资源简介

第 03 讲 等式与不等式的性质
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：比较大小基本方法 ....................................................................................................................................4
知识点 2：不等式的性质 ............................................................................................................................................4
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................5
题型一：不等式性质的应用 .......................................................................................................................................6
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 ...............................................................................................6
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 ...............................................................................................7
题型四：不等式的综合问题 .......................................................................................................................................8
题型五：糖水不等式 ...................................................................................................................................................9
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................10
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................10
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................11
易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围 .............................................................................................11
答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围 .....................................................................................................11
考点要求 考题统计 考情分析
高考对不等式的性质的考查相对较少，考查
（1）掌握等式性质．
内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的
（2）会比较两个数的大
题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到
小． 2022 年 II 卷第 12 题，5 分
高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以
（ 3 ）理解不等式的性
及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不 可
质，并能简单应用．
或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．
复习目标：
1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小.
2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
知识点 1：比较大小基本方法
方法
关系 做差法 做商法
与 0 比较 与 1 比较
a b a b 0 a
1(a，b 0) a或 1(a，b 0)
b b
a b a b 0 a
1(b 0)
b
a b a b 0 a
1(a，b 0) a 或 1(a，b 0)
b b
【诊断自测】（2024·北京丰台·二模）若 a,b R ，且 a b，则（ ）
1 1
A． 2 2
a 2
B．
+ 1 b2 + 1 a b ab
2 2 a a + bC．a ab b D． b2
知识点 2：不等式的性质
（1）基本性质
性质 性质内容
对称性 a b b a；a b b a
传递性 a b，b c a c；a b，b c a c
可加性 a b a + c b c
可乘性 a b，c 0 ac bc；a b，c 0 ac bc
同向 a c，c d a + c b + d
可加性
同向同正 a b 0，c d 0 ac bd
可乘性
可乘方性 a b 0，n N* a n b n
【诊断自测】（2024·陕西·模拟预测）已知 1 a 5, 3 b 1，则以下错误的是（ ）
A． 15 ab 5 B． 4 a + b 6
5 a
C． 2 a b 8 D． 5
3 b
解题方法总结
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在
解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单
调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与 0 的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与 1 的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于 0 或 1 比较大
小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法．
题型一：不等式性质的应用
【典例 1-1】（2024·北京海淀·二模）设a,b R,ab 0，且 a b，则（ ）
b a b a
A． B． + 2
a b a b
C．sin a b a b D．3a 2b
【典例 1-2】（多选题）（2024·高三·湖南常德·期末）已知a b 0，则下列不等式一定成立的
是（ ）
a b
A B 2ab a
2 + b2
． ．
a +1 b +1 a + b 2
C．a +b+ ln ab 2 1 1D．
1 + ln a 1 + ln b
【方法技巧】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数单调性进行判断．
3、小题可以利用特殊值排除法．
【变式 1-1】（2024·北京房山·一模）已知 a,b,c R ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 a b，则 a + c b + c B．若a b 0，则 a0.4 b0.4
1 a+c 1 b+c b b + cC．若 a b，则 ÷

2
D．若a b 0,c 0，则
è è 2 ÷ a a + c
1 1
【变式 1-2】（2024·北京西城·一模）设 a t ,b t + ,c t 2 + t ，其中 1 t 0 ，则（ ）t t
A．b a c B． cC．b题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【典例 2-1】已知 a 0且 a 1， P = log 3 2a (a +1) ，Q = log a (a +1) ，则P与Q的大小关系为 ．
【典例 2-2】（2024·高三·河南·开学考试）已知：a b c 0, A ab + bc, B ac + b2 ,C a2 + b2 ，
则 A、B、C 大小关系是 ．
【方法技巧】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调
性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．
2 2
【变式 2-1 a b】已知 a,b为正实数．求证： + a + b .
b a
【变式 2-2】（1）比较 aabb 与baa b (a 0,b 0)的大小；
（2）已知 a 2，比较 log(a 1) a与 log a (a + 1)大小
【变式 2-3】希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若 a ，b是两个非负实数，则
a + ab + b a + b
它们的希罗平均数H .记 A ，G ab ，则 A,G , H 从小到大的关系为 .（用“≤”连接）
3 2
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【典例 3-1】已知1 a b 2 ，3 a + b 4，则 ab 的最大值为（ ）
15
A B 9． ． C．3 D．4
4 2
c
【典例 3-2】已知 VABC 的三边长分别为 a ，b，c，且满足b + c 3a ，则 的取值范围为（
a ）
A． 1,+ B． 1,3 C． 0,2 D． 0,3
【方法技巧】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能离开变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，
否则会导致范围变大，而只可以建立已知与未知的关系．
【变式 3-1】（多选题）已知1 a 6 ， 2 b 4，则（ ）
a

1 , 3 a 1A． ÷ B． ,3

b è 2 2 b ÷è 4
C．a 3b 11,0 D．a 3b 6, 5
【变式 3-2】（多选题）已知实数 x，y 满足 3 x + 2y 2, 1 2x y 4,则（ ）
A． x 的取值范围为 ( 1,2) B． y的取值范围为 ( 2 ,1)
C． x + y 的取值范围为 ( 3,3) D． x y的取值范围为 ( 1,3)
【变式 3-3】已知实数 a，b 满足 2a2 + 3ab 2b2 1，且1 2 3b a 2 ，则3a + b的取值范围是（ ）
A． 5, 2 U 2, 5 B． 2, 5 C． 5,0 U 0, 5 D． 5, 2
题型四：不等式的综合问题
【典例 4-1】记max x1, x2, x3 表示 x1 , x2 , x3 这 3 个数中最大的数．已知 a ，b，c都是正实数，
M max ìa, 1 2b í + ,
c ü
，则 M 的最小值为（a c b ）
A． 3 B． 2 C．3 3 D．3 2
【典例 4-2】（2024·江苏南通·模拟预测）设实数 a ，b，c满足，a2 +b2 c 1则 a + b + c 的最小值
为（ ）
A 2
1 2
． 1 B． C．2
D． 1
2 2
【方法技巧】
综合利用等式与不等式的性质
【变式 4-1】（多选题）若实数 x，y 满足 4x2 + 6xy + 9y2 3，则（ ）
A． 4 x + 3 y 2 3 B． 4x + 3y 1
C． 4x2 6xy + 9y2 8 D． 4x2 6xy + 9 y 2 1
4 1 5 1
【变式 4-2】（多选题）已知 a 0，b 0，且满足 a + ，b + ．则a2 +b2的取值可以为（a b b a ）
A．10 B．11 C．12 D．20
题型五：糖水不等式
【典例 5-1】（多选题）生活经验告诉我们： a 克糖水中有b克糖（ a 0，b 0，且 a b），若再添加
m b b + m克糖（m 0）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式： ，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不
a a + m
等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
b b + m
A．若a b 0，m 0 ，则
a a + m
B． log3 2 log15 10
a b c
C．若 a ，b，c为 VABC 三条边长，则 +
1+ a 1+ b 1+ c
a b c
D．若 a ，b，c为 VABC 三条边长，则1 + + 2
b + c a + c a + b
b
【典例 5-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若 a 克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为 ，
a
这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽
b + m b
象出不等式 (a b 0，m 0 )数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 log3 2 a + m a
log1510 (用“ ”或“ ”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
【方法技巧】
b + m b a + m a糖水不等式：若 a b 0 ，m 0 ，则 ，或者 ．
a + m a b + m b
【变式 5-1】（1）已知bg 糖水中含有 ag 糖（b a 0 ），若再添加mg m 0 糖完全溶解在其中，则
a a + m
糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 .（填“>，<，=，≥，≤”之
b b + m
一）.
M 20192019 20192016（2） ， N ，则 M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
20232023 20232020
【变式 5-2】（2024·高三·安徽亳州·期中）已知b克糖水中含有 a 克糖 (b a 0)，再添加m克糖
(m 0)（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
A B C
(2)在锐角 VABC 中，根据（1）中的结论，证明： + + 2 .
B + C C + A A + B
1．（多选题）（2022 年新高考全国 II 卷数学真题）若 x，y 满足 x2 + y 2 xy 1，则（ ）
A． x + y 1 B． x + y 2
C． x2 + y 2 2 D． x2 + y2 1
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若 a>b，则（ ）
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
3．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知{an}为等比数列，下面结论中正确
的是
A． a1 + a3 2a B 2 2 22 ． a1 + a3 2a2
C．若 a1 a3，则 a1 a2 D．若 a3 a1，则 a4 a2
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a>b>0，则 ac2>bc2 B．若 a>b，则 a2>b2
2 2 1 1C．若 aa b
2．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1） x2 + 5x + 6与2x2 +5x +9；
（2） (x 3)2 与 (x 2)(x 4)；
（3）当 x 1时， x2与 x 2 x + 1；
（4） x2 + y 2 +1与2(x + y 1) .
3．火车站有某公司待运的甲种货物1530t ，乙种货物1150t ，现计划用 A，B 两种型号的货厢共 50 节运送
这批货物，已知 35t 甲种货物和 15 t 乙种货物可装满一节 A 型货厢，25t 甲种货物和 35 t 乙种货物可装满一
节 B 型货厢，据此安排 A，B 两种货厢的节数，共有几种方案？若每节 A 型货厢的运费是 0.5 万元，每节
B 型货用的运费是 0.8 万元，哪种方案的运费较少？
4．一个大于 50 小于 60 的两位数，其个位数字比十位数字大 2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两
位数（用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.
5．已知 2 a 3， 2 b 1，求 2a + b 的取值范围.
易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围
易错分析： 在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值
范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等
式．
答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围
1、模板解决思路
解决本模板问题一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得.
2、模板解决步骤
第一步：把所求代数式 s用条件的代数式 p ， t 表示出来，即 s mp + nt ．
第二步：列方程组，求出 m，n 的值.
第三步：分别求出mp 和 nt 的取值范围．
第四步：求出 s mp + nt 的取值范围．
【易错题 1】已知 1 x + y 1，1 x y 3，则3x 2y的取值范围是（ ）
A．2 3x 2y 8 B．3 3x 2y 8 C．2 3x 2y 7 D．5 3x 2y 10
π a b 4π π【易错题 2】已知 + ， π a b ，求 2a b 的取值范围为 .
3 3第 03 讲 等式与不等式的性质
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：比较大小基本方法 ....................................................................................................................................4
知识点 2：不等式的性质 ............................................................................................................................................4
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................5
题型一：不等式性质的应用 .......................................................................................................................................6
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 ...............................................................................................8
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 .............................................................................................10
题型四：不等式的综合问题 .....................................................................................................................................12
题型五：糖水不等式 .................................................................................................................................................14
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................17
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................18
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................20
易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围 .............................................................................................20
答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围 .....................................................................................................20
考点要求 考题统计 考情分析
高考对不等式的性质的考查相对较少，考查
（1）掌握等式性质．
内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的
（2）会比较两个数的大
题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到
小． 2022 年 II 卷第 12 题，5 分
高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以
（ 3 ）理解不等式的性
及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不 可
质，并能简单应用．
或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．
复习目标：
1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小.
2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
知识点 1：比较大小基本方法
方法
关系 做差法 做商法
与 0 比较 与 1 比较
a b a b 0 a
1(a，b 0) a或 1(a，b 0)
b b
a b a b 0 a
1(b 0)
b
a b a b 0 a
1(a，b 0) a或 1(a，b 0)
b b
【诊断自测】（2024·北京丰台·二模）若 a,b R ，且 a b，则（ ）
1 1
A． 2 B． a2b ab2a +1 b2 +1
C． a2
a + b
ab b2 D． a b
2
【答案】D
a 1,b 1 1 1 1 1 1【解析】由于 a b，取 ， 2 2 = ， a2b ab2 1，无法得到 ， a2b ab2 ，a +1 b +1 2 a2 +1 b2 +1
故 AB 错误，
取 a 0,b 2 ,则 a2 0,ab 0,b2 4 ，无法得到 a2 ab b2 ，C 错误，
a + b
由于 a b，则 2a b + a 2b，所以 a b ，
2
故选：D
知识点 2：不等式的性质
（1）基本性质
性质 性质内容
对称性 a b b a；a b b a
传递性 a b，b c a c；a b，b c a c
可加性 a b a + c b c
可乘性 a b，c 0 ac bc；a b，c 0 ac bc
同向 a c，c d a + c b + d
可加性
同向同正 a b 0，c d 0 ac bd
可乘性
可乘方性 a b 0，n N * an bn
【诊断自测】（2024·陕西·模拟预测）已知 1 a 5, 3 b 1，则以下错误的是（ ）
A． 15 ab 5 B． 4 a + b 6
5 a
C． 2 a b 8 D． 5
3 b
【答案】D
【解析】因为 1 a 5, 3 b 1，所以 1 b 3，
ì 1 a 5 ì 1 a 5 ì 1 a 5
对于 A， í 15 ab 3， í ab 0 , í 1 ab 5 ,
3 b 0 b 0 0 b 1
综上可得 15 ab 5，故 A 正确；
对于 B， 3 1 4 a + b 1+ 5 6，故 B 正确；
对于 C， 1 1 2 a b 3 + 5 8，故 C 正确；
对于 D，当 a 4,b
1 a
时， 8，故 D 错误；
2 b
故选：D.
解题方法总结
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在
解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单
调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与 0 的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与 1 的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于 0 或 1 比较大
小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式
乘积的形式，也可考虑使用作商法．
题型一：不等式性质的应用
【典例 1-1】（2024·北京海淀·二模）设 a,b R, ab 0，且 a b，则（ ）
b a b a
A． B． + 2
a b a b
C． sin a b a b D．3a 2b
【答案】C
b 1 a
【解析】对于 A，取 a 2,b 1，则 2，故 A 错误，
a 2 b
b a
对于 B， a 1,b 1，则 + 2a b ，故 B 错误，
对于 C，由于 y sin x x x 0 , y =cos x 1 0，故 y sin x x在 0, + 单调递减，故 sin x x 0，因此
sin x x, x 0, + ，
由于 a b，所以 a b 0，故 sin a b a b ，C 正确，
对于 D, a 3,b 4 3a
1
,则 2b
1
= ，故 D 错误，
27 16
故选：C
【典例 1-2】（多选题）（2024·高三·湖南常德·期末）已知a b 0，则下列不等式一定成立的
是（ ）
a b
A B 2ab a
2 + b2
． ．
a +1 b +1 a + b 2
C． a + b + ln ab 2 1 1D．
1+ ln a 1+ lnb
【答案】AB
1 1 1 1 0 a +1 b +1 a b【解析】∵a b 0，∴ + + 即 ，∴ ，A 正确；
a b a b a +1 b +1
2ab 2ab ab a + b由基本不等式知： a b 2 ，当且仅当 a b时等号成立+ 2 ab
又 a2 + b2 2ab，∴ 2 a2 + b2 a + b 2
a2
2
+b2 a +b a + b a2 + b2∴ 即 ,当且仅当 a b时等号成立；
2 4 2 2
2 2
已知 a b 0 , 2ab a + b故 ，B 正确;
a + b 2
令 a 1,b
1 1 1 1
， a + b + ln ab 1+ + ln 2，C 错误；
e e e e
1
令b ，1+ ln b 1+ ln
1
0，分母为零无意义，D 错误．
e e
故选：AB．
【方法技巧】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数单调性进行判断．
3、小题可以利用特殊值排除法．
【变式 1-1】（2024·北京房山·一模）已知 a,b,c R ，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若 a b，则 a + c b + c B．若a b 0，则 a0.4 b0.4
C a b 1
a+c 1 b+c b b + c
．若 ，则 ÷ ÷ D．若 a b 0,c 0，则
è 2 è 2 a a + c
【答案】D
【解析】对于 A，因为 a b，所以 a + c b + c，故 A 结论正确；
对于 B，当a b 0时，因为幂函数 y x0.4 在 0, + 上单调递增，所以 a0.4 b0.4 ，故 B 结论正确；
对于 C，因为 a b，所以 a + c b + c，
x a+c b+c
y 1 1 1 而函数 ÷ 为减函数，所以2 ÷
÷ ，故 C 结论正确；
è è 2 è 2
b b + c b a + c a b + c c b a
对于 D， a a + c a a + c a a + c ，
因为 a b 0,c 0，所以 c b a 0, a a + c 0，
b b + c c b a b b + c
所以 0a a c a a c ，所以 ，故 D 结论错误.+ + a a + c
故选：D.
1 1
【变式 1-2】（2024·北京西城·一模）设 a t ,b t + ,c t 2 + t ，其中 1 t 0 ，则（ ）
t t
A．b a c B． cC．b【答案】C
1
【解析】由 1 t 0 ，故 , 1 1 ，故 a t 0，
t t
1
由对勾函数性质可得b t + 1+1 2 ，
t
c t 2 + t 0 ，且 c t × 2 + t t 2 + 2t t +1 2 1 1，
综上所述，有b故选：C.
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
2-1 a 0 a 1 P = log (a3【典例 】已知 且 ， a +1)
2
，Q = loga (a +1)，则 P 与Q的大小关系为 ．
【答案】P Q
a3
【解析】P Q loga a3 +1 log 2 +1a a +1 loga 2 ．a +1
3
a 1 3 2 a +1 a
3 +1
当 时， a +1 a +1，所以 2 1，则 log 0；a +1 a a2 +1
3
0 a 1 3 a +1 a
3 +1
当 时，0 a +1 a2 +1，所以0 2 1，则 loga +1 a 2
0．
a +1
综上可知，当 a 0且a 1时，P Q 0，即P Q．
【典例 2-2】（2024·高三·河南·开学考试）已知：a b c 0, A ab + bc, B ac + b2 ,C a2 + b2 ，
则 A、B、C 大小关系是 ．
【答案】C A B
【解析】由 a b c 0，得 a2 ab,b2 bc ，因此C a2 + b2 ab + bc A，
显然 A B (ab + bc) (ac + b2 ) (a b)(b c) 0，则A B，
所以 A、B、C 大小关系是C A B .
故答案为：C A B
【方法技巧】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调
性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．
2 2
【变式 2-1】已知 a,b a b为正实数．求证： + a + b .
b a
a2 b2 3 a b a + b
3 a2b ab2 a2 (a b) b2 (a b) (a b)2 (a + b)
【解析】证明：因为 + + ，
b a ab ab ab
2
又因为 a 0,b 0 (a b) (a + b)，所以 0，当且仅当 a b时等号成立，
ab
a2 b2
所以 + a + b .
b a
【变式 2-2】（1）比较 aabb与baab(a 0,b 0)的大小；
（2）已知 a 2，比较 log(a 1) a与 loga (a +1)大小
【解析】（1）因为 a 0,b 0，
aabb a
a b
所以 a b

b a ÷
，
è b
aabb a a b
所以①当 a b 0 时，
ba
1，
ab è b ÷
所以 aabb baab ，
a
②当a b 0时， 1, a b 0 ，
b
a a b
即 ÷ 1，
è b
所以 aabb baab ，
a
③当b a 0时，0 1, a b 0，
b
a a b
即 ÷ 1，
è b
所以 aabb baab ，
综上所述：当 a 0,b 0， aabb baab .
（2） log(a 1) a loga (a +1)
lg a lg a +1

lg a 1 lg a
lg2 a lg a +1 lg a 1
，
lg a lg a 1
因为 a 2，所以 lg a +1 0, lg a 1 0, lg a 0 ，
所以 lg a lg a 1 0，
2
lg a 1 + lg a +1 由 lg a +1 lg a 1 ÷
è 2
lg a2 1 2 2 2
÷
lg a
2
2 ÷ ÷
lg a ，
è è 2
所以 lg2 a lg a +1 lg a 1 0，
lg2 a lg a +1 lg a 1
所以 0，
lg a lg a 1
即 log(a 1) a loga (a +1) 0，
故 log(a 1) a loga (a +1) .
【变式 2-3】希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若 a，b 是两个非负实数，则
a + ab + b A a + b它们的希罗平均数 H .记 ，G ab ，则 A,G, H 从小到大的关系为 .（用“≤”连接）
3 2
【答案】G H A
【解析】由基本不等式可知，G A，当且仅当 a b时等号成立；
2a b因为 H G a + ab + b ab a 2 ab + b 0，
3 3 3
当且仅当 a b ，即 a b时等号成立，所以H G ；
2
因为 H A a + ab + b a + b a + 2 ab b
a b
0，
3 2 6 6
当且仅当 a b ，即 a b时等号成立，所以H A；
综上所述，G H A，当且仅当 a b时等号成立.
故答案为：G H A
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【典例 3-1】已知1 a b 2，3 a + b 4，则 ab 的最大值为（ ）
15
A 9． B． C．3 D．4
4 2
【答案】A
【解析】 4ab (a + b)2 (a b)2 ，
由不等式的性质9 (a + b)2 16 ，1 (a b)2 4，所以 4 (a b)2 1
5 15
所以5 (a + b)2 (a b)2 15，所以 ab ，
4 4
ì 5
ì a + b
2 16 a
当且仅当 í 时，且已知 a + b 0, a b 0
2
，解得 í ，
a b
2 1 b 3
2
15
即ab的最大值为 .
4
故选：A.
c
【典例 3-2】已知VABC 的三边长分别为 a，b ， c，且满足b + c 3a，则 的取值范围为（ ）a
A． 1, + B． 1,3 C． 0,2 D． 0,3
【答案】C
ìa b + c 3a

【解析】由已知及三角形三边关系得 í a + b c ，

a + c b
ì1 b c + 3a a ì 1 b c + 3

所以 í 1
b c 2c
+ a a，则 í ，两式相加得0 4，
a a 1 c b 1 a
1 c b

+ a a a a
0 c所以 2 .
a
故选：C
【方法技巧】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能离开变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，
否则会导致范围变大，而只可以建立已知与未知的关系．
【变式 3-1】（多选题）已知1 a 6， 2 b 4，则（ ）
a 1 3 a 1
A．

, ÷ B． ,3

b è 2 2 b ÷ è 4
C． a 3b 11,0 D． a 3b 6, 5
【答案】BC
【解析】依题意1 a 6， 2 b 4，
1 1 1 1 a
所以 ，所以 3，所以 A 选项错误，B 选项正确.
4 b 2 4 b
所以 12 3b 6 ，所以 11 a 2b 0，所以 C 选项正确，D 选项错误.
故选：BC
【变式 3-2】（多选题）已知实数 x，y 满足 3 x + 2y 2, 1 2x y 4,则（ ）
A． x 的取值范围为 ( 1,2) B． y 的取值范围为 ( 2,1)
C． x + y 的取值范围为 ( 3,3) D． x y的取值范围为 ( 1,3)
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.因为 1 2x y 4，所以 2 4x 2y 8 .因为 3 x + 2y 2 ，所以
5 5x 10，则 1 x 2，故 A 正确；
因为 3 x + 2y 2 ，所以 6 2x + 4y 4 .因为 1 2x y 4，所以 4 2x + y 1，所以 10 5y 5，
所以 2 y 1，故 B 正确；
9 3 6 1 1 4
因为 3 x + 2y 2， 1 2x y 4，所以 （x + 2y） , （2x y） ，则 2 x + y 2，故 C
5 5 5 5 5 5
错误；
因为 3 x + 2y 2， 1 2x y 4
2 1 x 2y 3 3 3 12，所以 （ + ） ， （2x y） ，则 1 x y 3，故
5 5 5 5 5 5
D 正确.
故选：ABD.
【变式 3-3】已知实数 a，b 满足 2a2 + 3ab 2b2 1，且1 23b a 2，则3a +b的取值范围是（ ）
A． 5, 2 U 2, 5 B． 2, 5 C． 5,0 U 0, 5 D． 5, 2
【答案】A
2 2
【解析】由题意得： 2a + 3ab 2b 2a b a + 2b 1，记m 2a b， n a + 2b ，则mn 1．
3b a n m ∴ 0 n m 1 ∴ 4 m + n 2 n m 2又1 2 2 2， ， + 4mn 5，
∴ 3a + b m + n 5, 2 U 2, 5 ．
故选：A
题型四：不等式的综合问题
【典例 4-1】记max x1, x2 , x3 表示 x1, x2 , x3这 3 个数中最大的数．已知 a，b ， c都是正实数，
M max ìa, 1 2b c í + ,
ü
，则M 的最小值为（ ）
a c b
A． 3 B． 2 C．3 3 D．3 2
【答案】A
M max ìa, 1 2b+ , c ü c M 1 2 1 2b【解析】因为 í ，所以 a M ， ，所以 + + M ，
a c b b M M a c
3 M c所以 ，即M 3 ，当且仅当 a 3 时取等号，所以M 的最小值为 3．
M b
故选：A
【典例 4-2】（2024·江苏南通·模拟预测）设实数 a，b ， c满足， a2 + b2 c 1则 a + b + c 的最小值
为（ ）
A 2
1
． 1 B C 2． ．2
D． 1
2 2
【答案】B
【解析】由 a2 + b2 c 1可得：
a + b + c a 1+ b + a2 + b2 (a + )2 + (b 1)2 1 1+ ，
2 2 2 2
当 a b
1
时取等号，
2
所以 a b
1
+ + c 的最小值为 .
2
故选：B
【方法技巧】
综合利用等式与不等式的性质
【变式 4-1】（多选题）若实数 x，y 满足 4x2 + 6xy + 9y2 3，则（ ）
A． 4x + 3y 2 3 B． 4x + 3y 1
C． 4x2 6xy + 9y2 8 D． 4x2 6xy + 9y2 1
【答案】AD
2
【解析】对于 AB，因为 4x + 6xy 9y2
1 (4x 3y)2 27 1+ + + y2 3 2，所以 (4x + 3y) 3，当且仅当 y 0 时
4 4 4
取等号，
所以 (4x + 3y)2 12，所以 2 3 4x + 3y 2 3，所以 A 正确，B 错误，
对于 C，因为 2(2x + 3y)2 0，所以 2(4x2 +12xy + 9y2 ) 0，当且仅当 2x 3y 时取等号，
所以8x2 + 24xy +18y2 0，所以12x2 +18xy + 27 y2 4x2 6xy + 9y2 ，
所以3(4x2 + 6xy + 9y2 ) 4x2 6xy + 9y2 ，
所以 4x2 6xy + 9y2 9，当且仅当 2x 3y 时取等号，所以 C 错误，
对于 D，因为 2(2x 3y)2 0，所以 2(4x2 12xy + 9y2 ) 0，当且仅当 2x 3y时取等号，
所以8x2 24xy +18y2 0，所以12x2 18xy + 27y2 4x2 + 6xy + 9y2 ，
2
4x2 6xy 9y2 4x + 6xy + 9y
2
所以 + 1，当且仅当 2x 3y时取等号，所以 D 正确，
3
故选：AD
4 1
【变式 4-2】（多选题）已知 a 0，b 0，且满足 a + ，b
5 1
+ ．则 a 2 + b2 的取值可以为（
b a ）a b
A．10 B．11 C．12 D．20
【答案】CD
【解析】因为 a
4 1 5 1
+ ，b + ，
a b b a
a2 a b所以 4 + b2， 5 + ，
b a
故 a2 b2 4 a 5 b a b+ + + + 9 + 2 × 11，
b a b a
a2 a b a b当 4 + 2，b 5 + 且 ，而 a b时 a2 b2，即等号不能同时成立，
b a b a
所以 a2 + b2 11，故 AB 错误，CD 正确.
故选：CD.
题型五：糖水不等式
【典例 5-1】（多选题）生活经验告诉我们： a克糖水中有b 克糖（ a 0，b 0，且 a b），若再添加
m b b + m克糖（m 0）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式： ，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不
a a + m
等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
b b + m
A．若a b 0，m 0，则
a a + m
B． log3 2 log15 10
C．若 a，b ， c为VABC
a b c
三条边长，则 +
1+ a 1+ b 1+ c
a b c VABC 1 a b cD．若 ， ， 为 三条边长，则 + + 2
b + c a + c a + b
【答案】BCD
m 0 b b + m【解析】A.由糖水不等式得：a b 0， 时， a a m ，故 A 错误.+
log 2 lg 2 lg 2 + lg5 lg10B. 3 log 10lg3 lg3+ lg5 lg15 15 ，故 B 正确.
a b a b a + b c
C. + + ，故 C 正确.
1+ a 1+ b 1+ a + b 1+ a + b 1+ a + b 1+ c
a b c a b c
D. + + + + 1，
b + c a + c a + b a + b + c a + b + c a + b + c
a b c 2a 2b 2c
+ + + + 2，故 D 正确.
b + c a + c a + b a + b + c a + b + c a + b + c
故选：BCD
b
【典例 5-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若 a克不饱和糖水中含有b 克糖，则糖的质量分数为 ，
a
这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽
b + m b
象出不等式 (a b 0，m 0 )数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 log3 2 a + m a
log1510 (用“ ”或“ ”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
ln 2 + ln5 ln 2【答案】
ln3 + ln5 ln3
【解析】空 1：因为0 log3 2 1，所以可得：
log 2 log5 2 log5 2 +1 log5 2 log5 103 log 10log5 3 log5 3 +1 log5 3 log5 15
15 ；
ln 2 ln10 ln 2 + ln 5 ln 2 + ln5 ln 2
空 2：由空 1 可得： log3 2 log15 10 ，即 .ln 3 ln15 ln 3 + ln 5 ln3 + ln5 ln3
ln 2 + ln5 ln 2故答案为： ；
ln3 + ln5 ln3
【方法技巧】
糖水不等式：若 a b 0 ，m 0 b + m b a + m a，则 ，或者 ．
a + m a b + m b
【变式 5-1】（1）已知bg 糖水中含有 ag糖（b a 0），若再添加mg m 0 糖完全溶解在其中，则糖
a a + m
水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 .（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
b b + m
M 20192019 N 20192016（2） ， ，则 M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
20232023 20232020
【答案】
a a + m a(b + m) b(a + m) (a b)m
【解析】（1）∵ b b + m b(b + m) b(b ，+ m)
又∵ 0 a b，m 0，
a a + m (a b)m a a + m
∴ 0b b + m b(b + m) ，即 ；b b + m
M 20192016 + 3 N 20192016（2）因为 ， ，
20232020 + 3 20232020
故M N .
故答案为： ； .
【变式 5-2】（2024·高三·安徽亳州·期中）已知b 克糖水中含有 a克糖 (b a 0)，再添加m 克糖
(m 0) （假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
A B C
(2)在锐角VABC 中，根据（1）中的结论，证明： + + 2 .
B + C C + A A + B
a a + m
【解析】（1）若b a 0, m 0 ，则 .
b b + m
a a + m a b + m b a + m m a b
证明： b b + m b b + m b b m .+
m a b
因为b a，所以 a b 0，又b 0,m 0，故 0b b + m ，
a a + m
因此 .
b b + m
（2）在锐角三角形中 A B + C, A 0
A A + A 2A
，由（1）得 ，
B + C A + B + C A + B + C
B B + B 2B
同理 ，
C + A A + B + C A + B + C
C C + C 2C
.
A + B A + B + C A + B + C
A B C
以上式子相加得 + + 2 .
B + C C + A A + B
1．（多选题）（2022 年新高考全国 II 卷数学真题）若 x，y 满足 x2 + y2 xy 1，则（ ）
A． x + y 1 B． x + y 2
C． x2 + y2 2 D． x2 + y2 1
【答案】BC
2 2 2 2
【解析】因为 ab a + b a + b a,b R x2 + y2 xy 1 x y 2 1 3xy 3 x + y ÷

（ ），由 可变形为， + ，
è 2 2 è 2 ÷
解得 2 x + y 2，当且仅当 x y 1时， x + y 2，当且仅当 x y 1时， x + y 2 ，所以 A 错误，
B 正确；
2 2
由 x2 + y2 xy 1可变形为 x2 + y2 1 x + y xy ，解得 x2 + y2 2 ，当且仅当 x y ±1时取等号，所2
以 C 正确；
2
x2 + y2 xy 1 x y 3 y 3因为 变形可得 ÷ + y
2 1，设 x cosq , y sinq ，所以
è 2 4 2 2
x cosq 1+ sinq , y 2 sinq x2 + y2，因此 cos2 q
5
+ sin2 q 2+ sinq cosq 1 1+ sin 2q 1 cos 2q 1+
3 3 3 3 3 3 3
4 2
+ sin 2q π é2 ù 3 3 ÷ ê , 2ú，所以当 x , y 时满足等式，但是 x
2 + y2 1不成立，所以 D 错误．
3 3 è 6 3 3 3
故选：BC．
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若 a>b，则（ ）
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取 a 2,b 1，满足 a b， ln(a b) 0 ，知 A 错，排除 A；因为9 3a 3b 3，知 B 错，排除 B；
取a 1,b 2，满足 a b，1 a b 2，知 D 错，排除 D，因为幂函数 y x3是增函数， a b，所以
a3 b3，故选 C．
3．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知{an}为等比数列，下面结论中正确
的是
A． a1 + a3 2a2 B a
2 2
． 1 + a3 2a
2
2
C．若 a1 a3，则 a1 a2 D．若 a3 a1，则 a4 a2
【答案】B
【解析】设{an}的首项为 a1，公比为 q，当 a1<0，q<0 时，可知 a1<0，a3<0，a2>0，所以 A 不正确；
当 q＝－1 时，C 选项错误；当 q<0 时，a3>a1 a3qB 选项正确．
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 a>b>0，则 ac2>bc2 B．若 a>b，则 a2>b2
1 1
C．若 aa b
【答案】D
【解析】对于 A，当 c=0 时，ac2=bc2，所以 A 不是真命题；
对于 B，当 a=0，b=-2 时，a>b，但 a2对于 C，当 a=-4，b=-1 时，aab>b2，所以 C 不是真命题；
1 1
对于 D，若 aa b
故选:D．
2．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1） x2 + 5x + 6与 2x2 + 5x + 9；
（2） (x 3)2 与 (x 2)(x 4) ；
（3）当 x 1时， x2 与 x2 x +1；
（4） x2 + y2 +1与 2(x + y 1) .
2 2 2
【解析】（1）因为 x + 5x + 6 2x + 5x + 9 x 3 0 ，所以 x2 + 5x + 6 2x2 + 5x + 9 .
（2 2 2 2）因为 (x 3) (x 2)(x 4) x 6x + 9 x 6x + 8 1 0，所以 (x 3)2 (x 2)(x 4) .
3 x2 x2（ ）因为 x +1 x 1 0，所以当 x 1时， x2 x2 x +1.
（4）因为 x2 + y2 +1 2(x + y 1) x2 + y2 +1 2x 2y + 2 (x 1)2 + (y 1)2 +1 0，所以
x2 + y2 +1 2(x + y 1) .
3．火车站有某公司待运的甲种货物1530t ，乙种货物1150t ，现计划用 A，B 两种型号的货厢共 50 节运送
这批货物，已知 35t 甲种货物和 15 t 乙种货物可装满一节 A 型货厢，25t 甲种货物和 35 t 乙种货物可装满一
节 B 型货厢，据此安排 A，B 两种货厢的节数，共有几种方案？若每节 A 型货厢的运费是 0.5 万元，每节
B 型货用的运费是 0.8 万元，哪种方案的运费较少？
【解析】设安排 A 型货厢 x 节，B 型货厢 y 节，总运费为 z
ì35x + 25y…1530

所以 í15x + 35y…1150 ，所以 28 x 30

x + y 50
ìx 28 ìx 29 ìx 30
又因为 x N* ，所以 í
y 22
或 í .
y 21
或
í y 20
所以共有三种方案，方案一安排 A 型货厢 28 节，B 型货厢 22 节；
方案二安排 A 型货厢 29 节，B 型货厢 21 节；
方案三安排 A 型货厢 30 节，B 型货厢 20 节.
ìx 30
当 í 时，总运费 z 0.5 30 + 0.8 20 31y 20 （万元）此时运费较少.
4．一个大于 50 小于 60 的两位数，其个位数字比十位数字大 2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两
位数（用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.
ì50 10a + b 60

b a 2 4 4 a 5 3【解析】由题意知 í0 a 9 ，解得 . 11 11
0 b 9
又 a N *,\a 5
\b 7，∴所求的两位数为 57.
5．已知 2 a 3， 2 b 1，求 2a + b 的取值范围.
【解析】由不等式的性质直接求解即可因为 2 a 3，所以 4 2a 6 ，
因为 2 b 1，所以 4 + ( 2) 2a + b 6 + ( 1)，
即 2 2a + b 5，
所以 2a + b 的取值范围为 (2,5) .
易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围
易错分析： 在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值
范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等
式．
答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围
1、模板解决思路
解决本模板问题一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得.
2、模板解决步骤
第一步：把所求代数式 s 用条件的代数式 p ， t 表示出来，即 s mp + nt ．
第二步：列方程组，求出 m，n 的值.
第三步：分别求出mp 和 nt 的取值范围．
第四步：求出 s mp + nt 的取值范围．
【易错题 1】已知 1 x + y 1，1 x y 3，则3x 2 y 的取值范围是（ ）
A． 2 3x 2y 8 B．3 3x 2y 8 C． 2 3x 2y 7 D．5 3x 2y 10
【答案】A
【解析】设3x 2y m x + y n x y m n x + m + n y，
ì 1
ìm n 3 m 2 1 5
所以 í ，解得 í ，即可得3x 2y x + y + x y ，
m + n 2 n 5 2 2
2
因为 1 x + y 1，1 x y 3，
1 5
所以 2 3x 2y x + y + x y 8，
2 2
故选：A．
4π π
【易错题 2】已知 π a + b ， π a b ，求 2a b 的取值范围为 .
3 3
π
【答案】 π,
è 6 ÷
【解析】设 2a b x a + b + y a b x + y a + x y b , x, y R ，
ì 1
ìx + y 2 x 2
则 í
x y 1
，解得 í ，
y 3
2
所以 2a b
1
a + b 3+ a b ，
2 2
4π π
因为 π a + b ， π a b ，
3 3
π 1 a 2π 3π 3 π所以 + b ， a b ，
2 2 3 2 2 2
π
所以 π 2a b ．
6
π
则 2a b 的取值范围为 π, 6 ÷ ．è

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