资源简介

第 03 讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：直线和平面平行.................................................................................................................4
知识点 2：两个平面平行.....................................................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................7
题型一：平行的判定............................................................................................................................8
题型二：线面平行构造之三角形中位线法......................................................................................12
题型三：线面平行构造之平行四边形法..........................................................................................14
题型四：利用面面平行证明线面平行..............................................................................................18
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行..................................................................................20
题型六：面面平行的证明..................................................................................................................22
题型七：面面平行的性质..................................................................................................................26
题型八：平行关系的综合应用..........................................................................................................29
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................35
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................39
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................44
易错点：线面平行定理的理解不够准确..........................................................................................44
答题模板：面面平行的证明..............................................................................................................46
考点要求 考题统计 考情分析
本节内容是高考中的热点，线线、线
2024 年北京卷第 17（1）题，5 分 面、面面平行与证明通常出现在解答题的第
（1）直线与平面平行的
2024 年 I 卷第 17（1）题，5 分 一问．本节内容将空间中平行的判定与性质
判定与性质
2022 年甲卷（文）第 19 题，12 分 综合在一起复习，通常在高考题目中，虽然
（2）平面与平面平行的
2022 年乙卷（文）第 9 题，5 分 证明的结论是平行，但是过程中经常交叉使
判定与性质
2021 年浙江卷第 6 题，4 分 用空间直线、平面平行的判定定理或性质，
因此题目的综合性增强．
复习目标：
（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
（2）掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识点 1：直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线 l 与平面a 平行，记作 l ∥a
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这 l∥l1 ü
线∥线 线 个平面内的一条直线平行，那么 l1 a l∥a
∥面 这条直线和这个平面平行（简记 l a
为“线线平行 线面平行
如果两个平面平行，那么在 a∥b ü
a∥b
面∥面 线 一个平面内的所有直线都平行于 a a
∥面 另一个平面
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和 l∥a ü

一个平面平行，经过 l b l∥l
线∥面 线∥线 这条直线的平面和这 a I b = l
个平面相交，那么这
条直线就和交线平行
【诊断自测】如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 是棱DD1的中点，试判断 BD1与平面 AEC 的位置关系，
并说明理由.
【解析】BD1与平面 AEC 平行，理由如下，
连接 BD AC = O ，再连接 EO ，如图，
因为在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，四边形 ABCD是长方形，
所以O 是 BD 的中点，又 E 是棱DD1的中点，所以OE / / BD1 ，
又OE 平面 AEC ， BD1 平面 AEC ，所以BD1 / / 平面 AEC .
知识点 2：两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面a 和 b ，若a I b = f ，则a ∥ b
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果一个平面内有两 a a ,b a , a I b = P
线 ∥ 面 条相交的直线都平行于另
a∥b，b∥b a∥b
面∥面 一个平面，那么这两个平
面平行（简记为“线面平行
面面平行
线 ^ 面 如果两个平面同垂直 l ^ a ü
a ∥ b
面∥面 于一条直线，那么这两个 l ^ b
平面平行
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平面平
面//面
行，那么在一个平面中 a / /b ü
线//面 a / /b
的所有直线都平行于另 a a
外一个平面
如果两个平行平面
同时和第三个平面相 a / /b ü
a Ig = a a / /b.
性质定理 交，那么他们的交线平
b Ig = b
行（简记为“面面平行
线面平行”）
如果两个平面中有
面//面 一个垂直于一条直线， a / /bü
l ^ b
线^ 面 那么另一个平面也垂直 l ^a
于这条直线
【诊断自测】如图 1，在矩形 ABCD中， AE = EF = FB = BC = CG = 2 ，将三角形 ADE 沿着线段DE 向上
折起，使得点A 到达点 A 的位置，且平面 A DE ^平面 DEFG ，将正方形 BCGF 沿着GF 向上折起，使得
点B,C 分别到达点B ,C 的位置，且平面 B C GF ^ 平面 DEFG ，构成如图 2 所示的多面体，点M 为线段
1
DE 的中点，点N 在线段DG 上，且满足DN = DG ．
4
(1)证明：平面 A MN ∥平面 B C GF ；
(2)求三棱锥 D - A C N 的体积．
【解析】（1）取DG 的中点H ，连接EH ，
DN 1由于 = DG ，故N 为DH 的中点，
4
又点M 为线段DE 的中点，
\ MN ∥ EH ，
1
Q EF ∥ DG ，EF = DG 且H 为DG 的中点，
2
\ EF ∥ HG ， EF = HG ，因此四边形 EFGH 为平行四边形，
\ EH ∥ FG ，\ MN ∥ FG ，
Q A E = A D = 2 ，且点M 为线段DE 的中点，
\ A M ^ DE ，
又平面 A DE ^平面 DEFG ，且平面 A D E I 平面DEFG = DE ， A M 平面 A DE ，
\ A M ^ 平面 DEFG ，
在矩形 ABCD中， FB = CG ，所以四边形 BCGF 为矩形，则 BF ^ FG ，
所以 B F ^ FG ，
Q 平面 B C GF ^ 平面 DEFG ，且平面 B C GF 平面 DEFG = FG ，B F 平面 B C GF ，
\B F ^平面 DEFG ，
\B F∥ A M ，
QA M,MN 平面 A MN 且 A M MN = M ， B F ， FG 平面 B C GF 且 B F FG = F ，
\ 平面 A MN ∥平面 B C GF ．
（2）因为DN
1
= DG ，所以N 到平面 A C D
1
的距离为G 到平面 A C D 的距离的 ，
4 4
1 1
连接 A G ，则VD- A C N = VN - A C D = VG- A C D = V ， 4 4 A -C DG
由（1）知 A M ∥ B F ∥ C G ，
因为C G 平面C DG ， A M 平面C DG ，
所以 A M ∥平面C DG ，
连接C M , MG ，
又C G ^ 平面 DEFG ，
V 1 1 1 2 2故 A -C DG = VM -C DG = VC -MDG = C G SVDMG = 2 2 2 = ，3 3 2 2 3
1 2
因此VD- A C N = V4 A -C DG
= ．
12
解题方法总结
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
线∥面 判定
判定
性质 性质判定
线∥线 面∥面
性质
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线 a 与平面a 没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行 线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，
同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
题型一：平行的判定
【典例 1-1】（2024·山东淄博·二模）已知 α，β，γ 为三个不同的平面，a，b，l 为三条不同的直线．
若a Ib＝l,a Ig＝a,b Ig＝b,l / /g ,则下列说法正确的是（　　）
A．a 与 l 相交 B．b 与 l 相交 C．a∥b D．a 与 β 相交
【答案】C
【解析】对于 AB， l / /g , l 平面a ，a I g＝a ，则 l / / a ，
同理可得 l / /b ，则 AB 错误；
对于 C，由 AB 知道 a / /b，则 C 正确；
对于 D，由 A 知道 l / /a , a 平面 b ， l 平面 b ，则a / /b ，故 D 错误.
故选：C.
【典例 1-2】（2024·高三·北京海淀·期末）设a,b,g 是三个不同平面，且a Ig = l,b Ig = m，则“ l // m ”是
“a / /b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【解析】若a / /b，a Ig = l,b Ig = m，则由平面平行的性质定理：得 l // m；
但当 l // m，a Ig = l,b Ig = m时，可能有a / /b，也可能有a , b 相交，
如 l, m是三棱柱的两条侧棱所在直线，g 是 l, m确定的平面，
另两个侧面所在平面分别为a , b ，此时符合条件，而a , b 相交，
所以“ l // m ”是“a / /b ”的必要不充分条件.
故选：B
【方法技巧】
排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．
【变式 1-1】（多选题）（2024·河南·三模）已知a ， b 是两个不同平面，m，n 是两条不同直线，则下列命
题为假命题的是（ ）．
A．如果m ^ n，m ^ a ，n / /b ，那么a ^ b
B．如果m ^ a ， n / /a ，那么m ^ n
C．如果a / /b，m a，那么m / /b
D．如果m // n ，a / /b，那么 m 与a 所成的角和 n 与 b 所成的角的大小不相等
【答案】AD
【解析】对于 A，可运用长方体，举反例说明其错误，如图，
不妨设 AA 为直线 m，CD 为直线 n，平面 ABCD为a ，平面 ABC D 为 b ，
显然这些直线和平面满足题目条件，但a ^ b 不成立，故 A 为假命题；
对于 B，设过直线 n 的某一个平面与平面a 相交于直线 l，则 l / /n ，
由m ^ a 知m ^ l ，从而m ^ n，故 B 为真命题；
对于 C，如果a / /b，m a，则m / /b ，故 C 为真命题；
对于 D，如果m // n ，a / /b，那么 m 与a 所成的角和 n 与 b 所成的角相等，故 D 为假命题．
故选：AD．
【变式 1-2】（2024·贵州遵义·二模）已知平面a,b,g 满足a ^ b ,b ^ g ,a ^ g ，下列结论正确的是（ ）
A．若直线 l ^ a ，则 l // b 或 l / /g
B．若直线 l / /a ，则 l 与 b 和g 相交
C．若 l a ，则 l ^ b ，且 l ^g
D．若直线 l 过空间某个定点，则与a,b,g 成等角的直线 l 有且仅有 4 条
【答案】D
【解析】在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，平面 ABCD，平面 ADD1A1，平面CDD1C1 两两垂直，
令平面 ABCD为平面a ，平面 ADD1A1为平面 b ，平面CDD1C1 为平面g ，
对于 A，直线DD1 ^ a ，DD1 b , DD1 g ，当 l 为直线DD1时， l b,l g ，A 错误；
对于 B， A1B1 / /a ，当 l 为直线 A1B1 时， l / /g ，B 错误；
对于 C， AB a ，当 l 为直线 AB 时， l / /g ，C 错误；
对于 D，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，直线 AC1, A1C , BD1, B1D 相交于点O ，
它们与平面 ABCD，平面 ADD1A1，平面CDD1C1 所成的角都相等，
而正方体过其中心的直线有且只有 4 条直线与该正方体各个面所成的角相等，
过空间给定点作直线平行于直线 AC1, A1C , BD1, B1D 之一，所得直线与与a,b,g 所成角相等，
因此直线 l 过空间某个定点，与a,b,g 成等角的直线 l 有且仅有 4 条，D 正确.
故选：D
【变式 1-3】下列四个正方体中，A ， B ，C 为所在棱的中点，D， E ，F 为正方体的三个顶点，则能得
出平面 ABC // 平面DEF 的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【解析】对于 A 选项，若平面 ABC // 平面DEF ， BC 平面 ABC ，则BC // 平面DEF ，
由图可知 BC 与平面DEF 相交，故平面 ABC 与平面DEF 不平行，A 不满足条件；
对于 B 选项，如下图所示，连接 NG ，
因为A 、C 分别为 PN 、 PG 的中点，则 AC //NG ，
在正方体 EHDG - MFNP 中， FN //EG 且 FN = EG ，
故四边形EFNG 为平行四边形，所以， NG //EF ，\ AC //EF ，
Q AC 平面DEF ，EF 平面DEF ，\ AC // 平面DEF ，
同理可证BC // 平面DEF ，Q AC I BC = C ，因此，平面 ABC // 平面DEF ，B 满足条件；
对于 C 选项，如下图所示：
在正方体 PHDG - MNFE 中，若平面 ABC // 平面DEF ，且平面DEF //平面MNHP ，
则平面 ABC // 平面MNHP ，但这与平面 ABC 与平面MNHP 相交矛盾，
因此，平面 ABC 与平面DEF 不平行，C 不满足条件；
对于 D 选项，在正方体 PDHG - FNEM 中，连接PH 、PM 、MH ，如下图所示：
因为DH //FM 且DH = FM ，则四边形DHMF 为平行四边形，则DF //MH ，
Q DF 平面PHM ，MH 平面PHM ，所以， DF // 平面PHM ，
同理可证EF // 平面PHM ，Q D F I EF = F ，所以，平面DEF //平面PHM ，
若平面 ABC // 平面DEF ，则平面 ABC // 平面PHM ，
这与平面 ABC 与平面PHM 相交矛盾，故平面 ABC 与平面DEF 不平行，D 不满足条件.
故选：B.
题型二：线面平行构造之三角形中位线法
【典例 2-1】如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是棱 PB，PC 的中点，Q
是棱 PA 上一点，且 AQ = 3QP .
求证: NQ / /平面 MCD;
【解析】取 PA 的中点 S，连接 SM，SD，SC，因为M 为 PB 的中点，
所以 SM / / AB ，又 AB / /CD ，所以 SM / /CD ，故 S，M，C，D 四点共面，
由题意知 Q，N 分别为 PS，PC 的中点，故NQ / /SC，
又 NQ / 平面MCD,SC 平面 MCD，因此 NQ / /平面 MCD；
【典例 2-2】如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD是正方形，点 I 在棱PA上（不与端点重合），E，F
分别是 PD，AC 的中点.
证明：EF / /平面PBC .
【解析】连接 BD ,
因为底面 ABCD是正方形，所以F 是 BD 的中点，
又因为 E 是 PD 的中点，所以 EF 是△PBD 的中位线，
所以 EF / / PB ，
因为 EF 平面PBC ，PB 平面PBC ，
所以EF / /平面PBC
【方法技巧】
利用三角形中位线找线线平行.
【变式 2-1】（2024·山东济南·三模）如图所示，PDCE 为矩形， ABCD为梯形，平面 PDCE ^ 平面 ABCD，
1
BAD = ADC = 90° , AB = AD = CD = 1,
2 PD = 2
.
若点M 为PA的中点，证明: AC / / 平面MDE；
【解析】连接 PC，交 DE 于N ，连接 MN
Q PDCE 为矩形 \N 为 PC 的中点
在VPAC 中，M，N 分别为 PA，PC 的中点
\ MN / / AC ,
因为MN 平面 M D E , AC / 平面MDE ,
所以 AC / / 平面MDE .
【变式 2-2】（2024·陕西铜川·三模）如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是正方形，PD ^平面 ABCD，点 E 是
PA的中点，F 是线段 PB上靠近 P 的三等分点，PD = AD = 2 .
(1)求证： PC ∥平面BDE；
(2)求点F 到平面BDE的距离.
【解析】（1）证明：如图，
连接 AC 交 BD 于点O ，连接 EO ，
Q 四边形 ABCD是正方形，\O 为 AC 中点，
QE 是PA中点，\ EO ∥ PC ，
Q EO 平面 BD E , PC 平面BDE,\PC∥平面BDE .
（2）Q PD ^ 平面 ABCD， AB 平面 ABCD，\ AB ^ PD .
又四边形 ABCD是正方形，\ AB ^ AD .
又PD AD=D，PD, AD 平面PAD，\ AB ^平面PAD .
又DE 平面PAD,\AB ^ DE .
Q 点 E 是PA的中点，PD = AD = 2,\DE ^ PA .
又 ABIPA= A， AB, PA 平面PAB，\ DE ^ 平面PAB .
又BE 平面PAB,\DE ^ BE .
又易知DE = 2,\BE = BD2 - DE2 = 6 .
S 1\ VBDE = 2 6 = 3 .2
QV 1= 1P- ABD 2 2
2 4 ÷ = .3 è 2 3
又 SV ADE = SVPDE , F 是线段 PB上靠近 P 的三等分点，
V 1 2 1 1 2\ B- ADE = VP- ABD = ,VF -PDE = VP- ABD = ，2 3 2 3 9
\V 4F -BDE = VP- ABD -VB- ADE -VF -PDE = .9
1 4 4 3
设点F 到平面BDE的距离为 d ，则 3 d = ，解得 d = .3 9 9
\ 点F 到平面BDE 4 3的距离为 .
9
题型三：线面平行构造之平行四边形法
【典例 3-1】如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， AD ^ AB ， AB / / DC ，PA ^底面
ABCD，点 E 为棱 PC 的中点， AD = DC = AP = 2 AB = 2 ．
证明： BE / /平面 PAD；
【解析】在 PD 上取中点 G，连接 AG，EG，如图：
1
∵G 和 E 分别为 PD 和 PC 的中点，∴ EG / /CD ，且 EG = CD ，
2
又∵底面 ABCD 是直角梯形，CD = 2 AB ， AB / /CD ，
∴ AB / /GE 且 AB = GE ．即四边形 ABEG 为平行四边形，
∴ AG / /BE ，
∵ AG 平面 PAD， BE 平面 PAD，
∴ BE / /平面 PAD；
【典例 3-2】如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E、F 及 G 分别为棱 BB1 、DD1和CC1的中点.
求证：C1F / / 平面 DEG；
【解析】Q 在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E，F，G 分别为棱BB1 ,DD1和CC1的中点，
\DF / /C1G，且 DF = C1G ，
\ 四边形DGC1F 是平行四边形，\ C1F / / DG ，
Q DG 平面 DEG ,C1F / 平面 DEG，
\C1F / / 平面 DEG.
【方法技巧】
利用平行四边形找线线平行.
【变式 3-1】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥 P - ABCD 中，PA ^底面 ABCD， AD //BC ，
AB = AD = AC = 3, PA = BC = 4, M , N 分别为线段 AD, PC 上一点， AM = 2MD .
若N 为 PC 的中点，证明：MN // 平面PAB；
uuuur uuuur
【解析】证明：由已知 AM = 2MD得 AM = 2，取BP的中点 T，连接 AT,TN ，
由 N 为 PC 的中点知TN //BC ，
TN 1= BC = 2．又 AD / / BC ，故
2 TN//AM，且TN = AM ，
∴四边形 AMNT 为平行四边形，∴ MN //AT ，
∵ AT 平面PAB，MN 平面PAB，
∴ MN // 平面PAB．
【变式 3-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，四边形 ABCD是矩形，M , N 分别
是 PD 和 BC 的中点，平面 PAB ^ 平面 ABCD , PA = PB = AB = AD = 2 .
(1)证明：MN / / 平面PAB；
(2)求三棱锥M - ABC 的体积.
【解析】（1）如图，取PA的中点 E ，连接EB, EM ，
1
因为ME 是△PAD 的中位线，所以ME / / AD ，且ME = AD ，
2
1
又因为 BN / / AD 且 BN = AD ，所以ME / /BN 且ME = BN ，
2
所以四边形MEBN 是平行四边形，所以MN / / BE ，
又因为MN 平面PAB,BE 平面PAB，所以MN / / 平面PAB；
（2）取 的中的中点F ，连接 PF ，
因为 PA = PB = AB，所以PF ^ AB，且 PF = 3 ，
又因为平面 PAB ^ 平面 ABCD，平面PAB 平面 ABCD = AB ，
PF 平面PAB，所以PF ^ 平面 ABCD，
1
因为 SVABC = × AB × BC = 2, PF = 3，2
1 2 3
所以VP- ABC = × S3 VABC
× PF = ，
3
1 3
又因为M 是 PD 的中点，所以VM - ABC = VP- ABC = .2 3
uuur uuur
【变式 3-3】如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， D, D1 , F 分别是 BC ， B1C1， A1B1的中点， BC = 4BE ，
VABC 的边长为 2．
求证：：EF / / 平面 ADD1 A1；
【解析】证明：取 A1D1 的中点G ，连接 FG，DG ，
FG / / B D 1 1根据题意可得 1 1 ，且 FG = B1D1， DE = BD ，2 2
由三棱柱得性质知 BD // B1D1 ，所以 FG / / BD ，则四边形DGEF 是平行四边形，
所以 EF / / DG ，
因为 EF 面 ADD1 A1， DG 面 ADD1 A1，
所以EF / / 面 ADD1 A1．
题型四：利用面面平行证明线面平行
【典例 4-1】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台 ABCD - A1B1C1D1中，
E , F 分别为 AD, AB的中点， AB = 2 A1B1 = 4 ，侧面BB1C1C 与底面 ABCD所成角为 45° .
求证：BD1 / / 平面 A1EF ；
【解析】连接 BD 、 B1D1，由 E , F 分别为 AD, AB的中点，则 EF / /BD ，
又 EF 平面 BB1D1D，BD 平面 BB1D1D，故EF / /平面 BB1D1D，
1
正四棱台 ABCD - A1B1C1D1中， A1B1 / / AB且 A1B1 = AB = BF ，2
则四边形 A1FBB1为平行四边形，故 A1F / /BB1，
又 A1F 平面 BB1D1D， BB1 平面 BB1D1D，故 A1F / / 平面 BB1D1D，
又 A1F EF = F ，且 A1F 平面 A1EF ，EF 平面 A1EF ，
故平面 A1EF / / 平面 BB1D1D，又 BD1 平面 BB1D1D，故BD1 / / 平面 A1EF ；
【典例 4-2】（2024·江苏南京·二模）如图， AD / / BC ， AD ^ AB ，点 E 、F 在平面 ABCD的同侧，
CF / / AE ， AD = 1， AB = BC = 2，平面 ACFE ^ 平面 ABCD， EA = EC = 3 .
求证： BF // 平面 ADE ；
【解析】因为CF / / AE ，CF / 平面 ADE ，
所以CF // 平面 ADE ，同理BC // 平面 ADE ，
又 BC ，CF 平面BCF ， BC I CF = C ，
所以平面BCF // 平面 ADE ，BF 平面 ADE ，
所以BF // 平面 ADE ；
【方法技巧】
本法原理：已知平面a∥平面 b ，则平面 b 里的任意直线均与平面a 平行
【变式 4-1】（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形 ABCD中， AD //BC ， AB ^ BC ， AB = BC = 2 AD ，
把梯形 ABCD绕 AB 旋转至 ABC1D1 ， E ，F 分别为 AB ，CC1中点．
证明：EF // 平面CD1A；
【解析】证明：设 D1C1中点为G ，连接FG, EG ，
Q FG 为△CC1D1中位线， FG //CD1，
又CD1 平面CD1A，FG 平面CD1A，
\ FG // 平面CD1A，
Q EG 为梯形 ABC1D1 中位线， EG //AD1 ，
又 AD1 平面CD1A，EG 平面CD1A，
\ EG// 平面CD1A，
Q EG I FG = G ， FG 平面EFG ，EG 平面EFG ，
\ 平面EFG// 平面CD1A，
Q EF 平面EFG ，
\ EF // 平面CD1A．
【变式 4-2】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体 ABCDEF 中，四边形
ABCD为矩形，二面角 A - CD - F 的大小为45o， DE //CF ，CD ^ DE ， AD = 2，DC = 3．
（1）求证：BF // 平面 ADE ；
【解析】（1）证明：因为四边形 ABCD是矩形，所以， BC //AD ，
因为 BC 平面BCF ， AD 平面BCF ，所以 AD // 平面BCF ，
因为 DE //CF ，CF 平面BCF ，DE 平面BCF ，所以DE //平面BCF ，
因为 AD DE = D， AD 、DE 平面 ADE ，则平面BCF // 平面 ADE ，
因为BF 平面BCF ，所以，BF // 平面 ADE ．
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
【典例 5-1】如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1被平面a 所截，截面为 CDEF，且 EF = DC ，
DC = 2AD = 4A E = 2 ADC π= EFCD 41 ， ，平面 与平面 ABCD所成角的正切值为 33 ．证明： AD //BC .3
【解析】在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，平面 ABCD / / 平面 A1B1C1D1，
平面 ABCDIa =CD，平面 A1B1C1D1 a = EF ，则 EF //CD ，
而C1D1 //CD 且C1D1 = CD ，又 EF = CD ，因此C1D1 //EF 且C1D1 = EF ，
则四边形 EFC1 D1 是平行四边形，所以 A1D1 //B1C1，又 A1D1 //AD， BC //B1C1，
所以 AD //BC ．
【典例 5-2】如图，平面 ABCD, BF // 平面 ADE，CF //AE ．求证： AD //BC ．
【解析】∵ CF //AE ，CF 平面 ADE， AE 平面 ADE，∴CF // 平面 ADE．
∵ BF // 平面 ADE， BF CF = F ，BF,CF 平面 BCF，
∴平面 ADE//平面BCF ．
又平面 AD E I 平面 ABCD = AD ，平面 BCF 平面 ABCD = BC ，
∴ AD //BC ．
【方法技巧】
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
【变式 5-1】如图所示，圆台的上 下底面圆半径分别为 2cm 和3cm, AA1 , BB1 为圆台的两条不同的母线.O1,O
分别为圆台的上 下底面圆的圆心，且△O AB 为等边三角形. 求证： A1B1 / / AB .
【解析】证明：Q 圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，
所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
\ 母线 AA1 与母线 BB1 的延长线必交于一点，\ A, A1 , B, B1 四点共面.
Q 圆面O1 / / 圆面O ，且平面 ABB1A1 I圆面O1 = A1B1 ，平面 ABB1A1 I圆面O = AB .
\ A1B1 / / AB .
【变式 5-2】（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台 ABCD - A1B1C1D1中，DD1 ^ 平面ABCD，AD / /BC,
AD = DC = 2 ， BC =1， BCD = 60o , A1D1 = D1D = 1．
记平面 A1ADD1与平面B1BCC1的交线为 l ，证明： l / /BC ；
【解析】
因为 AD / /BC，AD 平面 A1ADD1， BC 平面 A1ADD1 ，
所以 BC / / 平面 A1ADD1 .
又 BC 平面 B1BCC1 ，平面 A1 ADD1 I 平面B1BCC1 = l ，所以 l / /BC .
【变式 5-3】（2024·甘肃·一模）如图，空间六面体 ABCDEFGH 中, AD / /BC, EH / /FG ,
BCD = FGH = 90o，平面 ABCD / /平面EFGH ,CDHG 为正方形，平面HDCG ^ 平面
ABCD, AD = FG = 2EH , BC = 3EH .
求证： AE / / BF；
【解析】Q AD / / BC, AD 平面BCGF, BC 平面 BCGF ，
\ AD / /平面 BCGF .
Q CDHG 为正方形，\HD / / CG，
同理可得HD / /平面 BCGF .
QAD HD = D, AD 平面 ADHE,HD 平面 ADHE ，
\ 平面 ADHE / /平面 BCGF .
Q 平面 ADHE 平面 ABFE = AE,
平面 BCGF 平面 ABFE = BF ，
\ AE / / BF .
题型六：面面平行的证明
【典例 6-1】如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是正方形， DE ^平面 ABCD， BF ^ 平面 ABCD，
DE = 2BF = 2AB．
(1)求证：平面 ABF // 平面CDE ；
(2)若 AB = 2，求多面体 ABCDEF 的体积．
【解析】（1）因为DE ^平面 ABCD，BF ^ 平面 ABCD，
所以DE / /BF ，
因为DE 平面CDE ， BF 平面CDE ，
所以 BF // 平面CDE ，
因为四边形 ABCD是正方形，所以 AB / /CD ，
因为CD 平面CDE ， AB 平面CDE ，
所以 AB / / 平面CDE ，
又 AB 平面 ABF, BF 平面 ABF ，且 AB I BF = B ，
所以平面 ABF // 平面CDE ．
（2）如图，连接 AC, BD ，记 AC I BD = H ．
因为四边形 ABCD是正方形，
所以 AC ^ BD, AH = CH = 1 AC ，
2
因为DE ^平面 ABCD, AC 平面 ABCD，
所以DE ^ AC ，
因为DE 平面BDEF , BD 平面BDEF ，且DE BD = D ，
所以 AC ^平面BDEF ，
因为DE = 2BF = 2AB，且 AB = 2，所以 BF = 2, DE = 4 ，
因为四边形 ABCD是正方形，所以 AC = BD = 2 2，
则 AH = CH = 2，
故多面体 ABCDEF 的体积V = VABDEF + VCBDEF
1 1
= 2 + 4 2 2 2 + 4 2 2
3 2

+ 2 = 8．
2 3 2
【典例 6-2】（2024·高三·陕西西安·期中）如图，在圆台O1O中， A1ABB1为轴截面， AB = 2 A1B1 = 4 ，
A1AB = 60°，C 为下底面圆周上一点， P 为下底面圆O 内一点， A1E 垂直下底面圆O 于点 E ，
COF = EFO ．
(1)求证：平面O1OC // 平面 A1EF ；
【解析】（1）因为 COF = EFO ，所以 EF //CO ，
又 EF 平面O1OC，CO 平面O1OC，所以EF // 平面O1OC．
因为 A1E 垂直下底面圆O 于点 E ，O1O垂直下底面圆O 于点O ，所以 A1 E //O1O ，
又 A1E 平面O1OC，O1O 平面O1OC，
故 A1E // 平面O1OC．
又 A1E EF = E ， A1E ，EF 平面 A1EF ，
所以平面O1OC // 平面 A1EF ．
【方法技巧】
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时
垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
【变式 6-1】（2024·重庆·二模）如图，直棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD为梯形， AB / / DC ，且
AB = 2DC, E, F 分别是棱 AB ， AD 的中点.
证明：平面 D1EF / / 平面C1BD ；
【解析】在△ABD 中， E , F 分别为 AB, AD的中点，则 EF / /BD ，
而 EF 平面C1BD, BD 平面C1BD ，因此EF / /平面C1BD ，
又DC / / AB, DC
1
= AB = EB ，而D1C1 / /DC, D1C1 = DC ，2
于是EB / /D1C1且EB = D1C1 ，四边形 BC1D1E 为平行四边形，则 D1E / /C1B ，
又D1E 平面C1BD,C1B 平面C1BD ，因此D1E / /平面C1BD .
而EF , D1E 为平面D1EF 中两相交直线，所以平面 D1EF / / 平面C1BD .
【变式 6-2】（2024·四川眉山·三模）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD为菱形，平面 FCD ^ 平面
π
ABCD，平面 EAB ^ 平面 ABCD,VAEB,VCFD是等腰直角三角形，且 DFC = BEA = .
2
证明：平面 ABF // 平面CDE ；
【解析】如图，取 AB,CD 的中点M , N ，连接ME, EN , NF , FM .
因为VAEB是等腰直角三角形，故 FN ^ DC ，平面 FCD ^ 平面 ABCD，
平面 FCD 平面 ABCD = CD ，FN 平面FCD，
所以 FN ^平面 ABCD .
同理，EM ^平面 ABCD .
所以 FN ∥ ME .
1
又VAEB和△CFD是等腰直角三角形，四边形 ABCD为菱形，所以FN = DC = ME ，
2
四边形MENF 为平行四边形，所以MF ∥ EN ，
EN 平面CDE ，MF 平面CDE ，所以MF / / 平面CDE ，
又因为 AB ∥CD，CD 平面CDE ， AB 平面CDE ，所以 AB∥平面CDE ，
又 AB I M F = M ， AB, MF 平面 ABF ，
所以平面 ABF // 平面CDE .
【变式 6-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面 AA1C1C 为矩形，M，
N 分别为 AC， A1C1 的中点．
求证：平面 BMA1 / / 平面B1NC ；
【解析】因为 M，N 分别为侧面 AA1C1C 为矩形的边 AC， A1C1 的中点，
所以 AM / / A1N , AM = A1N ，即四边形 AA1NM 是平行四边形，
所以 AA1 / /MN , AA1 = MN ,
因为BB1 / / AA1, BB1 = AA1，
所以BB1 / /MN , BB1 = MN ，即四边形 BB1NM 是平行四边形，
所以 BM / /B1N ，
因为 BM 平面B1NC ，B1N 平面B1NC ，
所以 BM / / 平面B1NC ，
因为 M，N 分别为侧面 AA1C1C 为矩形的边 AC， A1C1 的中点，
所以MC / / A1N , MC = A1N ，即四边形MCNA1是平行四边形，
所以 A1M / / NC ，
因为 A1M 平面B1NC ，CN 平面B1NC ，
所以 A1M / / 平面B1NC ，
因为 BM / / 平面B1NC ，且 BM MA1 = M ，BM 平面BMA1，MA1 平面BMA1，
所以平面 BMA1 / / 平面B1NC ；
题型七：面面平行的性质
【典例 7-1】（2024·福建南平·二模）在正四面体 ABCD中， P 为棱 AD 的中点，过点A 的平面a 与平面
PBC 平行，平面a I 平面 ABD = m ，平面a I 平面 ACD = n ，则m，n所成角的余弦值为（ ）
2 1 2A． B． C． D 3．
3 3 3 3
【答案】B
【解析】因为平面a / / 平面PBC ，a I 平面 ABD = m ，平面PBCI面 ABD = BP ，
所以m / /BP，
因为平面a / / 平面PBC ，a I 平面 ACD = n ，平面PBCI面 ACD = PC ，
所以 n / / PC ，
所以m，n所成角即为 BP , PC 所成角，
而 BP , PC 所成角为 BPC ，设正四面体 ABCD的棱长为2，
所以 AB = AC = AD = BD = BC = 2，所以BP = CP = 22 -1 = 3，
cos BPC 3+ 3- 4 1所以 = = .
2 3 3 3
故选：B.
【典例 7-2】已知正方体 ABCD - A1B1C1D1，平面 AB1C与平面 DD1C1C 的交线为 l ，则（ ）
A． l //A1D B． l //B1D C． l //C1D D． l //D1C
【答案】C
【解析】正方体 ABCD - A1B1C1D1中，平面 AA1B1B // 平面 DD1C1C ，
平面 AB1C I平面DD1C1C = l ，平面 AB1C I平面 AA1B1B = AB1，所以 l //AB1，
正方体中， AD = B1C1且 AD//B1C1，四边形 ADC1B1为平行四边形，
则有 AB1 //C1D ，所以 l //C1D ，C 选项正确；
A1D, B1D, D1C 都与C1D 相交，则 l 与 A1D, B1D, D1C 都不平行，ABD 选项都错误.
故选：C.
【方法技巧】
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行 线面平行”）
【变式 7-1】如图，平面a / / 平面 b ，VPAB 所在的平面与a ， b 分别交于CD ， AB ，若 PC = 2 ，
CA = 3，CD =1，则 AB =（ ）
3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
【答案】C
【解析】因为平面a / / 平面 b ，且平面PAB 平面a = CD，平面PAB 平面b = AB，
所以CD / / AB ，所以VPCD∽VPAB ，
CD PC AB PA ×CD (2 + 3) 1 5可得 = ，所以 = = = .
AB PA PC 2 2
故选：C.
【变式 7-2】如图，梯形 ABCD中 AB∥CD ，四边形 A B C D 是梯形 ABCD在平面 α 内的投影
（ AA / / BB / /CC / / DD ），则对四边形 A B C D 的判断正确的是（ ）
A．可能是平行四边形不可能是梯形 B．可能是任意四边形
C．可能是平行四边形也可能是梯形 D．只可能是梯形
【答案】D
【解析】由题意，因为 AA / / BB / /CC / / DD ，所以 AA 与 BB 确定平面 AA B B，
CC 与 DD 确定平面CC D D ，
AA 平面CC D D ，DD 平面CC D D ， AA / /平面CC D D ，
又在梯形 ABCD中， AB / /CD, AB 平面CC D D ，
CD 平面CC D D ，\ AB / /平面CC D D .
又 AA AB = A, AA 平面 AA B B， AB 平面 AA B B，
\ 平面 AA B B / / 平面CC D D .
易知平面 AA B B a = A B ，
平面CC D D a = C D ,\A B / /C D .
在平面 ABCD中， AB 与CD 长度不相等，BC, AD 必然会相交于一点，
则平面BB C C 与平面 AA D D 相交， B
C , A D 必然会相交于一点，
则四边形 A B C D 只可能是梯形，
故选：D
【变式 7-3】（2024·全国·模拟预测）在长方体 ABCD - A
3
1B1C1D1中， AA1 = AD = 3AB = 3，过顶点C1作平2
面g ，使得g //平面 A1BD ，若g I平面 ABCD = l ，则直线 l 和直线 A1B 所成角的余弦值为（ ）
A 2． B 5． C 2 2 5． D．
5 5 10 5
【答案】C
【解析】因为g //平面 A1BD ，g I平面 ABCD = l ，平面 A1BD 平面 ABCD = BD ，
所以BD//l ，所以 A1BD 即直线 l 和直线 A1B 所成角或其补角，
在V A1BD 中， A1B = 1
2 + 32 = 10 ，BD = 12 + 22 = 5 ， A D = 22 + 321 = 13 ，
cos A BD A
2 2 2
1B + BD - A1D 10 + 5 -13 2由余弦定理得 1 = = = ，2 A1B × BD 2 10 5 10
故直线 l 和直线 A1B
2
所成角的余弦值为 ．
10
故选：C．
题型八：平行关系的综合应用
4
【典例 8-1】（2024·四川乐山·三模）在三棱柱 ABC - A1B1C1中，点D在棱 BB1 上，满足VA-BCC1D = V9 ABC- A
，
1B1C1
uuuur uuuur NB
点M 在棱 A1C1 上，且 A1M = MC1 ，点N 在直线 BB1 上，若MN / / 平面 ADC1，则 =NB （ ）1
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】如图所示：
V 1 2因为 A- A B C = VABC- A B C ，所以VA-BCC B = V ，1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 ABC- A1B1C1
4 4 3 2
所以VA-BCC D = VABC- A B C = V = V1 9 1 1 1 9 2 A-BCC1B1 3 A-BCC1B1
S 2 1
DB1 2
所以 梯形BCC D = S四边形BCC B ，所以 S = S =1 3 1 VC1B1D 3 四边形BCC1B
，则
1 BB 3 ，1
设三棱柱 ABC - A1B1C1的侧棱长为 6，则DB1 = 4，DB = 2，
又M 为 A1C1 的中点，取 A1A的中点 E ，连接ME ，则ME / /C1A。
过 E 作 EN / / AD ，且 EN I BB1 = N ，连接MN ，又ME EN = E ，
所以平面MNE / / 平面 ADC1，又MN 平面MNE ，
所以MN / / 平面 ADC1，所以DN = EA = 3，
NB
所以 NB1 = DB1 - DN = 4 - 3 = 1，所以 BN = 5，则 = 5NB ，1
故选：D
【典例 8-2】如图 1，VABC 是边长为 3 的等边三角形，点D , E 分别在线段 AC, AB上，且 AE =1, AD = 2，
沿DE 将VADE翻折到△ PDE 的位置，使得 PB = 5，如图 2.
PM
在线段 PB上是否存在点M ，使得 EM // 平面 PCD，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
MB
【解析】在平面BCDE 中，过点 E 作 EF //CD ，交 BC 于F ，
在平面PBC 中，过点F 作 FM //PC ，交 PB于M ，连接ME ，如图所示，
因为 EF //CD ，CD 平面 PCD， EF 平面 PCD，所以EF // 平面 PCD，
同理可得MF // 平面 PCD，
又因为EF MF = F ， EF , MF 平面MEF ，所以平面PCD// 平面MEF ，
ME 平面MEF ，所以ME // 平面 PCD，即M 为所求的点，
在VABC 中， EF //CD ，即 EF //AC ，如图所示，
CF AE 1
所以 = = ，
FB EB 2
PM CF 1 PM 1
在△PBC 中， FM //PC ，所以 = = ，即此时 = .
MB FB 2 MB 2
【方法技巧】
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关
键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
【变式 8-1】在三棱柱 ABC - A1B1C1中，点D、D1分别是 AC 、 A1C1 上的点，且平面BC1D//平面 AB1D1 ，
AD
试求 的值.
DC
【解析】连接 A1B 交 AB1于点O ，连接OD1，如下图所示：
由棱柱的性质可知，四边形 AA1B1B为平行四边形，所以，O 为 A1B 的中点，
因为平面BC1D//平面 AB1D1 ，平面 A1BC1 I 平面BC1D = BC1，平面 A1BC1 I 平面 AB1D1 = OD1，
\OD1 //BC
1
1，则D1为 A1C1 的中点，则 D1C1 = A C2 1 1
，
Q 平面BC1D//平面 AB1D1 ，平面 AA1C1C I 平面 BC1D = C1D ，平面 AA1C1C I 平面 AB1D1 = AD1，
所以， AD1 //C1D ，
又因为 AD//D1C1，所以，四边形 ADC1D1为平行四边形，
1 1 AD
所以， AD = C1D1 = A1C1 = AC ，因此， =1.2 2 DC
【变式 8-2】（2024·上海嘉定·三模）在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AD = DD1 =1， AB = 3 ，E、F、G 分
别为 AB、BC、C1D1的中点.
(1)求三棱锥 A - GEF 的体积；
(2)点 P 在矩形 ABCD内，若直线D1P// 平面EFG ，求线段D1P长度的最小值.
【解析】（1 1 1 3 1 3）依题意有 SVAEF = × AE × BF = × × = ，2 2 2 2 8
A - GEF V V 1 1 3 3所以三棱锥 的体积 A-GEF = G- AEF = × SVAEF × DD1 = × ×1 = ；3 3 8 24
（2）如图，
连结D1 A, AC , D1C ，
∵ E, F,G分别为 AB, BC,C1D1的中点，
∴ AC / / EF , EF 平面 ACD1， AC 平面 ACD1，
∴ EF / /平面 ACD1,
∵ EG / / AD1 , EG 平面 ACD1， AD1 平面 ACD1，
∴ EG / / 平面 ACD1，
∵ EF I EG = E ，∴平面EFG / / 平面 ACD1，
∵ D1P / / 平面EFG ，
∴点 P 在直线 AC 上，在△ACD1中， AD1 = 2 , AC = 2, C D1 = 2 ，
S 1VAD C = 2 2
2 ( 2- )2 7= ，
1 2 2 2
7
S
∴当 D P ^ AC 时，线段D P △AD的长度最小，最小值为 1C1 1 1 =
2 7
1 ＝ .
AC 2 2
2 2
【变式 8-3】如图，在正四面体 S - ABC 中， AB = 4 ，E，F，R 分别是 SB ， SC ， SA 的中点，取 SE ， SF
的中点 M，N，Q 为平面 SBC 内一点．
(1)求证：平面MNR // 平面 AEF ；
(2)若RQ//平面 AEF ，求线段 RQ的最小值．
【解析】（1）证明：因为 R ，M ，N 分别是 SA ， SE ， SF 的中点，
所以MN //EF ，MN 平面 AEF ，EF 平面 AEF ，
所以MN // 平面 AEF ．
同理，MR // 平面 AEF ，又因为MRIMN = M ，
所以平面MNR // 平面 AEF ．
（2）由（1）可得平面MNR // 平面 AEF ，若RQ//平面 AEF ，则点 Q 在线段MN 上移动，
1
在VRMN 中，RM = AE
1
= 3，RN = AF = 3，MN = 1， RQ的最小值为 R 到线段MN 的距离，
2 2
2
因为VRMN 是等腰三角形，故 RQ
2
的最小值为 3 - 1 11 2 ÷ = ．è 2
【变式 8-4】如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，AC⊥BC，H 为 PC 的中点，M 为 AH 的中点，
PA = AC = 2, BC =1.
(1)求证： AH ^ BC ；
(2)求点 C 到平面 ABH 的距离；
PN
(3)在线段 PB 上是否存在点 N，使 MN / /平面 ABC？若存在，求出 PB 的值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为PA ^底面 ABC ， BC 平面 ABC ，所以 PA ^ BC .
又因为 AC ^ BC ， AC I PA = A, AC,PA 平面PAC ，
所以 BC ^ 平面PAC ，
又因为 AH 平面PAC ，所以 AH ^ BC .
（2）设点C 到平面 ABH 的距离为 d .
因为PA ^底面 ABC ， PA = 2 ，H 为 PC 的中点，
1
所以点H 到平面 ABH 的距离为 PA =1 .
2
又因为在VABC 中， AC ^ BC ， AC = 2 ， BC =1．
则 AB = 22 +12 = 5 ，
V 1 1 1 1 1C-HAB = VH -CAB = PA S3 2 VABC
= 1 2 1 = .
3 2 3
又因为PA ^底面 ABC ， AC 平面 ABC ，所以PA ^ AC ，
又因为 PA = 2 ， AC = 2 ，H 为 PC 的中点，
1
所以PC = 2 2 ， AH = PC = 22
又因为由（1）知 BC ^ 平面PAC ， PC 平面PAC ，所以 BC ^ PC ，
2

则BH = BC 2 + CH 2 = 12 2 2+ ÷÷ = 3 .
è 2
所以 AB 2 = AH 2 + BH 2 ，则 AH ^ BH ，
则VABH 1 2 3 6的面积为 = ，
2 2
V 1 6 1 6所以 C-HAB = d × = ，解得 d = .3 2 3 3
| PN | 3
（3）线段 PB上当点N 满足 =| PB | 4 ，使
MN / / 平面 ABC .
证明：取 CH 的中点 K，连接 MK，NK．
因为M 为 AH 的中点，
所以由MK 为△HAC 的中位线，可得MK / / AC .
又因为MK 平面 ABC ， AC 平面 ABC，所以MK / / 平面 ABC ；
PK PN PK PN
由 = 3, = 3，可得 = ，则 NK / / BC ，
KC NB KC NB
又因为 NK 平面 ABC， BC 平面 ABC，所以 NK / / 平面 ABC ．
又因为MK NK = K,MK, NK 平面 ABC ，
所以平面MNK / / 平面 ABC ，
又因为MN 平面 MNK，所以MN / / 平面 ABC．
1．（2021 年浙江省高考数学试题）如图已知正方体 ABCD - A1B1C1D1，M，N 分别是 A1D，D1B的中点，则
（ ）
A．直线 A1D与直线D1B垂直，直线MN / / 平面 ABCD
B．直线 A1D与直线D1B平行，直线MN ^平面 BDD1B1
C．直线 A1D与直线D1B相交，直线MN / / 平面 ABCD
D．直线 A1D与直线D1B异面，直线MN ^平面 BDD1B1
【答案】A
【解析】
连 AD1，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，
M 是 A1D的中点，所以M 为 AD1中点，
又 N 是D1B的中点，所以MN //AB ，
MN 平面 ABCD, AB 平面 ABCD，
所以MN // 平面 ABCD .
因为 AB 不垂直 BD ，所以MN 不垂直 BD
则MN 不垂直平面 BDD1B1 ，所以选项 B,D 不正确；
在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， AD1 ^ A1D ，
AB ^平面 AA1D1D ，所以 AB ^ A1D ，
AD1 AB = A ，所以 A1D ^ 平面 ABD1，
D1B 平面 ABD1，所以 A1D ^ D1B ，
且直线 A1D, D1B 是异面直线，
所以选项 C 错误，选项 A 正确.
故选：A.
2．（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（琼、宁卷））已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 A∈α，
A l，直线 AB∥l，直线 AC⊥l，直线 m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
【答案】D
【解析】如图所示：
由于m / /a ，m / /b ，a Ib = l ，所以m / /l，又因为 AB / /l ，所以 AB / /m ，故 A 正确，
由于 AC ^ l ，m / /l，所以 AC ^ m ，故 B 正确，
由于 AB / /n ，n b， AB 在 b 外，所以 AB / /b ，故 C 正确；
对于 D，虽然 AC ^ l ，当 AC 不一定在平面a 内，故它可以与平面 b 相交、平行，不一定垂直，所以 D 不
正确；
故选：D
3．（多选题）（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 1 卷精编版））如图，在下列四个
正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平
面MNQ平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于选项 A，OQ∥AB，OQ 与平面 MNQ 是相交的位置关系，故 AB 和平面 MNQ 不平行，故 A 错
误；
对于选项 B，由于 AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知 AB∥平面 MNQ，故 B 正确；
对于选项 C，由于 AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知 AB∥平面 MNQ：故 C 正确；
对于选项 D，由于 AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知 AB∥平面 MNQ：故 D 正确；
故选：BCD
4．（2011 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷））如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，
AB = 2，E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若EF // 平面 AB1C，则EF = .
【答案】 2
【解析】根据题意，因为EF / / 平面 AB1C，EF 平面 ABCD，
且平面 ABCDI平面 AB1C = AC
所以 EF / / AC .
又 E 是 AD 的中点，所以F 是CD 的中点.
因为在Rt△DEF 中，DE = DF = 1，故EF = 2 .
故答案为： 2
1．如图， a，b是异面直线，a a,a / /b ,b b ,b / /a ，求证：a / /b .
【解析】
如图，过直线b作平面g ，平面g 与a 相交于直线c，c与a交于点 P .
Qa g = c,b g = b,b / /a,\b / /c .
又b 平面 b ,c 平面 b ，\c / /b .
又a / /b 且a c = P,\a / /b .
2．如图，a / /b / /g AB DE，直线 a 与 b 分别交a,b,g 于点 A，B，C 和点 D，E，F，求证 = .
BC EF
【解析】证明：如图，连接 AF 交 b 于点 M，连接 MB，CF，ME，AD.
因为 b / /g , b 平面 ACF = BM ，g I平面 ACF = CF ，
AB AM
所以BM/ / CF，所以 = .BC MF
AM DE
同理ME / / AD ,且 = ，
MF EF
AB DE
所以 = .
BC EF
3．一木块如图所示，点 P 在平面 VAC 内，过点 P 将木块锯开，使截面平行于直线 VB 和 AC ，应该怎样
画线？
【解析】利用线面平行的判定定理去确定．
试题解析：过平面
内一点
作直线
，交
于
，交
于
；过平面
内一点
作直线
，交
于
，则
，
所确定的截面为所求．
考点：棱锥的结构特征，线面平行的判定和实际应用．
4．如图，在长方体 ABCD - A B C D 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证 EF / / A 'C ' .
【解析】
连接 AC.
∵ ABCD - A B C D AA 在长方体 中， / /CC .
∴四边形 ACC A 为平行四边形.
\ A C / / AC .
又∵E，F 分别是 AB，BC 的中点，\EF / /AC,\EF / /A C .
5．如图，在长方体木块 ABCD - A1B1C1D1中，面 A1C1 上有一点 P，怎样过点 P 画一条直线与棱 CD 平行？
【解析】在面 A1C1 内，过点 P 作直线 EF，
使 EF / /C1D1 ，分别交棱 A1D1 , B1C1于点 E，F，
因为CD / /C1D1 ，
所以CD / /EF ，
即 EF 就是过点 P 与棱 CD 平行的直线.
6．如图，透明塑料制成的长方体 ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于水平地面上，
再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；
④棱 A1D1始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE BF 是定值．
其中所有正确命题的序号是　 ．
【答案】①②④⑤
【解析】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平
行，而这些面都是平行四边形，所以①②正确；
因为水面 EFGH 所在四边形，从图 2，图 3 可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度
变化而变化，所以水面四边形 EFGH 的面积是变化的，③不对；
因为棱 A1D1 始终与 BC 平行， BC 与水面始终平行，所以④正确；
因为水的体积是不变的，高始终是 BC 也不变，所以底面积也不会变 ，即 BE BF 是定值，
所以⑤正确；综上知①②④⑤正确，
故填①②④⑤.
易错点：线面平行定理的理解不够准确
易错分析：在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，定要注意定理成立的条件，通常应严格按照
定理成立的条件规范书写步骤.
【易错题 1】如图，点 A，B，C，M，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线
MN / / 平面 ABC 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于 A,如下图所示，
易得 AC / /EF,MN / /EF ,
则MN / / AC ，
又MN 平面 ABC , AC 平面 ABC ,
则MN / / 平面 ABC ，故 A 满足；
对于 B，如下图所示，
E 为所在棱的中点，连接EA, EC, EB ,
易得 AE = BC, AE / /BC ,
则四边形 ABCE 为平行四边形，
A,B,C,E四点共面，
又易知MN / / BE ，
又MN 平面 ABC , BE 平面 ABC ,
则MN / / 平面 ABC ，故 B 满足；
对于 C,如下图所示，
点D为所在棱的中点，连接DA, DC, DB ,
易得四边形 ABCD为平行四边形， A, B,C, D 四点共面，
且MN / / BD ,
又MN 平面 ABC , BD 平面 ABC ,
则MN / / 平面 ABC ，故 C 满足；
对于 D，连接 AM,BN ,
由条件及正方体的性质可知四边形 AMNB 是等腰梯形，
所以 AB 与MN 所在的直线相交，
故不能推出MN 与平面 ABC 不平行，故 D 不满足，
故选：D.
【易错题 2】如图，已知四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形， E 为侧棱SC的中点.
求证： SA ∥平面EDB；
【解析】连接 AC, BD ，设 AC I BD = O ，因为 ABCD是平行四边形，
所以O 是 AC BD 的中点，连接OE ，又 E 为侧棱SC的中点，
所以在VSAC中有： SA ∥ EO ，又 平面EDB, EO 平面EDB，
所以 SA ∥平面EDB .
答题模板：面面平行的证明
1、模板解决思路
解决这类面面平行问题，关键在于利用面面平行的判定定理。核心步骤是在一个平面内找到两条相交
的直线，这两条直线需要平行于另一个平面。为了找到这样的直线，我们需要仔细分析题目给出的条件，
并结合所给的立体图形，从中寻找和平行关系相关的信息。有时候，我们也需要勇于做出合理的猜测，以
辅助我们找到解决问题的线索。
2、模板解决步骤
第一步：在一个平面a 内找到平行于平面 b 的两条相交直线 a，b
第二步：通过线面平行的判定定理证明直线 a，b 都平行于平面 b .
第三步：通过面面平行的判定定理得到平面a 平行于平面 b .
【典型例题 1】如图所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，若D1、D 分别为 B1C1、BC 的中点，求证：平面
A1BD1 / /平面 AC1D．
【解析】证明：如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M，
∵四边形 A1ACC1 是平行四边形，∴M 是 A1C 的中点．连接 MD．
∵D 为 BC 的中点，∴ A1B / / DM ．
∵ A1B 平面 A1BD1 ，DM 平面 A1BD1 ，∴ //平面 A1BD1 ．
又由三棱柱的性质知， D1C1 / /BD, BD = D1C1 ，∴四边形 BDC1D1 为平行四边形，∴ DC1 / / BD1 ．
又DC1 平面 A1BD1 ， BD1 平面 A1BD1 ，∴ DC1 / /平面 A1BD1 ．
又∵ DC1 DM = D，DC1 平面 AC1D， DM 平面 AC1D，
∴平面 A1BD1 / /平面 AC1D．
【典型例题 2】如图，已知三棱柱 ABC - A1B1C1中， A1C 与 AC1交于点O，D 为 BC 边上一点，D1为 B1C1中点，
且 A1B / / 平面 ADC1 .求证：平面 A1BD1 / /平面 ADC1 .
【解析】由题意，因为 A1B / / 平面 ADC1，
且 A1B 平面 A1BC
又因为平面 ADC1 平面 A1BC = OD ，
所以由线面平行的性质得 A1B / /OD .
又因为O 点为 A1C 的中点，
1
所以D为 BC 的中点，即BD = BC ，
2
因为D1为 B1C
1
1的中点，即 D1C1 = B2 1
C1，
又因为 BC / /B1C1, BC = B1C1 ,
所以 BD = D1C1 , BD / /D1C1 ，
所以四边形 BDC1D1 为平行四边形，
所以 BD1 / / DC1 ,
又因为DC1 平面 ADC1 , BD1 平面 ADC1，
所以BD1 / / 平面 ADC1，
又 A1B / / 平面 ADC1， A1B BD1 = B， A1B 平面 A1BD1 , BD1 平面 A1BD1 ，
所以平面 A1BD1 / /平面 ADC1 .第 03 讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：直线和平面平行.................................................................................................................4
知识点 2：两个平面平行.....................................................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：平行的判定............................................................................................................................7
题型二：线面平行构造之三角形中位线法........................................................................................8
题型三：线面平行构造之平行四边形法..........................................................................................10
题型四：利用面面平行证明线面平行..............................................................................................13
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行..................................................................................15
题型六：面面平行的证明..................................................................................................................17
题型七：面面平行的性质..................................................................................................................19
题型八：平行关系的综合应用..........................................................................................................20
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................23
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................25
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................27
易错点：线面平行定理的理解不够准确..........................................................................................27
答题模板：面面平行的证明..............................................................................................................28
考点要求 考题统计 考情分析
本节内容是高考中的热点，线线、线
2024 年北京卷第 17（1）题，5 分 面、面面平行与证明通常出现在解答题的第
（1）直线与平面平行的
2024 年 I 卷第 17（1）题，5 分 一问．本节内容将空间中平行的判定与性质
判定与性质
2022 年甲卷（文）第 19 题，12 分 综合在一起复习，通常在高考题目中，虽然
（2）平面与平面平行的
2022 年乙卷（文）第 9 题，5 分 证明的结论是平行，但是过程中经常交叉使
判定与性质
2021 年浙江卷第 6 题，4 分 用空间直线、平面平行的判定定理或性质，
因此题目的综合性增强．
复习目标：
（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
（2）掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识点 1：直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线 l与平面a 平行，记作 l ∥a
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这 l∥l1 ü
线∥线 线 个平面内的一条直线平行，那么 l1 a l∥a
∥面 这条直线和这个平面平行（简记 l a
为“线线平行 线面平行
如果两个平面平行，那么在 a∥b ü
a∥b
面∥面 线 一个平面内的所有直线都平行于 a a
∥面 另一个平面
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和 l∥a ü

一个平面平行，经过 l b l∥l
线∥面 线∥线 这条直线的平面和这 a I b = l
个平面相交，那么这
条直线就和交线平行
【诊断自测】如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 是棱DD1的中点，试判断BD1与平面 AEC 的位置关系，
并说明理由.
知识点 2：两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面a 和 b ，若a I b = f ，则a ∥ b
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判 定 定 理 如果一个平面内有两 a a ,b a , a Ib = P
线 ∥ 面 条相交的直线都平行于另
a∥b，b∥b a∥b
面∥面 一个平面，那么这两个平
面平行（简记为“线面平行
面面平行
线 ^ 面 如果两个平面同垂直 l ^ a ü
a ∥ b
面∥面 于一条直线，那么这两个 l ^ b


平面平行
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平面平
面//面
行，那么在一个平面中 a / /b ü
线//面 a / /b
的所有直线都平行于另 a a
外一个平面
如果两个平行平面
同时和第三个平面相 a / /b ü
a Ig = a a / /b.
性质定理 交，那么他们的交线平
b Ig = b
行（简记为“面面平行
线面平行”）
如果两个平面中有
面//面 一个垂直于一条直线， a / /b ü
l ^ b
线^ 面 那么另一个平面也垂直 l ^ a
于这条直线
【诊断自测】如图 1，在矩形 ABCD中， AE = EF = FB = BC = CG = 2 ，将三角形 ADE 沿着线段DE向上
折起，使得点A 到达点 A 的位置，且平面 A DE ^ 平面DEFG ，将正方形BCGF 沿着GF 向上折起，使得
点B,C 分别到达点B ,C 的位置，且平面B C GF ^ 平面DEFG ，构成如图 2 所示的多面体，点M 为线段
1
DE的中点，点 N 在线段DG 上，且满足DN = DG ．
4
(1)证明：平面 A MN ∥平面B C GF ；
(2)求三棱锥D - A C N 的体积．
解题方法总结
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
线∥面 判定
判定
性质 性质判定
线∥线 面∥面
性质
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线a与平面a 没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行 线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，
同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
题型一：平行的判定
【典例 1-1】（2024·山东淄博·二模）已知 α，β，γ 为三个不同的平面，a，b，l 为三条不同的直线．
若a I b＝l,a Ig＝a, b Ig＝b, l / /g , 则下列说法正确的是（　　）
A．a 与 l 相交 B．b 与 l 相交 C．a∥b D．a 与 β 相交
【典例 1-2】（2024·高三·北京海淀·期末）设a , b ,g 是三个不同平面，且a I g = l, b I g = m，则“ l // m ”是
“a / /b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【方法技巧】
排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．
【变式 1-1】（多选题）（2024·河南·三模）已知a ， b 是两个不同平面，m，n 是两条不同直线，则下列命
题为假命题的是（ ）．
A．如果m ^ n，m ^ a ， n / /b ，那么a ^ b
B．如果m ^ a ， n / /a ，那么m ^ n
C．如果a / /b ，m a，那么m / /b
D．如果m // n，a / /b ，那么 m 与a 所成的角和 n 与 b 所成的角的大小不相等
【变式 1-2】（2024·贵州遵义·二模）已知平面a , b ,g 满足a ^ b , b ^ g ,a ^ g ，下列结论正确的是（ ）
A．若直线 l ^ a ，则 l // b 或 l / /g
B．若直线 l / /a ，则 l与 b 和g 相交
C．若 l a ，则 l ^ b ，且 l ^ g
D．若直线 l过空间某个定点，则与a , b ,g 成等角的直线 l有且仅有 4 条
【变式 1-3】下列四个正方体中，A ， B ，C 为所在棱的中点， D，E， F 为正方体的三个顶点，则能得
出平面 ABC // 平面 DEF 的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：线面平行构造之三角形中位线法
【典例 2-1】如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是棱 PB，PC 的中点，Q
是棱 PA 上一点，且 AQ = 3QP .
求证: NQ / /平面 MCD;
【典例 2-2】如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD是正方形，点 I 在棱 PA 上（不与端点重合），E，
F 分别是 PD，AC 的中点.
证明：EF / /平面PBC .
【方法技巧】
利用三角形中位线找线线平行.
【变式 2-1】（2024·山东济南·三模）如图所示， PDCE 为矩形， ABCD为梯形，平面 PDCE ^平面 ABCD，
1
BAD = ADC = 90° , AB = AD = CD = 1,
2 PD = 2
.
若点M 为 PA 的中点，证明: AC / / 平面MDE ；
【变式 2-2】（2024·陕西铜川·三模）如图，四棱锥P - ABCD 的底面是正方形，PD ^平面 ABCD，点E是
PA 的中点， F 是线段 PB上靠近 P 的三等分点， PD = AD = 2 .
(1)求证：PC ∥平面BDE ；
(2)求点 F 到平面BDE 的距离.
题型三：线面平行构造之平行四边形法
【典例 3-1】如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， AD ^ AB ， AB / /DC ， PA ^ 底面
ABCD，点 E 为棱 PC 的中点， AD = DC = AP = 2AB = 2．
证明：BE / /平面 PAD；
【典例 3-2】如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E、F 及 G 分别为棱BB1、DD1和CC1的中点.
求证：C1F / / 平面 DEG；
【方法技巧】
利用平行四边形找线线平行.
【变式 3-1】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥P - ABCD 中， PA ^ 底面 ABCD， AD//BC ，
AB = AD = AC = 3, PA = BC = 4, M , N 分别为线段 AD, PC 上一点， AM = 2MD .
若 N 为PC 的中点，证明：MN // 平面 PAB ；
【变式 3-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形 ABCD是矩形，M , N 分别
是 PD 和BC 的中点，平面PAB ^平面 ABCD, PA = PB = AB = AD = 2 .
(1)证明：MN / / 平面 PAB ；
(2)求三棱锥M - ABC 的体积.
uuur uuur
【变式 3-3】如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，D, D1, F 分别是BC ， B1C1 ， A1B1 的中点，BC = 4BE ，
VABC 的边长为 2．
求证：：EF / / 平面 ADD1A1；
题型四：利用面面平行证明线面平行
【典例 4-1】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台 ABCD - A1B1C1D1中，
E, F 分别为 AD, AB的中点， AB = 2A1B1 = 4，侧面BB1C1C 与底面 ABCD所成角为 45° .
求证：BD1 / / 平面 A1EF ；
【典例 4-2】（2024·江苏南京·二模）如图， AD / /BC ， AD ^ AB ，点E、 F 在平面 ABCD的同侧，
CF / / AE ， AD =1， AB = BC = 2，平面 ACFE ^平面 ABCD，EA = EC = 3 .
求证：BF // 平面 ADE ；
【方法技巧】
本法原理：已知平面a∥平面 b ，则平面 b 里的任意直线均与平面a 平行
【变式 4-1】（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形 ABCD中， AD//BC ， AB ^ BC， AB = BC = 2AD ，
把梯形 ABCD绕 AB旋转至 ABC1D1 ，E， F 分别为 AB，CC1中点．
证明：EF // 平面CD1A；
【变式 4-2】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考开学考试）如图，多面体 ABCDEF 中，四边形
ABCD为矩形，二面角 A - CD - F 的大小为 45o ，DE //CF ，CD ^ DE ， AD = 2 ，DC = 3．
（1） 求证：BF // 平面 ADE ；
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
【典例 5-1】如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1被平面a 所截，截面为 CDEF，且EF = DC ，
DC = 2AD = 4A1E = 2
π
， ADC = ，平面EFCD 与平面 ABCD
4
所成角的正切值为 3 ．证明： AD//BC .
3 3
【典例 5-2】如图，平面 ABCD, BF // 平面 ADE，CF //AE ．求证： AD//BC ．
【方法技巧】
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
【变式 5-1】如图所示，圆台的上 下底面圆半径分别为 2cm 和3cm, AA1, BB1 为圆台的两条不同的母线.
O1,O分别为圆台的上 下底面圆的圆心，且△OAB为等边三角形. 求证： A1B1 / / AB .
【变式 5-2】（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台 ABCD - A1B1C1D1中，DD1 ^ 平面ABCD，AD / /BC,
AD = DC = 2， BC =1， BCD = 60o , A1D1 = D1D =1．
记平面 A1ADD1与平面B1BCC1的交线为 l，证明： l / /BC ；
【变式 5-3】（2024·甘肃·一模）如图，空间六面体 ABCDEFGH 中, AD / /BC, EH / /FG ,
BCD = FGH = 90o ，平面 ABCD / / 平面EFGH ,CDHG 为正方形，平面HDCG ^平面
ABCD, AD = FG = 2EH , BC = 3EH .
求证： AE / / BF ；
题型六：面面平行的证明
【典例 6-1】如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是正方形，DE ^平面 ABCD，BF ^平面 ABCD，
DE = 2BF = 2 AB ．
(1)求证：平面 ABF // 平面CDE ；
(2)若 AB = 2 ，求多面体 ABCDEF 的体积．
【典例 6-2】（2024·高三·陕西西安·期中）如图，在圆台O1O 中， A1ABB1为轴截面， AB = 2A1B1 = 4，
A1AB = 60°，C 为下底面圆周上一点， P 为下底面圆O内一点， A1E 垂直下底面圆O于点E，
COF = EFO ．
(1)求证：平面O1OC // 平面 A1EF ；
【方法技巧】
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时
垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
【变式 6-1】（2024·重庆·二模）如图，直棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD为梯形， AB / /DC ，且
AB = 2DC, E, F 分别是棱 AB， AD的中点.
证明：平面D1EF / /平面C1BD ；
【变式 6-2】（2024·四川眉山·三模）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD为菱形，平面FCD ^平面
π
ABCD，平面EAB ^平面 ABCD,VAEB,VCFD是等腰直角三角形，且 DFC = BEA = .
2
证明：平面 ABF // 平面CDE ；
【变式 6-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面 AA1C1C 为矩形，M，
N 分别为 AC， A1C1的中点．
求证：平面BMA1 / / 平面B1NC ；
题型七：面面平行的性质
【典例 7-1】（2024·福建南平·二模）在正四面体 ABCD中， P 为棱 AD的中点，过点A 的平面a 与平面
PBC 平行，平面a I 平面 ABD = m，平面a I 平面 ACD = n，则m ， n所成角的余弦值为（ ）
2 1 2A． B． C． D 3．
3 3 3 3
【典例 7-2】已知正方体 ABCD - A1B1C1D1，平面 AB1C 与平面DD1C1C 的交线为 l，则（ ）
A． l //A1D B． l //B1D C． l //C1D D． l //D1C
【方法技巧】
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行 线面平行”）
【变式 7-1】如图，平面a / / 平面 b ，VPAB 所在的平面与a ， b 分别交于CD， AB，若 PC = 2，CA = 3，
CD =1，则 AB =（ ）
3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
【变式 7-2】如图，梯形 ABCD中 AB∥CD，四边形 A B C D 是梯形 ABCD在平面 α 内的投影
（ AA / /BB / /CC / /DD ），则对四边形 A B C D 的判断正确的是（ ）
A．可能是平行四边形不可能是梯形 B．可能是任意四边形
C．可能是平行四边形也可能是梯形 D．只可能是梯形
3
【变式 7-3】（2024·全国·模拟预测）在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 = AD = 3AB = 3，过顶点C1作平2
面g ，使得g // 平面 A1BD，若g I平面 ABCD = l ，则直线 l 和直线 A1B 所成角的余弦值为（ ）
A 2 B 5． ． C 2 2 5． D．
5 5 10 5
题型八：平行关系的综合应用
【典例 8-1】（2024·四川乐山·三模）在三棱柱 ABC - A1B1C
4
1中，点 D在棱 BB1上，满足VA- BCC = V ，1D 9 ABC - A1B1C1
uuuur uuuur NB
点M 在棱 A1C1上，且 A1M = MC1 ，点 N 在直线BB1上，若MN / / 平面 ADC1，则 =NB （ ）1
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例 8-2】如图 1，VABC 是边长为 3 的等边三角形，点D, E 分别在线段 AC, AB上，且 AE =1, AD = 2，
沿DE将VADE 翻折到△ PDE 的位置，使得 PB = 5 ，如图 2.
PM
在线段 PB上是否存在点M ，使得EM // 平面 PCD，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
MB
【方法技巧】
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关
键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
【变式 8-1】在三棱柱 ABC - A1B1C1中，点 D、D1分别是 AC 、 A1C1上的点，且平面BC1D//平面 AB1D1，
AD
试求 的值.
DC
【变式 8-2】（2024·上海嘉定·三模）在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AD = DD1 =1， AB = 3 ，E、F、G 分
别为 AB、BC、C1D1的中点.
(1)求三棱锥 A - GEF 的体积；
(2)点 P 在矩形 ABCD内，若直线D1P// 平面EFG ，求线段D1P长度的最小值.
【变式 8-3】如图，在正四面体 S - ABC 中， AB = 4 ，E，F，R 分别是 SB ， SC ， SA的中点，取 SE ， SF
的中点 M，N，Q 为平面 SBC 内一点．
(1)求证：平面MNR//平面 AEF ；
(2)若RQ// 平面 AEF ，求线段RQ的最小值．
【变式 8-4】如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，AC⊥BC，H 为 PC 的中点，M 为 AH 的中点，
PA = AC = 2, BC =1.
(1)求证： AH ^ BC；
(2)求点 C 到平面 ABH 的距离；
PN
(3)在线段 PB 上是否存在点 N，使 MN / / 平面 ABC？若存在，求出 PB 的值，若不存在，请说明理由.
1．（2021 年浙江省高考数学试题）如图已知正方体 ABCD - A1B1C1D1，M，N 分别是 A1D，D1B的中点，则
（ ）
A．直线 A1D与直线D1B垂直，直线MN / / 平面 ABCD
B．直线 A1D与直线D1B平行，直线MN ^平面BDD1B1
C．直线 A1D与直线D1B相交，直线MN / / 平面 ABCD
D．直线 A1D与直线D1B异面，直线MN ^平面BDD1B1
2．（2008 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（琼、宁卷））已知平面 α⊥平面 β，α∩β＝l，点 A∈α，
A l，直线 AB∥l，直线 AC⊥l，直线 m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
3．（多选题）（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 1 卷精编版））如图，在下列四个
正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平
面MNQ 平行的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2011 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷））如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，
AB = 2 ，E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若EF // 平面 AB1C ，则EF = .
1．如图， a，b 是异面直线， a a , a / /b ,b b ,b / /a ，求证：a / /b .
2．如图，a / /b / /g ，直线 a 与 b 分别交a , b ,g
AB DE
于点 A，B，C 和点 D，E，F，求证 = .
BC EF
3．一木块如图所示，点 P 在平面 VAC 内，过点 P 将木块锯开，使截面平行于直线 VB 和 AC ，应该怎样画
线？
4．如图，在长方体 ABCD- A B C D 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证EF / / A 'C ' .
5．如图，在长方体木块 ABCD - A1B1C1D1中，面 A1C1上有一点 P，怎样过点 P 画一条直线与棱 CD 平行？
6．如图，透明塑料制成的长方体 ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于水平地面上，
再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面 EFGH 所在四边形的面积为定值；
④棱 A1D1始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE BF 是定值．
其中所有正确命题的序号是　 ．
易错点：线面平行定理的理解不够准确
易错分析：在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，定要注意定理成立的条件，通常应严格按照
定理成立的条件规范书写步骤.
【易错题 1】如图，点 A，B，C，M，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线
MN / / 平面 ABC 的是（ ）
A． B．
C． D．
【易错题 2】如图，已知四棱锥 S - ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，E为侧棱SC 的中点.
求证： SA∥平面EDB ；
答题模板：面面平行的证明
1、模板解决思路
解决这类面面平行问题，关键在于利用面面平行的判定定理。核心步骤是在一个平面内找到两条相交
的直线，这两条直线需要平行于另一个平面。为了找到这样的直线，我们需要仔细分析题目给出的条件，
并结合所给的立体图形，从中寻找和平行关系相关的信息。有时候，我们也需要勇于做出合理的猜测，以
辅助我们找到解决问题的线索。
2、模板解决步骤
第一步：在一个平面a 内找到平行于平面 b 的两条相交直线 a，b
第二步：通过线面平行的判定定理证明直线 a，b 都平行于平面 b .
第三步：通过面面平行的判定定理得到平面a 平行于平面 b .
【典型例题 1】如图所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，若D1、D 分别为 B1C1 、BC 的中点，求证：平面
A1BD1 / /平面 AC1D．
【典型例题 2】如图，已知三棱柱 ABC - A1B1C1中， A1C 与 AC1交于点O，D 为BC 边上一点，D1为 B1C1 中
点，且 A1B / / 平面 ADC1 .求证：平面 A1BD1 / /平面 ADC1 .

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