资源简介

第 03 讲 三角函数的图象与性质
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 .........................................................................4
知识点 2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质 .............................................................................4
知识点 3： y = Asin(wx + f) 与 y = Acos(wx + f)(A > 0, w > 0) 的图像与性质 ...........................................6
解题方法总结 ........................................................................................................................................8
题型一：五点作图法 ............................................................................................................................9
题型二：函数的奇偶性 ......................................................................................................................11
题型三：函数的周期性 ......................................................................................................................12
题型四：函数的单调性 ......................................................................................................................14
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） ..............................................................................16
题型六：函数的定义域、值域（最值） ..........................................................................................17
题型七：三角函数性质的综合应用 ..................................................................................................19
题型八：根据条件确定解析式 ..........................................................................................................21
题型九：三角函数图像变换 ..............................................................................................................24
题型十：三角函数实际应用问题 ......................................................................................................26
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................29
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................30
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................32
易错点：三角函数图象变换错误 ......................................................................................................32
答题模板：求三角函数解析式 ..........................................................................................................33
考点要求 考题统计 考情分析
（1）正弦函数、余弦函 2024年天津卷第 7题，5分 本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、
数和正切函数的图像性质 2024年北京卷第 6题，5分 周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点
（2）三角函数图像的平 2024年 II卷第 9题，6分 内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向
移与变换 2023年甲卷第 12题，5分 量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注
（3）三角函数实际应用 2023年天津卷第 5题，5分 重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意
问题 2023年 I卷第 15题，5分 识．
复习目标：
（1）理解正、余弦函数在区间[0,2p ]内的性质．理解正切函数在区间 p p - ,

÷内的单调性．
è 2 2
（2）了解函数 y = Asin(wx + j)的物理意义，能画出 y = Asin(wx + j)的图像，了解参数 A,w,j对函数图像的
影响．
（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题．
知识点 1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数 y = sin x ， x [0，2p ] 的图象中，五个关键点是：
(0，0) p 3p，( ，1)，(p ，0)，( ，-1)，(2p ，0) ．
2 2
（2）在余弦函数 y = cos x ， x [0，2p ] 的图象中，五个关键点是：
(0，1) (p， ，0)，(p ，-1) (3p， ，0)，(2p ，1) ．
2 2
ur r ur r
【诊断自测】已知向量 p = 3,1 ，向量 q = sinx,cosx ，令 f x = p × q．
x 0 2π
f x
(1)化简 f x ，并在给出的直角坐标系中用描点法画出函数 y = f x 在 0,2π 内的图象；
h x f 2x , x é π π ù(2)求函数 = ê- , ú的值域． 6 3
知识点 2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y = sin x y = cos x y = tan x
图象
定义域 R R {x| x R，x kp
p
+ }
2
值域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2p 2p p
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kp
p
- ，2kp p+ ] [-p + 2kp ，2kp ] (kp p p- ，kp + )
2 2 2 2
p
递减区间 [2kp + ，2kp
3p
+ ] [2kp ，p + 2kp ] 无
2 2
对称中心 (kp 0) (kp
p kp
， + ，0) ( ，0)
2 2
x kp p对称轴方程 = + x = kp 无
2
T T
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 ；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是 ；
2 2
T
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离 ；
4
【诊断自测】（多选题）（2024·湖南衡阳·三模）已知函数 f (x) = A tan(wx +j)

w > 0, j
π
<
2 ÷的部分图象如è
图所示，则下列说法正确的是（ ）
π
A．函数 f (x) 的最小正周期为
2
B． sinj 2=
2
f (x) πC．函数 在 , π

2 ÷
上单调递增
è
D．方程 f (x)
π
= sin 2x + (0 x π)
3π 7π
的解为 ，
è 4 ÷ 8 8
知识点 3： y = Asin(wx + f) 与 y = Acos(wx + f)(A > 0, w > 0) 的图像与性质
2p
（1）最小正周期：T = ．
w
（2）定义域与值域： y = Asin(wx + f) ， y = Acos(wx + f）的定义域为 R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ì wx f p 当 + = + 2kp (k Z)时，函数取得最大值A; 2
í
p当wx + f = - + 2kp (k Z )时，函数取得最小值 - A;
2
②对于 y = Acos(wx + f），
ì 当wx + f = 2kp (k Z)时，函数取得最大值A;
í
当wx + f = 2kp + p (k Z )时，函数取得最小值 - A;
（4）对称轴与对称中心．
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ì p
当wx0 + f = kp + (k Z )，即sin(wx0 + f)
2
í = ±1时，y = sin(wx + f)的对称轴为x = x0
当wx0 + f = kp (k Z )，即sin(wx0 + f) = 0
时，y = sin(wx + f)的对称中心为(x0 ,0).
②对于 y = Acos(wx + f），
ì当wx0 + f = kp (k Z )，即cos(wx0 + f) = ±1

时，y = cos(wx + f)的对称轴为x = x 0
í p
当wx0 + f = kp + (k Z )，即cos(wx + f)
2
0
= 0时，y = cos(wx + f)的对称中心为(x0 ,0).
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与 x 轴交
点的位置．
（5）单调性．
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ìwx f p p + [- + 2kp , + 2kp ](k Z ) 增区间； 2 2
í
wx p+ f [ + 2kp , 3p + 2kp ](k Z ) 减区间.
2 2
②对于 y = Acos(wx + f），
ìwx + f [-p + 2kp , 2kp ](k Z ) 增区间；
í
wx + f [2kp , 2kp + p ](k Z ) 减区间.
（6）平移与伸缩
p
由函数 y = sin x 的图像变换为函数 y = 2sin(2x + ) + 3的图像的步骤；
3
p p
方法一： (x x + 2x + ) ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们
2 3
“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
p 1
向左平移 个单位 p 所有点的横坐标变为原来的
y = sin x的图像 3 y = sin(x + )的图像 2
3 纵坐标不变
y = sin(2x p p+ )的图像 所 有 点的 纵坐 标变 为原 来 的2倍 y = 2sin(2x + )的图像
3 横坐标不变 3
向 上平 移 3个单 位 y = 2sin(2x p+ ) + 3
3
方法二： (x x p+ 2x p+ ) ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
2 3
1
所有点的横坐标变为原来的 p向左平移 个单位
y = sin x的图像 2 y = sin 2x的图像 6
纵坐标不变
y = sin 2(x p+ ) = sin(2x p+ )的图像 所 有 点的 纵坐 标变 为原 来 的2倍
6 2 横坐标不变
y = 2sin(2x p+ )的图像 向 上平 移 3各单 位 y = 2sin(2x p+ ) + 3
3 3
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期
后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 x 而言的，
即图像变换要看“变量 x ”发生多大变化，而不是“角 wx + f ”变化多少．
【诊断自测】（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 g(x) = sin(wx +j)(0 < w < 4,0 < j < π)为偶函
1 1
数，将 g(x)图象上的所有点向左平移 个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的 2 ，得到函数6
f (x) 的图象，若 f (x) (0, 3的图象过点 )，则（ ）
2
A．函数 f (x) 的最小正周期为 1
1
B．函数 f (x) 图象的一条对称轴为 x =
12
C．函数 f (x)
4
在 (1, )上单调递减
3
D．函数 f (x) 在 (0, π)上恰有 5 个零点
解题方法总结
1、关于三角函数对称的几个重要结论；
p
（1）函数 y = sin x 的对称轴为 x = kp + (k Z ) ，对称中心为 (kp .0)(k Z ) ；
2
p
（2）函数 y = cos x 的对称轴为 x = kp (k Z )，对称中心为 (kp + ,0)(k Z )；
2
kp
（3）函数 y = tan x 函数无对称轴，对称中心为 ( ,0)(k Z ) ；
2
p
（4）求函数 y = Asin(wx + f) + b(w 0) 的对称轴的方法；令 wx + f = + kp (k Z ) ，得
2
p
+ kp -f
x kp -f= 2 (k Z ) ；对称中心的求取方法；令 wx + f = kp (k Z ) ，得 x = ，即对称中心为
w w
(kp -f，b)．
w
p
+ kp -f
（5）求函数 y = Acos(wx + f) + b(w 0) 的对称轴的方法；令 wx + f = kp (k Z ) 得 x = 2 ，即
w
p
+ kp -f
对称中心为 ( 2 ,b)(k Z )
w
2、与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若 y = Asin(wx +j) j kp p为偶函数，则 = + (k Z)；若为奇函数，则j = kp (k Z) .
2
(2)若 y = Acos(wx +j) p为偶函数，则j = kp (k Z)；若为奇函数，则j = kp + (k Z) .
2
(3)若 y = A tan(wx +j) 为奇函数，则j = kp (k Z) .
题型一：五点作图法
π
【典例 1-1】已知函数 f x = 2sin 2x - ÷， x R .
è 4
(1)在用“五点法”作函数 y = f x 在区间 0, π 上的图象时，列表如下：
2x π π 7π- -
4 4 4
x 0 π
f x
将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；
é π π ù
(2)求函数 f x 在区间 ê- , ú上的最值以及对应的 x 的值. 4 4
【典例 1-2】某同学用“五点法”画函数 f x = Asin wx +j ， w > 0, j π< 2 ÷在某一个周期内的图象时，列表è
并填入了部分数据，如下表：
π 5π
x
3 6
wx + j π π 3π0 2π
2 2
Asin wx +j 0 5 -5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f x 的解析式；
π
(2)当 x é ùê- ,0ú时，求不等式 f x 0的解集． 2
【方法技巧】
（1）在正弦函数 y = sin x ， x [0，2p ] 的图象中，五个关键点是：
(0，0) p 3p，( ，1)，(p ，0)，( ，-1)，(2p ，0) ．
2 2
（2）在余弦函数 y = cos x ， x [0，2p ] 的图象中，五个关键点是：
(0 1) (p 3p， ， ，0)，(p ，-1)，( ，0)，(2p ，1) ．
2 2
π
【变式 1-1】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数 f x = sin 2x - 6 ÷ .è
(1)完善下面的表格并作出函数 f x 在 0,π 上的图象：
π π 11π2x - -
6 6 0 π 6
5π
x
6
f x 1
(2)将函数 f x π 1的图象向右平 个单位后再向上平移 1 个单位得到 g x 的图象，解不等式 g x .
3 2
【变式 1-2】设函数 f x = 2sin π x
π
+
6 3 ÷
.
è
(1)列表并画出 y = f x ， x -2,10 的图象；
(2)求函数 g x = f 1+ x + f 4 - x 在区间 0,6 上的值域.
题型二：函数的奇偶性
【典例 2-1】若将函数 y = sin 2x + cos 2x 的图象向右平移j(j > 0) 个单位长度后得到函数 f (x) 的图象，且
f x 为奇函数，则j 的最小值是（ ）
π 3π π
A． B． C π． D．
2 8 4 8
π
【典例 2-2】（2024·重庆·模拟预测）将函数 f x = sin 2x - ÷的图象向右平移j j > 0 个单位后，所得图
è 3
象关于坐标原点对称，则j 的值可以为（ ）
2π π π π
A． B． C． D．
3 3 6 4
【方法技巧】
由 y = sin x 是奇函数和 y = cos x 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若 y = Asin(x + f) 为奇函数，则f = kp (k Z )；
p
（2）若 y = Asin(x + f) 为偶函数，则f = kp + (k Z ) ；
2
p
（3）若 y = Acos(x + f) 为奇函数，则f = kp + (k Z ) ；
2
（4）若 y = Acos(x + f) 为偶函数，则f = kp (k Z )；
kp
若 y = A tan(x + f) 为奇函数，则f = (k Z ) ，该函数不可能为偶函数．
2
π
【变式 2-1】（2024·青海西宁·二模）将函数 y = 3sin 3x +j 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数图
9
象关于 y 轴对称，则 j 的最小值为（ ）
π 7π 11π 5π
A． B． C． D．
6 18 18 6
【变式 2-2】（2024·四川成都·一模）已知函数 f x x R 满足： f x = 2 - f -x ，函数
3
g x = f x 2x+ ，若 g a = 2，则 g -a = （ ）
cosx + 2
A．-2 B．0 C．1 D．4
2 2
【变式 2-3】已知 f x = ln x +1 - x + x2 tan x 1+ x ，则 f lg 2 + f lg ÷ = （2 ）-1 è 2 ÷
A．-1 B．0 C．1 D．2
题型三：函数的周期性
【典例 3-1】（2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数 f (x) = cos2x的图象向右平移
j 0 π < j <

2 ÷ 个单位长度后得到函数
g(x)的图象，若对满足 f x1 - g x2 = 2的 x1, x2 ，总有 x1 - x 2 的最小è
π
值等于 ，则j=（ ）
6
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
【典例 3-2】函数 f (x) =| sin x | + | cos x |的最小正周期为（ ）
3π π π
A． π B． C． D．
2 2 4
【方法技巧】
关于三角函数周期的几个重要结论：
2p p
（1）函数 y = Asin(wx + f) + b, y = Acos(wx + f) + b, y = A tan(wx + f) + b 的周期分别为T = ，T = ．
w w
（2）函数 y = Asin(wx + f) , y = Acos(wx + f) ， y = A tan(wx + f) 的周期均为T p=
w
（3）函数 y = Asin(wx + f) + b (b 0), y = Acos(wx + f) + b (b 0) 2p的周期均T = ．
w
f n 2sin nπ π= + 3-1 +1 n N*【变式 】已知函数 ÷ ，则 f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2025 =（　　）
è 2 4
A．2025 B． 2025 + 2
C． 2026 + 2 D． 2026 2
【变式 3-2】已知函数 f ( x ) = cos w x (sin w x + 3 cos w x ) (w > 0) ，如果存在实数 x 0 ，使得对任意的实数 x ，
都有 f (x0 ) f (x) f (x0 + 2016p ) 成立，则w 的最小值为
1 1 1 1
A． B． C． D．
4032p 2016p 4032 2016
【变式 3-3】设函数 f (x) = Acos(wx + j) （ A，w ，j 是常数， A > 0 ，w > 0 ）．若 f (x) 在区间
é π , π ù 上
ê 4 2 ú
π 2π
具有单调性，且 f ÷ = f

= - f
π ，则 f (x) 的最小正周期为_______．
è 2 è 3 ÷ ÷ è 4
【变式 3-4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j ，如图 A, B是直线 y 1= 与曲线
2
y π 13π= f x 的两个交点， AB = , f ÷ = -1
5π
，则 f
6 24 6 ÷
=（ ）
è è
A．0 B 1 C 3． 2 ． D
3
． -
2 2
【变式 3-5】（2024·辽宁·二模）A，B，C 是直线 y = m与函数 f (x) = 2sin(wx +j) （w > 0，0 < j < π ）的图
π π
象的三个交点，如图所示．其中，点 A(0, 2)，B，C 两点的横坐标分别为 x1, x2 ，若 x2 - x1 = ，则 f ( ) =4 2
（ ）
A．- 2 B．-1 C． 2 D．2
题型四：函数的单调性
2π é 2π π ù
【典例 4-1】（2024·全国·二模）已知函数 f x = cos - 2x ÷， x ê- , ，则函数 f x 的单调递减区è 3 3 3 ú
间为 .
2
【典例 4-2】（2024·高三·山东青岛·期末）函数 f x = cos x + sin x cos x 的单调减区间为 ．
【方法技巧】
三角函数的单调性，需将函数 y = Asin(wx + f) 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合
函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数 y = Asin(wx + f)(A > 0, w > 0) 的单调区间的确定基本思想是吧 wx + f 看做是一个整体，
如由 2kp p wx f 2kx p- + + (k Z ) 解出 x 的范围，所得区间即为增区间；
2 2
由 2kp p+ wx 3p+ f 2kx + (k Z ) 解出 x 的范围，所得区间即为减区间．
2 2
若函数 y = Asin(wx + f) 中 A > 0, w > 0 ，可用诱导公式将函数变为 y = -Asin(-wx -f) ，则
y = Asin(-wx -f) 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数 y = Acos(wx + f), y = A tan(wx + f) 的单调性的讨论与以上类似处理即可．
【变式 4-1】函数 f x = sin2x + 2cosx在 0, π 上的单调递减区间为 .
π
【变式 4-2】（2024·湖北·二模）将函数 y = sin x +
1
6 ÷
的图象上每一点的横坐标变为原来的
è 2
（纵坐标不
5π
变），再向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（
12 ）
é π- ,0ù π 7πA é ù．在区间 ê ú 上单调递减 B．在区间 ê ,10 12 ú 上单调递增 2
é π π ù é π π ù
C．在区间 ê- , 6 3 ú
上单测递减 D．在区间 - , 上单调递增
ê 6 3 ú
【变式 4-3】（2024·湖南长沙·二模）已知函数 f x = tan wx +j w 0,0 j π > < <

÷的最小正周期为 2π，直
è 2
π
线 x = f x f x 3 是 图象的一条对称轴，则 的单调递减区间为（ ）

A． 2kπ
π
- , 2kπ 5π+ ù
è 6 6 ú
k Z
2kπ 5πB． - , 2kπ
2π
- ùú k Z è 3 3
4π
C． 2kπ - , 2kπ
π
- ùú k Z è 3 3
π 2π ù
D． 2kπ - , 2kπ +
è 3 3 ú
k Z
【变式 4-4】已知函数 f x = Acos wx +j A > 0,w > 0,|j |
p
< ÷，若函数 f x
p
2 的图象向左平移 个单位è 6
长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式 f x -1的解集为（ ）
7p p
A é ù． ê- + kp , + kp ú k Z 12 4
p
B é． ê- + 2kp ,
7p
+ 2kp ù k Z
3 12 ú
p 5p
C é． ê- + kp , + kp
ù
ú k Z 4 12
D é
p
． ê- + kp ,
p
+ kp ùú k Z 3 12
【变式 4-5】 y = cos w x + j 的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（ ）
A
1
． + 2k,
7 1 7
+ 2k ÷ , k Z B

． + k, + k ÷ ,k Z
è12 12 è12 12
1 7 1 7C． + 2kπ, + 2kπ

÷ , k Z D． + kπ, + kπ
, k Z
è12 12 12 12 ÷ è
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
【典例 5-1】（2024·上海松江·校考模拟预测）已知函数 y = f x 的对称中心为 0,1 ，若函数 y =1+ sin x的
6
图象与函数 y = f x 的图象共有 6 个交点，分别为 x1, y1 ， x2, y2 ，…， x 6 , y 6 ，则 xi + yi =
i=1
__________.
【典例 5-2】写出函数 f x cos x= 的一个对称中心： .
1- sin x
【方法技巧】
关于三角函数对称的几个重要结论；
p
（1）函数 y = sin x 的对称轴为 x = kp + (k Z ) ，对称中心为 (kp .0)(k Z ) ；
2
p
（2）函数 y = cos x 的对称轴为 x = kp (k Z )，对称中心为 (kp + ,0)(k Z )；
2
kp
（3）函数 y = tan x 函数无对称轴，对称中心为 ( ,0)(k Z ) ；
2
p
（4）求函数 y = Asin(wx + f) + b(w 0) 的对称轴的方法；令 wx + f = + kp (k Z ) ，得
2
p
+ kp -f
x = 2 (k Z ) ；对称中心的求取方法；令 wx + f = kp (k Z ) ，得
w
x kp -f= ，即对称中心为 (kp -f，b)．
w w
p
+ kp -f
（5）求函数 y = Acos(wx + f) + b(w 0) 的对称轴的方法；令 wx + f = kp (k Z ) 得 x = 2 ，即
w
p
+ kp -f
对称中心为 ( 2 ,b)(k Z )
w
【变式 5-1】（2024·高三·河南·期末）将函数 f (x) = cos 2x + 3 sin 2x图象向右平移j (j > 0)个单位，得到的图
象关于直线 x
π
= 对称，则j 的最小值为 .
3
【变式 5-2】（2024·河南开封·模拟预测）已知函数 f (x) = 2cos(3x j)
4π
+ 的图象关于点 ,03 ÷
对称，那么 j
è
的最小值为 ．
【变式 5-3】（2024·高三·吉林通化·期中）已知三角函数 f x = sin wx +j w > 0,j 0, π ÷ 的图象关于
è è 2
÷

j,0 π对称，且其相邻对称轴之间的距离为 ，则j = ．
2
π
【变式 5-4】（2024·四川成都·模拟预测）函数 f (x) = a sin x + cos x 的图象关于直线 x = - 对称，则a =
6
题型六：函数的定义域、值域（最值）
【典例 6-1】实数 x, y满足 x 2 - xy + y 2 = 1，则 x + 2y的范围是___________.
1- sin x
【典例 6-2】求 y = 的值域.
2 - cos x
【方法技巧】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处
理．
（1） y = asin x + b，设 t = sin x ，化为一次函数 y = at + b在[-1,1]上的最值求解．
b
（2） y = asin x + bcos x + c ，引入辅助角f(tanf = )，化为 y = a2 + b2 sin(x + f) + c，求解方法同类
a
型（1）
（3） y = asin2 x + bsin x + c ，设 t = sin x ，化为二次函数 y = at2 + bt + c 在闭区间 t [-1,1]上的最值求
解，也可以是 y = a cos2 x + bsin x + c或 y = a cos 2x + bsin x + c型．
（4） y = asin xcos x + b(sin x ± cos x) + c ，设 t = sin x ± cos x，则 t2 = 1± 2sin xcos x ，故
t2 -1 t2sin xcos x = ± ，故原函数化为二次函数 y = a × ( -1± ) + bt + c 在闭区间[- 2, 2]上的最值求解．
2 2
（5） y asin x + b asin x + b= 与 y = ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式
csin x + d ccos x + d
法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于 sin x 或 cos x的函数求解释务必注意
sin x 或 cos x的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
【变式 6-1】设a>0，则 f x = 2a sinx + cosx - sinx × cosx - 2a 2 的最小值为__________.
【变式 6-2】（2024·上海崇明·二模）已知实数 x1, x2 , y1, y2 满足： x21 + y21 =1, x2 22 + y2 =1, x1 y2 - y1x2 =1，则
x1 + y1 - 2 + x2 + y2 - 2 的最大值是 ．
1
【变式 6-3】已知函数 f (x) = sin2xcos x，该函数的最大值为__________．
2
é π 7π ù
【变式 6-4 2】函数 y = 3- sinx - 2cos x, x ê , ú 的值域为 . 6 6
π π
6-5 y = 1+ 2sinx 1+ 2cosx é- , ù【变式 】函数 在区间 ê ú 上的最大值与最小值之和是 . 4 6
【变式 6-6】（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角a 、 b 均为锐角，则 s in a + s in b + co s a + b 的
范围是______________．
r r r r
【变式 6-7】已知向量 a = (sin x,cos x),b = (sin x, 3 sin x) ，函数 f (x) = a ×b .
π
(1)求 f ；
è12 ÷
π
f (x) π g(x) é ù(2)若把 的图象向右平移 个单位长度可得 的图象，求 g(x)在 ê0, ú 上的值域.6 8
【变式 6-8】函数 f (x)
sin x cos x
= 的值域为_____________．
1+ sin x + cos x
题型七：三角函数性质的综合应用

【典例 7-1】（多选题）（2024·贵州六盘水·三模）已知函数 f x = sin wx +j w 0, |j |
π
> < ÷，若函数 f (x)
è 2
π π
图象的相邻两个对称中心之间的距离为 ， x = - 为函数 y = f (x) 图象的一条对称轴，则（　　）
2 6
A．w = 2
j πB． = -
6
π
C．点 ,0

÷是函数 f (x) 图象的对称中心
è 3
π
D．将函数 f (x) 的图象向左平移 个单位长度后所得函数的图象关于 y 轴对称
3
【典例 7-2】（多选题）（2024·安徽·三模）已知函数 f x = sin x - 3 cos x ，则（ ）
A． f x 是偶函数 B． f x 的最小正周期是 π
C． f x π的值域为 é - 3,2ù D． f x

在 -π,-

2 ÷上单调递增è
【方法技巧】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性 奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数 f (x) 为奇函数；若函数图像关于 y 轴
T
对称，则函数 f (x) 为偶函数）；对称性 周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是 ；相邻的对称中心之
2
T T
间的距离为 ；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 ）；对称性 单调性（在相邻的对称轴之间，函
2 4
数 f (x) 单调，特殊的，若 f (x) = Asin(wx), A > 0, w > 0 ，函数 f (x) 在[q1,q2 ]上单调，且 0 [q1,q2 ]，设
T
q = max q1 ,q2 ，则 q 深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）4
【变式 7-1】（多选题）（2024·广东广州·三模）已知函数 f x = 2 cosx + sinx cosx -1，则（ ）
A． f x f 5π ÷ B． f 1 > f 2
è 8
π
C f + x
π 2024 kπ
． ÷ + f

- x

÷ = 0 D． f ÷ = 3
è 8 è 8 k =1 è 6
【变式 7-2】（多选题）（2024·黑龙江佳木斯·三模）关于函数 f x = cos x + sin 2x 1- ，则下列说法正确是
2
（ ）
é π π ù
A． π是函数 f x 的一个周期 B．在 ê , ú上单调递减 4 2
3π
C．函数图像关于直线 x = 对称 D．当 x -10π,10π 时，函数 f x 有 40 个零点
4
π
【变式 7-3】函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j <

2 ÷的部分图象如图所示．è
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)将函数 f x π 1的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 2 （纵坐标不变），得4
到函数 g x é π π的图象，求 g x 在 x ê- ,
ù
ú 上的最大值和最小值； 12 6
é π π ù
(3)若关于 x 的方程 g x - m = 0在 x ê- , ú 上有两个不等实根，求实数m的取值范围． 12 6
【变式 7-4 2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x = 2 3 sin x cos x - 2cos x +1．
x é π , 2π(1) - ù若 ê ú，求 f x 12 3 的值域；
(2)若关于 x 的方程 f x - a = 0有三个连续的实数根x1，x2， x3，且 x1 < x2 < x3， x3 + 2x1 = 3x2 ，求 a
的值．
【变式 7-5】（2024· 2广东广州·模拟预测）已知函数 f x = 2sinxcosx - 2 3sin x + 3 .
é π ù
(1)若 x ê0, ú 时，m < f x 恒成立，求实数m的取值范围； 4
(2) f x 1 π将函数 的图象的横坐标缩小为原来的 2 ，纵坐标不变，再将其向右平移 个单位，得到函数6
g x 的图象.若 x 0, t ，函数 g x 有且仅有 4 个零点，求实数 t 的取值范围.
题型八：根据条件确定解析式
π
【典例 8-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）函数 f x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < ÷ 的图象如图所示
è 2
A 5 - ,-2
, B 1÷ , 2

÷ .将 f x 的图象向右平移 2 个单位长度，得到函数 g x 的图象，则 g x 的解析式为
è 3 è 3
（ ）
g x = 2sin π x π- A．
è 2 3 ÷
g x 2sin π x πB． = +2 3 ÷è
C g x = -2sin π x π- ． 2 3 ÷è
D． g x = -2sin π x π+ 2 3 ÷è
π
【典例 8-2】（2024·四川攀枝花·二模）函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分图象如图所示，
è 2
π
则将 y = f (x) 的图象向右平移 个单位长度后，得到的函数图象解析式为（
6 ）
A． y = sin
2x π- 2π ÷ B． y = cos 2x C． y = sin 2x D． y = sin 2x +
è 6 3 ÷ è
【方法技巧】
根据函数必关于 y 轴对称，在三角函数中联想到 y = cos wx 的模型，从图象、对称轴、对称中心、最
值点或单调性来求解．
【变式 8-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）函数 f x = 2sin wx +j (w > 0,-π < j < π)的部分图像如图所示，
把函数 f x π的图像向右平移 得到 g x ，则 g x 的解析式为（ ）
12
A．-2cos2x B． 2cos2x
2sin 2x π- C． ÷ D． 2sin

2x
π
+
6 6 ÷è è
【变式 8-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数
f x = Acos wx p-j A > 0,w > 0, j <
3
2 ÷ 的部分图象，将
y = f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的
è 2
p
倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 y = g x 的图像，则 g x 的解析式为（ ）
8
A． g x = 2cos 9x p- ÷ B． g x = 2cos
2x p -

è 2 8 ÷ è 8
C． g x = 2sin2x D． g x = 2cos2x
【变式 8-3】（2024·高三·北京东城·开学考试）函数 f (x) = Asin(wx +j ) A > 0,w > 0,|j |
π
<
2 ÷ 的部分图象如è
图所示，则函数 y = f (x)
π
的解析式为 ，若将 y = f (x) 的图象向右平移 个单位后，得到新函数解析式
6
为 .
【变式 8-4】已知函数 f x = 2cos wx +j （w > 0 j π， < ）的部分图象如图所示，将函数 f x 图象上所
2
π
有的点向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得函
12
数图象的解析式为 ．
【变式 8-5】（2024·河北保定·一模）函数 f x = Asin wx +j ，（ A > 0 ，w > 0，0 < j < π ）的部分图象如
图中实线所示，图中圆 C 与 f x 的图象交于 M，N 两点，且 M 在 y 轴上，则下说法正确的是（ ）
A．函数 f x 10的最小正周期是 π
9
B．函数 f x 7π , π在 - - ÷ 上单调递减
è 12 3
π
C π．函数 f x 的图象向左平移 个单位后关于直线 x = 4 对称12
5π
D 3π π ．若圆 C 的半径为 ，则函数 f x 的解析式为 f x = sin 2x +
12 6 3 ֏
题型九：三角函数图像变换
π π
【典例 9-1】（2024·高三·广东湛江·期末）已知函数 f x = 2 2 cos + x ÷cos - x ÷，要得到函数
è 4 è 4
g(x) = sin 2x - 2cos2 x +1的图象，只需将 f (x) 的图象（ ）
π 3π
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
8 4
3π 3π
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4 8
π
【 典 例 9-2 】（ 2024· 全国 · 模拟预测）为了得到函数 f x = sin 2x + ÷的图象，只需将函数
è 3
g x = cos 2x
π
-
3 ÷
的图象（ ）
è
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
12 12
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
3 3
【方法技巧】
由函数 y = sin x 的图像变换为函数 y = Asin(wx + f) + b(A, w > 0) 的图像．
方法： (x x + f wx + f) 先相位变换，后周期变换，再振幅变换．
F
F F > 0 向左平移 个单位（F > 0）y = sin x 向左平移 个单位（ ）的图像 y = sin(x + f) 的图像 v
向左平移 F 个单位（F < 0） F
向左平移 个单位（F < 0）
v
y sin(wx f) 所有点的纵坐标变为原来的A倍= + 的图像
横坐标不变
y = Asin(wx + f) 向上平移b个单位（b > 0）的图像 y = Asin(wx + f) + b
向下平移 b 个单位（b < 0）
9-1 y = sin 2x
π
- 【变式 】为了得到函数 ÷的图象，只需把函数 y = sin

x
π
-
3 ÷的图象上所有的点的（3 ）è è
A．横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
B 1．横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变
D 1．纵坐标缩短到原来的 2 倍，横坐标不变
3π
【变式 9-2】（2024· 2全国·模拟预测）已知函数 f x = 2sinwx coswx + 2sin wx -1 w > 0 ，直线 x = 和
8
x 7π= 为函数 y = f x 图象的两条相邻对称轴，为了得到函数 g x = - 2 cos 2wx 2p 8 - ÷的图象，则将函数è 3
y = f x 的图象至少（ ）
13π 13p
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
24 48
13π 13p
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
12 36
π
【变式 9-3】将函数 y = sin 2x + ÷ 的图象平移后所得的图象对应的函数为 y = cos 2x，则进行的平移是
è 3
（ ）
π π π
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向左平移
12 6 12
π
个单位
6
C : y sin π 2x ,C : y cos 5π 【变式 9-4】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知曲线 1 = + ÷ 2 = -2
- 3x
6 ÷
，则下面结论
è è
正确的是（ ）
3 π
A．把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长2 6
度，得到曲线 C2
3 π
B．把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移18 个单位长2
度，得到曲线 C2
π
C 2．把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 3 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度18
C2
D 2
π
．把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 3 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，6
得到曲线 C2
题型十：三角函数实际应用问题
【典例 10-1】已知大屏幕下端 B 离地面 3.5 米，大屏幕高 3 米，若某位观众眼睛离地面 1.5 米，则这位观
众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）
米．
【典例 10-2】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里
慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为 120m，转盘直径为 110m，设
置 48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要
30min．某游客坐上摩天轮的座舱 10min 后距离地面高度约为（ ）
55 3
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． + 65 m
è 2
÷÷

【方法技巧】
（1）研究 y = Asin(wx + j) 的性质时可将wx + j 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转
化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
【变式 10-1】（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒W 到水面
的距离为d （单位：米）（在水面下，则d 为负数）．若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，d 与时间
π
t （单位：分钟）之间的关系为 d = 4sin 2t - ÷ + 2．某时刻 t0 （单位：分钟）时，盛水筒W 在过点O（O
è 6
π
为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为 5 米，则再经过 分钟后，盛水筒W （
6 ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水
【变式 10-2】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从
高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有 48 个座舱，
开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 tmin 后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H 关
于 t 的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 h （单
位：m）关于 t 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到 0.1）.
（参考公式与数据： sinq + sinj = 2sin
q +j cos q -j ； cosq cosj
q +j q -j
- = -2sin sin ；
2 2 2 2
sin π 0.065 .）
48
【变式 10-3】某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图 1 所示
的平面直角坐标系中，此装置的圆心O距离地面高度为 2m，半径为 3m ，装置上有一小球 P （视为质点），
P 的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球 P 按逆时针匀速旋转，转一周需要6min ．小球 P 距离
地面的高度 H （单位：m）与时间 t （单位：min ）的关系满足 H = rsin wt +j + h(r > 0,w > 0,0 j < 2π)．
(1)写出H 关于 t 的函数解析式，并求装置启动1min 后小球 P 距离地面的高度；
(2)如图 2，小球Q（视为质点）在半径为1m的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，Q的初始
π
位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球Q以角速度为 rad / min 顺时针匀速旋转．两装置同时启动，
3
求P,Q 两球高度差的最大值．
【变式 10-4】（2024·广东珠海·模拟预测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座
舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图 1）．某摩天轮的最高点距离地面的高度为 90 米，
最低点距离地面 10 米，摩天轮上均匀设置了 36 个座舱（如图 2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，
游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要
30 分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
(1)经过 t 分钟后游客甲距离地面的高度为 H 米，已知 H 关于 t 的函数关系式满足
H t = Asin wt +j + B （其中 A > 0 ，w > 0），求摩天轮转动一周的解析式 H t ；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，首次距离地面的高度恰好为 30 米？
f x π= sin3 wx + 1．（2024 年天津高考数学真题）已知函数 ÷ w > 0 的最小正周期为 π．则 f x 在
è 3
é π π
ê- ,
ù
12 6 ú 的最小值是（ ）
3 3
A 3． - B．- C．0 D．
2 2 2
2．（2024 年北京高考数学真题）设函数 f x = sinwx w > 0 .已知 f x1 = -1， f x2 =1，且 x1 - x2
π
的最小值为 ，则w =（
2 ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当 x [0, 2p ]时，曲线 y = sin x 与 y = 2sin 3x
p
-

6 ÷的交点个数为è
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2023 年天津高考数学真题）已知函数 y = f x 的图象关于直线 x = 2对称，且 f x 的一个周期为
4，则 f x 的解析式可以是（ ）
A． sin
p
x
p
÷ B． cos

x

è 2 ÷ è 2
sin p x C． ÷ D． cos
p x
4 4 ÷è è
5．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数 f (x) = sin 2x 和 g(x) = sin(2x
π
- )，下列说
4
法中正确的有（ ）
A． f (x) 与 g(x)有相同的零点 B． f (x) 与 g(x)有相同的最大值
C． f (x) 与 g(x)有相同的最小正周期D． f (x) 与 g(x)的图象有相同的对称轴
1．已知周期函数 y = f (x) 的图象如图所示，
（1）求函数的周期；
（2）画出函数 y = f (x +1)的图象；
（3）写出函数 y = f (x) 的解析式.
2．在直角坐标系中，已知eO 是以原点 O 为圆心，半径长为 2 的圆，角 x（rad）的终边与eO 的交点
为 B，求点 B 的纵坐标 y 关于 x 的函数解析式，并画出其图象
1 p
3．已知函数 f (x) = sin 2x - ÷ , x R，2 è 3
（1）求 f (x) 的最小正周期；
p p
（2）求 f (x) é ù在区间 ê- ,4 4 ú上的最大值和最小值
.

4．已知函数 y = f (x) 是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，若 f (0.5) =1，求 f (1), f (3.5)的值.
5．容易知道，正弦函数 y = sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，
除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对
称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦
函数和正切函数，讨论上述同样的问题
6．设函数 f x = sin x + cos x(x R) .
2
（1）求函数 y é p= ùê f x + ÷ 的最小正周期； è 2 ú
2 y = f (x) f x
p
- é
p ù
（ ）求函数 4 ÷ 在 ê
0, ú上的最大值.è 2
易错点：三角函数图象变换错误
易错分析： 函数 y = Asin wx +j + k A > 0,w > 0 中，参数 A,w,j,k 的变化引起图象的变换： A
的变化引起图象中振幅的变换；w 的变化引起横向伸缩变换；j 的变化引起左右平移变换； k 的变化引起
上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
【易错题 1】要得到函数 f x sin 2x 2= -

÷， x R 的图象，只需将函数 g x = sin 2x， x R 的图象（3 ）è
π
A．横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变
3
π
B．横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变
3
1
C．横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变
3
1
D．横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变
3

【易错题 2】已知曲线C1 : y = sin 2x
p
+ ÷，C2 : y = cos x ，若想要由C2 得到C1，下列说法正确的是（4 ）è
p
A．把曲线C2 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位8
B．把曲线C
p
2 上各点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位4
p
C 1．把曲线C2 上各点的横坐标缩短为原来的 2 （纵坐标不变），再向左平移 个单位4
1 pD．把曲线C2 上各点的横坐标缩短为原来的 2 （纵坐标不变），再向右平移 个单位8
答题模板：求三角函数解析式
1、模板解决思路
求三角函数解析式就是求其中参数 A,w,j ， k 的值，根据各参数的几何意义，结合所给的图象，然
后求出各参数的值即可，一般先求 A， k ，然后求w ，最后求j ．
2、模板解决步骤
第一步：求 A， k ，借助函数图象的最高点、最低点来确定参数 A， k 的值．
第二步：求w ，根据周期公式确定参数w 的值．
第三步：通过代入法求j ．
第四步：确定函数解析式．
【典型例题 1】已知函数 f x = Acos wx +j π（ A > 0 ，w > 0， j < 2 ）的部分图象如图所示，则 f x 的
解析式为（ ）
A． f x = cos 2x
π
+ ÷ B． f x = 2cos
π
3
2x + ÷
è è 6
C． f x π π= 2cos 4x -

÷ D． f x = 2cos

3
4x -
6 ÷è è
【典型例题 2】若函数 f x = Asin wx +j 的部分图象如图所示，则 f x 的解析式可能是（ ）
A y = 2sin
p p
． x + ÷ B6 ．
y = 2sin x - ÷
è è 6
p p
C y = 2sin x + D ． 3 ÷ ．
y = 2sin x - ÷
è è 3 第 03 讲 三角函数的图象与性质
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 .........................................................................4
知识点 2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质 .............................................................................5
知识点 3： y = Asin(wx + f) 与 y = Acos(wx + f)(A > 0, w > 0) 的图像与性质 ...........................................7
解题方法总结 ........................................................................................................................................9
题型一：五点作图法 ..........................................................................................................................10
题型二：函数的奇偶性 ......................................................................................................................15
题型三：函数的周期性 ......................................................................................................................17
题型四：函数的单调性 ......................................................................................................................21
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） ..............................................................................26
题型六：函数的定义域、值域（最值） ..........................................................................................29
题型七：三角函数性质的综合应用 ..................................................................................................34
题型八：根据条件确定解析式 ..........................................................................................................41
题型九：三角函数图像变换 ..............................................................................................................48
题型十：三角函数实际应用问题 ......................................................................................................51
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................58
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................60
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................63
易错点：三角函数图象变换错误 ......................................................................................................63
答题模板：求三角函数解析式 ..........................................................................................................64
考点要求 考题统计 考情分析
（1）正弦函数、余弦函 2024年天津卷第 7题，5分 本节命题趋势仍是突出以三角函数的图像、
数和正切函数的图像性质 2024年北京卷第 6题，5分 周期性、单调性、奇偶性、对称性、最值等重点
（2）三角函数图像的平 2024年 II卷第 9题，6分 内容展开，并结合三角公式、化简求值、平面向
移与变换 2023年甲卷第 12题，5分 量、解三角形等内容综合考查，因此复习时要注
（3）三角函数实际应用 2023年天津卷第 5题，5分 重三角知识的工具性，以及三角知识的应用意
问题 2023年 I卷第 15题，5分 识．
复习目标：
（1）理解正、余弦函数在区间[0,2p ]内的性质．理解正切函数在区间 p p - ,

÷内的单调性．
è 2 2
（2）了解函数 y = Asin(wx + j)的物理意义，能画出 y = Asin(wx + j)的图像，了解参数 A,w,j对函数图像的
影响．
（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题．
知识点 1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数 y = sin x ， x [0，2p ] 的图象中，五个关键点是：
(0，0) p，( ，1)，(p ，0)，(3p ，-1)，(2p ，0) ．
2 2
（2）在余弦函数 y = cos x ， x [0，2p ] 的图象中，五个关键点是：
(0，1) p，( ，0)，(p ，-1)，(3p ，0)，(2p ，1) ．
2 2
ur r ur r【诊断自测】已知向量 p = 3,1 ，向量 q = sinx,cosx ，令 f x = p × q．
x 0 2π
f x
(1)化简 f x ，并在给出的直角坐标系中用描点法画出函数 y = f x 在 0,2π 内的图象；
(2)求函数 h x = f 2x , x é π - , π ùê ú的值域． 6 3
ur r
【解析】（1） f x = p ×q = 3,1 × sinx, cosx = 3 sin x + cos x = 2sin π x + ÷，
è 6
π 5π 4π
x 0 11π6 2π3 6 3
f x 1 2 0 -2 0 1
图像如下图：
h x f 2x 2sin 2x π x é π , π= = + - ù π é π 5π ù（2） 6 ÷，è ê ，
2x + - ,
6 3 ú 6 ê 6 6 ú
，

h x = 2sin π - ÷ = -1， h x 2sin
π
= = 2 -1,2min è 6 max
，故函数值域为 .
2
知识点 2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y = sin x y = cos x y = tan x
图象
{x| x R x kp p定义域 R R ， + }
2
值域 [-1，1] [-1，1] R
周期性 2p 2p p
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kp
p
- ，2kp p+ ] [-p + 2kp ，2kp ] (kp p p- ，kp + )
2 2 2 2
[2kp p 3p递减区间 + ，2kp + ] [2kp ，p + 2kp ] 无
2 2
对称中心 (kp ，0) (kp
p
+ ，0) (kp ，0)
2 2
x kp p对称轴方程 = + x = kp 无
2
T T
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 ；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是 ；
2 2
T
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离 ；
4
【诊断自测】（多选题）（2024·湖南衡阳·三模）已知函数 f (x) = A tan(wx +j)
w > 0, j π< 2 ÷的部分图象如è
图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f (x)
π
的最小正周期为
2
B． sinj 2=
2
f (x) π , π C．函数 在 ÷上单调递增
è 2
D．方程 f (x) = sin
2x π+ ÷ (0 x π)
3π 7π
的解为 ，
è 4 8 8
【答案】ABD
7π 5π π
【解析】对于 A，由图可知，函数 f (x) 的最小正周期为T = 2 - =8 8 ÷ 2 ，故 A 正确；è
w π π= = = 2
对于 B，由 T π ，所以 f (x) = A tan(2x +j )，
2
7π 7π
因为 f ÷ = A tan +j ÷ = 0
7π
，则 +j = kπ k Z ，则j = kπ 7π- k Z ，
è 8 è 4 4 4
|j | π π因为 < ，则j = sinj 22 4 ，所以 = ，故 B 正确；2
对于 C， f (x) = A tan
π π 5π π 9π
2x + ÷ ，由 < x < π ，得 < 2x + < ，
è 4 2 4 4 4
π 3π 5π f 5π A tan 3π而 2x + = ，即 x = 时， =

4 2 8 8 ÷ 2 ÷
没有意义，故 C 错误；
è è
π π
对于 D， f (0) = A tan = A =1，则 f (x) = tan 2x + ÷，4 è 4
方程 f (x)
π π π
= sin 2x + tan 4 ÷，得
2x + ÷ = sin 2x +4 4 ÷
，
è è è
sin 2x
π
+
4 ÷è - sin 2x π+ = 0 sin 2x π+ é π ù即 ÷ ，即 ÷ 1- cos 2x + = 0，
cos 2x π+ è 4 è 4
ê
è 4
÷
ú

è 4 ÷

所以 sin 2x
π
+
π
÷ = 0

或 cos 2x + ÷ =1
π π 9π
4 ，因为
0 x π ， 2x + ，
è 4 è 4 4 4
2x π π 2x π 2π x 3π 7π所以 + = 或 + = ，解得 = 或 ，故 D 正确.
4 4 8 8
故选：ABD.
知识点 3： y = Asin(wx + f) 与 y = Acos(wx + f)(A > 0, w > 0) 的图像与性质
T 2p（1）最小正周期： = ．
w
（2）定义域与值域： y = Asin(wx + f) ， y = Acos(wx + f）的定义域为 R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ì p
当wx + f = + 2kp (k Z)时，函数取得最大值A; 2
í
当wx p+ f = - + 2kp (k Z )时，函数取得最小值 - A;
2
②对于 y = Acos(wx + f），
ì 当wx + f = 2kp (k Z)时，函数取得最大值A;
í
当wx + f = 2kp + p (k Z )时，函数取得最小值 - A;
（4）对称轴与对称中心．
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ì p
当wx0 + f = kp + (k Z )，即sin(wx0 + f)
2
í = ±1时，y = sin(wx + f)的对称轴为x = x0
当wx0 + f = kp (k Z )，即sin(wx 0
+ f) = 0
时，y = sin(wx + f)的对称中心为(x0 ,0).
②对于 y = Acos(wx + f），
ì当wx0 + f = kp (k Z )，即cos(wx0 + f) = ±1

时，y = cos(wx + f)的对称轴为x = x 0
í p
当wx0 + f = kp + (k Z )，即cos(wx0 + f)
2
= 0时，y = cos(wx + f)的对称中心为(x0 ,0).
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与 x 轴交
点的位置．
（5）单调性．
假设 A > 0，w > 0 ．
①对于 y = Asin(wx + f) ，
ì p
wx + f [- + 2kp ,
p
+ 2kp ](k Z ) 增区间；
2 2
í
wx f [p 3p+ + 2kp , + 2kp ](k Z ) 减区间.
2 2
②对于 y = Acos(wx + f），
ìwx + f [-p + 2kp , 2kp ](k Z ) 增区间；
í
wx + f [2kp , 2kp + p ](k Z ) 减区间.
（6）平移与伸缩
由函数 y = sin x 的图像变换为函数 y = 2sin(2x p+ ) + 3的图像的步骤；
3
方法一： (x p p x + 2x + ) ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们
2 3
“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
p 1
向左平移 个单位 p 所有点的横坐标变为原来的
y = sin x的图像 3 y = sin(x + )的图像 2
3 纵坐标不变
y p p= sin(2x + )的图像 所 有 点的 纵坐 标变 为原 来 的2倍 y = 2sin(2x + )的图像
3 横坐标不变 3
向 上平 移 3个单 位 y = 2sin(2x p+ ) + 3
3
(x x p p方法二： + 2x + ) ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
2 3
1
所有点的横坐标变为原来的 p向左平移 个单位
y = sin x的图像 2 y = sin 2x的图像 6
纵坐标不变
y = sin 2(x p+ ) = sin(2x p+ )的图像 所 有 点的 纵坐 标变 为原 来 的2倍
6 2 横坐标不变
y = 2sin(2x p+ )的图像 向 上平 移 3各单 位 y = 2sin(2x p+ ) + 3
3 3
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期
后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 x 而言的，
即图像变换要看“变量 x ”发生多大变化，而不是“角 wx + f ”变化多少．
【诊断自测】（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 g(x) = sin(wx +j)(0 < w < 4,0 < j < π)为偶函
数，将 g(x)
1 1
图象上的所有点向左平移 个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的 2 ，得到函数6
f (x) 的图象，若 f (x)
3
的图象过点 (0, )，则（ ）
2
A．函数 f (x) 的最小正周期为 1
B．函数 f (x)
1
图象的一条对称轴为 x =
12
f (x) (1, 4C．函数 在 )上单调递减
3
D．函数 f (x) 在 (0, π)上恰有 5 个零点
【答案】AC
【解析】由函数 g(x)
π π
为偶函数，得j = + kπ,k Z，而0 < j < π ，则j = ，
2 2
因此 f (x) = sin(2wx
w π) cos(2wx w+ + = + ) w 3， ，
6 2 6 f (0) = cos =6 2
w 2 w π π
由0 < w < 4，得0 < < ，于是 = ，解得w = π ，则 f (x) = sin(2πx + )，
6 3 6 6 6
f (x) T 2π对于 A，函数 的最小正周期为 = = 1，A 正确；
2π
1
对于 B， f ( ) = cos
π 1
= ±1，函数 f (x) x
1
图象关于 = 不对称，B 错误；
12 3 2 12
1 x 4 13π 2πx π 17π y = cos x (13π ,17π对于 C，当 < < 时， < + < ，而余弦函数 在 ) 上单调递减，
3 6 6 6 6 6
4
因此函数 f (x) 在 (1, )上单调递减，C 正确；
3
对于 D，由 f (x) = 0 2πx
π kπ π , k Z k 1，得 + = + ，解得 x = + ,k Z，
6 2 2 6
k 1
由0 < + < π,k Z，解得 k {0,1,2,3,4,5}，因此函数 f (x) 在 (0, π)上恰有 6 个零点，D 错误.
2 6
故选：AC
解题方法总结
1、关于三角函数对称的几个重要结论；
p
（1）函数 y = sin x 的对称轴为 x = kp + (k Z ) ，对称中心为 (kp .0)(k Z ) ；
2
p
（2）函数 y = cos x 的对称轴为 x = kp (k Z )，对称中心为 (kp + ,0)(k Z )；
2
kp
（3）函数 y = tan x 函数无对称轴，对称中心为 ( ,0)(k Z ) ；
2
p
（4）求函数 y = Asin(wx + f) + b(w 0) 的对称轴的方法；令 wx + f = + kp (k Z ) ，得
2
p
+ kp -f
x 2 (k kp -f= Z ) ；对称中心的求取方法；令 wx + f = kp (k Z ) ，得 x = ，即对称中心为
w w
(kp -f，b)．
w
p
+ kp -f
（5）求函数 y = Acos(wx + f) + b(w 0) 的对称轴的方法；令 wx + f = kp (k Z ) 得 x = 2 ，即
w
p
+ kp -f
对称中心为 ( 2 ,b)(k Z )
w
2、与三角函数的奇偶性相关的结论
p
(1)若 y = Asin(wx +j) 为偶函数，则j = kp + (k Z)；若为奇函数，则j = kp (k Z) .
2
(2)若 y = Acos(wx +j) 为偶函数，则j = kp (k Z) p；若为奇函数，则j = kp + (k Z) .
2
(3)若 y = A tan(wx +j) 为奇函数，则j = kp (k Z) .
题型一：五点作图法
π
【典例 1-1】已知函数 f x = 2sin 2x - 4 ÷， x R .è
(1)在用“五点法”作函数 y = f x 在区间 0, π 上的图象时，列表如下：
2x π 7π- π-
4 4 4
x 0 π
f x
将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；
(2)求函数 f x é π在区间 ê- ,
π ù
ú上的最值以及对应的 x 的值. 4 4
【解析】（1）在用“五点法”作函数 y = f x 在区间 0,π 上的图象时，列表如下：
2x π π π π 3π 7π- - 0
4 4 2 2 4
π 3π 5π 7π
x 0 π8 8 8 8
f x - 2 0 2 0 -2 - 2
描点，连线，可得图象如下：
x é π , π ù 2x π é 3π π ù（2）因为 ê- ú，可得 - ê- ， ， 4 4 4 4 4 ú
2x π π- = x π故当 时，即 = 时， f x 24 取最大值4 4 2 = 2 ，2
2x π π π当 - = - 时，即 x = - 时， f x 取最小值 2 -1 = -2 .
4 2 8
【典例 1-2】某同学用“五点法”画函数 f x = Asin wx +j ， w > 0, j π< 2 ÷在某一个周期内的图象时，列表è
并填入了部分数据，如下表：
π 5π
x
3 6
wx + j π π 3π0 2π
2 2
Asin wx +j 0 5 -5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f x 的解析式；
(2)当 x
π
éê- ,0
ù
ú时，求不等式 f x 0的解集． 2
T 5π π π
【解析】（1）由表可知 A = 5, = - = ，
2 6 3 2
T 2π所以 = = πw ，所以
w = 2，
2 π π又 + j
π
= ，所以j = - ，
3 2 6
所以 f x = 5sin 2x
π
-
6 ÷，è
表格如下：
π π 7π 5π 13π
x
12 3 12 6 12
wx + j π π 3π0 2π
2 2
Asin wx +j 0 5 0 -5 0
π
f x 0 sin 2x - （2） ，即 ÷ 0，
è 6
π
所以 2kπ 2x - π + 2kπ
π kπ x 7π，解得 + + kπ ， k Z，
6 12 12
π
又因 x é- ,0ù
π 5π é π 5π ù
ê 2 ú
，所以- x - ，即不等式 f x 0的解集为 ê- , -2 12 2 12 ú
．

【方法技巧】
（1）在正弦函数 y = sin x ， x [0，2p ] 的图象中，五个关键点是：
(0，0) (p， ，1)，(p ，0) (3p， ，-1)，(2p ，0) ．
2 2
（2）在余弦函数 y = cos x ， x [0，2p ] 的图象中，五个关键点是：
(0，1) p，( ，0)，(p ，-1) 3p，( ，0)，(2p ，1) ．
2 2
π
【变式 1-1】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数 f x = sin 2x - ÷ .
è 6
(1)完善下面的表格并作出函数 f x 在 0,π 上的图象：
2x π π
11π
- -
6 6 0 π 6
5π
x
6
f x 1
(2)将函数 f x π 1的图象向右平 个单位后再向上平移 1 个单位得到 g x 的图象，解不等式 g x .
3 2
【解析】（1）表格如下：
2x π π
π π 11π- -
6 6 0 2 3π 6
2
x π0 π 7π 5π π
12 3 12 6

f x 1 0 1 0 1
- -1 -
2 2
函数 f x 在 0,π 上的图象如下：
π
（2）将函数 f x 的图象向右平 个单位后再向上平移 1 个单位得到 g x 的图象，
3
g x sin é2 x π π ù 1 sin 2x 5π 则 = ê - 3 ÷ -è 6 ú
+ = - ÷，
è 6
g x 1所以 ，即 sin 2x
5π 1
- ，
2 è 6 ÷ 2
则 2kπ+
π
2x 5π- 2kπ 5π+ , k Z，
6 6 6
π 5π
得 kπ+ x kπ + , k Z，
2 6
ì π 5π ü
所以不等式 g x 1 的解集为 x kπ+ x kπ + , k Z .
2 í 2 6
π
【变式 1-2】设函数 f x = 2sin x
π
+
6 3 ÷
.
è
(1)列表并画出 y = f x ， x -2,10 的图象；
(2)求函数 g x = f 1+ x + f 4 - x 在区间 0,6 上的值域.
【解析】（1）
列表：
π x π π 3π+ 0 π 2π
6 3 2 2
x -2 1 4 7 10
y 0 2 0 -2 0
作图：
（2）由已知 g x = f 1+ x + f 4 - x = 2sin π π π x + ÷ + 2sin

π - x

÷
è 6 2 è 6
2cos π= x + 2sin π x π= 2 2 sin x
π
+ ，
6 6 ֏ 6 4
π π x π 5π由已知 + ，
4 6 4 4
∴ 2- sin π π
2
x + ÷ 1，
è 6 4
∴ -2≤ g x ≤ 2 2 ，
∴函数 g x = f 1+ x + f 4 - x 在区间 0,6 上的值域是 é-2,2 2ù .
题型二：函数的奇偶性
【典例 2-1】若将函数 y = sin 2x + cos 2x 的图象向右平移j(j > 0) 个单位长度后得到函数 f (x) 的图象，且
f x 为奇函数，则j 的最小值是（ ）
π 3π π
A π． B． C． D．
2 8 4 8
【答案】D
【解析】因为 y = sin 2x + cos 2x = 2 sin
2x π+ 4 ÷，è
f x = 2 sin é则 2 x -j π+ ù
ê 4 ú
，

因为 f x 为奇函数，所以 f x = - f -x ，
2 sin é所以 ê2 x -j
π
+ ùú = - 2 sin
é
ê2 -x -j
π
+ ù
4
，
4 ú
即 sin
π π
2x - 2j + ÷ = -sin -2x - 2j +

÷ = sin
2x π + 2j -

4 ÷
，
è è 4 è 4
π
所以 2j - = kπ,k Z，j(j > 0) ，
4
1
所以j = kπ
1
+ π,k Z，
2 8
π
所以j 最小值为 8 ，
故选：D
π
【典例 2-2】（2024·重庆·模拟预测）将函数 f x = sin 2x - ÷的图象向右平移j j > 0 个单位后，所得图
è 3
象关于坐标原点对称，则j 的值可以为（ ）
2π π π π
A． B． C． D．
3 3 6 4
【答案】B
【解析】因为 f x 向右平移j 个单位后解析式为 y=sin 2x π- 2j - ÷，
è 3
又图象关于原点对称，
2j π\ + = kπ，k Z π kπ，\j = - + ,k Z，Qj > 0，\k =1时，j
π
= ，
3 6 2 3
故选：B.
【方法技巧】
由 y = sin x 是奇函数和 y = cos x 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若 y = Asin(x + f) 为奇函数，则f = kp (k Z )；
（2）若 y = Asin(x + f) 为偶函数，则f = kp p+ (k Z ) ；
2
p
（3）若 y = Acos(x + f) 为奇函数，则f = kp + (k Z ) ；
2
（4）若 y = Acos(x + f) 为偶函数，则f = kp (k Z )；
kp
若 y = A tan(x + f) 为奇函数，则f = (k Z ) ，该函数不可能为偶函数．
2
π
【变式 2-1】（2024·青海西宁·二模）将函数 y = 3sin 3x +j 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数图
9
象关于 y 轴对称，则 j 的最小值为（ ）
π 7π 11π 5π
A． B． C． D．
6 18 18 6
【答案】A
π
【解析】函数 y = 3sin 3x +j 的图象向右平移 个单位长度得
9
y 3sin é= 3 x π ù- +j = 3sin π ê 9 ÷ ú
3x - +j ÷，
è è 3
又 y = 3sin

3x
π
- +j π π÷的图象关于 y 轴对称，所以- +j = + kπ k Z 3 ，è 3 2
j 5π kπ k Z k 1 j π解得 = + ，当 = - 时， 取得最小值 ．
6 6
故选：A．
【变式 2-2】（2024·四川成都·一模）已知函数 f x x R 满足： f x = 2 - f -x ，函数
2x3g x = f x + ，若 g a = 2，则 g -a = （ ）
cosx + 2
A．-2 B．0 C．1 D．4
【答案】B
【解析】依题意 f x = 2 - f -x , f x + f -x = 2 ，
3
g x g x f x 2x f 2x
3
所以 + - = + + -x - = 2
cosx + 2 cosx + 2
所以 g a + g -a = 2, g -a = 2 - g a = 2 - 2 = 0 .
故选：B
2
【变式 2-3】已知 f x = ln x2 +1 - x + x2 tan x 1+ x ，则 f lg 2 + f lg ÷÷ = （2 1 2 ）- è
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
2 2 1
【解析】 f x = ln x +1 - x + x tanx + 2x ，则-1
f x + f -x = ln x2 +1 - x + x2 tan x 1+ x + ln x2 1 1+ + x - x2 tan x +2 -1 2- x -1
ln1 1 1 1 2
x 1- 2x
= + x + - x = x + x = x = -1 .2 -1 2 -1 2 -1 1- 2 2 -1
故 f lg 2 + f lg
2
÷÷ = f lg 2 + f - lg 2 = -1 .
è 2
故选：A
题型三：函数的周期性
【典例 3-1】（2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数 f (x) = cos2x的图象向右平移
j π 0 < j < 2 ÷ 个单位长度后得到函数
g(x)的图象，若对满足 f x1 - g x2 = 2的 x1, x2 ，总有 x1 - x 2 的最小è
π
值等于 ，则j=（ ）
6
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
【答案】C
【解析】函数 f (x) = cos2x的周期为 π，

将函数的图象向右平移j 0 < j
π
< ÷个单位长度后得到函数 g(x)的图象，
è 2
可得 g(x) = cos(2x - 2j )，
由 f x1 - g x2 = 2
π
可知，两个函数的最大值与最小值的差为 2，且 x1 - x2 =min ，6
π
不妨设 x1 =0，则 x2 = ± ，即 g(x)
π
在 x2 = ± 时取得最小值，6 6
由于 cos
π π
2 - 2j ÷ = -1，此时j = - -kπ,k
é π
Z ，不合题意； cos ê2 - ÷ - 2j
ù
= -1
6 ，此时è 3 ú è 6
j 2= - π - kπ,k Z，
3
当k =-1时，j π= 满足题意.
3
故选：C.
【典例 3-2】函数 f (x) =| sin x | + | cos x |的最小正周期为（ ）
3π π π
A． π B． C． D．
2 2 4
【答案】C
f (x) | sin x | | cos x | (| sin x | | cos x |)2 1-cos4x【解析】 = + = + = 1+ sin 2x = 1+ ，
2
2π π
所以 f (x)的最小正周期T = = ．
4 2
故选：C．
【方法技巧】
关于三角函数周期的几个重要结论：
2p p
（1）函数 y = Asin(wx + f) + b, y = Acos(wx + f) + b, y = A tan(wx + f) + b 的周期分别为T = ，T = ．
w w
（2）函数 y = Asin(wx + f) , y = Acos(wx + f) ， y = A tan(wx + f) 的周期均为T p=
w
（3）函数 y = Asin(wx 2p+ f) + b (b 0), y = Acos(wx + f) + b (b 0)的周期均T = ．
w
3-1 f n 2sin nπ π= + +1 n N*【变式 】已知函数 ÷ ，则 f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2025 =（　　）
è 2 4
A．2025 B． 2025 + 2
C． 2026 + 2 D． 2026 2
【答案】B
nπ π
【解析】由 f n = 2sin + ÷ +12 4 n N
*
è
mπ π
得 f 4k + m = 2sin 2kπ + + ÷ +1 = 2sin
mπ π+ +1, k，m N
*
，
è 2 4 è 2 4 ÷


f 1 π π+ f 2 + f 3 + f 4 = 2sin + + 2sin 2π π 2sin 3π π 2sin 4π π+ + + + + 所以 2 4 ÷ 2 4 ÷ 2 4 ÷ 2 4 ÷ + 4 = 4，è è è è
f 1 f 2 f 3 L f 2025 4 2024 2sin 2025π π所以 + + + + = + +

÷ +1 = 2025 + 24 è 2 4
故选：B.
【变式 3-2】已知函数 f ( x ) = cos w x (sin w x + 3 cos w x ) (w > 0) ，如果存在实数 x 0 ，使得对任意的实数 x ，
都有 f (x0 ) f (x) f (x0 + 2016p ) 成立，则w 的最小值为
1 1 1 1
A． B． C． D．
4032p 2016p 4032 2016
【答案】C
【解析】 p 3因为 f ( x ) = cos w x (sin w x + 3 cos w x ) (w > 0) = sin 2w x +

÷ + ，设 f x 的最小正周期为
è 3 2
T T 1 1，则 2016p ,\w ，所以w 的最小值为 ，故选 C.2 4032 4032
【变式 3-3 π π】设函数 f (x) = Acos(wx + j) （ A，w ，j 是常数， A > 0 ，w > 0 ）．若 f (x) 在区间
é ù
ê , 4 2 ú
上

π 2π π
具有单调性，且 f = f = - f 2 ÷ 3 ÷ ÷
，则 f (x) 的最小正周期为_______．
è è è 4
5p 5
【答案】 / p
6 6
【解析】 f (x) π π π π π π π在区间 éê ,
ù 上具有单调性，区间 é , ùú ê ú 的长度为 - = ， 4 2 4 2 2 4 4
é π 2π ù 2π π π π区间 ê , 的长度为 - = < ， 2 3 ú 3 2 6 4
f π f 2π由于 = ÷ ÷ = - f
π
2 3 ÷
，
è è è 4
π 2π π π+ ÷ 3π
所以 f x 的一条对称轴为 +2 3 7π ，其相邻一个对称中心为 4 2 ，即 ，x ,0÷ ,0= = ÷
2 12 2 ÷ è 8
è
T 7π 3π 5π 5π
所以 = - = ,T = .
4 12 8 24 6
5π
故答案为：
6
1
【变式 3-4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x = sin wx +j ，如图 A, B是直线 y = 与曲线
2
y π= f x AB = , f 13π 5π 的两个交点， ÷ = -1，则 f6 24 6 ÷ =（ ）è è
A 0 B 1 C 3 D 3． ． 2 ． ． -2 2
【答案】C
A x , 1 , B x , 1 AB π x x π【解析】设 1 ÷ 2 ÷ ，由 = 可得
è 2 è 2 6 2
- 1 = ，6
由 sin x
1 π
= 可知， x = + 2kπ 或 x
5π
= + 2kπ， k Z，由图可知，
2 6 6
0 wx j 5 π 2π 2π当w > 时， 2 + - wx1 +j = π - = ，即w x2 - x1 = ，\w = 4 ；6 6 3 3
当w < 0 时，wx1 +j - wx
5 π 2π 2π
2 +j = π - = ，即w x1 - x2 = ，\w = -4；6 6 3 3
综上：w = ±4 ；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设ω = 4，则 f x = sin 4x +j ，
f 13π 13π 因为 24 ÷
= sin +j ÷ = -1，
è è 6
13π
则 +j = 2kπ
3π
+ , k 2π Z，解得j = - + 2kπ,k Z，
6 2 3
2π 2
所以 f (x) = sin 4x - + 2kπ ÷ = sin3
4x - π
3 ÷
，
è è
f 5π sin 10π 2 2π 2π 3\ ÷ = - π
= sin 2π + = sin = ．
è 6 è 3 3 ÷ ÷ è 3 3 2
故选：C.
【变式 3-5】（2024·辽宁·二模）A，B，C 是直线 y = m与函数 f (x) = 2sin(wx +j) （w > 0，0 < j < π ）的图
π π
象的三个交点，如图所示．其中，点 A(0, 2)，B，C 两点的横坐标分别为 x1, x2 ，若 x2 - x1 = ，则 f ( ) =4 2
（ ）
A．- 2 B．-1 C． 2 D．2
【答案】A
【解析】由 f (0) = 2sinj = 2 ，可得 sinj 2= ，
2
因为0 < j < π ，且点 A 在 f x 3π图像的下降部分，所以j = ，
4
故 f (x) = 2sin(wx
3π
+ )，
4
因为 A(0, 2)，所以 A, B,C 是直线 y = 2 与 f x 的图像的三个连续的交点；
x = 0 wx 3π 3π由A 点横坐标 A ，即 A + = ，解得wx
3π 9π
1 + = ，wx
3π 11π
+ = ，
4 4 4 4 2 4 4
3π 2π π
解得 x1 = ， x2 = ，所以 x2 - x1 = ．2w w 2w
x x π π π 3π因为 2 - 1 = ，所以 = ，所以w = 2，所以 f (x) = 2sin(2x + )，4 2w 4 4
f (π) 2sin(π 3π则 = + ) = -2sin
3π
= - 2 ．
2 4 4
故选：A．
题型四：函数的单调性
2π
【典例 4-1】（2024·全国·二模）已知函数 f x = cos - 2x
2π
÷， x
é
ê- ,
π ù
ú ，则函数 f x 的单调递减区è 3 3 3
间为 .
é 2π π ù
【答案】 ê- ,- 3 6 ú
2π
【解析】由题意知， f (x) = cos( - 2x) = cos(2x
2π
- )
3 3 ，
由 2kπ 2x
2π
- 2kπ π, k Z π+ ，得 kπ+ x kπ
5π
+ ,k Z ，
3 3 6
令 k 1
2π x π π 5π= - ，得- - ，令 k = 0，则 x ，
3 6 3 6
即函数 f (x)
2π π
的单调递减区间为 [- ,- ]3 6 .
2π
故答案为： [- ,
π
- ]
3 6
【典例 4-2】（2024· 2高三·山东青岛·期末）函数 f x = cos x + sin x cos x 的单调减区间为 ．
é π 5π ù
【答案】 êkπ + , kπ + ,k Z； 8 8 ú
【解析】因为 f x = cos2 x + sin x cos x 1+ cos 2x 1 2= + sin 2x = sin π 1
2 2 2
2x + ÷ + ，
è 4 2
π +2kπ 2x π 3π则函数的单调减区间为: + +2kπ, k Z，
2 4 2
π 5π
解得： +kπ x +kπ,k Z .
8 8
é π 5π ù
故答案为： êkπ + , kπ + ,k Z . 8 8 ú
【方法技巧】
三角函数的单调性，需将函数 y = Asin(wx + f) 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合
函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数 y = Asin(wx + f)(A > 0, w > 0) 的单调区间的确定基本思想是吧 wx + f 看做是一个整体，
如由 2kp p wx f 2kx p- + + (k Z ) 解出 x 的范围，所得区间即为增区间；
2 2
由 2kp p+ wx + f 2kx 3p+ (k Z ) 解出 x 的范围，所得区间即为减区间．
2 2
若函数 y = Asin(wx + f) 中 A > 0, w > 0 ，可用诱导公式将函数变为 y = -Asin(-wx -f) ，则
y = Asin(-wx -f) 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数 y = Acos(wx + f), y = A tan(wx + f) 的单调性的讨论与以上类似处理即可．
【变式 4-1】函数 f x = sin2x + 2cosx在 0, π 上的单调递减区间为 .
π 5π
【答案】 , ÷
è 6 6
【解析】由题意知， f x = 2cos2x - 2sinx = 2 1- 2sin2x - 2sinx < 0 .
即 2sin2x + sinx -1> 0 ， 2sin x -1 sin x +1 > 0，因为 sin x > 0，所以 sin x 1> ，2
所以在 0, π π x 5π中， < < ，
6 6
所以 f x = sin2x + 2cosx在 0, π π 5π 上的单调递减区间为 ,6 6 ÷ .è
π , 5π 故答案为： 6 6 ÷è
【变式 4-2】（2024·湖北·二模）将函数 y = sin
x π +
1
÷的图象上每一点的横坐标变为原来的 2 （纵坐标不è 6
5π
变），再向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
12
é π ù é π 7πA ù．在区间 ê- ,0ú 上单调递减 B．在区间 ê ,10 12 ú 上单调递增 2
é π π ù é π π ù
C．在区间 ê- , ú 上单测递减 D．在区间 - , 上单调递增 6 3 ê 6 3 ú
【答案】B
【解析】函数 y
π
= sin x + 1 π 6 ÷
的图象上每一点的横坐标变为原来的 得 y = sin 2x + ÷ ，
è 2 è 6
5π é 5π π ù 2π
再向右平移 个单位长度得 y = sin 2 x - + = sin 2x - ，
12 ê ÷ ú ÷ è 12 6 è 3
y 2π即 = sin

2x -

3 ÷
，
è
π 2π
由 2kπ - 2x - 2kπ
π ékπ π 7π+ ， k Z得增区间为 + ,kπ + ù
2 3 2 ê 12 12 ú
， k Z．

é π , 7π ù é π , 7π ù é π , 7π ù当 k = 0时，一个增区间为 ê 12 12 ú，而 ê10 12 ú ê12 12 ú ，所以 B 正确.
故选：B

【变式 4-3】（2024·湖南长沙·二模）已知函数 f x = tan wx +j w > 0,0 j
π
< < ÷的最小正周期为 2π，直
è 2
x π线 = 是 f x 3 图象的一条对称轴，则 f x 的单调递减区间为（ ）
2kπ πA． - , 2kπ
5π
+ ùú k Z è 6 6
5π 2π ù
B． 2kπ - , 2kπ -
è 3 3 ú
k Z
2kπ 4π- , 2kπ π- ùC． k Z
è 3 3 ú
π
D． 2kπ - , 2kπ
2π
+ ù
è 3 3 ú
k Z
【答案】B
【解析】由于 f x = tan wx +j w > 0,0
π
< j < ÷的图象是将 y = tan wx +j 的图象在 x 轴下方部分
è 2
翻折到 x 轴上方，
π
且 y = tan wx +j w > 0,0 < j < ÷仅有单调递增区间，
è 2
故 f x = tan wx +j 和 y = tan wx +j 的最小正周期相同，均为 2π，
π 2π, w 1
1
则 = \ = ，即 f x = tan x +j

÷ ，w 2 è 2
π 1 π 1
又直线 x = 3 是
f x 图象的一条对称轴，则 × +j = kπ,k Z，
2 3 2
j 1即 = kπ
π
- ,k Z π ，结合 0 < j
π
< ，得j =
2 6 2
，
3
1 π π 1 π 5π 2π
故 f x = tan x + ÷ ，令 kπ - < x + kπ,k Z，则 2kπ - < x 2kπ - , k Z，
è 2 3 2 2 3 3 3
即 f x 5π的单调递减区间为 2kπ - , 2kπ
2π
- ùú k Z ，è 3 3
故选：B
【变式 4-4】已知函数 f x = Acos wx +j A > 0,w
p
> 0,|j |< ÷，若函数 f x
p
2 的图象向左平移 个单位è 6
长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式 f x -1的解集为（ ）
7p p
A é． ê- + kp , + kp
ù k Z
12 4 ú
é p 7pB ù． ê- + 2kp , + 2kp ú k Z 3 12
é p kp , 5pC． - + + kp ù k Z
ê 4 12 ú
é p pD ù． ê- + kp , + kp k Z 3 12 ú
【答案】C
p
【解析】设函数 f x 的图象向左平移 单位长度后得到的函数图象对应的函数为 g x ，由图可知
6
A 2 p p= ，函数 g x 的图象的最小正周期为 4 +6 12 ÷ = p ，è
所以w
2p
= = 2，
p
所以 g x = 2 co s 2 x + j ，
g π- 2 cos 2p= - +j 2p由 12 ÷ ，得 ÷
=1，- +j = 2kp ， k Z，
è è 12 12
p p
所以j = + 2kp ， k Z，取k=0，得j = ，
6 6
所以 g x = 2cos 2x
p
+ é÷，所以 f (x) = 2 cos ê2
x p- p ù ÷ + ú = 2 cos

2x
p
- ÷，
è 6 è 6 6 è 6
p
所以由 f x -1，得 2 cos
2x - ÷ -1，即 cos
p 1
6
2x -
6 ÷
-
2 ，è è
2p p 2p p 5p
所以- + 2kp 2x - + 2kp ， k Z，即- + kp x + kp ， k Z，
3 6 3 4 12
é p 5p ù
所以不等式 f x -1的解集为 ê- + kp , + kp4 12 ú （ k Z），
故选：C
【变式 4-5】 y = cos w x + j 的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（ ）
1A． + 2k,
7 2k 1 7+
12 12 ÷
, k Z B． + k, + k ÷ ,k Z
è è12 12
1C． + 2kπ,
7
+ 2kπ ÷ , k
1 7
Z
12 12 D．
+ kπ, + kπ
12 12 ÷
, k Z
è è
【答案】B
T 1 1 1
【解析】由图可得 = - - ÷ =2 3 6 2 ，即T=1，è
1 1 1 1- +
结合图象可得到在区间 - ,6 3 ÷中， A 为最高点，对应的横坐标为 6 3 1è = ，2 12
y 1 T 7轴右侧第一个最低点为 B ，对应的横坐标为 + = ，
3 4 12
1 k, 7 故函数的单调递减区间为 + + k ,k Z
è12 12 ÷
故选：B
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
【典例 5-1】（2024·上海松江·校考模拟预测）已知函数 y = f x 的对称中心为 0,1 ，若函数 y =1+ sin x的
6
图象与函数 y = f x 的图象共有 6 个交点，分别为 x x , y1, y1 ， x2, y2 ，…， 6 6 ，则 xi + yi =
i=1
__________.
【答案】6
【解析】显然函数 y =1+ sin x的图象关于点 0,1 成中心对称，
依题意，函数 y =1+ sin x的图象与函数 y = f x 的图象的交点关于点 0,1 成中心对称，
6 6 6
于是 xi = 0, yi = 6，所以 xi + yi = 6 .
i=1 i=1 i=1
故答案为：6
【典例 5-2】写出函数 f x cos x= 的一个对称中心： .
1- sin x
π
【答案】 ,0÷
è 2
cos2 x - sin2 x cos x + sin x
【解析】 f (x)
cos x
= = 2 2 = 2 2
1- sin x sin x x
2
- cos ÷ cos
x x
- sin
è 2 2 2 2
1+ tan x tan x + tan π
= 2 = 2 4 = tan x π+ ÷，
1- tan x 1- tan x tan π è 2 4
2 2 4
x π k π x π p令 + = 1 或 + = + k2π k1,k2 Z ，2 4 2 4 2
π
则 x = - + 2k
π
1π 或 x = + 2k2π k1, k2 Z ，2 2
令 k2 = 0 x
π π
，则 =

，所以函数 f (x) 的一个对称中心是 ,02 ÷
.
è 2
π
故答案： ,0

÷ (答案不唯一，横坐标符合 x = 2kπ
π
± ( k Z ) )
è 2
即可
2
【方法技巧】
关于三角函数对称的几个重要结论；
p
（1）函数 y = sin x 的对称轴为 x = kp + (k Z ) ，对称中心为 (kp .0)(k Z ) ；
2
p
（2）函数 y = cos x 的对称轴为 x = kp (k Z )，对称中心为 (kp + ,0)(k Z )；
2
（3）函数 y = tan x kp函数无对称轴，对称中心为 ( ,0)(k Z ) ；
2
p
（4）求函数 y = Asin(wx + f) + b(w 0) 的对称轴的方法；令 wx + f = + kp (k Z ) ，得
2
p
+ kp -f
x = 2 (k Z ) ；对称中心的求取方法；令 wx + f = kp (k Z ) ，得
w
x kp -f (kp -f= ，即对称中心为 ，b)．
w w
p
+ kp -f
（5）求函数 y = Acos(wx + f) + b(w 0) 的对称轴的方法；令 wx + f = kp (k Z ) 得 x = 2 ，即
w
p
+ kp -f
对称中心为 ( 2 ,b)(k Z )
w
【变式 5-1】（2024·高三·河南·期末）将函数 f (x) = cos 2x + 3 sin 2x图象向右平移j (j > 0)个单位，得到的图
π
象关于直线 x = 对称，则j 的最小值为 .
3
π
【答案】
6
【解析】 f (x) = cos 2x + 3 sin 2x = 2(1 cos 2x 3+ sin 2x) = 2cos(2x π- )，
2 2 3
f (x) π的图象向右平移j (j > 0)个单位，得到函数 g(x) = 2cos(2x - 2j - )的图象，
3
由题意 g(x)
π
的图象关于直线 x = 对称，
3
π π π kπ
所以 2 - 2j - = kπ(k Z) ，所以j = - (k Z)，
3 3 6 2
π
又j > 0，则当 k = 0时，jmin = .6
π
故答案为： .
6
4π
【变式 5-2】（2024·河南开封·模拟预测）已知函数 f (x) = 2cos(3x +j) 的图象关于点 ,0

÷对称，那么 j
è 3
的最小值为 ．
π
【答案】
2
【解析】Q f x = 2cos 3x 4π+j 的图象关于点 ,0
4π π
÷对称，\3 +j = kπ + ,k Z ，即
è 3 3 2
j kπ 7π π= - ,k Z ，令 k = 4，可得 j 的最小值为 ．
2 2
π
故答案为：
2
π
【变式 5-3】（2024·高三·吉林通化·

期中）已知三角函数 f x = sin wx +j w > 0,j 0, ÷ 的图象关于
è è 2
÷

j,0 π对称，且其相邻对称轴之间的距离为 ，则j = ．
2
π
【答案】
3
π π
【解析】函数 f x = sin wx +j w > 0,j 0, ÷÷的图象相邻对称轴之间的距离为 ，
è è 2 2
T π
则有 = ，得T = π
2π
= ，所以w = 2，则 f x = sin 2x +j ，
2 2 w
又函数图象关于 j,0 对称，则 f j = sin 3j π= 0 ，且j 0, π ÷ ，所以j = ．
è 2 3
π
故答案为： .
3
π
【变式 5-4】（2024·四川成都·模拟预测）函数 f (x) = a sin x + cos x 的图象关于直线 x = - 对称，则a =
6
3
【答案】-
3
【解析】Q f (x) = a sin x + cos x = a 2 +1 sin x + j ，
显然函数的最小正周期T = 2π，
又 x
π
= - 为对称轴，
6
设 f x π在 x = - 右侧附近的一个对称中心为 m,0 ，
6
é π ù
故 4 êm -
- π ÷ú = 2π ，解得m = ，故 f x
π
的一个对称中心为 ,0

，
è 6
÷
3 è 3
f π\ 3 ÷ = a
1
+ = 0 a 3，解得 = - .
è 3 2 2 3
3
故答案为：-
3
题型六：函数的定义域、值域（最值）
【典例 6-1】实数 x, y满足 x 2 - xy + y 2 = 1，则 x + 2y的范围是___________.
é 2 21 2 21ù
【答案】 ê- , ú
3 3
ì y
2 2 x - = cosq
【解析】 x 2 2
y 3 2- xy + y = 1 x - ÷ + y ÷ = 1 .故令 í ，q 0 , 2 π .
è 2 2 ÷è 3
y = sinq 2
x + 2y 5 2 21
é 2 21 2 21ù
则原式 = cos θ + si n θ = si n θ + φ ，故 x + 2y ê- , ú .
3 3 ê 3 3 ú
é 2 21 , 2 21
ù
故答案为： ê- ú .
3 3
1- sin x
【典例 6-2】求 y = 的值域.
2 - cos x
y 1- sin x【解析】由 = 可得 y(2 - cos x) =1- sin x，
2 - cos x
即 sin x - y cos x =1- 2y ，
由三角函数辅助角公式可得 1+ y2 sin(x -j) =1- 2y，
\sin(x -j) 1- 2y= j
1+ y2 （ 为辅助角），
1- 2y 4
则 1，解得0 y ，
1+ y2 3
1- sin x é 4ù
故函数 y = 的值域为 0, .
2 - cos x ê 3ú
【方法技巧】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处
理．
（1） y = asin x + b，设 t = sin x ，化为一次函数 y = at + b在[-1,1]上的最值求解．
b
（2） y = asin x + bcos x + c ，引入辅助角f(tanf = )，化为 y = a2 + b2 sin(x + f) + c，求解方法同类
a
型（1）
（3） y = asin2 x + bsin x + c ，设 t = sin x ，化为二次函数 y = at2 + bt + c 在闭区间 t [-1,1]上的最值求
解，也可以是 y = a cos2 x + bsin x + c或 y = a cos 2x + bsin x + c型．
（4） y = asin xcos x + b(sin x ± cos x) + c ，设 t = sin x ± cos x，则 t2 = 1± 2sin xcos x ，故
2 2
sin xcos x t -1 t -1= ± ，故原函数化为二次函数 y = a × (± ) + bt + c 在闭区间[- 2, 2]上的最值求解．
2 2
y asin x + b y asin x + b（5） = 与 = ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式
csin x + d ccos x + d
法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于 sin x 或 cos x的函数求解释务必注意
sin x 或 cos x的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
【变式 6-1】设a>0，则 f x = 2a sinx + cosx - sinx × cosx - 2a 2 的最小值为__________.
2 1
【答案】-2a -2 2a -
2
【解析】设 t =sinx+cosx，由 t = sin x + cos x = 2 sin(x π+ )，得 t é ù
4
- 2 , 2 ，
2
又由 sinx +cosx 2 =1+ 2sinx ×cosx，得 sin x ×cos x t -1= ，
2
2
f x = 2at t -1 2a2 1所以 - - = - t 1- 2a 2 + ，
2 2 2
g t 1令 = - t - 2a 2 1+ (a > 0)， t é - 2 , 2 ù ，2 2
sin(x π当 t = - 2 时， + ) = -1
5
时，即当 x = 2kp + p ,k Z时，
4 4
-2a2 1原函数取到最小值 -2 2a - .
2
故答案为：-2a2 -2 2a
1
- .
2
【变式 6-2】（2024·上海崇明·二模）已知实数 x1, x2 , y1, y2 满足： x21 + y21 =1, x22 + y22 =1, x1 y2 - y1x2 =1，则
x1 + y1 - 2 + x2 + y2 - 2 的最大值是 ．
【答案】6
【解析】因为 x2 21 + y1 =1, x
2
2 + y
2
2 =1,
故令 x1, y1 = cosa ,sina ， x2 , y2 = cos b ,sin b ，且a , b 0,2π ，
因为 x1 y2 - y1x2 =1，
cosa sin b sina cos b sin b a 1 b a π所以 - = - = - = ，
2
所以 x1 + y1 - 2 + x2 + y2 - 2 = 4 - x1 + y1 + x2 + y2 = 4 - cosa + sina + cos b + sin b
= 4 - cosa + sina + cos
a π+ sin a π ÷ + + ÷÷ = 4 - 2cosa 4 - -2 = 6，仅当a = π时等号成立.
è è 2 è 2
1
【变式 6-3】已知函数 f (x) = sin2xcos x，该函数的最大值为__________．
2
2 3
【答案】
9
【解析】由题意，函数 f x = sin xcos2 x = sin x 1-sin2 x =sin x -sin3 x，
令 sin x = t且 t - 1,1 ，则 y = g (t) = t - t 3 ，
2
从而 g t =1- 3t = 1- 3t 1+ 3t ， 令 g t = 0 3 3，解得 t1 = - 或 t2 = ，3 3
1 t 3 g t < 0 3 3当- < < - 时， ；当- < t < 时， g t > 0 ；
3 3 3
3
当 < t <1时， g t < 0 ，
3
3 3 3
所以 g t 在 (-1, 3- )上单调递减；在 - , ÷÷ 上单调递增；在 ,13 3 3 ÷÷
上单调递减．
3 è è
因为 g -1 = 0 3 2 3 f x 2 3， g ( ) = ，所以 的最大值为 .
3 9 9
2 3
故答案为： .
9
y 3 sinx 2cos2x, x é π 7π【变式 6-4】函数 = - - ê ,
ù
的值域为 .
6 6 ú
é7 ,2ù【答案】 ê 8 ú
x é π 7π ù 1【解析】由正弦函数的性质可知，当 ê , ú , - sin x 1， 6 6 2
y = 3 - sin x 1 7- 2cos2 x = 2sin2 x - sin x +1 = 2(sin x - )2 +4 8
sin x 1 y 7 1 é
7 ù
当 = 时， = ；当 sinx =1, 或- 时， y = 2，故值域为 , 2 .
4 min 8 2 max ê 8 ú
é7 ,2ù故答案为： ê 8 ú
【变式 6-5】函数 y = 1+ 2sinx 1 π π+ 2cosx é ù在区间 ê- ,4 6 ú 上的最大值与最小值之和是 .
【答案】1+ 2 3
【解析】由函数 y = 1+ 2sinx 1+ 2cosx = 4sinxcosx + 2 sinx + cosx +1，
2
令 sinx + cosx = t 2 t -1，则 t =1+ 2sinxcosx ，即 2sinxcosx = ，
2
2
所以 y = 4 t -1× + 2t +1 = 2t 2 + 2t -1，
2
π π π π 5π π
又因为 t = 2sin x + ÷，且- x ，可得0 x + < ，
è 4 4 6 4 12 2
则0 t 1 3 1+ 3 + = ，
2 2 2
2 t é 1又由 y = 2t + 2t -1在 ê- ,+

÷是增函数，
2
1+ 3 4 + 2 3
当 t = 0时， ymin = -1；当 t = 时， ymax = 2 × +1+ 3 -1 = 2 + 2 3 ，2 4
所以 ymin + ymax =1+ 2 3 .
故答案为：1+ 2 3
【变式 6-6】（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角a 、 b 均为锐角，则 s in a + s in b + co s a + b 的
范围是______________．
3 ù
【答案】 1,
è 2 ú
【解析】因为角a 、 b 均为锐角，所以 sina , cosa ,sin b , cos b 的范围均为 0,1 ，
所以 sin a + b = sin a cos b + cos a sin b < sin a + sin b ，
所以 sin a + sin b + cos a + b > sin a + b + cos a + b = 2 sin a + b
π
+
4 ֏
0 a π因为 < < ,0 b
π π π 3π
< < , 2 2 4 4 4
π 2
所以 2 sin a + b + 4 ÷
> 2 = 1，
è 2
sin a + sin b + cos a + b = sin a + sin b + cos a cos b - sin a sin b
= 1 - sin b sin a + cosa cos b + sin b 1 - sin b 2 + cos2 b + sin b
= 2 1-sin b +sin b ，
当且仅当 1 - sin b cos a = sin a co s b 时取等，
令 1 - sin b = t ， t 0,1 ， sin b = 1 - t 2 ，
2
所以= 2 1-sin b +sin b = 2t 1 t 2 2 3 3+ - = - t - ÷÷ + .
è 2 2 2
3
则 s in a + s in b + co s a + b
ù
的范围是： 1, .
è 2 ú

故答案为： 1,
3 ù
è 2 ú
r r r r
【变式 6-7】已知向量 a = (sin x,cos x),b = (sin x, 3 sin x) ，函数 f (x) = a ×b .
π
(1)求 f ；
è12 ÷
π é π ù
(2)若把 f (x) 的图象向右平移 个单位长度可得 g(x)的图象，求 g(x)在 ê0, 上的值域.6 8 ú
r r
2 = 1- cos 2x 3 = sin 2x π- 1【解析】（1）由题意，得 f (x) = a ×b = sin x + 3 sin x cos x + sin 2x
2 2 ÷
+ ，
è 6 2
∴ f
p p p 1 1 1
÷ = sin 2 -

12 12 6 ÷
+ = sin 0 + = .
è è 2 2 2
é p p ù 1 p 1
（2）由题意，得 g(x) = sin ê2(x - ) - ú + = sin 2x - ÷ + = -cos 2x
1
+ ，
6 6 2 è 2 2 2
é p ù é p ù é ù é ù é ù
∵ x ê0, ú ，∴ 2x ê0, ú，∴ cos 2x
2 ,1 2 1 1- 2 ê ú，-cos 2x ê-1, - ú，\ g x ê- , ú ，
8 4 2 2 2 2
é
g(x) é0, π ù 1 1- 2
ù
∴ 在 ê ú上的值域为 - , . 8
ê 2 2 ú
sin x cos x
【变式 6-8】函数 f (x) = 的值域为_____________．
1+ sin x + cos x
é- 2 -1 , 1 U 1, 2 -1
ù
【答案】 ê - -
2 ÷
÷
è 2
ú

【解析】令 t = sin x + cos x = 2 sin
x p +

÷， t [- 2 , -1) U (-1, 2 ]4 ，è
t 2 -1
则 t 2 =1+ 2sin x cos x ，即 sin x cos x = ，
2
t 2 -1
所以 f (t) = 2 t -1= ，
1+ t 2
é- 2 -1 2 -1ù
又因为 t [- 2 , -1) U (-1, 2 ] ，所以 f t ê ,-12 ÷÷ U -1, ú ， è 2
é- 2 -1 2 -1ù
即函数 f (x)
sin x cos x
= 的值域为 ê ,-1÷÷ U -1, ．1+ sin x + cos x 2 è 2
ú

é- 2 -1 2 -1ù
故答案为： ê ,-1÷÷ U -1, ú .
2 è 2
题型七：三角函数性质的综合应用

【典例 7-1】（多选题）（2024·贵州六盘水·三模）已知函数 f x = sin wx +j w > 0, |j |
π
< ÷，若函数 f (x)
è 2
π x π图象的相邻两个对称中心之间的距离为 ， = - 为函数 y = f (x) 图象的一条对称轴，则（　　）
2 6
A．w = 2
j πB． = -
6
π ,0 C．点 ÷是函数 f (x) 图象的对称中心
è 3
π
D．将函数 f (x) 的图象向左平移 个单位长度后所得函数的图象关于 y 轴对称
3
【答案】ABD
π
【解析】因为函数 f (x) 图象的相邻两个对称中心之间的距离为 ，所以T = π ，w = 2，
2
π
因为直线 x = - 为函数 y = f (x) 图象的一条对称轴，
6
π
所以- 2 +j
π
= + kπ ， k Z 5π，则j = + kπ， k Z，
6 2 6
j π π因为 < ，所以j = - ，故 AB 正确；
2 6
π π π
所以 f (x) = sin(2x - 6 ) ，因为 f ( ) = sin =1，故 C 错误；3 2
π
将函数 f (x) 的图象向左平移 个单位长度后所得函数为
3
y = sin éê2(x
π
+ ) π- ùú = sin(2x
π
+ ) = cos 2x，图象关于 y 轴对称，故 D 正确.
3 6 2
故选：ABD.
【典例 7-2】（多选题）（2024·安徽·三模）已知函数 f x = sin x - 3 cos x ，则（ ）
A． f x 是偶函数 B． f x 的最小正周期是 π
C． f x π 的值域为 é ù - 3,2 D． f x 在 -π,- 2 ÷上单调递增è
【答案】AC
【解析】对于 A，由于 f x 的定义域为R ，且
f -x = sin -x - 3 cos -x = -sin x - 3 cos x = sin x - 3 cos x = f x ，
故 f x 是偶函数，A 正确；
对于 B，由于 f 0 = sin 0 - 3 cos 0 = - 3 ， f π = sin π - 3 cos π = 3 ，故 f 0 f π ，这说明 π
不是 f x 的周期，B 错误；
2
对于 C，由于 f x = sin x - 3 cos x sin x + 3 cos x = sin x + 3 cos x
2 2sin x + 3 cos x + 3 sin x - cos x
= sin2 x + 3cos2 x + 2 3 sin x cos x + 3sin2 x + cos2 x - 2 3 sin x cos x
= 4sin2 x + 4cos2 x = 4 = 2，
且 f x = sin x - 3 cos x - 3 cos x - 3 ，故- 3 f x 2 .
5π é 5π ù
而对- 3 u 2，有 f 0 = - 3 u ， f ÷ = 2 u ，故由零点存在定理知一定存在 x ê0,è 6 6 ú使得
f x = u .
所以 f x 的值域为 é ù - 3,2 ，C 正确；
5π 2π π 5π 2π π
对于 D，由于-π < - < - < - ， f -

÷ = 2 > 3 = f

-

÷，故 f x 在 -π,- ÷上并不是单6 3 2 è 6 è 3 è 2
调递增的，D 错误.
故选：AC.
【方法技巧】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性 奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数 f (x) 为奇函数；若函数图像关于 y 轴
T
对称，则函数 f (x) 为偶函数）；对称性 周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是 ；相邻的对称中心之
2
T T
间的距离为 ；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 ）；对称性 单调性（在相邻的对称轴之间，函
2 4
数 f (x) 单调，特殊的，若 f (x) = Asin(wx), A > 0, w > 0 ，函数 f (x) 在[q1,q2 ]上单调，且 0 [q1,q2 ]，设
T
q = max q1 ,q2 ，则 q 深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）4
【变式 7-1】（多选题）（2024·广东广州·三模）已知函数 f x = 2 cosx + sinx cosx -1，则（ ）
A． f x f 5π 8 ÷ B． f 1 > f 2 è
2024
C． f
π π
+ x

÷ + f

- x

÷ = 0 D． f kπ ÷ = 3
è 8 è 8 k =1 è 6
【答案】ABD
【解析】 f x = 2 cos x + sin x cos x -1 = sin 2x + cos 2x = 2 sin 2x
π
+ ÷ ，
è 4
f 5π 2 sin 5π π对于 A，由 ÷ = +

= 2 sin
3π 2 f x 5π= - ，所以 f ，故 A 正确；
è 8 è 4 4 ÷ 2 8 ÷è
π x 5π
π é π 3π ù é π 5πB ù对于 ，当 时， 2x + ê , ú，由正弦函数可知， f x 在 ê ,8 8 ú上单调递减，8 8 4 2 2
f x x 5π f 2 5π= f - 2 5π 5π又 的对称轴为 = ，所以 ÷，由 > - 2 >1
π
> ，则
8 è 4 8 4 8
f 1 5π> f - 2

4 ÷
= f 2 ，故 B 正确；
è
π π kπ
对于 C，令 2x + = kπ ， k Z ，所以 f x 的对称中心为 - + ,0 ， k Z，
4 è 8 2 ÷
f π + x + f π π若 ÷ - x ÷ = 0

8 8 成立，则则
f x 关于点 ,08 ÷对称，è è è
π kπ π 1
令- + = ，解得 k = Z，故 C 错误；
8 2 8 2
f x π f π 2 sin 7π 2 sin π 5π 2 sin 5π f 2π 2 sin 11π对于 D，因为 的周期为 ， 6 ÷ = = - = ， = ，è 12 12 ÷ 12 ÷è è 6 12
f 3π ÷ = - 2 sin
π f 4π 2 sin 5π f 5π 2 sin 11π 6π π， ÷ = - ， ÷ = - ， f

6 4 6 ÷
= 2 sin ，
è è 12 è 6 12 è 6 4
\ f π + f 2π f 3π+ + f 4π f 5π+ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + f
6π
÷ = 0，
è 6 è 6 è 6 è 6 è 6 è 6
2024
f kπ 337 é f π 2π 3π 4π 5π 6π ù π= + f + f + f + f + f + f 2π 所以
è 6 ÷ ê 6 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
+ f ÷
k =1 è è 6 è 6 è 6 è 6 è 6
ú
è 6 è 6
= 3 .故 D 正确.
故选：ABD.
1
【变式 7-2】（多选题）（2024·黑龙江佳木斯·三模）关于函数 f x = cos x + sin 2x - ，则下列说法正确是
2
（ ）
é π π ù
A． π是函数 f x 的一个周期 B．在 ê , 上单调递减 4 2 ú
3π
C．函数图像关于直线 x = 对称 D．当 x -10π,10π 时，函数 f x 有 40 个零点
4
【答案】ABD
1
【解析】对于 A， f (x + π) =| cos(x + π) | + | sin 2(x + π) | - =| cos x | + | sin 2x |
1
- = f (x) ，故 π是函数
2 2
f (x) 的一个周期，故 A 正确；
π π 1
对于 B， 当 x [ , ]时， f (x) = cos x + sin 2x - ，
4 2 2
则 f (x) = -sin x + 2cos 2x ，
2
因为-sin x [-1,- ]， 2cos 2x [-2,0]，
2
所以 f (x) = -sin x + 2cos 2x < 0
π π
在 x [ , ]恒成立，
4 2
f (x) [π , π即函数 在 ]上单调递减，故 B 正确；
4 2
对于 C，因为 f ( x
3π
- + ) =| cos(-x 3π+ ) | + | sin 2( x 3π) | 1 1- + - =| sin x | + | sin 2x | - f (x) ，故 C 错误；
2 2 2 2 2
对于 D，因为 f (-x) =| cos(-x) | + | sin(-2x) |
1
- =| cos x | + | sin 2x | 1- = f (x)，
2 2
所以函数 f (x) 为偶函数，
又因为 f (-x + π) =| cos(-x + π) | + | sin 2(-x + π) |
1
- =| cos x | + | sin 2x | 1- = f (x)，
2 2
π
所以函数 f (x) 关于 x = 2 对称，
所以 f (x) = f (x + π)，
故函数 f (x) 的最小正周期为T = π .
ì
cos x + sin 2x
1 , kπ x π- + kπ
又因为 f (x) =
2 2
í ,k Z
cos x sin 2x 1 π- - - ,kπ+ < x π + kπ
2 2
π π
由 B 选项知，函数 f (x) 在[ , ]上单调递减，
4 2
由对称性，则函数 f (x) [
π , 3π在 ]上单调递增，
2 4
f (0) f (π) 1 f (π 1且 = = ， ) = - ，
2 2 2
当 x [0,
π]时， f (x) = cos x + sin 2x
1
- > 0恒成立，
4 2
x [3π由对称性， ，π]， f (x) = -cos x
1
- sin 2x - > 0恒成立.
4 2
故函数 f (x) 在一个周期T = π 内有两个零点，
则函数 f (x) 在[-10π,10π]内共 40 个零点，故 D 正确.
故选：ABD.
【变式 7-3】函数 f x = Asin wx π+j A > 0,w > 0, j <

2 ÷的部分图象如图所示．è
(1)求函数 f x 的解析式；
π
(2) 1将函数 f x 的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 2 （纵坐标不变），得4
é π π ù
到函数 g x 的图象，求 g x 在 x ê- , ú 上的最大值和最小值； 12 6
é π π ù
(3)若关于 x 的方程 g x - m = 0在 x ê- , ú 上有两个不等实根，求实数m的取值范围． 12 6
【解析】（1）由函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j π< 2 ÷的部分图象可知 A = 2，è
11 1 3 2π f πQ π - π = T ，\T = π，w = = 2

，又 = 2，
12 6 4 T è 6 ÷
\2 π +j π= + 2kπ,k π Z ，解得j = + 2kπ,k Z j
π
，由 < 可得j
π
= ，
6 2 6 2 6
\ f x = 2sin 2x
π
+ ÷；
è 6
π π π π
（2）将 f x 向右平移 个单位，得到 y = 2sin 2 x - + = 2sin 2x - ，
4 ÷ ÷ ÷è è 4 6 è 3
1 π
再将所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到 g x = 2sin 4x -

2 3 ÷
，
è
π π
t = 4x π- x é- , ù é
2π π ù
令 ，由 ê ú ，可得 t - , ，3 12 6 ê 3 3 ú
y 2sint é 2π , π ù é π , π因为函数 = 在 ê- -
ù
ú 上单调递减，在 ê- ú 上单调递增， 3 2 2 3
又 2sin
π
-
π
÷ = -2， 2sin = 3 ， 2sin
2π
-

2 3 3 ÷
= - 3，
è è
可得 g x = 3 ， g x = -2max min ；
é π π ù
（3）因为关于 x 的方程 g x - m = 0在 x ê- , ú 上有两个不等实根， 12 6
即 y = m y
π π
与 = g(x)
é ù
的图象在 x ê- , 12 6 ú
有两个交点.
由图象可知符合题意的m的取值范围为-2 < m - 3 .
【变式 7-4】（2024· 2吉林长春·模拟预测）已知函数 f x = 2 3 sin x cos x - 2cos x +1．
x é π 2π(1)若
ù
ê- , ú，求 f x 12 3 的值域；
(2)若关于 x 的方程 f x - a = 0有三个连续的实数根x1，x2， x3，且 x1 < x2 < x3， x3 + 2x1 = 3x2 ，求 a
的值．
π
【解析】（1） f x = 2 3 sin x cos x - 2cos2 x +1 = 3 sin 2x - cos 2x = 2sin 2x - 6 ÷è
x é π , 2π - ù z 2x π π 7π因 ê ú，令 = - ，则- z ， 12 3 6 3 6
因 y = sin z [
π
在 - ,
π] π 7π上单调递增，在[ , ]
3 2 2 6
上单调递减，
π 3 7π 1 3
而 sin(- ) = - ,sin = - ，故- sin 2x
π
- 1．
3 2 6 2 2 ֏ 6
则- 3 f x 2，\ f x 的值域为 é- 3,2ù ．
（2）如图，因 f x = 2sin 2x π -

÷的最小正周期为 π6 ，è
当 a = ±2 时，易得 x2 = x1 + π, x3 = x1 + 2π，不满足 x3 + 2x1 = 3x2 ，故舍去，
当-2 < a < 2时，依题意： x3 = x1 + π，代入 x3 + 2x1 = 3x
π
2 得： x2 = x1 + ．3
2x π π kπ π由 - = kπ + ， k Z，可得 x = + ， k Z．
6 2 2 3
x1 + x2 kπ π k Z π kπ π由 = + ， ，代入 x2 = x1 + ，解得 x1 = + ， k Z．2 2 3 3 2 6
\a = 2sin é kπ π π ù ê2 + ÷ - ú = 2sin kπ
π
+ ÷， k Z，
è 2 6 6 è 6
当 k = 2n,n Z时， 2sin

kπ
π
+ ÷ = 2sin

2nπ
π
+ ÷ =1， n Z；
è 6 è 6
π 7π
当 k = 2n +1,n Z时， 2sin kπ + 6 ÷
= 2sin 2nπ + ÷ = -1， n Z，
è è 6
故 a 的值为 ±1．
【变式 7-5】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 f x = 2sinxcosx - 2 3sin2x + 3 .
é π ù
(1)若 x ê0, ú 时，m < f x 恒成立，求实数m的取值范围； 4
(2)将函数 f x 1 π的图象的横坐标缩小为原来的 2 ，纵坐标不变，再将其向右平移 个单位，得到函数6
g x 的图象.若 x 0, t ，函数 g x 有且仅有 4 个零点，求实数 t 的取值范围.
【解析】（1）因为 f x = 2sinxcosx - 2 3sin2x + 3 = sin2x + 3cos2x = 2sin 2x π +

÷，
è 3
x é当 ê0,
π ù π é π 5π ù
ú 时，可得 2x + 4 3 ê
, ，
3 6 ú
2x π 5π 5π当 + = x π，即 = 4 时，
f x 取得最小值 2sin =1，
3 6 6
x π因为
é ù
ê0, ú 时，m < f x 恒成立，所以m <1， 4
即实数m的取值范围为 - ,1 .
π π
（2）由 f x = 2sin 2x + 1 图象的横坐标缩小为原来的 ，可得： y = 2sin 4x + ，
è 3 ÷ 2 ÷ è 3
π y 2sin é4 x π π ù π 再将其向右平移 ，可得： = - + = 2sin 4x - ，
6 ê ÷ ú ÷ è 6 3 è 3
即函数 g x = 2sin 4x
π
- ，
è 3 ÷
因为 x 0, t ，所以 4x π- é π πê- , 4t -
ù
ú ，在给定区间的正弦函数的零点是 x = 0, π,2π,3π ，3 3 3
π
再由函数 g x 有且仅有 4 个零点，则满足3π 4t - < 4π，
3
5π t 13π
5π 13π
解得 <
é
，所以实数 t 的取值范围 , .
6 12 ê ÷ 6 12
题型八：根据条件确定解析式
π
【典例 8-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）函数 f x = 2sin wx +j w > 0,0 < j < 2 ÷ 的图象如图所示è
A 5- ,-2 , B 1 ÷ , 2÷ .将 f x 的图象向右平移 2 个单位长度，得到函数 g x 的图象，则 g x 的解析式为
è 3 è 3
（ ）
g x 2sin π πA． = x -

÷
è 2 3
B． g x π π= 2sin x +

2 3 ֏
C． g x π π= -2sin x -

2 3 ֏
D． g x = -2sin π x π +

è 2 3 ÷
【答案】D
【解析】由题意可知 f x T 1 5 的周期T 满足 = - - ÷ = 2，得T = 4，2 3 è 3
2π
即 = 4，得w
π
= ，
w 2
所以 f x = 2sin π x +j 2 ÷，è
1
因为点B , 2

÷是 f x 图象的一个点，
è 3
f 1 所以 ÷ = 2sin
π π
+j

÷ = 2

， sin +j =1，
è 3 6 ÷ è è 6
π j π π则 + = + 2kπ,k Z
π
，又 0 < j < j =
6 2 2
，所以 ，
3
f x sin π π所以 = x +

÷，
è 2 3
将 f x 的图象向右平移 2 个单位长度，
得到函数 g x = 2sin épê x
π π π
- 2 + ùú = -2sin

x +

.
2 3 è 2 3 ÷
故选：D.
π
【典例 8-2】（2024·四川攀枝花·二模）函数 f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < 2 ÷的部分图象如图所示，è
则将 y = f (x)
π
的图象向右平移 个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
6
π 2π
A． y = sin 2x - ÷ B． y = cos 2x C． y = sin 2x D． y = sin 2x + ÷
è 6 è 3
【答案】A
【解析】由图可得 A =1，又 A
3 11π π 3
> 0 ，故 A =1， T = - = π，故T = π ，
4 12 6 4
则 w
2π 2π
= = = 2，又w > 0，故w = 2，
T π
f π = sin π π π 6 ÷
2 +j ÷ =1，即 +j = + 2kπ， k Z，
è è 6 3 2
j π π π故 = + 2kπ， k Z，又 j < ，故j = ，
6 2 6
f x π则 = sin 2x +
π
÷，将 y = f (x) 的图象向右平移 个单位长度后，
è 6 6
é π π ù π
可得 y = sin ê2 x -

÷ + = sin

2x -

6 ÷
，
è 6
ú
è 6
故选：A.
【方法技巧】
根据函数必关于 y 轴对称，在三角函数中联想到 y = cos wx 的模型，从图象、对称轴、对称中心、最
值点或单调性来求解．
【变式 8-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）函数 f x = 2sin wx +j (w > 0,-π < j < π)的部分图像如图所示，
把函数 f x π的图像向右平移 得到 g x ，则 g x 的解析式为（ ）
12
A．-2cos2x B． 2cos2x

C． 2sin 2x
π π
- ÷ D． 2sin 2x +

6 ÷è è 6
【答案】A
5π π 3 3 2π
【解析】根据图像可知 - - ÷ = π = T ，可得T = = π ，即w = 2；12 è 3 4 4 w
f 5π 5π又 ÷ = 2sin 2 +j
5π π
12 12 ÷
= 2 ，可得 2 +j = + 2kπ,k Z，
è è 12 2
j π解得 = - + 2kπ,k Z，由-π < j < π
π
可知j = -
3 3
；
即可得 f x π= 2sin 2x - ÷，
è 3
把函数 f x π 的图像向右平移 得到 g x = 2sin 2
x π π - ÷ - ÷ = 2sin

2x
π
- ÷ = -2cos 2x；12 è è 12 3 è 2
即 g x = -2cos 2x .
故选：A
【变式 8-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数
f x = Acos wx -j A > 0,w > 0, j
p
< 3
2 ÷ 的部分图象，将
y = f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的
è 2
p
倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 y = g x 的图像，则 g x 的解析式为（ ）
8
A． g x 2cos 9x p= - ÷ B． g x = 2cos

2x
p
-
è 2 8 8 ÷ è
C． g x = 2sin2x D． g x = 2cos2x
【答案】D
π 2π
+
【解析】由图象可知 A = 2, 6 3 5π= ，
2 12
则 f x 5π 的一个最低点为 ,-2÷，
è 12
f x 的最小正周期为T 2π 2π= ，则w = = 3，
3 T
f 5π 2cos 3 5π ÷ = -j

÷ = -2
5π
，即 -j = π + 2kπ k Z ，
è 12 è 12 4
π
所以j = - 2kπ k Z ，
4
π π
又因为 j ＜ ，所以j =
2 4
，
π
所以 f x = 2cos 3x - 4 ÷，è
将 y = f x 3图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，
2
得 y = 2cos
π
2x - ÷的图象，
è 4
p
再将所得曲线向左平移 个单位长度，
8
得 y = 2cos
é2 x π π ùê + ÷ - ú = 2cos 2x，
è 8 4
故 g x = 2cos2x ，
故选：D.
π
【变式 8-3】（2024·高三·北京东城·开学考试）函数 f (x) = Asin(wx +j ) A > 0,w > 0,|j |<

2 ÷ 的部分图象如è
图所示，则函数 y = f (x)
π
的解析式为 ，若将 y = f (x) 的图象向右平移 个单位后，得到新函数解析式
6
为 .
【答案】 f (x) sin
π π= 2x + ÷ y = sin 2x -

÷
è 6 è 6
【解析】根据图象知 A =1,
3 T 11π π 3π T 2π= - = ，\ = = π,\w = 2，
4 12 6 4 w
π
将点 (
π ,1) 代入 f (x) = sin(2x +j)

，得 sin 2 +j =1，
6 ֏ 6
π π
\ +j = + 2kπ,k Z π π，又 |j |< 2 ，则j = ，3 2 6
\ f (x) sin 2x π= +

÷，
è 6
将 y = f (x)
π é π π ù π
的图象向右平移 个单位后，得到新函数解析式为 y = sin
6 ê
2 x - 6 ÷
+ ú = sin 2x - ÷．
è 6 è 6
f (x) sin 2x π π故答案为： = +

÷， y = sin

2x -

6 ÷．è 6 è
【变式 8-4】已知函数 f x = 2cos wx +j （w > 0 j π， < ）的部分图象如图所示，将函数 f x 图象上所
2
π
有的点向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得函
12
数图象的解析式为 ．
【答案】 y = 2cosx
【解析】由题知，函数 f x = 2cos wx +j 0 j π（w > ， < ）的部分图象如图所示，
2
1 T π π π所以 = - = ，即T = π
4 3 12 4
所以w = 2，
所以 f x = 2cos 2x +j ，
π
因为图象经过点 , 2 ，
è12 ÷
π
所以 f ÷ = 2cos
π +j ÷ = 2
è12
，
è 6
π
所以 +j = 0 + 2kπ,k Z，
6
因为 j
π
< ，
2
所以j
π
= - ，
6
π
所以 f x = 2cos 2x - 6 ÷，è
π
将函数 f x 图象上所有的点向左平移 个单位长度，
12
y 2cos = 2 x π π 得 +

÷ - ÷ = 2cos 2x ，
è è 12 6
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），
得 y = 2cos x ，
所以所得函数图象的解析式为 y = 2cosx，
故答案为： y = 2cosx
【变式 8-5】（2024·河北保定·一模）函数 f x = Asin wx +j ，（ A > 0 ，w > 0，0 < j < π ）的部分图象如
图中实线所示，图中圆 C 与 f x 的图象交于 M，N 两点，且 M 在 y 轴上，则下说法正确的是（ ）
A．函数 f x 10的最小正周期是 π
9
7π π
B．函数 f x 在 - ,- 上单调递减
è 12 3 ÷
π
C π．函数 f x 的图象向左平移 个单位后关于直线 x =
12 4
对称
5π
D 3π π ．若圆 C 的半径为 ，则函数 f x 的解析式为 f x = sin 2x +12 6 ÷è 3
【答案】D
π
【解析】由函数 f x 图象，可得点C 的横坐标为 ，
3
π π
所以函数 f x 的最小正周期为T = 2[ - (- )] = π ，所以 A 不正确；
3 6
又由w
2π
= = 2，且 f (
π
- ) = 0，即 sin[2 (
π
- ) +j] = sin( π- +j) = 0，
T 6 6 3
根据五点作图法且0 < j < π
π j 0 π，可得- + = ，解得j = ，
3 3
7π
因为 x (- ,
π π 5π π
- )，可得 2x + (- ,- ) ，
12 3 3 6 3
7π π
结合三角函数的性质，可得函数 f x 在 (- ,- )是先减后增的函数，所以 B 错误；
12 3
将函数 f x π的图象向左平移 个单位后，得到 g x = Asin(2x π+ ) = Acos 2x ，
12 2
kπ
可得对称轴的方程为 2x = kπ, k Z，即 x = ,k Z，
2
x π所以 = 4 不是函数
g x 的对称轴，所以 C 错误；
当 x = 0时，可得 f 0 = Asin π 3= A，即OM 3= A ,
3 2 2
5π
CM 2 = OM 2 + OC 2 (5π)2 ( 3 π若圆的半径为 ，则满足 ，即 212 = A) + ( )
2 ，
12 2 3
A 3π解得 = ，所以 f x 3π的解析式为 f x = sin π
6 6
2x + ÷，所以 D 正确.
è 3
故选：D.
题型九：三角函数图像变换
π π
【典例 9-1】（2024·高三·广东湛江·期末）已知函数 f x = 2 2 cos + x ÷cos4 - x ÷，要得到函数è è 4
g(x) = sin 2x - 2cos2 x +1的图象，只需将 f (x) 的图象（ ）
π 3π
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
8 4
3π 3π
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4 8
【答案】D
【解析】 f x π π π π π= 2 2 cos + x ÷cos - x ÷ = 2 2 cos + x ÷sin + x ÷ = 2 sin + 2x ÷ = 2 cos 2x，
è 4 è 4 è 4 è 4 è 2
g x = sin 2x - 2cos2 x +1 = sin 2x - cos 2x = 2 sin 2x
π 3π
- ÷ = 2 cos

4
2x - ÷，
è è 4
故将 f (x)
3p
的图象向右平移 个单位长度可得 y = 2 cos 2
x 3π 3π-
8 8 ÷
= 2 cos 2x - ÷，即为 g(x)的图
è è 4
象.
故选：D
π
【 典 例 9-2 】（ 2024· 全国 · 模拟预测）为了得到函数 f x = sin 2x + ÷的图象，只需将函数
è 3
g x = cos 2x
π
- ÷ 的图象（3 ）è
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
12 12
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
3 3
【答案】A
【解析】因为 f x sin 2x π π π π é π ù= +

3 ÷
= sin 2x - + = cos 2x -6 2 ÷ 6 ÷
= cos ê2 x - ÷ ，è è è è 12 ú
π é π ù π
所以只需将函数 g x = cos 2x - ÷ = cos 2 x - ÷ 的图象向左平移 个单位长度.
è 3 ê è 6 ú 12
故选：A
【方法技巧】
由函数 y = sin x 的图像变换为函数 y = Asin(wx + f) + b(A, w > 0) 的图像．
方法： (x x + f wx + f) 先相位变换，后周期变换，再振幅变换．
F
向左平移 个单位（F > 0）
y = sin x 向左平移F个单位（F > 0）的图像 y = sin(x + f) 的图像 v
向左平移 F 个单位（F < 0） F
向左平移 个单位（F < 0）
v
y sin(wx f) 所有点的纵坐标变为原来的A倍= + 的图像
横坐标不变
y = Asin(wx + f) 向上平移b个单位（b > 0）的图像 y = Asin(wx + f) + b
向下平移 b 个单位（b < 0）
π π
【变式 9-1】为了得到函数 y = sin 2x - 3 ÷的图象，只需把函数 y = sin x - ÷的图象上所有的点的（ ）è è 3
A．横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
B 1．横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变
D 1．纵坐标缩短到原来的 2 倍，横坐标不变
【答案】B

【解析】因为把函数 y = sin x
π
- 1÷的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，就能è 3
得到函数 y = sin

2x
π
-
3 ÷的图象.è
故选：B
【变式 9-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = 2sinwx coswx + 2sin2 wx -1 w > 0 3π，直线 x = 和
8
x 7π= 为函数 y = f x g x 2 cos 2wx 2p 8 图象的两条相邻对称轴，为了得到函数 = - - ÷的图象，则将函数è 3
y = f x 的图象至少（ ）
13π 13p
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
24 48
13π 13p
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
12 36
【答案】A
π
【解析】由题可得 f x = f x = sin 2wx - cos 2wx = 2 sin 2wx - ÷，
è 4
x 3π由直线 = x
7π
和 = 8 为函数
y = f x 图象的两条相邻对称轴可得，
8
函数 y = f x 7π 3π 的最小正周期T = 2 - ÷ = π，得w =1，
è 8 8
所以 f x = 2 sin 2x π- 4 ÷，è
g x 2 cos 2x 2π 2 cos 2x π 2 sin 2x 5π则 = - - ÷ = + = +

，
è 3 è 3 ÷ ÷ è 6
y 5π π 13π故将函数 = f x 的图象至少向左平移 - -12 ÷ = 个单位长度可得到 g x 的图象.è 8 24
故选：A．
【变式 9-3】将函数 y = sin
2x π+ ÷ 的图象平移后所得的图象对应的函数为 y = cos 2x，则进行的平移是
è 3
（ ）
π π π
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向左平移
12 6 12
π
个单位
6
【答案】A
【解析】对于 A： y = sin
2x π+ π ÷ 向左平移 个单位可得到
è 3 12
y = sin é2 x π π ù πê + ÷ + = sin
2x + ú ÷ = cos 2x ，符合；
è 12 3 è 2
对于 B： y = sin
2x π é π π ù +
π
÷ 向右平移 个单位可得到 y = sin ê2 x - ÷ + ú = sin 2x cos 2x，不符合；è 3 6 è 6 3
y = sin 2x π+ π é π π ùC
π
对于 ： ÷ 向右平移 个单位可得到 y = sin ê2 x - ÷ + ú = sin 2x + ÷ cos 2x ，不符è 3 12 è 12 3 è 6
合；
y = sin 2x π+ π y sin é2 x π π ù sin 2x 2π对于 D： ÷ 向左平移 个单位可得到 = ê + ÷ + ú = +

÷ cos 2x ，不符
è 3 6 è 6 3 è 3
合；
故选：A.
π 5π
【变式 9-4】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知曲线C1 : y = sin + 2x ÷ ,C2 : y = -cos2
- 3x
6 ÷
，则下面结论
è è
正确的是（ ）
3 π
A．把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长2 6
度，得到曲线 C2
3 π
B．把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移18 个单位长2
度，得到曲线 C2
2 πC．把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 3 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度18
C2
π
D．把 C 21上各点的横坐标缩短到原来的 3 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，6
得到曲线 C2
【答案】C
π
【解析】曲线C1 : y = sin + 2x ÷ = cos2x，
è 2
2
把C1 : y = cos2x上各点的横坐标缩短到原来的 3 ，纵坐标不变，可得 y = cos3x的图象；
π π 5π
再把得到的曲线向左平移 个单位长度，可以得到曲线C2 : y = cos + 3x ÷ = -cos - 3x

的图象.
18 ÷è 6 è 6
故选：C.
题型十：三角函数实际应用问题
【典例 10-1】已知大屏幕下端 B 离地面 3.5 米，大屏幕高 3 米，若某位观众眼睛离地面 1.5 米，则这位观
众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）
米．
【答案】 10
【解析】如图所示：
由题意知： AB = 3，BD = 3.5 -1.5 = 2，设CD = t ，
2
则 tan BCD = ， tan ACD
5
= ，
t t
3
tan ACB tan ACD - tan DCB t 3t 3所以 = = = = ，
1+ tan ACD × tan DCB 10 t 21+ +102 t
10
+
t t
10
由于 t + 2 10
10
，当且仅当 t = ，即 t = 10 时取等号，t t
所以 tan
3 3 10
ACB = ，因为 ACB (0,
π)，
2 10 20 2
所以当CD = 10 时，可以获得观看的最佳视野.
故答案为： 10
【典例 10-2】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里
慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为 120m，转盘直径为 110m，设
置 48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要
30min．某游客坐上摩天轮的座舱 10min 后距离地面高度约为（ ）
55 3
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． + 652 ÷÷
m
è
【答案】A
【解析】设座舱距离地面的最近的位置为点 P ，以轴心O为原点，与地面平行的直线为 x 轴建立平面
直角坐标系，如图所示，
设函数 f x = Asin(wx +j) + b(A > 0,w π> 0, j )表示游客离底面的高度，
2
因为摩天轮的最高点距离地面为120m，直径为110m，且转一周大约需要30min ，
周期T = 30， A + b =120, -A + b =10
2π π
，所以 A = 55,b = 65,w = = ，
T 15
即 f x = 55sin( π x +j) + 65，
15
π
当 t = 0min 时，游客在点P(0,-55)，其中以OP 为终边的角为- ，
2
所以 f x = 55sin( π x π- ) + 65，
15 2
当 t =10时，可得 f 10 = 55sin(2π π- ) + 65 = 55sin π + 65 = 92.5m
3 2 6
所以，摩天轮的座舱 t =10后距离地面高度约为92.5m .
故选：A.
【方法技巧】
（1）研究 y = Asin(wx + j) 的性质时可将wx + j 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转
化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
【变式 10-1】（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒W 到水面
的距离为d （单位：米）（在水面下，则d 为负数）．若以盛水筒W 刚浮出水面时开始计算时间，d 与时间
t （单位：分钟）之间的关系为 d = 4sin 2t
π
- ÷ + 2．某时刻 t0 （单位：分钟）时，盛水筒W 在过点O（O
è 6
π
为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为 5 米，则再经过 分钟后，盛水筒W （
6 ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水
【答案】B
5 4sin 2t π 【解析】由题意， = 0 - ÷ + 2，
è 6

可得 sin 2t
π 3
0 -

÷ = ， cos 2t
π 7 7
0 - ÷ = - 或 （舍去）．è 6 4 è 6 4 4
sin é2 t π π ù sin é 2t π π ù 3 1
7 3 3- 21
所以 ê 0 + - =6 ÷ 6 ú ê 0
- ÷ + = + -
è
ú
è 6 3 4 2
4 ÷÷
= ，
è 2 8
π
d 4 3 - 21 2 7 - 21所以再经过 分钟，可得 = + = > 0，所以盛水筒在水面上．6 8 2
在判断 d > 0时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：
21 < 25 - 21 21> -5 - > -2.5 7 - 21 > 3.5 - 2.5 =1 d >1，
2 2
d > 0 ,故盛水筒在水面上．
故选：B．
【变式 10-2】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从
高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有 48 个座舱，
开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 tmin 后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H 关
于 t 的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 h （单
位：m）关于 t 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到 0.1）.
q +j q -j q +j q -j
（参考公式与数据： sinq + sinj = 2sin cos ； cosq - cosj = -2sin sin ；
2 2 2 2
sin π 0.065 .）
48
【解析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点 P ，以轴心O为原点，与地面平行的直线为 x 轴
建立直角坐标系.
设 t = 0min 时，游客甲位于点P 0, -55 ，
π
以OP
π
为终边的角为- ；根据摩天轮转一周大约需要30min ，可知座舱转动的角速度约为 rad / min ，
2 15
由题意可得H = 55sin
π
t
π
- + 65 0 t 30
è15 2 ÷
，

（2）当 t = 5时，
H π π= 55sin 5 -

÷ + 65 = 37.5 .
è15 2
所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m .
2π π
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A ， B 表示，则 AOB = = ，
48 24
π
经过 tmin 后甲距离地面的高度为H1 = 55sin t
π
- ÷ + 65，
è15 2
π
点 B 相对于点A 始终落后 rad ，
24
此时乙距离地面的高度为H2 = 55sin
π t 13π- + 65
è15 24 ÷
则甲、乙距离地面的高度差
h = H1 - H2 = 55 sin
π
t
π π 13π
-
15 2 ÷
- sin t - ÷
è è15 24
55 sin π= t
π 13π π-
15 2 ÷
+ sin - t
è è 24 15 ÷
sinq sinj 2sin q +j cos q -j利用 + = ，
2 2
可得 h =110 sin
π sin π t
π
- ，0 t 30 .
48 ֏15 48
π
当 t
π π 3π π
- = （或 ），即 t 7.8（或 22.8）时， h 的最大值为110sin ÷ 7.2 .15 48 2 2 è 48
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.

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