资源简介

第 08 讲 函数模型及其应用
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：几种常见的函数模型 ................................................................................................................................4
知识点 2：解函数应用问题的步骤 ............................................................................................................................5
题型一：二次函数模型，分段函数模型 ...................................................................................................................6
题型二：对勾函数模型 ...............................................................................................................................................9
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型 .................................................................................................12
题型四：已知函数模型的实际问题 .........................................................................................................................15
题型五：构造函数模型的实际问题 .........................................................................................................................18
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................22
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................25
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................29
易错点：函数模型应用错误 .....................................................................................................................................29
答题模板：数学建模 .................................................................................................................................................29
考点要求 考题统计 考情分析
高考对函数模型的考查相对稳定，考
2023 年 I 卷第 10 题，5 分 查内容、频率、题型、难度均变化不
（1）利用函数模型解决问题 2020 年 II 卷第 3 题，5 分 大．2025 年高考可能结合函数与生活应
2020 年 I 卷第 6 题，5 分 用进行考察，对学生建模能力和数学应用
能力综合考察．
复习目标：
（1）了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．
（2）理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．
（3）会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识点 1：几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x) ax b(a ，b为常数且 a 0)
反比例函数模型 f (x) k b(k ，b为常数且 a 0)
x
二次函数模型 f (x) ax2 bx c(a，b，c为常数且 a 0)
指数函数模型 f (x) bax c(a ，b，c为常数， b 0 ， a 0 ， a 1)
对数函数模型 f (x) b log a x c(a ，b，c为常数， b 0 ， a 0 ， a 1)
幂函数模型 f (x) axn b(a ，b为常数， a 0)
【诊断自测】近年来，天然气表观消费量从 2006 年的不到600 108 m3激增到 2021 年的3726 108 m3. 从
2000 年开始统计，记 k 表示从 2000 年开始的第几年，0 k ，k N.经计算机拟合后发现，天然气表观消
k
费量随时间的变化情况符合Vk V0 1 ra ，其中Vk 是从 2000 年后第 k 年天然气消费量，V0 是 2000 年的天
然气消费量， ra 是过去 20 年的年复合增长率.已知 2009 年的天然气消费量为900 108 m3，2018 年的天然气
消费量为 2880 108 m3，根据拟合的模型，可以预测 2024 年的天然气消费量约为（ ）
2 2 2
（参考数据： 2.88 3 2.02 ，3.2 3 2.17，4 3 2.52
A．5817.6 108 m3 B．6249.6 108 m3
C．6928.2 108 m3 D．7257.6 108 m3
【答案】B
【解析】据题意V V (1 r )99 0 a 900 10
8 m3 ，V18 V0 (1 r )
18
a 2880 10
8 m3 ，两式相除可得 (1 r )9a 3.2 ，
2
又因为V V (1 r )6 2880 108 (3.2)3 8 3，24 18 a 6249.6 10 m
故选：B．
知识点 2：解函数应用问题的步骤
（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数
学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
【诊断自测】长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效
益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础联合调度，
水库实际蓄水量
统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝ ×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合
水库总蓄水量
调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间 0,100 ；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记 x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个 y 关于 x 的函数解析式：
y 1 x π① - x2 6x ；② y 10 x ；③ y 1050 ；④ y 100sin x．20 200
则满足此次联合调度要求的函数解析式的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
1 2 1 2 1 2
【解析】① y - x 6x - x -120x - x - 60 180，20 20 20
该函数在 x 60 时函数值为180 ，超过了范围，不合题意；
② y 10 x 为增函数，且 x [0,100], y [0,100]
且 x 10，则 x 10 x ，符合题意；
x x
③ y 1050 ，当 x 50 时1050 10 <50，不合题意
π π π
④ y 100sin x，当 x [0,100]
é
时， x 0, ù ，
200 200 ê 2 ú
π
故该函数在[0,100]上单调递增，又 y 100sin x 0,100
200
设 g x 100sin π x - x, x 0,100
200
g x 100 π cos π × × x -1, x 0,100
200 200
即 g x π π ×cos x -1，
2 200
易知 g x π π ×cos x -1在[0,100]上为减函数
2 200
g x [0,100] g 0 π由 在 上连续，且 -1 0，
2
g 100 π cos π -1 -1< 0 ，
2 2
则存在 x0 [0,100]，有 g x 0
当 x [0, x0 ]， g x 0；
当 x [x0 ,100]， g x < 0；
故 g x 在[0, x0 ]递增，在[x0 ,100]递减.
g 0 0， g 100 0
故[0,100]上 g x 0
即[0,100]上100sin π x x
200
故④符合题意，
所以②④满足题意，
故选：B.
题型一：二次函数模型，分段函数模型
【典例 1-1】我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最
高点时爆裂．如果烟花距地面的高度 h （单位： m ）与时间 t （单位： s ）之间的关系为
h t -5t2 15t 20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（ ）
A．26 米 B．28 米 C．31 米 D．33 米
【答案】C
3
2 125 3 125
【解析】h t -5t2 15t 20 -5 t -

÷ ， h t hmax 31.
è 2 4 è 2
÷
4
故选：C
【典例 1-2】（2024·云南·二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数 5-10 件 11-50 件 51-100 件 101-300 件 300 件以上
每件价格 37 元 32 元 30 元 27 元 25 元
张师傅准备用 2900 元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116 件 B．110 件 C．107 件 D．106 件
【答案】C
【解析】设购买的件数为 x，花费为 y 元，
ì37x,1 x 10

32x,11 x 50
则 y

í30x,51 x 100 ，当 x 107 时， y 2889 < 2990，

27x,101 x 300
25x, x 300
当 x 108时， y 2916 2900，所以最多可购买这种产品107 件，
故选：C.
【方法技巧】
1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化
规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏．
【变式 1-1】（2024·安徽淮南·一模）我国在 2020 年 9 月 22 日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于
2030 年前实现碳达峰，争取在 2060 年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门
的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本 y（单
位：万元）与处理量 x（单位：吨） (x [120,500]) 之间的函数关系可近似表示为
ì 1 3 2
x -80x 5040x, x 120,144
y 3í1 ，当处理量 x 等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ） x2 - 200x 80000, x
144,500 2
A．120 B．200 C．240 D．400
【答案】D
ì1
x
2 -80x 5040, x[120,144)
3
【解析】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为 S í
1 x 200 80000
，
- , x [144,500]
2 x
当 x [120,144) 1 2时， S x -80x 5040 1 (x -120)2 240 ，
3 3
当 x 120 时，S取得最小值 240，
x [144,500] S 1 x 80000 200 2 1 x 80000当 时， - × - 200 200，
2 x 2 x
1
当且仅当 x
80000
，即 x 400 时取等号，此时S取得最小值 200，
2 x
综上，当每月得理量为 400 吨时，每吨的平均处理成本最低为 200 元，
故选：D
【变式 1-2】（2024·高三·黑龙江佳木斯·期中）在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有
效快捷手段，在某医院成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第 n 天，设每个检测对象从接受
检测到检测报告生成的平均耗时为 t(n) （单位：小时），已知 t(n) 与 n 之间的函数关系为
ì t0
,n < N
n
0
t(n) í t （ t0 ， N0 为常数），并且第 16 天的检测过程平均耗时 16 小时，第 64 天和第 67 天的 0 ,n N
0 N0
检测过程平均耗时均为 8 小时，那么可得第 49 天的检测过程平均耗时大约为（ ）
A．7 小时 B．8 小时 C．9 小时 D．10 小时
【答案】C
【解析】由已知可得，当 n N0 时，函数为定值；当 n < N0 时，显然函数为单调函数.则根据数值分析可得，
t
16 < N 0 < 67 .所以有 t 16 0 16，解得 t16 0
64 .
因为 49 < t0 64，所以 t 49
t0 64 9 .
49 7
故选：C.
【变式 1-3】近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便．某共享单车公司计划在甲、乙
两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资 40 万元．由前期市场调研可知：甲城市收益
P(单位：万元 ) 与投入a(单位：万元 ) 满足 P 3 2a - 6 ，乙城市收益Q(单位：万元 ) 与投入 A(单位：万
) Q 1元 满足 A 2 ，则投资这两座城市收益的最大值为 （
4 ）
A． 26 万元 B． 44 万元 C． 48 万元 D．72万元
【答案】B
ì40 a <120
【解析】由题意可知： í 40 a 80
40 120
，
- a <120
设投资这两座城市收益为 y ，
则有 y 3 2a 6
1
- A 2 3 2a 1 1 (120 - a) - 4 3 2a - a 26，
4 4 4
1
令 a t t [2 10 , 4 5 ]，则有 f (t) - t 2 3 2t 26，
4
该二次函数的对称轴为 t 6 2 ，且开口向下，
所以 f (t)max f (6 2)
1
- (6 2)2 3 2 6 2 26 44，
4
故选：B
题型二：对勾函数模型
【典例 2-1】（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W（单位：平方米）的计
算公式是W 长 4 宽 4 ，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是 10000 平方米，
每平方米收费 1 元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【答案】C
10000
【解析】设矩形场地的长为 x米，则宽为 米，
x
W (x 4)(10000 4) 4x 40000 10016 2 4x 40000 × 10016 10816 ，
x x x
40000
当且仅当 4x ，即 x 100 时，等号成立.
x
所以平整这块场地所需的最少费用为1 10816 10816元.
故选：C
【典例 2-2】（2024·高三·北京朝阳·期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和
技术水平的影响，用Q表示产量， L 表示劳动投入，K 表示资本投入，A 表示技术水平，则它们的关系可
以表示为Q AKa Lb ，其中 A 0,K 0,L 0,0论中正确的是（ ）
A．存在a
1 1
<
2 和
b <
2 ，使得
Q不变
1 1
B．存在a 和 b 2 2 ，使得Q变为原来的 2倍
C．若ab
1
，则Q4 最多可变为原来的 2倍
D a 2．若 +b 2
1

2 ，则
Q最多可变为原来的 2倍
【答案】D
【解析】设当A 不变，K 与 L 均变为原来的 2倍时，Q1 A 2K
a 2L b 2a b AKa Lb 2a b Q，
1 1 1
对于 A，若0
2 < 2 < 22 2 2
，故 A 错误；
1 1
B 1 1对于 ，若a 和 b 2 2 ，则 2a b

2 2 2 2 ，故 B 错误；
1 1
对于 C，若ab ，则 2a b 22 ab4 2 ，即若
ab
4 ，故 C 错误；
对于 D，若a 2 +b 2
1
a 2 2ab b 2 2 a 2 b 2 0 2 ，由 ， ，可得 2a b 2 2，故 D
正确.
故选：D.
【方法技巧】
1、解决此类应用题一定要注意函数定义域；
2、利用 f (x) b ax 求解最值时，注意取等的条件．
x
【变式 2-1】某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要 12 天完成，只由一名
女社员分装时，需要 18 天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男 女社
员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不
可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共 80 千
克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共 30 千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与
女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．30 D．45
【答案】B
【解析】设安排男社员 x名，女社员 y 名，
x y 80 30
根据题意，可得 1，平均损耗蔬菜量之和为
12 18 x y ，
80 30 80 30 x y 40y 5x 25 2 40y 5x 25则 ÷× ÷ x y è x y è12 18 9x 2y 3 9x 2y 3
20 25 40y 5x
15，当且仅当 x 8, y 69x 2y ，即 时等号成立，3 3
则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为 15.
故选：B.
【变式 2-2】（2024·云南楚雄·模拟预测）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个 11 人制
的标准足球场，其底线宽 AB 68m ，球门宽 EF 7.32m ，且球门位于底线 AB 的中间，在某次比赛过程
中，攻方球员带球在边界线 AC 上的 M 点处起脚射门，当 EMF 最大时，点 M 离底线 AB 的距离约为
（ ）
A． 26.32m B． 28.15m C．33.80m D．37.66m
【答案】C
【解析】设 AMF b , AME a ， AM x 0 ，所以 EMF b -a ；
记 AB a 68m, EF b 7.32m a b a - b可得 tan b , tana ；
2x 2x
a b a - b b
tan b a tan b - tana
-
2x 2x x 4b-
1 tan b tana a b a - b a2 - b2 a2 - b2 ，1 ×
2x 2x 1 4x 4x2 x
tan b a 4b-
当 EMF 取最大时， a24x - b
2 取最大即可，

x
a2 - b2 a2 - b2
易知 4x 2 4x × 4 a2 - b2 ，此时 tan b a
b
-
2 2 取到最大值，x x a - b
2 2 2 2
当且仅当 4x a - b a - b时，即 x 时，等号成立，
x 2
2 2
将a 68m,b 7.32m a - b代入可得 x 33.80m .
2
故选：C
【变式 2-3】（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”
指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，
按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角
a 满足 cosa 1 ，则这块四边形木板周长的最大值为（
3 ）
10 30 15 10 30 - 15A ． cm B ． cm
3 3
10 10 5 10 10 - 5C ． cm D． cm
3 3
【答案】A
1
【解析】因为四边形木板的一个内角a 满足 cosa ，如图，
3
设 BAD a ，由题设可得圆的直径为 100 25 5 5 ，
1
故BD 5 5 sina 2 2，因 cosa ，a 为三角形内角，故
3 sina
，
3
BD 5 5 2 2 10 10故 ，
3 3
AB2 AD2故 - 2AD AB cosa BD2
1000
，
9
2
故 AB AD 2 8 AD AB 1000 2 AD AB 1000 ，
3 9 3 9
AB 1000 10 30故 AD 3 AB AD 5 30，当且仅当 时等号成立，
9 3 3
同理BC CD 10 15 ，当且仅当BC CD 5 15 等号成立，
3 3
10 30 15
故四边形周长的最大值为 cm，
3
故选：A.
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型
【典例 3-1】（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯
（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的
直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆
认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率 y 与初次记忆经
过的时间 x （小时）的大致关系： y 1- 0.6x0.06若陈同学需要在明天 15 时考语文考试时拥有复习背诵记忆
的 50%，则他复习背诵时间需大约在（ ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
【答案】A
50
5 3
【解析】令1 - 0.6 x 0.06 0.5 ， x0.06 ， x 5 6 ÷
，
è 6
50
∵ 5 3 5
16
5
4
< <
625
÷ ÷ ÷ 0.5，
è 6 è 6 è 6 1296
∴他在考试前半小时复习即可，
∴他复习背诵时间需大约在 14：30，
故选：A.
【典例 3-2】（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研
究可知：在室温 25oC下，某种绿茶用85oC的水泡制，经过 xmin后茶水的温度为 y oC ，且
y k ×0.9227x 25 x 0,k R .当茶水温度降至60oC时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据： ln2 0.69,ln3 1.10,ln7 1.95,ln0.9227 -0.08）
A． 6min B． 7min C．8min D．9min
【答案】B
【解析】由题意可知，当 x 0时， y 85，则85 k 25 ，解得 k 60 ，
所以 y 60 0.9227x 25，
当 y 60 7时，60 60 0.9227x 25，即0.9227x ，12
ln 7
则 x log 7 12 ln 7 - ln12 0.9227 12 ln 0.9227 ln 0.9227
ln 7 - 2ln 2 - ln 3 1.95 - 2 0.69 -1.10
7，
ln 0.9227 -0.08
所以茶水泡制时间大的为 7 min.
故选：B.
【方法技巧】
1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于 1）的函数模型，与增
长率、银行利率等有关的问题都属于指数模型．
2、在解决指数型函数、对数型函数、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，
然后再借助函数图像求解最值问题．
【变式 3-1】为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密
钥密码系统 (Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密
文→明文．现在加密密钥为 y kx 3
1
，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“ ”，则解密后
256
得到的明文是（ ）
A 1
1 1
． 2 B． C．2 D．4 8
【答案】A
【解析】由题可知加密密钥为 y kx 3 ，
由已知可得，当 x 4 时， y 2 ，
2 1
所以 2 k 43 ，解得 k 3 ，4 32
y 1 x3 y 1 1 1故 ，显然令 3，即 x ，
32 256 256 32
x3 1解得 ，即 x
1
．
8 2
故选：A.
【变式 3-2】（2024·广东梅州·模拟预测）某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有 2% 的杂
1
质，按市场要求杂质含量不得超过 0.1% ，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 ，要使产品达
3
到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．
（参考数据： lg2 0.301， lg3 0.477）
【答案】8
n n
【解析】设至少需要过滤n次，可得0.02 2 2 1 ÷ 0.001，即 ，
è 3 3 ÷è 20
1
2 1 lgn 20 1 lg2两边取对数，可得 nlg lg ，所以 2 7.4，3 20 lg lg3 - lg2
3
又因为 n N* ，所以 n 8，所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为8次．
故答案为：8 .
【变式 3-3】（2024·广东广州·模拟预测）“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10-18 秒，原子
核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，
如果把“一尺之棰”的长度看成 1 米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在 2“阿托
秒”内走过的距离.（参考数据：光速为3 108 米/秒， lg2 0.3, lg3 0.48）
【答案】31
【解析】依题意，光在 2“阿托秒”内走的距离为2 10-18 3 108 6 10-10 米，
n n
n f n 1 f n < 6 10-10 1 经过 天后，剩余的长度 米，由 ，得 < 6 10-10 ÷
è 2 2 ÷
，
è
lg 6 10-10 10 - lg2 lg3
两边同时取对数，得 n log 1 6 10-10
10 - lg6 10 - 0.78
1 30.73
2 lg lg2 lg2 0.3
，
2
而 n N*，则 n 31 ，所以至少需要经过 31 天才能使其长度小于光在 2“阿托秒”内走的距离.
故答案为：31.
题型四：已知函数模型的实际问题
【典例 4-1】（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经
验表明，某种绿茶用 90℃的水泡制，再等到茶水温度降至 60℃时饮用，可以产生极佳口感；在 20℃室温
下，茶水温度从 90℃ t开始，经过 tmin 后的温度为 y℃，可选择函数 y 60 0.9 20 t 0 来近似地刻画茶
水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近
的是（ ）
（参考数据： lg2 0.30,lg3 0.48）
A． 2.5min B． 4.5min C．6min D．8m in
【答案】B
t
【解析】由题可知，函数 y 60 0.9 20 t 0 ，
令60 0.9t 20 60，则0.9t
2
，
3
t 2 9
两边同时取对可得： lg 0.9 lg ，即 t lg t 2lg3-1 lg 2 - lg3，
3 10
t lg2- lg3 0.30-0.48 0.18即 4.52lg3-1 2 0.48 1 0.04 min .-
故选：B.
【典例 4-2】（2024·广东茂名·一模）Gompertz 曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢
- x
预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为： f x kab
（其中 k 0,b 0，a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发
现a e.若 x 1表示该新产品今年的年产量，估计明年 x 2 的产量将是今年的 e 倍，那么b的值为（ e 为
自然数对数的底数）（ ）
A 5 -1． B 5 1． C． 5 -1 D． 5 1
2 2
【答案】A
【解析】由a e，得到 f x k ×eb- x ，
\ 当 x 1时， f 1 -1 k ×eb ；
-2
当 x 2 时， f 2 keb .
b-2
x 2 ke -2 -1依题意，明年 的产量将是今年的 e 倍，得： -1 eb -b e，
keb
1 1
\ - 1 b2 b 1 0 b -1± 5b2 ，即 ，解得b - .2
Q b 0 5 -1，\b .
2
故选：A.
【方法技巧】
求解已知函数模型解决实际问题的关键
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，求出模型中的待定系数．
（3）利用该函数模型，求解实际问题，并进行检验．
【变式 4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）若一段河流的蓄水量为v立方米，每天水流量为 k立方米，每
r t m t r r
k
- t
天往这段河流排水 立方米的污水，则 天后河水的污染指数 m - e v m 为初始值，
k 0è k ÷ 0
m0 0 ．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的 60 倍，以当前的污染指数为初始值，若从现
1
在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的 ，需要的天数大约是（参考数据： ln7 1.95 ）
7
（ ）
A．98 B．105 C．117 D．130
【答案】C
v r r k- t 1- t
【解析】由题意可知： r 0 ， 60，所以m t m - ÷e v0 m e 60k k 0è k
1 1- t 1
设约 t 天后，河水的污染指数下降到初始值的 ，即m e 600 m0，7 7
1
所以- t ln
1
t 60ln 7 60 1.95 117，
60 7
故选：C.
【变式 4-2】（2024·四川凉山·三模）工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物
- at
含量 y （单位：mg/L）与过滤时间 t 小时的关系为 y y0e （ y0 ，a均为正的常数）．已知前 5 小时过滤掉
了 10%污染物，那么当污染物过滤掉 50%还需要经过（ ）（最终结果精确到 1h，参考数据： lg2 0.301，
lg3 0.477）
A．43h B．38h C．33h D．28h
【答案】D
- at
【解析】∵废气中污染物含量 y 与过滤时间 t 小时的关系为 y y0e ，
令 t 0 ，得废气中初始污染物含量为 y y0 ，
又∵前 5 小时过滤掉了 10%污染物，
∴ 1-10% y y e-5a ln
9 ln 10
0 0 ，则 a - 10 9 ，
5 5
∴ -at当污染物过滤掉 50%时， 1-50% y0 y0e ，
ln 1
t 2 ln 2 5ln 2 5lg 2 5lg 2则 33h ，
-a a ln10 lg10 1- 2lg3
9 9
∴当污染物过滤掉 50%还需要经过33 - 5 28h .
故选：D.
【变式 4-3】（2024·河北邯郸·模拟预测）中国地震台网测定：2024 年 4 月 3 日，中国台湾花莲县海域发
生里氏 7.3 级地震.已知地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为
lg E 4.8 1.5M ，2011 年 3 月 11 日，日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震，则它所释放出来的能量约是中
国台湾花莲县海域发生里氏 7.3 级地震的多少倍？（ ）
A．98 B．105 C．355 D．463
【答案】C
【解析】由题设，
4.8 1.5 9
日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震所释放出来的能量 E1 10 ，
4.8 1.5 7.3
中国台湾花莲县海域发生里氏 7.3 级地震所释放出来的能量 E2 10 ，
E1 10
4.8 1.5 9
2.55所以 E 104.8 1.5 7.3
10 355 .
2
故选：C.
【变式 4-4】（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观
测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于 1618 年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——
绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长 a 与公转周期 T 有如下关系：
T 2p
3
×a 2 ，其中 M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的 8 倍，则火星的椭圆
GM
轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
【答案】B
【解析】设火星的公转周期为T1 ，长半轴长为 a1 ，火星的公转周期为T2 ，长半轴长为 a2，
ì
T 2p
3
21 a1 ①
GM
则，T1 8T2 ，且 í
T 2p
3
2
2 aGM 2
②

① T a 3
得： 1 ( 1 )2 8，
② T2 a2
a1
所以， 4，即： a1 4aa 2 .2
故选：B．
【变式 4-5】（2024·山西长治·一模）研究人员用 Gompertz 数学模型表示治疗时长 x（月）与肿瘤细胞含
量 f ( x ) 的关系，其函数解析式为 f (x) ka-b
-x
，其中 k 0,b 0,a为参数．经过测算，发现a e（ e 为自然
1
对数的底数）．记 x 1表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的 ，那么b的值为（
e ）
A． 5 1 B． 5 5 1 5 -1-1 C． D．
2 2
【答案】D
ì f (1) ke-b
-1
1
í -b
-2 b-1 1
【解析】依题意， -2 -1
-b-2
，而 f (2) f (1)，则 e ，即b -b -1 0，
f (2) ke e e
又b 0 b-1 5 1，解得 ，所以b 5 -1 .
2 2
故选：D
题型五：构造函数模型的实际问题
【典例 5-1】有一组实验数据如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ）
A． y 2 x 1 - 1 B． y x3 C． y 2log2 x D． y x2 -1
【答案】D
【解析】将各点 x, y 分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是 y x2 -1．
故选：D．
【典例 5-2】（2024·高三·江西赣州·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面
上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石
片第一次接触水面时的速度为30m/s ，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片
每一次接触水面时的速度均为上一次的 75% ，若石片接触水面时的速度低于6m/s ，石片就不再弹跳，沉入
水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（ ）（参考数据： ln 2 0.7, ln 3 1.1, ln 5 1.6 ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为 x，
由题意得30 0.75x < 6，即 0.75 x < 0.2 ，得 x log0.75 0.2 .
ln 1
log 0.2 ln0.2 5 -lg5因为 0.75 5.3，ln0.75 ln 3 ln3 - 2ln2
4
所以 x 5.3，即 x 6 .
故选：B.
【方法技巧】
构建函数模型解决实际问题的步骤
（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；
（2）推理、演算：对数学模型进行推理或数学运算；
（3）解模：求解数学模型，得出结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
【变式 5-1】（2024·高三·北京·开学考试）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水
中杂质减少 50%，若要使水中杂质减少到原来的 5%以下，则至少需要过滤（ ）
（参考数据： lg2 0.3010）
A．2 次 B．3 次 C．4 次 D．5 次
【答案】D
【解析】设经过n n N 次过滤后，水中杂质减少到原来的 5%以下，
n
则 1- 50 0 n < 5 0 1 10 0 ，即 ÷ < ，
è 2 20
lg2 1
不等式两边取常用对数得： n lg 2 lg 2 1，解得：n 4.3lg2 ，
故至少需要过滤 5 次.
故选：D
【变式 5-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，
其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为 5 微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤
芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤芯
可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为 80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒
杂质含量不超过 2mg/L，则PP棉滤芯的层数最少为（参考数据： lg2 0.30， lg3 0.48）（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
n n
【解析】设经过n层PP 1 2 棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为 y ，则 y 80 1- ÷ 80 ÷ ，
è 3 è 3
80 2
n n 2 1 3
令 2 2 1 ÷ ，解得 ÷ ，两边取常用对数得 n lg lg ，即 n lg lg 40
è 3 è 3 40 3 40 2
即n lg3- lg2 1 2lg2，因为 lg2 0.30， lg3 0.48，
所以 0.48-0.30 n 1.60 80，解得 n ，因为 n N*，所以n的最小值为 9．9
故选：A
【变式 5-3】（2024·湖南衡阳·一模）衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现 100 万元年经
营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金 y （单位：万元）随
经营利润 x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不能超过利润的 20% ．下
列函数模型中，符合该点要求的是 ( 　　 )
（参考数据：1.015100 4.432 ， lg11 1.041)
A． y 0.04x B． y 1.015x -1
C x． y tan( - 1) D． y log11(3x -10)19
【答案】D
【解析】对于函数： y 0.04x ，当 x 100 时， y 4 3，不符合题意；
对于函数： y 1.015x -1，当 x 100 时， y 3.432 3，不符合题意；
对于函数： y tan(
x
- 1)
19 ，不满足递增，不符合题意；
对于函数： y log11(3x -10)，满足 x (6，100]，增函数，
且 y log11 (3 100 -10) log11 290 < log111331 3，
结合图象， y
1
x 与 y log11 (3x-10)的图象如图所示：5
符合题意，
故选：D．
【变式 5-4】（2024·福建福州·二模）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位： L ）与速
度v（单位： km/h ）（ 40 v 120）的数据如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v) 0.04v 3.6，Q(v) 0.5v a ，
Q(v) 0.000025v3 - 0.004v 2 0.25v .选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车道，
分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是［60，90），［90，110)，[110，120]（单位： km/h ）.
为使百公里耗油量W （单位： L ）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（ ）
A．在外侧车道以80km/h 行驶 B．在中间车道以90km/h 行驶
C．在中间车道以95km /h 行驶 D．在内侧车道以115km/h 行驶
【答案】A
【解析】由题意，符合的函数模型需要满足在 40 v 120，v都可取，且由表可知，Q随v的增大而增大，
则该函数模型应为增函数，
\Q v 0.5v a不符合，
若选择Q(v) 0.04v 3.6，则Q 90 0.04 90 3.6 7.2，Q 100 0.04 100 3.6 7.6，
Q 120 0.04 120 3.6 8.4，与实际数据相差较大，所以Q(v) 0.04v 3.6不符合，
若选择Q(v) 0.000025v3 - 0.004v 2 0.25v ，则Q 40 5.2，Q 60 6，Q 90 8.325，Q 100 10，
Q 120 15.6，\Q(v) 0.000025v3 - 0.004v2 0.25v 最符合实际，
QW 100 Q 0.0025v2 - 0.4v 25 0.0025 v -80 2 9，
v
当 v 80 时，W 取得最小值为9 .
故选：A
【变式 5-5】（2024·浙江·二模）绍兴某乡村要修建一条 100 米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为
120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米 100 元，为了提高水渠的过水率，要使
过水横断面的面积尽可能大，现有资金 3 万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约
为（ ）（参考数据： 3 1.732 ）
A．0.58 米 B．0.87 米 C．1.17 米 D．1.73 米
【答案】B
【解析】如图设横截面为等腰梯形 ABCD ， BE ^ CD 于 E ， BAD ABC 120°，
要使水横断面面积最大，则此时资金 3 万元都用完，
则100 AB BC AD 100 30000，解得 AB BC AD 3米，
3
设 BC x ，则 AB 3 - 2x, BE 3 x,CE 1 x，故CD 3 - x ，且0 < x < ，
2 2 2
梯形 ABCD 的面积 3 - 2x 3 - x
3
x
S 2 3 3 -x2 2x ，2 4
当 x 1时， S 3 3max ，4
3
此时BE 0.87 ，
2
即当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为 0.87 米.
故选：B.
1．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的
强弱，定义声压级 Lp 20 lg
p
p ，其中常数
p p0 p0 0 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源
0
的声压级：
声源 与声源的距离 /m 声压级 /dB
燃油汽车 10 60 ~ 90
混合动力汽车 10 50 : 60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为 p1 , p2 , p3 ，则（ ）．
A． p1 p2 B． p2 10 p3
C． p3 100 p0 D． p1 100 p2
【答案】ACD
【解析】由题意可知：Lp 60,90 ,Lp 50,60 ,Lp 40，1 2 3
p p p
A L - L 20 lg 1 - 20 lg 2 20 lg 1对于选项 ：可得 p1 p2 p0 p
，
0 p2
p p
因为 Lp Lp ，则 Lp - Lp 20 lg 1 0 11 2 1 2 p ，即
lg 0 ，
2 p2
p1
所以 1且 p1, p 0p 2 ，可得
p1 p2 ，故 A 正确；
2
p2 p3 p2
对于选项 B：可得 Lp - Lp 20 lg - 20 lg 20 lg2 3 p p p ，0 0 3
p2 p2 1
因为 L p - L p L p - 40 10 ，则 20 lg 10，即 lg 2 3 2 p p ，3 3 2
p2
所以 10 且 p2 , p3 0p ，可得 p2 10p3，3
当且仅当 L p 502 时，等号成立，故 B 错误；
p3 p3
对于选项 C：因为 Lp 20 lg 403 p ，即
lg 2
0 p
，
0
p3
可得 100 ，即 p3 100 pp 0 ，故 C 正确；0
p1
对于选项 D：由选项 A 可知： Lp - Lp 20 lg1 2 p ，2
p
L 1且 p - L p 90 - 50 40 ，则 20 lg 401 2 p ，2
p1 p1
即 lg 2p ，可得
100 ，且 p1, p2 0，所以 p1 100 pp 2 ，故 D 正确；2 2
故选：ACD.
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历
史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技
术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月
拉格朗日 L2点的轨道运行． L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M１，月球质量为 M２，
地月距离为 R， L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
M1 M2
2 2 (R r)
M
1
(R r) r R3 .
r 3a 3 3a 4 a 5 3
设a ，由于a 的值很小，因此在近似计算中 3a ，则 r 的近似值为
R (1 a )2
M
A． 2 R
M
B． 2 R
M1 2M1
3M M
C． 3 2 R D． 3 2 R
M1 3M1
【答案】D
r
【解析】由a ，得 r a R
R
M1 M 2 (R r) M1因为 (R r)2 2

r R3 ，
M1 M M
所以 2
2 (1 a) 1
R (1 ， a)2 a 2R2 R2
M 2 a 2[(1 a ) 1 a
5 3a 4 3a 3
即 - 2 ] 2 3a
3
M ，1 (1 a ) (1 a )
3 M
解得a 2 ，
3M1
所以 r
M
a R 3 2 R.
3M1
3．（2020 年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本
参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎
疫情初始阶段，可以用指数模型： I (t) ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增
长率 r 与 R0，T 近似满足 R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶
段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2 天 B．1.8 天
C．2.5 天 D．3.5 天
【答案】B
R 3.28 T 6 R 1 rT r 3.28 -1 0.38 I t ert e0.38t【解析】因为 0 ， ， 0 ，所以 ，所以 ，6
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 t1天，
则e0.38(t t1) 2e0.38t ，所以e0.38t1 2，所以0.38t1 ln 2，
t ln 2 0.69所以 1 1.8天.0.38 0.38
故选：B.
1．若某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收入 R
ì
400x
1
- x2 ,0 x 500
（单位：元）关于月产量 x（单位：台）满足函数：R x í 2 ．
75000, x 500
（1）将利润 f x （单位：元）表示为月产量 x 的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）
【解析】（1）由题可知总成本为 20000 100 x ，
ì 1
- x
2 300x - 20000,0 x 500
∴ f x R(x) - 20000 -100x í 2 ．
55000 -100x, x 500
1 2
（2）当0 x 500 ， f x - x - 300 25000，
2
∴ x 300 时， f x 有最大值 25000；
当 x 500 时， f x 55000-100x是减函数，
∴ f x < 55000-100 500 5000．
∴ x 300 时， f x 有最大值 25000．
即当每月生产 300 台仪器时，利润最大，最大利润为 25000 元．
2．某地区上年度电价为 0．8 元 /(kW ×h)，年用电量为 a kW × h ，本年度计划将电价下降到 0．55 元
/(kW ×h)至 0．75 元 /(kW ×h)之间，而用户期望电价为 0．4 元 /(kW ×h)．经测算，下调电价后新增用电量
和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为 k（注：若m与n成反比，且比例系数为 k，则其
关系表示为mn k ）．该地区的电力成本价为 0．3 元 /(kW ×h)．
（1）下调后的实际电价为 x（单位：元 /(kW ×h)），写出新增用电量 t 关于 x的函数解析式；
（2）写出本年度电价下调后电力部门的收益 y （单位：元）关于实际电价 x（单位：元 /(kW ×h)）的函数
解析式；（注：收益=实际电量 （实际电价－成本价））
（3）设 k 0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%
【解析】（1）因为下调电价后新增用电量 t 和实际电价 x元 /kw × h ，与用户的期望电价 0．4 元 /(kW ×h)的
差成反比，且比例系数为 k，
k
所以，依题意知用电量 t 关于 x的函数表达式为 t ， (0.55 x 0.75)
x - 0.4
k
（2）依题意知用电量增至 t a a，
x - 0.4
k
所以，电力部门的收益为 y a (x - 0.3)(0.55 x 0.75)；
è x - 0.4 ÷
ì 0.2a a ÷ (x - 0.3) [a (0.8 - 0.3)](1 20%)
（3）依题意有 íè x - 0.4 ，
0.55 x 0.75
ìx2 -1.1x 0.3 0
整理得 í ，
0.55 x 0.75
解此不等式组得0.60 x 0.75．
答：当电价最低定为 0．6 元 /kw × h 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20% ．
3．某商场经营一批进价为 30 元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 x（单位：元）与日销
售量 y（单位：件）之间有如下表所示的关系．
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
（1）根据表中提供的数据描出实数对 (x，y)的对应点，根据画出的点猜想 y 与 x 之间的函数关系，并写出
一个函数解析式；
（2）设经营此商品的日销售利润为 P（单位：元），根据上述关系，写出 P 关于 x 的函数解析式，并求销
售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？
【解析】（1）如图，猜想 y 与 x 是一次函数关系，设 y ax b(a 0) ．
60 30a b a -3
将 (30,60), (40,30)
ì ì
代入得 í ，解得 í
30 40a b b 150
．

∴y 与 x 的一次函数解析式为 y -3x 150(x 0)．
240
（2） P (-3x 150)(x - 30) -3x2 240x - 4500(x 0)，当 x - 40时，P 3002 ． (-3) max
∴销售单价为 40 元时，才能获得最大日销售利润 300 元．
I
4．声强级 L

1（单位：dB）由公式 L1 10lg -12 ÷ 给出，其中 I 为声强（单位：W / m2）．è10
（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W / m2，能听到的最低声强为10-12W / m2．求人听觉的声强级
范围．
（2）平时常人交谈时的声强约为10-6W / m2 ，求其声强级．
【解析】解：（1）10lg
1
-12 ÷ 10 lg10
12 120(dB) ．
è10
-12
10lg 10 -12 ÷ 10lg1 0(dB)．
è10
因此人听觉的声强级范围为0 dB -120 dB．
10-6
（2） L1 10lg -12 10 lg10
6 10 6 60(dB)．
10
5．假设有一套住房的房价从 2002 年的 20 万元上涨到 2012 年的 40 万元，下表给出了两种价格增长方式，
其中 P1 是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t 是 2002 年以来经过的年数．
t 0 5 10 15 20
P1 /万元 20 30 40 50 60
P2 /万元 20 20 2 40 40 2 80
（1）求函数 P1 f (t) 的解析式；
（2）求函数P2 g t 的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式
的差异．
ìb 20, ìb 20
【解析】解：（1）设 f (t) kt b(k 0)，则 í
10k
，
b 40 í k 2
\P1 f (t) 2t 20．
ì m 20, ì m 20
（2）设 g(t) mat （ a 0，且 a 1），则 íma10

40
í
a 10
．
2
t
\P g(t) 20 (10 2)t2 20 210 ．
（3）图象如图．
由图象可以看出，在前 10 年，按 P1 增长的价格始终高于按P2增长的价格，但 10 年后，P2的价格增长速度
很快，远远超出 P1 的价格并且时间越长，差别越大．
6．某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年 15%的比例降低，要将当前的患病率
降低一半，需要多少年
x 1
【解析】解：设今年的患病率为 a，经 x 年后的患病率为当前的一半．则 a(1-15%) a，即
2
0.85x 0.5, x log lg0.50.85 0.5 4lg0.85 ．∴大约需要 4 年．
7．从甲地到乙地的距离约为 240km ，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位： L ）与速度v（单
位： km / h）（0 v 120 ）的下列数据：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：
Q av 3 bv 2 cv, Q 0.5v a , Q k log a v b ．
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；
（2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
【解析】（1）画出散点图如图
由图知应选择函数Q av3 bv2 cv
将 40,6.667 , 80,10 , 120,20 代入函数解析式得：
ì6.667 a 403 b 402 c 40 ìa 0.000026

í10 a 803 b 802 c 80

，解得： íb -0.00416

20 a 120
3 b 1202 c 120 c 0.291475
\Q 0.000026v3 - 0.00416v2 0.291475v
240
（2）从甲地到乙地共需 小时，设总耗油量为 yL
v
y Q 240则 × 0.000026v3 - 0.00416v2 240 0.291475vv × v
240 0.000026v2 - 0.00416v 0.291475 0 v 120
v 0.00416当 80(km / h)时，y 取最小值
2 0.000026
\ 从甲地到乙地，这辆车应以80km / h 的速度行驶才能使总耗油量最少
易错点：函数模型应用错误
易错分析： 1、忽视函数定义域；2、计算错误或忽视计算过程中的细节.
答题模板：数学建模
1、模板解决思路
数学建模的思路将问题转化为常见的函数模型，然后根据已知条件解决问题.
2、模板解决步骤
第一步：审题
第二步：建模
第三步：解模
第四步：还原
【易错题 1】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 θ o1 C，空气的温度是 θ0℃，那么 t min 后
1
物体的温度 θ -kt（单位： oC）可由公式q q0 q1 -q0 e （k 为正常数）求得.若 k ln 2，将 55 oC的物体2
放在 15 oC的空气中冷却，则物体冷却到 35 oC所需要的时间为 min .
【答案】2
1
【解析】将 k ln 2，q1 55°C，q 0 15°C ，q 35°C2
-kt 1
代入q q - (ln 2)t0 q1 -q0 e 得35 15 (55 -15)e 2 ，
ln 2
所以 - t35 15 (55 -15)e 2 ，
ln2
- t
\e 2 1 ，
2
ln 2 1
所以- t ln - ln 2，
2 2
即 t 2 min .
故答案为：2
【易错题 2】一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有疗效；而低于500mg 病人就有危险.现给某病
人静脉注射了这种药 2500mg，如果药在血液中以每小时 20％的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，
那么从现在起经过 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附： lg2 0.3010， lg3 0.4771，
精确到 0.1h ）
【答案】 2.3
【解析】设应在病人注射这种药经过 x小时后再向病人的血液补充这种药，
x
则血液中的含药量 y 与注射后的时间 x的关系式为： y 2500 1- 20 0 0 ，
依题意，可得 2500 1- 20 0 x0 1500，
4 x 3
整理可得 ÷ ，
è 5 5
x
4 3
所以 log 4 ÷ log
3
，即 x log 4 ，
5 è 5
4
5 5 5 5
3 lg
6
log log 6 10 lg 6 -1 lg 2 lg3-1由 4 8 2.3，
5 5 10 10 lg 8 lg8 -1 3lg 2 -1
10
所以 x 2.3 .
故在起经过 2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
故答案为： 2.3第 08 讲 函数模型及其应用
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：几种常见的函数模型 ................................................................................................................................4
知识点 2：解函数应用问题的步骤 ............................................................................................................................4
题型一：二次函数模型，分段函数模型 ...................................................................................................................5
题型二：对勾函数模型 ...............................................................................................................................................7
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型 ...................................................................................................8
题型四：已知函数模型的实际问题 ...........................................................................................................................9
题型五：构造函数模型的实际问题 .........................................................................................................................11
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................13
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................14
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................17
易错点：函数模型应用错误 .....................................................................................................................................17
答题模板：数学建模 .................................................................................................................................................17
考点要求 考题统计 考情分析
高考对函数模型的考查相对稳定，考
2023 年 I 卷第 10 题，5 分 查内容、频率、题型、难度均变化不
（1）利用函数模型解决问题 2020 年 II 卷第 3 题，5 分 大．2025 年高考可能结合函数与生活应
2020 年 I 卷第 6 题，5 分 用进行考察，对学生建模能力和数学应用
能力综合考察．
复习目标：
（1）了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．
（2）理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．
（3）会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识点 1：几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x) ax b(a ，b 为常数且 a 0)
反比例函数模型 f (x) k b(k ，b 为常数且 a 0)
x
二次函数模型 f (x) ax2 bx c(a ，b ， c 为常数且 a 0)
指数函数模型 f (x) ba x c(a ，b ， c 为常数，b 0， a 0， a 1)
对数函数模型 f (x) b loga x c(a ，b ， c 为常数，b 0， a 0， a 1)
幂函数模型 f (x) axn b(a ，b 为常数， a 0)
【诊断自测】近年来，天然气表观消费量从 2006 年的不到600 108 m3激增到 2021 年的3726 108 m3. 从
2000 年开始统计，记 k 表示从 2000 年开始的第几年， 0 k ， k N .经计算机拟合后发现，天然气表观消
k
费量随时间的变化情况符合Vk V0 1 ra ，其中Vk 是从 2000 年后第 k 年天然气消费量，V0 是 2000 年的
天然气消费量， ra 是过去 20 年的年复合增长率.已知 2009 年的天然气消费量为900 108 m3，2018 年的天然
气消费量为 2880 108 m3，根据拟合的模型，可以预测 2024 年的天然气消费量约为（ ）
2 2 2
（参考数据： 2.883 2.02，3.23 2.17，43 2.52
A．5817.6 108 m3 B．6249.6 108 m3
C．6928.2 108 m3 D．7257.6 108 m3
知识点 2：解函数应用问题的步骤
（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数
学模型；
（3）解模：求解数学模型，得出结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
【诊断自测】长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效
益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础联合调度，
水库实际蓄水量
统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝ ×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合
水库总蓄水量
调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间 0,100 ；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记 x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个 y 关于 x 的函数解析式：
1
① y - x2 6x
x π
；② y 10 x ；③ y 1050 ；④ y 100sin x．20 200
则满足此次联合调度要求的函数解析式的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型一：二次函数模型，分段函数模型
【典例 1-1】我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最
2
高点时爆裂．如果烟花距地面的高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的关系为 h t -5t 15t 20 ，
那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（ ）
A．26 米 B．28 米 C．31 米 D．33 米
【典例 1-2】（2024·云南·二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：
一次购买件数 5-10 件 11-50 件 51-100 件 101-300 件 300 件以上
每件价格 37 元 32 元 30 元 27 元 25 元
张师傅准备用 2900 元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ ）
A．116 件 B．110 件 C．107 件 D．106 件
【方法技巧】
1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化
规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏．
【变式 1-1】（2024·安徽淮南·一模）我国在 2020 年 9 月 22 日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于
2030 年前实现碳达峰，争取在 2060 年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门
的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本 y（单
位：万元）与处理量 x（单位：吨） (x [120,500]) 之间的函数关系可近似表示为
ì 1 x3 -80x2 5040x, x 120,144
y 3í1 ，当处理量
x 等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
x2 - 200x 80000, x 144,500 2
A．120 B．200 C．240 D．400
【变式 1-2】（2024·高三·黑龙江佳木斯·期中）在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有
效快捷手段，在某医院成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第 n 天，设每个检测对象从接受
检测到检测报告生成的平均耗时为 t(n) （单位：小时），已知 t(n) 与 n 之间的函数关系为
ì t0
,n < Nn 0
t(n) í t （ t0 ， N0 为常数），并且第 16 天的检测过程平均耗时 16 小时，第 64 天和第 67 天的检 0 ,n N
0 N0
测过程平均耗时均为 8 小时，那么可得第 49 天的检测过程平均耗时大约为（ ）
A．7 小时 B．8 小时 C．9 小时 D．10 小时
【变式 1-3】近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便．某共享单车公司计划在甲、乙
两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资 40万元．由前期市场调研可知：甲城市收益
P(单位：万元 )与投入 a(单位：万元 )满足P 3 2a - 6，乙城市收益Q(单位：万元 )与投入 A(单位：万
) Q 1元 满足 A 2 ，则投资这两座城市收益的最大值为 （
4 ）
A． 26万元 B． 44万元 C． 48万元 D． 72万元
题型二：对勾函数模型
【典例 2-1】（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量 W（单位：平方米）的计
算公式是W 长 4 宽 4 ，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是 10000 平方米，
每平方米收费 1 元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000 B．10480 C．10816 D．10818
【典例 2-2】（2024·高三·北京朝阳·期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和
技术水平的影响，用Q表示产量， L表示劳动投入， K 表示资本投入，A 表示技术水平，则它们的关系可
以表示为Q AKa Lb ，其中 A 0, K 0, L 0,0 < a < 1,0 < b < 1.当A 不变， K 与 L均变为原来的 2倍时，下面结
论中正确的是（ ）
1 1
A．存在a < 和 b < ，使得Q2 2 不变
1 1
B．存在a 和 b 2 2 ，使得Q变为原来的 2倍
1
C．若ab 4 ，则Q最多可变为原来的 2倍
1
D 2 2．若a +b ，则Q2 最多可变为原来的 2倍
【方法技巧】
1、解决此类应用题一定要注意函数定义域；
b
2、利用 f (x) ax 求解最值时，注意取等的条件．
x
【变式 2-1】某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要 12 天完成，只由一名
女社员分装时，需要 18 天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男 女社
员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不
可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共 80 千
克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共 30 千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与
女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．30 D．45
【变式 2-2】（2024·云南楚雄·模拟预测）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个 11 人制
的标准足球场，其底线宽 AB 68m，球门宽EF 7.32m，且球门位于底线 AB 的中间，在某次比赛过程中，
攻方球员带球在边界线 AC 上的M 点处起脚射门，当 EMF 最大时，点M 离底线 AB 的距离约为（ ）
A． 26.32m B． 28.15m C．33.80m D．37.66m
【变式 2-3】（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”
指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，
按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角
a cosa 1满足 ，则这块四边形木板周长的最大值为（
3 ）
10 30 15 10 30 - 15A ． cm B． cm
3 3
10 10 5 10
C D 10 - 5 ． cm ． cm
3 3
题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型
【典例 3-1】（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯
（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的
直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆
认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率 y 与初次记忆经
过的时间 x（小时）的大致关系： y 1- 0.6x0.06若陈同学需要在明天 15 时考语文考试时拥有复习背诵记忆
的 50%，则他复习背诵时间需大约在（ ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
【典例 3-2】（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研
究可知：在室温 25oC下，某种绿茶用85o C的水泡制，经过 xmin后茶水的温度为 yoC，且
y k ×0.9227x 25 x 0, k R .当茶水温度降至60o C 时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据： ln2 0.69, ln3 1.10, ln7 1.95, ln0.9227 -0.08）
A．6min B．7min C．8min D．9min
【方法技巧】
1、在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于 1）的函数模型，与增
长率、银行利率等有关的问题都属于指数模型．
2、在解决指数型函数、对数型函数、幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，
然后再借助函数图像求解最值问题．
【变式 3-1】为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密
钥密码系统 (Private Key Cryptosystem) ，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密
1
文→明文．现在加密密钥为 y kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“ ”，则解密后
256
得到的明文是（ ）
A 1
1 1
． 2 B． C．2 D．4 8
【变式 3-2】（2024·广东梅州·模拟预测）某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有 2%的杂
1
质，按市场要求杂质含量不得超过0.1% ，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 ，要使产品达到
3
市场要求，对该溶液过滤的最少次数为 ．
（参考数据： lg2 0.301， lg3 0.477）
【变式 3-3】（2024·广东广州·模拟预测）“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10-18 秒，原子
核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，
如果把“一尺之棰”的长度看成 1 米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在 2“阿托
秒”内走过的距离.（参考数据：光速为3 108 米/秒， lg2 0.3, lg3 0.48）
题型四：已知函数模型的实际问题
【典例 4-1】（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经
验表明，某种绿茶用 90℃的水泡制，再等到茶水温度降至 60℃时饮用，可以产生极佳口感；在 20℃室温
下，茶水温度从 90℃开始，经过 tmin t后的温度为 y℃，可选择函数 y 60 0.9 20 t 0 来近似地刻画茶
水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近
的是（ ）
（参考数据： lg2 0.30, lg3 0.48）
A． 2.5min B． 4.5min C．6min D．8min
【典例 4-2】（2024·广东茂名·一模）Gompertz 曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢
- x
预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为： f x kab
（其中 k 0,b 0， a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发
现 a e .若 x 1表示该新产品今年的年产量，估计明年 x 2 的产量将是今年的 e倍，那么b 的值为（ e为
自然数对数的底数）（ ）
A 5 -1 B 5 1． ． C． 5 -1 D． 5 1
2 2
【方法技巧】
求解已知函数模型解决实际问题的关键
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，求出模型中的待定系数．
（3）利用该函数模型，求解实际问题，并进行检验．
【变式 4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）若一段河流的蓄水量为 v立方米，每天水流量为 k 立方米，每
k
- t
天往这段河流排水 r 立方米的污水，则 t天后河水的污染指数m t r r
k
m0 - k ÷
e v m0 为初始值，
è
m0 0 ．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的 60 倍，以当前的污染指数为初始值，若从现
1
在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的 ，需要的天数大约是（参考数据： ln7 1.95）
7
（ ）
A．98 B．105 C．117 D．130
【变式 4-2】（2024·四川凉山·三模）工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物
含量 y （单位：mg/L）与过滤时间 t小时的关系为 y y0e
-at
（ y0 ， a均为正的常数）．已知前 5 小时过滤掉
了 10%污染物，那么当污染物过滤掉 50%还需要经过（ ）（最终结果精确到 1h，参考数据： lg2 0.301，
lg3 0.477）
A．43h B．38h C．33h D．28h
【变式 4-3】（2024·河北邯郸·模拟预测）中国地震台网测定：2024 年 4 月 3 日，中国台湾花莲县海域发
生里氏 7.3 级地震.已知地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为
lg E 4.8 1.5M ，2011 年 3 月 11 日，日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震，则它所释放出来的能量约是中
国台湾花莲县海域发生里氏 7.3 级地震的多少倍？（ ）
A．98 B．105 C．355 D．463
【变式 4-4】（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观
测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于 1618 年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——
绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长 a 与公转周期 T 有如下关系：
T 2p
3
×a 2 ，其中 M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的 8 倍，则火星的椭圆
GM
轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
【变式 4-5】（2024·山西长治·一模）研究人员用 Gompertz 数学模型表示治疗时长 x （月）与肿瘤细胞含
量 f (x)
- x
的关系，其函数解析式为 f (x) ka-b ，其中 k 0,b 0,a 为参数．经过测算，发现 a e（ e为自然
1
对数的底数）．记 x 1表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的 ，那么b 的值为（
e ）
A． 5 1 B． 5 -1 C 5 1． D 5 -1．
2 2
题型五：构造函数模型的实际问题
【典例 5-1】有一组实验数据如下表所示：
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ）
A． y 2x 1 -1 B． y x3 C． y 2log x D． y x22 -1
【典例 5-2】（2024·高三·江西赣州·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面
上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石
片第一次接触水面时的速度为30m/s ，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片
每一次接触水面时的速度均为上一次的75% ，若石片接触水面时的速度低于6m/s，石片就不再弹跳，沉
入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（ ）（参考数据： ln 2 0.7, ln 3 1.1, ln 5 1.6 ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【方法技巧】
构建函数模型解决实际问题的步骤
（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；
（2）推理、演算：对数学模型进行推理或数学运算；
（3）解模：求解数学模型，得出结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
【变式 5-1】（2024·高三·北京·开学考试）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水
中杂质减少 50%，若要使水中杂质减少到原来的 5%以下，则至少需要过滤（ ）
（参考数据： lg 2 0.3010）
A．2 次 B．3 次 C．4 次 D．5 次
【变式 5-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，
其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由孔径为 5 微米的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷滤
芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层PP棉滤
芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质含量为 80mg/L，现要满足过滤后水中大颗
粒杂质含量不超过 2mg/L，则PP棉滤芯的层数最少为（参考数据： lg 2 0.30， lg3 0.48）（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式 5-3】（2024·湖南衡阳·一模）衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现 100 万元年经
营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金 y （单位：万元）随
经营利润 x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不能超过利润的 20%．下
列函数模型中，符合该点要求的是 ( 　　 )
（参考数据：1.015100 4.432， lg11 1.041)
A． y 0.04x B． y 1.015x -1
C． y tan(
x
-1) D． y log11(3x -10)19
【变式 5-4】（2024·福建福州·二模）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位： L）与速
度 v（单位： km/h ）（ 40 v 120）的数据如下表：
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与 v的关系，现有以下三种模型供选择：Q(v) 0.04v 3.6，Q(v) 0.5v a，
Q(v) 0.000025v3 - 0.004v2 0.25v .选出最符合实际的函数模型，解决下列问题：某高速公路共有三个车
道，分别是外侧车道、中间车道、内侧车道，车速范围分别是［60，90），［90，110)，[110，120]（单位：
km/h ）.为使百公里耗油量W （单位： L）最小，该型号汽车行驶的车道与速度为（ ）
A．在外侧车道以80km/h行驶 B．在中间车道以90km/h 行驶
C．在中间车道以95km/h 行驶 D．在内侧车道以115km/h 行驶
【变式 5-5】（2024·浙江·二模）绍兴某乡村要修建一条 100 米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为
120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米 100 元，为了提高水渠的过水率，要使
过水横断面的面积尽可能大，现有资金 3 万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约
为（ ）（参考数据： 3 1.732）
A．0.58 米 B．0.87 米 C．1.17 米 D．1.73 米
1．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的
强弱，定义声压级 Lp 20 lg
p
p ，其中常数
p0 p0 0 是听觉下限阈值， p 是实际声压．下表为不同声源
0
的声压级：
声源 与声源的距离 /m 声压级 /dB
燃油汽车 10 60 ~ 90
混合动力汽车 10 50 : 60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为 p1, p2 , p3，则（ ）．
A． p1 p2 B． p2 10 p3
C． p3 100 p0 D． p1 100 p2
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历
史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技
术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月
拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M１，月球质量为 M２，
地月距离为 R，L2点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
M1 M 22 2 (R r)
M1
(R r) r R3 .
r 3a 3 3a 4 a 5
设a ，由于a 的值很小，因此在近似计算中 2 3a
3
，则 r 的近似值为
R (1 a )
M 2 R MA． B． 2 R
M1 2M1
3M 2 R MC． 3 D． 3 2 R
M1 3M1
3．（2020 年新高考全国卷Ⅰ数学试题（山东卷））基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本
参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎
疫情初始阶段，可以用指数模型： I (t) ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增
长率 r 与 R0，T 近似满足 R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶
段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2 天 B．1.8 天
C．2.5 天 D．3.5 天
1．若某公司生产某种电子仪器的固定成本为 20000 元，每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收入 R
ì400x 1 - x2 ,0 x 500
（单位：元）关于月产量 x（单位：台）满足函数：R x í 2 ．
75000, x 500
（1）将利润 f x （单位：元）表示为月产量 x 的函数；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）
2．某地区上年度电价为 0．8 元 /(kW ×h)，年用电量为 a kW × h ，本年度计划将电价下降到 0．55 元
/(kW ×h)至 0．75 元 /(kW ×h)之间，而用户期望电价为 0．4 元 /(kW ×h)．经测算，下调电价后新增用电量
和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为 k （注：若m 与n成反比，且比例系数为 k ，则
其关系表示为mn k ）．该地区的电力成本价为 0．3 元 /(kW ×h)．
（1）下调后的实际电价为 x （单位：元 /(kW ×h)），写出新增用电量 t关于 x 的函数解析式；
（2）写出本年度电价下调后电力部门的收益 y （单位：元）关于实际电价 x （单位：元 /(kW ×h)）的函数
解析式；（注：收益=实际电量 （实际电价－成本价））
（3）设 k 0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%
3．某商场经营一批进价为 30 元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 x（单位：元）与日销
售量 y（单位：件）之间有如下表所示的关系．
x … 30 40 45 50 …
y … 60 30 15 0 …
（1）根据表中提供的数据描出实数对 (x，y)的对应点，根据画出的点猜想 y 与 x 之间的函数关系，并写出
一个函数解析式；
（2）设经营此商品的日销售利润为 P（单位：元），根据上述关系，写出 P 关于 x 的函数解析式，并求销
售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？
4．声强级 L
I
1 （单位：dB）由公式 L 21 10lg -12 ÷ 给出，其中 I 为声强（单位：W / m ）．è10
（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W / m2 ，能听到的最低声强为10-12W / m2．求人听觉的声强级
范围．
（2）平时常人交谈时的声强约为10-6W / m2 ，求其声强级．
5．假设有一套住房的房价从 2002 年的 20 万元上涨到 2012 年的 40 万元，下表给出了两种价格增长方式，
其中P1是按直线上升的房价， P2 是按指数增长的房价，t 是 2002 年以来经过的年数．
t 0 5 10 15 20
P1 /万元 20 30 40 50 60
P2 /万元 20 20 2 40 40 2 80
（1）求函数P1 f (t) 的解析式；
（2）求函数P2 g t 的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式
的差异．
6．某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年 15%的比例降低，要将当前的患病率
降低一半，需要多少年
7．从甲地到乙地的距离约为 240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位： L）与速度 v（单
位： km / h ）（0 v 120）的下列数据：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：
Q av3 bv2 cv,Q 0.5v a,Q k loga v b．
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；
（2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
易错点：函数模型应用错误
易错分析： 1、忽视函数定义域；2、计算错误或忽视计算过程中的细节.
答题模板：数学建模
1、模板解决思路
数学建模的思路将问题转化为常见的函数模型，然后根据已知条件解决问题.
2、模板解决步骤
第一步：审题
第二步：建模
第三步：解模
第四步：还原
【易错题 1】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 θ o1 C ，空气的温度是 θ0℃，那么 t min 后
-kt 1
物体的温度 θ（单位： o C ）可由公式q q0 q1 -q0 e （k 为正常数）求得.若 k ln 2 ，将 55 o C 的物体2
放在 15 o C 的空气中冷却，则物体冷却到 35 o C 所需要的时间为 min .
【易错题 2】一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有疗效；而低于500mg 病人就有危险.现给某病
人静脉注射了这种药 2500mg ，如果药在血液中以每小时 20％的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，
那么从现在起经过 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附： lg 2 0.3010， lg3 0.4771，
精确到0.1h）

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