资源简介

第 04 讲 解三角形
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：基本定理公式 .....................................................................................................................4
知识点 2：相关应用 .............................................................................................................................4
知识点 3：实际应用 .............................................................................................................................5
解题方法总结 ........................................................................................................................................6
题型一：正弦定理的应用 ....................................................................................................................7
题型二：余弦定理的应用 ....................................................................................................................8
题型三：判断三角形的形状 ................................................................................................................9
题型四：正、余弦定理的综合运用 ..................................................................................................10
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 ......................................................................11
题型六：解三角形的实际应用 ..........................................................................................................13
题型七：倍角关系 ..............................................................................................................................16
题型八：三角形解的个数 ..................................................................................................................17
题型九：三角形中的面积与周长问题 ..............................................................................................18
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................19
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................20
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................22
易错点：忽视三角形三角间的联系与范围限制 ..............................................................................22
答题模板：利用边角关系解三角形 ..................................................................................................22
考点要求 考题统计 考情分析
2024年 I卷第 15题，13分
（1）正弦定理、余 2024年 II卷第 15题，13分 高考对本节的考查不会有大的变化，仍
弦定理及其变形 2024年甲卷第 11题，5分 将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式
（2）三角形的面积 2023年 I卷 II卷第 17题，10分 的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况
公式并能应用 2023年甲卷第 16题，5分 来看，本节是高考的热点，主要以考查正余
（3）实际应用 2023年乙卷第 18题，12分 弦定理的应用和面积公式为主．
2022年 I卷 II卷第 18题，12分
复习目标：
（1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
（2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
（3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
知识点 1：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2 = b2 + c2 - 2bccos A；
a b c 2 2 2
公式 = = = 2R b = c + a - 2accosB ；
sin A sin B sinC
c2 = a2 + b2 - 2abcosC．
b2 + c2 - a2cosA = ；
（1） a = 2Rsin A，b = 2RsinB， c = 2RsinC ； 2bc
a b c c2 + a2 2
常见变形 （2） sin A = ， sinB = ， sinC = ； cosB
- b
= ；
2R 2R 2R 2ac
a2 + b2 - c2cosC = ．
2ab
（2）面积公式：
SD ABC
1
= absin C 1= bcsin A 1= acsin B
2 2 2
SD ABC
abc 1
= = (a + b + c) × r （r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算 R，r．）
4R 2
p
【诊断自测】在△ABC 中，若BC = 2，AC = 5，B = ，则 sin A =（
6 ）
A 10 B 10． ． C 5． D 5．
10 5 10 5
知识点 2：相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边 a : b : c = sin A : sin B : sin C
②大边对大角 大角对大边
a > b A > B sin A > sin B cos A < cos B
③ a + b + c a + b b + c a + c a b c合分比： = = = = = = = 2R
sin A + sin B + sin C sin A + sin B sin B + sin C sin A + sin C sin A sin B sin C
（2）△ABC 内角和定理： A + B + C = p
① sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B c = a cos B + bcos A
同理有： a = bcosC + ccos B ，b = ccos A + a cosC ．
② -cosC = cos(A + B) = cos Acos B - sinAsinB ；
③斜三角形中， - tan C = tan(A B) tan A + tan B+ = tan A + tan B + tanC = tan A × tan B × tanC
1- tan A × tan B
④ sin( A + B ) = cos C ； cos( A + B ) sin C=
2 2 2 2
⑤ p 2p在DABC 中，内角 A，B，C 成等差数列 B = , A + C = ．
3 3
2 2
2024· · VABC a,b,c A, B,C S c - a - b
2
【诊断自测】（ 四川眉山 三模）在 中， 分别是角 所对的边，若 △ABC = ，4
则C =（ ）
π 2π 3π 5π
A． B． C． D．
3 3 4 6
知识点 3：实际应用
1、仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．
2、方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α（如图②）．
3、方向角：相对于某一正方向的水平角．
（1）北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向（如图③）．
（2）北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向．
（3）南偏西等其他方向角类似．
4、坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角 θ 为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．
【诊断自测】（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向 AO通过路口O后转向西北
方向OB ，围绕道路OA,OB打造了一个半径为 2km的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道MN ，
则MN 的最小值为 km．
解题方法总结
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
a = bsin A bsin A < a < b关系式 a b a > b a b
解的个
一解 两解 一解 一解 无解
数
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有 sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有 a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有 cos x的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 A + B + C = p ．
3、三角形中的射影定理
在VABC 中， a = bcosC + c cos B；b = a cosC + c cos A； c = bcos A + a cos B ．
题型一：正弦定理的应用
π
【典例 1-1】（2024·浙江·模拟预测）在 VABC 中， a,b,c分别为角 A, B,C 的对边，若 tanA = 3， B = ，
4
bc = 2 10 ，则a = （ ）
A．2 B．3 C．2 2 D．3 2
【典例 1-2】（2024·江西九江·三模）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
2c - a = 2bcosA，则B =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【方法技巧】
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；
ì大角求小角一解（锐）

ì两解－sin A <（1 一锐角、一钝角）
í
小角求大角－í一解－sin A = 1（直角）

无解－sin A >1
（3）两边一对角，求第三边．
π
【变式 1-1】（2024·广东东莞·模拟预测）在VABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B = 3 ，
c = 2， SVABC = 3
b + c
，则 的值为 ．
sin B + sin C
【变式 1-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知VABC 中， A, B,C 对应边分别是 a,b,c，若 a2 - b2 = bc ，
A
则 = .
B
【变式 1-3】（2024·湖北黄石·三模）若VABC 的三个内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，
sin A + sin B - sin C
B + C = 60°， a = 3，则 =（
a b c ）+ -
1
A． 2 3 B 3． C． D．6
6 6
【变式 1-4】（2024·高三·江西赣州·期中）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若
a = 4, A π 5π= ,C = ，则b = （
4 12 ）
A． 2 3 B． 2 5 C．2 6 D．6
【变式 1-5】在VABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c B π= b2
9
，若 ， = ac ，则 sinA + sinC =3 4
（ ）
A 2 39 B 39． ． C 7 3 13． D．
13 13 2 13
题型二：余弦定理的应用
【典例 2-1】在VABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 a cos B -1 - b cos A -1 = 0．若
a = 4 ，则b = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2 2 2
【典例 2-2】在△ABC b + c - a中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知b - = 2acosBcosC ，
2b
π
其中，C ，角 B= .
2
【方法技巧】
（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．
（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
ì> 0,则D ABC为锐角三角形

若余弦值 í= 0,则D ABC为直角三角形.

< 0,则D ABC为钝角三角形
【变式 2-1】已知 a,b,c分别为VABC 的内角 A, B,C 的对边，且 c a cos B - bsin A = a2 - b2 .角
A = .
【变式 2-2】（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若
2 tan A tan B
a2 + b2 = 2024c2，则 =tan C(tan A + tan B) .
【变式 2-3】（2024·江西宜春·模拟预测）在VABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c，若
(a2 + c2 - b2 ) tan B = 3ac，则 cos5B =（ ）
A 1 3 3
1
． 2 B．± C． D．±2 2 2
【变式 2-4】在锐角三角形 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若
cos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A，则角A = .
题型三：判断三角形的形状
【典例 3-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在VABC 中，内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，且
B = 2C ，b = 2a，则（ ）
A．VABC 为直角三角形 B．VABC 为锐角三角形
C．VABC 为钝角三角形 D．VABC 的形状无法确定
【典例 3-2】在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若满足 2a cos B = c ，则该三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【方法技巧】
（1）求最大角的余弦，判断DABC 是锐角、直角还是钝角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形．
【变式 3-1】在VABC 中，若 a - a cos B sin B = b - c cosC sin A，则这个三角形是 ．
【变式 3-2】（2024·陕西渭南·三模）已知VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若
b cosC + c cos B = b ，且 a = c cos B ，则VABC 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
a2 + b2 sin(A + B)
【变式 3-3】在△ABC 中，
a2 - b2
= ，则△ABC 的形状是（
sin(A B) ）-
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2
【变式 3-4】在VABC 中，角 A、B、C 所对的边为 a、b c b tan B、 若 = ，则VABC 的形状是（ ）
c2 tan C
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式 3-5】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知VABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满
足 2a + b = 2c cos B ，且 sin A + sin B =1，则VABC 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为120°的等腰三角形
C．顶角为150°的等腰三角形 D．等腰直角三角形
题型四：正、余弦定理的综合运用
VABC A, B,C a,b,c B π b2 9【典例 4-1】在 中内角 所对边分别为 ，若 = ， = ac ，则 sinA + sinC =3 （ ）4
3
A 7 3． B． 2 C． D．2 2 2
【典例 4-2】（2024·山东·模拟预测）记VABC 的内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，已知
2 2 2 tan Aa = 3b + c ，则 = ．
tan C
【方法技巧】
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解．
【变式 4-1】（2024·四川绵阳·一模）VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b、c，若
sinC sin A - B = sin B sin C A ,a 25- = 5,cos A = ，则VABC 的周长为 ．
31
1
【变式 4-2】（2024·新疆·一模）在VABC 中，角 A, B,C 的对应边是a,b,c,cosC = - ，且
4
2sinA + sinB 15= ，则 sinB = （ ）
2
7
A 3 5 B 15． ． C 15． D．
16 8 4 8
【变式 4-3】 VABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若 a2 - b2 = bc ，且 sin A = 3 sin B，则
角 A =
【变式 4-4】（2024·四川攀枝花·二模）VABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且
a2 + b2 - c2
- 3c sin B = a ，则B = ．
2a
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用
ur x r x x
【典例 5-1 2】已知向量m = 3sin ,1÷ , n = cos ,cos4 4 4 ÷
.
è è
ur r
(1) m 2 2求 + n 的取值范围；
ur r
(2)记 f x = m × n，在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c且满足 2a - c cosB = bcosC ，求函数 f A
的值域.
【典例 5-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 f (x) = sin 2x - 2 3sin2 x + 2 3 ．
p p
（1）当 x é ùê- , ú时，求 f (x)3 6 的取值范围；
3
（2）已知锐角三角形 ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 f (A) = 3,sin B = ,b = 2，求
5
VABC 的面积．
【方法技巧】
正、余弦定理与三角函数性质的结合应用，主要体现在解三角形问题中。通过利用正弦定理和余弦定
理，可以方便地求解三角形的边长和角度。同时，结合三角函数的性质，如和差化积、积化和差等，可以
进一步简化计算过程，提高解题效率。
f x = sin 【变式 5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 x
p
- ÷ + m，将 y = f x 的图象横坐标变为原
è 6
1 p
来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位后得到 g x 的图象，且 y = g x ép在区间 , p ù内的最大值为
2 6 ê 4 3 ú
3 .
2
（1）求m的值；
（2）在锐角VABC 中，若 g C 3 ÷ = ，求 tan A + tan B的取值范围.
è 2 2
2 x x
【变式 5-2】已知函数 f x = sin - 3 sin cos x +1 .
2 2 2
(1)求函数 y = f x 的单调递减区间；
(2)在VABC 2 2中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 a - b = ac cos B
1
- bc，求 f B 的取值范
2
围.
f (x) 3 cos 2x 2sin 3p 【变式 5-3】（2024·高三·北京昌平·期末）已知 = + + x ÷sin(p - x)， x R ，
è 2
（1）求 f (x) 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角 VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 f (A) = - 3 ， a = 4 ，求 BC 边上的高的最大值．
【变式 5-4】（2024·北京·三模）已知函数 f (x) = 2 3 sinwx coswx + 2cos2 wx, (w > 0) 的最小正周期为 π .
(1)求w的值；
π
(2) é ù在锐角VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.c 为 f (x) 在 ê0, 2 ú 上的最大值，再从条件①、条
件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 a - b的取值范围.条件①： a cos B + b cos A = 2c cos C ；
3 a2 + b2 - c2
条件②： 2a sin Acos B + bsin 2A = 3a ；条件③：VABC 的面积为 S，且 S = .注：如果选
4
择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
题型六：解三角形的实际应用
【典例 6-1】中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作
《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物
AB ，高约为37m，在地面上点C 处（ B ，C ， N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分
别为30°和 45°，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为 m．
【典例 6-2】（2024·全国·模拟预测）如图，为测量山高MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测
点，从点 A 测得点 M 的仰角 MAN = 45°，点 C 的仰角 CAB = 60°，以及 MAC = 75° .从点 C 测得
MCA = 45° ,已知山高 BC = 300m ，则山高MN = m.
【方法技巧】
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解．
【变式 6-1】（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度 AB ，选取了与塔底 B 在同一水平面内的
两个测量基点C 与D，现测得 BCD =15°, BDC =135°,CD = 20m,在点C 测得塔顶 A 的仰角为60°，则塔
高 AB = m.
【变式 6-2】（2024·宁夏银川·二模）如图，在山脚A 测得山顶 P 的仰角为a ，沿倾斜角为b 的斜坡向
上走 a米到 B ，在 B 出测得山顶 P 得仰角为g ，
(1)若 b = 15° ，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
a sina sin(g - b )
(2)求证;山高h = sin(g -a )
【变式 6-3】（2024·陕西西安·模拟预测）在100m高的楼顶A 处，测得正西方向地面上B、C两点
B、C 与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75o和15o，则B、C两点之间的距离为（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
【变式 6-4】如图所示， A, B, P,Q在同一个铅垂面，在山脚A 测得山顶 P 的仰角 QAP 为
60o , QAB = 30o，斜坡 AB 长为m，在 B 处测得山顶 P 的仰角 CBP 为a ，则山的高度 PQ为（ ）
3msin a + 30o 3msin a - 30o
A．
2sin B．a + 60o 2sin a + 60o
3msin a + 30o 3msin a - 30o
C． D．
2sin a - 60o 2sin a - 60o
【变式 6-5】如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练．已知点 A 到墙面的
距离为 AB ，某目标点 P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P ，需计算由点 A 观察点 P
的仰角q 的大小(仰角q 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)．若 AB =15m， AC = 25m， BCM = 30°，则 tanq
的最大值（ ）
A 30． B 30． C 4 3 D 5 3． ．
5 10 9 9
【变式 6-6】（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.
如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜
子的距离为a1 = 1.00m，之后将小镜子前移a = 6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为
a2 = 0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为 h = 1.75m ，则钟楼的高度大约是（ ）
A． 27.75m B． 27.25m C． 26.75m D． 26.25m
题型七：倍角关系
【典例 7-1】记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 acosB = b 1+ cosA .
(1)证明： A = 2B；
(2)若 c = 2b, a = 3 ，求VABC 的面积.
【典例 7-2】（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c（a，b，c 互不相
等），且满足bcosC = 2b - c cos B .
（1）求证： A = 2B；
（2）若 c = 2a ，求 cos B .
【方法技巧】
解三角形中的倍角关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已知
的一个角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和
灵活性。
【变式 7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）VABC 的内角 A B C 所对的边分别为
a b c,a = 3,b =1, A = 2B，则c =（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【变式 7-2】在VABC 中，角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b、c，若 A = 2B．
(1)求证： a2 - b2 = bc ；
(2)若 cosB
2 AD 3= ，点D为边 AB 上一点， = DB，CD = 2 6 ，求边长b．
3 4
【变式 7-3】（2024·福建三明·高三统考期末）非等腰VABC 的内角A 、 B 、C 的对应边分别为 a、b、
c a - cos B sin B，且 = .
a - cosC sin C
(1)证明： a2 = b + c；
2
(2)若B = 2C ，证明：b > .
3
题型八：三角形解的个数
p
【典例 8-1】设在VABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，若满足a = 3,b = m, B = 的
6
VABC 不唯一，则 m 的取值范围为（ ）
3
A． , 32 ÷÷
B． (0, 3)
è
1
C． ,
3 1
÷÷ D

．
2 2
,1÷
è è 2
p
【典例 8-2】在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，若b =10，A = ，且VABC 有唯一解，
6
则 a的取值范围是 .
【方法技巧】
三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对
角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
π
【变式 8-1】在VABC 中，已知 A = ， a = 2，若VABC 有两解，则边b 的取值范围为 .
6
【变式 8-2】在VABC 中， a = x,b = 3, B = 30°，若该三角形有两解，则 x 的取值范围是 ．
【变式 8-3】在VABC
π
中，已知 AB = x ，BC = 2 2 ，C = ，若存在两个这样的三角形 ABC ，则 x 的4
取值范围是 ．
π
【变式 8-4】若满足 ABC = ， AC = 6 ，BC = k 的VABC 恰有一个，则实数 k 的取值范围是 ．
4
题型九：三角形中的面积与周长问题
【典例 9-1】（2024·重庆·模拟预测）已知VABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足
sin B -sinC 2b - a
= ，sin Asin B 2= ，且 S△ABC =1，则边c = ．
sin A b + c 5
【典例 9-2】记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 a cosC + 3a sin C - b - c = 0 .
(1)求A ；
(2)若 a = 2 2 ，VABC 的面积为 2 3 ，求VABC 的周长
【方法技巧】
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦
或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
【变式 9-1】（2024·山东青岛·三模）设三角形 ABC 的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、 c且
sin B + C = 2 3 sin2 A ．
2
(1)求角A 的大小；
(2)若b = 3 ，BC 3 21边上的高为 ，求三角形 ABC 的周长．
7
【变式 9-2】（2024·重庆·三模）已知函数 f x = 3sin π 2wx +

÷ (w > 0) 的最小正周期为 π
è 3
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
3 uuur uuur
(2)已知VABC 的三边长分别为 a，b，c，其所对应的角为 A，B，C，且 f A = ，
2 AB × AC = 2 3
，
a = 5 ，求该三角形的周长.
【变式 9-3】（2024·西藏·模拟预测）已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
2bsin A
π
+ ÷ - 2a = c．
è 6
(1)求 B；
(2)若 ABC的平分线交 AC 于点D，且 BD = 2， a = 3，求VABC 的面积．
【变式 9-4】（2024·安徽滁州·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, 2b cosC - c = 2a．
(1)求 B 的大小；
(2)若 a = 3，且 AC 19边上的中线长为 ，求VABC 的面积．
2
【变式 9-5】（2024·安徽芜湖·三模）已知 a,b,c分别为VABC 三个内角 A, B,C 的对边，且
bcosA + 3bsinA = a + c
(1)求 B ；
(2)若b = 2,△ABC 的面积为 3，D为 AC 边上一点，满足CD = 2AD ，求BD的长．
π
1．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）在VABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 B = 3 ，
b2 9= ac ，则 sinA + sinC =（
4 ）
A 2 39． B 39 C 7 3 13． ． D．
13 13 2 13
2．（2023 年北京高考数学真题）在VABC 中， (a + c)(sin A - sin C) = b(sin A - sin B) ，则 C =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
3．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）在VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，若
p
acosB - bcosA = c，且C = ，则 B = （
5 ）
p p 3p 2p
A． B． C． D．
10 5 10 5
4．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）在VABC 中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分
线交 BC 于 D，则 AD = ．
5．（2022 年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，
他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
é 2 2 2 21 2 2 c + a - b ùS = êc a - ÷ ú ，其中 a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边4 ê è 2 ú
a = 2,b = 3,c = 2，则该三角形的面积 S = ．
1．在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a cosC + 3a sin C - b - c = 0 .
(1)求 A；
(2)若 a=2，VABC 的面积为 3，求 b，c 的值.
2．为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M，N 在同一个铅垂
平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要
测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤.
3．已知VABC
1
的三个角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 p = (a + b + c)，求证：
2
（1）三角形的面积 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ；
( p - a)( p - b)( p - c)
（2）若 r 为三角形的内切圈半径，则 r = ；
p
2
（3）把边 BC，AC，AB 上的高分别记为 ha ,hb , hc ,则 ha = p( p - a)( p - b)( p - c) ，a
h 2b = p( p - a)( p
2
- b)( p - c) ， hc = p( p - a)( p - b)( p - c) .b c
4． VABC 的三边分别为 a，b，c，边 BC，CA，AB 上的中线分别记为ma ,mb ,mc ，利用余弦定理证明
m 1= 2 b2 + c2 - a2 m 1= 2 a2 + c2 - b2 1a ， b ，mc = 2 a2 + b2 - c22 2 2
5．一条东西方向的河流两岸平行，河宽 250m ，河水的速度为向东 2 3km / h .一艘小货船准备从河的这一
边的码头 A 处出发，航行到位于河对岸 B（AB 与河的方向垂直）的正西方向并且与 B 相距 250 3m的码头
C 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km / h，则当小货船的航程最短时，求合速
度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.
易错点：忽视三角形三角间的联系与范围限制
易错分析： 在解答过程中易忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思路受
阻或解答出现增解现象.
【易错题 1】在VABC 中， B = 30° ，b = 2 ， c = 2 2 ，则角 A 的大小为（ ）
A． 45° B．135° 或 45° C．15° D．105° 或15°
p
【易错题 2】在VABC 中，已知 a = 6 ，b = 3， B = ，则角C = __________．3
答题模板：利用边角关系解三角形
1、模板解决思路
如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或边的一
次式，则考虑用正弦定理．
2、模板解决步骤
第一步：结合正弦定理、余弦定理将关系式中的角化边或者边化角．
第二步：化简上一步所得的式子，结合已知条件和余弦定理与正弦定理来进一步求解．
【经典例题 1】VABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ， c，若b cosC + 3bsin C - a - c = 0．
(1)求 B ；
(2)若C
π
= 且VABC 的面积为
4 3+ 3
，求边长 c．
【经典例题 2】VABC 中， 角 A， B， C 所对应的边分别是 a， b， c，且 acosC + 3asinC = b + c.
(1)求 A；
(2)若 a = 2， 求 BC 边上高的最大值.第 04 讲 解三角形
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：基本定理公式 .....................................................................................................................4
知识点 2：相关应用 .............................................................................................................................5
知识点 3：实际应用 .............................................................................................................................5
解题方法总结 ........................................................................................................................................7
题型一：正弦定理的应用 ....................................................................................................................8
题型二：余弦定理的应用 ..................................................................................................................11
题型三：判断三角形的形状 ..............................................................................................................13
题型四：正、余弦定理的综合运用 ..................................................................................................17
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用 ......................................................................20
题型六：解三角形的实际应用 ..........................................................................................................26
题型七：倍角关系 ..............................................................................................................................32
题型八：三角形解的个数 ..................................................................................................................35
题型九：三角形中的面积与周长问题 ..............................................................................................38
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................43
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................45
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................48
易错点：忽视三角形三角间的联系与范围限制 ..............................................................................48
答题模板：利用边角关系解三角形 ..................................................................................................49
考点要求 考题统计 考情分析
2024年 I卷第 15题，13分
（1）正弦定理、余 2024年 II卷第 15题，13分 高考对本节的考查不会有大的变化，仍
弦定理及其变形 2024年甲卷第 11题，5分 将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式
（2）三角形的面积 2023年 I卷 II卷第 17题，10分 的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况
公式并能应用 2023年甲卷第 16题，5分 来看，本节是高考的热点，主要以考查正余
（3）实际应用 2023年乙卷第 18题，12分 弦定理的应用和面积公式为主．
2022年 I卷 II卷第 18题，12分
复习目标：
（1）掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
（2）能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
（3）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
知识点 1：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2 = b2 + c2 - 2bccos A；
a
公式 =
b = c = 2R b2 = c2 + a2 - 2accosB ；
sin A sin B sinC
c2 = a2 + b2 - 2abcosC．
2 2
cosA b + c - a
2
= ；
（1） a = 2Rsin A，b = 2RsinB， c = 2RsinC； 2bc
a b c c2 + a2 - b2
常见变形 （2） sin A = ， sinB = ， sinC = ； cosB = ；
2R 2R 2R 2ac
cosC a
2 + b2 - c2
= ．
2ab
（2）面积公式：
SD ABC
1
= absin C 1 1= bcsin A = acsin B
2 2 2
S ABC abc 1D = = (a + b + c) × r （r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算 R，r．）4R 2
p
【诊断自测】在△ABC 中，若BC = 2，AC = 5，B = ，则 sin A =（
6 ）
A 10． B 10 C 5 D 5． ． ．
10 5 10 5
【答案】A
BC AC 2 5= 10
【解析】由正弦定理得 = ，即
sin A sin B sin A sin π
，解得 sin A = .故选：A.
6 10
知识点 2：相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边 a : b : c = sin A : sin B : sin C
②大边对大角 大角对大边
a > b A > B sin A > sin B cos A < cos B
③ a + b + c a + b b + c a + c a b c合分比： = = = = = = = 2R
sin A + sin B + sin C sin A + sin B sin B + sin C sin A + sin C sin A sin B sin C
（2）△ABC 内角和定理： A + B + C = p
① sin C = sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B c = a cos B + bcos A
同理有： a = bcosC + ccos B ，b = ccos A + a cosC ．
② -cosC = cos(A + B) = cos Acos B - sinAsinB ；
③ tan A + tan B斜三角形中， - tan C = tan(A + B) = tan A + tan B + tanC = tan A × tan B × tanC
1- tan A × tan B
④ sin( A + B ) cos C A + B C= ； cos( ) = sin
2 2 2 2
⑤在DABC p 2p中，内角 A，B，C 成等差数列 B = , A + C = ．
3 3
2 2 2
【诊断自测】（2024·四川眉山·三模）在VABC中， a,b,c分别是角 A, B,C c - a - b所对的边，若 S△ABC = ，4
则C =（ ）
π 2π 3π 5π
A． B． C． D．
3 3 4 6
【答案】C
S 1= absin C S c
2 - a2 - b2
【解析】因为 VABC ，又由题知 △ABC = ，2 4
c2 - a2 - b2 1
所以 = absin C ，整理得到， c2 = a2 + b2 + 2absin C ，
4 2
又由余弦定理 c2 = a2 + b2 - 2abcosC ，所以 sin C = -cosC ，所以 tan C = -1，
又C 0, π C 3p，所以 = .
4
故选：C.
知识点 3：实际应用
1、仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．
2、方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α（如图②）．
3、方向角：相对于某一正方向的水平角．
（1）北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向（如图③）．
（2）北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向．
（3）南偏西等其他方向角类似．
4、坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角 θ 为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．
【诊断自测】（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向 AO通过路口O后转向西北
方向OB，围绕道路OA,OB打造了一个半径为 2km的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道MN ，
则MN 的最小值为 km．
【答案】 4 2 + 4
【解析】如图，设切点为 P ，连接OP．由题意得 MON =135°，
设OM = akm,ON = bkm ，
在VOMN 中，
MN 2 = a2 + b2 - 2ab cos135°
= a2 + b2 + 2ab 2 + 2 ab ,
当且仅当 a = b 时取等号．
设 OMN = a ，则 ONM = 45° -a ，
2 2
所以 a = ,b =sina sin 45° -a ，
4
故 ab = sinasin 45° -a
16 16
=
2sin 2a + 45° - 2 2 - 2
（当且仅当a = 22.5°时取等号），
16 2 + 22 所以MN =16( 2 +1)2 ，
2 - 2
解得MN 4 2 +1 ，所以MN 的最小值为 4 2 + 4 km．
故答案为： 4 2 + 4 .
解题方法总结
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：
A 为锐角 A 为钝角或直角
图形
关系式 a = bsin A bsin A < a < b a b a > b a b
解的个
一解 两解 一解 一解 无解
数
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有 sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有 a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有 cos x的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 A+ B +C =p ．
3、三角形中的射影定理
在VABC 中， a = bcosC + c cos B；b = a cosC + c cos A； c = bcos A + a cos B ．
题型一：正弦定理的应用
【典例 1-1】（2024·浙江·模拟预测）在 VABC中， a,b,c π分别为角 A, B,C 的对边，若 tanA = 3， B = ，
4
bc = 2 10 ，则a = （ ）
A．2 B．3 C．2 2 D．3 2
【答案】B
ìsin2 A + cos2π A =1
【解析】由 tanA = 3，可得 A 0,
3 10 10
÷ ，根据2 í sinA
进而求出 sinA = ， cosA = ，
è = 3 10 10 cosA
B π由 = 可得
4 sinB
2
= ， cosB 2= ，
2 2
3 10 2 10 2 2 5
则 sinC = sin A + B = sinAcosB + sinBcosA = + = ，
10 2 10 2 5
b sinB 10
由正弦定理可知 = = ，
c sinC 4
又因为bc = 2 10 ，解得b = 5 ， c = 2 2 ，
5 3 10
a bsinA

由正弦定理可得 = = 10 = 3．
sinB 2
2
故选：B．
【典例 1-2】（2024·江西九江·三模）在VABC中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，已知
2c - a = 2bcosA，则B =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】B
【解析】因为 2c - a = 2bcosA，
由正弦定理， 2sinC - sinA = 2sinBcosA,
因为 A + B + C = π，\2sin A + B - 2sinBcosA = sinA，
1
展开化简 2sinAcosB = sinA.QsinA > 0,\cosB = ，
2
又B 0, π ,\B π= .
3
故选:B.
【方法技巧】
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；
ì大角求小角一解（锐）

ì两解－sin A <（1 一锐角、一钝角）
í
小角求大角－í一解－sin A = 1（直角）

无解－sin A >1
（3）两边一对角，求第三边．
π
【变式 1-1】（2024·广东东莞·模拟预测）在VABC中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B = 3 ，
c = 2 b + c， SVABC = 3 ，则 的值为 ．sin B + sin C
4 3 4
【答案】 / 3
3 3
S = 3 1 3【解析】由 VABC ，可得 ac sin B = a = 3 ，2 2
解得a = 2，所以VABC为等边三角形，
VABC 2R b 4 3故 外接圆直径为 = =
sin B 3
b + c 2RsinA + 2RsinB
所以 = = 2R 4 3= ．
sinB + sinC sinA + sinB 3
4 3
故答案为： .
3
【变式 1-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知VABC中， A, B,C 对应边分别是 a,b,c，若 a2 - b2 = bc ，
A
则 = .
B
【答案】2
【解析】因为 a2 - b2 = bc ， a2 + c2 - b2 = 2ac cos B ，
所以 c2 + bc = 2ac cos B ，即 c + b = 2a cos B ，
所以，由正弦定理得 sinC + sin B = 2sin Acos B ，
因为 sin C = sin A + B = sin Acos B + cos Asin B ，
所以 sin C + sin B = 2sin Acos B = sin Acos B + cos Asin B + sin B ，
所以 sin Acos B - cos Asin B = sin B ，即 sin A - B = sin B，
因为 A, B 0,π , A - B -π,π ,sin B > 0，
所以 A - B 0,π ，
所以 A - B = B或 A - B + B = π ，即 A = 2B 或 A = π（舍）
A
所以 = 2 .
B
故答案为： 2
【变式 1-3】（2024·湖北黄石·三模）若VABC的三个内角A ， B ，C所对的边分别为 a，b， c，
B C 60 sin A + sin B - sin C+ = °， a = 3，则 =（ ）a + b - c
1
A． 2 3 B 3． C． D．6
6 6
【答案】B
【解析】在VABC中，B +C = 60° A = 120° sin A sin120° 3，所以 ，所以 = = ，
a 3 6
sin A + sin B - sin C sin A 3
由正弦定理以及比例的性质可得： = = .
a + b - c a 6
故选：B
【变式 1-4】（2024·高三·江西赣州·期中）在VABC中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若
a = 4, A π= ,C 5π= ，则b =（
4 12 ）
A． 2 3 B． 2 5 C．2 6 D．6
【答案】C
A π ,C 5π π【解析】因为 = = ，所以B = π - A - C = ，
4 12 3
a b a sin B 4 sin
π 4 3
= b = = 3因为 ，所以 = 2 = 2 6 ．
sin A sin B sin A sin π 2
4 2
故选：C.
π 9
【变式 1-5 2】在VABC中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 B = ，b = ac ，则 sinA + sinC =3 （4 ）
A 2 39． B 39 C 7 D 3 13． ． ．
13 13 2 13
【答案】C
p
【解析】因为B = ,b2
9 ac sin Asin C 4 sin2 B 1= ，则由正弦定理得 = = .
3 4 9 3
: b2 = a2由余弦定理可得 + c2 - ac
9
= ac ，
4
: a2 2
13
即 + c = ac ，根据正弦定理得 sin2 A + sin2 C
13
= sin Asin C 13= ，
4 4 12
所以 (sin A + sin C)2 = sin2 A + sin2 C + 2sin Asin C
7
= ，
4
因为 A,C 为三角形内角，则 sin A + sin C > 0，则 sin A + sin C 7= .
2
故选：C.
题型二：余弦定理的应用
【典例 2-1】在VABC中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 a cos B -1 - b cos A -1 = 0．若
a = 4 ，则b =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】Qa cos B -1 - b cos A -1 = 0 ，
a2 + c2 - b2 2 2 2
\a b + c - a× -1 - b × -12ac ÷ 2bc ÷
= 0，
è è
a2 + c2 - b2 2a b + c
2 - a2 2 2
\ - - + b = 0 a - b， - (a - b) = 0．
2c 2c c
\a2 - b2 - c a - b = 0，即 a - b a + b - c = 0．
Qa +b-c > 0，\a-b = 0，即b = a = 4．
故选：D
2 2 2
【典例 2-2】在△ABC A B C b + c - a中，角 ， ， 所对的边分别为 a，b，c，已知b - = 2acosBcosC ，
2b
π
其中，C ，角 B= .
2
π
【答案】
3
b2 + c2 - a2 2 2 2
【解析】根据余弦定理：得b - = 2a cos B a + b - c× ，
2b 2ab
b2 - c2 + a2 2 22cosB a + b - c
2
即 = × ，
2b 2b
C π
2 2
a + b - c
2
因为 ，所以 0，
2 2b
所以 cos B
1
= π，又0 < B < π ，得 B = 3 ，2
π
故答案为：
3
【方法技巧】
（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．
（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
ì> 0,则D ABC为锐角三角形

若余弦值 í= 0,则D ABC为直角三角形.

< 0,则D ABC为钝角三角形
【变式 2-1】已知 a,b,c分别为VABC的内角 A, B,C 的对边，且 c a cos B - bsin A = a2 - b2 .角
A = .
π
【答案】
4
a2 + c2 - b2
【解析】在VABC中，由余弦定理得， cos B = ，代入得 c a cos B - bsin A = a2 - b2 ，
2ac
a2c a + c
2 - b2 2
则 × - bsin A÷ = a - b
2
2ac ，即 a
2 + c2 - b2 - 2bc sin A = 2a2 - 2b2 ，
è
b2 + c2 - a2 π
即 sin A = = cos A，因为 A 0, π ，但 A = 时上式不成立，
2bc 2
所以 cos A 0，所以 tan A π=1，则 A = .4
π
故答案为：
4
【变式 2-2】（2024·全国·模拟预测）在VABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若
2 tan A tan B
a2 + b2 = 2024c2，则 =tan C(tan A tan B) .+
【答案】 2023
2 tan A tan B 2 2
= =
【解析】 tan C(tan A + tan B) tan C 1 1 tan C cos B cos A +tan B tan A ÷
+
è è sin B sin A ÷
2sin Asin B 2sin Asin B 2sin Asin B
= = = 2sin Asin B cosC 2abcosC= =
tanC(sin Acos B + cos Asin B) tanC sin(A + B) tanC sinC ，sin2 C c2
2ab cosC a2 + b2 - c2
由余弦定理有： 2 = ，c c2
2 2
又 a2 2 2
2024c - c
+ b = 2024c ，所以原式=
c2
= 2023 .
故答案为： 2023
【变式 2-3】（2024·江西宜春·模拟预测）在VABC中，角A ， B ，C所对的边分别为 a，b， c，若
(a2 + c2 - b2 ) tan B = 3ac，则 cos5B =（ ）
1 3 3 1A． 2 B．± C． D．±2 2 2
【答案】D
【解析】Q a2 + c2 - b2 tanB = 3ac ，\2ac ×cosB × tanB = 3ac ，
\sin B 3= ，
2
QB (0, π) π 2π，\ B = 3 或 ，3
5π
\可得 cos5B = cos = cos
- π 1 ÷ =
10π 4π 1
或 cos = cos = - ．
3 è 3 2 3 3 2
故选：D．
【变式 2-4】在锐角三角形 ABC中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若
cos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A，则角A = .
π
【答案】
3
【解析】因为 cos2B + cos2C + 2sinBsinC =1+ cos2A，所以
所以1- 2sin2 B +1- 2sin2 C + 2sin B sin C = 2 - 2sin2 A，\sin2 A = sin2 B + sin2 C - sin B sin C ，
2 2 2
2 2 2 cos A b + c - a 1
π π
\a = b + c - bc ，\ = = ．Q0 < A < ，\ A = ．
2bc 2 2 3
π
故答案为：
3
题型三：判断三角形的形状
【典例 3-1】（2024·河北秦皇岛·三模）在VABC中，内角A ， B ，C的对边分别为 a，b， c，且
B = 2C ，b = 2a，则（ ）
A．VABC为直角三角形 B．VABC为锐角三角形
C．VABC为钝角三角形 D．VABC的形状无法确定
【答案】A
【解析】由b = 2a，可得 sin B = 2 sin A，
则 sin 2C = 2 sin π - 3C = 2 sin 3C ，
sin 2C = 2 sin 2C cosC + 2 cos2C ×sinC ，
2cosC = 2 2 cos2 C + 2 2cos2 C -1 ，
即4 2 cos2 C - 2cosC - 2 = 0，
由B = 2C > C ，故C只能为锐角，可得 cosC 2= ，
2
因为0 < C
π π π
< ，所以C = ，B = .
2 4 2
故选：A.
【典例 3-2】在VABC中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,若满足2acos B = c，则该三角形为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】B
【解析】在VABC中，已知 2a cos B = c,
由正弦定理得 2sin Acos B = sin C = sin(A + B) = sin Acos B + sin B cos A，
所以 sin Acos B - sin B cos A = 0,即 sin(A - B) = 0,
又0 < A < π,0 < B < π，则-π < A - B < π，则 A- B = 0，
所以 A = B, 所以该三角形为等腰三角形.
故选：B.
【方法技巧】
（1）求最大角的余弦，判断DABC 是锐角、直角还是钝角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形．
【变式 3-1】在VABC中，若 a - a cos B sin B = b - c cosC sin A，则这个三角形是 ．
【答案】等腰或直角三角形/直角或等腰三角形
【解析】因为 a - a cos B sin B = b - c cosC sin A，
所以， sin A 1- cos B sin B = sin B - sin C cosC sin A，
Q0 < A < p ，则 sin A > 0，所以， sin B - sin B cos B = sin B - sin C cosC ，
a2 + c2 - b2 a2 + b2 2
即bcos B = ccosC - c，所以，b × = c × ，
2ac 2ab
b2 a2 + c2 - b2 = c2 a2 + b2 - c2 ，即 a2b2 - b4 = a2c2 - c4 ，
2 2
整理可得 b - c b2 + c2 - a2 = 0，即b = c或 a2 = b2 + c2 ，
因此，VABC为等腰或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形.
【变式 3-2】（2024·陕西渭南·三模）已知VABC中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若
b cosC + c cos B = b ，且 a = c cos B ，则VABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】b cosC + c cos B = b sin B cosC + sin C cos B = sin B sin B + C = sin B，
即 sin A = sin B ，故 a = b ，
a = c cos B sin A = sin C cos B sin B + C = sin C cos B
sin B cosC + cos B sin C = sin C cos B sin B cosC = 0，
因为B 0, π ，所以sin B 0，故 cosC = 0，
因为C 0, π π，所以C = 2 ，
故VABC为等腰直角三角形.
故选：D
a2 + b2 sin(A + B)
【变式 3-3】在△ABC 中， 2 = ，则△ABC 的形状是（a ）- b2 sin(A - B)
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
2 2
【解析】原式可化为 a + b × sin Acos B - cos Asin B = a2 - b2 sin Acos B + cos Asin B ，然后利用正弦定理、
a2 + b2 sin(A + B)
余弦定理进行边角互化，得出 a，b， c的关系.由 2 = 得：a - b2 sin(A - B)
a2 + b2 ×sin(A - B) = a2 - b2 sin(A + B) ，且 a b ，
∴ a2 + b2 × sin Acos B - cos Asin B = a2 - b2 sin Acos B + cos Asin B ，且 a b ，
∴ a2 + b2 × acos B - bcos A = a2 - b2 acos B + bcos A ，
a2 + c2 - b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a + b × a - b b + c - a2ac 2bc ÷ = a
2 b2 a a + c - b b b + c - a- +2ac 2bc ÷，è è
2 2
化简整理得： a + b × a2 - b2 = a2 - b2 c2，即 a2 + b2 - c2 a2 - b2 = 0，
∴ a2 = b2 或 a2 + b2 = c2 ，又 a b ，
∴△ABC 是直角三角形但一定不是等腰三角形.
故选：C.
2
【变式 3-4】在VABC中，角 A、B、C 所对的边为 a、b、c b tan B若 2 = ，则VABC的形状是（ ）c tan C
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
sin B
b2 tan B sin2 B cos B
【解析】在VABC中，由 = 及正弦定理得 2 = sin C ，而 sin A > 0,sin B > 02 ，c tan C sin C
cosC
整理得 sin Bcos B = sinC cosC ，即sin2B = sin2C，而0 < B < π,0 < C < π ，
则0 < 2B < 2π,0 < 2C < 2π，因此 2B = 2C
π
或 2B + 2C = π ，即 B = C 或B + C = ，
2
所以VABC是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
【变式 3-5】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知VABC的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满
足 2a + b = 2c cos B ，且sin A+sin B =1，则VABC的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为120°的等腰三角形
C．顶角为150°的等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理可得 2sin A + sin B = 2sin C cos B，
因为 A + B + C = π，所以 B +C = π - A，
所以 2sin B + C + sin B = 2sin C cos B ，即2sin BcosC +2cosBsinC +sin B = 2sinCcosB，
即2sin BcosC +sin B = 0，因为B 0, π ，所以sin B 0，
所以 cosC
1 2π π
= - ，因为C 0, π ，所以C = ，所以B + A = ，
2 3 3
因为sin A+sin B =1，所以 sin A
π
+ sin - A÷ =1，
è 3
sin A 3 cos A 1 3 1所以 + - sin A =1，即 cos A + sin A =1，
2 2 2 2
即 sin

A
π
+ ÷ =1

，因为 A 0,
π π π π
÷ ，所以 A + = ，所以 A = ，
è 3 è 3 3 2 6
因为B + A
π π
= .所以 A = B = ，
3 6
所以VABC的形状为顶角为120°的等腰三角形.
故选：B.
题型四：正、余弦定理的综合运用
【典例 4-1】在VABC中内角 A, B,C π 2 9所对边分别为 a,b,c，若 B = ，b = ac ，则 sinA + sinC =3 （4 ）
3
A． B． 2 C
7
． D 3．
2 2 2
【答案】C
【解析】因为B
π 9 4 1
= ,b2 = ac 2，则由正弦定理得 sin Asin C = sin B = .
3 4 9 3
2 2 2 9
由余弦定理可得: b = a + c - ac = ac ，
4
: a2 + c2
13 13 13
即 = ac 2 2，根据正弦定理得 sin A + sin C = sin Asin C = ，
4 4 12
(sin A + sin C)2所以 = sin2 A + sin2 C + 2sin Asin C
7
= ，
4
因为 A,C 为三角形内角，则 sin A + sin C > 0，则 sin A + sin C 7= .
2
故选：C.
【典例 4-2】（2024·山东·模拟预测）记VABC的内角A ， B ，C的对边分别为 a，b， c，已知
tan A
a 2 = 3b 2 + c 2 ，则 = ．
tan C
【答案】-2
2 2 2
【解析】因为 a 2 = 3b 2 + c 2 ，所以 a2 + b2 - c2 2
a + b - c 2b
= 4b ，所以 = ，
2ab a
cosC 2b cosC 2sin B即 = ，由正弦定理可得 = ，
a sin A
所以 sin AcosC = 2sin B，所以 sin AcosC = 2sin A + C ，
所以 sin AcosC = 2sin AcosC + 2sin C cos A，
即 sin AcosC = -2sin C cos A，
因为 cos AcosC 0 ，所以 tan A = -2 tan C
tan A
，所以 = -2 .
tan C
故答案为：-2
【方法技巧】
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解．
【变式 4-1】（2024·四川绵阳·一模）VABC中，角A 、 B 、C的对边分别为 a、b、c，若
sinC sin A - B = sin B sin C - A ,a 25= 5,cos A = ，则VABC的周长为 ．
31
【答案】14
【解析】因为 sin C sin A - B = sin B sin C - A ，
所以 sinC sin Acos B - sinC cos Asin B = sin BsinC cos A - sin B cosC sin A，
即 sin C sin Acos B + sin B cosC sin A = 2sin B sin C cos A .，
由正弦定理可得： ac cos B + ab cosC = 2bc cos A，
a2 + c2 - b2 a2 + b2 - c2
由余弦定理可得： + = c2 + b2 - a2 ，整理得： 2a2 = b2 + c2 .
2 2
25
因为a = 5,cos A = ，
31
ìb2 + c2 = 50
ìb2 + c2 = 50
所以 í b2 + c2 - a2 25 ，整理得： í ，

cosA = = 2bc = 312bc 31
则 b + c = b2 + c2 + 2bc = 50 + 31 = 9，
所以 a + b + c =14，
故答案为：14 .
【变式 4-2】（2024·新疆·一模）在VABC中，角 A, B,C 的对应边是a,b,c,cosC 1= - ，且
4
2sinA 15+ sinB = ，则 sinB = （ ）
2
A 3 5 B 15 15
7
． ． C． D．
16 8 4 8
【答案】B
cosC 1【解析】因为 = - ，所以由余弦定理可得 c2 = a2
1
+ b2 + ab ，
4 2
sin2 C = sin2 A + sin2 1利用正弦定理边化角得 B + sin Asin B ，
2
因为 cosC
1
= - ，所以C
π
, π
sin2 15
4 2 ÷
，且 C = ，
è 16
由2sinA + sinB 15= 得 sinB 15= - 2sinA，
2 2
2
15 2 15 1 15 所以 = sin A + - 2sin A÷÷ + sin A - 2sin A ，16 ÷÷è 2 2 è 2
整理得64sin2 A - 28 15 sin A + 45 = 0，
sin A 3 15 15解得 = 或 sin A = ，
16 4
所以 sin B 15= 或 sin B = 0，
8
C π , π B 0, π 15又 ÷，所以 ÷ ，所以 sin B = .
è 2 è 2 8
故选：B
【变式 4-3】 VABC中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若 a2 - b2 = bc ，且 sin A = 3 sin B，则
角 A =
π
【答案】
3
【解析】Qa2 - b2 = bc，\ a2 = b2 + bc ，Qa2 = b2 + c2 - 2bc cos A，
\bc = c2 - 2bc cos A，\b = c - 2bcos A，
\sin B = sin C - 2sin B cos A，
\sin B = sin(A + B) - 2sin B cos A，
\sin B = sin Acos B + sin B cos A - 2sin B cos A，
\sin B = sin Acos B - sin B cos A = sin A - B ，
因为 A, B 0, π ，所以 A - B -π, π ，
\B = A - B 或B + A - B = π （舍），\ A = 2B ，
因为 sin A = 3 sin B，\sin 2B = 3 sin B
即 2sin B cos B = 3 sin B ，Qsin B 0，
\cos B 3= ，Q 0 < B < π ，
2
π π
\B = ，\ A = 2B = .
6 3
π
故答案为： .
3
【变式 4-4】（2024·四川攀枝花·二模）VABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且
a2 + b2 - c2
- 3c sin B = a ，则B = ．
2a
5π
【答案】
6
a2 + b2 - c2
【解析】由 - 3c sin B = a ，
2a
由余弦定理得bcosC - 3c sin B = a，
由正弦定理得 sin B cosC - 3 sin C sin B = sin A，
因为 A= π - (B +C)，
即 sin B cosC - 3 sin C sin B = sin(B + C) = sin B cosC + cos B sin C ，
即- 3 sin C sin B = cos B sin C ，
因为sinC 0，则 tan B sin B 3= = - ，
cos B 3
因为 B (0, π) ，故B
5π
= .
6
5π
故答案为：
6
题型五：正、余弦定理与三角函数性质的结合应用
ur x r
【典例 5-1】已知向量m = 3sin ,1÷ , n =

cos
x , cos2 x .
è 4 è 4 4 ÷
ur r
(1)求 m 2+ n 2的取值范围；
ur r
(2)记 f x = m × n ，在VABC中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c且满足 2a - c cosB = bcosC ，求函数 f A
的值域.
ur
m =
r
3sin x ,1 , n = cos x , cos2 x 【解析】（1）（1）因为 4 ÷ 4 4 ÷
，
è è
ur 2 r 2 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x
可得 m + n = 3sin +1+ cos + cos = 3 1- cos ÷ +1+ cos + cos
4 x
4 4 4 è 4 4 4
2
= cos4 x - 2cos2 x + 4 = cos
2 x -1 ÷ + 3，4 4 è 4
2 x ur 2 r 2
因为 cos 0,1 ，所以 m + n
4 3,4 .
ur r x x 2 x x x 2 x
（2）由题意得 f x = m ×n = 3sin ,1 × cos ,cos4 ÷ 4 4 ÷ = 3 sin cos + cosè è 4 4 4
3 x 1
= sin + cos x 1 sin x π+ = + 1 ÷ + ，可得 f A = sin
A π 1+ + ，
2 2 2 2 2 è 2 6 2
2 6 ÷ è 2
因为 2a - c cosB = bcosC ，由正弦定理得 2sinA - sinC cosB = sinBcosC ，
所以 2sinAcosB - cosBsinC = sinBcosC ，所以 2sinAcosB = sin B + C ，
又因为 A + B + C = π，则 sin B + C = sinA，且sinA 0，所以 cosB 1= ，
2
B (0, π) B π因为 ，所以 = ，所以0 < A
2π π A π π
< ，则 < + <3 ，3 6 2 6 2
1
< sin A π+ <1 3 则 ÷ ，所以函数 f A 的值域是 1, .2 è 2 6 ÷ è 2
【典例 5-2】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 f (x) = sin 2x - 2 3sin2 x + 2 3 ．
1 x é
p p ù
（ ）当 ê- , ú时，求 f (x)3 6 的取值范围；
3
（2）已知锐角三角形 ABC的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 f (A) = 3,sin B = ,b = 2，求
5
VABC的面积．
【解析】（1）由题意得， f (x) = sin 2x + 2 3 cos2 x = sin 2x + 3(cos2x +1) = 2sin 2x
p
+ ÷ + 3．
è 3
∵ x é
p p
ù
p p 2p
ê- , ú，∴ 2x +
é- , ù
3 6 3 ê
，
3 3 ú
∴ f (x) [0,2 + 3]．
é p
故当 x ê- ,
p ù
3 6 ú时，
f (x) 的取值范围是[0,2 + 3]．

（2）∵ f (A) = 3 ，
∴由（1）得2sin 2A
p
+ ÷ + 3 = 3，∴ sin

2A
p
+ ÷ = 0．
è 3 è 3
A p p p 4p又 0, ÷ ，∴ 2A +
p p
, ÷，∴ 2A + = p , A = ．
è 2 3 è 3 3 3 3
sin B 3
p 4
∵ = ，且B 0, ，∴ cos B = ，5 è 2 ÷ 5
∴ sinC = sin B
p 3 1 4 3 3 + 4 3
+ ÷ = + = ，
è 3 5 2 5 2 10
∴ c b sinC 3 + 4 3由正弦定理得， = × = ，
sin B 3
∴ S 1 bcsin A 1 2 3 + 4 3 3 2 3VABC = = = + ．2 2 3 2 2
【方法技巧】
正、余弦定理与三角函数性质的结合应用，主要体现在解三角形问题中。通过利用正弦定理和余弦定
理，可以方便地求解三角形的边长和角度。同时，结合三角函数的性质，如和差化积、积化和差等，可以
进一步简化计算过程，提高解题效率。
p
【变式 5-1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 f x = sin x - ÷ + m，将 y = f x 的图象横坐标变为原
è 6
1 p
来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单位后得到 g x 的图象，且 y = g x ép p ù在区间 ê , 内的最大值为2 6 4 3 ú
3 .
2
（1）求m 的值；
（2）在锐角VABC C 3中，若 g ÷ = ，求 tan A + tan B的取值范围.
è 2 2
p 1 p
【解析】（1）将函数 f x = sin x - ÷ + m的图象横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再向左平移 个单
è 6 2 6
位后得到 g x 的图象，
g x sin é2 x p p ù= + - + m = sin p 则 ê ÷ 2x + ÷ + m ，
è 6 6 ú è 6
Q x épê ,
p ù 2x p é2p , 5pú，\ +
ù
ê ú ， 4 3 6 3 6
2x p 2p x p当 + = ，即 = 时， g x 3 3最大值 g x = +m = ，所以，m = 0；6 3 4 max 2 2
2
C
（ ）Q g ÷ = sin
C p+ 3 ÷ = ，
è 2 è 6 2
QC 0, p p p 2p p p p ÷ ，则 < C + < ，所以，C + = ，所以，C = ，
è 2 6 6 3 6 3 6
tan A tan B sin A sin B sin Acos B + sin B cos A
sin A + B
+ = + = =
cos A cos B cos Acos B cos Acos 5p - A6 ֏
sin C 2 2
= = =
3 cos2 A 1 sin Acos A sin 2A - 3 cos 2A - 3- + 2sin
2A p- ÷ - 3
，
2 2 è 3
ì0 A p < <
QVABC 2 p p是锐角三角形，由 í ，解得 < A <5p p ， 0 < B = - A < 3 2
6 2
p 2A p 2p< - < 3 < sin 2A p- 所以， ， ÷ 1，则 tan A + tan B
2
= 4 + 2 3 .
3 3 3 2 è 3 2 - 3
2 x
【变式 5-2】已知函数 f x = sin - 3 sin x cos x +1 .
2 2 2
(1)求函数 y = f x 的单调递减区间；
1
(2)在VABC 2 2中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 a - b = ac cos B - bc，求 f B 的取值范
2
围.
【解析】（1） f x 3= - sin x 1- cos x 3 sin π 3+ = -
2 2 2
x + ÷ +
è 6 2
π 2kπ x π π 2π π令- + + + 2kπ ，则- + 2kπ x + 2kπ, k Z
2 6 2 3 3
é 2π
所以，单调减区间是 ê- + 2kπ,
π
+ 2kπù ,k Z .
3 3 ú
a2 + c2 - b2 1
（2）由 a2 - b2 = ac × - bc得：
2ac 2
2 2 2
2 2 2 cos A b + c - a 1b + c - a = bc ，即 = = ，2bc 2
由于0 < A < π ，所以 A π= 3 .
在VABC中，0 2π< B < ，
3
f B π 3= -sin B + + ，
è 6 ÷ 2
π B π 5π
1 π π 1
于是 < + < ，则 < sin

2
B + ÷ 1，-1 -sin6
B + ÷ < - ，6 6 6 è è 6 2
1
-sin B π 3 + ÷ + <1
1
，所以 f B <1.
2 è 6 2 2
3p
【变式 5-3】（2024·高三·北京昌平·期末）已知 f (x) = 3 cos 2x + 2sin + x ÷sin(p - x)， x R，
è 2
（1）求 f (x) 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角VABC的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 f (A) = - 3 ， a = 4 ，求BC边上的高的最大值．
【解析】（1） f (x) = 3 cos 2x + 2sin
3p
+ x2 ÷
sin(p - x)
è
= 3 cos 2x - 2cos x sin x
= 3 cos 2x - sin 2x
= 2cos p 2x + ÷ ．
è 6
T 2pf (x) 的最小正周期为： = = p2 ；
当 2kp 2x
p
+ 2kp +p (k Z )时，
6
即当 kp -
p
x 5p kp + (k Z )时，函数 f (x) 单调递减，
12 12
p 5p
所以函数 f (x)
é ù
单调递减区间为： kp - ,kp + (k Z ) ；
ê 12 12 ú
（2）因为 f (A) = - 3 ，所以
f (A) = 2cos 2A p+ = - 3 cos 2A p+ 3 6 ÷ 6 ÷
= - ,
è è 2
Q A p p p 7p 0,

÷，\2A +
,
2 6 6 6 ÷
，
è è
2A p 5p p\ + = ，\ A = ．
6 6 3
设BC h 1 ah 1边上的高为 ，所以有 = bc sin A h 3= bc，
2 2 8
由余弦定理可知： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A ，
\ 16 = b2 + c2 - bc，Qb2 + c2 2bc ，
\bc 16 3（当用仅当b = c时，取等号），所以 h = bc 2 3 ，
8
因此BC边上的高的最大值 2 3 .
【变式 5-4】（2024·北京·三模）已知函数 f (x) = 2 3 sinwx coswx + 2cos2 wx, (w > 0) 的最小正周期为 π .
(1)求w 的值；
(2)在锐角VABC π中，角 A B é ù， ，C 所对的边分别为 a，b，c.c 为 f (x) 在 ê0, 2 ú 上的最大值，再从条件①、条
件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 a - b的取值范围.条件①： a cos B + b cos A = 2c cos C ；
3 a2 + b2 - c2
条件②： 2a sin Acos B + bsin 2A = 3a ；条件③：VABC的面积为 S ，且 S = .注：如果选择
4
多个条件分别解答，按第一个条件计分.
【解析】（1）由题意可知： f (x) = 2 3 sinwx coswx + 2cos2 wx = 3 sin 2wx + cos 2wx +1 = 2sin
π
2wx + ÷ +1，
è 6
2π
因为函数 f (x) 的最小正周期为 π，且w > 0，所以w = =1.
2π
f (x) 2sin 2x π= + （2）由（1）可知： ÷ +1，
è 6
x é0, π ù π é π 7π ù因为 ê ，则 2x + , ， 2 ú 6 ê 6 6 ú
2x π π
π
可知当 + = ，即 x =6 2 时，
f (x) 取到最大值 3，即 c = 3 .
6
若条件①：因为 a cos B + b cos A = 2c cos C ，
由正弦定理可得sin Acos B+sin Bcos A = 2sinCcosC，
又因为 sin Acos B + sin B cos A = sin A + B = sin C ，
π
可得sinC = 2sinCcosC C 0, ，且 ÷，则sinC 0，
è 2
可得 cosC
1 π
= ，所以C = ，
2 3
a b c 3
= = = = 2 3
由正弦定理可得 sin A sin B sin C 3 ，可得a = 2 3sin A,b = 2 3sin B ，
2
则 a - b = 2 3 sin A - 2 3 sin B = 2 3 sin A
π
- 2 3 sin A + 3 ֏

2 3 sin A 2 3 1

= - sin A
3
+ cos A
è 2 2
÷÷

= 3 sin A - 3cos A = 2 3 sin π A - ÷，
è 3
ì
0 < A
π
<
VABC 2 π π因为 锐角三角形，则 í ，解得 < A < ，
0 2π π
6 2
< - A <
3 2
π π π 1 π 1
可得- < A - < ，则- < sin

6 3 6 2
A -
3 ÷
< ，可得
2 - 3 < b - a < 3è
所以 a - b的取值范围为 - 3, 3 ；
若条件②；因为 2a sin Acos B + bsin 2A = 3a ，
由正弦定理可得： 2sin2 Acos B + sin B sin 2A = 3 sin A，
则 2sin2 Acos B + 2sin B sin Acos A = 3 sin A，
因为 A

0,
π
÷ ，则sin A 0，
è 2
可得 2sin Acos B + 2sin B cos A = 2sin A + B = 2sin C = 3 ，

即 sin C 3= ，且C 0,
π
，所以C
π
= ，
2 è 2
÷
3
a b c 3
= = = = 2 3
由正弦定理可得 sin A sin B sin C 3 ，可得a = 2 3sin A,b = 2 3sin B ，
2
则 a - b = 2 3 sin A - 2 3 sin B = 2 3 sin A - 2 3 sin
π
A +

÷
è 3

= 2 3 sin A 1- 2 3 sin A
3
+ cos A
2 2 ÷÷è
= 3 sin A - 3cos A π= 2 3 sin A - ÷，
è 3
ì
0
π
< A <
2 π π
因为VABC锐角三角形，则 í ，解得 < A < ，
0 2π
6 2
< - A π<
3 2
π π π 1 π 1
可得- < A - <

，则- < sin A - ÷ < ，可得6 3 6 2 3 2 - 3 < b - a < 3è
所以 a - b的取值范围为 - 3, 3 ；
3 a2 + b2 - c2③ 1 absin C 3 2ab cosC若选 ：因为 S = ，则 = ，
4 2 4
π π
整理得 tan C = 3，且C 0, ÷，所以C = ，
è 2 3
a b c 3
= = = = 2 3
由正弦定理可得 sin A sin B sin C 3 ，可得a = 2 3sin A,b = 2 3sin B ，
2
a - b = 2 3 sin A - 2 3 sin B = 2 3 sin A - 2 3 sin A π+ 则 3 ÷è

= 2 3 sin A 1- 2 3 sin A
3
+ cos A
2 2 ÷÷è
= 3 sin A - 3cos A = 2 3 sin π A - ，
è 3 ÷
ì
0 < A
π
<
因为VABC 2 π π锐角三角形，则 í 2π π ，解得
< A < ，
6 20 < - A <
3 2
π A π π
1 π 1
可得- < - <

，则- < sin A - ÷ < ，可得6 3 6 2 3 2 - 3 < b - a < 3è
所以 a - b的取值范围为 - 3, 3 .
题型六：解三角形的实际应用
【典例 6-1】中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作
《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物
AB ，高约为37m，在地面上点C处（ B ，C， N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分
别为30°和45°，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为 m．
【答案】74
【解析】由题设及图知：MC = 2MN , AC = 2AB = 74, CAM = 45°，则 AMC =180° - 45° -105° = 30°，
AC MC 74 2MN
ACM = = MN = 74在△ 中 sin 30° sin 45° 1 2 m.
2 2
故答案为：74
【典例 6-2】（2024·全国·模拟预测）如图，为测量山高MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测
点，从点 A 测得点 M 的仰角 MAN = 45°，点 C 的仰角 CAB = 60°，以及 MAC = 75° .从点 C 测得
MCA= 45° ,已知山高 BC = 300m ，则山高MN = m.
【答案】200
【解析】在VABC中，因为 CAB = 60°, ABC = 90°, BC = 300，所以 AC 300= = 200 3，
sin 60°
在VAMC中，因为 MAC = 75°， MCA= 45°，可得∠AMC = 60°，
AC AM
因为 = ，所以 AM
AC ×sin 45°
= = 200 2 ，
sin AMC sin ACM sin 60°
在直角VAMN 中，可得MN = AM ×sin MAN = 200 2 sin 45° = 200 .
故答案为：200 .
【方法技巧】
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解．
【变式 6-1】（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度 AB ，选取了与塔底 B 在同一水平面内的
两个测量基点C与D，现测得 BCD =15°, BDC =135°,CD = 20m,在点C测得塔顶 A 的仰角为60°，则塔
高 AB = m.
【答案】 20 6
【解析】因为在△BCD中，CD = 20m， BDC =135°， BCD =15°，
所以 CBD =180° -135° -15° = 30° ，
20 BC
CD BC =
由正弦定理得 = ，即 1 ，解得 ，
sin CBD sin BDC 2 BC = 20 2m 2 2
在Rt△ABC 中， ACB = 60°，所以 AB = BC tan 60° = 20 6m，
故塔高 AB = 20 6m .
故答案为： 20 6 .
【变式 6-2】（2024·宁夏银川·二模）如图，在山脚A 测得山顶 P 的仰角为a ，沿倾斜角为b 的斜坡向
上走 a米到 B ，在 B 出测得山顶 P 得仰角为g ，
(1)若 b = 15° ，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
h a sina sin(g - b )(2)求证;山高 = sin(g -a )
【解析】（1）坡面的坡比为
3
°
tan =tan15° tan(45° 30° ) tan45 - tan30
° 1-
b = - = 3
1+ tan45° °
= = 2 - 3
tan30
1+1 3
3
（2）在V ABP 中, ABP =180° - g + b,
BPA =180° - (a -b) - ABP =180° - (a -b) - (180° - g + b) = g - a
在V ABP 中,根据正弦定理
AP AB , AP a= = ,
sin ABP sin APB sin(180° - g+b) sin(g - a)
AP a sin(g - b )=
sin(g -a )
h AP sina a sina sin(g - b )所以山高为 = = sin(g -a )
【变式 6-3】（2024·陕西西安·模拟预测）在100m高的楼顶A 处，测得正西方向地面上B、C两点
B、C 与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75o和15o，则B、C两点之间的距离为（ ）．
A．200 2 B． 240 2 C．180 3 D． 200 3
【答案】D
BC 100 100 tan 75° - tan15° tan 60°(1+ tan15° tan 75°)【解析】由题意， = - =100 =100
tan15° tan 75° tan15° tan 75° tan15° tan 75°
tan15 tan 75 sin15° sin 75° sin15° cos15°而 ° ° = × = × =1，
cos15° cos 75° cos15° sin15°
所以BC =100 2 3 = 200 3 .
故选：D
【变式 6-4】如图所示， A, B, P,Q在同一个铅垂面，在山脚A 测得山顶 P 的仰角 QAP 为
60o , QAB = 30o，斜坡 AB 长为m ，在 B 处测得山顶 P 的仰角 CBP 为a ，则山的高度 PQ为（ ）
3msin a + 30o 3msin a - 30o
A． B．
2sin a + 60o 2sin a + 60o
3msin a + 30o 3msin a - 30o
C． o D．2sin a - 60 2sin a - 60o
【答案】D
【解析】如图所示：
因为 APQ = 30o ， CPB = 90o - a ，
所以 APB = 30o - 90o + a = a - 60o ，
则 PBA = 180o - 30o - a + 60o = 180o + 30o - a ，
在△PBA中，由正弦定理得，
PA AB
= ，
sin PBA sin APB
PA m
则 =sin 180o + 30o -a sin a - 60o ，
msin a - 30o
得 PA = ，sin a - 60o
PAQ sin 60o
PQ
在直角三角形 中， = PA ，
m 3sin a - 30o
得 PQ =
2sin .a - 60o
故选：D
【变式 6-5】如图，某人在垂直于水平地面 ABC的墙面前的点 A 处进行射击训练．已知点 A 到墙面的
距离为 AB ，某目标点 P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P ，需计算由点 A 观察点 P
的仰角q 的大小(仰角q 为直线 AP 与平面 ABC所成角)．若 AB =15m， AC = 25m， BCM = 30°，则 tanq
的最大值（ ）
A 30 B 30． ． C 4 3 D 5 3． ．
5 10 9 9
【答案】D
【解析】由勾股定理可得，BC = 20，过 P 作 PP ^ BC ，交BC于P ，连结 AP ，
PP 3
则 tanq = CP = x oAP ，设 ，则PP = CP tan 30 = x ，3
在Rt△ABC 中， AB =15m， AC = 25m，所以BC = 20m，
则 cos BCA
4
= ，可得 AP = 625 + x2 - 2 25x 4 = x25 - 40x + 625
，
5
3 x 3 3
所以 tanq = 3 = 3 = 3 ，
x2 - 40x + 625 1 40 625- + 2 (
25 4)2 9- +
x x x 5 25
3
25 4 x 125当 = ，即 = 时， tanq 5 3取得最大值为 3 = .
x 5 4 3 9
5
故选：D.
【变式 6-6】（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.
如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜
子的距离为a1 = 1.00m，之后将小镜子前移a = 6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为
a2 = 0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为 h = 1.75m ，则钟楼的高度大约是（ ）
A． 27.75m B． 27.25m C． 26.75m D．26.25m
【答案】D
【解析】如下图，设钟楼的高度为 PQ，
MKE : PQE EQ PQ × KE a1 × PQ由△ △ ，可得： = = ，
MK h
由△NTF :△PQF FQ
PQ ×TF PQ × a
，可得： = = 2 ，
NT h
故EQ - FQ
a
= 1
× PQ PQ ×a
- 2 = a ，
h h
PQ ah 6 1.75 10.5故 = = = = 26.25ma1 - a2 1- 0.6 0.4
，
故选：D.
题型七：倍角关系
【典例 7-1】记VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 acosB = b 1+ cosA .
(1)证明： A = 2B；
(2)若 c = 2b, a = 3 ，求VABC 的面积.
【解析】（1）证明：由 acosB = b 1+ cosA 及正弦定理得： sinAcosB = sinB 1+ cosA ，
整理得 sin A - B = sinB ，.
因为 A, B 0,π ，
所以 A - B -π, π ，
所以 A - B = B或 A - B + B = π ，
所以 A = 2B或 A = π（舍），
所以 A = 2B .
2
2 acosB = b 1+ cosA : a(a + c
2 - b2 ) b2 + c2 - a2
（ ）由 及余弦定理得 = b(1+ )，
2ac 2bc
整理得 a2 - b2 = bc ，
又因为 c = 2b, a = 3 ，可解得b = 1,c = 2，
则 a2 + b2 = c2 ，所以△ ABC是直角三角形，
所以△ ABC 1 3的面积为 ab = .
2 2
【典例 7-2】（2024·全国·模拟预测）在VABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c（a，b，c 互不相
等），且满足bcosC = 2b - c cos B .
（1）求证： A = 2B；
（2）若 c = 2a ，求 cos B .
【解析】（1）证明：因为b cosC = 2b - c cos B，由正弦定理，得 sin B cos C = 2 sin B cos B - sin C cos B ，
所以 sin B + C = sin 2B ，所以 sin A = sin 2B .
又因为0 < A < p ， 0 < 2B < 2p ，所以 A = 2B或 A + 2B = p .
若 A + 2B = p ，又 A + B + C = p ，所以 B = C ，与 a，b，c 互不相等矛盾，
所以 A = 2B .
p
（2）由（1）知C = p - A + B = p - 3B，所以0 < B < .
3
因为 c = 2a ，所以 sin C = 2 sin A，则 sin p - 3B = 2 sin 2B ，
可得 sin 3B = 2 sin 2B .
又因为 sin 3B = sin 2B + B = sin 2B cos B + cos 2B sin B
= 2sin B cos2 B + 2sin B cos2 B - sin B = 3sin B - 4sin3 B
所以3sin B - 4sin3 B = 2 2 sin B cos B .
0 B p因为 < < ，所以 sin B > 0，所以
3 3- 4sin
2 B = 2 2 cos B，
所以 4cos2 B - 2 2 cos B -1 = 0 ，
解得 cos B 2 ± 6= ，
4
p
又0 < B < ，得 cos B 2 + 6= .
3 4
【方法技巧】
解三角形中的倍角关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已知
的一个角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息和
灵活性。
【变式 7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）VABC的内角 A B C 所对的边分别为
a b c,a = 3,b =1, A = 2B，则 c = （ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【答案】A
【解析】因为 A = 2B ，
所以sin A = sin2B，故 sin A = 2sin B cos B ，
a b
由正弦定理可得 = ，
sin A sin B
所以a = 2bcos B，又 a = 3,b =1，
cos B 3所以 = ，又B 0, π ，
2
π π
所以 B = A =6 ， 3 ，
故C = π - A
π
- B =
2
由勾股定理可得 c2 = a2 + b2 = 4，
所以 c = 2，
故选：A.
【变式 7-2】在VABC 中，角A 、 B 、C的对边分别为 a、b、c，若 A = 2B．
(1)求证： a2 - b2 = bc ；
cosB 2= 3(2)若 ，点D为边 AB 上一点， AD = DB，
4 CD = 2 6
，求边长b．
3
【解析】（1）Q A = 2B ，\sinA = sin2B = 2sinBcosB
a2 + c2a 2b - b
2
\ = ，\ b - c a2 - b2 - bc = 0
2ac
\ a2 - b2 - bc = 0 或b = c
当b = c时，C = B， A = 2B π= 2C = ，\a2 = b2 + c2 = b2 + bc 即 a2 - b2 = bc ，2
综上 a2 - b2 = bc
QcosB 2（2） =
1
，\sinB 5= ， sinA = sin2B 4 5= ， cosA = cos2B = -3 3 9 9
sinC sin A B 7 5
22
\ = + = ， cosC =
27 27
a b c
= = a b c， = =
sinA sinB sinC 36 27 21
设 a = 36t ，b = 27t ，c = 21t，\AD = 9t，DB =12t
BCD 36t 2 + 12t 2 2
2
在△ 中： - 2 36t 12t =
3 2 6
t 1= ，b
9
=
6 2
【变式 7-3】（2024·福建三明·高三统考期末）非等腰VABC 的内角A 、 B 、C的对应边分别为 a、b、
c a - cos B sin B，且 = .
a - cosC sin C
(1)证明： a2 = b + c；
2
(2)若B = 2C ，证明：b > .
3
a - cos B sin B b
【解析】（1）由正弦定理 = = ，得ac -ccos B = ab-bcosC，
a - cosC sin C c
2 2 2 2 2 2 2 2
a c a + c - b- b = c - b a + b - c c - b= ，由b c，
2ac 2ab a
则 a2 = b + c .
（2）由B = 2C ，则C为锐角，sinB = sin2C = 2sinCcosC，
a2 2b 2c cosC 2c + b - c
2
则 = = ，去分母得 ab2 - a2c - b2c + c3 = 0，
2ab
则 a - c b2 - ac - c2 = 0，由 a c 则b2 - ac - c2 = 0 .
由（1）有 a2 = b + c > a ，得 a > 1 .
ìa2 = b + c 2
解方程组 í 2 2 ，消元 a2 - c - ac - c2 = 0，
b - ac - c = 0
a3 a3 + a2
则 c = ，可得b = ，
2a +1 2a +1
2 3 2
要证b > b a + a 2，即证 = > ，
3 2a +1 3
只需证3a3 + 3a2 - 4a - 2 > 0，
3
即证 3a - 3 + 3a2 - 4a +1 > 0，
即证 a -1 3a2 + 6a + 2 > 0 ，由 a > 1，此不等式成立，得证.
a3 + a2 2
另令 f a = ， a > 1，又 f 1 = ，
2a +1 3
3 2
f a 4a + 5a + 2a求导得 = > 0 ，则
f a 在 1, + 递增，
2a +1 2
则 f a > f 1 2= ，得证.
3
题型八：三角形解的个数
p
【典例 8-1】设在VABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，若满足a = 3,b = m, B = 的
6
VABC 不唯一，则 m 的取值范围为（ ）
3
A． , 32 ÷÷
B． (0, 3)
è
1 3 1
C ． , ÷÷ D． ,12 2 ÷è è 2
【答案】A
a b 3 m
【解析】由正弦定理 = = 3，即
sin A sin B sin A 1
，所以m = ，
2 2sin A
p 5p p
因为VABC 不唯一，即VABC 有两解，所以 < A < 且 A 1，即 < sin A < 1，
6 6 2 2
1 1
所以1< 2sin A < 2，所以 < <1 3，即 ；
2 2sin A < m < 32
故选：A
p
【典例 8-2】在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，若b =10，A = ，且VABC有唯一解，
6
则 a的取值范围是 .
【答案】 x a = 5或 a 10
a b bsin A 10 sin
p
【解析】由正弦定理得 a 5= = = 6 = ，
sin A sin B sin B sin B sin B
因为VABC有唯一解，当sin B =1时，即∠B = 90o ，
VABC唯一，符合题意，得 a = 5；
当 sin B
1
,1 ÷时， B 有两个值，VABC不唯一，不合题意；
è 2
sin B 0, 1 ù a b a 5当 时， = = b ，
è 2 ú sin A sin B sin B
所以 A B ，VABC唯一，符合题意，得 a 10 .
所以 a的取值范围为 x a = 5或 a 10 .
故答案为： x a = 5或 a 10 .
【方法技巧】
三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对
角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
π
【变式 8-1】在VABC中，已知 A = ，a = 2，若VABC有两解，则边b的取值范围为 .
6
【答案】 2,4
【解析】
由图可得，要使VABC有两解，则bsin A< a < b 1，即 b < 2 < b，解得 2 < b < 4 .
2
故答案为： 2,4 .
【变式 8-2】在VABC中， a = x,b = 3, B = 30°，若该三角形有两解，则 x 的取值范围是 ．
【答案】 3,6
a b a sin B x
【解析】由 = 可得 sin A = =
sin A sin B b 6
因为 B = 30°，所以0° < A<150°
要使三角形有两解，所以30° < A<150°且 A 90°,
1
所以 < sin A
1 x
< 1，即 < <1，解得3 < x < 6 ，
2 2 6
故答案为： 3,6
π
【变式 8-3】在VABC中，已知 AB = x ，BC = 2 2 ，C = ，若存在两个这样的三角形 ABC，则 x 的4
取值范围是 ．
【答案】 2,2 2
π
【解析】由正弦定理，要使VABC有两解，则 a sin C < c < a，即 2 2 sin < x < 2 2 ，
4
所以 2 < x < 2 2 ，即 x 的取值范围是 2,2 2 .
AB BC BC sin C 2
法二：由正弦定理 = 可得 sinA = =
sinC sinA AB x
，
2 3π
由题意可知：关于A 的方程： sinA = 在 A 0,x 4 ÷
有两解，
è
3π 2
在同一坐标系内分别作出曲线 y = sinA， A 0, ÷和水平直线 y = ，
è 4 x
2 2
因为它们有两个不同的交点，所以 < < 1，所以
2 x 2 < x < 2 2 .
故答案为： 2,2 2
ABC π【变式 8-4】若满足 = ， AC = 6，BC = k 的VABC恰有一个，则实数 k 的取值范围是 ．
4
【答案】 (0,6]U{6 2}
p
【解析】已知B = ,b
a b
= 6,a = k 2，则由正弦定理 = ，则 ，
4 sin A sin B sin A = k12
A 3又 (0, p ) 2，当
4 < sin A <1
时，A 有两解；
2
当0 < sin A 2 或sin A =1时，A 有唯一解，故 k (0,6]U{6 2}．
2
故答案为： (0,6]U{6 2}
题型九：三角形中的面积与周长问题
【典例 9-1】（2024·重庆·模拟预测）已知VABC的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，满足
sin B -sinC 2b - a
= ，sin Asin B 2= ，且 S c =△ABC =1，则边 ．
sin A b + c 5
【答案】 5
sin B -sinC 2b - a b - c 2b - a
【解析】因为 = ，由正弦定理可得： = ，
sin A b + c a b + c
2
2 2 2 a + b
2 - c2 2
所以 a + b - c = 2ab，由余弦定理可得： cosC = = ，
2ab 2
因为C (0,π)
π
，所以C = ，
4
因为 S
1
VABC = absinC = 1，所以ab = 2 2 ，2
2
c a b c a b 2 2= × = =10
由正弦定理可得： = = ， ÷ ，
sinC sinA sinB è sinC sinA sinB 2
5
c c
= = 10
所以 sinC 2 ，即 c = 5
2
故答案为： 5
【典例 9-2】记VABC的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 a cosC + 3a sin C - b - c = 0 .
(1)求A ；
(2)若 a = 2 2 ，VABC的面积为 2 3 ，求VABC的周长
【解析】（1）由 a cosC + 3a sin C - b - c = 0
a b c
又 = = = 2R得
sin A sin B sin C sin AcosC + 3 sin Asin C - sin B - sin C = 0
其中 sin B = sin( A + C ) = sin A cos C + cos A sin C
化简得 3 sin Asin C - cos Asin C - sin C = 0
又sinC 0得 3 sin A - cos A =1.
即 sin(A
π 1
- ) =
6 2
p
因为A 是三角形的内角，所以 A = 3 .
S 1（2）由 VABC = bc sin A = 2 3 ，得bc = 8，2
2
cos A b + c
2 - a2 1
由余弦定理 = = ，得b2 + c22bc 2 -8 = bc ，
得 b + c 2 = 3bc + 8 = 32，得b + c = 4 2 ，
所以VABC的周长为 a + b + c = 2 2 + 4 2 = 6 2 ．
【方法技巧】
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦
或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
【变式 9-1】（2024·山东青岛·三模）设三角形 ABC的内角A 、 B 、C的对边分别为 a、b、 c且
sin B + C = 2 3 sin2 A ．
2
(1)求角A 的大小；
(2) 3 21若b = 3 ，BC边上的高为 ，求三角形 ABC的周长．
7
【解析】（1）因为A ， B ，C为VABC的内角，所以 sin B + C = sin A，
sin2 A 1- cos A A因为 = ，所以 sin B + C = 2 3 sin2 可化为： sin A = 3 1- cos A ，
2 2 2
π 3
即 sin A + 3 cos A = 3 ，即 sin A +

÷ = ，
è 3 2
A π π , 4π+ A+ π 2π因为 ÷，解得： = ，即 A
π
=
3 è 3 3 3 3 3
．
（2 1 1 3 21 1 π 1 3 21）由三角形面积公式得 b ×c sin A = a，b = 3 代入得： 3 ×c sin = a，
2 2 7 2 3 2 7
所以 a 7= c 2 2 2，由余弦定理 a = b + c - 2bc cos A
7
= c2 得： c2 + 4c -12 = 0 ，
2 4
解得： c = 2或c = -6舍去，即 a = 7 ，
所以VABC的周长为5 + 7 .
【变式 9-2】（2024·重庆·三模）已知函数 f x = 3sin 2wx π+ ÷ (w > 0) 的最小正周期为 π
è 3
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
uuur uuur
(2)已知VABC 3的三边长分别为 a，b，c，其所对应的角为 A，B，C，且 f A = ，
2 AB × AC = 2 3
，
a = 5 ，求该三角形的周长.
f x 3sin 2wx π 【解析】（1）由函数 = + ÷ (w > 0) 的最小正周期为 π，
è 3
2π p
所以 = π ，即w =1，所以 f x = 3sin 2x + ，
2w ֏ 3
π 2kπ 2x π π 2kπ,k Z 5π kπ x π令- + + + ，解得- + + kπ, k Z，
2 3 2 12 12
é 5π π ù
所以函数 f x 的单调递增区间为 ê- + kπ, + kπú , k Z . 12 12
f A 3sin 2A π 3 π2 = + = sin 2A + 3（ ）因为 ÷ ，所以 = ，
è 3 2 3 ÷è 2
0 A π π因为 < < ，可得 < 2A
π 7π π 2π π
+ < ，所以 2A + = ，解得 A = ，
3 3 3 3 3 6
uuur uuur
因为 AB × AC = bccosA 3= bc = 2 3 ，所以bc = 4，
2
由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccosA，可得5 = b2 + c2 - 4 3，
所以 (b + c)2 = b2 + c2 + 2bc =13+ 4 3 = (2 3 +1)2 ，所以b + c = 2 3 +1，
则VABC的周长为 a + b + c = 2 3 +1+ 5.
【变式 9-3】（2024·西藏·模拟预测）已知VABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
2bsin π A + ÷ - 2a = c．
è 6
(1)求 B；
(2)若 ABC的平分线交 AC 于点D，且 BD = 2， a = 3，求VABC的面积．
π
【解析】（1）由正弦定理及 2bsin A + ÷ - 2a = c，得 2sinBsin
A π+ ÷ - 2sinA = sinC ，
è 6 è 6
所以 sinB 3sinA + cosA - 2sinA = sin A + B ，
整理，得 3sinAsinB - 2sinA = sinAcosB．
π
因为sinA 0 ，所以 3sinB - cosB = 2 ，即 sin B - ÷ =1．
è 6
因为B 0, π , B π π 5π- 2π
6
- , ÷ ，所以B = ．
è 6 6 3
（2）因为BD为 ABC的平分线，所以 SVABC = SVBCD + SVBAD ，
1
即 acsin ABC
1
= 2csin ABC 1+ 2asin ABC ，
2 2 2 2 2
化简，得 ac = 2 a + c ，
由 a = 3，得 c = 6，
1
所以 SVABC = acsinB2
1
= 3 6 sin 2π 9 3 = ．
2 3 2
【变式 9-4】（2024·安徽滁州·三模）在VABC中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, 2b cosC - c = 2a．
(1)求 B 的大小；
(2)若 a = 3，且 AC 19边上的中线长为 ，求VABC的面积．
2
【解析】（1）Q2bcosC - c = 2a，
\ a
2 + b2 - c2
由余弦定理得 2b × - c = 2a ，
2ab
2 2 2
化简得 a2 + c2 - b2 = -ac,\cosB a + c - b 1= = - ．
2ac 2
QB 2π 0, π ，\B = ；
3
（2）由（1）可得b2 = a2 + c2 + ac = c2 + 3c + 9 ①，
a2 + b2 - c2
又 cosC = ②，
2ab
取 AC 的中点D，连接BD，
a2 b
2 19
△CBD 2 2 2 + -在 中， cosC BC + CD - BD= = 4 4 ③，
2BC ×CD ab
由②③得 2c2 - b2 =1 ④，
由①④得 c2 - 3c -10 = 0 ，解得 c = 5 或 c = -2（舍去），
\c = 5，
S 1 15 3\ VABC = acsinB = .2 4
【变式 9-5】（2024·安徽芜湖·三模）已知 a,b,c分别为VABC三个内角 A, B,C 的对边，且
bcosA + 3bsinA = a + c
(1)求 B ；
(2)若b = 2,△ABC 的面积为 3，D为 AC 边上一点，满足CD = 2AD ，求BD的长．
【解析】（1）由正弦定理有 sinBcosA + 3sinBsinA = sinA + sinC ，
因为 sinC = sin A + B = sin Acos B + cos Asin B，
所以 sinBcosA + 3sinBsinA = sinA + sin Acos B + cos Asin B，
化简得 3sinBsinA = sinA + sinAcosB ，
由 A 0, π ,sinA π 1 0 有 3sinB =1+ cosB ，可得 sin B - ÷ = ，
è 6 2
因为B 0, π , B π π 5π- - ,
6 6 6 ÷
，
è
B π π所以 - =
π
，则 B = 3 ．6 6
B π（2）由 = , S
1
= acsinB = 3 有 ac = 4
3 2
又b2 = a2 + c2 - 2accosB 可得 a2 + c2 = 8，
ìa2 + c2 = 8
联立 í 解得a = c = 2，所以VABC为正三角形，
ac = 4
2 π
所以 AD = , A = ，
3 3
△ABD BD2 22 2
2
2 2 2 1 28在 中，由余弦定理得 = + ÷ - = ．
è 3 3 2 9
故BD 2 7的长为 .
3
π
1．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）在VABC中,内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 B = 3 ，
b2 9= ac ，则 sinA + sinC =（
4 ）
A 2 39 B 39 C 7 3 13． ． ． D．
13 13 2 13
【答案】C
p 2 9 4 2 1
【解析】因为B = ,b = ac，则由正弦定理得 sin Asin C = sin B = .
3 4 9 3
b2 a2 c2 ac 9由余弦定理可得: = + - = ac ，
4
即: a2 c2
13 ac sin2 A sin2 C 13 13+ = ，根据正弦定理得 + = sin Asin C = ，
4 4 12
(sin A sin C)2 7所以 + = sin2 A + sin2 C + 2sin Asin C = ，
4
7
因为 A,C 为三角形内角，则 sin A + sin C > 0，则 sin A + sin C = .
2
故选：C.
2．（2023 年北京高考数学真题）在VABC中， (a + c)(sin A - sin C) = b(sin A - sin B) ，则 C =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】B
【解析】因为 (a + c)(sin A - sin C) = b(sin A - sin B) ，
所以由正弦定理得 (a + c)(a - c) = b(a - b)，即 a2 - c2 = ab - b2 ，
2 2 2
则 a2 + b2 - c2 = ab，故 cosC
a + b - c ab 1
= = = ，
2ab 2ab 2
π
又0 < C < π，所以C = .
3
故选：B.
3．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）在VABC中，内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c，若
acosB p- bcosA = c，且C = ，则 B = （
5 ）
p p 3p 2p
A． B． C． D．
10 5 10 5
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A = sinC，
即 sin Acos B - sin B cos A = sin A + B = sin Acos B + sin B cos A，
整理可得 sin B cos A = 0，由于B 0, π ，故 sin B > 0，
据此可得 cos A = 0, A
π
= ，
2
则B = π - A C
π π 3π
- = π - - = .
2 5 10
故选：C.
4．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）在VABC中， BAC = 60°, AB = 2, BC = 6 ， BAC 的角平分
线交 BC 于 D，则 AD = ．
【答案】 2
【解析】
如图所示：记 AB = c, AC = b, BC = a，
方法一：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，
因为b > 0，解得：b =1+ 3，
由 SVABC = SVABD + SVACD 可得，
1
2 b sin 60o 1= 2 AD sin 30o 1+ AD b sin 30o，
2 2 2
2 3 1+ 3
解得： AD
3b
= b = = 21+ 3 + 3
．
2
故答案为： 2．
方法二：由余弦定理可得， 22 + b2 - 2 2 b cos 60o = 6，因为b > 0，解得：b =1+ 3，
6 b 2 6 + 2 2
由正弦定理可得， o = = ，解得： sin B = ， sin C = ，sin 60 sin B sin C 4 2
因为1+ 3 > 6 > 2 ，所以C = 45o ，B =180o - 60o - 45o = 75o，
又 BAD = 30o ，所以 ADB = 75o ，即 AD = AB = 2．
故答案为： 2．
5．（2022 年新高考浙江数学高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，
他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
2
1 é c2 + a2 - b2 ùS = êc2a2 - ÷ ú ，其中 a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边4 ê è 2 ú
a = 2,b = 3,c = 2，则该三角形的面积S = ．
23
【答案】 .
4
é 2 2 2 2 ù 1 é 4 + 2 - 3 2 ù 23
【解析】因为 S
1 c + a - b
= êc2a2 - ÷ ú ，所以 S = ê4 2 -

÷ ú = ．4 ê è 2 ú 4 ê è 2 ú 4
23
故答案为： .
4
1．在VABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a cosC + 3a sin C - b - c = 0 .
(1)求 A；
(2)若 a=2，VABC的面积为 3，求 b，c 的值.
【解析】（1）由 a cosC + 3a sin C - b - c = 0及正弦定理得
sin AcosC + 3 sin Asin C - sin B - sin C = 0 .
因为 sin B = sin p - A - C = sin A + C = sin AcosC + cos Asin C ，
所以 3 sin Asin C - cos Asin C - sin C = 0 .
由于sinC 0，\ 3 sin A - cos A -1 = 0
sin A p- 1所以 6 ÷
=
2 .è
又0 < A < p p，故 A = 3 .
1
（2）由题得VABC的面积 S = bc sin A = 3，故bc = 4 ①.
2
而 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A，且a = 2，故b2 + c2 = 8 ②，
由①②得b = c = 2 .
2．为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M，N 在同一个铅垂
平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要
测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤.
【解析】
要求长度，需要测量的数据有：A 点到M ， N 点的俯角a1, b1，最后通过正弦定理得到最终结果.
①需要测量的数据有：A 点到M ， N 点的俯角a1, b1；
B 点到M ， N 的俯角a2 , b2；A ， B 的距离 d ……….
②第一步：计算 AM . 由正弦定理 AM
dsina
= 2
sin a +a 　；1 2
dsinb2
第二步：计算 AN . 由正弦定理 AN = sin b2 - b 　；1
第三步：计算MN . 由余弦定理MN = AM 2 + AN 2 - 2AM ANcos a1 - b1
3．已知VABC 1的三个角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设 p = (a + b + c)，求证：
2
（1）三角形的面积 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ；
( p - a)( p - b)( p - c)
（2）若 r 为三角形的内切圈半径，则 r = ；
p
2
（3）把边 BC，AC，AB 上的高分别记为 ha ,hb , hc ,则 ha = p( p - a)( p - b)( p - c) ，a
h 2b = p( p - a)( p - b)( p - c) h
2
， c = p( p - a)( p - b)( p - c) .b c
a2 + b2 - c2
【解析】证明：（1）根据余弦定理的推论得 cosC = ，
2ab
2 2 2
2
1
则 sin C = 1- cos2 C 1 a + b - c= - ÷ ，代入 S = absin C ，
è 2ab 2
2
1 2S ab 1 a + b
2 - c2 1
= - = (2ab)2 - a2 + b2 - c2 2得 2 è 2ab ÷ 4
1
= é2ab - a2 + b2 - c24 ù é 2ab + a
2 + b2 - c2 ù
1
= (a + b + c)(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)
4
p 1又 = (a + b + c)，
2
1
所以 (b + c - a) = p - a,
1 (c + a - b) p b, 1= - (a + b - c) = p - c，
2 2 2
代入可得 S = p( p - a)( p - b)( p - c) ；
（2）因为 p
1
= (a + b + c)，所以三角形的周长 l = a + b + c = 2 p ，
2
1 1
又三角形的面积 S = lr = × 2 p × r = pr ，其中 r 为内切圆半径，
2 2
r S ( p - a)( p - b)( p - c)所以 = = ；
p p
1 1 1
（3）根据三角形的面积公式 S = ah = bh = ch ，
2 a 2 b 2 c
2S 2
得 ha = = p( p - a)( p - b)( p - c) .a a
2
同理可证 hb = p( p - a)( p
2
- b)( p - c) ， hc = p( p - a)( p - b)( p - c) .b c
4． VABC的三边分别为 a，b，c，边 BC，CA，AB 上的中线分别记为ma ,mb ,mc ，利用余弦定理证明
m 1a = 2 b2 + c2 1- a2 m = 2 a2， b + c2 - b2 m 1= 2 a2 + b2 - c2，2 2 c 2
a2 + c2 - b2
【解析】证明：根据余弦定理得 cos B = ，
2ac
2
m2 a c2 2 a a
2 a2 + c2 - b2 1
所以 a = ÷ + - × ×c ×cos B = + c
2 - ac × = é2 b2 + c2 - a2 ù，
è 2 2 4 2ac 4

1
所以ma = 2 b2 + c2 - a2 ，2
1
同理可得mb = 2 a2 1+ c2 - b2 m = 2 a2， c + b22 2 - c
2 .
5．一条东西方向的河流两岸平行，河宽 250m ，河水的速度为向东 2 3km / h .一艘小货船准备从河的这一
边的码头 A 处出发，航行到位于河对岸 B（AB 与河的方向垂直）的正西方向并且与 B 相距 250 3m的码头
C 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km / h，则当小货船的航程最短时，求合速
度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.
【解析】如图
AB = 250m = 0.250km, BC = 250 3m 3= km，
4
3
tan CAB BC= = 4 = 3 ，
AB 0.250
\ CAB = 60° ,\ CAD = 90° + 60° =150° ，
∴合速度的方向与水流的方向成 150°的角.
ur uur r ur r uur
设小货船的速度为 v1 ，水流速度为 v2 ，合速度为 v，则 v1 = v - v2 ，
ur r2 r uur uur
\ v1 = v - 2v ×v
2
2 + v2 = 6 - 2 6 2 3 cos150° + (2 3)2 = 2 21km / h
∴小船航行速度的大小为 2 21km .
易错点：忽视三角形三角间的联系与范围限制
易错分析： 在解答过程中易忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思路受
阻或解答出现增解现象.
【易错题 1】在VABC 中， B = 30° ，b = 2 ， c = 2 2 ，则角 A 的大小为（ ）
A． 45° B．135° 或 45° C．15° D．105° 或15°
【答案】D
【解析】
2 2 1
由正弦定理可得 sin C csin B 2 2= = = ，
b 2 2
Qc > b ，
\C > B ，
故C = 45° 或C = 135° ，
则 A = 180° - B - C = 15° 或105°.
故选 D.
p
【易错题 2】在VABC 中，已知 a = 6 ，b = 3， B = ，则角C = __________．3
5p
【答案】
12
p
【解析】Qa = 6 ，b = 3， B = ，3
a b
\由正弦定理 = ，
sin A sin B
a × sin B 6
3

可得： sin A 2= = 2 = ，
b 3 2
Qa < b，A 为锐角，
p
\可得： A = ，
4
C p 5p\ = - A - B = .
12
5p
故答案为： .
12
答题模板：利用边角关系解三角形
1、模板解决思路
如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或边的一
次式，则考虑用正弦定理．
2、模板解决步骤
第一步：结合正弦定理、余弦定理将关系式中的角化边或者边化角．
第二步：化简上一步所得的式子，结合已知条件和余弦定理与正弦定理来进一步求解．
【经典例题 1】VABC中，角A ， B ，C的对边分别为 a，b， c，若bcosC + 3bsin C - a - c = 0．
(1)求 B ；
π
(2)若C = 且VABC的面积为
4 3+ 3
，求边长 c．
【解析】（1）VABC中，bcosC + 3bsin C - a - c = 0，
由正弦定理得 sin B cosC + 3 sin B sin C - sin A - sin C = 0，
又 sin A = sin(π - B - C) = sin(B + C) = sin B cosC + cos B sin C ，
所以 3sin B sinC - cos B sinC - sinC = 0 ，
由于C 0, π ，sinC 0，有 3 sin B - cos B -1 = 0，
sin B π 1 π π所以 - ÷ =

，又B 0, π ，则B - - ,
5π π
÷ ，所以 B = .
è 6 2 6 è 6 6 3
π π 5π
（2）由（1） A = π - - = ，
3 4 12
而 sin A = sin 5π π π 2 3 2 1 6 + 2 ÷ = sin + ÷ = + = ，
è 12 è 4 6 2 2 2 2 4
a b c
= = 6 + 2 3 +1 3
由正弦定理有 sin 5π sin π sin π ，从而 a = × 2c = c，b = × 2c
6
= c，
12 3 4 4 2 2 2
由三角形面积公式可知，VABC S 1 1 3 +1 6 2 3+ 3的面积可表示为 2VABC = absin C = × c × c × = c ，2 2 2 2 2 8
VABC 3+ 3由已知 的面积为3+ 3 ，可得 c2 = 3 + 3 ，所以 c = 2 2 .
8
【经典例题 2】VABC中， 角 A， B， C 所对应的边分别是 a， b， c，且 acosC + 3asinC = b + c.
(1)求 A；
(2)若a = 2， 求 BC 边上高的最大值.
【解析】（1）因为a cosC + 3a sinC = b + c
由正弦定理得 sin AcosC + 3 sin Asin C = sin B + sin C ，
因为 A + B + C = π ,
所以 sin B = sin A + C = sin AcosC + cos Asin C ，
所以 3sin Asin C = cos Asin C + sin C
因为sinC 0，
所以 3 sin A = cos A +1，
π 1
所以 3 sin A - cos A =1，所以 sin A - = ，
è 6 ÷ 2
A (0, π), A π ( π , 5π因为 - - ),
6 6 6
π π π
所以 A - = ， A = .
6 6 3
（2）因为a = 2， A π= 3 ，
由余弦定理得：b2 + c2 - 2bc cos A = a2 ，即b2 + c2 - bc = 4 ，
因为即b2 + c2 - bc = 4≥ 2bc - bc = bc，即bc 4，
S 1 πV ABC = bcsin 32 3 ，
1
设VABC中 BC 边上高为 h ，则 SV ABC = ah = h2 ，所以 h 3 ，
即 BC 边上高的最大值为 3 .

展开更多......

收起↑