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重难点突破 01 抽象函数模型归纳总结
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳总结 ...................................................................................................................................3
题型一：一次函数模型 ...............................................................................................................................................3
题型二：二次函数模型 ...............................................................................................................................................4
题型三：幂函数模型 ...................................................................................................................................................4
题型四：指数函数模型 ...............................................................................................................................................5
题型五：对数函数模型 ...............................................................................................................................................5
题型六：正弦函数模型 ...............................................................................................................................................6
题型七：余弦函数模型 ...............................................................................................................................................6
题型八：正切函数模型 ...............................................................................................................................................7
03 过关测试 ...........................................................................................................................................7
一次函数
（1）对于正比例函数 f x = kx k 0 ，与其对应的抽象函数为 f x ± y = f x ± f y ．
（2）对于一次函数 f x = kx + b k 0 ，与其对应的抽象函数为 f x ± y = f x ± f y m b．
二次函数
（3）对于二次函数 f x = ax2 + bx + c a 0 ，与其对应的抽象函数为
f x + y = f x + f y + 2axy - c
幂函数
（4）对于幂函数 f x = xn ，与其对应的抽象函数为 f xy = f x f y ．
n x f x
（5）对于幂函数 f x = x ，其抽象函数还可以是 f = ．
è y
÷
f y
指数函数
6 f x = a x（ ）对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 f x + y = f x f y ．
x f x （7）对于指数函数 f x = a ，其抽象函数还可以是 f x - y = ．
f y
其中 (a > 0, a 1)
对数函数
（8）对于对数函数 f x = loga x ，与其对应的抽象函数为 f xy = f x + f y ．
x
（9）对于对数函数 f x = loga x ，其抽象函数还可以是 f = f x - f y ．
è y
÷

（10）对于对数函数 f x = loga x ，其抽象函数还可以是 f xn = nf x ．
其中 (a > 0, a 1)
三角函数
（11 2 2）对于正弦函数 f x = sinx，与其对应的抽象函数为 f x + y f x - y = f x - f y
2 2
注：此抽象函数对应于正弦平方差公式： sin a - sin b = sin a + b sin a - b
x + y x - y
（12）对于余弦函数 f x = cosx，与其对应的抽象函数为 f x + f y = 2 f f 2 ÷ ÷è è 2
a + b a - b
注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式： cosa + cosb = 2cos cos
2 2
（13）对于余弦函数 f x = cosx 1，其抽象函数还可以是 f x f y =
2
é f x + y + f x - y ù
cos a + b + cos a - b
注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式： cosacosb =
2
f x ± f y
（14）对于正切函数 f x = tanx ，与其对应的抽象函数为 f x ± y =
1m f x f y
tana ± tanb
注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式： tan a ± b =
1m tana tanb
题型一：一次函数模型
【例 1】已知 f x + y = f x + f y -1且 f 1 = 2 ，则 f 1 + f 2 +L+ f n 不等于
é n n +1 ù
A． f 1 + 2 f 1 +L+ nf 1 n n -1 - B． f ê ú + n -1
2 2
C n
2 + 3n
． D． n n +1
2
【变式 1-1】已知函数 f x 1 的定义域为R ，且 f ÷ 0，若 f (x + y) + f (x) f (y) = 4xy ，则下列结论错误
è 2
的是（ ）
1 1A． f -
= 0 f B
2 ÷ ． ÷
= -2
è è 2

C．函数 f x
1 1- ÷是偶函数 D．函数 f x + 是减函数
è 2 è 2 ÷
【变式 1-2】（2024·河南新乡·一模）已知定义在R 上的函数 f x 满足"x, y R，
f 2xy -1 = f x × f y + f y + 2x - 3， f 0 = -1，则不等式 f x > 3 - 2x 的解集为（ ）
A． 1, + B． -1, + C． - ,1 D． - , -1
【变式 1-3】已知定义在R 上的单调函数 f x ，其值域也是R ，并且对于任意的 x, y R ，都有
f xf y = xy ，则 f 2022 等于（ ）
A．0 B．1 C． 20222 D． 2022
题型二：二次函数模型
【例 2】（2024·高三·河北保定·期末）已知函数 f (x) 满足："x， y Z， f (x + y) = f (x) + f ( y) + 2xy +1成
立，且 f (-2) =1 f 2n n N*，则 =（ ）
A． 4n + 6 B．8n -1 C． 4n2 + 2n -1 D．8n2 + 2n - 5
【变式 2-1】（2024·山东济南·三模）已知函数 f x 的定义域为 R，且 yf x - xf y = xy x - y ，则下列结
论一定成立的是（ ）
A． f 1 =1 B． f x 为偶函数
C． f x 有最小值 D． f x 在 0,1 上单调递增
【变式 2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为R ，且满足
f (x) + f ( y) = f (x + y) - 2xy + 2, f (1) = 2，则下列结论正确的是（ ）
A． f (4) = 12 B．方程 f (x) = x 有解
f x 1+ f 1 C． ÷是偶函数 D．2
x - ÷是偶函数
è è 2
【变式 2-3】（2024·河南·三模）已知函数 f x 满足： f 1 ≥3，且"x, y R，
9
f x + y = f x + f y + 6xy ，则 f i 的最小值是（ ）
i=1
A．135 B．395 C．855 D．990
题型三：幂函数模型
【例 3】已知函数 f x 的定义域为 - ,0 U 0, + ，且 xf x = y +1 f y +1 ，则（ ）
A． f x 0 B． f 1 =1 C． f x 是偶函数 D． f x 没有极值点
【变式 3-1】（2024·河北·模拟预测）已知定义在 - ,0 U 0, + 上的函数 f x 满足
f -x f -yf xy 1= + + ，则（ ）
y x xy
A． f x 是奇函数且在 0, + 上单调递减
B． f x 是奇函数且在 - ,0 上单调递增
C． f x 是偶函数且在 0, + 上单调递减
D． f x 是偶函数且在 - ,0 上单调递增
题型四：指数函数模型
【例 4】（多选题）（2024·山西晋中·三模）已知函数 f x 的定义域为R ，满足
f x + y = f x f y + f x + f y ，且 f 0 -1， f 1 > -1，则下列说法正确的是（ ）
A． f 0 = 0 B． f x 为非奇非偶函数
C．若 f 1 =1，则 f 4 =15 D． f x > -1对任意 x N* 恒成立
【变式 4-1】已知函数 f x 满足， f p + q = f p × f q , f 1 = 3，则
f 2 1 + f 2 f 2 2 + f 4 f 2 3 + f 6 f 2 4 + f 8 f 2 5 + f 10
+ + + +
的值为（ ）f 1 f 3 f 5 f 7 f 9
A．15 B．30 C．60 D．75
f 2 f 4 f 6
【变式 4-2】如果 f a + b = f a f b 且 f 1 = 2 ，则 + + =f 1 f 3 f 5 （ ）
12 37
A． B． C．6 D．8
5 5
【变式 4-3】已知函数 f x 对一切实数 a,b满足 f a + b = f a × f b ，且 f 1 = 2 ，若
2
é f n ù + f 2n
a = n n N* ，则数列 an 的前n项和为（ ）f 2n -1
A．n B． 2n C．4n D．8n
题型五：对数函数模型
2 2
【例 5】（多选题）已知函数 f x 的定义域为R ， f xy = y f x + x f y ，则（ ）．
A． f 0 = 0 B． f 1 = 0
C． f x 是偶函数 D． x = 0为 f x 的极小值点
1
【变式 5-1】已知定义在 0, + 11上的函数 f x ，满足 f xy +1 = f x + f y ，且 f 2 ÷ = 0，则 f 2 =è
（ ）
A．1 B．11 C．12 D． -1
【变式 5-2】（2024·四川凉山·三模）已知 f x 为定义在 R 上且不恒为零的函数，若对"x, y R，都有
f xy = xf y + yf x 成立，则下列说法中正确的有（ ）个．
① f 0 = f 1 = 0；
f x
②若当 x >1 时， f x > 0，则函数 g x = 在 0, + 单调递增；
x
n n-1
③对"n N* ， f x = nx f x ；
f 1 1
n f 2i
④若 ÷ = - ，则 = 2n - 2 .è 2 2 i=1 i
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 5-3】（2024·山西·一模）已知函数 f x 是定义在 x∣x 0 上不恒为零的函数，若
f xy f x f y = 2 + 2 ，则（ ）y x
A． f 1 =1 B． f -1 =1
C． f x 为偶函数 D． f x 为奇函数
题型六：正弦函数模型
【例 6】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为 R，且
f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y), f (1) = 2, f (2) = 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
2024
A． f (x) 为偶函数 B． f (3) = -2 C． f (-1) = f (5) D． f (k) = -2
k =2
【变式 6-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，且
f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y), f (1) =1, f (2) = 0，则下列说法中正确的是（ ）
2023
A． f (x) 为偶函数 B． f (3) = -1 C． f (-1) = - f (5) D． f (k) =1
k =1
题型七：余弦函数模型
【例 7】（多选题）已知定义域为R 的函数 f x 满足 f (x + y) = f (x) × f (y) - f (2 - x) f (2 - y) ，且
f 0 0, f -2 = 0，则（ ）
A． f 2 =1
B． f x 是偶函数
C．[ f (x)]2 + [ f (2 + x)]2 =1
D． f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2024 =1
【变式 7-1】（多选题）（2024·辽宁·二模）已知定义城为 R 的函数 f x ．满足
f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y ，且 f 0 0 ， f -1 = 0，则（ ）
A． f 1 = 0 B． f x 是偶函数
2024
2 2C． é f x ù + é f 1+ x ù = 1 D． f i = -1
i
【变式 7-2】（2024·吉林·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为R ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)，
2024
f (0) =1， f (3x +1) = - f (-3x +1)，则 f (k) = （ ）
k =0
A．-2 B． -1 C．0 D．1
【变式 7-3】（2024·安徽·模拟预测）若定义在 R 上的函数 f x ，满足 2 f x + y f x - y = f 2x + f 2y ，
且 f 1 = -1，则 f 0 + f 1 + f 2 + ×××+ f 2024 = （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
题型八：正切函数模型
【例 8】定义在 -1,1 上的函数 f x 满足： f x x - y - f y = f ，当 x -1,0 时，有 f x > 0，且
è1- xy
÷

1 1 1
f 1 -

÷ = 1．设m = f
+ f +L+ f , n 2, n N*
2 ÷ ÷ 2 ÷ ，则实数
m 与 -1的大小关系为（
5 11 n n 1 ）è è è è + -
A．m < -1 B．m = -1 C．m > -1 D．不确定
【变式 8-1】（2024·浙江·二模）已知函数 f x 满足对任意的 x, y 1,+ 且 x < y 都有
f x - y f 1 f 1 ÷ = ÷ - ÷，若 a = f
1
， * ，则 a + a + a +L+ a
1- xy x y n n2 + 5n + 5 ÷ n N 1 2 3 2024
=（ ）
è è è è
253 253 253 253
A． f ÷ B． f ÷ C． f385 380 ÷
D． f
è è è 765 è 760 ÷
1
1．已知函数 f (x)

对于一切实数 x, y 均有 f (x + y) - f (y) = x(x + 2y +1) 成立，且 f (1) = 0，则当 x 0, 时，
è 2 ÷
不等式 f (x) + 2 < loga x 恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）．
3 4 é 3 4 3 4 é 3 4
A． ,1 (1,+ ) ,1 (1,+ ) ,1 ,1
è 4 ÷
÷ B． ê 4 ÷÷ C． ÷÷ D． ê ÷ ÷è 4 4
2．设函数 f：R→R 满足 f(0)＝1，且对任意 x, y R ，都有 f xy +1 = f x f y - f y - x + 2，则
f 2017 ＝（ ）
A．0 B．2018 C．2 017 D．1
3． f x 满足对任意的实数 a,b都有 f a + b = f a f b ，且 f 1 = 2 ，则
f 2 f 4 f 6 f 2018
+ + +L + =
f 1 f 3 f 5 f 2017 （ ）
A．2017 B．2018 C．4034 D．4036
f (2) f (4) f (6) f (2016)
4．如果函数 f (x) 对任意 a,b满足 f (a +b) = f (a) f (b)，且 f (1) = 2，则 + + +L+ =f (1) f (3) f (5) f (2015)
A．4032 B．2016 C．1008 D．504
f (x) + f ( y)
5．设函数 f x 的定义域为R ，对任意实数 x ， y ，只要 x + y 0 ，就有 f (xy) = x + y 成立，则函
数 f (x) （ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ， f x f y - f x = xy - y，则（ ）
A． f 0 = 0 B． f -1 =1
C． f x +1 为偶函数 D． f x +1 为奇函数
7．设函数 y = f x 的定义域为 (0, + )， f xy = f x + f y ，若 f 9 = 6，则 f 3 3 等于（ ）
3 9
A． B．2 C D
9
． ．
2 4 2
8．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R,"x, y R ，
f x + y - f x y 1 1- = 2 f - x f y f =12 ÷ ，且 ÷ ，则（2 ）è è
A． f x 为偶函数
B f x = 2 f x 1- x ． 2 ÷ f ÷è è 2
C． f 1 + 2 f 2 + 3 f 3 + ×× × + 2023 f 2023 = 1
2
D．[ f x ]2 é 1 ù+ ê f - x ÷è 2 ú
= 1

9．（多选题）已知函数 f (x) 的定义域为R ， f (x + y) - f (x - y) f x
3 3
= +

÷ f y +

÷， f (0) 02 2 ，则（ ）è è
3
A． f ÷ = 0 B． f (0) = -2
è 2
2022
C f (x) 3 D f k ． 的一个周期为 ． ÷ = 2
k =1 è 2
10．（多选题）（2024·江西九江·二模）已知函数 f x 的定义域为R ，"x, y R，
f xy + xy = xf y + yf x ，则下列命题正确的是（ ）
A． f x 为奇函数 B． f x 为R 上减函数
1 1 10
C．若 x 0 k，则 xf x ÷
+ f x 为定值 D．若 f 2 = 2，则 f 2 = 2046
è x k =1
11．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知函数 f (x) 满足 f (x) f (y) = f (xy)+ | x | + | y |，则（ ）
A． f (0) =1 B． f (1) = -1 C． f (x) 是偶函数 D． f (x) 是奇函数
12．（多选题）（2024·广西·二模）已知函数 y = f x 的定义域与值域均为Q+ ，且
2
f y f x + y 2 * y ÷ = f x + f y + txf y t N ，则（ ）è
A． f 1 =1 B．函数 f x 的周期为 4
C． f x = x2 x Q+ D． t = 2
13．（多选题）已知非常数函数 f x 的定义域为R ，且 f x f y = f xy + xy x + y ，则（ ）
A． f 0 = 0 B． f 1 = -2或 f 1 =1
f xC ． 是 x x R且x 0 上的增函数 D． f x 是R 上的增函数
x
14 f x R "x R, f x > 0 f xy = f x × f y - x2 - y2．（多选题）已知 是定义在 上的函数， ，且 ，则
（ ）
A． f 1 =1
B． f x 是偶函数
C． f x 的最小值是 1
D．不等式 f x - 2 <10的解集是 -1,5
15．（多选题）已知函数 f (x) 满足 f (x + y) = f (x) + f (y), x, y R，则（ ）
A． f (0) = 0 B． f (k) = kf (1),k Z
C． f (x) kf
x= ÷ , (k 0) D． f (-x) f (x) < 0
è k
16．（多选题）（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知函数 f (x) 的定义域为R ，且
f x - y = f -x + f y - 2xy ，则（ ）
A． f (0) = 0
B． f (2) = 4
C． y = f (x) - 2x 是奇函数
D． y = f x - 2x2 是偶函数
17．（多选题）（2024·重庆·三模）函数 f x 是定义在R 上不恒为零的可导函数，对任意的 x， y R 均满
足： (x + y) × f (x) f (y) = xy × f (x + y) ， f (1) = 2，则（ ）
A． f 0 = 0 B． f 2 = 8
n
C． f 1 = 4 D． f (k) = (n -1) ×2n+1 + 2
k =1
18．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，且
f x + y = f x f y + f x + f y ， x > 0时， f x > 0， f 2 = 3，则（ ）
A． f 1 =1
B．函数 f x 在区间 0, + 单调递增
C．函数 f x 是奇函数
D．函数 f x x的一个解析式为 f x = 2 -1
f x
19．（多选题）已知函数 y = f x ，对于任意 x, y R ， = f x - y f y ，则（ ）
A． f 0 =1 B． f x2 = 2 f x
f x + ff x > 0 y f x + yC． D ． ≥
2 ֏ 2
x - y
20．（多选题）（2024·高三·辽宁·期中）已知函数 f x 的定义域为 -1,1 ， f (x) - f ( y) = f ÷ ，且
è1- xy
f 1 ÷ =1，当 x 0,1 时， f x > 0，则（2 ）è
A． f 0 = 0
B． f x 是偶函数
C．当 A，B 是锐角VABC 的内角时， f sin A < f cos B
x 0 1 1+ x
2
> = n x 1D．当 n ，且 ， 1 =
n-1
时， f x
x 2x 2 n
= 2
n+1 n
f x f 1 21．（多选题）函数 的定义域为R ， ÷ 0，若 f x + y + f x f y = 4xy ，则下列选项正确的有
è 2
（ ）
f 1 1 A． - ÷ = 0 B． f ÷ = -2
è 2 è 2
1 1
C．函数 f x + ÷是增函数 D．函数 f x - ÷是奇函数
è 2 è 2
22．（多选题）定义在 0, + 上的函数 f x ，对"x, y > 0，均有 f xy = xf y + yf x ，当 x >1时，
f x < 0 ，令 g x f x = ，则下列说法正确的是（ ）
x
A． g 1 = 0 1 B． g x g ÷ 0
è x
C．"a > 0, g a < g a +1 D * n．"a > 0, n N , g a = ng a
23．（多选题）已知定义在 0, + 上的函数 f x 满足：对"x, y 0,+ ，都有 f xy = f x + f y ，则
对于"x, y 0,+ ， n N*，下式成立的有（ ）
A． f x + y = f x f y x B． f ÷ = f x - f y
è y
1
C n． f x = nf x D． f n x = f x n
24．（2024·山西临汾·三模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x + y + f x - y = f x f y ， f 1 =1，
则 f 2024 = ．
25．已知函数 f x 的定义域为 R，且 f x + y + f x - y = 2 f x f y ， f 0 =1，请写出满足条件的一个
f x = （答案不唯一）．
f 0.5 f 1 f 0.5n
26．已知函数 y = f

x ，x R，且 f 0 = 2 ， = 2,

= 2,L, = 2, n N*
f 0 f 0.5 f 0.5 n -1 ，则函数
y = f x 的一个解析式为 .
27．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）写出满足 f x - y = f x + f y - 2xy 的函数的解析式 ．
28．（2024·高三·河南·开学考试）已知函数 f（x）满足：①对"m ， n > 0， f (m) + f (n) = f (mn)；②
f 1 ÷ = -1．请写出一个符合上述条件的函数 f（x）＝ ．
è 2
f 0.5 f 1 f 0.5n
29．已知函数 y = f x ， x R ，且 f 0 = 2 ， = 2 = 2 = 2 *f 0 ， f 0.5 ，…， f 0.5 n -1 ， n N ，
则满足条件的函数 f x 的一个解析式为 .
30．若函数 f (x) 满足"x, y R, f (xy) = f (x) f (y)，写出一个符合要求的解析式 f (x) = ．
31 n．同时满足下列两个条件：① f x = nf x , x > 0；② é f x1 - f x2 ù x1 - x2 > 0的函数可以为 .重难点突破 01 抽象函数模型归纳总结
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳总结 ...................................................................................................................................3
题型一：一次函数模型 ...............................................................................................................................................3
题型二：二次函数模型 ...............................................................................................................................................5
题型三：幂函数模型 ...................................................................................................................................................7
题型四：指数函数模型 ...............................................................................................................................................8
题型五：对数函数模型 .............................................................................................................................................10
题型六：正弦函数模型 .............................................................................................................................................13
题型七：余弦函数模型 .............................................................................................................................................15
题型八：正切函数模型 .............................................................................................................................................18
03 过关测试 .........................................................................................................................................19
一次函数
（1）对于正比例函数 f x = kx k 0 ，与其对应的抽象函数为 f x ± y = f x ± f y ．
（2）对于一次函数 f x = kx + b k 0 ，与其对应的抽象函数为 f x ± y = f x ± f y m b．
二次函数
（3）对于二次函数 f x = ax2 + bx + c a 0 ，与其对应的抽象函数为
f x + y = f x + f y + 2axy - c
幂函数
（4）对于幂函数 f x = xn ，与其对应的抽象函数为 f xy = f x f y ．
n x f x
（5）对于幂函数 f x = x ，其抽象函数还可以是 f = ．
è y
÷
f y
指数函数
6 f x = a x（ ）对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 f x + y = f x f y ．
x f x （7）对于指数函数 f x = a ，其抽象函数还可以是 f x - y = ．
f y
其中 (a > 0, a 1)
对数函数
（8）对于对数函数 f x = loga x ，与其对应的抽象函数为 f xy = f x + f y ．
x
（9）对于对数函数 f x = loga x ，其抽象函数还可以是 f = f x - f y ．
è y
÷

（10）对于对数函数 f x = loga x ，其抽象函数还可以是 f xn = nf x ．
其中 (a > 0, a 1)
三角函数
（11 2 2）对于正弦函数 f x = sinx，与其对应的抽象函数为 f x + y f x - y = f x - f y
2 2
注：此抽象函数对应于正弦平方差公式： sin a - sin b = sin a + b sin a - b
（12）对于余弦函数 f x = cosx f x f y 2 f x + y f x - y ，与其对应的抽象函数为 + =
è 2 ÷ è 2 ÷
注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式： cosa + cosb 2cos a + b cos a - b=
2 2
1
（13）对于余弦函数 f x = cosx，其抽象函数还可以是 f x f y = é f x + y + f x - y ù2
cos a + b + cos a - b
cos cos 注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式： a b =
2
f x ± f y （14）对于正切函数 f x = tanx，与其对应的抽象函数为 f x ± y =
1m f x f y
tana ± tanb
注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式： tan a ± b =
1m tana tanb
题型一：一次函数模型
【例 1】已知 f x + y = f x + f y -1且 f 1 = 2 ，则 f 1 + f 2 +L+ f n 不等于
n n -1 é n n +1 ù
A． f 1 + 2 f 1 +L+ nf 1 - B． f ê 2 ú + n -12
n2C + 3n． D． n n +1
2
【答案】D
【解析】Q f x + y = f x + f y -1，\ f x + y -1 = é f x -1 ù + é f y -1ù ，
构造函数 g x = f x -1，则 g x + y = g x + g y ，且 g 1 = f 1 -1 =1，
令 an = g n = f n -1，则 a1 = f 1 -1 =1，
令 x=n， y =1，得 g n +1 = g n + g 1 ，
\an+1 = an + a1 = an +1，即 an+1 - an =1，
所以，数列 an 为等差数列，且首项为1，公差为1，\an =1+ n -1 1 = n ，
\ f n -1 = n，则 f n = n +1 .
2
f 1 + f 2 n 2 + n +1 n n + 3+L+ f n = 2 + 3 +L+ n 1 n + 3n+ = = = ，
2 2 2
n n -1 n n +1 n n -1 n n -1
2
f 1 + 2 f 1 +L+ nf 1 f 1 - = - = n n +1 n + 3n- = ，合乎题意；
2 2 2 2 2
é n n +1 ù n n +1 2f n + 3nê ú + n -1 = +1+ n -1 = ，合乎题意；
2 2 2
故选 D.
1
【变式 1-1】已知函数 f x 的定义域为R ，且 f ÷ 0，若 f (x + y) + f (x) f (y) = 4xy ，则下列结论错误
è 2
的是（ ）
1 1A． f -
= 0 f B
2 ÷ ． ÷
= -2
è è 2

C．函数 f x
1 1- ÷是偶函数 D．函数 f x + ÷是减函数
è 2 è 2
【答案】C
1 1 1 1
【解析】对于 A，令 x = 、 y = 0 ，则有 f ÷ + f ÷ f 0 = f ÷ é1+ f 0 ù2 è 2 è 2 è 2
= 0，
又 f
1
÷ 0，故1+ f 0 = 0，即 f 0 = -1，
è 2
1 1 1 1 1 1
令 x
1 1
= 、 y = -

，则有 f
2 2
- ÷ + f2 2 ÷
f - ÷ = 4 - ÷，
è è 2 è 2 2 è 2
f 0 f 1 1 1 1即 + ÷ f - ÷ = -1，由 f 0 = -1，可得 f2 2 2 ÷ f - ÷ = 0，è è è è 2
f 1 0 f 1 又 ÷ ，故 - 2 ÷
= 0，故 A 正确；
è 2 è
1 1 1 1
对于 C，令 y = - ，则有 f x - ÷ + f x f - ÷ = 4x - ÷，2 è 2 è 2 è 2
f 1则 x -

÷ = -2x，故函数 f
x 1 -

2 ÷
是奇函数，故 C 错误；
è è 2
f 1 对于 D，有 x +1- ÷ = -2 x +1 = -2x - 2，即 f
x 1 +

÷ = -2x - 2，
è 2 è 2
1
则函数 f x + ÷是减函数，故 D 正确；
è 2
对于 B，由 f
x 1- ÷ = -2x
1
，令 x =1，有 f ÷ = -2 1 = -2，故 B 正确.
è 2 è 2
故选：C
【变式 1-2】（2024·河南新乡·一模）已知定义在R 上的函数 f x 满足"x, y R，
f 2xy -1 = f x × f y + f y + 2x - 3， f 0 = -1 x，则不等式 f x > 3 - 2 的解集为（ ）
A． 1, + B． -1, + C． - ,1 D． - , -1
【答案】A
【解析】令 x = y = 0 ，得 f (-1) = f (0) × f (0) + f (0) - 3 = -3 .
令 y = 0 ，得 f (-1) = f (x) f (0) + f (0) + 2x -3，解得 f (x) = 2x -1，
则不等式 f (x) > 3 - 2x 转化为 2x + 2x - 4 > 0，
因为 y = 2x + 2x - 4是增函数，且 2 1+ 21 - 4 = 0，
所以不等式 f (x) > 3 - 2x 的解集为 (1, + ) .
故选：A
【变式 1-3】已知定义在R 上的单调函数 f x ，其值域也是R ，并且对于任意的 x, y R ，都有
f xf y = xy ，则 f 2022 等于（ ）
A．0 B．1 C． 20222 D． 2022
【答案】D
【解析】由于 f x 在R 上单调，且值域为R ，则必存在 y0 R ，使得 f y0 =1，
令 y = y0 得， f xf y0 = xy0，即 f x = y0x ，
于是"x, y R， f xf y = f xy0 y = y0 xy0 y = y20 xy = xy ，则 y0 = ±1，
从而 f x = ±x，有 f 2022 = 2022 .
故选：D
题型二：二次函数模型
【例 2】（2024·高三·河北保定·期末）已知函数 f (x) 满足："x， y Z，
f (x + y) = f (x) + f ( y) + 2xy +1 *成立，且 f (-2) =1，则 f 2n n N =（ ）
A． 4n + 6 B．8n -1 C． 4n2 + 2n -1 D．8n2 + 2n - 5
【答案】C
【解析】令 x = y = 0 ，则 f 0 = f 0 + f 0 +1，所以 f 0 = -1，
令 x = y = -1，则 f -2 = f -1 + f -1 + 2 +1 = 2 f -1 + 3 =1，
所以 f -1 = -1，
令 x = 1, y = -1，则 f 0 = f 1 + f -1 - 2 +1 = f 1 - 2 = -1，所以 f 1 =1，
令 x = n, y =1, n N*，则 f n +1 = f n + f 1 + 2n +1 = f n + 2n + 2，
所以 f n +1 - f n = 2n + 2，
则当 n 2时， f n - f n -1 = 2n，
则 f n = f n - f n -1 + f n -1 - f n - 2 +L+ f 2 - f 1 + f 1
2n + 4 n -1= 2n + 2n - 2 +L+ 4 +1 = +1 = n2 + n -1，
2
当 n = 1时，上式也成立，
f n = n2 *所以 + n -1 n N ，
2
所以 f 2n = 4n + 2n -1 n N* .
故选：C.
【变式 2-1】（2024·山东济南·三模）已知函数 f x 的定义域为 R，且 yf x - xf y = xy x - y ，则下
列结论一定成立的是（ ）
A． f 1 =1 B． f x 为偶函数
C． f x 有最小值 D． f x 在 0,1 上单调递增
【答案】C
【解析】由于函数 f x 的定义域为 R，且 yf x - xf y = xy x - y ，
令 y =1，则 f x - xf 1 = x x -1 ，得 f x = x2 + é f 1 -1ù x ，
x =1时， f 1 =12 + é f 1 -1 ù 恒成立，无法确定 f 1 =1，A 不一定成立；
由于 f 1 =1 2不一定成立，故 f x = x + é f 1 -1ù x 不一定为偶函数，B 不确定；
f x = x2由于 + é f 1 -1ù
1
x 的对称轴为 x = - × é f 1 -1ù 与 0,1 的位置关系不确定，2
故 f x 在 0,1 上不一定单调递增，D 也不确定，
由于 f x = x2 + é f 1 -1ù x 表示开口向上的抛物线，故函数 f x 必有最小值，C 正确，
故选：C
【变式 2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为R ，且满足
f (x) + f ( y) = f (x + y) - 2xy + 2, f (1) = 2，则下列结论正确的是（ ）
A． f (4) = 12 B．方程 f (x) = x 有解
f x 1 f x 1C． +

÷是偶函数 D． - ÷是偶函数
è 2 è 2
【答案】C
【解析】对于 A，因为函数 f (x) 的定义域为R ，且满足 f (x) + f ( y) = f (x + y) - 2xy + 2, f (1) = 2，
取 x = y =1，得 f (1) + f (1) = f (2) - 2 + 2，则 f (2) = 4 ，
取 x = y = 2，得 f (2) + f (2) = f (4) -8 + 2，则 f (4) =14，故A 错误；
对于 B，取 y =1，得 f (x) + f (1) = f (x +1) - 2x + 2，则 f (x +1) - f (x) = 2x，
所以 f (x) - f (x -1) = 2(x -1), f (x -1) - f (x - 2) = 2(x - 2),L, f (2) - f (1) = 2，
2(x -1) + 2 × (x -1)
以上各式相加得 f (x) f (1) - = = x2 - x ，
2
所以 f (x) = x2 - x + 2，
令 f (x) = x2 - x + 2 = x，得 x2 - 2x + 2 = 0，此方程无解，故 B 错误.
对于 CD，由B知 f (x) = x2 - x + 2，
f x 1
2
+ =
1
所以 ÷ x +

÷ - x
1
+ + 2 7= x2 + 是偶函数，
è 2 ÷ è 2 è 2 4
f x 1
2
-
1 1
= x - - x - 2
11
÷ ÷ ÷ + 2 = x - 2x + 不是偶函数，故 C 正确，D 错误.
è 2 è 2 è 2 4
故选：C.
【变式 2-3】（2024·河南·三模）已知函数 f x 满足： f 1 ≥3，且"x, y R，
9
f x + y = f x + f y + 6xy ，则 f i 的最小值是（ ）
i=1
A．135 B．395 C．855 D．990
【答案】C
【解析】由 f x + y = f x + f y + 6xy ，得 f x + y - 3 x + y 2 = f x - 3x2 + f y - 3y2 ，令
g x = f x - 3x2，得 g x + y = g x + g y ，
令 x = n, y =1，得 g n +1 - g n = g 1 ，
故 g n = ég n - g n -1 + g n -1 - g n - 2 + ×××+ g 2 - g 1 ù + g 1 = ng 1 ，又 g n = f n - 3n2，
f n = g n + 3n2所以 = 3n2 + é f 1 - 3ù n，
9 9 9 9
f i = 3 i2所以 + é f 1 - 3ù i = 855 + 45 é f 1 - 3 ù ，因为 f 1 ≥3，当 f 1 = 3时， f i 的最小值
i=1 i=1 i=1 i=1
为 855．
故选：C．
题型三：幂函数模型
【例 3】已知函数 f x 的定义域为 - ,0 U 0, + ，且 xf x = y +1 f y +1 ，则（ ）
A． f x 0 B． f 1 =1 C． f x 是偶函数 D． f x 没有极值点
【答案】D
【解析】令 g x = xf x ，则 g y +1 = y +1 f y +1 ，
所以 g x = g y +1 ，且 x, y +1为定义域内任意值，故 g x 为常函数.
令 g x = k ，则 f x k= ，为奇函数且没有极值点，C 错，D 对；
x
所以 f x 0不恒成立， f 1 =1不一定成立，A、B 错.
故选：D
【变式 3-1】（2024·河北·模拟预测）已知定义在 - ,0 U 0, + 上的函数 f x 满足
f xy f -x f -y 1= + + ，则（ ）
y x xy
A． f x 是奇函数且在 0, + 上单调递减
B． f x 是奇函数且在 - ,0 上单调递增
C． f x 是偶函数且在 0, + 上单调递减
D． f x 是偶函数且在 - ,0 上单调递增
【答案】A
【解析】令 x = y = -1，则 f 1 = -2 f 1 +1 1，所以 f 1 = ，
3
令 x = y =1，则 f 1 = 2 f -1 +1，所以 f -1 1= - ，
3
y = -1 f 1令 ，则 f -x = - f x 1- + - = - f 1 1-x + - = - f -x 2- ，
x x 3x x 3x
1
所以 f -x = - ，
3x
y =1 f f -1x f x 1 1 1 1 1 1令 ，则 = - + + = - - + = ，所以 f x = ，
x x 3x 3x x 3x 3x
因为 f -x 1= - = - f x ，且定义域关于原点对称，所以函数 f x 是奇函数，
3x
1
由反比例函数的单调性可得函数 f x = 在 0, + 上单调递减.
3x
故选：A.
题型四：指数函数模型
【例 4】（多选题）（2024·山西晋中·三模）已知函数 f x 的定义域为R ，满足
f x + y = f x f y + f x + f y ，且 f 0 -1， f 1 > -1，则下列说法正确的是（ ）
A． f 0 = 0 B． f x 为非奇非偶函数
C．若 f 1 =1，则 f 4 =15 D． f x > -1对任意 x N* 恒成立
【答案】ACD
【解析】我们有恒等式： f x + y +1 = f x f y + f x + f y +1 = f x +1 f y +1 .
对于 A，由恒等式可得 f 0 +1 = f 0 +1 f 0 +1 ，而 f 0 -1，故 f 0 +1 0，所以1 = f 0 +1，即
f 0 = 0，故 A 正确；
对于 B，由于 f x = 0满足条件且是偶函数，所以 f x 有可能是偶函数，故 B 错误；
对于 C，由恒等式可得 f x +1 +1 = f x +1 f 1 +1 ，故
f 4 +1 = f 3 +1 f 1 +1 = f 2 +1 f 1 +1 2 = f 41 +1 .
若 f 1 =1，则 f 4 4= f 1 +1 -1 = 24 -1 =15，故 C 正确；
对于 D，由恒等式可得 f x +1 +1 = f x +1 f 1 +1 .
而 f 1 +1 > 0，故 f x +1 +1和 f x +1同号（同为正数，或同为负数，或同为 0），
从而再由 f 1 +1 > 0可知 f x +1 > 0 x N* ，即 f x > -1 x N* ，故 D 正确.
故选：ACD.
【变式 4-1】已知函数 f x 满足， f p + q = f p × f q , f 1 = 3，则
f 2 1 + f 2 f 2 2 + f 4 f 2 3 + f 6 f 2 4 + f 8 f 2 5 + f 10
+ + + +
f 1 f 3 f 5 f 7 f 9 的值为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．75
【答案】B
【解析】Q f p + q = f p × f q ,\ f n +1 = f n × f 1 ,Q f 1 = 3\ f n +1 = 3 f n
\ f n = 3 3n-1 = 3n
f 2 1 + f 2 f 2 2 + f 4 f 2 3 + f 6 f 2 4 + f 8 f 2 5 + f 10
因此 + + + +
f 1 f 3 f 5 f 7 f 9
32 + 32 34 + 34 6= 3 + 3
6 38 + 38 310 + 310
+ 3 + 5 + 7 +3 3 3 3 39
=6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30
故选：B
f 2 f 4 f 6
【变式 4-2】如果 f a + b = f a f b 且 f 1 = 2 ，则 + + =f 1 f 3 f 5 （ ）
12 37
A． B． C．6 D．8
5 5
【答案】C
【解析】Q f 1 = 2， f a + b = f a f b ，
\ f 2 = f 1 f 1 ， f 4 = f 3 f 1 ， f 6 = f 5 f 1 ，
f 2 f 1 f 4 f 6\ = ， = f 1

f 1 f 3 ，
= f 1
f 5 ，
f 2 f 4 f 6
\ + + = 3 f

1 = 6
f 1 f 3 f 5 ，
故选：C．
【变式 4-3】已知函数 f x 对一切实数 a,b满足 f a + b = f a × f b ，且 f 1 = 2 ，若
é f n 2ù + f 2n
an =
n N* ，则数列 an 的前n项和为（ ）f 2n -1
A．n B． 2n C． 4n D．8n
【答案】C
【解析】∵函数 f x 对一切实数 a,b满足 f a + b = f a × f b ，且 f 1 = 2
∴ f n +1 = f n × f 1 =2 f n
∴数列 f n 是等比数列，首项为 2，公比为 2
∴ f n = 2n，n N*
é f n
2
2n 2n
所以 a =
ù + f 2n 2 + 2
n = = 4f 2n -1 22n-1
所以数列 an 的前n项和为 4n．
故选：C．
题型五：对数函数模型
【例 5】（多选题）已知函数 f x 的定义域为R ， f xy = y2 f x + x2 f y ，则（ ）．
A． f 0 = 0 B． f 1 = 0
C． f x 是偶函数 D． x = 0为 f x 的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为 f (xy) = y2 f (x) + x2 f (y) ，
对于 A，令 x = y = 0 ， f (0) = 0 f (0) + 0 f (0) = 0，故A 正确.
对于 B，令 x = y =1， f (1) =1 f (1) +1 f (1)，则 f (1) = 0，故 B 正确.
对于 C，令 x = y = -1， f (1) = f (-1) + f (-1) = 2 f (-1) ，则 f (-1) = 0，
令 y = -1, f (-x) = f (x) + x2 f (-1) = f (x)，
又函数 f (x) 的定义域为R ，所以 f (x) 为偶函数，故C 正确，
对于 D，不妨令 f (x) = 0 ，显然符合题设条件，此时 f (x) 无极值，故D 错误.
方法二：
因为 f (xy) = y2 f (x) + x2 f (y) ，
对于 A，令 x = y = 0 ， f (0) = 0 f (0) + 0 f (0) = 0，故A 正确.
对于 B，令 x = y =1， f (1) =1 f (1) +1 f (1)，则 f (1) = 0，故 B 正确.
对于 C，令 x = y = -1， f (1) = f (-1) + f (-1) = 2 f (-1) ，则 f (-1) = 0，
令 y = -1, f (-x) = f (x) + x2 f (-1) = f (x)，
又函数 f (x) 的定义域为R ，所以 f (x) 为偶函数，故C 正确，
2 2 f (xy) f (x) f (y)对于 D，当 x y 0时，对 f (xy) = y2 f (x) + x2 f (y) 两边同时除以 x2 y2 ，得到 x2
=
y2 x2
+
y2 ，
f (x) ìx2 ln x , x 0
故可以设 2 = ln x (x 0)，则 f (x) = í ，x 0, x = 0
1
当 x > 0肘， f (x) = x2 ln x ，则 f x = 2x ln x + x2 × = x(2 ln x +1) ，
x
令 f x < 0 1，得 - - 10 < x < e 2 ；令 f x > 0，得 x > e 2 ；
1- 1-
故 f (x) 在 0,e 2 ÷上单调递减，在 e 2 , + ÷上单调递增，
è è
1 1- -
因为 f (x) 为偶函数，所以 f (x) 在 -e 2 ,0÷上单调递增，在 - , e 2 ÷上单调递减，
è è
显然，此时 x = 0是 f (x) 的极大值，故 D 错误.
故选：ABC .
【变式 5-1】已知定义在 0, + 上的函数 f x ，满足 f xy 1+1 = f x + f y 11，且 f 2 ÷ = 0，则 f 2 =è
（ ）
A．1 B．11 C．12 D．-1
【答案】C
【解析】令 x = y =1，则 f 1 +1 = f 1 + f 1 ，解得 f 1 =1，
令 x = 2, y
1
= ，则 f 1 +1 1= f 2 + f
2 ÷
，解得 f 2 = 2，
è 2
令 x = y = 2 2，则 f 2 +1 = f 2 + f 2 ，解得 f 22 = 3，
x = 22 , y = 2 f 23令 ，则 +1 = f 22 + f 2 3，解得 f 2 = 4，
，
依次类推可得 f 211 =12。
故选：C
【变式 5-2】（2024·四川凉山·三模）已知 f x 为定义在 R 上且不恒为零的函数，若对"x, y R，都有
f xy = xf y + yf x 成立，则下列说法中正确的有（ ）个．
① f 0 = f 1 = 0；
②若当 x >1时， f x > 0 f x，则函数 g x = 在 0, + 单调递增；
x
n
③对"n N* ， f x = nxn-1 f x ；
1 1 n f 2if ④若 ÷ = - ，则2 2 = 2
n - 2 .
è i=1 i
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】令 x = y = 0 有 f 0 = 0，令 x = y =1有 f 1 = 0 . 所以①正确.
f xy xf y + yf x f x f y0 < x1 < x

2 ，因为 g x
f x
= ，所以 g xy = = = + = g x + g y ，
x xy xy x y
g x g x x x所以 2 = × 21 ÷ = g x1 + g
x 2
x
2
x ÷
，又因为 >1x ，且当 x >1时，
f x > 0，
è 1 è 1 1

f x 2 x ÷
所以 g x - g x = g x2 = è 1 2 1 ÷ > 0 . 所以②正确.
è x x1 2
x1
当 x = 0时由①可得③成立；
当 x 0 ② g xn = g x + g xn-1 n n-1时，由 得 ，所以 g x = g x - g x ，
所以 g x = g xn - g xn-1 = g xn-1 - g xn-2 = …… = g x2 - g x ，
n f xn f x n
累加得 g x = g x + n -1 g x = ng x ，即 = n ，所以 f x = nxn-1 f x ，所以③正确．
xn x
1 y 2 1 f 2 2 f 1 f 1 0 f 1 1令 x = ， = ，由①得 + ÷ = = ，又因为 ÷ = - ，所以 f 2 = 2，2 2 è 2 è 2 2
f xn③ f 2
n
由 得 = xn-1 f x ，所以 = 2n-1 f 2 = 2n，
n n
f 2ii=1 i=1 n+1 所以 = 2i = 2 + 22 2 - 2+ 23 + ......+ 2n = = 2n+1 - 2，所以④错误．
n i n 1- 2
故选：C
【变式 5-3】（2024·山西·一模）已知函数 f x 是定义在 x∣x 0 上不恒为零的函数，若
f x f y
f xy = 2 + 2 ，则（ ）y x
A． f 1 =1 B． f -1 =1
C． f x 为偶函数 D． f x 为奇函数
【答案】C
【解析】令 x = y =1，则 f 1 = 2 f 1 ，故 f 1 = 0，A 选项错误；
令 x = y = -1，则 f 1 = 2 f -1 ，故 f -1 = 0，B 选项错误；
令 y = -1
f -1
，则 f -x = f x + 2 = f x ，故 f x 为偶函数，C 选项正确；x
因为 f x 为偶函数，又函数 f x 是定义在 x∣x 0 上不恒为零的函数，D 选项错误.
故选：C
题型六：正弦函数模型
【例 6】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为 R，且
f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y), f (1) = 2, f (2) = 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
2024
A． f (x) 为偶函数 B． f (3) = -2 C． f (-1) = f (5) D． f (k) = -2
k =2
【答案】BD
2
【解析】令 x = y = 0 ，则 f 0 = 0 f 0 = 0 .
另令 x = 0，则 f y f -y = - f 2 y ，由 f 1 = 2 ，所以 f y 0 不成立，
所以 f -y = - f y ，所以函数 f x 为奇函数，故 A 错误；
令 x = 2， y =1，则 f 3 f 1 = f 2 2 - f 2 1 f 3 = -2 ，故 B 正确；
令 x = 3， y = 2，则 f 5 f 1 = f 2 3 - f 2 2 f 5 = 2，
又 f -1 = - f 1 = -2，所以 f -1 = - f 5 ，故 C 错；
y = 2 f x + 2 f x - 2 = f 2 x - f 2 2 = f 2令 得 x .且 f 1 = 2 ， f 3 = -2 ， f 5 = 2 .
所以 f 7 f 3 = f 2 5 f 7 = -2 f 9 f 5 = f 2； 7 f 9 = 2； f 11 f 7 = f 2 9 f 11 = -2
L
所以 f 2k +1 = -1 k 2，又 f 0 = 0， f 2 = 2，
所以 f 6 f 2 = f 2 4 f 4 = 0 ； f 8 f 4 = f 2 6 f 6 = 0 L
所以 f 2k = 0；
所以 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = f 5 + f 6 + f 7 + f 8 = L =
f 4k +1 + f 4k + 2 + f 4k + 3 + f 4k + 4 = 0
2024 2024
所以 f k = f k - f 1 = 0 - f 1 = -2，故 D 正确.
k =2 k =1
故选：BD
【变式 6-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，且
f (x + y) f (x - y) = f 2 (x) - f 2 (y), f (1) =1, f (2) = 0，则下列说法中正确的是（ ）
2023
A． f (x) 为偶函数 B． f (3) = -1 C． f (-1) = - f (5) D． f (k) =1
k =1
【答案】BC
【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式： sin2 A - sin2 B = sin(A + B)sin(A - B)．
证明过程如下：
sin2 A - sin2 B = (sin A + sin B)(sin A - sin B)
A + B A - B A + B A - B = sin + ÷ + sin - ÷÷ × sin
A + B A - B+ - sin A + B A - B-
è è 2 2
÷ ÷÷
è 2 2 è è 2 2 è 2 2
= 2sin
A + B cos A - B ÷ 2sin
A - B cos A + B
2 2 ÷è è 2 2
= 2sin
A + B cos A + B 2sin A - B cos A - B
è 2 2 ÷ è 2 2 ÷
= sin(A+ B)sin(A- B)．
π π
由题意，可以令 f (x) = sin x ，因为 f (x) = sin x 为奇函数，故选项 A 错误．
2 2
因为 f (3) = -1，故选项 B 正确．
因为 f (-1) = -1 = - f (5)，故选项 C 正确．
2023
因为T = 4,2023 4 = 505LL3，故 f (k) = f (1) + f (2) + f (3) = 0，故选项 D 错误．
k =1
方法二：对于选项 A，因为 f (x) 的定义域为R ，
令 x = y = 0 ，则 f (0) f (0) = f 2 (0) - f 2 (0)，故 f 2(0) = 0 ，则 f (0) = 0，
令 x = 0，则 f (y) f (-y) = f 2 (0) - f 2 (y) ，
又 f (y) 不恒为 0，故 f (-y) = - f (y)，
所以 f (x) 为奇函数，故 A 错误．
对于选项 B，令 x = 2, y =1，则 f (3) f (1) = f 2 (2) - f 2 (1)．
而 f (1) =1, f (2) = 0，所以 f (3) = -1，故选项 B 正确．
对于选项 C，由选项 B 可知， f (3) = -1，
令 x = 3, y = 2，则 f (5) f (1) = f 2 (3) - f 2 (2) ，所以 f (5) =1．
又因为 f (x) 为奇函数，所以 f (-1) = - f (1) = -1，故 C 正确．
对于选项 D，由选项 B 以及 f (x + 2) f (x - 2) = f 2 (x)，可得 f (7) = -1, f (9) =1, f (11) = -1，
所以 f (2k +1) = (-1)k ，同理可得 f (2k) = 0．
2023
因为 2023 4 = 505LL3，故 f (k) = f (1) + f (2) + f (3) = 0，故 D 错误．
k =1
故选：BC
题型七：余弦函数模型
【例 7】（多选题）已知定义域为R 的函数 f x 满足 f (x + y) = f (x) × f (y) - f (2 - x) f (2 - y) ，且
f 0 0, f -2 = 0，则（ ）
A． f 2 =1
B． f x 是偶函数
C．[ f (x)]2 + [ f (2 + x)]2 =1
D． f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2024 =1
【答案】BC
【解析】A. f x + y = f x × f y - f 2 - x × f 2 - y ，
令 x = 0, y = 2，则 f 2 = f 0 × f 2 - f 2 × f 0 = 0 ，故 A 错误；
令 x = y = 0 ，则 f 0 = f 0 × f 0 - f 2 × f 2 = f 0 × f 0 ，又 f 0 0 ，所以 f 0 =1，
令 y = 2，则 f x + 2 = f x × f 2 - f 2 - x × f 0 = - f 2 - x ，
所以函数 f x 关于 2,0 对称，
令 x = y = 2，则 f 4 = f 2 × f 2 - f 0 × f 0 = -1，
令 y = 4 ，且 f -2 = 0，则 f x + 4 = f x × f 4 - f 2 - x × f -2 = - f x = - f -x ，所以 f x =f -x ，
又函数 f x 的定义域R ，所以函数 f x 为偶函数，故 B 正确；
令 y = -x，则 f 0 = f x × f -x - f 2 - x × f 2 + x ，
又 f 0 =1, f x = f -x , f x + 2 = - f 2 - x 2，所以 é f x ] + é f 2 + x ]2 =1，故 C 正确；
因为 f x + 4 = - f x ，所以 f x + 8 = - f x + 4 = f x ，所以函数 f x 的一个周期为 8，
令 x = 2, y =1，则 f 3 = f 2 × f 1 - f 0 × f 1 = - f 1 ，所以 f 3 + f 1 = 0，
所以 f -3 + f -1 = 0，所以 f 5 + f 7 = f -3 + f -1 = 0，
f 6 = f -2 = f 2 = 0, f 8 = f 0 =1，
所以 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8
= é f 1 + f 3 + f 5 + f 7 ù + f 2 + f 4 + f 6 + f 8 = 0 + 0 + 0 -1+ 0 +1 = 0，
所以 f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 2024 = 253 é f 1 + f 2 + f 3 +L+ f 8 ù = 0，故 D 错误.
故选：BC
【变式 7-1】（多选题）（2024·辽宁·二模）已知定义城为 R 的函数 f x ．满足
f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y ，且 f 0 0 ， f -1 = 0，则（ ）
A． f 1 = 0 B． f x 是偶函数
2024
2 2
C． é f x ù + é f 1+ x ù = 1 D． f i = -1
i
【答案】ABC
【解析】对于 A 项，由 f x + y = f x f y - f 1- x f 1- y ，
1 2 2x = y = f 1 é 1 ù é 1 ù令 ，则 =2 ê f ÷ú - ê f ÷ú = 0，故 A 项正确； è 2 è 2
对于 B 项，令 x = y = 0
2 2 2
，则 f 0 = é f 0 ù - é f 1 ù = é f 0 ù ，
因 f 0 0 ，故 f 0 =1，
令 y =1，则 f x +1 = f x f 1 - f 1- x f 0 = - f 1- x ①，
所以函数 f x 关于点 1,0 成中心对称，
令 x = y =1，则 f 2 2 2= é f 1 ù - é f 0 ù = -1，
令 y = 2，则 f x + 2 = f x f 2 - f 1- x f -1 = - f x ②，
由①可得： f x + 2 = - f -x ③，由②③可知： f -x = f x ，
且函数 f x 的定义域为R ，则函数 f x 是偶函数，故 B 项正确；
对于 C 项，令 y = -x，则 f 0 = f x f -x - f 1- x f 1+ x ，
因为 f 0 =1， f -x = f x ， f x +1 = - f 1- x ，代入上式中得，
2
故得： é f x ù + é f 1+ x
2
ù =1，故 C 项正确；
对于 D 项，由上可知： f x + 2 = - f x ，则 f x + 4 = - f x + 2 = f x ，
故函数 f x 的一个周期为 4，故 f 4 = f 0 =1，
令 x = 2, y =1，则 f 3 = f 2 f 1 - f -1 f 0 = 0，
所以 f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 0 + -1 + 0 +1 = 0，
2024
则 f (i) = 254 0 = 0，故 D 项错误．
i=1
故选：ABC．
【变式 7-2】（2024·吉林·模拟预测）已知函数 f (x) 的定义域为R ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)，
2024
f (0) =1， f (3x +1) = - f (-3x +1) ，则 f (k) = （ ）
k =0
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】D
【解析】由题意知函数 f (x) 的定义域为R ，且 f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)， f (0) =1，
令 x = 0，则 f (y) + f (-y) = 2 f (y)，即 f (-y) = f (y)，故 f (x) 为偶函数；
又 f (3x +1) = - f (-3x +1) ，令 x = 0，则 f (1) = - f (1),\ f (1) = 0，
又由 f (3x +1) = - f (-3x +1) ，得 f (x +1) + f (-x +1) = 0，
即 f (x) 的图象关于点 (1,0)成中心对称，则 f (2) = - f (0) = -1；
f (x +1) + f (-x +1) = 0，即 f (x + 2) = - f (-x)，又结合 f (x) 为偶函数，
则 f (x + 2) = - f (x) ，故 f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x) ，即 4 为 f (x) 的周期，
故 f (3) = f (-1) = f (1) = 0， f (4) = f (0) = 1
2024
故 f (k) = f (0) + [ f (1) + f (2) +L+ f (2024)] =1+ 506[ f (1) + f (2) + f (3) + f (4)]
k =0
=1+ 506[0 -1+ 0 +1] =1，
故选：D
【变式 7-3】（2024·安徽·模拟预测）若定义在R 上的函数 f x ，满足
2 f x + y f x - y = f 2x + f 2y ，且 f 1 = -1，则 f 0 + f 1 + f 2 + ×××+ f 2024 = （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
【答案】D
x y 1【解析】令 = = ，则有 2 f 1 f 0 = f 1 + f 1 ，
2
又 f 1 = -1，∴ f 0 =1 1.令 x = ， y = 0 .
2
2 f 1 f 1 1 则有 2 ÷ 2 ÷
= f 1 + f 0 = -1+1 = 0，∴ f ÷ = 0 .
è è è 2
令 y = x
1
- ，则有 2 f 2x
1
- f 1 ÷ ÷ = f 2x + f 2x -1 .2 è 2 è 2
∵ f
1
÷ = 0，∴ f 2x + f 2x -1 = 0，∴ f x + f x -1 = 0，
è 2
∴ f 0 + f 1 + f 2 + ××× + f 2024
= f 0 + é f 1 + f 2 ù + ××× + é f 2023 + f 2024 ù =1+1012 0 =1 .
故选：D.
题型八：正切函数模型
【例 8】定义在 -1,1 上的函数 f x 满足： f x - f y x - y = f ÷，当 x -1,0 时，有 f x > 0，且
è1- xy
f 1 m f 1- = 1 = + f 1 1 * 2 ÷ ．设 ÷ ÷ +L+ f 2 ÷ , n 2, n N ，则实数
m与-1的大小关系为（
5 11 n n 1 ）è è è è + -
A．m < -1 B．m = -1 C．m > -1 D．不确定
【答案】C
x - y
【解析】Q 函数 f x 满足 f x - f y = f ÷，令 x = y = 0 得 f 0 = 0 ；
è1- xy
令 x = 0 得- f y = f -y ,
\ f x 在 -1,1 为奇函数，
又 x -1,0 时，有 f x > 0，所以 x 0,1 时，有 f x < 0 ，
x - x
设 -1 < x1 < x2 < 1 x
2 1
，所以 1x2 <1，x2 - x1>0，所以 >01- x ，2x1

则 f x x- f x = f 2
- x1
2 1 ÷ < 0，所以 f x2 - f x1 < 0，即 f x1- x x 2 < f x1 ，è 2 1
\ f x 在 -1,1 是单调减函数，在 0,1 时， f x < 0 ，
1 1
f 1 1, f 1
-
f n n +1
÷
f 1 f 1 又 = - \ =2 ÷ n2 + n -1÷ 1 1 ÷
= ÷ - ，
è è 1- ÷ è n è n +1
÷

è n n +1
1
\m = f ÷ + f
1 + ... f 1+ ÷ ÷
è 5 è11 è n2 + n -1
= é 1 1 ù éê ÷ - ÷ú + ê f
1 f 1 ù é 1 1 ù ÷ - ÷ú + ...+ f
- f ÷ ÷
è 2 è 3
ê ú
è 3 è 4 è n è n +1
f 1 f 1 1 f 1= ÷ - ÷ = - -2 n +1 ÷
> -1，即m > -1 ，
è è è n +1
故选：C.
【变式 8-1】（2024·浙江·二模）已知函数 f x 满足对任意的 x, y 1,+ 且 x < y 都有
f x - y f 1 f 1 1 ÷ = ÷ - ÷，若 an = f

÷， n N*2 ，则 a1 + a1- xy x y n + 5n + 5 2
+ a3 +L+ a2024 =（ ）
è è è è
f 253 253 A． ÷ B． f ÷ C． f
253 f 253 D．
è 385 è 380 765 ÷ è è 760 ÷
【答案】D
x - y 1 1
【解析】∵函数 f x 满足对任意的 x, y 1, + 且 x < y 都有 f = f - f
è1- xy
÷ ÷ ÷
è x è y
x - y n + 2 - n + 3 1
∴令 x = n + 2, y = n + 3，则 = =1- xy 1- n + 2 n ，+ 3 n2 + 5n + 5
a f 1 1 1= = f - f ∴ n
è n2 + 5n + 5 ÷ n + 2 ÷ ÷ è è n + 3
a a a L a f 1 1 1+ + + + = 1 1 1 ∴ 1 2 3 2024 - f + f - f +L+ f - f
è 3 ÷ 4 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ è è 4 è 5 è 2026 è 2027
f 1 f 1 f 3- 2027 f 253= - = = 3 ÷ ÷
.
è è 2027 è1- 3 2027 ÷ è 760 ÷
故选：D
1
1．已知函数 f (x)

对于一切实数 x, y 均有 f (x + y) - f (y) = x(x + 2y +1) 成立，且 f (1) = 0，则当 x 0, 2 ÷时，è
不等式 f (x) + 2 < loga x 恒成立，则实数 a的取值范围是（ ）．
3 4 é 3 3 4 é 3 4
A． ,1÷÷ (1,+ )
4
4 B． ê
,1 (1,+ )
4 ÷÷ C． è
,1
4 ÷÷
D． ê ,1÷
è ÷ 4
【答案】D
【解析】∵函数 f (x) 对于一切实数 x, y 均有 f (x + y) - f (y) = x(x + 2y +1) 成立，
∴令 x =1, y = 0得， f (1) - f (0) = 2 ，又 f (1) = 0，
∴ f (0) = -2，
∴令 y = 0 得， f (x) - f (0) = x(x +1)，即 f (x) = x2 + x - 2，
当 x

0,
1
时，不等式 f (x) + 2 < log x 恒成立，
è 2 ÷ a
x 1∴当
2
0, ÷时， x + x < log
è 2 a
x恒成立，
g x x2 x x 0, 1 1令 = + ， ÷，则 g x = x2 + x 0, 在2 ÷上单调递增，è è 2
∴ g x 3 0, ÷，
è 4
x 0, 1 2∴要使当 ÷时， x + x < loga x恒成立，è 2
3 1
则 loga x 在4
0, ÷上恒成立，
è 2
当 a > 1时， loga x < 0，不成立，
1 3 3
当 0 < a < 1时，则有 loga
4
，所以
2 4 a <1
.
4
故选：D.
2．设函数 f：R→R 满足 f(0)＝1，且对任意 x, y R ，都有 f xy +1 = f x f y - f y - x + 2，则
f 2017 ＝（ ）
A．0 B．2018 C．2 017 D．1
【答案】B
【解析】Q f xy +1 = f x f y - f y - x + 2，
令 x = y = 0 ，得 f 1 =1-1- 0 + 2 ，
\ f 1 = 2，
令 y = 0, f 1 = f x f 0 - f 0 - x + 2，又 f 0 =1，
\ f x = x +1，
\ f 2017 = 2017 +1 = 2018，故选 B.
3． f x 满足对任意的实数 a,b都有 f a + b = f a f b ，且 f 1 = 2 ，则
f 2 f 4 f 6 f 2018
+ + +L+ =
f 1 f 3 f 5 f 2017 （ ）
A．2017 B．2018 C．4034 D．4036
【答案】B
【解析】Q f x 满足对任意的实数 a,b都有 f a + b = f a × f b ,\令b =1得
f a +1 f 2 f 4 f 6 f 2016 f 2018f a +1 = f a f 1 , × \ = f
1 2 = \ = = = ... = = = 2
f a ， f 1 f 3 f 5 f 2015 f 2017 ，
f 2 f 4 f 6 f 2016 f 2018
\ + + + ...

+ + =1009 2 = 2018
f 1 f 3 f 5 f 2015 f 2017 ，故选 B.
f (2) f (4) f (6) f (2016)
4．如果函数 f (x) 对任意 a,b满足 f (a + b) = f (a) f (b) ，且 f (1) = 2，则 + + +L+ =f (1) f (3) f (5) f (2015)
A．4032 B．2016 C．1008 D．504
【答案】B
f a +1
【解析】在 f (a + b) = f (a) f (b) 中令b =1，则有 f a +1 = f a × f 1 = 2 f a ，所以 = 2f a ，所以
f (2) f (4) f (6) L f (2016)+ + + +
f (1) f (3) f (5) f (2015) ＝ 2 + 2 + 2 +L+ 2 = 2 1008 = 2016，故选 B．
考点：1、函数解析式；2、新定义．
f x x y f (xy) f (x) + f ( y)5．设函数 的定义域为R ，对任意实数 ， ，只要 x + y 0 ，就有 = x y 成立，则函+
数 f (x) （ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】C
y = x f x2 f (x) + f (x) f (x)【解析】令 ,则 = = ，x + x x
∵ f x2 = f ( x)2 f (-x) + f (-x) f (-x)- = = -(-x) ,+ (-x) x
f (x) f (-x)
∴ = - ,即 f (-x) = - f (x) ,其中 x 0 ,
x x
f (0) f (0 1) f (0) + f (1)∵ = = = f (0) + f (1) ,
0 +1
∴ f (1) = 0, f (-1) = - f (1) = 0 .
f (0) f (0 ( 1)) f (0) + f (-1)∵ = - = = - f (0) ,∴ f (0) = 0 .
0 -1
f (1) + f (x) f (x)
∵ f (x) = f (1 x) = = (x 0, x -1) ,
1+ x 1+ x
∴ f (x) = 0(x 0, x -1) .
综上,知 f (x) = 0(x R) ,
∴函数 f (x)(x R)既是奇函数又是偶函数.
故选：C
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ， f x f y - f x = xy - y，则（ ）
A． f 0 = 0 B． f -1 =1
C． f x +1 为偶函数 D． f x +1 为奇函数
【答案】D
【解析】当 f x = 0时， f x f y - f x = xy - y不恒成立，故 f 0 =1，A 错误．
B：解法一 令 x = 0，得 f 0 f y - f 0 = -y，又 f 0 =1，所以 f y =1- y ，
故 f -1 =1+1 = 2 ，B 错误．
解法二 令 x = 0, y = -1，得 f 0 f -1 - f 0 =1，又 f 0 =1，所以 f -1 = 2，B 错误．
C：解法一 由 B 选项的解法一可知 f x =1- x，则 f x +1 = -x ，所以 f x +1 为奇函数，C 错误，D 正
确．
解法二 令 x = 0, y = 2，得 f 0 f 2 - f 0 = -2，又 f 0 =1，所以 f 2 = -1，
所以 f 0 + f 2 = 0，结合选项得 C 错误，D 正确．
综上可知，选 D．
故选：D.
7．设函数 y = f x 的定义域为 (0, + )， f xy = f x + f y ，若 f 9 = 6，则 f 3 3 等于（ ）
3 9
A． B．2 C 9． D．
2 4 2
【答案】D
【解析】因为 f xy = f x + f y ，
令 x = y = 3，则 f 3 + f 3 = f 9 ，即 2 f 3 = 6，可得 f 3 = 3；
3
令 x = y = 3 ，则 f 3 + f 3 = f 3 ，即 2 f 3 = 3，可得 f 3 = ；2
3 9
令 x = 3, y = 3 ，可得 f 3 3 = f 3 + f 3 = 3 + = .2 2
故选：D.
8．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R,"x, y R ，
f x + y - f x - y = 2 f 1 - x 1 2 ÷ f y ，且 f ÷ =1，则（ ）è è 2
A． f x 为偶函数
f x 2 f x f 1- xB． =
è 2 ÷ ÷ è 2
C． f 1 + 2 f 2 + 3 f 3 + ×× × + 2023 f 2023 = 1
2
D．[ f x ]2 é+ f 1 ùê - x
= 1
è 2
÷
ú
【答案】BD
x, y R, f x y f x 1【解析】因为" + - + y = 2 f - x ÷ f y 2 ，è
令 x = 0，得 f y - f 1- y = 2 f ÷ f y = 2 f y ，即 f -y = - f y 2 ，所以函数 f x 为奇函数，故选项è
A 不正确；
x x y x x x x x= f + - f - = 2 f 1 x x- × f 1- x x 用 替换 ，令 ，得
2 2 ÷ ÷ ÷ ÷
，即 f x - f 0 = 2 f ÷ f ÷，
è 2 2 è 2 2 è 2 2 è 2 è 2 è 2
f x f 0 0 f x 2 f 1- x x= = 又函数 为奇函数，所以 ，所以 f2 ÷ 2 ÷，故选项 B 正确；è è
1
令 x = ，得 f
1 y 1+ ÷ - f - y ÷ = 2 f 0 × f y = 02 è 2 ， è 2
f 1 + y = f 1 - y f y 1即 ÷ ÷ = - -

÷ ，即 f y +1 = - f y 2 2 2 ，è è è
所以 f y + 2 = - f y +1 = f y ，所以函数 f x 的周期为 2，
1- x
再由 f x = 2 f ÷ f
x x 1 f 1 = 2 f 0 × f 1
2 2 ÷，令
= ，可得 ÷ = 0，
è è è 2
由函数的周期性可知， f 1 = f 3 = f 5 = ×× × = f 2023 = 0， f 2 = f 4 = f 6 = ×× × = f 2022 = 0，
所以 f 1 + 2 f 2 + 3 f 3 + ×× × + 2023 f 2023 = 0 ，故选项 C 不正确；
由 f x + y - f x - y = 2 f 1 - x

÷ f y 2 ，è
y 1
2
令 = - x f x 1 1 é 1 ù，得 + - x
- f ÷ x - + x ÷ = 2 ê f - x

，
2 è 2 ÷ è 2 è 2 ú
2
即1- f 2x 1 2 é- = f 1 ù ÷ ê - x
①．
è 2 ÷ è 2 ú
由 f x + y - f x - y = 2 f 1 - x

÷ f y 2 ，è
1 1
令 x
1
= - y ，得 f - y + y

÷ - f

- y - y

÷ = 2[ f y ]22 2 ，2 è è
1 f 1即 - - 2 y
1
÷ = 2[ f y ]2
2
2 ，可得
1- f - 2x2 ÷
= 2[ f x ] ②．
è è
2 2
由①+② é 1 ù é 1 ù整理后可得2 = 2 f 2 2ê - x ÷ú + 2[ f x ] ，即[ f x ] +è 2 ê
f - x ÷ú = 1，故选项 D 正确.
è 2
故选：BD．
3 39 ．（多选题）已知函数 f (x) 的定义域为R ， f (x + y) - f (x - y) = f x + f2 ÷
y + ÷， f (0) 02 ，则（ ）è è
f 3 A． ÷ = 0 B． f (0) = -2
è 2
2022 k
C． f (x)

的一个周期为 3 D． f ÷ = 2
k =1 è 2
【答案】ABD
x = y = 0 f (0) - f (0) = f 2 3 【解析】令 ，则 ÷，所以 f
3
÷ = 0 A2 ， 选项正确；è è 2
令 x = 0，则 f (y) - f ( y) f
3
- = f 3 ÷ y +
= 0
2 2 ÷ ，即
f (y) = f (-y)，
è è
所以 f (3) = f (-3)
3
，令 x = y = ，则 f (3) - f (0) = f 2 (3)，
2
令 x
3
= y = - ，则 f (-3) - f (0) = f 2 (0) = f (3) - f (0)，所以 f 2 (0) = f 2 (3)，
2
因为 f 2
2
(0) + f (0) = f (3)，所以 é 2 f (0) + f (0)ù = f
2 (3)，
2
所以 f 2 (0) + f (0) = f 2 (0) ，
因为 f (0) 0，所以 f (0) = -2， f (3) = 2，B 选项正确；
3 3 3 3
令 y = -

，则 f x - ÷ - f x + ÷ = f x + ÷ f (0)
3
= -2 f
2
x + ÷ ，
è 2 è 2 è 2 è 2
f x 3- + f x 3 0 f x 3 f x 9 所以 ÷ + ÷ = ， + ÷ + + = 0
è 2 è 2 è 2 è 2 ÷
，

所以 f x
3 9
- ÷ = f

x +

÷，所以 f x = f x + 6 ，
è 2 è 2
由此可知： f (x) 的一个周期为 6，C 选项错误；
f x 3 3因为 -
+ f ÷ x + ÷ = 0，且 f (y) = f (-y)，
è 2 è 2
f 1 f 5 f 1 5令 x =1， - ÷ + =

2 2 ÷
+ f
2 ÷ ÷
= 0 ，
è è è è 2
1
令 x = ， f (-1) + f (2) = f (1) + f (2) = 0，
2
3
且 f (3) = 2， f = 0，
è 2 ÷
f 1 f (1) f 3 f (2) f 5所以 ÷ + + ÷ + +

+ f (3) = 2
è 2 è 2 è 2 ÷
，

f x 3由 -

÷ + f x
3
+ ÷ = 02 2 可知，
f (x) + f (x + 3) = 0，所以
è è
f 1 ÷ + f (1)
3
+ f ÷ + f (2) f
5 f (3) f 7 f (4) f 9 f (5) f 11+
2 2 ÷
+ +
2 2 ÷
+ + 2 ÷
+ + ÷ + f (6) = 0，
è è è è è è 2
因为 f (x) 的一个周期为 6，且 2022 =12 168 + 6，
2022 k
所以 f ÷ = f (3) = 2，D 选项正确.
k =1 è 2
故选：ABD．
10．（多选题）（2024·江西九江·二模）已知函数 f x 的定义域为R ，"x, y R，
f xy + xy = xf y + yf x ，则下列命题正确的是（ ）
A． f x 为奇函数 B． f x 为R 上减函数
10
C．若 x 0，则 xf
1 1
÷ + f x 为定值 D．若 f 2 = 2，则x x f 2
k = 2046
è k =1
【答案】ACD
【解析】因为"x, y R， f xy + xy = xf y + yf x ，
令 x = y =1，可得 f 1 +1= f 1 + f 1 ，则 f 1 =1，
令 x = y = -1，可得 f 1 +1 = - f -1 - f -1 ，则 f -1 = -1，
令 x = y = 0 ，可得 f 0 = 0，
令 y = -1，可得 f -x - x = xf -1 - f x ，所以 f -x = - f x ，所以 f x 为奇函数，故 A 正确；
因为 f -1 = -1、 f 1 =1，所以 f x 不可能为R 上减函数，故 B 错误；
y 1令 = x 0 可得 f 1 +1 = xf 1 1 1 1 ÷ + f x ，所以 xf ÷ + f x = 2 Cx ，故 正确；è x x è x x
令 y = 2可得 f 2x + 2x = xf 2 + 2 f x ，因为 f 2 = 2，
所以 f 2x = 2 f x f 4 = 2 f 2 = 22 f 8 = 2 f 4 = 23，所以 ， ，LL，
n n
所以 f 2 = 2 ，
10 2 1- 210
所以 f 2k = 21 + 22 +L+ 210 = = 2046，故 D 正确.
k =1 1- 2
故选：ACD
11．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知函数 f (x) 满足 f (x) f (y) = f (xy)+ | x | + | y |，则（ ）
A． f (0) =1 B． f (1) = -1 C． f (x) 是偶函数 D． f (x) 是奇函数
【答案】AC
【解析】令 y = 0 ，则 f 0 f x = f 0 + x ，
令 x = y = 0 ，则 é f
2
0 ù = f 0 ，解得 f 0 = 0或 f 0 =1，
若 f 0 = 0，则 x = 0 恒成立，不合题意，故 f 0 =1，A 选项正确；
f 0 =1，则 f x =1+ x , f -1 = 2，B 选项错误；
函数 f x =1+ x ，定义域为 R， f -x =1+ -x =1+ x = f x ，
f x 为偶函数，C 正确，D 错误.
故选：AC
12．（多选题）（2024·广西·二模）已知函数 y = f x 的定义域与值域均为Q+ ，且

2
f y f x + y ÷ = f x + f 2 y + txf y t N* ，则（y ）è
A． f 1 =1 B．函数 f x 的周期为 4
C． f x = x2 x Q+ D． t = 2
【答案】ACD
【解析】令 x = y 得 f x f x +1 = f x + f 2 x + txf x t Z* ，即 f x +1 =1+ f x + tx t Z* ①，
令 y =1，得 f 1 f x +1 = f x + f 2 1 + txf 1 t Z* ②，
联立①② f 1 =1，故 A 正确；
令 x = y2 = 4，得 f 2 f 4 = f 4 + f 2 2 + 4tf 2 t Z* ③，
由①， f 2 =1+ f 1 + t = t + 2 t Z* ， f 4 =1+ f 3 + 3t =1+ é1+ f 2 + 2tù + 3t = 6t + 4 t Z* ，
将它们代入③整理可得 t t - 2 = 0，所以由 t Z* t = 2，故 D 对；
2
由 f x +1 =1+ f x + 2x可知 f x 为一元二次函数，设 f x = ax + bx + c ，
则有 a x +1 2 + b x +1 + c = ax2 + bx + c + 2x +1，
整理得 2ax + a + b = 2x +1 a =1,b = 0，又由 f 1 = a + b + c =1 c = 0，
所以 f x = x2 x Q+ ，经验证满足题设要求，故 B 错 C 对，
故选：ACD.
13．（多选题）已知非常数函数 f x 的定义域为R ，且 f x f y = f xy + xy x + y ，则（ ）
A． f 0 = 0 B． f 1 = -2或 f 1 =1
f
C x ． 是 x x R且x 0 上的增函数 D． f x 是R 上的增函数
x
【答案】AC
【解析】在 f x f y = f xy + xy x + y 中，
令 y = 0 ，得 f 0 f x = f 0 ，即"x R, f 0 é f x -1ù = 0．
因为函数 f x 为非常数函数，所以 f 0 = 0，A 正确．
f x
令 g x = , x 0，则 g x g y = g xy + x + y．
x
x = y = -1 [g -1 ]2令 ，则 = g 1 - 2，①
2
令 x = y =1，则[g 1 ] = g 1 + 2 ，②
由①②，解得 g 1 = 2, g -1 = 0，从而 f 1 = 2 ，B 错误．
令 y =1，则 g x g 1 = g x + x +1，即 g x = x +1，
因为 f 0 = 0，所以 f x = x x +1 ，所以 C 正确，D 错误．
故选：AC
14 2 2．（多选题）已知 f x 是定义在R 上的函数，"x R, f x > 0，且 f xy = f x × f y - x - y ，则
（ ）
A． f 1 =1
B． f x 是偶函数
C． f x 的最小值是 1
D．不等式 f x - 2 <10的解集是 -1,5
【答案】BCD
【解析】对于 A，令 x = y =1，得 f 1 = f 1 × f 1 -1-1，解得 f 1 = -1或 2.
因为 f x > 0，所以 f 1 = 2 ，则 A 错误.
对于 BC，令 y =1，得 f x = f x f 1 - x2 -1 = 2 f x - x2 -1 f x = x2，则 +1，
从而 f x 是偶函数，且 f x 1，故 B，C 正确.
对于 D，因为 f x = x2 +1, f x 是偶函数，在 (0, + )上单调递增，且 f 3 =10，
所以不等式 f x - 2 <10等价于 f -3 < f x - 2 < f 3 ，
所以-3 < x - 2 < 3，解得-1 < x < 5，则D 正确.
故选：BCD.
15．（多选题）已知函数 f (x) 满足 f (x + y) = f (x) + f (y), x, y R，则（ ）
A． f (0) = 0 B． f (k) = kf (1),k Z
C． f (x) = kf
x
÷ , (k 0) D． f (-x) f (x) < 0
è k
【答案】ABC
【解析】对于 A， f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) = 2 f (0),\ f (0) = 0，故 A 正确；
对于 B， f (k) = f (k -1) + f (1) = f (k - 2) + f (1) + f (1) =L = f (1) + f (1) +L+ f (1) = kf (1)，故 B 正确；
f (x) f k -1 x x f k -1 x k - 2 x x对于 C， = × + ÷ = × x

÷ + f

÷ = f
× x + f + f
è k k ÷ ÷ ÷ è k è k è k è k è k
=L = f x x x x ÷ + f ÷ +L+ f

÷ = kf

÷ , k 0 ，故 C 正确；
è k è k è k è k
对于 D， f (x - x) = f (x + (-x)) = f (x) + f (-x) = f (0) = 0 ， f (x) = - f (-x), f (x) f (-x) = -( f (x))2 0，故 D 错
误．
故选：ABC．
16．（多选题）（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知函数 f (x) 的定义域为R ，且
f x - y = f -x + f y - 2xy ，则（ ）
A． f (0) = 0
B． f (2) = 4
C． y = f (x) - 2x 是奇函数
D． y = f x - 2x2 是偶函数
【答案】ABD
【解析】令 x = y = 0 ，则 f 0 = 2 f 0 ，即 f 0 = 0 . A 正确.
令 y = 0 ，则 f x =f -x .
令 y = x ，则 f -x + f x - 2x2 = f (0) = 0，则 f x = x2 .
故 f 2 = 4 . B 正确.
y = f x - 2x = x2 - 2x是非奇非偶函数. C 不正确.
y = f x - 2x2 = -x2 是偶函数. D 正确.
故选：ABD.
17．（多选题）（2024·重庆·三模）函数 f x 是定义在R 上不恒为零的可导函数，对任意的 x， y R 均
满足： (x + y) × f (x) f (y) = xy × f (x + y) ， f (1) = 2，则（ ）
A． f 0 = 0 B． f 2 = 8
n
C． f 1 = 4 D． f (k) = (n -1) ×2n+1 + 2
k =1
【答案】ABD
【解析】令 y =1，得 (x +1) f (x) f (1) = xf (x +1) ，代入 f (1) = 2，得 2(x +1) f (x) = xf (x +1)，
f (x +1) 2(x +1)
当 x 为正整数时， =f (x) x ，
f (x +1) f (x) f (x -1) f (2)
× × ×L× 2(x +1) 2x 2(x -1) L 2 2所以 = × × × ×f (x) f (x 1) f (x 2) f (1) ，- - x x -1 x - 2 1
f (x +1)
所以 = 2x × (x +1)，代入 f (1) = 2f (1) ，得 f (x +1) = (x +1) ×2
x+1，
所以 f (x) = x × 2x (x 2)，又当 x =1时，也符合题意，
所以 f (x) = x × 2x (x N*) .
当 x 不为正整数时，经验证 f (x) = x × 2x 也满足 (x + y) × f (x) f (y) = xy × f (x + y) ，
故 x 为任意实数时，都有 f (x) = x × 2x .
所以 f (0) = 0，故 A 正确； f (2) = 8，故 B 正确；
所以 f (x) = 2x + x ×2x × ln 2， f (1) = 2 + 2ln 2，故 C 不正确；
n
所以 f (k) = f (1) + f (2) +L+ f (n) =1 2 + 2 22 + 3 23 + n ×2n ，
k =1
令 Sn = 1 2 + 2 22 + 3 23 + n ×2n ，
则 2Sn =1 2
2 + 2 23 + 3 24 +L+ n ×2n+1，
2 3 n n+1
所以 Sn - 2Sn = 2 + 2 + 2 +L+ 2 - n × 2 ，
n n+1
所以 -S 2(1- 2 )= - n × 2n +1n ，所以 Sn = (n -1) × 2 + 2 ，故 D 正确.1- 2
故选：ABD
18．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为R ，且
f x + y = f x f y + f x + f y ， x > 0时， f x > 0， f 2 = 3，则（ ）
A． f 1 =1
B．函数 f x 在区间 0, + 单调递增
C．函数 f x 是奇函数
D．函数 f x 的一个解析式为 f x = 2x -1
【答案】ABD
【解析】A 项：因为 f x + y = f x f y + f x + f y ，
当 x > 0时， f x > 0, f 2 = 3，令 x = y =1，
则 f 22 = é f 1 ù + 2 f 1 = 3，解得 f 1 =1，A 正确；
B 项：任取： x1 < x2 0, + ，
则 f x2 = f é x1 + x2 - x1 ù = f x1 f x2 - x1 + f x1 + f x2 - x1 ，
因为当 x > 0时， f x > 0，
所以 f x2 - x1 > 0， f x1 > 0，
所以 f x1 f x2 - x1 + f x1 + f x2 - x1 > f x1 ，即 f x2 > f x1 ，
所以函数 f x 在区间 0, + 单调递增，B 正确；
C 项：令 x = y = 0
2
，则 f 0 = é f 0 ù + 2 f 0 ，
解得 f 0 = 0或 f 0 = -1，当 f 0 = 0，且 x > 0时，令 y = -x，
则0 = f x f -x + f x + f -x ，
若 f x 为奇函数，则 f -x = - f x 2，即0 = - f x + f x - f x ，
解得 f x = 0，与题意矛盾；
当 f 0 = -1时 f x 不为奇函数．
综上所述，函数 f x 不是奇函数，C 错误；
D x项：当 f x = 2 -1，
则 f x + y = 2x+ y -1，
f x f y + f x + f y = 2x -1 2y -1 + 2x -1 + 2y -1
= 2x+ y - 2x - 2y +1+ 2x -1+ 2y -1
= 2x+ y -1，
所以 f x + y = f x f y + f x + f y ，易得 f x = 2x -1在R 上单调递增，
x > 0 f x = 2x -1 > 20所以 时， -1 = 0， f 2 = 22 -1 = 3，
故函数 f x 的一个解析式为 f x = 2x -1，D 正确．
故选 :ABD
f x
19．（多选题）已知函数 y = f x ，对于任意 x, y R ， = f x - y f y ，则（ ）
A． f 0 =1 B． f x2 = 2 f x
f x f> 0 x + f y f x + yC． D ． ≥
2 è 2 ÷
【答案】ACD
f x
【解析】令 x = y = f 0 f 0
=1
f x ，故 A 正确；
f x
由已知 = f x - y f x = f y f x - y f x + y = f x f y f y ，①
令 f x = a x , a 0,1 1, + x 2 x2 2满足题干要求， 2 f x = 2a , f x = a ,则 f x 2 f x ，故 B 错误；
2
① x = y
x
= f x f x f x é f x ù由 可知，令 2 ，则 = ÷ ÷ =

ê ÷ ，è 2 è 2 è 2
ú

f x 2
又因为 = f x - y f
x 0 é x ù
f y ，则 ，所以 ，故 C 正确；è 2 ÷ f x = f > 0 ê è 2 ÷ ú
因为 f x > 0，所以 f x + f y 2 f x f y = 2 f x + y ，
x y x + y
2
① = = f x y f x + y f x + y é x + y ù又由 ，令 ，则 + =2 ÷ =è 2 è 2 ÷ ê
f ÷ú ，
è 2
f x + f y f x + y 所以 ≥ ÷，故 D 正确.2 è 2
故选：ACD.
x - y
20．（多选题）（2024·高三·辽宁·期中）已知函数 f x 的定义域为 -1,1 ， f (x) - f ( y) = f
è1- xy
÷ ，

f 1 且 ÷ =1，当 x 0,1 时， f x > 0，则（2 ）è
A． f 0 = 0
B． f x 是偶函数
C．当 A，B 是锐角VABC 的内角时， f sin A < f cos B
x 0 1 1+ x
2
D > = n
1 n-1
．当 n ，且 ， x = 时， f x = 2x 1n+1 2xn 2 n
【答案】AD
【解析】令 x＝y＝0，得 f 0 = 0，故 A 正确．
令 x＝0，则- f y = f -y ，所以 f x 为奇函数，故 B 错误．
任取 x1, x2 -1,1 ，且 x1 < x2，则 f

x x - x2 - f x1 = f 2 1 ．
è1- x1x
÷
2
因为 1+ x1 1- x2 =1- x2 + x1 - x1x2 > 0 ，
x2 - x1
所以 x2 - x1 <1- x1x2，所以0 < <11- x1x
．
2
因为 x

0,1 ， f x 0 x - x> ，所以 f 2 11- x ÷ > 0 ， f x1 < f x2 ，è 1x2
即 f x 在 -1,1 上单调递增．
π π
因为 A，B 是锐角VABC 的内角，所以 A + B > ，所以 A > - B ，
2 2
所以 sin A > sin
π
- B

÷ = cos B ．
è 2
因为 sin A ， cos B 0,1 ，所以 f sin A > f cos B ，故 C 错误．
1 1+ x2n 2xn
因为 xn > 0，且 = ，所以 xn+1 = 2 (0,1)xn+1 2xn x +1
．
n
2x
令 y＝－x，则 2 f (x) = f 2 ÷，è1+ x
f x
x = x 2 f x = f 2xn = f x n+1 令 n ，则 n 2 ÷ n+1 ，所以 = 2
è1+ xn f x
．
n
因为 f x1 = 1，
所以 f xn 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
f x = 2n-1所以 n ，故 D 正确．
故选：AD
21．（多选题）函数 f x 1 的定义域为R ， f ÷ 0，若 f x + y + f x f y = 4xy ，则下列选项正确的有
è 2
（ ）
1 1
A． f

-

÷ = 0

B
2 ．
f ÷ = -2
è è 2
f x 1+ 1C．函数 ÷是增函数 D．函数 f x -

÷是奇函数
è 2 è 2
【答案】ABD
1 1 1
【解析】令 x
1
= y = 0 f ， ，得
2 ÷
+ f ÷ f 0 = f2 2 2 ÷ éè è è
1+ f 0 ù = 0，
因为 f
1
÷ 0，所以 f 0 = -1；
è 2
1 1 1 1
令 x = ， y = - 得 f 0 + f ÷ f - ÷ = -1，2 2 è 2 è 2
1 1
因为 f 2 ÷
0，所以 f - ÷ = 0，即选项 A2 正确；è è
1
由选项 A 知 f x 的图象过点 0, -1 、 - ,0÷，
è 2
ìb = -1 b = -1
令 f x = kx + b ì，则 í 1 得，
- k
í
+ b = 0 k = -2
，
2
所以 f x = -2x -1，
1
因为 f ÷ = -2，所以选项 B 正确；
è 2
因为 f
x 1+ ÷ = -2x - 2是减函数，所以选项 C 错误；
è 2
f -x 1- = 2x = - f x 1- f x 1因为 ÷ ÷ ，所以 -

÷为奇函数，即选项 D 正确；
è 2 è 2 è 2
故选：ABD．
22．（多选题）定义在 0, + 上的函数 f x ，对"x, y > 0，均有 f xy = xf y + yf x ，当 x >1时，
f x < 0 g x f x ，令 = ，则下列说法正确的是（ ）
x
g 1 = 0 g x g 1 A． B． 0
è x ÷
C．"a > 0, g a < g a +1 D "a > 0, n N*, g an． = ng a
【答案】AD
【解析】对"x, y > 0，均有 f xy = xf y + yf x ，令 x = y =1可得 f 1 = f 1 + f 1 ，所以 f 1 = 0，则
f 1
g 1 = = 0，故 A 正确；
1
"x, y 1 1> 0 y 1 f x × = xf 1 1 1，可令 = x 得 ÷ ÷
+ f x = 0，所以 f ÷ = - 2 f x ，è x è x x è x x
f 1
g x g 1 f x
÷
则 ÷ = ×
è x
1 = f x f
1 1 1 2
x x x ÷
= f x × - f x ÷ = - f x < 0，故 B 不正确；
è è è x2 x2
x
令 x = a +1, y
1
= ，可得
a
f a +1 1 1 é 1 ù 1 af a +1 - a +1 f aa 1 f f a 1 a 1 f a f a 1 ÷ = + ÷ + + = + ê- + + =è a è a a a2 ú a a2
，
因为当 x >1时， f x < 0 ，
a +1
又"a
a +1 1
> 0, =1+ >1 ，所以 f < 0，
a a ֏ a
af a +1 - a +1 f a
故 < 0，所以 af a +1 - a +1 f a < 0，
a2
f a +1 f a af a +1 - a +1 fa 0, g a 1 g a a 所以" > + - = - = < 0 g ，则 a +1 < g a a 1 a a a 1 ，故 C 不正确；+ +
令 x = y = a，得 f a2 = af a + af a = 2af a 3，则 f a = af a2 + a2 f a = 3a2 f a ，
f a4 = a2 f a2 + a2 f a2 = 4a3 f a ，
f an = nan-1以此类推可得： f a ，
f an nan-1 f a nf a
所以"a > 0, n N*, g an = ，故 D 正确.an = n = = ng a a a
故选：AD.
23．（多选题）已知定义在 0, + 上的函数 f x 满足：对"x, y 0,+ ，都有 f xy = f x + f y ，则
对于"x, y 0,+ ， n N*，下式成立的有（ ）
A． f x + y = f x f y B． f x ÷ = f x - f y
è y
C． f xn = nf x D． f n x 1= f x n
【答案】BCD
Q x y x, f x f x f y f x 【解析】 = \ = ÷ + ,\ ÷ = f x - f y y y y ,B 选项正确;è è
Q xn = x xn-1 = x x L x,
\ f xn = f x + f xn-1 = f x + f x + f xn-2 = f x + f x +L+ f x = nf x
\ f xn = nf x ,C 选项正确;
nQ x = n x = n x n x L n x ,\ f x = f n x + f n x +L+ f n x = nf n x \ f n x 1= f x ,D 选项正n
确;
定义在 0, + 上的函数 f x 满足：对"x, y 0,+ ，都有 f xy = f x + f y ，
设 f x = lnx f xy = f x + f y = lnxy, f x f y = lnx lny ,
\ f x + y f x f y ,A 选项错误.
故选:BCD.
24．（2024·山西临汾·三模）已知函数 f x 的定义域为R ，且 f x + y + f x - y = f x f y ， f 1 =1，
则 f 2024 = ．
【答案】-1
【解析】令 x =1, y = 0，则 f 1 + f 1 = 2 f 1 = f 1 f 0 ，
因为 f 1 =1，所以 f 0 = 2 ，
令 x = y =1，则 f 2 + f 0 = f 1 f 1 ，得 f 2 = -1，
令 y =1，则 f x +1 + f x -1 = f x f 1 = f x ，即 f x -1 = f x - f x +1 ，
所以 f x = f x +1 - f x + 2 ，
所以 f x -1 = f x +1 - f x + 2 - f x +1 = - f x + 2
所以 f x + 2 = - f x + 5 ，所以 f x -1 = f x + 5 ，即 f x = f x + 6 ，
f x 是以 6 为周期的周期函数，
所以 f 2024 = f 337 6 + 2 = f 2 = -1，
故答案为：-1.
25．已知函数 f x 的定义域为 R，且 f x + y + f x - y = 2 f x f y ， f 0 =1，请写出满足条件的一个
f x = （答案不唯一）．
【答案】1, cos x（答案不唯一）
【解析】令 x = 0，则 f y + f -y = 2 f 0 f y ，
又 f (0) =1，
所以 f y + f -y = 2 f y ，即 f (-y) = f (y)，
所以函数为偶函数，
不妨取偶函数 f (x) = 1，则 f x + y + f x - y =1+1 = 2 1 1 = 2 f x f y ，
也可取 f (x) = cos x，则 cos(x + y) + cos(x - y) = 2cos x cos y，满足题意.
故答案为：1, cos x（答案不唯一）
f 0.5 f 1 f 2, 2,L,
0.5n
26．已知函数 y = f x ，x R，且 f 0 = 2 ， = = = 2, n N
*
f 0 f 0.5 f 0.5 n 1 - ，则函数
y = f x 的一个解析式为 .
【答案】 f (x) = 2 ×4x （不唯一）
f 0.5 f2, 1 f 0.5n *【解析】由题意， = = 2,L, = 2, n Nf 0 f 0.5 f 0.5 n -1 ，
f 0.5n
= 2n f 0.5n = 2 ×2n累乘可得 ，即 ，
f (0)
令 x = 0.5n，则 n = 2x，
所以 f (x) = 2 ×22x = 2 × 4x ，
故答案为： f (x) = 2 ×4x （不唯一）
27．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）写出满足 f x - y = f x + f y - 2xy 的函数的解析式 ．
f x = x2【答案】
【解析】 f x - y = f x + f y - 2xy 中，令 x = y = 0 ，得 f (0) = 0；
令 y = x 得 f x - x = f x + f x - 2x2 ，故 f x + f x = 2x2，
则 f x = x2 ．
故答案为： f x = x2 ．
28．（2024·高三·河南·开学考试）已知函数 f（x）满足：①对"m ， n > 0， f (m) + f (n) = f (mn)；②
f 1 ÷ = -1．请写出一个符合上述条件的函数 f（x）＝ ．
è 2
【答案】 log2 x （答案不唯一，符合条件即可）
【解析】因为对"m ， n > 0， f (m) + f (n) = f (mn)；
所以 f (x) 在 0，+ 上可能为对数函数，
故 f (x) = loga x满足条件①，又 f
1
÷ = -1，
è 2
所以 f (x) = log2 x ，
故符合上述条件的函数可能为： f (x) = log2 x ，
故答案为： log2 x （答案不唯一）.
f 0.5 f 1 f 0.5n
29．已知函数 y = f x ， x R ，且 f 0 = 2 ， = 2， = 2 = 2 *f 0 f 0.5 ，…， f 0.5 n -1 ， n N ，
则满足条件的函数 f x 的一个解析式为 .
【答案】 f (x) = 2 4x
f (1) f (0.5) f (1) 4 f (2) f (0.5) f (1) f (1.5) f (2) 2【解析】由已知得 = × = = × × × = 4f (0) f (0) f (0.5) ， f (0) f (0) f (0.5) f (1) f (1.5) ，
f (3) f (0.5) f (1) f (1.5) f (2) f (2.5) f (3)
= × × × × × = 43
f (0) f (0) f (0.5) f (1) f (1.5) f (2) f (2.5) ，
f (x)
\ = 4x
f (0) ，又
f (0) = 2，\ f (x) = 2 4x
故答案为： f (x) = 2 4x
30．若函数 f (x) 满足"x, y R, f (xy) = f (x) f (y)，写出一个符合要求的解析式 f (x) = ．
【答案】x(答案不唯一)
【解析】因为函数 f (x) 满足"x, y R, f (xy) = f (x) f (y)，
所以 f (x) = x，
故答案为：x,答案不唯一
31．同时满足下列两个条件：① f xn = nf x , x > 0；② é f x1 - f x2 ù x1 - x2 > 0的函数可以为 .
【答案】 f x = ln x（答案不唯一）
【解析】由 é f x1 - f x2 ù x1 - x2 > 0可知函数为增函数，
f xn再由 = nf x 可知 f x 可以为对数函数，故可以填 f x = ln x，或者其它底数大于1的对数函数．
故答案为： f x = ln x（答案不唯一）

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