资源简介

第 03 讲 幂函数与二次函数
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：幂函数 ........................................................................................................................................................4
知识点 2：二次函数 ....................................................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6
题型一：幂函数的定义及其图像 ...............................................................................................................................9
题型二：幂函数性质的综合应用 .............................................................................................................................10
题型三：由幂函数的单调性比较大小 .....................................................................................................................11
题型四：二次函数的解析式 .....................................................................................................................................12
题型五：二次函数的图象、单调性与最值 .............................................................................................................13
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 .................................................................................................13
题型七：二次方程实根的分布及条件 .....................................................................................................................14
题型八：二次函数最大值的最小值问题 .................................................................................................................15
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................16
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................16
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................17
易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论 .....................................................................................17
答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题 .....................................................................................................18
考点要求 考题统计 考情分析
从近五年全国卷的考查情况来看，本节
（1）幂函数的定义、图像与性质 2020 年天津卷第 3 题，5 分 内容很少单独命题，幂函数要求相对较
（2）二次函数的图象与性质 2020 年江苏卷第 7 题，5 分 低, 常与指数函数、对数函数综合，比较
幂值的大小，多以选择题、填空题出现.
复习目标：
（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
（2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).
知识点 1：幂函数
1、幂函数的定义
一般地， y = xa (a R) ( a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称
为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① xa 的系数为 1； ② xa 的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
函数 y = x y = x2 y = x3
1
y = x 2 y = x
-1
图象
定义域 R R R {x | x 0} {x | x 0}
值域 R {y | y 0} R {y | y 0} {y | y 0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在 (- ，0) 上单调递 在 (- ，0) 和
在 R 上单 在 R 上单调递 在[0，+ ) 上单调
单调性 减，在 (0，+ ) 上单 (0，+ ) 上单调递
调递增 增 递增
调递增 减
公共点 (1，1)
【诊断自测】若幂函数 y = f x 的图象经过点 2, 2 ，则 f 16 ＝（　　）
A． 2 B
1
．2 C．4 D． 2
知识点 2：二次函数
1、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ；
（2）顶点式： f (x) = a(x - m)2 + n(a 0) ；其中， (m,n) 为抛物线顶点坐标， x = m 为对称轴方程.
（3）零点式： f (x) = a(x - x1)(x - x2 )(a 0)，其中， x1, x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标.
2、二次函数的图像
二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a b 0) 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 x = - ，顶点坐标为
2a
b 2(- , 4ac - b ) .
2a 4a
（1）单调性与最值
①当 a > 0 b b时，如图所示，抛物线开口向上，函数在 (- ,- ]上递减，在[- ,+ )上递增，当
2a 2a
2
x b= - 时， f (x) 4ac - b= ；
2a min 4a
b b
②当 a < 0 时，如图所示，抛物线开口向下，函数在 (- ,- ]上递增，在[- ,+ )上递减，当
2a 2a
x b
2
= - 时， f (x) 4ac - bmax =2a 4a
（2）与 x 轴相交的弦长
当D = b2 - 4ac > 0 时，二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) 的图像与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)和 M 2 (x2 ,0) ，
| M D1M 2 |=| x
2
1 - x2 |= (x1 + x2 ) - 4x1x2 = .| a |
3、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ，当 a > 0时， f (x) 在区间[ p,q]上的最大值是 M ，最小值是m ，
x p + q令 0 = ：2
b
（1）若 - p ，则m = f ( p), M = f (q) ；
2a
b b
（2）若 p < - < x0 ，则m = f (- ), M = f (q) ；2a 2a
（3）若 x b b0 - < q ，则m = f (- ), M = f ( p) ；2a 2a
b
（4）若 - q ，则m = f (q), M = f ( p) .
2a
1 3 2 2
【诊断自测】下列四个图象中，有一个图象是函数 f x = x - ax + a - 4 x + 8 a 0 的导数的图象，则3
f -2 的值为（ ）
17 17 8 8
A． B．- C． D．-
3 3 3 3
解题方法总结
1、幂函数 y = xa (a R) 在第一象限内图象的画法如下：
①当 a < 0 时，其图象可类似 y = x-1画出；
1
②当 0 < a < 1时，其图象可类似 y = x 2 画出；
③当 a > 1时，其图象可类似 y = x2 画出．
2、实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的实根符号与系数之间的关系
ì
D = b2 - 4ac > 0

（1 x , x
b
）方程有两个不等正根 1 2 íx1 + x2 = - > 0
a
x x c= > 0
1 2 a
ì
D = b2 - 4ac > 0

b
（2）方程有两个不等负根 x1, x2 íx1 + x2 = - < 0
a
x c
1
x2 = > 0a
c
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 x1, x2 x 1 x2 = < 0a
3、一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的根的分布问题
一般情况下需要从以下 4 个方面考虑：
b
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴 x = - 与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
2a
设 x1, x2 为实系数方程 ax
2 + bx + c = 0(a > 0)的两根，则一元二次 ax2 + bx + c = 0(a > 0)的根的分布与其
限定条件如表所示.
根的分布 图像 限定条件
ìD > 0

m x x b< 1 < 2 í- > m
2a
f (m) > 0
x1 < m < x2 f (m) < 0
ìD > 0
b
í- < m
2ax1 < x2 < m
f (m) > 0
y
D < 0
O m n x
y
D = 0
x1 = x2 m
或x1 = x2 m
O m n x
y
ìD > 0

在区间 (m,n) 内 bí- < m
2a
没有实根 f (m) 0
O m n x
y
ìD > 0
b
í- > n
2a
f (n) 0
O m n x
y
ì f (m) 0
m n í f (n) 0
O x
y
ì f (m) > 0
í
f (n) < 0
n
O m x
在区间 (m,n) 内
有且只有一个实根 y
ì f (m) < 0
í
f (n) > 0
m n
O x
y
ìD > 0

在区间 (m,n) 内 m b < - < n
í 2a
有两个不等实根 f (m) > 0
m n x f (n) > 0O
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区
间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对
对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③
轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数
值正负.
题型一：幂函数的定义及其图像
【典例 1-1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点 2,4 ，则函数的解析式为（ ）
A． y = 2x B． y = x2 C． y = log2x D． y = sinx
p
【典例 1-2】已知幂函数 y = x q （ p, q Z且 p, q互质）的图象关于 y 轴对称，如图所示，则（ ）
p
A．p，q 均为奇数，且 > 0q
p
B．q 为偶数，p 为奇数，且 < 0q
p
C．q 为奇数，p 为偶数，且 > 0q
p
D．q 为奇数，p 为偶数，且 < 0q
【方法技巧】
a
确定幂函数 y = x 的定义域，当a 为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式
非负.当a 0时，底数是非零的.
m+1 2
【变式 1-1】已知函数 f x = m -1 x 为幂函数，则 f a - 2a + f 2a - a2 =（ ）
A．0 B． -1 C． a 2 D． a6 - a 4
【变式 1-2】（多选题）（2024 2 3·新疆喀什·一模）若函数 y = m - m -1 x 是幂函数，则实数 m 的值可能是
（ ）
A．m = -2 B．m = 2 C．m = -1 D．m =1
【变式 1-3】给出幂函数：① f x = x；② f (x) = x2 ；③ f x = x3 ；④ f x 1= x ；⑤ f x = ．其中
x
f x + f
f x1 + x2 1 x2 满足条件 ÷ > x2 > x1 > 0 的函数的个数是（　　）
è 2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：幂函数性质的综合应用
2-1 f x = 2m -1 xn 2,8 ① f x = x-3【典例 】已知幂函数 的图象经过点 ，下面给出的四个结论： ；②
f x ③ f x R 2为奇函数； 在 上单调递增；④ f a +1 < f 1 ，其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③
1 2
2-2 2 a +a-2【典例 】已知幂函数 f x = a - 3 x 2 在 0, + 上单调递减，函数 h x = 3x + m ，对任意 x1 1,3 ，
总存在 x2 1,2 使得 f x1 = h x2 ，则m 的取值范围为 .
【方法技巧】
y = xa紧扣幂函数 的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意a 为奇数
a a
时， x 为奇函数，a 为偶数时， x 为偶函数.
a ì 2, 1, 1 , 1【变式 2-1】已知 í- - - ,1, 2,3
ü
.若幂函数 f (x) = xa 为奇函数，且在 (0, + )上递减，则a = .
2 2
【变式 2-2】已知函数 f x = x - 2 3 + 3x-2 - 32-x + 2x ln 3 - 4ln 3 +1，则满足 f x + f 8 - 3x > 2的 x 的取值
范围是 ．
2
【变式 2-3】已知幂函数 f x = xm -2m-3（其中，m Z）为偶函数，且 f x 在 0, + 上单调递减，则m
的值为 .
1 2 2
【变式 2-4】已知函数 f x = x3 ，则关于 t 的表达式 f t - 2t + f 2t -1 < 0的解集为 .
1 1
【变式 2-5】满足 - -(m +1) 3 < (3- 2m) 3 的实数 m 的取值范围是（ ）.
2 , 3 , 2 1, 3A ． B． -
è 3 2 ÷ ÷ ÷ è 3 è 2
C
2 , 2 3． +

÷ D． (- , -1)

,

3 ÷è è 3 2
题型三：由幂函数的单调性比较大小
2 1 2 1
【典例 3-1】（2024·天津红桥·二模）若 a = ( )3 ，b = log 1 5 ，
-
c = 3 4 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）3 2
A． a > b > c B．b > c > a C．b > a > c D．a < b < c
2 3 2
3-2 3 5【典例 】设 a 2
5 2 5
= ÷ , b = ÷ ，c = ÷ ，则 a,b,c 大小关系是 .
è 5 è 5 è 5
【方法技巧】
在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较．
1 1 a 1
【变式 3-1】（2024 ·河北衡水·三模）已知 loga <1，4 4 ÷
<1， a 4 <1，则实数 a的取值范围为（ ）è

A． 0,
1
÷ B． 0,1 C 1,+ D 1 ,1 ． ．4 ÷è è 4
【变式 3-2】已知 a = eπ ，b = πe ， c = ( 2)eπ ，则这三个数的大小关系为 ．（用“ <”连接）
1 2
【变式 3-3】已知幂函数 f x 的图象过点 , ÷÷ , P x1, y1 ,Q x2 , y2 0 < x1 < x2 是函数图象上的任意不同
è 2 4
两点，则下列结论中正确的是（ ）
A． x1 f x1 > x2 f x2 B． x1 f x2 < x2 f x1
f x1 f x2 f x1 f x2 C． > D． <
x2 x1 x1 x2
2 m2 +m-3
【变式 3-4】（2024·高三·河北邢台·期中）已知函数 f x = m - m -1 x 是幂函数，且在 0, + 上
单调递减，若 a,b R ，且 a < 0 < b, a < b ，则 f a + f b 的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．无法判断
题型四：二次函数的解析式
【典例 4-1】（2024·高三·海南海口·开学考试）已知二次函数 f x 的图象经过点 4,3 ，在 x 轴上截得
的线段长为 2，并且对任意 x R ，都有 f 2 - x = f 2 + x ，则 f x ＝ .
【典例 4-2】写出同时满足下列条件①②③的一个函数 f (x) = ．
① f (x) 是二次函数；② xf (x +1)
f (x)
是奇函数；③ 在 (0, + )上是减函数．
x
【方法技巧】
求二次函数解析式的三个技巧
(1)已知三个点的坐标，选择一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式．
(3)已知图象与 x 轴的两交点的坐标，选择零点式．
【变式 4-1】已知函数 f x = ax2 + bx + c （a 0）的图象关于 y 轴对称，且与直线 y = x 相切，写出满足上
述条件的一个函数 f x = ．
【变式 4-2】已知二次函数 f(x)满足 f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，二次函数的解析式
是 ．
【变式 4-3】已知函数 f (x) = mx2 + (2 - m)x + n(m > 0)，当-1 x 1时，都有 f (x) 1恒成立，则
f 1 ÷ = .
è 3
2
【变式 4-4 x + 4】已知 f x 是二次函数， f -2 = 0，且 2x f x ，则 f 10 = .
2
题型五：二次函数的图象、单调性与最值
【典例 5-1】已知 f (x) =1- (x - a)(x - b)，并且 m、n 是方程 f (x) = 0 的两根，则实数 a、b、m、n 的大小关
系可能是（ ）
A．m < a < b < n B． a < m < n < b
C． a < m < b < n D．m < a < n < b
【典例 5-2】（2024 2·高三·江苏苏州·期中）满足{x m x n} = {y y = x , m x n}的实数对m ， n构成
的点 (m, n)共有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个
【方法技巧】
解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.
f (x) = x2 - (m - 2)x +1 é 1 1 ù【变式 5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数 在 ê- , 上单调，则实数m 的取值 2 2ú
范围为（ ）
1
A é ,1ù U é． ê ú ê3,
9 ù é1
ú B． ê , 2
ù U é3, 9 ù
2 2 2 ú ê 2 ú
é 1- ,1ù U é3, 9 ù é 1C ù é
9 ù
． ê ú ê ú D． ê- , 2 U 3, 2 2 2 ú ê 2 ú
【变式 5-2】（2024·高三·山东济宁·期中）函数 f (x) = 2x2 - x - 3 的单调递增区间为（ ）
, 1A． -
ù
ú B． (
3 1
- , -1) é C é
4 ． ê
, +
2 ÷
D． ,+
è ê4 ÷
【变式 5-3】（2024 2·广东珠海·模拟预测）已知函数 f x = x + mx - 2x +1在区间 2, + 上是增函数，则
实数m 的取值范围是 .
ì-2x
2 + 4x, x > 0
【变式 5-4】若函数 f x = í 在区间 a -1,3- 2a2 上有最大值，则实数 a 的取值范围是 .
2x , x 0
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
【典例 6-1】已知函数 f (x) = x2 - 2ax(a > 0)．
(1)当 a = 3时，解关于 x 的不等式-5 < f (x) < 7 ；
(2)函数 y = f (x) 在[t, t + 2]上的最大值为 0，最小值是-4，求实数 a 和 t 的值．
【典例 6-2】已知函数 y = x2 + 2ax +1在-1 x 2上的最大值为 4，求 a的值．
【方法技巧】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的
函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果得到最终答案.
2
【变式 6-1】已知函数 f x = x + ax ，其中 a是实数．
(1) f x 在区间 -1,2 上的最大值记为M a ，求M a 的表达式；
(2) f x 在区间 -1,2 上的最小值记为m a ，求m a 的表达式；
(3)若M a - m a = 3，求实数 a的值．
题型七：二次方程实根的分布及条件
【典例 7-1】若关于 x 2的一元二次方程 x + 3a -1 x + a + 8 = 0有两个不相等的实根 x1, x2 ，且 x1 <1, x2 >1．则
实数 a 的取值范围为 ．
【典例 7-2 2】方程mx - m -1 x +1 = 0在区间 0,1 内有两个不同的根，则m的取值范围为 ．
【方法技巧】
结合二次函数 f (x) = ax2 + bx + c 的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，
从而解不等式求参数的范围.
【变式 7-1】（2024 2·四川雅安·模拟预测）已知关于 x 的方程 x + bx + c = 0 b,c R 在 -1,1 上有实数根，
且满足0 3b + c 3，则b的取值范围是 ．
【变式 7-2】关于 x 的方程 x2 + (m - 3)x + m = 0 满足下列条件，求m 的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于1，一个根小于1；
(3)一个根在 (-2,0) 内，另一个根在 (0, 4) 内；
(4)一个根小于 2，一个根大于4；
(5)两个根都在 (0,2)内．
题型八：二次函数最大值的最小值问题
【典例 8-1】已知函数 f (x) = x2 + ax + b 在区间[0, 4]上的最大值为 M，当实数 a，b 变化时，M 最小值
为 ．
【典例 8-2】已知函数 f x = x - ax - b ,a,b R，若对任意的 x0 0,4 ，使得 f x0 M ，求实数M 的
取值范围是 ．
【方法技巧】
解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制.
【变式 8-1】二次函数 f x 2为偶函数， f 1 =1，且 f x ≤3x + 2x恒成立．
(1)求 f x 的解析式；
(2) a R ，记函数 h x = f x - 2ax +1 在 0,1 上的最大值为T a ，求T a 的最小值．
【变式 8-2】已知函数 f (x) = (x - 2) | x + a | (a R)，
(1)当a = -1时，①求函数 f (x) 单调递增区间；②求函数 f (x) é
7 ù
在区间 ê-4, 4ú的值域；
(2)当 x [-3,3]时，记函数 f (x) 的最大值为 g (a) ，求 g (a) 的最小值．
【变式 8-3】（2024·高三·江苏南通·开学考试）记函数 f x = x2 - ax 在区间 0,1 上的最大值为 g a ，
则 g a 的最小值为（ ）
1
A．3 - 2 2 B． 2 -1 C． D．14
1．（2023 x x-a 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 f x = 2 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是
（ ）
A． - , -2 B． -2,0
C． 0,2 D． 2, +
2．（2023 年天津高考数学真题）设a = 1.010.5,b = 1.010.6 ,c = 0.60.5，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． c < a < b
1
3．（2011 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数 y = x3 的图象是
A． B． C． D．
1．画出函数 y = | x | 的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.
2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率 v，（单位： cm3 / s）与管道
半径 r（单位：cm）的四次方成正比.
（1）写出气体流量速率 v，关于管道半径 r 的函数解析式；
（2）若气体在半径为 3cm 的管道中，流量速率为 400cm3 / s ，求该气体通过半径为 r 的管道时，其流量速
率 v 的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为 5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm3 / s）.
2．试用描点法画出函数 f (x) = x-2 的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证
明.
4．证明：
f x + f
f (x) ax b f x1 + x2 1 x2 （1）若 = + ，则 ÷ = .
è 2 2
2 g x1 + x
g x + g x
（2）若 g(x) = x + ax + b 2 1 2，则 .
è 2 ÷ 2
易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论
易错分析：在二次函数 y = ax2 + bx + c中，当 a 0 时为二次函数，其图象为抛物线；当 a = 0,b 0
2
时为一次函数，其图象为直线．在解決此类问题时，应注意 x 项的系数是否为 0，若不能确定，应该分类
讨论．
【易错题 1】对于任意实数 x，不等式 (a - 2)x2 - 2(a - 2)x - 4 < 0 恒成立，则实数 a 取值范围（ ）
A． (- , 2) B． (- , 2] C． (-2, 2) D． (-2, 2]
【易错题 2】已知 x2 + x + 5 ax2 + 2ax + c 2x2 + 5x + 9对任意 x R 恒成立，则 a + c = __________．
答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题
1、模板解决思路
解决含参二次函数在区间上的最值问题常用的方法是数形结合与分类讨论.
2、模板解决步骤
第一步：通过观察二次函数的特征，分析二次函数参数的位置；
第二步：通过讨论含参二次函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论；
第三步：根据含参二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据二次函数的单调性求
出其最值；
第四步：得出结论．
【典例 1】已知二次函数 f x 同时满足以下条件：① f 2 + x = f 2 - x ，② f 0 =1，③ f 2 = -3．
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若 h x = f x + m + 4 x， x -1,2 ，求 h x 的最小值j m ．
【典例 2】已知二次函数 f (x) = ax2 + bx + c ，满足条件 f (0) = 0和 f (x - 2) - f (x) = -4x .
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）若 A = [m, m +1](m R)，求函数 f (x) 在 A 上的最小值.
【典例 3】已知函数 f (x) = x2 - 2x + a +1．当 x [t, t + 2]时，求函数 f (x) 最大值的表达式 H (t) ；第 03 讲 幂函数与二次函数
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：幂函数 ........................................................................................................................................................4
知识点 2：二次函数 ....................................................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................7
题型一：幂函数的定义及其图像 .............................................................................................................................10
题型二：幂函数性质的综合应用 .............................................................................................................................12
题型三：由幂函数的单调性比较大小 .....................................................................................................................15
题型四：二次函数的解析式 .....................................................................................................................................18
题型五：二次函数的图象、单调性与最值 .............................................................................................................22
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 .................................................................................................24
题型七：二次方程实根的分布及条件 .....................................................................................................................27
题型八：二次函数最大值的最小值问题 .................................................................................................................29
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................34
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................35
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................38
易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论 .....................................................................................38
答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题 .....................................................................................................38
考点要求 考题统计 考情分析
从近五年全国卷的考查情况来看，本节
（1）幂函数的定义、图像与性质 2020 年天津卷第 3 题，5 分 内容很少单独命题，幂函数要求相对较
（2）二次函数的图象与性质 2020 年江苏卷第 7 题，5 分 低, 常与指数函数、对数函数综合，比较
幂值的大小，多以选择题、填空题出现.
复习目标：
（1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
（2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).
知识点 1：幂函数
1、幂函数的定义
一般地， y = xa (a R) ( a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称
为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
① xa 的系数为 1； ② xa 的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
函数 y = x y = x2 y = x3
1
y = x-1y = x 2
图象
定义域 R R R {x | x 0} {x | x 0}
值域 R {y | y 0} R {y | y 0} {y | y 0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
在 (- ，0) 上单调递 在 (- ，0) 和
在 R 上单 在 R 上单调递 在[0，+ ) 上单调
单调性 减，在 (0，+ ) 上单 (0，+ ) 上单调递
调递增 增 递增
调递增 减
公共点 (1，1)
【诊断自测】若幂函数 y = f x 的图象经过点 2, 2 ，则 f 16 ＝（　　）
A． 2 B．2 C．4 D
1
． 2
【答案】C
【解析】设幂函数 y = f x = xa ，因为 f x 1的图象经过点 2, 2 ，所以 2a = 2 ，解得a = ，2
1 1
所以 f x = x 2 ，所以 f 16 =162 = 4 .
故选：C
知识点 2：二次函数
1、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ；
（2）顶点式： f (x) = a(x - m)2 + n(a 0) ；其中， (m,n) 为抛物线顶点坐标， x = m 为对称轴方程.
（3）零点式： f (x) = a(x - x1)(x - x2 )(a 0)，其中， x1, x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标.
2、二次函数的图像
二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a b 0) 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 x = - ，顶点坐标为
2a
( b 4ac - b
2
- , ) .
2a 4a
（1）单调性与最值
b b
①当 a > 0时，如图所示，抛物线开口向上，函数在 (- ,- ]上递减，在[- ,+ )上递增，当
2a 2a
x b= - f (x) 4ac - b
2
时， = ；
2a min 4a
b b
②当 a < 0 时，如图所示，抛物线开口向下，函数在 (- ,- ]上递增，在[- ,+ )上递减，当
2a 2a
2
x b= - 4ac - b时， f (x)
2a max
=
4a
（2）与 x 轴相交的弦长
当D = b2 - 4ac > 0 时，二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) 的图像与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)和 M 2 (x2 ,0) ，
| M1M 2 |=| x1 - x2 |
D
= (x1 + x )
2
2 - 4x1x2 = .| a |
3、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a 0) ，当 a > 0时， f (x) 在区间[ p,q]上的最大值是 M ，最小值是m ，
p + q
令 x0 = ：2
b
（1）若 - p ，则m = f ( p), M = f (q) ；
2a
p b b（2）若 < - < x0 ，则m = f (- ), M = f (q) ；2a 2a
b
（3）若 x0 - < q ，则m = f (
b
- ), M = f ( p) ；
2a 2a
b
（4）若 - q ，则m = f (q), M = f ( p) .
2a
1 3 2 2
【诊断自测】下列四个图象中，有一个图象是函数 f x = x - ax + a - 4 x + 8 a 0 的导数的图象，则3
f -2 的值为（ ）
17 17 8 8
A． B．- C． D．-
3 3 3 3
【答案】D
【解析】函数 f (x)
1
= x3 - ax2 + (a2 - 4)x + 8，求导得 f (x) = x2 - 2ax + a2 - 4 = (x - a)2 - 4 ，
3
于是函数 y = f (x) 的图象是开口向上，对称轴为 x = a的抛物线，①②不满足，
又a 0，即函数 y = f (x) 的图象对称轴不是 y 轴，④不满足，因此符合条件的是③，
函数 y = f (x) 的图象过原点，且a > 0，显然 f (0) = 0 ，从而a = 2，
f (x) 1= x3 - 2x2 1 8+ 8，所以 f (-2) = (-2)3 - 2 (-2)2 + 8 = - .
3 3 3
故选：D
解题方法总结
1、幂函数 y = xa (a R) 在第一象限内图象的画法如下：
①当 a < 0 时，其图象可类似 y = x-1画出；
1
②当 0 < a < 1时，其图象可类似 y = x 2 画出；
③当 a > 1时，其图象可类似 y = x2 画出．
2、实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的实根符号与系数之间的关系
ì
D = b2 - 4ac > 0

1 x x b（ ）方程有两个不等正根 x1, x2 í 1 + 2 = - > 0
a
x x c= > 0
1 2 a
ì
D = b2 - 4ac > 0

b
（2）方程有两个不等负根 x1, x2 íx1 + x2 = - < 0
a

x
c
1x2 = > 0 a
c
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 x1, x2 x 1 x2 = < 0a
3、一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的根的分布问题
一般情况下需要从以下 4 个方面考虑：
b
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴 x = - 与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
2a
设 x 21, x2 为实系数方程 ax + bx + c = 0(a > 0)的两根，则一元二次 ax
2 + bx + c = 0(a > 0)的根的分布与其
限定条件如表所示.
根的分布 图像 限定条件
ìD > 0

m < x b1 < x

2 í- > m
2a
f (m) > 0
x1 < m < x2 f (m) < 0
ìD > 0
b
í- < m
x < x < m
2a
1 2 f (m) > 0
y
D < 0
O m n x
y
在区间 (m,n) 内 D = 0
x1 = x2 m
没有实根 或x1 = x2 m
O m n x
y
ìD > 0
b
í- < m
2a
f (m) 0
O m n x
y
ìD > 0
b
í- > n
2a
f (n) 0
O m

n x
y
ì f (m) 0
m n í f (n) 0
O x
y
ì f (m) > 0
í
f (n) < 0
O m
n
x
在区间 (m,n) 内
有且只有一个实根 y
ì f (m) < 0
í
f (n) > 0
m n
O x
y
ìD > 0

在区间 (m,n) 内 m
b
< - < n
í 2a
有两个不等实根 f (m) > 0
m n x f (n) > 0O
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区
间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对
对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③
轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数
值正负.
题型一：幂函数的定义及其图像
【典例 1-1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点 2,4 ，则函数的解析式为（ ）
A． y = 2x B． y = x2 C． y = log2x D． y = sinx
【答案】B
【解析】设幂函数的解析式为 y = xa ，由于函数过点 2,4 ，故 4 = 2a ，解得a = 2，该幂函数的解析式为
y = x2；
故选：B
p
【典例 1-2】已知幂函数 y p, q= x q （ p, q Z且 互质）的图象关于 y 轴对称，如图所示，则（ ）
p
A．p，q 均为奇数，且 > 0q
p
B．q 为偶数，p 为奇数，且 < 0q
p
C．q 为奇数，p 为偶数，且 > 0q
p
D．q 为奇数，p 为偶数，且 < 0q
【答案】D
p
【解析】因为函数 y = x q 的定义域为 (- ,0) U (0, + )，且在 (0, + )上单调递减，
p
所以 p
因为函数 y = x q 的图象关于 y 轴对称，
p
所以函数 y = x q 为偶函数，即 p 为偶数，
又 p、q 互质，所以 q 为奇数，
所以选项 D 正确，
故选：D.
【方法技巧】
a
确定幂函数 y = x 的定义域，当a 为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式
非负.当a 0时，底数是非零的.
m+1 2 2
【变式 1-1】已知函数 f x = m -1 x 为幂函数，则 f a - 2a + f 2a - a =（ ）
A．0 B． -1 C． a 2 D． a6 - a 4
【答案】A
【解析】由题意有m -1 =1，可得m = 2, f x = x3 ，其定义域为 R，
且 f -x = -x 3 = -x3 = - f x ，则函数 f x 为奇函数，
所以 f a2 - 2a + f 2a - a2 = 0 .
故选：A.
【变式 1-2】（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数 y = m2 - m -1 x3是幂函数，则实数 m 的值可能是
（ ）
A．m = -2 B．m = 2 C．m = -1 D．m =1
【答案】BC
【解析】 y = m2 - m -1 x3是幂函数，
则m2 - m -1 = 1，解得m = 2 或m = -1.
故选：BC.
3
【变式 1-3】给出幂函数：① f x = x；② f (x) = x2 ；③ f x = x ；④ f x = x ；⑤ f x 1= ．其中
x
f x + f x
满足条件 f
x1 + x2
÷ >
1 2 x2 > x1 > 0 的函数的个数是（　　）
è 2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
f x1 + x2
f x1 + f x2
【解析】由题，满足条件 2 ÷
> x2 > x1 > 0 表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函
è 2
数的图象特征可知只有④满足.
故选：A
题型二：幂函数性质的综合应用
2-1 f x = 2m -1 xn 2,8 ① f x = x-3【典例 】已知幂函数 的图象经过点 ，下面给出的四个结论： ；②
f x 为奇函数；③ f x 2在 R 上单调递增；④ f a +1 < f 1 ，其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③
【答案】B
【解析】对于①：由幂函数的定义可知 2m -1 =1，解得m =1，
将点 2,8 代入函数 f x = xn 得 2n = 8，解得n = 3，
f x = x3所以 ，故①错误；
对于②：因为定义域为 R，且 f -x = -x 3 = -x3 = - f x ，
所以 f x 为奇函数，故②正确；
对于③：由幂函数的图象可知， f x 在 R 上单调递增，故③正确；
对于④：因为 a2 +1 1 2，且 f x 在 R 上单调递增，所以 f a +1 ≥ f 1 ，故④错误，
综上可知，②③正确，①④错误.
故选：B.
1 2
【典例 2-2 a +a-2】已知幂函数 f x = a2 - 3 x 2 在 0, + 上单调递减，函数 h x = 3x + m ，对任意 x1 1,3 ，
总存在 x2 1,2 使得 f x1 = h x2 ，则m 的取值范围为 .
é 26ù
【答案】 -8, -
ê 9 ú
1 2
【解析】因为函数 f x = a2 - 3 a +a-2x 2 是幂函数，则 a2 - 3 =1，a = ±2，
Q f x 在 0, + 1 2上单调递减，则 a + a - 2 < 0，可得a = -2，
2
\ f 1x = x-2 1= é ù2 ，\ f x 在 1,3 上的值域为 ,1 ，x ê9 ú
h x 在 1,2 上的值域为 3+ m,9 + m ，
ì9 + m 1 ìm -8
é 26ù
根据题意有 í 1 í 26 ，\m的范围为 ê-8, - ú .

3 + m m - 9 9 9
é 8, 26故答案为： ê- -
ù
9 ú
.

【方法技巧】
紧扣幂函数 y = xa 的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意a 为奇数
a a
时， x 为奇函数，a 为偶数时， x 为偶函数.
ì 1 1 ü
【变式 2-1】已知a í-2, -1, - , ,1, 2,3 . a (0, + ) a = .
2 2
若幂函数 f (x) = x 为奇函数，且在 上递减，则

【答案】 -1
【解析】因为幂函数 f (x) = xa 在 (0, + ) 1上递减，所以a = -2, -1,- ，
2
又幂函数 f (x) = xa 为奇函数，可知a 为奇数，即a = -1.
故答案为： -1
【变式 2-2 f x = x - 2 3】已知函数 + 3x-2 - 32-x + 2x ln 3 - 4ln 3 +1，则满足 f x + f 8 - 3x > 2的 x 的取值
范围是 ．
【答案】 - , 2
3
【解析】由题意得 f x = x - 2 + 3x-2 - 32-x + 2 x - 2 ln 3+1，
3
设 g x = x + 3x - 3- x + 2x ln 3，则 f x = g x - 2 +1， g x 的定义域为 R，
且 g -x = -x3 + 3- x - 3x - 2x ln 3 = -g x ，所以 g x 为奇函数，
y = x3 , y = 3x , y = -3- x , y = 2x ln 3都是增函数，所以 g x 是增函数，
f x 的图象是由 g x 的图象先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到的，所以 f x 图象
的对称中心为 2,1 ，所以 f x + f 4 - x = 2．
易知 f x 在 R 上单调递增，因为 f x + f 8 - 3x > 2 = f x + f 4 - x ，
所以 f 8 - 3x > f 4 - x ，所以8 - 3x > 4 - x ，解得 x < 2，
故答案为： - , 2 ．
2
【变式 2-3】已知幂函数 f x = xm -2m-3（其中，m Z）为偶函数，且 f x 在 0, + 上单调递减，则m
的值为 .
【答案】1
【解析】因为函数幂函数 f x 在 0, + 上单调递减，
所以m2 - 2m - 3 < 0 ，解得 -1 < m < 3，
又m Z，所以m = 0或 1 或 2，
当m = 0或 2 时， f x = x-3 1= 3 定义域为 x x 0 ，x
且 f -x
1 1
= 3 = - 3 = - f x -x x ，此时函数 f x 为奇函数，不符合题意；
当m =1时， f x = x-4 1= x x 0
x4
定义域为 ，
且 f -x
1 1
= 4 = 4 = f x -x x ，此时函数 f x 为偶函数，符合题意；
综上所述，m =1.
故答案为：1.
1
【变式 2-4 2 2】已知函数 f x = x3 ，则关于 t 的表达式 f t - 2t + f 2t -1 < 0的解集为 .
1- ,1 【答案】 ÷
è 3
【解析】由题意可知， f x 的定义域为 - , + ，
1 1
所以 f -x = -x 3 = -x 3 = - f x ，
所以函数 f x 是奇函数，
1
由幂函数的性质知，函数 f x = x3 在函数 - , + 上单调递增，
由 f t 2 - 2t + f 2t 2 -1 < 0，得 f t 2 - 2t < - f 2t 2 -1 ，即 f t 2 - 2t < f 1- 2t 2 ，
所以 t 2 - 2t <1- 2t 2
1
，即3t 2 - 2t -1 < 0，解得- < t <1，
3
2
所以关于 t 的表达式 f t - 2t 1+ f 2t 2 -1 < 0 的解集为 - ,13 ÷ .è
1- ,1 故答案为： ÷ .
è 3
1 1
【变式 2-5】满足 - -(m +1) 3 < (3- 2m) 3 的实数 m 的取值范围是（ ）.
2 , 3 A
2
． ÷ B． - , ÷ 1,
3
è 3 2 ÷ è 3 è 2
2 , 2 3C． +

÷ D

3 ．
(- , -1) ,3 2 ÷è è
【答案】D
1
【解析】幂函数 -y = x 3 在 (0, + )为减函数，且函数值为正，
在 (- ,0)为减函数，且函数值为负，
1 1
- -
(m +1) 3 < (3- 2m) 3 等价于，
ì3 - 2m > 0 ìm +1< 0 ì3 - 2m > 0
ím 1 3 2m或 ím 1 3 2m或 + > - + > -
í
m +1< 0
，
2 m 3解得 < < 或m 或m < -1，
3 2
所以不等式的解集为 (- , -1)
2 , 3 ÷ .
è 3 2
故选：D.
题型三：由幂函数的单调性比较大小
1
【典例 3-1】（2024 2·天津红桥·二模）若 a = ( )3 ，b = log
2 1
-
1 5 ， c = 3 4 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）3 2
A． a > b > c B．b > c > a C．b > a > c D．a < b < c
【答案】C
b log 2 log 1
1 1 1 1 1 1
【解析】 = 1 > 1 =15 2 ， a = (
2)3 = [(2)4 ]12 16= ( )12 ( 3 )12 (1)4 c a (2> = = ，而 = )3 <1，
2 2 3 3 81 81 3 3
所以 a，b，c 的大小关系为b > a > c .
故选：C
2 3 2
5 5 5
【典例 3-2】设 a 3 2 2= ÷ , b = ÷ ，c = ÷ ，则 a,b,c 大小关系是 .
è 5 è 5 è 5
【答案】 a＞c＞b
2
【解析】因为 f x = x 5 在 0, + 单调增，
2 2
3 5 2 5所以 ÷ > ÷ ，即 a > c ，
è 5 è 5
g x 2
x
= 因为 ÷ 在 - , + 单调减，
è 5
3 2
2 5 2 5所以 < ，即 c > b,
è 5 ÷ è 5 ÷
综上， a＞c＞b .
故答案为： a＞c＞b .
【方法技巧】
在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较．
1 a 1
【变式 3-1】（2024·河北衡水·三模）已知 loga <1
1
，
4 4 ÷
<1， a 4 <1，则实数 a的取值范围为（ ）è
1 1
A． 0, ÷ B． 0,1 C

． 1,+ D． ,1
è 4 ÷ è 4
【答案】A
1 1
【解析】由 loga <1，得 a > 1或0 < a < ，4 4
1
a

由 ÷ <1，得a > 0，
è 4
1
由 a 4 <1，得 0 < a < 1，
1 1 a∴ log <1
1 1
当 a ，4 ÷
<1， a 4è 4 <1
同时成立时，取交集得0 < a < ，
4
故选：A.
【变式 3-2】已知 a = eπ ，b = πe ， c = ( 2)eπ ，则这三个数的大小关系为 ．（用“ <”连接）
【答案】 c < b < a
ln x 1- ln x
【解析】由 ln a = π， ln b = e ln π ，令 f (x) = 且 x [e, + ) ，则 f (x) = 2 0，x x
所以 f (x) 在 x [e, + )
ln e ln π
上递减，则 > π > e ln π，即 ln a > ln b，
e π
所以b < a ，
由b = πe ， c = [( 2)π ]e ，只需比较 π与 ( 2)π 的大小，
根据 y = ( 2)x 与 y = x ，相交于 (2, 2), (4, 4)两点，图象如下，
由2 < π < 4，结合图知 π > ( 2)π ，故b = πe > c = [( 2)π ]e ，
综上， c < b < a .
故答案为： c < b < a

【变式 3-3】已知幂函数 f x 1 2的图象过点 , ÷÷ , P x1, y1 ,Q x2 , y2 0 < x1 < x2 是函数图象上的任意不同
è 2 4
两点，则下列结论中正确的是（ ）
A． x1 f x1 > x2 f x2 B． x1 f x2 < x2 f x1
f x1 f x2 f x1 f x2 C． > D． <
x2 x1 x1 x2
【答案】D
a
【解析】设幂函数 f x = x ，
1 2 a 1 2 3
因为 f x 的图象经过点 , ÷÷，则 ÷ = ，解得a = ，
è 2 4 è 2 4 2
3
所以 f x = x 2 .
3
因为函数 f x = x 2 在定义域 0, + 内单调递增，
则当0 < x1 < x2 时，0 < f x1 < f x2 ，
f x
x f x < x f x 1 f x2 所以 1 1 2 2 ，且 < ，x2 x1
故选项A,C错误；
f x 1
又因为函数 = x 2 单调递增，
x
f x f x
则当0 < x < x 1 21 2 时， < ，且 x2 f x1 < x1 f x2 ，x1 x2
故选项 D 正确，选项B错误.
故选：D.
2
【变式 3-4 2 m +m-3】（2024·高三·河北邢台·期中）已知函数 f x = m - m -1 x 是幂函数，且在 0, + 上
单调递减，若 a,b R ，且 a < 0 < b, a < b ，则 f a + f b 的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．无法判断
【答案】B
【解析】由m2 - m -1 = 1得m = 2 或m = -1，
m = 2 时， f (x) = x3 在R 上是增函数，不合题意，
m = -1时， f (x) = x-3 ，在 (0, + )上是减函数，满足题意，
所以 f (x) = x-3 ，
a < 0 < b, a < b ，则b > -a > 0 ， f (-a) > f (b) ， f (x) = -x3是奇函数，因此 f (-a) = - f (a)，
所以- f (a) > f (b) ，即 f (a) + f (b) < 0，
故选：B.
题型四：二次函数的解析式
【典例 4-1】（2024·高三·海南海口·开学考试）已知二次函数 f x 的图象经过点 4,3 ，在 x 轴上截得
的线段长为 2，并且对任意 x R ，都有 f 2 - x = f 2 + x ，则 f x ＝ .
【答案】 x2 - 4x + 3
【解析】因为 f 2 - x = f 2 + x 对 x R 恒成立，
所以 y = f x 的图象关于 x = 2对称.
又 y = f x 的图象在 x 轴上截得的线段长为 2，
所以 f x = 0的两根为 2 -1 =1或 2 +1 = 3，
所以二次函数 f x 与 x 轴的两交点坐标为 1,0 和 3,0 ，
因此设 f x = a x -1 x - 3 .
又点 4,3 在 y = f x 的图象上，
所以3a = 3，则 a =1，故 f x = x -1 x - 3 = x2 - 4x + 3 .
故答案为： x2 - 4x + 3
【典例 4-2】写出同时满足下列条件①②③的一个函数 f (x) = ．
① f (x) 是二次函数；② xf (x +1)
f (x)
是奇函数；③ 在 (0, + )上是减函数．
x
【答案】-x2 + 2x
【解析】因为 f (x) 是二次函数，所以令 f (x) = -x2 + 2x， x 0 ，
令 g x = xf (x +1) = x é - x +1
2 + 2 x +1 ù = -x
3 + x，
g -x = - -x 3 - x = -g x ，故满足条件②；
2
令 h x f (x) -x + 2x= = = -x + 2在 (0, + )上是减函数，满足条件③，
x x
故答案为：-x2 + 2x
【方法技巧】
求二次函数解析式的三个技巧
(1)已知三个点的坐标，选择一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，选择顶点式．
(3)已知图象与 x 轴的两交点的坐标，选择零点式．
【变式 4-1】已知函数 f x = ax2 + bx + c （a 0）的图象关于 y 轴对称，且与直线 y = x 相切，写出满足上
述条件的一个函数 f x = ．
2 1
【答案】 x + （答案不唯一）
4
2
【解析】已知 f x = ax + bx + c a 0 ，
∵ f x 的图象关于 y 轴对称，
b
∴对称轴 x = - = 0 ，∴ b = 0，
2a
∴ f x = ax2 + c ，
ìy = ax2 + c
联立 í ，整理得 ax2 + c = x ，即 ax2 - x + c = 0 ，
y = x
∵ f x 的图象与直线 y = x 相切，
∴ D =1- 4ac
1
= 0，∴ ac = ，
4
1
当 a =1时， c = .
4
∴满足条件的二次函数可以为 f x 1= x2 + ．
4
2 1
故答案为： x + .
4
【变式 4-2】已知二次函数 f(x)满足 f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，二次函数的解析式
是 ．
【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【解析】法一　(利用“一般式”解题)
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
ì
4a + 2b + c = -1, ìa = -4,

由题意得 ía - b + c = -1,

解得 íb = 4,
4ac - b2 c = 7.= 8,
4a
∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二　(利用“顶点式”解题)
设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为 f（2）＝f(－1)，
x 2 + (-1) 1所以抛物线的对称轴为 = = m 1，所以 ＝ 2 .2 2
又根据题意，函数有最大值 8，所以 n＝8，
1
所以 y＝f(x)＝ a(x - )2 + 8 .
2
1
因为 f（2）＝－1 2，所以 a(2 - ) + 8 = -1，解得 a＝－4，
2
1
所以 f(x) 2＝-4(x - ) + 8＝－4x2＋4x＋7.
2
法三　(利用“零点式”解题)
由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1，
故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.
4a(-2a -1) - (-a)2
又函数有最大值 8，即 = 8 .
4a
解得 a＝－4 或 a＝0(舍).
故所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
故答案为：f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【变式 4-3】已知函数 f (x) = mx2 + (2 - m)x + n(m > 0)，当-1 x 1时，都有 f (x) 1恒成立，则
f 1 ÷ = .
è 3
7
【答案】-
9
【解析】因为当-1 x 1时，都有 f (x) 1恒成立，
ì f (0) 1 ì n 1
所以 í
f (1)
，即
1 í 2 + n 1
，

ì-1 n 1
所以 í 3 n ，解得n = -1， - -1
所以 f (0) = -1, f (1) =1，
由 f (x) 图象可知，要满足题意，则图象的对称轴为直线 x=0，
所以 2 - m = 0，解得 m=2，
所以 f (x) = 2x2 -1，
f 1 所以 ÷ =2
1 7
-1 = - .
è 3 9 9
7
故答案为：-
9
2
【变式 4-4】已知 f x 是二次函数， f -2 = 0，且 2x f x x + 4 ，则 f 10 = .
2
【答案】36
【解析】法一：
由 f -2 = 0，可设 f x = x + 2 ax + b = ax2 + 2a + b x + 2b ，
则由 f x ≥ 2x 2得 ax + 2a + b - 2 x + 2b 0，
所以 a 0且 (2a + b - 2)2 8ab，整理后即为 4a2 + b2 4ab + 8a + 4b - 4，
f x x
2 + 4
由 得 2a -1 x2 + 4a + 2b x + 4b - 4 0，
2
若2a -1 = 0则必有 4a + 2b = 0，此时与 (2a + b - 2)2 8ab矛盾，
所以 2a -1 0 2且 (4a + 2b) 4 2a -1 4b - 4 ，
整理后为 4a2 + b2 4ab -8a - 4b + 4，
与 4a2 + b2 4ab + 8a + 4b - 4相加即得 4a2 + b2 4ab，
即 (2a - b)2 0 ，所以2a = b，
所以 f x = x + 2 ax + 2a = a(x + 2)2 ，
又由于在原不等式中令 x = 2可得 4 f 2 4，所以 f 2 = 4 1，由此解得 a = .
4
1 2
所以 f x = (x + 2) , f 10 = 36 .
4
法二：
2x f x x
2 + 4
0 f x - 2x 1 (x - 2)2 ，
2 2
令 g x = f x - 2x，则 g -2 = 4, g 2 = 0 ，设 g x = a x - 2 x - m a 0 .
若m 2，则
'
é1
ê x - 2
2 - g x ùú = -g 2 = a m - 2 0 ， 2
x=2
于是 a m - 2 > 0时，存在 x0 < 2
1 2
使得 x0 - 2 - g x0 < 0，矛盾；2
a m - 2 < 0 1 2时，存在 x0 > 2使得 x0 - 2 - g x2 0 < 0，矛盾；
故m = 2 ，令 x = -2，则16a = g -2 = 4 a 1= .
4
f x g x 2x 1 (x 2)2 2x 1于是 = + = - + = (x + 2)2 ，进而 f 10 = 36 .
4 4
故答案为：36.
题型五：二次函数的图象、单调性与最值
【典例 5-1】已知 f (x) =1- (x - a)(x - b)，并且 m、n 是方程 f (x) = 0 的两根，则实数 a、b、m、n 的大小关
系可能是（ ）
A．m < a < b < n B． a < m < n < b
C． a < m < b < n D．m < a < n < b
【答案】A
【解析】设 g(x) = -(x - a)(x - b)，又 f (x) =1- (x - a)(x - b)，
分别画出这两个函数的图象，
其中 f (x) 的图象可看成是由 g(x)的图象向上平移 1 个单位得到，如图，
由图可知：m < a < b < n．
故选：A．
【典例 5-2】（2024·高三·江苏苏州·期中）满足{x m x n} = {y y = x2 , m x n}的实数对m ， n构成
的点 (m, n)共有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个
【答案】C
【解析】由{x m x n} = {y y = x2 ,m x n}，又 y = x2 0 ，
则m 0 ，所以 y = x2在[m, n]单调递增，
故值域为[ f (m), f (n)]，
即m, n 是 x2 = x 的两根，解得 x1 = 0, x2 =1，
当m = n = 0 时，点 (m, n)为 (0,0)，
当m = n =1时，点 (m, n)为 (1,1) ，
当m = 0, n =1时，点 (m, n)为( 0, 1) .
故选：C
【方法技巧】
解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.
f (x) = x2 - (m - 2)x 1+1 é- , 1 ù【变式 5-1】（2024·全国·模拟预测）若函数 在 ê ú上单调，则实数m 的取值 2 2
范围为（ ）
é1A ,1ù U é
9 ù é1
． ê ú ê3, ú B． ê , 2
ù U é 9 ù
2 2 2 ú ê
3,
2 ú
é 1 ù é 9 ù é 1C． ê- ,1ú U ê3, ú D． ê- , 2
ù é 9 ù
2 2 2 ú
U 3,
ê 2 ú
【答案】C
2
【解析】令 g x = x - m - 2 x +1，
ìm - 2 1
,
ì m - 2 1 ìm - 2 1 m - 2 1
, - ,
ì - ,
2 2 2 2 2 2 2 2
则 í 1 或 í 或 或 g 0 g 1
í 1 í- 0 g 1- 0 g 0,
÷ è 2 è 2
÷
÷ ÷ è 2 è 2
9 1
解得3 m 或- ≤m≤12 ，2
即实数 m 得取值范围为[
1
- ,1]U [3, 9]
2 2 .
故选：C．
【变式 5-2】（2024·高三·山东济宁·期中）函数 f (x) = 2x2 - x - 3 的单调递增区间为（ ）
A ． - ,
1 ù
ú B． (- , -1)
é3C． ê ,
1
+ é
4 2 ÷
D． ,+
è ê 4 ÷
【答案】C
【解析】由题意，令 t = 2x2 - x - 3 = 2x - 3 x +1 0，即 x -1 x 3或 ，
2
é3
根据二次函数性质知： t = 2x2 - x - 3在 (- ,-1]上递减，在 ê ,+ ÷ 上递增 2
3
又 y = t 在定义域上递增，故 f x = 2x2 é - x - 3 的单调递增区间为 ê ,+ ÷ . 2
故选：C
2
【变式 5-3】（2024·广东珠海·模拟预测）已知函数 f x = x + mx - 2x +1在区间 2, + 上是增函数，则
实数m 的取值范围是 .
【答案】 -2, +
2 m - 2
【解析】二次函数 f x = x + m - 2 x +1的图象开口向上，对称轴为直线 x = - ，
2
因为函数 f x 在区间 2, + m - 2上是增函数，则- 2，解得m -2 .
2
因此，实数m 的取值范围是 -2, + .
故答案为： -2, + .
ì-2x
2 + 4x, x > 0
【变式 5-4】若函数 f x = í a -1,3- 2a2 在区间 上有最大值，则实数 a 的取值范围是 .
2x , x 0
【答案】[0,1)
【解析】令 g x = -2x2 + 4x， x > 0，
所以 g(x)在( 0, 1)上单调递增，在 (1, + )上单调递减，
又 f (1) = 2 = f (-1)，作出函数 f (x) 的大致图象，
ì-2x
2 + 4x, x > 0
由于函数 f x = í 2 在区间 a -1,3- 2a 上有最大值，
2x , x 0
ì3- 2a >1
结合图象，由题意可得 í ，解得0 a <1，
-1 a -1 <1
所以实数 a 的取值范围是[0,1)，
故答案为：[0,1)
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
【典例 6-1】已知函数 f (x) = x2 - 2ax(a > 0)．
(1)当 a = 3时，解关于 x 的不等式-5 < f (x) < 7 ；
(2)函数 y = f (x) 在[t, t + 2]上的最大值为 0，最小值是-4，求实数 a 和 t 的值．
【解析】（1）当 a = 3时，不等式-5 < f (x) < 7 ，
即为-5 < x2 - 6x < 7 ，
ìx2 - 6x < 7 ì-1 < x < 7
即 í ，所以 í ，
-5 < x
2 - 6x x <1,或x > 5
所以-1 < x <1或5 < x < 7，
所以原不等式的解集为 (-1,1) (5,7)．
（2） f (0) = f (2a) = 0 ，
由题意 t = 0或 t + 2 = 2a ，这时-a2 -4 解得a 2，
若 t = 0，则 t + 2 a，所以 f t + 2 = f 2 = -4 a = 2；
若 t + 2 = 2a ，即 t = 2a - 2 a ，
所以 f t = -4 = f 2a - 2 ，则a = 2，
综上， t = 0, a = 2或 t = 2,a = 2 ．
【典例 6-2】已知函数 y = x2 + 2ax +1在-1 x 2上的最大值为 4，求 a的值．
【解析】函数 y = x2 + 2ax +1 = x + a 2 +1- a2 的图象为对称轴为 x = -a，开口向上的抛物线，
a 1 1当- 时，即 a - 时，此时 x = 2离对称轴更远，
2 2
所以当 x = 2时有最大值，最大值为 4a + 5，
由已知 4a + 5 = 4 a
1
，故 = - ，
4
1
当-a > 时，即 a
1
< - 时，此时 x=- 1离对称轴更远，
2 2
所以当 x=- 1时有最大值，最大值为2- 2a，
由已知 2 - 2a = 4，故a = -1，
a 1所以 = - 或a = -1.
4
【方法技巧】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的
函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果得到最终答案.
【变式 6-1】已知函数 f x = x2 + ax ，其中 a是实数．
(1) f x 在区间 -1,2 上的最大值记为M a ，求M a 的表达式；
(2) f x 在区间 -1,2 上的最小值记为m a ，求m a 的表达式；
(3)若M a - m a = 3，求实数 a的值．
2 a
【解析】（1） f x = x2 + ax = (x a+ )2 a- ，对称轴为 x = - ，
2 4 2
a 1
当- ，即a -1时，M a = f (2) = 4 + 2a ，
2 2
a 1
当- > ，即 a < -1时，M a = f (-1) =1- a ，
2 2
综上，M a ì
4 + 2a, a -1
= í .
1- a, a < -1
a
（2）当- -1，即a 2时，函数 f x 在区间 -1,2 上单调递增，m a = f (-1) =1- a ，
2
a
当- 2，即 a -4时，函数 f x 在区间 -1,2 上单调递减，m a = f (2) = 4 + 2a ，
2
2
当-1
a
< - < 2 a a，即-4 < a < 2时，m a = f (- ) = - ，2 2 4
ì4 + 2a, a -4

m a a
2
综上， = í- ,-4 < a < 2 .
4
1- a, a 2
（3）当 a -4时，M a =1- a ，m a = 4 + 2a ，
由M a - m a = 3，得1- a - 4 + 2a = 3，解得a = -2（舍）；
2
当-4 < a < -1时，M a =1- a ，m a a= - ，
4
2
由M a - m a = 3 a，得1- a + = 3，即 a2 - 4a -8 = 0，
4
解得 a = 2 - 2 3 或 a = 2 + 2 3（舍）；
2
当-1 a < 2时，M a = 4 + 2a，m a a= - ，
4
2
由M a - m a = 3，得 4 + 2a a+ = 3，即 a2 + 8a + 4 = 0，
4
解得 a = -4 - 2 3 （舍）或 a = -4 + 2 3 ；
当a 2时，M a = 4 + 2a，m a =1- a，
由M a - m a = 3，得 4 + 2a - 1- a = 3，解得 a = 0（舍），
综上， a = 2 - 2 3 或-4 + 2 3 .
题型七：二次方程实根的分布及条件
7-1 x x2【典例 】若关于 的一元二次方程 + 3a -1 x + a + 8 = 0有两个不相等的实根 x1, x2 ，且 x1 <1, x2 >1．则
实数 a 的取值范围为 ．
【答案】 a < -2
【解析】令函数 f (x) = x2 + (3a -1)x + a + 8，依题意， f (x) = 0 的两个不等实根 x1, x2 满足 x1 <1, x2 >1，
而函数 f x 图象开口向上，因此 f (1) < 0，则12 + (3a -1) 1+ a + 8 < 0，解得 a < -2，
所以实数 a 的取值范围为 a < -2 .
故答案为： a < -2
2
【典例 7-2】方程mx - m -1 x +1 = 0在区间 0,1 内有两个不同的根，则m的取值范围为 ．
【答案】m > 3+ 2 2
2
【解析】令 f x = mx - m -1 x +1，图象恒过点 0,1 ，
Q mx2方程 - m -1 x +1 = 0 在区间 0,1 内有两个不同的根，
ìm > 0
m -1 ìm > 0 0 < <1
\

í 2m ím >1 ，解得m > 3 + 2 2 .
f 1 > 0
m -1
2 - 4m > 0
Δ > 0
故答案为：m > 3+ 2 2
【方法技巧】
2结合二次函数 f (x) = ax + bx + c 的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，
从而解不等式求参数的范围.
【变式 7-1】（2024 2·四川雅安·模拟预测）已知关于 x 的方程 x + bx + c = 0 b,c R 在 -1,1 上有实数根，
且满足0 3b + c 3，则b的取值范围是 ．
【答案】 0,2
2
【解析】问题等价于 g x = bx + c, h x = -x 在 -1,1 上有公共点．
Q g 3 = 3b + c 0,3 ，
设C(3,0), D(3,3)， g(3) = 3b + c，点 (3, g(3)) 在线段CD 上，
\ y = g x 的图象是过线段CD 和抛物线 AB 弧上各一点的直线 ( 如图 )，其中
A -1, -1 , B 1, -1 ,C 3,0 , D 3,3 ．
\bmax = kBD = 2;bmin = kCO = 0 b 0,2 .
故答案为：[0,2]．
【变式 7-2】关于 x 的方程 x2 + (m - 3)x + m = 0 满足下列条件，求m 的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于1，一个根小于1；
(3)一个根在 (-2,0) 内，另一个根在 (0, 4) 内；
(4)一个根小于 2，一个根大于4；
(5)两个根都在 (0,2)内．
【解析】（1）令 f (x) = x2 + (m - 3)x + m，设 f (x) = 0 的两个根为 x1, x2 .
ìx1 + x2 = 3 - m > 0
由题得 íx1x2 = m > 0 ，解得0 < m 1.
2
Δ = 3- m - 4m 0
（2）若方程 x2 + (m - 3)x + m = 0 的一个根大于1，一个根小于1，则 f (1) = 2m - 2 < 0，解得m <1
ì f (-2) =10 - m > 0
（3）若方程 x2 + (m - 3)x + m = 0 一个根在 (-2,0) 内，另一个根在 (0, 4)

内，则 í f (0) = m < 0 ，解得

f (4) = 5m + 4 > 0
4
- < m < 0
5
（4）若方程 x2 + (m - 3)x + m = 0 的一个根小于 2，一个根大于4，
ì f (2) = 3m - 2 < 0
则 í ，解得m
4
< -
f (4) = 5m + 4 < 0 5
ì f 2 = 3m - 2 > 0

f 0 = m > 0
2 2（5）若方程 x + (m - 3)x + m = 0 的两个根都在 (0,2)内，则 í0 m - 3< - < 2 ，解得 < m 1 2 3

Δ = 3- m
2 - 4m 0
题型八：二次函数最大值的最小值问题
2
【典例 8-1】已知函数 f (x) = x + ax + b 在区间[0, 4]上的最大值为 M，当实数 a，b 变化时，M 最小值
为 ．
【答案】2
2
【解析】 f (x) = x - 4x + (a + 4)x + b = x2 - 4x -[-(a + 4)x - b] ，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数 g(x) = x2 - 4x， x [0 , 4]与函数 h(x) = -(a + 4)x - b， x [0 , 4]图
象上点的纵向距离，
则M 即为函数 g(x) = x2 - 4x与函数 h(x) = -(a + 4)x - b图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
作出函数 g(x),h(x)图象，如图，
由图象可知，当函数 h(x) 的图象刚好为 y=- 2 时此时 a = -4,b = 2，M 取得最小值为 2.
故答案为：2
【典例 8-2】已知函数 f x = x - ax - b ,a,b R，若对任意的 x0 0,4 ，使得 f x0 M ，求实数M 的
取值范围是 ．
1 ù
【答案】 - ,
è 4 ú
【解析】令 x = t, x = t 2 ，则 f x = g t = -at 2 + t - b , t 0,2 ，
ìg 0 M ì b M

取三点控制得 íg 1 M ，进而 í -a +1- b M ，
g 2 M -4a + 2 - b M
ì 3b 3M

化简得 í -4a + 4 - 4b 4M ，可得8M 3b + -4a + 4 - 4b + -4a + 2 - b ，

-4a + 2 - b M
即8M 3b + -4a + 4 - 4b - -4a + 2 - b = 2 1，解得M ．
4
1
故答案为： - ,
ù
è 4 ú
【方法技巧】
解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制.
【变式 8-1 2】二次函数 f x 为偶函数， f 1 =1，且 f x ≤3x + 2x恒成立．
(1)求 f x 的解析式；
(2) a R ，记函数 h x = f x - 2ax +1 在 0,1 上的最大值为T a ，求T a 的最小值．
2
【解析】（1）依题设 f x = ax + c ，
由 f 1 =1，得 a + c =1，
f x ≤3x2 + 2x 3- a x2，得 + 2x + a -1≥0恒成立，
ì3- a > 0
∴ í ，
Δ = 4 - 4(a -1)(3 - a) 0
2
得 a - 2 0 ，
所以a = 2，又 a + c =1，
所以c = -1，
∴ f x = 2x2 -1；
（2 2）由题意可得： h x = 2x - 2ax ， x 0,1 ，
若a 0，则 h x = 2x2 - 2ax ，则 h x 在[0,1]上单调递增，
所以T a = h 1 = 2 - 2a ；
若a > 0 a，当 1，即a 2时， h x 在[0,1]上单调递增，T a = h 1 = 2a - 2
2
a
<1 a a
2
当 ，只须比较 h ÷ = 与 h 1 = 2 - 2a的大小，2 è 2 2
a2 2
由 - 2 a- 2a > 0 ，得： 2 2 - 2 < a <1，此时T a = ，
2 2
a2
0 < a 2 2 - 2时， ≤ 2 - 2a ，此时T a = 2 - 2a，
2
ì2a - 2, a 2
2
综上，T a a= í , 2 2 - 2 < a < 2，
2
2 - 2a, a < 2 2 - 2
a 2时，T a ≥ 2，
2 2 - 2 < a < 2时，6 - 4 2 < T a < 2，
a 2 2 - 2时，6 - 4 2 ≤T a ，
综上可知：T a 的最小值为6 - 4 2 ．
【变式 8-2】已知函数 f (x) = (x - 2) | x + a | (a R)，
(1)当a = -1时，①求函数 f (x) 单调递增区间；②求函数 f (x) é在区间 ê-4,
7 ù
的值域；
4ú
(2)当 x [-3,3]时，记函数 f (x) 的最大值为 g (a) ，求 g (a) 的最小值．
【解析】（1）当a = -1时，函数 f (x) = (x - 2) | x -1|，
当 x >1时，函数 f (x) = (x - 2)(x -1) = x2 - 3x + 2 ，
é3
此时，函数 f (x) 在 ê ,+

2 ÷上单调递增，
当 x 1时，函数 f (x) = (x - 2)(1- x) = -x2 + 3x - 2，
此时，函数 f (x) 在 - ,1 上单调递增，
所以函数 f (x)
é3
单调递增区间为 - ,1 和 ê ,+ ÷； 2
因为函数 f (x) - ,1 é3单调递增区间为 和 ê ,+

2 ÷，
3 é3 7 ù
所以函数 f (x) 在区间 -4,1 上单调递增，在区间 1, 2 ÷上单调递减，在区间 ê , ú 上单调递增，è 2 4
ì
所以 f (x)min = min í f (-4), f (
3)ü ， f (x)max = max
ì
í f (1), f (
7)ü
2 4
，

因为 f (-4) = (-4 - 2)(1+ 4) = -30， f (
3) = (3 2)(3 1) 1- - = - ，
2 2 2 4
f (1) = (1- 2)(1-1) = 0 f (7) (7 2)(7 1) 3， = - - = - ，
4 4 4 16
所以函数 f (x)
é 7
在区间 ê-4,
ù
ú的值域为 -30,0 4 ；
ì 2
x - 2 x + a = x + a - 2 x - 2a, x -a（2）由已知可得， f x = í
- x - 2 x + a = -x2 + 2
，
- a x + 2a, x < -a
2 - a 5
当-a 3时，即 a -3时， f (x) = -x2 + (2 - a)x + 2a，对称轴为 x = ，
2 2
2 - a
当 3时，即 a -4时，函数 f (x) 在区间[-3,3]上单调递增，
2
所以 g(a) = f (3) = -a - 3，
5 2 - a
当 < 3时，即-4 < a -3时，
2 2
函数 f (x)
é
在区间 ê-3,
2 - a 2 - a ù
÷上单调递增，在区间2
,3
2 ú 上单调递减， è
g(a) f (2 - a a
2 + 4a + 4
所以 = ) = ，
2 4
当-a 2时，即 a -2时，若 x [-3,2]， f (x) 0，若 x [2,3]， f (x) > 0 ，
x 2,3 2 x 2 - a因为当 时， f (x) = x + (a - 2)x - 2a，对称轴为 = 2，
2
所以函数 f (x) 在区间 2,3 上单调递增，所以 g(a) = f (3) = a + 3，
当2 < -a 2 - a 5< 3，即-3< a < -2时，此时 2 < < ，
2 2
é 2 - af (x) 2 - a 函数 在区间 ê-3, ÷上单调递增，在区间 ,-a ÷上单调递减，在区间 -a,3 2 上单调递增， 2 è
ì 2 ü
所以 g x max ì f 3 , f 2 - a= ü a + 4a + 4í ÷ = max ía + 3,2 è 4
2
若 a + 3 a + 4a + 4 ，即-2 2 a < -2时， g(a) = a + 3，
4
2
a 3 a + 4a + 4
2
若 + < ，即-3 a < -2 2 时， g(a)
a + 4a + 4
= ，
4 4
ìa + 3, a -2 2
2
综上所述， g(a)
a + 4a + 4= í , -4 < a < -2 2 ，
4
-a - 3,a -4

函数 g(a) = -a - 3在区间 - , -4 上单调递减，
a2 + 4a + 4
函数 g(a) = 在区间 -4, -2 2 上单调递减，
4
函数 g(a) = a + 3在区间 é -2 2, + 上单调递增，
所以 g(a)min = g(-2 2) = -2 2 + 3 = 3 - 2 2 .
2
【变式 8-3】（2024·高三·江苏南通·开学考试）记函数 f x = x - ax 在区间 0,1 上的最大值为 g a ，
则 g a 的最小值为（ ）
1
A．3 - 2 2 B． 2 -1 C． D．14
【答案】A
【解析】以下只分析函数 f x = x2 - ax 在 x 0,1 上的图象及性质，分类讨论如下：
①当 a 0时，函数 f x = x2 - ax =x2 - ax在区间 0,1 上单调递增，
即 g a = f 1 =1- a ，此时 g a 单调递减， g a = g 0min =1；
2 ìx
2 - ax, a < x 1
②当0 < a 1时， f x = x - ax = í ，
ax - x
2 ,0 x < a
g a = max ì f 1 , f a ü ì
2 ü
所以 í ÷ = max í1- a,
a
，
è 2

4
a2
易知当 0 < a 2 2 - 2时，1- a g a =1- a ，
4
a2 2
当 2 2 - 2 < a 1，1- a < g a a= ，
4 4
22 2 - 2此时 g a = g 2 2 - 2 = =1- 2 2 - 2 = 3- 2 2 ；min 4
③ 2当 a > 1时， f x = x - ax =ax - x2 ，
2
ì a ü ì a ü即 g a = max í f 1 , f ÷ = max ía -1, ，
è 2 4
2 2
易知当1< a 2 a时， a -1 g a a= ，
4 4
2
当 2 < a ， a -1 a> g a = a -1，
4
此时 g a 1= g 1 =min ；4
1 1而 > > 3- 2 2 ，综上可知 g a 的最小值为
4 3- 2 2
.
故选：A
1．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 f x = 2x x-a 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是
（ ）
A． - , -2 B． -2,0
C． 0,2 D． 2, +
【答案】D
【解析】函数 y = 2x R x x-a 在 上单调递增，而函数 f x = 2 在区间 0,1 上单调递减，
a a2 a
则有函数 y = x(x - a) = (x - )2 - 在区间 0,1 上单调递减，因此 1，解得 a 2，
2 4 2
所以 a的取值范围是 2, + .
故选：D
2．（2023 年天津高考数学真题）设a = 1.010.5,b = 1.010.6 ,c = 0.60.5，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． c < a < b
【答案】D
【解析】由 y =1.01x在 R 上递增，则 a =1.010.5 < b =1.010.6，
由 y = x0.5 在[0, + ) 上递增，则 a =1.010.5 > c = 0.60.5 .
所以b > a > c .
故选：D
1
3．（2011 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数 y = x3 的图象是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数图象上的特殊点（1，1），故排除 A，D；
1 1
由特殊点（8，2）， ( , ) ，可排除 C．
8 2
故选 B．
1．画出函数 y = | x | 的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.
ì x , x 0
【解析】Q y = x = í
-x , x < 0
\ y = x 的图象如图所示，
设 f (x) = y = | x |, f (x) 的定义域为 R.
Q f (-x) = | -x | = | x | = f (x) ，
\ y = f (x) = | x |为偶函数.
当 x [0, + )时， y = | x | 为增函数，证明如下：
x - x
设任意的 x1, x2 [0, + )
1 2
，且 x y - y = x - x = x - x =1 < x2，则 1 2 1 2 1 2 x + x .1 2
Q x1, x2 [0, + )，且 x1 x2 ,\ x1 0, x2 0， x1 + x2 > 0, x1 - x2 < 0, \ y1 - y2 < 0即 y1 < y2 .
\ y = | x |在[0, + ) 上为增函数.
当 x (- ,0]时， y = | x | 为减函数，证明如下：
x - x
设任意的 x , x (- ,0]，且 x < x ，则 y1 - y2 = x1 - x2 = -x - -x = 2 11 2 1 2 1 2 -x1 + -x
.
2
Q x1, x2 (- ,0]，且 x1 < x2 ,\ -x1 + -x2 > 0， x2 - x1 > 0.\ y1 - y2 > 0即 y1 > y2 .
\ y = | x |在 (- ,0]上是减函数.
2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率 v，（单位： cm3 / s）与管道
半径 r（单位：cm）的四次方成正比.
（1）写出气体流量速率 v，关于管道半径 r 的函数解析式；
（2）若气体在半径为 3cm 的管道中，流量速率为 400cm3 / s ，求该气体通过半径为 r 的管道时，其流量速
率 v 的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为 5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm3 / s）.
【解析】（1）设比例系数为 k ，气体的流量速率 v关于管道半径 r 的函数解析式为 v = kr 4 .
（2）将 r = 3与 v = 400代入 v = kr 4
400
中，有 400 = k 34 .解得 k = ，
81
400 4
所以，气体通过半径为 r 的管道时，其流量速率 v 的表达式为 v = r .
81
r = 5 v 400 250000（3）当 时， = 54 = 3086cm3 / s .所以，当气体 81 通过的管道半径为 5cm 时，该气体
81 81
的流量速率约为3086cm3 / s .
3．试用描点法画出函数 f (x) = x-2 的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.
【解析】 f (x)
1
= 2 . x
列表：
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
f (x) 1 1 1 1… 1 1 …
9 4 4 9
描点，连线.图象如图所示.
定义域：{x | x 0}，值域：{y | y > 0} . f (x) = x-2 在 (- ,0)上是增函数，在 (0, + )上是减函数.
1 1 x2 - x2 x + x x - x
证明如下：设任意的 x1, x2 (- ,0) ，且 x1 < x2 .则 f x1 - f x = - = 2 1 = 2 1 2 12 .x2 2 2 2 2 21 x2 x1 x2 x1 x2
Q x < x < 0,\ x + x < 0, x2x21 2 1 2 1 2 > 0, x2 - x1 > 0 .
\ f x - f x < 0 ，即 f x < f x ，\ f (x) = x-21 2 1 2 在 (- ,0)上是增函数.
1 1 x2 + x1 x2 - x1
设任意的 x1, x2 (0, + )，且 x1 < x2，则 f x1 - f x2 = x2 - x2 = 2 2 .1 2 x1 x2
Q0 < x1 < x2 ，
\ x2 + x1 > 0, x
2x21 2 > 0, x2 - x1 > 0
\ f x1 - f x2 > 0，即 f x1 > f x2 .
\ f (x) = x-2在 (0, + )上是减函数.
Q f (-x) = (-x)-2 = x-2 = f (x)
\ f (x) = x-2是偶函数.
4．证明：
f x + f x
（1）若 f (x) = ax + b ，则 f
x1 + x2 1 2
2 ÷
= .
è 2
2 x1 + x2 g x1 + g x （2）若 g(x) = x + ax + b 2，则 g ÷ .
è 2 2
f x1 + x2 a x1 + x2 ax + b ax + b
f x
1 = + b = 1 + 2 = 1
+ f x2
【解析】（ ） ÷ ÷ .
è 2 è 2 2 2 2
g x1 + x 1（2） 2 ÷ = x21 + x22 + 2x x a x1 + x+ 2 1 2 ÷ + b,
è 2 4 è 2
g x1 + g x2 1= é x2
1 x + x
1 + ax1 + b + x22 + ax2 + b ù 2 = x1 + x22 + a
1 2
÷ + b .2 2 2 è 2
1 x2 + x2 + 2x x 1- x2 + x2 1= - x - x 2因为 4 1 2 1 2 1 2 0，2 4 1 2
1
即 x2 + x2 1+ 2xx2 x2 21 + x2 ，4 2
1
则 x2 + x2 + 2x x x+ a 1 + x2 b 1 x2 x + x1 2 1 2 ÷ + + x2 + a 1 2 + b .4 è 2 2 1 2 ÷è 2
所以 g
x1 + x2 g x1 + g x 2 .
è 2 ÷ 2
易错点：解二次型函数问题时忽视对二次项系数的讨论
2
易错分析：在二次函数 y = ax + bx + c中，当 a 0 时为二次函数，其图象为抛物线；当 a = 0,b 0
2
时为一次函数，其图象为直线．在解決此类问题时，应注意 x 项的系数是否为 0，若不能确定，应该分类
讨论．
【易错题 1】对于任意实数 x，不等式 (a - 2)x2 - 2(a - 2)x - 4 < 0 恒成立，则实数 a 取值范围（ ）
A． (- , 2) B． (- , 2] C． (-2, 2) D． (-2, 2]
【答案】D
【解析】
当 a - 2 = 0，即 a = 2时， -4 < 0，恒成立；
ìa - 2 < 0
a - 2 0时， í ，解得 -2 < a < 2，
4(a - 2)
2 +16(a - 2) < 0
\-2 < a 2
故选 D.
【易错题 2】已知 x2 + x + 5 ax2 + 2ax + c 2x2 + 5x + 9对任意 x R 恒成立，则 a + c = __________．
17
【答案】
2
【解析】
令 x2 + x + 5 = 2x2 + 5x + 9，解得 x = -2 ，故 7 4a - 4a + c 7，即 c = 7，所以 x2 + x + 5 ax2 + 2ax + 7 ，所
ìa -1 > 0, ìa > 1,
以 a -1 x2 + 2a -1 x + 2…0对任意 x R 恒成立，所以 í 2 即 í 解得
D = 2a -1 - 8 a -1 0, 2a - 3
2 0,
a 3= ，
2
2 3 17同理 ax + 2ax + c 2x2 + 5x + 9 对任意 x R 恒成立可得 a 的取值范围，综上得 a = ， a + c = .
2 2
答题模板：含参二次函数在区间上的最值问题
1、模板解决思路
解决含参二次函数在区间上的最值问题常用的方法是数形结合与分类讨论.
2、模板解决步骤
第一步：通过观察二次函数的特征，分析二次函数参数的位置；
第二步：通过讨论含参二次函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论；
第三步：根据含参二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据二次函数的单调性求
出其最值；
第四步：得出结论．
【典例 1】已知二次函数 f x 同时满足以下条件：① f 2 + x = f 2 - x ，② f 0 =1，③ f 2 = -3．
(1)求函数 f x 的解析式；
(2)若 h x = f x + m + 4 x， x -1,2 ，求 h x 的最小值j m ．
【解析】（1）由 f 2 + x = f 2 - x 得，对称轴为 x = 2，
设 f x = a x - 2 2 + b，
ì f 0 = 4a + b =1 ìa =1
∴ í
f 2 b
，得 ，
= = -3 í b = -3
∴ f x = x - 2 2 - 3 = x2 - 4x +1．
（2） h x = f x + m + 4 x = x2 + mx +1， x -1,2 m，对称轴 x = - ，
2
m
ⅰ当- -1即m 2时， h x 在 -1,2 单调递增，
2
h x = h -1min = 2 - m，
m
ⅱ -1
m
< - < 2 4 é ù é
m ù
即- < m < 2时， h x 在 ê-1, - ú 单调递减，在2 2 ê
- , 2 单调递增，
2 ú
2
∴ h x = h m -
=1 m-
min ，è 2 ÷ 4
m
ⅲ当- 2即m -4时， h x 在 -1,2 单调递减，
2
h x = h 2min = 5 + 2m，
ì5 + 2m, m -4,
2
综上： h x = j m = 1 m- , -4 < m < 2,min í
4
2 - m, m 2.
【典例 2】已知二次函数 f (x) = ax2 + bx + c ，满足条件 f (0) = 0和 f (x - 2) - f (x) = -4x .
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）若 A = [m, m +1](m R)，求函数 f (x) 在 A 上的最小值.
【解析】解:（1）∵ （f 0）= 0， ∴ c = 0
∴ f (x - 2) - f (x) = -4x
∴ a(x-2)2 +b(x-2)-ax2 -bx=-4x
ì -4a = -4
∴ -4ax + 4a - 2b = -4x ， ∴ í4a 2b 0，解得： a =1，b = 2 ， - =
∴ f (x) = x2 + 2x
（2） f (x) 的对称轴是 x=- 1，
当m -1 2， fmin(x) = f (m) = m +2m
当m < -1< m +1即-2 < m < -1时， fmin(x) = f (-1) =-1
当m +1 -1即m -2时， fmin(x) = f (m+1) = m
2 +4m+3
ì m2 + 2m, m -1
∴ fmin (x)

í -1, -2 < m < -1
m2 + 4m + 3, m -2
【典例 3】已知函数 f (x) = x2 - 2x + a +1．当 x [t, t + 2]时，求函数 f (x) 最大值的表达式 H (t) ；
【解析】 f (x) = (x -1)2 + a ， x [t, t + 2]
①当 1- t t + 2 -1 即 t 0时， fmax (x) = f (t) = (t -1)
2 + a ，
②当 1- t < t + 2 -1 即 t > 0 2时， fmax (x) = f (t + 2) = (t +1) + a ，
ì(t -1)2 + a, t 0
\H (t) = í
(t +1)
2 + a, t > 0

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