资源简介

第 04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：直线与平面垂直的定义.....................................................................................................4
知识点 2：直线与平面垂直的判定定理.............................................................................................5
知识点 3：直线与平面垂直的性质定理.............................................................................................7
知识点 4：平面与平面垂直的定义.....................................................................................................8
知识点 5：平面与平面垂直的判定定理.............................................................................................9
知识点 6：平面与平面垂直的性质定理.............................................................................................9
解题方法总结......................................................................................................................................11
题型一：垂直性质的简单判定..........................................................................................................12
题型二：证明线线垂直......................................................................................................................16
题型三：证明线面垂直......................................................................................................................19
题型四：证明面面垂直......................................................................................................................23
题型五：面面垂直的性质定理..........................................................................................................26
题型六：垂直关系的综合应用..........................................................................................................30
题型七：鳖臑几何体中的垂直..........................................................................................................35
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................38
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................45
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................49
易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角..........................................................................................49
答题模板：线线垂直、线面垂直的证明..........................................................................................50
考点要求 考题统计 考情分析
2024 年 II 卷第 17（1）题，7 分
2023 年 II 卷第 20（1）题，6 分 选择题、填空题中考查直线、平面位置
（1）直线与平面垂
2023 年北京卷第 16（1）题，5 分 关系判断；解答题第一问中多考查平行、垂
直的判定与性质
2022 年乙卷（文）第 9 题，5 分 直的证明．证明一些空间位置关系，利用性
（2）平面与平面垂
2022 年乙卷（文）第 18 题，12 分 质定理、判定定理探究平行、垂直位置关系
直的判定与性质
2021 年浙江卷第 6 题，4 分 的存在性问题．
2021 年 II 卷第 10 题，5 分
复习目标：
（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
（2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．
知识点 1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
【诊断自测】（2024·高三·河北·期末）已知 l、m 是不重合的两条直线，a 、 b 是不重合的两个平面，
则下列结论正确的是（ ）
A．若a I b = l ，m a ， l //m，则m / /b
B．若 l a ，m b ，a //b ，则 l //m
C．若a I b = l ，m a ，m ^ l ，则a ^ b
D．若 l ^ m ，m / /a ，则 l ^ a
【答案】A
【解析】对于 A，因为a I b = l ，m a ，所以m b ，
又 l //m， l b ，所以m / /b ，A 正确；
对于 B，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，
记平面 ABCD为a ，平面 A1B1C1D1为 b ， AB为 l， A1D1为m ，
则 l a ，m b ，a //b ，但 l与m 不平行，B 错误；
对于 C，记平面 ABC1D1为a ，平面 ABCD为 b ， AB为 l， AD1 为m ，
由正方体性质可知， AB ^平面 ADD1A1， AD1 平面 ADD1A1，所以 AD1 ^ AB ，
则a I b = l ，m a ，m ^ l ，但a , b 不垂直，C 错误；
对于 D，记 AD1 为 l， AB为m ，平面 A1B1C1D1为a ，
则 l ^ m ，m / /a ，但 l与a 不垂直，D 错误.
故选：A
知识点 2：直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一
个平面内的两条相 a,b a ü
a ^ l
判断定理 交直线都垂直，则
b ^ l
l ^ a

该直线与此平面垂 a b = P
直
两 个 平 面 垂 b
直，则在一个平面 _b a ^ b ü
a b = a
面⊥面 线⊥面 内垂直于交线的直 _a b ^ ab b
线与另一个平面垂 a b ^ a
直
一条直线与两 _a
平行平面中的一个 b
平行与垂直的 a / /b ü
平面垂直，则该直 a ^ b
关系 a ^ a
线与另一个平面也 a
垂直
两平行直线中 a_ _b
平行与垂直的 有一条与平面垂 a / /b ü
b ^ a
关系 直，则另一条直线 a ^ aa
与该平面也垂直
【诊断自测】如图，在三棱锥 A - BCD中，平面 ABC ^ 平面BCD， BCD = BDC
π
= ， P 为棱 AC
6
的中点，点Q在棱CD上，PQ ^ BC ，且DQ = 2QC .
证明： AB ^平面BCD；
【解析】如图，取棱CD靠近 D的三等分点 R ，
连结 AR, BR，则Q是CR的中点，
因为 P 为棱 AC 的中点，所以 PQ是△ ACR 的中位线，
所以PQ//AR ，因为PQ ^ BC ，所以 BC ⊥ AR ，
π
设BC = 3a ，因为 BCD = BDC = ，6
所以BD = 3a，作BH ^ CD ，连接 BR，
则CD = 2BCcos BCD = 3a，因为DQ = 2QC ，所以CR = 2a ．
在△BCR中，由余弦定理得BR = ( 3a)2 + (2a)2 - 2 3a 2a cos BCD = a，
\BR2 + BC 2 = CR2 , BC ^ BR．
又Q AR BR = R, AR, BR 面 ABR ，
\BC ^平面 ABR ，因为 AB 面 ABR ，所以BC ^ AB．
又由平面 ABC ^ 平面BCD，平面 ABC I平面BCD = BC ，
\ AB ^平面BCD得证.
知识点 3：直线与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
_a b_
垂直于同一平 a ^ a ü
性质定理 a / /b
面的两条直线平行 b ^ a
a
_a
垂直与平行的 垂直于同一直 b a ^ a ü
a / /b
关系 线的两个平面平行 a ^ b


a
如果一条直线
线垂直于面的 垂直于一个平面，
l ^ a ,a a l ^ a
性质 则该直线与平面内
所有直线都垂直
【诊断自测】（2024·高三·江苏南通·期中）如图， AD / /BC 且 AD = 2BC ， AD ^ CD ， EG / / AD 且
EG = AD ，CD / /FG且CD = 2FG，DG ^ 平面 ABCD，DA = DC = DG = 2 .
(1)设面 BCF 与面 EFG 的交线为 l，求证：BC / /l ；
(2)证明: AG ^ EC
【解析】（1）因为 AD / /BC ， EG / / AD ，所以BC / /EG，
又BC 平面EFG ，EG 平面EFG ，
所以BC / / 面EFG ，又BC 平面BCF ，平面BCF 平面EFG = l ，
所以BC / /l .
（2）因为 EG / / AD 且EG = AD ，所以四边形 ADGE 为平行四边形，
又 AD = DG ，所以四边形 ADGE 为菱形，所以 AG⊥DE.
因为DG ^ 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以DG ^ CD ，
又 AD ^ CD ，DG、AD 平面 ADGE ，所以 CD⊥面 ADGE ，
又 AG 面 ADGE ，所以CD ^ AG ，又 AG ^ DE ，
DE、CD 平面CDE ，所以 AG ^ 面CDE ，又CE 面CDE ，
所以 AG ^ EC .
知识点 4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂
直．（如图所示，若a b = CD,CD ^ g ，且a g = AB, b g = BE, AB ^ BE ，则a ^ b ）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
【诊断自测】（2024·福建泉州·模拟预测）已知m, n是两条不同的直线，a , b ,g 是三个不同的平面，则
下列命题是真命题的是（ ）
A．若a ^ b ,m a ,n b ，则m ^ n B．若a ^ b , b ^ g ，则a / /g
C．若m ^ a , m / /n, n / /b ，则a ^ b D．若m / /n,m / /a ，则 n / /a
【答案】C
【解析】对于 A,因为a ^ b ,设a I b = l ，
又m a , n b ，则当m / /l,n / /l 时，m // n，故 A 错误；
对于 B，若a Ig = l ，且 l ^ b ，则有a ^ b , b ^ g ，故 B 错误；
对于 C，因为m ^ a , m / /n,
故n ^ a ，又 n / /b ，故存在直线 a b ，且 a / /n，
此时 a ^ a ，由面面垂直的判定定理知a ^ b ，故 C 正确；
对于 D,当m / /n,m / /a ，则 n / /a 或者n a，故 D 错误，
故选：C.
知识点 5：平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过 b b ^ a ü
a ^ b
另一个平面的垂 _b b b
线，则这两个平 a
面垂直
【诊断自测】如图，在三棱锥P - ABC 中，平面PAC ^平面PBC ，VPAC 和VABC 均为等腰直角三角
形，且PA = PC = 2 ，PB = 6 ．
证明：平面 ABC ^ 平面PAC ；
2 2
【解析】由题意，得PC ^ PA，所以 AC = PA2 + PC 2 = 2 + 2 = 2．
因为平面PAC ^平面PBC ，且平面PAC I平面 PBC = PC ，PA 平面PAC ，
所以PA ^平面PBC ，
因为PB 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以PA ^ PB，PA ^ BC ．
所以 AB2 = PA2 + PB2 = 8，即 AB = 2 2 ．
又因为VABC 为等腰直角三角形， AC = 2 AB，
所以 AC = BC = 2， AC ^ BC ．
因为PA 平面PAC ， AC 平面PAC ，PAI AC = A，所以BC ^平面PAC ，
又因为BC 平面 ABC ，所以平面 ABC ^ 平面PAC ．
知识点 6：平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两 个 平 面 垂 b a ^ b ü

直，则一个平面内 a b = a_b b ^ ab b
垂直于交线的直线 _a b ^ a
与另一个平面垂直 a
π
【诊断自测】如图 1，四边形 ABCD为菱形， ABC = ，E， F 分别为 AD，DC 的中点.如图 2，将
3
VABC 沿 AC 向上折叠，使得平面 ABC ^ 平面 ACFE，将VDEF 沿EF 向上折叠．使得平面DEF ^平面
ACFE .求证： A, B, D, E 四点共面.
【解析】取 AC, EF 的中点分别为M , N ，连接BM , DN , MN ，
取 AM,BM 的中点分别为G, H ，连接BD,GH , HD,GE ，
π
由四边形 ABCD为菱形， ABC = ，可知VABC ，VDEF 都是等边三角形，
3
所以BM ^ AC ，DN ^ EF ，
因为平面 ABC ^ 平面 ACFE，BM 平面 ABC ，平面 ABC I平面 ACFE = AC ，
所以BM ^平面 ACFE，
又由平面DEF ^平面 ACFE，同理可得DN ^ 平面 ACFE，
所以BM //DN ，且HM = DN ，
所以四边形 DNMH 是平行四边形，
则DH //MN ，且DH = MN ，又MN //GE ，
所以DH //GE，又因为DH = MN = GE ，
所以四边形DHGE 是平行四边形，所以GH //DE ，
因为 AM,BM 的中点分别为G, H ，所以GH //AB，
所以 AB//DE，所以 A, B, D, E 四点共面.
解题方法总结
判 定 定理
判 定定理
^

线 线 性质定理 线^ 面 性质定理 面^ 面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质 (a ^ a ,b a a ^ b) ；
⑦平行线垂直直线的传递性（ a ^ c,a / /b b ^ c ）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（ a ^ b,a ^ c,c a ,b a ,b c = P a ^ a ）；
③面面垂直的性质（a ^ b ,a b = b,a ^ b,a a a ^ b ）；
平行线垂直平面的传递性（ a ^ a ,b / /a b ^ a ）；
⑤面面垂直的性质（a ^ g , b ^ g ,a b = l l ^ g ）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（ a ^ b ,a a a ^ b ）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位
置．
线∥面
判定 判定
性质 判定 性质
线∥线 面∥面
性质
判定 判定
线⊥线 线⊥面 面⊥面
性质 性质
题型一：垂直性质的简单判定
【典例 1-1】（2024·四川·模拟预测）设 l1, l2为两条不同的直线，a1,a2 为两个不同的平面，下列说法正
确的是（ ）
A．若 l1 //a1， l2 //a1，则 l1 / / l2
B．若 l1, l2与a1所成的角相等，则 l1 / / l2
C．若a1 ^ a2 , l1 //a1， l2 // a2，则 l1 ^ l2
D．若a1 ^ a2 , l1 ^ a1, l2 ^ a2 ，则 l1 ^ l2
【答案】D
【解析】对于 A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故 A 错误；
对于 B， l1, l2与a1所成的角相等，则 l1, l2可能异面，可能相交，也可能平行，故 B 错误，
对于 C，a1 ^ a2 , l1 //a1， l2 //a2 ，则 l1, l2可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故 C 错误；
对于 D，a1 ^ a2 , l1 ^ a1, l2 ^ a2 ，则 l1 ^ l2，D 正确.
故选：D．
【典例 1-2】（2024·湖南·三模）已知 m，n 是两条不重合的直线，a , b 是两个不重合的平面，下列命
题正确的是（ ）
A．若m//a ,n//b ,a //b ，则m//n
B．若m a , n a , m//b , n//b ，则a //b
C．若m ^ a ,m//n,a ^ b ，则 n ^ b
D．若m ^ a ,n ^ b ,m ^ n ，则a ^ b
【答案】D
【解析】对于 A，若 n / /b ，a / /b ，则 n / /a 或n a，则 m，n 相交、平行、异面都有可能，A 错误；
对于 B，若m a , n a , m / /b , n / /b ，则a 与 b 相交或平行，B 错误；
对于 C，若m ^ a ,m//n，则n ^ a ，又a ^ b ，则 n / /b 或 n b ，C 错误；
对于 D，由m ^ a ,m ^ n ，得 n / /a 或 n a，若 n / /a ，则存在过 n 的平面与a 相交，
令交线为 l，则 n / /l ，而 n ^ b ，于是 l ^ b ，a ^ b ；若 n a，而 n ^ b ，则a ^ b ，
因此a ^ b ，D 正确.
故选：D
【方法技巧】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【变式 1-1】在四边形 ABCD中， AD / /BC, AD = AB, BCD = 45°, BAD = 90°，将△ABD 折起，使平
面 ABD ^平面BCD，构成三棱锥 A - BCD，如图，则在三棱锥 A - BCD中，下列结论不正确的是（ ）
A．CD ^ AB B．CD ^ BD
C．平面 ADC ^平面 ABD D．平面 ABC ^ 平面BDC
【答案】D
【解析】对于 B，如图①，因为 AD / /BC, AD = AB, BAD = 90o ，
所以 ABD = ADB = 45o ，
又因为 BCD = 45o ， AD / /BC ，
所以 ADC =135o ，
所以 BDC = ADC - ADB =135o - 45o = 90o ，
所以CD ^ BD ，故 B 正确；
对于 A，由 B 选项知CD ^ BD ，
又因为平面 ABD ^平面BCD，CD 平面BCD， 平面 ABD 平面BCD = BD，
所以CD ^平面 ABD，
因为 AB 平面 ABD，
所以CD ^ AB ，故 A 正确；
对于 C，由选项 A 知，CD ^平面 ABD，
因为CD 平面 ADC ，
所以平面 ADC ^平面 ABD，故 C 正确;
对于 D，如图②过点 A 作 AE ^ BD，垂足为E，
因为平面 ABD ^平面BCD， AE 平面 ABD， 平面 ABD 平面BCD = BD，
所以 AE ^平面BCD，
显然 AE 平面 ABC ，所以平面 ABC 与平面BDC 不垂直，故 D 错误.
故选：D.
【变式 1-2】已知下面给出的四个图都是正方体，A，B 为顶点，E，F 分别是所在棱的中点，
则满足直线 AB ^ EF 的图形的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【解析】对于①：如下图所示，点C 为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 AB ^ FC ，由CE ^平面 ACF ，得出EC ^ AB，FC, EC 平面ECF
FC I EC = C ，从而由线面垂直的判定得出 AB ^平面ECF ，则 AB ^ EF ，故①正确；
对于②：如下图所示，点 D为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 AB ^ DE ，由DF ^平面BDE ，得出DF ^ AB ，DE, DF 平面DEF ,
DE DF = D ，从而由线面垂直的判定得出 AB ^平面DEF ，则 AB ^ EF ，故②正确；
对于③：如下图所示，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证EF ^ AG ，由BG ^平面EFG ，得出EF ^ BG， AG, BG 平面 ABG ,
AG I BG = G，从而由线面垂直的判定得出EF ^平面 ABG，则 AB ^ EF ，故③正确；
对于④：如下图所示，点 H 为所在棱的中点，由③可知， AB ^ HE ，
由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证BM ^ FH ，由 AM ^平面FHM ，得出 AM ^ FH ， AB, AM 平面 ABM ，
AB I AM = A，从而由线面垂直的判定得出 FH ^ 平面 ABM ，则 AB ^ FH ，
HE, FH 平面EFH ，HE FH = H ，由线面垂直的判定可得 AB ^平面EFH ，
则 AB ^ EF ，故④正确；
故选：D
【变式 1-3】已知正四面体 ABCD中，E是 AB的中点，连接DE,G 是DE的中点，点 F 满足
uuur uuur
AF = 3FC ，则（ ）
A． AD ^ EF
B．EF / / 平面BCD
C． FG / / 平面BCD
D．平面EFG ^ 平面 ABD
【答案】C
【解析】如图，
uuur uuur
连接DF，平面EFG 即平面DEF ，由E是 AB的中点和 AF = 3FC ，知EF 与BC 相交.
对于A ，因为四面体 ABCD为正四面体，所以 AD ^ BC, DAB = 60o .
若 AD ^ EF ，又BC, EF 平面 ABC ，且BC, EF 相交，所以 AD ^ 平面 ABC .
又 AB 平面 ABC ，所以 AD ^ AB ，与 DAB = 60o 矛盾，所以A 错误；
对于B，若EF / / 平面BCD，由EF 平面 ABC ，平面 ABC I平面BCD = BC ，
得BC / / EF ，与BC, EF 相交矛盾，所以B错误；
uuur uuur
对于C ，由 AF = 3FC ，知 A, F ,C 三点共线，且 AF = 3FC .
取 BE 的中点M ，连接FM ,GM ，所以 AM = 3MB，所以MF / / BC .
又MF 平面BCD, BC 平面BCD，所以MF / / 平面BCD .
又G 是DE的中点，所以MG / / BD .
又MG 平面BCD, BD 平面BCD，所以MG / / 平面BCD .
因为MG, MF 平面MFG，且MG MF = M ，所以平面MFG / / 平面BCD .
因为 FG 平面MFG，所以 FG / / 平面BCD，所以C 正确；
对于D ，连接CE，因为E是 AB的中点，所以DE ^ AB，
若平面EFG ^ 平面 ABD，又平面EFG 平面 ABD = DE ，所以 AB ^平面EFG .
又EF 平面EFG ，所以 AB ^ EF ，与CE ^ AB 矛盾，所以 D 错误.
故选：C.
题型二：证明线线垂直
【典例 2-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面
ABCD 为正方形，E 为线段 AB 的中点，PA = AB = 2．
求证：BD ^ PC ；
【解析】证明：∵ PA ^平面 ABCD，BD 平面 ABCD，∴PA⊥BD．
又底面 ABCD 为正方形，∴ BD ^ AC ．
又PAI AC = A，且 PA， AC 平面 PAC，∴ BD ^平面 PAC，
∵ PC 平面 PAC，∴ BD ^ PC ．
【典例 2-2】（2024·四川·模拟预测）如图，多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD是边长为 4 的正方形，
V 1FBC 是等边三角形，EF / / AB，EF = AB，平面FBC ^平面 ABCD．
2
求证：EF ^ BF ；
【解析】由 ABCD是正方形，得 AB ^ BC ，而平面FBC ^平面 ABCD，平面FBC I平面 ABCD = BC ，
AB 平面 ABCD，则 AB ^平面FBC ，又FB 平面FBC ，于是 AB ^ FB ，又EF / / AB，
所以EF ^ BF .
【方法技巧】
ì ì 三线合一(有等腰三角形就必用)

共面 í 勾股定理（题目中线段数据多）
证明l ^ l 先 看 两直 线位 置关 系1 2 í
其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）
异面 考虑用线面垂直推导异面垂直 找重垂线 在重垂线对应平面内找垂直
【变式 2-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，已知多面体 ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，侧
uuuur uuur uuur uuuur
棱BB1 ^ 底面 ABCD，且CC1 = 2AA1 = 4BB1 = 4DD1 ．
证明： A1C ^ BD；
uuur uuur
【解析】因为 2AA1 = 4BB1 ，所以BB1∥ AA1，
又因为BB1 ^ 平面 ABCD，所以 AA1 ^ 平面 ABCD，
又因为BD 平面 ABCD，所以 AA1 ^ BD ，
因为四边形 ABCD是菱形，所以BD ^ AC ，
又因为 AC∩AA1 = A， AC ， AA1 平面 AA1C ，
所以BD ^平面 AA1C ，
又因为 A1C 平面 AA1C ，
所以BD ^ A1C ；
【变式 2-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面
ABCD为正方形，E 为线段 AB的中点，PA = AB = 2．
(1)求证：BD ^ PC ；
(2)求点 E 到平面PBD 的距离．
【解析】（1）证明：QPA ^ 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，\PA ^ BD，
又底面 ABCD 为正方形，\BD ^ AC ，
又PAI AC = A，且PA, AC 平面PAC ，
\BD ^ 平面 PAC，
QPC 平面 PAC，\BD ^ PC ．
（2）QE 为线段 AB 的中点，
\ d若点 A 到平面 PBD 的距离为 d，则点 E 到平面 PBD 的距离为 ．
2
由题易知PB = PD = BD = 22 + 22 =2 2 ，
\S 1 3△PBD = 2 2 2 2 = 2 3 ．2 2
QV = V 1 (1 2 2) 2 1P- ABD A-PBD ，\ = 2 3 d
2 3
，解得 d = ．
3 2 3 3
\点 E 到平面PBD d 3的距离为 = ．
2 3
【变式 2-3】（2024·河南·模拟预测）如图所示，在三棱锥P - ABC 中，平面PAC ^平面 ABC ，
PA ^ AB ， PAC 为锐角.
证明： AB ^ AC ；
【解析】在平面PAC 中，过点 P 作 AC 的垂线，垂足为 D .
平面PAC ^平面 ABC ，且平面PAC I平面 ABC = AC ，PD 平面 APC ，
故PD ^平面 ABC .又 AB 平面PAC ，所以PD ^ AB
又PA ^ AB ，PAI PD = P ，PD 平面PAC ，PA 平面PAC ，
所以 AB ^平面PAC ，又 AC 平面PAC ，故 AB ^ AC .
题型三：证明线面垂直
【典例 3-1】如图，AB 是圆的直径，平面 PAC ^面 ACB，且 AP ^ AC．
求证：BC ^平面PAC ；
【解析】因为平面 PAC ^面 ACB，且 AP ^ AC.，平面 PAC 面 ACB = AC， AP 平面 PAC，
所以 PA ^面 ACB，又因为BC 平面 PBC，
所以 PA ^ BC ，又因为 AB 是圆的直径，所以 AC ^ BC ，
因为 AC I PA = A, AC, PA 平面PAC ，
所以BC ^平面PAC ；
【典例 3-2】在VABC 中， ABC = 90°， AB = BC = 6，D 为边 AB上一点， AD = 2，E 为 AC 上一点，
DE //BC ，将VADE沿DE翻折，使 A 到 A 处， DA B = 90° .
证明： A B ^平面 A DE ；
【解析】证明：由题意知DE ^ A D ，DE ^ BD ，
又 A D I BD = D，所以DE ^平面 A BD ，
又 A B 平面 A BD ，所以DE ^ A B ，
又 A D ^ A B，DE I A D = D ，所以 A B ^平面 A DE
【方法技巧】
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直 线面垂直，符号表示为： a ^ b,a ^ c,b a ,c a ,b c = P ，那么 a ^ a ．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直 线面垂直，符号表示为：a ^ b ,aIb = b, a a , a ^ b ，那么 a ^ b ．
【变式 3-1】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形 ACDE 为菱形，现沿 AC
进行翻折，使得 AB ^平面 ACDE ，过点E作EF //AB，且EF
1
= AB，连接FD, FB, BD，所得图形如图②
2
所示，其中G 为线段BD的中点，连接 FG .
求证： FG ^ 平面 ABD；
【解析】证明：.
在菱形 ACDE 中，CE ^ AD，
因为 AB ^平面 ACDE ，CE 平面 ACDE ，所以CE ^ AB ，
又 AB AD = A， AB, AD 平面 ABD，所以CE ^平面 ABD .
因为G,O分别为BD, AD 的中点，所以GO
1
= AB，GO//AB，
2
EF 1又 = AB， EF //AB，
2
所以GO = EF ，GO//EF ，所以四边形GOEF 为平行四边形，
所以FG//EO，所以 FG ^ 平面 ABD .
【变式 3-2】（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为 2 的
菱形，且 BAD = 60°， AA1 = 6, A1AB = A1AD, AA1与平面 ABCD所成的角为 45°, AC 与BD交于O．
证明： A1O ^平面 ABCD；
【解析】
连结BC1, DC1，
Q底面 ABCD是边长为 2 的菱形， \ AB = AD ．
Q A1AB= A1AD, AA1 = AA1，
\△A1AB≌△A1AD,\BA1 =DA1．
Q点O为线段BD中点， \A1O^BD．
QABCD 为菱形，\ AC ^ BD, AC A1O = O, AC, A1O 平面 AA1C ，\BD ^ 平面 AA1C
又BD 平面 ABCD，\平面 A1AC ^ 平面 ABCD，
\ AA1在平面 ABCD上的射影为 AC ，
\ A1AO 为直线 AA1与平面 ABCD所成的角，即 A1AO = 45°．
1
在VA1AO中， AA1 = 6, AO = AC = 3, A1 AO = 45° ，2
A A2 + OA2 - A O2
\cos A 2 1 11 AO = = , \ A O = 3 ．2 2 A1 A OA
1
AA2则 1 =OA
2 +A1O
2,\A1O^OA．
又OAI BD = O,OA 平面 ABCD , BD 平面 ABCD，
\ A1O ^ 平面 ABCD．
【变式 3-3】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在三棱锥P - ABC 中，
PA = BC = 2 3, PC = AB = 6, PB = 30, ABC = 90o , D 为 AC 上的动点.
若 AD = 3 ，求证：PD ^平面 ABC ；
【解析】
在Rt△ABC 中， AB = 6, BC = 2 3 ，则 AC = 4 3，
又PA = 2 3, PC = 6，所以 AC 2 = PC 2 + PA2
由勾股定理可得△APC 为直角三角形， APC = 90o ,
所以 tan PAC
PC
= = 3 ，所以 PAC = 60o
PA
在△PAD中，因为 AD = 3 ，由余弦定理可得：
PD2 = AP2 + AD2 - 2AP × AD ×cos PAD = (2 3)2 + ( 3)2 - 2 2 3 3 cos60o = 9
则PD2 + AD2 = PA2，所以PD ^ AD ，
又CD = 3 3, ACB = 60o ，在△DCB中由余弦定理可得：
BD2 = BC 2 + CD2
2 2
- 2BC ×CD cos ACB = 2 3 + 3 3 - 2 2 3 3 3 cos 60o = 21，
则PD2 + BD2 = PB2，所以 PD ^ BD ，
又 AD BD = D，AD 平面 ABC，BD 平面 ABC ，
所以PD ^平面 ABC
【变式 3-4】（2024·四川雅安·三模）四棱锥P - ABCD 中， AP = AC ，底面 ABCD为等腰梯形，CD∥
AB， AB = 2CD = 2BC = 2，E为线段PC 的中点，PC ^ CB .
证明： AE ^平面PCB；
【解析】因为 AP = AC, E为线段PC 的中点，所以 AE ^ PC ，
在等腰梯形 ABCD中，作CF ^ AB于 F ，则由 AB = 2CD = 2BC = 2得FB
1
= BC ，
2
所以 cos CBA
BF 1
= = ，所以 CBA = 60o , FCB = 30o ，
BC 2
因为 AB
BC BF 1
= 2BC ，所以 = = ，所以VBCF ~VBAC ，
AB BC 2
所以 BCF = BAC = 30o，所以 ACB = 90o，所以 AC ^ BC ，
因为PC ^ CB, PC AC = C ，PC, AC 平面PCA，所以BC ^平面PCA，
因为 AE在平面PCA内，所以BC ^ AE ，
因为PC BC = C, PC, BC 在平面PCB内，所以 AE ^平面PCB .
题型四：证明面面垂直
【典例 4-1】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥P - ABCD 的底面 ABCD是梯形，
BC / / AD, PA = AB = BC =1, AD = 2, PC = 3, PA ^平面 ABCD .
求证：平面PBC ^平面PAB；
【解析】因为PA ^平面 ABCD，BC, AC, AB 平面 ABCD，所以PA ^ BC, PA ^ AC, PA ^ AB，
因为PA = AB = BC =1, PC = 3 ，所以 AC 2 = PC 2 - PA2 = 3-1 = 2 = AB2 + BC 2 ，
所以 AB ^ BC ，
又因为PA ^ BC, PA AB = A, PA, AB 平面PAB，所以BC ^平面PAB，
因为BC 平面PBC ，所以平面PBC ^平面PAB；
【典例 4-2】在三棱台 ABC - A1B1C1中，底面VABC 是等边三角形，侧面 A1ACC1 是等腰梯形，O是
AC 的中点，B1O是两异面直线B1B 和 AC 的公垂线，且 AB = 9A1B1 = 2 3 ，BB1 = 2 2 ．
证明：侧面 ABB1A1 ^平面B1AC ；
【解析】由B1O是两异面直线B1B 与 AC 的公垂线可得，B1B ^ B1O ，B1O ^ AC
又VABC 是等边三角形，O是 AC 的中点，所以 AC ^ BO ，
因BO B1O = O, BO, B1O 平面BB1O ，故得 AC ^平面B1BO ，
又B1B 平面B1BO ，则 AC ^ B1B，
因B1B ^ B1O ， AC B1O = O, AC, B1O 平面B1AC ,故B1B ^ 平面B1AC ，
又B1B 平面 ABB1A1，所以侧面 ABB1A1 ^平面B1AC .
【方法技巧】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直 面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找
平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
【变式 4-1】（2024·四川德阳·三模）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，底面 ABC 是等边三角形，
A1AB = A1AC ，D 为BC 的中点，过 B1C1 的平面交棱 AB于 E，交 AC 于 F.
求证：平面 A1AD ^ 平面EB1C1F ；
【解析】证明：连接 A1B ， A1C .
因为 A1AB = A1AC ， AB = AC ， AA1 = AA1
所以△A1AB≌△A1AC ，所以 A1B = A1C .
因为 D为BC 的中点，所以BC ^ A1D .
因为 AB = AC , D 为BC 的中点，所以BC ^ AD .
因为 A1D I AD = D， A1D， AD 平面 A1AD
所以BC ^平面 A1AD .
又B1C1∥BC ，所以B1C1 ^平面 A1AD .
又B1C1 平面EB1C1F
所以平面 A1AD ^ 平面EB1C1F .
【变式 4-2】如图，在四棱锥P - ABCD 中，平面PAB ^平面 ABCD，底面 ABCD为菱形，
ABC = 60°， AB = 2PA = 2PB = 2，E是CD的中点．
(1)证明：平面PBC ^平面 PAE ．
(2)求点A 到平面 PBE 的距离．
【解析】连接 AC ．因为底面 ABCD为菱形， ABC = 60°，所以VACD是正三角形．
又E为CD的中点，所以 AE ^ CD ，则 AE ^ AB．
因为平面PAB ^平面 ABCD，平面PAB 平面 ABCD = AB ， AE 平面 ABCD．
所以 AE ^平面PAB．
因为PB 平面PAB，所以 AE ^ PB ．
因为 AB = 2PA = 2PB = 2，所以PA2 + PB2 = AB2 ，则PA ^ PB．
因为PAI AE = A，PA, AE 平面 PAE ,所以PB ^平面 PAE ．
又PB 平面PBC ，所以平面PBC ^平面 PAE ．
【变式 4-3】（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1与BB1的距离为 3，
AB = AC = A1B = 2 ， A1C = BC = 2 2 .
证明：平面 A1ABB1 ^ 平面 ABC；
【解析】取棱 A1A中点 D，连接 BD，
因为 AB = A1B ，所以BD ^ AA1
因为三棱柱 ABC - A1B1C1，所以 AA1∥BB1
所以BD ^ BB1，所以BD = 3
因为 AB = 2 ，所以 AD =1， AA1 = 2；
因为 AC = 2， A1C = 2 2 ，
所以 AC 2 + AA21 = A1C
2
，
所以 AC^ AA1，
同理 AC ^ AB，
因为 AA1 I AB = A，且 AA1， AB 平面 A1ABB1，所以 AC ^平面 A1ABB1，
因为 AC 平面 ABC，所以平面 A1ABB1 ^ 平面 ABC；
【变式 4-4】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）由平行六面体 ABCD - A1B1C1D1截去三棱锥B1 - A1BC1后得到
如图所示的几何体，其体积为 5，底面 ABCD 为菱形，AC 与 BD 交于点 O， A1B = BC1．
(1)证明D1O∥平面 A1BC1；
(2)证明平面D1DO ^ 平面 A1BC1；
【解析】（1）如图补全平行六面体，连接D1B1交 A1C1于点O1，连接O1B，
在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1，BB1 / / DD1 , BB1 = DD1，
所以四边形 BB1D1D为平行四边形，所以BD = B1D1, BD / /B1D1，
又O为BD的中点，O1为 B1D1的中点，所以D1O1∥OB ，D1O1 = OB，
所以四边形OBO1D1为平行四边形，所以D1O∥O1B ，
又所以D1O 平面 A1BC1，O1B 平面 A1BC1，所以D1O∥平面 A1BC1 .
（2）因为底面 A1B1C1D1是菱形，所以 A1C1 ^ B1D1，
又因为 A1B = BC1， A1O1 = C1O1，所以 A1C1 ^ O1B，
又B1D1 平面D1DO，O1B 平面D1DO，B1D1 IO1B = O1 ，
所以 A1C1 ^ 平面D1DO，又 A1C1 平面 A1BC1，所以平面D1DO ^ 平面 A1BC1 .
题型五：面面垂直的性质定理
【典例 5-1】（2024·陕西西安·三模）在四棱锥P - ABCD 中，平面PAD ^平面 ABCD， AB∥CD ，
AB ^ BC ，DC = BC = 2， AB = 4．
证明：BD ^ AP ．
AB π
【解析】因为 AB ^ BC ，DC = BC = = 2，所以
2 BD = 2 2
， DBA = ，
4
AD = AB 2 2由余弦定理可得 + BD - 2 AB BD cos π = 16 + 8 2- 2 4 2 2 = 2 2 ，所以
4 2
AD2 + BD2 = AB2，则 AD ^ BD ．
因为平面PAD ^平面 ABCD，且平面PAD 平面 ABCD = AD ， AD 平面PAD ，
所以BD ^平面 PAD．
因为 AP 平面 PAD，所以BD ^ AP ．
【典例 5-2】（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥P - ABC 中，PA ^底面 ABC, D 为 AB上一点，且平面
2
PAB ^平面PCD, AC = BC = PD = 3，三棱锥P - ABC 的体积为 .
3
求证： D为 AB的中点；
【解析】过A 作 AM ^ PD 于点M ，由平面PAB ^平面 PCD，
平面PAB 平面PCD = PD,\ AM ^平面 PCD，
Q CD 平面PCD,\ AM ^ CD ，
又QPA ^ 底面 ABC,CD 平面PAD ，
\PA ^ CD,Q AM I PA = A， AM , PA 平面PAD ，
所以CD ^底面PAD,Q AB 平面PAD ，\ AB ^ CD，
又Q AC = BC,\D为 AB的中点；
【方法技巧】
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
【变式 5-1】（2024·高三·河南·开学考试）如图，在三棱锥P - ABC 中，O为 AC 的中点，平面POB ^
平面 ABC,△ABC 是等腰直角三角形， AB ^ BC, AC = PA = 2, PB = 3 .
证明：PA = PC ；
【解析】证明：因为VABC 是等腰直角三角形， AB ^ BC,O为 AC 的中点，
所以 AC ^ OB， AC 平面 ABC ，
又因为平面POB ^平面 ABC ，平面POB I平面 ABC = OB，
所以 AC ^平面POB.
因为PO 平面POB ，所以 AC ^ PO ，又O为 AC 的中点，
所以VPAC 是等腰三角形，故PA = PC .
【变式 5-2】如图，在三棱台 ABC - A1B1C1 .中， AB ^ BC, BB1 ^ AC ，平面 ABB1A1 ^平面 ABC .
求证：BB1 ^ 平面 ABC ；
【解析】证明：因为平面 ABB1A1 ^平面 ABC ，且平面 ABB1A1 I平面 ABC = AB，
又因为 AB ^ BC ，且BC 平面 ABC ，所以BC ^平面 ABB1A1，
因为BB1 平面 ABB1A1，所以BC ^ BB1 ，
又因为 AC ^ BB1，且BC AC = C ，BC, AC 平面 ABC ，所以BB1 ^ 平面 ABC .
【变式 5-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四棱锥P - ABCD ，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形
PM
且与底面垂直，底面 ABCD 是 ABC = 60° 的菱形，M 为棱 PC 上的动点且 = l(l [0,1]) .
PC
(1)求证: △PBC 为直角三角形;
2
(2)试确定l 的值，使得三棱锥P - AMD的体积为 .
3
【解析】（1）证明：取 AD 中点O，连结OP,OC, AC,
因为四边形 ABCD为菱形，且 ABC = 60° ，
所以VABC,VACD均为等边三角形，
因为△PAD也为等边形三角形，
所以OC ^ AD,OP ^ AD .
又因为OC IOP = O,OC 平面POC,OP 平面 POC，
所以 AD ^ 平面POC ，
又PC 平面POC ，所以 AD ^ PC ，
因为BC / / AD ，所以BC ^ PC ，
即 PCB = 90° ，从而△PBC 为直角三角形；
（2）由（1）可知PO ^ AD ，
又平面PAD ^平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD = AD ，PO 平面 PAD，
所以PO ^平面 ABCD，
PM
因为M 为棱 PC 上的动点且 = l(l [0,1])，
PC
所以VP- AMD = VM -PAD = lVC-PAD = lVP- ACD ，
因为△PAD，VACD都是边长为 2 的正三角形，
所以PO = OC = 3 ，
1 1 3
所以VP- ACD = SV ACD × PO = 4 3 =1，3 3 4
2
因为三棱锥P - AMD的体积为 ，
3
l 2所以 = .
3
题型六：垂直关系的综合应用
【典例 6-1】如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， BAC = 90°， AB = AC =1．试在平面 A1BC 内确定
一点 H，使得 AH ^平面 A1BC ，并写出证明过程；
【解析】取棱 BC 的中点 D，连接 A1D，AD．在等腰直角△ABC 中， AD ^ BC ，
又 AA1 ^ 平面 ABC ，BC 平面 ABC ，所以BC ^ AA1 ，
AD I AA1 = A, AD, AA1 平面 ADA1，故BC ^平面 ADA1．
又BC 平面 A1BC ，故平面 A1BC ^平面 ADA1，这两个平面的交线为 A1D．
在△ADA1中，作 AH ^ A1D， AH 平面 ADA1 ,
则有 AH ^平面 A1BC ；
【典例 6-2】在四棱锥P - ABCD 中，△PAD是等边三角形，且平面PAD ^平面 ABCD，
AD = 2AB = 2BC ， BAD = ABC = 90o．
在 AD 上是否存在一点 M，使得平面PCM ^平面 ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
【解析】存在，当 M 为 AD的中点时，平面PCM ^平面 ABCD．
证明：取 AD 的中点 M，连接CM , PM ，
由△PAD是等边三角形，可得PM ^ AD，
由平面PAD ^平面 ABCD，PM 平面PAD ，
平面PAD 平面 ABCD = AD ，可得PM ^平面 ABCD，
由PM 平面PCM ，可得平面PCM ^平面 ABCD．
【方法技巧】
（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定
理、性质进行推理论证．
【变式 6-1】如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，M 为棱 AC 的中点， AB = BC ， AC = 2， AA1 = 2 .
BN
在棱BB1上是否存在点 N，使得平面 AC1N ^平面 AA1C1C ？如果存在，求此时 BB 的值；如果不存在，请1
说明理由.
BN 1
【解析】当点 N 为BB1的中点，即 = 时，平面 AC1N ^平面 AA1C CBB1 2 1
.
证明如下：设 AC1的中点为 D，连接DM ，DN ，
因为 D，M 分别为 AC1， AC 的中点，
DM //CC DM 1所以 1且 = CC ，2 1
又 N 为BB1的中点，所以DM //BN 且DM = BN ，
所以四边形BNDM 为平行四边形，故BM //DN ，
因为 AB = BC ，M 为棱 AC 的中点，故BM ^ AC ,
又因为 AA1 ^ 平面 ABC, BM 平面 ABC,
故 AA1 ^ BM ，由 AA1 AC = A, AA1, AC 平面 ACC1A1 ，
所以BM ^平面 ACC1A1 ，所以DN ^ 平面 ACC1A1 ，
又DN 平面 AC1N ，所以平面 AC1N ^平面 ACC1A1 .
【变式 6-2】（2024·高三·浙江温州·开学考试）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD是边长为 2
的菱形且 ABC π= ， PB = PA = 4， PC = 6 ．3
(1)求PD的值；
uuur uuur
(2)若BH = l BP ，是否存在l ，使得平面CDH ^平面PAB？若存在，求出l 的值；若不存在，请说明理
由．
【解析】（1）取线段 AB的中点E，连接CE、PE，
因为四边形 ABCD是边长为 2的菱形，则BC = 2，BE =1，
π 2 2 2 π
因为 ABC = ，由余弦定理可得CE = BC + BE - 2BC × BE cos = 3，
3 3
\BE2 + CE2 = BC 2 ，所以BE ^ CE ，即CE ^ AB ，
又QPB = PA且E是 AB的中点，\PE ^ AB ,
QPE CE = E ，PE、CE 平面PCE ，\ AB ^平面PCE ，
QPC 平面PCE ，\PC ^ AB，QCD//AB，\PC ^ CD ，
QPC = 6 ，\PD = PC 2 + CD2 = 10 ；
（2）过点C 在平面PCE 内作CM ^ PE，垂足为点M ，
因为 AB ^平面PCE ， AB 平面PAB，
所以，平面PAB ^平面PCE ，
Q平面PAB 平面PCE = PE ，CM 平面PCE ，CM ^ PE，
所以，CM ^平面PAB，
过点M 作HN //AB，分别交 PA 、 PB于点 N 、 H ，
因为CD//AB ，则HN //CD，
所以，C 、 D、 N 、 H 四点共面，
因为CM 平面CDNH ，
所以，平面CDNH ^平面PAB，
因为PA = PB = 4， AE =1，PE ^ AB ，
则PE = PA2 - AE2 = 15 ，
PC 2 + CE2 - PE2 2
因为CE = 3 ，PC = 6 ，由余弦定理可得 cos PCE = = - ，
2PC ×CE 2
所以， sin PCE = 1- cos2 PCE 2= ，
2
S 1△PCE = PC ×CE sin PCE
1
= CM × PE，
2 2
CM PC ×CE sin PCE 15所以， = = ,
PE 5
EM CE2 CM 2 2 15\ = - = ，
5
BH EM 2
因为HN //AB，所以，l = = = .
BP PE 5
【变式 6-3】如图，在四棱锥Q - ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面
QAD ^底面 ABCD，M 是QD的中点．
(1)求证： AM ^平面QCD；
BN
(2)在棱 BQ上是否存在点 N 使平面 ACN ^平面 ACM 成立？如果存在，求出 NQ ；如果不存在，说明理由．
【解析】（1）由侧面QAD是正三角形，M 是QD的中点，得 AM ^ QD ，
由正方形 ABCD，得CD ^ AD ，而平面QAD ^平面 ABCD，平面QAD 平面 ABCD = AD ，
且CD 平面 ABCD，则CD ^平面QAD，又 AM 平面QAD，于是CD ^ AM ，
而CD QD = D,CD,QD 平面QCD，
所以 AM ^平面QCD .
（2）取 AD的中点E， AB的中点 P ，连接PE I AC = O ，连接 PQ，连接QE I AM = G ，连接OG，
于是PE / /BD，由正方形 ABCD，得 AC ^ BD ，则PE ^ AC ，令 AD =12 ，
1 1 3
显然G 是正 AQD 的中心，GE = QE = AD = 2 3 ，QE ^ AD ，
3 3 2
又平面QAD ^平面 ABCD，平面QAD 平面 ABCD = AD ，则QE ^平面 ABCD，
AC, PE 平面 ABCD，即有QE ^ PE,QE ^ AC ，而QE I PE = E,QE, PE 平面PQE ，
则 AC ^平面PQE ，OG 平面PQE ，在平面PQE 内过O作OH ^ OG 交 PQ于 H ，
显然 AC ^ OH ，而 AC IOG = O, AC,OG 平面 ACM ，因此OH ^平面 ACM ，
连接 AH 并延长交QB 于 N ，连接CN ，于是平面 ACN ^平面 ACM ，
过 H 作HF / /QE ，则有HF ^ PE， OHF = EOG ， tan OHF = tan EOG，
OF GE
= OF 2 3 HF 6
PF PE
HF 6 2 6，OE = PO = 3 2 ，则 = = ，又 = ，PF = HF = HF ，HF OE 3 2 3 HF QE 6 3 3
PH PF 1
从而点 F 是线段PO的中点， = =PQ PE 4 ，过 P 作PT / / AN 交
QB 于T ，
BT BP 1 TN PH 1 BN 2
于是 = = ，即BT = TN ，显然 = =NQ HQ 3 ，因此
= ，
BN BA 2 NQ 3
BN 2
所以在棱BQ上存在点 N 使平面 ACN ^平面 ACM 成立， =NQ 3 .
题型七：鳖臑几何体中的垂直
【典例 7-1】如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形 ABCD为菱形， ABC = 60°，PA = AD ，PA ^平
面 ABCD，E, F 分别是BC ，PC 的中点．
证明：直线 AE ^平面PAD ；
【解析】因为四边形 ABCD为菱形， ABC = 60°，
所以VABC 为正三角形，
又E是BC 的中点，所以 AE ^ BC ，
又BC //AD ，所以 AE ^ AD ，
又PA ^平面 ABCD， AE 平面 ABCD，
所以 PA ^ AE ，又PA AD = A，PA, AD 平面PAD ，
所以 AE ^平面PAD .
【典例 7-2】如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA ^平面 ABCD, PA = AD = 2, E为
线段PD的中点， F 为线段PC （不含端点）上的动点.
证明：平面 AEF ^ 平面 PCD；
【解析】因为底面 ABCD为正方形，则CD ^ AD ，
又因为PA ^平面 ABCD，CD 平面 ABCD，PA ^ CD 。
且PA AD = A，PA, AD 平面PAD ，
可得CD ^平面PAD ，由 AE 平面PAD ，可得CD ^ AE ，
因为 PA = PD ，且 E 为PD的中点，则 AE ^ PD，
由CD I PD = D，CD, PD 平面 PCD，可得 AE ^平面 PCD，
且 AE 平面 AEF ，所以平面 AEF ^ 平面 PCD .
【方法技巧】
若一条直线 l 垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到两条相交的相互垂直的直线 l1与 l2 ，则与
l 异面的直线 l1垂直于 l 和 l2 构成的平面．
【变式 7-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥P - ABC 中，平面PAC ^平面 ABC，且
PA = AC = BC = 2， PAC = ACB = 90° ，E 为棱 PC 的中点，F 为棱 PB 上的点.
证明： AE ^ PB ；
【解析】证明：因为平面PAC ^平面 ABC，平面PAC I平面 ABC = AC ， ACB = 90°，
即 AC ^ BC ，BC 平面 ABC，所以BC ^平面 PAC.
因为 AE 平面 PAC，所以BC ^ AE .
因为PA = AC ，E 是 PC 的中点，所以 AE ^ PC .
又PC BC = C ，PC, BC 平面 PBC，所以 AE ^平面 PBC.
因为PB 平面 PBC，所以 AE ^ PB .
【变式 7-2】如图，在三棱锥P - ABC 中， AB ^ BC ， AB = 2 ，BC = 2 2 ，PB = PC = 6 ，
BP, AP, BC 的中点分别为D, E,O ， AD = 5DO ，点 F 在 AC 上，BF ^ AO ．
(1)证明：EF / /平面 ADO ；
(2)证明：平面 ADO ^平面BEF ；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】（1）证明：设 AF = l AC(0 l 1)，则BF - BA = l(BC - BA)，
uuur uuur uuur
所以BF = (1- l)BA + lBC ，
uuur
BO 1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为O为BC 的中点，则 = BC ，所以 AO = BO - BA
1
= BC - BA，
2 2
uuur uuur
又因为 AB ^ BC ，则 AB × BC = 0，
因为 AB = 2, BC = 2 2, BF ^ AO ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2
则BF × AO = [(1- l)BA + lBC]
1
× (BC - BA) 1= lBC - (1- l)BA
2 2
= 4l - 4(1- l) = 8l - 4 = 0 l 1，解得 = ，所以 F 为 AC 的中点，
2
又因为E为 PA 的中点，所以EF / /PC ，
因为 D,O 分别为PB, PC 的中点，所以DO / /PC ，所以EF / /DO，
又因为EF 平面 ADO ，DO 平面 ADO ，所以EF / /平面 ADO .
2 1 6（ ）证明：因为 D,O 分别为PB, PC 的中点，所以DO = PC = ，
2 2
AD 5DO 5 6 30所以 = = = ，
2 2
因为 ABC = 90o , AB = 2, BO
1
= BC = 2 ，
2
所以 AO = AB2 + BO2 = 4 + 2 = 6 ，所以 AO2 + DO2 = AD2 ，所以 AO ^ OD ，
因为EF / /DO，则 AO ^ EF ，
又因为 AO ^ BF ，BF EF = F ，且BF , EF 平面BEF ，
所以 AO ^ 平面BEF ，
因为 AO 平面 ADO ，所以平面 ADO ^平面BEF .
【变式 7-3】《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖
臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥 P - ABCD 为阳马，
PA ^底面 ABCD, AB = 2 ，PA = AD = 1, E, F 分别为 AB, PC 的中点.
(1)证明：EF ∥平面PAD ；
(2)证明：EF ^平面 PCD；
【解析】（1）作PD的中点M ，连接 AM MF ，
由M F 得分别为PD PC 的中点，
所以MF ∥ DC 且MF
1
= DC
2 ，
1
又因为 AE∥ DC 且 AE = DC ，所以MF ∥ AE且MF = AE ，
2
所以四边形 AMFE为平行四边形，所以EF ∥ AM ，
因为 AM 平面PAD, EF 平面PAD ，所以EF ∥平面PAD
（2）因为 AD = PA，所以 AM ^ PD ，
因为PA ^底面 ABCD，所以PA ^ CD ，
又因为CD ^ AD, PA, AD 平面PAD ，且PA AD = A，
所以CD ^平面PAD ，
所以CD ^ AM ，
因为EF ∥ AM ， AM ^ PD ，所以CD ^ EF ，EF ^ PD，
又因为PD CD = D, PD,CD 平面 PCD，
所以EF ^平面 PCD；
1．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分别为 AB, BC 的中点，则
（ ）
A．平面B1EF ^ 平面BDD1 B．平面B1EF ^ 平面 A1BD
C．平面B1EF / / 平面 A1AC D．平面B1EF / / 平面 A1C1D
【答案】A
【解析】在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，
AC ^ BD 且DD1 ^平面 ABCD，
又EF 平面 ABCD，所以EF ^ DD1，
因为E, F 分别为 AB, BC 的中点，
所以EF∥ AC ，所以EF ^ BD，
又BD I DD1 = D，
所以EF ^平面BDD1，
又EF 平面B1EF ，
所以平面B1EF ^ 平面BDD1，故 A 正确；
选项 BCD 解法一：
如图，以点 D为原点，建立空间直角坐标系，设 AB = 2 ，
则B1 2,2,2 , E 2,1,0 , F 1,2,0 , B 2,2,0 , A1 2,0,2 , A 2,0,0 ,C 0,2,0 ，
C1 0,2,2 ，
uuur uuur uuur uuuur
则EF = -1,1,0 , EB1 = 0,1,2 ，DB = 2,2,0 , DA1 = 2,0,2 ，
uuur uuur uuuur
AA1 = 0,0,2 , AC = -2,2,0 , A1C1 = -2,2,0 ,
ur
设平面B1EF 的法向量为m = x1, y1, z1 ，
v uuuv
ìm × uEuFuv= -x1 + y
ur
1 = 0
则有 í v ，可取m = 2,2,-1 ，
m × EB1 = y1 + 2z1 = 0
ur
同理可得平面 A1BD的法向量为 n1 = 1, -1, -1 ，
uur
平面 A1AC 的法向量为 n2 = 1,1,0 ，
uur
平面 A1C1D 的法向量为 n3 = 1,1, -1 ，
ur ur
则m × n1 = 2 - 2 +1 =1 0，
所以平面B1EF 与平面 A1BD不垂直，故 B 错误；
ur uur
因为m 与 n2 不平行，
所以平面B1EF 与平面 A1AC 不平行，故 C 错误；
ur uur
因为m 与 n3 不平行，
所以平面B1EF 与平面 A1C1D 不平行，故 D 错误，
故选：A.
选项 BCD 解法二：
对于选项 B，如图所示，设 A1B I B1E = M ，EF I BD = N ，则MN 为平面B1EF 与平面 A1BD的交线，
在VBMN 内，作BP ^ MN 于点 P ，在VEMN 内，作GP ^ MN ，交EN 于点G ，连结BG ，
则 BPG 或其补角为平面B1EF 与平面 A1BD所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：PB2 + PN 2 = BN 2 ，PG2 + PN 2 = GN 2 ，
底面正方形 ABCD中，E, F 为中点，则EF ^ BD，
由勾股定理可得 NB2 + NG2 = BG2 ，
从而有： NB2 + NG2 = PB2 + PN 2 + PG2 + PN 2 = BG2 ，
据此可得PB2 + PG2 BG2 ，即 BPG 90o，
据此可得平面B1EF ^ 平面 A1BD不成立，选项 B 错误；
对于选项 C，取 A1B1 的中点 H ，则 AH P B1E ，
由于 AH 与平面 A1AC 相交，故平面B1EF∥平面 A1AC 不成立，选项 C 错误；
对于选项 D，取 AD的中点M ，很明显四边形 A1B1FM 为平行四边形，则 A1M P B1F ，
由于 A1M 与平面 A1C1D 相交，故平面B1EF∥平面 A1C1D 不成立，选项 D 错误；
故选：A.
2．（2021 年浙江省高考数学试题）如图已知正方体 ABCD - A1B1C1D1，M，N 分别是 A1D，D1B的中点，则
（ ）
A．直线 A1D与直线D1B垂直，直线MN / / 平面 ABCD
B．直线 A1D与直线D1B平行，直线MN ^平面BDD1B1
C．直线 A1D与直线D1B相交，直线MN / / 平面 ABCD
D．直线 A1D与直线D1B异面，直线MN ^平面BDD1B1
【答案】A
【解析】
连 AD1 ，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，
M 是 A1D的中点，所以M 为 AD1 中点，
又 N 是D1B的中点，所以MN //AB，
MN 平面 ABCD, AB 平面 ABCD，
所以MN // 平面 ABCD .
因为 AB不垂直BD，所以MN 不垂直BD
则MN 不垂直平面BDD1B1，所以选项 B,D 不正确；
在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， AD1 ^ A1D ，
AB ^平面 AA1D1D ，所以 AB ^ A1D，
AD1 AB = A，所以 A1D ^平面 ABD1，
D1B 平面 ABD1，所以 A1D ^ D1B ，
且直线 A1D, D1B 是异面直线，
所以选项 C 错误，选项 A 正确.
故选：A.
3．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析））若空间中四条直线 l1、 l2、 l3 、 l4，
满足 l1 ^ l2、 l2 P l3 、 l3 ^ l4 ，则下列结论一定正确的是．
A． l1 ^ l4 B． l1∥l4
C． l1、 l4既不平行也不垂直 D． l1、 l4位置关系不确定
【答案】D
【解析】如下图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，取 AA1为 l2， BB1为 l3 ，取 AD为 l1， BC 为 l4，
l1//l4；取 AD为 l1， AB为 l4，则 l1 ^ l4 ；取 AD为 l1， A1B1 为 l4，则 l1与 l4异面，因此 l1、 l4的位置关系不
确定，故选 D.
4．（多选题）（2021 年全国新高考 II 卷数学试题）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中
点，M，N 为正方体的顶点．则满足MN ^ OP的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】设正方体的棱长为 2，
对于 A，如图（1）所示，连接 AC ，则MN //AC ，
故 POC（或其补角）为异面直线OP, MN 所成的角，
在直角三角形OPC ， = 2，CP =1，故 tan POC
1 2
= = ，
2 2
故MN ^ OP不成立，故 A 错误.
对于 B，如图（2）所示，取 NT 的中点为Q，连接 PQ，OQ ，则OQ ^ NT ，PQ ^ MN ，
由正方体 SBCM - NADT 可得 SN ^平面 ANDT ，而OQ 平面 ANDT ，
故 SN ^ OQ ，而 SN I MN = N ，故OQ ^ 平面 SNTM ，
又MN 平面 SNTM ，OQ ^ MN ，而OQ I PQ = Q ，
所以MN ^平面OPQ ，而PO 平面OPQ ，故MN ^ OP，故 B 正确.
对于 C，如图（3），连接BD，则BD//MN ，由 B 的判断可得OP ^ BD ，
故OP ^ MN ，故 C 正确.
对于 D，如图（4），取 AD的中点Q， AB的中点 K ，连接 AC, PQ,OQ, PK ,OK ，
则 AC //MN ，
因为 DP = PC ，故PQ//AC ，故PQ//MN ，
所以 QPO 或其补角为异面直线PO,MN 所成的角，
因为正方体的棱长为 2，故PQ
1
= AC = 2 ，OQ = AO2 + AQ2 = 1+ 2 = 3 ，2
PO = PK 2 + OK 2 = 4 +1 = 5 ，QO2 PQ2 + OP2，故 QPO 不是直角，
故PO,MN 不垂直，故 D 错误.
故选：BC.
1．如图，在三 V-ABC 中，已知 VAB = VAC = ABC = 90° ，判断平面 VAB 与平面 VBC 的位置关系，并
说明理由.
【解析】平面 VBA 和平面 VBC 垂直.
因为 VAB = VAC = 90° , AB AC = A，
所以VA ^平面 ABC，所以VA ^ BC .
因为 ABC = 90° .所以BC ^ BA .
因为VA BA = A，所以BC ^平面 VAB.
又BC 平面 VBC，所以平面VBA ^平面 VBC.
2．如图，在 V-ABC 中，VO ^ 平面 ABC，O CD,VA = VB, AD = BD，你能判定CD ^ AB ，以及 AC = BC
吗？
【解析】能判定CD ^ AB 以及 AC=BC.
理由如下：
QVO ^平面 ABC， AB 平面 ABC.
\VO ^ AB .
QVA = VB, AD = BD,\VD ^ AB .
QVO VD = V ，\ AB ^平面 VDO.
QCD 平面 VDO，\CD ^ AB .
又Q AD = DB,\ AC = BC .
3．如图，在正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是G1G2 ,G2G3的中点，D 是 EF 的中点，若沿 SE，SF 及 EF 把这
个正方形折成一个四面体，使G1,G2 ,G3 三点重合，重合后的点记为 G，则在四面体 S-EFG 中，哪些棱与面
互相垂直？
【解析】折前 SG1 ^ EG1, SG3 ^ FG3 , EG2 ^ FG2
∴折后 SG ^ EG, SG ^ FG, EG ^ FG .
又 SG，EG，FG 交于一点 G.
根据 EG，FG 交于一点 G，可得 SG ^ 平面 GEF，
同理可证： FG ^ 平面 GSE，EG ^平面 GSF.
4．如图，AB 是eO 的直径，点 C 是eO 上的动点，过动点 C 的直线 VC 垂直于eO 所在平面，D，E 分别
是 VA，VC 的中点，判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系，并说明理由.
【解析】直线 DE 与平面 VBC 垂直
理由：由 VC 垂直于eO 所在平面，知VC ^ AC,VC ^ BC ，即 ACB 是二面角 A-VC-B 的平面角.
由 AB 是eO 的直径，知 ACB = 90° .
因此，平面VAC ^ 平面 VBC.
由两个平面垂直的性质定理，
平面VAC ^ 平面 VBC，交线为 VC， AC ^ VC ， AC 平面 VAC，
可知直线 AC 与平面 VBC 垂直，
由 D，E 分别是 VA，VC 的中点，知DE / / AC ，
所以直线 DE 与平面 VBC 垂直.
5．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA ^底面 ABCD， PA = AB，E 为线段 PB 的中点，
F 为线段 BC 上的动点，平面 AEF 与平面 PBC 是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理
由.
【解析】垂直，证明如下：
QPA ^ 底面 ABCD，BC 平面 ABCD，
\PA ^ BC
又底面 ABCD 为正方形，\ AB ^ BC ，而PAI AB = A .
\BC ^平面 PAB
Q AE 平面 PAB，\BC ^ AE .
QPA = PB，E 为 PB 的中点，
\ AE ^ PB .而PB BC = B ,
\ AE ^平面 PBC.
Q AE 平面 AEP，
∴平面 AEF ^ 平面 PBC.
过VABC 所在平面a 外一点 P，作PO ^ a ，垂足为 O，连接PA，PB，PC .（1）若PA = PB = PC ，则点 O
是VABC 的 心.（2）若 PA = PB = PC ， C = 90° ，则点 O 是 AB边的 .（3）若 PA ^ PB， PB ^ PC ，
PC ^ PA，垂足都为 P，则点 O 是VABC 的 心.
【答案】 外 中点 垂
【解析】解（1）如图，因为PO ^ a
所以PO ^ AO ，PO ^ BO
故 POA = POB = 90° ，
又PA = PB ，PO = PO ,
所以DPOA @ DPOB
故可得OA = OB，
同理可得：OA = OC
所以点 O 是VABC 的外心；
（2）由（1）可得点 O 是VABC 的外心，
又因为 C = 90° ，
根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半
得到点 O 为斜边的中点，
即为 AB边的中点；
（3）因为PA ^ PB，PB ^ PC ，且PAI PC = P
PA, PC 平面PAC
所以PB ^平面PAC ，
所以PB ^ AC ，
因为PO ^ a
所以PO ^ AC
又PB I PO = P，
PB, PO 平面PBO ，
所以 AC ^平面PBO ，
所以 BO ^ AC ，
同理可得：CO ^ AB , AO ^ BC
故，点 O 是VABC 的垂心。
易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角
易错分析：容易忽视垂直的特殊方法，导致方法使用不当而浪费很多时间.
【易错题 1】在三棱柱 ABC - A1B1C1中，若 是等边三角形， AA1 ^ 底面 ABC ，且 AB = 2BB1，则 AB1
与C1B所成角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．105° D．75°
【答案】B
【解析】根据条件可作出图形，并且得到 B1A1 = B1B ，根据向量的加法及数乘的几何意义便可得到
uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur
AB1 = -(B1A1 + B1B) ，C1B = -B1C1 + B1B ，从而可求得 AB1gC1B = 0 ，这样即可得出 AB1和C1B所成角的大小．如
图，根据条件， AB = 2BB1，令 AB = 2 ， B1B = 1；
uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
又 AB1 = -(B1A1 + B1B) ，C1B = -B1C1 + B1B ；
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur2
\ AB1gC1B = B1A gB C - B A gB B + B BgB C
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 - B1B = 2 2 -1 = 1-1 = 02 ；
uuur uuur
\ AB1 ^ C1B；
\ AB1和C1B所成的角的大小为90°．
故选： B ．
【易错题 2】正三棱柱 ABC - A1B1C1中，若 AB = 2BB1，则 AB1与C1B所成的角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
【答案】B
uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】选出向量的基底，选 BA， BC ， BB1 为基底，将 AB1 、C1B用基底表示，求出两个向量的数量积，
uuur r uuur r uuur r
利用向量垂直的充要条件求出两个向量的夹角．设 BB1 = m ，BA = a，BC = b，BB1 = c，
uuur uuur uuur r r uuur uuuur uuur r r
则 AB1 = BB1 - BA = c - a，C1B = C1B1 + B1B = -b - c，
uuur uuur r r r r r r r r r r r r r r r2AB1 ×C1B = c - a × -b - c = a - c × b + c = a ×b + a ×c - c ×b - c
2m 2m 1= - m2 = 0，
2
uuur uuur
∴ AB1 ^ C1B，∴ AB1与C1B所成的角的大小是90o，
故选：B
答题模板：线线垂直、线面垂直的证明
1、模板解决思路
通过线面垂直的判定定理证明直线 l与平面a 垂直时，关键是在平面a 内找到两条与直线 l垂直的相
交直线，并证明.
2、模板解决步骤
第一步：证明直线 l 与平面α 内两条相交直线都垂直.
第二步：通过线面垂直的判定定理证明直线 l 与平面α 垂直.
第三步：通过线面垂直的性质证明直线 l 与平面α 内的直线m 垂直.
【典型例题 1】如图，已知三棱台 ABC - A1B1C1，底面VABC 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，体积
14 3 1
为 ，平面 ABB1A1 ^平面 ABC ，且 AA1 = A1B1 = BB = AB .3 1 2
证明：BC ^平面 ABB1A1；
【解析】在三棱台 ABC - A1B1C1中，平面 ABB1A1 ^平面 ABC ， AB ^ BC ，
而平面 ABB1A1 I平面 ABC = AB，BC 平面 ABC ，
所以BC ^平面 ABB1A1 .
【典型例题 2】如图所示，三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧棱 AA1垂直于底面， AB = 5， AA1 = AC = 3， BC = 4，
点 P，D 分别为 AB，C1B的中点．
(1)求证：PD / /平面 AA1C1C ；
(2)求证：BC ^ PD；
【解析】（1）如图，连接 AC1，在VABC1中，D，P 分别是BC1，AB 的中点，则PD / / AC1，
而 AC1 平面 AA1C1C ，PD 平面 AA1C1C ，所以PD / /平面 AA1C1C .
（2）由 AB = 5, AC = 3, BC = 4，得 AB2 = AC 2 + BC 2 ，则 ACB = 90°，即BC ^ AC ，
由 AA1 ^ 平面 ABC ，BC 平面 ABC ，则 AA1 ^ BC ，
而 AA1 I AC = A， AA1, AC 平面 ACC1A1 ，于是BC ^平面 ACC1A1 ，
又 AC1 平面 ACC1A1 ，则BC ^ AC1，又 AC1 / /PD，所以BC ^ PD．第 04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：直线与平面垂直的定义.....................................................................................................4
知识点 2：直线与平面垂直的判定定理.............................................................................................4
知识点 3：直线与平面垂直的性质定理.............................................................................................5
知识点 4：平面与平面垂直的定义.....................................................................................................6
知识点 5：平面与平面垂直的判定定理.............................................................................................7
知识点 6：平面与平面垂直的性质定理.............................................................................................7
解题方法总结........................................................................................................................................8
题型一：垂直性质的简单判定............................................................................................................9
题型二：证明线线垂直......................................................................................................................10
题型三：证明线面垂直......................................................................................................................12
题型四：证明面面垂直......................................................................................................................13
题型五：面面垂直的性质定理..........................................................................................................15
题型六：垂直关系的综合应用..........................................................................................................17
题型七：鳖臑几何体中的垂直..........................................................................................................19
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................20
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................22
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................23
易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角..........................................................................................23
答题模板：线线垂直、线面垂直的证明..........................................................................................23
考点要求 考题统计 考情分析
2024 年 II 卷第 17（1）题，7 分
2023 年 II 卷第 20（1）题，6 分 选择题、填空题中考查直线、平面位置
（1）直线与平面垂
2023 年北京卷第 16（1）题，5 分 关系判断；解答题第一问中多考查平行、垂
直的判定与性质
2022 年乙卷（文）第 9 题，5 分 直的证明．证明一些空间位置关系，利用性
（2）平面与平面垂
2022 年乙卷（文）第 18 题，12 分 质定理、判定定理探究平行、垂直位置关系
直的判定与性质
2021 年浙江卷第 6 题，4 分 的存在性问题．
2021 年 II 卷第 10 题，5 分
复习目标：
（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
（2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．
知识点 1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
【诊断自测】（2024·高三·河北·期末）已知 l、m 是不重合的两条直线，a 、 b 是不重合的两个平面，
则下列结论正确的是（ ）
A．若a I b = l ，m a ， l //m，则m / /b
B．若 l a ，m b ，a //b ，则 l //m
C．若a I b = l ，m a ，m ^ l ，则a ^ b
D．若 l ^ m ，m / /a ，则 l ^ a
知识点 2：直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一
个平面内的两条相 a,b a ü
a ^ l
判断定理 交直线都垂直，则 l ^ ab ^ l
该直线与此平面垂 a b = P
直
两 个 平 面 垂 b
直，则在一个平面 _b a ^ b ü
a b = a
面⊥面 线⊥面 内垂直于交线的直 a_ b ^ ab b
线与另一个平面垂 a b ^ a
直
一条直线与两 _a
平行平面中的一个 b
平行与垂直的 a / /b ü
平面垂直，则该直 a ^ b
关系 a ^ a


线与另一个平面也 a
垂直
两平行直线中 a_ b_
平行与垂直的 有一条与平面垂 a / /b ü
b ^ a
关系 直，则另一条直线 a ^ aa
与该平面也垂直
【诊断自测】如图，在三棱锥 A - BCD
π
中，平面 ABC ^ 平面BCD， BCD = BDC = ， P 为棱 AC
6
的中点，点Q在棱CD上，PQ ^ BC ，且DQ = 2QC .
证明： AB ^平面BCD；
知识点 3：直线与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
_a b_
垂直于同一平 a ^ a ü
性质定理 a / /b
面的两条直线平行 b ^ a
a
_a
垂直与平行的 垂直于同一直 b a ^ a ü
a / /b
关系 线的两个平面平行 a ^ b
a
如果一条直线
线垂直于面的 垂直于一个平面，
l ^ a ,a a l ^ a
性质 则该直线与平面内
所有直线都垂直
【诊断自测】（2024·高三·江苏南通·期中）如图， AD / /BC 且 AD = 2BC ， AD ^ CD ， EG / / AD 且
EG = AD ，CD / /FG且CD = 2FG，DG ^ 平面 ABCD，DA = DC = DG = 2 .
(1)设面 BCF 与面 EFG 的交线为 l，求证：BC / /l ；
(2)证明: AG ^ EC
知识点 4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂
直．（如图所示，若a b = CD,CD ^ g ，且a g = AB, b g = BE, AB ^ BE ，则a ^ b ）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
【诊断自测】（2024·福建泉州·模拟预测）已知m, n是两条不同的直线，a , b ,g 是三个不同的平面，则
下列命题是真命题的是（ ）
A．若a ^ b ,m a ,n b ，则m ^ n B．若a ^ b , b ^ g ，则a / /g
C．若m ^ a , m / /n, n / /b ，则a ^ b D．若m / /n,m / /a ，则 n / /a
知识点 5：平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过 b b ^ a ü
a ^ b
另一个平面的垂 _b b b
线，则这两个平 a
面垂直
【诊断自测】如图，在三棱锥P - ABC 中，平面PAC ^平面PBC ，VPAC 和VABC 均为等腰直角三角
形，且PA = PC = 2 ，PB = 6 ．
证明：平面 ABC ^ 平面PAC ；
知识点 6：平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两 个 平 面 垂 b a ^ b ü
直，则一个平面内 a b = a

_b b ^ ab b
垂直于交线的直线 _a b ^ a
与另一个平面垂直 a
π
【诊断自测】如图 1，四边形 ABCD为菱形， ABC = ，E， F 分别为 AD，DC 的中点.如图 2，将
3
VABC 沿 AC 向上折叠，使得平面 ABC ^ 平面 ACFE，将VDEF 沿EF 向上折叠．使得平面DEF ^平面
ACFE .求证： A, B, D, E 四点共面.
解题方法总结
判 定 定理
判 定定理
^

线 线 性质定理 线^ 面 性质定理 面^ 面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质 (a ^ a ,b a a ^ b) ；
⑦平行线垂直直线的传递性（ a ^ c,a / /b b ^ c ）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（ a ^ b,a ^ c,c a ,b a ,b c = P a ^ a ）；
③面面垂直的性质（a ^ b ,a b = b,a ^ b,a a a ^ b ）；
平行线垂直平面的传递性（ a ^ a ,b / /a b ^ a ）；
⑤面面垂直的性质（a ^ g , b ^ g ,a b = l l ^ g ）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（ a ^ b ,a a a ^ b ）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位
置．
线∥面
判定 判定
性质 判定 性质
线∥线 面∥面
性质
判定 判定
线⊥线 线⊥面 面⊥面
性质 性质
题型一：垂直性质的简单判定
【典例 1-1】（2024·四川·模拟预测）设 l1, l2为两条不同的直线，a1,a2 为两个不同的平面，下列说法正
确的是（ ）
A．若 l1 //a1， l2 //a1，则 l1 / / l2
B．若 l1, l2与a1所成的角相等，则 l1 / / l2
C．若a1 ^ a2 , l1 //a1， l2 // a2，则 l1 ^ l2
D．若a1 ^ a2 , l1 ^ a1, l2 ^ a2 ，则 l1 ^ l2
【典例 1-2】（2024·湖南·三模）已知 m，n 是两条不重合的直线，a , b 是两个不重合的平面，下列命
题正确的是（ ）
A．若m//a ,n//b ,a //b ，则m//n
B．若m a , n a , m//b , n//b ，则a //b
C．若m ^ a ,m//n,a ^ b ，则 n ^ b
D．若m ^ a ,n ^ b ,m ^ n ，则a ^ b
【方法技巧】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【变式 1-1】在四边形 ABCD中， AD / /BC, AD = AB, BCD = 45°, BAD = 90°，将△ABD 折起，使平
面 ABD ^平面BCD，构成三棱锥 A - BCD，如图，则在三棱锥 A - BCD中，下列结论不正确的是（ ）
A．CD ^ AB B．CD ^ BD
C．平面 ADC ^平面 ABD D．平面 ABC ^ 平面BDC
【变式 1-2】已知下面给出的四个图都是正方体，A，B 为顶点，E，F 分别是所在棱的中点，
则满足直线 AB ^ EF 的图形的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式 1-3】已知正四面体 ABCD中，E是 AB的中点，连接DE,G 是DE的中点，点 F 满足
uuur uuur
AF = 3FC ，则（ ）
A． AD ^ EF
B．EF / / 平面BCD
C． FG / / 平面BCD
D．平面EFG ^ 平面 ABD
题型二：证明线线垂直
【典例 2-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面
ABCD 为正方形，E 为线段 AB 的中点，PA = AB = 2．
求证：BD ^ PC ；
【典例 2-2】（2024·四川·模拟预测）如图，多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD是边长为 4 的正方形，
V 1FBC 是等边三角形，EF / / AB，EF = AB，平面FBC ^平面 ABCD．
2
求证：EF ^ BF ；
【方法技巧】
ì ì 三线合一(有等腰三角形就必用)

共面 í 勾股定理（题目中线段数据多）
证明l1 ^ l2
先 看 两直 线位 置关 系 í
其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）
异面 考虑用线面垂直推导异面垂直 找重垂线 在重垂线对应平面内找垂直
【变式 2-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，已知多面体 ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，侧
uuuur uuur uuur uuuur
棱BB1 ^ 底面 ABCD，且CC1 = 2AA1 = 4BB1 = 4DD1 ．
证明： A1C ^ BD；
【变式 2-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面
ABCD为正方形，E 为线段 AB的中点，PA = AB = 2．
(1)求证：BD ^ PC ；
(2)求点 E 到平面PBD 的距离．
【变式 2-3】（2024·河南·模拟预测）如图所示，在三棱锥P - ABC 中，平面PAC ^平面 ABC ，
PA ^ AB ， PAC 为锐角.
证明： AB ^ AC ；
题型三：证明线面垂直
【典例 3-1】如图，AB 是圆的直径，平面 PAC ^面 ACB，且 AP ^ AC．
求证：BC ^平面PAC ；
【典例 3-2】在VABC 中， ABC = 90°， AB = BC = 6，D 为边 AB上一点， AD = 2，E 为 AC 上一点，
DE //BC ，将VADE沿DE翻折，使 A 到 A 处， DA B = 90° .
证明： A B ^平面 A DE ；
【方法技巧】
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直 线面垂直，符号表示为： a ^ b,a ^ c,b a ,c a ,b c = P ，那么 a ^ a ．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直 线面垂直，符号表示为：a ^ b ,aIb = b, a a , a ^ b ，那么 a ^ b ．
【变式 3-1】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形 ACDE 为菱形，现沿 AC
EF 1进行翻折，使得 AB ^平面 ACDE ，过点E作EF //AB，且 = AB，连接FD, FB, BD，所得图形如图②
2
所示，其中G 为线段BD的中点，连接 FG .
求证： FG ^ 平面 ABD；
【变式 3-2】（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为 2 的
菱形，且 BAD = 60°， AA1 = 6, A1AB = A1AD, AA1与平面 ABCD所成的角为 45°, AC 与BD交于O．
证明： A1O ^平面 ABCD；
【变式 3-3】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在三棱锥P - ABC 中，
PA = BC = 2 3, PC = AB = 6, PB = 30, ABC = 90o , D 为 AC 上的动点.
若 AD = 3 ，求证：PD ^平面 ABC ；
【变式 3-4】（2024·四川雅安·三模）四棱锥P - ABCD 中， AP = AC ，底面 ABCD为等腰梯形，CD∥
AB， AB = 2CD = 2BC = 2，E为线段PC 的中点，PC ^ CB .
证明： AE ^平面PCB；
题型四：证明面面垂直
【典例 4-1】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥P - ABCD 的底面 ABCD是梯形，
BC / / AD, PA = AB = BC =1, AD = 2, PC = 3, PA ^平面 ABCD .
求证：平面PBC ^平面PAB；
【典例 4-2】在三棱台 ABC - A1B1C1中，底面VABC 是等边三角形，侧面 A1ACC1 是等腰梯形，O是
AC 的中点，B1O是两异面直线B1B 和 AC 的公垂线，且 AB = 9A1B1 = 2 3 ，BB1 = 2 2 ．
证明：侧面 ABB1A1 ^平面B1AC ；
【方法技巧】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直 面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找
平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
【变式 4-1】（2024·四川德阳·三模）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，底面 ABC 是等边三角形，
A1AB = A1AC ，D 为BC 的中点，过 B1C1 的平面交棱 AB于 E，交 AC 于 F.
求证：平面 A1AD ^ 平面EB1C1F ；
【变式 4-2】如图，在四棱锥P - ABCD 中，平面PAB ^平面 ABCD，底面 ABCD为菱形，
ABC = 60°， AB = 2PA = 2PB = 2，E是CD的中点．
(1)证明：平面PBC ^平面 PAE ．
(2)求点A 到平面 PBE 的距离．
【变式 4-3】（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1与BB1的距离为 3，
AB = AC = A1B = 2 ， A1C = BC = 2 2 .
证明：平面 A1ABB1 ^ 平面 ABC；
【变式 4-4】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）由平行六面体 ABCD - A1B1C1D1截去三棱锥B1 - A1BC1后得到
如图所示的几何体，其体积为 5，底面 ABCD 为菱形，AC 与 BD 交于点 O， A1B = BC1．
(1)证明D1O∥平面 A1BC1；
(2)证明平面D1DO ^ 平面 A1BC1；
题型五：面面垂直的性质定理
【典例 5-1】（2024·陕西西安·三模）在四棱锥P - ABCD 中，平面PAD ^平面 ABCD， AB∥CD ，
AB ^ BC ，DC = BC = 2， AB = 4．
证明：BD ^ AP ．
【典例 5-2】（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥P - ABC 中，PA ^底面 ABC, D 为 AB上一点，且平面
2
PAB ^平面PCD, AC = BC = PD = 3，三棱锥P - ABC 的体积为 .
3
求证： D为 AB的中点；
【方法技巧】
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
【变式 5-1】（2024·高三·河南·开学考试）如图，在三棱锥P - ABC 中，O为 AC 的中点，平面POB ^
平面 ABC,△ABC 是等腰直角三角形， AB ^ BC, AC = PA = 2, PB = 3 .
证明：PA = PC ；
【变式 5-2】如图，在三棱台 ABC - A1B1C1 .中， AB ^ BC, BB1 ^ AC ，平面 ABB1A1 ^平面 ABC .
求证：BB1 ^ 平面 ABC ；
【变式 5-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四棱锥P - ABCD ，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形
PM
且与底面垂直，底面 ABCD 是 ABC = 60° 的菱形，M 为棱 PC 上的动点且 = l(l [0,1]) .
PC
(1)求证: △PBC 为直角三角形;
2
(2)试确定l 的值，使得三棱锥P - AMD的体积为 .
3
题型六：垂直关系的综合应用
【典例 6-1】如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， BAC = 90°， AB = AC =1．试在平面 A1BC 内确定
一点 H，使得 AH ^平面 A1BC ，并写出证明过程；
【典例 6-2】在四棱锥P - ABCD 中，△PAD是等边三角形，且平面PAD ^平面 ABCD，
AD = 2AB = 2BC ， BAD = ABC = 90o．
在 AD 上是否存在一点 M，使得平面PCM ^平面 ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
【方法技巧】
（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定
理、性质进行推理论证．
【变式 6-1】如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，M 为棱 AC 的中点， AB = BC ， AC = 2， AA1 = 2 .
BN
在棱BB1上是否存在点 N，使得平面 AC1N ^平面 AA1C1C ？如果存在，求此时 BB 的值；如果不存在，请1
说明理由.
【变式 6-2】（2024·高三·浙江温州·开学考试）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD是边长为 2
π
的菱形且 ABC = ， PB = PA = 4，
3 PC = 6
．
(1)求PD的值；
uuur uuur
(2)若BH = l BP ，是否存在l ，使得平面CDH ^平面PAB？若存在，求出l 的值；若不存在，请说明理
由．
【变式 6-3】如图，在四棱锥Q - ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面
QAD ^底面 ABCD，M 是QD的中点．
(1)求证： AM ^平面QCD；
BN
(2)在棱 BQ上是否存在点 N 使平面 ACN ^平面 ACM 成立？如果存在，求出 NQ ；如果不存在，说明理由．
题型七：鳖臑几何体中的垂直
【典例 7-1】如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形 ABCD为菱形， ABC = 60°，PA = AD ，PA ^平
面 ABCD，E, F 分别是BC ，PC 的中点．
证明：直线 AE ^平面PAD ；
【典例 7-2】如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA ^平面 ABCD, PA = AD = 2, E为
线段PD的中点， F 为线段PC （不含端点）上的动点.
证明：平面 AEF ^ 平面 PCD；
【方法技巧】
若一条直线 l 垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到两条相交的相互垂直的直线 l1与 l2 ，则与
l 异面的直线 l1垂直于 l 和 l2 构成的平面．
【变式 7-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥P - ABC 中，平面PAC ^平面 ABC，且
PA = AC = BC = 2， PAC = ACB = 90° ，E 为棱 PC 的中点，F 为棱 PB 上的点.
证明： AE ^ PB ；
【变式 7-2】如图，在三棱锥P - ABC 中， AB ^ BC ， AB = 2 ，BC = 2 2 ，PB = PC = 6 ，
BP, AP, BC 的中点分别为D, E,O ， AD = 5DO ，点 F 在 AC 上，BF ^ AO ．
(1)证明：EF / /平面 ADO ；
(2)证明：平面 ADO ^平面BEF ；
【变式 7-3】《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖
臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥 P - ABCD 为阳马，
PA ^底面 ABCD, AB = 2 ，PA = AD = 1, E, F 分别为 AB, PC 的中点.
(1)证明：EF ∥平面PAD ；
(2)证明：EF ^平面 PCD；
1．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分别为 AB, BC 的中点，则
（ ）
A．平面B1EF ^ 平面BDD1 B．平面B1EF ^ 平面 A1BD
C．平面B1EF / / 平面 A1AC D．平面B1EF / / 平面 A1C1D
2．（2021 年浙江省高考数学试题）如图已知正方体 ABCD - A1B1C1D1，M，N 分别是 A1D，D1B的中点，则
（ ）
A．直线 A1D与直线D1B垂直，直线MN / / 平面 ABCD
B．直线 A1D与直线D1B平行，直线MN ^平面BDD1B1
C．直线 A1D与直线D1B相交，直线MN / / 平面 ABCD
D．直线 A1D与直线D1B异面，直线MN ^平面BDD1B1
3．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析））若空间中四条直线 l1、 l2、 l3 、 l4，
满足 l1 ^ l2、 l2 P l3 、 l3 ^ l4 ，则下列结论一定正确的是．
A． l1 ^ l4 B． l1∥l4
C． l1、 l4既不平行也不垂直 D． l1、 l4位置关系不确定
4．（多选题）（2021 年全国新高考 II 卷数学试题）如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中
点，M，N 为正方体的顶点．则满足MN ^ OP的是（ ）
A． B．
C． D．
1．如图，在三 V-ABC 中，已知 VAB = VAC = ABC = 90° ，判断平面 VAB 与平面 VBC 的位置关系，并
说明理由.
2．如图，在 V-ABC 中，VO ^ 平面 ABC，O CD,VA = VB, AD = BD，你能判定CD ^ AB ，以及 AC = BC
吗？
3．如图，在正方形 SG1G2G3 中，E，F 分别是G1G2 ,G2G3的中点，D 是 EF 的中点，若沿 SE，SF 及 EF 把这
个正方形折成一个四面体，使G1,G2 ,G3 三点重合，重合后的点记为 G，则在四面体 S-EFG 中，哪些棱与面
互相垂直？
4．如图，AB 是eO 的直径，点 C 是eO 上的动点，过动点 C 的直线 VC 垂直于eO 所在平面，D，E 分别
是 VA，VC 的中点，判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系，并说明理由.
5．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA ^底面 ABCD， PA = AB，E 为线段 PB 的中点，
F 为线段 BC 上的动点，平面 AEF 与平面 PBC 是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理
由.
过VABC 所在平面a 外一点 P，作PO ^ a ，垂足为 O，连接PA，PB，PC .（1）若PA = PB = PC ，则点 O
是VABC 的 心.（2）若 PA = PB = PC ， C = 90° ，则点 O 是 AB边的 .（3）若 PA ^ PB， PB ^ PC ，
PC ^ PA，垂足都为 P，则点 O 是VABC 的 心.
易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角
易错分析：容易忽视垂直的特殊方法，导致方法使用不当而浪费很多时间.
【易错题 1】在三棱柱 ABC - A1B1C1中，若 是等边三角形， AA1 ^ 底面 ABC ，且 AB = 2BB1，则 AB1
与C1B所成角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．105° D．75°
【易错题 2】正三棱柱 ABC - A1B1C1中，若 AB = 2BB1，则 AB1与C1B所成的角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
答题模板：线线垂直、线面垂直的证明
1、模板解决思路
通过线面垂直的判定定理证明直线 l与平面a 垂直时，关键是在平面a 内找到两条与直线 l垂直的相
交直线，并证明.
2、模板解决步骤
第一步：证明直线 l 与平面α 内两条相交直线都垂直.
第二步：通过线面垂直的判定定理证明直线 l 与平面α 垂直.
第三步：通过线面垂直的性质证明直线 l 与平面α 内的直线m 垂直.
【典型例题 1】如图，已知三棱台 ABC - A1B1C1，底面VABC 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，体积
14 3 1
为 ，平面 ABB A ^平面 ABC ，且 AA = A B = BB = AB .
3 1 1 1 1 1 1 2
证明：BC ^平面 ABB1A1；
【典型例题 2】如图所示，三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧棱 AA1垂直于底面， AB = 5， AA1 = AC = 3， BC = 4，
点 P，D 分别为 AB，C1B的中点．
(1)求证：PD / /平面 AA1C1C ；
(2)求证：BC ^ PD；

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