资源简介

第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：等差数列的有关概念.........................................................................................................4
知识点 2：等差数列的有关公式.........................................................................................................4
知识点 3：等差数列的常用性质.........................................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：等差数列的基本量运算........................................................................................................7
题型二：等差数列的判定与证明........................................................................................................9
题型三：等差数列的性质..................................................................................................................12
题型四：等差数列前 n 项和的性质..................................................................................................13
题型五：等差数列前 n 项和的最值..................................................................................................16
题型六：等差数列的实际应用..........................................................................................................19
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论......................................................................................22
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题..................................................................................25
题型九：利用等差数列的单调性求解..............................................................................................31
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题......................................................................................34
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................39
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................41
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................43
易错点：忽视数列的首项..................................................................................................................43
考点要求 考题统计 考情分析
2024 年甲卷（文）第 5 题，5 分
（1）等差数列的概念 2024 年 II 卷第 12 题，5 分 （1）选择题、填空题多单独考查基本量的计
（2）等差数列的通项公 2023 年甲卷（文）第 5 题，5 分 算．
式与求和 2023 年 I 卷第 7 题，5 分 （2）解答题多与等比数列结合考查，或结合
（3）等差数列的性质 2022 年上海卷第 10 题，5 分 实际问题或其他知识考查．
2022 年乙卷（文）第 13 题，5 分
复习目标：
（1）理解等差数列的概念．
（2）掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式．
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．
（4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
知识点 1：等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，定义表达式为 an - an－1 = d （常数）
(n N *，n 2) ．
（2）等差中项
若三个数 a， A，b 成等差数列，则 A叫做 a与b 的等差中项，且有 ．
A= a + b
2
a 1
【诊断自测】（2024·江苏连云港· n模拟预测）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn = +2 a ．证明：数列n
S 2n 是等差数列；
a 1
【解析】（1）当 n = 1时， a1 = 1 + 2 a a
2
1 = 2，
1
S
n 2 S = n
- Sn-1 1
当 时， n +2 S ，n - Sn-1
Sn + Sn-1 1
所以 =2 S - S ，所以
S 2n - S
2
n-1 = 2 （常数），
n n-1
2 2
故数列 Sn 是以 S1 = 2为首项，2 为公差的等差数列．
知识点 2：等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d ，那么它的通项公式是 an = a1 + (n -1)d ．
（2）等差数列的前 n项和公式
{a } d n S na n(n -1) n(a + a )设等差数列 n 的公差为 ，其前 项和 n = + d = 1 n1 ．2 2
【诊断自测】（2024·四川凉山·二模）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a3 + a5 =10， a4a9 = 50，则
S6 = ．
【答案】27
【解析】等差数列 an 中，由 a3 + a5 =10，得 2a4 =10，解得 a4 = 5，而 a4a9 = 50，则 a9 =10，
a - a
于是数列 an 的公差 d = 9 4 =1， a3 = a4 - d = 4，9 - 4
6(a
所以 S 1
+ a6 )
6 = = 3(a2 3
+ a4 ) = 27 .
故答案为：27
知识点 3：等差数列的常用性质
已知{an}为等差数列， d 为公差， Sn 为该数列的前 n项和．
（1）通项公式的推广： a *n = am + (n - m)d (n，m N ) ．
（2）在等差数列{an}中，当m + n = p + q 时， a m +an = ap + aq (m，n，p，q N
*) ．
特别地，若m + n = 2t ，则 a m +an = 2at (m，n，t N
*) ．
（3） a ，a ，a *k k＋m k＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k，m N )．
（4） Sn，S2n－Sn，S3n－S2n ，…也成等差数列，公差为 n
2d ．
（5）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan + qbn}也是等差数列．
（6 S 1）若{a nn}是等差数列，则{ }也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 ．n 2
S a
（7）若项数为偶数 2n ，则 S2n = n(a1 + a2n ) = n(an + an+1) ； S －S ＝nd
奇 = n
偶 奇 ； ．S a
偶 n+1
S
8 n（ ）若项数为奇数 2n -1，则 S2n－1 = (2n -1)an ； S奇－S =a偶 n ；
奇 = ．
S n -1
偶
ìa 0
（9）在等差数列 {an}中，若 a1 > 0，d < 0
m
，则满足 í 的项数 m 使得 Sn 取得最大值 Sm ；若
am+1 0
ìa 0
a1 < 0
m
，d > 0，则满足 í 的项数m 使得 Sn 取得最小值 S ．
a
m
m+1 0
（10） S d n2 (a dn = + 1 - )n ．数列{an}是等差数列 Sn = An
2 + Bn （ A、B 为常数）．
2 2
（11）等差数列的前 n 项和的最值
公差 d > 0 {an}为递增等差数列， Sn 有最小值；
公差 d < 0 {an}为递减等差数列， Sn 有最大值；
公差 d = 0 {an}为常数列．
特别地
ìa
若 1
> 0
í ，则 Sn 有最大值（所有正项或非负项之和）；
d < 0
ìa
若 1
< 0
í ，则 Sd > 0 n
有最小值（所有负项或非正项之和）．

（12）若已知等差数列{an}，公差为 d ，前 n项和为 Sn ，则：
①等间距抽取 ap ,ap+t ,ap+2t ,Lap+(n-1)t ,L为等差数列，公差为 td ．
②等长度截取 Sm , S2m - Sm , S3m - S2m ,L为等差数列，公差为m
2d ．
③ S S算术平均值 1 , 2 , S3 ,L d为等差数列，公差为 ．
1 2 3 2
1
【诊断自测】已知数列 an 为等差数列， a1 + a3 + a4 = 24，则 a2 + a3 = ．2
【答案】12
【解析】解法一 ：因为 a1 + a3 + a4 = a2 + a3 + a3 = a2 + 2a3 = 24
1
，所以 a2 + a3 =12．2
解法二 ：设数列 an 的公差为 d，则 a1 + a3 + a4 = a1 + a1 + 2d + a1 + 3d = 3a1 + 5d = 24，
1
从而 a
1 3a + 5d
2 + a3 = a1 + d + a 12 2 1 + 2d = =12．2
故答案为：12
解题方法总结
（1）等差数列{an}中，若 an = m,am = n(m n,m,n N
* ) ，则 am+n = 0 ．
（2）等差数列{an}中，若 Sn = m, Sm = n(m n,m,n N
* ) ，则 Sm+n = -(m + n) ．
（3）等差数列{an}中，若 Sn = Sm (m n,m,n N
* ) ，则 Sm+n = 0．
a S
（4）若{an}与{bn}为等差数列，且前 n项和为 S 与T
m 2m-1
n n ，则 = ．bm T2m-1
题型一：等差数列的基本量运算
【典例 1-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 =15,a4 = 9，则 a5 =
（ ）
A．3 B．7 C．11 D．23
【答案】C
ìS3 = 3a1 + 3d =15 ìa1 = 3
【解析】 ía 3d 9 ，解得 í ， 1 + = d = 2
\a5 = a4 + d =11.
故选：C
【典例 1-2】（2024·广东汕头·三模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a2 = 3， a2n = 2an +1，若
Sn + an+1 =100，则 n =（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】由 a2 = 3， a2n = 2an +1，得 a2 = 2a1 +1 = 3，解得 a1 =1，则等差数列 an 的公差 d = 2，
于是 an = 2n -1, S
1+ 2n -1
n = × n = n
2
，由 Sn + an+1 =100，得2 n
2 + 2n +1 =100，
所以n = 9 .
故选：B
【方法技巧】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差 d 或项数 n．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项． a1和 d 是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前 n项和．利用等差数列的前 n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式 1-1】已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S9 =1，则 a3 + a7 =（ ）
7
A．-2 B． C．1 D
2
．
3 9
【答案】D
【解析】方法一：利用等差数列的基本量
由 S =1 S 9a
9 8
9 ，根据等差数列的求和公式， 9 = 1 + d =1 9a1 + 36d =1，2
a a a 2d a 2 2又 3 + 7 = 1 + + 1 + 6d = 2a1 + 8d = (9a1 + 36d ) = .9 9
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，a1 + a9 = a3 + a7，由 S9 =1，根据等差数列的求和公式，
S 9(a + a ) 9(a + a ) 29 = 1 9 = 3 7 =1，故 a2 2 3
+ a7 = .9
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差 d = 0 ，则 S9 =1 = 9a
1
1 a1 = ，则 a3 + a7 = 2a
2
1 = .9 9
故选：D
【变式 1-2】（2024·天津滨海新·三模）已知数列 an 为各项不为零的等差数列， Sn 为数列 an 的前 n项和，
4Sn = an ×an+1，则a8的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】设等差数列 an 公差为d ，∵ 4Sn = an ×an+1，
∴当 n =1时， 4S1 = 4a1 = a1a2 ，解得 a2 = 4 ，
∴ a1 + d = 4，
当 n = 2时， 4S2 = a2 ×a3 4 a1 + a2 = 4a3 4 a1 + 4 = 4 a1 + 2d d = 2，
∴ a1 = 2，
∴ a8 = 2 + 7 2 =16．
故选：D．
【变式 1-3】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列 an 的前 n项和记为 Sn ，若 a1 = 2， a3 + a7 = 8，则 S17 =（ ）
A．51 B．102 C．119 D．238
【答案】B
【解析】等差数列 an 中， a1 = 2， a3 + a7 = 2a5 = 8，即 a5 = 4，
所以 d
a - a 1
= 5 1 = ，
5 -1 2
S 17 2 17 16 1则 17 = + =102 .2 2
故选：B.
【变式 1-4】（2024·北京·模拟预测）记等差数列 an 的公差为d ，前 n项和为 Sn ，若a5 + a11 = 62，且
S13 = 351，则该数列的公差d 为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为 a5 + a11 = 2a8 = 62 ，则 a8 = 31，
S 13(a1 + a13 ) 13 2a又 713 = = = 3512 2 ，所以
a7 = 27 ，
所以 d = a8 - a7 = 31- 27 = 4 ．
故选：B．
题型二：等差数列的判定与证明
【典例 2-1】已知数列 an n N* 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn+1 + Sn = 3n2 + 6n + 3， a1 = 2 .记bn = an + an+1判断
bn 是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由.
【解析】因为 Sn+1 + Sn = 3n
2 + 6n + 3，
当 n = 1时， S2 + S1 = 2a1 + a2 = 3+ 6 + 3 =12，又因为 a1 = 2，所以b1 = a1 + a2 =10
当 n 2时，因为 Sn - Sn-1 = an ，
由 Sn+1 + Sn = 3n
2 + 6n + 3 2，得 an+1 + Sn + Sn = 3n + 6n + 3 ①，
2
所以 an + 2Sn-1 = 3 n -1 + 6 n -1 + 3 ②，
所以①-②得： an+1 + an = 6n + 3， n 2 ,
所以bn = an+1 + an = 6n + 3， n 2，bn+1 - bn = 6 n +1 + 3- 6n - 3 = 6 n 2 ，
但b2 =15,b1 =10,b2 - b1 6
所以 bn 不是等差数列.
【典例 2-2】（2024·全国·模拟预测）数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn = nan+1 - n2 - n ( n N* )．证明：
an 是等差数列；
【解析】由题意 Sn = nan+1 - n
2 - n (n N*)（*），
两边同加 an+1项，得： Sn + an+1 = Sn+1 = n +1 an+1 - n2 - n = n +1 an+1 - n ，
由（*）式可得：
Sn+1 = n +1 an+2 - n +1
2 - n +1 = n +1 an+2 - n - 2 ，
所以 n +1 an+2 - n - 2 = n +1 an+1 - n ，
得 an+1 - n = an+2 - n - 2 ，
即 an+2 - an+1 = 2 (n N*)成立，
当 n = 1 2时， S1 = a1 =1 a2 -1 -1，得 a2 - a1 = 2 ；
综上， an+1 - an = 2(n N*)恒成立，所以 an 是以 2 为公差的等差数列．
【方法技巧】
判断数列 an 是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意 n N*, an+1 - an 是周一常数．
（2）等差中项法：对任意 n…2, n N*，湍足 2an = an+1 + an-1．
（3）通项公式法：对任意 n N* ，都满足 an = pn + q( p,q为常数）．
（4）前 n 项和公式法：对任意 n N* ，都湍足 S 2n = An + Bn(A, B 为常数）．
2n+1a
【变式 2-1】（2024· · n陕西安康 模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = 2, an+1 = .an + 2n
ì2n ü
证明：数列 ía 是等差数列； n
2n 2n+1an
【解析】证明：令 cn = ，又 an+1 = ，则有an an + 2
n
2n+1 2n 2n+1 2n a + 2n nc c n 2 an + 2
n - 2n
n+1 - n = - = n+1 - = - = =1an+1 an 2 an an an an an ，
an + 2
n
1
又 a1 = 2，所以 c
2 2
1 = = =1a1 2
ì2n ü
所以数列 ía 是以
1 为首项，1 为公差的等差数列
n
【变式 2-2】已知数列 an 有 a1 = a ， a2 = p（常数 p > 0），对任意的正整数 n， Sn = a1 + a2 + ×××+ an ，并有
S n an - a n 满足 S = 1n ．2
(1)求 a 的值；
(2)试确定数列 an 是不是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由．
1 a - a
【解析】（1）由已知，得 S = 1 11 = 0 = a，2
所以 a = 0 .
（2）由 a1 = 0得 S
nan (n +1)an+1
n = ，则 S2 n+1
= ，
2
所以 2 Sn+1 - Sn = (n +1)an+1 - nan ，
即 2an+1 = (n +1)an+1 - nan ，
于是有 (n -1)an+1 = nan ，并且有 nan+2 = n +1 an+1 ，
所以 nan+2 - (n -1)an+1 = (n +1)an+1 - nan ，
即 n an+2 - an+1 = n an+1 - an ，
而 n是正整数，则对任意正整数 n都有 an+2 - an+1 = an+1 - an ，
所以数列 an 是等差数列，
因为 a1 = 0， a2 = p，所以公差 d = p
所以通项公式是 an = (n -1) p .
【变式 2-3】已知数列 an 满足 a = 3 2n +1 a n+1 n+11 ，且 n+1 - 2 +1 an = 2 +1 2n+1 + 2 .
ì a ü
(1)证明：数列 í n2n 1 是等差数列； +
ì a
(2) í n
ü
求 的前 n项和 S .
2n -1
n

n n+1 n+1 n+1 n+1 n
【解析】（1）因为 2 +1 an+1 - 2 +1 an = 2 +1 2 + 2 = 2 2 +1 2 +1 ，
an+1 a所以 n+1 -
n = 2，
2 +1 2n +1
ì an ü a所以数列 í 是以 1n =12 1 为首项， 2为公差的等差数列； + 2 +1
a
（2）由（1）得 nn = 2n -1，2 +1
所以 an = 2n -1 2n +1 ，
a
则 n = 2n +1，
2n -1
2 1- 2n
所以 S = 2 + 22 + 23 n n +L+ 2 + n = + n = 2n+1 + n - 2 .1- 2
n
2-4 2024· · a n S S a + a 【变式 】（ 重庆 三模）已知数列 n 的前 项和为 1 nn ，满足 n = ， n N* .2
(1)证明：数列 an 是等差数列；
(2)若数列 an 的公差不为 0，数列 an 中的部分项组成数列 ak1 ， ak ， ak a2 3 ，…， kn 恰为等比数列，其中
k1 =1， k2 = 4， k3 = 10 ，求数列 kn 的通项公式.
n a1 + a1 S n 【解析】（ ）证明：由 n = ，得 2S2 n
= n a1 + an ，
所以 2an+1 = 2Sn+1 - 2Sn = n +1 a1 + an+1 - n a1 + an ，即 n -1 an+1 = nan - a1，
所以 nan+2 = n +1 an+1 - a1，
两式相减得 nan+2 + nan = 2nan+1，
所以 an+2 + an = 2an+1 .
所以数列 an 成等差数列.
（2）等差数列 an 的公差 d 0，其子数列 ak 恰为等比数列，n
其中 k1 =1， k2 = 4， k3 = 10 ，可得 ak = a1 1， ak = a2 4 ， ak = a3 10 ，
2 2
且有 a4 = a1a10，即 a1 + 3d = a1 a1 + 9d ，
化为 a1 = 3d ，则 an = a1 + n -1 d = n + 2 d ，
子数列 ak a4为首项为3d ，公比为 = 2a 的等比数列，n 1
则 ak = 3d ×2
n-1 = kn + 2 d ，可得 kn = 3 ×2n-1 - 2 .n
题型三：等差数列的性质
a
【典例 3-1】（2024· · 10高三 上海·期中）已知等差数列 an 的前 n项的和为 Sn ，且 = -1a ， S15 = Sk k 15 ，11
则正整数 k 的值为 .
【答案】5
a10
【解析】在等差数列 an 中，由 = -1a ，得a10 +a11 =0，因为 S15 = Sk 成立，由对称性知， k <15，11
则 ak +1 + ak +2 + ×××+ a10 + a11 + ×××+ a14 + a15 = 0，
所以 a15 + a14 + ×××+ a11 + a10 + ×××+ ak +2 + ak +1 = 0
所以 ak +1 + a15 + ak +2 + a14 + ×××a10 + a11 + ×××+ a14 + ak +2 + a15 + ak +1 = 0
所以 ak +1 + a15 = ak +2 + a14 = a10 + a11 = 0，
即 k +1+15 = k + 2 +14 =10 +11，解得 k = 5 .
故答案为：5
【典例 3-2】（2024·上海·模拟预测）记等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a7 = 6，则 S13 = .
【答案】78
13 a + a 13 2a
【解析】因为 an 为等差数列，所以 S = 1 1313 = 7 = 78 .2 2
故答案为：78.
【方法技巧】
如果{a }为等差数列，当m + n = p + q 时， a +a = a + a (m，n，p，q N *n m n p q )．因此，出现
am－n ，am ，am＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 am （或其他项）有关的条件；若求 am 项，可
由 am =
1 (a
2 m－n
+ am＋n ) 转化为求am-n + an+m 的值．
【变式 3-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S28 = 56，则
a12 + a13 + a14 + a15 + a16 + a17 = .
【答案】12
a + a 28
【解析】由 S 1 2828 = = 56，得 a1 + a28 = 4，2
则 a12 + a13 + a14 + a15 + a16 + a17 = 3 a1 + a28 =12 .
故答案为：12 .
【变式 3-2】已知数列{an} n N* 是等差数列， Sn 是其前 n 项和．若 a2a5 + a8 = 0, S9 = 27 ，则 S8 = ．
【答案】16
【解析】设等差数列 an 的公差为d ，由 S9 = 9a5 = 27，得 a5 = 3，
所以3a2 + a8 = 0，即3(a5 - 3d ) + (a5 + 3d ) = 0，解得 d = 2，
所以 S8 = S9 - a9 = S9 - (a5 + 4d ) = 27 -11 = 16，
故答案为：16．
题型四：等差数列前 n 项和的性质
【典例 4-1】（2024·高三·天津宁河·期末）已知等差数列 an ， bn 的前 n项和分别为 Sn ，Tn ，且
Sn 2n +1 a= 5 =
Tn 4n
，则 b ．3 + b7
19
【答案】
72
Sn 2n +1
【解析】因为 =Tn 4n
，
a5 a5 1 a5 1 2a5 1 a1 + a9
所以 = = = = b3 + b7 2b5 2 b5 2 2b5 2 b1 + b9
a a 91 1 + 9 × 2 1 S9 1 2 9 +1 19=
2 b b 9
= = = .
+ × 2 T9 2 4 9 721 9 2
19
故答案为：
72
【典例 4-2】在等差数列 an 中， a1 = -2020，其前 n
S S
项和为 S ，若 12n - 10 = 2，则 S12 10 2022
= .
【答案】 2022
2 S ìSn ü
【解析】设等差数列 an 的前 n项和为 S = An + Bn，则 nn = An + B，所以 í 是等差数列．n n
S
因为 12
S
- 10
S
2 ì n ü S1 a= ，所以 的公差为1，又 = 1 = -2020 ，
12 10 í n 1 1
ìSn ü
所以 í 是以-2020为首项，1为公差的等差数列，
n
S
所以 2022 = -2020 + 2021 1 =1，所以 S = 2022 .
2022 2022
故答案为： 2022
【方法技巧】
S
在等差数列中， Sn，S2n－Sn，S3n－S2n ，…仍成等差数列；{ n }也成等差数列．n
S 5n - 3
【变式 4-1】等差数列 an ， bn n的前 n 项和分别为 Sn ，Tn ，若对任意的正整数 n 都有 =T ，则 n 2n +1
a7 =
b .7
6 2
【答案】 2 7
13 a1 + a13
a7 2a7 a1 + a13 2 S13 5 13 - 3 62【解析】 = = = = = = .
b7 2b7 b1 + b13 13 b1 + b13 T13 2 13 +1 27
2
62
故答案为： .
27
An 7n + 33 a4-2 n【变式 】已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和Bn ，且 =Bn n + 3 ，则使得 b 为整数的n
正整数 n 的集合是 .
【答案】 1,2,5
a1 + a2n-1
an 2 A2n-1 7 2n -1 + 33【解析】由 = = =
b b1 + bn 2n-1 B2n-1 2n -1+ 3
2
14n + 26 7n +13 7 n +1 + 6 6
= = = = 7 + ，
2n + 2 n +1 n +1 n +1
an
因为 b 为整数且 n N
*，所以 n =1,2,5 .
n
故答案为： 1,2,5 .
S 7n + 45 a
【变式 4-3】已知等差数列 an , bn 的前 n项和分别为 S n nn 和Tn ，若 = nTn n + 3
，且 b 是整数，则 的值2n
为 .
【答案】15
a1 S1 7 + 45
【解析】由题意得 = = =13b1 T 1+ 3
，
1
设等差数列 an , bn 的公差分别为 d1, d2，
n a1 + an n b + b S a + a 2a + n -1 dSn = ，T

= 1 n n，故 = 1 n =
1 1
n ，2 2 Tn b1 + bn 2b1 + n -1 d2
S2 2a1 + d1 S2 14 + 45 59
故 = = =T2 2b + d
，又 ，
1 2 T2 2 + 3 5
2a1 + d1 59
故 = 10a + 5d =118b + 59d2b1 + d
，即 1 1 1 2，
2 5
S3 2a1 + 2d1 S3 21+ 45 66= ，又 = = =11T3 2b1 + 2d2 T3 3+ 3 6
，
2a1 + 2d1 =11，即 a1 + d1 =11b1 +11d2b1 + 2d
2，
2
ì10a1 + 5d1 =118b1 + 59d2
ì12ba + d =11b +11d 1
+ 5d1 = 59d2
联立 í 1 1 1 2 ，化简得 í
2b + d =11d
，
a1 =13b
1 1 2
1
ìd1 = 7d2
解得 í
b1 = 2d2
an a1 + n -1 d1 13b1 + 7n - 7 d2 7n +19 d2 7n +19
又 b 是整数，即
= = =
2n b1 + 2n -1 d2 b1 + 2n -1 d2 2n +1 d
是整数，
2 2n +1
7n +19
设 = k Z，故7n +19 = 2kn + k ，即 2k - 7 n =19 - k ，
2n +1
n 19 - k解得 = ，
2k - 7
19 - k 7 26
令 1，解得 < k < ，且 k Z，
2k - 7 2 3
19 - k
当 k = 4时， n = =15满足要求，
2k - 7
14
当 k = 5时， n = 不合要求，
3
n 13当 k = 6时， = 不合要求，
5
当 k
12
= 7时， n = 不合要求，
7
当 k = 8
11
时， n = 不合要求，
9
综上， n的值为 15.
故答案为：15
【变式 4-4】已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S8 =12， S12 =15，则 S16 = .
【答案】16
【解析】因为等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,所以 S4 , S8 - S4 , S12 - S8 , S16 - S12成等差数列,
所以 2 S8 - S4 = S4 + S12 - S8 ，即 2 12 - S4 = S4 + 3
解得 S4 = 7，所以 S8 - S4 - S4 = -2，所以 S16 - S12 = 3 - 2 =1，
解得 S16 = 16，
故答案为：16
【变式 4-5】（2024·江西上饶·一模）已知数列 an 、 bn 均为正项等比数列，Pn、Qn分别为数列 an 、
bn
ln Pn 5n - 7 ln a3
的前 n项积，且 =ln Q 2n ，则 ln b 的值为 .n 3
9
【答案】
5
【解析】推导出数列 ln an
ln a ln P
、 ln b 3 = 5n 为等差数列，由此可得出 aln b3 ln Q
，即可得解.设等比数列 n 的公
5
a
比为 q q > 0 ，则 ln an+1 - ln a n+1n = ln = ln qa （常数），n
所以，数列 ln an 为等差数列，同理可知，数列 ln bn 也为等差数列，
5 ln a + ln a因为 ln P5 = ln a1a2a3a4a5 = ln a1 + ln a2 + ln a ln a ln a

3 + +
1 5
4 5 = = 5ln a3，2
ln a3 5ln a3 ln P5 5 5 - 7 9
同理可得 ln Q5 = 5ln b3 ，因此， = = = =ln b3 5ln b3 ln Q
.
5 2 5 5
9
故答案为： .
5
题型五：等差数列前 n 项和的最值
【典例 5-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列 an 中， a1 > 0， S7 = S9 ，则使得前 n 项的和最大的 n 值为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】在等差数列 an 中， a1 > 0，由 S7 = S9 ，可得 a8 + a9 = 0，
\a8 > 0， a9 < 0，且数列 an 为递减数列，
所以使得前 n 项的和最大的 n 值为 8.
故选：B.
【典例 5-2】（2024·山东泰安·三模）已知 Sn 为等差数列 an 的前 n项和， a1 = -21， S7 = S15 ，则 Sn 的最小
值为（ ）
A．-99 B． -100 C．-110 D． -121
【答案】D
【解析】设 an 的公差为d ，因为 a1 = -21， S7 = S15 ，
ìa1 = -21
可得 í 7 6 ，解得 d = 2，所以 a7a + d =15a 15 14+ d n
= 2n - 23，
1 2 1 2
n n -1
可得 Sn = -21n + 2 = n
2 - 22n ，
2
所以当 n =11 2时， Sn 取得最小值 S11 =11 - 22 11 = -121.
故选：D.
【方法技巧】
求等差数列前 n项和 Sn 最值的 2 种方法
（1）函数法：利用等差数列前 n项和的函数表达式 Sn = an
2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最
值的方法求解．
ìa 0
（2 m）邻项变号法：①若 a1 > 0，d < 0，则满足 í 的项数m 使得 Sn 取得最大值 Sa m
；
m+1 0
ìa 0
②若 a1 < 0 d > 0
m
， ，则满足 í 的项数m 使得 Sn 取得最小值 Sm ．
am+1 0
【变式 5-1】（2024·全国·模拟预测）已知 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，若3a10 + a12 < 0 ， a8 + 3a12 > 0 ，
则当 Sn 取最小值时， n =（ ）
A．9 B．10 C．10 或 11 D．11
【答案】B
【解析】由等差数列的性质知 a8 + 3a12 = 2a10 + 2a12 = 4a11 > 0， 即a11 >0．
又3a10 + a12 = 2a10 + 2a11 < 0，故a10 <0，则 d = a11 - a10 > 0， a1 < 0，则 a1 < a2 则当 Sn 取最小值时， n =10 .
故选：B．
【变式 5-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 an 是等差数列， Sn 是其前 n项的和，则下列结论错误
的是（ ）
A．若 an = 2n - 25，则 Sn 取最小值时 n的值为 12
B．若 an = -3n + 27，则 Sn 的最大值为 108
C．若 S13 = S17 ，则必有 S30 = 0
D．若首项 a1 > 0， S6 = S12 ，则 Sn 取最小值时 n的值为 9
【答案】D
【解析】对于 A，因为 an = 2n - 25，所以 a1 = -23，
n -23 + 2n - 25S 所以 n = = n2 - 24n = n -12
2 -144 ，
2
所以当 n =12 时， Sn 取得最小值，正确；
对于 B，因为 an = -3n + 27，所以a1 = 24 ，
n 24 - 3n + 27
S 3 51 3
é 2
2 17 289 ù
所以 n = = - n + n = - ê n - ÷ - ú ，2 2 2 2 ê è 2 4 ú
3 51
所以当 n = 8或n = 9 时， Sn 取得最大值为 S8 = - 64 + 8 =108，正确；2 2
对于 C，若 S13 = S17 ，则 S17 - S13 = a17 + a16 + a15 + a14 = 0，又 a17 + a14 = a16 + a15，
所以 a + a = 0
30(a + a
，所以 S 1 30
) 30(a16 + a15 )
16 15 30 = = = 0，正确；2 2
对于 D，若 a1 > 0，S6 = S12 ，则 S12 - S6 = a12 + a11 + a10 + a9 + a8 + a7 = 0，
2
又 a12 + a7 = a11 + a8 = a10 + a9 = 0，所以 a10 + a9 = 0，所以 d = - a1 < 0，17
所以等差数列 an 为递减数列，所以 a1 > a2 >L > a9 > 0 > a10 > a11 >L，
所以 Sn 取最大值时 n的值为 9，错误.
故选：D
【变式 5-3】（2024·山东·二模）已知数列 an ,a1 = 13,an+1 = an - 4．求：
(1)数列 an 的通项公式；
(2)数列 an 的前 n项和 Sn 的最大值．
【解析】（1）由 an+1 = an - 4，可知 an+1 - an = -4，
所以数列 an 是以 13 为首项，以-4为公差的等差数列，
所以 an =13 - 4 n -1 = -4n +17；
（2）由（1）可知 an = -4n +17，
令-4n +17 > 0，解得 n
17
< ，
4
17
令-4n +17 < 0，解得 n > ，
4
即数列从第 5 项开始小于 0，所以数列 an 的前 4 项和最大，
最大值为 S4 = 4 13
4 3
+ -4 = 28．
2
题型六：等差数列的实际应用
【典例 6-1】（2024·云南曲靖·二模）小明同学用 60 元恰好购买了 3 本课外书，若三本书的单价既构成等差
数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（ ）
A．25 元 B．18 元 C．20 元 D．16 元
【答案】C
【解析】因为这 3 本书的单价既是等差数列，又是等比数列，
所以该数列为非零常数列，
60
则每本书的单价为 = 20元.
3
故选：C.
【典例 6-2】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于 2024 年 4 月执行载人航天飞行任
务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 2km，以后每秒钟通过的路程都
增加3km ，在达到离地面 222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的
时间是（ ）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】设出每一秒钟的路程为数列{an}，
由题意可知{an}为等差数列，
则数列首项 a1 = 2，公差 d = 3，
所以 an = a1 + n -1 d = 2 + n -1 3 = 3n -1，
n a
由求和公式有 S = 1
+ an (3n -1+ 2)n
n = = 222，解得 n =12 ，2 2
故选：C．
【方法技巧】
利用等差数列的通项公式与求和公式求解.
【变式 6-1】（2024·高三·浙江嘉兴·期末）卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有
单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为 40mm，卫生
纸厚度为 0.1mm．若未使用时直径为 90mm，使用一段时间后直径为 60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经
使用了（ ）
A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m
【答案】C
【解析】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为： a1 = 2π 45 = 90π ，
45 - 30
可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为： n = =150 ，
0.1
且 a150 = 2π 30 = 60π .
150 90π + 60π
由等差数列的求和公式得： S150 = =11250π 35325mm = 35.325m2
故选：C
【变式 6-2】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动
（积分可兑换礼品），第一天打卡得 1 积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多 2 分．若某
天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从 1 积分重新开始．某会员参与打卡活动，从 3 月 1 日开始，
到 3 月 20 日他共得 193 积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3 月 5 日或 3 月 16 日 B．3 月 6 日或 3 月 15 日
C．3 月 7 日或 3 月 14 日 D．3 月 8 日或 3 月 13 日
【答案】D
【解析】若他连续打卡，则从打卡第 1 天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为 1，公差为 2，
第 n天所得积分为 2n -1．
假设他连续打卡 n天，第 n +1天中断了，
则他所得积分之和为 (1+ 3 + ×××+ 2n -1) + 1+ 3 + ×××+ 2(19 - n) -1
n(1+ 2n -1) (19 - n)[1+ 2(19 - n) -1]
= + =193，化简得
2 2 n
2 -19n + 84 = 0 ，
解得 n = 7或 12，所以他未打卡的那天是 3 月 8 日或 3 月 13 日．
故选：D
【变式 6-3】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学
软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为 1 的线段 AB ，作一个等边三角形 ABC ，然后以点
B 为圆心， AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点 D（第一段圆弧），再以点 C 为圆心，CD 为半
径逆时针画圆弧交线段 AC 的延长线于点 E，再以点 A 为圆心， AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当
得到的“蚊香”恰好有 15 段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． 44π B． 64π C．70π D．80π
【答案】D
2π
【解析】由题意每段圆弧的中心角都是 ，每段圆弧的半径依次增加 1，
3
2π
则第 n段圆弧的半径为 n，弧长记为 an ，则 an = × n，3
S 2π所以 15 = 1+ 2 + 3+L+15 = 80π .3
故选：D．
【变式 6-4】（2024·河北唐山·模拟预测）2022 年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次
在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继 2002 年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足
球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，
派发规则如下：①对于会员编号能被 2 整除余 1 且被 7 整除余 1 的可以获得精品足球一个；②对于不符合
①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有 1456 人（编号为 1 号到 1456 号，中间没有空
缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102 B．103 C．104 D．105
【答案】C
【解析】将能被 2 整除余 1 且被 7 整除余 1 的正整数按从小到大排列所得的数列记为 an ，
由已知 an -1是 2的倍数，也是 7的倍数，
故 an -1为14的倍数，
所以 an -1首项为 0，公差为14的等差数列，
所以 an =14n -13，
令1 an 1456，可得1 14n -13 1456 ，又 n N*
解得1 n 104，且 n N* ，
故获得精品足球的人数为104 .
故选：C.
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论
ìa - 6, n为奇数
【典例 7-1】已知 an n为等差数列，bn = í ，记 Sn ，Tn 分别为数列 a2a , n n ， bn 的前 n 项和， n 为偶数
S4 = 32，T3 =16．
(1)求 an 的通项公式；
(2)证明：当n > 5时，Tn > Sn．
ì
an - 6, n = 2k -1 *
【解析】（1）设等差数列 an 的公差为d ，而bn = í ,k N
2a
，
n , n = 2k
则b1 = a1 - 6,b2 = 2a2 = 2a1 + 2d ,b3 = a3 - 6 = a1 + 2d - 6，
ìS4 = 4a1 + 6d = 32
于是 í ，解得 a1 = 5,d = 2， an = a1 + (n -1)d = 2n + 3
T3 = 4a1 + 4d -12 =16
，
所以数列 an 的通项公式是 an = 2n + 3 .
n(5 + 2n + 3) 2 ì2n - 3, n = 2k -1
（2 *）方法 1：由（1）知， Sn = = n + 4n ，bn =2 í
,k N
4n
，
+ 6,n = 2k
当 n为偶数时，bn-1 + bn = 2(n -1) - 3+ 4n + 6 = 6n +1，
T 13+ (6n +1) n 3 n2 7n = × = + n，2 2 2 2
n 5 T S (3 7当 > 2时， n - n = n + n) - (n2 + 4n)
1
= n(n -1) > 0，因此Tn > Sn，2 2 2
3
当 n为奇数时，Tn = Tn+1 - bn+1 = (n +1)
2 7 (n 1) [4(n 1) 6] 3 n2 5+ + - + + = + n - 5，
2 2 2 2
当n > 5时，T 3 5 1n - S 2 2n = ( n + n - 5) - (n + 4n) = (n + 2)(n - 5) > 0，因此Tn > Sn，2 2 2
所以当n > 5时，Tn > Sn .
n(5 + 2n + 3) 2 ì2n - 3, n = 2k -1 *
方法 2：由（1）知， Sn = = n + 4n ，bn = í ,k N2 4n
，
+ 6,n = 2k
n T (b b L b ) (b b L b ) -1+ 2(n -1) - 3 n 14 + 4n + 6 n 3当 为偶数时， n = 1 + 3 + + n-1 + 2 + 4 + + n = × + × = n
2 7+ n，
2 2 2 2 2 2
3 2 7 2 1
当n > 5时，Tn - Sn = ( n + n) - (n + 4n) = n(n -1) > 0，因此T2 2 2 n
> Sn，
当 n为奇数时，若n 3，则Tn = (b b L b )
-1+ 2n - 3 n +1 14 + 4(n -1) + 6 n -1
1 + 3 + + n + (b2 + b4 +L+ bn-1) = × + ×2 2 2 2
3
= n2 5+ n - 5，显然T1 = b = -1
3 2 5
1 满足上式，因此当 n为奇数时，Tn = n + n - 5，2 2 2 2
n 3> 5 T 2 5 2 1当 时， n - Sn = ( n + n - 5) - (n + 4n) = (n + 2)(n - 5) > 0，因此Tn > S2 2 2 n，
所以当n > 5时，Tn > Sn .
【典例 7-2】已知数列 an 满足 a1 =1， a2 = 2， an+2 - a = 3 .n
(1)求 a2n；
(2)当 n为奇数时，求数列 an 的前 n项和 Sn .
【解析】（1）因为 an+2 - an = 3，所以数列 a2 , a4 ,L, a2n构成首项为 a2 = 2，公差为3的等差数列，
所以 a2n = a2 + n -1 ×3 = 3n -1 .
（2）由 an+2 - an = 3，所以数列 a1,a3 ,L,a2n-1构成首项为 a1 =1，公差为3的等差数列，得到
a2n-1 = a1 + n -1 ×3 = 3n - 2，
设 n = 2k -1，
则 S2k -1 = a1 + a3 +L+ a2k -1 + a2 + a4 +L+ a2k -2 = 1+ 4 + 7 +L+ 3k - 2 + 2 + 5 + 8 +L+ 3k - 4
k 1+ 3k - 2 k -1 2 + 3k - 4
= + = 3k 2 - 3k +1，
2 2
k n +1
2
又 = ，所以 n为奇数时， Sn = 3(
n +1)2 3(n +1) 3n +1- +1 = .
2 2 2 4
【方法技巧】
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从 n为奇数、偶数进行分类．
ì2n + 2，n为奇数，
【变式 7-1】已知数列{an}的通项公式为 an = í
n +1，n为偶数.
(1)求数列{a2n}的前 n项和 Sn ；
(2)设bn = a2n-1，求数列{bn × 3n-1}的前 n项和Tn ．
【解析】（1）由题意得：
a2n = 2n +1，则 a2n 为等差数列，首项 a2 = 3．
n(3 + 2n +1)
∴ S = a 2n 2 + a4 +L+ a2n = = n + 2n．2
2 b = a = 2(2n -1) + 2 = 4n, b ×3n-1 n-1（ ） n 2n-1 n = 4n ×3
∴Tn = 4 3
0 + 8 31 +12 32 +L+ 4(n -1)3n-2 + 4n ×3n-1 ①
∴ 3T = 4 31 + 8 32 +12 33 +L+ 4(n -1)3n-1n + 4n ×3
n ②
①-② 1得，-2Tn = 4 + 4 3 + 4 3
2 +L+ 4 3n-1 - 4n ×3n
∴T = -2 1+ 31 + 32 +L+ 3n-1 + 2n ×3nn
-2 1- 3n
= + 2n ×3n
1- 3
= 3n (2n -1) +1．
ìan + 2,n为奇数
【变式 7-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 中， a2 = 2a1 = 2，且 an+2 = í ．
4an，n为偶数
(1)求 an 的通项公式；
(2)求 an 的前 n项和 Sn ．
【解析】（1）当 n为奇数时，由 an+2 = an + 2可得 an+2 - an = 2，
所以数列 an 的奇数项成等差数列，且公差为 2，又由 a1 =1，故 an = n ；
a
n a = 4a n+2当 为偶数时，由 n+2 n ，可得 = 4a ，n
n-1
所以数列 an 的偶数项成等比数列，且公比为 4，又由 a2 = 2，故 an = 2 ，
ìn,n为奇数所以数列 an 的通项公式为 an = í n-1 .
2 , n为偶数
（2）当 n为奇数时，
则 Sn = a1 + a2 +L+ an = (a1 + a3 +L+ an ) + (a2 + a4 +L+ an-1)
n +1(n +1) n-1
(1 3 L n) (2 8 L 2n-2 ) 2 2(1- 4
2 ) (n +1)2 2n - 2
= + + + + + + + = + = + ，
2 1- 4 4 3
当 n为偶数时，
则 Sn = a1 + a2 +L+ an = (a1 + a3 +L+ an-1) + (a2 + a4 +L+ an )
n (1+ n -1) n2 2 n+1
= (1+ 3 +L+ n -1) + (2 8 L 2n-1) 2 2(1- 4 ) n 2 - 2+ + + = + = + ，
2 1- 4 4 3
ì(n +1)2 2n - 2
+ ,n为奇数 4 3
综上可得， Sn = í 2 n+1 .
n 2 - 2
+ , n为偶数 4 3
【变式 7-3】（2024·高三·湖北·期中）已知数列 an 的各项均为正数，其前 n项和为 Sn ，且
a2n = 4Sn - 2an -1 .
(1)求 an ， Sn ；
ì 2 2
,n为奇数
(2)设bn = í an +1 + an + 5 ，求数列 bn 的前 8 项和T8 .

Sn - Sn-1,n为偶数
2
【解析】（1）由原式可得： 4Sn = an + 2an +1，
当 n = 1 2时， 4a1 = a1 + 2a1 +1 a1 =1；
ì4Sn = a
2
n + 2an +1
当 n 2时， í ，
4S
2
n-1 = an-1 + 2an-1 +1
两式作差可得：4an = a
2
n - a
2
n-1 + 2 an - an-1 ，
所以 an + an-1 an - an-1 = 2 an + an-1 ，
又因为 an > 0，则 an + an-1 > 0，所以 an - an-1 = 2，
所以数列 an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，
∴ an =1+ n -1 2 = 2n -1
n 1+ 2n -1
， Sn = = n
2，
2
∴ an = 2n -1， Sn = n
2
；
ì 2 2 2 2 2n + 4 - 2n
b = = = n + 2 - n ,n为奇数（2） n í an +1 + an + 5 4 ，

Sn - Sn-1 = 2n -1, n为偶数
ìb n + 2 - n ,n为奇数即 n = í ，
2n -1,n为偶数
所以T8 = b1 + b2 +L+ b8 = b1 + b3 + b5 + b7 + b2 + b4 + b6 + b8
= 3 -1+ 5 - 3 + 7 - 5 + 9 - 7 + 3+ 7 +11+15 = 38，
即数列 bn 的前 8 项和T8 = 38 .
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题
1 2 * 9
【典例 8-1】（2024·四川成都·二模）已知数列 an 的前 n 项和 Sn = - n + kn k N ，且 S2 n 的最大值为 ．2
(1)确定常数 k ，并求 an ；
(2)求数列 an 的前 15 项和T15．
1
【解析】（1）由数列 an 的前 n 项和 Sn = - n2 + kn2 k N
* ，
1 2
根据二次函数的性质，可得当 n = k 时， Sn = - n + kn取得最大值，2
S 1 2 2 1 2 9 1 2即 k = - k + k = k = ，解得 k = 3，所以 Sn = - n + 3n ，2 2 2 2
1 2 é 1 2 ù 7
当 n 2时， an = Sn - Sn-1 = - n + 3n - ê- (n -1) + 3 n -1 ú = - n，2 2 2
5
当 n = 1时， a1 = S1 = （符合上式），2
7
所以数列 an 的通项公式为 an = - n .2
7 5 7
（2）由（1）知 an = - n
n( + - n)
，可得
2 S = 2 2
1
n = - n
2 + 3n，
2 2
且当n 3且 n N* 时，可得 an > 0；当n 4且 n N* 时，可得 an < 0，
所以数列 a 1 1 153n 的前 15 项和：T15 = -S15 + 2S3 = - 2 - 15 + 3 15÷ + 2 - 32 + 3 3 ÷ = ．
è 2 è 2 2
ìS ü
【典例 8-2 n】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn .若 í 为等差数列，且满足
n
S1 = 8
S
， 4 = 5 .
4
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设Tn = a1 + a2 + ×××+ an ，求Tn .
ìS ü S S
【解析】（1 n）由题意，设等差数列 í 的公差为d ，又 1 = 8， 4 = 5，
n 1 4
\3d = 5 -8 = -3，\d = -1，
S
\ n = 8 + n -1 -1 = 9 - n ，
n
\Sn = -n
2 + 9n ，则 Sn-1 = - n -1
2 + 9 n -1 = -n2 +11n -10 ， n 2，
\an = Sn - Sn-1 = -2n +10，又 a1 = 8，
\an = -2n +10 ， n N* .
（2）由（1）得， a1 > a2 >L> a5 = 0 > a6 >L，
n 8 +10 - 2n
当n 5时，T n = a1 + a2 +L+ an = a1 + a2 +L+ an = = -n2 + 9n ，2
当 n 6 时，Tn = a1 + a2 +La5 - a6 - a7 -L- an = 2S5 - Sn
= 2 -52 +5 9 - -n2 + 9n = n2 - 9n + 40，
ì-n2 + 9n,n 5
\Tn = í 2 , n N
* .
n - 9n + 40, n 6
【方法技巧】
由正项开始的递减等差数列 an 的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项 an0
（2）在对 n进行讨论，当 n n0 时，Tn = Sn ，当 n > n0 时，Tn = 2Sn - S0 n
【变式 8-1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列 an 满足 a7a9a11 = 64, a12 + 2是a9与 a13 的等差中项．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若bn = log2an ，求数列 bn 的前 n项和．
【解析】（1）因为 a7a9a11 = 64 a 2 3，又 7a11 = a9 ，所以 a9 = 64 ，解得 a9 = 4，
设 an 的公比为q，因为 a12 + 2是a9与 a13 的等差中项，
所以 a9 + a13 = 2 a12 + 2 ，
a + a q4 = 2 a q3即 9 9 9 + 2 ，解得 q = 2，
n-9
从而 an = a9q = 4 2
n-9 = 2n-7 ，
故等比数列 a n-7n 的通项公式是 an = 2 ；
（2 n-7）由（1）知 an = 2 ，所以bn = log2a = log 2
n-7
n 2 = n - 7，
ì7 - n,n 7bn = í
n
，
- 7,n > 7
设 bn 的前 n项和为 Sn ，
当 n 7 时，易知数列 bn 是首项为 6，公差为 -1的等差数列，
n n -1
S 6n 13n - n
2
所以 n = + -1 = ，2 2
当 n > 7时，易知数列 bn 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
所以 Sn = 6 + 5 + 4 + 3+ 2 +1+ 0 +1+ 2 + ×××+ n - 7
= 2 6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1+ 0 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 -1- 0 +1+ 2 + ×××+ n - 7
é n n -12S ù n
2 -13n
= 7 + ê-6n + 1ú = + 42，
2 2
ì13n - n2
, n 7
所以数列 bn 的前 n项和 Sn = 2í ．
n
2 -13n
+ 42, n > 7 2
【变式 8-2】（2024·高三·上海·期中）在公差为d 的等差数列 an 中，已知 a1 =10，且 a1， 2a2 + 2，5a3 成
等比数列．
(1)求d ， an ；
(2)若 d < 0 ， a1 + a2 + a3 + ×××+ an =100，求 n．
【解析】（1）公差为d 的等差数列 an 中，已知 a1 =10，且 a1， 2a2 + 2，5a3 成等比数列．
所以 2a 2 22 + 2 = 5a1 × a3，即 20 + 2d + 2 = 5 10 10 + 2d
解得 d = 4或 d = -1，
①当 d = 4时， an = 10 + 4(n -1) = 4n + 6．
②当 d = -1时， an =10 - (n -1) =11- n．
（2）因为 d < 0 ，所以 an =11- n，
令 Sn = a1 + a2 + a3 + ×××+ an ，
①当1 n 11时， an 0，
所以 an = an，
n 10 +11- n n 21- n
所以 Sn = a1 + a2 + a

3 + × × × + an = a1 + a2 + + an = = ．2 2
②当 n >11时， an < 0，
所以 Sn = a1 + a2 + a3 + ×××+ an ，
= a1 + a2 + + a11 - a12 - a13 - - an ，
= 2(a1 + a2 + + a11) - (a1 + a2 + a3 + + an )，
n(21- n)
= 110 -
2 ．
ìn(n - 21)
+110, n >11
故 Sn =
2
í
n(21 n)
．
- ,1 n 11
2
又 a1 + a2 + a3 + ×××+ an =100，
11 21-11
且当 n 11时 Sn S

11 = = 55 <100，2
n 11 n(n - 21)所以 > ，则 +110 = 1002 ，
解得 n = 20或 n = 1（舍去）.
所以 n = 20 .
【变式 8-3】（2024·高三·河南·期中）已知等差数列 an 的公差为整数， a3 = 9，设其前 n 项和为 Sn ，且
ì S ü 1
í n 是公差为 2 的等差数列． an +1
(1)求 an 的通项公式；
(2)若bn = a2n-1 -80，求数列 bn 的前 n 项和Tn ．
【解析】（1）
S S 1设 an 的公差为 d 2 1，依题意得 - =a2 +1 a1 +1 2
，
2a3 - 3d a3 - 2d 1 18 - 3d 9 - 2d 1
所以 - =a3 - d +1 a
- =
3 - 2d +1 2
，即 ，
10 - d 10 - 2d 2
10
化简得3d 2 - 22d + 40 = 0，解得 d = 4或 （舍去），3
故 a1 = a3 - 2d =1，
an =1+ 4 n -1 = 4n - 3
（2）依题意，bn = a2n-1 -80 = 8n -87．
79 + 87 -8n n
当 n 10 时， bn = 87 -8n，故Tn = = 83n - 4n2 ；2
当 n 11时， bn = 8n -87，
故Tn = -b1 - b2 -L- b10 + b11 + b12 +L+ bn = -2 b1 + b2 +L+ b 210 + b1 + b2 +L+ bn = 4n -83n + 860．
ì83n - 4n2 ,n 10,
故Tn = í
4n
2 -83n + 860,n 11.
【变式 8-4】（2024·安徽宣城·二模）已知数列 an 是首项为 1 的等差数列，公差 d > 0，设数列 an 的前 n
项和为 Sn ，且 S1， S2 ， S4 成等比数列．
(1)求 an 的通项公式；
(2)求数列 an -8 的前 n项和Tn ．
2
【解析】（1）因为 S1, S2 , S4 成等比数列，则有 S2 = S1S4 ，
即 2 + d 2 = 4 + 6d ，而 d > 0，解得 d = 2，则 an = 2n -1，
所以 an 的通项公式是 an = 2n -1．
（2）由（1）知，令bn = an -8 = 2n - 9，则数列 bn 为递增数列，其前 4 项为负值，从第 5 项开始为正值，
设bn 的前 n项和为P P
n(b + b ) n(-7 + 2n - 9)
n，则 n =
1 n = = n2 - 8n ，
2 2
若 n 4，Tn = b1 + b2 + ×××+ bn = - b1 + b2 × × × +bn = -Pn = 8n - n2 ，
若n 5，Tn = b1 + b2 + ×××+ bn = - b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + ×××+ bn = -P4 + Pn - P4
= Pn - 2P
2
4 = n -8n + 32，
ì8n - n2 ,n 4
所以Tn = í 2 , n N
* .
n -8n + 32, n 5
2S
【变式 8-5】（2024·重庆万州·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 n = n -13 .n
(1)求数列 an 的通项公式；
T
(2)若数列 a nn 的前 n项和为Tn ，设Rn = ，求R 的最小值.n n
2S
【解析】（1）因为 n = n -13，所以 2Sn = n(n -13)，n
所以当 n = 1时， 2a1 = -12，所以 a1 = -6；
当 n 2时，2Sn-1 = (n-1)(n-14)，
所以2an = 2Sn -2Sn-1 = 2n-14，
所以an =n-7，
又a1 = -6满足上式，
所以数列 an 的通项公式为an =n-7.
ì7 - n,1 n 7
（2）由（1）知 an = n - 7 = í ，
n - 7, n > 7
2
当1 n 7时，Tn = a1 + a2 + L + an = -a a
13n - n
1 - 2 -L - an = ；2
当 n > 7时，Tn = a1 + a2 +L+ an = -a1 - a2 -L- a7 + a8 +L+ an
2
= (a1 + a
n -13n
2 +L + an ) - 2(a1 + a2 +L + a7 ) = + 42 ；2
ì13- n
R T
,1 n 7
= n = 2所以 n n í n 42 13
，
+ - ,n > 7
2 n 2
13-n 13-7
当1 n 7时，Rn = 递减，所以 (Rn)min = R7 = =3；2 2
当 n > 7时，R
n 42 13
n = + - ，2 n 2
f (x) x 42 13设 = + - (x > 7)，
2 x 2
则 f (x)
1 42 f (x) 1 42= - ，令 = - >0得 x > 2 21 ，此时 f ( x )2 2 单调递增，2 x 2 x
令 f (x)
1 42
= - 2 <0得 7 < x < 2 2 1 ，此时 f ( x ) 单调递减，2 x
所以Rn在7 < n 9 时递减，在 n≥10时递增，
R 9 42 13 8 R 10 42 13 27 8 27而 9 = + - = ， = + - = ，且 < ，2 9 2 3 10 2 10 2 10 3 10
(R ) 8所以 n min = ；3
8
综上，Rn的最小值为 .3
题型九：利用等差数列的单调性求解
【典例 9-1】（2024·北京海淀·三模）已知等差数列 an 的公差为d ，数列 bn 满足 an × bn = 1 n N* ，则
“ d > 0 ”是“ bn 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
1【解析】因为 an × bn = 1 n N* ，所以an 0且bn 0，则bn = a ，n
若 d > 0，不妨令an = -7+2n
1 1
，则b1 = - ，b2 = - ，b3 =-1，b4 =1
1
3 ，
b L4 = ， ，5 3
显然 bn 不单调，故充分性不成立，
若 bn 为递减数列，则 an 不是常数数列，所以 an 单调，
若 an 1单调递减，又 y = 在 - ,0 ， 0, + x 上单调递减，则 bn 为递增数列，矛盾；
所以 an 单调递增，则 d > 0，且 a1 > 0，其中当 a1 < 0， d > 0时也不能满足 bn 为递减数列，故必要性成
立，
故“ d > 0 ”是“ bn 为递减数列”的必要不充分条件.
故选：B
【典例 9-2】（2024·贵州铜仁·二模）设Sn为等差数列 an 的前n项和，且"n N * ，都有an -an+1 > 0，若
a17 +a18 = 0，则（ ）
A．Sn的最小值是S17 B．Sn的最小值是S18
C．Sn的最大值是S17 D．Sn的最大值是S18
【答案】C
【解析】由an -an+1 > 0得an >an+1，∴数列 an 为递减的等差数列，
∵ a17 +a18 = 0，∴ a17 >0，a18 <0，
∴当 n 17 且 n N * 时，a *n > 0，当 n 18且 n N 时，an < 0，
∴ Sn有最大值，最大值为S17.
故选：C.
【方法技巧】
（1 *）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列 an 是递增数列 "n N ，
an+1 an 恒成立”．
（2）数列an = f (n)的单调性与 y = f (x)， x 1,+ 的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数
是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性 / 连续函数由单调性；
连续函数有单调性 离散函数有单调性”．
S S
【变式 9-1】（2024·全国·模拟预测）设Sn为等差数列 a 的前n项和，且"n N * ，都有 n < n+1n .若n n +1
a18 < -1
a ，则（ ）17
A．Sn的最小值是S17 B．Sn的最小值是S18
C．Sn的最大值是S17 D．Sn的最大值是S18
【答案】A
Sn Sn+1 n a1 + an n +1 a + a< < 1 n+1 【解析】由 得： a n n +1 2n 2 n +1
，即 n n+1，
\ 数列 an 为递增的等差数列，
Q a18 < -1
a ，
\a17 < 0，a18 >0，
17
\ 当 n 17 且 n N * 时，an < 0；当 n 18且 n N * 时，an > 0；
\Sn 有最小值，最小值为S17.
故选：A.
【变式 9-2】已知等差数列 an 的前n项和为Sn，公差为d ，且 Sn 单调递增，若a5 = 6，则d 的取值范
围为（ ）
é0, 5 é0,10 A． ê ÷ B． ê ÷ C． 0,
5
÷ D． 0,2
3 7 è 3
【答案】D
【解析】由 an 为等差数列，且a5 = 6，所以 an = 6 + n - 5 d ，
因为数列 Sn 为递增数列，则an = Sn -Sn-1 >0，即 an 从第二项开始，各项均为正数，
又因为 an > 0 n 2 恒成立，所以数列 an 为常数数列或递增数列，所以 d≥0，
则有 a2 = 6 + 2 - 5 d = 6 - 3d > 0，解可得 d < 2，
综上可得，0 < d < 2，所以实数d 的取值范围为 0,2 ．
故选：D．
【变式 9-3】（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为 0 的无穷等差数列 an 的前n项和为Sn，则“ an 为
递减数列”是“存在正整数n0，当 n > n0 时， Sn < 0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为{an}是公差不为 0 的无穷等差数列，若“{an}为递减数列”，
可得{an}的通项公式为一次函数且一次性系数小于 0，一定存在正整数n0，
当 n > n 0 时,有an < 0，故存在n0，当n0远远大于 n 0 时， n > n0 时，此时 Sn < 0，故充分性成立，
d 2 d
若存在正整数n0，当 n > n0 时， Sn = n + a1 - ÷ n < 0，故二次函数开口向下，2 è 2
因此 d < 0，故 an 为递减数列，故必要性成立.
故选：C．
【变式 9-4】设Sn为等差数列 an 的前 n 项和，则对"n N * ， an+1 > an ，是“ nSn+1 > n +1 Sn ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若对"n N * ，都有 an+1 > an ，可得 a2 > a1 , a3 > a2 , a4 > a3 ,L,an+1 > an ，
因为 an an 恒成立，所以an+1 > an > an-1 >L> a2 > a1，即数列 an 为递增数列，
(n +1)(a1 + an+1) n(a1 + an )
Sn+1 S= 2 = a + a , n 2 = a + a ，
n +1 n +1 1 n+1 n n +1 1 n
Sn+1 S所以 > n ，即 nS > n +1 S 成立，所以充分性成立；
n +1 n n+1 n
S S
反之：若对"n N * ，都有 nSn+1 > n +1 Sn ，即 n+1 > n ，n +1 n
(n +1)(a1 + an+1) n(a1 + an)
可得 2 2 ，解得an+1 >a> n，所以d = an+1 -an > 0，
n +1 n
即数列 an 为递增数列，
例如：数列an =n-7为递增数列，可得a1 =-6,a2 =-5，
此时 a2 > a1 不成立，即必要性不成立；
所以对"n N * ， an+1 > an ，是“ nSn+1 > n +1 Sn ”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式 9-5】已知等差数列 an 的前 n 项和为Sn，若S2023 > 0,S2024 < 0，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 an 是递增数列 B． a1013 > a1012
C．当Sn取得最大值时， n =1013 D．S1013 < S1010
【答案】B
【解析】ABC 选项，S2023 > 0,S2024 < 0，
2023 a1 + a∴ 2023 2023 2a＝ 1012 = 2023a
2 2 1012
＞0，
2024 a1 + a2024 2024 a1012 + a＝ 1013 =1012 a1012 + a1013 < 0，2 2
∴ a1012 > 0,a1012 +a1013 < 0，
∴ a1012 >0,a1013 <0，且 a1012 < a1013 ，B 正确；
∴公差 d < 0，等差数列 an 是递减数列，A 错误；
n = 1012 时，Sn取得最大值，C 错误；
D 选项，S1013 = S1010 +a1011 +a1012 +a1013 = S1010 +3a1012 > S1010，D 错误.
故选：B．
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题
【典例 10-1】（多选题）（2024·高三·山东临沂·期中）公差为d 的等差数列{an}的前n项和为Sn，若
S11 >0,S12 <0，则（ ）
A． d > 0 B．a7 > 0
C．{Sn } 中S6最大 D． a4 < a9
【答案】CD
11
【解析】A：由 S11 = (a1 +a11) =11a6 > 0，得a6 > 0，2
12
由 S12 = (a1 + a12 ) = 6(a6 + a7 ) < 0 ，得a6 +a7 < 02 ，所以a7 < 0，所以 d < 0，故 A 错误；
B：由选项 A 的分析知，a7 < 0，故 B 错误；
C：因为a6 > 0，a7 < 0， d < 0，所以数列{an}是递减数列，
其前 6 项为正，从第 7 项起均为负，故S6最大，故 C 正确；
D：由选项 A 的分析知，a6 +a7 < 0，a6 > 0，a7 < 0，
所以 a4 > 0, a9 < 0 ，且 a4 + a9 < 0 ，即a4 <-a9，所以 a4 < a9 ，故 D 正确.
故选：CD
【典例 10-2】（多选题）公差为 d 的等差数列 an ，其前 n 项和为Sn，S11 >0，S12 <0，下列说法正确的
有（ ）
A． d < 0 B．a7 > 0 C． Sn 中S5最大 D． a4 < a9
【答案】AD
11 a + a
【解析】由 S = 1 11 11 =11a6 > 0，得a6 > 0，2
12 a
又 S 1
+ a12
12 = = 6 a6 + a7 < 0，得，a6 +a7 < 0，2
所以a6 > 0，a7 < 0，数列 an 是递减数列，其前 6 项为正，从第 7 项起均为负数，
等差数列 an ，公差 d < 0，A 选项正确；a7 < 0，B 选项错误；前 6 项和最大，C 选项错误；
由a4 > 0，a9 < 0，有 a4 - a9 = a4 + a9 = a6 + a7 < 0，则 a4 < a9 ，D 选项正确.
故选：AD.
【方法技巧】
等差数列中的范围与恒成立问题是数列研究的重要方面。这类问题通常涉及数列的通项公式、前 n
项和公式以及不等式性质的应用。解决这类问题时，需要首先根据题意设定合适的变量，建立等差数列的
通项或前 n 项和的不等式，然后利用不等式的性质进行推导，最终确定变量的取值范围，使得原不等式恒
成立。
1 a +3a
【变式 10-1】（多选题）（2024·海南·模拟预测）已知数列 an 满足a1 = a =1，且a n+2 n3 2 n+1
= ，等差
4
数列 bn 的前 n 项和为Sn，且b9 = 9，S10 = 20，若an+1 ×bn≥l恒成立，则实数 λ 的值可以为（ ）
A．－36 B．－54 C．－81 D．－108
【答案】CD
1
【解析】由a1 = a2 =1，得a1 =1,a2 =3，3
a a由 n+2 +3an
an+2 - an+1 = 3
n+1 = ，得3 a4 n+1
- an = an+2 - an+1，即 a ，n+1 - an
又a2 -a1 = 2，所以 a n + 1 - a n 为等比数列，公比 q = 3 .
a -a = 2×3n-1所以 n+1 n .
由累加法得 an = a1 + a2 - a1 + a3 - a2 + × × × + an - an-1 = 1 + 2 1 + 3 + 32 + 33 + × × × + 3n-2
1 2 1-3
n-1
= + = 3n-1，
1-3
当 n = 1时，a1 =1相符，
a =3n-1所以 n .
已知等差数列 bn 的前 n 项和为Sn，
10 9
则b9 =b1 +8d =9，且 S10 =10b1 + d = 20，2
解得b1 = -7,d = 2，则bn = 2n-9 .
已知an+1 ×b nn≥l恒成立，又an+1 =3 ，
n
则l 3 2n - 9 n，设 cn = 3 2n - 9
因为当 n 5时，cn > 0
因为当 n 4时， cn < 0，
又c1 =-21，c2 =-45，c3 =-81，c4 =-81，
c = 3n故 n 2n - 9 的最小值为c3 = c4 = -81，
所以l -81，
故选：CD.
【变式 10-2】（多选题）已知等差数列 an 的前 n 项和为Sn，当且仅当 n = 12 时Sn取得最大值，则满足
Sk > 0的最大的正整数 k 可能为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】BC
【解析】因为当且仅当 n = 12 时，Sn取得最大值，
所以 a1 > 0，公差 d < 0，且a12 >0，a13 <0．
23 a1 + a23 24 a + a所以 S = = 23a > 0， S = 1 24 25 a + a23 12 24 =12 a

+ a ， S 1 25 12 13 25 = = 25a < 0，2 2 2 13
故 n 25时， Sn < 0．
当a12 +a13 > 0时，S24 >0，则满足 Sk > 0的最大的正整数k为24；
当a12 +a13 0时，S24 0，则满足 Sk > 0的最大的正整数k为23，
故满足 Sk > 0的最大的正整数k可能为23与24．
故选：BC．
【变式 10-3】（多选题）等差数列 an 的前n项和为Sn，已知S10 =0,S15 =25，则（ ）
A．a5 = 0 B． an 的前n项和中S5最小
S
C．使S < 0时 n的最大值为 9 D． nn 的最大值为 0n
【答案】BC
S =10a + 45d = 0 ìa1 = -3
【解析】设等差数列 ìa 10 1 n 的首项为 a1，公差为d ，因为 íS 15a 105d 25，所以 ， 15 = 1 + =
í
d
2
=
3
a 2n -11 n(n -1) 1 10所以 n = a1 + (n -1)d = ， Sn = -3n + = n
2 - n .
3 3 3 3
10 -11 1
对于 A， a5 = = - ，错误；3 3
S 1 n2 10 1 25 25对于 B，因为 n = - n = n - 5
2 - ，所以当 n = 5时， Sn 有最小值 S5 = - ，正确；3 3 3 3 3
1
对于 C，若 Sn = n
2 10- n < 0，则0 < n <10，又 n N*，所以 n的最大值为 9，正确；3 3
S 1 10 ìSn ü S
对于 D，因为 n = n - ，所以数列 í 为关于 n N*的单调递增数列，所以 n 没有最大值，错误.n 3 3 n n
故选：BC.
【变式 10-4】（多选题）设 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项和，且 S5 < S6 ， S6 = S7 > S8，则下列结论正确
的是（ ）.
A． d > 0 B． a7 = 0
C． S9 > S5 D． S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
【答案】BD
【解析】因为 S5 < S6 ， S6 = S7 > S8，
则 a6 = S6 - S5 > 0, a7 = S7 - S6 = 0,a8 = S8 - S7 < 0，故 B 正确；
设等差数列 an 的公差为d ，则 d = a7 - a6 < 0 ，故 A 错误；
可知数列 an 为递减数列，可得 a1 > a2 > ××× > a7 = 0 > a8 > ×××，
可得 a6 + a7 + a8 + a9 = 2 a7 + a8 = 2a8 < 0，
所以 S9 = S5 + a6 + a7 + a8 + a9 < S5 ，故 C 错误；
因为 a6为最后一项正数，根据加法的性质可知： S6 为 Sn 的最大值，
又因为 S6 = S7 ，所以 S6 与 S7 均为 Sn 的最大值，故 D 正确；
故选：BD.
【变式 10-5】（多选题）（2024·山东德州·模拟预测）设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，公差为d ， a1 > 0，
a6 + a7 > 0， a6 ×a7 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A． d < 0
B．当 Sn > 0时， n的最大值为13
ìS ü
C．数列 í n 为等差数列，且和数列 an 的首项、公差均相同
n
ìSn üD．数列 í n
前 n项和为Tn ，T12最大

【答案】AD
【解析】对于 A 选项，若 d > 0，则 an 为递增数列，所以， a7 > a6 > a1 > 0 ，与 a6 ×a7 < 0 矛盾，
若 d = 0 ，则 an 为常数列，所以， a7 = a6 = a1 > 0 ，与 a6 ×a7 < 0 矛盾，
ìa + a > 0
若 d < 0 ，则 an 为递减数列，则 a1 > a6 > a 6 77 ，由 í 可得 a6 > 0 > aa a 0 7 ，合乎题意，A 对； 6 × 7 <
12 a + a
对于 B 选项，由 A 选项可知， a > 0， a < 0， S = 1 12 6 7 12 = 6 a6 + a7 > 0，2
a1 + aS 13 13 = 13 =13a7 < 0，2
所以，当 Sn > 0时， n的最大值为12，B 错；
n n -1
C S na d S n -1对于 选项， n = 1 + ，则 n = a2 n 1
+ d ，
2
Sn+1 Sn
所以， - = a
nd n -1 d
1 + ÷ -
a + d 1 ÷ = ，n +1 n è 2 è 2 2
ìSn ü d
所以，数列 í 为等差数列，且其首项为 a1，公差为 ，C 错；
n 2
对于 D 选项，由 a6 > 0得 a1 + 5d > 0 ，由 a7 < 0得 a1 + 6d < 0，
由 a6 + a7 > 0得 2a1 +11d > 0，即 a
11
1 + d > 0，2
b S令 n = n ，bn = a1 + n
d
-1 ，则等差数列 bn 为递减数列，n 2
且b11 = a + 5d > 0 b a
11d
1 ， 12 = 1 + > 0，b = a2 13 1
+ 6d < 0，
ìSn ü
所以，数列 í 前 n项和为Tn ，T12最大，D 对.
n
故选：AD.
1．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S9 =1，则 a3 + a7 =
（ ）
7
A．-2 B． C 1 D
2
． ．
3 9
【答案】D
【解析】方法一：利用等差数列的基本量
由 S9 =1
9 8
，根据等差数列的求和公式， S9 = 9a1 + d =1 9a2 1
+ 36d =1，
a 2 2又 3 + a7 = a1 + 2d + a1 + 6d = 2a1 + 8d = (9a1 + 36d ) = .9 9
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，a1 + a9 = a3 + a7，由 S9 =1，根据等差数列的求和公式，
S 9(a1 + a9 ) 9(a3 + a ) 29 = = 7 =1，故 a3 + a7 = .2 2 9
故选：D
方法三：特殊值法
1 2
不妨取等差数列公差 d = 0 ，则 S9 =1 = 9a1 a1 = ，则 a3 + a9 7
= 2a1 = .9
故选：D
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，已知 S5 = S10 ， a5 =1，则
a1 =（ ）
7 7 1 7
A． B． C．- D．-
2 3 3 11
【答案】B
【解析】由 S10 - S5 = a6 + a7 + a8 + a9 + a10 = 5a8 = 0，则 a8 = 0，
a d a8 - a5 1 1 7则等差数列 n 的公差 = = - ，故 a1 = a5 - 4d =1- 4 - ÷ = .3 3 è 3 3
故选：B.
3．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和．若a2 + a6 = 10,a4a8 = 45，则
S5 =（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列 an 的公差为d ，首项为 a1，依题意可得，
a2 + a6 = a1 + d + a1 + 5d =10，即 a1 + 3d = 5 ,
又 a4a8 = a1 + 3d a1 + 7d = 45，解得： d =1,a1 = 2，
所以 S5 = 5a
5 4
1 + d = 5 2 +10 = 20．2
故选：C.
方法二： a2 + a6 = 2a4 =10 ， a4a8 = 45，所以 a4 = 5，a8 = 9，
a - a
从而 d = 8 4 =1，于是 a = a - d = 5 -1 = 4，
8 - 4 3 4
所以 S5 = 5a3 = 20．
故选：C.
a 2p4．（2023 *年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列 n 的公差为 3 ，集合 S = cosan n N ，若
S = a,b ，则 ab =（ ）
1
A 1．－1 B．- C．0 D．
2 2
【答案】B
{a } a a (n 1) 2π 2π 2π【解析】依题意，等差数列 n 中， n = 1 + - × = n + (a1 - )，3 3 3
2π
显然函数 y = cos[ n + (a
2π
1 - )]的周期为 3，而3 3 n N
* ，即 cos an 最多 3 个不同取值，又
{cos an | n N
*} = {a,b}，
则在 cos a1, cos a2 , cos a3中， cos a1 = cos a2 cos a3 或 cos a1 cos a2 = cos a3 ，
cosq cos(q 2π 2π于是有 = + )，即有q + (q + ) = 2kπ, k Z，解得q = kπ
π
- , k Z，
3 3 3
π π 4π
所以 k Z， ab = cos(kπ - ) cos[(kπ - ) + ] = -cos(kπ
π
- ) cos kπ cos2 kπ cos π 1= - = - .
3 3 3 3 3 2
故选：B
1．在等差数列 an 中， an = m， am = n，且 n m，求 am-n ．
【解析】设等差数列 an 的公差为d
ìan = a1 + (n -1)d = m ìa1 = m + n -1
则 í
am = a1 + (m -1)d = n
í
d = -1
所以 am-n = a1 + (m - n -1)d = m + n -1- m + n +1 = 2n
2．已知数列 an ， bn 都是等差数列，公差分别为 d1， d2 ，数列 cn 满足 cn = an + 2bn ．
（1）数列 cn 是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若 an ， bn 的公差都等于 2， a1 = b1 =1，求数列 cn 的通项公式．
【解析】（1）数列 cn 是等差数列，
证明：因为数列 an ， bn 都是等差数列，公差分别为 d1， d2 ，
所以 an = a1 + n -1 d1,bn = b1 + n -1 d2 ，
又因为 cn = an + 2bn = a1 + 2b1 + n -1 d1 + 2d2 ，
故 cn+1 - cn = é a1 + 2b1 + n d1 + 2d2 ù - é a1 + 2b1 + n -1 d1 + 2d2 ù = d1 + 2d2，
而 c1 = a1 + 2b1，所以数列 cn 是以 a1 + 2b1 为首项， d1 + 2d2 为公差的等差数列.
（2）由（1）知：数列 cn 是以 a1 + 2b1 为首项， d1 + 2d2 为公差的等差数列，
而 c1 = a1 + 2b1 = 3， d1 + 2d2 = 6，
所以 cn = 3+ 6 n -1 = 6n - 3 .
3．已知一个无穷等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d．
（1）将数列中的前 m 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首
项和公差分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公
差分别是多少？
（3）取出数列中所有序号为 7 的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论
作出一个猜想吗？
【解析】（1）由题意可知，将无穷等差数列 an 的前 m 项去掉，其余各项组成一个新的数列为：
am+1, am+2 , am+3 ,L，这个新数列是等差数列，首项为 am+1 = a1 + md ，公差为d .
（2）由题意可知，取出无穷等差数列 an 中的所有奇数项，组成一个新的数列为：
a1, a3 , a5 ,L,a2n+1,L，这个新数列是等差数列，首项为 a1，公差为 2d .
（3）由题意可知，取出无穷等差数列 an 中所有序号为 7 的倍数的项，组成一个新的数列为：
a7 , a14 , a21,L, a7n ,L，这个新数列是等差数列，首项为 a7 = a1 + 6d ，公差为 a14 - a7 = 7d .
猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.
4．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为 290，所有偶数项的和为 261．求此数列中间
一项的值以及项数．
【解析】设等差数列的项数为 2n -1，
设所有的奇数项和为S，则 S
n(a1 + a= 2n-1) = nan ，2
(n -1)(a + a )
设所有的偶数项和为T ，则T = 2 2n-2 = (n -1)a
2 n
，
T n -1 261 9
= = = ，解得 n =10 ，
S n 290 10
项数2n -1 = 19 ，中间项为 a10 ，
由 S =10a10 = 290,a10 = 29，
所以此数列中间一项是 29，项数为19 .
5．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最
上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球……设各层球数构成一个数列 an ．
（1）写出数列 an 的一个递推公式；
（2）根据（1）中的递推公式，写出数列 an 的一个通项公式．
【解析】（1）由题意可知，
a1 =1，
a2 = a1 + 2 = 1+ 2 ，
a3 = a2 + 3 = 1+ 2 + 3， ，
an = an-1 + n；
所以数列 an 的一个递推公式为 an = an-1 + n；
（2）由题意， an = an-1 + n = 1+ 2 + 3 + + n ，
a 1 2 3 n n(n +1)故 n = + + + + = 2 ，
a n(n +1)所以数列 n 的一个通项公式为 an = .2
6．已知两个等差数列 2，6，10，…，190 及 2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大
的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．
【解析】有两个等差数列 2，6，10，…，190 及 2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182 是两个数列
的相同项.
182 - 2
共有 +1 =16个，也是等差数列，
12
2 +182
它们的和为 16 =1472，
2
这个新数列的各项之和为 1472
易错点：忽视数列的首项
ìS1(n =1),
易错分析：由 Sn 求通项公式 an ，可用 an = í 求解．当 n =1时，如果不适合
Sn - Sn-1(n…2)
an = Sn - Sn-1，则应写成分段形式．
【易错题 1】已知数列 an 的前 n S S = n2项和为 n ，且 n + n - 2，则数列 an 通项公式 an = ．
ì0, n =1
【答案】 í
2n,n 2
【解析】当 n = 1时， a1 = S1 = 0；
当 n 2时， an = S - S
2 2
n n-1 = n + n - 2 - é (n -1) + (n -1) - 2ù = 2n ，
因为 a1 = 0不符合上式，
ì0, n =1
所以 an = í .
2n,n 2
ì0, n =1
故答案为： í
2n,n 2
【易错题 2 2】数列 an 的前 n项和 Sn = n - 2n - 2，则该数列的通项 an = .
ì-3 n =1
【答案】 í
2n - 3 n 2
【解析】当 n = 1时, a1 = S1 =1- 2 - 2 = -3 .
2
当 n 2时, an = Sn - S
2 é ù
n-1 = n - 2n - 2 - n -1 - 2 n -1 - 2 =
= 2n -1- 2 = 2n - 3 .
ì-3 n =1
故 an = í .
2n - 3 n 2
ì-3 n =1
故答案为： í
2n - 3 n 2第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：等差数列的有关概念.........................................................................................................4
知识点 2：等差数列的有关公式.........................................................................................................4
知识点 3：等差数列的常用性质.........................................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：等差数列的基本量运算........................................................................................................6
题型二：等差数列的判定与证明........................................................................................................7
题型三：等差数列的性质....................................................................................................................9
题型四：等差数列前 n 项和的性质....................................................................................................9
题型五：等差数列前 n 项和的最值..................................................................................................10
题型六：等差数列的实际应用..........................................................................................................12
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论......................................................................................13
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题..................................................................................14
题型九：利用等差数列的单调性求解..............................................................................................16
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题......................................................................................18
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................19
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................20
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................21
易错点：忽视数列的首项..................................................................................................................21
考点要求 考题统计 考情分析
2024 年甲卷（文）第 5 题，5 分
（1）等差数列的概念 2024 年 II 卷第 12 题，5 分 （1）选择题、填空题多单独考查基本量的计
（2）等差数列的通项公 2023 年甲卷（文）第 5 题，5 分 算．
式与求和 2023 年 I 卷第 7 题，5 分 （2）解答题多与等比数列结合考查，或结合
（3）等差数列的性质 2022 年上海卷第 10 题，5 分 实际问题或其他知识考查．
2022 年乙卷（文）第 13 题，5 分
复习目标：
（1）理解等差数列的概念．
（2）掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式．
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．
（4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
知识点 1：等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，定义表达式为 an - an－1 = d （常数）
(n N *，n 2) ．
（2）等差中项
若三个数 a， A，b 成等差数列，则 A叫做 a与b 的等差中项，且有 ．
A= a + b
2
a 1
【诊断自测】（2024·江苏连云港· n模拟预测）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn = +2 a ．证明：数列n
S 2n 是等差数列；
知识点 2：等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d ，那么它的通项公式是 an = a1 + (n -1)d ．
（2）等差数列的前 n项和公式
n(a + a )
设等差数列{an} d n S na
n(n -1)
的公差为 ，其前 项和 n = 1 + d = 1 n ．2 2
【诊断自测】（2024·四川凉山·二模）设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a3 + a5 =10， a4a9 = 50，则
S6 = ．
知识点 3：等差数列的常用性质
已知{an}为等差数列， d 为公差， Sn 为该数列的前 n项和．
（1）通项公式的推广： an = am + (n - m)d (n，m N
*) ．
（2）在等差数列{an}中，当m + n = p + q 时， a m +an = ap + aq (m，n，p，q N
*) ．
特别地，若m + n = 2t ，则 a m +a = 2a
*
n t (m，n，t N ) ．
（3） ak，ak＋m，a
*
k＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k，m N )．
（4） Sn，S2n－Sn，S3n－S2n ，…也成等差数列，公差为 n
2d ．
（5）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan + qbn}也是等差数列．
6 S 1（ ）若{an}是等差数列，则{ n }也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 ．n 2
S a
（7）若项数为偶数 2n ，则 S2n = n(a1 + a2n ) = n(an + an+1) ； S －S奇＝nd ；
奇 = n
偶 ．S a
偶 n+1
S n
（8）若项数为奇数 2n -1，则 S2n－1 = (2n -1)an ； S －S =a ；
奇
奇 n =偶 ．S n -1
偶
ìa 0
（9）在等差数列 {an}中，若 a1 > 0，d < 0
m
，则满足 í 的项数 m 使得 Sn 取得最大值 Sm ；若
am+1 0
ìa 0
a1 < 0，d > 0
m
，则满足 í 的项数m 使得 Sn 取得最小值 Sa 0 m
．
m+1
d d
（10） Sn = n
2 + (a1 - )n ．数列{an}是等差数列 S
2
n = An + Bn （ A、B 为常数）．2 2
（11）等差数列的前 n 项和的最值
公差 d > 0 {an}为递增等差数列， Sn 有最小值；
公差 d < 0 {an}为递减等差数列， Sn 有最大值；
公差 d = 0 {an}为常数列．
特别地
ìa
若 1
> 0
í ，则 Sn 有最大值（所有正项或非负项之和）；
d < 0
ìa1 < 0若 í ，则 Sn 有最小值（所有负项或非正项之和）．
d > 0
（12）若已知等差数列{an}，公差为 d ，前 n项和为 Sn ，则：
①等间距抽取 ap ,ap+t ,ap+2t ,Lap+(n-1)t ,L为等差数列，公差为 td ．
②等长度截取 Sm , S2m - Sm , S3m - S
2
2m ,L为等差数列，公差为m d ．
③ S算术平均值 1 , S2 , S3 ,L d为等差数列，公差为 ．
1 2 3 2
1
【诊断自测】已知数列 an 为等差数列， a1 + a3 + a4 = 24，则 a2 + a3 = ．2
解题方法总结
（1）等差数列{an}中，若 an = m,am = n(m n,m,n N
* ) ，则 am+n = 0 ．
（2）等差数列{a }中，若 S = m, S = n(m n,m,n N *n n m ) ，则 Sm+n = -(m + n) ．
（3）等差数列{a }中，若 S = S (m n,m,n N *n n m ) ，则 Sm+n = 0．
a S
（4）若{an}与{bn}为等差数列，且前 n项和为 S 与T
m 2m-1
n n ，则 = ．bm T2m-1
题型一：等差数列的基本量运算
【典例 1-1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 =15,a4 = 9，则 a5 =
（ ）
A．3 B．7 C．11 D．23
【典例 1-2】（2024·广东汕头·三模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a2 = 3， a2n = 2an +1，若
Sn + an+1 =100，则 n =（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【方法技巧】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差 d 或项数 n．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项． a1和 d 是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前 n项和．利用等差数列的前 n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式 1-1】已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S9 =1，则 a3 + a7 =（ ）
7
A 2．-2 B． C．1 D．
3 9
【变式 1-2】（2024·天津滨海新·三模）已知数列 an 为各项不为零的等差数列， Sn 为数列 an 的前 n项和，
4Sn = an ×an+1，则a8的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【变式 1-3】（2024·辽宁·模拟预测）等差数列 an 的前 n项和记为 Sn ，若 a1 = 2， a3 + a7 = 8，则 S17 =（ ）
A．51 B．102 C．119 D．238
【变式 1-4】（2024·北京·模拟预测）记等差数列 an 的公差为d ，前 n项和为 Sn ，若a5 + a11 = 62，且
S13 = 351，则该数列的公差d 为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型二：等差数列的判定与证明
* 2
【典例 2-1】已知数列 an n N 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn+1 + Sn = 3n + 6n + 3， a1 = 2 .记bn = an + an+1判断
bn 是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由.
【典例 2-2】（2024· 2全国·模拟预测）数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn = nan+1 - n - n ( n N* )．证明：
an 是等差数列；
【方法技巧】
判断数列 an 是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意 n N*, an+1 - an 是周一常数．
（2）等差中项法：对任意 n…2, n N*，湍足 2an = an+1 + an-1．
（3）通项公式法：对任意 n N* ，都满足 an = pn + q( p,q为常数）．
（4）前 n 项和公式法：对任意 n N* ，都湍足 Sn = An
2 + Bn(A, B 为常数）．
2n+1a
【变式 2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 = 2, an+1 = n .an + 2n
ì2n ü
证明：数列 ía 是等差数列； n
【变式 2-2】已知数列 an 有 a1 = a ， a2 = p（常数 p > 0），对任意的正整数 n， Sn = a1 + a2 + ×××+ an ，并有
S n an - a n 满足 Sn = 1 ．2
(1)求 a 的值；
(2)试确定数列 an 是不是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由．
2-3 a a = 3 2n +1 a - 2n+1 +1 a = 2n+1 +1 2n+1【变式 】已知数列 满足 ，且 + 2 .n 1 n+1 n
ì a ü
(1)证明：数列 í n
2n
是等差数列；
+1
ì an ü(2)求 í 的前 n项和 S .
2n -1
n

n a + a
【变式 2-4】（2024·重庆·三模）已知数列 a 的前 n项和为 S ，满足 S = 1 n ， n N*n n n .2
(1)证明：数列 an 是等差数列；
(2)若数列 an 的公差不为 0，数列 an 中的部分项组成数列 ak1 ， ak2 ， ak3 ，…， akn 恰为等比数列，其中
k1 =1， k2 = 4， k3 = 10 ，求数列 kn 的通项公式.
题型三：等差数列的性质
a10
【典例 3-1】（2024·高三·上海·期中）已知等差数列 an 的前 n项的和为 Sn ，且 = -1， S15 = Sk k 15a ，11
则正整数 k 的值为 .
【典例 3-2】（2024·上海·模拟预测）记等差数列 an 的前 n项和为 Sn ， a7 = 6，则 S13 = .
【方法技巧】
如果{an}为等差数列，当m + n = p + q 时， a m +a
*
n = ap + aq (m，n，p，q N )．因此，出现
am－n ，am ，am＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 am （或其他项）有关的条件；若求 am 项，可
1
由 am = (am－n + am＋n ) 转化为求am-n + an+m 的值．2
【变式 3-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S28 = 56，则
a12 + a13 + a14 + a15 + a16 + a17 = .
*
【变式 3-2】已知数列{an} n N 是等差数列， Sn 是其前 n 项和．若 a2a5 + a8 = 0, S9 = 27 ，则 S8 = ．
题型四：等差数列前 n 项和的性质
【典例 4-1】（2024·高三·天津宁河·期末）已知等差数列 an ， bn 的前 n项和分别为 Sn ，Tn ，且
Sn 2n +1 a= 5
T 4n ，则
=
n b + b
．
3 7
【典例 4-2】在等差数列 an 中， a1 = -2020，其前 n S
S
项和为 ，若 12
S
- 10n = 2，则 S = .12 10 2022
【方法技巧】
S
在等差数列中， S nn，S2n－Sn，S3n－S2n ，…仍成等差数列；{ }也成等差数列．n
S 5n - 3
【变式 4-1】等差数列 an ， bn 的前 n 项和分别为 Sn ，Tn ，若对任意的正整数 n n都有 =T 2n +1 ，则 n
a7 =
b .7
A
{b } n 7n + 33
a
4-2 {a } n A B = n【变式 】已知两个等差数列 n 和 n 的前 项和分别为 n 和 n ，且 Bn n + 3
，则使得 b 为整数的n
正整数 n 的集合是 .
【变式 4-3】已知等差数列 an , bn
Sn 7n + 45 an
的前 n项和分别为 Sn 和Tn ，若 = nT ，且n n + 3 b
是整数，则 的值
2n
为 .
【变式 4-4】已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S8 =12， S12 =15，则 S16 = .
【变式 4-5】（2024·江西上饶·一模）已知数列 an 、 bn 均为正项等比数列，Pn、Qn分别为数列 an 、
ln Pb n n 5n - 7 ln a3n 的前 项积，且 =ln Q 2n ，则 ln b 的值为 .n 3
题型五：等差数列前 n 项和的最值
【典例 5-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列 an 中， a1 > 0， S7 = S9 ，则使得前 n 项的和最大的 n 值为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【典例 5-2】（2024·山东泰安·三模）已知 Sn 为等差数列 an 的前 n项和， a1 = -21， S7 = S15 ，则 Sn 的最小
值为（ ）
A．-99 B． -100 C．-110 D． -121
【方法技巧】
求等差数列前 n项和 Sn 最值的 2 种方法
（1）函数法：利用等差数列前 n项和的函数表达式 S 2n = an ＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最
值的方法求解．
ìam 0
（2）邻项变号法：①若 a1 > 0，d < 0，则满足 í 的项数m 使得 Sn 取得最大值 Sm ；
am+1 0
ìam 0②若 a1 < 0，d > 0，则满足 í 的项数m 使得 Sn 取得最小值 Sm ．
am+1 0
【变式 5-1】（2024·全国·模拟预测）已知 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，若3a10 + a12 < 0 ， a8 + 3a12 > 0 ，
则当 Sn 取最小值时， n =（ ）
A．9 B．10 C．10 或 11 D．11
【变式 5-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 an 是等差数列， Sn 是其前 n项的和，则下列结论错误
的是（ ）
A．若 an = 2n - 25，则 Sn 取最小值时 n的值为 12
B．若 an = -3n + 27，则 Sn 的最大值为 108
C．若 S13 = S17 ，则必有 S30 = 0
D．若首项 a1 > 0， S6 = S12 ，则 Sn 取最小值时 n的值为 9
【变式 5-3】（2024·山东·二模）已知数列 an ,a1 = 13,an+1 = an - 4．求：
(1)数列 an 的通项公式；
(2)数列 an 的前 n项和 Sn 的最大值．
题型六：等差数列的实际应用
【典例 6-1】（2024·云南曲靖·二模）小明同学用 60 元恰好购买了 3 本课外书，若三本书的单价既构成等差
数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（ ）
A．25 元 B．18 元 C．20 元 D．16 元
【典例 6-2】中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于 2024 年 4 月执行载人航天飞行任
务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 2km，以后每秒钟通过的路程都
增加3km ，在达到离地面 222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的
时间是（ ）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
【方法技巧】
利用等差数列的通项公式与求和公式求解.
【变式 6-1】（2024·高三·浙江嘉兴·期末）卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有
单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为 40mm，卫生
纸厚度为 0.1mm．若未使用时直径为 90mm，使用一段时间后直径为 60mm，则这个卷筒卫生纸大约已经
使用了（ ）
A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m
【变式 6-2】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动
（积分可兑换礼品），第一天打卡得 1 积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多 2 分．若某
天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从 1 积分重新开始．某会员参与打卡活动，从 3 月 1 日开始，
到 3 月 20 日他共得 193 积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3 月 5 日或 3 月 16 日 B．3 月 6 日或 3 月 15 日
C．3 月 7 日或 3 月 14 日 D．3 月 8 日或 3 月 13 日
【变式 6-3】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学
软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为 1 的线段 AB ，作一个等边三角形 ABC ，然后以点
B 为圆心， AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点 D（第一段圆弧），再以点 C 为圆心，CD 为半
径逆时针画圆弧交线段 AC 的延长线于点 E，再以点 A 为圆心， AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当
得到的“蚊香”恰好有 15 段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A． 44π B． 64π C．70π D．80π
【变式 6-4】（2024·河北唐山·模拟预测）2022 年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次
在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继 2002 年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足
球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，
派发规则如下：①对于会员编号能被 2 整除余 1 且被 7 整除余 1 的可以获得精品足球一个；②对于不符合
①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有 1456 人（编号为 1 号到 1456 号，中间没有空
缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102 B．103 C．104 D．105
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论
ìa7-1 a b = n
- 6, n为奇数
【典例 】已知 n 为等差数列， n í ，记 Sn ，Tn 分别为数列 an ， bn 的前 n 项和，
2an , n为偶数
S4 = 32，T3 =16．
(1)求 an 的通项公式；
(2)证明：当n > 5时，Tn > Sn．
【典例 7-2】已知数列 an 满足 a1 =1， a2 = 2， an+2 - an = 3 .
(1)求 a2n；
(2)当 n为奇数时，求数列 an 的前 n项和 Sn .
【方法技巧】
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从 n为奇数、偶数进行分类．
ì2n + 2，n为奇数，
【变式 7-1】已知数列{an}的通项公式为 an = í
n +1，n为偶数.
(1)求数列{a2n}的前 n项和 Sn ；
(2)设bn = a2n-1，求数列{b × 3n-1n }的前 n项和Tn ．
ìa + 2,n为奇数
【变式 7-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 中， a2 = 2a1 = 2 n，且 an+2 = í ．
4an，n为偶数
(1)求 an 的通项公式；
(2)求 an 的前 n项和 Sn ．
【变式 7-3】（2024·高三·湖北·期中）已知数列 an 的各项均为正数，其前 n项和为 Sn ，且
a2n = 4Sn - 2an -1 .
(1)求 an ， Sn ；
ì 2 2
,n为奇数
(2)设bn = í an +1 + an + 5 ，求数列 bn 的前 8 项和T8 .

Sn - Sn-1,n为偶数
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题
1
【典例 8-1】（2024· 2 *
9
四川成都·二模）已知数列 an 的前 n 项和 Sn = - n + kn k N ，且 Sn 的最大值为 ．2 2
(1)确定常数 k ，并求 an ；
(2)求数列 an 的前 15 项和T15．
【典例 8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知数列 a ìSS n ün 的前 n 项和为 n .若 í 为等差数列，且满足
n
S S41 = 8， = 5 .4
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设Tn = a1 + a2 + ×××+ an ，求Tn .
【方法技巧】
由正项开始的递减等差数列 an 的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项 an0
（2）在对 n进行讨论，当 n n0 时，Tn = Sn ，当 n > n0 时，Tn = 2Sn - S0 n
【变式 8-1】（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列 an 满足 a7a9a11 = 64, a12 + 2是a9与 a13 的等差中项．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若bn = log2an ，求数列 bn 的前 n项和．
【变式 8-2】（2024·高三·上海·期中）在公差为d 的等差数列 an 中，已知 a1 =10，且 a1， 2a2 + 2，5a3 成
等比数列．
(1)求d ， an ；
(2)若 d < 0 ， a1 + a2 + a3 + ×××+ an =100，求 n．
【变式 8-3】（2024·高三·河南·期中）已知等差数列 an 的公差为整数， a3 = 9，设其前 n 项和为 Sn ，且
ì S ü 1
í n 是公差为 2 的等差数列． an +1
(1)求 an 的通项公式；
(2)若bn = a2n-1 -80，求数列 bn 的前 n 项和Tn ．
【变式 8-4】（2024·安徽宣城·二模）已知数列 an 是首项为 1 的等差数列，公差 d > 0，设数列 an 的前 n
项和为 Sn ，且 S1， S2 ， S4 成等比数列．
(1)求 an 的通项公式；
(2)求数列 an -8 的前 n项和Tn ．
2S
【变式 8-5】（2024·重庆万州·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 S nn ，且 = n -13 .n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 an 的前 n T项和为T nn ，设Rn = ，求Rn的最小值.n
题型九：利用等差数列的单调性求解
*
【典例 9-1】（2024·北京海淀·三模）已知等差数列 an 的公差为d ，数列 bn 满足an ×bn = 1 n N ，则
“ d > 0 ”是“ bn 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例 9-2】（2024·贵州铜仁·二模）设 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，且"n N*，都有 an - an+1 > 0 ，若
a17 + a18 = 0，则（ ）
A． Sn 的最小值是 S17 B． Sn 的最小值是 S18
C． Sn 的最大值是 S17 D． Sn 的最大值是 S18
【方法技巧】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列 an 是递增数列 "n N *，
an+1 an 恒成立”．
（2）数列 an = f (n)的单调性与 y = f (x) ， x 1,+ 的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数
是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性 / 连续函数由单调性；
连续函数有单调性 离散函数有单调性”．
S S
【变式 9-1】（2024·全国·模拟预测）设 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，且"n N* ，都有 n < n+1 .若n n +1
a18 < -1
a ，则（ ）17
A． Sn 的最小值是 S17 B． Sn 的最小值是 S18
C． Sn 的最大值是 S17 D． Sn 的最大值是 S18
【变式 9-2】已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，公差为d ，且 Sn 单调递增，若 a5 = 6，则d 的取值范围
为（ ）
é0, 5 é0,10 0, 5 A． ê ÷ B． ê ÷ C． ÷ D． 0,2 3 7 è 3
【变式 9-3】（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为 0 的无穷等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，则“ an 为递
减数列”是“存在正整数 n0 ，当 n > n0时，Sn < 0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 9-4】设 S *n 为等差数列 an 的前 n 项和，则对"n N ， an+1 > an ，是“ nSn+1 > n+1 Sn ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 9-5】已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S2023 > 0, S2024 < 0，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 an 是递增数列 B． a1013 > a1012
C．当 Sn 取得最大值时， n =1013 D． S1013 < S1010
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题
【典例 10-1】（多选题）（2024·高三·山东临沂·期中）公差为d 的等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，若
S11 > 0, S12 < 0，则（ ）
A． d > 0 B． a7 > 0
C．{Sn}中 S6 最大 D． a4 < a9
【典例 10-2】（多选题）公差为 d 的等差数列 an ，其前 n 项和为 Sn ， S11 > 0， S12 < 0，下列说法正确的
有（ ）
A． d < 0 B． a7 > 0 C． Sn 中 S5 最大 D． a4 < a9
【方法技巧】
等差数列中的范围与恒成立问题是数列研究的重要方面。这类问题通常涉及数列的通项公式、前 n
项和公式以及不等式性质的应用。解决这类问题时，需要首先根据题意设定合适的变量，建立等差数列的
通项或前 n 项和的不等式，然后利用不等式的性质进行推导，最终确定变量的取值范围，使得原不等式恒
成立。
1 a + 3a
【变式 10-1】（多选题）（2024·海南·模拟预测）已知数列 an 满足 a = a = 1，且 a = n+2 n1 2 n+1 ，等差3 4
数列 bn 的前 n 项和为 Sn ，且b9 = 9， S10 = 20，若 an+1 ×bn ≥l 恒成立，则实数 λ 的值可以为（ ）
A．－36 B．－54 C．－81 D．－108
【变式 10-2】（多选题）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，当且仅当 n =12 时 Sn 取得最大值，则满足
Sk > 0的最大的正整数 k 可能为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【变式 10-3】（多选题）等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，已知 S10 = 0, S15 = 25，则（ ）
A． a5 = 0 B． an 的前 n项和中 S5 最小
S
C．使Sn < 0时 n的最大值为 9 D． n 的最大值为 0n
【变式 10-4】（多选题）设 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项和，且 S5 < S6 ， S6 = S7 > S8，则下列结论正确
的是（ ）.
A． d > 0 B． a7 = 0
C． S9 > S5 D． S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
【变式 10-5】（多选题）（2024·山东德州·模拟预测）设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，公差为d ， a1 > 0，
a6 + a7 > 0， a6 ×a7 < 0 ，下列结论正确的是（ ）
A． d < 0
B．当 Sn > 0时， n的最大值为13
ìS
C í n
ü
．数列 为等差数列，且和数列 an 的首项、公差均相同
n
ìS ü
D n．数列 í 前 n项和为Tn ，T12最大
n
1．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，若 S9 =1，则 a3 + a7 =
（ ）
7
A．-2 B． C．1 D
2
．
3 9
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和，已知 S5 = S10 ， a5 =1，则
a1 =（ ）
7 7 1 7
A． B． C．- D．-
2 3 3 11
3．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）记 Sn 为等差数列 an 的前 n项和．若a2 + a6 = 10,a4a8 = 45，则
S5 =（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
2p
4．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列 an 的公差为 ，集合 S =3 cosa n N
*
n ，若
S = a,b ，则 ab =（ ）
1
A．－1 B．- C．0 D 1．
2 2
1．在等差数列 an 中， an = m， am = n，且 n m，求 am-n ．
2．已知数列 an ， bn 都是等差数列，公差分别为 d1， d2 ，数列 cn 满足 cn = an + 2bn ．
（1）数列 cn 是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（2）若 an ， bn 的公差都等于 2， a1 = b1 =1，求数列 cn 的通项公式．
3．已知一个无穷等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d．
（1）将数列中的前 m 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首
项和公差分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公
差分别是多少？
（3）取出数列中所有序号为 7 的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论
作出一个猜想吗？
4．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为 290，所有偶数项的和为 261．求此数列中间
一项的值以及项数．
5．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最
上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球……设各层球数构成一个数列 an ．
（1）写出数列 an 的一个递推公式；
（2）根据（1）中的递推公式，写出数列 an 的一个通项公式．
6．已知两个等差数列 2，6，10，…，190 及 2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大
的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．
易错点：忽视数列的首项
ìS1(n =1),
易错分析：由 Sn 求通项公式 an ，可用 an = í 求解．当 n =1时，如果不适合
Sn - Sn-1(n…2)
an = Sn - Sn-1，则应写成分段形式．
2
【易错题 1】已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn = n + n - 2，则数列 an 通项公式 an = ．
【易错题 2】数列 an 的前 n项和 Sn = n2 - 2n - 2，则该数列的通项 an = .

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