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第 04 讲 解三角形
目录
01 模拟基础练 ......................................................................................................................................2
题型一：正弦定理的应用....................................................................................................................2
题型二：余弦定理的应用....................................................................................................................2
题型三：判断三角形的形状................................................................................................................2
题型四：正、余弦定理的综合运用....................................................................................................3
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用........................................................................3
题型六：解三角形的实际应用............................................................................................................4
题型七：倍角关系................................................................................................................................5
题型八：三角形解的个数....................................................................................................................6
题型九：三角形中的面积与周长问题................................................................................................7
02 重难创新练 ......................................................................................................................................8
03 真题实战练 ....................................................................................................................................11
题型一：正弦定理的应用
1．在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且b = 2,a = 2, B = 30°，则C = .
4
2．在VABC 5中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， cos A = ， cos B = ， a = 2，则 c = .
5 13
sinC b
3．已知VABC 的内角A ， B ，C的对边分别为 a，b ， c，若 + =1，则角 A = .
sinA + sinB a + c
题型二：余弦定理的应用
4．在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若VABC 的面积为
3 bcsinB + c2sinC - acsinA
，则角A = .
4sinC
VABC sin C sin A - sin B5．在 中， = ，则角A = .
sin A + sin B sin B + sin C
6．在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a : b : c = 5 : 7 :8，则VABC 中角 B 的大小是（ ）
A．135o B．120o C．90o D．60o
题型三：判断三角形的形状
VABC cos2 B a + c7．（2024·高三·广东广州·开学考试）在 中， = ，则VABC 的形状为 三角形．
2 2c
8．在VABC 1- cos 2C中，有 2sin(A + B) -1 = ，试判断VABC 的形状 （从“直角三角形”，“锐角三角
2
形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.
9．在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 a - b = c × (cos B - cos A)，则VABC 的形状为 .
10．对于VABC ，有如下四个命题:
①若 sin 2A = sin 2B ，则VABC 为等腰三角形，
②若 sin B = cos A，则VABC 是直角三角形
③若 sin2 A + sin2 B < sin2 C ，则VABC 是钝角三角形
a b c
A = B =④若 cos cos cos C ，则VABC 是等边三角形.
2 2 2
其中正确的命题序号是
11．已知DABC 的三个内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足 cos2 A - cos2 B + cos2 C =1+ sin Asin C ，且
sin A + sin C =1，则DABC 的形状为
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为150o的等腰三角形 D．顶角为120o的等腰三角形
题型四：正、余弦定理的综合运用
π
12．（2024·北京西城·三模）在VABC 中，若 c = 2， a = 3， A = ，则 sin C = ，b = .6
13．（2024·贵州六盘水·三模）在VABC 中， AB = 2， AC = 3， A
π
= ，则VABC 外接圆的半径为（　　）
3
A 7 B 21． ． C 2 7 2 21． D．
3 3 3 3
14 2 2．设△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sin A = sin B ，且 c = 2a 1+ sin C ，则C =
（ ）
p π π 3p
A． B． C． D．
6 4 3 4
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用
15．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 f (x) = 2 3 sin x cos x - 2cos2 x .
(1)求函数 y = log2 f (x) 的定义域和值域；
A b + c(2)已知锐角VABC 的三个内角分别为 A，B，C，若 f 2 ÷
= 0，求 的最大值.
è a
x x x
16．（2024·湖南长沙·一模）已知函数 f x = 3 sin cos + cos2 .
4 4 4
2p
（1）若 f x =1，求 cos - x ÷的值.
è 3
（2）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且满足 a cosC
1
+ c = b ，求 f B 的取值范围.
2
A, B,C a,b,c ar p
r
17．在DABC 中，角 的对边分别为 .已知向量 = sin A + ÷ , -1÷，向量b = 1,cos A ，且
è è 6
r
ar 1×b = .
2
（1）求角A 的大小；
（2）若b = 4 ， c = 5，求 sin 2B 的值.
题型六：解三角形的实际应用
18．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距 14 公里的 A, B两座炮台，A 在 B 的正东方.某次演习时，A
向西偏北q 方向发射炮弹， B 则向东偏北q 方向发射炮弹，其中q 为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18 公里
q
外的同一目标，接着A 改向向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为 18 公里外的点M ，则 B 炮台与弹着点M
2
的距离为（ ）
A．7 公里 B．8 公里 C．9 公里 D．10 公里
19．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量
山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的
高度．把塔底与塔顶分别看作点 C，D，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点 A，B，测得 AB = 20 3m，
在点 A 处测得点 C，D 的仰角分别为30°， 60°，在点 B 处测得点 D 的仰角为30°，则塔高 CD 为 m．
20．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳
楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度 AB ，他首先在C
处，测得楼顶A 的仰角为60°，然后沿BC方向行走 22.5 米至D处，又测得楼顶A 的仰角为30°，则楼高 AB
为 米．
21．中华人民共和国国歌有 84 个字，37 小节，奏唱需要 46 秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡
度15o的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60o 和30o，第一
排和最后一排的距离为10 2 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚
好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 （米/秒）
22．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC、CD 是救
生栈道的一部分，其中BC = 300m，CD = 800m， B 在A 的北偏东30°方向，C在A 的正北方向，D在A 的
北偏西80°方向，且 B = 90°．若救生艇在A 处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B - C - D ，则最短距离
为 m．(结果精确到 1 m)
题型七：倍角关系
23．（多选题）（2024·河北·三模）已知VABC 内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c， A = 2B，则（ ）
A a2 = c b + c B b a
2
． ． + 2 的最小值为 3c b
C．若VABC
c
为锐角三角形，则 1,2 D．若 a = 2 6 ，b = 3，则 c = 5b
24．在锐角VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 a2
c 2
= b2 + bc ，则 + 的最小值为 .
b cos2B
25．设VABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别是 a,b,c，且 A = 2B,b c, D 为BC边上的中点，且 AD = 2c ，
则 cosA = ．
26．在锐角VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 a2 - b2 = bc ．
(1)求证： A = 2B；
(2)若b =1，求 a 边的范围；
1 1
(3)求 - + 2sin Atan B tan A 的取值范围．
题型八：三角形解的个数
27．（2024·北京朝阳·一模）在VABC 中，a = 4 2，b = m， sin A - cos A = 0．
（1）若m = 8，则 c = ；
（2）当m = （写出一个可能的值）时，满足条件的VABC 有两个．
28．（2024·上海闵行·模拟预测）已知VABC 中， A， B， C 的对边分别为 a，b ， c，若b = 4 ，
c = 6，给出下列条件中：① A = 30°，② B = 30°，③ SVABC = 6，能使VABC 有两解的为 .（请写
出所有正确答案的序号）
29．已知 a,b,c分别是VABC 内角 A, B,C
π
所对的边，若b = 2 ， A = ，且VABC 有唯一解，则 a的取值范围
6
为 .
30．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成
了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁 A 和临秀亭 B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的
A 、 B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、 B 不共线的C处，构成VABC ，以下是测量数据的不同方
案：
①测量 A、 AC 、BC；
②测量 A、 B、BC；
③测量 C 、 AC 、BC；
④测量 A、 C 、 B．
其中一定能唯一确定A 、 B 两地之间的距离的所有方案的序号是 ．
题型九：三角形中的面积与周长问题
31．（2024·山东·模拟预测）VABC 内角A ， B ，C的对边分别为 a，b ， c，若b = 2a sin B，bc = 4，则
VABC 的面积为 .
32．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, a
r
= a,c - b ，
r r
b =（sinC + sinB,sinA + sinB r）且a P b ．
(1)求角C；
(2) V 3 3若 c = 3 2, ABC 的面积为 ，求VABC 的周长．
2
33．（2024·北京西城·二模）已知函数 f (x) = 3 sin x
x
+ 2cos2 ．在VABC 中， f (A) = f (B) ，且 a b ．
2
(1)求 C 的大小；
(2)若 c = 5，且VABC 的面积为 2 3 ，求VABC 的周长．
1．（2024·河南信阳·模拟预测）设VABC 的内角A ， B ，C的对边分别为 a，b ， c，已知 a = 9,b = 8,c = 5，
则VABC 的外接圆的面积为（ ）
225 π 125 π 123A． B． C． π
113
D． π
11 11 6 6
2
2．（2024·重庆·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若B = π,b = 6, a2 + c2 = 3ac ，则VABC
3
的面积为（ ）
9
A 9 3． B C 9 3 D
9
． ． ．
4 4 2 2
3．（2024·新疆喀什·三模）在VABC 中， AB = 2，BC = 7 ， BAC =120° ，D是BC边一点， AD是 BAC
的角平分线，则 AD =（ ）
A 2． 3 B．1 C．2 D． 3
4．（2024·陕西·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
c sin A - sin C = a - b sin A + sin B ，若VABC 3的面积为 ，周长为3b，则 AC 边上的高为（ ）
4
A 3 B 3． ． C． 3 D． 2 3
3 2
5．（2024·湖南衡阳·三模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若b = c，D为 AC 的中点，
bsin A = 2sin ABD ，则BD = （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
6．（2024·北京·三模）在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为正方形， AB = 4， PC = PD = 3， PCA = 45°，
则VPBC的周长为（ ）
A．10 B．11 C．7 + 17 D．12
7．（2024·陕西安康·模拟预测）在VABC 中，三个内角A ， B ，C所对的边分别为 a，b ， c，且
acos π B + ÷ = bsinA，若 a = 3， c = 2，则b =（ ）
è 6
A．1 B．2 C． 2 3 D．4
8．（2024·浙江绍兴·三模）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若
2bcos(B + C) - a cosC = c cos A，则 A 等于（ ）
p p p 2p
A． B． C． D．
6 4 3 3
9．（多选题）（2024·安徽安庆·模拟预测）在VABC 3中，面积 S = a2 + c2 - b2 ，则下列说法正确的是4
（ ）
A．B = 60o
c
B．若VABC 是锐角三角形，则 < a < 2c
2
C．若b = 2 ，则 S 3
D．若角 B 的平分线长为 3，则 a + 4c 10
10．（多选题）（2024·广东佛山·一模）在VABC 中， A, B,C 所对的边为 a,b,c，设BC边上的中点为M ，
VABC 的面积为S，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列选项正确的是（ ）
A π．若 A = 3 ，则 S = 3 3 B．S的最大值为3 3
C． AM
π
= 3 D．角A 的最小值为
3
11．（多选题）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若 A = 30°，b = 4 ， a = 3，则VABC 有两解
B．若 A = 60°， a = 2，则VABC 的面积最大值为 2 3
C．若 a = 4，b = 5， c = 6，则VABC 8 7外接圆半径为
7
D．若a cos A = bcos B ，则VABC 一定是等腰三角形
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，已知b = c = 5，三角形面积为
12，则a = ．
1
13．（2024·新疆·三模）在VABC 中，3sin A = 2sin C ， cos B = .则 sin A = .
3
1
14．（2024·四川成都·模拟预测）在VABC 中，已知 BC =1， AC = 2， cosC = ，则 sin 2 A = ．
4
15．（2024·湖南长沙·三模）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 a = 2,b = 4 .
(1)若 cosB + 2cosA = ccosC ，求C的值；
(2)若D是边 AB 上的一点，且CD 平分 ACB, cos ACB
1
= - ，求CD 的长.
9
16．（2024·江西新余·二模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且VABC 的面积
S 1= a2 + c2 - b2 sin B .2
(1)求角 B；
(2)若 ABC 的平分线交 AC 于点 D， a = 3， c = 4，求BD的长.
17．（2024·天津南开·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
c2 = a2 + b2 - 4bc cosC ， sin A = cosC .
(1)求证： a = 2c ；
(2)求 cosC 的值；

(3)求 cos B
π
+ ÷的值.
è 3
18．（2024·天津河北·二模）在VABC 中，角A ， B ，C的对边分别为 a，b ， c，已知 c = 4,b = 3 .
cosC 1(1)若 = - ，求 a的值和VABC 的面积；
4
π
(2)在（1）的条件下，求 cos 2C + ÷的值；
è 3
(3)若 A = 2B，求 a的值.
19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在VABC 中，记角A 、 B 、C的对边分别为 a、b 、 c，已知
3a = 3ccosB + csinB ．
(1)求角C；
(2)已知点D在 AC 边上，且 AD = 2DC ，BC = 6，BD = 2 7 ，求VABC 的面积．
1．（2024 年上海高考数学真题）已知点 B 在点 C 正北方向，点 D 在点 C 的正东方向，BC = CD ,存在点 A
满足 BAC =16.5°, DAC = 37°，则 BCA = (精确到 0.1 度)
2．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知VABC 中，点 D 在边 BC 上，
ADB =120°, AD = 2,CD = 2BD AC．当 取得最小值时，BD = ．
AB
3．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知
sinC = 2 cos B， a2 + b2 - c2 = 2ab
(1)求 B；
(2)若VABC 的面积为3+ 3 ，求 c．
4．（2024 年北京高考数学真题）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c， A为钝角， a = 7，
sin 2B 3= b cos B．
7
(1)求 A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VABC 存在，求VABC 的面积．
b 7 cos B 13 c sin A 5条件①： = ；条件②： = ；条件③： = 3 ．
14 2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
5．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
sin A + 3 cos A = 2 ．
(1)求 A．
(2)若 a = 2， 2bsinC = csin 2B，求VABC 的周长．
6．（2024 年天津高考数学真题）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
cosB 9 a 2= ，b = 5， = ．
16 c 3
(1)求 a；
(2)求sinA；
(3)求 cos B - 2A 的值．
7．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
b2 + c2 - a2
= 2．
cosA
(1)求bc ；
acosB - bcosA b
(2)若 - = 1，求VABC 面积．
acosB + bcosA c
8．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）在VABC 中，已知 BAC =120° ， AB = 2， AC =1 .
(1)求 sin ABC ；
(2)若 D 为 BC 上一点，且 BAD = 90°，求△ADC的面积.
9．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在VABC 中， A + B = 3C,2sin A - C = sin B ．
(1)求sinA；
(2)设 AB = 5，求 AB 边上的高．
10．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知VABC 的面积为
3，D为BC中点，且 AD =1．
π
(1)若 ADC = ，求 tan B ；
3
(2)若b2 + c2 = 8，求b,c．
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）在VABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
4a = 5c,cosC 3= ．
5
(1)求 sin A 的值；
(2)若b =11，求VABC 的面积．
12．（2022 年新高考全国 II 卷数学真题）记 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，
c 3 1为边长的三个正三角形的面积依次为 S1, S2 , S3 ，已知 S1 - S2 + S3 = ,sin B = ．2 3
(1)求VABC 的面积；
(2)若 sin AsinC 2= ，求 b．
3
13．（2022 年高考全国乙卷数学（文）真题）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c﹐已知
sin C sin A - B = sin B sin C - A ．
(1)若 A = 2B，求 C；
(2)证明： 2a2 = b2 + c2
14．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
sinC sin(A - B) = sin B sin(C - A)．
(1)证明： 2a2 = b2 + c2；
(2)若a = 5,cos A
25
= ，求VABC 的周长．
31
15．（2022 年新高考北京数学高考真题）在VABC 中， sin 2C = 3 sin C ．
(1)求 C ；
(2)若b = 6，且VABC 的面积为6 3 ，求VABC 的周长．
16．（2022年新高考全国 I卷数学真题）记VABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
cos A sin 2B
= ．
1+ sin A 1+ cos2B
2p
(1)若C = ，求 B；
3
2 2
(2) a + b求 2 的最小值．c第 04 讲 解三角形
目录
01 模拟基础练 ......................................................................................................................................2
题型一：正弦定理的应用....................................................................................................................2
题型二：余弦定理的应用....................................................................................................................3
题型三：判断三角形的形状................................................................................................................4
题型四：正、余弦定理的综合运用....................................................................................................5
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用........................................................................6
题型六：解三角形的实际应用............................................................................................................8
题型七：倍角关系..............................................................................................................................12
题型八：三角形解的个数..................................................................................................................16
题型九：三角形中的面积与周长问题..............................................................................................18
02 重难创新练 ....................................................................................................................................20
03 真题实战练 ....................................................................................................................................31
题型一：正弦定理的应用
1．在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且b = 2,a = 2, B = 30°，则C = .
【答案】15°或105°
【解析】在VABC 中，b = 2,a = 2, B = 30°，
a b
则由正弦定理得 = 2 2= 2， ，得 sin A = ，sin A sin B sin A sin 30° 2
因为0° < A<150°，所以 A = 45° 或 A = 135° ，
当 A = 45° 时，C =180° - 45° - 30° =105°，
当 A = 135° 时，C =180° -135° - 30° =15°
故答案为：15°或105°
4
2．在VABC 5中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， cos A = ， cos B = ， a = 2，则 c = .
5 13
42 3
【答案】 /3
13 13
4 5 2 3 2 12
【解析】在VABC 中，由 cos A = ， cos B = ，得 sin A = 1- cos A = ,sin B = 1- cos B = ，
5 13 5 13
则 sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B
3 5 4 12 63
= + = ，
5 13 5 13 65
c a 2 10
= = = 10 63 42
由正弦定理理 sin C sin A 3 3 ，所以 c = = .
5 3 65 13
42
故答案为：
13
3．已知VABC sinC b的内角A ， B ，C的对边分别为 a，b ， c，若 + =1，则角 A = .
sinA + sinB a + c
π
【答案】
3
sin C b c b
【解析】由正弦定理角化边可知， + = + =1，
sin A + sin B a + c a + b a + c
2
2 b + c
2 - a2 bc 1
整理为 b + c2 = a2 + bc ，即 cos A = = = ，
2bc 2bc 2
由于 A 0, π π，所以 A = 3 .
π
故答案为：
3
题型二：余弦定理的应用
4．在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若VABC 的面积为
3 bcsinB + c2sinC - acsinA
，则角A = .
4sinC
π
【答案】
3
1 3 bc sin B + c2 sin C - ac sin A 【解析】由题， SVABC = bc sin A = ，2 4sin C
3 b2 + c2 - a2 3 b2 + c2 - a2
故bsin A = ，\sin A = ．\sin A = 3 cos A，
2c 2bc
Q0 < A π π< ，\ tanA = 3 ，\ A = ．
2 3
π
故答案为：
3
VABC sin C sin A - sin B5．在 中， = ，则角A = .
sin A + sin B sin B + sin C
2π
【答案】
3
sin C sin A - sin B c a - b
【解析】因为 = ，由正弦定理可得 = ，
sin A + sin B sin B + sin C a + b b + c
即bc + c2 = a2 - b2 ，
cos A b
2 + c2 - a2 -bc 1
由余弦定理 = = = - ，
2bc 2bc 2
Q A 0,π 2π，\ A = .
3
2π
故答案为：
3
6．在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a : b : c = 5 : 7 :8，则VABC 中角 B 的大小是（ ）
A．135o B．120o C．90o D．60o
【答案】D
【解析】设 a : b : c = 5 : 7 :8 = k ，则 a = 5k,b = 7k,c = 8k ，
a2 + c2 - b2 5k 2 + 8k 2 - 7k 2 1
由余弦定理得 cos B = = = ，
2ac 2 5k ×8k 2
又B 0, π ，所以 B = 60° .
故选：D.
题型三：判断三角形的形状
B a + c
7．（2024· · · VABC cos2高三 广东广州 开学考试）在 中， = ，则VABC 的形状为 三角形．
2 2c
【答案】直角
2 B a + c
【解析】在VABC 中，由 cos = ，得1+ cos B =1
a
+ ，即 a = c cos B ，
2 2c c
a2 + c2a c - b
2
由余弦定理得 = × ，整理得 a2 + b2 = c2 ，
2ac
所以VABC 是直角三角形.
故答案为：直角
8．在VABC 中，有 2sin(A B) 1 1- cos 2C+ - = ，试判断VABC 的形状 （从“直角三角形”，“锐角三角
2
形”，“钝角三角形”中选一个填入横线中）.
【答案】直角三角形
2 1- cos 2C 1- 1- 2sin2 C 【解析】由二倍角公式 cos 2C =1- 2sin C 可知， = = sin2 C = sin C = sin C ，
2 2
且注意到在VABC 中，有 sin(A + B) = sin(π - C) = sin C ，
2sin(A B) 1 1- cos 2C因此可将已知 + - = 转换为 2sin C -1 = sin C ，解得sinC =1，
2
C VABC C π因为 是 的一个内角，所以 = ，即VABC 是直角三角形.
2
故答案为：直角三角形.
9．在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且 a - b = c × (cos B - cos A)，则VABC 的形状为 .
【答案】直角三角形或等腰三角形
【解析】用正弦定理对条件进行边角转化，结合诱导公式，两角和的正弦公式化简后进行求解.
10．对于VABC ，有如下四个命题:
①若 sin 2A = sin 2B ，则VABC 为等腰三角形，
②若 sin B = cos A，则VABC 是直角三角形
③若 sin2 A + sin2 B < sin2 C ，则VABC 是钝角三角形
a b c
A = =④若 cos cos B cos C ，则VABC 是等边三角形.
2 2 2
其中正确的命题序号是
【答案】③④
【解析】对于① sin 2A
p
= sin 2B 可推出 A = B 或 A + B = ，故不正确；
2
②若B =100°, A =10°，显然满足条件，但不是直角三角形；
③由正弦定理得 a2 + b2 - c2 < 0 ，所以 cosC < 0，是钝角三角形；
A B C A B C
④由正弦定理知 sin = sin = sin ，由于半角都是锐角，所以 = = ，三角形是等边三角形.
2 2 2 2 2 2
故答案为：③④
11．已知DABC 的三个内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足 cos2 A - cos2 B + cos2 C =1+ sin Asin C ，且
sin A + sin C =1，则DABC 的形状为
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为150o的等腰三角形 D．顶角为120o的等腰三角形
【答案】D
2
【解析】由题1- sin A - 1- sin2 B +1- sin2 C =1+ sin Asin C
a2 + c2 - b2 1
即 sin2 A + sin2 C - sin2 B = -sin Asin C ，由正弦定理及余弦定理得 = -
2ac 2
即 cos B
1
= - ,QB 0,p B 2 \ = p
2 3
sin A sin p A 1 sin A p故 + - =

÷ 整理得 + ÷ =1 ，故 A
p p
= ,\B =
è 3 è 3 6 6
故DABC 为顶角为120o的等腰三角形
故选 D
题型四：正、余弦定理的综合运用
π
12．（2024·北京西城·三模）在VABC 中，若 c = 2， a = 3， A = ，则 sin C = ，b = .6
1
【答案】 3 / 3
3 3 ± 23
a c 3 2=
【解析】由正弦定理 = ，有 ，所以
sin A sin C sin π sin C sin C
3
= ，
6 3
2 π
由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A 3 = b2 + 22，有 - 2 2bcos ，6
解得b = 3 ± 2 .
3
故答案为： ， 3 ± 2 .
3
π
13．（2024·贵州六盘水·三模）在VABC 中， AB = 2， AC = 3， A = ，则VABC 外接圆的半径为（　　）
3
A 7 B 21 C 2 7 D 2 21． ． ． ．
3 3 3 3
【答案】B
【解析】因为 AB = 2， AC 3 A
π
= ， = ，由余弦定理可得：
3
BC = AB2 + AC 2 - 4AB × AC cos A = 4 + 9 2 2 3- 3 = 7 ，
2
2R BC 7= = 21
设VABC 外接圆的半径为 R ，由正弦定理可得： sin A 3 ，则R = ．
3
7
故选：B．
14 2 2．设△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 sin A = sin B ，且 c = 2a 1+ sin C ，则C =
（ ）
p π π 3p
A． B． C． D．
6 4 3 4
【答案】D
【解析】因为 sinA = sinB ，由正弦定理有 a = b，
根据余弦定理有 c2 = a2 + b2 - 2abcosC = 2a2 - 2a2cosC ，
且 c2 = 2a2 1+ sinC ，故有 sinC = -cosC ，即 tanC = -1，
又C 0, π 3π，所以C = .
4
故选：D .
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用
15．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 f (x) = 2 3 sin x cos x - 2cos2 x .
(1)求函数 y = log2 f (x) 的定义域和值域；
A b + c
(2)已知锐角VABC 的三个内角分别为 A，B，C，若 f ÷ = 02 ，求 的最大值.è a
π
【解析】（1） f (x) = 2 3 sin x cos x - 2cos2 x = 3 sin 2x - cos 2x -1 = 2sin 2x -

6 ÷
-1，
è
所以要使 y = log2 f (x) = log
é
2 ê2sin
2x π- ù ÷ -1ú 有意义，
è 6
只需 2sin
π π 1
2x - ÷ -1 > 0，即 sin 2x - ÷ > ，
è 6 è 6 2
π 2kπ 2x π 5π 2kπ,k π π所以 + < - < + Z，解得 + kπ < x < + kπ,k Z
6 6 6 6 2
π π
所以函数 y = log2 f (x) 的定义域为 + kπ, + kπ ÷ ,k Z，
è 6 2
由于0 < 2sin
2x π+ ÷ -1 1，所以 log2 f (x) log2 1 = 0，
è 6
所以函数 y = log2 f (x) 的值域为 - ,0 ；
A π π2
1
（ ）由于 f = 2sin2 ÷
A - ÷ -1 = 0，所以 sin A - ÷ = ，
è è 6 è 6 2
π π π π π π
因为 0 < A < ，所以- < A - < A - = A
π
2 ，所以 即
=
3 ，6 6 3 6 6
ì π

0 < B <
2 π π
由锐角VABC 可得 í ，所以 < B < ，
0 C 2π< = - B π< 6 2
3 2
b + c sin B + sin C 2 é π ù
由正弦定理可得 = = êsin B + sin + Ba sin A 3 ÷ è 3 ú
2 3
= sin B
3
+ cos B ÷÷ = 3 sin B + cos B = 2sin

B
π
+
3 2 2 ÷
，
è è 6
π
因为 < B
π π B π 2π< ，所以 < + < ,所以 3
b + c
< 2，
6 2 3 6 3 a
b + c
所以 的最大值为 2.
a
16．（2024·湖南长沙·一模）已知函数 f x = 3 sin x cos x + cos2 x .
4 4 4
2p
（1）若 f x =1，求 cos - x3 ÷的值.è
1
（2）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，且满足 a cosC + c = b ，求 f B 的取值范围.
2
x p 1
【解析】（1） f x = 3 sin x cos x cos2 x 3 x 1 x 1+ = sin + cos + = sin + ÷ +
4 4 4 2 2 2 2 2 è 2 6 2
由 f x =1可得： sin x p+ 1 2 6 ÷ = .è 2
cos 2p x cos é p ù p- = p - + x = -cos + x 2 x p ÷ ê ÷ú ÷ = 2sin +

÷ -1
1 1
= -1 = - .
è 3 è 3 è 3 è 2 6 2 2
a2 + b2 - c2 1
（2）由余弦定理得： a × + c = b，整理可得： 2 2 2 2 ，
2ab 2 a + b - c + bc = 2b
2 2 2
\b2
b + c - a 1
+ c2 - a2 = bc，\cos A = = ，
2bc 2
又 A 0,p A p 2p，\ = ，\ B + C = ，
3 3
0 B 2p p B p p sin B p 1\ < < ，则 < + < ，\ +
3 6 2 6 2 2 6 ÷
,1÷
è è 2
\ f B = sin B p 1 3 3 + ÷ + 1, ÷，即 f B 的取值范围为2 6 2 2
1,
2 ÷ .è è è
r p r
17．在DABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c .已知向量 a = sin A + 6 ÷
, -1 ，向量b = 1,cos A ，且
è è
÷

r
ar 1×b = .
2
（1）求角A 的大小；
（2）若b = 4 ， c = 5，求 sin 2B 的值.
r r p p p 3 1 p 1
【解析】（1） a ×b = sin A + ÷ - cos A = sin Acos + cos Asin - cos A = sin A - cos A = sin A - =
è 6 6 6 2 2
6 ֏ 2
Q A 0,p A π π , 5π \ - 6 - 6 6 ÷ \ A
p p
- = p，解得： A =
è 6 6 3
2 2 2
（2）由余弦定理得： a = b + c - 2bc cos A =16
p
+ 25 - 40cos = 21
3
\a = 21
a b 4 3
由正弦定理 = 得： bsin A 2 7
sin A sin B sin B = = 2 =a 21 7
Q b < c \B < C \B为锐角 \cos B = 1- sin2 B 21=
7
sin 2B 2sin B cos B 2 2 7 21 4 3\ = = =
7 7 7
题型六：解三角形的实际应用
18．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距 14 公里的 A, B两座炮台，A 在 B 的正东方.某次演习时，A
向西偏北q 方向发射炮弹， B 则向东偏北q 方向发射炮弹，其中q 为锐角，观测回报两炮弹皆命中 18 公里
q
外的同一目标，接着A 改向向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为 18 公里外的点M ，则 B 炮台与弹着点M
2
的距离为（ ）
A．7 公里 B．8 公里 C．9 公里 D．10 公里
【答案】D
【解析】依题意设炮弹第一次命中点为C，则 AB = 14 ， AC = BC = AM =18，
CBA CAB q= = q ， MAB = ，
2
在VABC 中BC 2 = AC 2 + AB2 - 2AC × AB cosq ，
7
即182 =142 +182 - 2 14 18cosq ，解得 cosq = ，
18
所以 cosq 2cos2
q 1 7 q 5= - = ，又q 为锐角，解得 cos = （负值舍去），
2 18 2 6
在VABM 中BM 2 = AM 2 + AB2 - 2AM × AB cos
q
2
=182 +142 - 2 18 14 5 =100，
6
所以BM = 10，即 B 炮台与弹着点M 的距离为10公里.
故选：D
19．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量
山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的
高度．把塔底与塔顶分别看作点 C，D，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点 A，B，测得 AB = 20 3m，
在点 A 处测得点 C，D 的仰角分别为30°， 60°，在点 B 处测得点 D 的仰角为30°，则塔高 CD 为 m．
【答案】20
【解析】在VACD中，延长DC 与BA的延长线交于点 E，如图所示.
由题意可知， CAE = 30° , DAE = 60° , DBA = 30°，
因为小李同学根据课本书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发，
所以 A, B, E 三点在同一条直线上.
所以 DAC = 30° , DCA =120° , ADC = 30° , BDA = 30° ，
所以VACD,VBAD 为等腰三角形，
即 | CD |=| CA |,| AD |=| AB | .
设 | CD |= x，即 | CA |= x， DCA = 120°，
在VACD中，由余弦定理得
| AD |2 =| CD |2 + | CA |2 -2 | CD || CA | cos DCA ,
2 2 1
即 | AD | = x + x2 - 2x × x × (- )， | AD |= 3x，
2
所以 | AB |= 3x ，
又因为 | AB |= 20 3 ，
所以 x = 20 .
故答案为：20 .
20．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳
楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度 AB ，他首先在C
处，测得楼顶A 的仰角为60°，然后沿BC方向行走 22.5 米至D处，又测得楼顶A 的仰角为30°，则楼高 AB
为 米．
45 3
【答案】
4
【解析】Rt△ABC o
AB
= tan 60o = 3 BC 3AB中， ACB = 60 ， ，BC =
，
3
Rt△ABD ADB AB中， = 30o ， = tan 30o 3= ，BD = 3AB ，
BD 3
3AB 2 3
因为CD = 22.5米，所以BD - BC = 3AB - = AB = 22.5，
3 3
AB 45 3解得： =
4
45 3
故答案为：
4
21．中华人民共和国国歌有 84 个字，37 小节，奏唱需要 46 秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡
度15o的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60o 和30o，第一
排和最后一排的距离为10 2 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚
好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为 （米/秒）
5 3 5
【答案】 / 3
23 23
【解析】
如图所示，依题意知 AEC = 45o , ACE =180o - 60o -15o =105o ，
\ EAC =180o - 45o -105o = 30o ，
CE AC , AC 10 2由正弦定理知 = \ = sin 45o = 20（米），
sin EAC sin AEC sin 30o
∴在Rt△ABC 中， AB = AC ×sin ACB = 20 3 =10 3（米），
2
∵国歌长度约为 46 秒，
∴ 10 3 5 3升旗手升旗的速度应为 ＝ （米/秒）．
46 23
5 3
故答案为： ．
23
22．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC、CD 是救
生栈道的一部分，其中BC = 300m，CD = 800m， B 在A 的北偏东30°方向，C在A 的正北方向，D在A 的
北偏西80°方向，且 B = 90°．若救生艇在A 处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B - C - D ，则最短距离
为 m．(结果精确到 1 m)
【答案】 475
【解析】作 AE ^ CD 交于 E，由题意可得如图：
B = 90o , CAB = 30o , BC = 300m，
AB BC 300= o = = 300 3m所以 tan 30 3 ，
3
AC BC= = 600m，
sin CAB
在△ADC中，由正弦定理可得：
CD AC sin D 3sin80
o
= = ，
sin ACD sin D 4
o
所以 cos EAD 3sin80= 0.735，
4
所以 sin EAD 0.68，
cos CAE = cos(80o - EAD) 0.17 0.735 + 0.98 0.68 = 0.79135，
在直角△ACE中， AE = AC ×cos CAE AE = 600 0.79135 475，
故答案为：475.
题型七：倍角关系
23．（多选题）（2024·河北·三模）已知VABC 内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c， A = 2B，则（ ）
2
A 2． a = c b + c B b a． + 的最小值为 3
c b2
C．若VABC
c
为锐角三角形，则 1,2 D．若 a = 2 6 ，b = 3，则 c = 5b
【答案】BCD
【解析】由 A = 2B，得 sin A = sin 2B = 2sin B cos B，
2 2 2
由正弦定理得 a = 2bcos B，由余弦定理得 a = 2b a + c - b× ，
2ac
则 c - b a2 - b2 - bc = 0，当b c时， a2 - b2 - bc 2= 0 ，即 a = b b + c ，
当b = c时， B = C ，又 A = 2B，所以 A = 90°, B = C = 45° ，
2
所以 a = 2b，所以 a2 - b2 - bc = 2b - b2 - b ×b = 0，
2
所以 a = b b + c ，故选项 A 错误；
2 2
a2 = b b + c b a b b + bc b c由 ，则 + 2 = + 2 = + +1 3，当且仅当b = c时，故选项 B 正确；c b c b c b
V sinABC sin B 0 c sin C 2B + B sin 2B cos B + cos 2B sin B在 中， ，由正弦定理， = = =
b sin B sin B sin B
2sin B cos2 B + 2cos2 B -1 sin B
= = 4cos2 B -1，
sin B
π π π
若VABC 为锐角三角形，又 A = 2B，则B 0, ÷ ,C = π - 3B < ，故B >4 2 ，è 6
π π B , cos B 2 3

所以 ÷ ，所以 , ÷÷ ，则 cos
2 B 1 , 3 ，
è 6 4 è 2 2

è 2 4
÷

2
所以 4cos B -1 1,2 ，故选项 C 正确；
在VABC a b c中，由正弦定理 = =sin A sin B sin C ，又 A = 2B， a = 2 6 ，b = 3，
3 2 6 2 6 6
得 = = ，则 cos B =
sin B sin 2B 2sin B cos B 3
由余弦定理，b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ， 得9 = 24 + c2 6- 2 2 6 c ，
3
整理得 c2 -8c +15 = 0 ，解得 c = 5，或 c = 3，
当 c = 3时，有C = B，又 A = 2B，所以B = C = 45° , A = 90°，
因为b2 + c2 a2，则 c = 3不成立，故选项 D 正确.
故选：BCD.
c 2
24．在锐角VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 a2 = b2 + bc ，则 + 2 的最小值为 .b cos B
【答案】 4 2 -1/ -1+ 4 2
【解析】由余弦定理得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
又 a2 = b2 + bc ，
所以b2 + bc = b2 + c2 - 2bc cos A，
即bc = c2 - 2bc cos A，所以b = c - 2bcos A，
由正弦定理得 sin B = sinC - 2sin B cos A，
即 sin B = sin A + B - 2sin B cos A = sin Acos B - cos Asin B = sin A - B ，
因为 A, B 0, π ，所以 A - B -π, π ，
所以B = A - B或B + A - B = π （舍去），
所以 A = 2B，
c 2 sin C 2 sin A + B 2
+ 2 = + 2 = +b cos B sin B cos B sin B cos2B
sin 3B 2 sin B cos 2B + cos B sin 2B 2
= +
sin B cos2
= +
B sin B cos2B
2
cos2 B sin2 B 2cos B sin B 2= - + +
sin B cos2B
4cos2 B 2= + 2 -1 2 4cos
2 B 2× 2 -1 = 4 2 -1，cos B cos B
2 2 2
当且仅当 4cos B = 2 ，即 cos2 B = 时取等号，cos B 2
c 2
所以 + 的最小值为
b cos2B 4 2 -1
.
故答案为： 4 2 -1.
25．设VABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别是 a,b,c，且 A = 2B,b c, D 为BC边上的中点，且 AD = 2c ，
则 cosA = ．
1
【答案】-
3
【解析】VABC 中，由 A = 2B，可得 sinA = sin2B = 2sinBcosB，
2 2 2
则 a = 2bcosB ，则 a 2b a + c - b= × ，整理得 a2c + b3 - a2b - bc2 = 0，
2ac
即 b - c a2 - b2 - bc = 0，又b c，则 a2 = b2 + bc ．
VABC 中，D是BC边上的中点，且 AD = 2c ，则
a 2 2 + ( 2c)2 - c2 a + ( 2c)2 - b2 1 ÷ 2 2 2
0 = cos ADB + cos ADC = è 2 + è 2
÷ a + 3c - b
= 2 ，
2 × a × 2c 2 × a × 2c 2ac
2 2
ì1
a2 + 3c2 - b2 = 0 ì b = 3c
则有 í2 ，解之得 í
a2 = b2 + bc a = 2 3c
cosA b
2 + c2 - a2 9c2 + c2 -12c2 1
则 = = 2 = - ．2bc 6c 3
1
故答案为：-
3
26．在锐角VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 a2 - b2 = bc ．
(1)求证： A = 2B；
(2)若b =1，求 a 边的范围；
1 1
(3)求 - + 2sin Atan B tan A 的取值范围．
【解析】（1）因为 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = b2 + bc，
所以 c - b = 2bcos A，
由正弦定理可得 sinC - sin B = 2sin B cos A，
又因为 sin C = sin A + B = sin Acos B + cos Asin B ，
代入可得 sin Acos B - Cos Asin B = sin B，
即 sin A - B = sin B，
因为0 < A，B < π，则 sin B > 0，故0 < A - B < π，
所以 A - B = B或 A - B + B = π ，即 A = 2B或 A = π（舍去），
所以 A = 2B．
法二：由正弦定理可得： sin2 A - sin2 B = sin B sin C ，
则 sin A + sin B sin A - sin B = sin B sin C ，
则 2sin
A + B cos A - B A - B 2sin cos A + B = sin(A + B) sin(A - B) = sin B sin C ，
2 2 2 2
又 sin A + B = sin C 0，故 sin A - B = sin B，
因为0 < A，B < π，则 sin B > 0，故0 < A - B < π，
所以 A - B = B或 A - B + B = π ，即 A = 2B或 A = π（舍去），
（2）因为VABC 为锐角三角形， A = 2B，
所以C = π - 3B ，
ì π
0 < B <
2
π π π
由 í0 < 2B <

，解得B ,2 6 4 ÷
，
è
π
0 < π - 3B < 2
bsin A
又b =1故 a = = 2cos B 2, 3 ．
sin B
π π3 （ ）由（2）知 A = 2B ,3 2 ÷ ．è
1 1
由 - + 2sin A
cos B cos A
= - + 2sin A，
tan B tan A sin B sin A
sin(A - B)
= + 2sinA 1= + 2sinA，
sinAsinB sinA
3 5 3
令 sin A t
1
= ，则 y = + 2t 在 t ,1÷÷ 上单调递增，所以 y 2 ,3÷÷ ，t è è 3
1 1 5 3
所以 - + 2sinA的取值范围为
tanB tanA
,33 ÷÷
．
è
题型八：三角形解的个数
27．（2024·北京朝阳·一模）在VABC 中，a = 4 2，b = m， sin A - cos A = 0．
（1）若m = 8，则 c = ；
（2）当m = （写出一个可能的值）时，满足条件的VABC 有两个．
【答案】 4 2 6（答案不唯一）
【解析】（1）Qsin A - cos A = 0，\ tan A =1，
Q0 < A < π ， A π= 4 ，
由余弦定理， a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，即32 = 64 + c2 -16 2 c ，
2
解得c = 4 2 .
π
（2）因为 A = ,4 a = 4 2 ,
所以当bsin
p
< a < b时，方程有两解，
4
即 4 2 < m < 8，
取m = 6即可满足条件（答案不唯一）
故答案为： 4 2 ；6.
28．（2024·上海闵行·模拟预测）已知VABC 中， A， B， C 的对边分别为 a，b ， c，若b = 4 ，
c = 6，给出下列条件中：① A = 30°，② B = 30°，③ SVABC = 6，能使VABC 有两解的为 .（请写
出所有正确答案的序号）
【答案】②③
【解析】选择①，由余弦定理，得 a2 = 42 + 62 - 2 4 6cos30° = 52 - 24 3 ，解得 a = 52 - 24 3 ，所以VABC
只有一解.故①错误；
4 6
选择②，因为b < c ，所以B < C ,由正弦定理，得 = ，解得 sin C
3
= ，
sin 30° sin C 4
3
所以 sin C = > sin B
1
= ,所以VABC 有两解，故②正确；
4 2
1 1
选择③，由 SVABC = 6，得 bc sin A = 6 ,解得 sin A = ，因为0 < A < π ，2 2
π 5π
所以 A = 或 A = ，所以VABC 有两解，故③正确；
6 6
故答案为：②③.
π
29．已知 a,b,c分别是VABC 内角 A, B,C 所对的边，若b = 2 ， A = ，且VABC 有唯一解，则 a的取值范围
6
为 .
【答案】 1 U 2,+
a b bsin A 1
【解析】由正弦定理 = ，可得 a = = ，
sin A sin B sin B sin B
B π当 = 时， a =1，此时VABC 唯一；
2
当 sin B
1
,1

÷时， B 有两个值，VABC2 不唯一；è
当 sin B
1
0, ù ú时， a 2，即 a b ， A B ，VABC2 唯一，è
综上可得，实数 a 的取值范围是 1 U 2,+ .
故答案为： 1 U 2,+
30．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成
了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁 A 和临秀亭 B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的
A 、 B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、 B 不共线的C处，构成VABC ，以下是测量数据的不同方
案：
①测量 A、 AC 、BC；
②测量 A、 B、BC；
③测量 C 、 AC 、BC；
④测量 A、 C 、 B．
其中一定能唯一确定A 、 B 两地之间的距离的所有方案的序号是 ．
【答案】②③
AC BC
【解析】对于①，由正弦定理可得 = ，则 sin B
AC sin A
= ，
sin B sin A BC
AC sin A
若 AC > BC 且 A为锐角，则 sin B = > sin A，此时 B有两解，
AB
则 C 也有两解，此时 AB 也有两解；
BC AB
对于②，若已知 A、 B，则 C 确定，由正弦定理 = 可知 AB 唯一确定；
sin A sin C
对于③，若已知 C 、 AC 、BC，由余弦定理可得 AB = AC 2 + BC 2 - 2AC × BC cosC ，
则 AB 唯一确定；
对于④，若已知 A、 C 、 B，则 AB 不确定.
故答案为：②③.
题型九：三角形中的面积与周长问题
31．（2024·山东·模拟预测）VABC 内角A ， B ，C的对边分别为 a，b ， c，若b = 2a sin B，bc = 4，则
VABC 的面积为 .
【答案】1
【解析】因为b = 2a sin B，由正弦定理可得 sin B = 2sin Asin B，且sin B 0 ,
1 1
所以 sin A = ，则 SVABC = bc sin A
1 1
= 4 =1 .
2 2 2 2
故答案为：1
r
32．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, a = a,c - b ，
r r
b r=（sinC + sinB,sinA + sinB）且a P b ．
(1)求角C；
(2) 3 3若 c = 3 2,VABC 的面积为 ，求VABC 的周长．
2
r r
【解析】（1）由a P b 可知 a sinA + sinB = c - b sinC + sinB ，
由正弦定理，得 a a + b = c - b c + b ，
即 a2 + b2 - c2 = -ab．
a2 + b2 - c2 1
所以 cosC = = - ，
2ab 2
又C 0, π ，
C 2所以 = π .3
（2）由（1）知 a2 + b2 - c2 = -ab．
所以 a + b 2 - ab = c2 =18，
又 S 1= absinC 3= ab 3 3= ，
2 4 2
所以 ab = 6，
所以 a + b 2 =18 + ab = 24，即 a + b = 2 6 ．
所以VABC 的周长为 a + b + c = 3 2 + 2 6 ．
33．（2024·北京西城·二模）已知函数 f (x) = 3 sin x + 2cos2
x
．在VABC 中， f (A) = f (B) ，且 a b ．
2
(1)求 C 的大小；
(2)若 c = 5，且VABC 的面积为 2 3 ，求VABC 的周长．
【解析】（1）由函数 f (x) = 3 sin x + 2cos2
x
= 3 sin x + cos x +1 = 2sin(x π+ ) +1，
2 6
因为 f (A) = f (B) ，可得 sin(A
π
+ ) = sin(B π+ )
6 6 ，
VABC A, B (0, π) A π (π , 7π在 中，因为 ，所以 + ), B
π (π , 7π+ )，
6 6 6 6 6 6
π π 2π
又因为 a b ，所以 A B ，所以 (A + ) + (B + ) = π，解得 A + B =6 6 ，3
π
因为 A + B + C = π，所以C = .
3
π 1
（2）由（1）知C = ，因为VABC 的面积为 SVABC = absin C = 2 3，所以ab = 8，3 2
在VABC
π
中，由余弦定理得 c2 = a2 + b2 - 2abcosC ，即 25 = a2 + b2 - 2abcos ，
3
整理得 a2 + b2 - ab = 25，所以 (a + b)2 - 3ab = 25，
即 (a + b)2 = 25 + 3ab = 49 ，所以 a + b = 7 ，
所以VABC 的周长为 a + b + c =12 .
1．（2024·河南信阳·模拟预测）设VABC 的内角A ， B ，C的对边分别为 a，b ， c，已知 a = 9,b = 8,c = 5，
则VABC 的外接圆的面积为（ ）
225 π 125A． B． π
123
C． π
113
D． π
11 11 6 6
【答案】A
【解析】因为 a = 9，b = 8， c = 5，
2 2 2
cosC a + b - c 81+ 64 - 25 5所以 = = = ，
2ab 2 9 8 6
所以 sin C = 1 11- cos2 C = ，
6
设VABC 的外接圆半径为 R ，
R c 5 15 11= = = 225
则 2sin C 11 11 ，则VABC 的外接圆的面积 S = πR2 = π ．11
3
故选：A．
2
2．（2024·重庆·模拟预测）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若B = π,b = 6, a2 + c2 = 3ac ，则VABC
3
的面积为（ ）
A 9 3
9 9 3 9
． B． C． D．
4 4 2 2
【答案】A
【解析】由余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，即36 = a2 + c2 + ac = 3ac + ac = 4ac ，解得ac = 9，
所以三角形 ABC 1 1 3 9 3的面积为 ac sin B = 9 = .
2 2 2 4
故选：A
3．（2024·新疆喀什·三模）在VABC 中， AB = 2，BC = 7 ， BAC =120° ，D是BC边一点， AD是 BAC
的角平分线，则 AD =（ ）
A 2． 3 B．1 C．2 D． 3
【答案】A
2 2 2
【解析】在VABC 中，由余弦定理得 cos BAC AB + AC - BC= ，
2AB × AC
4 + AC 2 - 7 1
即 = - ，解得 AC =1或-3（舍去），
4AC 2
在△ABD
AB BD
中，由正弦定理得 = ，
sin ADB sin BAD
AC CD
在VACD中，由正弦定理得 = ，
sin ADC sin CAD
其中 ADB + ADC =180°， BAD = CAD = 60°，
所以 sin ADB = sin ADC ， sin BAD = sin CAD，
AB BD 2
故 = = ，
AC CD 1
2 7
又BC = 7 ，所以BD = ，
3
2 2 2
在VABC AB + BC - AC 4 + 7 -1 5 7中，由余弦定理得 cos ABC = = = ，
2AB × BC 2 2 7 14
2

故 sin 5 7 21 ABC = 1- ÷÷ = ，
è 14 14
在△ABD AD BD中，由正弦定理得 =sin ABC sin BAD ，
2 7
AD 2
即 = 3 ，解得 AD = .
21 3 3
14 2
故选：A
4．（2024·陕西·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
c sin A - sin C = a - b sin A + sin B 3，若VABC 的面积为 ，周长为3b，则 AC 边上的高为（ ）
4
A 3． B 3． C． 3 D． 2 3
3 2
【答案】B
【解析】在VABC 中，由正弦定理及 c sin A - sin C = a - b sin A + sin B ，
2 2 2
得 c(a - c) = (a - b)(a + b)，即 a2 + c2 - b2 = ac，由余弦定理得 cos B
a + c - b 1
= = ，
2ac 2
则 sin B 3 3 1 3 3= ，由VABC 的面积为 ，得 acsin B = ac = ，解得 ac =1，
2 4 2 4 4
由 a2 + c2 - b2 = ac，得 (a + c)2 - b2 = 3ac，又 a + c = 2b，因此b =1，
令 AC 边上的高为 h 1，则 bh 3 h 3= ，所以 = .
2 4 2
故选：B
5．（2024·湖南衡阳·三模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若b = c，D为 AC 的中点，
bsin A = 2sin ABD ，则BD = （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】A
1 1 b
【解析】由已知 AD = CD = AC = b △ABD BD AD2 2 ，在 中，由正弦定理得 = = 2 ，sin A sin ABD sin ABD
BD bsin A= bsin A所以 ，又bsin A = 2sin ABD ，故 BD = = 1 .
2sin ABD 2sin ABD
故选：A.
6．（2024·北京·三模）在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为正方形， AB = 4， PC = PD = 3， PCA = 45°，
则VPBC的周长为（ ）
A．10 B．11 C．7 + 17 D．12
【答案】C
【解析】在四棱锥P- ABCD中，连接 AC, BD 交于O，连PO，则O为 AC, BD 的中点，如图，
正方形 ABCD中， AB = 4， AC = BD = 4 2 ，
在△POC 与VPOD中，OC = OD,OP = OP, PC = PD ，则△POC ≌VPOD，
于是 PDB = PCA = 45° ，
由余弦定理得PB = BD2 + PD2 - 2BD × PD cos 2 PDB = 32 + 9 - 2 4 2 3 = 17 ，
2
所以VPBC的周长为7 + 17 .
故选：C
7．（2024·陕西安康·模拟预测）在VABC 中，三个内角A ， B ，C所对的边分别为 a，b ， c，且
acos B π+ ÷ = bsinA，若 a = 3， c = 2，则b =（6 ）è
A．1 B．2 C． 2 3 D．4
【答案】A
π
【解析】 a cos(B + ) = bsin A6 ，
π
由正弦定理得 sin Acos(B + ) = sin B sin A6 ，
又 A 0, π ,sin A > 0，所以 cos(B π+ ) = sin B6 ，
3
即 cos B 1- sin B = sin B ，
2 2
得 cos B 3 sin B tan B 3= ，即 = ，
3
π
又0 < B < π ，所以 B = 6 ，而 a = 3,c = 2，
由余弦定理得 b = a2 + c2 - 2ac cos B = 3 + 4 4 3 3- = 1 .
2
故选：A
8．（2024·浙江绍兴·三模）在VABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若
2bcos(B + C) - a cosC = c cos A，则 A 等于（ ）
p p p 2p
A． B． C． D．
6 4 3 3
【答案】D
【解析】因为 2bcos B + C - a cosC = c cos A，所以 2bcos π - A = a cosC + c cos A，
即-2bcos A = a cosC + c cos A，
如图，过 B 点作BD ^ AC 于 D，可知a cosC + c cos A = b ，
，
所以-2bcos A = b，
cos A 1所以 = - ，又 A 0, π 2π，所以 A = 3 .2
故选：D.
9．（多选题）（2024· 3安徽安庆·模拟预测）在VABC 中，面积 S = a2 + c2 - b2 ，则下列说法正确的是4
（ ）
A．B = 60o
c
B．若VABC 是锐角三角形，则 < a < 2c
2
C．若b = 2 ，则 S 3
D．若角 B 的平分线长为 3，则 a + 4c 10
【答案】ABC
3
【解析】对于 A，由 S = (a2 + c2 - b2 ) 1，得 ac sin B 3= ×2ac cos B ，则 tanB = 3 ，
4 2 4
而0o < B <180o ，解得B = 60o ，A 正确；
对于 B，锐角VABC 中， A =120o - C ，30o < C < 90o , tan C 3> ，
3
a sin(120o - C) 3 cosC 1 3 1 c
= = + = + (1 , 2) ，则 < a < 2c，B 正确；
c sinC 2 sinC 2 2tanC 2 2 2
对于 C，当b = 2 时，则 4 = a 2 + c 2 - ac ac ，当且仅当 a = c 时取等号，
S 1则 = acsin B 3= ac 3 ，C 正确；
2 4
1 o 1 o 1 o
对于 D，由三角形面积公式得 a × 3 sin 30 + c × 3 sin 30 = ac sin 60 ，则 a + c = ac ，
2 2 2
1 1
即 + =1 1 1 4c a 4c a，因此 a + 4c = (a + 4c)( + ) = 5 + + 5 + 2 × = 9 ，
a c a c a c a c
4c a
当且仅当 = ，即 a = 2c = 3时取等号，D 错误.
a c
故选：ABC
10．（多选题）（2024·广东佛山·一模）在VABC 中， A, B,C 所对的边为 a,b,c，设BC边上的中点为M ，
VABC 的面积为S，其中 a = 2 3 ，b2 + c2 = 24，下列选项正确的是（ ）
A A π．若 = 3 ，则 S = 3 3 B．S的最大值为3 3
AM πC． = 3 D．角A 的最小值为
3
【答案】ABC
A A π【解析】选项 ，若 = ，由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，得12 = 24 - bc，所以bc =123 ，
1
则三角形面积 S = bc sin A 1 3= 12 = 3 3 ，A 正确；
2 2 2
选项 B，由基本不等式可得 24 = b2 + c2 2bc，即bc 12，
当且仅当b = c = 2 3 时，等号成立，
b2 + c2 - a2 24 -12 6
由余弦定理可得 cos A = = = ，
2bc 2bc bc
S 1= bc sin A 1= bc 1- cos2则 A
1
= bc 2 36 1- 122 - 36 = 3 3 ，B 正确；
2 2 2 2
uuur uuur uuur
选项 C，因为BC
1
边上的中点为M ，所以 AM =
2 AB + AC ，
而 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，即12 = 24 - 2bc cos A，则bc cos A = 6，
uuuur 1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
所以 AM = AB 1+ AC + 2 AB AC cos A = b2 + c2 + 2bc cos A
2 2
1
= 24 + 2 6 = 3，故 C 正确；
2
选项 D，因为 24 = b2 + c2 2bc，即bc 12，
2 2 2
所以由余弦定理得 cos A b + c - a 12 6 1= = = ，
2bc 2bc bc 2
又0 < A < π ，且函数 y = cos x在 0, π π上单调递减，所以0 < A ，D 错误.
3
故选：ABC.
11．（多选题）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若 A = 30°，b = 4 ， a = 3，则VABC 有两解
B．若 A = 60°， a = 2，则VABC 的面积最大值为 2 3
C．若 a = 4 b = 5 c = 6 VABC 8 7， ， ，则 外接圆半径为
7
D．若a cos A = bcos B ，则VABC 一定是等腰三角形
【答案】AC
【解析】对于 A，因为bsin A = 4sin 30° = 2 ，所以bsin A < a < b ，
所以如图VABC 有两解，所以 A 正确，
对于 B，因为 A = 60°， a = 2，所以由余弦定理得 a2 = 4 = b2 + c2 - 2bc cos 60° = b2 + c2 - bc bc ，
当且仅当b = c = 2时取等号，所以bc 4，
S 1所以 △ABC = bc sin A
1
4 3 = 3 ，当且仅当b = c = 2时取等号，
2 2 2
所以当VABC 的面积最大值为 3，所以 B 错误，
2 2
C a = 4 b = 5 c 6 cos A b + c - a
2 25 + 36 -16 3
对于 ，因为 ， ， = ，所以由余弦定理得 = = = ，
2bc 2 5 6 4
因为 A (0, π)，所以 sin A = 1- cos2 A = 1 9 7- = ，
16 4
2R a 4 16 7= = = 8 7
所以由正弦定理得 sin A 7 7 ，得R = ，所以 C 正确，7
4
b2 + c2 - a2 2 2D a + c - b
2
对于 ，因为a cos A = bcos B ，所以由余弦定理得 a × = b × ，
2bc 2ac
所以 a2 × (b2 + c2 - a2 ) = b2 × (a2 + c2 - b2 ) ，
所以 a2b2 + a2c2 - a4 = a2b2 + b2c2 - b4 ，
所以 c2 (a2 - b2 ) - (a2 + b2 )(a2 - b2 ) = 0，
所以 (a2 - b2 )[c2 - (a2 + b2 )] = 0 ，
所以 a2 = b2 ，或 c2 = a2 + b2 ，
所以VABC 为等腰三角形或直角三角形，所以 D 错误，
故选：AC
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，已知b = c = 5，三角形面积为
12，则a = ．
【答案】6 或 8
【解析】在VABC
1
中，因为三角形面积为 12，所以 SVABC = b ×c ×sinA
1
= 5 5 sinA =12 ，
2 2
sinA 24
2
解得 = ，所以
25 cosA = ± 1-
24 7
= ± ．
è 25 ÷ 25
7 b2 + c2cosA = - a
2 52 + 52 - a2 7
当 时，由余弦定理得 cos A = = = ，解得 a = 6；
25 2bc 2 5 5 25
2 2 2 2 2 2
当 cosA
7
= - 时，由余弦定理得 cos A b + c - a 5 + 5 - a 7= = = - ，解得a = 8，综上， a = 6或
25 2bc 2 5 5 25
a = 8．
故答案为：6 或 8.
1
13．（2024·新疆·三模）在VABC 中，3sin A = 2sin C ， cos B = .则 sin A = .
3
4 2
【答案】
9
【解析】由正弦定理，3sin A = 2sin C 3a = 2c，
2 2 2
所以由 cos B
a + c - b 1
= = 可得3a = 2b ，
2ac 3
所以b = c，所以 B = C ，
sin A 1 1 4 2所以 = sin π - 2B = sin 2B = 2sin B cos B = 2 1- = .
9 3 9
4 2
故答案为：
9
1
14．（2024·四川成都·模拟预测）在VABC 中，已知 BC =1， AC = 2， cosC = ，则 sin 2 A = ．
4
7 15 7
【答案】 / 15 .
32 32
【解析】由余弦定理得 AB2 = 22 12 2 2 1
1
+ - = 4，所以 AB = 2，
4
AB2 + AC 2 - BC 2cos A 4 + 4 -1 7所以 = = = ，
2AB × AC 2 2 2 8
A 0, π sin A 1 cos2 A 1 49 15因为 ，所以 = - = - = ，
64 8
sin 2A 2sin Acos A 15 7 7 15所以 = = 2 = .
8 8 32
7 15
故答案为： .
32
15．（2024·湖南长沙·三模）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 a = 2,b = 4 .
(1)若 cosB + 2cosA = ccosC ，求C的值；
(2)若D是边 AB 上的一点，且CD 平分 ACB, cos ACB
1
= - ，求CD 的长.
9
【解析】（1）由题意得 2cosB + 4cosA = 2ccosC ，所以 acosB + bcosA = 2ccosC .
由正弦定理，得 sinAcosB + sinBcosA = 2sinCcosC ，即 sin A + B = 2sinCcosC .
又 sin A + B = sinC ，所以 sinC = 2sinCcosC ，又 sinC 0，所以 cosC 1= .
2
π
因为C 0, π ，所以C = .
3
（2）由 cos ACB
1 2cos2 ACB 1 1 ACB 2= - ，得 - = - ，解得 cos = .
9 2 9 2 3
由 SVABC = SVADC + SVBDC ，
1
得 absin ACB
1
= b ×CDsin ACB 1+ a ×CD ×sin ACB ，
2 2 2 2 2
2abcos ACB即 = a + b CD ，
2
2abcos ACB 2 2 4 2
所以CD = 2 = 3 16= .
a + b 2 + 4 9
16．（2024·江西新余·二模）在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且VABC 的面积
S 1= a2 + c2 - b2 sin B .2
(1)求角 B；
(2)若 ABC 的平分线交 AC 于点 D， a = 3， c = 4，求BD的长.
1 1 2 2 2
【解析】（1）在VABC 中， S = ac sin B = a + c - b sin B ，而0 < B < π ，
2 2
即 sin B > 0， a2 + c2 - b2 = ac，
a2 + c2 - b2 1 π
由余弦定理得 cos B = = ，所以 B = .
2ac 2 3
（2）在VABC 中，由等面积法得 SVABC = SVBAD + SVBCD，
1
即 BC × BA
1 B 1 B
×sin B = BA × BD ×sin + BC × BD ×sin ，
2 2 2 2 2
1 3 1 1 1 1
即 3 4 = 4 BD + 3 BD
2 2 2 2 2 2
所以BD 12 3= .
7
17．（2024·天津南开·二模）在VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知
c2 = a2 + b2 - 4bc cosC ， sin A = cosC .
(1)求证： a = 2c ；
(2)求 cosC 的值；
cos (3)求 B
π
+
3 ÷
的值.
è
【解析】（1）因为 c2 = a2 + b2 - 4bc cosC ，
又由余弦定理 c2 = a2 + b2 - 2abcosC ，
可得 2c cosC = a cosC ，
由 sin A = cosC 知cosC 0，
所以 a = 2c ，
（2）由（1）及正弦定理得 sin A = 2sin C ，
又因为 sin A = cosC ，
所以 2sin C = cosC ，
又因为 sin2 C + cos2 C =1，
cosC 2 5解得 = ．
5
（3）由（2）知 sin C 5= ，
5
sin 2C = 2sin C cosC 4= cos 2C = 2cos2所以 ， C
3
-1 = ，
5 5
π
sin A cosC cos - A 因为 = ，即 ÷ = cosC ，
è 2
则 A - C
π π
= ，或 A + C = ，
2 2
π cos B π cos 5πA - C = 当 时，
2
+
3 ÷
= - 2C ÷
è è 6
cos 5π= cos 2C + sin 5π sin 2C
6 6
3 3 1 4 4 - 3 3
= - × + × = ．
2 5 2 5 10
当 A
π π
+ C = cos B πB + 3， 为 ，此时
2 2 3 ÷
= - ．
è 2
18．（2024·天津河北·二模）在VABC 中，角A ， B ，C的对边分别为 a，b ， c，已知 c = 4,b = 3 .
(1)若 cosC
1
= - ，求 a的值和VABC 的面积；
4

(2)在（1）的条件下，求 cos 2C
π
+
3 ÷
的值；
è
(3)若 A = 2B，求 a的值.
a2 + b2 - c2 a2 + 9 -16 1
【解析】（1）在VABC 中，由余弦定理得 cosC = ，即 = - ，
2ab 2 3 a 4
7
化简得 2a2 + 3a -14 = 0，解得 a = 2或 a = - (舍)，\a = 2，
2
QC 1 15 0, π , cosC = - ,\sinC = 1- cos2C = ，
4 4
\VABC S 1 absinC 1 2 3 15 3 15的面积 = = = .
2 2 4 4
（2） sin2C = 2sinCcosC 2 15= 1 15 - ÷ = - ，4 è 4 8
2
cos2C = 2cos2C -1 = 2 1 - ÷ -1
7
= - ，
è 4 8
π π π 7 1 15 cos 2C 3 3 5 - 7\ + ÷ = cos2Ccos - sin2Csin = - - - ÷÷ = .è 3 3 3 8 2 è 8 2 16
a b
（3）在VABC 中，由正弦定理得 = ，
sinA sinB
Q A = 2B, a 3 a a\ = = ，化简得 cosB = ，
sin2B sinB 2sinBcosB 6
a2 + c2 - b2 a2 +16 - 9
由余弦定理得 cosB = = ，
2ac 2 4 a
a2 +16 - 9 a
\ = ，解得 a = 21（负值舍去），
2 4 a 6
所以 a = 21 .
19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在VABC 中，记角A 、 B 、C的对边分别为 a、b 、 c，已知
3a = 3ccosB + csinB ．
(1)求角C；
(2)已知点D在 AC 边上，且 AD = 2DC ，BC = 6，BD = 2 7 ，求VABC 的面积．
【解析】（1）Q 3a = 3ccosB + csinB ，由正弦定理可得 3 sin(B + C) = 3 sin C cos B + sin C sin B ，
\ 3 sin B cosC + 3 cos Bsin C = 3 sin C cos B + sin C sin B ，
Qsin B 0，
\ tan C = 3，C 0, π ，
\ π C = ；
3
2 DC = x cos π 1 x
2 + 36 - 28
（ ）设 ， = = ，\6x = x2 + 8，\ x = 2或 4，
3 2 12x
π
当 x = 2时， AC = 6 ，C = 1 3，此时三角形为正三角形，
3 S = 6 6 = 9 32 2
当 x = 4时， AC =12， AB2 = BC 2 + AC 2 - 2AC × BC cosC = 108，
1
满足 AB2 + BC 2 = AC 2 ，此时三角形为直角三角形， S = 6 3 6 = 18 32 ．
1．（2024 年上海高考数学真题）已知点 B 在点 C 正北方向，点 D 在点 C 的正东方向，BC = CD ,存在点 A
满足 BAC =16.5°, DAC = 37°，则 BCA = (精确到 0.1 度)
【答案】7.8°
【解析】设 BCA = q , ACD = 90o -q ，
CA CD
在△DCA中，由正弦定理得 = ，
sin D sin CAD
CA CD
即 =sin é 180
o - 90o -q + 37.0o ù sin 37.0o ’
CA CD
即 =sin 90o -q + 37.0o sin 37.0o ①
CA CB
在VBCA中，由正弦定理得 = ，
sin B sin CAB
CA CB
= CA CB即 =sin é o 180 - q +16.5o ù sin16.5
o ，即
sin q +16.5o sin16.5
o ，②
sin 90o -q + 37.0o sin 37.0o②
因为CD = CB ， 得 = ，
① sin q +16.5o sin16.5o
利用计算器即可得q 7.8o，
故答案为：7.8o .
2．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知VABC 中，点 D 在边 BC 上，
ADB =120°, AD = 2,CD = 2BD AC．当 取得最小值时，BD = ．
AB
【答案】 3 -1/ -1+ 3
【解析】[方法一]：余弦定理
设CD = 2BD = 2m > 0，
则在△ABD 中， AB2 = BD2 + AD2 - 2BD × AD cos ADB = m2 + 4 + 2m，
在VACD中， AC 2 = CD2 + AD2 - 2CD × AD cos ADC = 4m2 + 4 - 4m，
AC 2 4m2 + 4 - 4m 4 m2 + 4 + 2m -12 1+ m 12
所以 2 = 2 = = 4 -AB m + 4 + 2m m2 + 4 + 2m m 3+1 +
m +1
4 12 - = 4 - 2 3
2 m +1 3 ，×
m +1
3
当且仅当m +1 = 即m = 3 -1时，等号成立，
m +1
AC
所以当 取最小值时，m = 3 -1.
AB
故答案为： 3 -1.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以 D 为原点，OC 为 x 轴，建立平面直角坐标系.
则 C（2t,0），A（1， 3），B（-t,0）
2 2t -1 2AC + 3 4t 2 - 4t + 4
\ 2 = 2 = 2 = 4
12
- 3 4 - 2 3AB t +1 + 3 t + 2t + 4 t +1 +
t +1
当且仅当t +1 = 3,即BD = 3 -1时等号成立。
[方法三]：余弦定理
设 BD=x,CD=2x.由余弦定理得
ì c2 = x2 + 4 + 2x
í 2 2 ，\2c
2 + b2 =12 + 6x2，
b = 4 + 4x - 4x
ì c2 = x2 + 4 + 2x
í 2 2 ，\2c
2 + b2 =12 + 6x2，
b = 4 + 4x - 4x
AC
令 = t ，则 2c2 + t 2c2 =12 + 6x2，
AB

2 2
\t 2
÷
+ 2 12 + 6x 12 + 6x 2= = = 6 1- 6 - 2 3 ，
c2 x2 + 2x + 4 ÷ x +1 3+ ÷
è x +1
\t 2 4 - 2 3 ，
3
当且仅当 x +1 = ，即 x = 3 +1时等号成立.
x +1
[方法四]：判别式法
设 BD = x ，则CD = 2x
在△ABD 中， AB2 = BD2 + AD2 - 2BD × AD cos ADB = x2 + 4 + 2x ，
在VACD中， AC 2 = CD2 + AD2 - 2CD × AD cos ADC = 4x2 + 4 - 4x ，
AC 2 4x2 + 4 - 4x 4x2 + 4 - 4x
所以 2 = 2 ，记 t = ，AB x + 4 + 2x x2 + 4 + 2x
则 4 - t x2 - 4 + 2t x + 4 - 4t = 0
D = 4 + 2t 2由方程有解得： - 4 4 - t 4 - 4t 0
即 t 2 -8t + 4 0 ，解得： 4 - 2 3 t 4 + 2 3
x 2 + t所以 tmin = 4 - 2 3，此时 = = 3 -14 - t
AC
所以当 取最小值时， x = 3 -1，即BD = 3 -1 .
AB
3．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知
sinC = 2 cos B， a2 + b2 - c2 = 2ab
(1)求 B；
(2)若VABC 的面积为3+ 3 ，求 c．
【解析】（1）由余弦定理有 a2 + b2 - c2 = 2ab cosC ，对比已知 a2 + b2 - c2 = 2ab，
2 2 2
可得 cosC a + b - c 2ab 2= = = ，
2ab 2ab 2
因为C 0, π ，所以 sin C > 0，
2
2 2 从而 sin C 2= 1- cos C = 1- ÷÷ = ，
è 2 2
1
又因为 sin C = 2 cos B ，即 cos B = ，2
注意到B 0, π ，
π
所以 B = .3
B π
π π π 5π
（2）由（1）可得 = ， cosC 2= ，C 0, π ，从而C = ， A = π - - =3 ，2 4 3 4 12
sin A sin 5π sin π π= = + 2 3 2 1 6 + 2而 12 ÷
= + = ，
è è 4 6 ÷ 2 2 2 2 4
a b c
=
由正弦定理有 sin 5π sin π
=
sin π ，
12 3 4
a 6 + 2 2c 3 +1c,b 3 6从而 = × = = × 2c = c，
4 2 2 2
由三角形面积公式可知，VABC 的面积可表示为
S 1 1 3 +1 6 2 3+ 3 2VABC = absin C = × c × c × = c ，2 2 2 2 2 8
由已知VABC 3+ 3的面积为3+ 3 ，可得 c2 = 3 + 3 ，
8
所以 c = 2 2 .
4．（2024 年北京高考数学真题）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c， A为钝角， a = 7，
sin 2B 3= b cos B．
7
(1)求 A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VABC 存在，求VABC 的面积．
13
条件①：b = 7 ；条件②： cos B = ；条件③： c sin A
5
= 3 ．
14 2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
3
【解析】（1）由题意得 2sin B cos B = b cos B ，因为A 为钝角，
7
b 2 a 7
= = =
则 cos B 0，则 2sin B 3= b ，则 sin B 3 sin A sin A ，解得 sin A 3= ，
7 7 2
2π
因为A 为钝角，则 A = 3 .
2 ①b = 7 sin B 3 b 3 2π
p
（ ）选择 ，则 = = 7 3= ，因为 A = 3 ，则 B 为锐角，则B = ，14 14 2 3
此时 A + B = π ，不合题意，舍弃；
2
② cos B
13
= B sin B 1 13 3 3选择 ，因为 为三角形内角，则14 = - 14 ÷
= ，
è 14
则代入 2sin B 3= b 3 3 3得 2 = b ，解得b = 3，
7 14 7
sin C = sin A + B = sin 2π + B

÷ = sin
2π cos B + cos 2π sin B
è 3 3 3
3 13 1 3 3 5 3
= + -
2 14 ÷
= ,
è 2 14 14
S 1 absin C 1 7 3 5 3 15 3则 VABC = = = .2 2 14 4
选择③ c sin A
5
= 3 ，则有
2 c
3 5
= 3，解得 c = 5，
2 2
a c 7 5= 5 3
则由正弦定理得 = ，即 3 sin C ，解得 sin C = ，sin A sin C 2 14
2
因为C 5 3 11为三角形内角，则 cosC = 1- ÷÷ = ，
è 14 14
则 sin B = sin A C 2π 2π 2π+ = sin + C

÷ = sin cosC + cos sin C
è 3 3 3
3 11 1 5 3 3 3= +
2 14
- ÷ = ，
è 2 14 14
1 1 3 3 15 3
则 S△ABC = ac sin B = 7 5 =2 2 14 4
5．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
sin A + 3 cos A = 2 ．
(1)求 A．
(2)若 a = 2， 2bsinC = csin 2B，求VABC 的周长．
【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
π
由 sin A + 3 cos A = 2 1可得 sin A 3+ cos A =1，即 sin(A + ) =1，
2 2 3
由于 A (0, π) A
π (π 4π π π π + , )，故 A + = ，解得 A =
3 3 3 3 2 6
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 sin A + 3 cos A = 2 ，又 sin2 A + cos2 A =1，消去 sin A 得到：
4cos2 A - 4 3 cos A + 3 = 0 (2cos A - 3)2 = 0 cos A 3，解得 = ，
2
又 A (0, π) A
π
，故 =
6
方法三：利用极值点求解
设 f (x) = sin x + 3 cos x(0 < x < π)，则 f (x) = 2sin
π
x + ÷ (0 < x < π)，
è 3
π
显然 x = 时， f (x)max = 2 ，注意到 f (A) = sin A + 3 cos A
π
= 2 = 2sin(A + )，
6 3
f (x)max = f (A)，在开区间 (0, π) 上取到最大值，于是 x = A必定是极值点，
即 f (A) = 0 = cos A - 3 sin A 3，即 tan A = ，
3
又 A (0, π)，故 A
π
=
6
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
r r r r
设 a = (1, 3),b = (sin A, cos A) ，由题意， a ×b = sin A + 3 cos A = 2 ，
r r r r r r r r
根据向量的数量积公式， a ×b = a b cos a,b = 2cos a,b ，
r r r r r r
则 2cos a,b = 2 cos ar,b r=1，此时 a,b = 0，即 a,b同向共线，
根据向量共线条件，1×cos A = 3 ×sin A tan A 3= ，
3
π
又 A (0, π)，故 A =
6
方法五：利用万能公式求解
2
设 t = tan
A
，根据万能公式， sin A 3 cos A 2 2t 3(1- t )+ = = + ，
2 1+ t 2 1+ t 2
整理可得， t 2 - 2(2 - 3)t + (2 - 3)2 = 0 = (t - (2 - 3))2，
A
解得 tan = t = 2 - 3 tan A 2t 3，根据二倍角公式， = = ，2 1- t 2 3
又 A (0, π)，故 A
π
=
6
（2）由题设条件和正弦定理
2bsin C = c sin 2B 2 sin B sin C = 2sin C sin B cos B ，
又B,C (0, π)
π
，则 sin B sin C 0 2，进而 cos B = ，得到B = ，
2 4
C 7π于是 = π - A - B = ，
12
sin C = sin(π - A - B) = sin(A + B) = sin Acos B + sin B cos A 2 + 6= ，
4
2 b c
a b c = =
由正弦定理可得， = = ，即 sin π sin π sin 7πsin A sin B sin C ，
6 4 12
解得b = 2 2,c = 6 + 2 ，
故VABC 的周长为 2 + 6 + 3 2
6．（2024 年天津高考数学真题）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
cosB 9 a 2= ，b = 5， = ．
16 c 3
(1)求 a；
(2)求sinA；
(3)求 cos B - 2A 的值．
【解析】（1）设 a = 2t,c = 3t ， t > 0，则根据余弦定理得b2 = a2 + c2 - 2ac cos B ，
25 = 4t 2即 + 9t 2 - 2 2t 3t
9
，解得 t = 2（负舍）；
16
则 a = 4,c = 6 .
2
（2）法一：因为 B 为三角形内角，所以 sin B = 1- cos2 B = 1- 9 5 7 ÷ = ，
è16 16
4 5
a b =
再根据正弦定理得 = ，即 sin A 5 7 7，解得 ，
sin A sin B sin A =
16 4
b2 + c2 - a2 52 + 62cos A - 4
2 3
法二：由余弦定理得 = = = ，
2bc 2 5 6 4
2
A 0, π sin A 1 3= - 7因为 ，则 ÷ =
è 4 4
（3）法一：因为 cosB
9
= > 0 ，且B 0, π ，所以B 0,
π
，
16 ֏ 2
由（2 5 7）法一知 sin B = ，
16
2

因为 a < b ，则 A < B 7 3，所以 cos A = 1- 4 ÷÷
= ，
è 4
3 2 1
则 sin 2A = 2sin Acos A 7 3 3 7= 2 = ， cos 2A = 2cos2 A -1 = 2 -1 =
4 4 8 4 ֏ 8
cos B - 2A = cos B cos 2A + sin B sin 2A 9 1 5 7 3 7 57= + = .
16 8 16 8 64
sin 2A 2sin Acos A 2 7 3 3 7法二： = = = ，
4 4 8
2
则 cos 2A = 2cos2 A -1 = 2 3 1 ÷ -1 = ，
è 4 8
2
因为 B 为三角形内角，所以 sin B = 1- cos2 B 1 9 5 7= - ÷ = ，
è16 16
cos B 2A cos B cos 2A sin B sin 2A 9 1 5 7 3 7 57所以 - = + = + =
16 8 16 8 64
7．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
b2 + c2 - a2
= 2．
cosA
(1)求bc ；
acosB - bcosA b
(2)若 - = 1，求VABC 面积．
acosB + bcosA c
b2 + c2 - a2 2bc cos A
【解析】（1）因为 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，所以 = = 2bc = 2，解得：bc =1．
cos A cos A
a cos B - bcos A b sin Acos B - sin B cos A sin B
（2）由正弦定理可得 - = -
a cos B + bcos A c sin Acos B + sin B cos A sin C
sin A - B sin B sin A - B - sin B
= - = =1
sin A + B sin A ，+ B sin A + B
变形可得： sin A - B - sin A + B = sin B，即-2cos Asin B = sin B，
1 3
而0 < sin B≤1，所以 cos A = - ，又0 < A < π ，所以 sin A = ，2 2
故VABC 1 1 3 3的面积为 S△ABC = bcsin A = 1 = ．2 2 2 4
8．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）在VABC 中，已知 BAC =120° ， AB = 2， AC =1 .
(1)求 sin ABC ；
(2)若 D 为 BC 上一点，且 BAD = 90°，求△ADC的面积.
【解析】（1）由余弦定理可得：
BC 2 = a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
= 4 +1- 2 2 1 cos120o = 7，
a2 + c2 2
则BC = 7 ， cos B
- b 7 + 4 -1 5 7
= = = ，
2ac 2 2 7 14
sin ABC = 1- cos2 B 1 25 21= - = .
28 14
1
S AB AD sin 90
o
（2）由三角形面积公式可得 △ABD = 2
S 1
= 4 ，
△ACD AC AD sin 30o
2
1 1 1
则 S△ACD = S△ABC = 2 1 sin120
o 3= .
5 5 è 2 ÷ 10
9．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在VABC 中， A + B = 3C,2sin A - C = sin B ．
(1)求sinA；
(2)设 AB = 5，求 AB 边上的高．
【解析】（1）Q A + B = 3C ，
π
\π - C = 3C ，即C = ，
4
又 2sin(A - C) = sin B = sin(A + C)，
\2sin AcosC - 2cos Asin C = sin AcosC + cos Asin C ，
\sin AcosC = 3cos Asin C ，
\sin A = 3cos A，
即 tan A = 3，所以 0 < A π< 2 ，
sin A 3 3 10\ = = .
10 10
（2）由（1）知， cos A 1 10= = ，
10 10
sin B = sin(A + C) sin AcosC cos Asin C 2 (3 10 10 ) 2 5由 = + = + = ，
2 10 10 5
2 5
c b 5
由正弦定理， = ，可得b = 5 = 2 10 ，
sin C sin B 2
2
1 AB h 1\ × = AB × AC ×sin A，
2 2
\h = b ×sin A = 2 10 3 10 = 6 .
10
10．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知VABC 的面积为
3，D为BC中点，且 AD =1．
π
(1)若 ADC = ，求 tan B ；
3
(2)若b2 + c2 = 8，求b,c．
V ADC π【解析】（1）方法 1：在 ABC 中，因为D为BC中点， = ， AD =1，
3
S 1则 VADC = AD × DC sin ADC
1 1 1 a 3 3 1 3 = = a = S = ，解得 a = 4，
2 2 2 2 8 2 VABC 2
2π
在△ABD 中， ADB = ，由余弦定理得 c2 = BD2 + AD2 - 2BD × AD cos ADB，
3
c2即 = 4 +1- 2 2 1 (
1
- ) = 7，解得 c = 7 ，则 cos B
7 + 4 -1 5 7
= = ，
2 2 7 2 14
sin B = 1- cos2 B 1 (5 7 )2 21= - = ，
14 14
tan B sin B 3所以 = = .
cos B 5
π
方法 2：在VABC 中，因为D为BC中点， ADC = ， AD =1，
3
S 1则 VADC = AD × DC sin ADC
1 1 1 a 3 3 a 1 S 3= = = VABC = ，解得 a = 4，2 2 2 2 8 2 2
在VACD中，由余弦定理得b2 = CD2 + AD2 - 2CD × AD cos ADC ，
即b2
1
= 4 +1- 2 2 1 = 3，解得b = 3 ，有 AC 2 + AD2 = 4 = CD2 ，则 CAD = π ，2 2
C π 5= ，过A 作 AE ^ BC 于E ，于是CE = AC cosC 3= , AE 3= AC sin C = ，BE = ，
6 2 2 2
所以 tan B AE 3= = .
BE 5
ì
c
2 1= a2 +1- 2 1 a 1 cos(π - ADC)
ABD （2）方法 1：在△ 与VACD 4 2中，由余弦定理得 í ，
b2 1= a2 +1- 2 1 a 1 cos ADC
4 2
1
整理得 a2 + 2 = b2 + c2，而b2 + c2 = 8，则
2 a = 2 3
，
S 1
π
又 VADC = 3 1 sin ADC
3
= ，解得 sin ADC =1，而0 < ADC < π，于是 ADC = ，
2 2 2
所以b = c = AD2 + CD2 = 2 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
方法 2：在VABC 中，因为D为BC中点，则 2AD = AB + AC ，又CB = AB - AC ，
uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur
于是 4AD + CB = (AB + AC)2 + (AB - AC)2 = 2(b2 + c2 ) =16，即 4 + a2 =16 ，解得 a = 2 3 ，
S 1 3
π
又 VADC = 3 1 sin ADC = ，解得 sin ADC =1，而0 < ADC < π，于是 ADC = ，2 2 2
所以b = c = AD2 + CD2 = 2 .
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）在VABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
4a = 5c,cosC 3= ．
5
(1)求 sin A 的值；
(2)若b =11，求VABC 的面积．
3
【解析】（1）由于 cosC = ， 0 < C < π，则 sin C
4
= ．因为
5 5 4a = 5c
，
由正弦定理知 4sin A = 5 sin C ，则 sin A 5 sin C 5= = ．
4 5
2
2 4a a
2 +121 16- a2 11 a-
（ ）因为 = 5c 2 2 2，由余弦定理，得 cosC a + b - c 5 5 3= = = = ，
2ab 22a 2a 5
即 a2
4
+ 6a - 55 = 0，解得 a = 5，而 sin C = ，b =11，5
所以VABC 的面积 S
1
= absin C 1 4= 5 11 = 22．
2 2 5
12．（2022 年新高考全国 II 卷数学真题）记 VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，
c 3 1为边长的三个正三角形的面积依次为 S1, S2 , S3 ，已知 S1 - S2 + S3 = ,sin B = ．2 3
(1)求VABC 的面积；
(2)若 sin AsinC 2= ，求 b．
3
1 3 3 3 3
【解析】（1）由题意得 S1 = × a
2 × = a2 , S = b2 , S 2
2 2 4 2 4 3
= c ，则
4
S 3 3- S + S = a2 - b2 31 2 3 + c
2 3= ，
4 4 4 2
a2 + c2 - b2
即 a2 + c2
1
- b2 = 2，由余弦定理得 cos B = ，整理得 ac cos B =1，则 cos B > 0，又 sin B = ，
2ac 3
2
则 cos B = 1- 1 2 2 1 3 2 1 2 ÷ = ， ac = = ，则 S3 3 cos B 4 VABC
= ac sin B = ；
è 2 8
3 2
b a c b2 a c ac 4 9 b 3
（2）由正弦定理得： = = ，则 = × = = = =
sin B sin A sin C sin2 B sin A sin C sin Asin C 4
，则 ，
2 sin B 2
3
b 3 sin B 1= = .
2 2
13．（2022 年高考全国乙卷数学（文）真题）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c﹐已知
sin C sin A - B = sin B sin C - A ．
(1)若 A = 2B，求 C；
(2)证明： 2a2 = b2 + c2
【解析】（1）由 A = 2B， sin C sin A - B = sin B sin C - A 可得， sin C sin B = sin B sin C - A ，而
0 π< B < ，所以 sin B 0,1 ，即有 sin C = sin C - A > 0 ，而0 < C < π,0 < C - A < π，显然C C - A，所以，
2
5π
C + C - A = π，而 A = 2B， A + B + C = π，所以C = ．
8
（2）由 sin C sin A - B = sin B sin C - A 可得，
sin C sin Acos B - cos Asin B = sin B sin C cos A - cosC sin A ，再由正弦定理可得，
ac cos B - bc cos A = bc cos A - ab cosC ，然后根据余弦定理可知，
1 a2 c2 b2 1 b2 c2 a2 1 1+ - - + - = b2 + c2 - a2 - a2 + b2 - c2 ，化简得：
2 2 2 2
2a2 = b2 + c2，故原等式成立．
14．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知
sinC sin(A - B) = sin B sin(C - A)．
(1)证明： 2a2 = b2 + c2；
(2)若a = 5,cos A
25
= ，求VABC 的周长．
31
【解析】（1）证明：因为 sin C sin A - B = sin B sin C - A ，
所以 sin C sin Acos B - sin C sin B cos A = sin B sin C cos A - sin B sin AcosC ，
ac a
2 + c2 - b2 2bc b
2 + c2 - a2 a2 + b2 - c2
所以 × - × = -ab × ，
2ac 2bc 2ab
a2 + c2 - b2 2 2 b2 c2 a2 a + b - c
2
即 - + - = - ，
2 2
所以 2a2 = b2 + c2；
25
（2）因为a = 5,cos A = ，
31
由（1）得b2 + c2 = 50，
由余弦定理可得 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
则50
50
- bc = 25，
31
所以bc
31
= ，
2
故 b + c 2 = b2 + c2 + 2bc = 50 + 31 = 81，
所以b + c = 9，
所以VABC 的周长为 a + b + c =14 .
15．（2022 年新高考北京数学高考真题）在VABC 中， sin 2C = 3 sin C ．
(1)求 C ；
(2)若b = 6，且VABC 的面积为6 3 ，求VABC 的周长．
【解析】（1）因为C 0,p ，则 sin C > 0，由已知可得 3 sin C = 2sin C cosC ，
3
可得 cosC = ，因此，C
p
= .
2 6
1
（2）由三角形的面积公式可得 SVABC = absin C
3
= a = 6 3 ，解得
2 2 a =4 3 .
由余弦定理可得 c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = 48 + 36 3- 2 4 3 6 =12 ，\c=2 3，
2
所以，VABC 的周长为 a + b + c = 6 3 + 6 .
16．（2022年新高考全国 I卷数学真题）记VABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
cos A sin 2B
= ．
1+ sin A 1+ cos2B
2p
(1)若C = ，求 B；
3
a2 + b2(2)求 的最小值．
c2
cos A sin 2B 2sin B cos B sin B
【解析】（1）因为 = = 2 = ，即1+ sin A 1+ cos 2B 2cos B cos B
sin B = cos Acos B - sin Asin B = cos A + B = -cosC 1= ，
2
π π
而0 < B < ，所以 B = 6 ；2
π π
（2）由（1）知， sin B = -cosC > 0，所以 < C < π,0 < B < ，
2 2
sin B π而 = -cosC = sin

C -

÷ ，
è 2
π π p p 3p
所以C = + B ，即有 A = - 2B ，所以B 0, ,C ,
2 2 4 ÷ ÷è è 2 4
a2 + b2 sin2 A + sin2 B cos2 2B +1- cos2 B
所以
c2
= =
sin2 C cos2 B
22cos2 B -1 +1- cos2 B 2
= 2 = 4cos
2 B + ．
cos B cos2
- 5 2 8 - 5 = 4 2 - 5
B
2 a2 + b2
当且仅当 cos2 B = 时取等号，所以 2 的最小值为 4 2 - 5．2 c

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