资源简介

第 06 讲 函数的图象
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：掌握基本初等函数的图像 ........................................................................................................................4
知识点 2：函数图像作法 ............................................................................................................................................4
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6
题型一：由解析式选图（识图） ...............................................................................................................................7
题型二：由图象选表达式 ...........................................................................................................................................9
题型三：表达式含参数的图象问题 .........................................................................................................................13
题型四：函数图象应用题 .........................................................................................................................................17
题型五：函数图象的变换 .........................................................................................................................................21
题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值 .................................................................................................24
题型七：利用函数的图像解不等式 .........................................................................................................................27
题型八：利用函数的图像求恒成立问题 .................................................................................................................30
题型九：利用函数的图像判断零点的个数 .............................................................................................................33
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................39
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................41
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................44
易错点：图像的变换问题 .........................................................................................................................................44
答题模板：图像的变换问题 .....................................................................................................................................45
考点要求 考题统计 考情分析
基本初等函数的图像是高考中的重要考点之
2024年全国甲卷第 7题，5分 一，是研究函数性质的重要工具．高考中总以一
2024年 I卷第 7题，5分 次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对
（1）函数图像的识别
2023年天津卷第 4题，5分 数函数、幂函数、三角函数等的图像为基础来考
（2）函数图像的应用
2022年天津卷第 3题，5分 查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查
（3）函数图像的变换
2022年全国乙卷第 8题，5分 的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以
2022年全国甲卷第 5题，5分 及灵活地应用图像判断方程解的个数，属于每年
必考内容之一．
复习目标：
（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
（2）会画简单的函数图象.
（3）会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
知识点 1：掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．
x
【诊断自测】函数 f x = 2 的图象是下列的（ ）4 - x
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 f x
x
=
2 的定义域为 4 - x
2 > 0，解得：-2 < x < 2，故 B 错误.
4 - x
f x -x- = = - f x f x x=
2 ，则函数 2 为奇函数，故 C，D 错误；4 - x 4 - x
故选：A.
知识点 2：函数图像作法
1、直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；
④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）．
2、图像的变换
（1）平移变换
①函数 y = f (x + a)(a > 0) 的图像是把函数 y = f (x) 的图像沿 x 轴向左平移 a个单位得到的；
②函数 y = f (x - a)(a > 0)的图像是把函数 y = f (x) 的图像沿 x 轴向右平移 a个单位得到的；
③函数 y = f (x) + a(a > 0) 的图像是把函数 y = f (x) 的图像沿 y 轴向上平移 a个单位得到的；
④函数 y = f (x) + a(a > 0) 的图像是把函数 y = f (x) 的图像沿 y 轴向下平移 a个单位得到的；
（2）对称变换
①函数 y = f (x) 与函数 y = f (-x) 的图像关于 y 轴对称；
函数 y = f (x) 与函数的图像关于 x 轴对称；
函数 y = f (x) 与函数 y = - f (-x) 的图像关于坐标原点 (0,0) 对称；
②若函数 f (x) 的图像关于直线 x = a对称，则对定义域内的任意 x 都有
f (a - x) = f (a + x) 或 f (x) = f (2a - x)（实质上是图像上关于直线 x = a对称的两点连线的中点横坐标
(a - x) + (a + x)
为 a，即 = a 为常数）；
2
若 函 数 f (x) 的 图 像 关 于 点 (a,b)对 称 ， 则 对 定 义 域 内 的 任 意 x 都 有
f (x) = 2b - f (2a - x)或f (a - x) = 2b - f (a + x)
③ y = f (x) 的图像是将函数 f (x) 的图像保留 x 轴上方的部分不变，将 x 轴下方的部分关于 x 轴对称翻
折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④ y = f ( x ) 的图像是将函数 f (x) 的图像只保留 y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于 y 轴对称
得到函数 y = f ( x ) 左边的图像即函数 y = f ( x ) 是一个偶函数（如图（c）所示）．
注： f (x) 的图像先保留 f (x) 原来在 x 轴上方的图像，做出 x 轴下方的图像关于 x 轴对称图形，然后擦
去 x 轴下方的图像得到；而 f ( x )的图像是先保留 f (x) 在 y 轴右方的图像，擦去 y 轴左方的图像，然后做
出 y 轴右方的图像关于 y 轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数 y = f -1(x) 与 y = f (x) 的图像关于 y = x 对称．
（3）伸缩变换
① y = Af (x)(A > 0) 的图像，可将 y = f (x) 的图像上的每一点的纵坐标伸长 (A > 1) 或缩短 (0 < A < 1)到
原来的 A倍得到．
② y = f (wx)(w > 0) 的图像，可将 y = f (x) 的图像上的每一点的横坐标伸长 (0 < w < 1)或缩短 (w > 1) 到
1
原来的 倍得到．
w
【诊断自测】若函数 y = f x 的定义域为R ，则函数 y = f x -1 与 y = f 1- x 的图象关于（ ）
A．直线 x = 0对称 B．直线 y = 0 对称
C．直线 x =1对称 D．直线 y = 1对称
【答案】C
【解析】因为函数 f x -1 的图象是 f x 的图象向右平移 1 个单位得到的，
f 1- x = f - x -1 的图象是 f -x 的图象也向右平移 1 个单位得到的；
又因为 f x 与 f -x 的图象是关于 y 轴（直线 x = 0）对称，
所以函数 y = f x -1 与 y = f 1- x 的图象关于直线 x =1对称.
故选：C .
解题方法总结
（1）若 f (m + x) = f (m - x) 恒成立，则 y = f (x) 的图像关于直线 x = m 对称．
（2）设函数 y = f (x) 定义在实数集上，则函数 y = f (x - m) 与 y = f (m - x) (m > 0)的图象关于直线
x = m 对称．
a + b
（3）若 f (a + x) = f (b - x) ，对任意 x R 恒成立，则 y = f (x) 的图象关于直线 x = 对称．
2
a + b
（4）函数 y = f (a + x) 与函数 y = f (b - x)的图象关于直线 x = 对称．
2
（5）函数 y = f (x) 与函数 y = f (2a - x)的图象关于直线 x = a对称．
（6）函数 y = f (x) 与函数 y = 2b - f (2a - x) 的图象关于点 (a，b) 中心对称．
（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
题型一：由解析式选图（识图）
【典例 1-1】（2024·安徽淮北·二模）函数 f x
sinx
=
cosx 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
sinx π
【解析】由 f x = cosx 可知， cos x 0，即 x + kπ,k Z ，显然该函数定义域关于原点对称，2
f x sin( - x) sin x由 - = = - = - f (x)cos( - x) cos x 可知，函数为奇函数，排除 B, D 两项，
sin 3π
又 f (
3π) = 43π = 1 > 0，排除 A 项，故 C 项正确.4 | cos |
4
故选：C.
【典例 1-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）函数 y = xcosx - sinx 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 x = 0时， y = 0 ，故排除选项 C；
当 x = π 时， y = -π < 0 ，故排除选项 B；
令 f x = xcosx - sinx，则 f -x = -xcosx + sinx = - f x 在 -π, π 上恒成立，
\函数 y = xcosx - sinx 在区间 -π, π 上是奇函数，其函数图象关于原点对称，
故排除选项 D，A 选项正确.
故选：A.
【方法技巧】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选
出正确答案.
xln x
【变式 1-1】（2024·天津·二模）研究函数图象的特征，函数 f x = 的图象大致为（ ）
x2 +1
A． B．
C． D．
【答案】B
xln x
【解析】 f x = 2 定义域为 - ,0 0, + ，即定义域关于原点对称，x +1
-x ln x
且 f -x = 2 = - f x ，x +1
所以 f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 CD，
注意到当0 < x <1时，有 x ln x 0, x2 +1 0，即 f x < 0 ，
此时函数图象位于 x 轴下方，故排除 A，经检验 B 选项符合题意.
故选：B.
1
【变式 1-2】（2024·湖北·模拟预测）函数 f x = ex - e x - lnx2 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
ì 11 x x
x e - e - 2ln -x , x < 0【解析】 f x = e - e x lnx2 - = í 1 ，

e
x - e x - 2lnx, x > 0
1
因为当 x < 0 时， y = ex , y = -e x , y = -2ln -x 都为增函数，
1
所以， y = ex - e x - 2ln -x 在 - ,0 上单调递增，故 B，C 错误；
1
-
又因为 f -x = e- x - e x - ln x2 - f x ，
所以 f x 不是奇函数，即图象不关于原点对称，故 D 错误.
故选：A
题型二：由图象选表达式
【典例 2-1】（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 y = f (x) 的大致图象如图所示，则 y = f (x) 的解析式
可能为（ ）
x x
A． f (x) x ×3 x ×3= B． f (x) =
9x -1 9x +1
ln x +1C f (x)
-x
． f (x) = D． =2 2x +1 x +1 ln x + 2
【答案】D
3
【解析】对于选项 A：因为 f (1) = > 0，与图象不符，故 A 错误；
8
3
对于选项 B：因为 f (1) = > 0，与图象不符，故 B 错误；
10
ln 2
对于选项 C：因为 f (1) = > 0，与图象不符，故 C 错误；
2
故选：D.
【典例 2-2】（2024·宁夏固原·一模）已知函数 f x 的部分图像如图所示，则 f x 的解析式可能为
（ ）
x
f x e - e
- x ex - e- x
A． = 4 x B．
f x =
- 3 3- 4 x
x - x x
C． f x e + e= f x =4 x - 3 D． x -1
【答案】A
x - x
【解析】对于 B，当 x >1时， f x e - e= ，易知 ex - e- x > 0，3 - 4x < 0，
3 - 4x
则 f x < 0 ，不满足图象，故 B 错误；
x - x
对于 C， f x e + e= 3 3 3 3，定义域为 - , - ÷ U - , ÷ U , +

4 x ，- 3 4 ÷è è 4 4 è 4
e- x + ex ex - x
又 f (-x)
+ e
= = = f (x) f x
4 x 3 4 x 3 ，则 的图象关于
y 轴对称，故 C 错误；
- - -
对于 D，当 x >1时， f x
x x 1
= = =1+
x -1 x -1 x -1，
由反比例函数的性质可知， f x 在 1, + 上单调递减，故 D 错误；
x - x
检验选项 A， f x e - e= 4 x 3 满足图中性质，故 A 正确.-
故选：A.
【方法技巧】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断图像的对称性；
3、从周期性判断图像循环往复；
4、从单调性判断大致变化趋势；
5、从特殊点排除错误选项．
【变式 2-1】（2024·天津·二模）函数 f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
ln x ex - e- xA． f x = 2 B． f x =x +1 x2
x2 -1 ln xC． f x = D． f x =
x x
【答案】C
【解析】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数 f x 为奇函数，且 f 1 = 0，
ln -x ln x对于 A， f -x = 2 = 2 = f x x +1 ，为偶函数，故 A 错误；-x +1
e1 - e-1
对于 B， f 1 = 2 = e
1
- 0 ，故 B 错误；
1 e
C -x
2 -1 x2 -1 x2 -1 1
对于 ， f -x = = - ，为奇函数，当 x > 0时， f x = = x - ，
-x x x x
1 1
因为 y = x ， y = - 在 0, + 为单调递增函数，所以 f x = x - 在 0, + 单调递增，故 C 正确；
x x
对于 D，当 x > 0时， f x ln x f x 1- ln x= ， = 2 ，所以 x 0,e 时， f x > 0，x x
f x 单调递增，当 x e, + 时， f x < 0， f x 单调递减，故 D 错误，
故选：C.
【变式 2-2】（2024·湖南·二模）已知函数 f x 的部分图象如图所示，则函数 f x 的解析式可能为
（ ）
2 2
A． f x 2x 2x= - x 1 B． f x = -- x +1
f x 2x= - 2 xC． x -1 D． f x = - x2 -1
【答案】A
【解析】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除 C；
由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除 B；
由图可知，当 x + 时， y - ，
而对于 D 选项，当 x + 时， y 0，故排除 D.
故选：A.
【变式 2-3】（2024·陕西安康·模拟预测）函数 f (x) 的部分图象如图所示，则 f (x) 的解析式可能为（ ）
x sin x + x2 x sin x x sin x + x
A． f (x) = B． f (x) = C． f (x) =
| x | +1 | x | +1 | x | +1
x sin x
D． f (x) =
x2 +1
【答案】A
【解析】由图象可得函数 f x 为偶函数，且 x R ， f x 0，当且仅当 x = 0时， f x = 0，
2 2
对于 A，因为 f -x -x sin -x + -x x sin x + x= = = f x ， x R ，所以函数 f x 是偶函数，又
-x +1 x +1
y = sin x + x ， x > 0，
则 y = cos x +1 0，所以函数 y = sin x + x 在 0, + 上单调递增，
所以 y = sin x + x > 0，故解析式可能为 A，故 A 正确；
3π 3π 3π
f 3π
sin -
对于 B，由 = 2 2 2 ÷
è 2 3π
=
1 3π
< 0，不合题意，故 B 错误；
+ +1
2 2
-x sin -x + -xf x x sin x - x对于 C，因为 - = = ，所以 f -x f x 且 f -x - f x x ，- +1 x +1
所以函数 f x 是非奇非偶函数，故 C 错误；
对于 D，由 f π πsin π= 2 = 0，不合题意，故 D 错误.π +1
故选：A.
题型三：表达式含参数的图象问题
【典例 3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 f (x) = xa (x > 0)，a 为实数， f (x) 的导函数为 f (x) ，在
同一直角坐标系中， f (x) 与 f (x) 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 f (x) = xa ,可得 f x = a xa -1
对于A ，当a = -1 -1 -2
1
时，在第一象限上 f x = x 递减，对应 f x = -x = - 图象在第四象限且递增，故
x2
A 项符合；
对于B, C, D,在第一象限上 f x 与 f (x) 的图象在 (0, + )上都单调递增，故a > 0且a -1 > 0 ，则a > 1 .
又由 f x = f x 可得 x = a > 1，即 f (x) = xa f x = a xa -1与 的图象交点横坐标应大于 1，显然 C 项不符
合，B, D 项均符合.
故选：C.
m n
【典例 3-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = a x +1 x -1 （其中m + n > 0,a 0）
的部分图象如图所示，则（ ）
A．m > n > 0 B．m < 3n C．m > 0 > n D． a<0
【答案】AB
【解析】选项 A，B，C：由题意知
f x = am x +1 m-1 x -1 n + an x +1 m x -1 n-1 = a x +1 m-1 x -1 n-1 é m + n x - m - n ù ，
令 f x = 0，解得 x= 1 m - n- 或 x =1或 x = ，
m + n
f x 0, 1 由题图可知函数 的一个极值点位于区间 2 ÷ ，è
因此0
m - n 1
< < ，又m + n > 0，所以0 < 2m - 2n < m + n n < m < 3n ，故 n > 0，因此 A，B 正确，C 错
m + n 2
误.
D f 1 3
m 1 n
选项 ：由题图可知 = a
-
2 ÷ 2 ÷ 2 ÷
> 0，
è è è
3 2
若取m = 3,n = 2 a 3 1 ，则 2 ÷
- ÷ > 0，解得 a > 0，因此 D 错误.
è è 2
故选：AB
【方法技巧】
根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系，
以得出正确选项．
m
【变式 3-1】（多选题）（2024· 3安徽合肥·一模）函数 f x = x - m R 的图象可能是（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意可知，函数 f x 的定义域为 - ,0 0, + ，
当m > 0时， f x = 3x2 m+ 2 > 0，函数 f x 在 - ,0 , 0, + 上单调递增，故 B 正确；x
m = 0 f x = x3 f x = 3x2当 时， ， > 0，所以在 - ,0 , 0, + 上单调递增，故 D 正确；
f x x3 m 0 f x x3 m当m < 0时，当 x > 0时， = - > ；当 x < 0 时， = - < 0；
x x
故 A 正确；C 错误.
故选：ABD.
ax +1
【变式 3-2】（多选题）函数 f x = 2 的大致图象可能是（x a ）+
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】当 a = 0 f x 1时， = 2 是偶函数，当 x > 0时， f x 为减函数，此时对应图象可能是 C；x
-ax2 - 2x + a2
当 a > 0时， x R ，令 f x = 0得 x 1= - < 0， f x 为非奇非偶函数，且 f x =
a 2 2 ，x + a
令 y = -ax2 - 2x + a2其对应方程的D = 4 + 4a3 > 0，设其对应方程的两根分别为x1，x2， x1 < 0 < x2 ，
所以 x - , x1 ， f x < 0， x x 1, x2 ， f x > 0， x x2 , + ， f x < 0，
即函数 f x 在 - , x1 和 x2 ,+ 上单调递减，在 x1, x2 上单调递增，由单调性判断此时对应图象可能是
B；
当 a<0时， f x 为非奇非偶函数， f x 在 x = ± -a 处无定义，
取 a = -2, f x 1- 2x= 2 , f
1
÷ = 0, x < - 2 时 f x > 0且 f x 单增，x - 2 è 2
x > 2 时 f x < 0 且 f x 单增，- 2 < x < 2 时 f x 单增，
此时对应图象可能是 D；
对于 A，由于图象无间断点，故 a > 0，但此时 f x 在 x < 0 上不可能恒正，
故选：BCD.
【变式 3-3】（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）函数 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x 的大致图像可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x ，
ì1+ x > 0
所以 í ，解得-1 < x <1，故 f x 定义域为 -1,1 .
1- x > 0
1 k x k -1 +1+ kf x = + = ， f (-x) = ln 1- x - k ln 1+ x2 ，1+ x 1- x 1- x
因为 k > 0时， f (x)
1 k
= + > 0在区间 (-1,1)上恒成立，
1+ x 1- x
所以 f (x) 在区间 (-1,1)上单调递增.
当 k =1时， f (-x) = - f (x) ，此时 f (x) 为奇函数，故选项 B 正确；
当 k = 0时， f (x) = ln 1+ x ，易知其图像为选项 D，故选项 D 正确.
f (x) = 0 x 1+ k 1 2kk 0 1+ k 2当 < 时，由 ，得 = = + ，又 - (-1) = > 0，
1- k 1- k 1- k 1- k
1+ k
所以-1 < <1，即 f (x) ( 1,
1+ k 1+ k
在区间 - ) 上单调递增，在区间 ( ,1)上单调递减，
1- k 1- k 1- k
综上可知， f (x) 在区间 (-1,1)上不严格单调递减，故选项 A 不正确；
当 k = -1时， f (-x) = f (x)，此时 f (x) 为偶函数，
且 f (x) 在区间 (-1,0) 上单调递增，在区间( 0, 1)上单调递减，故选项 C 正确，
故选：BCD.
ax + b
【变式 3-4】（多选题）函数 f x = 2 a,b,c R 的图象可能为（ ）x + c
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】①当 a 0,b = 0时， f (-x)
-ax ax
= 2 = - 2 = - f (x)( x) c x c ，- + +
a
当 a > 0,c > 0时， f (x)
f (x) =
是定义在 R 上的奇函数，当 x (0,+ )时， f (x) > 0 ， x c+ ，
x
y x c函数 = + 在 (0, c )x 上递减，在 ( c , + )上递增，
因此 f (x) 在 (0, c ) 上递增，在 ( c , + )上递减，A 可能；
当a < 0,c < 0时， f (x) 是定义在{x R | x ± -c}上的奇函数，
a
f (x) > 0 f (x) = c y x -c当 x (0, -c )时， ， x - = -- ，函数 在 (0, -c ) 上递增，
x x
则 f (x) 在 (0, -c ) 上递增，当 x ( -c ,+ ) 时， f (x) < 0，同理 f (x) 在 ( -c , + )上递增，B 可能；
b b
②当 a = 0,b 0,c < 0时， f (x) 的定义域为{x | x ± -c}， f (-x) = 2 = 2 = f (x) ， f (x)(-x) c x c 为偶函数，+ +
若b > 0时，当 x (- -c , -c )时， f (x) < 0（注意 f (0) < 0），
当 x (- ,- -c ) U ( -c ,+ ) 时， f (x) > 0 ，则 C 不可能；
若b < 0时，当 x (- -c , -c )时， f (x) > 0 ，当 x (- ,- -c ) U ( -c ,+ ) 时， f (x) < 0，则 D 可能.
故选：ABD
题型四：函数图象应用题
【典例 4-1】如图，长方形 ABCD的边 AB = 2 ， BC =1，O是 AB 的中点．点 P 沿着边BC ，CD与DA
运动，记 BOP = x ．将动点 P 到 A, B两点距离之和表示为 x 的函数 f (x) ，则 y = f (x) 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 f
π π 2 2
÷ = 2 + 2 = 2 2 ， f ÷ = 2 +1 +1 = 5 +1，
è 2 è 4
f π < f π 故 ÷ ÷，由此可排除 C、D；
è 2 è 4
当 0 < x
π
< 时点 P 在边BC 上，PB = tan x4 ，PA = AB
2 + PB2 = 4 + tan2 x ，
π
所以 f x = tan x + 4 + tan2 x ，可知 x 0, ÷时图像不是线段,可排除 A，故选 B．
è 4
故选：B.
【典例 4-2】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点 P 在边长为 1 的正方形边上运动， M 是CD的中点，
当点 P 沿 A - B - C - M 运动时，点 P 经过的路程 x 与△ APM 的面积 y 的函数 y = f x 的图象的形状大致是
（ ）
A． B．
C． D．
E．均不是
【答案】A
1 x
【解析】当点 P 在 AB 上时， y = AP BC = ，
2 2
当点 P 在BC 上时， y = AB BC
1
- AB BP 1- AD DM 1- MC CP
2 2 2
1 1 x 1 1 1 1 1 3 x= - - - - 2 - x = - ，
2 2 2 2 2 4 4
1
当点 P 在CM 上时， y = AD PM
1 5 5 1
= - x

÷ = - x，2 2 è 2 4 2
其中 A 选项符合要求，B、C、D 都不符合要求，故 A 正确.
故选：A.
【方法技巧】
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
【变式 4-1】（2024·安徽·模拟预测）如图，直线 l在初始位置与等边VABC 的底边重合，之后 l开始在
平面上按逆时针方向绕点A 匀速转动（转动角度不超过60°），它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时间
t 的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，取BC 的中点E，连接 AE ，因为VABC 为等边三角形，可得 EAB = 30o ，
设等边VABC 的边长为 2，且 DAB = a ，其中0o a 60o，
o o
可得 DE = AE tan(30 -a ) = 3 tan(30 -a ) ，
3
又由VABC 的面积为 SVABC = 3 ，可得 SVABE = ，2
S 1= 3 3 tan(30o a ) 3- = tan(30o且 VADE -a ) ，2 2
△ABD S S S 3 3则 的面积为 = VABE - VADE = - tan(30
o -a ) 3 3= + tan(a - 30o )，
2 2 2 2
令 S x 3 3= + tan(x - 30o )，其中0o x 60o，
2 2
S x 3 1可得 = 2 o > 0 ，所以 S x2 cos (x 30 ) 为单调递增函数，-
又由余弦函数的性质得，当 x = 30o 时，函数 S x 取得最小值，
所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
结合选项，可得选项 C 符合题意.
故选：C.
【变式 4-2】（2024·山东·二模）如图所示，动点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD的边上沿
A B C D运动， x 表示动点 P 由 A 点出发所经过的路程， y 表示△APD 的面积，则函数 y = f x
的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
x
【解析】当 x 0,1 时， y = ，是一条过原点的线段；
2
当 x 1,2 y 1时， = ，是一段平行于 x 轴的线段；
2
当 x 2,3 3- x时， y = ，图象为一条线段.
2
故选：A．
题型五：函数图象的变换
【典例 5-1】（2024·北京西城·二模）将函数 f (x) = tan x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关
于 y 轴对称，得到函数 g(x)的图象，则 g(x) =（ ）
A．1- tan x B． -1- tan x C． - tan ( x -1) D． - tan ( x +1)
【答案】D
【解析】将函数 f (x) = tan x 的图象向右平移1个单位长度，所得函数为 f (x -1) = tan x -1 ，
则函数 f (x -1) = tan x -1 的图象再关于 y 轴对称得函数 g(x) = f -x -1 = tan -x -1 = - tan x +1 .
故选：D.
【典例 5-2】（2024·辽宁·三模）已知对数函数 f (x) = loga x，函数 f (x) 的图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标扩大为原来的 3 倍，得到函数 g(x)的图象，再将 g(x)的图象向上平移 2 个单位长度，所得图象恰好
与函数 f (x) 的图象重合，则 a的值是（ ）
3
A B 2 3． ． 3 C． D．2 33
【答案】D
【解析】因为将函数 f (x) 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的 3 倍，得到函数 g x 的图象，
所以 g(x) = log
x
a ，即 g(x) = loga x - loga 3，3
将 g(x)的图象向上平移 2 个单位长度，所得图象的函数解析式 y = loga x - loga 3 + 2 ，
因为所得图象恰好与函数 f x 的图象重合，
所以- loga 3 + 2 = 0，
所以 a2 = 3，又 a > 0且 a 1，
解得 a = 3，
故选：D
【方法技巧】
熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.
【变式 5-1】（2024·江西赣州·二模）已知函数 f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象
所对应的函数解析式（ ）
y f 4x -1 A． y = f (2x -1) B． = 2 ÷è
1- 4x
C． y = f (1- 2x) D． y = f

÷
è 2
【答案】C
【解析】
①x - x ②x x-1 ③x 2x
y = f (x) y = f (-x) y = f (1- x) y = f (1- 2x)
①关于 y 轴对称②向右平移 1 个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
【变式 5-2】（2024·四川南充·二模）已知函数 f (x) = ex - e- x ，则函数 y = f (x -1) +1的图象（ ）
A．关于点 (1,1) 对称 B．关于点 (-1,1)对称 C．关于点 (-1,0) 对称 D．关于点
(1, 0) 对称
【答案】A
【解析】因为 f (x) = ex - e- x ，所以 f (-x) = e-x - ex = - f (x)，即 f (x) 的图象关于原点对称，
函数 y = f (x -1) +1的图象可由 f (x) 的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
所以函数 y = f (x -1) +1的图象关于点 (1,1) 对称.
故选：A.
【变式 5-3】已知函数 f x 的图象如图 1 所示，则图 2 所表示的函数是（ ）
A．1- f x B．- f 2 - x C． f -x -1 D．1- f -x
【答案】C
【解析】由图知，将 f x 的图象关于 y 轴对称后再向下平移1个单位即得图 2，
又将 f x 的图象关于 y 轴对称后可得函数 y = f -x ，
再向下平移1个单位，可得 y = f -x -1
所以解析式为 y = f -x -1，
故选：C.
题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值
ì 2 x , x > 0
【典例 6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = í .若m < n ， f m = f n ，则 n - m的
x + 3, x 0
最小值为（ ）
5 3
A．1 B． C． D．2
4 2
【答案】D
【解析】画出 f x 的图象如下图所示，
令 f m = f n = t ，则0 < t 3，
且-3 < m 0 < n，则 2 n = t, m + 3 = t ，
t 2
所以 n = 且m = t - 3，
4
t 2
2
n m - 4t +12 t - 2 + 8所以 - = = 0 < t 3 ，
4 4
当 t = 2时， n - m取得最小值为 2．
故选：D.
【典例 6-2】用min a,b,c ì 1 ü表示 a，b，c 三个数中的最小值，则函数 f (x) = min íx +1, - x + 4,-x + 6
2
的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
y x 1, y 1【解析】在一个坐标系中画出 = + = - x + 4, y = -x + 6的图像，从左到右，取横坐标对应的纵坐标小
2
的点构成新的图像，如图：
1
其中 A 点，即 y = x +1与 y = - x + 4的交点，其纵坐标即为所求
2
ìy = x +1

联立 í 1 ，解得 A 2,3 ，
y = - x + 4 2
ì 1 ü
函数 f (x) = min íx +1, - x + 4,-x + 6 的最大值为 3
2
故选：C.
【方法技巧】
利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取
得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想．
【变式 6-1】已知b R ，设函数 f x = log2 x + 2x + b 在区间 t, t +1 t > 0 上的最大值为M t b .若
b M t b 2 = R ，则正实数 t 的最大值为 .
1
【答案】
3
【解析】画出 f x = log2 x + 2x + b 的图象如下：
故M t b = max f t , f t +1 ，
由图象可知，当 f t = f t +1 时，M t b 取得最小值，最小值为 f t ，
此时 t < m < t +1，- log2 t + 2t + b = log2 t +1 + 2 t +1 + b，
则b
1
= - log2 t t +1 - 2t -1 ①，2
故只需要- log2 t + 2t + b 2 ②，

将①代入②得- log
1
2 t + 2t - log2 t t +1 - 2t -1

÷ 2，
è 2
t 1
化简得 ，解得 t
1
，
t +1 4 3
1
故正实数 t 的最大值为 .
3
1
故答案为：
3
ìa, (a b) 9
【变式 6-2】对 a，b R ，记max a,b = ì 2 üíb, (a ，则函数 f (x) = max< b) í x +1 , x - 2x + 的最小值 4
为 ．
3
【答案】 /1.5
2
f (x) max ì x 1 , x2 2x 9【解析】函数 = í + - +
ü
是函数 y =| x +1| 2与函数 y = x - 2x
9
+ 同一个 x 取得的两个函数
4 4
值的较大的值，
作函数 y =| x +1|与函数 y = x2 - 2x
9
+ 的图象如下，
4
x2 2x 9由图象可知，令 - + = x 1 x
1
+ ，得 = 或 x
5
= ，
4 2 2
故当 x
1 3
= 时， f (x) 的最小值为 ．
2 2
3
故答案为： ．
2
题型七：利用函数的图像解不等式
ì log2 x , x 0,4
【典例 7-1】已知函数 f x = í 3 ，则满足1 f x 3的 x 的取值范围为（ ）
, x 4,+ x - 3
A． é0,2 4,6
é1 , 1ù ù B． 4,6 ê8 2 ú
é1 , 1 ù 2,4 é1 , 1 ùC． ê ú D． ê 2,6 8 2 8 2 ú
【答案】D
【解析】令 f x =1，则 log2x =1 x 0,4 3或 =1 x 4, + ，x - 3
1
解得 x = 或 x = 2或 x = 6 .
2
令 f x = 3，则 log2x = 3 x 0,4 3或 = 3 x 4, + ，x - 3
1
解得 x = 或 x = 4 .
8
é1 1 ù
画出函数 f x 图象的草图（如图），得满足1 f x 3的 x 的取值范围为 ê , ú 2,6 . 8 2
故选:D.
ìx 1 + , x
é
ê0,
3
÷
【典例 7-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 f x
2 2= í ，则
2 3 3 - f
x - ÷ , x
é
è 2 ê
, + ÷
2
f x > log2x 的解集是（ ）
A
1
． ,1

÷ B． 1,22 è
1 ,2 C
1
． ÷ D． ,1÷ U 1,2
è 2 è 2
【答案】C
é3
【解析】根据题意当 x ê ,3
3 1
÷时, f x = 2 - (x - + ) = 3 - x ，
2 2 2
x 9 é 当 ê3, ÷时, f x = 2 -[2
5
- f (x - 3)] = f (x - 3) = x - ,
2 2
ì 1 é
x + , x ê0,
3
2 2 ÷
作出函数 f x = í 的图象如图，
2 3- f x - , x é 3 , +

è 2
÷ ê 2 ÷
在同一坐标系中作出函数 y = log2x 的图象，
由图象可得不等式 f x 1> log 2x 解集为 , 2

2 ÷
，
è
故选：C
【方法技巧】
利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据
题意结合图像写出答案.
ì3x , x 0
【变式 7-1】已知函数 f x = í ，则不等式 f ( f (x)) < 4 f (x) +1的解集是（ ）
3x +1, x < 0
1 1
A． - ,0

B．
3 ÷
- ,1
è è 3 ÷
1
C． (0,2) D． - , log3 3
2÷
è
【答案】D
【解析】令 t = f (x) ，则 f ( f (x)) < 4 f (x) +1即为 f (t) < 4t +1，
当 t < 0时， f (t) = 3t +1 > 4t +1，故 f (t) < 4t +1 无解，
当 t 0时， f (t) = 3t , f (t) < 4t +1即为3t < 4t +1，
在同一平面直角坐标系下画出 y = 3t 和 y = 4t +1的大致图像如图，
由图可得当且仅当0 < t < 2时，3t < 4t +1，
综上所述， f (t) < 4t +1的解为0 < t < 2，又 t = f (x) ，
所以0 < f (x) < 2，
当 x < 0 时， f (x) = 3x +1，
1 1 1
故 0 < 3x +1 < 2，解得：- < x < ，所以- < x < 0，
3 3 3
当 x 0 时， f (x) = 3x ，
故 0 < 3x < 2 ，解得： x < log3 2 ，所以 0 x < log3 2 ，
1
综上所述，不等式 f ( f (x)) < 4 f (x) +1

的解集是 - , log 2

3 3 ÷
.
è
故选：D.
x + x
【变式 7-2】（2024·高三·江西·期中）已知函数 f x = +1， g x = f x - 2 + 1，则不等式
2
f x < g x 的解集为（ ）
A． - ,1 B． 1,2
C． 1, + D． 2, +
【答案】A
x + x ì 1, x < 0, 2, x < 2,【解析】由题知 f x = +1 = í g x f x
ì
= - 2 +1 =
2 x +1, x 0, íx, x
在同一坐标系下画出 f x ，
2,
g x 图象如下所示：
由图可知 f x < g x 的解集为 - ,1 .
故选：A.
题型八：利用函数的图像求恒成立问题
ì-x2 + 4x, x 1,
【典例 8-1】（2024·北京昌平·二模）已知函数 f x = íln x 1 , x 1.若对任意的
x 都有 f x ax恒成
- >
立，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - ,0 B． -4,0 C． -3,0 D． - , 2
【答案】B
ì -x2 + 4x, x 1
【解析】因为 f x = í g(x) = f (x) g(x)
ln x -1 , x 1
，令 ，作出 图象，如图所示，
>
令 h(x) = ax，由图知，要使对任意的 x 都有 f x ax恒成立，则必有a 0，
ì 2
当 x 0 时， y = x2
y = x - 4x
1 - 4x ，由 í ，消 y 得到 x2 - (4 + a)x = 0，
y = ax
由Δ = 0，得到 (4 + a)2 = 0，即 a = -4 ，由图可知-4 a 0，
故选：B.
ì x + 2, x <1
【典例 8-2】已知函数 f (x)
x
= í 2 ,设 a R,若关于 x 的不等式 f (x) + a 在R 上恒成立，则
x + , x 1 2 x
a的取值范围是（　　）
é 3 ù
A． ê-2, 2ú B． -2,2 2
é 5 2, 2ù é 5 2, 3C． ê-
ù
D．
2 ú ê
- 2
2 2 ú
【答案】B
x
【解析】由题意知，令 g(x) = + a2 ，函数
f (x) 的图象如图所示，
当函数 g(x)的图象经过点 (0,2)时，得 a = ±2 .
x 2
当 y = + a 的图象与 y = x + (x 1)x 的图象相切时，2
x
由 + a = x
2
+ ，得 x2 - 2ax + 4 = 0，结合图形，由Δ = 0得 a = 2 .
2 x
若不等式 f (x)
x
+ a 在 R 上恒成立，
2
当a 0时，需满足-a 2，即 -a 2 0，
当 a > 0时，需满足 a 2，即0 a 2 ，
所以-2 a 2，
所以实数 a 的取值范围为[-2,2] .
故选：B.
【方法技巧】
先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得
出参数的范围．
【变式 8-1】已知函数 f x 的定义域为R ,满足 f (x) = 2 f (x -1) ,且 x (0,1]时, f (x) = x2 - x .若
"x (- ,a] 3,都有 f (x) - ,则 a的取值范围是（ ）
4
5 ù 9 ù
A． - , ú B． - ,è 2 è 4 ú
7 ù 11ù
C． - , D． - ,
è 3 ú è 4 ú
【答案】B
【解析】当1< x 2时, 0 < x -1 1,
因为 f (x) = 2 f (x -1) ,且 x (0,1] é
1 ù
时, f (x) = x2 - x ê- ,0 4 ú
,

所以 f (x) = 2 f (x -1) = 2 é x -1 2 - x -1 ù = 2x2 6x 4 é 1- + - ,0ù ê ú ; 2
当 2 < x 3时,1< x -1 2 ,
所以 f (x) = 2 f (x -1) = 2 é 2 x -1
2 - 6 x -1 + 4ù = 4x
2 - 20x + 24 -1,0 ;
因为 f (x) = 2 f (x -1) f x +1 = 2 f x 1 f x = f x +1 ,
2
当-1 < x 0时, 0 < x +1 1 ,
1
所以 f (x) = f (x +1)
1
= é x +1
2 1- x +1 ù = x
2 1 1+ x éê- ,0
ù
2 2 2 2 8 ú
;

所以 f (x) = 2 f (x -1) f x +1 = 2 f x ,得 f x + t = 2t f x t Z ,
由此做出函数图像得:
当 2 < x 3时, 4x2 20x 24
3 9 11
- + = - ,解得 x = 或 x = ,
4 4 4
4x2结合图像得 - 20x 24
3 9 11
+ - 的解为: x 或 x ,
4 4 4
因为"x (- ,a] ,都有 f (x)
3
- ,
4
a , 9所以 -
ù
ú .è 4
故选:B.
【变式 8-2】（2024·河南新乡·三模）设函数 f (x) 的定义域为R ，满足 f (x - 2) = 2 f (x) ，且当 x (0, 2]
时， f (x) = x(2 - x)
3
.若对任意 x [a, + )，都有 f (x) 成立，则 a的取值范围是（
8 ）
A é
7 é5
． ê ,+ ÷ B． , + 2 ê2 ÷
3ù 5 ù
C． - , - ú D． - ,-è 2 è 2 ú
【答案】A
【解析】因为当 x (0, 2]时， f (x) = x(2 - x)； f (x - 2) = 2 f (x) ，
1
所以 f (x) = f (x - 2) ，即若 f (x) 在 (0, 2] 1上的点的横坐标增加 2，则对应 y 值变为原来的 2 ；若减少 2，则2
对应 y 值变为原来的 2 倍.
当 x (0, 2]时， f (x) = x(2 - x) = -(x -1)2 +1， f (x)max = f (1) =1，
故当 a<0时，对任意 x [a, + )， f (x)
3
不成立，
8
当 x (2, 4]
1
时， f (x) = f (x 2)
1 1 1
- = - (x - 3)2 + é0, ù ，
2 2 2 ê 2 ú
x 4,6 f (x) 1 (x 5)2 1 1同理当 时， = - - + é0, ù
4 4 ê 4 ú
，

以此类推，当 x>4时，必有 f (x)
3
.
8
3
函数 f x 和函数 y = 的图象如图所示：
8
因为当 x (2, 4]时， f (x)
1
= - (x - 3)2 1 1+ éê0,
ù
2 2 2 ú
，

1
- (x - 3)2 1 3 7 5令 + = ，解得 x1 = ， x2 = （舍去），2 2 8 2 2
因为当x éa, +
3 7
时， f (x) 成立，所以 a .
8 2
故选：A.
题型九：利用函数的图像判断零点的个数
ì1
x, x 0
【典例 9-1】（2024· · · x高三 重庆渝中 期中）已知函数 f x = í2 ，若方程 f x = ke 有两个不相
2
-x , x < 0
等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A． 0, B． ,+ C
- ,- ． D． - ,0
è 2e ÷ è 2e ÷
÷ ÷
è e è e
【答案】A
f x
【解析】由题意得 x = k 有两个不相等的实数根，e
ì x
f x 2ex , x 0
令 g x = x =e í 2 ， x- x , x < 0 e
x 1- x
当 x 0 时， g x = x ， g x = ，2e 2ex
当 x >1时， g x < 0， g x x= 单调递减，
2ex
当0 x <1时， g x > 0， g x x= 单调递增，
2ex
且 g 1 1= ，当 x > 0时， g x x= x > 0恒成立，2e 2e
2 2
当 x < 0 x x - 2x时， g x = - x ，则 g x =e ex ，
2
当 x < 0 g x > 0 g x x时， ， = - x 单调递增，e
g 0 0
2
且 = - 0 = 0 ，e
g x f x 画出 = x 的图象如下：e
f x 1
要想 x = k 有两个不相等的实数根，则 k e
0,
2e ÷
，
è
故 f x 1= kex 有两个不相等的实数根，则 k 0, ÷ .
è 2e
故选：A
ì 2x + 3 -1- m, x 0【典例 9-2】设函数 f x = í ，若函数 f x 恰有 3 个零点，则实数m 的取值范围为
ln x - m, x > 0
（ ）
A． - , -1 B． -1,2 C． 2, + D． -1,2
【答案】B
ì 2x + 3 -1, x 0
【解析】由题意，设函数 g x = í ，令 f x = 0，即 g x = m，
ln x, x > 0
所以问题转化为 y = g x ， y = m有 3 个交点；
在坐标系内，作出函数 g x 的图像如下所示，
结合图象可知，-1 < m 2，故实数m 的取值范围为 -1,2 .
故选：B
【方法技巧】
利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解
的个数．
ìex , x 0
【变式 9-1】设函数 f (x) = í ，若 f x - k = 0ln x , x 0 有三个不同的实数根，则实数 k 的取值范围是 >
（ ）
A． 0,1 B． 0, + C． 0,1 D． 0, +
【答案】C
【解析】当 x 0 时，函数 y = ex 单调递增，函数值集合为 (0,1]，
当0 < x 1时，函数 y=-lnx单调递减，函数值集合为[0, + ) ，
当 x 1时，函数 y = ln x 单调递增，函数值集合为[0, + ) ，
作出函数 y = f (x) 的图象与直线 y = k ，如图，
观察图象知，当0 < k 1时，函数 y = f (x) 的图象与直线 y = k 有 3 个交点，
所以 f x - k = 0 有三个不同的实数根，实数 k 的取值范围是 0,1 .
故选：C
2
ì x + 5x + 4 , x 0
【变式 9-2】（多选题）已知 f x = í ，若 y = f x - a x 恰有 3 个零点，则 a的可能值
2 x - 2 , x > 0
为（ ）
3
A．0 B．1 C． D．2
2
【答案】AD
【解析】由 f x - a x = 0得 f x = a x ，作出函数 y = f x ， y = a x |的图像，如图所示．
当 a = 0，满足条件，
当 a 2时，此时 y = a x 与 y = f x 有三个交点，
故符合条件的 a满足 a = 0或 a 2．
故选：AD
ìa, a < b
【变式 9-3 a,b R x】已知 ，定义：min a,b = í ，设 f x = min 2 - a,-x + 6 - a , x R .b, a b 若函数
y = f x + ax有两个零点，则实数 a的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,2 C． -1,0 D． -2,0
【答案】A
【解析】令函数 g(x) = 2x - a - (-x + 6 - a) = 2x + x - 6，显然函数 g(x)在R 上单调递增，
而 g(2) = 0，则当 x < 2时， 2x - a < -x + 6 - a，当 x 2时， 2x - a -x + 6 - a，
ì2x - a, x < 2 ì2x + ax - a, x < 2
于是函数 f (x) = í ，则 f (x) + ax =x 6 a, x 2 í
，
- + - -x + 6 + ax - a, x 2
ì2x , x < 2
令函数 h(x) = í ，由 f (x) + ax = 0，得 h(x) = -a(x -1) ，
-x + 6, x 2
因此函数 y = f (x) + ax的零点，即函数 y = h(x)的图象与直线 y = -a(x -1)交点的横坐标，
当 x < 2，恒有 h(x) > 0，在同一坐标系内作出直线 y = -a(x -1)与函数 y = h(x)的图象，如图，
观察图象知，当-a 0 ，即a 0时，直线 y = -a(x -1)与函数 y = h(x)的图象只有一个交点，
如图，直线 y = 4 x -1 过点 1,0 , 2,4 x，它与 y = 2x 的图象交于两点 2,4 , 3,8 ，当 x < 2时， 2 > 4 x -1 ，
当-a -1，即 a 1时，直线 y = -a(x -1)与函数 y = h(x)的图象只有一个交点，
当 -1 < -a < 0 ，即 0 < a < 1时，直线 y = -a(x -1)与函数 y = h(x)的图象有两个交点，
所以函数 y = f x + ax有两个零点，实数 a的取值范围是 0,1 .
故选：A
ì f x , f x g x
【变式 9-4】（2024·高三·广东江门·开学考试）定义函数min f x , g x = í
g x , f x > g x
h x = min x -1, x2 - 2ax + a + 2 ,若 h x = 0 至少有 3 个不同的解,则实数 a的取值范围是（ ）
A． 1,2 B． 2,3 C． 3,4 D． 4,5
【答案】B
【解析】解:由题知 h x = min x -1, x2 - 2ax + a + 2 ,
记 f x = x -1, g x = x2 - 2ax + a + 2 ,
所以 h x 图象为 f x , g x 图象靠下的位置,
因为 f x = 0 ,有两个根,分别为 x=- 1或 x =1 ,
若 h x = 0 至少有 3 个不同的解,
则 g x = 0有一个解或者两个解,
即D = 4a2 - 4 a + 2 0 ,
解得 a 2或 a -1 ,
当 a 2时, g x = x2 - 2ax + a + 2 ,
所以对称轴为 x = a 2 1 ,
若 h x = 0 至少有 3 个不同的解,
画 h x 大致图象如下:
根据图象则需满足 g 1 0 ,即3- a≥0 ,
解得 2 a 3 ;
当 a -1 2时, g x = x - 2ax + a + 2 ,
所以对称轴为 x = a -1 ,
此时 h x 大致图象如下:
根据图象则需满足 g -1 0 ,即3 + 3a 0 ,
解得 a -1 ,又因为 a -1 ,
故 a = -1 ,
2
当 a = -1时, g x = x + 2x +1 = 0 ,
解得根为-1,因为 f x = 0的根为-1,1,
此时 h x = 0 的根为-1,1,
不满足有三个根,故舍去,
综上: 2 a 3 .
故选:B
p
1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当 x [0,2p ]时，曲线 y = sin x y = 2sin 3x - 与 6 ÷的交点个数为è
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为函数 y = sin x 的的最小正周期为T = 2π，
函数 y = 2sin
3x π- 2π ÷的最小正周期为T = ，
è 6 3
所以在 x 0,2π π上函数 y = 2sin 3x - 6 ÷有三个周期的图象， è
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有 6 个交点.
故选：C
2 2 x - x．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）函数 f x = -x + e - e sinx 在区间[-2.8,2.8]的大致图像为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
f -x = -x2 + e- x - ex sin -x = -x2 + ex - e- x【解析】 sin x = f x ，
又函数定义域为 -2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除 A、C，
又 f 1 = -1+ e
1
- ÷sin1 > -1+

e
1
- ÷sin
π e
= -1 1 1 1- > - > 0，
è e è e 6 2 2e 4 2e
故可排除 D.
故选：B.
3．（2023 年天津高考数学真题）已知函数 f x 的部分图象如下图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
5exA - 5e
- x 5sin x
． 2 B．x + 2 x2 +1
5ex + 5e- x 5cos xC． 2 D．x + 2 x2 +1
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于 y 轴对称，其为偶函数，且 f (-2) = f (2) < 0 ，
5sin(-x) 5sin x
由 = -( x)2 1 x2 1 且定义域为 R，即 B 中函数为奇函数，排除；- + +
x > 0 5(e
x - e- x ) 5(ex + e- x )
当 时 > 0、 > 0，即 A、C 中 (0, + )2 2 上函数值为正，排除；x + 2 x + 2
故选：D
x2 -1
4．（2022 年新高考天津数学高考真题）函数 f x = 的图像为（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】D
x2 -1
【解析】函数 f x = 的定义域为 x x 0 ，
x
-x 2 -1 x2 -1
且 f -x = = - = - f x ，
-x x
函数 f x 为奇函数，A 选项错误；
x2 -1
又当 x < 0 时， f x = 0，C 选项错误；
x
x2 -1 2
当 x >1时， f x x -1 1= = = x - 函数单调递增，故 B 选项错误；
x x x
故选：D.
1．已知函数 f (x) = -x2 - 3x - 2, g(x) = 2 -[ f (x)]2 .
（1）求函数 y = g(x) 的解析式；
（2）利用信息技术，画出函数 y = g(x) 的图象；
（3）求函数 y = g(x) 的零点（精确度为 0.1）
2 2
【解析】（1）由题意得： g x = 2 - é f x ù = 2 - x2 + 3x + 2 = -x4 - 6x3 -13x2 -12x - 2
（2）函数图象如下图所示：
（3）由图象可知，函数 g x 分别在区间 -3, -2 和区间 -1,0 内各有一个零点
取区间 -3, -2 的中点 x1 = -2.5，用计算器可算得 g -2.5 =1.4375
Q g -3 × g -2.5 < 0 \ x0 -3, -2.5
再取 -3, -2.5 的中点 x2 = -2.75，用计算器可算得 g -2.75 0.28
Q g -3 × g -2.75 < 0 \ x0 -3, -2.75
同理可得： x0 -2.875,-2.75 ， x0 -2.8125,-2.75
因为Q -2.75 - -2.8125 = 0.0625 < 0.1
\原方程在区间 (-3, -2)内的近似解可取为-2.75
同理可求得函数在区间 -1,0 内的零点可取为-0.25
\函数 g x 满足精确度0.1的零点为-2.75或-0.25
2．如图，VOAB是边长为 2 的正三角形，记VOAB位于直线 x = t t > 0 左侧的图形的面积为 f t .试求函
数 y = f t 的解析式，并画出函数 y = f t 的图象.
【解析】（1）当0 < t 1时，
如图，设直线 x = t 与VOAB分别交于C、 D两点，则 | OC |= t ，
CD BC
又 = = 3 ，\ | CD |= 3t ，
OC OE
\ f (t) 1 | OC | | CD | 1= × = × t × 3t 3= t2
2 2 2
（2）当1 < t 2时，
如图，设直线 x = t 与VOAB分别交于M 、 N 两点，则 | AN |= 2 - t ，
| MN | | BE | 3
又 = = = 3 ，\ | MN |= 3(2 - t)
| AN | | AE | 1
\ f (t) 1 1 3 3= × 2 × 3 - × | AN | × | MN |= 3 - (2 - t)2 = - t2 + 2 3t - 3
2 2 2 2
（3）当 t > 2时， f (t) = 3
ì 3 2
t ,0 < t 1
2

f (t) = 3 2综上所述 í- t + 2 3t - 3,1 < t 2
2
3, t > 2


3．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变
量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？
【解析】题图（1）中的曲线表示厂商希望的供应曲线；
题图（2）中的曲线表示客户希望的需求曲线.
从题图（1）观察，随着产品数量的上升，单价越来越高，可见是厂商希望的供应曲线；
而题图（2）恰恰相反，当产品数量逐渐上升时，单价越来越低，由此判断是客户希望的需求曲线.
4．图（1）是某条公共汽车线路收支差额 y 关于乘客量 x 的图象.
（1）试说明图（1）上点 A，点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义；
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据
图象，说明这两种建议是什么吗？
【解析】（1）点 A 的实际意义为：当乘客量为 0 时，公司亏损 1（单位）；点 B 的实际意义为：当乘客量为
1.5 时，公司收支持平；
射线 AB 上的点的实际意义为：当乘客量小于 1.5 时，公司将亏损；当乘客量大于 1.5 时，公司将赢利.
（2）题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变；题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变.
易错点：图像的变换问题
易错分析： 平移变换是高中数学图像变换中的基础，包括左右平移和上下平移.在平移过程中，学生
常常会出现平移方向或平移单位长度的误判.学生在对称变换方面的易错点主要是对称关系的混淆.伸缩变
换主要涉及图像的横向和纵向拉伸或压缩，学生在这方面的易错点主要是伸缩比例的理解和应用.翻折变换
主要涉及图像沿 x 轴或 y 轴的翻折，在这方面的易错点主要是翻折轴的选择和翻折后的图像判断.
答题模板：图像的变换问题
1、模板解决思路
仔细阅读题目，然后确定题目要求的是哪种图像变换，如平移、伸缩、对称、翻折等。
2、模板解决步骤
第一步：确定变换类型，理解变换规则
第二步：分析函数表达式，绘制草图
第三步：应用变换规则，验证结果
ì2
x (x 1)
【易错题 1】已知函数 f (x) = ílog x(x >1) ，则 f (2 - x)的图象是（ ）
1 2
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 g x = f 2 - x ，则 g 1 = f 1 = 2，从而排除 ABD.
故选：C
【易错题 2】要得到函数 y = x y
1
x -1 的图象，只需将函数 = x 的图象（ ）
A．向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
B．向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
C．向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
D．向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
【答案】A
y = x x -1+1 1【解析】 x 1 = x 1 = 1+- - x -1 ，
y 1故 = xx 先向右平移
1 个单位长度，再向上平移 1 个单位得到 y = x -1 .
故选：A第 06 讲 函数的图象
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：掌握基本初等函数的图像 ........................................................................................................................4
知识点 2：函数图像作法 ............................................................................................................................................4
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6
题型一：由解析式选图（识图） ...............................................................................................................................6
题型二：由图象选表达式 ...........................................................................................................................................7
题型三：表达式含参数的图象问题 ...........................................................................................................................9
题型四：函数图象应用题 .........................................................................................................................................12
题型五：函数图象的变换 .........................................................................................................................................14
题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值 .................................................................................................15
题型七：利用函数的图像解不等式 .........................................................................................................................16
题型八：利用函数的图像求恒成立问题 .................................................................................................................17
题型九：利用函数的图像判断零点的个数 .............................................................................................................18
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................19
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................20
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................22
易错点：图像的变换问题 .........................................................................................................................................22
答题模板：图像的变换问题 .....................................................................................................................................22
考点要求 考题统计 考情分析
基本初等函数的图像是高考中的重要考点之
2024年全国甲卷第 7题，5分 一，是研究函数性质的重要工具．高考中总以一
2024年 I卷第 7题，5分 次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对
（1）函数图像的识别
2023年天津卷第 4题，5分 数函数、幂函数、三角函数等的图像为基础来考
（2）函数图像的应用
2022年天津卷第 3题，5分 查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查
（3）函数图像的变换
2022年全国乙卷第 8题，5分 的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以
2022年全国甲卷第 5题，5分 及灵活地应用图像判断方程解的个数，属于每年
必考内容之一．
复习目标：
（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
（2）会画简单的函数图象.
（3）会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
知识点 1：掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．
x
【诊断自测】函数 f x = 2 的图象是下列的（ ）4 - x
A． B．
C． D．
知识点 2：函数图像作法
1、直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；
④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）．
2、图像的变换
（1）平移变换
①函数 y = f (x + a)(a > 0) 的图像是把函数 y = f (x) 的图像沿 x轴向左平移a个单位得到的；
②函数 y = f (x - a)(a > 0)的图像是把函数 y = f (x) 的图像沿 x轴向右平移a个单位得到的；
③函数 y = f (x) + a(a > 0) 的图像是把函数 y = f (x) 的图像沿 y 轴向上平移a个单位得到的；
④函数 y = f (x) + a(a > 0) 的图像是把函数 y = f (x) 的图像沿 y 轴向下平移a个单位得到的；
（2）对称变换
①函数 y = f (x) 与函数 y = f (-x) 的图像关于 y 轴对称；
函数 y = f (x) 与函数的图像关于 x轴对称；
函数 y = f (x) 与函数 y = - f (-x) 的图像关于坐标原点 (0,0) 对称；
②若函数 f (x)的图像关于直线 x = a对称，则对定义域内的任意 x都有
f (a - x) = f (a + x) 或 f (x) = f (2a - x)（实质上是图像上关于直线 x = a对称的两点连线的中点横坐标
a (a - x) + (a + x)为 ，即 = a 为常数）；
2
若 函 数 f (x)的 图 像 关 于 点 (a,b)对 称 ， 则 对 定 义 域 内 的 任 意 x都 有
f (x) = 2b - f (2a - x)或f (a - x) = 2b - f (a + x)
③ y = f ( x ) 的图像是将函数 f (x)的图像保留 x轴上方的部分不变，将 x轴下方的部分关于 x轴对称翻
折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④ y = f ( x ) 的图像是将函数 f (x)的图像只保留 y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于 y 轴对称
得到函数 y = f ( x ) 左边的图像即函数 y = f ( x ) 是一个偶函数（如图（c）所示）．
注： f (x) 的图像先保留 f (x)原来在 x轴上方的图像，做出 x轴下方的图像关于 x轴对称图形，然后擦
去 x轴下方的图像得到；而 f ( x ) 的图像是先保留 f (x)在 y 轴右方的图像，擦去 y 轴左方的图像，然后做
出 y 轴右方的图像关于 y 轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数 y = f -1 ( x ) 与 y = f (x) 的图像关于 y = x 对称．
（3）伸缩变换
① y = Af (x)(A > 0) 的图像，可将 y = f (x) 的图像上的每一点的纵坐标伸长 (A >1)或缩短 (0 < A < 1)到
原来的 A 倍得到．
② y = f (wx)(w > 0) 的图像，可将 y = f (x) 的图像上的每一点的横坐标伸长 (0 < w < 1)或缩短 (w >1)到
1
原来的 倍得到．
w
【诊断自测】若函数 y = f x 的定义域为R ，则函数 y = f x -1 与 y = f 1- x 的图象关于（ ）
A．直线 x = 0对称 B．直线 y = 0 对称
C．直线 x = 1对称 D．直线 y =1对称
解题方法总结
（1）若 f (m + x) = f (m - x) 恒成立，则 y = f (x) 的图像关于直线 x =m对称．
（2）设函数 y = f (x) 定义在实数集上，则函数 y = f (x - m)与 y = f (m - x) (m > 0)的图象关于直线
x =m对称．
（3）若 f (a + x) = f (b - x) a + b，对任意 x R 恒成立，则 y = f (x) 的图象关于直线 x = 对称．
2
（4）函数 y = f (a + x) 与函数 y = f (b - x) x a + b的图象关于直线 = 对称．
2
（5）函数 y = f (x) 与函数 y = f (2a - x)的图象关于直线 x = a对称．
（6）函数 y = f (x) 与函数 y = 2b - f (2a - x) 的图象关于点 (a，b) 中心对称．
（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
题型一：由解析式选图（识图）
sinx
【典例 1-1】（2024·安徽淮北·二模）函数 f x = cosx 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【典例 1-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）函数 y = xcosx - sinx 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选
出正确答案.
xln x
【变式 1-1】（2024·天津·二模）研究函数图象的特征，函数 f x = 2 的图象大致为（ ）x +1
A． B．
C． D．
1
【变式 1-2】（2024·湖北·模拟预测）函数 f x = e x - e x - lnx 2 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
题型二：由图象选表达式
【典例 2-1】（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 y = f (x) 的大致图象如图所示，则 y = f (x) 的解析式
可能为（ ）
x ×3x x ×3xA． f (x) = x B． f (x) =9 -1 9x +1
ln
C x +1
-x
． f (x) = D． f (x) =
x2 +1 x2 +1 ln x + 2
【典例 2-2】（2024·宁夏固原·一模）已知函数 f x 的部分图像如图所示，则 f x 的解析式可能为
（ ）
ex -e-x ex -e-x
A． f x = f x =4 x B．-3 3- 4 x
ex -x x
C． f x + e= 4 x 3 D．
f x =
- x -1
【方法技巧】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断图像的对称性；
3、从周期性判断图像循环往复；
4、从单调性判断大致变化趋势；
5、从特殊点排除错误选项．
【变式 2-1】（2024·天津·二模）函数 f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
ln xA f x e
x -e-x
． = 2 B． f x =x +1 x2
2
C f x x -1． = D． f x ln x=
x x
【变式 2-2】（2024·湖南·二模）已知函数 f x 的部分图象如图所示，则函数 f x 的解析式可能为
（ ）
2x2 2x2
A． f x = - B． f x = -x -1 x +1
f x 2xC． = - x -1 D． f
2 x
x = -
x2 -1
【变式 2-3】（2024·陕西安康·模拟预测）函数 f ( x ) 的部分图象如图所示，则 f ( x ) 的解析式可能为（ ）
x sin x + x2
A． f (x) = B． f (x)
xsin x
= f (x) x sin x + x=
| x | +1 | x | C．+1 | x | +1
D． f (x)
x sin x
=
x2 +1
题型三：表达式含参数的图象问题
【典例 3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 f (x) = xa (x > 0) ，a 为实数， f ( x ) 的导函数为 f (x) ，
在同一直角坐标系中， f ( x ) 与 f (x) 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例 3-2】（多选题）（2024· m n全国·模拟预测）已知函数 f x = a x +1 x -1 （其中m + n > 0,a 0）
的部分图象如图所示，则（ ）
A．m > n > 0 B．m < 3n C．m > 0 > n D． a<0
【方法技巧】
根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系，
以得出正确选项．
【变式 3-1】（多选题）（2024·安徽合肥·一模）函数 f x = x3 m- m R 的图象可能是（
x ）
A． B．
C． D．
ax +1
【变式 3-2】（多选题）函数 f x = 2 的大致图象可能是（x ）+ a
A． B．
C． D．
【变式 3-3】（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）函数 f (x) = ln 1+ x - k ln 1- x 的大致图像可能为
（ ）
A． B．
C． D．
f x ax + b【变式 3-4】（多选题）函数 = 2 a,b,c R 的图象可能为（x c ）+
A． B．
C． D．
题型四：函数图象应用题
【典例 4-1】如图，长方形 ABCD的边 AB = 2 ， BC =1，O 是 AB 的中点．点 P 沿着边 BC ，CD 与
DA 运动，记 BOP = x ．将动点 P 到 A, B两点距离之和表示为 x的函数 f ( x ) ，则 y = f (x) 的图像大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【典例 4-2】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点 P 在边长为 1 的正方形边上运动， M 是CD 的中点，
当点 P 沿 A - B - C - M 运动时，点 P 经过的路程 x与△ APM 的面积 y 的函数 y = f x 的图象的形状大致是
（ ）
A． B．
C． D．
E．均不是
【方法技巧】
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
【变式 4-1】（2024·安徽·模拟预测）如图，直线 l 在初始位置与等边 VABC 的底边重合，之后 l 开始在
平面上按逆时针方向绕点A 匀速转动（转动角度不超过 60° ），它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时间
t 的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 4-2】（2024·山东·二模）如图所示，动点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD的边上沿
A B C D 运动， x表示动点 P 由 A 点出发所经过的路程， y 表示△APD 的面积，则函数 y = f x 的
大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
题型五：函数图象的变换
【典例 5-1】（2024·北京西城·二模）将函数 f (x) = tan x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关
于 y 轴对称，得到函数 g(x)的图象，则 g(x) =（ ）
A．1 - tan x B． -1- tan x C． - tan ( x - 1) D． - tan ( x + 1 )
【典例 5-2】（2024·辽宁·三模）已知对数函数 f (x) = log a x ，函数 f ( x ) 的图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标扩大为原来的 3 倍，得到函数 g(x)的图象，再将 g(x)的图象向上平移 2 个单位长度，所得图象恰好
与函数 f ( x ) 的图象重合，则a的值是（ ）
3
A 2 3． B． C． D．
2 3 33
【方法技巧】
熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.
【变式 5-1】（2024·江西赣州·二模）已知函数 f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象
所对应的函数解析式（ ）
4x -1
A． y = f (2x -1) B． y = f ÷
è 2
1- 4x
y f (1 2 x ) y = f C． = - D． 2 ÷è
【变式 5-2】（2024·四川南充·二模）已知函数 f (x) = ex - e- x ，则函数 y = f (x -1) +1的图象（ ）
A．关于点 (1,1) 对称 B．关于点 (-1,1)对称 C．关于点 (-1,0)对称 D．关于点
(1,0)对称
【变式 5-3】已知函数 f x 的图象如图 1 所示，则图 2 所表示的函数是（ ）
A．1- f x B．- f 2- x C． f -x -1 D．1- f -x
题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值
ì 2 x , x > 0
【典例 6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = í .若m x + 3, x 0
最小值为（ ）
5 3
A．1 B． C． D．2
4 2
【典例 6-2】用min a,b,c ì 1表示 a，b，c 三个数中的最小值，则函数 f (x) = min íx +1, - x + 4,-x + 6ü2
的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取
得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想．
【变式 6-1】已知b R ，设函数 f x = log2 x + 2x +b 在区间 t,t +1 t > 0 上的最大值为Mt b .若
b M t b 2 = R ，则正实数 t 的最大值为 .
ìa, (a b) ì 9 ü
【变式 6-2】对a，b R ，记max a,b = í ，则函数 f (x) = max í x +1 , x2 - 2x +
b, (a < b)
的最小值
4


为 ．
题型七：利用函数的图像解不等式
ì log2 x , x 0,4
【典例 7-1】已知函数 f x = í 3 ，则满足1 f x 3 的
x的取值范围为（ ）
, x 4,+ x - 3
é1 1 ù
A． é0,2 4,6 ù B． ê , ú 4,6 8 2
é1
C． ê ,
1 ù é1 1 ù
ú 2,4 D． ê , ú 2,6 8 2 8 2
ìx 1+ , x é0, 3 2 ê 2 ÷
【典例 7-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 f x = í ，则

2 - f
x 3- ÷ , x
3
é , +
2 ÷ è ê 2
f x > log2x 的解集是（ ）
1
A ,1 ． ÷ B． 1,2
è 2


1
C． , 2
1
÷ D． ,1 U 1,2
è 2 è 2 ÷
【方法技巧】
利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据
题意结合图像写出答案.
ì3x , x 0
【变式 7-1】已知函数 f x = í ，则不等式 f ( f (x)) < 4 f (x)+1的解集是（ ）
3x +1, x < 0
1- ,0 1 A． ÷ B． - ,1
è 3 è 3 ÷
C． (0,2)
1
D． - , log 2

è 3 3 ÷
x + x【变式 7-2】（2024·高三·江西·期中）已知函数 f x = +1， g x = f x - 2 + 1，则不等式
2
f x < g x 的解集为（ ）
A． - ,1 B． 1,2
C． 1,+ D． 2,+
题型八：利用函数的图像求恒成立问题
ì -x2 + 4x, x 1,
【典例 8-1】（2024·北京昌平·二模）已知函数 f x = í 若对任意的
x都有 f x ax
ln x
恒成
-1 , x > 1.
立，则实数a的取值范围是（ ）
A． - , 0 B． -4,0 C． -3,0 D． - ,2
ì x + 2, x <1
x
【典例 8-2】已知函数 f (x) = í
x 2
,设 a R,若关于 x的不等式 f (x) + a 在R 上恒成立，则a
+ , x 1 2 x
的取值范围是（　　）
é
A． ê-2,
3 2ùú B． -2,2 2
é 5
C． ê- 2, 2
ù é 5- 2, 3 2ùú D． 2 ê 2 2 ú
【方法技巧】
先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得
出参数的范围．
【变式 8-1】已知函数 f x 的定义域为R ,满足 f (x) = 2 f (x -1) ,且 x (0,1]时, f (x) = x 2 - x .若
"x (- ,a] ,都有 f (x) 3 - ,则a的取值范围是（
4 ）
5 9
A． - ,
ù
ú B． - ,
ù
è 2 è 4 ú

C． - ,
7 ù 11
D． - ,
ù
è 3 ú è 4 ú
【变式 8-2】（2024·河南新乡·三模）设函数 f ( x ) 的定义域为R ，满足 f (x - 2) = 2 f (x) ，且当 x (0,2]
时， f (x) = x(2 - x) .若对任意 x [a, + ) 3，都有 f (x) 成立，则a的取值范围是（
8 ）
é7 é5 A． ê ,+ 2 ÷ B． ,+ ê2 ÷

C． - ,
3
- ù ú D． - ,
5
- ù
è 2 è 2 ú
题型九：利用函数的图像判断零点的个数
ì1
x, x 0
【典例 9-1 x】（2024·高三·重庆渝中·期中）已知函数 f x = í2 ，若方程 f x = ke 有两个不相
-x
2 , x < 0
等的实数根，则实数 k的取值范围是（ ）
1 1 1 1 A． 0, ÷ B． , + ÷ C． - ,- ÷ D． - ,0
è 2e è 2e è e è e ÷
ì 2x + 3 -1- m, x 0
【典例 9-2】设函数 f x = í ，若函数 f x 恰有 3 个零点，则实数m的取值范围为
ln x - m, x > 0
（ ）
A． - ,-1 B． -1,2 C． 2,+ D． -1,2
【方法技巧】
利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解
的个数．
ìex , x 0
【变式 9-1】设函数 f (x) = í ，若 f x - k = 0ln x , x 0 有三个不同的实数根，则实数 k的取值范围是 >
（ ）
A． 0,1 B． 0,+ C． 0,1 D． 0,+
ì x
2 + 5x + 4 , x 0
【变式 9-2】（多选题）已知 f x = í ，若 y = f x - a x 恰有 3 个零点，则a的可能值
2 x - 2 , x > 0
为（ ）
3
A．0 B．1 C． D．2
2
ìa, a < b x【变式 9-3】已知a,b R，定义：min a,b = íb, a b ，设 f x = min 2 - a,-x + 6 - a , x R .若函数
y = f x + ax有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,2 C． -1,0 D． -2,0
ì f x , f x g x
【变式 9-4】（2024·高三·广东江门·开学考试）定义函数min f x , g x = í
g x , f x > g x
h x = min x -1, x2 - 2ax + a + 2 ,若h x = 0至少有 3 个不同的解,则实数a的取值范围是（ ）
A． 1,2 B． 2,3 C． 3,4 D． 4,5
p
1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当 x [0, 2p ]时，曲线 y = sin x 与 y = 2sin 3x - ÷的交点个数为
è 6
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2 2024 f x = -x2 + ex - e- x．（ 年高考全国甲卷数学（理）真题）函数 sinx 在区间[-2.8,2.8]的大致图像为
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023 年天津高考数学真题）已知函数 f x 的部分图象如下图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
5ex -5e-x 5sin xA． 2 B．x + 2 x2 +1
5exC +5e
-x 5cos x
．
x2
D．
+ 2 x2 +1
x2 -1
4．（2022 年新高考天津数学高考真题）函数 f x = 的图像为（ ）
x
A． B．
C． D．
1．已知函数 f (x) = -x2 - 3x - 2, g (x) = 2 - [ f (x)]2 .
（1）求函数 y = g(x)的解析式；
（2）利用信息技术，画出函数 y = g(x)的图象；
（3）求函数 y = g(x)的零点（精确度为 0.1）
2．如图，VOAB 是边长为 2 的正三角形，记VOAB 位于直线 x = t t > 0 左侧的图形的面积为 f t .试求函
数 y = f t 的解析式，并画出函数 y = f t 的图象.
3．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变
量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？
4．图（1）是某条公共汽车线路收支差额 y 关于乘客量 x 的图象.
（1）试说明图（1）上点 A，点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义；
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据
图象，说明这两种建议是什么吗？
易错点：图像的变换问题
易错分析： 平移变换是高中数学图像变换中的基础，包括左右平移和上下平移.在平移过程中，学生
常常会出现平移方向或平移单位长度的误判.学生在对称变换方面的易错点主要是对称关系的混淆.伸缩变
换主要涉及图像的横向和纵向拉伸或压缩，学生在这方面的易错点主要是伸缩比例的理解和应用.翻折变换
主要涉及图像沿 x 轴或 y 轴的翻折，在这方面的易错点主要是翻折轴的选择和翻折后的图像判断.
答题模板：图像的变换问题
1、模板解决思路
仔细阅读题目，然后确定题目要求的是哪种图像变换，如平移、伸缩、对称、翻折等。
2、模板解决步骤
第一步：确定变换类型，理解变换规则
第二步：分析函数表达式，绘制草图
第三步：应用变换规则，验证结果
ì2
x (x 1)
【易错题 1】已知函数 f (x) = ílog x(x >1) ，则 f (2- x)的图象是（ ）

1
2
A． B．
C． D．
【易错题 2 x 1】要得到函数 y = x -1 的图象，只需将函数 y = x 的图象（ ）
A．向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
B．向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
C．向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
D．向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度

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