资源简介

第 03 讲 复数
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：复数的概念.........................................................................................................................4
知识点 2：复数的四则运算.................................................................................................................4
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：复数的概念............................................................................................................................6
题型二：复数的运算............................................................................................................................7
题型三：复数的几何意义....................................................................................................................8
题型四：复数的相等与共轭复数........................................................................................................9
题型五：复数的模................................................................................................................................9
题型六：复数的三角形式..................................................................................................................10
题型七：与复数有关的最值问题......................................................................................................11
题型八：复数方程..............................................................................................................................12
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................13
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................14
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................15
易错点：复数运算法则的应用有误..................................................................................................15
答题模板：复数式的计算..................................................................................................................15
考点要求 考题统计 考情分析
2024 年 I 卷第 2 题，5 分
2024 年 II 卷第 1 题，5 分 高考对复数的考查相对稳定，每年必考题
（1）复数的有关概念 2023 年 I 卷第 2 题，5 分 型，考查内容、频率、题型、难度均变化不
（2）复数的几何意义 2023 年 II 卷第 1 题，5 分 大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何
（3）复数的四则运算 2022 年 I 卷 II 卷第 2 题，5 分 意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以
2021 年 II 卷第 1 题，5 分 简单题为主．
2021 年 I 卷第 2 题，5 分
复习目标：
（1）通过方程的解，认识复数．
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
知识点 1：复数的概念
（1） i 叫虚数单位，满足 i2 = -1，当 k Z 时， i 4 k = 1, i 4 k +1 = i, i 4 k + 2 = -1, i 4 k + 3 = -i ．
（2）形如 a + bi(a, b R) 的数叫复数，记作 a +bi C．
①复数 z = a + bi(a, b R) 与复平面上的点 Z (a , b) 一一对应， a 叫 z 的实部，b 叫 z 的虚部；
b = 0 z R, Z 点组成实轴；b 0, z 叫虚数；b 0且a=0，z 叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括
原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
ìa = c
②两个复数 a + bi, c + di(a,b, c, d R) 相等 íb d （两复数对应同一点） =
uuur uuur
③复数的模：复数 a + bi(a, b R) 的模，也就是向量O Z 的模，即有向线段O Z 的长度，其计算公式
为 | z |=| a +bi |= a2 +b2 ，显然， | z |=| a -bi |= a2 +b2 ,z × z = a2 +b2 ．
z 1+ i2024· · = 1【诊断自测】（ 湖南衡阳 模拟预测）若复数 ，则 z 的虚部为（ ）3- i
A． -2i B． 2i C． 2 D．-2
知识点 2：复数的四则运算
1、复数运算
（1） (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d ) i
（2） (a + bi) × (c + di) = (ac - bd ) + (ad + bc)i
ì(a + bi) × (a - bi) = z× z = a2 + b2 =| z |2
2 2
í(注意z =| z | )

z + z = 2a
2
其中 | z |= a +b2 ，叫 z 的模； z = a - bi 是 z = a + bi的共轭复数 (a, b R) ．
3 a + bi (a + bi) × (c - di) (ac + bd ) + (bc - ad )i（ ） = = (c2 + d 2 0) ．
c + di (c + di) × (c - di) c2 + d 2
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
uuuur uuuur uuur
以复数 z1 , z2 分别对应的向量OZ1,OZ2 为邻边作平行四边形OZ1ZZ 2 ，对角线 OZ 表示的向量 O Z 就是
uuuuur
复数 z1 + z2 所对应的向量． z1 - z2 对应的向量是Z2Z1 ．
2、复数的几何意义
（1）复数 z = a + bi(a, b R) 对应平面内的点 z(a,b) ；
uuur
（2）复数 z = a + bi(a, b R) 对应平面向量O Z ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数 z = a + bi(a, b R) 的模 | z |表示复平面内的点 z(a,b) 到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数 z = a + bi都可以表示成 r(cosq + i sinq ) 形式，其中 r 是复数 z 的模；q是以 x 轴
uuur
的非负半轴为始边，向量 O Z 所在射线（射线 OZ ）为终边的角，叫做复数 z = a + bi的辐
角． r(cosq + i sinq ) 叫做复数 z = a + bi的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2p 的整数倍．规定在 0 q < 2p 范围内的
辐角q的值为辐角的主值．通常记作 argz，即 0 arg z < 2p ．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角
形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
r1 (cos q1 + i sin q1 ) × r2 (cos q 2 + i sin q 2 ) = r1r2 cos(q1 + q 2 ) + i sin(q1 + q 2 ) ．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
uuuur uuuur uuuur
复数 z , z 对应的向量为OZ1,OZ2 ，把向量OZ1 2 1 绕点 O 按逆时针方向旋转角q 2 （如果q 2 < 0 ，就要把
uuuur
OZ uuur uuur1 绕点 O 按顺时针方向旋转角 q2 ），再把它的模变为原来的 r2倍，得到向量 O Z ， O Z 表示的复数就是
积 z1 z 2 ．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数
r1(cosq + i sinq ) r的辐角所得的差，即 1 1 = 1 cos(q1 -q2 ) + i sin(q1 -q ) ．r2 (cosq2 + i sinq 22 ) r2
1+ i
【诊断自测】（2024·河北衡水·模拟预测）若 z = 为纯虚数， a R ，则 z +1 =（
a i ）+
A． 2 B． 3 C．2 D．3
解题方法总结
复数 z 的方程在复平面上表示的图形
(1) a z b 表示以原点 O 为圆心，以 a 和 b 为半径的两圆所夹的圆环；
(2) | z－(a＋bi) |＝r r > 0 表示以 (a,b)为圆心，r 为半径的圆．
题型一：复数的概念
【典例 1-1】（2024·新疆·三模）复数 z 满足 z + 2i = z ，则 z 的虚部为（ ）
A．- i B． i C． -1 D．1
2
【典例 1-2】（2024·湖北武汉· - i + i模拟预测）设复数 z = 3 ,则 z 的虚部是（ ）-1- i
A．1 B． -1 C． i D．- i
【方法技巧】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复
数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
【变式 1-1】（2024·重庆·三模）设复数 z 满足 2z - iz =1，则 z 的虚部为（ ）
1 1
A． B．- C．3 D．-3
3 3
【变式 1-2】（2024· 2024福建泉州·模拟预测）若 z × 2 + i = 3 - i ，则 z 的虚部为（ ）
7 2 2
A． -1 B． C．- D．- i
5 5 5
【变式 1-3】若复数 z 满足 z = z + 2i
z
，且 为纯虚数，则 z = .
2 - z
题型二：复数的运算
【典例 2-1】（2024·四川·模拟预测）已知复数 z 满足 z - 2z = 2 - 3i，则 z =（ ）
A．-2- i B． 2 - i C．-2+ i D． 2 + i
【典例 2-2】设 i 是虚数单位，则复数 1- i 1+ 2i =（ ）
A．3+3i B．-1+3i C．3+ i D．-1+ i
【方法技巧】
设 z1 = a + bi, z2 = c + di(a , b, c, d R ) ，则
（1） z1 ± z2 = a ± c + (b ± d )i
（2） z1 × z2 = ac - bd + (ad + bc)i
（3 z ac + bd bc - ad） 1 = 2 2 + i(z 0)z2 c + d c
2 + d 2 2
z - i
【变式 2-1】（2024·青海海南·一模）已知 z = 3+ 2i ，则 2 =(1 i) （ ）-
A．3 - 3i B．3+ 3i
3 3 i 3 3C． - D． + i
2 2 2 2
【变式 2-2】（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数 z1 ， z2 的等式中错误的是（ ）
A． z1 + z2 = z1 + z2 B． z1 + z2 = z1 + z2
C． z1 × z2 = z1 × z2 D． z1 × z2 = z1 z2
【变式 2-3】已知复数 z1 ， z2 的模长为 1，且 z1 + z2 = z1z2 ，则 z1 + z2 的值是（ ）
A．1 B． -1 C． i D．- i
题型三：复数的几何意义
z
3-1 2024· · z = 2i2024【典例 】（ 山西吕梁 三模）已知复数 满足 (1 i)i ，则复数 z 在复平面对应的点在（- ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例 3-2】若复数 z 满足 2 + 3i z = i2024 + 8i2025 ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【方法技巧】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是
研究复数几何意义的最重要的出发点．
3+ i
【变式 3-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知复数 z1 = 的实部为 a, z2 = i 2 + i 的虚部为b ，则1- i
z = a + b +1 i 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式 3-2】（2024·浙江·模拟预测）若复数 z 满足 z + 2z = 3 + i（i 为虚数单位)，则 z 在复平面内对应的点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3+ i
【变式 3-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知复数 z1 = 的实部为 a, z2 = i 2 + i 的虚部为b ，则1- i
z = a + b +1 i 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
r π
【变式 3-4】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数3- 3i对应的向量 a 按顺时针方向旋转 ，3
r
所得向量在 a 上的投影向量对应复数是（ ）
A． 2 3 3i B 3 - 3i 3- 3i- ．3- 2 3i C． D．
2 2
题型四：复数的相等与共轭复数
2
【典例 4-1】（2024·天津武清·模拟预测）已知 a R ，且 ai + =1，则a = ．
1+ i
【典例 4-2】已知复数 z 的共轭复数是 z ，若 2i × z = z × z + i2024，则 z = .
【方法技巧】
复数相等： a + bi = c + di a = c且b = d (a ，b ，c ，d R )
共轭复数： a + bi = c + di a = c且b = -d (a ，b ，c ，d R) ．
2
【变式 4-1】（2024·山东聊城·二模）已知 a R ，且 ai + =1，则a = ．
a + i
【变式 4-2】（2024·全国·模拟预测） i为虚数单位，复数 z + z = 8 + 4i，复数 z 的共轭复数为 z ，则 z 的虚
部为 ．
【变式 4-3】已知 a,b R ，且满足 (1+ 2i)(a + bi) = 3 - i （其中 i为虚数单位），则 a2 + b2 = ．
【变式 4-4】已知 a，b R ， 1- i 2 + bi = a，则 a + b = .
题型五：复数的模
【典例 5-1 2】已知复数 z1 = a(a - 3i), z2 = -a + (a + 2)i, (a Z)，且 z1 + z2 = 2 10 ，则a = .
【典例 5-2】（2024·江西南昌·三模）已知复数 z 满足 z + 2 = iz，则 | z |= .
【方法技巧】
| z |= a2 +b2
8 + 6i
【变式 5-1】复数 (3 - 4i)3 的模为 .
【变式 5-2】已知 z1 = 3，z2 = 4，z1 + z2 = 5，则 | z1 - z2 |= ．
【变式 5-3】（2024·福建厦门·三模）复数 z 满足 z + z = 2， zz = 4 ，则 | z - z |= .
1 1 1
【变式 5-4】已知复数数列 zn 满足 zn = n + ni ，则 2 + 2 + ×××+ 2 = .z1 z2 z2023
题型六：复数的三角形式
【典例 6-1】一般地，任何一个复数 z = a + bi （ a，b R ）都可以表示成 r cosq + i sinq 形式，其中 r 是
复数 z 的模，q 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量OZ 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数
z = a + bi 的辐角， r cosq + i sinq 叫做复数 z = a + bi 的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分
开来， a + bi（ a，b R ）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”. 已知 z1 = cosq1 + i sinq1 ，
z2 = cosq
π π
2 + i sinq2， cos p +q
3
1 +q2 =

，其中q1 0,

÷ ，q
0, 2 ÷，则 z1z2 = ．(结果表示代数5 è 2 è 2
形式)
π π
【典例 6-2】计算10(cos + i sin ) (-2 3 + 2i) ( 2 - 2i)3 3 的结果是 .
【方法技巧】
一般地，任何一个复数 z = a + bi都可以表示成 r(cosq + i sinq ) 形式，其中 r 是复数 z 的模；q是以 x 轴
uuur
的非负半轴为始边，向量O Z 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数 z = a + bi的辐
角． r(cosq + i sinq ) 叫做复数 z = a + bi的三角表示式，简称三角形式．
【变式 6-1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 eiq = cosq + isinq ，则在下列表达式中表示sinq 的是（ ）
eiq - e-iq eiq + e-iqA． B．
2i 2i
e-iq - eiq eiq -iqC D + e． ．-
2i 2i
【变式 6-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数 z = a + bi(a,b R,i是虚数单位 )在复平面内对应点为Z ，设
r = OZ ,q 是以 x 轴的非负半轴为始边，以OZ 所在的射线为终边的角，则 z = a + bi = r cosq + isinq ，把
r cosq + isinq 叫做复数 a + bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，
[r cosq + isinq ]n = r n cosnq + isinnq n N* ，例如：
3
1 3 2π 2π 3 4
- + i ÷÷ = cos + isin
4 π π
2 2 3 3 ÷
= cos2π + isin2π =1， (1+ i) = 2
è
cos + isin
4 4 ÷÷
= 4 cosπ + isinπ = -4，
è è è
复数 z 满足： z3 =1+ i ，则 z 可能取值为（ ）
2 A． cos
π π 3π
+ isin ÷ B． 2 cos + isin
3π
è 12 12 4 4 ÷è
C 6 2
cos 5π + isin 5π D 6 2
cos17π isin 17π+ ． ．
è 4 4 ÷ 12 12 ÷ è
【变式 6-3】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式 (cos x + i ×sin x)n = cos(nx) + i ×sin(nx) （其中 i 为虚数单位）
π π
2

是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 cos + i ×sin ÷ 在复平面内所
è 3 3
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式 6-4】（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数 z = a + bi 都可以表示成三角形式，即
a + bi = r cosq + i sinq ．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754 年）创立的，指的是：设两个复
数 z1 = r1 cosq1 + i sinq1 ， z2 = r1 cosq2 + i sinq2 ，则 z1z2 = r1r2 é cos q1 +q2 + i sin q1 +q2 ù ，已知复数
z 1 3= + i，则 z2023 + z2 + z =（ ）
2 2
A 1 1 3． 2 B． + i C
1 3
． - i D．1
2 2 2 2
题型七：与复数有关的最值问题
【典例 7-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数 z1 ， z2 满足 | z1 - 3i |= 2， | z2 - 4 |=1，则 | z1 - z2 |的最大值是
（ ）
A．6 - 2 B．6 + 2 C．7 D．8
【典例 7-2】（2024·山东烟台·三模）若复数 z 满足 z = z - 2 - 2i ，则 z 的最小值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【方法技巧】
利用几何意义进行转化
11π
【变式 7-1】（2024·高三·河北沧州·期中）已知复数 z0 = 6 cos + isin
11π
÷，复数 z 满足 z - z0 = 1，则 z
è 6 6
的最大值为（ ）
A．7 B．6 C． 4 3 D．6 3
【变式 7-2】（2024·湖南长沙·三模）已知复数 z 满足 z =1，则 z - 2i 的取值范围为（ ）
A． 0,2 B． 1,3 C． 2,4 D． 1,9
【变式 7-3】（2024·江苏·模拟预测）若复数 z = cosq + i sinq ，则 z - 2 + 2i 的最大值是（ ）
A． 2 2 -1 B． 2 2 +1 C． 2 +1 D． 2 2 + 3
【变式 7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知复数 z1 ， z2 满足 z1 + 3 - i + z1 - 3 + i = 2 5 ， z2 = 2 + 2 3i （其
中 i 是虚数单位），则 z1 - z2 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． 5 D．3
【变式 7-5】（2024·山东·模拟预测）复数 z 满足 z - i = z -1 ，则 z +1 的最小值为（ ）
A 2 1． B．1 C． 2 D．
2 2
【变式 7-6】已知复数 z 满足 | z -1 | + | z +1 |= 4，则 | z |的取值范围为（ ）
A．[0,1] B．[2,3] C．[1, 3] D．[ 3, 2]
【变式 7-7】（2024·安徽安庆·一模）设复数 z 满足条件|z|＝1，那么 z + 3 + i 取最大值时的复数 z 为（ ）
A 3． + 12 i B
3 1 3 1
． - + 2 i C． - i D
3 1
．- - i
2 2 2 2 2 2
题型八：复数方程
【典例 8-1】（2024· 2湖南衡阳·模拟预测）已知复数 i - 2是关于 x 的方程 x + px + q = 0 p, q R 的一个根，
则 pi + q = （ ）
A．25 B．5 C． 41 D．41
【典例 8-2】（2024·江苏·一模）已知 2 + i 是关于 x 的方程 x2 + ax + 5 = 0的根，则实数a = （ ）
A． 2 - i B．-4 C．2 D．4
【方法技巧】
复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式
及三角形式进行求解。
【变式 8-1】（2024·上海嘉定·三模）已知复数 x 满足方程 x2 = -3，那么 x = .
【变式 8-2】已知 2i - 3是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0的一个根，其中 p， q R ，则 p＋q＝ ．
【变式 8-3】若1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2 + bx + c = 0的一个复数根，则 c = .
【变式 8-4】3+ 4i的平方根为
【变式 8-5】（2024·高三·上海浦东新·开学考试）若实系数方程 x2 + ax + b = 0 的一个根是 i，则 a + b = ．
1．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）设 z = 2i，则 z × z = （ ）
A．-2 B． 2 C．- 2 D．2
z
2．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若 =1+ i，则 z =（
z 1 ）-
A．-1- i B．-1+ i C．1- i D．1+ i
3．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）若 z = 5 + i ，则 i z + z =（ ）
A．10i B． 2i C．10 D． 2
z
4．（2024 年北京高考数学真题）已知 = -1- i ，则 z =（ ）．
i
A．-1- i B．-1+ i C．1- i D．1+ i
5．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 z = -1- i ，则 z = （ ）
A．0 B．1 C． 2 D．2
1．利用公式 a2 + b2 = (a + bi)(a - bi)，把下列各式分解成一次因式的积；
（1） x2 + 4 ；
（2） a4 - b4 .
2．若 z = x + yi(x, y R)，则复平面内满足 | z - (2 + i) |= 3的点 2 的集合是什么图形？
3．已知－3＋2i 是关于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0 的一个根，求实数 p、q 的值．
4．在复数范围内解下列方程：
（1） x2 + 4x + 5 = 0；
（2） 2x2 - 3x + 4 = 0 .
易错点：复数运算法则的应用有误
2
(1) a + bi = a2 + 2abi - b2 a,b R (a + b)2 = a2 2易错分析： 区分 与 + 2ab + b a,b R
(2)区分 a + bi a - bi = a2 + b2 a,b R 与 (a + b) a - b = a2 - b2 a,b R
【易错题 1】设有下面四个命题
p 11：若复数 z 满足 R ，则 z R ；z
p2：若复数 z 满足 z2 R ，则 z R ；
p3 ：若复数 z1, z2 满足 z1z2 R，则 z1 = z2 ；
p4：若复数 z R，则 z R .
其中的真命题为
A． p1, p3 B． p1, p4
C． p2 , p3 D． p2 , p4
4 + 3i
【易错题 2】已知 = a + bi（ a,b R ， i为虚数单位），则 a + b =（
2 i ）-
A． -1 B．3 C．1 D．2
答题模板：复数式的计算
1、模板解决思路
复数的四则运算，解题的关键是知道 i2 = -1．复数的乘法类似多项式（或单项式）乘法，复数的除
法类似分母有理化．
2、模板解决步骤
第一步：如果是除法运算，利用分母有理化，将复数的除法化简．
第二步：按照多项式乘法，将复数乘法化简．
第三步：把 i2 = -1代入，进一步化简，求得最终结果．
z + b
【经典例题 1】已知 a，b 为实数，复数 z = a + 2i，若 = 2ai ，则 | a | - b =（ ）
z
A．-2 B． -1 C．1 D．2
【经典例题 2】计算 1+ i 2- i = （其中 i为虚数单位）．第 03 讲 复数
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：复数的概念.........................................................................................................................4
知识点 2：复数的四则运算.................................................................................................................4
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：复数的概念............................................................................................................................6
题型二：复数的运算............................................................................................................................8
题型三：复数的几何意义..................................................................................................................10
题型四：复数的相等与共轭复数......................................................................................................12
题型五：复数的模..............................................................................................................................13
题型六：复数的三角形式..................................................................................................................15
题型七：与复数有关的最值问题......................................................................................................18
题型八：复数方程..............................................................................................................................23
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................25
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................26
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................27
易错点：复数运算法则的应用有误..................................................................................................27
答题模板：复数式的计算..................................................................................................................28
考点要求 考题统计 考情分析
2024 年 I 卷第 2 题，5 分
2024 年 II 卷第 1 题，5 分 高考对复数的考查相对稳定，每年必考题
（1）复数的有关概念 2023 年 I 卷第 2 题，5 分 型，考查内容、频率、题型、难度均变化不
（2）复数的几何意义 2023 年 II 卷第 1 题，5 分 大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何
（3）复数的四则运算 2022 年 I 卷 II 卷第 2 题，5 分 意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以
2021 年 II 卷第 1 题，5 分 简单题为主．
2021 年 I 卷第 2 题，5 分
复习目标：
（1）通过方程的解，认识复数．
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
知识点 1：复数的概念
（1） i 叫虚数单位，满足 i2 = -1，当 k Z 时， i 4 k = 1, i 4 k +1 = i, i 4 k + 2 = -1, i 4 k + 3 = -i ．
（2）形如 a + bi(a, b R) 的数叫复数，记作 a +bi C．
①复数 z = a + bi(a, b R) 与复平面上的点 Z (a , b) 一一对应， a 叫 z 的实部，b 叫 z 的虚部；
b = 0 z R, Z 点组成实轴；b 0, z 叫虚数；b 0且a=0，z 叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括
原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
ìa = c
②两个复数 a + bi, c + di(a,b, c, d R) 相等 í （两复数对应同一点）
b = d
uuur uuur
③复数的模：复数 a + bi(a, b R) 的模，也就是向量O Z 的模，即有向线段O Z 的长度，其计算公式
为 | z |=| a +bi |= a2 +b2 ，显然， | z |=| a -bi |= a2 +b2 ,z × z = a2 +b2 ．
1+ i 1
【诊断自测】（2024·湖南衡阳·模拟预测）若复数 z = ，则 z 的虚部为（3 i ）-
A． -2i B． 2i C． 2 D．-2
【答案】D
1 3-i 3-i 1-i 3-1- 4i
【解析】 = = = =1- 2iz 1 ，+i 1+i 1-i 2
1
所以 z 的虚部为-2 .
故选：D.
知识点 2：复数的四则运算
1、复数运算
（1） (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d ) i
（2） (a + bi) × (c + di) = (ac - bd ) + (ad + bc)i
ì(a + bi) × (a - bi) = z× z = a2 + b2 =| z |2

í(注意z2 =| z |2 )

z + z = 2a
| z |= a2 2其中 +b ，叫 z 的模； z = a - bi 是 z = a + bi的共轭复数 (a, b R) ．
3 a + bi (a + bi) × (c - di) (ac + bd ) + (bc - ad )i（ ） = = (c2 + d 2 0) ．
c + di (c + di) × (c - di) c2 + d 2
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
uuuur uuuur
OZ ,OZ uuur以复数 z1 , z2 分别对应的向量 1 2 为邻边作平行四边形OZ1ZZ 2 ，对角线 OZ 表示的向量 O Z 就是
uuuuur
复数 z1 + z 所对应的向量． z - z 对应的向量是Z Z2 1 2 2 1 ．
2、复数的几何意义
（1）复数 z = a + bi(a, b R) 对应平面内的点 z(a,b) ；
uuur
（2）复数 z = a + bi(a, b R) 对应平面向量O Z ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数 z = a + bi(a, b R) 的模 | z |表示复平面内的点 z(a,b) 到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数 z = a + bi都可以表示成 r(cosq + i sinq ) 形式，其中 r 是复数 z 的模；q是以 x 轴
uuur
的非负半轴为始边，向量 O Z 所在射线（射线 OZ ）为终边的角，叫做复数 z = a + bi的辐
角． r(cosq + i sinq ) 叫做复数 z = a + bi的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2p 的整数倍．规定在 0 q < 2p 范围内的
辐角q的值为辐角的主值．通常记作 argz，即 0 arg z < 2p ．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角
形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
r1 (cos q1 + i sin q1 ) × r2 (cos q 2 + i sin q 2 ) = r1r2 cos(q1 + q 2 ) + i sin(q1 + q 2 ) ．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
uuuur uuuur uuuur
复数 z1 , z OZ ,OZ OZ2 对应的向量为 1 2 ，把向量 1 绕点 O 按逆时针方向旋转角q 2 （如果q 2 < 0 ，就要把
uuuur
OZ uuur uuur1 绕点 O 按顺时针方向旋转角 q2 ），再把它的模变为原来的 r2倍，得到向量 O Z ， O Z 表示的复数就是
积 z1 z 2 ．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数
r (cosq + i sinq ) r
的辐角所得的差，即 1 1 1 = 1 cos(q
r (cosq + i sinq ) r 1
-q2 ) + i sin(q1 -q2 ) ．
2 2 2 2
1+ i
【诊断自测】（2024·河北衡水·模拟预测）若 z = 为纯虚数， a R ，则 z +1 =（ ）a + i
A． 2 B． 3 C．2 D．3
【答案】A
1+ i 1+ i a - i a +1+ a -1 i
【解析】 z = = =a + i a - i a + i a2 1 ，+
ì a +1
2 = 0
因为 z
a +1
为纯虚数，所以 í ，所以 a = -1a 1 ， z = -i ， -
a2
0
+1
所以 z +1 = 1- i = 2 .
故选：A.
解题方法总结
复数 z 的方程在复平面上表示的图形
(1) a z b 表示以原点 O 为圆心，以 a 和 b 为半径的两圆所夹的圆环；
(2) | z－(a＋bi) |＝r r > 0 表示以 (a,b)为圆心，r 为半径的圆．
题型一：复数的概念
【典例 1-1】（2024·新疆·三模）复数 z 满足 z + 2i = z ，则 z 的虚部为（ ）
A．- i B． i C． -1 D．1
【答案】C
【解析】设 z = a + bi 且 a,b R ，则 z + 2i=a + bi + 2i = a + b + 2 i ，
因为 z + 2i = z ，所以 a2 + b + 2 2 = a2 + b2 ,解得：b = -1，则 z 的虚部为 -1 .
故选：C
1-2 2024· · z - i
2 + i
【典例 】（ 湖北武汉 模拟预测）设复数 = 3 ,则 z 的虚部是（ ）-1- i
A．1 B． -1 C． i D．- i
【答案】A
z 1+ i 1+ i 1+ i 【解析】 = = - = -i1 ,则 ,虚部是1.- + i 1- i 1+ i z = i
故选:A.
【方法技巧】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复
数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
【变式 1-1】（2024·重庆·三模）设复数 z 满足 2z - iz =1，则 z 的虚部为（ ）
1 1
A． B．- C．3 D．-3
3 3
【答案】A
【解析】设复数 z = a + bi(a,b R)，
因为复数 z 满足 2z - iz =1，可得 2a + 2bi - i a - bi =1，
即 2a - b + 2b - a i =1，则 2a - b =1 2b 1， - a = 0，解得b = ，
3
1
所以复数 z 的虚部为 .
3
故选：A.
【变式 1-2】（2024· 2024福建泉州·模拟预测）若 z × 2 + i = 3 - i ，则 z 的虚部为（ ）
7 2 2
A． -1 B． C．- D．- i
5 5 5
【答案】C
3- i2024 2 2 2 - i 4 2
【解析】 z = = = = - i2 ，+ i 2 + i 2 + i 2 - i 5 5
z 2所以 的虚部是- .
5
故选：C
z
【变式 1-3】若复数 z 满足 z = z + 2i ，且 为纯虚数，则 z = .
2 - z
【答案】1- i / -i +1
z z ai(a R a 0) 2ai -2a + 2a + 2 i【解析】因为 为纯虚数，设 = ，且 ，则 z = , z + 2i = ，
2 - z 2 - z 1+ ai 1+ ai
2ai -2a + 2a + 2 i
因为 z = z + 2i ，所以 = ，所以 2 a = (-2a)2 + (2a + 2)2 ，
1+ ai 1+ ai
-2i
解得 a = -1，所以 z = =1- i .
1- i
故答案为：1- i .
题型二：复数的运算
【典例 2-1】（2024·四川·模拟预测）已知复数 z 满足 z - 2z = 2 - 3i，则 z =（ ）
A．-2- i B． 2 - i C．-2+ i D． 2 + i
【答案】A
【解析】令复数 z = a + bi,a R,b R ，则 z - 2z = a + bi - 2 a - bi = -a + 3bi = 2 - 3i，
ì-a = 2 ìa = -2
根据两个复数相等的条件有 í3b ，解得 ，所以 z = -2 - i ． = -3
í
b = -1
故选：A
【典例 2-2】设 i 是虚数单位，则复数 1- i 1+ 2i =（ ）
A．3+3i B．-1+3i C．3+ i D．-1+ i
【答案】C
【解析】由 (1- i)(1+ 2i) = 1+ 2i - i - 2i2 = 3 + i .
故选: C．
【方法技巧】
设 z1 = a + bi, z2 = c + di(a , b, c, d R ) ，则
（1） z1 ± z2 = a ± c + (b ± d )i
（2） z1 × z2 = ac - bd + (ad + bc)i
3 z1 ac + bd bc - ad（ ） = 2 2 + 2 i(z 0)z2 c + d c + d
2 2
z - i
【变式 2-1】（2024·青海海南·一模）已知 z = 3+ 2i ，则 2 =(1 i) （- ）
A．3 - 3i B．3+ 3i
3 3
C． - i
3 3
D． + i
2 2 2 2
【答案】D
【解析】因为 z = 3+ 2i ，所以 z = 3- 2i ，
z - i 3 1- i 3 1- i 3 1- i i 3 3
则 2 = 2 = = = + i ，(1- i) (1- i) -2i 2 2 2
故选：D.
【变式 2-2】（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数 z1 ， z2 的等式中错误的是（ ）
A． z1 + z2 = z1 + z2 B． z1 + z2 = z1 + z2
C． z1 × z2 = z1 × z2 D． z1 × z2 = z1 z2
【答案】A
【解析】设 z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i(x1, x2 , y1, y2 R) ，
对于 A，令 z1 =1, z2 = -2 ， z1 + z2 =1 3 = z1 + z2 ，A 错误；
对于 B， z1 + z2 = (x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i = (x1 + x2 ) - (y1 + y2 )i
= (x1 - y1i) + (x2 - y2i) = z1 + z2 ，B 正确；
对于 C， z1 × z2 = (x1 + y1i)(x2 + y2i) = (x1x2 - y1y2 ) + (x1 y2 + x2 y1)i，
则 z1 × z2 = (x1x2 - y1 y2 ) - (x1y2 + x2 y1)i， z1 × z2 = (x1 - y1i)(x2 - y2i) = (x1x2 - y1 y2 ) - (x1y2 + x2 y1)i ，
因此 z1 × z2 = z1 × z2 ，C 正确；
对于 D， | z1 × z2 |= (x1x2 - y1 y
2
2 ) + (x1y2 + x y )
2 = (x2 + y22 1 1 1 )(x
2
2 + y
2
2 ) =| z1 || z2 |，D 正确.
故选：A
【变式 2-3】已知复数 z1 ， z2 的模长为 1，且 z1 + z2 = z1z2 ，则 z1 + z2 的值是（ ）
A．1 B． -1 C． i D．- i
【答案】A
【解析】设 z1 = a + bi a,b R ， z2 = c + di c,d R ，
则 z1 = a - bi ， z2 = c - di，
所以 z1 z1 = a + bi a - bi = a2 + b2 =1，
z2 z2 = c + di c - di = c2 + d 2 =1，
因为 z1 = a
2 + b2 =1， z = c2 + d 2 =1，所以 a22 + b
2 =1， c2 + d 2 = 1，
1 1
因为 z z
z z
1 + 2 = z1z2 ，所以 + =1z z ，所以
2 + 1 =1，
2 1 z2 z2 z1 z1
即 z1 + z2 =1，所以 a - bi+c - di = a + c - b + d i=1，
所以 a + c =1，b + d = 0，
所以 z1 + z2 = a + bi+c + di = a + c + b + d i=1 .
故选：A .
题型三：复数的几何意义
z
【典例 3-1】（2024· 2024山西吕梁·三模）已知复数 z 满足 = 2i(1 i)i ，则复数 z 在复平面对应的点在（- ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
z 2024
【解析】由复数 z 满足 = 2i = 2(1 i)i ，可得
z = 2i × 1- i = 2 + 2i，则
- z = 2 - 2i，
则复数 z 对应的点为 2, -2 位于第四象限.
故选：D.
3-2 z 2 + 3i z = i2024【典例 】若复数 满足 + 8i2025 ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
2024 2025
【解析】因为 2 + 3i z = i + 8i ，
i2024 + 8i2025 1+ 8i 1+ 8iz 2 - 3i 所以 = = = = 2 + i2 + 3i 2 + 3i 2 + 3i 2 - 3i ，
所以 z = 2 - i，所以复数 z 在复平面内对应的点为 2,-1 ，位于第四象限．
故选：D．
【方法技巧】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是
研究复数几何意义的最重要的出发点．
3+ i
【变式 3-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知复数 z1 = 的实部为 a, z2 = i 2 + i 的虚部为b ，则1- i
z = a + b +1 i 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
z 3+ i 3+ i 1+ i【解析】 1 = = × =1+ 2i, z = i 2 + i = -1+ 2i，所以 a =1,b = 2，所以 z =1+ 3i ，1- i 1- i 1+ i 2
其在复平面内的对应点为 1,3 ，位于第一象限．
故选：A．
【变式 3-2】（2024·浙江·模拟预测）若复数 z 满足 z + 2z = 3 + i（i 为虚数单位)，则 z 在复平面内对应的点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】设 z = a + bi,(a,b R) ，则 z = a - bi ，
则 a + bi + 2 a - bi = 3+ i ，即3a - bi = 3+ i，所以3a = 3， -b = -1，
解得 a =1，b = -1，故 z =1- i，对应的点 1,-1 在第四象限．
故选：D．
3+ i
【变式 3-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知复数 z1 = 的实部为 a, z2 = i 2 + i 的虚部为b ，则1- i
z = a + b +1 i 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
3 + i 3 + i 1+ iz 【解析】由复数 1 = = =1+ 2i, z2 = i × (2 + i) = -1+ 2i1 i 1 i 1 i ，可得
a =1,b = 2，
- - +
所以 z =1+ 3i ，所以 z =1- 3i 在复平面内的对应点为 1, -3 ，位于第四象限．
故选：D．
r π
【变式 3-4】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数3- 3i对应的向量 a 按顺时针方向旋转 ，3
r
所得向量在 a 上的投影向量对应复数是（ ）
A． 2 3 - 3i B．3- 2 3i C 3 - 3i． D 3- 3i．
2 2
【答案】D
r π
【解析】因为把复数3- 3i对应的向量 a = (3, - 3) 按顺时针方向旋转 ，3
所以旋转后的向量所对应的复数为
(3 - 3i)[cos( π π- ) + i sin(- )] = (3 - 3i)(1 3 i) 3 3 3 i 3 3- = - - i + i2 = -2 3i，
3 3 2 2 2 2 2 2
r
所以旋转后的向量b = 0, -2 3 ，
ar
r
又因为 ×b = 6， a
r
= 32 + (- 3)2 = 2 3 ，
r rr r a r×b a 1 r 3 3 3 3
所以向量b 在 a上的投影向量是 ar
×
ar
= a = , -2 2 2 ÷÷ ，即对应复数是 - i .è 2 2
故选：D .
题型四：复数的相等与共轭复数
2
【典例 4-1】（2024·天津武清·模拟预测）已知 a R ，且 ai + =1，则a = ．
1+ i
【答案】1
2 2 1- i
【解析】由题意可得： ai =1- =1- = i1 ，所以 a =1 .+ i 1+ i 1- i
故答案为：1.
【典例 4-2】已知复数 z 的共轭复数是 z ，若 2i × z = z × z + i2024，则 z = .
【答案】- i
【解析】设 z = a + bi,a,b R，则 z = a - bi ，
2024 4 506因为 i = i =1，所以 2i a + bi = a + bi a - bi +1，
整理得-2b + 2ai = a2 + b2 +1，
ìa2 + b2 +1 = -2b
所以 í ，解得 a = 0,b = -1，所以 z = -i .
2a = 0
故答案为：- i
【方法技巧】
复数相等： a + bi = c + di a = c且b = d (a ，b ，c ，d R )
共轭复数： a + bi = c + di a = c且b = -d (a ，b ，c ，d R) ．
2
【变式 4-1】（2024·山东聊城·二模）已知 a R ，且 ai + =1，则a = ．
a + i
【答案】1
2 2 a - i 2a - 2i 2a 2
【解析】 ai + = ai + = ai + = + a -a + i a + i a - i a2 +1 a2 +1 è a2 ÷
i =1
1 ，+
ì 2a
a2
=1
+1
所以 í ，解得a =12 . a - 2 = 0 a +1
故答案为：1
【变式 4-2】（2024·全国·模拟预测） i为虚数单位，复数 z + z = 8 + 4i，复数 z 的共轭复数为 z ，则 z 的虚
部为 ．
【答案】-4
【解析】解法一：
设复数 z = x + yi x, y R ，则 x + yi + x2 + y2 = 8 + 4i ，
ìx + x2 + y2 = 8
由复数相等，得 í ，解得 x = 3，即复数 z = 3+ 4i ，
y = 4
所以 z = 3- 4i ，所以 z 的虚部为-4．
解法二：
由 z + z = 8 + 4i，得 z = 8 - z + 4i．因为 z 是实数，所以8 - z 也是实数，
则有 z = 8 - z - 4i，所以 z 的虚部为-4．
故答案为：-4
【变式 4-3】已知 a,b R ，且满足 (1+ 2i)(a + bi) = 3 - i （其中 i为虚数单位），则 a2 + b2 = ．
【答案】2
【解析】由题意 (1+ 2i)(a + bi) = 3 - i ，可得 (a - 2b) + (2a + b)i = 3- i，
ì 1
ìa - 2b = 3 a = 5
所以 í2a b 1，解得+ = - í ，所以 a
2
7 + b
2 = 2 .
b = -
5
故答案为：2
【变式 4-4】已知 a，b R ， 1- i 2 + bi = a，则 a + b = .
【答案】6
【解析】 1- i 2 + bi = 2 + b + b - 2 i = a ，故 2 + b = a ，b - 2 = 0，得b = 2 ， a = 4，所以 a + b = 6 .
故答案为：6.
题型五：复数的模
【典例 5-1 2】已知复数 z1 = a(a - 3i), z2 = -a + (a + 2)i, (a Z)，且 z1 + z2 = 2 10 ，则a = .
【答案】 -1或 3
z = a(a - 3i) = a2【解析】复数 1 - 3ai, z = -a + (a
2
2 + 2)i, (a Z)，
z + z = a2可得 - a + (a2 - 3a + 2)i, (a Z) ，则 z + z = (a2 - a)2 + (a21 2 1 2 - 3a + 2)
2 = 2 10, (a Z)
整理得， (a -1)2 (a2 - 2a + 2) = 20，即 (a -1)2[(a -1)2 +1] = 20
因为 a Z，所以 (a -1)2 Z,(a -1)2 +1 Z且 (a -1)2 > 0, (a -1)2 +1 > 0，
又因 20 = 4 5 = 22 (22 +1)，故 (a -1)2 = 4，解得， a = 3或 a = -1 .
故答案为：-1或 3.
【典例 5-2】（2024·江西南昌·三模）已知复数 z 满足 z + 2 = iz，则 | z |= .
【答案】 2
a + 2 = -b
【解析】令 z = a + bi ，则有 a + bi+2=i a + bi ì，即 a+2 + bi= - b + ai，\í
b a
，
=
解得 a = b = -1，即 z = -1- i ，\| z |= 2 .
故答案为： 2 .
【方法技巧】
| z |= a2 +b2
8 + 6i
【变式 5-1】复数 (3 - 4i)3 的模为 .
2
【答案】 / 0.08
25
8 + 6i -8i2 + 6i 2i 2i -48 -14i 48 14
【解析】 3 = 3 = = = = - - i(3 - 4i) (3 - 4i) (3 - 4i)2 -7 - 24i 252 252 252
8 + 6i 2 72 + 242 2
故
(3 - 4i)3
= = ．
252 25
2
故答案为： ．
25
【变式 5-2】已知 z1 = 3，z2 = 4，z1 + z2 = 5，则 | z1 - z2 |= ．
【答案】5
【解析】假设 z1 = a + bi a，b R ，z2 = m + ni m,n R ，
则 z1 + z2 = a + m + b + n i， z1 - z2 = a - m + b - n i，
∵ z1 = 3，z2 = 4，z1 + z2 = 5，
∴ a2 + b2 = 9 ①，m2 + n2 =16 ②， (a + m)2 + (b + n)2 = 25③，
∴③-①-②得 2(am + bn) = 0，
∴ | z1 - z2 |
2 = (a - m)2 + (b - n)2 = a2 + b2 + m2 + n2 - 2(am + bn) = 25，
∴ | z1 - z2 |= 5，
故答案为：5
【变式 5-3】（2024·福建厦门·三模）复数 z 满足 z + z = 2， zz = 4 ，则 | z - z |= .
【答案】 2 3
【解析】设 z = a + bi a,b R ，则 z = a - bi ，
由 z + z = 2， zz = 4 ，
ì2a = 2 ì a =1
得 ía2 b2 4，解得 ， + =
í
b = ± 3
所以 z - z = 2bi = 2 3 ，
故答案为： 2 3 .
1 1 1
【变式 5-4】已知复数数列 zn 满足 zn = n + ni ，则 2 + 2 + ×××+ 2 = .z1 z2 z2023
2023
【答案】
2024
【解析】因为 zn = n + ni ，则 z
2
n = n + ni 2 = n2 - n + 2n ni，
2
所以 z2
2 2
n = n2 - n + 2n n = n2 + n = n2 + n = n n +1
1 1 1 1 1
所以 2 = = = -zn z2 n n +1 n n +1
，
n
1 1 1
所以 2 + 2 + ×××+z1 z
2
2 z2023
= 1
1
-
1 1 1 1 1 2023
÷ + - ÷ + ××× +

-
=1- = .
è 2 è 2 3 è 2023 2024 ÷ 2024 2024
2023
故答案为：
2024
题型六：复数的三角形式
【典例 6-1】一般地，任何一个复数 z = a + bi （ a，b R ）都可以表示成 r cosq + i sinq 形式，其中 r 是
复数 z 的模，q 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量OZ 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数
z = a + bi 的辐角， r cosq + i sinq 叫做复数 z = a + bi 的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分
开来， a + bi（ a，b R ）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”. 已知 z1 = cosq1 + i sinq1 ，
z2 = cosq2 + i sinq cos p q q
3 π
2， + 1 + 2 = q
0, ，其中 1 ÷ ，q2 0,
π
÷，则 z1z2 = ．(结果表示代数5 è 2 è 2
形式)
3 4
【答案】 - + i
5 5
cos π q q cos q q 3【解析】因为 + 1 + 2 = - 1 + 2 = ，5
所以 cos q q 31 + 2 = - < 0，5
又q

1 0,
π q 0, π π ÷ ， 2 ÷，所以q1 +q2 , π ÷，
è 2 è 2 è 2
2
所以 sin q1 +q1 = 1- cos2 q1 +q1
3 4
= 1- -
= .
è 5 ÷ 5
所以 z1z2 = cosq1 + i sinq1 cosq2 + i sinq2 ，
= cosq1 cosq2 - sinq1 sinq2 + cosq1 sinq2 + sinq1 cosq2 i，
= cos q1 +q + i sin q +q
3 4
2 1 2 = - + i .5 5
3 4
故答案为： - + i .
5 5
π
【典例 6-2】计算10(cos + i sin
π) (-2 3 + 2i) ( 2 - 2i) 的结果是 .3 3
5 2 5 2
【答案】 - i
8 8
【解析】 -2 3 + 2i = -4(
3 1
- i) = -4(cos( π- ) + i sin( π- ))，
2 2 6 6
π π
同理可得 2 - 2i = 2(cos(- ) + i sin(- ))4 4 ，
\ 10 (cos(π π π) isin(π π π)) 5 ( 2 2 i) 5 2 5 2原式 = + + + + + = - - + = - i ．
-4 2 3 6 4 3 6 4 4 2 2 8 8
5 2 5 2
故答案为： - i
8 8
【方法技巧】
一般地，任何一个复数 z = a + bi都可以表示成 r(cosq + i sinq ) 形式，其中 r 是复数 z 的模；q是以 x 轴
uuur
的非负半轴为始边，向量O Z 所在射线（射线OZ ）为终边的角，叫做复数 z = a + bi的辐
角． r(cosq + i sinq ) 叫做复数 z = a + bi的三角表示式，简称三角形式．
【变式 6-1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 eiq = cosq + isinq ，则在下列表达式中表示sinq 的是（ ）
eiq - e-iq eiq + e-iqA． B．
2i 2i
-iq
C e - e
iq eiq + e-iq
． D．-
2i 2i
【答案】A
【解析】因 eiq = cosq + isinq ，则e-iq = cos(-q ) + i sin(-q ) = cosq - i sinq ，
eiqA - e
-iq cosq + i sinq - (cosq - i sinq ) 2sinq × i
对于 ， = = = sinq ，故 A 项正确；
2i 2i 2i
B e
iq + e-iq cosq + i sinq + (cosq - i sinq ) 2cosq
对于 ， = = = -cosq × i，故 B 项错误；
2i 2i 2i
e-iq - eiq eiqC - e
-iq cosq + i sinq - (cosq - i sinq ) 2sinq × i
对于 ， = - = - = - = -sinq ，故 C 项错误；
2i 2i 2i 2i
eiq + e-iq
对于 D，由 B 项知，- = cosq × i ，故 D 项错误.
2i
故选：A.
【变式 6-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数 z = a + bi(a,b R,i是虚数单位 )在复平面内对应点为Z ，设
r = OZ ,q 是以 x 轴的非负半轴为始边，以OZ 所在的射线为终边的角，则 z = a + bi = r cosq + isinq ，把
r cosq + isinq 叫做复数 a + bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，
[r cosq + isinq ]n = r n cosnq + isinnq n N* ，例如：
3
1 3 3 4
- + i = 2π ÷÷ cos + isin
2π
÷ = cos2π + isin2π =1 (1

， + i)4 = 2 cos
π
+ isin π ÷÷ = 4 cosπ + isinπ = -4，
è 2 2 è 3 3 è è 4 4
复数 z 满足： z3 =1+ i ，则 z 可能取值为（ ）

A． 2 cos
π π 3π 3π
+ isin ÷ B． 2

cos + isin

è 12 12 4 4 ÷è
6 2 cos 5π isin 5π 6 2 cos17π isin 17π C． + D． +
è 4 4 ÷ ÷ è 12 12
【答案】D
【解析】设 z = r cosq + i sinq ，
则 z3 =1+ i= 2

cos
π
+ i sin π = r3÷ cos3q + i sin 3q ，
è 4 4
所以 r = 6 2 ，3q = 2kπ
π ,k 2kπ π+ Z，即q = + ,k Z，
4 3 12
所以 z
é 2kπ π 2kπ π ù
= 6 2 êcos

+

÷ + i sin

3 12
+ ÷
è è 3 12 ú
, k Z

17π 6 2 cos17π故 k = 2时，q = ，故 z 可取 + isin
17π
12 12 12 ÷
，
è
故选：D
【变式 6-3】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式 (cos x + i ×sin x)n = cos(nx) + i ×sin(nx) （其中 i 为虚数单位）
1667-1754 cos π i sin π
2

是由法国数学家棣莫弗（ ）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 + × ÷ 在复平面内所
è 3 3
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
2

【解析】 cos
π
+ i ×sin π ÷ = cos
2π
+ i ×sin 2π 1 3= - + i，
è 3 3 3 3 2 2
1 , 3

在复平面内所对应的点为 - 2 2 ÷÷
，在第二象限.
è
故选：B.
【变式 6-4】（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数 z = a + bi 都可以表示成三角形式，即
a + bi = r cosq + i sinq ．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754 年）创立的，指的是：设两个复
数 z1 = r1 cosq1 + i sinq1 ， z2 = r1 cosq2 + i sinq2 ，则 z1z2 = r1r2 é cos q1 +q2 + i sin q1 +q2 ù ，已知复数
z 1 3= + i，则 z2023 + z2 + z =（ ）
2 2
A 1 B 1 3 1 3． 2 ． + i C． - i D．12 2 2 2
【答案】B
1 3 π π
【解析】由题意可得 z = + i = cos + isin ，
2 2 3 3
z2023 cos 2023π 2023π故 = + isin = cos(674π
π
+ ) + isin(674π π+ ) cos π= + isin π ，
3 3 3 3 3 3
z2023 z2 z cos π所以 + + = + isin
π
+ cos 2π + isin 2π + cos π - isin π
3 3 3 3 3 3
1 3
= + i .
2 2
故选：B
题型七：与复数有关的最值问题
【典例 7-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数 z1 ， z2 满足 | z1 - 3i |= 2， | z2 - 4 |=1，则 | z1 - z2 |的最大值是
（ ）
A．6 - 2 B．6 + 2 C．7 D．8
【答案】D
【解析】设 z1 = a + bi ， a,b R ， z2 = x + yi ， x, y R ，
因为 | z1 - 3i |= 2， | z2 - 4 |=1，
2
所以 a2 + b - 3 = 4， x - 4 2 + y2 =1，
所以点Z1 a,b 的轨迹为以 0,3 为圆心， 2为半径的圆，
点Z2 x, y 的轨迹为以 4,0 为圆心，1为半径的圆，
又 | z1 - z2 |表示点Z1 a,b 与Z2 x, y 的距离，
| z 2 2所以 1 - z2 |的最大值是 0 - 4 + 3 - 0 + 3 = 8，
故选：D.
【典例 7-2】（2024·山东烟台·三模）若复数 z 满足 z = z - 2 - 2i ，则 z 的最小值为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】B
【解析】若复数 z 满足 z = z - 2 - 2i ，则由复数的几何意义可知复数 z 对应的点集是线段OA的垂直平分线，
其中O 0,0 , A 2,2 ，
z 1 OA 1= 22 + 22所以 的最小值为 = 2 .
2 2
故选：B.
【方法技巧】
利用几何意义进行转化
z = 6 11π 11π 【变式 7-1】（2024·高三·河北沧州·期中）已知复数 0 cos + isin ÷，复数 z 满足 z - z0 = 1，则 z
è 6 6
的最大值为（ ）
A．7 B．6 C． 4 3 D．6 3
【答案】A
【解析】 z0 = 6

cos
11π
+ isin 11π ÷ = 3 3 - 3i，
è 6 6
又 z - z0 = 1，
即在复平面内，复数 z 对应的点的轨迹是以 3 3, -3 为圆心，1 为半径的圆，
又点 3 3, -3 到坐标原点的距离为 (3 3)2 + (-3)2 = 6，
所以 z 的最大值为6 +1 = 7 .
故选：A.
【变式 7-2】（2024·湖南长沙·三模）已知复数 z 满足 z =1，则 z - 2i 的取值范围为（ ）
A． 0,2 B． 1,3 C． 2,4 D． 1,9
【答案】B
【解析】 z =1表示 z 对应的点是单位圆上的点，
z - 2i 的几何意义表示单位圆上的点和 0,2 之间的距离，
z - 2i 的取值范围转化为点 0,2 到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，
所以最大距离为 2 +1 = 3，最小距离为 2 -1 =1，
所以 z - 2i 的取值范围为 1,3 .
故选：B
【变式 7-3】（2024·江苏·模拟预测）若复数 z = cosq + i sinq ，则 z - 2 + 2i 的最大值是（ ）
A． 2 2 -1 B． 2 2 +1 C． 2 +1 D． 2 2 + 3
【答案】B
【解析】由题意可知 z = cosq + i sinq 在复平面中对应的点P cosq ,sinq 为以原点为圆心的单位圆上一点，
而 z1 = 2 - 2i 在复平面中对应的点不妨设为 A 2, -2 ，
所以 z - 2 + 2i = PA ，
易知 PA PO +1 = 2 2 +1 .
故选：B
【变式 7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知复数 z1 ， z2 满足 z1 + 3 - i + z1 - 3 + i = 2 5 ， z2 = 2 + 2 3i （其
中 i 是虚数单位），则 z1 - z2 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． 5 D．3
【答案】D
【解析】设复数 z1, z2 = 2 + 2 3i, - 3 + i, 3 - i在复平面内对应的点分别为
Z1 x, y , Z2 2,2 3 , F1 - 3,1 , F2 3, -1 ，
由题意可知： Z1F1 + Z1F2 = 2 5 > 4 = F1F2 ，
可知点Z1 的轨迹表示为焦点分别为F1 - 3,1 , F2 3, -1 的椭圆，
则长半轴长为 a = 5 ，半焦距 c = 2，短半轴长为b = a2 - c2 =1，
3
且该椭圆的长轴所在直线为 y = - x ，短轴所在直线为 y = 3x．
3
因为点Z2 在 y = 3x上，且 OZ2 = 4，
若使得 z1 - z2 最小，则需 Z1Z2 取得最小值，
即点Z1 为第一象限内的短轴端点，此时 z1 - z2 = OZ2 -1 = 3．
故选：D.
【变式 7-5】（2024·山东·模拟预测）复数 z 满足 z - i = z -1 ，则 z +1 的最小值为（ ）
A 2． B．1 C D 1． 2 ．
2 2
【答案】A
【解析】设复数 z 在复平面上的对应点为P a,b ，
则 z - i 可表示为复平面上点P a,b 到 A 0,1 的距离，
z -1 可表示为复平面上点P a,b 到B 1,0 的距离，
由题意可知：点 P 在线段 AB 的中垂线上，如下图：
1 , 1 线段 AB 的中点为 ÷，直线 AB 的斜率 k2 2 AB
= -1，
è
y 1 x 1则 P 的轨迹方程为 - = - ，整理可得 x - y = 0，
2 2
由 z +1 可表示为点P a,b 到C -1,0 的距离d ，
-1- 0
d 2min = = .1+1 2
故选：A.
【变式 7-6】已知复数 z 满足 | z -1 | + | z +1 |= 4，则 | z |的取值范围为（ ）
A．[0,1] B．[2,3] C．[1, 3] D．[ 3, 2]
【答案】D
【解析】复数 z 满足 | z -1 | + | z +1 |= 4，
则复数 z 对应的点的轨迹为以 (-1,0),(1,0)为焦点，长轴长 2a = 4的椭圆，
x2 y2
则椭圆短半轴长为b = 22 -12 = 3 ，椭圆方程为 + =1，4 3
| z |表示椭圆上的点到原点的距离，
当点位于椭圆长轴上的顶点时， | z |取值大值 2；
当点位于椭圆短轴上的顶点时， | z |取值小值 3；
故 | z |的取值范围为[ 3, 2]，
故选：D
【变式 7-7】（2024·安徽安庆·一模）设复数 z 满足条件|z|＝1，那么 z + 3 + i 取最大值时的复数 z 为（ ）
A 3 + 1 i B 3 + 1 i C 3 1 3 1． 2 ． - 2 ． - i D．- - i2 2 2 2 2 2
【答案】A
【解析】复数 z 满足条件 | z |= 1，它是复平面上的单位圆，那么 | z + 3 + i |表示单位圆上的点到Q(- 3,-1)的
距离，
要使此距离取最大值的复数 z ，就是 (- 3,-1)和 (0,0)连线和单位圆在第一象限的交点M ．
Q点 (- 3,-1)到原点距离是 2．单位圆半径是 1，又 MOx = 30o 3，所以M ( , 1)．
2 2
3 1
故对应的复数为 + i．
2 2
故选：A
题型八：复数方程
【典例 8-1】（2024·湖南衡阳· 2模拟预测）已知复数 i - 2是关于 x 的方程 x + px + q = 0 p, q R 的一个根，
则 pi + q = （ ）
A．25 B．5 C． 41 D．41
【答案】C
【解析】因为复数 i - 2是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0的一个根，
所以 i - 2 2 + p i - 2 + q = 0，所以 pi + q = 4i + 2 p - 3，
所以 p = 4, q = 2 p - 3，所以 p = 4, q = 5，
则 pi + q = 4i + 5 = 41 ，
故选：C.
【典例 8-2】（2024·江苏·一模）已知 2 + i 是关于 x 的方程 x2 + ax + 5 = 0的根，则实数a = （ ）
A． 2 - i B．-4 C．2 D．4
【答案】B
【解析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.因为 2 + i 是关于 x 的方程
x2 + ax + 5 = 0的根，则另一根为 2 - i
由韦达定理得 2 + i + 2 - i = -a ，所以 a = -4
故选：B
【方法技巧】
复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式
及三角形式进行求解。
【变式 8-1】（2024·上海嘉定·三模）已知复数 x 满足方程 x2 = -3，那么 x = .
【答案】± 3i
【解析】因为 x2 = -3，则 x = ± 3i .
故答案为：± 3i .
【变式 8-2】已知 2i - 3是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0的一个根，其中 p， q R ，则 p＋q＝ ．
【答案】19
【解析】因为 2i - 3是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0的一个根，
所以-2i - 3是方程 x2 + px + q = 0的另一个根，
ì(2i - 3) + (-2i - 3) = - p ì p = 6
所以 í
(2i - 3)(-2i - 3) = q
，解得 í ，
q =13
所以 p + q = 19，
故答案为：19
【变式 8-3】若1+ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2 + bx + c = 0的一个复数根，则 c = .
【答案】3
【解析】∵实系数一元二次方程 x2 + bx + c = 0的一个虚根为1+ 2i ，
∴其共轭复数1 - 2i 也是方程的根.
ì
1+ 2i + 1- 2i = -b
由根与系数的关系知， í ，
1+ 2i 1- 2i = c
∴ b = -2， c = 3 .
故答案为：3
【变式 8-4】3+ 4i的平方根为
【答案】 ±(2 + i)
【解析】设所求复数为 z = a + bi ，由题意有 (a + bi)2 = 3 + 4i ，即 a2 - b2 + 2abi = 3+ 4i，
ìa2 - b2 = 3 ìa = 2 ìa = -2
则 í ，解得2ab 4 í
或 í z = 2 + i z = -2 - i
= b =1 b = -1
，即 或 ，
即3+ 4i的平方根为 ±(2 + i)，
故答案为 ±(2 + i) .
【变式 8-5】（2024·高三·上海浦东新·开学考试）若实系数方程 x2 + ax + b = 0 的一个根是 i，则 a + b = ．
【答案】1
【解析】因为关于 x 的实系数方程 x2 + ax + b = 0 的一个根是 i，所以另一个根为- i，
根据韦达定理可得 i+ -i = -a ，所以 a = 0 .
又 i × -i = b ，所以b =1，所以 a + b =1
故答案为：1.
1．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）设 z = 2i，则 z × z = （ ）
A．-2 B． 2 C．- 2 D．2
【答案】D
【解析】依题意得， z = - 2i，故 zz = -2i2 = 2 .
故选：D
z
2．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若 =1+ i，则 z =（
z 1 ）-
A．-1- i B．-1+ i C．1- i D．1+ i
【答案】C
z z -1+1 1 1 1 i 1【解析】因为 = = + = + ，所以 z =1+ =1- i .
z -1 z -1 z -1 i
故选：C.
3．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）若 z = 5 + i ，则 i z + z =（ ）
A．10i B． 2i C．10 D． 2
【答案】A
【解析】由 z = 5 + i z = 5 - i,z + z =10，则 i z + z =10i .
故选：A
z
4．（2024 年北京高考数学真题）已知 = -1- i ，则 z =（ ）．
i
A．-1- i B．-1+ i C．1- i D．1+ i
【答案】C
【解析】由题意得 z = i -1- i =1- i .
故选：C.
5．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 z = -1- i ，则 z = （ ）
A．0 B．1 C． 2 D．2
【答案】C
z = -1- i z = -1 2 + -1 2【解析】若 ，则 = 2 .
故选：C.
1．利用公式 a2 + b2 = (a + bi)(a - bi)，把下列各式分解成一次因式的积；
（1） x2 + 4 ；
（2） a4 - b4 .
【解析】（1） x2 + 4 = x2 - (-4) = x2 - (2i)2 = (x + 2i)(x - 2i) ；
（2） a4 - b4 = (a2 - b2 )(a2 + b2 ) = (a + b)(a - b)(a + bi)(a - bi) .
2．若 z = x + yi(x, y R)，则复平面内满足 | z - (2 + i) |= 3的点 2 的集合是什么图形？
【解析】解法 1：由复数模的几何意义可知，复平面内满足 | z - (2 + i) |= 3的点 Z 的集合是以（2，1）为圆心，
以 3 为半径的圆.
解法 2：Q z = x + yi,\| z - (2 + i) |=| x + yi - 2 - i |=| (x - 2) + (y -1)i |= 3 .
\ (x - 2)2 + (y -1)2 = 3
即 (x - 2)2 + (y -1)2 = 32 ，
故复平面内满足 | z - (2 + i) |= 3的点 2 的集合是以 (2,1)为圆心，以 3 为半径的圆.
3．已知－3＋2i 是关于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0 的一个根，求实数 p、q 的值．
【解析】∵－3＋2i 方程 2x2＋px＋q＝0 的一个根，
∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0
即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
10－3p＋q＝0， p＝12
∴{ {2 p－24 0 解得＝ q＝26.
4．在复数范围内解下列方程：
（1） x2 + 4x + 5 = 0；
（2） 2x2 - 3x + 4 = 0 .
【解析】（1）QD = 42 - 4 1 5 = -4 < 0 ,
∴ -4 ± -(-4)i方程 x2 + 4x + 5 = 0的根为 x = ，即 x = -2 ± i .
2 1
（2）Q A = (-3)2 - 4 2 4 = -23 < 0，
∴ 2 3± -(-23)i2x 3x 4 0 x 3± 23i方程 - + = 的根为 = ，即 x = .
2 2 4
易错点：复数运算法则的应用有误
a + bi 2易错分析： (1)区分 = a2 + 2abi - b2 a,b R 与 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a,b R
(2) 2 2区分 a + bi a - bi = a + b a,b R 与 (a + b) a - b = a2 - b2 a,b R
【易错题 1】设有下面四个命题
p 11：若复数 z 满足 R ，则 z R ；z
p2：若复数 z 满足 z2 R ，则 z R ；
p3 ：若复数 z1, z2 满足 z1z2 R，则 z1 = z2 ；
p4：若复数 z R，则 z R .
其中的真命题为
A． p1, p3 B． p1, p4
C． p2 , p3 D． p2 , p4
【答案】B
z = a + bi(a,b R) 1 1 a - bi【解析】令 ，则由 = = 2 2 R b = 0z a bi a b 得 ，所以
z R ，故 p
+ + 1
正确；
当 z = i时，因为 z2 = i2 = -1 R，而 z = i R 知，故 p2不正确；
当 z1 = z2 = i时，满足 z1 × z2 = -1 R，但 z1 z2 ，故 p3不正确；
对于 p4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故 p4正确，故选 B.
4 + 3i
【易错题 2】已知 = a + bi（ a,b R ， i为虚数单位），则 a + b =（ ）2 - i
A． -1 B．3 C．1 D．2
【答案】B
4 + 3i 4 + 3i 2 + i
【解析】由 = =1+ 2i = a + bi2 - i 2 - i 2 + i ，
可得 a =1，b = 2 ，
因此 a + b = 3．
故选：B．
答题模板：复数式的计算
1、模板解决思路
复数的四则运算，解题的关键是知道 i2 = -1．复数的乘法类似多项式（或单项式）乘法，复数的除
法类似分母有理化．
2、模板解决步骤
第一步：如果是除法运算，利用分母有理化，将复数的除法化简．
第二步：按照多项式乘法，将复数乘法化简．
第三步：把 i2 = -1代入，进一步化简，求得最终结果．
z + b
【经典例题 1】已知 a，b 为实数，复数 z = a + 2i，若 = 2ai ，则 | a | - b =（ ）
z
A．-2 B． -1 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为 z = a + 2i，所以 z = a - 2i ，
z + b a + b + 2i
则 = = 2ai ，即 a + b + 2i = 2ai(a - 2i) = 4a + 2a2i，
z a - 2i
ì4a = a + b ìb = 3a
从而 í 2 ，即 í 2 ，解得 | a |=1,| b |= 3 | a | - | b |= -2.
2a
，故
= 2 a =1
故选：A.
【经典例题 2】计算 1+ i 2- i = （其中 i为虚数单位）．
【答案】3+ i / i + 3
【解析】 1+ i 2 - i = 2 - i + 2i - i2 = 3 + i .
故答案为：3+ i

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