重难点突破01 奔驰定理与四心问题（五大题型）（含答案）第五章平面向量与复数 2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

资源简介

重难点突破 01 奔驰定理与四心问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：奔驰定理................................................................................................................................3
题型二：重心定理................................................................................................................................5
题型三：内心定理................................................................................................................................6
题型四：外心定理................................................................................................................................6
题型五：垂心定理................................................................................................................................7
03 过关测试 ...........................................................................................................................................8
技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已知 △ABC 的顶点 A(x1 ，y1)， B(x2 ，y2 ) ， C(x3 ，y3 )，则 △ABC 的重心坐标为
G( x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y， 3 )．
3 3
uuur uuur uuur r
注意：（1）在△ABC 中，若O为重心，则OA + OB + OC = 0 ．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为 2：1，且分的三个三角形面积相等．
uuur 1 uuur 1 uuur
重心的向量表示： AG = AB + AC ．
3 3
uuuur uuuur uuuur ur
奔驰定理： SA ×OA+ SB ×OB + SC ×OC =0，则 △AOB 、 △AOC 、 △BOC 的面积之比等于
l3 : l2 : l1
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
奔驰定理证明：如图，令l1OA = OA1 ，l2 OB = OB1 ，l3OC = OC1 ，即满足OA1 + OB1 + OC1 = 0
S△AOB 1 S= ， △AOC 1
S
= ， △BOC
1
= ，故 S
S l l S l l △AOB
: S△AOC : S△BOC = l3 : l2 : l1 ．
△A1OB1 1 2 △A1OC1 1 3
S△B l1OC1 2l3
技巧三．三角形四心与推论：
uuur uuur uuur r
（1）O是△ABC 的重心： S△BOC : S△COA : S△A0B = 1:1:1 OA + OB + OC = 0．
uuur uuur uuur r
（2）O是△ABC 的内心： S△B0C : S△COA : S△AOB = a : b : c aOA + bOB + cOC = 0 ．
（3）O是△ABC 的外心：
uuur uuur uuur r
S△B0C : S△COA : S△AOB = sin 2A : sin 2B : sin 2C sin 2AOA + sin 2BOB + sin 2COC = 0 ．
（4）O是△ABC 的垂心：
uuur uuur uuur r
S△B0C : S△COA : S△AOB = tan A : tan B : tan C tan AOA + tan BOB + tan COC = 0．
技巧四．常见结论
uuur uuur
1 AB AC（）内心：三角形的内心在向量 uuur + uuur 所在的直线上．
AB AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
AB × PC + BC × PC + CA × PB = 0 P 为△ABC 的内心．
uuur uuur uuur
（2）外心： PA = PB = PC P 为△ABC 的外心．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（3）垂心： PA × PB = PB × PC = PC × PA P 为△ABC 的垂心．
uuur uuur uuur r
（4）重心： PA + PB + PC = 0 P 为△ABC 的重心．
题型一：奔驰定理
uuur uuur uuur r
【典例 1-1】已知O为VABC 内一点，且满足OA + lOB + (l -1)OC = 0 ，若VOAB的面积与VOAC 的面积的比值
1
为，则l 的值为（）
4
3 4
A． B C 1．． D．2
4 3 2
uuur 1 uuur 2 uuur
【典例 1-2】点O在VABC 的内部，且满足： AO = AB + AC ，则VABC 的面积与VAOB的面积之比是
5 5
（）
7 5
A． B．3 C． D．2
2 2
uuur uuur
【变式 1-1】设M 是VABC 内一点，且 AB × AC = 2 3, BAC = 30o ，定义 f M = m, n, p ，其中m, n, p分
1 4
别是VMBC,VMCA,VMAB
1
的面积，若 f M = , x, y

÷ ，则 +x y 的最小值是（）è 2
A．9 3 +1 B．18 C．16 D．9
uuur 1 uuur uuur【变式 1-2】设 AG = AB + AC ，过G 作直线 l分别交 AB, AC uuuv uuuv（不与端点重合）于P,Q ，若3 AP = l AB，
uuuv uuuv 2
AQ = m AC ，若DPAG 与DQAG 的面积之比为 3 ，则
m =
1 2 3 5A． B． 3 C． D．3 4 6
【变式 1-3】（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结
论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 M 是
VABC 内一点，△BMC ，VAMC ，VAMB 的面积分别为 SA， SB ， SC ，且
uuur uuur uuuur r
SA × MA + SB × MB + SC × MC = 0．以下命题正确的有（）
A．若 SA : SB : SC =1:1:1，则 M 为VAMC 的重心
uuur uuur uuuur r
B．若 M 为VABC 的内心，则BC × MA + AC × MB + AB × MC = 0
C．若 BAC = 45°， ABC = 60°，M 为VABC 的外心，则 SA : SB : SC = 3 : 2 :1
uuur uuur uuuur r
D．若 M 为VABC 6的垂心，3MA + 4MB + 5MC = 0，则 cos AMB = -
6
【变式 1-4】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”
轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是VABC 内的一点，VBOC ，VAOC ，
uuur uuur uuur r
VAOB的面积分别为 SA , SB , SC ，则有 SA ×OA + SB ×OB + SC ×OC = 0 .设O是锐角VABC 内的一点， BAC ，
ABC ， ACB 分别是VABC 的三个内角，以下命题正确的有（）
uuur uuur uuur r
A．若OA + OB + OC = 0，则O为VABC 的重心
uuur uuuur uuur r
B．若OA + 2OB + 3OC = 0，则 SA : SB : SC =1: 2 : 3
uur uuur uuur uuur uuur r
C．若 | OA |=| OB |= 2， AOB
5π 9
= ，
6 2OA + 3OB + 4OC = 0
，则 SVABC = 2
uuur uuur uuur r
D．若O为VABC 的垂心，则 tan BAC ×OA + tan ABC ×OB + tan ACB ×OC = 0
题型二：重心定理
【典例 2-1】已知O是VABC 所在平面内一定点，动点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
OP = OA + l uuurAB + uuurAC ÷ ,l 0,+ ，则动点 P 的轨迹一定过VABC 的 .（选填：外心、内

è AB sin B AC sin C
÷

心、垂心、重心）
uuur uuur
【典例 2-2】（2024·高三·陕西渭南·期末）如图所示，VABC 中G 为重心， PQ过G 点， AP = mAB ，
uuur uuur 1 1
AQ = nAC ，则 + = ．
m n
uuur uuur uuur
【变式 2-1】（2024·陕西西安·模拟预测）在平行四边形 ABCD中，G 为△BCD的重心， AG = xAB + y AD，
则3x + y = ．
【变式 2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在VABC 中，过重心G 的直线交边 AB 于点 P ，交边 AC 于点Q
uuur uuur uuur uuur
（ P 、Q为不同两点），且 AP = l AB， AQ = m AC ，则l + m 的取值范围为 .
【变式 2-3】在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 a =1，A = 60o ，设 O，G 分别是
uuur uuur
VABC 的外心和重心，则 AO × AG的最大值是（）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
uuur uuur uuur uuur
【变式 2-4】（2024·全国·二模）点O, P 是VABC 所在平面内两个不同的点，满足OP = OA + OB + OC ，则直
线OP经过VABC 的（）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
题型三：内心定理
uuur uuur uuur
【典例 3-1】已知O为VABC
1
的内心， cos ABC = ，且满足BO = xBA + yBC ，则 x + y 的最大值为 .
4
uuur uuur uuur
【典例 3-2】在△ABC 中， cos BAC
1
= ，若 O 为内心，且满足 AO = xAB + y AC ，则 x+y 的最大值为．
3
uuur uuur uuur uuur【变式 3-1】已知点 O 是边长为 6 的等边△ABC 的内心，则 OC + OA × OA + OB ＝．
【变式 3-2】（2024·高三·山东聊城·期中）已知O是VABC 的内心， AB = 9，BC =14，CA = 13，则
uuur uuur
AO × AB = ．
【变式 3-3】已知RtVABC 中， AB = 3， AC = 4， BC = 5 ，I 是VABC 的内心，P 是VIBC 内部（不含边界）

的动点.若 AP = l AB+ m AC （l ， m R ），则l + m 的取值范围是 .
题型四：外心定理
uuur uuur uuur
【典例 4-1】已知点O在VABC 所在平面内，满足 OA = OB = OC ，则点O是VABC 的（）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 4-2】O为VABC 所在平面内一点，且满足 (OA + OB) × BA = (OB + OC) ×CB = (OC + OA) × AC ，则O是
VABC 的（）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
uuur uuur uuur
【变式 4-1】（2024·天津北辰·三模）在VABC 中， AB = 2 2 ，O为VABC 外心，且 AO × AC = 1，则
ABC 的最大值为（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
uuur uuur
【变式 4-2】在VABC 中， AC = 2 7 ，O是VABC 的外心，M 为BC的中点， AB × AO = 8， N 是直线OM
uuur uuur
上异于M 、O的任意一点，则 AN × BC =（）
A．3 B．6 C．7 D．9
uuur uuur uuur
【变式 4-3】已知 O 为VABC 的外心， AB = 4，则 AO × AB =（）
A．8 B．10 C．12 D．1
uuur uuur uuur uuur
【变式 4-4】在VABC 中， AB = 2, ACB = 45°，O 是VABC 的外心，则 AC × BC + OC × AB 的最大值为
2 2 π uuur uuur uuur
【变式 4-5】已知VABC 内一点O是其外心， sin A = 0 < A < ÷，且 AO = mAB + nAC ，则m + n的最3 è 2
大值为．
【变式 4-6】在VABC 中， A = 60°，BC = 3 ，O为VABC 的外心，D，E ，F 分别为 AB ，BC，CA的
uuur2 uuur2 uuur2 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
中点，且OD + OE + OF = ，则OA ×OB + OB ×OC + OC ×OA = .4
题型五：垂心定理
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur
【典例 5-1】已知 VABC 的垂心为点D，面积为 15，且 ABC=45°，则 BD × BC = ；若 BD = BA + BC ，2 3
uuur
则 BD = .
uuur uuur uuur r
【典例 5-2】若H 是VABC 的垂心，且 2HA + 2HB + 3HC = 0，则 tanC 的值为．
【变式 5-1】在VABC 中，三个内角分别为 A，B，C， AB = 4 ， AC = 3，BC = 2，H 为VABC 的垂心．若
uuur uuur uuur y
AH = xAB + y AC ，则 = ．
x
uuur 1 uuur 2 uuur
【变式 5-2】已知H 为VABC 的垂心（三角形的三条高线的交点），若 AH = AB + AC ，则
3 5
sin BAC = .
【变式 5-3】已知在VABC 中， AB = AC, BC 6
uuur uuur
= ，点H 为VABC 的垂心，则BH × BC = ．
uuur uuur uuur r
1．已知O是VABC 内部的一点，OA + OB + 3OC = 0，则VOAB的面积与VABC 的面积之比是（）
3
A B 2
3 5
．． 3 C． D．2 5 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2．（2024·四川南充·三模）已知点 P 在VABC
AC AB BC BA
所在平面内，若PA × ( uuur - uuur ) = PB × ( uuur - uuur ) = 0 ，
| AC | | AB | | BC | | BA |
则点 P 是VABC 的（）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
3．已知 G，O，H 在VABC 所在平面内，满足GA + GB + GC = 0 ， | OA |=| OB |=| OC |，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AH × BH = BH ×CH = CH × AH ，则点 G，O，H 依次为VABC 的（）
A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
uuur uuur uuur uuur
4．O 是平面上一定点，A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点，一动点 P 满足：OP = OA + l AB + AC ,
l > 0，则直线 AP 一定通过VABC 的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．已知点 A、B、C 是平面上不共线的三点，点O为VABC 的外心，动点 P 满足条件：
uuur 1 uuur uuur uuurOP = é (1- l)OA + (1- l)OB + (1+ 2l)OCù ( l R ，l 0 )，则点 P3 的轨迹一定通过VABC 的（）．
A．内心 B．垂心 C．重心 D． AB 边的中点
6．（2024·全国·模拟预测）已知点O是VABC 的重心，过点O的直线与边 AB, AC 分别交于M , N 两点，D
uuur uuur uuur
为边BC的中点．若 AD = xAM + y AN (x, y R)，则 x + y =（）
3
A B 2 1．． 3 C．2 D．2 2
uuur uuur uuur uuur
7．已知O，A ， B ，C 是平面上的 4 个定点，A ， B ，C 不共线，若点 P 满足OP = OA+l(AB+ AC)，其
中l R ，则点 P 的轨迹一定经过VABC 的（）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
uuur
8．已知VABC 的重心为O，则向量BO = （）
2 uuur 1 uuur uuur uuur
A． AB + AC
2 1
B．- AB + AC
3 3 3 3
2 uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur
C．- AB - AC D． AB - AC
3 3 3 3
uuur uuur uuur
9．已知VABC 的重心为 O，若向量BO = xAB + y AC ，则 x + y =（）
2 1 2 1A． B． C．- D．-3 3 3 3
uuur uuur uuur
10．已知在VABC 中，H 为VABC 的垂心，O是VABC 所在平面内一点，且OA + OB = CH ，则以下正确的
是（）
A．点O为VABC 的内心 B．点O为VABC 的外心
C． ACB = 90 o D．VABC 为等边三角形
uuur uuur uuur uuur
11．已知O是平面上一定点， A , B , C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP = OA+l(AB+ AC)，
l (0，+ ) ，则 P 的轨迹一定通过VABC 的（）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
VABC uuur2 uuur2 uuur uuur12．在中，动点 P 满足CA = CB - 2AB ×CP ，则 P 点轨迹一定通过VABC 的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
13．（多选题）（2024·高三·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中
一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内
容是：已知 M 是VABC 内一点，△BMC ，VAMC ，VAMB 的面积分别为 SA， SB ， SC ，且
uuur uuur uuuur r
SA × MA + SB × MB + Sc × MC = 0 ．以下命题正确的有（）
A．若 SA : SB : SC =1:1:1，则 M 为VABC 的重心
uuur uuur uuuur r
B．若 M 为VABC 的内心，则BC × MA + AC × MB + AB × MC = 0
uuur uuur uuuur r
C．若 M 为VABC 的垂心，3MA + 4MB + 5MC = 0，则 tan BAC : tan ABC : tan BCA = 3: 4 : 5
D．若 BAC = 45°， ABC = 60°，M 为VABC 的外心，则 SA : SB : SC = 3 : 2 :1
14．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知VABC 内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ，c，O为VABC 的
重心， cosA
1
= ， AO = 2，则（
5 ）
uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur
A． AO = AB + AC B．
3 3 AB × AC 3
C．VABC 的面积的最大值为3 6 D． a的最小值为 2 5
15．（多选题）（2024·辽宁·二模）VABC 的重心为点G ，点 O，P 是VABC 所在平面内两个不同的点，满足
uuur uuur uuur uuur
OP = OA + OB + OC ，则（）
A．O, P,G
uuur uuur
三点共线 B．OP = 2OG
uuur uuur uuur uuur
C．2OP = AP + BP + CP D．点 P 在VABC 的内部
16．（多选题）已知点O是VABC 所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（）
uuur uuur uuur r
A．若OA + OB + OC = 0，则O为VABC 的重心
uuur uuur uuur
B．若 OA = OB = OC ，则O为VABC 的内心
uuur uuur
C．若O为VABC 的重心， AD 是BC边上的中线，则3 A O = A D
uuur uuur uuur 1
D．若OA + OB = CO，则 S△AOB = S3 △ABC
17．（多选题）点 O 为VABC 所在平面内一点，则（）
uuur uuur uuur r
A．若OA + OB + OC = 0，则点 O 为VABC 的重心
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
B．若OA × u
AuCur - uAuBur ÷ = OB uBuCur uBuA× - ur ÷ = 0，则点 O 为VABC 的内心

è AC AB
÷ ÷
è BC BA
uuur uuur uuur uuur uuur uuurC．若 OA + OB × AB = OB + OC × BC = 0 ，则点 O 为VABC 的垂心
D VABC uuur2 uuur2 uuur uuur．在中，设 AC - AB = 2AO × BC ，那么动点 O 的轨迹必通过VABC 的外心
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
18．（多选题）已知M ， N 在VABC 所在的平面内，且满足 AM × BM = BM ×CM = CM × AM ，
uuur uuur uuur
CA = NB + 2NA，则下列结论正确的是（）
A．M 为VABC 的外心
B．M 为VABC 的垂心
C． N 为VABC 的内心
D． N 为VABC 的重心
π
19．（多选题）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, a = 3, A = ，O为VABC 的外心，则（
3 ）
A．若VABC 有两个解，则3 < c < 2 3
uuur uuur
B．OA × BC 的取值范围为[-3 3,3 3]
uuur uuur
C．BA × BC 的最大值为 9
D．若B,C
8
为平面上的定点，则 A 点的轨迹长度为 3π
3
uuuur 1 uuur 1 uuur
20．设 M 为VABC 内一点，且 AM = AB + AC ，则VMBC 与VABC 的面积之比为．
2 4
21．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三
角形的四心（重心内心外心垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若 P 是VABC 内一点，
uuur uuur uuur r
VBPC,VAPC,VAPB的面积分别为 SA , SB , SC ，则有 SA × PA + SB × PB + SC × PC = 0 .已知O为VABC 的内心，且
1 uuur uuur uuurcos BAC = ，若 AO = mAB + nAC ，则m + n的最大值为 .3
22．我校高一同学发现：若O是VABC 内的一点，VBOC 、VAOC 、VAOB的面积分别为 SA、 SB 、 SC ，则
uuur uuur uuur r
存在结论 SA ×OA + SB ×OB + SC ×OC = 0 ，这位同学利用这个结论开始研究：若O为 VABC 内的一点且为内心，
uuur uuur uuur
VABC 的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、c，且 cos B
5
= ，若BO = xBA + yBC ，则 x + y 的最大值
6
为 .
uuur uuur uuur r
23．已知点 P 为VABC 内一点， 2PA + 3PB + 5PC = 0，则VAPB, VAPC, VBPC 的面积之比为．
24．已知点 P 在VABC 所在的平面内，则下列各结论正确的个数是．
uuur uuur uuur uuur
①若 P 为VABC 的垂心， AB × AC = 2 ．则 AP × AB = 2
uuur uuur uuur
②若VABC 为边长为 2 的正三角形，则PA × PB + PC 的最小值为 -1
uuur 1 1 ÷ uuur uuur③若 AP = uuur + ÷ AB + uuur
1 1
+ ÷ AC ，则动点 P 的轨迹经VABC 的外心
AB cos B 2 ÷ AC cosC 2 ÷
è è
uuur uuur uuur uuur
④若 P 为VABC 的重心，过点 P 的直线 l分别与 AB 、 AC 交于E 、F 两点，若 AE = l AB， AF = m AC ，
1 1
则 + = 3l m
25．点 O 是平面a 上一定点，A，B，C 是平面a 上VABC 的三个顶点， B， C 分别是边 AC，AB 的对
角.有以下四个命题：
uuur uuur uuur uuur
①动点 P 满足OP = OA + PB + PC ，则VABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中；
uuur uuur uuur uuur
②动点 P 满足OP = OA + l u
AuBur AC+ uuur ÷ (l > 0)，则VABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合中；
÷
è AB AC
uuur uur uuur uuur
③动点 P 满足OP OA l
AB AC
= + uuur + uuur
÷(l > 0)，则 VABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中；
AB sin B AC sinC ÷÷
è
uuur uuur uuur uuur
④动点 P 满足OP = OA + l uuur
AB AC
+ uuur ÷ (l > 0) ，则VABC 的垂心一定在满足条件的 P 点集合中.

è AB cos B AC cosC
÷

其中正确命题的个数为 .
26．点O是平面上一定点，A 、 B 、C 是平面上 VABC 的三个顶点， B、 C 分别是边 AC 、 AB 的对角，
以下命题正确的是（把你认为正确的序号全部写上）．
uuur uuur uuur uuur
①动点 P 满足OP = OA + PB + PC ，则VABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中；
uuur uuur uuur uuur
OP OA l( uAB AC②动点 P 满足 = + uur + uuur )(l > 0) ，则VABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合中；
| AB | | AC |
uuur uuur uuur uuur
OP OA l( uuurAB③动点 P 满足 = + + uuur
AC )(l > 0)，则VABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中；
| AB | sin B | AC | sin C
uuur uuur uuur uuur
④动点 P 满足OP = OA + l( uuur
AB
+ uuurAC )(l > 0)，则VABC 的垂心一定在满足条件的 P 点集合中；
| AB | cos B | AC | cosC
uuur uuur uuur uuur uuurOB + OC AB AC
⑤动点 P 满足OP = + l( uuur + uuur )(l > 0)2 ，则 VABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中．| AB | cos B | AC | cosC
27．（2024·浙江宁波·模拟预测）在VABC 中，点 O、点 H 分别为VABC 的外心和垂心， | AB |= 5,| AC |= 3，
uuur uuur
则OH × BC = .
uuur uuur uuur r
28．设 H 是VABC 的垂心，且 4HA + 5HB + 6HC = 0，则 cos AHB = ．
VABC AB AC tan C 4
uuur uuur uuur
29．在中， = ， = ，H 为VABC 的垂心，且满足 AH = mAB + nBC ，则m + n = .3
uuur uuur uuur
30．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 的外心、垂心分别为O，H ， AH = lOB + OC ，则l = .重难点突破 01 奔驰定理与四心问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：奔驰定理................................................................................................................................3
题型二：重心定理................................................................................................................................9
题型三：内心定理..............................................................................................................................13
题型四：外心定理..............................................................................................................................17
题型五：垂心定理..............................................................................................................................21
03 过关测试 .........................................................................................................................................25
技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已知 △ABC 的顶点 A(x1 ，y1)， B(x2 ，y2 ) ， C(x3 ，y3 )，则 △ABC 的重心坐标为
G( x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y， 3 )．
3 3
uuur uuur uuur r
注意：（1）在△ABC 中，若O为重心，则OA + OB + OC = 0 ．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为 2：1，且分的三个三角形面积相等．
uuur 1 uuur 1 uuur
重心的向量表示： AG = AB + AC ．
3 3
uuuur uuuur uuuur ur
奔驰定理： SA ×OA+ SB ×OB + SC ×OC =0，则 △AOB 、 △AOC 、 △BOC 的面积之比等于
l3 : l2 : l1
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
奔驰定理证明：如图，令l1OA = OA1 ，l2 OB = OB1 ，l3OC = OC1 ，即满足OA1 + OB1 + OC1 = 0
S△AOB 1 S= ， △AOC 1
S
= ， △BOC
1
= ，故 S
S l l S l l △AOB
: S△AOC : S△BOC = l3 : l2 : l1 ．
△A1OB1 1 2 △A1OC1 1 3
S△B l1OC1 2l3
技巧三．三角形四心与推论：
uuur uuur uuur r
（1）O是△ABC 的重心： S△BOC : S△COA : S△A0B = 1:1:1 OA + OB + OC = 0．
uuur uuur uuur r
（2）O是△ABC 的内心： S△B0C : S△COA : S△AOB = a : b : c aOA + bOB + cOC = 0 ．
（3）O是△ABC 的外心：
uuur uuur uuur r
S△B0C : S△COA : S△AOB = sin 2A : sin 2B : sin 2C sin 2AOA + sin 2BOB + sin 2COC = 0 ．
（4）O是△ABC 的垂心：
uuur uuur uuur r
S△B0C : S△COA : S△AOB = tan A : tan B : tan C tan AOA + tan BOB + tan COC = 0．
技巧四．常见结论
uuur uuur
（1 AB AC）内心：三角形的内心在向量 uuur + uuur 所在的直线上．
AB AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
AB × PC + BC × PC + CA × PB = 0 P 为△ABC 的内心．
uuur uuur uuur
（2）外心： PA = PB = PC P 为△ABC 的外心．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（3）垂心： PA × PB = PB × PC = PC × PA P 为△ABC 的垂心．
uuur uuur uuur r
（4）重心： PA + PB + PC = 0 P 为△ABC 的重心．
题型一：奔驰定理
uuur uuur uuur r
【典例 1-1】已知O为VABC 内一点，且满足OA + lOB + (l -1)OC = 0 ，若VOAB的面积与VOAC 的面积的比值
1
为，则l 的值为（）
4
3 4
A． B C 1．． D．2
4 3 2
【答案】B
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】由OA + lOB + (l -1)OC = 0 ，得 l(OB + OC) = OC - OA = AC ，
如图，D, E 分别是BC, AB的中点，
uuur uuur
则 2lOD = AC ，
所以O在线段DE 上，且 2lOD = AC = 2DE ，
DE
得 l = ，设OD =1OD ，则DE = l ，所以OE = l -1，
SVOAB OE l -1
因为 = = S S
1 1
S DE l ， VOAC = VADC = S2 VABC
， SVABD = S2 VABC
，
VABD
S
S = S VOAB
l -1 1 4
所以 VOAC VABD ，则 = =S l 4 ，解得l = .VOAC 3
故选：B
uuur 1 uuur 2 uuur
【典例 1-2】点O在VABC 的内部，且满足： AO = AB + AC ，则VABC 的面积与VAOB的面积之比是
5 5
（）
7 5
A． B．3 C． D．2
2 2
【答案】C
【解析】
uuur uuur uuur
因为 AO
1
= AB 2+ AC ，
5 5
uuur 1 uuur uuur所以 AO 2= OB - OA5 + 5
uuur uuur uuur uuur uuur rOC - OA ，即OB + 2OA + 2OC = 0 ，
取 AC 中点为点D，
uur uuur uuur uuur uuur
则OA + OC = 2OD，即 4OD = -OB，
所以O
4
在中线BD上，且OB = BD
5
过O, D，分别作边 AB 上的高，垂足为M , N ，
OM OB 4
则 = = ，
DN BD 5
4 1
所以 SVAOB = SVABD ， SVABD = S5 2 VABC
，
2
所以 SVAOB = S5 VABC
，
SVABC
所以 =
5
S 2 ，VAOB
故选：C.
uuur uuur
【变式 1-1】设M 是VABC 内一点，且 AB × AC = 2 3, BAC = 30o ，定义 f M = m, n, p ，其中m, n, p分
1 4
别是VMBC,VMCA,VMAB
1
的面积，若 f M = , x, y2 ÷ ，则
+
x y 的最小值是（）è
A．9 3 +1 B．18 C．16 D．9
【答案】B
【解析】设VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，
uuur uuur 3
BAC = 30o ，由 AB × AC = bc cos BAC = bc = 2 3 ，得bc = 4，
2
S 1
1
VABC = bc sin BAC =1，若 f M =

, x, y

÷ ，则 x > 0， y > 0，2 è 2
1
有 SVABC = SVMBC + SVMCA + SVMAB = + x + y =1，得 x + y =
1
2 ，2
1 4 2 x y 1 4 2 1 4 y 4x

+ = + + ÷ = + + + ÷ 2
y 4x
5 + 2 × ÷ = 2 5 + 2 2 =18，x y è x y è x y ÷è x y
y 4x
= 1 1当且仅当 x y ，即
x = , y = 时等号成立，
6 3
1 4
则 +x y 的最小值是 18.
故选：B
uuur 1
【变式 1-2】设 AG = uuur uuurAB + AC ，过G 作直线 l分别交 AB, AC （不与端点重合）于P,Q uuuv uuuv，若3 AP = l AB，
uuuv uuuv 2
AQ = m AC ，若DPAG 与DQAG 的面积之比为 3 ，则
m =
1 2 3 5A． B． 3 C． D．3 4 6
【答案】D
【解析】连接 AG 并延长，则通过BC的中点M ，过 P ，Q分别向 AG 所在直线作垂线，垂足分别为D，
E ，
如图所示
QVPAG 2与△QAG 的面积之比为 3
PD 2
\ =
QE 3
PG 2 uuuv 2 uuuv
根据三角形相似可知 = ，则PG = PQGQ 3 5
uuuv uuuv uuuv uuuv 2 uuuv uuuv\ AG = AP + PG = AP + AQ - AP5
uuuv 3 uuuv 2 uuuv 3 uuuv 2 uuuv
即 AG = AP + AQ = l AB + m AC
5 5 5 5
uuuv 2 uuuuv 1 uuuv uuuv
由平行四边形法则得 AG = AM = AB + AC3 3
2 1 5
根据待定系数法有 m = ，则m =
5 3 6
故选D
【变式 1-3】（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结
论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 M 是
VABC 内一点，△BMC ，VAMC ，VAMB 的面积分别为 SA， SB ， SC ，且
uuur uuur uuuur r
SA × MA + SB × MB + SC × MC = 0．以下命题正确的有（）
A．若 SA : SB : SC =1:1:1，则 M 为VAMC 的重心
uuur uuur uuuur r
B．若 M 为VABC 的内心，则BC × MA + AC × MB + AB × MC = 0
C．若 BAC = 45°， ABC = 60°，M 为VABC 的外心，则 SA : SB : SC = 3 : 2 :1
uuur uuur uuuur r
D．若 M 为VABC 6的垂心，3MA + 4MB + 5MC = 0，则 cos AMB = -
6
【答案】ABD
uuur uuur uuuur
【解析】对 A 选项，因为 SA : SB : S
r
C =1:1:1，所以MA + MB + MC = 0，
uuur uuuur uuuur uuuur uuur
取BC的中点D，则MB + MC = 2MD，所以 2MD = -MA，
故A ，M ，D三点共线，且 MA = 2 MD ，
同理，取 AB 中点E ， AC 中点F ，可得 B ，M ，F 三点共线，C ，M ，E 三点共线，
所以M 为VABC 的重心，A 正确；
对 B 选项，若M 为VABC 的内心，可设内切圆半径为 r ，
S 1则 A = BC
1 1
× r ， SB = AC × r ， SC = AB × r ，2 2 2
1 uuur uuur uuuur r
所以 BC × r × MA
1
+ AC × r 1× MB + AB × r × MC = 0，
2 2 2
uuur uuur uuuur r
即BC × MA + AC × MB + AB × MC = 0，B 正确；
对 C 选项，若 BAC = 45°， ABC = 60°，M 为VABC 的外心，则 ACB = 75°，
设VABC 的外接圆半径为 R ，故 BMC = 2 BAC = 90°， AMC = 2 ABC =120°，
AMB = 2 ACB =150°，
S 1 R2 sin 90 1= ° = R2 S 1 R2 sin120 3
1
故 A ， = ° = R2
2
， SC = R sin150
1
° = R2
B ，2 2 2 4 2 4
所以 SA : SB : SC = 2 : 3 :1，C 错误；
uuur uuur uuuur r
对 D 选项，若M 为VABC 的垂心，3MA + 4MB + 5MC = 0，
则 SA : SB : SC = 3: 4 : 5，
如图， AD ^ BC ，CE ^ AB ，BF ^ AC ，相交于点M ，
又 SVABC = SA + SB + SC ，
SA 3 1= =
S 12 4 ，即 AM : MD = 3:1，VABC
SB 4 1= =
SVABC 12 3
，即MF : BM =1: 2，
SC 5=
S 12 ，即ME : MC = 5 : 7，VABC
设MD = m ，MF = n ，ME = 5t ，则 AM = 3m，BM = 2n ，MC = 7t ，
n m
因为 CAD = CBF ， sin CAD = ,sin CBF = ，
3m 2n
n m 6
所以 = ，即，
3m 2n m = n3
6 n 6
cos BMD m 3 6 ，则= = = cos AMB = cos π - BMD = - ，D 正确；
2n 2n 6 6
故选：ABD.
【变式 1-4】（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”
轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是VABC 内的一点，VBOC ，VAOC ，
uuur uuur uuur r
VAOB的面积分别为 SA , SB , SC ，则有 SA ×OA + SB ×OB + SC ×OC = 0 .设O是锐角VABC 内的一点， BAC ，
ABC ， ACB 分别是VABC 的三个内角，以下命题正确的有（）
uuur uuur uuur r
A．若OA + OB + OC = 0，则O为VABC 的重心
uuur uuuur uuur r
B．若OA + 2OB + 3OC = 0，则 SA : SB : SC =1: 2 : 3
uur uuur 5π uuur uuur uuur r 9
C．若 | OA |=| OB |= 2， AOB = ， 2OA + 3OB + 4OC = 0，则 S =6 VABC 2
uuur uuur uuur r
D．若O为VABC 的垂心，则 tan BAC ×OA + tan ABC ×OB + tan ACB ×OC = 0
【答案】ABD
【解析】对于 A：如下图所示，
uuur uuur uuur uuur
假设D为 AB 的中点，连接OD，则OA + OB = 2OD = CO ，故C,O, D 共线，即O在中线CD 上，
同理可得O在另外两边BC, AC 的中线上，故 O 为VABC 的重心，即 A 正确；
对于 B：由奔驰定理 O 是VABC 内的一点，VBOC,VAOC,VAOB的面积分别为 SA , SB , SC ，
uuur uuur uuur r
则有 SA ×OA + SB ×OB + SC ×OC = 0 可知，
uuur uuuur uuur r
若OA + 2OB + 3OC = 0，可得 SA : SB : SC =1: 2 : 3，即 B 正确；
uur uuur 5π 1 5π
对于 C：由 | OA |=| OB |= 2， AOB = 可知 SC = 2 2 sin =1，6 2 6
uuur uuur uuur r
又 2OA + 3OB + 4OC = 0，所以 SA : SB : SC = 2 : 3 : 4 ，
由 SC =1
1
可得 SA = , S
3
B = ；2 4
S S 1 3 9所以 VABC = A + SB + SC = + +1 = ，即 C 错误；2 4 4
对于 D：由四边形内角和可知， BOC + BAC = π，
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
则OB ×OC =| OB || OC | cos BOC = - | OB | | OC | cos BAC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
同理OB ×OA =| OB || OA | cos BOA = - | OB | OA | cos BCA，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r因为 O 为VABC 的垂心，则OB × AC = OB × OC - OA = OB ×OC - OB ×OA × A = 0，
所以 | OC | cos BAC =| OA | cos BCA，
uuur uuur uuur
同理得 | OC | cos ABC =| OB | cos BCA， | OA | cos ABC =| OB | cos BAC ，
则 | OA |:| OB |:| OC |= cos BAC : cos ABC : cos BCA，
uuur uuur
令 | OA |= mcos BAC,| OB |= mcos ABC,| OC |= mcos BCA，
1 uuur uuur
由 SA = | OB || OC | sin BOC ，2
1 uuur uuur m2
则 SA = | OB || OC | sin BAC = cos ABC cos BCAsin BAC ，2 2
1 uuur uuurS | OA || OC | sin ABC m
2
同理： B = = cos BAC cos BCAsin ABC ，2 2
uuur uuur 2
S 1C = | OA || OB | sin BCA
m
= cos BAC cos ABC sin BCA，
2 2
综上， SA : S : S
sin BAC sin ABC sin BCA
B C = : : = tan BAC × tan ABC × tan BCA，cos BAC cos ABC cos BCA
uuur uuur uuur r
根据奔驰定理得 tan BAC ×OA + tan ABC ×OB + tan ACB ×OC = 0，即 D 正确.
故选：ABD.
题型二：重心定理
【典例 2-1】已知O是VABC 所在平面内一定点，动点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
OP OA l uuurAB

= + + uuurAC ÷ ,l 0,+ ，则动点 P 的轨迹一定过VABC 的 .（选填：外心、内
AB sin B AC sin C ÷è
心、垂心、重心）
【答案】重心
【解析】过A 作 AH ^ BC ，垂足为H ，取BC 中点为D，连接 AD ，如下所示：
uuur uuur
则 AB sin B = AH = AC sin C ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OP OA l uuurAB uuurAC uuur AB AC

则 = + + ÷ ，则 AP = l uuur + uuur ÷ ，
è AB sin B AC sin C
÷
è AB sin B AC sin C
÷

uuur uuur uuur AB AC l uuur uuur 2l uuur 2lAP = l + ÷÷ = AB + AC = AD ，又 AH 为非负实数，è AH AH AH AH
uuur uuur
故 AP, AD共线，也即 A, P, D 三点共线，又 AD 为三角形 ABC 中线，故 P 的轨迹过三角形 ABC 的重心.
故答案为：重心.
uuur uuur
【典例 2-2】（2024·高三·陕西渭南·期末）如图所示，VABC 中G 为重心， PQ过G 点， AP = mAB ，
uuur uuur 1 1
AQ = nAC ，则 + = ．
m n
【答案】3
uuur r uuur r
【解析】设 AB = a, AC = b
uuur 2 uuur 2 1 uuur 1 uuur 1 r
根据题意， AG = AD = ( AB + AC) = a
r 1
+ b
3 3 2 2 3 3 ；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Q AP = mAB, AQ = n AC ， P ，G ，Q三点共线，则存在l ，使得PQ = lPG ，
uuur uuur uuur uuur r r r
即 AQ - AP = l(AG - AP) nb r 1 r 1 r l r lb，即 - ma = l( a + b - ma) = ( - ml)a + ，
3 3 3 3
ì
-m
l
= - ml
\ 3í ，整理得3mn
1 1
= m + n ，所以 + = 3；
n l= m n
3
故答案为：3
uuur uuur uuur
【变式 2-1】（2024·陕西西安·模拟预测）在平行四边形 ABCD中，G 为△BCD的重心， AG = xAB + y AD，
则3x + y = ．
8
【答案】 / 2
2
3 3
【解析】如图，设 AC 与BD相交于点O，又G 为△BCD的重心，
所以O为BD的中点，CG = 2GO，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur 4 uuurAG AO OG AO OC AO 4 1 uuur uuurAB AD 2 uuur 2 uuur则 = + = + = = + = AB + AD ，3 3 3 2 3 3
则 x
2 8
= y = ，故3x + y = ．
3 3
8
故答案为：
3
【变式 2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在VABC 中，过重心G 的直线交边 AB 于点 P ，交边 AC 于点Q
uuur uuur uuur uuur
（ P 、Q为不同两点），且 AP = l AB， AQ = m AC ，则l + m 的取值范围为 .
é4
【答案】 ê ,
3ù
3 2ú
1 1
【解析】由题意 l 1， m 1，
2 2
延长 AG 交BC于D，则D是BC中点，
uuur
AG 2
uuur
AD 2 1
uuur uuur uuur uuur
= = (AB + AC) 1= AB 1+ AC ,
3 3 2 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur
又 AP = l AB， AQ = m AC ，所以 AG = AP + AQ3l 3m ，
1 1
又 P,G,Q
λ
三点共线，所以 + =13l 3m ，
μ = ，
3λ -1
l l+ m = l + ，
3l -1
3l -1- 3l 3l(3l - 2)
设 f (l) = l
l
+ ，则 f (l) =1+ =
3l -1 (3l -1)2 (3l
，
-1)2
1 2
< l < 时， f (l) < 0， f (l)
2
递减， < l <1时， f (l) > 0， f (l)递增，
2 3 3
f (l)min = f (
2) 4 1 3= ，又 f ( ) = f (1) = ，即 f (l)
3
max = ，3 3 2 2 2
4 3
所以l + m 的取值范围是[ , ]，
3 2
4 3
故答案为：[ , ]，
3 2
【变式 2-3】在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知 a =1，A = 60o ，设 O，G 分别是
uuur uuur
VABC 的外心和重心，则 AO × AG的最大值是（）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】B
【解析】设D为BC边中点，连接OD ,作OH ^ AC 于H ，即H 为 AC 中点，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
因为 AO × AC =| AO | × | AC | cos OAC =| AH | × | AC |
1
= AC ,
2
uuur uuur uuur uuur 1 uuur2
同理 AO × AB =| AO | × | AB | cos OAB = AB ,
2
uuur uuur uuur
AO × AG = AO × 2
uuur 2 uuur 1 uuur uuur则 AD ÷ = AO × AB + AC
è 3

3 2
1 uuur uuur uuur 1 uuur2 uuur2= AO × AB + AC = AB 1 AC 1+ = b2 + c2 ，3 6 6 6
在VABC 中，a = 1, A = 60°，
由余弦定理得a2 = b2 + c2 - 2bc cos60° ，即b2 + c2 =1+ bc ，
由均值不等式，1+ bc = b2 + c2 2bc ，
所以bc 1（当且仅当b = c =1等号成立），
uuur uuur
所以 AO × AG
1
= c2 + b26
1
= bc 1 1+1 1+1 = .
6 6 3
故选：B．
uuur uuur uuur uuur
【变式 2-4】（2024·全国·二模）点O, P 是VABC 所在平面内两个不同的点，满足OP = OA + OB + OC ，则直
线OP经过VABC 的（）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
uuur uuur uuur
【解析】设BC的中点为点D，所以OB + OC = 2OD ，
uuur uuur uuur uuur
则OP - OA = AP = 2OD ，
若 A, P,O, D 四点共线时，即点O, P 都在中线 AD 上，所以OP经过三角形的重心，
若 A, P,O, D 四点不共线时， AP / /OD ，且 AP = 2OD，连结 AD,OP，交于点G ，
如图，
AG AP
= = 2，即点G 是三角形的重心，即OP经过VABC 的重心，
GD OD
综上可知，OP经过VABC 的重心.
故选：A
题型三：内心定理
uuur uuur uuur
【典例 3-1】已知O为VABC 的内心， cos ABC
1
= ，且满足BO = xBA + yBC ，则 x + y 的最大值为 .
4
8 - 2 6
【答案】
5
uuur uuur uuur uuur uuur x uuurVABC BO AC BD BA y
uuur
【解析】设内切圆半径为 r，延长交于 D，则 BO = lBD = xBA + yBC ，即 = + BC ，
l l
由 A,C , D
x y
三点共线，得 + =1 x + y = l ，
l l
BO BO BO
x y 1 1+ = l = = = =
BD BO + OD BO + r 1 r B+ 1+ sin ，
BO 2
sin B 1- cos B 6= = 8 - 2 6， x + y .
2 2 4 5
当 r = DO 8 - 2 6，即BD ^ AC ，亦即BA = BC 时等号成立，故 x + y = .max 5
8 - 2 6
故答案为： .
5
1 uuur uuur uuur
【典例 3-2】在△ABC 中， cos BAC = ，若 O 为内心，且满足 AO = xAB + y AC ，则 x+y 的最大值为．
3
3 - 3
【答案】
2
【解析】延长 AO 交 BC 于 D，设 BC 与圆 O 相切于点 E，AC 与圆 O 相切于点 F，则 OE＝OF，则
OE OD，
uuur uuur uuur uuur
设 AD = l AO = lxAB + l y AC ，
因为 B、C、D 三点共线，
x y 1 AO AO AO 1+ = = = =
所以lx + l y =1，即 l AD AO + OD AO + OE 1 OE+
OA
1 1
=
1 OF
=
1 sin A+ + ，
OA 2
cos A 1 2sin2 A 1 0 A π,0 A π因为 = - = ， < < < < A 3，所以
2 3 2 2 sin =
，
2 3
x + y 1 3- 3 =
所以 3 2 ．1+
3
3 - 3
故答案是：
2
uuur uuur uuur uuur【变式 3-1】已知点 O 是边长为 6 的等边△ABC 的内心，则 OC + OA × OA + OB ＝．
【答案】 - 1
【解析】设 D 为 BC 的中点，因为点 O 是边长为 6 的等边△ABC 的内心，
uuur uuur uuur
所以 OA，OB ，OC 两两夹角为 120°，
uuur uuur uuur 2
且|OA |＝|OB |＝|OC | = |AD|
2 3
= 6 = 2 ．
3 3 2
uuur uuur uuur uuurOC + OA × OA + OB uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以 = OA + OC ×OA + OC ×OB + OA ×OB
1 1 1
＝2 - 2 - 2 - 2
2 2 2
＝ - 1.
故答案为： - 1．
【变式 3-2】（2024·高三·山东聊城·期中）已知O是VABC 的内心， AB = 9，BC =14，CA = 13，则
uuur uuur
AO × AB = ．
【答案】36
【解析】如图所示：
以O为圆心作VABC 的内切圆，分别与BC、CA、 AB 相切于点D、E 、F ，
设 AF = x ，
根据切线长定理得 AE = x，
BD = BF = 9- x ,
CD = CE = CA- AE =13- x ,
所以BC = BD + DC = 9- x +13- x =14，
即 22-2x =14 ，解得 x = 4，即 AF = 4 ，
由题意可得OF ^ AB ,
所以 AF = AO cos OAB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AO × AB = AO AB cos OAB = AB AO cos OAB ,
uuur
= AB AF = 9 4 = 36 .
故答案为：36.
【变式 3-3】已知RtVABC 中， AB = 3， AC = 4， BC = 5 ，I 是VABC 的内心，P 是VIBC 内部（不含边界）

的动点.若 AP = l AB+ m AC （l ， m R ），则l + m 的取值范围是 .
7
【答案】 ( ,1)
12
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则
A 0,0 , B 3,0 ,C 0,4 ，
因为 I 是三角形 ABC 的内心，设三角形 ABC 内切圆半径为 r ，
1
则 | AC | + | AB | + | BC | 1 r = | AB | | AC |，解得 r =1 .
2 2

所以 I 1,1 ， AB = 3,0 , AC = 0,4 .
依题意点P x, y 在三角形 IBC 的内部（不含边界）.

因为 AP = l AB+ m AC (l, m R)，
所以 x, y = l 3,0 + m 0,4 = 3l, 4m ，
ìl 1
ìx = 3l = x

3
所以 í
y = 4
，
m í m 1= y
4
令 z
1 1
= l + m = x + y，
3 4
y 4则 = - x + 4z ，
3
y 4 x 1 1 7由图可知，当 = - + 4z 过 I 1,1 时， z = 1+ 1 = .
3 3 4 12
y 4当 = - x + 4z ，过C 0,4 1 1，即为直线BC时， z = 0 + 4 =1 .
3 3 4
所以l + m
7
的取值范围时 ( ,1) .
12
7
故答案为： ( ,1)
12
题型四：外心定理
uuur uuur uuur
【典例 4-1】已知点O在VABC 所在平面内，满足 OA = OB = OC ，则点O是VABC 的（）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】A
uuur uuur uuur
【解析】因为 OA = OB = OC ，即点O到 A, B,C 的距离相等，
所以点O是VABC 的外心.
故选：A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 4-2】O为VABC 所在平面内一点，且满足 (OA + OB) × BA = (OB + OC) ×CB = (OC + OA) × AC ，则O是
VABC 的（）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】依题意， (OA + OB) × BA = (OA + OB) × (OA - OB) =| OA |2 - | OB |2，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(OB + OC) ×CB = (OB + OC) × (OB - OC) =| OB |2 - | OC |2 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(OC + OA) × AC = (OC + OA) × (OC - OA) =| OC |2 - | OA |2，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 | OA |2 - | OB |2 =| OB |2 - | OC |2 =| OC |2 - | OA |2 ，于是 | OA |=| OB |=| OC |，
所以O是VABC 的外心.
故选：B
uuur uuur uuur
【变式 4-1】（2024·天津北辰·三模）在VABC 中， AB = 2 2 ，O为VABC 外心，且 AO × AC = 1，则
ABC 的最大值为（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
uuur uuur 1 uuur
【解析】由 O 为△ABC 外心，可得 AO 在 AC 方向上的投影向量为 AC ，2
uuur uuur 1 uuur2 uuur
则 AO × AC = AC = 1，故 AC = 2 ，
2
uuur uuur
又 AB = 2 2 ，设 BC = a，
2 2 22 2 + a - 2
则 cos ABC 6 + a
2
= =
2 2 2a 4 2a
3 a
= + 2 3 a 3 = ，
2 2a 4 2 2 2a 4 2 2
当且仅当 a = 6 时等号成立，
由0°＜ ABC＜180°可知，0°＜ ABC 30°，
故 ABC 的最大值为30°．
故选：A．
uuur uuur
【变式 4-2】在VABC 中， AC = 2 7 ，O是VABC 的外心，M 为BC的中点， AB × AO = 8， N 是直线OM
uuur uuur
上异于M 、O的任意一点，则 AN × BC =（）
A．3 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【解析】因为O是VABC 的外心，M 为BC的中点，设 AC 的中点为D，连接OD，
uuur uuur
所以OM ^ BC ，OD ^ AC ，设ON = lOM ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur则 AN × BC = AO + ON × BC = AO × BC + lOM × BC
uuur uuur uuur uuur uuur= AO × BC = AO × BA + AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AO × BA + AO × AC = -AO × AB + AO × AC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又O是VABC 的外心，所以 AO × AC = AO × AC cos CAO = AO cos CAO × AC
1 uuur 2 2
= AC 1= 2 7 =14，2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AN × BC = -AO × AB + AO × AC = -8 +14 = 6 .
故选：B
uuur uuur uuur
【变式 4-3】已知 O 为VABC 的外心， AB = 4，则 AO × AB =（）
A．8 B．10 C．12 D．1
【答案】A
【解析】如图，O 为VABC 的外心，过O作OE ^ AB于E
uuur 1 uuur
因为OE ^ AB，所以 AE = AB
2
uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur AE 1 uuur 2
则 AO × AB = AO × AB ×cos BAO = AO × AB × uuur AB
1
= = 42 = 8 .
AO 2 2
故选：A.
uuur uuur uuur uuur
【变式 4-4】在VABC 中， AB = 2, ACB = 45°，O 是VABC 的外心，则 AC × BC + OC × AB 的最大值为
【答案】3
【解析】由题知，记VABC 的三边为 a,b,c，
因为 O 是VABC 的外心，记 AB 中点为D，
uuur uuur uuur 1 uuur uuur
则有OD ^ AB ，所以OD × AB = 0 且CD = CA + CB ，2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以 AC × BC + OC × AB = CA ×CB + OD + DC × AB = CA ×CB + OD × AB + DC × AB
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur= CA ×CB - CA + CB × AB = CA ×CB - CA + CB × CB - CA2 2
uuur uuur 1 uuur 2 uuur 2= CA ×CB + CA - CB = b ×a ×cos ACB 1+ b2 - a22 2
1
= 2ab + b2 - a2 ①，2
a2 +b2 2
在VABC 中，由余弦定理得： cos ACB = -c = 2 ，
2ab 2
即 a2 + b2 - c2 = 2ab，即 a2 + b2 - 2 = 2ab，
uuur uuur uuur uuur
代入①中可得： AC × BC + OC × AB = b2 -1，
a b c 2
VABC = = = = 2在中，由正弦定理得： sin A sin B sinC 2 ，所以b = 2sin B 2，
2
uuur uuur uuur uuur
所以 AC × BC + OC × AB = b2 -1 3，
当b = 2, a = c = 2, A = C = 45o , B = 90o时取等，
uuur uuur uuur uuur
故 AC × BC + OC × AB 的最大值为 3．
故答案为：3
2 2 π uuur uuur uuur
【变式 4-5】已知VABC 内一点O是其外心， sin A = 0 < A < ÷，且3 AO = mAB + nAC
，则m + n的最
è 2
大值为．
3
【答案】 /0.75
4
【解析】如图所示，延长 AO 交BC于D，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
令 AO = l AD AD AO m n= = AB + AC ，
l l l
∵ B ，C ，D三点共线，
m n
∴ + =1 m + n = l ，
l l
uuur
∴ l 取最大值时，m + n AO取最大值，则l = uuur ，
AD
uuur
∵ AO 为外接圆的半径（定值），
uuur
∴当 AD 取得最小时，l 取最大值，此时 AD ^ BC ，
∴ VABC sin A 2 2 π为等腰三角形，且 = 0 < A <

3 2 ÷
，
è
A 1
∴ cos A
1
= ，则
3 sin
A 3 cos A 6= ， = ， tan =2 ，2 3 2 3 2
a
uuur
AO a 3a
uuur 2a
∵ = = AD = 2 =2sin A ，，4 2 tan A 2
2
3a
∴ l = 4 2
3
max = ．2a 4
2
3
故答案为：
4
【变式 4-6】在VABC 中， A = 60°，BC = 3 ，O为VABC 的外心，D，E ，F 分别为 AB ，BC，CA的
uuur2 uuur2 uuur2 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
中点，且OD + OE + OF = ，则OA ×OB + OB ×OC + OC ×OA = .4
3
【答案】-
2
【解析】如图，
a 3
设VABC 2R = = = 2的外接圆半径为 R ，由正弦定理 sin A 3 ，则R =1，
2
又因为D，E ，F 分别为 AB ，BC，CA的中点，
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuurOD OA OB OE OC OB OF 1 uuur uuur所以 = + ， = + ， = OA + OC2 2 2 ，
uuur2 uuur2 uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 3
三式平方相加可得OD + OE + OF = 2OA + 2OB + 2OC + 2OA ×OB + 2OC ×OA + 2OB ×OC = ，4 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又因为 OA = OB = OC =1，代入得结果为OA ×OB + OB ×OC + OC ×OA
3
= - .
2
3
故答案为：- .
2
题型五：垂心定理
uuur uuur uuur uuur uuur
【典例 5-1】已知 V
1 1
ABC 的垂心为点D，面积为 15，且 ABC=45°，则 BD × BC = ；若 BD = BA + BC ，2 3
uuur
则 BD = .
【答案】 30 5
【解析】如图，
uuur uuur uuur uuur
AH 是VABC 的BC边上的高，则 AH × BC = 0；设 AD = l AH ，
1 uuur uuur uuur uuur
因为 ABC=45°，面积为 15，所以 BA BC sin 45° =15，即 BA BC = 30 2 ；
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurBD × BC = BA + AD × BC = BA + l AH × BC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= BA × BC + l AH × BC = BA BC cos 45° = 30 .
uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur2
由第一空可知BD × BC = 30，所以BD × BC = BA + BC ÷ × BC = BA × BC + BC = 30；
è 2 3 2 3
uuur uuur uuur uuur2 uuur2
所以BC = 45，由 BA BC = 30 2 可得 BA = 2 10 ，即BA = 40 ；
uuur 1 uuur 1 uuur
因为BD = BA + BC ，
2 3
uuur2 1 uuur2 1 uuur2 1 uuur uuur 1 uuur2 uuur2
所以BD = BA + BC + BA × BC = BA
1
+ BC +10 =10 + 5 +10 = 25，
4 9 3 4 9
uuur
BD = 5 .
故答案为：30;5.
uuur uuur uuur r
【典例 5-2】若H 是VABC 的垂心，且 2HA + 2HB + 3HC = 0，则 tanC 的值为．
21 1
【答案】 / 21
2 2
uuur uuur uuur r uuur uur uuur uuur uuur r【解析】由 2HA + 2HB + 3HC = 0，得2 HC + CA + 2 HC + CB + 3HC = 0 ，
uuur uur uuur uuur所以7CH = 2 CA + CB = 4CD ，故垂心H 在中线上，即高线与中线重合，故 a = b，
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
又2HA + 2 HA + AB + 3 HA + AC = 0 ，所以7AH = 2AB + 3AC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur又因为 AH × BC = 0，BC = AC - AB ，得 2AB + 3AC × AC - AB = 0 ，
uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur
所以 2AB × AC - 2AB + 3AC - 3AC × AB = 0，即-2AB + 3AC - AC × AB = 0，
b2 + c2 - a2 3b2 - 2c2
得到 2c2 - 3b2 + bccosA = 0，由余弦定理得 cosA = = ，
2bc bc
又 a = b，所以5c2 = 6b2 ，
2
2 2 2 2b -
6 b2
所以cosC a + b - c 2= = 5 = ，所以 sin C 1
4 21
= - = ,
2ab 2b2 5 25 5
21
得到 tanC = ．
2
21
故答案为： .
2
【变式 5-1】在VABC 中，三个内角分别为 A，B，C， AB = 4 ， AC = 3，BC = 2，H 为VABC 的垂心．若
uuur uuur uuur y
AH = xAB + y AC ，则 = ．
x
11
【答案】-
3
【解析】因为 AB = 4 ， AC = 3，BC = 2，所以C > B > A，
cos A 16 + 9 - 4 7由余弦定理可得 = = > 0，
24 8
由 sin2 A + cos2 A 15 15=1以及A 为锐角，可得 sin A = ，故 tan A = ．
8 7
tan A + tan B
同理， tan B 3 15= ．于是 tan C = - tan A + B = = - 15 ．
11 tan A tan B -1
uuur uuur uuur r
接下来证明定理 4：O 是VABC （非直角三角形）的垂心 tan A OA + tan B OB + tan C OC = 0．
证明：O 是VABC （非直角三角形）的垂心
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA ×OB = OB ×OC = OC ×OA
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA OB cos π - C = OB OC cos π - A = OC OA cos π - B
uuur uuur uuur
OA : OB : OC = cos A : cos B : cosC
S△BOC : S△AOC : S△AOB = tan A : tan B : tan C ，
uuur uuur uuur r
由定理 4 得 tan A HA + tan B HB + tan C HC = 0 ，
15 uuur 3 15 uuur uuur uuur uuur r
故- AH + AB - AH - 15 AC - AH7 11 = 0，
uuur
AH 7
uuur uuur
化简得 = - AB
77 AC y 11+ ．所以 = - ．
15 45 x 3
11
故答案为：-
3
uuur uuur uuur
【变式 5-2】已知H 为VABC
1 2
的垂心（三角形的三条高线的交点），若 AH = AB + AC ，则
3 5
sin BAC = .
6 1
【答案】 / 6
3 3
uuur 1 uuur 2 uuur
【解析】因为 AH = AB + AC ，
3 5
uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur 1 uuur 3 uuur
所以BH = BA + AH = - AB + AC ，同理CH = CA + AH = AB - AC ，
3 5 3 5
uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
由 H 为△ABC 的垂心，得BH × AC = 0，即 - AB + AC ÷ × AC = 0，
è 3 5
uuur
2 uuur 2AC 2
uuur uuur 3 AC
可知 = AC AB cos BAC ，即 cos BAC = uuur ，
5 3 5 AB
uuur
uuur uuur 1 uuur 3 uuur uuur 1 uuur 2 3 uuur uuur 5 AB
同理有 CH × AB = 0，即 AB - AC ÷ × AB = 0，可知 AB = AC AB cos BAC ，即 cos BAC = uuur ，
è 3 5 3 5 9 AC
cos2所以 BAC
1
= ， sin2 BAC =1- cos2 BAC 1
1 2
= - = ，又 BAC 0, π ，
3 3 3
6
所以 sin BAC = ．
3
6
故答案为： .
3
uuur uuur
【变式 5-3】已知在VABC 中， AB = AC, BC = 6，点H 为VABC 的垂心，则BH × BC = ．
【答案】18
【解析】延长 AH 交BC于点D，
因为 AB = AC ，点H 为VABC 的垂心，
uuur uuur
所以D为BC的中点， AH ^ BC ，
uuur uuur uuur uuur
所以BH × BC = BH BC cos HBC
uuur uuur 1 uuur 2
= BD BC = BC =18，
2
故答案为：18
uuur uuur uuur r
1．已知O是VABC 内部的一点，OA + OB + 3OC = 0，则VOAB的面积与VABC 的面积之比是（）
3 2 3 5A． B． 3 C． D．2 5 3
【答案】C
【解析】
如图，延长OA交BC于D点，设 SVBOC = Sa , SVAOC = Sb , SVAOB = Sc ，
BD SVABD SVBOD SVABD - SVBOD S BD S BD
易知 = = = = c = c =CD SVACD SVCOD SVACD - S
，可得，
VCOD Sb CD + BD Sc + Sb CB
BD Sc BD + CD Sc + Sb BC S + S DC S又 = = ，得 = c b bCD S CD S CD S ，故
=
b b b CB Sc + S
，
b
uuur DC uuur BD uuur S uuur S uuur
可知OD = OB + OC = c OC + b OBBC BC Sc + Sb Sc + S
，
b
OD SVBOD SVCOD SVBOD + SVCOD S uuur uuur
同理 = = = = a OD
S
= - a OA
OA S S S + S S + S ，可得 S + S ，VBOA VCOA VBOA VCOA b c b c
S uuur S uuur uuurc
结合可得 OC
S
+ b OB = - a OA
Sc + Sb Sc + S
，
b Sb + Sc
uuur uuur uuur r
整理得 Sc OC + Sb OB + Sa OA = 0成立，
uuur uuur uuur r
而由题意得OA + OB + 3OC = 0，故 Sa : Sb : Sc =1:1: 3，
S 3k 3
设即 SVAOB = S = 3k S
VAOB
c ， VABC = 5k ，故 = =S 5k 5 ，故 C 正确.VABC
故选：C
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2．（2024·四川南充·三模）已知点 P 在VABC 所在平面内，若PA × ( u
AuCur AB- uuur ) PB ( uBuCur uBA= × - uur ) = 0 ，
| AC | | AB | | BC | | BA |
则点 P 是VABC 的（）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
VABC PA ( uAuCur uAuBur ) 0 PA uAuCur PA uAB【解析】在中，由 × - = ，得 × = × uur ，
| AC | | AB | | AC | | AB |
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AP uAuCur AP uAuBur PB ( uBuCur uBuA
uuur uuur
ur ) 0 BP uBuCur BP uBuA即 × = × ，由 × - = ，同理得 × = × ur ，
| AC | | AB | | BC | | BA | | BC | | BA |
uuur r uuur r
显然 AP 0 ，即 P 与A 不重合，否则 cos ABC =1，同理BP 0，
uuur uuur
则 | AP | cos PAC =| AP | cos PAB ，即 cos PAC = cos PAB， PAC = PAB，
于是 AP 平分 BAC ，同理BP平分 ABC ，
所以点 P 是VABC 的内心.
故选：D
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
3．已知 G，O，H 在VABC 所在平面内，满足GA + GB + GC = 0 ， | OA |=| OB |=| OC |，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AH × BH = BH ×CH = CH × AH ，则点 G，O，H 依次为VABC 的（）
A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
【答案】C
【解析】
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
因为GA + GB + GC = 0 ，所以GA + GB = -GC ，
uuur uuur uuur uuur uuur
设 AB 的中点 D，则GA+GB =2GD，所以-GC = 2GD ，
所以 C，G，D 三点共线，即 G 为VABC 的中线 CD 上的点，且GC = 2GD，
所以 G 为VABC 的重心．
uuur uuur uuur
因为 | OA |=| OB |=| OC |，所以 OA＝OB ＝OC ，所以 O 为VABC 的外心；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为 AH × BH = BH ×CH = CH × AH ，所以BH × AH - CH = 0 ，即HB × AC = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以HB ^ AC ，同理可得：HA ^ BC ，HB ^ AB ，所以 H 为VABC 的垂心.
故选：C.
uuur uuur
4．O 是平面上一定点，A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点，一动点 P 满足：OP = OA + l uuur uuurAB + AC ,
l > 0，则直线 AP 一定通过VABC 的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
uuur uuur uuur
【解析】取线段 BC 的中点 E，则 AB+ AC = 2AE ，
uuur uuur uuur uuur
动点 P 满足：OP = OA + l AB + AC , l > 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则OP - OA= 2l AE ，则 AP = 2l AE ，所以 AP// AE ，
又A 为两向量的公共起点，所以 A, P, E 三点共线，
所以直线 AP 一定通过VABC 的重心．
故选：C．
5．已知点 A、B、C 是平面上不共线的三点，点O为VABC 的外心，动点 P 满足条件：
uuur 1 uuur uuur uuurOP = é(1- l)OA + (1- l)OB + (1+ 2l)OC ù ( l R ，l 0 )3 ，则点 P 的轨迹一定通过VABC 的（）．
A．内心 B．垂心 C．重心 D． AB 边的中点
【答案】D
uuur uuur uuur
【解析】取 AB 的中点 D，连接OD，则 2OD = OA + OB，
uuur 1 uuur uuur uuur
∵ OP = é 1- l OA + 1- l OB + 1+ 2l OC ù ，3
uuur 2 1- l uuur 1+ 2l uuur uuur uuur uuur uuur uuur∴ OP = OD + OC 2 - 2l OC CD 1+ 2l= + + OC OC 2 - 2l= + CD ，
3 3 3 3 3
uuur uuur
OP OC 2 - 2l
uuur uuur
CD CP 2 - 2l
uuur
则 - = ，即 = CD
3 3
∴P，C，D 三点共线，
uuur 2 uuur
因为l 0，所以CP CD，
3
于是点 P 的轨迹一定经过 AB 边的中点．
故选：D.
6．（2024·全国·模拟预测）已知点O是VABC 的重心，过点O的直线与边 AB, AC 分别交于M , N 两点，D
uuur uuur uuur
为边BC的中点．若 AD = xAM + y AN (x, y R)，则 x + y =（）
3
A B 2 1．． 3 C．2 D．2 2
【答案】A
AO 2 uuur 3 uuur
【解析】如图所示，由三角形重心的性质，可得 = ，所以 AD = AO ，
AD 3 2
3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AO = xAM + y AN
2 2
，即 AO = xAM + y AN ，
2 3 3
因为M ,O, N
2 2 3
三点共线，可得 x + y =1，所以 x + y = .
3 3 2
故选：A．
uuur uuur uuur uuur
7．已知O，A ， B ，C 是平面上的 4 个定点，A ， B ，C 不共线，若点 P 满足OP = OA+l(AB+ AC)，其
中l R ，则点 P 的轨迹一定经过VABC 的（）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
uuur uuur uuur
【解析】取线段BC的中点E ，则 AB+ AC = 2AE .
uuur uuur uuur uuur
动点 P 满足：OP = OA+l(AB+ AC)，l R ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则OP - OA= 2l AE ，即 AP = 2l AE ，所以 AP / / AE ，
又 AP I AE = A，所以 A, E, P 三点共线，即点 P 的轨迹是直线 AE ，
一定通过VABC 的重心.
故选：A.
uuur
8．已知VABC 的重心为O，则向量BO = （）
2 uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur
A． AB + AC B．- AB + AC
3 3 3 3
2 uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur
C．- AB - AC D． AB - AC
3 3 3 3
【答案】B
【解析】设E, F , D分别是 AC, AB, BC 的中点，
由于O是三角形 ABC 的重心，
uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2 1 uuur uuur 2 uuur uuur所以BO = BE 1= AE - AB = AC - AB ÷ = - AB + AC .3 3 3 è 2 3 3
故选：B.
uuur uuur uuur
9．已知VABC 的重心为 O，若向量BO = xAB + y AC ，则 x + y =（）
2 1 2 1A． 3 B． C．- D．-3 3 3
【答案】D
【解析】
如图，设 E 是 AC 的中点，由于 O 是三角形 ABC 的重心，
uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2 1 uuur uuur uuur uuur
所以BO = BE = (AE - AB) = AC - AB
2 1
÷ = - AB + AC ．3 3 3 è 2 3 3
则 x 2 1 1+ y = - + = - .
3 3 3
故选:D．
uuur uuur uuur
10．已知在VABC 中，H 为VABC 的垂心，O是VABC 所在平面内一点，且OA + OB = CH ，则以下正确的
是（）
A．点O为VABC 的内心 B．点O为VABC 的外心
C． ACB = 90 o D．VABC 为等边三角形
【答案】B
【解析】在VABC 中，由H 为VABC 的垂心，得CH ^ AB，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由OA + OB = CH ，得 (OA + OB) × (OA - OB) = CH × (OA - OB) = CH × BA = 0，
uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则OA = OB ，即 | OA |=| OB |，又 AH = AO + OC + CH = AO + OC + (OA + OB) = OC + OB ，
uuur uuur uuur uuur
显然 AH ^ BC ，同理得 | OC |=| OB |，因此点O为VABC 的外心，B 正确，无判断 ACD 成立的条件.
故选：B
uuur uuur uuur uuur
11．已知O是平面上一定点， A , B , C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP = OA+l(AB+ AC)，
l (0，+ ) ，则 P 的轨迹一定通过VABC 的（）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
uuur uuur uuur【解析】由题意 AP = l AB + AC ，当l (0，+ ) 时，如图
可知：点 P 在BC边上的中线所在直线上，∴动点 P 的轨迹一定通过VABC 的重心，
故选：A．
12 VABC uuurP 2 uuur2 uuur uuur．在中，动点满足CA = CB - 2AB ×CP ，则 P 点轨迹一定通过VABC 的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
uuur2 uuur2 uuur uuur
【解析】因为CA = CB - 2AB ×CP ，
uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 2AB ×CP = CB - CA = (CB - CA) × (CB + CA) = AB × (CB + CA) ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AB × (2CP - CB - CA) = AB × (BP + AP) = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur
设 AB 的中点为E ，则BP + AP = 2EP，则 AB ×2EP = 0，
uuur uuur
所以 AB ^ EP，所以点 P 在线段 AB 的中垂线上，故点 P 的轨迹过VABC 的外心.
故选：A
13．（多选题）（2024·高三·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中
一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内
容是：已知 M 是VABC 内一点，△BMC ，VAMC ，VAMB 的面积分别为 SA， SB ， SC ，且
uuur uuur uuuur r
SA × MA + SB × MB + Sc × MC = 0 ．以下命题正确的有（）
A．若 SA : SB : SC =1:1:1，则 M 为VABC 的重心
uuur uuur uuuur r
B．若 M 为VABC 的内心，则BC × MA + AC × MB + AB × MC = 0
uuur uuur uuuur r
C．若 M 为VABC 的垂心，3MA + 4MB + 5MC = 0，则 tan BAC : tan ABC : tan BCA = 3: 4 : 5
D．若 BAC = 45°， ABC = 60°，M 为VABC 的外心，则 SA : SB : SC = 3 : 2 :1
【答案】ABC
uuur uuur uuuur r
【解析】A 选项，因为 SA : SB : SC =1:1:1，所以MA + MB + MC = 0，
uuur uuuur uuuur uuuur uuur
取BC的中点D，则MB + MC = 2MD，所以 2MD = -MA，
故 A, M , D 三点共线，且MA = 2MD，
同理，取 AB 中点E ， AC 中点F ，可得B, M , F 三点共线，C, M , E三点共线，
所以 M 为VABC 的重心，A 正确；
B 选项，若 M 为VABC 的内心，可设内切圆半径为 r ，
S 1 BC r S 1则 A = × ， B = AC
1
× r ， S
2 2 C
= AB × r ，
2
1 uuur 1 uuur 1 uuuur r
所以 BC × r × MA + AC × r × MB + AB × r × MC = 0，
2 2 2
uuur uuur uuuur r
即BC × MA + AC × MB + AB × MC = 0，B 正确；
uuur uuur uuuur r
C 选项，若 M 为VABC 的垂心，3MA + 4MB + 5MC = 0，
则 SA : SB : SC = 3: 4 : 5，
如图， AD ⊥ BC，CE ⊥ AB ， BF ⊥ AC ，相交于点M ，
又 SVABC = SA + SB + SC ，
SA 3 1= =
S 12 4 ，即 AM : MD = 3:1，VABC
SB 4 1= =
S 12 3，即MF : BM =1: 2，VABC
SC 5=
S 12 ，即ME : MC = 5 : 7，VABC
设MD = m ，MF = n ，ME = 5t ，则 AM = 3m，BM = 2n ，MC = 7t ，
n m
因为 CAD = CBF ， sin CAD = ,sin CBF = ，
3m 2n
n m 6
所以 = ，即，
3m 2n m = n3
m 5t
= m 105 70同理可得，即7t 3m = t
，故 n = t ，
3 2
6 2
m n
6 30
cos BMD 6 ，则，= = 3 = sin BMD = 1- ÷÷ =
2n 2n 6 è 6 6
故BD = BM sin BMD 2n 30 30 = × = n ，
6 3
105 2t 105 4 21
cos CMD m 3 105 ，则= = = sin CMD = 1- 21 ÷÷
= ，
7t 7t 21 è 21
CD MC sin CMD 7t 4 21 4 21故 = = × = t ，
21 3
tan ABC AD AD= , tan BCA = ，
BD CD
4 21
tan ABC : tan BCA AD CD CD
t 4 21t 4 21t 4
故 = × = = 3 = = = ，
BD AD BD 30 n 30n
5
30 70× t
3 2
3
同理可得 tan BAC : tan ABC = ，
4
故 tan BAC : tan ABC : tan BCA = 3: 4 : 5，C 正确；
D 选项，若 BAC = 45°， ABC = 60°，M 为VABC 的外心，
则 ACB = 75°，
设VABC 的外接圆半径为 R ，故 BMC = 2 BAC = 90°, AMC = 2 ABC =120°，
AMB = 2 ACB =150°，
1 2 1 2 1 3 1 2 1 2
故 SA = R sin 90° = R ，2 2 SB = R
2 sin120° = R2 ， SC = R sin150° = R ，2 4 2 4
所以 SA : SB : SC = 2 : 3 :1，D 错误.
故选：ABC
14．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知VABC 内角A ， B ，C 的对边分别为 a，b ，c，O为VABC 的
1
重心， cosA = ， AO = 2，则（
5 ）
uuur 1 uuurAO AB 1
uuur uuur uuur
A． = + AC B．
3 3 AB × AC 3
C．VABC 的面积的最大值为3 6 D． a的最小值为 2 5
【答案】ABC
【解析】
延长 AO 交BC于点D .
因为O是VABC 的重心，
uuur uuur
所以点D是BC中点， AO
2
= AD ，
3
uuur 1 uuur uuur则 AD = AB + AC .2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于选项 A：因为 AO
2 2 1 1 1
= AD = AB + AC = AB + AC ，故选项 A 正确；3 3 2 3 3
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
对于选项 B：由 AO = AB
1
+ AC 得：
3 3 AB + AC = 3AO
，
uuur2 uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
所以9AO = AB + AC = AB + AC + 2AB × AC 2 AB AC + 2AB × AC ，当且仅当 AB = AC 时等号成立.
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又因为 AB × AC = AB AC cosA = AB AC ，即 AB AC = 5AB × AC ， AO = 2，
5
uuur uuur uuur uuur
所以 2 5AB × AC + 2AB × AC 9 22 ，
uuur uuur uuur uuur
即 AB × AC 3，当且仅当 AB = AC 时等号成立，故选项 B 正确；
uuur uuur uuur uuurAB × AC uuur uuur uuur uuur
对于选项 C：因为 AB × AC = = 5AB × AC 15，当且仅当 AB = AC 时等号成立，
cosA
sinA = 1- cos2 A 2 6= ，
5
uuur uuur
S 1 AB AC sinA 1 15 2 6所以 VABC = = 3 6 ，故选项 C 正确；2 2 5
uuur2 uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur uuur对于选项 D：由9AO = AB + AC = AB + AC + 2AB × AC ， AO = 2，
uuur 2 uuur 2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
得 AB + AC = 9AO - 2AB × AC = 36 - 2AB × AC 36
2
= - AB AC ，
5
所以由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccosA可得：
uuur 2 uuur2 2 uuur uuur uuur uuura AB AC 2 AB AC cosA 36 4 AB AC 36 4
uuur uuur
= + - × = - - 15 = 24 ，即 a 2 6 ，当且仅当 AB = AC 时5 5
等号成立，
所以 a的最小值是2 6，故选项 D 错误.
故选：ABC.
15．（多选题）（2024·辽宁·二模）VABC 的重心为点G ，点 O，P 是VABC 所在平面内两个不同的点，满足
uuur uuur uuur uuur
OP = OA + OB + OC ，则（）
uuur uuur
A．O, P,G 三点共线 B．OP = 2OG
uuur uuur uuur uuur
C．2OP = AP + BP + CP D．点 P 在VABC 的内部
【答案】AC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】OP = OA + OB + OC = OG + GA + OG + GB + OG + GC
uuur uuur uuur uuur
= 3OG + GA + GB + GC ，
因为点G 为VABC 的重心，
uuur uuur uuur r uuur uuur
所以GA + GB + GC = 0 ，所以OP = 3OG ，
所以O, P,G 三点共线，故 A 正确，B 错误；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AP + BP + CP = AO + OP + BO + OP + CO + OP
uuur uuur uuur uuur
= (AO + BO + CO) + 3OP，
uuur uuur uuur uuur
因为OP = OA + OB + OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 (AO + BO + CO) + 3OP = -OP + 3OP = 2OP，即2OP = AP + BP + CP，故 C 正确；
uuur uuur
因为OP = 3OG ，
所以点 P 的位置随着点O位置的变化而变化，故点 P 不一定在VABC 的内部，故 D 错误；
故选：AC．
16．（多选题）已知点O是VABC 所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（）
uuur uuur uuur r
A．若OA + OB + OC = 0，则O为VABC 的重心
uuur uuur uuur
B．若 OA = OB = OC ，则O为VABC 的内心
uuur uuur
C．若O为VABC 的重心， AD 是BC边上的中线，则3 A O = A D
uuur uuur uuur 1
D．若OA + OB = CO，则 S△AOB = S3 △ABC
【答案】AD
uuur uuur uuur
【解析】取BC的中点D，连接OD，则OB + OC = 2OD ，
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
若OA + OB + OC = 0，则 2OD = -OA，则O, A, D三点共线，且 2 OD = OA ，
则O为VABC 的重心，故 A 正确；
uuur uuur uuur
若 OA = OB = OC ，则O为VABC 的外心，不一定是内心，故 B 错误；
uuur uuur uuur uuur
若O为VABC
2
的重心， AD 是BC边上的中线，则 AO = AD ，则
3 3AO = 2AD
，故 C 错误；
uuur uuur uuur
取 AB 的中点E ，连接OE，则OA + OB = 2OE ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
若OA + OB = CO，则CO = 2OE ，则O, D, E
1
三点共线，且 OE = CE ，
3
S 1则 △AOB = S△ABC ，故 D 正确.3
故选：AD.
17．（多选题）点 O 为VABC 所在平面内一点，则（）
uuur uuur uuur r
A．若OA + OB + OC = 0，则点 O 为VABC 的重心
uuur uuur uuur uuur uuur uuurAC AB BC BA
B．若OA × uuur - uuur ÷ = OB × uuur - uuur ÷ = 0，则点 O 为VABC 的内心

è AC AB
÷ ÷
è BC BA
uuur uuur uuur uuur uuur uuurC．若 OA + OB × AB = OB + OC × BC = 0 ，则点 O 为VABC 的垂心
D．在VABC uuur2 uuur2 uuur uuur中，设 AC - AB = 2AO × BC ，那么动点 O 的轨迹必通过VABC 的外心
【答案】ABD
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
【解析】对于 A 中，由点 O 为VABC 所在平面内一点，且OA + OB + OC = 0，可得OA + OB = -OC ，
uuur uuur uuur uuur
则以OA,OB为邻边作平行四边形 AOBD ，可得OC = -OD ，且 OC = OD ，
设OD I AB = E ，根据平行四边形法则，可得E 为 AB 的中点，即CE为 AB 上的中线，
同理可证：延长BO, AO也过BC, AC 的中点，所以O为VABC 的重心，所以 A 正确；
uuur uuur
uAuCur uuur uuur AB uuur uuur对于 B 中，由向量 AC 表示 AC 方向的单位向量 AE，
uuur
AB 表示 AB 方向的单位向量 AD ，
uuur uuur
AC AB uuur uuur uuur
可得四边形 ADFE 是菱形，则 uuur - uuur = AE - AD = DEAC AB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuurAC AB BC BA
因为OA × uuur - uuur ÷ = OB × uuur - uuur ÷ = 0，

è AC AB
÷
è BC BA
÷

uuur uuur uuur uuur
所以OA × DE = 0，即OA ^ DE，即OA和 AF 共线，即OA是 A的角平分线，
同理可得OB是 B的角平分线，即O是VABC 的内心，所以 B 正确.
对于 C 中，如图所示，取 E, F 分别为 AB, BC 的中点，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
根据向量的平行四边形法则，可得OA + OB = 2OE,OB + OC = 2OF ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur因为 OA + OB × AB = OB + OC × BC = 0 ，可得OE × AB = 0,OF × BC = 0，
uuur uuur uuur uuur
所以OE ^ AB,OF ^ BC ，所以点O在线段 AB, BC 的垂直平分线上，
所以点O为VABC 的外心，所以 C 不正确；
uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 D 中，由 AC - AB = (AC - AB) × (AC + AB) = BC × (AC + AB) ,
uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为 AC - AB = 2AO × BC ，可得BC × (AC + AB) = 2AO × BC ，
uuur uuur uuur uuur
即BC × (AC + AB - 2AO) = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
设F 为BC的中点，可得 AC + AB - 2AO = (AC - AO) + (AB - AO) = OC + OB = 2OF ，
uuur uuur uuur uuur
所以BC ×OF = 0，即BC ^ OF ，且F 为BC的中点，
所以动点 O 的轨迹必通过VABC 的外心，所以 D 正确.
故选：ABD.
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
18．（多选题）已知M ， N 在VABC 所在的平面内，且满足 AM × BM = BM ×CM = CM × AM ，
uuur uuur uuur
CA = NB + 2NA，则下列结论正确的是（）
A．M 为VABC 的外心
B．M 为VABC 的垂心
C． N 为VABC 的内心
D． N 为VABC 的重心
【答案】BD
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur
【解析】由题意MA × MB = MB × MC = MC × MA，
uuur uuur uuuur
所以MB × MA - MC = 0，
uuur uuur
即MB ×CA＝0，所以MB ^ AC ，
同理可得：MA ^ BC ，MC ^ AB ，
所以 M 为VABC 的垂心；A 错误,B 正确；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
因为CA = NB + 2NA = NA - NC 所以 NA + NB + NC = 0，
uuur uuur uuur
所以 NA + NB = -NC ，
uuur uuur uuur
设 AB 的中点 D，则 NA + NB = 2ND，
uuur uuur
所以-NC = 2ND ，
所以 C，N，D 三点共线，即 N 为VABC 的中线 CD 上的点，且 NC = 2ND ，
所以 N 为VABC 的重心,C 错误,D 正确.
故选:BD.
19．（多选题）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, a = 3, A
π
= ，O为VABC 的外心，则（）
3
A．若VABC 有两个解，则3 < c < 2 3
uuur uuur
B．OA × BC 的取值范围为[-3 3,3 3]
uuur uuur
C．BA × BC 的最大值为 9
8
D．若B,C 为平面上的定点，则 A 点的轨迹长度为 3π
3
【答案】ABD
a c 3
= = = 2 3 c
【解析】对于 A，由正弦定理 sin A sin C π ，得 sin C =sin ，
3 2 3
c
有两解的情形为02 3 3 < c < 2 3
，故 A 正确；
a
对于 B，由正弦定理 = 2 3 = 2R，得外接圆半径，
sin A R = 3
uur uuur
由正弦定理知 A 点在以O为圆心半径为 3 的优弧上运动， OA, BC [0, π]，
uur uuur uur uuur uur uuur
于是OA × BC = Ra cos OA, BC = 3 3 cos OA, BC [-3 3,3 3]，故 B 正确；
uuur uuur uuur uuur uuur
对于 C，法一：用投影向量求当 BA在 BC 上的投影向量的模最大，且与 BC 同向时，取得 BA × BC 的最大值，
此时OA∥BC ，
设H 为BC的中点，则OH ^ BC ，
uuur uuur 1 1 3 uuur uuur 3 9
BA在BC 上的投影向量的模为OA + AB = BH + AB = + 3

，
2 2 2 BA × BC
最大值为3 + 32 ÷
= + 3 3，
è 2
故 C 错误；
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur2 uuur uuur 9 uuur uuur 9
法二：转化到圆心：BA × BC = BC × (BO + OA) = BC + BC ×OA + (BC ×OA) = + 3 3 ，故 C 错误；
2 2 max 2
对于 D，如下图，由正弦定理知 A 点在以O为圆心半径为 3 的优弧上运动，由两段优弧拼接成，每段优
4
弧所对圆心角为 π ，
3
4 8
所以 A 点的轨迹长度为 π 3 2 = 3π，故 D 正确．
3 3
故选：ABD.
uuuur 1 uuur 1 uuur
20．设 M 为VABC 内一点，且 AM = AB + AC ，则VMBC 与VABC 的面积之比为．
2 4
1
【答案】 /0.25
4
【解析】在 AC 取中点 N ，
uuuur uuur uuur uuur uuur
则 AM
1
= AB 1+ AC 1= AB 1+ AN ，
2 4 2 2
可知点M 为BN 的中点，
1 1 1 1 S△MBC 1
可得 SVMBC = S2 VNBC
= SVABC ÷ = SVABC ，即 =2 è 2 4 S
，
△ABC 4
所以V
1
MBC 与VABC 的面积之比为 .
4
1
故答案为： .
4
21．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三
角形的四心（重心内心外心垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若 P 是VABC 内一点，
uuur uuur uuur r
VBPC,VAPC,VAPB的面积分别为 SA , SB , SC ，则有 SA × PA + SB × PB + SC × PC = 0 .已知O为VABC 的内心，且
uuur uuur uuur
cos BAC 1= ，若 AO = mAB + nAC ，则m + n的最大值为 .3
3 - 3
【答案】
2
【解析】因为VABC 的内心O到该三角形三边的距离相等，则 SA : SB : SC = a : b : c ，
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r uuur b uuur c uuur
由 SA ×OA + SB ×OB + SC ×OC = 0 可得 a ×OA + b ×OB + c ×OC = 0，所以 AO = OB + OC ，a a
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又 AO = mAB + nAC = m OB - OA + n OC - OA ，
ì m b
uuur uuur uuur =1- m + n a
则 AO
m OB n OC = +
1- m + n 1- m + n ，所以 í n c
，
=
1- m + n a
m + n b + c b + c
两式相加可得 =1- m + n a ，化简可得m + n = ，a + b + c
又 cos BAC
1 2
= a2 = b2 + c2，由余弦定理可得 - 2bccosA = b2 + c2 - bc，
3 3
8 8 (b + c)2 (b + c)2
由基本不等式可得 a2 = (b + c)2 - bc (b + c)2 - = ，
3 3 4 3
3
所以 a b + c ，当且仅当b = c 时等号成立，
3
m n b + c 1 1 3 3 - 3+ = = = =
所以 a + b + c 1 a+ 1 3 3+ 3
2 .
b + c + 3
3 - 3
故答案为： .
2
22．我校高一同学发现：若O是VABC 内的一点，VBOC 、VAOC 、VAOB的面积分别为 SA、 SB 、 SC ，则
uuur uuur uuur r
存在结论 SA ×OA + SB ×OB + SC ×OC = 0 ，这位同学利用这个结论开始研究：若O为 VABC 内的一点且为内心，
uuur uuur uuur
VABC 的内角A 、 B 、C 的对边分别为 a、b 、c，且 cos B
5
= ，若BO = xBA + yBC ，则 x + y 的最大值
6
为 .
12 - 2 3
【答案】
11
【解析】因为VABC 的内心O到该三角形三边的距离相等，则 SA : SB : SC = a : b : c ，
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r uuur a uuur c uuur
由 SA ×OA + SB ×OB + SC ×OC = 0 可得 a ×OA + b ×OB + c ×OC = 0，所以，BO = OA + OC ，b b
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为BO = xBA + yBC = x BO + OA + y BO + OC ，
ì x a
uuur uuur uuur =1- x - y b
则BO
x y
= OA + OC
1- x - y 1- x y ，所以， í ，- y c=
1- x - y b
x + y a + c a + c
所以， =1- x + y b ，可得 x + y = ，a + b + c
cos B 5= 2 2 2 2 5因为，由余弦定理可得b = a + c - 2ac cos B = a + c2 - ac，
6 3
2 2
由基本不等式可得b2 = a + c 2 11 2 11 a + c a + c- ac a + c - = ，
3 3 4 12
b a + c所以，，当且仅当 a = c 时，等号成立，
2 3
x y a + c 1 1 6 12 - 2 3+ = = = =
所以， a + b + c 1 b+ 1 3 6 + 3
11 .
a + c + 6
12 - 2 3
故答案为： .
11
uuur uuur uuur r
23．已知点 P 为VABC 内一点， 2PA + 3PB + 5PC = 0，则VAPB, VAPC, VBPC 的面积之比为．
【答案】5 : 3 : 2
【解析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量的数乘运算的几何意义，
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
三角形面积公式，确定面积比.因为 2PA + 3PB + 5PC = 0，所以 2(PA + PC) = -3(PB + PC)，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
设F 为 AC 中点，G 为BC中点，因为PA + PC = 2PF , PB + PC = 2PG ，
uuur uuur 3
可得 2PF = -3PG，所以F、P、G 三点共线，且PF = PG，2
GF 为三角形 ABC 的中位线
1
S PC hVAPC
所以 = 2
1 h PF 3
= 1 = = ，
S 1VBPC PC h h2 PG 2
2 2
S 1而 △APB = S VAPB,VAPC,VBPC2 △ABC
，所以的面积之比等于5 : 3 : 2
故答案为：5 : 3 : 2
24．已知点 P 在VABC 所在的平面内，则下列各结论正确的个数是．
uuur uuur uuur uuur
①若 P 为VABC 的垂心， AB × AC = 2 ．则 AP × AB = 2
uuur uuur uuur
②若VABC 为边长为 2 的正三角形，则PA × PB + PC 的最小值为 -1
uuur 1 1 uuur 1 1 uuur
③若 AP = uuur +
÷
÷ AB + uuur + ÷ AC ，则动点 P 的轨迹经VABC 的外心
AB cos B 2 ÷ 2 ÷
è è
AC cosC
uuur uuur uuur uuur
④若 P 为VABC 的重心，过点 P 的直线 l分别与 AB 、 AC 交于E 、F 两点，若 AE = l AB， AF = m AC ，
1 1
则 + = 3l m
【答案】①③④
uuur uuur uuur uuur
【解析】对于①， P 为VABC 的垂心，则 AB × PC = 0，又 AB × AC = 2 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以 AP × AB = AB × AC + PC = AB × AC + AB × PC = 2 + 0 = 2，所以①正确；
对于②，取CB的中点O，连接OA，以O为坐标原点，BC，OA所在直线分别为 x 轴， y 轴，建立平面直
角坐标系，
则B -1,0 ，C 1,0 ， A 0, 3 ，设P m, n ，
uuur uuur uuur则PA × PB + PC = -m, 3 - n × -2m,-2n = 2m2 + 2n2 - 2 3n
2
3 3
= 2m2 + 2 n - ÷÷ - ，
è 2 2
3
故当m = 0， n = 时，
2
uuur uuur uuur 2
PA 3
3
× PB + PC = 2m2 + 2 n - ÷÷ - 取得最小值，
è 2 2
3
最小值为- ，所以②错误；
2
uuur uuur uuurAB AC 1 uuur uuur对于③， AP = uuur + uuur + AB + AC AB cos B AC cosC 2 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB × BC AC × BC 1 uuur uuur uuurAP × BC = uuur + uuur + AB + AC × BC
AB cos B AC cosC 2
uuur uuur uuur uuur
AB × BC cos π - B AC × BC cosC 1 uuur uuur uuur= uuur + uuur + AB + AC × BC
AB cos B AC cosC 2
uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur= - BC + BC + AB + AC × BC = AB + AC × BC ，2 2
uuur uuur uuur uuur uuur所以 2AP × BC = AB + AC × BC ，
uuur uuur uuur
如图，设E 是BC的中点，则 AB+ AC = 2AE ，
uuur uuur uuur uuur
故 2AP × BC = 2AE × BC ，
uuur uuur uuur uuur uuur即 AP - AE × BC = EP × BC = 0，
故则动点 P 的轨迹经过VABC 的外心，所以③正确；
对于④，
uuur uuur uuur
由E ， P ，F 三点共线，设 AP = k AE + 1- k AF ，
uuur uuur uuur uuur
由 AE = l AB， AF = m AC ，
uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AP = k AE + 1- k AF = kl AB + 1- k m AC ，
uuur 1 uuur uuur
又 AP = AB + AC3 ，
ì 1 ì k 1 kl = = 3 3l
所以 í 1 ，所以 í 1 k 1
，
1- k m = - =
3 3m
1 1 1 1
所以1 = + ，即 + = 33l 3m l m ，所以④正确.
故答案为：①③④.
25．点 O 是平面a 上一定点，A，B，C 是平面a 上VABC 的三个顶点， B， C 分别是边 AC，AB 的对
角.有以下四个命题：
uuur uuur uuur uuur
①动点 P 满足OP = OA + PB + PC ，则VABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中；
uuur uuur uuur uuurA
②动点 P 满足OP = OA + l uu
Bur A+ uuCur ÷ (l > 0)，则VABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合中；

è AB AC
÷

uuur uur uuur uuurAB AC
③动点 P 满足OP =OA+l uuur + uuur
÷
÷(l > 0)，则 VABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中； AB sin B AC sinC ÷
è
uuur uuur uuur uuurAB
④动点 P 满足OP = OA + l uuur + uuur
AC ÷ (l > 0) ，则VABC 的垂心一定在满足条件的 P 点集合中.

è AB cos B AC cosC
÷

其中正确命题的个数为 .
【答案】2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【解析】①当动点 P 满足OP = OA + PB + PC AP = PB + PC 时，
则点 P 是VABC 的重心，所以①不正确；
uuur uuur
uAuBur uAC uuur②显然 + uur 在 BAC 的角平分线上，而 AP 与 BACAB AC 的平分线所在向量共线，
所以VABC 的内心一定在满足条件的点 P 集合中，因此②正确；
uuur uur uuur uuurAB AC uuur uuur uuur
③OP =OA+l uuur + uuur
÷(l > 0)变形为 AP l( uuurAB= + uuurAC ) ，
AB sin B AC sinC ÷÷ | AB | sin B | AC | sin C
è
uuur uuur
而 | AB | sin B ， | AC | sin C 表示点 A 到BC边的距离，设为 AD ，
uuur l uuur uuur uuur uuur
所以 AP = (AB + AC)AD ，而 AB + AC 表示BC边的中线向量，
uuur
所以 AP 表示BC边的中线向量，
因此VABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中，所以③正确；
④当 A = 90°时，VABC 的垂心与点 A 重合，但显然此时垂心点 P 不满足公式，所以④不正确；
故答案为：2.
26．点O是平面上一定点，A 、 B 、C 是平面上 VABC 的三个顶点， B、 C 分别是边 AC 、 AB 的对角，
以下命题正确的是（把你认为正确的序号全部写上）．
uuur uuur uuur uuur
①动点 P 满足OP = OA + PB + PC ，则VABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中；
uuur uuur uuur uuurAB AC
②动点 P 满足OP = OA + l( uuur + uuur )(l > 0) ，则VABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合中；
| AB | | AC |
uuur uuur uuur uuur
③动点 P 满足OP = OA + l( uuur
AB AC
+ uuur )(l > 0)，则VABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中；
| AB | sin B | AC | sin C
uuur uuur uuur uuurAB
④动点 P 满足OP = OA + l( uuur + uuur
AC )(l > 0)，则VABC 的垂心一定在满足条件的 P 点集合中；
| AB | cos B | AC | cosC
uuur uuur uuur uuur uuurOB + OC AB AC
⑤动点 P 满足OP = + l( uuur + uuur )(l > 0)2 ，则 VABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中．| AB | cos B | AC | cosC
【答案】①②③④⑤
uuur uuur uuur uuur
【解析】对于①，因为动点 P 满足OP = OA + PB + PC ，
\ uuur uuur uuurAP = PB + PC ，
则点 P 是VABC 的重心，故①正确；
uuur uuur uuur uuur
对于②，因为动点 P 满足OP = OA + l( u
AuBur uAuC+ ur )(l > 0) ，
| AB | | AC |
uuur uuur uuur
\ AP = l( uAuBur + uAuCur )(l > 0)，
| AB | | AC |
uuur uuur
uAuBur uA又 + u
Cur 在 BAC 的平分线上，
| AB | | AC |
uuur
\ AP 与 BAC 的平分线所在向量共线，
所以VABC 的内心在满足条件的 P 点集合中，②正确；
uuur uuur uuur uuurAB AC
对于③，动点 P 满足OP = OA + l( uuur + uuur )(l > 0)，
| AB | sin B | AC | sin C
uuur uuur uuur
\ AP l( uuurAB= + uuurAC ) ， (l > 0)，
| AB | sin B | AC | sin C
uuur uuur
过点A 作 AD ^ BC ，垂足为D，则 | AB | sin B =| AC | sin C = AD，
uuur l uuur uuur uuur uuurAP = (AB + AC) BC
AD ，向量 AB + AC 与边的中线共线，
因此VABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中，③正确；
uuur uuur uuur uuur
OP OA l( uuurAB对于④，动点 P 满足 = + + uuur
AC )(l > 0)，
| AB | cos B | AC | cosC
uuur uuur uuur
\ AP = l( uuurAB + uuurAC )(l > 0) ，
| AB | cos B | AC | cosC
uuur uuur
uuur uuur AB AC uuur uuur uuur\ AP × BC = l( uuur + uuur ) × BC = l(| BC | - | BC |) = 0，
| AB | cos B | AC | cosC
uuur uuur
\ AP ^ BC ，
所以VABC 的垂心一定在满足条件的 P 点集合中，④正确；
uuur uuur uuur uuur uuur
OP OB + OC l( uuurAB AC对于⑤，动点 P 满足 = + + uuur )(l > 0)2 ，| AB | cos B | AC | cosC
uuur uuur
OB + OC uuur
设 = OE ，
2
uuur uuur uuurAB AC
则 EP = l( uuur + uuur )，
| AB | cos B | AC | cosC
uuur uuur
AB AC uuur
由④知 ( uuur + uuur ) × BC = 0，
| AB | cos B | AC | cosC
uuur uuur
\ EP × BC = 0，
\ uuur uuurEP ^ BC ，
\P点的轨迹为过E 的BC的垂线，即BC的中垂线；
所以VABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合，⑤正确．
故正确的命题是①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
27．（2024·浙江宁波·模拟预测）在VABC 中，点 O、点 H 分别为VABC 的外心和垂心， | AB |= 5,| AC |= 3，
uuur uuur
则OH × BC = .
【答案】8
uuur uuur uuur
【解析】OH = AH - AO ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurOH × BC = AH - AO × BC = AH × BC - AO × BC ，
因为 H 为垂心，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AH × BC = 0，OH × BC = -AO × BC ，
设 AOB = A, AOB = B，外接圆的半径为 r ，
AB 2 = AO 2 2由余弦定理得 + OB - 2 AO × OB ×cos A，
= r 2 + r 2 - 2r 2 ×cos A，
= 2r 2 - 2r 2 ×cos A，
AC 2 = AO 2 + OC 2同理 - 2 AO × OC ×cos A，
= r 2 + r 2 - 2r 2 ×cos B，
= 2r 2 - 2r 2 ×cos B，
uuur uuur uuur uuur uuur所以 AO × BC = AO × BO + OC ，
uuur uuur uuur uuur
= AO × BO + AO ×OC ，
uuur uuur uuur uuur
= OA ×OB - OA ×OC ，
uuur uuur uuur uuur
= OA × OB ×cos A - OA × OC ×cos B，
= r 2 ×cos A - r 2 ×cos B，
= AC 2 - AB 2 1 = -8，2
uuur uuur
所以OH × BC = 8，
故答案为：8
uuur uuur uuur r
28．设 H 是VABC 的垂心，且 4HA + 5HB + 6HC = 0，则 cos AHB = ．
22
【答案】-
11
【解析】∵H 是VABC 的垂心，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
∴ HA ^ BC ，HA × BC = HA × HC - HB = 0，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
∴ HA × HB = HC × HA，同理可得，HB × HC = HC × HA，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故HA × HB = HB × HC = HC × HA，
uuur uuur uuur r
∵ 4HA + 5HB + 6HC = 0，
∴ uuur2 uuur uuur uuur uuur4HA + 5HA × HB + 6HA × HC = 0，
uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur 2
∴ HA × HB
4
= - HA 1，同理可求得HA × HB = - HB ，
11 2
uuur uuur 4 uuur 2- HA uuur uuur 1
uuur 2
- HB
∴ cos AHB HB= uuur ×uHuuAr HB × HA= u1uu1r uuur ， cos AHB = uuur uuur = uu2ur uuur ，
HB HA HB HA HB HA HB HA
2
∴ cos2 AHB = ，即
11 cos AHB
22
= - .
11
22
故答案为：- ．
11
uuur uuur uuur
29．在VABC 中， AB = AC ， tan C
4
= ，H 为VABC 的垂心，且满足 AH = mAB + nBC ，则m + n = .3
21
【答案】 32
BD 4
【解析】如图所示，D为BC的中点，不妨设 AD = 4m，则BD = 3m .因为 tan BHD = tan C = = ，则
HD 3
9 7 7 uuuv 7 uuuv 7 uuuv 1 uuuv uuuv uuuvHD = m，则 AH = m = AD ， AH = AD = AB + BC
7
÷ = AB
7
+ BC m n 21，由此可得 + = .
4 4 16 16 16 è 2 16 32 32
21
故答案为： .32
uuur uuur uuur
30．（2024·全国·模拟预测）已知VABC 的外心、垂心分别为O，H ， AH = lOB + OC ，则l = .
【答案】1
【解析】不妨设VABC 为锐角三角形，
取 AC 的中点 N ，过点 N 作 NH2 ^ BC ，垂足为H2，连接CH ，
设NH2 交CH 于点E ，延长 AH ，交BC于点H1，
则H2为CH1的中点，可得 NE //AH1 .
取BC的中点M ，连接OM ，则OM //AH1，则 NE //OM .
连接 BH ， ME ，由 NE //AH1， N 为 AC 的中点，可得 E 为CH 的中点，则 ME //BH ，连接ON ，延长 BH ，
交 AC 于点F ，则ON //BF ，可得ON //ME，
因此四边形ONEM 为平行四边形，
uuur uuur uuuur uuur uuur
则 AH = 2NE = 2OM = OB + OC ，则l = 1 .
故答案为：1

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