第05讲空间向量及其应用（十六大题型）（讲义）（含答案）第七章立体几何与空间向量 2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

资源简介

第 05 讲空间向量及其应用
目录
01 考情透视·目标导航.................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.................................................................................................................................................4
知识点 1：空间向量及其加减运算 ............................................................................................................................4
知识点 2：空间向量的数乘运算 ................................................................................................................................5
知识点 3：空间向量的数量积运算 ............................................................................................................................6
知识点 4：空间向量的坐标运算及应用 ....................................................................................................................7
知识点 5：向量法证明平行、垂直 ............................................................................................................................7
知识点 6：空间角公式 ................................................................................................................................................9
知识点 7：空间中的距离 ..........................................................................................................................................10
解题方法总结 .............................................................................................................................................................11
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算.........................................................................................................11
题型二：空间共线向量定理的应用 .........................................................................................................................13
题型三：空间向量的数量积运算 .............................................................................................................................14
题型四：三点共线问题 .............................................................................................................................................16
题型五：多点共面问题 .............................................................................................................................................18
题型六：证明直线和直线平行 .................................................................................................................................21
题型七：证明直线和平面平行 .................................................................................................................................22
题型八：证明平面与平面平行 .................................................................................................................................23
题型九：证明直线与直线垂直 .................................................................................................................................25
题型十：证明直线与平面垂直 .................................................................................................................................26
题型十一：证明平面和平面垂直 .............................................................................................................................27
题型十二：求两异面直线所成角 .............................................................................................................................28
题型十三：求直线与平面所成角 .............................................................................................................................30
题型十四：求平面与平面所成角 .............................................................................................................................32
题型十五：求点面距、线面距、面面距 .................................................................................................................35
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离.........................................................................................................37
04 真题练习·命题洞见...............................................................................................................................................38
05 课本典例·高考素材...............................................................................................................................................40
06 易错分析·答题模板...............................................................................................................................................41
易错点：计算线面角出错 .........................................................................................................................................41
答题模板：用向量法求空间角 .................................................................................................................................42
考点要求考题统计考情分析
空间向量解立体几何一般以解答题形式
（1）空间向量的线性运算 2024 年 I 卷第 17 题，15 分为主,每年必考,一般 12 分.以解答题为主,难度
（2）空间向量基本定理及其 2024 年 II 卷第 17 题，15 分中等,可灵活选择运用向量方法与综合几何方
应用 2023 年 I 卷第 18 题，12 分法,从不同角度解决立体几何问题,通过对比体
（3）向量法证明平行、垂直 2023 年 II 卷第 20 题，12 分会向量方法的优越性.选择题和填空题一般不
（4）向量法求空间角 2022 年 I 卷第 19 题，12 分用空间向量法.但要理解向量基本定理的本质,
（5）空间距离 2022 年 II 卷第 20 题，12 分感悟“基底”的思想,并运用它解决立体几何中
的问题.
复习目标：
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判
断向量的共线和垂直.
（3）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定
理．
（4）能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，
体会向量法在研究空间角问题中的作用．
知识点 1：空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可
r r
用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量 a的起点是 A，终点是 B ，则向量 a也可以记作
uuur r uuur
AB ，其模记为 a 或 AB ．
（2）零向量与单位向量
r uuur r
规定长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 ．当有向线段的起点 A与终点 B 重合时， AB = 0．
模为 1 的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向
量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
r r r
与向量 a长度相等而方向相反的向量，称为 a的相反向量，记为 -a．
（4）空间向量的加法和减法运算
uuur uuur uuur r r uuur uuur uuur r r
① OC = OA + OB = a + b ， BA = OA - OB = a - b ．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
r r r r r r r r r r
a + b = b + a ， a + b + c = a + b + c
【诊断自测】如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点．若
uuur r uuur r uuur r uuuur
AB = a, AD = b, AA1 = c，则下列向量中与BM 相等的是（）
1 r 1 r r 1 r 1 r r
A． a + b + c B．- a + b + c
2 2 2 2
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a - b + c D． a - b + c
2 2 2 2
知识点 2：空间向量的数乘运算
（1）数乘运算
r r r r
实数 l 与空间向量 a的乘积 la 称为向量的数乘运算．当 l > 0 时， la 与向量 a方向相同；当 l < 0 时，
r r r r
向量la 与向量 a方向相反．la 的长度是 a的长度的 l 倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
r r r r r rl a + b = la + lb，l ma = lm a ．
（3）共线向量与平行向量
r
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量， a
r r r
平行于b ，记作 a / /b ．
（4）共线向量定理
r r r r r r r r
对空间中任意两个向量 a，b b 0 ， a / /b 的充要条件是存在实数 l ，使 a = lb ．
（5）直线的方向向量
r
如图 8-153 所示， l 为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a的直线．对空间任意一点O，点 P 在直线
uuur uuur r r uuur r
l 上的充要条件是存在实数 t ，使OP = OA + ta ①，其中向量 a叫做直线 l 的方向向量，在 l 上取 AB = a ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则式①可化为OP = OA + t AB = OA + t OB - OA = 1- t OA + tOB ②
① ② 1
uuur 1 uuur uuur
和都称为空间直线的向量表达式，当 t = ，即点 P 是线段 AB 的中点时，OP = OA + OB ，此2 2
式叫做线段 AB 的中点公式．
（6）共面向量
r uuur r
如图 8-154 所示，已知平面a 与向量 a，作OA = a，如果直线OA平行于平面a 或在平面a 内，则说明
r
向量 a平行于平面a ．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
O a A
a
a
（7）共面向量定理
r r ur r r
如果两个向量 a， b 不共线，那么向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 x, y ，
ur r r
使 p = xa + yb ．
uuur uuur uuur
推论：①空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 x, y ，使 AP = xAB + y AC ；或
uuur uuur uuur uuur
对空间任意一点O，有OP - OA = xAB + y AC ，该式称为空间平面 ABC 的向量表达式．
uuur uuur uuur uuur
②已知空间任意一点O和不共线的三点 A， B ，C ，满足向量关系式OP = xOA + yOB + zOC （其中
x + y + z = 1）的点 P 与点 A， B ，C 共面；反之也成立．
【诊断自测】已知点 A a,-3,5 ， B 0,b, 2 ，C 2,7,-1 ，若 A，B，C 三点共线，则 a，b 的值分别是（）
A．-2，3 B．-1，2 C．1，3 D．-2，2
知识点 3：空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
r r uuur r uuur r r r
已知两个非零向量 a， b ，在空间任取一点O，作OA = a，OB = b，则 AOB 叫做向量 a， b 的夹角，
r r r r r r
a,b 0 a,b p a,b p
r r r r
记作，通常规定，如果 = ，那么向量 a，b 互相垂直，记作 a ^ b．
2
（2）数量积定义
r r r r r r r r r r
已知两个非零向量 a，b ，则 a b cos a,b 叫做 a，b 的数量积，记作 a ×b，即
r r r r r r r r r 2
a × b = a b cos a,b ．零向量与任何向量的数量积为 0，特别地， a × a = a ．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
r r r r
rla r× b = l r ra ×b ， a × b = b × a （交换律）；
r r r r r r ra × b + c = a × b + a × c （分配律）．
uuur uuur
【诊断自测】已知正四面体P - ABC ，底面边长为 2，侧棱 PB中点为 E，则PA ×CE = ．
知识点 4：空间向量的坐标运算及应用
r r r r
（1）设 a = a1,a2 ,a3 ，b = b1,b2 ,b3 ，则 a + b = a1 + b1,a2 + b2 ,a3 + b3 ；
r r
a - b = a1 - b1,a2 - b2 ,a3 - b3 ；
r
la = la1,la2 ,la3 ；
r r
a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ；
r r r r
a / /b b 0 a1 = lb1,a2 = lb2 ,a3 = lb3 ；
r r
a ^ b a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 ．
uuur uuur uuur
（2）设 A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，则 AB = OB - OA = x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 ．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
r r r r 2
①已知 a = a1,a2 ,a3 ，b = b1,b2 ,b3 ，则 a = a = a 2 + a 2 21 2 + a3 ；
r r2
b = b = b 2 + b 21 2 + b
2
3 ；
r r
a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ；
r r
cos a,b a1b1 + a2b2 + a3b= 3 ；
a 21 + a
2
2 + a
2
3 b
2
1 + b
2 2
2 + b3
uuur
②已知 A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，则 AB = x1 - x
2
2 + y - y
2 + z - z 21 2 1 2 ，
uuur
或者 d A, B = AB ．其中 d A, B 表示 A与 B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
r r r r r r r
（4）向量 a在向量b 上的投影为 a cos a,b a × b= r ．
b
r r
【诊断自测】已知 a = 2,3,1 ，b = 1, -2, -2 r r，则a 在b 上的投影向量为（）
r r
A． 2b B．-2b
2 r 2 r
C． b D．- b
3 3
知识点 5：向量法证明平行、垂直
（1）平面的法向量：
r r
如果表示向量 n的有向线段所在直线垂直于平面a ，则称这个向量垂直于平面a ，记作 n ^ a ，如果
r r
n ^ a ，那么向量 n叫做平面a 的法向量．
注意：
r ur
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 n是平面的法向量，向量m
ur r
是与平面平行或在平面内，则有m × n = 0．
r r
第一步：写出平面内两个不平行的向 a = x1 ，y1 ，z1 ，b = x2 ，y2 ，z2 ；
r r
r ìn × a = 0 ìxx1 + yy1 + zz = 0第二步：那么平面法向量 n = x，y，z ，满足 ír r 1í ．
n × b = 0 xx2 + yy2 + zz2 = 0
（2）判定直线、平面间的位置关系
r r
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 a，b 的方向向量分别为 a，b ．
r r r r
若 a ∥ b ，即 a = lb ，则 a∥b；
r r r r
若 a⊥b ，即 a × b = 0 ，则 a⊥b．
r r
②直线与平面的位置关系：直线 l 的方向向量为 a，平面a 的法向量为 n ，且 l⊥a ．
r r r r
若 a ∥ n ，即 a = ln ，则 l⊥a ；
r r r r
若 a r⊥n，即 a × n = 0，则 a∥a ．
（3）平面与平面的位置关系
平面a r r的法向量为 n1，平面 b 的法向量为 n2 ．
若 nr ∥ nr nr lnr r r r r1 2 ，即 1 = 2 ，则a∥b ；若 n1 ⊥ n2 ，即 n1 × n2 = 0 ，则a ⊥ b ．
【诊断自测】如图所示，四边形 ABCD为矩形，PA ^平面 ABCD，PA = AD ，M ， N ，Q分别是PC ，
AB ，CD的中点.
(1)求证：MN / / 平面PAD ；
(2)求证：平面MNQ / / 平面PAD .
知识点 6：空间角公式
r r
（1）异面直线所成角公式：设 a，b 分别为异面直线 l1 ， l2 上的方向向量，q 为异面直线所成角的大
r r
r r a × b
小，则 cosq = cos a,b = r r ．
a b
r r
（2）线面角公式：设 l 为平面a 的斜线， a为 l 的方向向量， n为平面a 的法向量，q 为
r r
r r a × n
l 与a 所成角的大小，则 sinq = cos a,n = r r ．
a n
（3）二面角公式：
uur uur uur uur
设 n1， n2 分别为平面a ， b 的法向量，二面角的大小为q ，则q = n1,n2 或p - n1,n2 （需要根据具
uur uur
n1 × n2
体情况判断相等或互补），其中 cosq = uur uur ．
n1 n2
【诊断自测】如图，在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 =2AB=4，E ，F 分别为BB1，CC1的中点.
(1)证明： A1F / / 平面CDE .
(2)求 A1E 与平面CDE 所成角的正弦值.
知识点 7：空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质
直接计算．
r
如图，设两条异面直线 a，b的公垂线的方向向量为 n ，这时分别在 a，b上任取 A，B 两点，则向量在
uuur r uuur r
nr n | AB × n |上的正射影长就是两条异面直线 a，b的距离．则 d =| AB × r |= r 即两异面直线间的距离，等于两
| n | | n |
异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
A r为平面a 外一点（如图）， n 为平面a 的法向量，过 A作平面a 的斜线 AB 及垂线 AH ．
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
| AH |=| AB | ×sinq =| AB | × | cos < AB,n | = | AB | | AB × n | | AB × n |> uuur r = r
AB × n n
uuur r
d | AB × n |= r
| n |
【诊断自测】如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD是矩形，PA ^平面 ABCD，PA = AD = 4，
AB = 2 ，若 M、N 分别为棱PD、PC 的中点，O 为 AC 中点．
(1)求证：平面 ABM ^平面 PCD；
(2)求点 N 到平面 ACM 的距离．
解题方法总结
用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可
以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简
单．
用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进
而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便
于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三
条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算
uuur r uuur r uuur r
【典例 1-1】如图，在空间四边形OABC 中，OA = a，OB = b，OC = c，点M 在OA上，且
uuuur
OM = 2 MA ， N 为BC 的中点，则MN 等于（）
1 r 2 r 1 r r r r
A． a - b + c
2 a 2 b 1B． + - c
2 3 2 3 3 2
2 r 1 r 1 r r r r
C．- a + b + c
1 a 1 b 1D． + - c
3 2 2 2 2 2
uuur
【典例 1-2】如图，在四面体 ABCD中，E, F 分别为BC, AE 的中点，G 为VACD的重心，则FG =
（）
1 uuur 1 uuur 1 uuur
A．- AB + AC + AD
3 12 4
1 uuur 1 uuur uuur
B．- AB + AC
1
+ AD
4 12 3
1 uuur uuur uuur
C． AB
1 1
- AC + AD
4 12 3
1 uuur 1 uuur 1 uuur
D． AB + AC - AD
3 12 4
【方法技巧】
空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向
量的运算法则．
【变式 1-1】如图，在梯形 ABCD中， AB / /CD ，且 AB = 3CD ，点O为空间内任意一点，设
uuur r uuur r uuur r uuur
OA = a,OB = b ，OC = c，则向量OD =（）
r r r r r r
A． a - b + 3c B． a - b - 3c
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a + b + c D． a - b + c
3 3 3 3
【变式 1-2】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面为梯形，
3 uuuur uuuurAB = BB1 = C1D1 = 6,CD ∥ AB, BM = lMB1(0 < l <1) ，若DD1 平面 AC1M = N ，则DN = （）2
4l 4l + 2 2l + 6 2l + 4
A． B． C． D．
l +1 l +1 l +1 l +1
uuur uuuur
【变式 1-3】如图，OABC 是四面体，G 是VABC 的重心，G1是 OG 上一点，且OG = 4OG1 ，则（）
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur uuur
A．OG1 = OA + OB + OC B．OG1 = OA + OB
1
+ OC
6 6 6 12 12 12
uuuur
OG 1
uuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
C． 1 = OA + OB + OC D．OG1 = OA + OB + OC18 18 18 8 8 8
uuur r uuur r uuur r
【变式 1-4】如图，在四面体OABC 中，OA = a，OB = b，OC = c， OB = 2 ， OC = 3， BOC
π
= ，
3
uuuur
M 为VABC 的重心，N 为△OBC 的外心，则MN = （）
1 ra 1
r r r r r
A． - b
1 c 1 a 1 1+ B．- + b + c
3 6 9 3 6 3
1 ra 1
r 1 r 1 r 1 r 1 r
C．- - b + c D． a + b + c
3 6 9 3 6 3
题型二：空间共线向量定理的应用
uuur 2 uuur 1 uuur
【典例 2-1】若空间四点OABP满足OP = OA + OB ，则（
3 3 ）
A．P 直线 AB
B．P 直线 AB
C．点 P 可能在直线 AB 上，也可能不在直线 AB 上
D．P 直线 AB ，且 AP = PB
ur uur uuur ur uur uuur ur uur
【典例 2-2】设 e1 ， e2 是空间两个不共线的非零向量，已知 AB = 2e1 + ke2 ，BC = e1 + 3e2 ，
uuur ur uur
DC = 2e1 - e2 ，且 A、B、D 三点共线，则实数 k 的值为（）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
【方法技巧】
r r r r r r空间共线向量定理： a / /b b 0 a = lb ．
利用此定理可解决立体几何中的平行问题．
uuur uuur
【变式 2-1】已知向量 AB = (1, m, -3)， AC = (-3,6,9)，若A ， B ，C 三点共线，则m =（）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【变式 2-2】在四面体 ABCD中，E 为 AD 的中点，G 为平面BCD的重心．若 AG 与平面BCE 交于点
AF
F，则 =AG （）
1 2 3 4
A． B． C． D．
2 3 4 5
r r uuur r r uuur r uuur r
【变式 2-3】已知空间向量 a ，b ，且 AB = 3a + 6b ，BC = -10ar 12b CD 14ar+ ， = - 4b ，则一定共线的
三点是（）
A．A 、 B 、C B． B 、C 、D
C．A 、 B 、D D．A 、C 、D
【变式 2-4】在正方体 ABCD - A1B1C1D
1
1中，点 E 在对角线 D1B上，且 D1E = EB ，点 F 在棱 D1C1上，3
若 A、E、F 三点共线，则 D1F = FC1 ．
题型三：空间向量的数量积运算
【典例 3-1】已知 MN 是长方体外接球的一条直径，点 P 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为 1、
uuuur uuur
1、4，则PM × PN 的取值范围为
uuur uuur uuur uuur
AB 0,1, 2 AC = 2 AB, AC 2π uuur uuur【典例 3-2】已知空间向量 = - ，， = ，则
3 AB × BC =
．
【方法技巧】
r r r r r r
a × b = a b cos a,b = x1x2 + y1 y2 + z1z2 ；
r r 2
求模长时，可根据 a = a = x 21 + y
2 2
1 + z1 ；
r r
r r a × b
求空间向量夹角时，可先求其余弦值 cos a,b = r r ．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数
a b
r r r r
量积是否为 0，即 a × b = 0 a ^ b．
r r r r r r r r r r
a,b 为锐角 a × b > 0； a,b 为钝角 a × b < 0．由此，通常通过计算 a ×b的值来判断两向量夹角是
锐角还是钝角．
uuur uuur
【变式 3-1】棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，则 B A × C E = （）
A．1 B．－1 C． 3 D．- 3
uuur uuur uuur
【变式 3-2】设 O 为坐标原点，向量OA = 1,2,3 ，OB = 2,1,2 ，OP = 1,1,2 ，点 Q 在直线 OP 上运
uuur uuur
动，则QA ×QB 的最小值为（）
2 2 1 1
A． B．- C． D．-
3 3 3 3
【变式 3-3】由四个棱长为 1 的正方体组合成的正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1（如图所示），点 P 是正方形
uuuur uuur
A1B1C1D1的中心，则 AD1 × AP =（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 3-4】有一长方形的纸片 ABCD， AB 的长度为 4cm ，BC 的长度为3cm ，现沿它的一条对角线
uuur uuur
AC 把它折成直二面角，则折叠后 AC × BD = （）
A．-4 B．-16 C．-7 D．-9
【变式 3-5】（多选题）（2024·校考模拟预测）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知
AB = AD = AA1 =1， A1AB = A1AD = BAD = 60°，则（）
A．直线 A1C与BD所成的角为90°
B．线段 A1C的长度为 3
C．直线 A1C与BB1所成的角为90°
D 6．直线 A1C与平面 ABCD所成角的正弦值为
3
uuur uuur
【变式 3-6】（多选题）空间直角坐标系中，已知O 0,0,0 ，OA = -1,2,1 ，OB = -1,2,-1 ，
uuur
OC = 2,3, -1 ，则（）
uuur
A． AB = 2
B．VABC 是等腰直角三角形
uuur 6 6 6 6 6 6
C．与OA平行的单位向量的坐标为 ,- ,-6 3 6 ÷÷
或 - , ,6 3 6 ÷÷è è
uuur uuur 2 4 2
D．OA在OB 方向上的投影向量的坐标为 - , ,
è 3 3 3 ÷
题型四：三点共线问题
【典例 4-1】如图，在棱长均相等的平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，用空间向量证明下列结论．
若E 是棱CC1的中点，F 是 A1C 上靠近点C 的三等分点，求证： A, F , E 三点共线．
【典例 4-2】如图，已知M , N 分别为四面体 A - BCD的面BCD与面 ACD的重心，G 为 AM 上一点，
uuur r uuur r uuur
且GM : GA = 1: 3 .设 AB = a, AC = b , AD r= c .
(1)请用 r uuurar,b ,cr 表示BN ；
(2)求证：B,G, N 三点共线.
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
先构造共起点的向量 AB ， AC ，然后证明存在非零实数 l ，使得 AB = l AC ．
1
【变式 4-1】如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，点M 在对角线 A1B 上，且 A1M = MB ，点2
AC A N 1N 在对角线 1 上，且 1 = NC ．求证：M 、 N 、D1三点共线．3
【变式 4-2】如图，已知 M，N 分别为四面体 A-BCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，G 为 AM 上一点，
且GM : GA = 1: 3 .求证：B，G，N 三点共线.
题型五：多点共面问题
【典例 5-1】在下列条件中，使 M 与 A，B，C 一定共面的是（其中 O 为坐标原点）（）
uuuur uuur uuur uuur uuuur
OM 1
uuur 1 uuur 1 uuur
A．OM = OA - OB - OC B． = OA + OB + OC5 3 2
uuuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r
C．OM + OA + OB + OC = 0 D．MA + MB + MC = 0
r r r r r r
【典例 5-2】（2024·河南·模拟预测）已知空间向量 a = 1,2,0 ,b = (0,-1,1),c = (2,3,m)，若 a,b,c共面，
则实数m = （）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
要证明多点（如 A， B ，C ， D ）共面，可使用以下方法解题．
uuur uuur uuur
先作出从同一点出发的三个向量（如 AB ， AC ， AD ），然后证明存在两个实数 x, y ，使得
uuur uuur uuur
AD = xAB + y AC .
【变式 5-1】如图，已知四棱锥 P - ABCD 的底面是菱形，对角线 AC, BD 交于点O，OA = 4，OB = 3，
uuuur uuur
OP = 4,OP ^ 底面 ABCD，E, F 分别为侧棱PB, PD的中点，点M 在CP上且CM = 2MP．求证： A, E, M , F
四点共面.
【变式 5-2】（2024·高三·北京海淀·开学考试）如图，正四棱锥 P - ABCD 的底面边长和高均为 2，
E，F 分别为PD， PB的中点．
(1)证明：EF ^ PC ；
1
(2)若点 M 是线段PC 上的点，且PM = PC ，判断点 M 是否在平面 AEF 内，并证明你的结论；
3
【变式 5-3】已知点D在VABC 确定的平面内，O是平面 ABC 外任意一点，实数 x, y 满足
uuur uuur uuur uuur
DO = xOA + 2yOB - 3OC ，则 x2 + y2 的最小值为（）
4
A． B 2 5． C．1 D．2
5 5
uuur uuur uuur uuur
【变式 5-4】在正四棱锥P - ABCD 中，若PE
2
= PB 1，PF = PC ，平面 AEF 与棱PD交于点G ，则
3 3
四棱锥P - AEFG与四棱锥P - ABCD 的体积比为（）
7 8 7 4
A． B． C． D．
46 45 45 45
1
【变式 5-5】如图四棱锥P - ABCD, ABC = 90o , AD//BC ，且 AD = AB = BC = 2，平面PCD ^平面
2
ABCD，且△PDC 是以 DPC为直角的等腰直角三角形，其中E 为棱PC 的中点，点F 在棱PD上，且
PF = 2FD .求证： A, B, E, F 四点共面.
【变式 5-6】已知正三棱锥P - ABC 的侧棱长为 2，过其底面中心O作动平面a 交线段PC 于点S，分
别交PA，PB M N
1 1 1
的延长线于点，，求 + + 的值．
PS PM PN
【变式 5-7】（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 = AC = BC = 2，
ACC1 = BCC1 = 60
o
，平面 A1ACC1⊥平面B1BCC1, E，F 分别为CC1, B1C1 的中点．
(1)求直线 AB 与平面 AEF 所成角的正弦值；
(2)若平面 AEF 平面 A1ABB1 = AM ，且M A1B1，求 AM 的长度．
【变式 5-8】如图，在边长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 P，Q，R 分别在棱 AB ， B1C1 ，D1D
上，且 AP = B1Q = D1R =1 .
（1）求点 D 到平面PQR 的距离；
AN
（2）若平面PQR 与线段 AC1的交点为 N，求 AC 的值.1
题型六：证明直线和直线平行
【典例 6-1】如图所示，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD为矩形，PD ^平面 ABCD，E 为CP 的
1
中点， N 为DE 的中点，DM = DB, DA = DP =1,CD = 2 ，求证：MN //AP．
4
【典例 6-2】已知棱长为 1 的正方体OABC--O1A1B1C1在空间直角坐标系中的位置如图所示， D, E, F ,G
分别为棱O1A1, A1B1, BC, OC 的中点，求证：DE //GF .
【方法技巧】
r r
将证线线平行转化为证两向量共线．设 a,b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为 a,b ，则
r r r r
a / /b a = lb l R,l 0 .
【变式 6-1】如图，四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，
求证：CE / /MN .
【变式 6-2】在四棱锥P- ABCD中，平面 ABCD⊥平面 PCD，底面 ABCD 为梯形． AB / /CD ，
AD ^ DC ，且 AB = 1， AD = DC = DP = 2， PDC =120o．若 M 是棱 PA 的中点，则对于棱 BC 上是否存
在一点 F，使得 MF 与 PC 平行．
题型七：证明直线和平面平行
【典例 7-1】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥 P-ABCD 与正方体
ABCD - A 31B1C1D1组合而成的，且PC = AB .
2
求证：PC / / 平面 ADC1B1；
【典例 7-2】如图，在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD满足 AB ^ AD ， AB ^ BC, SA ^底面 ABCD，
且 SA = AB = BC =1, AD = 0.5，E 为 SB 中点．求证： AE // 面 SCD
【方法技巧】
r r
（1）利用共面向量定理．设 a,b 为平面a 内不共线的两个向量，证明存在两个实数 x, y ，使得
r r r
l = xa + yb ，则 l / /a ．
（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行．
（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）．
【变式 7-1】如图所示，正方形 AA1D1D 与矩形 ABCD所在平面互相垂直， AB = 2AD = 2，点E 为 AB
的中点.
求证：BD1 // 平面 A1DE ；
【变式 7-2】由四棱柱 ABCD - A1B1C1D1截去三棱锥D1 - A1DC1后得到如图所示的几何体，四边形
ABCD是菱形， AC = 4, BD = 2,O 为 AC 与BD的交点，B1O ^平面 ABCD .求证：B1O / / 平面 A1DC1
题型八：证明平面与平面平行
【典例 8-1】如图所示，平面 PAD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且
PA＝AD＝2，E，F，G 分别是线段 PA，PD，CD 的中点，求证：平面 EFG∥平面 PBC．
【典例 8-2】如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4，BC = 3，CC1 = 2 .求证：平面 A1C1B / /平
面 ACD1 .
【方法技巧】
（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行．
（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）．
【变式 8-1】如图所示，正四棱 ABCD - A1B1C1D1 的底面边长 1，侧棱长 4， AA1中点为E ，CC1 中点为
F ．求证：平面BDE / / 平面B1D1F .
【变式 8-2】如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4，BC = 3，CC1 = 2 .
(1)求证：平面 A1C1B / /平面 ACD1 .
(2)线段B1C 上是否存在点 P，使得 A1P / / 平面 ACD1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，请说明理由.
题型九：证明直线与直线垂直
【典例 9-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥 A - BCD中， AB = AC = BC = CD = 2，
BCD =120°， AB ^ AD ，E 为线段BD的中点．
证明： AB ^CE ．
【典例 9-2】如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1中， ABC = 90o ，CB = 1，CA = 2， AA1 = 6 ，M 是CC1
的中点．
(1)求直线BA1的一个方向向量；
(2)求证： AM ^ BA1．
【方法技巧】
r r r r r r
设直线 l1, l2 的方向向量为 a,b ，则 a ^ b a × b = 0 .
【变式 9-1】在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PC ^ PD，PC = PD ，O为
CD的中点，二面角 A - CD - P为直二面角.求证：PB ^ PD .
【变式 9-2】如图，在多面体PABCD中， ABC = 90o ,VDAB,VDBC 都是等边三角形，
AC = 2 2, PB = 2, PB ^平面 ABC, M 为PC 的中点.证明：BM ^ AD
题型十：证明直线与平面垂直
【典例 10-1】如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，BC = CC1, M , N , P 分别是CC1, AB, BB1 的中点．
在线段BB1上是否存在一点 Q，使 AB1 ^平面 A1MQ？若存在，确定点 Q 的位置；若不存在，也请说明理
由．
【典例 10-2】如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB = BC = 2， AB ^ BC ，CC1 = 2 3 ，
uuur uuur
BE = l BB1(0
1
< l < 1) .当l = 时，求证：CE ^平面 ABC
3 1
；
【方法技巧】
（1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直．
（2）证明直线和平面内的任一直线垂直．
（3）转化为证明直线与平面的法向量共线．
【变式 10-1】如图， ABCD - A1B1C1D1为正方体．
证明： BD1 ^平面 AB1C ；
【变式 10-2】如图，在三棱锥P - ABC 中， AB ^ BC ， AB = BC = kPA，点O，D分别是 AC ，PC 的
中点. OP ^底面 ABC .
(1)求证：OD / / 平面PAB；
(2)当 k 取何值时，O在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？
题型十一：证明平面和平面垂直
【典例 11-1】如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD为平行四边形， AD = 3，BD = 4，
AB = 5，DD1 = 6，E 是CC1的中点．平面a 满足：直线 AC1∥平面a ，直线BE / /平面a ．求证：平面
a ^平面 ADD1
1
【典例 11-2】如图，四边形 ABCD为正方形，PD ^平面 ABCD，PD / /QA，QA = AB = PD .证明：
2
平面 PQB ^平面DCQ
【方法技巧】
（1）转化为证明两平面的法向量互相垂直
（2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面．
【变式 11-1】如图所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，C1C = CB = CA = 2, AC ^ BC, D, E分别为棱
C1C, B1C1的中点．证明：平面 ACE ^ 平面 A1BD．
【变式 11-2】平面上两个等腰直角VPAC 和VABC ， AC 既是VPAC 的斜边又是VABC 的直角边，沿
AC 边折叠使得平面PAC ^平面 ABC ，M 为斜边 AB 的中点．
(1)求证： AC ^ PM ；
PN
(2)在线段 PB上是否存在点 N ，使得平面CNM ^平面 PAB？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
PB
题型十二：求两异面直线所成角
【典例 12-1】如图，在三棱锥P - ABC 中，VABC 为等边三角形，△APC 为等腰直角三角形，
PA = PC ，平面PAC ^平面 ABC，D 为 AB 的中点，则异面直线 AC 与 PD 所成角的余弦值为．
【典例 12-2】在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱
称为堑堵．已知在堑堵 ABC - A1B1C1中， ABC = 90o ， AB = 2 ，BC = 2 2 ，若直线CA1与直线 AB所成角
为 60o ，则 AA1 = ( )
A． 3 B．2 C． 2 2 D． 2 3
【方法技巧】
r r r r
设两异面直线 a 和 b 的方向向量为 a 和b ，利用求角余弦公式可求得 a 和b 的夹角，由于两向量所成
r r
[0,p ] a 0π] cosa =|cosq | = u|uar × br|角q 的范围是，而两异面直线所成角的范围是（，．所以 .
2 | a || b |
【变式 12-1】（2024·辽宁抚顺·三模）在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^ AC, AB = AC = 4, AA1 = 6 ，
uuur uuur
E 为CC1的中点，点F 满足 AF = 2FA1 ，则异面直线EF , BC1 所成角的余弦值为．
【变式 12-2】（2024·高三·四川德阳·期末）正四面体 ABCD中，E 、F 分别是 AB 和CD的中点，
则EF 和 AC 所成角的大小是 .
【变式 12-3】（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，
AB = AD = AA1 =1， A1AB = A1AD = BAD = 60° .
(1)求证：四边形BDD1B1为正方形；
(2)求体对角线 AC1的长度；
(3)求异面直线 AB1与BD1所成角的余弦值.
【变式 12-4】（2024·高三·江苏南京·期中）如图，矩形BCDE 所在平面与VABC 所在平面垂直，
ACB = 90o，BE = 2
(1)证明：DE ^平面 ACD；
(2) 5若平面 ADE 与平面 ABC 的夹角的余弦值是 , AE = 4，求异面直线DE 与 AB 所成角的余弦值.
5
【变式 12-5】如图1，在VABC 中，D, E 分别为 AB, AC 的中点，O为DE 的中点， = = 2 5，
BC = 4 .将VADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE ^ 平面BCED ，如图 2．
(1)求证： A1O ^ BD ．
A F
(2)线段 A1C F
35 1
上是否存在点，使得直线DF 和BC 所成角的余弦值为？若存在，求出
7 A1C
的值；若不
存在，说明理由．
题型十三：求直线与平面所成角
【典例 13-1】（2024·广东茂名·模拟预测）已知四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面是正方形， AB = 4，
AA1 = 4 2 ，点B1在底面 ABCD的射影为BC 中点 H，则直线 AD1 与平面 ABCD所成角的正弦值为．
【典例 13-2】如图，四棱锥P - ABCD 的底面为正方形，PD ^底面 ABCD．设平面PAD 与平面 PBC
的交线为 l．若PD = AD =1，Q 为 l 上的点，则 PB 与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．
【方法技巧】
r r
设 l 为平面a 的斜线， a为 l 的方向向量， n为平面a 的法向量，q 为 l 与a 所成角的大小，则
r r
r r a × n
sinq = cos a,n = r r ．
a n
【变式 13-1】如图，AB 是圆的直径，平面 PAC ^面 ACB，且 AP ^ AC．
(1)求证：BC ^平面PAC ；
(2)若 AB = 2, AC =1, AP =1，求直线 AC 与面 PBC 所成角的正弦值.
【变式 13-2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥 P - ABCD 中， PA ^底面 ABCD， AD//BC ，
AB = AD = AC = 3, PA = BC = 4, M , N 分别为线段 AD, PC 上一点， AM = 2MD .
(1)若 N 为PC 的中点，证明：MN // 平面PAB；
(2)求直线 AN 与平面CMN 所成角的正弦值的最大值.
【变式 13-3】（2024·广西桂林·模拟预测）如图，几何体PABCD中，△PBD 和△CBD均为等边三
角形，平面 ABD ^平面PBD ， AB = AD = 5, BD = 2, PC = 3, M 为BD中点．
(1)证明：PC 与 AM 不是异面直线；
(2)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．
【变式 13-4】（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台
ABCD - A1B1C1D1中，E, F 分别为 AD, AB的中点， AB = 2A1B1 = 4，侧面BB1C1C 与底面 ABCD所成角为
45° .
(1)求证：BD1 / / 平面 A1EF ；
(2) 3 5线段 AB 上是否存在点M ，使得直线D1M 与平面 A1EF 所成的角的正弦值为，若存在，求出线段
10
AM 的长；若不存在，请说明理由.
【变式 13-5】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形 ACDE 为菱形，现沿
1
AC 进行翻折，使得 AB ^平面 ACDE ，过点E 作EF //AB，且EF = AB，连接FD, FB, BD，所得图形如
2
图②所示，其中G 为线段BD的中点，连接 FG .
(1)求证： FG ^ 平面 ABD；
(2) 7若 AC = AD = 2，直线 FG 与平面BCD所成角的正弦值为，求 AB 的值.
7
题型十四：求平面与平面所成角
【典例 14-1】（2024·海南·模拟预测）如图，在四棱锥 S - ABCD 中，平面 SAC ^ 平面 SBD，点S在
平面 ABCD内的射影恰为点A ，直线 AC ，BD交于点O .
(1)求证： BOC = 90°；
(2)若 AB = AD = AS = 2，3BD = 2AC = 6 2 ，求平面 SAD与平面 SCD 夹角的余弦值.
【典例 14-2】（2024·山西太原·一模）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD是直角梯形，
AB//CD ， BAD = 90°，DA = DC = 2AB = 2 .
(1)点E 在侧棱 PB上，且PD// 平面 EAC ，确定E 在侧棱 PB上的位置；
(2)若平面PAD ^平面 ABCD，且PA = PD = 2 2 ，求二面角 A - PD - B 的余弦值.
【方法技巧】
r r r r r
（1）在平面a 内， a ^ l ，在平面 β 内， b ^ l （ l 是交线 l 的方向向量），其方向如图所示，则二面
r r
a l b ra ×ub角 - - 的平面角的余弦值为 ur ．
| a | | b |
uur uur
（2）设 n1，n2 是二面角a - l - b 的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二
uur uur
n × n
面角的外侧，则二面角a - l - b 的余弦值为 uur1 uu2r ．
|n1| × |n2 |
【变式 14-1】（2024·安徽安庆·三模）如图，在多面体 ABCDE 中，平面 ACD⊥平面 ABC，BE⊥平面
ABC，△ABC 和△ACD 均为正三角形， AC = 4，BE = 3 ，点 F 在棱 AC 上.
(1)若 BF∥平面 CDE，求 CF 的长；
(2)若 F 是棱 AC 的中点，求二面角F - DE - C 的正弦值.
【变式 14-2】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥P - ABCD 的底面 ABCD是梯形，
BC / / AD, PA = AB = BC =1, AD = 2, PC = 3, PA ^平面 ABCD .
(1)求证：平面PBC ^平面PAB；
(2)在棱PD 6上是否存在一点 E，使得二面角 E - AC - P 的余弦值为 .若存在，求出PE : ED的值；若不存
3
在，请说明理由.
【变式 14-3】（2024·四川达州·二模）如图，在直角梯形 ABCD中， AD//BC ， AB ^ BC ，
AB = BC = 2AD ，把梯形 ABCD绕 AB 旋转至 ABC1D1 ，E ，F 分别为 AB ，CC1中点．
(1)证明：EF // 平面CD1A；
(2)若 DAD1 = q (0 < q < π)，求二面角C - AD1 - C1余弦的最小值．
【变式 14-4】（2024·辽宁锦州·模拟预测）如图，在四棱锥P - ABCD 中， AD / / BC, M 为BP的中
点， AM / / 平面CDP ．
(1)求证：BC = 2AD ；
(2)若PA ^ AB, AB = AP = AD = CD =1， CBM = CPM ．
（i）求证：PA ^平面 ABCD；
（ii）设平面CDP 平面BAP = l ，求二面角C - l - B 的正弦值．
【变式 14-5】由四棱柱 ABCD - A1B1C1D1截去三棱锥D1 - A1DC1后得到如图所示的几何体，四边形
ABCD是菱形， AC = 4, BD = 2,O 为 AC 与BD的交点，B1O ^平面 ABCD .
(1)求证：B1O / / 平面 A1DC1；
(2) O - AC - D 3若二面角 1 1 的正切值为，求平面 A1DC1与平面BCC1B6 1夹角的大小
.
题型十五：求点面距、线面距、面面距
【典例 15-1】如图，在四棱锥O - ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，OA ^ 底面 ABCD，
OA = 2 ，M 、 N 、 R 分别是OA、BC 、 AD 的中点．求：
(1)直线MN 与平面OCD的距离；
(2)平面MNR 与平面OCD的距离．
【典例 15-2】（2024·广西柳州·一模）如图VABC 的外接圆O的直径 AB = 2 ，CE 垂直于圆O所在
的平面， BD / /CE ，CE = 2， BC = BD = 1，M 为 DE 上的点.
(1)证明： BM ^ AC ；
(2)当M 为 DE 的中点时，求点M 到平面 ACD 的距离.
\ AC ^平面 BCED ，QBM 平面 BCED ，\ AC ^ BM ；
uuur
uuur
uuuur 1 3
CA = 3,0,0 CM = 0, , ，CD = 0,1,1 ，
è 2 2 ÷
【方法技巧】
r
如图所示，平面a 的法向量为 n ，点Q是平面a 内一点，点 P 是平面a 外的任意一点，则点 P 到平面
uuur r uuur uuur r uuur ur
a 的距离 d ，就等于向量 PQ在法向量 n 方向上的投影的绝对值，即 d =| PQ |=| cos < PQ,n >| d= |P或 uuQur ×unur|
|PQ|×|n|
【变式 15-1】已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，求平面 A1BD 与平面B1CD1 间的距离．
【变式 15-2】（2024·山西吕梁·三模）如图， P 为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心， AC 为底面直
径，△ABD 为底面圆O的内接正三角形，且△ABD 的边长为 3，点E 在母线PC 上，且 AE = 3，CE = 1.
(1)求证：BD ^ AE，并求三棱锥P - BDE 的体积；
(2)若点M 为线段PO上的动点，当直线DM 与平面 ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面 ABE
的距离.
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离
【典例 16-1】在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是 1，且平面 ABCD ^平面 ABEF ，活动弹
子M , N 分别在正方形对角线 AC ， BF 上移动，则MN 长度的最小值是．
【典例 16-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知空间中有三点O 0,0,0 ， A 1, -1,1 ， B 1,1,0 ，
则点 O 到直线 AB 的距离为 .
【方法技巧】
r r设两条异面直线 a，b的公垂线的方向向量为 n ，这时分别在 a，b上任取 A，B 两点，则向量在 n 上
uuur r uuur rn | AB × n |
的正射影长就是两条异面直线 a，b的距离．则 d =| AB × r |= r 即两异面直线间的距离，等于两异面
| n | | n |
直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
【变式 16-1】如图，多面体 ABC - A1B1C1是由长方体一分为二得到的， AA1 = 2， AB = BC =1，
ABC = 90°，点 D 是BB1中点，则异面直线DA1与 B1C1 的距离是．
【变式 16-2】已知棱长为 2 的正四面体 ABCD中，VABC 的一条高为 AE ，求 AE 与CD间的距离．
【变式 16-3】（2024·高三·河北沧州·期末）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，M 为棱CC1
的中点，P，Q 分别为线段 AC1， BM 上的动点，则 PQ的最小值为 .
【变式 16-4】（2024·天津河西·模拟预测）如图，在棱长为 a的正方体OABC - O A B C 中，E, F 分
别是棱 AB, BC 上的动点，且 AE = BF ．
(1)求证： A F ^ C E ；
(2)当三棱锥B - BEF 的体积取得最大值时，求平面B EF 与平面 BEF 夹角的正切值及点O到直线B E 的距
离．
【变式 16-5】（2024·江苏南京·二模）在梯形 ABCD中， AB∥CD， D = 90°， AB = 2 2 ，
AD = DC = 2 ，如图 1．现将△ADC 沿对角线 AC 折成直二面角 P - AC - B ，如图 2，点M 在线段 BP上．
(1)求证： AP ^ CM ；
BM
(2)若点M 2 5到直线 AC 的距离为，求的值．
5 BP
1．（2024 年上海秋季高考数学真题）定义一个集合Ω ，集合中的元素是空间内的点集，任取 P1, P2 , P3 Ω ，
uuur uuur uuur r
存在不全为 0 的实数l1,l2 ,l3 ，使得l1OP1 + l2OP2 + l3OP3 = 0 ．已知 (1,0,0) Ω ，则 (0,0,1) Ω 的充分条件
是（）
A． 0,0,0 W B． -1,0,0 W
C． 0,1,0 W D． 0,0, -1 W
2．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分别为 AB, BC 的中点，则
（）
A．平面B1EF ^ 平面BDD1 B．平面B1EF ^ 平面 A1BD
C．平面B1EF / / 平面 A1AC D．平面B1EF / / 平面 A1C1D
3．（多选题）（2021 年全国新高考 I 卷数学试题）在正三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB = AA1 =1，点 P 满足
= + 1，其中l 0,1 ， ∈ [0,1]，则（）
A．当l =1时，△AB1P 的周长为定值
B．当m =1时，三棱锥P - A1BC 的体积为定值
l 1C．当 = 时，有且仅有一个点 P ，使得 A1P ^ BP2
D．当m
1
= 时，有且仅有一个点 P ，使得 A1B ^ 平面 AB2 1
P
4．（2017 年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷））如图，以长方体 ABCD - A1B1C1D1的顶点D为
uuuuv
坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1 的坐标为 (4,3,2)，则
uuuuv
AC1 的坐标为
5．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷精编版））如图，已知平面四边形 ABCD，
AB=BC=3，CD=1，AD= 5 ，∠ADC=90°．沿直线 AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线 AC 与 BD'所成角的余
弦的最大值是．
1．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 ABCD，ABEF 的边长都是 1，且它们所在的平面互相垂
直．活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 AC 和 BF 上移动，且 CM 和 BN 的长度保持相等，记
CM = BN = a 0 < a < 2 ．
（1）求 MN 的长；
（2）a 为何值时，MN 的长最小？
（3）当 MN 的长最小时求平面 MNA 与平面 MNB 夹角的余弦值．
r
2．在空间直角坐标系中，已知向量u = (a,b,c)(abc 0)，点P0 x0 , y0 , z0 ，点P x, y, z ．
r x - x y - y
（1）若直线 l 经过点P ，且以u 为方向向量，P 是直线 l 上的任意一点，求证： 0 = 0
z - z0
0 =a b c
（2）若平面a 经过点P
r
0 ，且以u 为法向量，P 是平面a 内的任意一点，求证： a x - x0 + b y - y0 +
c z - z0 = 0．
3．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， BAC = 90°， AB = AC = 2， AA1 = 3，M 是 AB 的中点，N 是 B1C1
的中点，P 是BC1与B1C 的交点．在线段 A1N 上是否存在点 Q，使得PQ / /平面 A1CM ？
4．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，M 是棱 AA1的中点，O 是BD1的中点．求证：OM 分别与异
面直线 AA1，BD1垂直，并求 OM 的长．
5．如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，Q 为 B1C1 的中点，点 P 在棱 AA1上， AP : AA1 =1: 3．求
平面 ABCD 与平面 BQP 的夹角．
6．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L 分别是 AB，BB1， B1C1 ，C1D1，D1D，DA
各棱的中点．
（1）求证： A1C ^平面 EFGHKL；
（2）求DB1与平面 EFGHKL 所成角的余弦值．
易错点：计算线面角出错
易错分析：计算线面角时出错，常见原因包括：1. 对线面角概念理解不清，错误地将直线与平面上任
意直线的夹角视为线面角；2. 在利用向量法计算时，未正确设置平面的法向量和直线的方向向量，导致计
算结果偏离实际；3. 忽视线面角的取值范围，错误地计算了钝角或超出规定范围的角；4. 计算过程中存在
符号错误或计算失误，影响最终结果的准确性。因此，在计算线面角时需仔细理解概念，正确设置向量，
并仔细检查计算过程。
【易错题 1】（2024·山东菏泽·模拟预测）如图，在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1中，
AB = 4, A1B1 = 2, AA1 = 2 2 .
(1)证明： AC ^ BB1；
(2)若E 为BB1的中点，求直线CE与平面 ABB1A1的夹角的正弦值.
【易错题 2】在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，已知异面直线 A1C 与 AD， A1C 与 AB 所成角的大小分别为 60°
和 45°，则直线B1D和平面 A1BC 所成的角的余弦值为．
答题模板：用向量法求空间角
1、模板解决思路
用向量法求空间角的方法一般都是先确定两个向量（直线的方向向量或平面的法向量），然后求这两
个向量夹角的余弦值。
2、模板解决步骤
第一步：我们需要根据题目的描述，选择一个合适的点作为原点，并建立空间直角坐标系。
第二步：我们需要求出与所求角相关的直线的方向向量或平面的法向量。
第三步：我们可以利用向量的夹角公式来求出它们之间的夹角的余弦值。
第四步：我们根据得到的向量夹角的余弦值，可以确定所求角的值或其三角函数值。
【典型例题 1】如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1中， E ， F 分别是 A1D1， AB 的中点，则 cos ECF = ，
【典型例题 2】已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面边长与侧棱长之比为1: 3，则平面DA1B 与平面 A1BC1
夹角的余弦值为．第 05 讲空间向量及其应用
目录
01 考情透视·目标导航.................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.................................................................................................................................................4
知识点 1：空间向量及其加减运算 ............................................................................................................................4
知识点 2：空间向量的数乘运算 ................................................................................................................................5
知识点 3：空间向量的数量积运算 ............................................................................................................................6
知识点 4：空间向量的坐标运算及应用 ....................................................................................................................7
知识点 5：向量法证明平行、垂直 ............................................................................................................................8
知识点 6：空间角公式 ..............................................................................................................................................11
知识点 7：空间中的距离 ..........................................................................................................................................12
解题方法总结 .............................................................................................................................................................14
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算.........................................................................................................15
题型二：空间共线向量定理的应用 .........................................................................................................................19
题型三：空间向量的数量积运算 .............................................................................................................................23
题型四：三点共线问题 .............................................................................................................................................28
题型五：多点共面问题 .............................................................................................................................................32
题型六：证明直线和直线平行 .................................................................................................................................41
题型七：证明直线和平面平行 .................................................................................................................................44
题型八：证明平面与平面平行 .................................................................................................................................48
题型九：证明直线与直线垂直 .................................................................................................................................51
题型十：证明直线与平面垂直 .................................................................................................................................55
题型十一：证明平面和平面垂直 .............................................................................................................................59
题型十二：求两异面直线所成角 .............................................................................................................................63
题型十三：求直线与平面所成角 .............................................................................................................................71
题型十四：求平面与平面所成角 .............................................................................................................................79
题型十五：求点面距、线面距、面面距 .................................................................................................................92
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离.........................................................................................................98
04 真题练习·命题洞见.............................................................................................................................................105
05 课本典例·高考素材.............................................................................................................................................112
06 易错分析·答题模板.............................................................................................................................................117
易错点：计算线面角出错 .......................................................................................................................................117
答题模板：用向量法求空间角 ...............................................................................................................................119
考点要求考题统计考情分析
空间向量解立体几何一般以解答题形式
（1）空间向量的线性运算 2024 年 I 卷第 17 题，15 分为主,每年必考,一般 12 分.以解答题为主,难度
（2）空间向量基本定理及其 2024 年 II 卷第 17 题，15 分中等,可灵活选择运用向量方法与综合几何方
应用 2023 年 I 卷第 18 题，12 分法,从不同角度解决立体几何问题,通过对比体
（3）向量法证明平行、垂直 2023 年 II 卷第 20 题，12 分会向量方法的优越性.选择题和填空题一般不
（4）向量法求空间角 2022 年 I 卷第 19 题，12 分用空间向量法.但要理解向量基本定理的本质,
（5）空间距离 2022 年 II 卷第 20 题，12 分感悟“基底”的思想,并运用它解决立体几何中
的问题.
复习目标：
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判
断向量的共线和垂直.
（3）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定
理．
（4）能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，
体会向量法在研究空间角问题中的作用．
知识点 1：空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可
r r
用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量 a的起点是 A，终点是 B ，则向量 a也可以记作
uuur r uuur
AB ，其模记为 a 或 AB ．
（2）零向量与单位向量
r uuur r
规定长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 ．当有向线段的起点 A与终点 B 重合时， AB = 0．
模为 1 的向量称为单位向量．
（3）相等向量与相反向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向
量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
r r r
与向量 a长度相等而方向相反的向量，称为 a的相反向量，记为 -a．
（4）空间向量的加法和减法运算
uuur uuur uuur r r uuur uuur uuur r r
① OC = OA + OB = a + b ， BA = OA - OB = a - b ．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
r r r r r r r r r r
a + b = b + a ， a + b + c = a + b + c
【诊断自测】如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点．若
uuur r uuur r uuur r uuuur
AB = a, AD = b, AA1 = c，则下列向量中与BM 相等的是（）
1 r r r r r r
A． a
1
+ b + c 1 1B．- a + b + c
2 2 2 2
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a - b + c D． a - b + c
2 2 2 2
【答案】B
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur r r r
【解析】BM = BB1 + B
1 1
1M = AA1 + B A + B C AA
1
= - AB 1 1 1+ AD = - a + b + c .
2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2
故选：B．
知识点 2：空间向量的数乘运算
（1）数乘运算
r r r r
实数 l 与空间向量 a的乘积 la 称为向量的数乘运算．当 l > 0 时， la 与向量 a方向相同；当 l < 0 时，
r r r r
向量la 与向量 a方向相反．la 的长度是 a的长度的 l 倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
l r r r r r ra + b = la + lb，l ma = lm a ．
（3）共线向量与平行向量
r
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量， a
r r r
平行于b ，记作 a / /b ．
（4）共线向量定理
r r r r r r r r
对空间中任意两个向量 a，b b 0 ， a / /b 的充要条件是存在实数 l ，使 a = lb ．
（5）直线的方向向量
r
如图 8-153 所示， l 为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a的直线．对空间任意一点O，点 P 在直线
uuur uuur r r uuur r
l 上的充要条件是存在实数 t ，使OP = OA + ta ①，其中向量 a叫做直线 l 的方向向量，在 l 上取 AB = a ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则式①可化为OP = OA + t AB = OA + t OB - OA = 1- t OA + tOB ②
1 uuur 1 uuur uuur①和②都称为空间直线的向量表达式，当 t = ，即点 P 是线段 AB 的中点时，OP = OA + OB ，此2 2
式叫做线段 AB 的中点公式．
（6）共面向量
r uuur r
如图 8-154 所示，已知平面a 与向量 a，作OA = a，如果直线OA平行于平面a 或在平面a 内，则说明
r
向量 a平行于平面a ．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
O a A
a
a
（7）共面向量定理
r r ur r r
如果两个向量 a， b 不共线，那么向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 x, y ，
ur r r
使 p = xa + yb ．
uuur uuur uuur
推论：①空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 x, y ，使 AP = xAB + y AC ；或
uuur uuur uuur uuur
对空间任意一点O，有OP - OA = xAB + y AC ，该式称为空间平面 ABC 的向量表达式．
uuur uuur uuur uuur
②已知空间任意一点O和不共线的三点 A， B ，C ，满足向量关系式OP = xOA + yOB + zOC （其中
x + y + z = 1）的点 P 与点 A， B ，C 共面；反之也成立．
【诊断自测】已知点 A a,-3,5 ， B 0,b, 2 ，C 2,7,-1 ，若 A，B，C 三点共线，则 a，b 的值分别是（）
A．-2，3 B．-1，2 C．1，3 D．-2，2
【答案】D
【解析】因为 A a,-3,5 ，B 0,b, 2 ，C 2,7,-1 ，
uuur uuur
所以 AB = (-a,b + 3,-3)，BC = (2,7 - b,-3)，
uuur uuur
因为 A，B，C 三点共线，所以存在实数 k ，使 AB = k BC ，
所以 (-a,b + 3,-3) = k(2,7 - b,-3) ，
ì-a = 2k

所以 íb + 3 = k(7 - b)，解得 k = 1,a = -2,b = 2 .

-3 = -3k
故选：D
知识点 3：空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
r r uuur r uuur r r r
已知两个非零向量 a， b ，在空间任取一点O，作OA = a，OB = b，则 AOB 叫做向量 a， b 的夹角，
r r r r r r p r r r r
记作 a,b ，通常规定 0 a,b p ，如果 a,b = ，那么向量 a，b 互相垂直，记作 a ^ b．
2
（2）数量积定义
r r r r r r r r r r
已知两个非零向量 a，b ，则 a b cos a,b 叫做 a，b 的数量积，记作 a ×b，即
r r r r r r r r r 2
a × b = a b cos a,b ．零向量与任何向量的数量积为 0，特别地， a × a = a ．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：
r r r r
r r r r
la × b = l a ×b ， a × b = b × a （交换律）；
r r r r r r ra × b + c = a × b + a × c （分配律）．
uuur uuur
【诊断自测】已知正四面体P - ABC ，底面边长为 2，侧棱 PB中点为 E，则PA ×CE = ．
【答案】-1
【解析】因为正四面体P - ABC ，底面边长为 2，侧棱 PB 中点为 E，
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以PA ×CE = PA × CP + CB 1= PA ×CP 1+ PA ×CB2 2 2
1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur= PA ×CP + PA × AB - AC = PA ×CP + PA × AB - PA × AC2 2 2 2 2
1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
= PA × CP cos120o + PA × AB cos120o - PA × AC cos120o
2 2 2
1 1
= - 2 2 = -1 .
2 2
故答案为：-1.
知识点 4：空间向量的坐标运算及应用
r r r r
（1）设 a = a1,a2 ,a3 ，b = b1,b2 ,b3 ，则 a + b = a1 + b1,a2 + b2 ,a3 + b3 ；
r r
a - b = a1 - b1,a2 - b2 ,a3 - b3 ；
r
la = la1,la2 ,la3 ；
r r
a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ；
r r r r
a / /b b 0 a1 = lb1,a2 = lb2 ,a3 = lb3 ；
r r
a ^ b a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 ．
uuur uuur uuur
（2）设 A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，则 AB = OB - OA = x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 ．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
r r r r 2
①已知 a = a1,a2 ,a3 ，b = b1,b2 ,b3 ，则 a = a = a 2 21 + a2 + a 23 ；
r r2
b = b = b 21 + b
2
2 + b
2
3 ；
r r
a × b = a1b1 + a2b2 + a3b3 ；
r r
cos a,b a1b1 + a2b2 + a b= 3 3 ；
a 2 21 + a2 + a
2
3 b
2
1 + b
2
2 + b
2
3
uuur
②已知 A x1, y1, z1 ， B x2 , y2 , z2 ，则 AB = x1 - x2
2 + y 21 - y2 + z1 - z
2
2 ，
uuur
或者 d A, B = AB ．其中 d A, B 表示 A与 B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
r r r r r r r
（4）向量 a在向量b a × b上的投影为 a cos a,b = r ．
b
r r
【诊断自测】已知 a = r r2,3,1 ，b = 1, -2, -2 ，则a 在b 上的投影向量为（）
r r
A． 2b B．-2b
2 rb 2
r
C． D．- b
3 3
【答案】D
r r
a ×b 2,3,1 × 1,-2,-2 2 - 6 - 2 2
【解析】 r 2 = 2 = = -
b 12 + -2 + -2
2 9 3 ，
r r r
r r a ×b ×b 2 r
故a 在b 上的投影向量为 r 2 = - b3 .b
故选：D
知识点 5：向量法证明平行、垂直
（1）平面的法向量：
r r
如果表示向量 n的有向线段所在直线垂直于平面a ，则称这个向量垂直于平面a ，记作 n ^ a ，如果
r r
n ^ a ，那么向量 n叫做平面a 的法向量．
注意：
r ur
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量 n是平面的法向量，向量m
ur r
是与平面平行或在平面内，则有m × n = 0．
r r
第一步：写出平面内两个不平行的向 a = x1 ，y1 ，z1 ，b = x2 ，y2 ，z2 ；
r r
r ìn × a = 0 ìxx1 + yy1 + zz = 0第二步：那么平面法向量 n = x，y，z ，满足 ír r 1í ．
n × b = 0 xx2 + yy2 + zz2 = 0
（2）判定直线、平面间的位置关系
r r
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 a，b 的方向向量分别为 a，b ．
r r r r
若 a ∥ b ，即 a = lb ，则 a∥b；
r r r r
若 a⊥b ，即 a × b = 0 ，则 a⊥b．
r r
②直线与平面的位置关系：直线 l 的方向向量为 a，平面a 的法向量为 n ，且 l⊥a ．
r r r r
若 a ∥ n ，即 a = ln ，则 l⊥a ；
r r r r
若 a r⊥n，即 a × n = 0，则 a∥a ．
（3）平面与平面的位置关系
平面a r r的法向量为 n1，平面 b 的法向量为 n2 ．
若 nr ∥ nr nr lnr r r r r1 2 ，即 1 = 2 ，则a∥b ；若 n1 ⊥ n2 ，即 n1 × n2 = 0 ，则a ⊥ b ．
【诊断自测】如图所示，四边形 ABCD为矩形，PA ^平面 ABCD，PA = AD ，M ， N ，Q分别是PC ，
AB ，CD的中点.
(1)求证：MN / / 平面PAD ；
(2)求证：平面MNQ / / 平面PAD .
【解析】（1）证明：因为PA ^平面 ABCD， AB, AD 平面 ABCD，
所以 PA ^ AB, PA ^ AD ，
因为四边形 ABCD为矩形，所以 AB ^ AD ，
所以 AB, AD, AP两两垂直，
所以以A 为原点，分别以 AB ， AD ， AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设B(b,0,0)，D(0,d ,0)，P(0,0,d ) .
则C(b,d ,0)，因为M ， N ，Q分别是PC ， AB ，CD的中点，
M b d所以 , ,
d
÷， N
b
,0,0
Q b÷， ,d ,0

÷ ，
è 2 2 2 è 2 è 2
uuuur
所以MN =
d d
0, - ,- ÷ .
è 2 2
ur uuuur ur uuuur ur
因为平面PAD 的一个法向量为m = (1,0,0) ，所以MN × m = 0 ，即MN ^ m .
又因为MN 平面PAD ，所以MN / / 平面PAD .
uuur uuur ur uuur ur
（2）因为QN = (0, -d ,0)，所以QN ×m = 0，所以QN ^ m，
又QN 平面PAD ，所以QN / /平面PAD .
又因为MN IQN = N ，MN ,QN 平面MNQ ，
所以平面MNQ / / 平面PAD .
知识点 6：空间角公式
r r
（1）异面直线所成角公式：设 a，b 分别为异面直线 l1 ， l2 上的方向向量，q 为异面直线所成角的大
r r
r r a × b
小，则 cosq = cos a,b = r r ．
a b
r r
（2）线面角公式：设 l 为平面a 的斜线， a为 l 的方向向量， n为平面a 的法向量，q 为
r r
r r a × n
l 与a 所成角的大小，则 sinq = cos a,n = r r ．
a n
（3）二面角公式：
uur uur uur uur
设 n1， n2 分别为平面a ， b 的法向量，二面角的大小为q ，则q = n1,n2 或p - n1,n2 （需要根据具
uur uur
n1 × n2
体情况判断相等或互补），其中 cosq = uur uur ．
n1 n2
【诊断自测】如图，在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 =2AB=4，E ，F 分别为BB1，CC1的中点.
(1)证明： A1F / / 平面CDE .
(2)求 A1E 与平面CDE 所成角的正弦值.
【解析】（1）在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中， AB ， AD ， AA1两两垂直，且 AA1 =2AB=4，
以A 为坐标原点， AB ， AD ， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则C 2,2,0 ，D 0,2,0 ， 1(0,0,4).
因为E ，F 分别为BB1，CC1的中点，所以E 2,0,2 ，F 2,2,2 ，
uuur uuur uuuur
则CD = -2,0,0 ，CE = 0, -2,2 ， A1F = 2,2,-2 ，
设平面CDE 的法向量为 = ( , , )，
uuur
ìCD
r
×m = 0 ì-2x = 0
则 íuuur ，即 í
CE ×m
r
= 0 -2y + 2z 0
，
=
令 y
r
=1，则有 x = 0， z =1，即m = 0,1,1 ，
uuuur r uuuur ur
因为 A1F ×m = 2 0 + 2 1+ -2 1 = 0，所以 A1F ^ m，
又 A1F 平面CDE ，所以 A1F / / 平面CDE ；
uuur
（2）由（1）可知， A1E = 2,0, -2 ，
uuur uuur r
cosA1E, m
r uAu1uEr × m -2 1= = = -
A1E m
r 2 2 2 2 ，
所以 A1E
1
与平面CDE 所成角的正弦值为 .
2
知识点 7：空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质
直接计算．
r
如图，设两条异面直线 a，b的公垂线的方向向量为 n ，这时分别在 a，b上任取 A，B 两点，则向量在
r uuur
r uuur r
n 上的正射影长就是两条异面直线 a，b的距离．则 d =| AB n× r | | AB= r × n | 即两异面直线间的距离，等于两
| n | | n |
异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
A为平面a r外一点（如图）， n 为平面a 的法向量，过 A作平面a 的斜线 AB 及垂线 AH ．
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
| AH |=| AB | ×sinq =| AB | × | cos < AB,n >| = | AB | | AB × n | | AB × n |uuur r = r
AB × n n
uuur r
d | ABr × n |=
| n |
【诊断自测】如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD是矩形，PA ^平面 ABCD，PA = AD = 4，
AB = 2 ，若 M、N 分别为棱PD、PC 的中点，O 为 AC 中点．
(1)求证：平面 ABM ^平面 PCD；
(2)求点 N 到平面 ACM 的距离．
【解析】（1）QPA ^ 平面 ABCD， AB, AD 面 ABCD，
∴ ⊥ ，PA ^ AD．
Q矩形 ABCD，
\ AB ^ AD ，故PA、 AB 、 AD 两两垂直．
分别以 AB 、 AD 、 AP 所在直线为 x 轴、 y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则P 0,0,4 ，B 2,0,0 ，C 2,4,0 ，D 0,4,0 ，O 1,2,0 ．
uuur uuuur
\M 0,2,2 ， N 1,2,2 ， AB = 2,0,0 ， AM = 0,2,2
ì 2x1 = 0, ur
设平面 ABM 的法向量为 n1 = x1, y1, z1 ，则 í n2y 可取+ 2z = 0, 1 = 0,1, -1 ， 1 1
uur uuur uuur ì2x + 4y - 4z = 0,
设平面 PCD的法向量为 n2 = x2 , y2 , z2 ，PC = 2,4,-4 ，DC = 2,0,0 2 2 2，则 í 2x 0, 可取= 2 = 2
(0,1,1)，
ur uur
\n1 ×n2 = 0，
ur uur
\n1 ^ n2 ，
\平面 ABM ^平面 PCD．
（2）设平面 ACM 的法向量为 = ( , , )．
uuur uuuur
Q AC = 2,4,0 ， AM = 0,2,2 ，
uuur
ì AC
r
×n = 0, ì2x + 4y = 0, r
由 íuuuur 得 í n = 2, -1,1
AM
r
× n = 0, 2y + 2z = 0,
可取
uuur
Q AN = 1,2,2 r，平面 ACM 的法向量为n = 2, -1,1 ，
uuur
AN ×nr 2 6
\d = = = ．
nr 6 3
解题方法总结
用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可
以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简
单．
用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进
而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便
于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三
条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算
uuur r uuur r uuur r
【典例 1-1】如图，在空间四边形OABC 中，OA = a，OB = b，OC = c，点M 在OA上，且
uuuur
OM = 2 MA ， N 为BC 的中点，则MN 等于（）
1 r 2 r 1 r 2 r 2 r 1 r
A． a - b + c B． a + b - c
2 3 2 3 3 2
2 r 1 r r r r r
C．- a + b
1 c 1 a 1 1+ D． + b - c
3 2 2 2 2 2
【答案】C
uuuur uuur r
【解析】由点M 在OA
2 2
上，且 OM = 2 MA ，知OM = OA = a；由 N 为BC 的中点，知
3 3
uuur uuur uuur r r
ON 1 OB 1 1 1= + OC = b + c .
2 2 2 2
uuuur uuur uuuur r r r
所以MN = ON OM
2 1 1
- = - a + b + c .
3 2 2
故选：C.
uuur
【典例 1-2】如图，在四面体 ABCD中，E, F 分别为BC, AE 的中点，G 为VACD的重心，则FG =
（）
1 uuur 1 uuur 1 uuur
A．- AB + AC + AD
3 12 4
1 uuur uuur uuur
B．- AB
1
+ AC 1+ AD
4 12 3
1 uuurAB 1
uuur 1 uuur
C． - AC + AD
4 12 3
1 uuur 1 uuur 1 uuur
D． AB + AC - AD
3 12 4
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【解析】因为E, F 分别为BC, AE
1 1
的中点，所以 AF = AE = AB + AC .2 4
uuur 1 uuur uuur因为G 为VACD的重心，所以 AG = AC + AD ，3
uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以FG = AG - AF = AC AD 1 AB AC 1 AB 1 AC 1+ - + = - + + AD .3 4 4 12 3
故选：B.
【方法技巧】
空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向
量的运算法则．
【变式 1-1】如图，在梯形 ABCD中， AB / /CD ，且 AB = 3CD ，点O为空间内任意一点，设
uuur r uuur r uuur r uuur
OA = a,OB = b ，OC = c，则向量OD =（）
r r r r r r
A． a - b + 3c B． a - b - 3c
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a + b + c D． a - b + c
3 3 3 3
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】OD = OA + AD = OA + AB + BC + CD = OA
1
+ AB + OC - OB - AB
3
uuur 2 uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 r r r
= OA + (OB - OA) + OC - OB = OA - OB + OC = a 1- b + c .
3 3 3 3 3
故选：D
【变式 1-2】（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面为梯形，
3 uuuur uuuurAB = BB1 = C1D1 = 6,CD ∥ AB, BM = lMB1(0 < l <1) ，若DD1 平面 AC1M = N ，则DN = （）2
4l 4l + 2 2l + 6 2l + 4
A． B． C． D．
l +1 l +1 l +1 l +1
【答案】C
【解析】因为四棱柱 ABCD - A1B1C1D1为直四棱柱，CD∥ AB ，
故平面 ABB1A1∥平面DCC1D1 ，而平面 AMC1N I平面DCC1D1 = C1N ，
平面 AMC1N I平面 ABB1A1 = AM ，故 AM ∥C1N ，
又C1D1 P CD P AB ，则 D1C1N = BAM ，故RtVC1D1N ∽ RtVABM ，
C1D1 AB 3 uuuur uuuur
故 =D N BM ，又 AB BB
6l
= 1 = C1D1 = 6，BM = lMB1(0 < l <1)，则BM = ，
1 2 l +1
4 6
= 6l D N 4l DN 6 4l 2l + 6则 D = = - =1N ，故 1 ，则，
l 1 l +1 l +1 l +1+
故选：C
uuur uuuur
【变式 1-3】如图，OABC 是四面体，G 是VABC 的重心，G1是 OG 上一点，且OG = 4OG1 ，则（）
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuuurOG 1
uuur 1 uuur uuur
A． 1 = OA + OB + OC B．OG1 = OA + OB
1
+ OC
6 6 6 12 12 12
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
C．OG1 = OA + OB + OC D．OG1 = OA + OB + OC18 18 18 8 8 8
【答案】B
【解析】连接 AG 并延长交 BC 于 N，连接 ON，
uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur
由 G 是VABC 的重心，可得 AG = AN ，ON = OB + OC3 2
uuur
AG 2
uuur
AN = 2则 = uuur uuur 2 é1 uuur uuur uuurù 1 uuur 1 uuur uuurON - OA = ê OB + OC - OAú = OB + OC 2- OA3 3 3 2 3 3 3
uuur 1 uuur 1 uur uuur 1 uur 1 uuur 1 uuur 2 uur 1 uur 1 uuur 1 uuur则OG1 = OG = OA + AG = OA + OB + OC - OA = OA + OB + OC4 4 4 è 3 3 3 ÷ 12 12 12
故选：B
uuur r uuur r uuur r
【变式 1-4】如图，在四面体OABC 中，OA = a，OB = b，OC = c， OB = 2 ， OC = 3， BOC
π
= ，
3
uuuur
M 为VABC 的重心，N 为△OBC 的外心，则MN = （）
1 r 1 r 1 r r r r
A． a - b + c
1
B．- a
1 b 1+ + c
3 6 9 3 6 3
1 r r r r r r
C．- a
1
- b 1+ c 1 a 1D． + b
1
+ c
3 6 9 3 6 3
【答案】C
【解析】连接CM 并延长交 AB 于 F，因为 M 为VABC 的重心，所以 F 为 AB 的中点，
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
根据重心的性质：OM = OC + CM
r 2
= c + CF cr 2 1= + CA + CB
3 3 2
r 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 r 1 r 1 r
= c + OA - OC + OB - OC = OA + OC + OB = a + b + c ,3 3 3 3 3 3 3
取OB 、OC 的中点D，E ，连接 ND， NE ，因为 N 为△OBC 的外心，所以 NE ^ OC , ND ^ OB ，
uuur uuur uuur π
设ON = mOB + nOC，因 OB = 2 ， OC = 3， BOC = ，3
uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur 2 uuur uuur
则ON ×OB = mOB + nOB ×OC = m OB + n OB × OC cos BOC = 4m + 3n ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又ON ×OB = ON × OB cos NOB = OD × OB = 2，所以 4m + 3n = 2，
uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur 2 uuur uuur
因为ON ×OC = nOC + mOB ×OC = n OC + m OB × OC cos BOC = 9n + 3m ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又ON ×OC = ON × OC cos NOC = OE OC
9 3
× = ，所以m + 3n = ，
2 2
1 4 uuur 1 uuur 4 uuur r r
解得m = ， n = ，所以ON = OB + OC
1
= b 4+ c ，
6 9 6 9 6 9
uuuur uuur uuuur r r r
所以MN = ON - OM
1 b 4 cr 1 ar 1 1 r 1= + ÷ - + b + c

÷ = - a
r 1 b 1 cr- + ．
è 6 9 è 3 3 3 3 6 9
故选：C．
题型二：空间共线向量定理的应用
uuur 2 uuur 1 uuur
【典例 2-1】若空间四点OABP满足OP = OA + OB ，则（
3 3 ）
A．P 直线 AB
B．P 直线 AB
C．点 P 可能在直线 AB 上，也可能不在直线 AB 上
D．P 直线 AB ，且 AP = PB
【答案】A
uuur 2 uuur 1 uuur
【解析】由于OP = OA + OB ，所以O, A, B, P四点共面，
3 3
2 1
由于 + = 1，所以 A, P, B三点共线，
3 3
根据平行四边形法则可知： P 是线段 AB 上，靠近A 的三等分点（如下图所示）.
所以 A 选项正确，BCD 选项错误.
故选：A
ur uur uuur ur uur uuur ur uur
【典例 2-2】设 e1 ， e2 是空间两个不共线的非零向量，已知 AB = 2e1 + ke2 ，BC = e1 + 3e2 ，
uuur ur uur
DC = 2e1 - e2 ，且 A、B、D 三点共线，则实数 k 的值为（）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
【答案】A
uuur uuur
【解析】因为 A、B、D 三点共线，所以$l R,使得 AB = l AD,
uuur ur uur uuur ur uur uuur ur uur
又 AB = 2e1 + ke2 ，BC = e1 + 3e2 ，DC = 2e1 - e2 ，
uuur uuur uuur uuur ur uur ur uur ur uur ur uur
所以 AD = AB + BC - DC = 2e1 + ke2 + e1 + 3e2 - 2e1 - e2 = e1 + k + 4 e2 ,
ur ur ur ur
则 2e1 + ke2 = l e1 + k + 4 e2 ,
则l = 2, l k + 4 = k,解得： k = 8.
故选：A.
【方法技巧】
r r r r r r
空间共线向量定理： a / /b b 0 a = lb ．
利用此定理可解决立体几何中的平行问题．
uuur uuur
【变式 2-1】已知向量 AB = (1, m, -3)， AC = (-3,6,9)，若A ， B ，C 三点共线，则m =（）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【解析】因为A ， B ，C 三点共线，则 AB = l AC ，又向量 AB = (1, m, -3)， AC = (-3,6,9)，
ì1 = -3l

所以 ím = 6l
1
，解得l = - ,m = -2，
3
-3 = 9l
故选：B.
【变式 2-2】在四面体 ABCD中，E 为 AD 的中点，G 为平面BCD的重心．若 AG 与平面BCE 交于点
AF
F，则 =AG （）
1 2 3 4
A． B． C． D．
2 3 4 5
【答案】C
【解析】如图：连接DG 交BC 于 H，则 H 为BC 中点，连接 AH , EH , AG ,
因为 AG 平面 AHD ，EH 平面 AHD ，设 AG I EH = K ，则K EH , K AG ，
又EH 平面BCE ，所以K 平面BCE ，故 K 为 AG 与平面BCE 的交点，
又因为 AG 与平面BCE 交于点 F，所以 F 与 K 重合，
又 E 为 AD 的中点，G 为平面BCD的重心，
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuuur 因为点 A，F，G 三点共线，则 AF = mAG = m AD + DG = m AD + DH3 ÷è
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= m AD
2 DB + DC
+ = m éAD 1+ AB - AD + AC - AD ù
è 3 2
÷
ê 3
ú
1 uuur uuur uuur= m AD + AB + AC3
uuur uuur uuur
又因为点 E，F，H 三点共线，则 AF = xAH + y AE, x + y =1 ，
uuur uuur uuur x uuur uuur uuurAF = xAH + y AE = AB y+ AC2 + AD ,2
ìm x
=
3 2
x + y =1 m 3
uuur 3 uuur AF 3
所以 í ，解得 = ，即 AF = AG =
4
，故
4 AG 4
.
m y=
3 2
故选：C.
r r uuur r r uuur2-3 a b AB 3a 6b BC 10ar
r uuur r r
【变式】已知空间向量，，且 = + ， = - +12b ，CD =14a - 4b ，则一定共线的
三点是（）
A．A 、 B 、C B． B 、C 、D
C．A 、 B 、D D．A 、C 、D
【答案】C
uuur r uuur r
【解析】因为 AB = 3ar + 6b ，BC = -10ar +12b ，若A 、 B 、C 三点共线，
uuur uuur ì-10 = 3l
则BC = l AB ，而 í12 6l 无解，故 A 错误. =
uuur
BC 10ar
r uuur r
因为 = - +12b ，CD =14ar - 4b 若 B 、C 、D三点共线，
uuur uuur ì-10 =14l
则BC = lCD，而 í12 4l 无解，故 B 错误. = -
uuur r r uuur r r uuur r r
因为 AB = 3a + 6b 、BC = -10a +12b 、CD =14a - 4b ，
uuur uuur uuur r r uuur 4 uuur
所以BD = BC + CD = 4a + 8b ，即BD = AB ，3
所以A 、 B 、D三点共线，故选 C 正确.
uuur r r uuur r r uuur r
因为 AB = 3a + 6b 、BC = -10a +12b 、CD =14ar - 4b ，
uuur uuur uuur
AC AB BC 7ar
r
所以 = + = - +18b ，若A 、C 、D三点共线，
uuur uuur ì-7 =14l
则 AC = lCD ，而 í18 4l 无解，故 D 错误. = -
故选：C.
【变式 2-4】在正方体 ABCD - A B C D D B D E
1
1 1 1 1中，点 E 在对角线 1 上，且 1 = EB ，点 F 在棱 D1C1上，3
若 A、E、F 三点共线，则 D1F = FC1 ．
1
【答案】 / 0.5
2
uuuur uuuur uuur uuuur uuuur
【解析】因为正方体中，D1B = D1A + AB = D1A + D1C1 ，
设 D1F = l FC D E
1
1 ，又 1 = EB ，3
uuuur uuuur l +1uuuur uuuur 1 uuuur l +1uuuur
所以4D1E = D1A + D1F ，即D1E = D A + D F ，l 4 1 4l 1
1 l +1 1 1
因为 A、E、F 三点共线，所以 + =1，解得l = ，即 D F = FC .
4 4l 2 1 2 1
1
故答案为： .
2
题型三：空间向量的数量积运算
【典例 3-1】已知 MN 是长方体外接球的一条直径，点 P 在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为 1、
uuuur uuur
1、4，则PM × PN 的取值范围为
é 17
【答案】 ê- ,0
ù
4 ú
uuur uuur uuuur
【解析】根据题意，以 D 为坐标原点，DA为 x 轴正方向，DC 为 y 轴正方向，DD1 为 z 轴正方向，建立空
间直角坐标系，如图示.
设长方体外接球球心为 O，则 DB1为外接球的一条直径，
设 O 为 DB1中点，不妨设 M 与 D 重合，N 与 B1重合.
所以MN = 1+1+ 42 = 3 2 ，
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur所以PM × PN = PO + OM × PO + ON
uuur uuuur uuur uuuur= PO + OM × PO - OM
uuur uuuur
=| PO |2 - | OM |2
uuur
=| PO |2 9- ，
2
1 uuur uuur 1 uuur uuur
由 P 在长方体表面上运动，所以 AD PO OD ，故 | PO |2
é1 , 9 ù
2 2 ê 4 2 ú
uuur
2 9 é 17
所以 | PO | - - ,0
ù uuuur uuur é 17 ù
2 ê 4 ú
，即PM × PN ê- ,0ú . 4
é 17
故答案为： ê- ,0
ù
4 ú
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 3-2】已知空间向量 AB = 0,1, -2 ， AC = 2 2π， AB, AC = ，则
3 AB × BC =
．
【答案】- 5 - 5
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur 2π uuur 2【解析】因为 AB·BC = AB· AC - AB = AB·AC - AB = AB · AC cos - AB ，3
uuur uuur uuur
AB = 02 +12又因为 + -2 2 = 5, AC AB cos 2π = 2 5× 1 -

÷ = - 5 ，3 è 2
uuur uuur
所以 AB·BC = - 5 - 5 .
故答案为：- 5 - 5 .
【方法技巧】
r r r r r r
a × b = a b cos a,b = x1x2 + y1 y2 + z1z2 ；
r r 2
求模长时，可根据 a = a = x 21 + y
2 + z 21 1 ；
r r
r r a × b
求空间向量夹角时，可先求其余弦值 cos a,b = r r ．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数
a b
r r r r
量积是否为 0，即 a × b = 0 a ^ b．
r r r r r r r r r r
a,b 为锐角 a × b > 0； a,b 为钝角 a × b < 0．由此，通常通过计算 a ×b的值来判断两向量夹角是
锐角还是钝角．
uuur uuur
【变式 3-1】棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，则 B A × C E = （）
A．1 B．－1 C． 3 D．- 3
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】 CE = CA + AE ，所以 BA ×CE = BA × CA + AE = BA ×CA + BA × AE = 2 2 cos60° + 2 1 cos120° =1．
故选：A．
uuur uuur uuur
【变式 3-2】设 O 为坐标原点，向量OA = 1,2,3 ，OB = 2,1,2 ，OP = 1,1,2 ，点 Q 在直线 OP 上运
uuur uuur
动，则QA ×QB 的最小值为（）
2 2 1 1
A． B．- C． D．-
3 3 3 3
【答案】B
uuur
【解析】∵ OP = 1,1,2 ，点 Q 在直线 OP 上运动，
uuur uuur
∴可设OQ = lOP = l,l, 2l .
uuur uuur
又向量OA = 1,2,3 ，OB = 2,1,2 ，
uuur uuur
∴ QA = 1- l, 2 - l,3- 2l ，QB = 2 - l,1- l, 2 - 2l ，
uuur uuur
则QA ×QB = 1- l 2 - l + 2 - l 1- l + 3 - 2l 2 - 2l = 6l 2 -16l +10 .
4 uuur uuur 2
易得当l = 时，QA ×QB 取得最小值- .
3 3
故选：B.
【变式 3-3】由四个棱长为 1 的正方体组合成的正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1（如图所示），点 P 是正方形
uuuur uuur
A1B1C1D1的中心，则 AD1 × AP =（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
uuuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
【解析】因为 AD1 = AD + AA1 ， AP = AB + AA1 + AD，2 2
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AD1 × AP = (AD + AA1)(
1 AB 1+ AA1 + AD)2 2
1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur2 1 uuur uuur uuur2 uuur uuurAD AB AD AA AD AB AA AA 1 AD AA 1
uuur2 uuur2
= × + × + + × + + × = AD + AA 1= 22 +12 = 3 .
2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
故选：C.
【变式 3-4】有一长方形的纸片 ABCD， AB 的长度为 4cm ，BC 的长度为3cm ，现沿它的一条对角线
uuur uuur
AC 把它折成直二面角，则折叠后 AC × BD = （）
A．-4 B．-16 C．-7 D．-9
【答案】C
3
【解析】在Rt 4△ABC 中， AC = AB2 + BC 2 = 5cm， cos BAC = ， cos ACB =5 ，5
所以 cos CAD
3
= ，
5
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4所以 AC × BD = AC × BA + AD = AC × BA + AC × AD = 5 4 - ÷ + 5 3 3 = -7 ，
è 5 5
故选：C．
【变式 3-5】（多选题）（2024·校考模拟预测）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知
AB = AD = AA1 =1， A1AB = A1AD = BAD = 60°，则（）
A．直线 A1C与BD所成的角为90°
B．线段 A1C的长度为 3
C．直线 A1C与BB1所成的角为90°
D．直线 A1C与平面 ABCD
6
所成角的正弦值为
3
【答案】AC
uuur r uuur r uuur r r r r r r r r r r 1
【解析】设 AB = a, AD = b , AA1 = c ，则 | a |=| b |=| c |=1，且 a ×b = b × c = c × a = ，2
uuur
A AC ar
r
b cr
uuur r
对于， 1 = + - , BD = b a
r
- ，
uuur uuur
r r r rAC × BD = ar b r+ - c × b ar- = b 2 - ar2 ar cr b cr1 + × - × = 0，
所以直线 A1C与BD所成的角为90°，故 A 正确；
uuur 2 r r r r r r r r
对于 B，因为 AC = (a + b - c)2 = a2 + b 21 + c
2 - 2b ×c = 2，
uuur
所以 A1C = 2 ，故 B 错误；
uuur uuur r r
对于 C，因为 A1C × BB1 = ar + b - cr ×cr ar= ×cr + b ×cr r- c 2 = 0，
所以BB1 ^ A1C ，故 C 正确；
对于 D，连接 AC ，交BD于点O，则O为BD, AC 的中点，
因为 AB = AD = AA1 =1， A1AB = A1AD = BAD = 60°，
所以 AC ^ BD ，
又因 A1C ^ BD, AC A1C = C, A1C, AC 平面 AA1C ，所以BD ^平面 AA1C ，
又 BD 平面 AA1C ，所以平面 AA1C ^平面 ABCD，
作 A1M ^ AC ，垂足为M ，
因为平面 AA1C ^平面 ABCD，平面 AA1C I平面 ABCD = AC ， A1M 平面 AA1C ，
所以 A1M ^ 平面 ABCD，
则 A1C与平面 ABCD所成的角为 A1CA，
在Rt△AA1C 中， AA1 =1, AC = 3，所以 sin A1CA
3
= ，
3
AC ABCD 3即直线 1 与平面所成角的正弦值为，故 D 错误.3
故选：AC.
uuur uuur
【变式 3-6】（多选题）空间直角坐标系中，已知O 0,0,0 ，OA = -1,2,1 ，OB = -1,2,-1 ，
uuur
OC = 2,3, -1 ，则（）
uuur
A． AB = 2
B．VABC 是等腰直角三角形
uuur 6 6 6 6 6 6
C．与OA平行的单位向量的坐标为 ,- ,- ÷÷或 - , ,
è 6 3 6 6 3 6
÷÷
è
uuur uuur 2 4 2
D．OA在OB 方向上的投影向量的坐标为 - , , ÷
è 3 3 3
【答案】AC
【解析】根据空间向量的线性运算，
uuur uuur uur
AB = OB - OA
= (-1,2,-1) - (-1,2,1)
= (0,0,-2)
uuur
\| AB |= 02 + 02 + (-2)2 = 2，选项 A 正确；
uuur uuur uur
AC = OC - OA
= (2,3,-1) - (-1,2,1)
= (3,1, -2)
uuur
\| AC |= 32 +12 + (-2)2 = 14
uuur uuur uuur
BC = OC - OB
= (2,3,-1) - (-1,2, -1)
= (3,1,0)
uuur
\| BC |= 32 +12 + 02 = 10
计算可得，VABC 三条边不相等，选项 B 不正确；
uuur
与OA平行的单位向量为：
r uur
e O= ± uuAr
| OA |
(-1,2,1)
= ±
(-1)2 + 22 +12
(-1,2,1)
= ±
6
6 6 6
= ±(- , , )
6 3 6
选项 C 正确；
uuur uuur uuur 2 4 2 2
OA在OB 方向上的投影向量与OB 向量共线， - , , ÷ = (-1,2,1) ，选项 D 不正确，
è 3 3 3 3
故选：AC.
题型四：三点共线问题
【典例 4-1】如图，在棱长均相等的平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，用空间向量证明下列结论．
若E 是棱CC1的中点，F 是 A1C 上靠近点C 的三等分点，求证： A, F , E 三点共线．
uuuur uuur uuur uuur
【解析】由题意，C1C = 2EC, A1C = 3FC ，
uuur uuur uuuur r 2 uuur uuur uuur uuur
故 AF = AA1 + A1F = a + A1C = a
r 2
+ AB + AD - AA3 3 1
2 r 2 r 1 r 2 r
= b + c + a = b c
r 1 r
+ + a
3 3 3 3 ÷
，
è 2
uuur uuur uuur uuur r
AE AB BC CE b cr 1 r又 = + + = + + a ，
2
uuur 2 uuur uuur uuur
所以 AF = AE ，由于 AF , AE 有公共点 A,
3
故 A, F , E 三点共线．
【典例 4-2】如图，已知M , N 分别为四面体 A - BCD的面BCD与面 ACD的重心，G 为 AM 上一点，
uuur uuur r uuur
且GM : GA = 1: 3 .设 AB = ar, AC b , AD r= = c .
ar r r uuur(1)请用 ,b ,c 表示BN ；
(2)求证：B,G, N 三点共线.
uuur uuur uuur 2 1 uuur uuur uuur r
【解析】（1） BN = AN - AB = (AC + AD) AB
1 b 1- = + cr ar-
3 2 3 3 ．
uuur uuuur uuuur uuuur 1 uuuur uuuur 1 uuur uuuur 3 uuuur
（2） BG = BM + MG
1 r
= BM - AM = BM - (AB + BM ) = BM - a
4 4 4 4
3 2 1 uuur uuur r(BC BD) 1 ar 1 (b ar cr ar) 1 ar 3 ar 1
r
b 1 r= + - = - + - - = - + + c
4 3 2 4 4 4 4 4 4 ；
uuur uuur
则 BG
3
= BN
4 ，
uuur uuur
又 BG, BN 有公共起点 B ，\B，G ， N 三点共线．
【方法技巧】
uuur uuur uuur uuur
先构造共起点的向量 AB ， AC ，然后证明存在非零实数 l ，使得 AB = l AC ．
1
【变式 4-1】如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，点M 在对角线 A1B 上，且 A1M = MB ，点2
1
N 在对角线 A1C 上，且 A1N = NC ．求证：M 、 N 、D1三点共线．3
uuur r uuur r
【解析】在平行六面体 ABCD - A1B1C1D
uuur r
1中，令 AB=a ， AD = b ， AA1 = c，
uuuur uuur r uuur uuur uuur r r uuuur 1 uuur 1 r r
则D1A1 = DA = -b ， A1B = AB - AA1 = a - c ， A1M = A3 1
B = a - c
3 ，
uuuuur uuuur uuuur r r r r r r
因此D1M = D1A A M b
1
1 + 1 = - + a - c 1= a - 3b - c3 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur r r r uuuur 1 uuur 1 r r r
又 A1C = A1B + BC = A1B + AD = a - c + b ， A1N = A1C = a - c + b ，4 4
uuuur uuuur uuuur r r r r r r r
因此D1N = D1A1 + A1N
1
= -b + a - c + b 1= a - 3b - c ，4 4
uuuuur 4 uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur
于是D1M = D N ，即有D M / /D N ，而D M 与D N 有公共点D ，3 1 1 1 1 1 1
所以M 、 N 、D1三点共线．
【变式 4-2】如图，已知 M，N 分别为四面体 A-BCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，G 为 AM 上一点，
且GM : GA = 1: 3 .求证：B，G，N 三点共线.
【解析】证明：取 CD 的中点 E，连接 AE，BE，
因为 M，N 分别为四面体 A-BCD 的面 DCD 与面 ACD 的重心，
所以 M 在 BE 上，N 在 AE 上，
uuur r uuur r uuur r
设 AB=a ， AC = b ， AD = c ，
因为 M 为V BCD 的重心，
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
所以 AM = AB + BM = AB
2 1
+ BC + BD
3 2
uuur 1 uuur uuur= AB + BC + BD3
uuur uuur uuur uuur uuur
= AB 1+ AC - AB + AD - AB3
1 uuur uuur uuurAB AC AD 1 r r r= + + = a + b + c3 3
uuur uuuur
因为GM = GA =1: 3，所以 AG
3
= AM ，
4
uuur uuur uuur uuur 3 uuuur r 1 r r r 3 r 1 r r所以BG = BA + AG = BA 1+ AM = -a + a + b + c = - a + b + c ，4 4 4 4 4
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur r r r uuur同理得BN = BA + AN = BA + AC + AD = -a 1+ b 1 4+ c = BG ，3 3 3 3
uuur uuur
∴ BN ∥BG .
又BN BG = B，
∴B，G，N 三点共线
题型五：多点共面问题
【典例 5-1】在下列条件中，使 M 与 A，B，C 一定共面的是（其中 O 为坐标原点）（）
uuuur uuur uuur uuur uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
A．OM = OA - OB - OC B．OM = OA + OB + OC5 3 2
uuuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r
C．OM + OA + OB + OC = 0 D．MA + MB + MC = 0
【答案】D
uuuur uuur uuur uuur
【解析】空间向量共面定理：OM = xOA + yOB + zOC ，若 A, B,C 不共线，且 A, B,C, M 共面，其充要条件
是 x + y + z =1 .
对 A，因为1-1-1 1，所以 A, B,C, M 四点不共面；
1 1 1 31
对 B，因为 + + = 1，所以 A, B,C, M5 3 2 30 四点不共面；
uuuur uuur uuur uuur r uuuur uuur uuur uuur
对 C，由OM + OA + OB + OC = 0可得OM = -OA - OB - OC ，
因为-1-1-1 = -3 1，所以 A, B,C, M 四点不共面；
uuur uuur uuur r uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur r
对 D，由MA + MB + MC = 0可得OA - OM + OB - OM + OC - OM = 0 ，
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 1 1
即OM = OA + OB + OC ，因为 + + = 1，所以 A, B,C, M 四点共面.
3 3 3 3 3 3
故选：D
r r r r r r
【典例 5-2】（2024·河南·模拟预测）已知空间向量 a = 1,2,0 ,b = (0,-1,1),c = (2,3,m)，若 a,b,c共面，
则实数m = （）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
r r r r r
【解析】因为 a = 1,2,0 ,b = (0,-1,1)不共线， a,b,c共面，
r r r
所以存在一对有序实数 (x, y)，使 c = xa + yb ，
所以 (2,3,m) = x(1,2,0) + y(0,-1,1) = (x,2x - y, y)，
ìx = 2 ìx = 2

所以 í2x - y = 3

，解得 íy =1 ，

y = m m =1
故选：A
【方法技巧】
要证明多点（如 A， B ，C ， D ）共面，可使用以下方法解题．
uuur uuur uuur
先作出从同一点出发的三个向量（如 AB ， AC ， AD ），然后证明存在两个实数 x, y ，使得
uuur uuur uuur
AD = xAB + y AC .
【变式 5-1】如图，已知四棱锥 P - ABCD 的底面是菱形，对角线 AC, BD 交于点O，OA = 4，OB = 3，
uuuur uuur
OP = 4,OP ^ 底面 ABCD，E, F 分别为侧棱PB, PD的中点，点M 在CP上且CM = 2MP．求证： A, E, M , F
四点共面.
【解析】因为平面 ABCD是菱形，所以 AC ^ BD ，
由OP ^平面 ABCD， AC, BD 平面 ABCD，得OP ^ AC,OP ^ BD，
所以OP,OA,OB 两两垂直，建立如图空间直角坐标系O - xyz ，
A(4,0,0), B(0,3,0),C(-4,0,0), D(0,-3,0), P(0,0, 4)，
E 0, 3则 ,2

÷ , F 0,
3
- ,2 ÷，
è 2 è 2
uuuur uuur 4 8
由CM = 2MP知，点M 为靠近 P 的三等分点，则M - ,0, ，
è 3 3 ÷
uuur 3 uuur uuuur
所以 AF = -4,- ,2÷ , AE
3 16 8= -4, ,2

÷ , AM = - ,0,

è 2 è 2 è 3 3 ÷
，

ì 16
- = -4x - 4y3
uuuur uuur uuur 3 3 2
设 AM = xAE + y AF ，则 í0 = x - y ，解得 x = y = ，
2 2 3
8
= 2x + 2y 3
uuuur 2 uuur 2 uuur uuuur uuur uuur
则 AM = AE + AF ，所以
3 3 AM , AE, AF
共面，
又直线 AM , AE, AF 的公共点为A ，所以 A, E, M , F 四点共面.
【变式 5-2】（2024·高三·北京海淀·开学考试）如图，正四棱锥 P - ABCD 的底面边长和高均为 2，
E，F 分别为PD， PB的中点．
(1)证明：EF ^ PC ；
1
(2)若点 M 是线段PC 上的点，且PM = PC ，判断点 M 是否在平面 AEF 内，并证明你的结论；
3
【解析】（1）连接 AC 、BD交于O，连接OP ，由正四棱锥的性质可得PO ^平面 ABCD，底面 ABCD为
正方形，则 AC ^ BD ，
所以以O为坐标原点，OA、OB 、OP 为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，
则 A( 2,0,0), B(0, 2,0), P(0,0, 2),C(- 2,0,0), D(0,- 2,0) 2，E(0, - ,1)，F (0, 2 ,1) ，
2 2
uuur uuur uuur uuur
则EF = (0, 2,0) ，PC = (- 2,0,-2)，则EF × PC = 0，
所以EF ^ PC .
uuur uuur
（2）由（1）知 AE = (- 2, 2- ,1) 2， AF = (- 2, ,1)，
2 2
uuur uuur 1 uuur
AP = (- 2,0,2)， AP + PC = (- 2,0,2)
1
+ (- 2,0, 4 4-2) = (- 2,0, )，
3 3 3 3
uuuur 1 uuur uuuur uuur uuuur uuur uuurPM PC AM AP PM AP 1 PC ( 4 2,0, 4又 = ，得 = + = + = - )，
3 3 3 3
uuur uuur uuuur 2 uuur 2 uuur
AE + AF = (-2 2,0,2)，所以 AM = AE + AF ，
3 3
所以A 、M 、E 、F 四点共面，即点M 在平面 AEF 内．
【变式 5-3】已知点D在VABC 确定的平面内，O是平面 ABC 外任意一点，实数 x, y 满足
uuur uuur uuur uuur
DO = xOA + 2yOB - 3OC ，则 x2 + y2 的最小值为（）
4
A B 2 5．． C．1 D．2
5 5
【答案】A
uuur uuur uuur uuur
【解析】因为DO = xOA + 2yOB - 3OC ，
uuur uuur uuur uuur
所以OD = -xOA - 2yOB + 3OC ，又点 D 在VABC 确定的平面内，O是平面 ABC 外任意一点，
所以-x - 2y + 3 =1，即 x = 2 - 2y ，
x2 4
2 4 4
则 + y2 = 2 - 2y 2 + y2 = 5y2 -8y + 4 = 5 y -
+ .
è 5 ÷ 5 5
故选：A.
uuur 2 uuur uuur 1 uuur
【变式 5-4】在正四棱锥P - ABCD 中，若PE = PB，PF = PC ，平面 AEF 与棱PD交于点G ，则
3 3
四棱锥P - AEFG与四棱锥P - ABCD 的体积比为（）
7 8 7 4
A． B． C． D．
46 45 45 45
【答案】B
【解析】如图所示，
uuur uuur
设PG = lPD ，由A 、E 、F 、G 四点共面，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
设 AF = xAE + y AG，则 AP + PF = x(AP + PE) + y(AP + PG)，
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
即 AP + (AB + AD - AP) = xAP
2x
+ (AB - AP) + y AP + y
3 3 l AD - l AP ，
2 x uuur uuur uuur r
得 - y - + l y ÷ AP
1 2x+ 1 - ÷ AB + - l y ÷ AD = 0 ，
è 3 3 è 3 3 è 3
ì2 x
- y - + l y = 0
3 3
uuur uuur uuur 1 2x uuur uuur
又 AP ， AB ， AD 不共面，则 í - = 0 ，解得：l=
2 2
，即 PG = PD
3 3 5 5
，
1
- l y = 0 3
h PF
设h h 11， 2 分别是点F 到平面 PAE 和点C 到平面PAB的距离，则 =h ，2 PC
VP- AEF VF -PAE SVPAE × h1 SVPAE PF PA × PE PF PE PF 2
所以 = = = × = × = × =V ，P- ABC VC -PAB SVPAB × h2 SVPAB PC PA × PB PC PB PC 9
V 1
V
= V P- AEF
1
=
P- ABC 2 P- ABCD
，V ，P- ABCD 9
VP- AGF V= F -PAG PA × PG PF PG PF 2 V= × = × = V 1= V P- AGF
1
同理， =V V PA × PD PC PD PC 15 ， P- ADC 2 P- ABCD ，P- ADC C -PAD V 15
，
P- ABCD
VP- AEFG V= P- AGF +VP- AEF 1 1 8= + =
VP- ABCD VP- ABCD 9 15 45
则四棱锥P - AEFG
8
与四棱锥P - ABCD 的体积比为 .
45
故选：B
1
【变式 5-5】如图四棱锥P - ABCD, ABC = 90o , AD//BC ，且 AD = AB = BC = 2，平面PCD ^平面
2
ABCD，且△PDC 是以 DPC为直角的等腰直角三角形，其中E 为棱PC 的中点，点F 在棱PD上，且
PF = 2FD .求证： A, B, E, F 四点共面.
1
【解析】证明：由 ABC = 90o , AD//BC ，且 AD = AB = BC = 2，
2
取BC 的中点M ，连接DM ，则DM = MC = 2 ，且DM ^ MC ，
所以DC = 22 + 22 = 2 2 ，
又△PDC 是以 DPC为直角的等腰直角三角形，所以DP = CP = 2 .
过点 P 作PN ^ CD ，垂足为 N ，则点 N 为DC 的中点，且 PN = 2 ，
因为平面PCD ^平面 ABCD，且平面PCD I平面 ABCD = DC ，
所以PN ^平面 ABCD，
故以 AB, AD所在的直线分别为 x 轴， y 轴，过点A 作垂直于平面 ABCD的 z 轴，建立如图所示空间直角坐
标系，
则 A(0,0,0) ，B(2,0,0), D(0, 2,0),C(2, 4,0)，P(1,3, 2)，
因为E 为棱PC 3 7 2的中点，所以E( , , ) ，又因为点F 在棱PD上，且PF = 2FD ，
2 2 2
F (1 , 7 , 2
uuur
) AF (1 , 7 2
uuur 3 7 2 uuur
所以，则 = , )， AE = ( , , )， AB = 2,0,0 ，
3 3 3 3 3 3 2 2 2
uuur uuur uuur
令 AE = l AB + m AF ，
3 7 2 1 7 2 1 7 2
则 ( , , ) = l(2,0,0) + m( , , ) = 2l + m, m, m2 2 2 3 3 3 3 3 3 ÷÷
，
è
ì
2l 1 + m
3
=
3 2
7 7
则 í m =
1 3
，解得l = , m = ，
3 2 2 2
2 2
m =
3 2
uuur 1 uuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故 AE = AB + AF ，则 AE, AB, AF 共面，且向量 AE, AB, AF 有公共点A ，
2 2
所以 A, B, E, F 四点共面.
【变式 5-6】已知正三棱锥P - ABC 的侧棱长为 2，过其底面中心O作动平面a 交线段PC 于点S，分
别交PA，PB的延长线于点M，N
1 1 1
，求 + + 的值．
PS PM PN
【解析】QVABC 是等边三角形，\O 是VABC 的重心，
uuur 1 uuur uuur
如图，延长 AO 交BC 于点D，则D为BC 的中点，\ AD = (AB + AC)，
2
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur故PO = PA + AO = PA + AD = PA + AB + AC = PA + PB - PA + PC - PA3 3 3
1 uuurPA 1
uuur
PB 1
uuur
= + + PC ，
3 3 3
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
设PA = xPM，PB = yPN，PC = zPS ，
uuur 1 uuuur 1 uuur 1 uuur
则PO = xPM + yPN + zPS ，
3 3 3
QO M 1 1 1，，N，S 四点共面，\ x + y + z =1，即 x+ y+ z =3，
3 3 3
x PA 2 y PB 2 z PC 2又 = = ， = = ， = = ，
PM PM PN PN PS PS
2 1 1 1\ + + ÷ = 3
1 1 1 3
，\ + + = ．
è PS PM PN PS PM PN 2
【变式 5-7】（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 = AC = BC = 2，
ACC1 = BCC1 = 60
o
，平面 A1ACC1⊥平面B1BCC1, E，F 分别为CC1, B1C1 的中点．
(1)求直线 AB 与平面 AEF 所成角的正弦值；
(2)若平面 AEF 平面 A1ABB1 = AM ，且M A1B1，求 AM 的长度．
o
【解析】（1）Q AC = 2, CE =1, ACC1 = 60 ，\ AE ^ CC1
又∵平面 A1ACC1⊥平面B1BCC1, AE 平面AA1CC1，
且平面 A1ACC1 平面B1BCC1 = CC1
\ AE ^平面B1BCC1，
连接BC1交EF 于G ，则 AE ^ BC1, AE ^ BE .
∵四边形B1BCC1是菱形，且E, F 是线段CC1, B1C1 的中点，\BC1 ^ EF ,
又∵ AE EF = E ，∴ BC1 ^ 平面 AEF ，
连接 AG ，则 BAG 为 AB 与平面 AEF 所成的角
连接 BE ，有 AE = BE = 3, \ AB = 6 ，
QBG 3 BC 3又 = 1 = ，4 2 \sin BAG
BG 6
= = ．
BA 4
（2）以E 为坐标原点，以射线EB, EC, EA方向为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系如图所示：
3 3
则 A(0,0, 3), F ,- ,0÷÷，B( 3,0,0), A1(0,-2, 3), B1( 3, -2,0)2 2 ，è
uuuur uuuur
设M (x, y, z)，∵ M A1B1，∴存在l 0,1 ,使得 A1M = l A1B1 ，
即 (x, y + 2, z - 3) = l( 3,0, - 3)，∴ M ( 3l,-2, 3 - 3l) .
uuuur
于是EM = ( 3l,-2, 3 - 3l) ，
uuur uuur
易得EA = (0,0, 3), EF
3 3
= , - ,0÷÷ .
è 2 2
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur
QEF , EM , EA共面，∴存在实数m, n使得EM = mEF + nEA，

即 ( 3l,-2, 3 - 3l)
3 m, 3= - m,0÷÷ + (0,0, 3n)，
è 2 2
ì
3l
3
= m ìl 2=
2

3
3 4 2 3
\ í -2 = - m ，\ím = ，∴M 的坐标为 ,-2,
3
2 3 è 3 3
÷÷，

3 - 3l = 3n n 1 =
3
2 2
2 3 ∴ AM 3 2 15= 3 ÷÷
+ 4 + - 33 ÷÷
= .
è è 3
【变式 5-8】如图，在边长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 P，Q，R 分别在棱 AB ， B1C1 ，D1D
上，且 AP = B1Q = D1R =1 .
（1）求点 D 到平面PQR 的距离；
AN
（2）若平面PQR 与线段 AC1的交点为 N，求 AC 的值.1
uuur uuur uuuur
【解析】（1）如图，以点 D 为坐标原点，分别以DA，DC ， DD1 的方向为 x，y，z 轴的正方向，建立空间
uuur
直角坐标系D - xyz ，则 A 3,0,0 ，P 3,1,0 ，R 0,0,2 ，Q 2,3,3 ，C1 0,3,3 ，PQ = -1,2,3 ，
uuur uuur uuuur uuur
PR = -3, -1,2 ， AP = 0,1,0 ， AC1 = -3,3,3 ，DR = 0,0,2 .
ur
设平面PQR 的法向量为m = x, y, z ，
v uuuvìm × PQ -x + 2y + 3z = 0
则 í v uuuv
= 0 ì
，代入可得 í ，
m × PR = 0 -3x - y + 2z = 0
ur
令 x =1，则 y = -1， z =1，所以m = 1, -1,1 ，
ur uuur
PQR m ×urDR 2 2 3故点 D 到平面的距离为 = = .
m 3 3
uuur uuur uuur
（2）因为点 N 在平面PQR 内，可设PN = mPQ + nPR （其中 m，n 为常数），
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
又 AN 与 AC1 共线，可设 AN = k AC1 ，由图可得 AN = AP + PN = AP + mPQ + nPR = k AC1 ，
即 0,1,0 + m -1,2,3 + n -3,-1,2 = k -3,3,3 ，
ì-m - 3n = -3k①

整理得 í1+ 2m - n = 3k②，

3m + 2n = 3k③
由①③可得 2m = n ④，
由②③可得m + 3n = 1⑤，
ìm 1 = 7 1
联立④⑤解得 í 2 ，代入②可得
k = ，
n = 3
7
uuur 1 uuuur AN 1
所以 AN = AC1 ，即 =3 AC
.
1 3
题型六：证明直线和直线平行
【典例 6-1】如图所示，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD为矩形，PD ^平面 ABCD，E 为CP 的
1
中点， N 为DE 的中点，DM = DB, DA = DP =1,CD = 2 ，求证：MN //AP．
4
【解析】证法一：由题意知，直线DA, DC, DP两两垂直，
以D为坐标原点，DA, DC, DP所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则D 0,0,0 , A 1,0,0 , P 0,0,1 , N 0,
1 , 1 , M 1 , 1 ,0 ，
è 2 4 ÷ ÷ è 4 2
uuur uuuur
AP ( 1 1所以 = -1,0,1), MN =

- ,0,

÷，
è 4 4
uuuur 1 uuur
所以MN = AP ，又M AP，故MN //AP．
4
uuuur uuuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 1 uuur uuur
证法二：由题意可得MN = MD + DN = BD + DE = BD + DC + DP
4 2 4 2 2
1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= BD 1 DC 1 DP 1 1 1+ + = BC + DP = AD + DP 1= AP，4 4 4 4 4 4 4
又M AP，所以MN //AP．
【典例 6-2】已知棱长为 1 的正方体OABC--O1A1B1C1在空间直角坐标系中的位置如图所示， D, E, F ,G
分别为棱O1A1, A1B1, BC, OC 的中点，求证：DE //GF .
【解析】因为正方体的棱长为 1， D, E, F ,G 分别为棱O1A1, A1B1, BC, OC 的中点，
1
所以有D ,0,1
1 1 1
， E

2 ÷
1, ,1÷ ， F ,1,0 G2 ÷，2
0, ,0÷，
è è è è 2
uuur 1 1 uuur uuur uuur
所以DE = , ,0

÷ ，GF
1 1
= , ,0

÷，则有DE = GF ，所以DE //GF .
è 2 2 è 2 2
【方法技巧】
r r
将证线线平行转化为证两向量共线．设 a,b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为 a,b ，则
r r r r
a / /b a = lb l R,l 0 .
【变式 6-1】如图，四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是 AC，BF 的中点，
求证：CE / /MN .
【解析】（方法 1）因为 M，N 分别是 AC，BF 的中点，且四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，
uuuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuurMN MA AF FN CA AF FB MN MC CE EB BN CA CE AF 1
uuur
则有 = + + = + + ，又 = + + + = - + - - FB ，
2 2 2 2
uuuur uuur uuur uuuur
两式相加得： 2MN = CE ，因此CE与MN 共线，而直线CE 与MN 不重合，
所以CE / /MN .
（方法 2）因为 M，N 分别是 AC，BF 的中点，且四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形，
uuuur uuur uuuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
MN = AN - AM = (AB + AF ) - AC = (AB + BE) - (AB + BC)
1 1
= (BE - BC) = CE ，
2 2 2 2 2 2
uuur uuuur
因此CE与MN 共线，而直线CE 与MN 不重合，
所以CE / /MN .
【变式 6-2】在四棱锥P- ABCD中，平面 ABCD⊥平面 PCD，底面 ABCD 为梯形． AB / /CD ，
AD ^ DC ，且 AB = 1， AD = DC = DP = 2， PDC =120o．若 M 是棱 PA 的中点，则对于棱 BC 上是否存
在一点 F，使得 MF 与 PC 平行．
【解析】在平面PCD内过点D作DH ^ DC ，交PC 于点H ，
因为平面 ABCD ^平面PCD，且平面 ABCD 平面PCD = CD，DH 平面PCD，
可得DH ^ 平面 ABCD，
又由 AD ^ DC ，所以 AD,CD, DH 两两垂直，
以D为原点，以DA, DC, DH 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
由 AB = 1， AD = DC = DP = 2， PDC =120o，
可得D(0,0,0), P(0, -1, 3), A(2,0,0), B(2,1,0),C(0, 2,0)，
假设BC 上存在点F ，使得MF / /PC ，
uuur uuur
设BF = l BC ，其中l [0,1]，
因为M 1 3是棱PA的中点，可得M (1, - , )，
2 2
uuur uuur
又由BC = (-2,1,0), BF = (-2l,l,0), F (2 - 2l,1+ l,0)，
uuur uuur
所以MF = (1- 2l, 3 + l, 3- ), PC = (0,3,- 3)，
2 2
ì
1- 2l = 0

uuur uuur 3
设MF = m PC ，可得 í + l = 3m ，此方程组无解，所以假设不成立，
2
3
- = - 3m
2
所以对于BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行，
即在线段BC 上不存在点F ，使得MF 与PC 平行．
题型七：证明直线和平面平行
【典例 7-1】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥 P-ABCD 与正方体
ABCD - A1B
3
1C1D1组合而成的，且PC = AB .
2
求证：PC / / 平面 ADC1B1；
【解析】如图以点 A1为原点， A1D1为 x 轴 A1B1 为 y 轴 A1A为 z 轴建立空间直角坐标系．
设 AB = 2a ,则 PC 3= AB = 3a ,过 P 作PP1平面 ABCD . P - ABCD 是正四棱锥点 1是正方形 ABCD的中2
心,
因为PC 2 = PP2 21 + CP1 ，PC = 3a,CP1 = 2a ，所以PP1 = a ,
uuur
C 2a, 2a, 2a , P a, a,3a , PC = -a,-a,a
r
设平面 ADC1B1法向量为 n = x, y, z ,
A 0,0,2a , D 0,2a, 2a ,C1 2a, 2a,0 ,
uuur uuuur
AD = 2a,0,0 , AC1 = 2a, 2a,-2a ,
ì2ax = 0
则 í
2ax + 2ay
,
- 2az = 0
ìx = 0

可得 íy =1 ,

z =1
r r uuur
所以 n = 0,1,1 , n·PC = 0 - a + a = 0 , PC 不在平面 ADC1B1内，所以PC / / 平面 ADC1B1
【典例 7-2】如图，在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD满足 AB ^ AD ， AB ^ BC, SA ^底面 ABCD，
且 SA = AB = BC =1, AD = 0.5，E 为 SB 中点．求证： AE // 面 SCD
【解析】由题可知 SA ^ 底面 ABCD， AB ^ AD ，故 AS、AB、AD 两两垂直．
则以 A 为原点， AD、AB、AS 分别为 x、y、z 轴正方向建系，
A 0,0,0 , D 1 ,0,0÷ , S 0,0,1 , B 0,1,0 ,C 1,1,0 , E

0,
1 , 1 ÷，
è 2 è 2 2
uuur 1 1 uuur 1 uuur
则 AE = 0, , ÷ ，DC = ,1,0

÷， SD
1= ,0,-1
2 2 2 ÷
，
è è è 2
r
设平面 SCD 的一个法向量为m = x, y, z ，
r uuur ì1ìm × DC = 0 x + y = 0 2
则 í r uuur ，即 í ，令 x = 2，则 y = -1, z =11 ， m × SD = 0 x - z = 0
2
mr所以 = 2, -1,1 ，
uuur r 1 1
而 AE × m = 0 2 + -1 + 1 = 0，
2 2
uuur ur
所以 AE ^ m，又 AE 面 SCD ，
∴ AE // 面 SCD ；
【方法技巧】
r r
（1）利用共面向量定理．设 a,b 为平面a 内不共线的两个向量，证明存在两个实数 x, y ，使得
r r r
l = xa + yb ，则 l / /a ．
（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行．
（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）．
【变式 7-1】如图所示，正方形 AA1D1D 与矩形 ABCD所在平面互相垂直， AB = 2AD = 2，点E 为 AB
的中点.
求证：BD1 // 平面 A1DE ；
【解析】Q平面 AA1D1D ^ 平面 ABCD，
平面 AA1D1D 平面 ABCD = AD ，
DD1 ^ AD, DD1 平面 AA1D1D,\DD1 ^平面 ABCD，
则以D为坐标原点，DA, DC, DD1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz ，则
D 0,0,0 ,C 0,2,0 , A1 1,0,1 , D1 0,0,1 , B 1,2,0 , E 1,1,0 .
uuuur uuur
\DA1 = 1,0,1 , DE = 1,1,0 ，
ur uuuur
ìn × DA = x + z = 0
设平面 A1DE

的法向量为 1 = ( 1, 1, ) ur
1 1 1 1
1 ，则 í ，
n1 × DE = x1 + y1 = 0
ur
令 x1 =1，解得： y1 = -1, z1 = -1,\n1 = 1,-1,-1 ，
uuuur uuuur ur uuuur ur
又BD1 = -1, -2,1 ,\BD1 × n1 = 0，即BD1 ^ n1 ，
又BD1 平面 A1DE,\BD1 // 平面 A1DE ；
【变式 7-2】由四棱柱 ABCD - A1B1C1D1截去三棱锥D1 - A1DC1后得到如图所示的几何体，四边形
ABCD是菱形， AC = 4, BD = 2,O 为 AC 与BD的交点，B1O ^平面 ABCD .求证：B1O / / 平面 A1DC1
【解析】四边形 ABCD是菱形，则 AC ⊥ BD，
又B1O ^平面 ABCD， AC, BD 平面 ABCD，故B1O ^ AC ，B1O ^ BD，
故B1O, AC, BD 两两垂直，以直线OA,OD,OB1 分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，
其中 AC = 4, BD = 2，则O 0,0,0 , A 2,0,0 , B 0,-1,0 ,C -2,0,0 , D 0,1,0 ，
设B1 0,0, a ，
uuur uuur
由 AA1 = BB1 = 0,1, a ，得 A1 2,1, a ，
uuuur uuur
由CC1 = BB1 = 0,1, a ，得C1 -2,1,a ，
uuuur uuuur uuur
则 A1C1 = -4,0,0 , DA1 = 2,0,a ,OB1 = 0,0,a ，
设平面 A1DC
r
1的法向量为m = x, y, z ，
uuuur
ìm
r
× A
u1
C1 = 0, ì -4x = 0,
则 í r uuur í ，取 y =1，得m
r
= 0,1,0 ，
m × DA 2x + az = 0,1 = 0
uuur
mr OB 0 0 1 0 0 a 0 mr
uuur
\ × 1 = + + = ^ OB1 ，
又OB1 平面 A1DC1，
\OB1 / / 平面 A1DC1 .
题型八：证明平面与平面平行
【典例 8-1】如图所示，平面 PAD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且
PA＝AD＝2，E，F，G 分别是线段 PA，PD，CD 的中点，求证：平面 EFG∥平面 PBC．
【解析】因为平面 PAD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，
所以 AB，AP，AD 两两垂直，
以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，
0)．
uuur uuur uuur uuur
所以PB = (2,0, -2)，FE = (0, -1,0) ，FG = (1,1, -1) ，BC = (0, 2,0) ，
ur
设 n1 = (x1, y1, z1)是平面 EFG 的法向量，
ur uuur
ur uuur ur uuur ì n1 × FE = 0 ì -y = 0
则 n1 ^ FE ， n1 ^ FG，即 íur uuur
1
，得 í
n × FG = 0 x1 + y z 0
，
- =
1 1 1
ur
令 z1 =1，则 x1 =1， y1 = 0 ，所以 n1 = (1,0,1)，
uur
设 n2 = (x2 , y2 , z2 ) 是平面 PBC 的法向量，
uur uuur
uur uuur uur uuur ì n2 × PB = 0 ì2x - 2z = 0
由 n2 ^ PB ， n2 ^ BC ，即 íuur uuur
2 2
，得 í ，
n2 × BC = 0 2y2 = 0
uur
令 z2 =1，则 x2 =1， y2 = 0，所以 n2 = (1,0,1) ，
ur uur
所以 n1 = n2 ，所以平面 EFG∥平面 PBC．
【典例 8-2】如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4，BC = 3，CC1 = 2 .求证：平面 A1C1B / /平
面 ACD1 .
【解析】以 D 为原点， DA, DC, DD1 DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(3,0,0) ，B(3, 4,0)，C(0,4,0)， A1(3,0, 2) ，B1(3, 4, 2)，C1(0,4,2)，D1(0,0,2)，
uuuur uuur uuur uuuur
则 A1C1 = (-3,4,0)， A1B = (0, 4, -2)， AC = (-3,4,0) ， AD1 = (-3,0,2) .
r
设平面 A1C1B的法向量为n = (x, y,z)，
uuuur
ì r n × A1C1 = -3x + 4y = 0
则 í r uuur .
n × A1B = 4y - 2z = 0
取 x = 4，则 y = 3， z = 6，
r
所以平面 A1C1B的一个法向量为 n = (4,3,6) .
ur
设平面 ACD1的法向量为m = (a,b,c)，
r uuurì m × AC = -3a + 4b = 0
则 í r uuuur .
m × AD1 = -3a + 2c = 0
取 a = 4，则b = 3， c = 6，
ur
所以平面 ACD1的一个法向量为m = (4,3,6) .
ur r ur r
因为m = n ，即m / /n，
所以平面 A1C1B / /平面 ACD1 .
【方法技巧】
（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行．
（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）．
【变式 8-1】如图所示，正四棱 ABCD - A1B1C1D1 的底面边长 1，侧棱长 4， AA1中点为E ，CC1 中点为
F ．求证：平面BDE / / 平面B1D1F .
【解析】以A 为原点， AB ， AD ， AA1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图
则 B(1 ,0, 0) ，D(0 ,1, 0) ，E(0 ,0, 2) ， B1 (1 ,0, 4) ， D1(0 ,1, 4) ， F (1 ,1, 2) ，
uuur uuur
Q DE = FB1 = (0, -1,2)，\DE / /FB1 ，同理BD // B1D1，
QDE 平面B1D1F ，FB1 平面B1D1F ，\DE / /平面B1D1F ，
QBD 平面B1D1F ，B1D1 平面B1D1F ，\ BD / / 平面B1D1F ，
又DE BD = D, DE, BD 平面BDE
\平面BDE 与平面B1D1F 平行．
【变式 8-2】如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4，BC = 3，CC1 = 2 .
(1)求证：平面 A1C1B / /平面 ACD1 .
(2)线段B1C 上是否存在点 P，使得 A1P / / 平面 ACD1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：以 D 为原点，DA，DC ，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直
角坐标系，
则 A(3,0,0) ，B(3, 4,0)，C(0,4,0)， A1(3,0, 2) ，B1(3, 4, 2)，C1(0,4,2)，D1(0,0,2)，
uuuur uuur uuur uuuur
则 A1C1 = (-3,4,0)， A1B = (0, 4, -2)， AC = (-3,4,0) ， AD1 = (-3,0,2) .
r
设平面 A1C1B的法向量为n = (x, y,z)，
r uuuur
ìn × A1C1 = -3x + 4y = 0
则 í r uuur .
n × A1B = 4y - 2z = 0
r
取 x = 4，则 y = 3， z = 6，所以平面 A1C1B的一个法向量为 n = (4,3,6) .
ur
设平面 ACD1的法向量为m = (a,b,c)，
r uuur
ì m × AC = -3a + 4b = 0
则 í r uuuur .
m × AD1 = -3a + 2c = 0
ur
取 a = 4，则b = 3， c = 6，所以平面 ACD1的一个法向量为m = (4,3,6) .
ur r ur r
因为m = n ，即m / /n，所以平面 A1C1B / /平面 ACD1 .
（2）设线段B1C 上存在点 P 使得 A1P / / 平面 ACD1，B1P = tB1C(0 t 1) .
uuuur uuur ur
由（1）得 A1B1 = (0, 4,0)，B1C = (-3,0, -2) ，平面 ACD1的一个法向量为m = (4,3,6)，
uuur uuuur uuur uuuur uuur
所以 A1P = A1B1 + B1P = A1B1 + tB1C = (-3t, 4, -2t) .
ur uuur 1
所以m × A1P = -3t 4 + 4 3 + (-2t) 6 = 0，解得 t = .2
所以当 P 为线段B1C 的中点时， A1P / / 平面 ACD1 .
题型九：证明直线与直线垂直
【典例 9-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥 A - BCD中， AB = AC = BC = CD = 2，
BCD =120°， AB ^ AD ，E 为线段BD的中点．
证明： AB ^CE ．
【解析】作OG ^面BCD，OT ^ BC ，
如图，以BC 中点O为原点建立如下空间直角坐标系，
所以B(0, -1,0)，因为 AB = AC = BC = CD = 2，
所以C(0,1,0) ，VABC 是等边三角形，设D(x, y,0) ，
x y -1
因为E 为线段BD的中点，所以E( , ,0)，CE ^ BD ，
2 2
uuur uuur uuur uuur
故BD ×CE = 0，所以BD = (x, y +1,0) ，CE = (
x , y -1 -1,0)，
2 2
x x y 1)( y -1得到 + + -1) = 0，
2 2
1
因为 BCD =120°，所以 cos BCD = - ，
2
uuur uuur
而CB = (0, -2,0)，CD = (x, y -1,0)，
1 -2(y -1)
所以- =2 4 x2 ，+ (y -1)2
解得 x = 3, y = 2 ，所以D( 3, 2,0) 3，E( , 1 ,0) ，
2 2
uuur
所以CE = ( 3 , 1- ,0)，设 A(a,b,c)，因为VABC 是等边三角形，
2 2
uuur uuur uuur uuur
所以BC ^ OA，故BC ×OA = 0，而BC = (0, 2,0) ，OA = (a,b,c) ，
所以 2b = 0，解得b = 0，所以 A(a,0,c)，
uuur uuur uuur
因为 AB ^ AD ，所以 AB × AD = 0 ， AB = (-a, -1, -c)
uuur
AD = ( 3 - a, 2, -c)，故-a( 3 - a) - 2 + c2 = 0，
3 2 6
由两点间距离公式得 a2 + c2 +1 = 4，解得 a = ,c = ，
3 3
uuur
所以 A( 3 ,0, 2 6 )，故 AB = ( 3- , -1, 2 6- )，
3 3 3 3
uuur 3 1 uuur uuur 3 3 1
而CE = ( ,- ,0)，可得 AB ×CE = - + = 0，故 AB ^CE 得证.
2 2 3 2 2
【典例 9-2】如图，直三棱柱 ABC - A B C 中， ABC = 90o1 1 1 ，CB = 1，CA = 2， AA1 = 6 ，M 是CC1
的中点．
(1)求直线BA1的一个方向向量；
(2)求证： AM ^ BA1．
【解析】（1）
由题意知，BC, BA, BB1两两垂直，故以点 B 为原点，
uuur uuur uuur
分别以BC 、BA与BB1 的方向为 x, y 与 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
所以B 0,0,0 、C 1,0,0 、 A 0, 3,0 、B1 0,0, 6 、
C1 1,0, 6 、 A1 0, 3, 6 ．
uuur
则BA1 = 0, 3, 6 ，是直线BA1的一个方向向量
6 uuuur 6
（2）因为 M 是CC1的中点，所以M 1,0, ÷÷，所以 AM = 1, - 3, ，
è 2 2 ÷
÷
è
uuur uuuur
又因为BA1 × AM = 0 1+ 3 - 3 + 6 6 = 0，2
uuur uuuur
所以BA1 ^ AM ，所以 AM ^ BA1．
【方法技巧】
r r r r r r
设直线 l1, l2 的方向向量为 a,b ，则 a ^ b a × b = 0 .
【变式 9-1】在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PC ^ PD，PC = PD ，O为
CD的中点，二面角 A - CD - P为直二面角.求证：PB ^ PD .
【解析】因为PC = PD ，O为CD的中点，所以PO ^ CD，
由二面角 A - CD - P为直二面角，故平面PCD ^平面 ABCD，
又平面PCD I平面 ABCD = CD，PO 平面 PCD，
所以PO ^平面 ABCD，
因为CD = 2，PC ^ PD，PC = PD ，所以PO =1，
取 AB 的中点E ，连接OE ，则OE ^ CD，
以点 O 为坐标原点，OD ，OE ，OP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴，
如图建立空间直角坐标系O - xyz ，
则 (0,0,0)，D 1,0,0 ，C -1,0,0 ，B -1,2,0 ， (0,0,1)， A 1,2,0 ，
uuur uuur
PB = -1,2,-1 ，PD = 1,0,-1 ，
uuur uuur
因为PB × PD = -1+ 0 +1 = 0，所以PB ^ PD．
【变式 9-2】如图，在多面体PABCD中， ABC = 90o ,VDAB,VDBC 都是等边三角形，
AC = 2 2, PB = 2, PB ^平面 ABC, M 为PC 的中点.证明：BM ^ AD
【解析】由 ABC = 90o ,VDAB,VDBC 都是等边三角形， AC = 2 2 ，可得 AB = BC = 2 .
取 AC 的中点为Q，则QB = QC = QA，
又DB = DC = DA，所以VQBD @VQCD @VQAD ，
所以 DQA = DQC = DQB = 90o ，即 DQ ^ AC, DQ ^ BQ ，
又 AC I BQ = Q, AC、BQ 平面 ABC ，故 DQ ^平面 ABC .
因为△ABC @△ADC ，所以 ADC = ABC = 90o , DQ
1
= AC = 2 .
2
因为PB ^ 平面 ABC, ABC = 90o ， AB、BC 平面 ABC ，
所以PB ^ AB, PB ^ BC ，又 AB ^ BC ，所以BA, BC, BP两两垂直，
以 B 为原点，BA, BC, BP所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，

则 A 2,0,0 , D 1,1,- 2 , P 0,0, 2 ,C 0,2,0 ，M 0,1,
2
2 ÷÷
，
è
uuur uuuur 2
所以 AD = -1,1,- 2 , BM = 0,1, ，
è 2
÷÷

uuur uuuur
所以 AD × BM = 0，则 AD ^ BM .
题型十：证明直线与平面垂直
【典例 10-1】如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，BC = CC1, M , N , P 分别是CC1, AB, BB1 的中点．
在线段BB1上是否存在一点 Q，使 AB1 ^平面 A1MQ？若存在，确定点 Q 的位置；若不存在，也请说明理
由．
【解析】假设在线段BB1上存在一点 Q，使 AB1 ^平面 A1MQ．
取BC 的中点 O，以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC = 2, BQ = a(0 a 2)，则M (0, -1,1), A( 3,0,0), B1(0,1, 2), A1( 3,0, 2),Q(0,1, a) ，
uuur uuuur uuuur
\ AB1 = (- 3,1,2), MQ = (0, 2,a -1), A1M = (- 3,-1,-1) ．
uuur uuuur
Q AB1 ^ 平面 A1MQ,\ AB1 ^ MQ ，
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
AB1 ^ A1M ,\ AB1 × MQ = 2 + 2a - 2 = 0, AB1 × A1M = 3 -1- 2 = 0，解得 a = 0，
∴在线段BB1上存在一点 Q，使 AB1 ^平面 A1MQ，此时点 Q 为点 B．
【典例 10-2】如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB = BC = 2， AB ^ BC ，CC1 = 2 3 ，
uuur uuur
BE BB (0 1) l 1= l 1 < l < .当 = 时，求证：CE ^平面 ABC ；3 1
【解析】证明：以 B 为坐标原点，以BC, BA, BB1所在的直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
B(0,0,0),C(2,0,0), A(0, 2,0),C1(2,0, 2 3), E(0,0, 2 3l)，
1 uuur uuuur uuur
当l = 时，
3 E(0,0,
2 3 )，所以 AB = (0, -2,0), BC1 = (2,0, 2 3),CE = (-2,0,
2 3 )，
3 3
uuur uuur uuuur uuur
可得 AB ×CE = 0, BC1 ×CE = 0，所以CE ^ AB,CE ^ BC1，
又因为 AB I BC1 = B ， AB 平面 ABC1，BC1 平面 ABC1，
所以CE ^平面 ABC1 .
【方法技巧】
（1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直．
（2）证明直线和平面内的任一直线垂直．
（3）转化为证明直线与平面的法向量共线．
【变式 10-1】如图， ABCD - A1B1C1D1为正方体．
证明： BD1 ^平面 AB1C ；
【解析】如图，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为 1，
则 A 1,0,0 , B 1,1,0 ,C 0,1,0 , B1 1,1,1 ,C1 0,1,1 , D1 0,0,1 ,
uuuur uuur uuur
因为BD1 = -1, -1,1 , AC = -1,1,0 , AB1 = 0,1,1 ，
uuuur uuur uuuur uuur
且BD1 × AC = -1 -1 + -1 1+1 = 0, BD1 × AB1 = -1 0 + -1 1+1 = 0，
所以BD1 ^ AC, BD1 ^ AB1 ，
又 AC AB1 = A， AC, AB1 平面 AB1C1，
所以 BD1 ^平面 AB1C1；
【变式 10-2】如图，在三棱锥P - ABC 中， AB ^ BC ， AB = BC = kPA，点O，D分别是 AC ，PC 的
中点. OP ^底面 ABC .
(1)求证：OD / / 平面PAB；
(2)当 k 取何值时，O在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？
【解析】（1）连接OB ，
QOP ^平面 ABC ，OA = OC ， AB = BC ，
\OA ^ OB ，OA ^ OP，OB ^ OP ，
以O为原点，OA，OB ，OP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系（如图）.
2
设 AB = a ，则 A a,0,0
2 2
÷÷，B2
0, a,0÷÷，C - a,0,0÷÷ .
è è 2 è 2
设OP = h ，则P(0,0,h) .
uuur 2 1 uuur
QD为PC 的中点，\OD
2
= - a,0, h÷÷ ，又PA = a,0,-h4 2 2 ÷÷
，
è è
uuur 1 uuur uuur uuur
\OD = - PA，\OD / /PA，则OD//PA，2
又OD 平面PAB，PA 平面PAB
\OD / / 平面PAB .

G 2 a, 2

（2）设△PBC 的重心为G ，则 - a,
1 h
6 6 3 ÷÷
，
è
uuur 2 2 1
\OG = - a, a, h ，
è 6 6 3
÷÷

uuur uuur
QOG ^平面 PBC ，又PB 平面 PBC \OG ^ PB，
uuur 2 uuur uuur
又PB = 0, a,-h÷÷，\OG × PB
1 a2 1= - h2 = 0，
è 2 6 3
uuur uuur 2
\h 2= a，\ PA = OA + h2 = a ，即 k =1，
2
经检验，当 k =1时，O在平面 PBC 内的射影为△PBC 的重心，
所以 k =1 .
题型十一：证明平面和平面垂直
【典例 11-1】如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD为平行四边形， AD = 3，BD = 4，
AB = 5，DD1 = 6，E 是CC1的中点．平面a 满足：直线 AC1∥平面a ，直线BE / /平面a ．求证：平面
a ^平面 ADD1
【解析】由 AD = 3， AB = 5，BD = 4，可得 AD2 + BD2 = AB2，\ AD ^ BD ，
在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，DD1 ^平面 ABCD，
DB 平面 ABCD，DA 平面 ABCD，所以DD1 ^ DB，DD1 ^ DA，
所以DA, DB, DD1两两相互垂直，
所以以D为原点，DA, DB, DD1所在直线分别为 x, y, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D 0,0,0 ， A 3,0,0 ，B 0,4,0 ，C1 -3,4,6 ，E -3,4,3 ，
uuuur uuur
\ AC1 = -6,4,6 ，BE = -3,0,3 ，
r
设m = x, y, z 为平面a 的一个法向量，
r uuuurì m × AC1 = -6x + 4y + 6z = 0
则 í r uuur ，
m × BE = -3x + 3z = 0
r
令 x =1，则 z =1， y = 0 ，所以m = 1,0,1 ，
uuur
又BD ^平面 ADD1，所以DB = 0,4,0 为平面 ADD1的一个法向量，
r uuur r uuur
又m × DB = 0，即m ^ DB ，
所以平面 ADD1 ^平面a .
1
【典例 11-2】如图，四边形 ABCD为正方形，PD ^平面 ABCD，PD / /QA，QA = AB = PD .证明：
2
平面 PQB ^平面DCQ
【解析】由题意易知DA, DP, DC 两两互相垂直.
如图，以 D 为坐标原点，DA, DP, DC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，
建立空间直角坐标系D - xyz .设DA =1 .
依题意有D 0,0,0 ,Q 1,1,0 ,C 0,0,1 , P 0,2,0 ，
uuur uuur uuur
则DQ = 1,1,0 , DC = 0,0,1 , PQ = 1,-1,0 ，
uuur uuur
所以PQ × DQ =1 1+1 -1 + 0 = 0，
uuur uuur
PQ × DC = 0 1+ 0 -1 +1 0 = 0，
即PQ ^ QD, PQ ^ DC ，
又DQ DC = D ，DQ, DC 平面DCQ ，
故PQ ^平面DCQ .又PQ 平面PQB ，
所以平面 PQB ^平面DCQ .
【方法技巧】
（1）转化为证明两平面的法向量互相垂直
（2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面．
【变式 11-1】如图所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，C1C = CB = CA = 2, AC ^ BC, D, E分别为棱
C1C, B1C1的中点．证明：平面 ACE ^ 平面 A1BD．
【解析】如图，以 C 为坐标原点，CA,CB,CC1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0), A(2,0,0), B(0, 2,0), A1(2,0, 2), E(0,1, 2), D(0,0,1)，
uuur uuur uuuur uuur
所以CA = (2,0,0), AE = (-2,1,2), DA1 = (2,0,1), DB = (0, 2, -1)．
ur
设平面 A1BD的法向量为m = (x, y, z)，
r uuurì m ×CA = 0 ì2x + z = 0
则 í r uuur
1
，即 í ，令 x = -1，
m × DB = 0 2y - z = 0
ur
可得平面 A1BD的一个法向量m = (-1,1,2) ．
r
设平面 ACE 的法向量为 n = (a,b,c) ，
r uuur
ìn ×CA = 0 ì2a = 0
则 í r uuur ，即 í ，令b = 2 ，
n × AE = 0 -2a + b + 2c = 0
r
可得平面 ACE 的一个法向量 n = (0, 2, -1)．
ur r
因为m × n = -1 0 +1 2 + 2 (-1) = 0，
ur r
所以m ^ n，
所以平面 ACE ^ 平面 A1BD．
【变式 11-2】平面上两个等腰直角VPAC 和VABC ， AC 既是VPAC 的斜边又是VABC 的直角边，沿
AC 边折叠使得平面PAC ^平面 ABC ，M 为斜边 AB 的中点．
(1)求证： AC ^ PM ；
PN
(2)在线段 PB上是否存在点 N ，使得平面CNM ^平面 PAB？若存在，求出的值；若不存在，说明理

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第05讲 空间向量及其应用（十六大题型）（讲义）（含答案）第七章 立体几何与空间向量 2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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