资源简介

第 05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：一元二次不等式 ........................................................................................................................................4
知识点 2：分式不等式 ................................................................................................................................................5
知识点 3：绝对值不等式 ............................................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6
题型一：不含参数一元二次不等式的解法 ...............................................................................................................7
题型二：含参数一元二次不等式的解法 ...................................................................................................................8
题型三：三个二次之间的关系 .................................................................................................................................11
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法 .........................................................................................................13
题型五：绝对值不等式的解法 .................................................................................................................................15
题型六：二次函数根的分布问题 .............................................................................................................................16
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题 .........................................................................................................19
题型八：解含参型绝对值不等式 .............................................................................................................................24
题型九：解不等式组型求参数问题 .........................................................................................................................26
题型十：不等式组整数解求参数问题 .....................................................................................................................28
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................31
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................32
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................34
易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当 .........................................................................................................34
答题模板：一元二次不等式恒成立问题 .................................................................................................................35
考点要求 考题统计 考情分析
（1）会从实际情景中抽象出一
元二次不等式．
从近几年高考命题来看，三个 “二次”
（2）结合二次函数图象，会判
的关系是必考内容，单独考查的频率很低，
断一元二次方程的根的个数，以 2020年 I卷第 1题，5分
偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点
及解一元二次不等式．
的题目中．
（3）了解简单的分式、绝对值
不等式的解法．
复习目标：
1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题.
3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式.
知识点 1：一元二次不等式
2
一元二次不等式 ax + bx + c > 0(a 0)，其中D = b2 - 4ac 2， x1, x2 是方程 ax + bx + c > 0(a 0)的
两个根，且 x1 < x2
（1）当 a > 0时，二次函数图象开口向上．
（2）①若D > 0，解集为 x | x > x2或x < x1 ．
D = 0 ìx | x R x b ü②若 ，解集为 í 且 - ．
2a
③若D < 0，解集为 R ．
（2） 当 a < 0 时，二次函数图象开口向下．
①若D > 0，解集为 x | x1 < x < x2
②若D 0，解集为
【诊断自测】不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集是 - ,1 3, + ，则b - a的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-5 D．5
【答案】D
【解析】因为不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集是 - ,1 3, + ，
所以 a<0， x =1和 x = 3是方程 ax2 + bx - 3 = 0的根，
ì1 3 b + = - a
所以 í ，即 a = -1，b = 4 ，则b - a = 5．
1 3 3= -
a
故选：D．
知识点 2：分式不等式
f (x)
（1） > 0 f (x)gg(x) > 0
g(x)
f (x)
（2） < 0 f (x)gg(x) < 0
g(x)
f (x) ì f (x)gg(x) 0
（3） 0
g(x) í g(x) 0
f (x) f (x)gg(x) 0
（4） 0 ì
g(x) í g(x) 0
x + 3 x - 2
【诊断自测】不等式 ≥0的解集为（ ）
x -1
A． -3,1 2,+ B． - , -3 U 1,2 C． -3,1 U 1,2
D． - , -3 2,+
【答案】A
x + 3 x - 2 ì x + 3 x - 2 0 ì x + 3 x - 2 0
【解析】不等式 ≥0，等价于 í 或 í ，
x -1 x -1 > 0 x -1< 0
解得 x 2或-3 x <1，
x + 3 x - 2
即不等式 ≥0的解集为 -3,1 2,+ .
x -1
故选：A
知识点 3：绝对值不等式
（1） f (x) > g(x) [ f (x)]2 > [g(x)]2
（2） f (x) > g(x)(g(x) > 0) f (x) > g(x)或f (x) < -g(x) ；
f (x) < g(x)(g(x) > 0) -g(x) < f (x) < g(x) ；
（3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.
1
【诊断自测】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式 | x |> 的解集是 ．
x
【答案】 - ,0 1, +
ìx > 0 ìx < 0

【解析】原不等式可变形为 íx 1
或 í 1 ，
> -x > x x
ìx > 0 ìx < 0

由 í ，解得 x

>1；由 ，解得 x < 0 ，
x
1 í 1
> -x >
x x
所以原不等式的解集为 (- ,0) (1, + ) .
故答案为： (- ,0) (1, + ) .
解题方法总结
1、已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (m，n)，解关于 x 的不等式 cx2 + bx + a 0．
ax2 bx c 0 (m n) a(1 )2 b 1 c 0 ( 1 ]U [ 1由 + + > 的解集为 ， ，得： + + 的解集为 - ， ，+ ) 即关于 x 的
x x n m
不等式 cx2 + bx a 0 ( 1 ]U [ 1+ 的解集为 - ， ，+ ) ．
n m
2、已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (m，n)（其中mn > 0），解关于 x 的不等式
cx2 + bx + a > 0 ．
ax2 bx c 0 (m n) a(1 )2 b 1 c 0 (1 1由 + + > 的解集为 ， ，得： + + > 的解集为 ， ) ，即关于 x 的不等式
x x n m
cx2 + bx + a > 0 1 1的解集为 ( ， ) ．
n m
3、已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (m，n)，解关于 x 的不等式 cx2 - bx + a 0．
由 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (m，n)，得： a(1 )2 - b 1 + c 0 1 1的解集为 (- ，- ]U [- ，+ ) 即关于 x
x x m n
1 1
的不等式 cx2 - bx + a 0的解集为 (- ，- ]U [- ，+ ) ，以此类推．
m n
4、已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (m，n)（其中 n > m > 0），解关于 x 的不等式
cx2 - bx + a > 0．
由 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (m，n)，得： a(1 )2 b 1- + c 0 1 1> 的解集为 (- ，- ) 即关于 x 的不等式
x x m n
cx2 - bx a 0 1 1+ > 的解集为 (- ，- ) ．
m n
ìa > 0
5、已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 R ，则一定满足 í ；
D < 0
ìa < 0
6、已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 ，则一定满足 í ；
D 0
ìa < 0
7、已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c < 0的解集为 R ，则一定满足 í ；
D < 0
ìa > 0
8、已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c < 0的解集为 ，则一定满足 í ．
D 0
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【典例 1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式 x 2 - x - 6 < 0 的解集为 ．
【答案】 -2,3
【解析】由不等式 x 2 - x - 6 < 0 ，可得 (x - 3)(x + 2) < 0，解得-2 < x < 3，
所以不等式的解集为 -2,3 .
故答案为： -2,3 .
【典例 1-2】不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是 (1, 2) ，则不等式 cx 2 + bx + a > 0 的解集是（用集合表
示） ．
ì 1 ü
【答案】 íx | < x <1
2
【解析】不等式 ax2 + bx + c > 0的解集为 (1, 2) ，
∴ a<0，且 1，2 是方程 ax2 + bx + c = 0的两个实数根，
ì1+ 2 b= -
a
∴ í ，解得b = -3a， c = 2a ，其中 a<0；
1 c 2 =
a
∴不等式 cx 2 + bx + a > 0 化为 2ax2 - 3ax + a > 0，
2 1 即 2x - 3x +1 < 0，解得 x ,1÷，
è 2
ì 1 ü
因此所求不等式的解集为 íx | < x <1 .
2
ì
故答案为： íx |
1
< x <1ü
2 ．
【方法技巧】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在 轴上，结合图象，写出其解集.
【变式 1-1】不等式 x2 - 3x -18 > 0的解集是 ．
【答案】 (- , - 3) (6, + )
2
【解析】由题意 x - 3x -18 > 0 x - 6 x + 3 > 0，解得 x < -3或 x > 6，
所以不等式 x2 - 3x -18 > 0的解集是 (- , - 3) (6, + ) .
故答案为： (- , - 3) (6, + ) .
【变式 1-2】一元二次不等式-x2 + 2x + 3 < 0 的解集为 .
【答案】 (- , -1) (3,+ )
【解析】由-x2 + 2x + 3 < 0 可得 x2 - 2x - 3 > 0，
即 (x - 3)(x +1) > 0 ，
解得 x > 3或 x < -1，
所以不等式的解集为 (- , -1) (3,+ ) .
故答案为： (- , -1) (3,+ )
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【典例 2-1】设函数 f (x) = ax2 + (1- a)x + a - 2(a R)
(1)若不等式 f (x) -2对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围；
(2)解关于 x 的不等式： f (x) < a -1．
【解析】（1） f (x) -2对一切实数 x 恒成立，等价于"x R, ax2 + (1- a)x + a 0恒成立.
当 a = 0时，不等式可化为 x 0 ，不满足题意.
ìa > 0 ìa > 0 1
当 a 0，有 íΔ 0，即 í3a2 ，解得
a
+ 2a -1 0 3
所以 a [
1
的取值范围是 ,+ )．
3
（2）依题意， f (x) < a -1等价于 ax2 + (1- a)x -1< 0，
当 a = 0时，不等式可化为 x <1，所以不等式的解集为{x | x <1} .
当 a > 0时，不等式化为 (ax +1)(x -1) < 0
1
，此时- <1，所以不等式的解集为{x | 1- < x <1} .
a a
当 a<0时，不等式化为 (ax +1)(x -1) < 0，
①当 a = -1
1
时，- =1，不等式的解集为{x | x 1}；
a
1
②当-1 < a < 0时，- >1，不等式的解集为{x | x
1
> - 或x < 1}
a a
；
1
③当 a < -1时，- <1，不等式的解集为{x | x > 1或x
1
< - }；
a a
1
综上，当 a < -1时，原不等式的解集为{x | x > 1或x < - }；
a
当 a = -1时，原不等式的解集为{x | x 1}；
当-1 < a 0 {x | x
1
< 时，原不等式的解集为 > - 或x < 1}a ；
当 a = 0时，原不等式的解集为{x | x <1}；
当 a > 0 1时，原不等式的解集为{x | - < x <1} .
a
【典例 2-2】已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + x + b > 0 的解集为 - , -2 U 1, + ．
(1)求 a和b 的值；
(2) 2 2求不等式 ax - 2a + b + 2 x +1- c < 0 的解集．
【解析】（1）由题意知-2和1是方程 ax2 + x + b = 0 的两个根且 a > 0，
ì 1
-2 +1 = - a ìa =1
由根与系数的关系得 í b ，解得 í ； -2 1 = b = -2
a
（2）由 a =1、b = -2，不等式可化为 x2 - 2x +1- c2 < 0，
即 é x - 1+ c ù éx - 1- c ù < 0，则该不等式对应方程的实数根为1+ c 和1- c ．
当 c > 0时，1+ c >1- c，解得1- c < x <1+ c，即不等式的解集为 1- c,1+ c ，
当 c = 0 时，1+ c =1- c，不等式的解集为空集，
当 c < 0时，1+ c <1- c，解得1+ c < x <1- c，即不等式的解集为 1+ c,1- c ，
综上：当 c > 0时，解集为 1- c,1+ c ，
当 c = 0 时，解集为空集，
当 c < 0时，解集为 1+ c,1- c ．
【方法技巧】
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论．
(2)根据判别式 Δ 与 0 的关系判断根的个数，数形结合处理．
(3)有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论．
2
【变式 2-1】已知函数 f x = x - 2ax + 3．
(1)若关于 x 的不等式 f x 0的解集为 R，求实数 a 的取值范围；
(2)解关于 x 的不等式 f x < 0 ．
【解析】（1）若不等式 x2 - 2ax + 3 0的解集为 R，
则Δ = (-2a)2 -12 0，
解得- 3 a 3，
即实数 a的取值范围[- 3 , 3]；
（2）不等式 x2 - 2ax + 3 < 0，
①当D 0时，即- 3 a 3时，不等式的解集为 ，
②当D > 0时，即 a < - 3 或 a > 3时，
由 x2 - 2ax + 3 = 0，解得 x = a - a2 - 3 或 x = a + a2 - 3 ，
所以不等式的解集为{x | a - a2 - 3 < x < a + a2 - 3}，
综上所述，当- 3 a 3时，不等式的解集为 ；
当 a < - 3 或 a > 3时，不等式的解集为{x | a - a2 - 3 < x < a + a2 - 3}．
【变式 2-2】解关于实数 x 的不等式： x2 - ax +1 < 0．
【解析】对方程 x2 - ax +1 = 0 ，
当D = a2 - 4 0时，
即-2 a 2时,不等式的解集为
当D = a2 - 4 > 0时，
即 a > 2或 a < -2时,
2
x2 - ax +1 = 0 x a - a - 4 , x a + a
2 - 4
的根为 1 = 2 = ，2 2
ì a - a2 - 4 a + a2 - 4 ü
不等式的解集为 íx < x < ；
2 2


综上可得，-2 a 2时,不等式的解集为 ，
ì a - a2 - 4 a + a2 - 4 ü
a > 2或 a < -2时，不等式的解集为 íx < x <2 2
.

【变式 2-3】设函数 f (x) = x2 +1 - ax ，其中 a > 0．解不等式 f (x) 1；
【解析】因为 f (x) = x2 +1 - ax a > 0 ，不等式 f (x) 1等价于 x2 +1 1+ ax ，
又 x2 +1 1，所以1 1+ ax，即 ax 0，其中 a > 0，所以 x 0 ，
ìx2 +1 1+ ax 2
所以原不等式等价于 í ，
x 0
ì a2 -1 x + 2a 0
即 í ，
x 0
ì a2 -1 x + 2a 0 é 2a ù
所以当 0 < a < 1时，不等式组 í 的解集为 0, 2 ；
x 0
ê 1- a ú
ì a2 -1 x + 2a 0
当 a 1时，不等式组 í 的解集为 0, + .
x 0
综上，当 0 < a < 1时，不等式 f (x) 1 é的解集为 ê0,
2a ù
1- a2 ú
；

当 a 1时，不等式 f (x) 1的解集为 0, + ；
题型三：三个二次之间的关系
【典例 3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知关于 x 的不等式 x2 - ax + b 0的解集为 x 2 x 3 ，则
关于 x 的不等式 x2 - bx + a < 0的解集为（ ）
A． x 2 < x < 3 B． x 1< x < 3
C． x 2 < x < 5 D． x 1< x < 5
【答案】D
【解析】根据题意，方程 x2 - ax + b = 0的两根为 2 和 3，
则 a = 2 + 3 = 5,b = 2 3 = 6，
则 x2 - bx + a < 0为 x2 - 6x + 5 < 0，其解集为 x 1 < x < 5 .
故选：D.
【典例 3-2】已知 ax2 + bx + c > 0的解集为{x | -1< x < 2}，则不等式a x2 +1 + b(x -1) + c < 2ax的解集
为（ ）
A．{x | 0 < x < 3} B．{x | x > 0}
C．{x | x < 0 或 x > 3} D．{x | x > 3}
【答案】C
【解析】已知 ax2 + bx + c > 0的解集为{x | -1< x < 2}，
则 ax2 + bx + c = 0的两根为-1和 2，
ì
a < 0


所以 í-1+ 2
b
= - ，即b = -a,c = -2a ，
a

-1
c
2 =
a
2
代入不等式， a x +1 + b(x -1) + c < 2ax 化简整理得 ax2 - 3ax < 0 ，
因为 a<0，故 x2 - 3x > 0，
不等式的解集为{x | x < 0 或 x > 3}.
故选：C
【方法技巧】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
1 1
【变式 3-1】若不等式 ax2 + 2x + c < 0的解集是 (- , - ) ( , + )，则不等式 cx2 - 2x + a 0的解集是3 2
（　 ）
é 1 , 1- ù 1 1A B é- , ù． ê ． 2 3ú ê 3 2ú
C． -2,3 D． -3,2
【答案】C
1 1
【解析】因为不等式 ax2 + 2x + c < 0的解集是： (- , - ) ( , + )，3 2
1
所以-
1
和 2 是方程 ax
2 + 2x + c = 0的两个实数根，
3
ì 1 1 2
- + = - 3 2 a
由 í ，解得： a = -12,c = 2
1 1 c
，
- =
3 2 a
故不等式 cx2 - 2x + a 0，即为 2x2 - 2x -12 0，
解不等式 x2 - x - 6 0 ，得：-2 x 3，
所求不等式的解集是： -2，3 .
故选：C．
【变式 3-2】（多选题）不等式 x2 + ax + b 0(a,b R) 的解集为{x | x1 x x2}，且 x1 + x2 2 .以下结论
错误的是（ ）
A． a + 2b 2 B． a + 2b 2 C． | a | 1 D．b 1
【答案】ABC
【解析】因为不等式 x2 + ax + b 0(a,b R) 的解集为{x | x1 x x2}，
则 x1, x2 是方程 x2 + ax + b = 0 的两个实数根， x1x2 = b ，又 x1 + x2 2 ,
不妨令 a = -1，b = 0，则 x1 = 0 ， x2 =1，但 | a + 2b |=1，故 A 不成立，符合题意；
令 a = 2，b =1，则 x1 = x2 = -1，但 a + 2b = 4 ，故 B 不成立，符合题意；
令 a = 0，b = -1，则 x1 = -1， x2 =1，但 | a |= 0，故 C 不成立，符合题意；
2 2
b x + x
x + x
= x x 1 2 1 21 2 ÷ ÷ 1，故 D 成立，不符合题意．
è 2 ÷è 2
故选：ABC.
【变式 3-3】（多选题）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是{x∣1 < x < 3}，则（ ）
A． a < 0
B． a + b + c = 0
C． 4a + 2b + c < 0
1
D．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集是{x∣x < -1或 x > - }3
【答案】ABD
ì b
- = 4 a ìb = -4a
【解析】由题意可知，1，3 是方程 ax2 + bx + c = 0的两个根，且 a<0， í c í c = 3a
，
= 3
a
A：由以上可知 a<0，故 A 正确；
B：当 x =1时，代入方程可得 a + b + c = 0 ，故 B 正确；
C：因为1< 2 < 3，不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是{x∣1< x < 3}，故将 x = 2代入不等式左边为
4a + 2b + c > 0，故 C 错误；
1
D：原不等式可变为3ax2 + 4ax + a < 0，且 a<0，约分可得3x2 + 4x +1 > 0，解集为{x∣x < -1或 x > - }，3
故 D 正确；
故选：ABD
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
x - 3
【典例 4-1】（2024·高三·上海杨浦·期中）关于 x 的不等式 0的解集是 .
x
【答案】 x x < 0或 x 3
x - 3
【解析】因为 0，
x
ìx x - 3 0
所以 í ，解得 x < 0 或 x 3，
x 0
x - 3
所以 0的解集为 x x < 0或 x 3 .
x
故答案为： x x < 0或 x 3 .
x2 - 2x - 3
【典例 4-2】已知关于 x 的不等式 2 < 0的解集是 (- , -1) (3,+ )，则实数m 的mx + 2(m +1)x + 9m + 4
取值范围是 ．
1
【答案】 (- , - ]
2
【解析】由 x2 - 2x - 3 > 0，解得 x < -1或 x > 3，
x2 - 2x - 3
由条件知 2 < 0与 2mx 2(m 1)x 9m 4 x - 2x - 3 > 0
同解，
+ + + +
当m 0 时，显然不符合条件；
ì ì
m < 0 m < 0
ìm < 0 ìm < 0
所以 í ，或 íΔ = 0 2Δ 0 ，即
8m + 2m -1 = 0
<
í
8m
2 2m 1 0，或 ，+ - > í
m +1- [-1,3] m +1- [-1,3]
m m
m 1 1 1解得 < - 或m = - ，即m - .
2 2 2
所以m
1
的取值范围为 (- , - ] .
2
1
故答案为： (- , - ] .
2
【方法技巧】
分式不等式化为二次或高次不等式处理．
3x + 5
【变式 4-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）不等式 x的解集是 ．
x -1
【答案】 (- , -1] (1,5]
3x + 5 2 x +1 x - 5
【解析】 - x 0 3x + 5 - x + x，即 0 ，即 0，
x -1 x -1 x -1
ì x -1 x +1 x - 5 0
则 í ，根据穿根法解得 x (- ,-1] (1,5]，
x -1 0
故答案为： (- , -1] (1,5] .
【变式 4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函数 y = ax2 + bx + c的图像如图所示，则不等式
ax + b bx + c cx + a < 0的解集是 .
1
【答案】 - ,
2 3, +
è 2 3 ÷
【解析】根据函数 y = ax2 + bx + c的图像可知：
a 0,c 0,1 2 3 b ,b 0,1 2 2 c> > + = = - < = = ，即b = -3a,c = 2a ，
a a
不等式 ax + b bx + c cx + a < 0可化为 ax - 3a -3ax + 2a 2ax + a < 0，
即 x - 3 3x - 2 2x +1 > 0，
1 2
解得- < x < 或 x > 3，
2 3
1 2
所以不等式 ax + b bx + c cx + a < 0的解集是 - , ÷ 3, + .
è 2 3
1 , 2 故答案为： - 3, +
è 2 3 ÷
【变式 4-3】不等式 x + x3 0的解集是 ．
【答案】[0, + )
【解析】原不等式可以化为 x(1+ x2 ) 0，
因为 x2 +1> 0，所以 x 0 .
所以不等式的解集为[0, + ) .
故答案为：[0, + )
题型五：绝对值不等式的解法
【典例 5-1】（2024·高三·上海长宁·期中）不等式 x -1 x + 2 < 0的解集为 .
【答案】 - ,-2 -1,1
【解析】当 x 0 时， x -1 x + 2 < 0 ，
ìx 0
所以 í 0 x <1x -1 x + 2 < 0 .
当 x < 0 时， x +1 x + 2 > 0，
ìx < 0
í x < -2或-1 < x < 0 .
x +1 x + 2 > 0
综上：解集为 - ,-2 -1,1
故答案为： - ,-2 -1,1
【典例 5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式 | x - 2 |>1的解集为 ．
【答案】 (- ,1) U (3,+ )；
ìx - 2 0 ìx - 2 < 0
【解析】 x - 2 >1 íx 2 1 或- > í - x - 2 >1
，
即 x > 3或 x <1，所以不等式 | x - 2 |>1的解集为 x x <1或 x > 3 ，
故答案为： (- ,1) U (3,+ ) .
【方法技巧】
（1） f (x) > g(x) [ f (x)]2 > [g(x)]2
（2） f (x) > g(x)(g(x) > 0) f (x) > g(x)或f (x) < -g(x) ；
f (x) < g(x)(g(x) > 0) -g(x) < f (x) < g(x) ；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【变式 5-1】（2024·上海虹口·模拟预测）不等式 x + 2023 - x < 2023的解集为 .
【答案】
【解析】 x + 2023 - x < 2023，当 x < 0 时，-x + 2023- x < 2023，解得 x > 0，故解集为 ，
当0 x 2023时， x + 2023- x < 2023，解集为 ，
当 x > 2023时， x + x - 2023 < 2023，解得 x < 2023，故解集为 ，
综上：不等式的解集为 .
故答案为：
2
【变式 5-2】不等式 x - 2x > 4的解集是 ．
【答案】 x x >1+ 5 或 x <1- 5
x2【解析】因为 - 2x > 4，所以 x2 - 2x > 4或 x2 - 2x < -4，
即 x2 - 2x - 4 > 0或 x2 - 2x + 4 < 0，
由 x2 - 2x - 4 > 0解得 x >1+ 5 或 x <1- 5，
由 x2 - 2x + 4 < 0可得 (x -1)2 + 3 < 0，所以 x ，
2
故不等式 x - 2x > 4的解集为 x x >1+ 5 或 x <1- 5 .
故答案为： x x >1+ 5 或 x <1- 5 .
题型六：二次函数根的分布问题
lnx 1
【典例 6-1】已知函数 f x = ，关于 x 的方程 f x - = mf x 有三个不等的实根，则实数m 的取x
值范围是 .
【答案】m
1
< - e
e
f x 1- lnx【解析】由题意得 = 2 , x > 0，x
当0 < x < e时， f x > 0， f x 递增；当 x>e时， f x < 0， f x 递减，
且 f x = f (e) 1=max ；可知函数 f x 的图象如图所示，e
1
令 t = f x ，则方程 f x - = mf x 有三个不等的实根，
即为 t 2 - mt -1 = 0有两个不等的实根，
g t = t 2令 - mt -1，则 g t = t 2 - mt -1 = 0有两个不等的实根，
t t 1则 1 2 = -1< 0，所以不妨令 t1 < 0 < t2 < ，e
g 0 = -1 0, g 1 1 m= - -1 0 m 1则 ÷ 2 ，解得 < - e，è e e e e
m 1故答案为： < - e
e
6-2 x x2【典例 】若关于 的一元二次方程 + 3a -1 x + a + 8 = 0有两个不相等的实根 x1, x2 ，且
x1 <1, x2 >1．则实数 a 的取值范围为 ．
【答案】 a < -2
【解析】令函数 f (x) = x2 + (3a -1)x + a + 8，依题意， f (x) = 0 的两个不等实根 x1, x2 满足 x1 <1, x2 >1，
而函数 f x 图象开口向上，因此 f (1) < 0，则12 + (3a -1) 1+ a + 8 < 0，解得 a < -2，
所以实数 a 的取值范围为 a < -2 .
故答案为： a < -2
【方法技巧】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处函
数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
【变式 6-1】已知一元二次方程 x2 - mx +1 = 0的两根都在 (0,2)内，则实数m 的取值范围是（ ）
5 é 5
A． 2, ÷ B． ê2, ÷ C． - ,-2
é
ê2,
5 5D
2 ÷ ．
- ,-2 2,2 ÷è 2 è 2
【答案】B
ìΔ = m2 - 4 0
m
f x = x2 - mx +1
0 < < 2 5
【解析】设 ，由题意可得 í 2 ，解得 2 m < .
f 0 =1 > 0 2

f 2 = -2m + 5 > 0
因此，实数m
é 5
的取值范围是 ê2, 2 ÷
.

故选：B.
x
【变式 6-2 2】已知函数 f x = x ，若关于 x 的方程 f x - mf x - m +1 = 0恰有 4 个不相等的实数根，e
则实数m 的取值范围是（ ）
1,1 1 1+ 1- ,1
e2 +1 e2 +1
A． ÷ B． ÷ C． 1, ÷ D． ,1

÷
è e è e è e
2 -1 è e
2 + e
【答案】D
ì x
x x , x 0
f x = e【解析】∵ x = í x ，e - , x < 0
ex
当 x 0 时， f (x) 0
1- x
（ x = 0时取等号）， f x =
ex
，
当0 x <1时， f (x) > 0 ，即 f (x) 在[0,1)上为增函数，
当 x >1时， f (x) < 0 ，即 f (x) 在 (1, + )上为减函数，
f x 在 x =1处取得极大值 f 1 1= .
e
当 x < 0 时， f (x)
x -1
= < 0 ，即 f (x)x 在 (- ,0)e 上为减函数，
作出函数 f (x) 的图象如图所示：
设 t = f (x) ，
t 1当 > 时，方程 t = f (x) 有 1 个解，
e
t 1当 = 时，方程 t = f (x) 有 2 个解，
e
当0 < t
1
< 时，方程 t = f (x) 有 3 个解，
e
当 t = 0时，方程 t = f (x) 有 1 个解，
当 t < 0时，方程 t = f (x) 有 0 个解，
方程 f 2 x - mf x - m +1 = 0等价为 t 2 - mt - m +1 = 0，
2
要使关于 x 的方程 f x - mf x - m +1 = 0恰有 4 个不相等的实数根，
1 1
等价为方程 t 2 - mt - m +1 = 0有两个不同的根 t1, t2 ，且 t1 > ，0 < t2 < ，e e
设 g(t) = t 2 - mt - m +1，
ì
g(0) = -m +1 > 0 ìm <1

g(1) 1 m
2 2
则 í = 2 - - m +1 < 0

ím
e +1
> e +12 ，解得 ，
e e e e + e
2 < m <1e + e
-m- > 0 m > 0 2
故选：D．
【变式 6-3】已知关于 x 的方程 x2 + x + m = 0在区间 1,2 内有实根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．[-6,-2] B． (-6,-2) C． (- , -6] [-2,+ ) D． (- ,-6) U (-2,+ )
【答案】B
【解析】因为关于 x 的方程 x2 + x + m = 0在区间 1,2 内有实根，
所以m = -x2 - x在区间 1,2 内有实根，
令 f x = -x2 - x ， x 1,2 ，所以 f x 在 1,2 上单调递减，
所以 f 2 < f x < f 1 ，即 f x -6, -2 ，
依题意 y = m与 y = f x 在 1,2 内有交点，
所以m -6, -2 .
故选：B
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题
【典例 7-1】已知关于 x 的不等式 2x -1 > m(x2 -1) .
(1)是否存在实数m ，使不等式对任意 x R 恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于m -2,2 恒成立，求实数 x 的取值范围；
(3)若不等式对 x [2,+ )有解，求m 的取值范围.
【解析】（1）
原不等式等价于mx2 - 2x + (1- m) < 0 ，
1
当m = 0时，-2x +1 < 0，即 x > ，不恒成立；
2
当m 0 时，若不等式对于任意实数 x 恒成立，
则m < 0且D = 4 - 4m(1- m) < 0，无解；
综上，不存在实数m ，使不等式恒成立.
（2）设 f (m) = (x2 -1)m - (2x -1) ，
当m -2,2 时， f (m) < 0恒成立，
ì f (2) < 0 ì2x2 - 2x -1 < 0
当且仅当 í
f (-2) 0
，即 í ，< -2x
2 - 2x + 3 < 0
ì1- 3 1+ 3
< x <
2 2 -1+ 7 1+ 3
解得 í 即1 < x <
，
x - - 7 x -1+ 7 2 2或
2 2
所以 x -1+ 7 1+ 3的取值范围是 ( , ) .
2 2
（3）若不等式对 x [2,+ )有解，
等价于 x [2,+ )时，mx2 - 2x + (1- m) < 0 有解.
令 g(x) = mx2 - 2x + (1- m)，
当m = 0时，-2x
1
+1 < 0即 x > ，此时显然在 x [2,+ )有解；
2
当m < 0时， x [2,+ )时，结合一元二次函数图象，mx2 - 2x + (1- m) < 0 显然有解；
当m > 0时， y = g(x)
1
对称轴为 x = ，D = 4 - 4m(1- m) = 4m2 - 4m + 4 = (2m -1)2 + 3 > 0，
m
x [2,+ )时，mx2 - 2x + (1- m) < 0 有解，
ìg 2 0
\ 结合一元二次函数图象，易得： g(2) < 0或 í 1 ，
> 2 m
ìm 1

解得m <1或 í 1 （无解），
m < 2
又∵m > 0，
\0 < m <1;
综上所述，m 的取值范围为 (- ,1) .
【典例 7-2】（2024·陕西西安·模拟预测）当1 x 2时，不等式 x2 - ax +1 0恒成立，则实数 a的取值
范围是 ．
5
【答案】[ , + ) .
2
【解析】当1 x 2时，不等式 x2 - ax +1 0恒成立，
2
1 x 2 a x +1 1
1
所以当 时， = x + 恒成立，则 a x + ÷ ，
x x è x max
令 g x = x 1+ ，则 g x 在 1,2 单调递增，
x
g x g 2 2 1 5 5所以 = = + =max ，所以 a .2 2 2
5
故答案为：[ , + ) .
2
【方法技巧】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量与参数．
（2）一元二次不等式在 R 上恒（能）成立，可用判别式D，一元二次不等式在给定的某个区间上恒
（能）成立，不能用判别式D，一般分离参数求最值或分类讨论处理．
【变式 7-1】当 x -1,1 2 3时，不等式2kx - kx - < 0恒成立，则 k 的取值范围是（ ）
8
1 1
A． -3,0 B． -3,0 C ù． -3, 8 ÷ D． -3,è è 8 ú
【答案】D
x -1,1 2kx2 kx 3【解析】当 时，不等式 - - < 0恒成立，
8
当 k = 0时，满足不等式恒成立；
k 0 f x 2kx2 kx 3当 时，令 = - - ，则 f x < 0 在 -1,1 上恒成立，
8
函数 f x 1的图像抛物线对称轴为 x = ，
4
k > 0时， f x -1, 1 1 在 4 ÷上单调递减，在 ,14 ÷上单调递增，è è
ì
f -1
3
= 2k + k - 0
8 0 1则有 í ，解得 < k ；
f
1 2k k
3 8
= - - 0
8
f x 1, 1 1k < 0时， 在 - 4 ÷上单调递增，在 ,1è è 4 ÷上单调递减，
1 2k k 3
则有 f 4 ÷
= - - < 0，解得-3 < k < 0 .
è 16 4 8

综上可知， k 的取值范围是 -3,
1ù .
è 8 ú
故选：D.
【变式 7-2 2】已知函数 f x = 2x - ax + a2 - 4 g x x2 x a2 31， = - + - ， a R
4
(1)当 a =1时，解不等式 f x > g x ；
(2)若任意 x > 0，都有 f x > g x 成立，求实数 a的取值范围；
(3)若"x1 0,1 ，$x2 0,1 ，使得不等式 f x1 > g x2 成立，求实数 a的取值范围.
2 2 27
【解析】（1）当 a =1时， f x = 2x - x - 3， g x = x - x -
4
2 15
所以 f x - g x = x + > 0，所以 f x > g x ，所以 f x > g x 的解集为R .
4
2
（2）若对任意 x > 0，都有 f x > g x 成立，即 x + 1- a x 15+ > 0在 x > 0恒成立，
4
解法一：设 h x = x2 + 1- a x 15 a -1+ ， x > 0，对称轴 x = ，由题意，只须 h x > 0min ，4 2
a -1 0 h x 0 + h x h 0 15①当 ，即 a 1时， 在 ， 上单调递增，所以 > = ，符合题意，所以 a 1；
2 4
a -1 a -1> 0 a -1 ②当 ，即 a > 1时， h x 在 0, ÷上单调递城，在 ，+ 2 è 2 è 2 ÷ 单调递增，
2
h x h a -1> a -1 15所以 ÷ = - + > 0，解得1- 15 < a <1+ 15 且 a > 1，
è 2 4 4
所以1< a <1+ 15 .
综上， a <1+ 15 .
a 1 x x2 15 a 1 x 15 15解法二：不等式可化为 - < + ，即 - < + ，设 k = x + ， x > 0，
4 4x 4x
15 15
由题意，只须 a -1< k x min ， k = x + 2 x × = 15 ，4x 4x
15 15
当且仅当 x = 即 x = 时等号成立，则 kmin = 15 ，4x 2
所以 a -1< 15 ，即 a <1+ 15 .
（3）若对任意 x1 0,1 ，存在 x2 0,1 ，使得不等式 f x1 > g x2 成立，
即只需满足 f x > g xmin min ， x 0,1 ，
g x 2 2 31 1 g x é0, 1 1= x - x + a - ù，对称轴 x = ， 在
4 2 ê
,1
2 ÷递减，在 递增， è 2 ú
g x = g 1 2 2 2min ÷ = a -8， f x = 2x - ax + a - 4， x 0,1
a
，对称轴 x = ，
è 2 4
a
① 0 即 a 0时， f x 在 0,1 递增， f x = f 0 = a2 - 4 > g x = a2 -8
4 min min
恒成立；
a
0 a< <1 f x é0, a ù② 即 0 < a < 4 时， 在 ê 4 ÷ 递减，在4 ,14 递增，è ú
f x = f a 7 2 2 7 2 2min 4 ÷ = a - 4 g x = a -8è 8 ， min ，所以
a - 4 > a -8，故 0 < a < 4 ；
8
a
③ 1即 a 4时， f x 在 0,1 递减， f x = fmin 1 = a
2 - a - 2， g x = a2 -8
4 min
，
所以 a2 - a - 2 > a2 -8，解得 4 a < 6 ，综上： a - ,6 .
【变式 7-3】若存在实数 a,b，对任意实数 x 0,1 ，不等式 x3 - m ax + b x2 恒成立，则实数 m 的取
值范围是 .
é1
【答案】 ê ,+ ÷ 4
【解析】如图所示，若存在实数 a,b，对任意实数 x 0,1 ，不等式 x3 - m ax + b x2 恒成立，
则直线 y = ax + b 在0 x 1时位于 y = x3 - m上方（可重合），且位于 y = x2 下方（可重合），
又因为 y = x3 - m在0 x 1时为凹函数，所以当直线经过 0, -m , 1,1- m 时符合题意，
ìb = -m ìa =1
由 í ，得 í ，此时直线为 y = x - m ，则 x - m x2 ，即-m x2 - x对0 x 1a b 1 m b m 恒成立， + = - = -
2
1 1 1 1 é1
则-m x2 - x = - = - ，则m ，即实数 m 的取值范围是 , + .
min è 2 ÷ 2 4 4 ê
÷
4
é1
故答案为： ê ,+ 4 ÷
【变式 7-4】已知函数 f (x) = x2 + ax + b，若对任意 x 1,5 , f x 2，则所有满足条件的有序数对
a,b 是 ．
【答案】 (-6,7)
【解析】因为 f (x) = x2 + ax + b对任意 x [1,5], | f (x) | 2，
ì-2 f (1) 2

所以必须满足 í-2 f (3) 2，

-2 f (5) 2
ì -2 1+ a + b 2

即 í -2 9 + 3a + b 2 ，

-2 25 + 5a + b 2
ì-2 -1- a - b 2
由 í 2 9 3a b 2，得
-4 8 + 2a 4，
- + +
解得-6 a 2，①，
ì-2 -9 - 3a - b 2
再由 í ，得-4 16 + 2a 4
-2 25 5a b 2
，
+ +
解得-10 a -6，②，
由①②得 a = -6 ，
ì -2 1- 6 + b 2 ì 3 b 7

所以 í -2 9 -18 + b 2 ，即 í7 b 11，解得b = 7 ，

-2 25 - 30 + b 2 3 b 7
2
经检验，当 a = -6 ，b = 7 时， f x = x2 - 6x + 7 = x - 3 - 2，则
f (x) 的最大值为 f (1) = f (5) = 2 ， f (x) 的最小值为 f (3) = -2，
满足任意 x [1,5], | f (x) | 2，
所以满足条件的有序数对 (a , b ) 只有一对 (-6,7)，
故答案为： (-6,7) .
题型八：解含参型绝对值不等式
【典例 8-1 2】已知关于 x 的不等式 x - 2 + x + 2 a - 3a有实数解，则实数 a的取值范围是 .
【答案】 - ,-1 4,+
2
【解析】因为关于 x 的不等式 x - 2 + x + 2 a - 3a有实数解，
a2所以 - 3a x - 2 + x + 2 min ，
当 x<- 2时， x - 2 + x + 2 = - x - 2 - x + 2 = -2x > 4，
当-2 x 2时， x - 2 + x + 2 = - x - 2 + x + 2 = 4，
当 x > 2时， x - 2 + x + 2 = x - 2 + x + 2 = 2x > 4 ，
a2所以 - 3a x - 2 + x + 2 = 4min ，即 a2 - 3a - 4 0 ，
解得 a -1或 a 4，
所以实数 a的取值范围是 - ,-1 4,+ .
故答案为： - ,-1 4,+
【典例 8-2】若存在实数 x 使得不等式 | x +1| + | x - a | 2成立，则实数 a的取值范围是 ．
【答案】 -3,1
【解析】因为 x +1 + x - a x +1 - x - a = a +1 ，当且仅当 x +1 x - a 0时，等号成立，
由题意可得 a +1 2，解得-3 a 1，
所以实数 a的取值范围是 -3,1 .
故答案为： -3,1 .
【方法技巧】
含参型绝对值不等式 ，可用零点分段法和图象法求解.
【变式 8-1】若关于 x 的不等式 x +1 < 6 - x - m 的解集为 ，则实数 m 的取值范围是
【答案】 - , -7 5, +
【解析】不等式 x +1 < 6 - x - m 的解集为 ，即不等式 x +1 + x - m < 6的解集为 ，
所以 x +1 + x - m 6恒成立；
而 x +1 + x - m 表示数轴上的 x 对应点到-1, m对应点的距离之和，它的最小值为 m +1 ，
故有 m +1 6，所以m +1 6 或m +1 -6，即m 5或m -7，
故答案为： - , -7 5, + .
【变式 8-2】（2024·上海长宁·二模）若对任意 x [1,2] 2，均有 x - a + | x + a |= x2 + x ，则实数 a 的取值
范围为 ．
【答案】 -1,1
【解析】因为在绝对值三角不等式 | a + b | | a | + | b |中，当 a,b同号时有 | a + b |=| a | + | b |，
2
又因为 x + x = (x2 - a) + (x + a) = x2 - a + | x + a |，
所以 (x2 - a)(x + a) 0在 x [1,2]恒成立，
ìx2 - a 0 ìx2 - a 0
所以 í 或 í 在 x [1,2]恒成立，
x + a 0 x + a 0
ìa x2 ìa x2
即有 í 或a x í
在 x [1,2]恒成立，
- a -x
ìa x2 ìa 1
由 í ，解得a x í
，
- a -1
ìa x2
由 í ，解得 a ，
a -x
综上所述实数 a 的取值范围为 -1,1 .
故答案为： -1,1
题型九：解不等式组型求参数问题
ìx2 - ax + 4 0
【典例 9-1】设集合 A = {x |1 x 3}

，集合 B 为关于 x 的不等式组 í 2 2 的解集，
x - 2b + 3 x + b + 3b 0
若 A B ，则 a + b 的最小值为（ ）
16 13
A．6 B． C．5 D．
3 3
【答案】C
ìx2 - ax + 4 0
【解析】因为不等式组 í 2 B A = {x |1 x 3} A B x - 2b + 3 x + b2 + 3b 0
的解集 ， ， ，
所以不等式 x2 - ax + 4 0在 1,3 上恒成立，
2
且不等式 x - 2b + 3 x + b2 + 3b 0的解集包含集合A ，
2
又不等式 x - 2b + 3 x + b2 + 3b 0可化为 x - b x - b - 3 0，
x2所以不等式 - 2b + 3 x + b2 + 3b 0的解集为 b,b + 3 ，
所以 1,3 b,b + 3 ，所以b + 3 3，且b 1，所以0 b 1 .
4
不等式 x + a 在 1,3 4 上恒成立，故 x + ÷ ax ，其中 x 1,3 ，x è max
f x x 4设 = + ， x 1,3 ，
x
则 f x = x 4+ 在 1,2 上单调递减，在 2,3 上单调递增，
x
f 1 = 5 f 3 3 4 13又 ， = + = ，
3 3
所以当 x =1时，函数 f x = x 4+ ， x 1,3 取最大值，最大值为5，
x
所以a 5，
所以当 a = 5,b = 0时， a + b 取最小值，最小值为5 .
故选：C.
ìx2 - 4x + 3 < 0
【典例 9-2】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知不等式组 í 的解集是关于 x2 的不等式
x - 6x + 8 < 0
x2 - 3x + a < 0的解集的子集，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2
【答案】A
ìx2 - 4x + 3 < 0
【解析】 í 2 ，解得： x 2,3 ，因为 x 2,3 是不等式 x2 - 3x + a < 0的解集的子集，故
x - 6x + 8 < 0
ì f 2 0
f x = x2 - 3x + a 要满足： í f 3 0 ，解得： a 0，

Δ > 0
故选：A
【方法技巧】
求不等式(组)参数的问题，往往要利用不等式的性质、不等式(组)的解集，建立对应关系后求解.
ìx2 - 2x - 3 0
【变式 9-1】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）若不等式组 íx2
的解集是空集，则实数
+ 4x - (1+ a) 0
a的取值范围是 .
【答案】 - , -4
【解析】由 x2 - 2x - 3 0得-1 x 3，即不等式 x2 - 2x - 3 0的解集为 -1,3 ；
ìx2 - 2x - 3 0
又不等式组 í 2 的解集是空集，
x + 4x - (1+ a) 0
2
所以不等式 x + 4x - a +1 0的解集为集合{x∣x < -1或 x > 3}的子集，
当D = 42 + 4 a +1 < 0，即 a < -5 2时，不等式 x + 4x - a +1 0的解集为 ，符合题意；
当Δ = 0，即 a = -5时，不等式 x2 + 4x - a +1 0的解集为 x x = -2 ，也符合题意；
当D > 0，即 a > -5 2，设函数 f x = x + 4x - a +1 ，则该函数的图象开口向上，且对称轴方程为
x = -2，且-2 < -1 < 3，
2
为使不等式 x + 4x - a +1 0的解集为集合{x∣x < -1或 x > 3}的子集，
所以必有 f -1 = -4 - a > 0 ，即-5 a < -4 ；
综上实数 a的取值范围是 a < -4 .
故答案为： a < -4 .
ìx2 - 2x - 3 0
【变式 9-2】若不等式组 íx2 4x 1 a 0的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是（ ） + - +
A． (- , -4] B．[-4,+ ) C．[-4,20] D．[-40,20)
【答案】B
【解析】由题意，不等式 x2 - 2x - 3 0，解得-1 x 3，所以不等式的解集为 -1,3 ，
ì x2 - 2x - 3 0
假设不等式组 íx2 4x a 1 的解集为空集， + - + 0
2
则不等式 x + 4x - a +1 0的解集为集合 x | x < -1或 x > 3 的子集，
2
因为函数 f x = x + 4x - a +1 的图象的对称轴方程为 x = -2，
则必有 f -1 = -4 - a > 0 ，解得 a < -4，
ì x2 - 2x - 3 0
所以使得不等式组 í 2 的解集不为空集时，则满足 a -4， x + 4x - 1+ a 0
即实数 a的取值范围是[-4,+ ) .
故选：B.
题型十：不等式组整数解求参数问题
ì-x2 + 4x + 5 < 0
【典例 10-1】已知关于 x 的不等式组 í 2 的解集中存在整数解且只有一个整数解，
2x + 5x < - 2x + 5 k
则 k 的取值范围为 .
【答案】 -6,2 3,4
2
【解析】由 x - 4x - 5 = x - 5 x +1 > 0，得 x < -1或 x > 5，
2
所以 2x + 2k + 5 x + 5k = 2x + 5 x + k < 0的解集与{x∣x < -1或 x > 5}的交集中存在整数解，且只有
一个整数解.
k 5< 2x2当 时， + 2k + 5 x + 5k < 0 ì的解集为 íx | 5- < x < -k ü ，此时-2 < -k 6，即-6 k < 22 ，满足2
要求；
当 k
5
= 2时， 2x + 2k + 5 x + 5k < 0的解集为 ，此时不满足题设；
2
k 5当 > 时， 2x2
ì
+ 2k + 5 x + 5k < 0的解集为 íx -k x 5
ü
< < - ，此时-4 -k < -3，即3 < k 4 ，满足2 2
要求.
综上， k 的取值范围为 -6,2 3,4 .
故答案为： -6,2 3,4
【典例 10-2 2】关于 x 的不等式 ax -1 < x2 恰有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A
3
． - , -1
3 3 4 4 3
÷

1, ÷ B
- , - ù é ,
è 2
．
è 2 è 2 3 ú ÷ ê 3 2
C
3
． - , 1
ù é 3 3 4- 4ú ê1, ÷ D． - , - ÷ ,
3
è 2 ÷ 2 è 2 3 è 3 2
【答案】B
2
【解析】由 ax -1 < x2 恰有 2 个整数解，即 é a +1 x -1 ù é a -1 x -1ù < 0恰有 2 个整数解，
所以 a +1 a -1 > 0，解得 a > 1或 a < -1，
a 1
1 , 1 1 1 ①当 > 时，不等式解集为 a +1 a -1÷，因为 a +1
0, ÷ ，故 22 个整数解为 1 和 2，è è
2 1 3 4 3则 < ，即 2a - 2 <1 3a - 3，解得 a < ；
a -1 3 2
1 , 1 1 1 ②当 a < -1时，不等式解集为 ÷，因为 - ,0
è a +1 a -1 a
-1
-1 ÷，故 2 个整数解为 ，-2，è 2
3 1则- < -2，即-2 a +1 <1 -3 a +1 3 4，解得- < a - ，
a +1 2 3
综上所述，实数 a
3 a 4 4 3的取值范围为- < - 或 a < .
2 3 3 2
故选：B.
【方法技巧】
不等式组整数解求参数问题通常使用分类讨论与数形结合处理.
ìx2 - 2x -8 > 0
【变式 10-1】已知关于 x 的不等式组 í 2 仅有一个整数解，则 k 的取值范围为（ ）
2x + (2k + 7)x + 7k < 0
A． x - 5 < x < 3或 4 < x < 5 B． x - 5 x < 3或 4 < x 5
C． x - 5 < x 3或 4 x < 5 D． x - 5 x 3或 4 x 5
【答案】B
【解析】 x2 - 2x -8 > 0，解得 x>4或 x<- 2，
2x2 + (2k + 7)x + 7k < 0 变形为 2x + 7 x + k < 0，
k 7 k 7当- = - ，即 = 时，不等式解集为空集，不合要求，舍去，
2 2
k 7 k 7 7当- < - ，即 > 时，解集为-k < x < - ，
2 2 2
要想不等式组仅有一个整数解，则-5 -k < -4 ，解得 4 < k 5，
k 74 < k 5与 > 求交集得 4 < k 5；
2
7 7 7
当- < -k ，即 k < 时，解决为- < x < -k ，
2 2 2
要想不等式组仅有一个整数解，则-3 < -k 5，解得-5 k < 3，
7
-5 k < 3与 k < 求交集得-5 k < 3，
2
综上， k 的取值范围是 x - 5 x < 3或 4 < x 5 .
故选：B
ì-24 < x <100,
【变式 10-2】若关于 x 的不等式组 í x2 2ax 3a2 0 的整数解共有
36 个，则正数 a的取值范围
- -
是 .
65
【答案】 , 22
ù
è 3 ú
【解析】由 x2 - 2ax - 3a2 0，得 x + a x - 3a 0，因为 a为正数，所 x -a 或 x 3a .
当 a = 23时， x x -a x -24 < x <100 = -23 ，
x x 3a x -24 < x <100 = 69,70,L,99 ，
此时不等式组的整数解的个数为 32；
当 a = 22时， x x -a x -24 < x <100 = -22, -23 ，
x x 3a x -24 < x <100 = 66,67,L,99 ，
此时不等式组的整数解的个数为 36；
当 a = 21时， x x -a x -24 < x <100 = -21, -22, -23 ，
x x 3a x -24 < x <100 = 63,64,L,99 ，
此时不等式组的整数解的个数为 40.
a越大，则-a越小，3a 越大，
ì -24 < x <100
从而不等式组 íx2 的整数解的个数不会增加； - 2ax - 3a
2 0
a越小，则-a越大，3a 越小，
ì -24 < x <100
从而不等式组 íx2
.
- 2ax - 3a
2 0 的整数解的个数不会减少
ì-22 -a < -21 65
要使得不等式组的整数解的个数为 36，则需满足 í < a 22 .
65 < 3a 66
，解得
3
65
故答案为： , 22
ù
è 3 ú
．

2
【变式 10-3】设集合 A = x | x + 2x - 3 > 0 ，集合B = x | x2 - 2ax -1 0,a > 0 若 A B 中恰有一个整
数，则实数 a 的取值范围（ ）
A ． 0,
3 é 3
÷ B． ê ,
4 é 3
C
4 ÷ ．è 4 3 ê
, + ÷ D． (1, + )
4
【答案】B
【解析】由已知可得集合 A = x | x < -3或 x >1 ,
由 x2 - 2ax -1 0解得， a - a2 +1 x a + a2 +1，
所以B = x | a - a2 +1 x a + a2 +1 ，
因为 a > 0，所以 a +1 > a2 +1 ，则 a - a2 +1 > -1，且小于 0，
由 A B 中恰有一个整数，所以 2 a + a2 +1 < 3，
ìa + a2 +1 2 ì a2 +1 2 - a 3 4
即 í ，也即 í ，解得 a < ，
a + a
2 +1 < 3 a
2 +1 < 3- a 4 3
故选：B．
1．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数 f (x) = x2 + mx -1，若对于任意
的 x m, m +1 都有 f (x) < 0，则实数m 的取值范围为 .
2
【答案】 - ,0
è 2
÷÷

【解析】因为函数 f (x) = x2 + mx -1的图象开口向上的抛物线，
所以要使对于任意的 x m, m +1 都有 f (x) < 0成立，
ì f (m) = m2 + m
2 -1< 0 2
í ，解得- < m < 0 ，
f (m +1) = m +1
2 + m(m +1) -1< 0 2

所以实数m
2
的取值范围为 - ,02 ÷÷
．
è
2．（2007 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京））已知集合 A = x | x - a 1 ，
B = x | x2 - 5x + 4 0 ．若 A B = ，则实数 a的取值范围是 ．
【答案】(2，3)
【解析】集合 A = x | x - a 1 ={x| a－1≤x≤a+1} 2，B = x | x - 5x + 4 0 ={x| x≥4 或 x≤1 }．又
a +1< 4
A B = ，∴{a 1 1 ，解得 2a的取值范围是(2，3)．
- >
3．（2019 年天津市高考数学试卷（文科）） 设 x R ，使不等式3x2 + x - 2 < 0成立的 x 的取值范围
为 .
2
【答案】 (-1, )
3
【解析】3x2 + x - 2 < 0，
即 (x +1)(3x - 2) < 0 ，
即-1
2
< x < ，
3
x ( 1, 2故 的取值范围是 - ) ．
3
1 2．当 k 取什么值时，一元二次不等式2kx + kx
3
- < 0对一切实数 x 都成立.
8
2 3
【解析】当 k < 0时，要使一元二次不等式2kx + kx - < 0对一切实数 x 都成立，
8
则二次函数 y = 2kx2 + kx
3
- 的图象在 x 轴下方，
8
3
即D = k 2 - 4 2k

-

÷ < 0，得-3 < k < 0 .
è 8
当 k > 0 y = 2kx2时，二次函数 + kx
3 3
- 2的图象开口向上，一元二次不等式2kx + kx - < 0不可能对一切
8 8
实数 x 都成立.
综上可知，-3 < k < 0 .
2． x 是什么实数时，下列各式有意义？
（1） x2 - 4x + 9 ；
（2） -2x2 +12x -18 .
【解析】（1）要使 x2 - 4x + 9 有意义，需 x2 - 4x + 9 0 .
x2 - 4x + 9 = x - 2 2 + 5 5 > 0恒成立，所以不等式 x2 - 4x + 9 = 0的解集为 R ，
因此， x R 时， x2 - 4x + 9 有意义；
（2）要使 -2x2
2
+12x -18 有意义，需-2x2 +12x -18 0，即 x - 3 0 ，\ x = 3 .
因此 x = 3时， -2x2 +12x -18 有意义.
3．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45°方向 600km 处的热带风暴中心正以 20km/h 的速
度向正北方向移动，距风暴中心 450km 以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间
后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到 0.1h）？
【解析】如图所示：
设风暴中心最初在 A 处，经 th 后到达 B 处，向 x 轴作垂线，垂足为 C，
若在点 B 处受到风暴的影响，
则 OB=450，OC = 600cos 45o = 300 2, AC = 600sin 45o = 300 2, AB = 20t ，
因为OC 2 + AC 2 = OA2 ，
所以 2 2300 2 + 300 2 - 20t = 6002 ，
即 4t2 -120 2t +1575 = 0 ，
15 2 2 -1 15 2 2 +1
解得 t = 13.7， t = ，
2 2
15 2 2 +1 15 2 2 -1
又 - = 15，
2 2
所以从码头现在起大约13.7 小时后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约 15 个小时.
4．一名同学以初速度 v0 =12m / s竖直上抛一排球，排球能够在抛出点 2m 以上的位置最多停留多长时
间（精确到0.01s ）？
【解析】设该同学抛出此排球 t 秒后球的高度为 h，则 h =12t
1
- 10 t 2 =12t - 5t 2 .
2
排球在抛出点 2m 以上时满足不等式12t - 5t 2 > 2，即5t 2 -12t + 2 < 0 .
设方程5t 2 -12t + 2 = 0的两根为 t1 、 t2 t < t t t
12 2
1 2 ，则 1 + 2 = ， t5 1
t2 = ，5
所以排球在抛出点 2m 以上的位置的运动时间为
12 2t t 2 2 2 261 - 2 = t1 + t2 - 4t1t2 = ÷ - 4 = 2.04 s .
è 5 5 5
答：排球能在抛出点 2m 以上的位置最多停留 2.04s .
易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当
易错分析： 含参数不等式的解法是不等式问题的难点．解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，
讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合．
【易错题 1】当 a <1时，解关于 x 的不等式 (ax -1)(x -1) < 0 .
【解析】当 a = 0时，代入不等式可得-x +1< 0，解得 x >1；
a 1 1 当 0 < a < 1时，化简不等式可得 x - ÷ (x -1) < 0即 x - ÷ (x -1) < 0，
è a è a
1
由 >1
1
得不等式的解为1< x < ，
a a
当 a<0时，化简不等式可得 a x
1
- ÷ (x
1
-1) < 0
a 即
x -
a ÷
(x -1) > 0 ，
è è
1 1 1由 < 得不等式的解为 x >1或 x < ，
a a
综上可知，当 a = 0时，不等式 (ax -1)(x -1) < 0的解集为{x | x >1}；
当 0 < a < 1时，不等式 (ax -1)(x
ì
-1) < 0的解集为 íx 1
1 ü
< x < ；
a


ì 1
当 a<0时，不等式 (ax -1)(x -1) < 0的解集为 íx x < 或 x >1 .
a
【易错题 2】解关于实数 x 的不等式： x2 - (a +1)x + a < 0 ．
【解析】易知方程 x2 - (a +1)x + a = 0的Δ = a -1 2 0，
由 x2 - (a +1)x + a = 0得 (x - a)(x -1) = 0，解得 x1 = a, x2 =1，
当 a > 1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 x 1 < x < a ，
当 a =1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 ，
当a < 1时， x2 - (a +1)x + a < 0 的解集为 x a < x <1 ．
答题模板：一元二次不等式恒成立问题
1、模板解决思路
结合对应二次函数的图象，数形结合罗列关于参数的不等式．对于在定区间上恒成立的问题，可以分
离参数转化为函数的最值问题，不要漏掉考虑函数图象的对称轴和区间端点的关系．
2、模板解决步骤
第一步：将不等式恒成立问题转化为对应函数图象的问题．
第二步：列出不等式（组），一定要注意二次项系数如果含参数时就需要进行分类讨论．
第三步：解不等式求解参数的范围．
2
【典例 1】已知函数 f x = x - 2ax - a -1， a R .
(1)当 a =1时，解不等式 f x 6 ；
(2)若$x0 0,2 ，使得 f x0 > 0，求实数 a的取值范围.
【解析】（1）当 a =1时， f x = x2 - 2x - 2，由 f x 6 可得 x2 - 2x -8 0，解得 x -2或 x 4，
故当 a =1时，不等式 f x 6 的解集为 x x -2 或 x 4 .
2
（2）因为$x0 0,2 ，使得 f x0 = x0 - a 2x0 +1 -1 > 0，
2
1 2x 1 5 a x0 -1因为 0 + ，则 < ，2x0 +1
t -1
2
-1
令 t = 2x0 +1 1,5
t -1
，则 x0 = ，则 x
2 -1 2 ÷ 1 3
2 0 = è = t - - 2
，
2x0 +1 t 4
÷
è t
因为函数 y = t - 2、 y
3
= - 在 1,5 上均为增函数，
t
y 1 t 3= - - 2 1,5 y 1= 5 3 2 3所以，函数
4 ÷
在 上为增函数，则 max - - = ，
è t 4 è 5 ÷ 5
a 3故 < .
5
【典例 2】（1）若"x R ，ax2 - ax +1> 0，求实数 a 的取值范围；
（2）若$a -2, -1 ，ax2 - ax +1> 0，求实数 x 的取值范围．
【解析】（1）因为"x R ，ax2 - ax +1> 0，
①当 a = 0时，不等式1 > 0对"x R 成立，符合题意.
②当 a 0时，若不等式ax2 - ax +1> 0对"x R 恒成立，
ìa > 0
则 í 0 < a < 4
Δ = a
2 ，解得 ，- 4a < 0
综上，实数 a 的取值范围[0, 4) .
（2）$a -2, -1 ，ax2 - ax +1> 0，
即$a -2, -1 2 1， x - x < - ，
a
x2 x 1- < 1所以 - ÷ ，而 y = -a 在
x -2, -1 上单调递增，
è max x
x2 x 1 1- 5 x 1+ 5所以 - < ，解得 < < ，
2 2
1- 5 1+ 5
故实数 x 的取值范围 , .
è 2 2 ÷
÷
第 05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：一元二次不等式 ........................................................................................................................................4
知识点 2：分式不等式 ................................................................................................................................................4
知识点 3：绝对值不等式 ............................................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................5
题型一：不含参数一元二次不等式的解法 ...............................................................................................................6
题型二：含参数一元二次不等式的解法 ...................................................................................................................7
题型三：三个二次之间的关系 ...................................................................................................................................8
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法 ...........................................................................................................9
题型五：绝对值不等式的解法 ...................................................................................................................................9
题型六：二次函数根的分布问题 .............................................................................................................................10
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题 .........................................................................................................11
题型八：解含参型绝对值不等式 .............................................................................................................................12
题型九：解不等式组型求参数问题 .........................................................................................................................12
题型十：不等式组整数解求参数问题 .....................................................................................................................13
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................14
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................14
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................15
易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当 .........................................................................................................15
答题模板：一元二次不等式恒成立问题 .................................................................................................................16
考点要求 考题统计 考情分析
（1）会从实际情景中抽象出一
元二次不等式．
从近几年高考命题来看，三个 “二次”
（2）结合二次函数图象，会判
的关系是必考内容，单独考查的频率很低，
断一元二次方程的根的个数，以 2020年 I卷第 1题，5分
偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点
及解一元二次不等式．
的题目中．
（3）了解简单的分式、绝对值
不等式的解法．
复习目标：
1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题.
3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式.
知识点 1：一元二次不等式
2
一元二次不等式 ax + bx + c > 0(a 0)，其中D = b2 - 4ac 2， x1, x2 是方程 ax + bx + c > 0(a 0)的
两个根，且 x1 < x2
（1）当 a > 0时，二次函数图象开口向上．
（2）①若D > 0，解集为 x | x > x2或x < x1 ．
②若D = 0 ì，解集为 íx | x
b
R x - ü且
2a
．

③若D < 0，解集为 R ．
（2） 当 a < 0 时，二次函数图象开口向下．
①若D > 0，解集为 x | x1 < x < x2
②若D 0，解集为
【诊断自测】不等式 ax2 + bx - 3 < 0的解集是 - ,1 3, + ，则b - a的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-5 D．5
知识点 2：分式不等式
f (x)
（1） > 0 f (x)gg(x) > 0
g(x)
f (x)
（2） < 0 f (x)gg(x) < 0
g(x)
f (x) ì f (x)gg(x) 0
（3） 0
g(x) í g(x) 0
f (x) ì f (x)gg(x) 0
（4） 0
g(x) í g(x) 0
x + 3 x - 2
【诊断自测】不等式 ≥0的解集为（ ）
x -1
A． -3,1 2,+ B． - , -3 U 1,2 C． -3,1 U 1,2
D． - , -3 2,+
知识点 3：绝对值不等式
（1） f (x) > g(x) [ f (x)]2 > [g(x)]2
（2） f (x) > g(x)(g(x) > 0) f (x) > g(x)或f (x) < -g(x) ；
f (x) < g(x)(g(x) > 0) -g(x) < f (x) < g(x) ；
（3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.
1
【诊断自测】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式 | x |> 的解集是 ．
x
解题方法总结
1、已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (m，n)，解关于 x 的不等式 cx2 + bx + a 0．
ax2 bx 1 1由 + + c > 0 的解集为 (m，n)，得： a( )2 + b + c 0的解集为 ( 1 1- ， ]U [ ，+ ) 即关于 x 的
x x n m
cx2 1 1不等式 + bx + a 0的解集为 (- ， ]U [ ，+ ) ．
n m
2、已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (m，n)（其中mn > 0），解关于 x 的不等式
cx2 + bx + a > 0 ．
由 ax2 + bx + c > 0 1的解集为 (m，n)，得： a( )2 b 1+ + c > 0 的解集为 (1 1， ) ，即关于 x 的不等式
x x n m
cx2 + bx + a > 0 1 1的解集为 ( ， ) ．
n m
3、已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (m，n)，解关于 x 的不等式 cx2 - bx + a 0．
ax2 bx c 0 (m n) a(1 )2 b 1 c 0 ( 1 1由 + + > 的解集为 ， ，得： - + 的解集为 - ，- ]U [- ，+ ) 即关于 x
x x m n
的不等式 cx2 - bx + a 0 1 1的解集为 (- ，- ]U [- ，+ ) ，以此类推．
m n
4、已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (m，n)（其中 n > m > 0），解关于 x 的不等式
cx2 - bx + a > 0．
由 ax2 + bx + c 0 1 1 1 1> 的解集为 (m，n)，得： a( )2 - b + c > 0的解集为 (- ，- ) 即关于 x 的不等式
x x m n
cx2 - bx 1 1+ a > 0的解集为 (- ，- ) ．
m n
ìa > 0
5、已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 R ，则一定满足 í ；
D < 0
ìa < 0
6、已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 ，则一定满足 í ；
D 0
ìa < 0
7、已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c < 0的解集为 R ，则一定满足 í ；
D < 0
ìa > 0
8、已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + bx + c < 0的解集为 ，则一定满足 í ．
D 0
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【典例 1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式 x 2 - x - 6 < 0 的解集为 ．
【典例 1-2】不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是 (1, 2) ，则不等式 cx 2 + bx + a > 0 的解集是（用集合表
示） ．
【方法技巧】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在 轴上，结合图象，写出其解集.
【变式 1-1】不等式 x2 - 3x -18 > 0的解集是 ．
【变式 1-2】一元二次不等式-x2 + 2x + 3 < 0 的解集为 .
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【典例 2-1】设函数 f (x) = ax2 + (1- a)x + a - 2(a R)
(1)若不等式 f (x) -2对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围；
(2)解关于 x 的不等式： f (x) < a -1．
【典例 2-2】已知关于 x 的一元二次不等式 ax2 + x + b > 0 的解集为 - , -2 U 1, + ．
(1)求 a和b 的值；
(2)求不等式 ax2 - 2a + b + 2 x +1- c2 < 0 的解集．
【方法技巧】
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论．
(2)根据判别式Δ与 0 的关系判断根的个数，数形结合处理．
(3)有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论．
2
【变式 2-1】已知函数 f x = x - 2ax + 3．
(1)若关于 x 的不等式 f x 0的解集为 R，求实数 a 的取值范围；
(2)解关于 x 的不等式 f x < 0 ．
【变式 2-2】解关于实数 x 的不等式： x2 - ax +1 < 0．
【变式 2-3】设函数 f (x) = x2 +1 - ax ，其中 a > 0．解不等式 f (x) 1；
题型三：三个二次之间的关系
【典例 3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知关于 x 的不等式 x2 - ax + b 0的解集为 x 2 x 3 ，
则关于 x 的不等式 x2 - bx + a < 0的解集为（ ）
A． x 2 < x < 3 B． x 1< x < 3
C． x 2 < x < 5 D． x 1< x < 5
【典例 3-2】已知 ax2 + bx + c > 0的解集为{x | -1< x < 2}，则不等式a x2 +1 + b(x -1) + c < 2ax的解集
为（ ）
A．{x | 0 < x < 3} B．{x | x > 0}
C．{x | x < 0 或 x > 3} D．{x | x > 3}
【方法技巧】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
1 1
【变式 3-1】若不等式 ax2 + 2x + c < 0的解集是 (- , - ) ( , + )，则不等式 cx2 - 2x + a 0的解集是3 2
（　 ）
é 1 , 1 1 1A． ê-
ù
B é． - , ù
2 3 ú ê 3 2 ú
C． -2,3 D． -3,2
【变式 3-2】（多选题）不等式 x2 + ax + b 0(a,b R) 的解集为{x | x1 x x2}，且 x1 + x2 2 .以下结论
错误的是（ ）
A． a + 2b 2 B． a + 2b 2 C． | a | 1 D．b 1
【变式 3-3】（多选题）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c > 0的解集是{x∣1 < x < 3}，则（ ）
A． a < 0
B． a + b + c = 0
C． 4a + 2b + c < 0
D．不等式 cx2 - bx + a < 0的解集是{x∣x
1
< -1或 x > - }
3
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
x - 3
【典例 4-1】（2024·高三·上海杨浦·期中）关于 x 的不等式 0的解集是 .
x
x2 - 2x - 3
【典例 4-2】已知关于 x 的不等式 2 < 0的解集是 (- , -1) (3,+ )，则实数m 的mx + 2(m +1)x + 9m + 4
取值范围是 ．
【方法技巧】
分式不等式化为二次或高次不等式处理．
3x + 5
【变式 4-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）不等式 x的解集是 ．
x -1
【变式 4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函数 y = ax2 + bx + c的图像如图所示，则不等式
ax + b bx + c cx + a < 0的解集是 .
【变式 4-3】不等式 x + x3 0的解集是 ．
题型五：绝对值不等式的解法
【典例 5-1】（2024·高三·上海长宁·期中）不等式 x -1 x + 2 < 0的解集为 .
【典例 5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式 | x - 2 |>1的解集为 ．
【方法技巧】
（1） f (x) > g(x) [ f (x)]2 > [g(x)]2
（2） f (x) > g(x)(g(x) > 0) f (x) > g(x)或f (x) < -g(x) ；
f (x) < g(x)(g(x) > 0) -g(x) < f (x) < g(x) ；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【变式 5-1】（2024·上海虹口·模拟预测）不等式 x + 2023 - x < 2023的解集为 .
【变式 5-2 x2】不等式 - 2x > 4的解集是 ．
题型六：二次函数根的分布问题
lnx 1
【典例 6-1】已知函数 f x = ，关于 x 的方程 f x - = mf x 有三个不等的实根，则实数m 的取x
值范围是 .
【典例 6-2】若关于 x 2的一元二次方程 x + 3a -1 x + a + 8 = 0有两个不相等的实根 x1, x2 ，且
x1 <1, x2 >1．则实数 a 的取值范围为 ．
【方法技巧】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处函
数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
【变式 6-1】已知一元二次方程 x2 - mx +1 = 0的两根都在 (0,2)内，则实数m 的取值范围是（ ）
2, 5 é 5 5 5A é ． 2 ÷
B． ê2, ÷ C． - ,-2 è 2 ê
2, ÷ D． - ,-2 2, ÷
2 è 2
【变式 6-2】已知函数 f xx = 2x ，若关于 x 的方程 f x - mf x - m +1 = 0恰有 4 个不相等的实数根，e
则实数m 的取值范围是（ ）
1 1 2 2
A． 1,1+ ÷ B． 1- ,1

÷ C． 1,
e +1 e +1
D． ,1

è e è e è e
2 -1÷ e2 + e ÷ è
【变式 6-3】已知关于 x 的方程 x2 + x + m = 0在区间 1,2 内有实根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．[-6,-2] B． (-6,-2) C． (- , -6] [-2,+ ) D． (- ,-6) U (-2,+ )
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题
【典例 7-1】已知关于 x 的不等式 2x -1 > m(x2 -1) .
(1)是否存在实数m ，使不等式对任意 x R 恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于m -2,2 恒成立，求实数 x 的取值范围；
(3)若不等式对 x [2,+ )有解，求m 的取值范围.
【典例 7-2】（2024·陕西西安·模拟预测）当1 x 2时，不等式 x2 - ax +1 0恒成立，则实数 a的取
值范围是 ．
【方法技巧】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量与参数．
（2）一元二次不等式在 R 上恒（能）成立，可用判别式D，一元二次不等式在给定的某个区间上恒
（能）成立，不能用判别式D，一般分离参数求最值或分类讨论处理．
3
【变式 7-1】当 x -1,1 时，不等式2kx2 - kx - < 0恒成立，则 k 的取值范围是（ ）
8
3,0 3,0 3, 1 1A - B - C - ù． ． ． 8 ÷ D． -3,è è 8 ú
【变式 7-2】已知函数 f x = 2x2 - ax + a2 - 4 g x = x2， - x + a2 31- ， a R
4
(1)当 a =1时，解不等式 f x > g x ；
(2)若任意 x > 0，都有 f x > g x 成立，求实数 a的取值范围；
(3)若"x1 0,1 ，$x2 0,1 ，使得不等式 f x1 > g x2 成立，求实数 a的取值范围.
【变式 7-3】若存在实数 a,b，对任意实数 x 0,1 ，不等式 x3 - m ax + b x2 恒成立，则实数 m 的取
值范围是 .
【变式 7-4】已知函数 f (x) = x2 + ax + b，若对任意 x 1,5 , f x 2，则所有满足条件的有序数对
a,b 是 ．
题型八：解含参型绝对值不等式
2
【典例 8-1】已知关于 x 的不等式 x - 2 + x + 2 a - 3a有实数解，则实数 a的取值范围是 .
【典例 8-2】若存在实数 x 使得不等式 | x +1| + | x - a | 2成立，则实数 a的取值范围是 ．
【方法技巧】
含参型绝对值不等式 ，可用零点分段法和图象法求解.
【变式 8-1】若关于 x 的不等式 x +1 < 6 - x - m 的解集为 ，则实数 m 的取值范围是
【变式 8-2】（2024 2·上海长宁·二模）若对任意 x [1,2]，均有 x - a + | x + a |= x2 + x ，则实数 a 的取
值范围为 ．
题型九：解不等式组型求参数问题
ìx2 - ax + 4 0
【典例 9-1】设集合 A = {x |1 x 3}

，集合 B 为关于 x 的不等式组 í 2 2 的解集，
x - 2b + 3 x + b + 3b 0
若 A B ，则 a + b 的最小值为（ ）
16 13
A．6 B． C．5 D．
3 3
ìx2 - 4x + 3 < 0
【典例 9-2】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知不等式组 í 的解集是关于 x2 的不等式
x - 6x + 8 < 0
x2 - 3x + a < 0的解集的子集，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2
【方法技巧】
求不等式(组)参数的问题，往往要利用不等式的性质、不等式(组)的解集，建立对应关系后求解.
ìx2 - 2x - 3 0
【变式 9-1】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）若不等式组 í 2 的解集是空集，则
x + 4x - (1+ a) 0
实数 a的取值范围是 .
ìx2 - 2x - 3 0
【变式 9-2】若不等式组 íx2 4x 1 a 0的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是（ ） + - +
A． (- , -4] B．[-4,+ ) C．[-4,20] D．[-40,20)
题型十：不等式组整数解求参数问题
ì-x2 + 4x + 5 < 0
【典例 10-1】已知关于 x 的不等式组 í2x2 5x 2x 5 k 的解集中存在整数解且只有一个整数解， + < - +
则 k 的取值范围为 .
2
【典例 10-2】关于 x 的不等式 ax -1 < x2 恰有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A
3
- , -1 1, 3 B
3
． ÷ ÷ ． - ,
4 4 3
- ù é
è 2 è 2 è 2 3 ú ê
,
3 2 ÷
C
3
- , -1ù é 3 3 4 4 3． ú ê1, ÷ D． - , -

2 2 ÷
, ÷
è è 2 3 è 3 2
【方法技巧】
不等式组整数解求参数问题通常使用分类讨论与数形结合处理.
ì
x x
2 - 2x -8 > 0
【变式 10-1】已知关于 的不等式组 í 2 仅有一个整数解，则 k 的取值范围为（ ）
2x + (2k + 7)x + 7k < 0
A． x - 5 < x < 3或 4 < x < 5 B． x - 5 x < 3或 4 < x 5
C． x - 5 < x 3或 4 x < 5 D． x - 5 x 3或 4 x 5
ì-24 < x <100,
【变式 10-2】若关于 x 的不等式组 í 36 a
x
2 - 2ax 3a2 0 的整数解共有 个，则正数 的取值范围-
是 .
【变式 10-3】设集合 A = x | x2 + 2x - 3 > 0 ，集合B = x | x2 - 2ax -1 0,a > 0 若 A B 中恰有一个整
数，则实数 a 的取值范围（ ）
0, 3A
é 3 , 4 é 3 ． ÷ B． ê ÷ C． ê , + ÷ D． (1, + )è 4 4 3 4
1．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数 f (x) = x2 + mx -1，若对于任意
的 x m, m +1 都有 f (x) < 0，则实数m 的取值范围为 .
2．（2007 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京））已知集合 A = x | x - a 1 ，
B = x | x2 - 5x + 4 0 ．若 A B = ，则实数 a的取值范围是 ．
3．（2019 年天津市高考数学试卷（文科）） 设 x R ，使不等式3x2 + x - 2 < 0成立的 x 的取值范围
为 .
1 2
3
．当 k 取什么值时，一元二次不等式2kx + kx - < 0对一切实数 x 都成立.
8
2． x 是什么实数时，下列各式有意义？
（1） x2 - 4x + 9 ；
（2） -2x2 +12x -18 .
3．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45°方向 600km 处的热带风暴中心正以 20km/h 的速
度向正北方向移动，距风暴中心 450km 以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间
后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到 0.1h）？
4．一名同学以初速度 v0 =12m / s竖直上抛一排球，排球能够在抛出点 2m 以上的位置最多停留多长时
间（精确到0.01s ）？
易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当
易错分析： 含参数不等式的解法是不等式问题的难点．解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，
讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合．
【易错题 1】当 a <1时，解关于 x 的不等式 (ax -1)(x -1) < 0 .
【易错题 2】解关于实数 x 的不等式： x2 - (a +1)x + a < 0 ．
答题模板：一元二次不等式恒成立问题
1、模板解决思路
结合对应二次函数的图象，数形结合罗列关于参数的不等式．对于在定区间上恒成立的问题，可以分
离参数转化为函数的最值问题，不要漏掉考虑函数图象的对称轴和区间端点的关系．
2、模板解决步骤
第一步：将不等式恒成立问题转化为对应函数图象的问题．
第二步：列出不等式（组），一定要注意二次项系数如果含参数时就需要进行分类讨论．
第三步：解不等式求解参数的范围．
【典例 1】已知函数 f x = x2 - 2ax - a -1， a R .
(1)当 a =1时，解不等式 f x 6 ；
(2)若$x0 0,2 ，使得 f x0 > 0，求实数 a的取值范围.
【典例 2】（1）若"x R ，ax2 - ax +1> 0，求实数 a 的取值范围；
（2）若$a -2, -1 ，ax2 - ax +1> 0，求实数 x 的取值范围．

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