EFG 的距离为 h，平面EFG 截球的截面圆的半径为 r ，
设 A1到平面EFG 的距离为h ,
因为E 、F 、G 分别为棱 AA1、A1B1、A1D1的中点，
所以VEFG是边长为 2 的正三角形,
由V = V
1 1
A1 -EFG E- AFG ,得 S ×h = S × A E ,3 VEFG 3 VA1FG 1
1 1 3
则 2 2 h 1 1= 1 1 1 ,
3 2 2 3 2
1
解得 h 3= ,又OA1 = AC = 3 ,3 2
1
所以 A1到平面EFG 的距离为 h = OA3 1
，
h OA 1 OA R 1 R 2 3则 = 1 - 1 = - = ，3 3 3
2
2 2 2 2 2 3 r 5= R - h = 3 - ÷÷ = ，
è 3 3
所以平面EFG 截球的截面面积为， πr 2
5
= π .
3
故选：A.
【典例 2-2】（2024·四川泸州·三模）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，P 为DD1的中点，过 A，
B，P 三点作平面a ，则该正方体的外接球被平面a 截得的截面圆的面积为（ ）
16π 14π
A 13π． 5 B． C．3π D．5 5
【答案】D
【解析】正方体 ABCD - A1B1C1D1的外接球球心是BD1的中点O，而BD1 Ia = B ，
则点O到平面a 的距离 h等于点D1到平面a 的距离的一半，又平面a 过线段DD1的中点 P，
因此点D1与点D到平面a 的距离相等，由 AB ^平面 ADD1A1， AB a ，得a ^平面 ADD1A1，
在平面 ADD1A1内过D作 DE ^ AP 于E ，而a I 平面 ADD1A1 = AP，于是DE ^ a ，
1 1 AD × DP 1 1
又 AP = 22 +12 = 5 ，从而 h = DE = =2 2 AP ，又球
O的半径R = BD1 = 3 ，5 2
2 2 2 1 14
则正方体的外接球被平面a 截得的截面圆半径 r ，有 r = R - h = 3- = ，
5 5
2 14π
所以正方体的外接球被平面a 截得的截面圆的面积 S = πr = .
5
故选：D
【方法技巧】
（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们
的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实 3 作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
【变式 2-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点E 是线段BB1上靠近B1的三等分
点，点 F 是线段D1C1上靠近D1的三等分点，则平面 AEF 截正方体 ABCD - A1B1C1D1形成的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【解析】如图，设 AB = 6，分别延长 AE、A1B1 交于点G ，此时B1G = 3，
连接 FG 交 B1C1 于H ，连接EH ，
设平面 AEF 与平面DCC1D1 的交线为 l，则F l ，
因为平面 ABB1A1 / / 平面DCC1D1 ，平面 AEF 平面 ABB1A1 = AE ，平面 AEF 平面DCC1D1 = l ，
所以 l / / AE ，设 l I D1D = I ，则FI / / AE ，
FD I ABE ID = 4此时△ 1 ∽△ ，故 1 ，连接3 AI，
所以五边形 AIFHE 为所求截面图形，
故选：C．
【变式 2-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 为棱 BC 的中点，
用过点 A1，E，C1的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A．3 2 + 2 5 B．9 C． 2 2 + 2 5 D．3 2 + 2 3
【答案】A
【解析】
如图，取 AB 的中点 G，连接 GE， A1G ， AC ．
1
因为 E 为 BC 的中点，所以GE //AC ，GE = AC ，
2
又 AA1 //CC1 ， AA1 = CC1，
所以四边形 ACC1A1 为平行四边形，
所以 AC //A1C1， AC = A1C1，
所以 A1C1 //GE ， A1C1 = 2GE ，
所以用过点 A1，E，C1的平面截正方体，所得截面为梯形 A1C1EG ，
其周长为 2 2 + 5 + 2 + 5 = 3 2 + 2 5 ．
故选：A．
【变式 2-3】（2024·四川·模拟预测）设正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，与直线 A1C 垂直的平面a 截
该正方体所得的截面多边形为M ，则M 的面积的最大值为（ ）
3
A． 3
3
B． 3 C 3． D．
8 4 32
【答案】B
【解析】连结 A1B ，因为BC ^平面 ABB1A1， AB1 平面 ABB1A1，所以BC ^ AB1
且 AB1 ^ A1B ，BC, A1B 平面 A1BC ，所以 AB1 ^平面 A1BC ， A1C 平面 A1BC ，
所以 AB1 ^ A1C ，同理B1D1 ^ A1C ，且 AB1 I B1D1 = B1， AB1，B1D1 平面 AB1D1，
所以 A1C ^平面 AB1D1；
所以平面a 为平面 AB1D1或与其平行的平面，M 只能为三角形或六边形.
当M 3为三角形时，其面积的最大值为 ( 2)2 3= ；
4 2
当M 为六边形时，此时的情况如图所示，
设KD = x ，则 AK =1- x, KL = 2 1- x , KM = 2x，
依次可以表示出六边形的边长，如图所示：六边形可由两个等腰梯形构成，
其中 LP ∥ KO∥ MN , KO = 2 6 6，两个等腰梯形的高分别为 1- x ， x，
2 2
S 1 6 1 6则 LKMNOP = 2x + 2 × 1- x + 2 1- x + 2 × x ，六边形 2 2 2 2
3 2
= -2x2 + 2x +1) = - 3 x 1 3 3- ÷ +2 è 2 4
x 1 3当且仅当 = 时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最大，最大值为 3 .
2 4
【变式 2-4】已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，E 为C1D1的中点，F 为棱CC1上异于端点的动点，
若平面BEF 截该正方体所得的截面为五边形，则线段CF 的取值范围是（ ）
1 ,1 1 ,1 é1 , 2 0, 1A ù． ÷ B．3 è 2 ÷
C．
ê2 3 ÷
D．
è è 2ú
【答案】B
【解析】在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，平面BEF I平面CDD1C1 = EF ，
因为B 平面 ABB1A1，B 平面BEF ，平面CDD1C1 / /平面 ABB1A1，
则平面BEF 与平面 ABB1A1的交线过点 B ，且与直线EF 平行，与直线 A1B1 相交，
设交点为G ，如图所示，
又因为DD1 ^平面 ABCD， AA1 ^ 平面 ABCD，
即 C1EF , BGB1分别为EF ，GB 与平面 ABCD所成的角，
C F
因为EF / /GB 1，则 C1EF = BGB1 ，且有 = tan C1EF = tan BGB
B B
= 1
C E 1 B G ，当F 与C 重合时，平面1 1
1
BEF 截该正方体所得的截面为四边形，此时GA1 = GB1 = ，即G 为棱 A1B1 中点M ；2
当点F 由点C 向点C1移动过程中， C1EF 逐渐减小，点G 由点B1向点 A1方向移动；
当点G 为线段MA1 上任意一点时，平面BEF 只与该正方体的 4 个表而有交线，即可用成四边形；
当点G 在线段MA1 延长线上时，直线BG 必与棱 AA1交于除点 A1外的点，
又点F 与C1不重合，此时，平面BEF 与该正方体的 5 个表面有交线，截面为五边形，
如图所示．
因此．当F 为棱CC1上异于端点的动点，截面为四边形，点G 只能在线段MA1 （除点M 外）上，即
1 C F BB1 ×C1E 1 1< GB1 <1，可得 1 = =

0,
1
÷，则CF =1-C

2 BG 2BG 2 1
F ,1÷，
1 1 è è 2
1
所以线段CF 的取值范围是 ,12 ÷，è
1
所以若平面BEF 截该正方体的截面为五边形，线段CF 的取值范围是 ,12 ÷ .è
故选：B．
【变式 2-5】已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 4，M 为棱DC 的中点， N 为侧面BC1的中心，过点M
的平面a 垂直于DN ，则平面a 截正方体 AC1所得的截面周长为（ ）
A． 4 5 + 2 B． 2 5 + 8 2 C． 6 2 D．8 + 2 5
【答案】A
【解析】如图所示，取BC,CC1的中点E, F ，分别连接 NE, NF , DE, DF , AD1, D1M , AM ，
在正方形 ABCD中，因为M , E 分别为DC, BC 的中点，可得VADM∽VDCE ，
所以 DAM = CDE， AMD = CED，
因为 ADM = 90o，所以 AMD + CDE = 90o ，所以 DPM = 90o，即 AM ^ DE ，
又因为 E , N 分别为BC, BC1的中点，所以 NE / /CC1，
因为CC1 ^ 平面 ABCD， AM 平面 ABCD，所以CC1 ^ AM ，所以 AM ^ NE ，
又因为DE I NE = E 且DE, NE 平面DNE ，所以 AM ^ 平面DNE ，
因为DN 平面DNE ，所以 AM ^ DN ，同理可证：D1M ^ DN ，
又因为 AM I D1M = M 且 AM , D1M 平面 AD1M ，所以DN ^ 平面 AD1M ，
即平面a 截正方体 ABCD - A1B1C1D1的截面为△AD1M ，
由正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 4，
在直角VADD 中，可得 AD = AD2 + DD21 1 1 = 4
2 + 42 = 4 2 ，
在直角△ADM 中，可得 AM = AD2 + DM 2 = 42 + 22 = 2 5 ，
在直角VDD1M 中，可得D1M = DD
2
1 + DM
2 = 42 + 22 = 2 5 ，
所以截面的周长为 4 2 + 2 5 + 2 5 = 4( 5 + 2) .
故选：A.
【变式 2-6】（2024·四川宜宾·三模）已知 E，F 分别是棱长为 2 的正四面体 ABCD的对棱 AD, BC 的中
点.过EF 的平面a 与正四面体 ABCD相截，得到一个截面多边形 ，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形 不可能是平行四边形 B．截面多边形 的周长是定值
C．截面多边形 的周长的最小值是 2 + 6 D．截面多边形 的面积的取值范围是 é 1, 2 ù
【答案】D
【解析】对于 A，当平面a 过 AD或BC 时，截面为三角形.
易知正四面体关于平面 ADF 对称，将平面a 从平面 ADF 开始旋转与 AB 交于点G 时，
由对称性可知，此时平面a 与CD交于点H ，且 AG = DH ，
此时截面为四边形EGFH ，且注意到当G, H 分别为 AB,CD 的中点时，此时满足 AG = DH ，
且GF / / AC, AC / /EH ,GF = EH
1
= AC ，即此时截面四边形EGFH 是平行四边形，故 A 错误；
2
2
对于 BC，设 AG = m 0 m 2 1 3，由余弦定理得GE = m2 +1- m = m - ÷ + ，
è 2 4
2
GF 3 3= 2 - m 2 +1- 2 - m = m -

÷ + ，
è 2 4
1 3 3 3
由两点间距离公式知，GE + GF 表示动点 m,0 到定点 , 和 ,- 的距离之和，
è 2 2
÷÷ ÷÷
è 2 2
2 2
1 3 3 3
当三点共线时取得最小值 - ÷ + + ÷÷ = 2，è 2 2 è 2 2
由二次函数单调性可知，当m = 0或m = 2 时，GE + GF 取得最大值1+ 3，
所以截面多边形 周长的取值范围是 é 4,2 + 2 3ù ，故 BC 错误；
对于 D，记GH 与EF 的交点为O，由对称性 EFG = EFH ，FG = FH ，
EF GH S 1所以 ^ ， EGFH = EF ×GH ，2
因为 AF = AB2 - BF 2 = 3 ，
2
所以EF = AF 2 - AE2 = 2 ，所以 SEGFH = GH ，2
uuur r uuur r uuur r
记 AB = a, AC = b, AD = c，
uuur uuur uuur uuuur r r
则GH
m r r m r m
= GA + AD + DH = - a + c + b - c = - ar m+ b + m r 1- ÷c ，2 2 2 2 è 2
r r r r r r r
因为 a ×b = a ×c = b ×c = 2 2cos
π
= 2, ar b cr= = = 2，
3
uuur 22 2 2 r r r
所以GH m r m m r= a2 + b 2 + 1- c 2 m r ÷ - a ×b
m
- m 1-

÷ a
r cr m 1 m r× + - ÷b ×c4 4 è 2 2 è 2 è 2
2
= m2 + m2 + 4 1
m
- ÷ - m
2 - 2m 1
m
- ÷ + 2m
1 m -

÷
è 2 è 2 è 2
= 2 m -1 2 + 2 ，
uuur2
由二次函数性质可知， 2 GH 4，即 2 GH 2，
所以1 SEGFH 2 ，故 D 正确；
故选：D.
题型三：异面直线的判定
【典例 3-1】如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线 AD是异面
直线的是（ ）
A． FG B．EH C．EF D．BC
【答案】C
【解析】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线 AD是异面直线的是EF ，
其中 AD//BC //EH //FG ，所以 AD与BC 共面、 AD与EH 共面、 AD与 FG 共面．
故选：C
【典例 3-2】（2024·福建福州·三模）在底面半径为 1 的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面
ABCD，其中母线 AB=2，E 是弧 BC 的中点，F 是 AB 的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC 与 EF 是共面直线
B． AE CF ，AC 与 EF 是共面直线
C．AE=CF，AC 与 EF 是异面直线
D． AE CF ，AC 与 EF 是异面直线
【答案】D
【解析】如图，在底面半径为 1 的圆柱OO1中，母线 AB=2 ，BC=2，E 是B C 的中点，则BE=AE= 2 ，
因为F 是 AB 的中点，又 AB = 2 ，则 BF = 1，
2
AE= AB2 +BE2 = 4+ 2 = 6 ，CF= BC 2 +BF 2 = 4+1= 5 ，
\ AE CF ，
在VABC 中，O是BC 的中点，F 是 AB 的中点，\OF //AC ，
\ AC 与OF 是共面直线，
若 AC 与 EF 是共面直线，则O,F ,A,C,E 在同一平面，显然矛盾，故 AC 与 EF 是异面直线
故选：D．
【方法技巧】
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过 B 点的直线是异面直线．
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．
【变式 3-1】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直
线 MN 与 PQ 是异面直线的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】A
【解析】①对应图 1，Q是平面 PMN 外一点，M 在平面 PMN 内，且M 不在直线PN 上，因此QM 与PN 是
异面直线，①正确；
②对应图 2，Q,N 重合，MN 与 PQ是相交直线，②错；
③对应图 3，由于由中位线定理得MN ， PQ都与棱 AB 平等，从而MN //PQ ，③错；
④与图 1 类似得MN 与 PQ是异面直线，④正确．
故选：A．
【变式 3-2】已知正方体 ABCD - A1B1C1D1，点 P 在直线 AD1上，Q为线段 BD 的中点，则下列说法不正确
的是（ ）
A．存在点 P ，使得PQ ^ AC1； B．存在点 P ，使得PQ / / A1B ；
C．直线 PQ始终与直线 CC1异面； D．直线 PQ始终与直线BC1异面.
【答案】C
【解析】在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，可得 A1C1 ^ B1D1，
又由BB1 ^ 平面 A1B1C1D1，且 A1C1 平面 A1B1C1D1，所以 A1C1 ^ BB1，
因为B1D1 BB1 = B1，且B1D1, BB1 平面BDD1B1，所以 A1C1 ^ 平面BDD1B1，
由点 P 在直线 AD1 上，Q为线段BD的中点，
当点 P 和D1重合时，可得PQ 平面BDD1B1，所以PQ ^ A1C1，所以 A 正确；
连接 A1D，如图所示，
当点 P 为线段 AD1 的中点时， PQ为VA1BD 的中位线，即PQ / / A1B ，所以 B 正确；
因为CC1 平面 ACC1A1 ，当点 P 和点A 重合时，PQ 平面 ACC1A1 ，
则直线 PQ和CC1在同一平面内，所以 C 错误；
由BC1 平面 ABC1D1 ，PQ 平面 ABC1D1 = P，且 P BC1 ，
所以直线 PQ始终与直线BC1不相交，且不平行，所以 PQ与BC1是异面直线，所以 D 正确.
故选：C.
题型四：异面直线所成的角
【典例 4-1】（2024·新疆喀什·三模）已知底面边长为 2 的正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的体积为 16，则直
线 AC 与 A1B 所成角的余弦值为（ ）
A 2 5 B 5 C 10 3 10． ． ． D．
5 5 10 10
【答案】C
【解析】如图，连接 AD1,CD1，则 A1B / /D1C ，取 AC 的中点O，连接OD1 ，则OD1 ^ AC，
所以 ACD1（或其补角）为直线 AC 与 A1B 所成的角，
16
又正四棱柱的体积为 16，则该棱柱的高为CC1 = = 4，2 2
又 AC = 2 2, AD 2 21 = CD1 = 4 + 2 = 2 5 ，
1 AC
所以 cos ACD 2 2 10 1 = = = ，CD1 2 5 10
10
即直线 AC 与 A1B 所成角的余弦值为 .
10
故选：C
【典例 4-2】已知两条异面直线 a，b 所成角为70°，若过空间内一定点的直线 l 和 a，b 所成角均为60°，
则这样的直线 l 有（ ）
A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．5 条
【答案】C
【解析】如图：
通过平移过点 P 作 a∥BD，b∥CE，由题意， BPE = 70o , EPD =110o ,
o
而 BPE 的角平分线与 a 和 b 70的所成角为 = 35o，
2
o
EPD a b 110的角平分线与 和 的所成角为 = 55o ，
2
因为60° > 35o ,60o > 55o ，所以直线 l 和 a，b 所成角均为60°的直线有 4 条，
其中直线 l 在平面 BPE 的射影为 BPE 的角平分线时存在 2 条直线满足条件，
当直线 l 在平面 EPD 的射影为 EPD 的角平分线时存在 2 条满足条件，故共 4 条.
故选：C.
【方法技巧】
（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正
方体为模型．
（2）求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【变式 4-1】（2024·高三·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 = 4， AB = 2 ，则直
线 A1B 与直线B1C 所成角的正切值为 ．
51 1
【答案】 / 51
7 7
【解析】在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，连接BC1交B1C 于 O 点，取 A1C1的中点 F，连接 OF，
显然O是BC1的中点，则OF / / A1B ， B1OF 是 A1B 与B1C 所成的角或其补角，
在VOB
1 1
1F 中，B1F = 3 ，OB1 = B C = 4
2 + 22 = 5 OF 1 1= A B = 42 + 22， = 5 ，
2 1 2 2 1 2
( 5)2 + ( 5)2 - ( 3)2 7 1- cos2 B OFcos B1OF = =
51
， tan B 11OF = = ，2 5 5 10 cos B1OF 7
51
所以直线 A1B 与直线B1C 所成角的正切值为 .
7
51
故答案为：
7
【变式 4-2】（2024·全国·模拟预测）在三棱锥 P - ABC 中， AC = 3 ， BC = 1， PA = PB = PC = AB = 2 ，
M 为 AC 的中点，则异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值是 ．
5 7
【答案】
28
【解析】取PC 的中点D，连接MD, BD ，如图所示：
因为M 为 AC 的中点，D为PC 的中点，
1
则根据三角形的中位线定理可得DM ∥PA，且DM = PA =1 .
2
所以 DMB 为异面直线 BM 与 PA 所成的角或其补角．
因为在VABC 中， AC = 3 ， BC = 1， AB = 2 ，
所以 AB2 = BC 2 + AC 2 ，则 AC ^ BC .
AM MC 1 AC 3 7又 = = = ，所以BM = BC 2 + MC 2 = ．
2 2 2
又在△PBC 中， BC = 1， PB = PC = 2 ,
2 2 2
所以由余弦定理可得： cos 2 +1 - 2 1 DCB = = .
2 2 1 4
又因为在VBDC 中，DC = BC =1，
2 1 3
所以由余弦定理可得：BD =1+1- 2 1 1 = .
4 2
7 3
DM 2 + BM 2 - BD2 1+ -4 2 5 7
则在VBMD 中，由余弦定理可得， cos DMB = = =2 DM BM 28 ，
2 7 1
2
所以异面直线 BM 与 PA 5 7所成角的余弦值为 ．
28
5 7
故答案为： .
28
【变式 4-3】如图，已知四棱锥M - ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱长相等且为 4，E 为
CD 的中点，则异面直线 CM 与 AE 所成的角的余弦值为（ ）
A 3 B 9 5 C 5 D 3 5． ． ． ．
5 40 15 20
【答案】D
1
【解析】取MD 的中点F ，连接EF , AF ，由 E 为 CD 的中点，得EF / /MC ，EF = MC = 2，
2
则 AEF 是异面直线 CM 与 AE 所成的角或其补角，
正方形 ABCD中， AE = AD2 + DE2 = 5 ，在△MAD中，MD = MA = 4，
1 AD 2 2 1
cos ADF 1= 2 = ， AF = 2 + 2 - 2 2 2 = 6 ，
MD 4 4
2 2 2
于是 cos AEF AE + EF - AF 5 + 4 - 6 3 5 = = = ，
2AE × EF 2 5 2 20
所以异面直线 CM 与 AE 3 5所成的角的余弦值为 .
20
故选：D
【变式 4-4】（2024·高三·江苏南京·期中）已知矩形 ABCD中， AB =1, BC = 2, E 是边BC 的中
点． AE 和BD交于点M ，将VABE 沿 AE 折起，在翻折过程中当 AB 与MD 垂直时，异面直线BA和CD所
成角的余弦值为（ ）
1 1 5 2A． B． 4 C． D．6 12 3
【答案】D
【解析】如图 1，在矩形 ABCD中， AB =1, BC = 2, E 是边BC 的中点，
2 BE AB
故BE = ，故 = ，
2 AB AD
又 BAD = ABE = 90o，故VABE :VDAB ，所以 BAE = ADB，
则 BAE + ABD = ADB + ABD = 90o ，故 AE ^ MD．
如图 2，将VABE 沿 AE 折起，点 B 的对应点为B ，在翻折过程中，当 AB 与MD 垂直时，
因为 AE AB = A, AE, AB 平面 ABE ，所以MD ^ 平面 AB E ，
因为MD 平面 AECD，所以平面 AB E ^ 平面 AECD，
因为 B M ^ AE, B M 平面 AB E ，平面 AB E I平面 AECD = AE ，
所以B M ^ 平面 AECD，
连接B B，因为 AB//CD ，
所以 B AB 或其补角即为异面直线 B A和CD所成角，
1 AB BE 1因为 × = AE × BM 3，所以
2 2 BM =
，
3
3 6
故 B M = ，则BB = BM 2 + B M 2 = ，又 AB = AB =1，
3 3
2
故 cos B AB AB
2 + B A2 - B B2 1+1- 2 2
= = 3 = ，即所求角的余弦值为 ，
2AB × AB 2 3 3
故选：D．
【变式 4-5】四面体V - ABC 中，VA =VB = 2 2 ，VC = 3，CA = CB = 4，求CA 与VB 所成角的余弦值的取
值范围 ．
15 2 19 2
【答案】 - , ÷÷
è 32 36
【解析】如图，取 P ，Q分别为VC ， AB 的中点．
2 2
cos VCB 3 + 4 -8 17 PB 9 16 2 3 = = ， = + - 4 17 39 = ，
2 3 4 24 4 2 24 2
VVAC @VVBC 39，所以PA = PB = ，
2
在V ABP 中，PQ < PA 39= ，当A ， B 重合时取等．
2
过 B 作BH ^ VC 于H ，设HP = x ，则VB2 -VH 2 = BC 2 - HC 2 ,即BC 2 - BV 2 = HC 2 - HV 2，即8 = 6x，得
x 4= ．
3
所以PQ > x ．当A ， B ，V ，C 共面时取等．
取BC 中点M ，则PM / /BV ，QM / / AC ，所以所求的角即为 PMQ ，
于是
PM 2 + MQ2 - PQ2cos PMQ 2 + 4 - PQ
2 6 - PQ2
= = =
2PM × MQ 4 2 4 2
4 39 16 PQ2 39PQ < < 15 2 19 2由 < < 知 ，于是9 4 - < cos PMQ <
．
3 2 32 36
15 2 19 2
故答案为： - ,32 36 ÷÷è
题型五：平面的基本性质
【典例 5-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．三条直线最多可确定 1 个平面 B．三条直线最多可确定 2 个平面
C．三条直线最多可确定 3 个平面 D．三条直线最多可确定 4 个平面
【答案】C
【解析】在空间中，三条直线最多可确定3个平面，
例如：三棱锥 S - ABC 中的三个侧面.
故选：C
【典例 5-2】（2024·陕西榆林·二模）下列说法中正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．垂直于同一平面的两个平面垂直
C．一块蛋糕 3 刀可以切成 6 块
D．一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内
【答案】C
【解析】对 A，平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故 A 错误；
对于 B，垂直同一个平面的两个平面不一定互相垂直，也可以相交、平行，故 B 错误.
对 C，作蛋糕截面如图所示，
一个蛋糕切 3 刀可以切成6 块，故 C 正确；
对 D，一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内或该直线与平面平行或直线与平面
相交，故 D 错误.
故选： C.
【方法技巧】
平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一个
唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基本
构成单元，其存在与确定的唯一性。
【变式 5-1】（2024·宁夏银川·三模） A, B是两个不同的点，a , b 为两个不同的平面，下列推理错误的是
（ ）
A． A l, A a , B l, B a l a
B． A a , A b , B a , B b a b = AB
C． l a , A l A a
D． A l, l a A a
【答案】C
【解析】A，直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故正确；
B，两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故正确；
C， l a 有两种情况， l与a 相交或 l / /a ，其中 l与a 相交，且交点为 A 点，则 C 错误；
D，直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论正确；
故选：C.
【变式 5-2】空间中有 8 个点，其中任何 4 个点不共面，过每 3 个点作一个平面，可以作的平面个数为
（ ）
A．42 B．56 C．64 D．81
【答案】B
【解析】根据题意知“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，
3
3 A8
所以共可确定的平面个数是C8 = 3 = 56个.A3
故选：B
【变式 5-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆柱O1O2 中，AD，BC 分别是上、下底面的两条直径，且
AD//BC, AB = BC = 4，若M 是弧 BC 的中点， N 是线段 AB 的中点，则（ ）
A． AM = CN , A,C, M , N 四点不共面 B． AM CN , A,C, M , N 四点共面
C． AM ^ BD,△ACM 为直角三角形 D． AM CN ,△ACM 为直角三角形
【答案】D
【解析】因为点M BC ，而BC 平面 ACN ，结合圆柱结构，所以M 平面 ACN ，故 A,C, M , N 四点不
共面；
圆柱O1O2 中，AD，BC 分别是上、下底面的两条直径，且 AD//BC, AB = BC = 4，
2 1
若M 是弧 BC 的中点， N 是线段 AB 的中点，故BM = BC = 2 2, BN = AB = 2 ，
2 2
所以 AM = AB2 + BM 2 = 2 6,CN = CB2 + BN 2 = 2 5 ，故 AM CN ；
连接 AO2 ，则依题有 AO2 为 AM 在平面 ABCD内的射影，在平面 ABCD内显然BD与 AO2 不垂直，故 AM
与BD不垂直；
MC = MB = 2 2, AC = 4 2, AM 2 + MC 2 = AC 2 ，则△ACM 为直角三角形，
故选：D ．
题型六：等角定理
【典例 6-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 是棱CC1的中点，记平面
AD1E与平面 ABCD的交线为 l1，平面 AD1E与平面 ABB1A1的交线为 l2，若直线 AB 分别与 l1 l2 所成的角为
a b ，则 tana = ， tan a + b = .
1
【答案】 /0.5 4/ 1
2 3
1
3
【解析】在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 是棱CC1的中点，
延长D1E 与DC 延长线交于点F ，连接 AF ，则直线 AF 即为直线 l1，a = BAF ，
由CE / /DD1，得CF = DC ，又 AB / /CD ，于是 tana = tan AFD
1
= ，
2
由平面CDD1C1 / /平面 ABB1A1，平面 AD1E 平面 ABB1A1 = l2 ，平面 AD1E 平面CDD1C1 = D1E ，
则D1E / /l2，又C1D1 / / AB，因此 b = C1D1E ， tan b
1
= ，
2
1 1
tan(a b ) tana + tan b
+ 4
所以 + = = 2 2 = .
1- tana tan b 1 1 1- 3
2 2
1 4
故答案为： ；
2 3
【典例 6-2】设 A 与 B 的两边分别平行，若 A = 60o ，则 B = .
【答案】60o或120o
【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补．
所求角为60o或120o .
故答案为：60o或120o .
【方法技巧】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【变式 6-1】已知空间中两个角 AOB， A1O1B1 ，且OA / /O1A1，OB / /O1B1，若 AOB = 60o，则
A1O1B1 = .
【答案】60o或120o
【解析】因为两个角 AOB， A1O1B1 ，且OA / /O1A1，OB / /O1B1，
则 AOB， A1O1B1 的两边分别平行，
所以 AOB， A1O1B1 相等或互补，
又 AOB = 60o，所以 A1O1B1 = 60o或120o
故答案为：60o或120o
【变式 6-2】过正方体 ABCD - A1B1C1D1的顶点 A1在空间作直线 l，使 l与平面 BB1D1D和直线BC1所成的角都
等于 45°，则这样的直线 l共有 条．
【答案】2
【解析】在正方体中， AC 与平面 BB1D1D垂直，再根据等角定理，问题可以转化为过点 A 与 AC 、 AD1 都
成 45°的直线有几条．
考虑到 AC ， AD1 夹角为60°，所以同一平面的角平分线与 AC ， AD1 的夹角大小为30°，
因为 45° > 30°，从而存在两条直线满足条件．而 AC ， AD1 的外角为 120 度，所以不存在外角平分线满足
条件．
综上，满足条件的直线共 2 条．
故答案为：2.
【变式 6-3】如图，已知直线 a，b 为异面直线， A, B,C 为直线 a上三点，D， E ， F 为直线b 上三点， A ，
B ，C ，D ，E 分别为 AD，DB， BE ， EC ，CF 的中点.若 A B C = 120°，则 C D E = .
2p
【答案】120° /
3
【解析】因为 A ，B 分别是 AD，DB的中点，
所以 A B / /a，
同理C D / /a，B C / /b，D E / /b ，
所以 A B / /C D ，B C / /D E ．
又 A B C 的两边和 C D E 的两边的方向都相同，
所以 A B C = C D E ，
所以 C D E =120° .
故答案为：120° .
1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，P 为 B1D1的中点，则直线 PB与
AD1 所成的角为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】D
【解析】
如图，连接BC1, PC1, PB ，因为 AD1 ∥ BC1，
所以 PBC1或其补角为直线 PB与 AD1 所成的角，
因为BB1 ^ 平面 A1B1C1D1，所以BB1 ^ PC1，又PC1 ^ B1D1，BB1 B1D1 = B1 ，
所以PC1 ^ 平面 P B B1 ，所以PC1 ^ PB ，
1
设正方体棱长为 2，则BC1 = 2 2, PC1 = D B = 2 ，2 1 1
sin PC 1 PBC 11 = =BC 2 ，所以 PBC
p
1 = .
1 6
故选：D
2．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷））设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，
1， 2 和 a ，且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面，则 a 的取值范围是（ ）
A． (0, 2) B． (0, 3)
C． (1, 2) D． (1, 3)
【答案】A
【解析】设四面体的底面是 BCD ， BC = a ，BD = CD =1，顶点为A ， AD = 2
在三角形 BCD 中，因为两边之和大于第三边可得：0 < a < 2 ，①
取 BC 中点E ，QE 是中点，直角三角形 ACE 全等于直角DCE ，
a
所以在三角形 AED 中， AE = ED = 1- ( )2 ，
2
Q两边之和大于第三边
\ 2 < 2 1 a- ( )2 ，得0 < a < 2 ，（负值 0 值舍）②
2
由①②得0 < a < 2 ．
故答案为 (0, 2)．
3．（2010 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学）过正方体 ABCD- A1B1C1D1的顶点 A 作直线 l，
使 l与棱 AB，AD， AA1所成的角都相等，这样的直线 l可以作（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
【答案】D
【解析】如图：
由于平面 AA1D1D ，平面 ABCD，平面 ABB1A1上不存在满足条件的直线 l，只需考虑正方体内部和正方体外
部满足条件的直线 l的条数.第一类：在正方体内部,由三余弦定理知 l在平面 ABCD内的射影为 BAD 的角
平分线,在平面 AA1D1D 内的射影为 A1AD的角平分线，则 l在正方体内部的情况为体对角线 AC1；第二类：
在图形外部与每条棱的外角度数和另 2 条棱夹角度数相等，有3条.所以共有 4 条满足条件的直线,故选 D.
4．（2007 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））已知a b 是两个相交平面，空间两条直线
l1 l2 在a 上的射影是直线 S1, S2 , l1 l2 在 b 上的射影是直线 t1 t2 .用 S1与S2， t1 与 t2 的位置关系，写出一个总能
确定 l1与 l2 是异面直线的充分条件： .
【答案】
S1∥S2，并且 t1 与 t2 相交
【解析】当 l1 l2 异面时， l1 l2 在a 上的射影是直线 S1 S2，可能平行或相交：
l1 l2 过 b 上的射影是直线 t1 t2，可能平行或相交：
但当直线 S1∥S2与直线 t1∥t2 ，同时成立时，则 l1∥l2 ：
而当直线 S1与S2 直线 l1与 l2 ，均相交时，则 l1与 l2 可能相交；
故能确定 l1与 l2 是异面直线的充分条件是 S1∥S2，并且 t1 与 t2 相交
（或 t1∥t2 ，并且 S1与S2相交）.
故答案为： S1∥S2，并且 t1 与 t2 相交.
5．（2009 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ））已知三棱柱 ABC - A1B1C1的侧棱与底
面边长都相等，若 A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与CC1所成的角的余弦值为（ ）
3 5 7 3A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】D
【解析】设 BC 的中点为D，由题意可知 A1D ^平面 ABC ，
连接 A1D、 AD、 A1B ，在三棱柱 ABC - A1B1C1中CC1 //AA1，
所以q = A1AB 即为异面直线 AB 与CC1所成的角；
设三棱柱 ABC - A1B1C
3
1的侧棱与底面边长为1， 则 AD = ，
2
分别在 RtVA1AD和 RtVA1DB
2 2 1 2 2 2
中，由勾股定理，可知 A1D = A1A - AD = ， A1B = BD + A1D = ， 2 2
1
在△A AB 1+1-1 中，由余弦定理，得 cosq 2 3= = ；
2 4
3
所以异面直线 AB 与CC1所成的角的余弦值为 ． 4
故选：D．
1．（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
【答案】BD
【解析】平面上不共线的三点确定一个平面，故 A 错误；
一条直线和直线外一点确定一个平面，故 B 正确；
如果圆上两点和圆心共线，不能确定一个平面，故 C 错误；
梯形上下底是两平行直线，可以确定一个平面，故 D 正确；
故选：BD.
2．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在 AB，CD，EF，GH 这四条线段中，哪些
线段所在直线是异面直线？
【解析】
还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得，
AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线为：
直线 EF 和直线 HG，直线 AB 和直线 HG，直线 AB 和直线 CD.
3．已知△ABC 在平面 α 外，其三边所在的直线满足 AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：
P，Q，R 三点共线.
【解析】证明：法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面 α.
又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.
∴由基本事实 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线
上.
∴P，Q，R 三点共线.
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面 APR∩平面 α＝PR.
∵B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC 平面 APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面 APR，又 Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R 三点共线.
4．如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直
线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
【解析】①三条直线两两平行，这三条直线象三棱柱的三条侧棱，其中每两条直线可以确定一个平面,则
可以确定 3 个平面；
②三条直线两两相交每两条确定一个平面，当这三条直线在同一个平面时则可以确定 1 个平面；当这三条
直线不在同一个平面时，则可以确定 3 个平面；
这三条直线能够确定一个平面或三个平面,最多可以确定 3 个平面.
5．正方体各面所在平面将空间分成几部分？
【解析】
如图，图中画出了正方体最上层把空间分成 9 个部分，
同理中层、下层也分别把空间分成 9 个部分，
因此共将空间分成 27 个部分.
易错点：空间点、线、面间的位置关系判断错误
易错分析： 在空间几何中，点、线、面间的位置关系判断错误常源于对基本概念的模糊理解或忽视。
【易错题 1】若直线 a，b ， c满足 a∥b， a， c异面，则b 与 c（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
【答案】C
【解析】在正方体 AC1中，
A． AB∥DC ， AB 和DD1是异面直线，DC DD1 = D，
故直线 a，b ， c满足 a∥b， a， c异面，则b 与 c可能相交，不一定是异面直线，故 A 错误；
B． AB∥DC ， AB 和 B1C1 是异面直线，DC 和 B1C1 是异面直线，
故直线 a，b ， c满足 a∥b， a， c异面，则b 与 c可能是异面直线，故 B 错误；
C．直线 a，b ， c满足 a∥b， a， c异面，则由平行公理得b 与 c不可能是平行直线，故 C 正确；
D． AB∥DC ， AB 和DD1是异面直线，DC DD1 = D，
故直线 a，b ， c满足 a∥b， a， c异面，则b 与 c可能相交，故 D 错误．
故选：C．
【易错题 2】在空间四边形 ABCD的边 AB 、BC 、CD、 DA 上分别取点 E、F、G、H，若EF 与HG相交
于一点 M，则 M（ ）
A．一定在直线 AC 上；
B．一定在直线BD上；
C．可能在直线 AC 上，也可能在直线BD上；
D．不在直线 AC 上，也不在直线BD上．
【答案】A
【解析】由于 ABCD是空间四边形，故 AB ，BC 确定平面 ABC ，CD， DA 确定平面 ACD．
QE AB，F BC ，G CD ，H DA
\ EF 面 ABC ，GH 面 ACD，
QEF I GH = M ，
\M 面 ABC ，M 面 ACD
Q面 ABC I面 ACD = AC
\M AC
故选：A．
答题模板：异面直线所成的角
1、模板解决思路
根据异面直线所成角的定义，我们可以通过平移的方式，将两条原本不在同一平面内的异面直线转化
为在同一平面内相交的直线。接下来，我们需要证明这两条相交直线所形成的角，实际上就是原本那两条
异面直线所成的角。一旦证明了这一点，我们就可以利用解三角形等数学方法，来求解这个角的具体大小。
2、模板解决步骤
第一步：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
第二步：证明作出的角是异面直线所成的角．
第三步：解三角形，求出所作的角．
【典型例题 1】如图所示，圆锥的底面直径 AB = 4，高OC = 2 2 ，D为底面圆周上的一点，且
AOD =120°，则直线 AD与BC 所成角的大小为 ．
【答案】60°
【解析】如图，延长DO交底面圆于点E ，连接 BE ，CE ，
由 AB ，DE 均为圆的直径知 AD P BE ，且 AD = BE ，
所以 CBE 即为异面直线 AD与BC 所成的角（或其补角）．
在△AOD中， AD = 2OAsin 60° = 2 3 ，
在RtVBOC 中，BC = OB2 + OC 2 = 2 3 ，
所以CB = CE = BE = 2 3 ，所以△CBE 为正三角形，
所以 CBE = 60°，即直线 AD与BC 所成的角为60° .
故答案为：60° .
【典型例题 2】如图，直线PD ^平面 ABCD，ABCD 为正方形，PD = AD ，则直线 PA 与BD所成角的大
小为 ．
【答案】60°
【解析】令 PD = AD = 1，取PD, AD, AB中点分别为E, F , M ，
连结EF , EM , FM ，则EF P PA, FM P BD，
\ EFM 就是直线 PA 与BD所成角或其补角.
1 1
又因为在△EFM 中，EF = PA = AD2 + PD2 1= 1+1 2= ，
2 2 2 2
FM 1= BD 1 1 2= AD2 + AB2 = 1+1 =
2 2 2 2
1 2 5
连结DM ，得DM = AD2 + AM 2 = 1+ 2 ÷
= ，
è 2
2 2
EM 1 5 6= ED2 + DM 2 = 2 ÷
+ 2 ÷
= ，
è ÷è 2
1 1 6
2 2 2 + -
则 cos EFM
EF + FM - EM 1
= = 2 2 4 = -
2EF FM 2 ，
2 2 2
2 2
\ EFM =120°
∴直线 PA 与BD所成角为60° .
故答案为：60° .第 02 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：四个公理.............................................................................................................................4
知识点 2：直线与直线的位置关系.....................................................................................................4
知识点 3：直线与平面的位置关系.....................................................................................................5
知识点 4：平面与平面的位置关系.....................................................................................................6
知识点 5：等角定理.............................................................................................................................6
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”............................................................7
题型二：截面问题................................................................................................................................9
题型三：异面直线的判定..................................................................................................................10
题型四：异面直线所成的角..............................................................................................................11
题型五：平面的基本性质..................................................................................................................13
题型六：等角定理..............................................................................................................................14
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................15
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................16
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................17
易错点：空间点、线、面间的位置关系判断错误..........................................................................17
答题模板：异面直线所成的角..........................................................................................................18
考点要求 考题统计 考情分析
本节内容是高考命题的热点，重点关注异
（1）基本事实的应用 2023 年上海卷第 15 题，5 分 面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置
（2）空间位置关系的判 2022 年上海卷第 15 题，5 分 关系问题．对于空间几何体的点、线、面 的
断 2022 年 I 卷第 9 题，5 分 位置关系，除了题目难度逐步提升，还增加了
（3）异面直线所成的角 2021 年乙卷（文）第 10 题，5 分 截面问题，对考生的空间想象能力要求有所提
升，需要考生有更强大的逻辑推理能力．
复习目标：
（1）借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位
置关系的定义．
（2）了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
知识点 1：四个公理
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【诊断自测】在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，直线 A1C 与平面 AB1D1的交点为M ， A1C1与 B1D1交于点O，则
下列结论正确的是（ ）
A．A ，M ，O三点确定一个平面 B．A ，M ，O三点共线
C．D，D1，O，M 四点共面 D．A ，B1， B ，M 四点共面
知识点 2：直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号 a I b = P a∥b a Ia = A,b a , A b
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平 两条异面直线不同在如
面 何一个平面内
【诊断自测】两条直线 a,b 分别和异面直线 c,d 都相交，则直线 a,b 的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线
知识点 3：直线与平面的位置关系
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号 l a l Ia = P l ∥a
公共点个数 无数个 1 0
【诊断自测】四棱锥P - ABCD 如图所示，则直线 PC（ ）
A．与直线 AD 平行 B．与直线 AD 相交
C．与直线 BD 平行 D．与直线 BD 是异面直线
知识点 4：平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号 a ∥ b a I b = l a ^ b ，a I b = l
公共点个数 0 无数个公共点且都 无数个公共点且都在
在唯一的一条直线上 唯一的一条直线上
【诊断自测】下列说法正确的是（ ）
A．若直线 l, m, n两两相交，则直线 l, m, n共面
B．若直线 l, m与平面a 所成的角相等，则直线 l, m互相平行
C．若平面a 上有三个不共线的点到平面 b 的距离相等，则平面a 与平面 b 平行
D．若不共面的 4 个点到平面a 的距离相等，则这样的平面a 有且只有 7 个
知识点 5：等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【诊断自测】已知空间中两个角a ， b ，且角a 与角 b 的两边分别平行，若a = 70°，则 b = ．
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
【典例 1-1】如图，在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1中，M，N，P，Q 分别为棱 AB，BC， B1C1 ， A1B1 上的
点．已知 AB = 6， A1B1 = 3，B1Q = B1P =1，BM = BN = 4，正四棱台 ABCD - A1B1C1D1的高为 6．
证明：直线 MQ，BB1，NP 相交于同一点．
【典例 1-2】空间四边形 ABCD中，点M , N , P,Q分别在 AB,BC,CD,DA上，且
AM CN CP AQ
= = = = k ．求证：M , N , P,QMB NB PD QD 四点共面．
【方法技巧】
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【变式 1-1】在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^ BC, ACB
π
= ，侧棱长为 3，侧面积为
6 9 + 3 3
.
(1)求三棱锥B - A1B1C 的体积;
(2)若点 D、E 分别在三棱柱的棱CC1, BB1上，且CD > BE ，线段 A1E, A1D, DE 的延长线与平面 ABC 交于
F ,G, H 三点，证明：F ,G, H 共线.
【变式 1-2】已知在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E、F 分别为D1C1、C1B1的中点， AC I BD = P，
A1C1 I EF = Q ．求证：
(1)D，B，F，E 四点共面；
(2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P、Q、R 三点共线；
(3)DE、BF、CC1三线交于一点．
【变式 1-3】如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 、F 分别是 B1C1 和C1D1的中点．
(1)证明：E 、F 、D、 B 四点共面；
(2)对角线 A1C 与平面BDC1 交于点O， AC, BD 交于点M ，求证：点C1,O,M 共线；
(3)证明： BE 、DF 、CC1三线共点．
题型二：截面问题
【典例 2-1】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体 ABCD - A1B1C1D1外接球的体积为 4 3π，E 、F 、G 分
别为棱 AA1、A1B1、A1D1的中点，则平面EFG 截球的截面面积为（ ）
5π 4π 2π π
A． B． C． D．
3 3 3 3
【典例 2-2】（2024·四川泸州·三模）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，P 为DD1的中点，过 A，
B，P 三点作平面a ，则该正方体的外接球被平面a 截得的截面圆的面积为（ ）
16π 14π
A 13π． 5 B． C．3π D．5 5
【方法技巧】
（1）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们
的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．
（2）作交线的方法有如下两种：①利用基本事实 3 作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．
【变式 2-1】（2024·全国·模拟预测）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点E 是线段BB1上靠近B1的三等分
点，点 F 是线段D1C1上靠近D1的三等分点，则平面 AEF 截正方体 ABCD - A1B1C1D1形成的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式 2-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 为棱 BC 的中点，
用过点 A1，E，C1的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A．3 2 + 2 5 B．9 C． 2 2 + 2 5 D．3 2 + 2 3
【变式 2-3】（2024·四川·模拟预测）设正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，与直线 A1C 垂直的平面a 截
该正方体所得的截面多边形为M ，则M 的面积的最大值为（ ）
3
A． 3
3
B． 3 C 3． D．
8 4 32
【变式 2-4】已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，E 为C1D1的中点，F 为棱CC1上异于端点的动点，
若平面BEF 截该正方体所得的截面为五边形，则线段CF 的取值范围是（ ）
1
A ,1 B
1 1 2
． ÷ ． ,1
é 1 ù
÷ C． , ÷ D． 0,
è 3 è 2 ê 2 3 è 2ú
【变式 2-5】已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 4，M 为棱DC 的中点， N 为侧面BC1的中心，过点M
的平面a 垂直于DN ，则平面a 截正方体 AC1所得的截面周长为（ ）
A． 4 5 + 2 B． 2 5 + 8 2 C． 6 2 D．8 + 2 5
【变式 2-6】（2024·四川宜宾·三模）已知 E，F 分别是棱长为 2 的正四面体 ABCD的对棱 AD, BC 的中
点.过EF 的平面a 与正四面体 ABCD相截，得到一个截面多边形 ，则下列说法正确的是（ ）
A．截面多边形 不可能是平行四边形 B．截面多边形 的周长是定值
C．截面多边形 的周长的最小值是 2 + 6 D．截面多边形 的面积的取值范围是 é1, 2 ù
题型三：异面直线的判定
【典例 3-1】如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线 AD是异面
直线的是（ ）
A． FG B．EH C．EF D．BC
【典例 3-2】（2024·福建福州·三模）在底面半径为 1 的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面
ABCD，其中母线 AB=2，E 是弧 BC 的中点，F 是 AB 的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC 与 EF 是共面直线
B． AE CF ，AC 与 EF 是共面直线
C．AE=CF，AC 与 EF 是异面直线
D． AE CF ，AC 与 EF 是异面直线
【方法技巧】
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过 B 点的直线是异面直线．
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面．
【变式 3-1】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直
线 MN 与 PQ 是异面直线的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【变式 3-2】已知正方体 ABCD - A1B1C1D1，点 P 在直线 AD1上，Q为线段 BD 的中点，则下列说法不正确
的是（ ）
A．存在点 P ，使得PQ ^ AC1； B．存在点 P ，使得PQ / / A1B ；
C．直线 PQ始终与直线 CC1异面； D．直线 PQ始终与直线BC1异面.
题型四：异面直线所成的角
【典例 4-1】（2024·新疆喀什·三模）已知底面边长为 2 的正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的体积为 16，则直
线 AC 与 A1B 所成角的余弦值为（ ）
A 2 5 B 5 C 10 3 10． ． ． D．
5 5 10 10
【典例 4-2】已知两条异面直线 a，b 所成角为70°，若过空间内一定点的直线 l 和 a，b 所成角均为60°，
则这样的直线 l 有（ ）
A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．5 条
【方法技巧】
（1）点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正
方体为模型．
（2）求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【变式 4-1】（2024·高三·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 = 4， AB = 2 ，则直
线 A1B 与直线B1C 所成角的正切值为 ．
【变式 4-2】（2024·全国·模拟预测）在三棱锥 P - ABC 中， AC = 3 ， BC = 1， PA = PB = PC = AB = 2 ，
M 为 AC 的中点，则异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值是 ．
【变式 4-3】如图，已知四棱锥M - ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱长相等且为 4，E 为
CD 的中点，则异面直线 CM 与 AE 所成的角的余弦值为（ ）
A 3 9 5 5 3 5． B． C． D．
5 40 15 20
【变式 4-4】（2024·高三·江苏南京·期中）已知矩形 ABCD中， AB =1, BC = 2, E 是边BC 的中
点． AE 和BD交于点M ，将VABE 沿 AE 折起，在翻折过程中当 AB 与MD 垂直时，异面直线BA和CD所
成角的余弦值为（ ）
1 1 5 2A． B． 4 C． D．6 12 3
【变式 4-5】四面体V - ABC 中，VA =VB = 2 2 ，VC = 3，CA = CB = 4，求CA 与VB 所成角的余弦值的取
值范围 ．
题型五：平面的基本性质
【典例 5-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．三条直线最多可确定 1 个平面 B．三条直线最多可确定 2 个平面
C．三条直线最多可确定 3 个平面 D．三条直线最多可确定 4 个平面
【典例 5-2】（2024·陕西榆林·二模）下列说法中正确的是（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．垂直于同一平面的两个平面垂直
C．一块蛋糕 3 刀可以切成 6 块
D．一条直线上有两个点到一平面的距离相等，则这条直线在平面内
【方法技巧】
平面具有三大基本性质：一、任意三点不共线则确定一个唯一平面；二、任意两条平行直线确定一个
唯一平面；三、过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面。这些性质揭示了平面作为二维空间的基本
构成单元，其存在与确定的唯一性。
【变式 5-1】（2024·宁夏银川·三模） A, B是两个不同的点，a , b 为两个不同的平面，下列推理错误的是
（ ）
A． A l, A a , B l, B a l a
B． A a , A b , B a , B b a b = AB
C． l a , A l A a
D． A l, l a A a
【变式 5-2】空间中有 8 个点，其中任何 4 个点不共面，过每 3 个点作一个平面，可以作的平面个数为
（ ）
A．42 B．56 C．64 D．81
【变式 5-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆柱O1O2 中，AD，BC 分别是上、下底面的两条直径，且
AD//BC, AB = BC = 4，若M 是弧 BC 的中点， N 是线段 AB 的中点，则（ ）
A． AM = CN , A,C, M , N 四点不共面 B． AM CN , A,C, M , N 四点共面
C． AM ^ BD,△ACM 为直角三角形 D． AM CN ,△ACM 为直角三角形
题型六：等角定理
【典例 6-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 是棱CC1的中点，记平面
AD1E与平面 ABCD的交线为 l1，平面 AD1E与平面 ABB1A1的交线为 l2，若直线 AB 分别与 l1 l2 所成的角为
a b ，则 tana = ， tan a + b = .
【典例 6-2】设 A 与 B 的两边分别平行，若 A = 60o ，则 B = .
【方法技巧】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【变式 6-1】已知空间中两个角 AOB， A1O1B1 ，且OA / /O1A1，OB / /O1B o1，若 AOB = 60 ，则
A1O1B1 = .
【变式 6-2】过正方体 ABCD - A1B1C1D1的顶点 A1在空间作直线 l，使 l与平面 BB1D1D和直线BC1所成的角都
等于 45°，则这样的直线 l共有 条．
【变式 6-3】如图，已知直线 a，b 为异面直线， A, B,C 为直线 a上三点，D， E ， F 为直线b 上三点， A ，
B ，C ，D ，E 分别为 AD，DB， BE ， EC ，CF 的中点.若 A B C = 120°，则 C D E = .
1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，P 为 B1D1的中点，则直线 PB与
AD1 所成的角为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6
2．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷））设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，
1， 2 和 a ，且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面，则 a 的取值范围是（ ）
A． (0, 2) B． (0, 3)
C． (1, 2) D． (1, 3)
3．（2010 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学）过正方体 ABCD- A1B1C1D1的顶点 A 作直线 l，
使 l与棱 AB，AD， AA1所成的角都相等，这样的直线 l可以作（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
4．（2007 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））已知a b 是两个相交平面，空间两条直线
l1 l2 在a 上的射影是直线 S1, S2 , l1 l2 在 b 上的射影是直线 t1 t2 .用 S1与S2， t1 与 t2 的位置关系，写出一个总能
确定 l1与 l2 是异面直线的充分条件： .
5．（2009 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ））已知三棱柱 ABC - A1B1C1的侧棱与底
面边长都相等，若 A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与CC1所成的角的余弦值为（ ）
A 3 B 5
3
． ． C 7． D．
4 4 4 4
1．（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和直线外一点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
2．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在 AB，CD，EF，GH 这四条线段中，哪些
线段所在直线是异面直线？
3．已知△ABC 在平面 α 外，其三边所在的直线满足 AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：
P，Q，R 三点共线.
4．如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直
线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？
5．正方体各面所在平面将空间分成几部分？
易错点：空间点、线、面间的位置关系判断错误
易错分析： 在空间几何中，点、线、面间的位置关系判断错误常源于对基本概念的模糊理解或忽视。
【易错题 1】若直线 a，b ， c满足 a∥b， a， c异面，则b 与 c（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
【易错题 2】在空间四边形 ABCD的边 AB 、BC 、CD、 DA 上分别取点 E、F、G、H，若EF 与HG相交
于一点 M，则 M（ ）
A．一定在直线 AC 上；
B．一定在直线BD上；
C．可能在直线 AC 上，也可能在直线BD上；
D．不在直线 AC 上，也不在直线BD上．
答题模板：异面直线所成的角
1、模板解决思路
根据异面直线所成角的定义，我们可以通过平移的方式，将两条原本不在同一平面内的异面直线转化
为在同一平面内相交的直线。接下来，我们需要证明这两条相交直线所形成的角，实际上就是原本那两条
异面直线所成的角。一旦证明了这一点，我们就可以利用解三角形等数学方法，来求解这个角的具体大小。
2、模板解决步骤
第一步：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
第二步：证明作出的角是异面直线所成的角．
第三步：解三角形，求出所作的角．
【典型例题 1】如图所示，圆锥的底面直径 AB = 4，高OC = 2 2 ，D为底面圆周上的一点，且
AOD =120°，则直线 AD与BC 所成角的大小为 ．
【典型例题 2】如图，直线PD ^平面 ABCD，ABCD 为正方形，PD = AD ，则直线 PA 与BD所成角的大
小为 ．

展开更多......

收起↑