资源简介

重难点突破 01 三角函数中有关 ω 的取值范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结 ..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ..............................................................................................................................3
题型一：零点问题 ................................................................................................................................3
题型二：单调问题 ................................................................................................................................7
题型三：最值问题 ..............................................................................................................................10
题型四：极值问题 ..............................................................................................................................12
题型五：对称性问题 ..........................................................................................................................14
题型六：性质的综合问题 ..................................................................................................................17
03 过关测试 ........................................................................................................................................22
T
b a
2
1、 f (x) Asin( x ) 在 f (x) Asin( x ) 区间 (a，b) 内没有零点 k a k

k b k


b a
T

2
a k

b k
同理， f (x) Asin( x ) 在区间[a，b] 内没有零点
T b a
T
b a 2 2
k a k k

a

k b k

b k
2、 f (x) Asin( x ) 在区间 (a，b) 内有3个零点

T b a 2T T b a 2T

k a k (k 1) k

a

3 k b 4 k

(k 3) b (k 4)
同理 f (x) Asin( x ) 在区间[a，b] 内有 2个零点
T 3T T 3T
b a
b a
2 2
2 2
k a k
k a k

2 k b 3 k (k 2) b (k 3)
3、 f (x) Asin( x ) 在区间 (a，b) 内有 n个零点
(n 1)T
b
(n 1)T
a
2 2
k a k

(k n) b (k n+1)
同理 f (x) Asin( x ) 在区间[a，b] 内有 n个零点
(n 1)T (n 1)T
b a
2 2
k a k

(k n) b (k n+1)
2n 1
4 、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 T ，则
4
2n 1T (2n 1) b a ．
4 2
5 T、已知单调区间 (a,b)，则 a b .
2
题型一：零点问题
【典例 1-1】已知函数 f (x)= sin( x + )( > 0, < ) 3，且 f 0 ，则下列陈述不正确的是（ ）2 2

A．若函数 f x 的相邻对称轴之间的距离为 ，则函数 f x 的最小正周期为 π
2
B．若函数 f x 的相邻对称轴之间的距离为 ，则 x 为 f x 的一条对称轴
2 12
C．若函数 f x 在区间 0, é8 ,11 上有三个零点，则 的范围为 ê 3 3 ÷
D．若函数 f x é , ù 4 在 ê ú 无零点，则 的范围为 0, ÷ 2,
10 16 5,
3 2 è 3 ÷ ÷ è 3 è 3
【答案】C

【解析】 f (0) sin
3
， ，则 ， f (x) sin( x )，
2 2 3 3

选项 A，T 2 ，正确；
2
2
选项 B，T 2， 2， f (x) sin(2x ) ，
2 3
x 时， 2x

，因此 x 是函数 f (x) 图象的一条对称轴，正确；
12 3 2 12
选项 C， x (0, )时， f (x)
8 11
有三个零点，则3 4 ， ，错误；
3 3 3

选项 D， x [ , ]时，因为 0，则 x [ , ]， f (x) 无零点，
3 2 3 3 3 2 3

0 4 ，
2 3 3
10
或 2 2 ，
3 3 2 3 3
或 2

3 5 16 ，
3 3 2 3 3

若 3 ，则 8，此时 ， f (x) é ù在 ê , ú 上一定有零点，不合题意，3 3 2 3 6 3 2
0, 4 2,10 5,16 所以 ÷ ÷ ÷，正确．
è 3 è 3 è 3
故选：C．
【典例 1-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数 f x sin x 3 cos x 1 0 在 0,2 上有且只有 5 个
零点，则实数 的范围是（ ）
11, 37 ù 13 7 ù 25A． ú B． , ú C． ,
11ù 25 11ù
D
2 6 6 2 ．12 4 ú
,
è è è è 12 2 ú
【答案】C
【解析】因为 f x sin x 3 cos x 1 2sin x

1
3 ÷ ，è
令 f x 2sin x ÷ 1 0 ，即 sin

x
1
÷ ，
è 3 è 3 2

所以， sin x


1
÷ 在 0,2 上有且只有 5 个零点，
è 3 2
因为 x 0,2 x ，所以 , 2


3 3 3 ÷，è
1
所以，如图，由正弦函数图像，要使 sin x ÷ 在 0,2 上有且只有 5 个零点，
è 3 2
23 31 25 11
则 2 ，即 ，
6 3 6 12 4
25 ,11ù所以实数 的范围是 .
è 12 4 ú

故选：C
π
【变式 1-1】已知函数 f (x) sin(3 x )sin(2 x
5π
)在区间 (0, π) 恰有 6 个零点，若 0，则 的取值
4 6
范围为（ ）
(3 ,13A． )
13 17
B． ( , ) (
17 ,19] (19 7C． D． , ]
4 12 12 12 12 12 12 4
【答案】C
π
【解析】函数 f (x) sin(3 x )sin(2 x
5π
)，由 f (x) 0 sin(3 x
π 5π
，得 ) 0或 sin(2 x ) 0 ，
4 6 4 6
(1 4k)π (1 6k)π
解得 f (x) 的正零点为 或 ,k N，
12 12
f (x) π , 5π , 7π , 9π , 13π , 17π , 19π则函数 从左到右的零点依次为： ，
12 12 12 12 12 12 12
17π 19π 17 19
为了使得 f (x) 在区间 (0, π) 恰有 6 个零点，只需 π ，解得 ，
12 12 12 12
(17 ,19所以实数 的取值范围为 ] .
12 12
故选：C
π
【变式 1-2】已知 f (x) 2cos x 3 ÷（其中
0），若方程 | f (x) | 1在区间 (0, π) 上恰有 4 个实根，则
è
的取值范围是（ ）
A 8 ù é
8 ù é 8 8ù
． ,3
è 3 ú
B． ê ,3 3 ú
C．
ê
2, D 2,
3 ÷
．
è 3 ú
【答案】D
【解析】由 | f (x) | 1，得 2cos
x π

÷ 1，
è 3
所以 cos
π 1 π 1
x ÷ 或 cos x
è 3 ÷
，
2 è 3 2
x π π π π所以 2kπ ，或 x 2kπ x
π 2π
，或 2kπ
π 4π
，或 x 2kπ,k Z ，
3 3 3 3 3 3 3 3
由 x (0, π)，得 x (0, π)
π π π
，所以 x ( , π )，
3 3 3
因为方程 | f (x) | 1在区间 (0, π) 上恰有 4 个实根，
5π x π 7π所以 ，解得 2
8
，
3 3 3 3
故选：D
【变式 1-3】函数 f x π 2sin x ，（ 0， 0 π ）满足 f 0 1 é ù2 ，且 y f x 在区间 ê ,0 3 ú 上有
且仅有 3 个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． é
11,8 é135,7 B． ê ÷ C． ê ,
19
D． 4,8
2 2 2 ÷
【答案】C
【解析】 f (0) 2sin 1,0
π
,\ π ，
2 6
\ f (x) 2sin x π x é π
ù
÷，因为 ê ,0ú， 0，则 x
π é π π π , ù
è 6 3 6 ê 3 6 6 ú
因为 y f x é π ù在区间 ê ,03 ú 上有且仅有 3 个零点，且 y sin x 在零点 0 之前的三个零点依次为
3π, 2π, π，
π π 13 19
则 3π, 2π é ，解得 , .
3 6 ê ÷ 2 2
故选：C.
π 5π
【变式 1-4】（2024·湖北武汉·模拟预测）设 0，已知函数 f x sin 3 x ÷sin 2 x ÷在 0, π 上
è 4 è 6
恰有 6 个零点，则 取值范围为（ ）
19 , 7 ù 17A． ú B． ,
19 ù 13 ,17 ù 3 13C． D
, ù
è12 4
．
è12 12 ú è12 12 ú è 4 12 ú
【答案】B
【解析】由题意可知，
令 f x sin 3 x
π
÷sin
5π
2 x ÷ 0，
è 4 è 6
即 sin

3 x
π

5π
÷ 0或 sin

2 x

÷ 0，
è 4 è 6
4k 1 π 6k 1 π
即 x 或 x ，
12 12
x π , 5π , 7π , 9π , 13π , 17π , 19π当 x 0时，零点从小到大依次为 , × × ×，
12 12 12 12 12 12 12
17π
因此有 π
19π
，
12 12
17即 ,
19 ù
ú ．è12 12
故选：B．
题型二：单调问题
π
【典例 2-1 】若函数 f x sin x ÷ 0
é π , π ù在区间 ê ú上单调递增，则 的取值范围是（6 12 6 ）è
A． 0,2 B． 0,4 C． 0,6 D． 0,8
【答案】A
π π π
【解析】当 x [ , ]时， x [
π π , π + π ]，
12 6 6 6 12 6 6
π π π
若函数 f (x) sin( x )( 0) 在区间[ , ]6 上单调递增，12 6
π π π
2kπ
6 6 2则 ， k Z，解得 2 12k, 8 24k,k Z
π 2kπ π π
，


2 6 12
又 0，当 k 0时,可得0 2 .
故选：A.
【典例 2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若函数 f (x) sin( x)( 0) 在 0,
π
4 ÷
上单调递增，则 的取值范
è
围为（ ）
0, 1 (0,2) 0, 1A ù． B． C．
è 2 ÷ è 2 ú
D． (0, 2]
【答案】D
【解析】函数 f (x) sin( x)(
π
0) 在 0, ÷上单调递增，
è 4
x π 0, x π 0, π π当 ÷时， ÷ ，则 ，解得0 2，
è 4 è 4 4 2
故选：D
【变式 2-1】已知函数 f x 2cos2 x 3，若对任意的实数 m， f x 在 m,m 5 的值域均为 3, 1 ，且
, 在 ÷ 上单调递减，则 ω 的范围为 .
è 4 3
é 3 , 9 3 9【答案】 ê ÷
é
ê , 4
ù
ú
, ù é ù
2 5 2 è 5 2 ú ê
4,
2ú
【解析】易得 f x cos2 x 2，由 f x 3, 1 ，有 cos2 x 1,1 ，
即对任意的实数 m，在 m,m 5 内都满足 cos2 x 1,1 ，
m 5 m T 2 故

2 ，则 ，5
由 f x , 1在 4 3 ÷ 上单调递减，则 T ，即0 6，è 3 4 2
ék k ù
当 ω>0 时，由于 f（x）在 R 上的单调递减区间为 ê , ú ,k Z ， 2
é ù 3
令 k=0.有 , ÷ 0, ，则 ；
è 4 3 ê 2 ú 2
é
令 k=1，有 , 0,
ù 9
，则 4 ；
è 4 3 ÷ ê 2 ú 2

令 k=2，有 ,
é2 , 5 ù ，无解，
è 4 3 ÷ ê 2 ú
3 9故
é é ù
ê ,5 2 ÷

ê
4,
2ú
，

é 3 é 9 ù
同理，当 ω<0 时，有 ê , ÷ ê , 4 ， 2 5 2 ú
é 3 , 9 3 é , 4ù é , é 9 ù综上， ê 2 5 ÷ ê 2 ú ê ÷ ê
4, .
5 2 2ú
é 3 , é 9 ù é 3 é 9 ù故答案为： ê , 4 2 5 ÷ ê 2 ú
ê , ÷ ê4, . 5 2 2ú
【变式 2-2】（2024·宁夏银川·三模）函数 y f x 的图像是由函数 y cos x （ 大于零）的图像向左平

移 个单位所得，若函数 y f x 在 , 2 范围内单调，则 的范围是 .
6
5 ù é5 11ù
【答案】 0, ú Uè 12 ê
,
6 12ú
【解析】 y f x 是由 y cos x （ 大于零）向左平移 个单位所得，故 f x cos x ，
6 ֏ 6
又 y f x 在 , 2 即 x , 2 6 ÷ 上单调，è 6 6
∴ k

2 k ,k Z ，
6 6

0 0

\
1
k (k Z ) ,\ k (k Z ) ，
6 6
2 k (k Z ) k 5 (k Z ) 6 2 12
k 5 1 7
由 k ,k ,\k 0或 k 1，
2 12 6 6
\0 5 5 11 或 ，
12 6 12
5 ù é5 11ù
综上， 的范围为 0, U , .
è 12ú ê 6 12ú
5 ù é5 11ù
故答案为： 0,
è 12ú
U , .
ê 6 12ú
π
【变式 2-3】已知函数 f x sin x ÷ ( 0)
é π
，若函数 f x 在 ê , π
ù
ú上单调递减，则 3 2 的取值范围为è
（ ）
A 1,2 éB 1,
11ù
C é
5 ,2ù é5 11ù． ． ê ú ． 6 ê3 ú
D． ,
ê 3 6 ú
【答案】D
π 5π 11π
【解析】由 2kπ x
π 3π
2kπ, k Z 2kπ 2kπ，得到 ，
2 3 2 6 x 6 ,k Z
5π
2kπ6 π
f x é π ù
2
又因为 在 ê , πú上单调递减，所以 k Z 2 ， 11π 2kπ
6

π

5 4k 11得到 2k,k Z
π π
，又 ， 0，即0 2，
3 6 2
5 11
令 k 0，得到 ，
3 6
故选：D.
题型三：最值问题
【典例 3-1】函数 f (x) 2sin

x

÷( 0) 在区间[0, 20]上有 50 个最大值，则 的范围 ．
è 3
é589 601
【答案】 ê , 120 120 ÷
f (x) 2sin x 【解析】根据函数 ÷( 0) 在区间[0, 20]上有 50 个最大值，由第 50 个和第 51 个最大值
è 3

满足 49 2 20 50 2

求解.因为函数 f (x) 2sin x ÷( 0) 在区间[0, 20]上有 50 个2 3 2 è 3
最大值，

第一个最大值为： x ，
3 2

第二个最大值为： x 2 ，
3 2

第三个最大值为： x 4 ，
3 2
…

第 50 个最大值为： x 49 2 ，
3 2

第 51 个最大值为： x 50 2 ，
3 2

所以 49 2 20 50 2 ，
2 3 2
49 解得 5 ，
120 10 120
é589 601
综上： 的范围是 ê ,120 120 ÷ .
é589
故答案为： ê ,
601
120 120 ÷
π
【典例 3-2】若函数 f (x) 3 cos x sin x 1( 0) 在 0, ÷内存在最小值但无最大值，则 2 的范围是 è
5 ,11ù【答案】
è 3 3 ú

【解析】函数 f (x) 2
3
cos x
1
sin x 1 2cos ÷÷ x
π
÷ 1， 0，
è 2 2 è 6

所以当 x 0,
π π π π π
÷时， x , ，
è 2 6 6 2 6 ÷ è
π
f (x) 0, 又 在 ÷内存在最小值但无最大值，
è 2
结合图象可得 π
π π
2π ，
2 6
5 11
解得 .
3 3
5 ,11ù故答案为：
è 3 3 ú
f x acos x sin x 0 f π【变式 3-1】（2024·江西鹰潭· 三模）已知函数 ，若 3 ÷ 3 且è
f x f π 6 ÷，则
的最小值为（ ）
è
A．11 B．5 C．9 D．7
【答案】D
【解析】由 f x f π ÷可知， f x x
π π
在 6 取得最小值，所以函数
f x 的一条对称轴为 x ，
è 6 6
0 π 2 π f
π
又 ，因此 ÷ f 0 3 ，即3 6 3 a 3；è
所以 f x 3cos x sin x π 2sin x ÷，
è 3
又 f x π π π 3π在 x 取得最小值，可知 2kπ,k Z，
6 6 3 2
解得 7 12k,k Z，
又 0，所以 k 0时， 7 12k,k Z取得最小值为 7.
故选：D
【变式 3-2】函数 f x sin x
π

π 7π
4 ÷
0 在 ,4 4 ÷内恰有两个最小值点，则 ω 的范围是（ ）è è
13 13A ù． , 4ú B

． ,3
ù
è 7 è 7 ú
C
4 ù 4 ù
． ,4ú D3 ．
,3
è è 3 ú
【答案】B
f x sin x π 【解析】因为函数 ÷ 0
π , 7π 在 0
è 4 è 4 4 ÷
内恰有两个最小值点， ，

1 7 π 1 π 1 π T 7 π 1 π= 3所以最小正周期满足 ÷ π,3 è 4 4 2 4 4 2
4 2π所以 4,
7 π 1 5 π+ π π ，
3 T 12 4 4 4
4
4 3 13
所以有： 3，
7π 7 π π 11π 7
2 4 4 2
故选：B
题型四：极值问题
f (x) sin( x ) 0, π π f T 2 , x π【典例 4-1】记函数 的最小正周期为 T．若 为 f (x)
è 2 2 ÷ ÷è 2 2 8
的极小值点，则 的最小值为__________．
【答案】14
【解析】 因为 f (x) sin( x )


π π
0, 2π÷所以最小正周期T ，
è 2 2
f (T ) sin( T 2× ) sin(π ) sin
2 2 2
π π π π
又

所以 ，即 f x sin
2 2 4
x
4 ÷ ；è
x π又 为 f x π π π的极小值点，所以 2kπ,k Z，解得 2 16k,k Z，因为 0，所以当
8 8 4 2
k 1时 min 14；
故答案为：14
【典例 4-2】已知函数 f (x) 4sin( x )
0,| |

÷ ， f (0) f (4) 2，函数 f (x) 在 (0, 4) 上有且仅有
è 2
一个极小值但没有极大值，则 的最小值为（ ）
5 4
A． B． C． D6 ．6 3 3
【答案】C
1
【解析】∵ f (0) 4sin 2，∴ sin ．又 | | ，∴ ．
2 2 6
x 0 4当 2时，函数取到最小值，此时 2

2k 3 5 ， k Z ．解得 k ， k Z ．
2 6 2 6
所以当 k 0
5
时， .
6
故选：C．

【变式 4-1】（2024·山西运城·高三统考期中）已知函数 f x cos x
0 ÷ 在区间 0,

4 ÷内有且仅有一è è 2
1
个极小值，且方程 f x 在区间 0, 2 ÷内有 3 个不同的实数根，则
的取值范围是（
2 ）è
25 11 é25 11ù 25 11ù é25 11 A． , B． , C． , D． ,
è 6 2 ÷ ÷ ê 6 2 ú è 6 2 ú ê 6 2
【答案】C

【解析】因为 x 0, ÷，所以 x ,

÷，若 f x

在区间 0,

2 4 4 2 4 2 ÷内有且仅有一个极小值，则è è è

1 7 11 3 (1) . 若方程 f x 在区间 0, ÷内有 32 个不同的实数根，则 ，所以2 4 2 è 3 2 4 3
7 3 (2) (1)(2) 25 11 ，由 ，解得 .
3 2 4 6 2
所以
25 11ù
的取值范围是 , .
è 6 2 ú
故选：C
é ù
【变式 4-2】（2024·全国·校联考三模）已知函数 f x 2sin x ÷ 0 ， x ê , ú .6 3 2 若函数 f x 只è
有一个极大值和一个极小值，则 的取值范围为（ ）
A． 2,5 B 8ù 8 ． 2,5 C． 2, ú D 2,è 3 ． 3 ÷ è
【答案】C
t x é

【解析】令 ，因为 x ê ,
ù é ù
6 3 2 ú
，所以 x , y 2sin t6 ê 3 6 2 6 ú
则问题转化为 在

é ù
ê , 3 6 2 6 ú 上只有一个极大值和一个极小值，
é ù T 5 2
因为 x ê , ú函数 f x 3 2 只有一个极大值和一个极小值，则 2 2 3 ÷ ，即T ，又T ，所 è 3
以
6
，所以 0
5 3 6
3
2 5 2 3 6 2
则 解得 2 8 故 2
8

3 3
2 2 6 2 3 3
故选：C
【变式 4-3】函数 f x π sin x

÷ 0 在 0,1 上有唯一的极大值，则 （3 ）è
A éπ,
13π ù é 13π π 13π ù é13π 25π
． ê 6 ú B． ê
π,
6 ÷ C．
, D ,
è 6 6 ú
． ÷
ê 6 6
【答案】C
π é π π ù
【解析】方法一：当 x 0,1 时， t x 3 ê , 3 3 ú ，
π
因为函数 f x sin x ÷ 0 在 0,1 上有唯一的极大值，
è 3
y sin t é π , π ù所以函数 在 ê 上有唯一极大值， 3 3 ú


π π

3 2 π 13π ù
所以， ，解得 , ú .
π 5π 6 6 è
3 2
故选：C
π
方法二：令 x 2kπ
π
， k Z ，则 x 2kπ
π
， k Z ，
3 2 6
所以，函数 f x π sin x 0 y x π x 13π ÷ 在 轴右侧的第一个极大值点为 ，第二个极大值点为 ，
è 3 6 6
π
因为函数 f x sin x ÷ 0 在 0,1 上有唯一的极大值，
è 3
π
1, 6
所以， 解得
π
,
13π ù
13π ú . 1, è 6 6
6
故选：C
题型五：对称性问题
1
【典例 5-1】已知函数 f (x) 2sin( x )( ，x R) ，若 f (x) 的图象的任意一条对称轴与 x 轴交点的横
3 2
坐标均不属于区间 (3π,4π)，则 的取值范围是（ ）
(1 , 2]U [8 , 7] (1 , 17 ]U [17 , 29A． B2 3 9 6 ．
]
2 24 18 24
[5 , 2]U [8 ,11] [11 , 17 ]U [17C． D． ,
23]
9 3 9 12 18 24 18 24
【答案】D
【解析】因为 f (x) 的图像的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标均不属于区间 (3π,4π)，
1 2π
所以 4π 3π ，
2
1
所以 1，
2
又 kπ+
π 3 π π ，且 kπ+π+
π 4 π π 6k+5 6k+11 ，解得 , k Z ，
2 3 2 3 18 24
1
又因 1，
2
6k+5 1
18 2
所以 ,k Z k 1，2
6k+11 6k+5 6k+5
，解得 ，
， 1
24 18 18
当 k 1 11 17 时， ,符合题意，
18 24
17
当 k 2时，
23
，符合题意，
18 24
k é11 , 17 ù é17 23 ù所以
ê18 24 ú ê
, .
18 24 ú
故选：D.
【典例 5-2】已知 f x 2 3 sin wx cos wx 2cos2 wx π ，（w 0 ），若函数在区间 ,π2 ÷内不存在对称轴，则è
w的范围为（ ）
0, 1 ù U é1 , 3ù 0, 1ù U é2A． ú ê ú B． ú ê ,
3ù
è 6 3 4 è 3 3 4ú
0, 1 ù é1 , 2ù 1ù é2 5ùC．
è 6ú ê 3 3ú
D． 0, U ,
è 3ú ê 3 6ú
【答案】C
【解析】函数化简得 f x 3 sin 2wx cos 2wx 1 2sin 2wx

1，
è 6 ÷
2wx 由 k

k Z ，
6 2
k
可得函数的对称轴为 x 3 k Z ，
2w
k k 1
由题意知， 3 且 3 ，≤ ≥
2w 2 2w
k 1 3k 4即 ≤w≤ ， k Z ，若使该不等式组有解，
3 6
k 1 3k 4 2则需满足 ≤ ，即 k ，又w 0 ，
3 6 3
故0
3k 4 4 4 2
≤ ，即 k ，所以 k ≤ ，又 k Z ，
6 3 3 3
1 ù é1 2ù
所以 k 0或 k 1，所以w 0,
è 6ú
U
ê
,
3 3 ú
．
【变式 5-1】已知函数 f x cos x

÷ ( 0)在区间[04 ，
]上有且仅有 3 条对称轴，则 的取值范围是
è
（ ）
13 9 13 9 13 13
A 17 17．（ ， ] B．（ ， ] C．[ ， ） D．[ ， ）
4 4 4 4 4 4 4 4
【答案】C
【解析】 f x cos x

÷ ( 0)，
è 4
x k 1 4k k Z x 令 ， ，则 ， k Z，
4 4
1 4k
函数 f（x）在区间[0， ] 3 0 上有且仅有 条对称轴，即 有 3 个整数 k 符合，
4
1 4k 1 4k
0 ，得0 1 0 1 4k 4 ，则 k 0,1,2，
4 4
即1 4 2 4 1 4 3
9 13 ，∴ .
4 4
故选：C.
【变式 5-2】函数 f x sin x
π
÷ 0 在区间 0, π 上恰有两条对称轴，则 的取值范围为（4 ）è
é7
A． ê ,
13ù 9 11ù é7 11 5 9
ú B． , ú C． ê , ÷ D
é
． ê ,

4 4 4 4 4 4 4 4 ÷ è
【答案】D
【解析】 f x π sin x

÷ ( 0) ，
è 4
令 x
π π 1 4k π
kπ k Z x ， ，则 ， k Z ，
4 2 4
1 4k π
函数 f x 在区间[0， π ]上有且仅有 2 条对称轴，即0 π 有 2 个整数 k 符合，
4
0 1 4k π π ，得0 1 4k 1 0 1 4k 4 ，则 k 0,1，
4 4
1 4 1 4 1 4 5 9即 2，∴ .
4 4
故选：D.
【变式 5-3】已知函数 f x 3sin xcos x cos2 x 1 ( 0, x R)在 0, 内有且仅有三条对称轴，则
2
的取值范围是（ ）
é2 ,7 é7 , 5 é5 ,13 13 8A B C D é , ． ê ． ． ． 3 6 ÷ ÷ ÷ ÷ ê6 3 ê 3 6 ê 6 3
【答案】B
【解析】 x 0, π 时，函数
f x 3sin xcos x cos2 x 1 3 sin2 x 1 1 cos2 x 1 π sin 2 x

÷ , x 0, π ，则2 2 2 2 è 6
2 x π é π , 2 π π ù f x 0, π 5πê ú ，函数 在 内有且仅有三条对称轴，则：满足 2 π
π 7π

6 6 6 ，解得 2 6 2
7 5 7
é，即实数 的取值范围是 ê ,
5
6 3 6 3 ÷
.

题型六：性质的综合问题

【典例 6-1】已知函数 f x sin x （ 0）， ，下述五个结论：
2
①若 ，且 f x 在 0,2 有且仅有 5 个零点，则 f x 在 0,2 有且仅有 3 个极大值点；
5

②若 ，且 f x 在 0,2 有且仅有 4 个零点，则 f x 在 0,2 有且仅有 3 个极小值点；
4
③若

，且 f x 在 0,2 有且仅有 5 个零点，则 f x 在 0, 10 ÷上单调递增；5 è
④若

，且 f x 在 0,2 é15 19 有且仅有 4 个零点，则 的范围是
4 ê
,
8 8 ÷
；

⑤若 f x 5 的图象关于 x 对称， x 为它的一个零点，且在 , ÷ 上单调，则 的最大值为 11.4 4 è18 36
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．②③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④
【答案】D
【解析】结合正弦函数 y sin x 的性质进行判断．作出 y sin( x )的大致图象，由[0, 2 ]上的零点个数
判断①②③④，其中③需结合单调性判断，结合周期，先确定周期的表达式．再由单调性得周期的范围，
然后从最大的
π
验证，判断⑤．①若 ， f (x) 在[0，2π]上有 5 个零点，可画出大致图象，由图可知，
5
f (x) 在 (0，2π)有且仅有 3 个极大值点，故①正确；
② π若 ，且 f (x) 在[0，2π]4 有且仅有 4 个零点，同样由图可知
f (x) 在[0，2π]有且仅有 2 个极小值点，故
②错误；
π③若 ，由 f (x)
24π 29π 12 29
在[0，2π]上有 5 个零点，得 ≤ 2π< ，即 < ，当 x 0， 时，
5 5 5 5 10 è 10 ÷
π
x π π π π π 49π π ，所以 ，所以 f (x) 在 0， ÷上单调递增，故③正确；5 5 10 5 10 5 100 2 è 10
④若
π

4 ，因为
0≤ x≤ 2π ，∴ 0≤ x≤ 2 π ，
π
∴ ≤ x
π π π
≤ 2 π ，因为 f (x) 在[0，2π]有且仅有 4 个零点，所以 4π≤ 2 π 5π ，所以
4 4 4 4
15 19
≤ ，所以④正确；
8 8
f (x) π π π kT T⑤若 的图象关于 x 对称， x 为它的零点，则 k Z4 (4 ，T 为周期)，得2 2 4
T 2π
π 5π
(k Z )，又 f (x)
T π k 11 π在 ， ÷上单调，所以 ≥ ， ≤ ，又当 k 5时， 11， ，2k 1 è18 36 6 2 4
π 5π π 5π
f (x) π 在 ， ÷上不单调；当 k 4时， 9 ， ， f (x)4 在 ， ÷上单调，满足题意，故
的最大
è18 36 è18 36
值为 9，故⑤不正确，
故选：D.
【典例 6-2】已知 f x 1 2cos2 x π ÷ ( 0)，下列结论错误的个数是（3 ）è
①若 f x1 1, f x2 1，且 x1 x2 的最小值为 π，则 2；②存在 0,2 ，使得 f x 的图像向右平
π
移 个单位长度后得到的图像关于 y 轴对称；③若 f x 在 0,2π 上恰有 7 个零点，则 的取值范围是
6
é 41 47 ù
ê , ú；④若 f x
é π π ù
在 ê , ú上单调递增，则
2ù
的取值范围是 0, .
24 24 6 4 è 3 ú
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】Q f x π 2π π 1 2cos2 x

÷ cos

3
2 x
3 ÷
sin 2 x ÷，
è è è 6
2π π
周期T ，
2
1
①由条件知，周期为 2π,\ ，故①错误；
2
π x
②函数图象右移 个单位长度后得到的函数为 y sin 2 x 6 3 6 ÷
，
è
y π π π其图象关于 轴对称，则 kπ k Z ,\ 1 3k k Z ，
3 6 2
故对任意整数 k, 0,2 ，故②错误；
7π π 2π 4π π③由条件，得 ,
41 47
\ ，故③错误；
2 12 12 24 24
π π π
3 6 2 2④由条件，得 ,\ ，又 0,\0
2

π π π ，故④正确. 3 3
2 6 2
故选：C.
π π
【变式 6-1】（2024·天津·二模）已知函数 f x sin 2 x ÷ sin 2 x ÷ 2cos2 x 1( 0)，则下列
è 6 è 6
结论正确的是（ ）
π
A．若 f x 相邻两条对称轴的距离为 ，则 2；
2
B é
π ù
．若 1，则 x ê0, ú 时， f x 的值域为 1,12 ；
f x é0, π 2C ù．若 在 ê 0 2 ú 上单调递增，则 ； 3
D．若 f x 在 0, π 11 17上恰有 2 个零点，则 .
12 12
【答案】D
f x sin 2 x π sin 2 x π 2cos2 x 1 2sin 2 x cos π【解析】 ÷ ÷ cos 2 x
è 6 è 6 6
3 sin 2 x cos 2 x π 2sin(2 x )，
6
π 2π
对于 A：若 f x 相邻两条对称轴的距离为 ，则最小正周期为 π，故 π,v 1，选项 A 不正确；
2 2v
对于 B， 若 π 1，则 f (x) 2sin(2x )6 ，
x é π ù π π当 ê0, ú 时， 2x [ ,
7π],sin(2x π ) 1 [ ,1], f x 的值域为 1,2 ，选项 B 不正确；
2 6 6 6 6 2
C f x é0, π ù 0 ωπ π π 1对于 ：若 在 ê ú上单调递增，则 ,0 ，选项 C 不正确； 2 6 2 3
对于 D： x 0, π 2v x π [ π，则 , 2v π π ]，若 f x 在 0, π 上恰有 2 个零点，
6 6 6
则 2π 2v π
π 3π 11 17 ，则 ，选项 D 正确.
6 12 12
故选：D.
【变式 6-2】已知奇函数 f x sin x cos x π 0,

÷ 在 0,2π 上有 2 个最值点和 1 个零
è 2
点，则 的范围是 .
3
【答案】 ( ,1]
4
【解析】函数 f x sin x cos x 2 sin π x 4 ÷，è
π π
因为该函数为奇函数，故 kπ,k Z,\ kπ, k Z，
4 4
π π
又 ，所以 4 ，即 f x 2 sin x ，2
因为 f x 在 0,2π 上有 2 个最值点和 1 个零点，
故 x (0, 2 π),
3π
2 π 3 2π,\ 1，
2 4
即
3
的范围是 ( ,1]，
4
3
故答案为： ( ,1]
4
【变式 6-3】（2024·安徽合肥·三模）已知函数 f x 3sin xcos x cos2 x 1 ( 0) 在区间 0,π 上只有
2
一个零点和两个最大值点，则 的取值范围是 ．
7 , 5ù【答案】
è 6 3 ú
【解析】 f x 3 sin x cos x 1 cos2 x
2
3 1 π sin 2 x sin 2 x cos2 x 1 6 ÷
1，
2 2 è
由 x 0, π π π， 0，得 2 x éê , 2π
π
，
6 6 6 ÷
f x 0时， sin 2 x
π
÷ 1
π
6 ，
f x 最大时， sin 2 x
è è 6 ÷
也最大，

若 f x 在区间 0, π 上只有一个零点和两个最大值点，
5π 2π π 7π 7 5则只需 ，解得 ．
2 6 2 6 3
7 5ù
故答案为： , .
è 6 3 ú

【变式 6-4】已知函数 f (x) sin( x ) 1, 0,
π π
÷，且 f (0)
1
， f (x) 在区间 (0,2π)上恰有 4
è 2 2 2
个不同的实数 xi (i 1,2,3,4) ，使得对任意 x 都满 f (x) f 2xi x 2 ，且对任意角a ， f (x) 在区间
π
a ,a ÷上均不是单调函数，则 的取值范围是 .
è 2
25ù
【答案】 2,
è 12 ú
π π 1
【解析】因为 f (x) sin( x ) 1, 0, ÷且 f (0) ，
è 2 2 2
所以 f 0 sin 1 1 1 π ，即 sin ，所以 ，故 f x sin π
2 2 6
x ÷ 1.
è 6
由 f x f 2xi x 2可得 f x 的图象关于点 xi ,1 对称，
\sin x
π
i ÷ 1
π
1，即 sin
x i ÷ 0，其中 xi 0,2π i 1,2,3,4 .
è 6 è 6
当 x 0,2π 时， x π π , 2 π
π
，
6 è 6 6 ÷
y sin t π 因函数 在 , ÷上的前5个零点依次为0, π,2π,3π,4π ，
è 6
可得3π 2 π
π 19 25
4π ，解得 ，
6 12 12
又Q f x π在 a ,a
T π π
上不是单调函数，\ ，解得 2，
è 2 ÷ 2 2
25
综上可得 2 ，即 的取值范围是 2,
25ù
.
12 è 12 ú
25ù
故答案为： 2,
è 12 ú
.

1．已知函数 f x cos x
π
÷ ( 0)，若 f x 在区间 0,1 有三个零点，则 的取值范围是（6 ）è
17π , 23π ù é17π 23 7π 10π ù é7π 10π A． B．
è 6 6 ú ê
, π C． , D ,
6 6 ÷ è 3 3 ú
． ÷
ê 3 3
【答案】D
【解析】因为 f (x) cos( x
π
)，且 x [0,1]6 ，
t π
π π
令 x ，则 y cos t, t [ , ]6 ，6 6
即 y cos t [
π
在 ,
π
]上有三个零点，
6 6
5π t 7π 5π π 7π由余弦函数图象知 ，即 ，
2 2 2 6 2
7π 10π解得 .
3 3
故选：D.
2．（2024· 2 陕西安康·模拟预测）已知函数 f x 1 2sin x
π
÷ ( 0)

在 0,
π
è 6 è 2
÷上有且仅有两个零点，则

的取值范围是（ ）
7 ,13A B
7
． ÷ ． ,
13ù é7 ,13 é7 ,13ù
6 6 C Dè è 6 6 ú
． ÷ ．
ê6 6 ê 6 6 ú
【答案】C
【解析】函数 f x 1 2sin2 x
π
÷ cos
π
2 x

6 3 ÷
( 0)，
è è
x 0, π由

÷ ，得2 x
π π

2 3
, π ÷ ，
è è 3 3
2 π π
要使函数 f x 1 2sin x 6 ÷ ( 0) 在
0, ÷上有且仅有两个零点，
è è 2
π é3π , 5π 7则 ê ÷ ，得
13

3 ， 2 2 6 6
é7 13
即 的取值范围是 ê ,6 6 ÷
.

故选：C .
3．若函数 f x 3sin x
π π
÷ ( 0)
é
在 ê ,
π ù
上恰好存在 24 个不同的
x 满足 f x 3，则 的取值
è 4 4 ú
0 0

范围是（ ）
A． 9,17 B． 9,17 C． 10,19 D． 10,19
【答案】B
é π π ù π é π π ù
【解析】当 x ê , 时， x ,0 ， 4 4 ú 4 ê 4 4 ú
由 f x0 3得 sin
π π 5π π
x ÷ 1，则 x0 , .è 4 4 2 2
π π
则 4π
π 5π
，解得 9,17 .
2 4 4 2
故选：B.

4．（2024·四川绵阳· 2模拟预测）已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos x的定义域为[0, ]，在定义域内
2
存在唯一 x0 ，使得 f (x0 ) 3，则 的取值范围为（ ）
1 13
A．[
1 ,13] é , 1 7 1 7B． ê ÷ C．[ , ] D．[ , )6 6 6 6 3 3 3 3
【答案】D

【解析】由题意 f x 3 sin 2 x cos 2 x 1 2sin 2 x ÷ 1， x [0,
]
6 ，è 2
在定义域内存在唯一 x0 ，使得 f (x0 ) 3，
sin 2 x 所以 ÷ 1 x [0,
] é在 上有唯一解，令 t x ê ,
ù
è 6 2 6 6 6 ú
，

é
所以 sin t 1在 t ê ,

ù
6 6 ú上有唯一解，
5 1 7
则由正弦函数图像性质可知 < ， < ，
2 6 2 3 3
故选：D.
π
5．（多选题）（2024·河北·模拟预测）已知函数 f x sin x

3 ÷
( 0) 在 0, π 上有且仅有两个对称中心，
è
则下列结论正确的是（ ）
é5 , 8 A． 的范围是
ê3 3 ÷
f x 0, πB ．函数 在 12 ÷ 上单调递增è
C x π． 4 不可能是函数
y f x 的图像的一条对称轴
D． f x π的最小正周期可能为
2
【答案】AC
π é π π ù
【解析】A 选项， x 0, π 时， x ê , π ，3 3 3 ú
由函数 f x sin x
π
÷ ( 0)3 在
0, π 上有且仅有两个对称中心得，
è
π 5 8 π 2π,3π ，解得 é
3 ê
,
3 3 ÷
，A 正确；

x 0, π x π π , π πB 选项， ÷时，

è 12 3

è 3 12 3 ÷
，

5 8
由 A 可知
é , π π é17π 5π 5π πê ÷ ，故 , ，而 ， 3 3 12 3 ê 36 9
÷
9 2
π
故函数 f x 在 0,12 ÷ 上不一定单调，B 错误；è
C π选项，假设 x 4 为函数的一条对称轴，
π π π 2
令 2kπ ， k Z，解得 8k ， k Z，
4 3 2 3
2
8k é5 , 8 k 1 é , 1 又 3 ê3 3 ÷，故 ê8 4 ÷，又
k Z，故无解，

x π故 4 不可能是函数
y f x 的图像的一条对称轴，C 正确；
é5 8 2π 3π 6πD ù选项，
ê
, ÷ ，故 f x 的最小正周期T ,3 3 è 4 5 ú ，
f x π故 的最小正周期不可能为 ，D 错误.
2
故选：AC
6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知“ x ”表示小于 x 的最大整数，例如 5 4, 2.1 3 .若 sin x x 恰
好有四个解,那么 的范围是 .
11π , 2πù U é2π, 9π U 5π ü【答案】 4 ú ê 4 ÷ è 2
【解析】当 0时，如图为满足题意的两种情况：
2π
1

1 5π 2 5π 1 é 9π 5π ü即 或 ，解得 ê2π, ÷ 2 ； 2 4 2
9π
2 2
当 0 时，如图：
2π
1

1 7 2 11π , 2πù则 ，解得2 è 4 ú
.

11π
2 2
11π ù é 9π 5π ü
综上， 的范围是 , 2πú è 4 ê
2π,
4 ÷
2 ，
11π ù é 9π 5π ü
故答案为： , 2πú ê2π,4 4 ÷
.
è 2
7．已知函数 f x sin x
π
÷ ( 0)4 在区间
0, π 上有且仅有 2 个不同的零点，则 的范围为 .
è
5 9 ù
【答案】 ,
è 4 4ú
【解析】 x 0, π x π π π，则 , π

4 4 4 ÷，函数有且仅有
2 个不同的零点，
è
5 9
则 π
π
π 2π ù，解得 , .
4 è 4 4 ú
5 9 ù
故答案为： ,
è 4 4ú
é π π ù π
8．若函数 f x sin x, x ê , ú，且 f x f ÷ ，则 的范围是 . 3 3 è 3

【答案】
3 3ü 3 ü
2k, k Z
2 2 2


f π 【解析】若 ÷ 1
π π 3
，则 kπ，所以 3k
3 k Z ；è 3 2 2
f π 若 ÷ 1
π π 3 3 3
，则 ，
è 3 3 2 2 2 2
3 3ü 3 ü
所以 的范围为 2k, k Z2 2 2
.

3 3ü 3故答案为： 2k, k Z
ü
.
2 2 2
π
9．已知 f x sin x

÷ 0 ， g x x sin x 同时满足：
è 3
（1）"x , π ， f x 0 或 g x 0﹔
（2）$x 4π,0 ﹐ f x g x 0 ，
则 的范围为 ．
1 , 1 【答案】 6 3 ÷è
【解析】由 g x x sin x ，得 g x 1 cos x 0，所以 g x 在R 上单调递增，
由 g 0 0，所以"x ,0 ， g x 0；"x 0, ， g x 0 .
条件（1）"x , π ， f x 0 或 g x 0，由 g x 的性质可知，条件等价于"x 0, π ， f x 0 ，
1
当0 x π
π π π π
时，有 x π ，由 f x 0 恒成立，∴ π 0，解得 .
3 3 3 3 3
条件（2）$x 4π,0 ﹐ f x g x 0 ，由 x 4π,0 时 g x 0恒成立，条件等价于$x 4π,0 ﹐
f x 0，
π π π
当 4π x 0 时，有 4 π x ，$f x 0，∴ 4 π π 1 π，解得 .
3 3 3 3 6
所以则
1 1
的取值范围为 ,6 3 ÷
.
è
1 , 1 故答案为： ÷
è 6 3
x 2 10．（2024·高三·四川成都·开学考试）函数 f (x) 3 sin x 2cos2 ( 0) ，已知 f (x) 在区间 ( , )恰有三
2 3 3
个零点，则 的范围为 .
7
【答案】 (3, ]
2
2 x
【解析】由题意可得 f x 3sin x 2cos 3sin x cos x 1 2sin x 12 6 ÷ ，è
令 t x

，即 sint
1
恰有三个实根，
6 2
5
三根为：① 2k ， 2k ， 2 k 1 ；
6 6 6
5 5
② 2k ， 2 k 1 ， 2 k 1 ，k Z
6 6 6
2 ∵ 0，∴ x ， 6 3 6 3 6 ÷è
5 2 k 1 2k ，
∴ 6 3 6 6 无解；
2 k 1 2 5 2 k 1 ，
6 3 6 6
2k 5 2k ， 6k 3 6k 1 6 3 6 6
或
5
9 13 ，
2 k 1

2 2 k 2 3k 3k ，
6 3 6 6 2 2
7
当 k=-1 时，解得
ù
的范围为 3,
è 2 ú
7 ù
故答案为 3,
è 2 ú
π
11．（2024·天津河北·二模）已知函数 f x sin x 0,0 ÷的最小正周期为T ，若
è 2
f T 3 x
π
， 时函数 f x 取得最大值，则 ， 的最小值为 .
2 9
1 3
【答案】 / /1.5
3 3 2

【解析】函数 f x sin x 0,0
π
÷的最小正周期为T
2π
，
è 2
2π π π若 f T sin ÷ sin
3
，由0 ，得 ，
è 2 2 3
所以 f x sin x
π
÷，
è 3
π π
因为 x
π
时函数 f x 有最大值，所以 sin
9
÷ 19 3 ，è
π π 2kπ π 3故 k Z ，所以 18k k Z ，
9 3 2 2
3
因为 0，则 的最小值为 .
2
π 3
故答案为： ； .
3 2
3 π 12．（2024·四川·三模）已知函数 f x sin x 3 cos x 0 对任意的 x R ，都有 f x f 4 ÷ ，2 2 è
则 的最小值为 .
4 1
【答案】 /1
3 3
f x 3 sin x 3【解析】 cos x 3 sin x
π
，
2 2 ֏ 6
f x f π π 因为 ÷ ，所以 f x f
è 4 max 4 ÷
，
è
π π π 4所以 2kπ ，则 8k, k Z，
4 6 2 3
4又因为 0，所以 的最小值为 .
3
4
故答案为： .
3
π
13．已知函数 f x sin x cos x ÷ 0 在区间 0,2π 内恰有 3 个零点，则 的取值范围是 ．
è 6
é17
【答案】 ê ,
23
12 12 ÷
f x sin x cos x π sin x 3 cos x 1【解析】因为 ÷ sin x
è 6 2 2
3
sin x 3 cos x 3 sin x
π

2 2 6 ÷
，
è
当 x
π π π
0,2π x é , 2 π ù时， ê ú ，6 6 6
由于函数 f x 3 sin x π ÷在区间 0,2π 内恰有 3 个零点，
è 6
则有3π 2 π
π
4π 17，解得
23
，
6 12 12
é17 23
所以 的取值范围是 ê , . 12 12 ÷
é17 , 23 故答案为： ÷
ê12 12
14．设 0，已知函数 f x sin π 5π 3 x ÷sin 2 x ÷在区间 0, π 恰有 6 个零点，则 ω 的取值范围为
è 4 è 6
17 19 ù
【答案】 , ú .è12 12
【解析】由函数 f x sin 3 x
π
sin 2 x 5π
4 ÷

6 ÷
，
è è
令 f x 0 π ，即 sin 3 x ÷ 0或 sin

2 x
5π
÷ 0，
è 4 è 6
f x 1 4k π 1 6k π解得 的正零点为 或 ，k N，
12 12
所以函数 f x π 5π 7π 9π 13π 17π 19π从左到右的零点依次为： ， ， ， ， ， ， ，
12 12 12 12 12 12 12
17π 19π 17 19
为了使得 f x 在区间 0, π 恰有 6 个零点，只需 π ，解得 ，
12 12 12 12
17所以实数 的取值范围为 ,
19 ù
è12 12 ú
.
17 ,19 ù故答案为： .
è12 12 ú
15 y=sin x 0 é3π．若函数 在 ê , π
ù
ú 上严格减，则正实数 的取值范围是 4 ．
é 2 , 3 ù U é10 7 ù【答案】 ê 3 2 ú
,
ê 3 2 ú
3π
【解析】因为 x π 0 3π，所以 x π ，又函数 y=sin x 0 é3π在 ê , π
ù
上严格减，
4 4 4 ú
1 3π π 1 2π π
设其最小正周期为T ，则 T π ，即 × ，则0 4，
2 4 4 2 4
π
2kπ
3π

2 8
π
k
所以 2kπ
3π
x π 3π 2kπ (k Z) 2 4 3 3，即 3π ，解得： ，
(k Z)
2 4 2 π 2kπ 3
2k 2 2
2 3 10 7当 k 0时， ，当 k 1时， ，
3 2 3 2
é 2 , 3 ù U é10故答案为： ê ú ,
7 ù
3 2 ê 3 2 ú
f x cos x π 16．若函数 ÷ ( 0)
π , π 在 ÷上单调递增则 的取值范围为 .
è 4 è12 8
【答案】[9,14]
π π π π π π π
【解析】由 x , x , .
è12 8 ÷
，得
4 12 4 8 4 ֏
π π
π π
π 2kπ,
f x 12 4因为 在 ,12 8 ÷上单调递增，所以 k Z ，è π π 2kπ
8 4
15 24k,
得 k Z
2 16k
，
2 16k 0,
则 k Z
15 24k 2 16k
，
1 13
解得 k k Z ，则 k 1，故 的取值范围为9 14 .
8 8
故答案为：[9,14]
π
17．（2024·陕西· f x sin 模拟预测）已知函数 2 x ÷（ 03 ）在区间 0, π 上有且仅有 3 个极值点，è
则 的取值范围是 .
13 ,19ù【答案】
è12 12ú
【解析】因为 x 0, π 且 0，
π π π
所以 2 x , 2 π 3 3 3 ÷
，
è
f x sin 又因为函数 2 x
π
÷在区间 0, π 上有且仅有 33 个极值点，è
2 π π 5π , 7π ù 13 ,19ù所以满足 ，即 ，
3 è 2 2 ú è12 12ú
13 19ù
故答案为： ,
è12 12ú
π
18．（2024·江西九江·

三模）已知函数 f x sin x
( 0) 0, π
4 ÷ 在区间 上有且仅有三个零点，则
的
è
取值范围是 .
9 ,13ù【答案】
è 4 4 ú
【解析】令 t x
π
，Q x 0, π t π，\ , π
π
÷，4 è 4 4
问题转化为函数 y sint
π
在区间 , π
π
÷上有且仅有三个零点，
è 4 4
\2π π 9 13 π 3π，解得 .
4 4 4
9 13ù
故答案为： ,
è 4 4 ú
19．已知函数 f x sin π x （其中 0)在区间 0,1 上单调递增，且在区间 0,7 上有 3 个零点，则
的取值范围为 .
3 , 1 ù【答案】
è 7 2 ú
【解析】设 z π x ，由 x 0,1 和 0可得 z (0, π ) ，
因 f x 在区间 0,1 上单调递增，即 y sin z 在 (0, π )上递增，
π π 1则有 ，解得，0 .
2 2
又 f x 在区间 0,7 上有 3 个零点，由 x 0,7 可得 z (0,7π ) ，
由 y sin z 的图象可知，需使3π<7π
3 4
4π ，解得 .
7 7
1 3 4 3 1
结合0 ≤ 和 ，可得 .
2 7 7 7 2
3 , 1 ù故答案为： ú .è 7 2
f x sin x π f T f T20．（2024·湖北·二模）已知函数 （ 0， ）的最小正周期为 T ，
2 6 ÷
÷，
è è 3
若 f x 在 0,1 内恰有 10 个零点则 的取值范围是 ．
【答案】 9π,10π
【解析】函数 f x sin x （ 0 π 2π， ）的周期为T ，
2
f T T π 2π又 ÷ f ÷，所以 f ÷ f

è 6 è 3 è 3
，
è 3 ÷
所以 sin
π
÷ sin
2π π 2π


3 3 ÷，即
sin ÷ sin ，
è è è 3 ÷ è 3
π π 2π
因为 ，所以 3 3 π ，解得 02
，
2 2
所以 f x sin x ，因为 x 0,1 ，所以0 x ，
要使 f x 在 0,1 内恰有 10 个零点，则9π 10π .
所以 的取值范围是[9π,10π) .
故答案为：[9π,10π) .
21．已知函数 f x sin x 3cos x ，若沿 x 轴方向平移 f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线
y 1在区间 0, π 上至少有 2 个交点，至多有 3 个交点，则正实数 的取值范围为 （建议：作答写成区
间．）
é 8
【答案】 2,
ê 3 ÷
f x sin x 3cos x f x 2sin x π 【解析】由 可得： 3 ÷，è
若沿 x 轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数 g x 2sin x .
令 g x 1，即 sin x 1 ， x [0, π]，取 z x ，则 z [ , π ] .
2
1
依题意知， sin z 在 , 上至少有 2 解，至多有 3 解，
2
8π 8π 8
则须使区间 [ , π ]的长度在2π到 3 之间，即2π π ，解得 2 < .3 3
é
故答案为： ê2,
8 .
3 ÷
π
22．设常数 0， f x sin x cos x 3 cos2 x 3，若函数 y f x é在区间 ê0,
ù
3 ú
上的最小值为 0，

则 的最大值为
5
【答案】 / 2.5
2
1 3
【解析】由函数 f x sin x cos x 3 cos2 x 3 sin 2 x cos 2 x 1 3
2 2
1
sin 2 x 3 cos 2 x 3 sin(2 x π ) 3 ，
2 2 2 3 2
é π ù π é π 2 π π ù
因为 x ê0, ú ，可得 2 x , 3 3 ê 3 3 3 ú
，

又因为 f x 的最小值为 0，即 y sin(2 x π ) 3的最小值为 ，
3 2
2 π π 4π 5 5所以 ，解得 ，即实数 的最大值为 .
3 3 3 2 2
5
故答案为： .
2
23．（2024·福建南平·二模）函数 f x sin x π π 0 é ù在区间 ê , ú 上单调递增，且在区间 0,2π 上恰有 6 3
两个极值点，则 的取值范围是 .
3
【答案】
5

4 4
é π π ù
【解析】由 f x sin x 0 在区间 ê , ú 上单调递增， 6 3
π π π π
可得 2kπ， 2kπ ， k Z，
6 2 3 2
3
即 3 12k ， 6k 0
3
， k Z，即 ，
2 2
又 f x sin x 0 在区间 0,2π 上恰有两个极值点，
3π
可得 2 π
5π 3 5 ，即 .
2 2 4 4
3 5综上， .
4 4
3 5
故答案为： .
4 4重难点突破 01 三角函数中有关 ω 的取值范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结 ..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结 ..............................................................................................................................3
题型一：零点问题 ................................................................................................................................3
题型二：单调问题 ................................................................................................................................4
题型三：最值问题 ................................................................................................................................5
题型四：极值问题 ................................................................................................................................6
题型五：对称性问题 ............................................................................................................................7
题型六：性质的综合问题 ....................................................................................................................8
03 过关测试 ..........................................................................................................................................9
T
b a
2
1、 f (x) Asin( x ) 在 f (x) Asin( x ) 区间 (a，b) 内没有零点 k a k

k b k


b a
T

2
a k

b k
同理， f (x) Asin( x ) 在区间[a，b] 内没有零点
T b a
T
b a 2 2
k a k k

a

k b k

b k
2、 f (x) Asin( x ) 在区间 (a，b) 内有3个零点

T b a 2T T b a 2T

k a k (k 1) k

a

3 k b 4 k

(k 3) b (k 4)
同理 f (x) Asin( x ) 在区间[a，b] 内有 2个零点
T 3T T 3T
b a
b a
2 2
2 2
k a k
k a k

2 k b 3 k (k 2) b (k 3)
3、 f (x) Asin( x ) 在区间 (a，b) 内有 n个零点
(n 1)T
b a
(n 1)T

2 2
k a k

(k n) (k n+1)
b
同理 f (x) Asin( x ) 在区间[a，b] 内有 n个零点
(n 1)T
b
(n 1)T
a
2 2
k a k

(k n) b (k n+1)

2n 1
4 、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为 T ，则
4
2n 1T (2n 1) b a ．
4 2
5、已知单调区间 (a,b)，则 a b T .
2
题型一：零点问题

【典例 1-1】已知函数 f (x)= sin( x + )( > 0, < )，且 f 0 3 ，则下列陈述不正确的是（ ）2 2

A．若函数 f x 的相邻对称轴之间的距离为 ，则函数 f x 的最小正周期为 π
2

B．若函数 f x 的相邻对称轴之间的距离为 ，则 x 为 f x 的一条对称轴
2 12
f x 0, é8 ,11C ．若函数 在区间 上有三个零点，则 的范围为 ê3 3 ÷
é ù 4 10 16
D f x , 0, 2, 5, ．若函数 在 ê 3 2 ú 无零点，则 的范围为 3 ÷ 3 ÷ 3 ÷ è è è
【典例 1-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数 f x sin x 3 cos x 1 0 在 0,2 上有且只有 5 个
零点，则实数 的范围是（ ）
11, 37 ù 13 , 7 ù 25 ,11ù 25 11ùA． B． C． D． ,
è 2 6 ú è 6 2 ú è 12 4 ú è 12 2 ú
【变式 1-1】已知函数 f (x) sin(3 x
π
)sin(2 x 5π )在区间 (0, π) 恰有 6 个零点，若 0，则 的取值
4 6
范围为（ ）
A． (
3 ,13) B． (
13 ,17) (17 ,19] (19 , 7C． D． ]
4 12 12 12 12 12 12 4
1-2 f (x) 2cos 【变式 】已知 x
π
÷（其中 0），若方程 | f (x) | 1在区间 (0, π) 上恰有 4 个实根，则
è 3
的取值范围是（ ）
A 8 ù
8
B é ,3ù é
8 8ù
． ,33 ú ． ê ú C． ê2,3 3 ÷ D．
2,
è è 3 ú
【变式 1-3】函数 f x 2sin x 0 0 π π，（ ， ）满足 f 0 1，且 y f x é在区间 ê ,0
ù
2 上有 3 ú
且仅有 3 个零点，则实数 的取值范围为（ ）
11 13 19
A． 5,7 B é é ． ê ,8÷ C． ê ,2 2 2 ÷ D． 4,8

【变式 1-4】（2024·湖北武汉·模拟预测）设 0，已知函数 f x sin 3 x
π 5π
4 ÷
sin 2 x ÷在 0, π 上
è è 6
恰有 6 个零点，则 取值范围为（ ）
19 7 17 19 ù 13 17 ù 3 13
A , ù． ú B． , C． , D
, ù
è12 4
．
è12 12 ú è12 12 ú è 4 12 ú
题型二：单调问题
2-1 f x sin x π 0 é π , π ù【典例 】若函数 ÷ 在区间 ê ú上单调递增，则 的取值范围是（ ）è 6 12 6
A． 0,2 B． 0,4 C． 0,6 D． 0,8
π
【典例 2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若函数 f (x) sin( x)( 0)在 0, ÷上单调递增，则 的取值范
è 4
围为（ ）
1
A
1 ù
． 0, ÷ B． (0,2) C． 0, ú D． (0, 2]è 2 è 2
2-1 f x 2cos2【变式 】已知函数 x 3，若对任意的实数 m， f x 在 m,m 5 的值域均为 3, 1 ，且

在 , ÷ 上单调递减，则 ω 的范围为 .
è 4 3
【变式 2-2】（2024·宁夏银川·三模）函数 y f x 的图像是由函数 y cos x （ 大于零）的图像向左平

移 个单位所得，若函数 y f x 在 , 2 范围内单调，则 的范围是 .
6
π π
【变式 2-3】已知函数 f x sin x

÷ ( 0) ，若函数 f x
é
在 ê , π
ù
è 3 2 ú
上单调递减，则 的取值范围为
（ ）
é1,11ù é5 ,2ù é5 11A． 1,2 ùB．
ê 6 ú
C．
ê 3 ú
D．
ê
,
3 6 ú
题型三：最值问题

【典例 3-1】函数 f (x) 2sin x ÷( 0) 在区间[0, 20]上有 50 个最大值，则 的范围 ．
è 3
0, π【典例 3-2】若函数 f (x) 3 cos x sin x 1( 0) 在
è 2 ÷
内存在最小值但无最大值，则 的范围是

π
【变式 3-1

】（2024·江西鹰潭·三模）已知函数 f x acos x sin x 0 ，若 f 3
è 3 ÷
且

f x f π 6 ÷，则
的最小值为（ ）
è
A．11 B．5 C．9 D．7
π π 7π
【变式 3-2】函数 f x sin x ÷ 0 在 ,4 4 4 ÷内恰有两个最小值点，则 ω 的范围是（ ）è è
13A ù
13 ù
． , 4ú B7 ．
,3
è è 7 ú
4C ,4ù
4
． ú D． ,3
ù
è 3 è 3 ú
题型四：极值问题
f (x) sin( x ) 0, π π f T 2 π【典例 4-1 】记函数 的最小正周期为 T．若 , x 为 f (x)
è 2 2 ÷ è 2 ÷ 2 8
的极小值点，则 的最小值为__________．
【典例 4-2】已知函数 f (x) 4sin( x )

0,| |

÷ ， f (0) f (4) 2，函数 f (x) 在 (0, 4) 上有且仅有
è 2
一个极小值但没有极大值，则 的最小值为（ ）
5 4
A． B． C． D．
6 3 6 3

【变式 4-1】（2024·

山西运城·高三统考期中）已知函数 f x cos x ÷ 0 4 在区间 0,è è 2 ÷
内有且仅有一

1
个极小值，且方程 f x 在区间 0, ÷内有 3 个不同的实数根，则 的取值范围是（ ）2 è 2
25 ,11 é25 ,11ù 25 11ù é25 11 A． B．6 2 ÷ ê
C
6 2 ú ．
, D． , ÷
è è 6 2 ú ê 6 2
é ù
【变式 4-2】（2024·全国·校联考三模）已知函数 f x 2sin x ÷ 0 ， x ê , ú .6 3 2 若函数 f x 只è
有一个极大值和一个极小值，则 的取值范围为（ ）
A 2,5 B 2,5 8C 2, ù D 2, 8 ． ． ．
è 3 ú
． ÷
è 3
【变式 4-3】函数 f x sin x
π
÷ 0 在 0,1 上有唯一的极大值，则 （3 ）è
éπ,13π ù éπ,13π π ,13π 13π 25πA． ê 6 ú B C
ù D é． ê ÷ ． ,

6 è 6 6 ú
． ê 6 6 ÷
题型五：对称性问题
【典例 5-1】已知函数 f (x) 2sin( x
)( 1 ，x R) ，若 f (x) 的图象的任意一条对称轴与 x 轴交点的横
3 2
坐标均不属于区间 (3π,4π)，则 的取值范围是（ ）
(1A． ,
2]U [8 , 7] (1 , 17 ]U [17 29B , ]
2 3 9 6 ． 2 24 18 24
[5 , 2]U [8C． ,
11] 11 17 17 23D
9 3 9 12 ．
[ , ]U [ , ]
18 24 18 24
【典例 5-2】已知 f x 2 3 sin wx cos wx 2cos2 wx π，（w 0 ），若函数在区间 ,π ÷内不存在对称轴，则
è 2
w的范围为（ ）
0, 1 ù U é1 , 3ù 1ùA． ú ê B． 0, U
é2 , 3ù
è 6 3 4 ú è 3ú ê 3 4ú

C． 0,
1 ù é1 2 ù 1ù é2 5ù
è 6ú ê
, ú D． 0, U , 3 3 è 3ú ê 3 6ú

【变式 5-1】已知函数 f x cos x 4 ÷ ( 0)在区间[0，
]上有且仅有 3 条对称轴，则 的取值范围是
è
（ ）
13 9 13 9 13 13
A 17．（ ， ] B．（ ， ] C．[ ， ） D．[ 17， ）
4 4 4 4 4 4 4 4

【变式 5-2】函数 f x sin x
π
÷ 0 在区间 0, π 上恰有两条对称轴，则 的取值范围为（4 ）è
é7 ,13ù 9 ,11ù é7 11 é5 9A． ê ú B

． ú C． ,4 4 4 4 ê ÷
D． , ÷
è 4 4 ê4 4
【变式 5-3】已知函数 f x 3sin xcos x cos2 x 1 ( 0, x R)在 0, 内有且仅有三条对称轴，则
2
的取值范围是（ ）
é2 7 é7 5 é5 13 é13 8A ． ê , ÷ B． , C． 3 6 ê6 3 ÷ ê
, ÷ D． ê ,3 6 6 3 ÷
题型六：性质的综合问题
【典例 6-1】已知函数 f x sin x （ 0）， ，下述五个结论：
2

①若 ，且 f x 在 0,2 有且仅有 5 个零点，则 f x 在 0,2 有且仅有 3 个极大值点；
5

②若 ，且 f x 在 0,2 有且仅有 4 个零点，则 f x 在 0,2 有且仅有 3 个极小值点；
4
③若 ，且 f x 在 0,2 有且仅有 5 个零点，则 f x 在 0,

10 ÷上单调递增；5 è
④若

，且 f x 在 0,2 15 19有且仅有 4 é 个零点，则 的范围是 ê ,8 8 ÷；4
f x x 5 ⑤若 的图象关于 对称， x 为它的一个零点，且在 , ÷ 上单调，则 的最大值为 11.4 4 è18 36
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．②③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①③④
2 π
【典例 6-2】已知 f x 1 2cos x ÷ ( 0)，下列结论错误的个数是（3 ）è
①若 f x1 1, f x2 1，且 x1 x2 的最小值为 π，则 2；②存在 0,2 ，使得 f x 的图像向右平
π
移 个单位长度后得到的图像关于 y 轴对称；③若 f x 在 0,2π 上恰有 7 个零点，则 的取值范围是
6
é 41 47 ù é π π ù
ê , ú；④若 f x 在 ê , ú上单调递增，则
2ù
的取值范围是 0, .
24 24 6 4 è 3 ú
A．1 B．2 C．3 D．4
π π
【变式 6-1】（2024·天津· 2二模）已知函数 f x sin 2 x ÷ sin 2 x ÷ 2cos x 1( 0)，则下列
è 6 è 6
结论正确的是（ ）
A．若 f x π相邻两条对称轴的距离为 ，则 2；
2
π
B．若 1，则 x é0, ùê 2 ú 时， f x 的值域为 1,1 ；
C．若 f x é π ù 2在 ê0, 2 ú 上单调递增，则0 ； 3
D．若 f x 在 0, π 11 17上恰有 2 个零点，则 .
12 12
【变式 6-2】已知奇函数 f x sin x cos x 0,
π
÷ 在 0,2π 上有 2 个最值点和 1 个零
è 2
点，则 的范围是 .
1
【变式 6-3】（2024·安徽合肥· 2三模）已知函数 f x 3sin xcos x cos x ( 0) 在区间 0,π 上只有
2
一个零点和两个最大值点，则 的取值范围是 ．
π π 1
【变式 6-4

】已知函数 f (x) sin( x ) 1, 0, ÷，且 f (0) ， f (x) 在区间 (0,2π)2 2 上恰有 4è 2
个不同的实数 xi (i 1,2,3,4) ，使得对任意 x 都满 f (x) f 2xi x 2 ，且对任意角a ， f (x) 在区间
a ,a π ÷上均不是单调函数，则 的取值范围是 .
è 2
π
1．已知函数 f x cos x ÷ ( 0)，若 f x 在区间 0,1 有三个零点，则 的取值范围是（6 ）è
17π 23π ù é17π 23 7π 10π é7π 10π
A , B , π C , ù．
è 6 6 ú
．
ê
．
6 6 ÷ è 3 3 ú
D． ,
ê 3 3 ÷
π π
2．（2024· 2 陕西安康·模拟预测）已知函数 f x 1 2sin x ÷ ( 0) 在 0,6 ÷上有且仅有两个零点，则è è 2
的取值范围是（ ）
7 ,13 7 ,13ù é7 ,13 é7 13ùA． 6 6 ÷ B． C D6 6 ú ． ê ÷ ． ê
,
è è 6 6 6 6 ú
3
π é π π ù
．若函数 f x 3sin x ( 0) , 2 x f x 3
è 4 ÷
在 上恰好存在 个不同的 0 满足 0 ，则 的取值
ê 4 4 ú
范围是（ ）
A． 9,17 B． 9,17 C． 10,19 D． 10,19

4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 f x 2 3 sin x cos x 2cos2 x的定义域为[0, ]，在定义域内
2
存在唯一 x0 ，使得 f (x0 ) 3，则 的取值范围为（ ）
1 13 é1 ,13[ , ] [1 , 7A． B． ê ÷ C． ] [
1 , 7D． )
6 6 6 6 3 3 3 3
π5 ．（多选题）（2024·河北·模拟预测）已知函数 f x sin x ÷ ( 0) 在 0, π 上有且仅有两个对称中心，
è 3
则下列结论正确的是（ ）
é5 , 8 A． 的范围是 ê3 3 ÷
B．函数 f x 0, π 在 ÷ 上单调递增
è 12
C． x
π

4 不可能是函数
y f x 的图像的一条对称轴
D． f x π的最小正周期可能为
2
6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知“ x ”表示小于 x 的最大整数，例如 5 4, 2.1 3 .若 sin x x 恰
好有四个解,那么 的范围是 .
7．已知函数 f x sin x π

÷ ( 0) 在区间 0, π 4 上有且仅有 2 个不同的零点，则 的范围为 .è
8．若函数 f x sin x, x é π π π ù ê ,3 3 ú，且 f x f 3 ÷ ，则
的范围是 .
è
π
9．已知 f x sin x ÷ 0 ， g x x sin x 同时满足：
è 3
（1）"x , π ， f x 0 或 g x 0﹔
（2）$x 4π,0 ﹐ f x g x 0 ，
则 的范围为 ．
2
10．（2024·高三·四川成都·开学考试）函数 f (x) 3 sin x 2cos2 x ( 0) ，已知 f (x) 在区间 ( , )恰有三
2 3 3
个零点，则 的范围为 .
π
11．（2024·天津河北·二模）已知函数 f x sin x 0,0 ÷的最小正周期为T ，若
è 2
3 x πf T ， 时函数 f x 取得最大值，则 ， 的最小值为 .
2 9
π
12 3 3．（2024·四川·三模）已知函数 f x sin x cos x 0 对任意的 x R ，都有 f x f 4 ÷ ，2 2 è
则 的最小值为 .
13．已知函数 f x sin x cos x
π
÷ 0 在区间 0,2π 内恰有 3 个零点，则 的取值范围是 ．
è 6
f x sin 3 x π 14．设 0，已知函数 ÷sin
2 x 5π

÷在区间 0, π 恰有 6 个零点，则 ω 的取值范围为
è 4 è 6
3π
15 é．若函数 y=sin x 0 在 ê , π
ù
4 ú 上严格减，则正实数
的取值范围是 ．

f x cos x π π π16 ．若函数 ÷ ( 0)在 ,12 8 ÷上单调递增则 的取值范围为 .è 4 è
π
17．（2024·陕西·

模拟预测）已知函数 f x sin 2 x ÷（ 0）在区间 0, π 上有且仅有 33 个极值点，è
则 的取值范围是 .
π
18．（2024·江西九江·

三模）已知函数 f x sin x ( 0) 0, π
è 4 ÷
在区间 上有且仅有三个零点，则 的

取值范围是 .
19．已知函数 f x sin π x （其中 0)在区间 0,1 上单调递增，且在区间 0,7 上有 3 个零点，则
的取值范围为 .
20．（2024·湖北·二模）已知函数 f x sin x π f
T f T 0 （ ， ）的最小正周期为 T， ，
2 è 6 ÷ ÷ è 3
若 f x 在 0,1 内恰有 10 个零点则 的取值范围是 ．
21．已知函数 f x sin x 3cos x ，若沿 x 轴方向平移 f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线
y 1在区间 0, π 上至少有 2 个交点，至多有 3 个交点，则正实数 的取值范围为 （建议：作答写成区
间．）
π
22．设常数 0， f x sin x cos x 3 cos2 x 3，若函数 y f x é ù在区间 ê0, ú 上的最小值为 0， 3
则 的最大值为
f x sin x 0 é π π ù23．（2024·福建南平·二模）函数 在区间 ê , ú 上单调递增，且在区间 0,2π 上恰有 6 3
两个极值点，则 的取值范围是 .

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