资源简介

重难点突破 01 数列的综合应用
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用................................................................................3
题型二：数列不动点与递推问题........................................................................................................4
题型三：数列与函数、不等式的综合问题........................................................................................5
题型四：数列在实际问题中的应用....................................................................................................6
题型五：数列不等式的证明................................................................................................................7
题型六：公共项问题............................................................................................................................8
题型七：插项问题..............................................................................................................................10
题型八：蛛网图问题..........................................................................................................................11
题型九：整数的存在性问题（不定方程）......................................................................................12
题型十：数列与函数的交汇问题......................................................................................................14
题型十一：数列与导数的交汇问题..................................................................................................15
题型十二：数列与概率的交汇问题..................................................................................................16
题型十三：数列与几何的交汇问题..................................................................................................18
03 过关测试 .........................................................................................................................................19
1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键
2、新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n 项和公式、求和方
法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊
性．
4、数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、
分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
a > F (n) 恒成立 a > F (n)max ；
a < F (n)恒成立 a < F (n)min .
5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列
的知识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就
是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第
n项 an 与第 n 1项 an 1的递推关系还是前 n项和 Sn 与前 n 1项和 Sn 1 之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；
二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增
加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的 3 个关键点
①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这
种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式
的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是： A > B, B > C A > C ； A < B, B < C A < C .
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用
【典例 1-1】（2024·重庆九龙坡·三模）正整数1,2,3,L,n 的倒数的和1
1 1 1
L 已经被研究了几百年，
2 3 n
但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当 n很大时，
1 1 1 L 1 ln n g .其中g 称为欧拉-马歇罗尼常数，g 0.577215664901L，至今为止都不确定g 是
2 3 n
é 1 1 1 ù
有理数还是无理数.设[x]表示不超过 x 的最大整数，用上式计算 ê1 L 的值为（ ） 2 3 2024 ú

（参考数据： ln 2 0.69 ， ln 3 1.10， ln10 2.30）
A．10 B．9 C．8 D．7
【典例 1-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法统
宗》，由明代数学家程大位所著．该书在万历二十一年（即公元 1593 年）首次刊行，全书共有 17 卷．其主
要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知
识．同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明．此外，《算法统宗》还
包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容．其中有一首诗，讲述了“竹筒容米”问
题．诗云：‘家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要
将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注释】三升九：3.9 升，次第盛：盛米容积依次相差
同一数量）用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升 （ ）
A．8.8 升 B．9 升 C．9.1 升 D．9.2 升
【变式 1-1】（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛
积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有 ab个小球，第二层有
a 1 b 1 个小球，第三层有 a 2 b 2 个小球……依此类推，最底层有 cd 个小球，共有 n层，由“隙
é 2b d a 2d b c c - a ù n
积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 .若由小球堆成的某个长方台形垛积
6
共 8 层，小球总个数为 240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-2】（2024·云南·模拟预测）当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源 交通
信息通信等领域有关技术加速融合，电动化 网联化 智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型
升级，从 2024 年起大力发展新能源汽车，2024 年全年预计生产新能源汽车 10 万辆，每辆车的利润为 2 万
元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都
比前一年增加20%（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加 2000 元，
则至 2030 年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据：1.27 3.58，结果精确到
0.1）
A．320.5 亿元 B．353.8 亿元 C．363.2 亿元 D．283.8 亿元
题型二：数列不动点与递推问题
a 2
【典例 2-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 > 0， an 1 = n 2 a ， an 的前 n 项和n
为 Sn ，则下列说法正确的有（ ）
A．对任意 a1 > 0， an 不可能为常数数列
B．当 a1 > 3时， an 为递减数列
C．若 a =1 a 2
1
1 ，则 n 2n-1
1 1 1 S a
D n n．若 a1 =1，则 L 2
【典例 2-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 满足 an 1 = an - 2an 2，则下列说法正确的是
（ ）
1 5
A．当 a1 = 时，1 < an n 2 B．若数列 an 为常数列，则 an = 22 4
n-1
C．若数列 an 为递增数列，则 a1 > 2 D．当 a1 = 3时， a 2n = 2 1
【变式 2-1】已知数列{an}满足 a1 =1， an 1 = a
1
n - a
2
n .给出下列四个结论：2
①数列{an}每一项 an 都满足0 < an 1 (n N
*)；
②数列{an}是递减数列；
③数列{an}的前 n项和 Sn < 2；
④数列{an}
2
每一项都满足 an 成立.n 1
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③
C．①②③ D．①②④
【变式 2-2】（2024·浙江·模拟预测）设数列{an}满足 a1 = 0, a = ca3n 1 n 1- c, n Z ，其中 c 为实数，数列
{a2n }的前 n 项和是 Sn ，下列说法不正确的是（ ）
A．c∈[0,1]是an [0,1]的充分必要条件 B．当 c>1 时，{an}一定是递减数列
1
C．当 c<0 时，不存在 c 使{an}是周期数列D．当 c = 时， Sn > n - 74
题型三：数列与函数、不等式的综合问题
【典例 3-1】（2024·江苏苏州·三模）已知函数 f (n) = an , n N* .
1
①当 a = 2时，bn = 1 bf (n) ，记 n 前 n项积为Tn ，若m > Tn 恒成立，整数m 的最小值是 ;
f (n) -1 n3
②对所有 n 都有 成立，则 a3 的最小值是 .f (n) 1 n 1
【典例 3-2】欧拉函数j n n N* 的函数值等于所有不超过 n且与 n互质的正整数的个数（公约数只有 1
j 10n
的两个整数称为互质整数），例如：j 3 = 2，j 4 = 2．记 an = ，数列 an 的前 n n 项和为
Sn ，若j 5
Sn n -1 lan 恒成立，则实数l 的取值范围为 ．
n 1
【变式 3-1 1

】（2024·河北保定·二模）已知数列 an 的前 n项积为Tn ，若 an = - ÷ ，则满足T2 k
- ,0÷
è è 1000
的正整数 k 的最小值为 .
【变式 3-2】（2024· n 1湖南衡阳·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 a1 = 2, Sn = an 1 - 2 .若
Sn > n
2 61n ，则 n的最小值为 .
【变式 3-3】（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn ， a4 = 8，若存在非零常数l ，使得
S 2Sn l = 1 l a nn对任意的正整数 n均成立，则l = ， 的最小值为 .an 1
题型四：数列在实际问题中的应用
【典例 4-1】（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有 2024 根，每根圆钢的直径
为 10 厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多 1 根），且
3
为考虑安全隐患，堆放高度不得高于 米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .
2
【典例 4-2】（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为
天心石)， 环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的
最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)
3402块，则上层有扇形石板 块．
【变式 4-1】（2024·广东茂名·一模）有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一
共开了 1890 盏，则底层所开灯的数量为 盏.
【变式 4-2】（2024·贵州·模拟预测）拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有
着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第 10 层一
共有 个节点.（填写具体数字）
【变式 4-3】（2024·湖北·一模）2022 年第二十四届北京冬奥会开幕式上由 96 片小雪花组成的大雪花惊艳了
全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形P1，并把每
一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲
线P2．重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线P3，P4，L，Pn，L．
设雪花曲线Pn周长为 ln ，面积为 Sn ．若P1的边长为 3，则 l5 = ； Sn = ．
题型五：数列不等式的证明
【典例 5-1】（2024·高三·河北衡水·期中）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 Sn = 2an -1, n 1 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
1 1 1 1
(2)求证： L < 2S1 S
．
2 S3 Sn
【典例 5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）在数列 an 的第 k 项与第 k 1项之间插入 k 个 1，称为变换G．数
列 an 通过变换G所得数列记为W1 an ，数列W1 an 通过变换G所得数列记为W2 an ， ，以此类推，数
列Wn-1 an 通过变换G所得数列记为Wn an （其中 n 2）．
(1)已知等比数列 an 的首项为 1，项数为m ，其前m 项和为 Sm ，若 Sm = 2am -1 = 255，求数列W1 an 的项
数；
(2)若数列 an 的项数为 3，Wn an 的项数记为bn ．
①当 n 2时，试用bn-1表示bn ；
n-1 n-1
②求证： 2 ×32 bn 6
2 ．
【变式 5-1】（2024·江苏盐城·一模）已知正项数列 an 中， a
1
1 = ，且3a
2 2
n 1 2an 1an - an = 0 n N* .3
(1)求数列 an 的通项公式；
a - a 1
(2)b = n n 1 n N*n a a a a 1 ，证明：b1 b2 ××× bn < .n n 1 n n 1 4
【变式 5-2】已知数列 an 满足a1 = 3,an 1 = 7an 3．
ì 1 ü
(1)证明 ían 是等比数列，并求 an 的通项公式；
2
1 1 1 7
(2)证明： 【变式 5-3】已知数列 an 是等差数列， a2 a5 =16， a5 - a3 = 4，数列 bn 的前 n 项和为 Sn ，且
Sn = 2bn - 2，
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
ì n* ü(2)若集合M = ín N | lbn < ai 中恰有四个元素，求实数l 的取值范围；
i=1
ìb , n为奇数 n
(3)设数列 cn 满足b n 1
1 1 1 1 1
n = í ， cn 的前 n 项和为Tb , n n
，证明： - < <
n 为偶数 8 8 4
n ．
k=1 T2k 6
题型六：公共项问题
n n-1
【典例 6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 an 的前 n 项积为T = 3 2 ，数列 bn 满足b1 =1，n
bn - bn-1 =1（ n 2， n N* ）．
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)将数列 an ， bn 中的公共项从小到大排列构成新数列 cn ，求数列 cn 的通项公式．
【典例 6-2】（2024·全国·模拟预测）设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，且 a1 = 4, S5 = 50，数列 bn 满足
b1 = 4,bn 1 = 4bn ,n N
*
．
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2)若将数列 an 和 bn 的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 cn ，求数列 cn 的前 n 项和Tn ．
【变式 6-1】（2024·四川南充·一模）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，满足 S5 = a7 ， a3 = -2 .
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{an}与{5 - 3n}的公共项从大到小排列得到数列{bn}，求数列{bn}的前 n 项和为Tn .
*
【变式 6-2】已知数列 an 为等差数列，数列 bn 为等比数列，且bn N ，若
a1 = b2 = 2, a1 a2 a3 = b1 b2 b3 b4 =15．
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)设由 an ， bn 的公共项构成的新数列记为 cn ，求数列 cn 的前 5 项之和 S5 ．
【变式 6-3】已知 an = 3n -1,b
n
n = 2 ，设 an 与bn 的公共项数列为cn ，给出至少两种求cn 的方法，要求讲清思
路，并求出cn ．
题型七：插项问题
【典例 7-1】已知数列 an 是等差数列，其前 n和为 Sn ， a2 = 2， S9 = 45，数列 bn 满足
a1b1 a2b2 L anbn = n -1 ×2n 1
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)若对数列 an ， bn ，在 ak 与 ak 1之间插入bk 个 2（ k N* ），组成一个新数列 dn ，求数列 dn 的前
83 项的和T83 .
ì S ü
【典例 7-2】（2024·广东广州· n二模）已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ,a2n 1 = 2an 2 ，且 í 为等差数
n 1
列．
(1)求 an 的通项公式；
an a(2) n 1
ì 1 ü
在2 2 与2 2 之间插入 n个数，使这 n 2 个数组成一个公差为dn dn > 0 的等差数列，记数列 íd 的前 n
n项和为Tn ，求证：Tn < 3．
a a a
【变式 7-1】（2024·河北沧州·一模）在数列 a 中，已知 a 2 3n 1 2 L n2 2 2n-1 = 2n ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在数列 an 中的 a1和 a2之间插入 1 个数 x11，使a1, x11,a2成等差数列；在 a2和a3之间插入 2 个数 x21, x22 ，
使a2 , x21, x22 ,a3成等差数列；…；在 an 和 an 1之间插入 n个数 xn1, xn2 ,L, xnn ，使 an , xn1, xn2 ,L, xnn ,an 1 成等差
数列，这样可以得到新数列 bn : a1, x11,a2 , x21, x22 ,a3, x31, x32 , x33,a4 ,L,an ，设数列 bn 的前 n项和为 Sn ，求
S55（用数字作答）．
2
【变式 7-2】（2024· · 3n 3n广西 模拟预测）记数列 an 的前 n 项和为 Sn ，对任意正整数 n，有 Sn = - ．2 2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) m对所有正整数 m，若ak < 4 < a mk 1 ，则在 ak 和 ak 1两项中插入 4 ，由此得到一个新数列 bn ，求 bn 的
前 91 项和．
题型八：蛛网图问题
【典例 8-1】已知数列 b b t 3n 若 1 = 2，bn = bn-1 （ n N* 且 n 2，t R ），若 bn 2对任意 n N* 恒成立，4 4
则实数 t 的取值范围是 .
【典例 8-2】已知数列{an}满足： a1 = 0 ， a
an *
n 1 = ln(e 1) - an (n N ) ，前 n项和为 Sn ，则下列选项错误的
是 (　　 )（参考数据： ln2 0.693， ln3 1.099)
A．{a2n-1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列
B． an an 1 ln3
C． S2020 < 670
D． a2n-1 a2n
ì ü
【变式 8-1】（2024 浙江模拟）数列{an}满足 a1 > 0 ， an 1 = a
3 - a 1 n N * S 1n n ， ， n 表示数列 í 前 n项
an
和，则下列选项中错误的是 (　　 )
A．若 0 2< a1 < ，则 an < 13
B 2．若 < a1 < 1，则{an}递减3
C 1 1．若 a1 = ，则 S > 4( - 2)2 n an 1
D a 2 S 2．若 1 = ，则 2000 > 3
【变式 8-2】已知数列 {an}满足： a1 = 0 ， an 1 = ln(e
an 1) - an (n N*) ，前 n项和为 Sn （参考数据：
ln2 0.693， ln3 1.099)，则下列选项中错误的是 (　　 )
A．{a2n-1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列
B． an an 1 ln3
C． S2020 < 666
D． a2n-1 < a2n
2
【变式 8-3】（多选题）已知数列 an 满足 a1 = a ， an 1 = an -1a ，记数列 an - 2 的前 n 项和为 Sn ，n
l > Sn对 n N* 恒成立，则下列说法正确的有（ ）
A．若 a > 0，则数列 an - 2 为递减数列
B．若 2 < a < 2，则数列 an 为递增数列
C．若 a 35＝3，则l 的可能取值为 12
5 5
D．若 a＝3，则 Sn -2 3 ×2n-1
题型九：整数的存在性问题（不定方程）
【典例 9-1】已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，公比 q = 3，S4 =160 .
(1)求a3；
(2)若在 a1与a3之间插入 3 个数，使这 5 个数组成一个等差数列，试问在这 5 个数中是否存在 3 个数可以构
成等比数列？若存在，找出这 3 个数；若不存在，请说明理由.
【典例 9-2】已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 an 1 = 3Sn 2 n N* ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an 与 an 1之间插入 n个数，使这 n 2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，在数列 dn 中是否存在 3 项
d ，d ， d p （其中m ， k ， pm k 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在，请说明
理由．
【变式 9-1】（2024·天津南开·二模）已知 an 是等差数列，公差 d 0， a1 a5 = 8，且a3是 a1与a7的等比
中项.
(1)求 an 的通项公式
b - b
(2)数列 b n n 1n 满足 = 2a
1
b b n ，且
b1 = .
n n 1 2
（ⅰ）求 bn 的前 n 项和 Sn .
（ⅱ）是否存在正整数 m，n（m n），使得 S4 ， S2m ， S2n 成等差数列，若存在，求出 m，n 的值；若不存
在，请说明理由.
【变式 9-2】（2024·黑龙江·二模）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn 1 = 3Sn 1，其中 n N* .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an 与 an 1之间插入 n 个数，使这 n 2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，在数列 dn 中是否存在不同
三项 dm ，dk ， d p （其中m, k, p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明
理由.
【变式 9-3】（2024·天津北辰·三模）已知 an 为等差数列，前 n项和为 Sn ，若 a2 = 3， S8 = 6S3 10；数列
1 1 b 1 1 *n 满足： 1- ÷ 1- ÷L 1- ÷ = ， n N .
è b1 è b2 è bn bn
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2) m 2m对任意的m N*，将 an 中落入区间 2 ,2 内项的个数记为 cm .
（i）求 cm ；
2 T - t
（ii）记 dm = b d 2 2( m-1) c ， m 的前
m 项和记为Tm，是否存在m ，- t N
* m 1 ，使得 = dt 1T t 成立？若存m m -
在，求出mt的值；若不存在，请说明理由.
题型十：数列与函数的交汇问题
【典例 10-1】已知定义在 R 上的函数 f (x) 3是奇函数且满足 f ( - x) = f (x)， f (-2) = -3，数列{an}是等差2
数列，若 a2 = 3 ， a7 = 13，则 f (a1) f (a2 ) f (a3 ) f (a2015 ) = ( 　　 )
A． -2 B． -3 C．2 D．3
【典例 10-2 {a } a n 100】已知数列 n 的通项公式 n = ，则 | a1 - a2 | | a2 - a3 | | a99 - a100 |= ( 　　 )n
A．150 B．162 C．180 D．210
【 变 式 10-1 】 设 等 差 数 列 {a 3n}的 前 n项 和 为 Sn ， 已 知 (a4 -1) 2012(a4 -1) = 1，
(a2009 -1)
3 2012(a2009 -1) = -1，则下列结论中正确的是 (　　 )
A． S2012 = 2012 ， a2009 < a4 B． S2012 = 2012 ， a2009 > a4
C． S2012 = 2011， a2009 < a4 D． S2012 = 2011， a2009 > a4
题型十一：数列与导数的交汇问题
1
【典例 11-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数 f x = a ln x - a 1 x x2 .
2
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 a =1时， h x = f x 1- x2 2x 1 ，数列 tn 满足 t1 0,1 ，且 tn 1 = h tn n N* 2 x
① t t 1 n N*比较 n 1 ， n 2 ， 的大小
② *证明： tn 1 tn 3 > 2tn 2 n N .
【典例 11-2】（2024·黑龙江·二模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积
的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应
立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有 1 个球，
第二层有 3 个球，第三层有 6 个球……第 n 1层球数是第 n 层球数与 n 1的和，设各层球数构成一个数列
an ．
(1)求数列 an 的通项公式；
x
(2)证明：当 x > 0时， ln 1 x >
1 x
n
(3)若数列 bn 满足b
2
n = ，对于 * ，证明：b b b L b n 1ln(2a ) - 2lnn n N 1 2 3 n
< n 2 ．
n
【变式 11-1】（2024· n n-1湖南长沙·三模）已知函数 fn x = x x L x -1 n N ．
(1)判断并证明 fn x 的零点个数
(2)记 fn x 在 (0, )上的零点为 xn，求证;
（i） xn 是一个递减数列
n 1
（ii） x1 x2 L x
n
n < 1．2 2
【变式 11-2】（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn ，首项 a1 =1 .
(1) 2若 an = 4Sn - 2an -1，求数列 an 的通项公式；
(2)若函数 f (x) = 2ex x，正项数列 a *n 满足： an 1 = f (an )(n N ) .
n
（i）证明： Sn 3 - n -1；
(1 1 )(1 1 1 1（ii 3）证明： 2 2 )(1 2 )L(1 2 ) < e(n 2,n N
*)
5a 5a 5a 5a .2 3 4 n
x
【变式 11-3 e - x -1】（2024·高三·江西萍乡·期中）已知函数 f x = 2 .x
1
(1)证明：当 x > 0时， f x > 恒成立；
2
1
(2)首项为 的数列 an n N a n 满足：当 n 2时，有 e n = 2 f an-1 ，证明： ln 1 2 > an nln2 .3
题型十二：数列与概率的交汇问题
【典例 12-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的 2 个红球和
1 *个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行 n n N 次操作后，记甲盒子中黑
球个数为 X n ，甲盒中恰有 1 个黑球的概率为 an ，恰有 2 个黑球的概率为bn ．
(1)求随机变量 X1的分布列；
(2)求数列 an 的通项公式；
n 6 -10a 9
(3)求证： i < ．
i=1 9aiai 1 5
【典例 12-2】掷一枚质地均匀的骰子，得分规则如下：若出现的点数为 1，则得 1 分；若出现的点数为 2
或 3，则得 2 分；若出现的点数为 4 或 5 或 6，则得 3 分．
(1)记 X 为连续掷这枚骰子 2 次的总得分，求 X 的数学期望；
(2)现在将得分规则变更如下：若出现的点数为 1 或 2，则得 2 分，其他情况都得 1 分．反复掷这枚骰子，
设总得分为 n n N* 的概率为Pn，证明：数列 Pn 1 - Pn 为等比数列．
【变式 12-1】4 月 19 日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念
“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等
使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的
1
回答相互独立．若答对一题记 2 分，答错一题记 1 分，已知甲留学生答对每个问题的概率为 ，答错的概
4
3
率为 ．
4
(1)甲留学生随机抽取3题，记总得分为 X ，求 X 的分布列与数学期望；
(2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取m 道题，记总得分恰为 2m 分的概率为Pm ，求数列 Pm 的前m 项和；
（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为 n分的概率为Qn，求数列 Qn 的通项公式．
【变式 12-2】（2024·全国·模拟预测）甲、乙两名小朋友，每人手中各有 3 张龙年纪念卡片，其中甲手中
的 3 张卡片为 1 张金色和 2 张银色，乙手中的 3 张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取 1
张，去与对方交换，重复 n次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片 xn张，恰有 2 张银色纪念卡片的概率为
pn ，恰有 1 张银色纪念卡片的概率为 qn ．
(1)求 p2 , q2 的值．
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现 0 张，求首次出现这种情况的概率 p ．
(3)记 an = 2 pn qn ．
（i）证明数列 an -1 为等比数列，并求出 an 的通项公式．
（ii）求 xn的分布列及数学期望．（用 n表示）
题型十三：数列与几何的交汇问题
【典例 13-1】（2024·浙江绍兴·三模）已知四面体 ABCD，分别在棱 AD ，BD，BC上取 n 1 n N *, n 3
等分点，形成点列 An ， Bn ， Cn ，过 Ak ，Bk ，Ck k =1,2, × × ×, n 作四面体的截面，记该截面的面积为
M k ，则（ ）
A．数列 M k 为等差数列 B．数列 M k 为等比数列
ì M ü ì M ü
C k k．数列 í 为等差数列 D．数列k í
为等比数列
k
【典例 13-2】（2024·福建福州·三模）数列 an 中， an >1 n N* ，点 an ,an 1 在双曲线 2y2 - x2 =1上.若
an 2 - an 1 > l an 1 - an 恒成立，则实数 λ 的取值范围为（ ）
é1 , 1A B ,
é 2
． ê ÷ ． ÷ C． ê , 2 ÷÷ D． 1, 2 è 2
【变式 13-1】（2024·四川成都·一模）公差为d 的等差数列 an 的首项为 a1，其前 n项和为 Sn ，若直线
ì ü
y = a1x m
x - d 1 与圆 x - 2 2 y = 1的两个交点关于直线 y = - 对称，则数列 í 的前 100 项和等于（2 S ） n
100 99 98
A． B． C． D．1
101 100 99
【变式 13-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知三棱锥O - ABC ，P 是面 ABC 内任意一点，数列 an 共 9 项，
uuur uuur uuur uuur
a1 =1, a1 a9 = 2a 2 *5 且满足OP = (an - an-1) OA - 3an OB 3(an-1 1)OC(2 n 9, n N ) ，满足上述条件的数列
共有 个.
【变式 13-3】（2024·高三·北京·期中）已知直线 l1 : x y - 2 = 0与 l2 : x - 2y 1 = 0 相交于点 P ，直线 l1与 x 轴
交于点P1，过点P1作 x 轴的垂线交直线 l2于点Q1，过点Q1作 y 轴的垂线交直线 l1于点P2，过点P2作 x 轴的
l Q … P Q P Q … P n N*工线交直线 2于点 2， ，这样一直作下去，可得到一系列点 1， 1， 2， 2， ，记点 n 的横
坐标构成数列 xn ，给出下列四个结论：
1 3
①点Q2 , ÷； ②数列 x2n 单调递减；
è 2 4
n-1
③ PP 2 1n = 2

÷ ； ④数列 x4 n
的前 n项和 Sn 满足： 2Sn 1 Sn = 4n 3 .
è
其中所有正确结论的序号是 .
1．（2024·浙江绍兴·二模）汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有
三根相邻的标号分别为 A、B、C 的柱子， A 柱子从下到上按金字塔状叠放着 n个不同大小的圆盘，要把
所有盘子一个一个移动到柱子 B 上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，
请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为H n ，例如：H (1) =1， H (2) = 3，则下列说法正确的是
（ ）
A． H (3) = 5 B． H (n) 为等差数列
C． H (n) 1 为等比数列 D．H 7 <100
2．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可
追溯到公元 583 年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工
艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，
创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传
承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩
栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史
悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为 l 的等腰直角三角形纸对折，
每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折 6 次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
2 1 1A． B． C 2． D．
8 8 4 4
3 2．（多选题）（2024·全国·模拟预测）数列 an 满足 a1 = a ， an 1 = 3an - an -1，则下列说法正确的是（ ）
A．若a 1且 a 2，数列 an 单调递减
B．若存在无数个自然数 n，使得 an 1 = an ，则 a =1
C．当 a > 2或a < 1时， an 的最小值不存在
1 1 1 1
D．当 a = 3时， ×××× × × ,1
ù
a ú1 - 2 a2 - 2 an - 2 è 2
2a2 4a 1
4 *．（多选题）已知正项数列 an 满足 a n nn 1 = (n N )，则（　　）an 2
A． an 为递增数列
B n． an 1 > 2 a1
1 m a a 1C．若 0 < a1 < ，则存在大于 1 的正整数 ，使得 m - 1 3 6
1 n 1
D．已知bn = ，则存在 n N*a 1 2a 3 0 ，使得b =1n 1 n0i=1 i
5．（多选题）已知数列 an 满足："n N*,an 1 = a2n 2an b，其中b R ，数列 an 的前 n项和是 Sn ，下
列说法正确的是（ ）
A．当b 1, 时，数列 an 是递增数列
B．当b = -6时，若数列 an 是递增数列，则 a1 - ,-3 U 2,
5 2
C．当b = ,a1 = 2 时， S
n 3n
n 4 2
1 1 1 3
D．当b = -2, a1 = 3时， L a1 2 a2 2 an 2 10
n
6 1 n．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列 an 中， a1 =1，且2an 1 an = - ÷ ,bn = t
è 2 (-2)n
，若存在正整
数 n，使得 an bn an 1 bn 1 < 0成立，则实数 t 的取值范围为 .
1
7．（2024·浙江·模拟预测）已知数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 an = ，数列 b 的前 n项和为T ，n n -1 n n
且 2bn -1 Sn = an 1，则满足Tn 2的正整数 n的最小值为 .
8．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需
n 2
求量 Sn （万件）近似地满足关系式 Sn = 21n - n - 5 n =1,2, × × ×,12 ，按此预测，在本年度内，需求量超90
过 1.5 万件的月份是 .
9．已知平面a 内有四点 A、B、C、D ，且任意三点不共线，点O为平面a 外一点，数列 an 为等差数列，
uuur uuur uuur uuur
其前n项和为 Sn ，若OA = a1010OB - OC a1011OD ，则 S2020 = .
2 2
10 x y．已知数列 an 满足 an < an 1（ n N* ）， P (n,a )在双曲线 - =1上，则 lim P P =n n 6 2 n n n 1 .
11．已知数列 an 是首项为 a1，公差为 d 的等差数列，其前 n 项和为 Sn ，若直线 y = a1x m与圆
ì 1 ü
x - 2 2 y2 =1的两个交点关于直线 x 2 y - d = 0对称，则数列 í 的前 100 项和为 ．
Sn
12．（2024·云南昆明·模拟预测）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的
连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体
图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有 1 个球，第二
层有 3 个球，第三层有 6 个球……第 n 1层球数比第 n层球数多 n 1，设各层球数构成一个数列 an .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求 f x = ln 1 x x- 的最小值；
1 x
2n
(3)若数列 bn 满足bn = * b b b L b < n 2n 1ln 2a ，对于 n N ，证明： 1 2 3 n .n - 2lnn
13．（2024·全国·模拟预测）已知数列 a 3n-1n 满足 a1 3n-2 a2 ... 3a nn-1 an = 4 ， n N*．
(1)求数列 an 的通项公式；
1 1 1 7
(2)若bn = an -1，证明： ... ．
14．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S5 = 2a4 11, a5 = a1 a3 3．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 bn 由 Sn 与 an 的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列 bn 落在区间 0,2022 内的项的
个数．
15．（2024·吉林通化·一模）记 Sn 为公比不为 1 的等比数列 an 的前 n项和， a5 - a4 = -8a2 8a1， S6 = 21．
(1)求 an 的通项公式；
(2) 2设bn = log2 an ，若由 an 与 bn 的公共项从小到大组成数列 cn ，求数列 cn 的前 n项和Tn ．
16．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列 an 的前 n项和 Sn ，对任意正整数 n，有 2Sn = nan ，且
a2 = 3 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) m对所有正整数m ，若 a < 4 < a mk k 1，则在 ak 和 ak 1两项中插入 4 ，由此得到一个新数列 bn ，求 bn 的
前 91 项和.
17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列 an 的前 n项和为 Sn ,3Sn = 2an 1．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在数列 an 的 ak 和 ak 1项之间插入 k 个数，使得这 k 2个数成等差数列，其中 k = 1,2,× × ×,n，将所有插入
的数组成新数列 bn ，设Tn 为数列 bn 的前 n项和，求T36 ．
18．（2024·全国·模拟预测）已知数列 an 为等差数列， a1 =1, a3 = 2 2 1，前 n 项和为 Sn ，数列 bn 满足
1-an
bn = 2 2 1，
(1)数列 an 中是否存在不同的三项构成等比数列？请说明理由．
(2)若b1 b2 b3 L bn <100，求满足条件的最大整数 n．
19．已知数列 an 的前项和为 Sn ，且满足： an = -Sn 1, n N*
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an 与 an 1之间插入 n个数，使这 n 2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，在数列 dn 中是否存在三项
dm ,dk ,dt （其中m, k, t 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
3
20 n *．设数列 an 的首项 a1为常数 a1 ÷，且a5 n 1 = 3 - 2an n N ．è
ì 3n ü
(1)证明： ían - 是等比数列；
5
3
(2)若a1 = , an 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．2
(3)若 an 是递增数列，求 a1的取值范围．
3
21．（2024·重庆渝中·模拟预测）（1）证明：当 x > 0 x时， x - < sinx < x；
6
（2）已知正项数列 an a a
sina *
满足 nn 1 = n - n N .n 1
（i）证明：数列 nan 为递增数列；
3a
（ii）证明：若0 < a1 < 3
1
，则对任意正整数 n，都有 nan < 3- a2 .1
22．（2024· k江苏南通·三模）已知函数 f x = (1 x) - kx -1(k > 1)．
(1)若 x > -1，求 f x 的最小值；
1 n a n S S n 2 n 2(2)设数列 n 前 项和 n ，若an = 1 ÷ ，求证： n - -2n 2n ．è
2
23．设函数 f x = sin x - x cos x ， g x x= 1 ÷cos x .
è 2
(1)①当 x 0, π 时，证明： f x 0；
②当 x -π, π 时，求 g x 的值域；
(2)若数列 an 满足 a1 =1， an 1 = an cos an ， an > 0，证明：
3a a a *1 2 3 ××× an cos a1 cos a2 cos a3 × × ×cos an < 2（ n N ）.
24．（2024·浙江杭州·模拟预测）投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷 n次不连续出现三次正面向上的概
率为Pn .
(1)求P1，P2，P3和P4；
(2)写出Pn的递推公式；
(3)单调有界原理：①若数列 an 单调递增，且存在常数 M ，恒有 an M 成立，那么这个数列必定有极限，
即 lim an存在；②若数列 an 单调递减，且存在常数m ，恒有 an mn 成立，那么这个数列必定有极限，即
lim a lim P
n n存在.请根据单调有界原理判断 n n 是否存在？有何统计意义？
25．（2024·广东广州·模拟预测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定
传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于 3，则甲将球传给乙，若点数不大于 3，则甲将球保留继
续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于 4，则乙将球传给甲，若点数不大于 4，则乙将球传给丙；
当球在丙手中时，若骰子点数大于 3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于 3，则丙将球传给乙.初始时，
球在甲手中.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
(2)投掷 n n N* 次骰子后，记球在乙手中的概率为 pn ，求数列 pn 的通项公式；
1 4
(3)设 an = -2 n p × p ，求证： a1 a2 ××× an - .n n 1 3重难点突破 01 数列的综合应用
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用................................................................................3
题型二：数列不动点与递推问题........................................................................................................6
题型三：数列与函数、不等式的综合问题......................................................................................10
题型四：数列在实际问题中的应用..................................................................................................13
题型五：数列不等式的证明..............................................................................................................16
题型六：公共项问题..........................................................................................................................20
题型七：插项问题..............................................................................................................................23
题型八：蛛网图问题..........................................................................................................................26
题型九：整数的存在性问题（不定方程）......................................................................................34
题型十：数列与函数的交汇问题......................................................................................................37
题型十一：数列与导数的交汇问题..................................................................................................39
题型十二：数列与概率的交汇问题..................................................................................................45
题型十三：数列与几何的交汇问题..................................................................................................49
03 过关测试 .........................................................................................................................................53
1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键
2、新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n 项和公式、求和方
法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊
性．
4、数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、
分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．
利用等价转化思想将其转化为最值问题.
a > F (n) 恒成立 a > F (n)max ；
a < F (n)恒成立 a < F (n)min .
5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列
的知识去解决．
（1）数列实际应用中的常见模型
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就
是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第
n项 an 与第 n 1项 an 1的递推关系还是前 n项和 Sn 与前 n 1项和 Sn 1 之间的递推关系．
在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；
二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增
加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系．
（2）解决数列实际应用题的 3 个关键点
①根据题意，正确确定数列模型；
②利用数列知识准确求解模型；
③问题作答，不要忽视问题的实际意义．
6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这
种方法为放缩法.
放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式
的分子（或分母）.
放缩法证不等式的理论依据是： A > B, B > C A > C ； A < B, B < C A < C .
放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找.
题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用
1 1 1
【典例 1-1】（2024·重庆九龙坡·三模）正整数1,2,3,L,n 的倒数的和1 L 已经被研究了几百年，
2 3 n
但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，
1 1 1 L 1 ln n g .其中g 称为欧拉-马歇罗尼常数，g 0.577215664901L，至今为止都不确定g 是
2 3 n
é 1 1 1 ù
有理数还是无理数.设[x]表示不超过 x 的最大整数，用上式计算 ê1 L ú的值为（2 3 2024 ）
（参考数据： ln 2 0.69 ， ln 3 1.10， ln10 2.30）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
a 1 1 1 1【解析】设 n = L , n N
*
，则 a
2 3 n n
ln n g ，
a a 1 1 1 L 1 1 1 1 1因为 n 1 - n =

÷ -

1 L ÷ = > 0 ，
è 2 3 n 1 è 2 3 n n 1
可知数列 an 为递增数列，
且 a1800 ln1800 g = ln 2 2ln 3 2ln10 g 8.07 ，
a2048 ln 2048 g =11ln 2 g 8.17，
可知8.07 < a2024 < 8.17
é 1 1 1 ù
，所以 ê1 L ú = a2024 = 8 . 2 3 2024
故选：C.
【典例 1-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）《算法统宗》是一部中国古代数学名著，全称为《新编直指算法统
宗》，由明代数学家程大位所著．该书在万历二十一年（即公元 1593 年）首次刊行，全书共有 17 卷．其主
要内容涵盖了数学名词、大数与小数的解释、度量衡单位以及珠算盘式图和各种算法的口诀等基础知
识．同时，书中还按照“九章”的次序列举了多种应用题及其解法，并附有图式说明．此外，《算法统宗》还
包括了难题解法的汇编和不能归入前面各类别的杂法算法等内容．其中有一首诗，讲述了“竹筒容米”问
题．诗云：‘家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节贮三升，唯有中间两节竹，要
将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明’（【注释】三升九：3.9 升，次第盛：盛米容积依次相差
同一数量）用你所学数学知识求该九节竹一共盛米多少升 （ ）
A．8.8 升 B．9 升 C．9.1 升 D．9.2 升
【答案】B
【解析】设第n节竹筒盛米 an 升，
则数列 an 为等差数列， a1 a2 a3 a4 = 3,a7 a8 a9 = 3.9 ，
设公差为d ，
ì4a1 6d = 3 ìa1 = 0.6
则有 í
3a 21d
，解得 ，
1 = 3.9
í
d = 0.1
所以 an = 0.1n 0.5，
0.6 1.4 9
则该九节竹一共盛米 = 9 升.
2
故选：B.
【变式 1-1】（2024·北京朝阳·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛
积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有 ab个小球，第二层有
a 1 b 1 个小球，第三层有 a 2 b 2 个小球……依此类推，最底层有 cd 个小球，共有n层，由“隙
é 2b d a 2d b c c - a ù n
积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数为 .若由小球堆成的某个长方台形垛积
6
共 8 层，小球总个数为 240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意知， n = 8，于是得最底层小球的数量为 cd = (a 7)(b 7)，即 c = a 7， d = b 7 .
8 ×[(2b b 7)a (2b 14 b)(a 7) 7]
从而有 = 240，
6
整理得 (2b b 7)a (2b 14 b)(a 7) 7 =180，
(3b 7)a (3b 14)(a 7) =173，
3ab 7a 3ab 14a 21b 98 =173，
6ab 21a 21b = 75， 2ab 7a 7b = 25，
由于 a,b皆为正整数，所以
（i）当 a =1,b =1时， 2 ×1×1 7 ×1 7 ×1 =16 < 25，
当 a =1,b = 2时， 2 ×1×2 7 ×1 7 × 2 = 25，
（iii）当 a =1,b = 3时， 2 ×1×3 7 ×1 7 ×3 = 34 > 25，
（iv）当 a = 2,b = 2时， 2 ×2 × 2 7 × 2 7 × 2 = 36 > 25
只有 a =1,b = 2符合题意，即 ab的值为 2.
故选：B.
【变式 1-2】（2024·云南·模拟预测）当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源 交通
信息通信等领域有关技术加速融合，电动化 网联化 智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型
升级，从 2024 年起大力发展新能源汽车，2024 年全年预计生产新能源汽车 10 万辆，每辆车的利润为 2 万
元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都
比前一年增加20%（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加 2000 元，
则至 2030 年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据：1.27 3.58，结果精确到
0.1）
A．320.5 亿元 B．353.8 亿元 C．363.2 亿元 D．283.8 亿元
【答案】B
【解析】设第n年每辆车的利润为 an 万元，则每辆车的利润 an 是以 2 为首项，0.2 为公差的等差数列，
所以 an = 0.2n 1.8，设第n年新能源汽车的销量为bn 辆，
则该汽车的销量 bn 是以 100000 n-1为首项，1.2 为公比的等比数列，所以bn =100000 1.2 ，
设该车企销售新能源汽车的总利润为 S ,\S =100000 1.2n-1 0.2n 1.8 ，
\S =100000 2 2.2 1.2 2.4 1.22 2.6 1.23 2.8 1.24 3 1.25 3.2 1.26 ①，
1.2S =100000 2 1.2 2.2 1.22 2.4 1.23 2.6 1.24 2.8 1.25 3 1.26 3.2 1.27 ，②
①-②得：-0.2S =100000 é 2 0.2 1.2 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 - 3.2 1.27 ù
é 7 ù
=100000 1.2 -1.2 ê2 0.2 ÷ - 3.2 1.2
7
ú =100000 0.8 - 2.2 1.271 1.2 ， è -
7
所以 S = 500000 2.2 1.2 - 0.8 3538000万元，即 S 353.8亿元，
故选：B.
题型二：数列不动点与递推问题
a 2
【典例 2-1】（多选题）（2024· n全国·模拟预测）已知数列 an 满足 a1 > 0， an 1 = 2 a ， an 的前 n 项和n
为 Sn ，则下列说法正确的有（ ）
A．对任意 a1 > 0， an 不可能为常数数列
B．当 a1 > 3时， an 为递减数列
1
C．若 a1 =1，则 an 2 2n-1
1 1 1 S a
D．若 a1 =1，则 L <
n n
a1 a2 an 4
【答案】BCD
a 2
【解析】因为 a1 > 0， a
n
n 1 = 2 a ，故
an > 0 .
n
对于 A，当 a1 = 2时， an = 2 ，即数列 an 为常数数列，故 A 错误；
a 3 a an 2 2 an 2对于 B，当 1 > 时， n 1 = × = 2，2 an 2 an
an-1 2
若存在 an ，使得等号成立，则 an = 2 ，故 2 = 2 a ，故
an-1 = 2，
n-1
依次有 a1 = 2，矛盾，故 an > 2 ,
2
则 a
2 an 4 - an
n 1 - an = - = < 0，即 an 1 < an ，所以 an 为递减数列，故 B 正确；an 2 2an
a =1 a 1 2 5对于 C，由 1 得 2 = = > 2，由 A，B 知，当 n 2时， a2 2 n
> 2 ，
a an 2 a故 n 1 = < n 1 n 2 12 a 2 ，则 an - 2 < an-1 - 2 1 1
< a
2 2n-2 2
- 2 = n-1 ，
n 2
1 5 1
故 an < 2 n-1 ，当 n＝2 时， a2 = = 2 2-1 ，此时等号成立，故 C 正确；2 2 2
an 2 S a a a
对于 D，由题有 an 1 - = ， Sn = a1 a2 L a2 a n，则
n = 1 2 L n ，两式相减得
n 2 2 2 2
Sn a a a= a a - 1 a - 2 L a - n-1 an 2 21 2 ÷ 3 ÷ n ÷ - = a1 L
2 a
- n
2 è 2 2 2 2 a a
，
è è 1 2 an-1 2
2 2 L 2 Sn a - 2a故 = n 1a a a 2 ，1 2 n-1
1 1 L 1 Sn 1 an 1 - 2a1 Sn 2an 1 - 2a S a所以 = = 1 < n na1 a2 an 4 4 4
4
（提示： 2an 1 - 2a1 = an - 2 < aa n ），故 D 正确．n
故选：BCD．
【典例 2-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知数列 a 2n 满足 an 1 = an - 2an 2，则下列说法正确的是
（ ）
1 5
A．当 a1 = 时，1 < an n 2 B．若数列 an 为常数列，则 an = 22 4
n-1
C．若数列 an 为递增数列，则 a1 > 2 D．当 a1 = 3时， a 2n = 2 1
【答案】AD
1 5
【解析】对于 A，当 a1 = 时， a2 = ，令b = a -1
2 1 1
n n ，则b2 4 n 1
= bn ，b2 = ，故0 < bn n 24 ，即4
1 5< an n 2 ，A 正确；4
对于 B，若数列 an 为常数列，令 an = t ，则 t = t2 - 2t 2 ，解得 t =1或 t = 2,\an = 1或 an = 2 ，B 不正确；
对于 C 2，令bn = an -1，则bn 1 = bn ，
若数列 an 2为递增数列，则数列 bn 为递增数列，则bn 1 - bn = bn - bn > 0 ，解得bn < 0或bn >1.
当b1 < -1时，b2 = b
2
1 > 1
2
，且bn 1 = bn ，
\b2 < b3 < ×× × < bn < ×× ×,b1 < b2 ，此时数列 bn 为递增数列，即数列 an 为递增数列；
当-1 b1 < 0 2时，0 < b2 1，且bn 1 = bn ，
\b2 b3 ××× bn ×××,b1 < b2 ，此时数列 bn 不为递增数列，即数列 an 不为递增数列；
当b1 >1
2
时，bn 1 = bn ，
\b1 < b2 < b3 < ××× < bn < ×××，此时数列 bn 为递增数列，即数列 an 为递增数列.
综上，当b1 < -1或b1 >1，即 a1 < 0或 a1 > 2时，数列 an 为递增数列，C 不正确；
对于 D，令 bn = an -1，则 bn 1 = b
2
n ， b1 = 2，两边同时取以 2 为底的对数，得 log2bn 1 = 2log2bn ， log2b1 =1，
\数列 log2bn 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
\log b = 2n-1，即b = 22
n-1
,\a = 22
n-1
2 n n n 1，D 正确.
故选：AD.
1
【变式 2-1 2】已知数列{an}满足 a1 =1， an 1 = an - an .给出下列四个结论：2
①数列{an}每一项 an 都满足0 < an 1 (n N
*)；
②数列{an}是递减数列；
③数列{an}的前n项和 Sn < 2；
2
④数列{an}每一项都满足 an 成立.n 1
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③
C．①②③ D．①②④
【答案】D
① a 1= a - a2 1【解析】对 ： n 1 n n = an (1- an )， a1 =12 2 ，
当 n = 1时， a
1
2 = ，所以0 < a2 2
<1，
假设当 n = k 时，0 < ak <1；
1 1 2 1
则当 n = k 1 2 时， ak 1 = ak - ak = - ak -1 0,
1
÷；2 2 2 è 2
*
综上，0 < an 1(n N )，正确；
1 2
对②： an 1 - an = - an < 0 ，故数列是递减数列，正确；2
a =1 a 1 a 3 a 39对③： 1 ， 2 = ， 3 = ， 4 = ， S4 =1
1 3 39 279
= > 2，错误；
2 8 128 2 8 128 128
对④：当 n = 1时， a1 =1
2
=1成立，
1 1
假设 n
2
= k 时成立，即 ak ，k 1
当 n = k 1
1
时，函数 y = - x2 x在 0,1 上单调递增，
2
2 2 2 k
a a 1 a2 2 1 2 2 2k 2则 k 1 = k - 2 k - ×2 k 2 2 k ÷ = < = ，è 2 k 2 2 k 2 2 k
故 n = k 1时成立.
{a } a 2综上所述：数列 n 每一项都满足 n 成立，正确.n 1
故选：D.
【变式 2-2】（2024·浙江·模拟预测）设数列{an}满足 a 3 1 = 0, an 1 = can 1- c, n Z ，其中 c 为实数，数列
{a2n }的前 n 项和是 Sn ，下列说法不正确的是（ ）
A．c∈[0,1]是an [0,1]的充分必要条件 B．当 c>1 时，{an}一定是递减数列
1
C．当 c<0 时，不存在 c 使{an}是周期数列D．当 c = 时， Sn > n - 74
【答案】C
【解析】若an [0,1]，则 a2 [0,1]\1- c [0,1]\c [0,1]，即必要性成立；
若 c∈[0,1]，则 a2 =1- c [0,1]
假设 n = k(k 1, k N *)时，an [0,1]
则 n = k 1时， a 3n 1 = can 1- c [1- c,1] [0,1]
因此 c∈[0,1] 时，an [0,1]，即充分性成立；故 A 成立；
c > 1, y = cx3 1- c 单调递增，
Q a1 = 0,\a2 = 1- c < 0\a3 = f (a2 ) < f (a1) = 1- c = a2
同理 a4 = f (a3 ) < f (a2 ) = a3 ，依次类推可得 an 1 < an ，即{an}一定是递减数列，故 B 成立；
当 c<0 时， a1 = 0,\a2 = 1- c > 0\a3 = c(1- c)3 1- c < 1- c = a2
由 a 23 = 0 c(1- c) 1 = 0，令 g(c) = c(1- c)
2 1,Q g(-1) 1< 0, g(- ) > 0\ g(c)
3 存在零点，即存在
c 使{an}是周期数
列，即 C 错误；
c 1= a 1当 时， n 1 = a3
3 1 1
n ,a -1 = (a
3 2
4 4 4 n 1 4 n
-1) = (an -1)(an a4 n
1),
由 A 得an [0,1]
1
，所以 an 1 -1 (a -1)(1 1 1) (a -1) (
3
× )2 L (0 -1) × (3)n ,
4 n n-1 4 4
a 1 (3)n , a 1 (3 3 - \ - )n-1(n 2)\a2 > 1- 2( )n-1n 1 n n (n 2)4 4 4
3 é 3 n-11-
ù
é 3 1 3 n-1 ù 4
ê ÷ ú
S n 1 2 ê
è 4 ú
\ n > - - ê ÷ L ÷ ú = n -1- 2
> n - 7， n 2
êè 4 è 4 ú 1 3-
4
因为 n = 1时， S1 = 0 > -7，所以 Sn > n - 7 ，即 D 成立；
故选：C
题型三：数列与函数、不等式的综合问题
【典例 3-1】（2024·江苏苏州·三模）已知函数 f (n) = an , n N* .
1
①当 a = 2时，bn = 1 f (n) ，记 bn 前n项积为Tn ，若m > Tn 恒成立，整数m的最小值是 ;
f (n) -1 n3
②对所有 n 都有 3 成立，则 a的最小值是 .f (n) 1 n 1
【答案】 3 17
【解析】 f (n) = 2n ，bn =1
1
n >1，T3 = b1b b
3 5 9 135
2 3 = = > 2，故Tn > 2，2 2 4 8 64
设 g x = ln 1 x - x ， x > 0，则 g x 1 -x= -1 = < 0 ，
1 x 1 x
故 g x = ln 1 x - x 在 x 0, 上单调递减，
则 g x < g 0 = 0，故当 x > 0时， ln 1 x < x ，
则 lnTn = ln b1b2 L bn = ln b1 ln b
1 1 1
2 L ln b = ln

n 1 ÷ ln 1 2 ÷ L ln
1
è 2 è 2 è 2n ÷
1 1
1 1 1 -
< L = 2 2
n 1 1
2 22 2n 1 1
=1- n <1，
- 2
2
所以Tn < e，
综上，Tn 2,e ，若m > Tn 恒成立，整数m的最小值为 3，
f (n) -1 n3 an -1 n3 2 1
1 1-
f (n) 1 n3 1 an 1 n3 1 an 1 n3 1，
ln 2n3 1
化简得 an 2n3 1，即 ln a ，
n
3
ln 2x3 1 6x - ln 2x3 1 3 3- - ln 2x3 1
令 h x = , x > 0， 2x3 1 3
x h x = 2 = 2x 1
，
x x2
x 2 3 3- - ln 2x3 1 < 3 - ln 2x3当 时， 3 1 < 3- ln17 < 0，2x 1
ln 2x3 1 所以 h x = , x > 0在 2, 上单调递减，
x
又 h 2 ln17= ,h 1 = ln 3, h 2 > h 1 ，
2
ln 2n3 1
所以 h n ln17 ln a
ln17
= ，故 ，
n 2 2
解得 a 17 ，所以 a的最小值为 17 .
故答案为：3， 17
*
【典例 3-2】欧拉函数j n n N 的函数值等于所有不超过n且与n互质的正整数的个数（公约数只有 1
j 10n
的两个整数称为互质整数），例如：j 3 = 2，j 4

= 2．记 an = n ，数列
an 的前n项和为 Sn ，若j 5
Sn n -1 lan 恒成立，则实数l 的取值范围为 ．
é9
【答案】 ê ,

4 ÷
【解析】在1～5n 的整数中与5n 不互质的数有5,10, × × ×,5n - 5,5n ，共有5n-1个，所以与5n 互质的数有
5n - 5n-1 = 4 5n-1 n n-1个，因此j 5 = 4 5 ．
n n
在1～10n的整数中，2
10 10
的倍数共有 个，5 的倍数共有 个，10 的倍数共有10n-1个，所以
2 5
n n
j 10n =10n 10 10- - 10n-1 = 4 10n-1．2 5
j 10n 4 10n-1 n-1
所以 an = = = 2 n ，所以数列
a 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
j 5 4 5n-1 n
1- 2n
所以 Sn = = 2
n -1，
1- 2
则 Sn n -1 la 恒成立等价于 2n - 2 n l × 2n-1n 恒成立，
n - 2
即l 2
n - 2
n-1 恒成立，所以l 2
2
2n-1 ÷ ，è max
b n - 2 b b n -1 n - 2 3- n令 n = ，则 - = - = ，2n-1 n 1 n 2n 2n-1 2n
所以b4 - b3 = 0，且b1 < b2 < b3 ,b4 > b5 > b6 > b7 > ×××，
n - 2 1 9
所以 2 = 2 b = 2 b = 2 =
è 2n-1 ÷ 4 3 max 4 4
，
9 é9
所以l

，即实数l 的取值范围是
4 ê
,
4 ÷
1 n3-1 2024· · a n T a = - 1 【变式 】（ 河北保定 二模）已知数列 n 的前 项积为 n ，若 n 2 ÷ ，则满足
Tk - ,0÷
è è 1000
的正整数 k 的最小值为 .
【答案】5
T 1【解析】由满足 k - ,0
1
1000 ÷ ，即
T < ，
è k 1000
n n 1
1 n 1

2 L n
故： a = , T = 1 1
2
n ÷ n ÷ =

2 ÷
，
è è 2 è 2
n 1当 4时， Tn < ，1000
又n为偶数时，Tn > 0, n
1
为奇数时，Tn < 0 ，所以要满足Tk - ,01000 ÷ ，è
所以 k 的最小值为 5，
故答案为：5.
【变式 3-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知数列 an 的前n项和为 Sn ，且 a1 = 2, S = a n 1n n 1 - 2 .若
S > n2n 61n ，则n的最小值为 .
【答案】7
n 1 n
【解析】因为 Sn = an 1 - 2 , Sn-1 = an - 2 n 2 ，
两式相减得： Sn - S
n 1 n
n-1 = an 1 - 2 - an - 2 ，即 an 1 = 2an 2n .
n 1 an 1 an 1两边同除以 2 可得 2n 1
- n = n 2 ，2 2
又 S = a - 22 2
a a
= ，得 a = 6，满足 2 - 1
1
1 2 2 2 = ，2 2 2
ìan ü a1 =1 1 an 1 n -1 n 1所以数列 í n 是首项为 ，公差为 的等差数列，故 n = =2 2 ， 2 2 2 2
a = n 1 2n-1即 n ，所以 Sn = an 1 - 2n 1 = n 2 2n - 2n 1 = n ×2n ，
因为 Sn - n2 61n = n ×2n - n2 61n = n 2n - n - 61 ，
令 cn = 2
n - n - 61 c - c = é2n 1 - n 1 - 61ù - 2n，则 n 1 n - n - 61 = 2n -1 > 0，
c c = 26所以数列 n 单调递增，因为 6 - 6 - 61 = -3 < 0,c7 = 27 - 7 - 61 = 60 > 0，
所以当1 n 6 S - n2 61 = nc nc < 0 S < n2时， n n 6 ，即 n 61n；
当 n 7 S - n2时， n 61n = ncn nc7 > 0，
2
即 Sn > n 61n .所以n的最小值为 7.
故答案为：7.
【变式 3-3】（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 an 的前n项和为 Sn ， a4 = 8，若存在非零常数l ，使得
2
Sn l = 1
S
l a nn对任意的正整数n均成立，则l = ， 的最小值为 .an 1
1
【答案】 1 /0.5
2
【解析】当 n = 1时， S1 l = 1 l a1 ，即 a1 l = a1 la1，又l 0，所以 a1 =1 .
由 Sn l = 1 l an ①，得：当 n 2时， Sn-1 l = 1 l an-1 ②，① - ②得 an = 1 l an - 1 l an-1，故
an 1 l= n 2
a ，n-1 l
1 l
所以数列 an 是以 1 为首项， 为公比的等比数列，l
1 l
n-1 1 l 3
所以 an = ÷ ，则 a4 = ÷ = 8，解得l = 1；
è l è l
n 2 n
2
故数列 a 2 -1n 的公比为 2 n-1 n 1- 2 S ， an = 2 ，则 a n n n 1n 1 = 2 ， Sn = = 2 -1，则 = n = 2 n - 2 .1- 2 an 1 2 2
S 2 1
解法一 令 t = 2n n，则 t 2， = t - 2，an 1 t
1
由对勾函数的性质可得 y = t - 2在区间 2, 上单调递增，
t
S 2n 1
所以当 t = 2，即 n = 1时， 取得最小值
a 2
.
n 1
1 1
解法二 令 f x = 2x x - 2 x 1 ，则 f x =

2
x - x ÷ × ln2 > 0 ， f x 单调递增，2 è 2
2
x =1 f x 1 S 1所以当 时， 取得最小值 2 ，即
n 的最小值为 2 .an 1
1
故答案为：1， 2
题型四：数列在实际问题中的应用
【典例 4-1】（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有 2024 根，每根圆钢的直径
为 10 厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多 1 根），且
3
为考虑安全隐患，堆放高度不得高于 米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .
2
【答案】134
n(n -1)
【解析】设第一层有m根，共有n层，则 Sn = nm = 2024 ，2
n(2m n -1) = 4048 = 24 11 23，显然n和 2m n -1中一个奇数一个偶数，
ìn =11 ìn =16 ìn = 23 ìn =11 ìn =16 ìn = 23
则 í
2m n -1
或
= 368 í 2m n -1 = 253
或 í ，即 í 或 í
m =176 m =179 m =119
或 í
m = 77
，
显然每增加一层高度增加5 3 厘米，
ìn =11
当 ím 179时， h =10 5 3 10 96.6厘米
<150 厘米，此时最下层有189根；
=
ìn =16
当 ím 119时，= h =15 5 3 10 139.9厘米
<150 厘米，此时最下层有134根；

ìn = 23 3
当 ím = 77 时， h = 22 5 3 10 200.52 >150厘米，超过 米， 2
所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为134根.
故答案为：134
【典例 4-2】（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为
天心石)， 环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的
最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)
3402块，则上层有扇形石板 块．
【答案】 405
【解析】记从中间向外每环扇面形石板数为{an}，则{an}是等差数列，且公差 d = 9 ， a1 = 9，
设每层有 k 环，则 n = 3k ， Sn = 3402，
n n -1 d 9n n -1
所以 Sn = na1 = 3402，即9n = 3402，2 2
即 n2 n - 756 = 0，解得 n = 27或 n = -28（舍去），
9 9 -1 d 9 9 -1 9
所以 k = 9，则 S9 = 9a1 = 9 9 = 405，2 2
即上层有扇形石板 405块.
故答案为： 405．
【变式 4-1】（2024·广东茂名·一模）有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一
共开了 1890 盏，则底层所开灯的数量为 盏.
【答案】30
【解析】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列 an ，公比 q = 2， n = 6，前 6 项和 S6 =1890，
a (1- q6 ) a (1- 26 )
于是 S6 = 1 = 1 =1890，解得a1- q 1- 2 1
= 30，
所以底层所开灯的数量为 30 盏.
故答案为：30
【变式 4-2】（2024·贵州·模拟预测）拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有
着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第 10 层一
共有 个节点.（填写具体数字）
【答案】1023
【解析】由图可知，每一层节点的个数组成以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
10
所以到第 10 1- 2层节点的总个数是 S10 = =1023 .1- 2
故答案为：1023.
【变式 4-3】（2024·湖北·一模）2022 年第二十四届北京冬奥会开幕式上由 96 片小雪花组成的大雪花惊艳了
全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形P1，并把每
一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲
线P2．重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线P3 ，P4，L，Pn，L．
设雪花曲线Pn周长为 ln ，面积为 Sn ．若P1的边长为 3，则 l5 = ； Sn = ．
256 n-1
【答案】 18 3 27 3 4- ×
9 5 20 ֏ 9
【解析】设雪花曲线Pn的边长为 an ，边数为bn ，又周长为 ln ，面积为 Sn ，
由题意可知， a1 = 3，b1 = 3， l1 = 9，
1 n-1 1 n-2
所以 an = a1 × ÷ =

÷ ，bn = b × 4
n-1
1 = 3 × 4
n-1
，
è 3 è 3
n-2 n-1
所以 ln = an ×b
1= ×3 ×4n-1 4= 9 × n 3 ÷ ÷
，
è è 3
l 9 4
5-1 256
则 5 =

÷ = ，
è 3 9
S 1又 2 9 31 = ×a1 ×sin 60° = ，2 4
n-2
S S b 3 a2 3 4n-2 3 1 3 3 4
n-2

当 n 2时， n - n-1 = n-1 × n ÷÷ = × × × ÷ = × ÷ ，
è 4 4 è 9 4 è 9
Sn = S1 S2 - S1 S3 - S2 ××× Sn - Sn-1
9 3 3 3 é 4 4
2
4
n-2
ù 18 3 27 3 4
n-1
= × ê1 ÷ ××× ÷ ú = - ×

4 4 9 9 9 5 20 9 ÷
.
ê è è ú è
S 4 31 = 也符合该式.9
256 18 3 27 3 4 n-1
故答案为： ； - × .9 5 20 è 9 ÷
题型五：数列不等式的证明
【典例 5-1】（2024·高三·河北衡水·期中）已知数列 an 的前n项和为 Sn ，且 Sn = 2an -1, n 1 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
1 1 1 1
(2)求证： L < 2S1 S2 S3 S
．
n
【解析】（1）当 n = 1时，a1 = 2a1 -1 a1 =1 .
当 n 2时， Sn = 2an -1， Sn-1 = 2an-1 -1，两式相减得：
an = 2an - 2an-1 an = 2an-1 .
所以 an 是以 a1 =1为首项，以 q = 2为公比的等比数列.
n-1
所以 an = 2 .
n
（2 1- 2）由（1）知： S = = 2nn -11- 2
1 1
所以 =S n .n 2 -1
1 1
当 n = 1时， = =1 < 2S1 2
1 -1 ，
1 1 1 1
当 n 2时， 2n-1 >1，故 =S 2n
< =
n -1 2
n - 2n-1 2n-1 ，
1 n
1 1 1 1 1-

÷ n
所以 L <1
1 1 L 1 è 2 é 1 ù
S1 S2 S3 Sn 2 2
2 2n-1 = 1 = 2 ê1- ÷ ú
< 2 .
1- ê è 2 ú
2
【典例 5-2】（2024·江苏盐城·模拟预测）在数列 an 的第 k 项与第 k 1项之间插入 k 个 1，称为变换G．数
列 an 通过变换G所得数列记为W1 an ，数列W1 an 通过变换G所得数列记为W2 an ， ，以此类推，数
列Wn-1 an 通过变换G所得数列记为Wn an （其中 n 2）．
(1)已知等比数列 an 的首项为 1，项数为m，其前m项和为 Sm ，若 Sm = 2am -1 = 255，求数列W1 an 的项
数；
(2)若数列 an 的项数为 3，Wn an 的项数记为bn ．
①当 n 2时，试用bn-1表示bn ；
n-1 n-1
②求证： 2 ×32 b 62n ．
【解析】（1）设等比数列 an 的公比为q，显然 q 1，
ì
S 1- q
m
a =1 S ， m
= = 255
由 1 m = 2am -1 = 255，得 í 1- q ，解得 q = 2, m = 8 .

a = q
m-1
m =128
故数列 an 有 8 项，经过 1 次变换后的项数为8 1 2 L 7 = 36，
即Ω1 an 的项数为 36.
（2）①由Ωn an 的项数为bn ，则当 n 2时，bn = bn-1 é 1 2 L bn-1 -1 ù ，
b b b 1 2 1所以 = n-1n n-1 bn-1 -1 = b2 2 n-1 b2 n-1
②因数列 an 是一个 3 项的数列，所以b1 = 6，
1 2 1 1 2
由bn = bn-1 bn-1 > bn-1 n 2 ，所以 lgbn > 2lgb2 2 2 n-1
- lg2，
于是 lgbn - lg2 > 2 lgb - lg2 lgb - lg2 > 2n-1n-1 ，则有 n lgb1 - lg2
lgb - lg2 > 2n-1 bn
n-1
所以 n lg3，得 lg > lg3
2 n-1
，即b > 2 ×32 n 2 ，
2 n
n-1
所以bn 2 ×3
2 .
n-1 1 1
Qbn 2 ×3
2 >1 \b < b2 2 2， n-1 n-1 n 2 ，于是bn = b2 n-1 bn-1 < bn-1 n 2 ，2
则有 lgb < 2lgb n-1 2
n-1 2n-1
n n-1，可得 lgbn < 2 lgb1，有 lgbn < lg6 ，即bn < 6 n 2 ，
n-1
所以b 62n ，
n-1
综上所述， 2 ×3n-1 b 2n 6 ．
1 2 2 *
【变式 5-1】（2024·江苏盐城·一模）已知正项数列 an 中， a1 = ，且3a3 n 1 2an 1an - an = 0 n N .
(1)求数列 an 的通项公式；
b a - a(2) = n n 1 n N*
1
n a a a a 1 ，证明：b1 b2 ××× bn < .n n 1 n n 1 4
2 2
【解析】（1）由3an 1 2an 1an - an = an 1 an 3an 1 - an = 0 ， an > 0，
得 a
1 1
n 1 = an ，又 a1 = ，3 3
a 1 1则 n 是以 为首项， 为公比的等比数列，3 3
a 1所以 *n = 3n
， n N .
2 b
a - a
= n n 1（ ）证明：因为 n anan 1 an an 1 1
an 1 - an 1 1 1 1= = - n N*
an 1 an 1 1 a

n 1 1 an 1
，
所以b1 b2 ××× bn
n
1 1
1 1 1 3 3 1
= - ÷ = - = - <1- =
k =1 è ak 1 1 ak 1 an 1 1 a1 1 1 4 4 4 .
3n 1
1
【变式 5-2】已知数列 an 满足a1 = 3,an 1 = 7an 3．
ì 1 ü
(1)证明 ían 是等比数列，并求 an 的通项公式；
2
1 1 1 7
(2)证明： 1 1 1 7 1
【解析】（1）因为 an 1 = 7an 3，所以 an 1 = 7 an ÷ ，且 a1 = ，则 an 0，2 è 2 2 2 2
a 1n 1 2 = 7 ì 1 ü 1 7即 1 ，所以数列 ían 是首项为 a = ，公比为 7 的等比数列，a 2
1 2 2
n 2
1 7 n na 7n-1 7 a 7 -1所以 n = × = ，则 = ；2 2 2 n 2
1 2
（2）由（1）可知， =a nn 7 -1
，
7n -1- 6 ×7n-1 = 7n-1 -1 0，即7n -1 6 ×7n-1，只有当 n = 1时，等号成立，
1 2 1
所以 = a 7n -1 3 ×7n-1 ，只有当 n = 1时，等号成立，n
1 1 7
当 n = 1时， = n
1 1-
n 2 1 1 ... 1 2 1 1 1 1
÷ 7
当 时， < ...

n ÷ =
è 7
1 <
，
a1 a2 an 6 è 7 7 3 1- 18
7
1 1 1 7
综上可知， 【变式 5-3】已知数列 an 是等差数列， a2 a5 =16， a5 - a3 = 4，数列 bn 的前 n 项和为 Sn ，且
Sn = 2bn - 2 ，
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
ì n
(2)若集合M = *ín N | lbn < a üi 中恰有四个元素，求实数l 的取值范围；
i=1
ìb , n为奇数
n
(3)设数列 cn 满足b =
n 1
n í ，
1 1 1 1 1
c
b , n n
的前 n 项和为Tn ，证明： - n < < ．
n 为偶数 8 8 4 k=1 T2k 6
【解析】（1）设等差数列 an 的公差为d ，
ìa5 - a3 = 2d = 4 ìa1 = 3
由题意可得： í
a2 a5 = 2a 5d 16
，解得 íd 2 ，1 = =
所以 an = 3 2 n -1 = 2n 1；
又因为 Sn = 2bn - 2 ，
若 n = 1，可得b1 = 2b1 - 2 ，解得b1 = 2；
若 n 2，可得 Sn-1 = 2bn-1 - 2，
两式相减得bn = 2bn - 2bn-1，即bn = 2bn-1；
n-1 n
可知数列 bn 是以首项b1 = 2，公比 q = 2的等比数列，所以bn = 2 2 = 2 .
n n 3 2n 1
（2）由（1）可知： ai = = n2 2n，
i=1 2
n n2 2n
若lbn < ai ，即l2n < n2 2n ，可得l < n ，
i=1 2
c n
2 2n
设 = l < cn 2n
，原题意等价于关于 n 的不等式 n 恰有 4 个不同的解，
n 1 2 2 n 1 n2 2n 3 1- n 1 n 令 c - c = - = 0，n 1 n 2n 1 2n 2n 1
当且仅当 n = 1时，等号成立，
3 35 35 3
可得 c1 = c2 > c3 > c4 > ×××，且 c4 = ,c5 = ，则 l < ，2 32 32 2
é35 3
所以实数l 的取值范围为 ê ,32 2 ÷
.

ì2n 1,n为奇数
（3）由题意可知：bn = í 2kn ，则 c2k -1 c2k = 2 2
2k = 22k 1，
2 ,n为偶数
8 1- 4k
则T = c c ××× c 3 5

2k 1 2 2k -1 c2k = 2 2 ××× 2
2k 1 8= = 4k -11 4 3 ，-
1 3 1
因为 k N* k，则0 2 4k -8，即0 < 6 4 8 4k -1 ，可得 = T2k 8 4k -1 2 4k ，
1 1 1- n
1
n
1

= 8 è 4
n ÷ 1 1 1则 k =

1-

n ÷ < ；
k =1 T2k k =1 2 4 1 1- 6 è 4 6
4
1 3 3
又因为 k N* ，则0 < 4k -1 < 4k ，可得 = >T2k 8 4k -1 8 4k ，
3
n n 1
1
-
1 > 3 = 32
4n ÷
则 è
1 1 1
k 1 = - n ；k =1 T2k k =1 8 4 1- 8 8 4
4
1 1 1 n 1 1
综上所述： - n <8 8 4 题型六：公共项问题
n n-1
【典例 6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 an 的前 n 项积为T 2 ，数列 bn 满足b1 =1，n = 3
bn - bn-1 =1（ n 2， n N* ）．
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)将数列 an ， bn 中的公共项从小到大排列构成新数列 cn ，求数列 cn 的通项公式．
n n-1 n n -1
【解析】（1）T = 3 2 = a a La ， ln a1 ln a2 L ln a

n = × ln 3，n 1 2 n 2
当 n = 1 0时， a1 = T1 = 3 =1，
é n n -1 n -1 n - 2 ù
当 n 2,n N* 时， ln an = ê - ú × ln 3 = n -1 × ln 3 = ln 3n-1 n-1，即an = 3 ，
2 2
a 1-1 0而 1 = 3 = 3 =1，满足上式，
所以数列 an n-1的通项公式为an = 3 ；
若数列 bn 满足b1 =1， bn - bn-1 =1（ n 2， n N* ），
则 bn = b1 n -1 ×1 = n ，
2
从而数列 bn 的通项公式为bn = n ；
2 a = 3n-1（ ）令 n = m
2 = bm , n,m N* n-1 n -1，解得m = 3 2 N* ，这表明 N ，2
从而只能 n = 2k -1,k N*，
2
所以 ck = bm = b = b = 3
k -1 = 9k -1n-1 3k-1 ，
3 2
所以数列 cn n-1的通项公式为 cn = 9 .
【典例 6-2】（2024·全国·模拟预测）设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，且 a1 = 4, S5 = 50，数列 bn 满足
b = 4,b = 4b ,n N*1 n 1 n ．
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2)若将数列 an 和 bn 的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 cn ，求数列 cn 的前 n 项和Tn ．
【解析】（1）设等差数列 an 的公差为 d，
ìa
1
= 4,
由题意得， í 5 4 解得 d = 3，
5a 1
d = 50,
2
所以由等差数列的通项公式可得： an = a1 (n -1)d = 4 (n -1)3 = 3n 1．
由b1 = 4 0,bn 1 = 4bn得数列 bn 是首项为 4，公比为 4 的等比数列，
b = b qn-1 n-1 n所以由等比数列的通项公式可得： n 1 = 4 4 = 4
（2 n）令 an = bn ，则可得3n1 1 = 4 21 2 ，
4n2n -1 (3 1)
n2 -1 C0 3n2 1 n2 -1 n2 -1 n2
所以 = = = n
Cn 3 L Cn 3 C -12 2 2 n2
1 3 3 3
= C0 3n2 -1 C1 3n2 -2n n L C
n2 -1
n N
*
，
2 2 2
即对于数列 bn 中的任意一项，都在数列 an 中存在公共项，
所以数列 bn 是数列 a nn 的子数列，从而可得 cn = 4 ，
4 1- 4n n 1
所以T 4 - 4n = = ．1- 4 3
【变式 6-1】（2024·四川南充·一模）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，满足 S5 = a7 ， a3 = -2 .
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{an}与{5 - 3n}的公共项从大到小排列得到数列{bn}，求数列{bn}的前 n 项和为Tn .
【解析】（1）记等差数列{an}的公差为d ，
ì5a 5 4 1 d = a1 6d ìa1 d = 0 ìa1 = 2
由题知 í 2 ，即 í
a 2d = -2 a1 2d 2
，解得 í ，= - d = -2 1
所以数列{an}的通项公式为： an = 4 - 2n .
（2）数列{an}的公差为-2，数列{5 - 3n}的公差为-3，
所以数列{bn}的公差为-6，
又数列{an}和{5 - 3n}的首项都为 2，
所以数列{bn}是以 2 为首项，-6为公差的等差数列，
n n -1
所以Tn = 2n

-6 = -3n2 5n .
2
【变式 6-2】已知数列 an *为等差数列，数列 bn 为等比数列，且bn N ，若
a1 = b2 = 2, a1 a2 a3 = b1 b2 b3 b4 =15．
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)设由 an ， bn 的公共项构成的新数列记为 cn ，求数列 cn 的前 5 项之和 S5 ．
【解析】（1）设数列 an 的公差为d ，数列 bn 的公比为q，
因为 a1 = 2, a1 a2 a3 =15
ìa1 = 2 ìa1 = 2
则 í ，解得 í ，
2a1 3d =13 d = 3
所以 an = a1 (n -1)d = 2 3(n -1) = 3n -1，
因为b2 = 2,b1 b2 b3 b4 =15，
ìb1q = 2
所以 í 2 3 ，则 2q
3 2q2 -13q 2 = 0
b b q b q 13 ， 1 1 1 =
所以 (q - 2)(2q2 6q -1) = 0，
b *因为 n N ，所以 q = 2，b1 =1，
所以bn = 2
n-1
．
（2）设数列 an 的第m项与数列 bn 的第n项相等，
a = b 3m -1 = 2n-1则 m n ，m， n N* ，
m 2
n-1 1
所以 = ，m， n N* ，
3
因为m， n N* ，
2
所以当 n = 1时，m = N*，当 n = 2时，m =1，则 c1 = 2 ，当 n
5
= 3时，m = N* ，
3 3
当 n 4
17
= *时，m = 3，则 c2 = 8，当 n = 5时，m = N ，3
n 65= 6 m =11 c = 32 n = 7 m = N*当 时， ，则 3 ，当 时， 3
257
当 n = 8 m = 43 *时， ，则 c4 =128，当n = 9 时，m = N3
当 n =10 时，m =171，则 c5 = 512，
故 cn 的前 5 项之和 S5 = 2 8 32 128 512 = 682．
6-3 a = 3n -1,b = 2n【变式 】已知 n n ，设 an 与bn 的公共项数列为 cn ，给出至少两种求 cn 的方法，要求讲清思
路，并求出 cn ．
【解析】方法 1， 由 cn 是 an 与bn 的公共项，设 cn 的第 n 项是 an 中的第 m 项，是 bn 的第 k 项，
2k 1 (3-1)k k
即 a = b k m 1，则3m -1 = 2 ， = = = C0 3k -1 - C1 3k -2 L (-1)k -1Ck -1
(-1) 1
m k k k k ，3 3 3
C0 3k -1 1显然 k - Ck 3
k -2 L (-1)k -1Ck -1k 是正整数，而m为正整数，当且仅当 (-1)k 1 = 0，即 k 为奇数时等式成
立，
c = 22n-1所以 n .
1
方法 2，显然 c1 = 2 ，b2 = 4不是公共项，b3 = 2
3
， a3 = 8 = b3 ，则 c2 = 2
3 = 22 2-1，
b = 24 54 不是公共项，b5 = 2 ,a11 = 32 = b c = 2
5 = 22 3-15，则 3 ，
一般地，如果 2k = 3n -1，则 2k 1 = 2 (3n -1) = 3(2n -1) 1一定不是 an 中的项，
而 2k 2 = 4(3n -1) =12n - 4 = 3(4n -1) -1是 an 中的项，
因此数列 cn 的指数构成以 2 为公差的等差数列，其首项为 1，
c = 22n-1所以 n .
方法 3，显然 c1 = 2
1
，b2 = 4不是公共项，b3 = 2
3
， a3 = 8 = b
3 2 2-1
3 ，则 c2 = 2 = 2 ，
b 4 5 54 = 2 不是公共项，b5 = 2 ,a11 = 32 = b5，则 c3 = 2 = 2
2 3-1
，猜想 c = 22n-1n ，
用数学归纳法证明：
当 n = 1时，猜想显然成立，
假设当 n = k,k N* 2k -1 *时，猜想成立，即 ck = 2 ，且 ck = am = 3m -1,m N ，
2k 1
于是 ck 1 = 2 = 4ck = 4(3m -1) =12m - 4 = 3(4m -1) -1，即ck 1是数列 an 与 bn 的公共项，猜想成立，
综上，对于任意正整数n， c = 22n-1n 是数列 an 与 bn 的公共项，
所以 c 2n-1n 的通项公式为 cn = 2 .
题型七：插项问题
【典例 7-1】已知数列 an 是等差数列，其前n和为 Sn ， a2 = 2， S9 = 45，数列 bn 满足
a1b1 a2b2 L anbn = n -1 ×2n 1
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)若对数列 an ， bn ，在 ak 与 ak 1之间插入bk 个 2（ k N* ），组成一个新数列 dn ，求数列 dn 的前
83 项的和T83 .
【解析】（1）设公差为d ，
ìa1 d = 2 ìa1 =1
故 í9a 36d 45，解得= í ， 1 d =1
故 an = a1 n -1 d =1 n -1 = n，
故b1 2b2 L nbn = n -1 × 2n 1，①
当 n = 1时，b1 =1，
当 n 2时，b1 2b2 L n -1 bn-1 = n - 2 × 2n-1 1，②
式子①-②得， nbn = n -1 × 2n 1- n - 2 × 2n-1 -1 = n × 2n-1，
n ×2n-1
即bn = = 2
n-1，
n
当 n = 1时，b =1 n-11 也满足上式，故bn = 2 ；
（2）因为 an = n ，所以在 dn 中，从项 a1开始，到项 ak 为止，
k -1
共有项数为 k 20 2 22 L 2k -2 = k 1- 2 = k 2k -1 -1，
1- 2
当 k = 7时，7 26 -1 = 70 < 83，当 k = 8时，8 27 -1 =135 > 83，
故数列 dn 前83项是项 a7之后还有83- 70 =13项为 2，
T83 = 1 2 3 4 5 6 7 2 20 21 L 25 13 =180 .
【典例 7-2】（2024·广东广州·二模）已知等差数列 an 的前n项和为 Sn ,a2n 1 = 2an 2
ì Sn ü
，且 í 为等差数
n 1
列．
(1)求 an 的通项公式；
an a(2) n 1
ì 1 ü
在2 2 与2 2 之间插入n个数，使这 n 2 个数组成一个公差为dn dn > 0 的等差数列，记数列 íd 的前 n
n项和为Tn ，求证：Tn < 3．
【解析】（1）因为等差数列 an 中， an = a1 n -1 d ，又a2n 1 = 2an 2，
所以a1 2nd = 2 é a1 n -1 d ù 2 ，即a1 2 = 2d ①，
ì Sn ü S S S S
因为 í 为等差数列，所以 n 1 - n = n 2 - n 1 ，
n 1 n 2 n 1 n 3 n 2
S S S S 2a d a 3a 3d 2a d
令 n = 1时， 2 - 1 = 3 - 2 ，即 1 - 1 = 1 - 1 ，则 a
3 2 4 3 3 2 4 3 1
= d ②，
结合①②，解出 d = 2, a1 = 2，则 an = 2 n -1 2 = 2n ，
所以 an 的通项公式为 an = 2n．
an 1 an
2 2 2（ ）由题设得d - 2
2 2n 1 - 2n 2n 1 n 1
n = = = ，即
= n ，
n 2 -1 n 1 n 1 dn 2
所以T
1 1 1 2 3 n 1
n = L = d d d 2 22
L
2n ①，1 2 n
1 T 2 3则 n = 2 3 L
n 1
n 1 ②，2 2 2 2
1 1 1-
①-② 1 T 1 1 1 1 n 1 2
2 2n-1 ÷è n 1 3 n 3由 得： =
2 n 22
3 L n - = 1 -2 2 2n 1 1 2n 1
= - n 1 ，
1- 2 2
2
T n 3所以 n = 3- 2n
，
因为 n N*
n 3
，所以 n > 0 ，所以Tn < 3，即证．2
a a a
【变式 7-1】（2024·河北沧州·一模）在数列 an 中，已知 a1 2 32 L nn-1 = 2n2 2 2 ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在数列 an 中的 a1和 a2之间插入 1 个数 x11，使a1, x11,a2成等差数列；在 a2和a3之间插入 2 个数 x21, x22 ，
使a2 , x21, x22 ,a3成等差数列；…；在 an 和 an 1之间插入n个数 xn1, xn2 ,L, xnn ，使 an , xn1, xn2 ,L, xnn ,an 1 成等差
数列，这样可以得到新数列 bn : a1, x11,a2 , x21, x22 ,a3, x31, x32 , x33,a4 ,L,an ，设数列 bn 的前n项和为 Sn ，求
S55（用数字作答）．
【解析】（1）当 n = 1时， a1 = 2；
a a a
n 2 n = 2 3
an a
当 时， 2
a3 a
n-1 a1 2 L n-1 ÷ - a1 2 L
n-1
2 2 2 2 ÷
= 2n - 2 n -1 = 2，
è è 2 2 2n-2
a
所以 nn-1 = 2 an = 2
n
2 ， n 2 .
当 n = 1时，上式亦成立，
所以： a = 2nn .
（2）由 n é 1 2 3 L n -1 ù = 55 n =10 .
所以新数列 bn 前 55 项中包含数列 an 的前 10 项，还包含， x11， x21， x22 ， x31， x32，L， x98， x99 .
x a1 a2 2 a2 a 3 a a 9 a a且 11 = ， x21 x 322 = ， x31 x32 x
3 4 9 10
2 2 33
= ， x91 x92 L x99 = .2 2
所以 S55 =
a1 a2 2 a2 a3 9 a9 aa a L a L 10 1 2 10 2 2 2
3a 5a 7a L 19a 11a
= 1 2 3 9 10 .
2 2
设T = 3a1 5a2 7a3 L 19a9 = 3 21 5 22 7 23 L 19 29
则 2T = 3 22 5 23 7 24 L 19 210 ，
1
所以-T = T - 2T = 3 2 2 22 23 L 29 -19 210 = -17 210 - 2 .
故：T =17 210 2 .
S 17 2
10 2 11
所以 = 210 = 28 2955 1 =14337 .2 2
2
【变式 7-2】（2024·广西·模拟预测）记数列 an 的前 n 项和为 S 3n 3nn ，对任意正整数 n，有 Sn = - ．2 2
(1)求数列 an 的通项公式；
(2) m对所有正整数 m，若ak < 4 < ak 1 ，则在 ak 和 ak 1两项中插入 4m，由此得到一个新数列 bn ，求 bn 的
前 91 项和．
3n2 3n éa S S 3(n -1)
2 3(n -1) ù
【解析】（1）当 n 2时， n = n - n-1 = - ÷ - ê - ú = 3n - 3．
è 2 2 2 2
又 n = 1时，得 a1 = 0，也满足上式，
故 an = 3(n -1)．
4
（2）由a91 = 270 ，所以4 < a < 4591 ，
又a87 = 258 > 4
4
，所以 bn 前 91 项中有 87 项来自 an ，
所以b1 b
1 2 3 4
2 L b91 = a1 a2 L a87 4 4 4 4
87 a a 4 44 -1
= 1 87

=11223 340 =11563．
2 4 -1
题型八：蛛网图问题
t 3
【典例 8-1】已知数列 bn 若b1 = 2，bn = bn-1 （ n N* 且 n 2，t R ），若 bn 2对任意 n N* 恒成立，4 4
则实数 t 的取值范围是 .
é 5 ù
【答案】 ê-4， 2 ú
【解析】法一：不妨先由 b2 2, b3 2得到 bn 2恒成立的必要条件，
ì
b
t 3
2 = 2 ì 11 52 4 - t 2 2 5í í -4 t ；
b 2t
2 3t 12 5 2
3 = 2
-4 t
16 2
t t tbn = b
3 t
n-1 ，设bn l = bn-1 l b

，则
4 4 4 n
= bn-1 -1 l ，4 è 4 ÷
t
所以 -1

÷l
3 3 1
= 3，解得l = ，故b =
b 3
4 4 t - 4 n t - 4 4 n-1
÷ ，
è è t - 4
b 3 2 3 2t - 5又 1 = = ，t - 4 t - 4 t - 4
2t - 5 t n-1 3
故bn = ×t - 4
- ，
è 4 ÷ t - 4
5 - 2t t n-1
所以 b 3 5 - 2t 1 3n = × × = 2，得证.4 - t 4 4 - t 4 - t 4 - t
法二：蛛网法
t 3
记函数 f x = x ，过定点 0
3
， ÷.bn = f bn-1 .4 4 è 4
当 t 0时，B1 2
t 3 5
，b2 迭代收敛于点 A，只需位于直线 y = x 下方，即 ×2 2 0 t ；4 4 2
当 t < 0时，B1 2，b2 迭代收敛于点 A，由蛛网图： b2n-1 单调递减，故只需b3 b1
t t 3 3
即
2 -4 t < 0
4 è 2 4 ÷ 4
综上-4 t
5
.
2
é 4 5- ù故答案为： ê ， 2 ú
【典例 8-2】已知数列{an}满足： a1 = 0 ， an 1 = ln(e
an 1) - an (n N
*) ，前 n项和为 Sn ，则下列选项错误的
是 (　　 )（参考数据： ln2 0.693， ln3 1.099)
A．{a2n-1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列
B． an an 1 ln3
C． S2020 < 670
D． a2n-1 a2n
【解析】解：由 an 1 = ln(e
an 1) - a ，得 a = ln(eann n 1 1) - lne
an ，
1
\ ean 1 = 1 a ，e n
令b ann = e ，即 an = lnbn ，
则b 1n 1 = 1 ，bn
a1 = 0 ，b1 = 1．
作图如下：
由图可得：
A．{a2n-1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列，因此 A正确；
B Qb 1． n [1， 2]，\bnbn 1 = bn (1 ) = bn 1 [2 ，3] ，bn
\b an an 1nbn 1 = e × e [2 ，3] ，
\an 1 an [ln2， ln3]，因此 B 正确；
C ．Qan 1 an…ln2，\S2020 = (a1 a2 ) (a3 a4 ) (a2019 a2020 )…1010ln2 > 693，因此C 不正确；
D 5 1 5 1 5 1．由不动点 ( ， ) ，得1 b
2 2 2n-1
< < b2n 2 ，可得：b2 2n-1 < b2n ，\a2n > a2n-1 ，因此 D 正确．
故选：C ．
ì ü
【变式 8-1】（2024 浙江模拟）数列{an}满足 a1 > 0 ， an 1 = a
3
n - an 1， n N
* S 1， n 表示数列 ía
前 n项
n
和，则下列选项中错误的是 (　　 )
A 0 a 2．若 < 1 < ，则 an < 13
B 2．若 < a1 < 1，则{an}递减3
C 1．若 a1 = ，则 Sn > 4(
1
- 2)
2 an 1
D 2．若 a1 = 2，则 S2000 > 3
【 解 析 】 解 ：（ 法 一 ） 对 于 选 项 A， 令 f (x) = x3 - x 1， x (0,1) ， 则 f (x) = 3x2 -1， 令
f (x) 3= 0 x = ，
3
易知 f (x) 在 (0, 3 ) 3上单调递减，在 ( ，1) 上单调递增，此时 f (x) < 1，
3 3
又 a 3n 1 = an - an 1 = f (an )
2
，若 0 < a1 < ，则有 an < 1，故选项 A正确；3
对于选项 B ，结合选项 A中的过程，作出递推函数与 y = x 的交点，可得函数 f (x) = x3 - x 1(x > 0) 的不动
5 -1 3 5 -1 2
点为 和 1，且 < < < 1，
2 3 2 3
故函数 f (x) (2在 ,1) 5 -1单调递增，且 f ( ) < 1, f (1) > 1，
3 2
5 -1
故 x = 为吸引不动点， x = 1为排斥不动点，
2
2 a 5 -1故当 < 1 < 1时，数列{an}向吸引不动点 靠近，单调递减，故选项 B 正确；3 2
对于选项 C ， a 11 = ,a
5 5 -1
2 = > ，由选项 A， B 的过程可知，当 n…2 时，数列 {an}单调递减且2 8 2
1 5 -1
< < a 1n < 1，故 - 2 < 0 ，2 2 an 1
1
而显然 Sn > 0 ，故 Sn > 4( - 2) 成立，故选项C 正确；an 1
对于选项 D ，当 a1 = 2时，结合选项 A， B 的过程及蛛网图，易知数列{an}单调递增，
又 a2 = f (a1) = 7 ， 故 当 n…2 时 ， a 3n 1 = an - an 1 > a 3n - an = an (a 2 -1)…(72n -1)an = 48an ， 即
1 1 (n…2) ，
an 1 48an
1 1
故
a 48n-2
，
n a2
1
1 1 1 1 1 1 a2 48 1 1\ < = < ，
a2 a3 a2020 a2 48a2 48
2018 a 1 12 - 47 7 6
48
故 S 1 1 22020 < = ，故选项 D 错误．a1 6 3
（法二）作出 f (x) = x3 - x 1(x > 0) 与 y = x 的图象，由蛛网图可知，选项 A， B 正确；
a 1 5 5 -1 1 5 1若 1 = ，由蛛网图可知， an < a2 = ， n 时， an ，则 ，2 8 2 an 1 2
4( 1故 - 2) < 0 < Sn ，选项C 正确；an 1
若 a1 = 2
1 1 1 1 1 1
，则 = ， = ，比较 S - 与 的大小，
a1 2 a
2020
2 7 a1 6
1 1 1 1
= 3 < 3 = g
1 1 1 1
2 < g 2 = (n…2)，an 1 an - an 1 an - an an an -1 an 7 -1 48an
1
1 1 1 1 1 1 48 1
则 < < 7 = < ，选项 D 错误．
a2 a3 a
2018 1
2020 7 7 48 7 48 1- 329 6
48
故选： D ．
【变式 8-2】已知数列 {an}满足： a1 = 0 ， an 1 = ln(e
an 1) - an (n N*) ，前 n项和为 Sn （参考数据：
ln2 0.693， ln3 1.099)，则下列选项中错误的是 (　　 )
A．{a2n-1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列
B． an an 1 ln3
C． S2020 < 666
D． a2n-1 < a2n
【解析】解：由 a ann 1 = ln(e 1) - a ，得 a = ln(e
an 1) - ln(eann n 1 )，
ea 1n 1 = 1
ea
，
n
令bn = e
an ，即 an = lnb b 1
1
n ，则 n 1 = ， a1 = 0 ，\b1 = 1，bn
作图如下：
由图得：
①{b2n-1}单调递增，{b2n}单调递减，
an = lnbn ，故 A正确；
②Qbn [1
1
， 2]，\bnbn 1 = bn (1 ) = bn 1 [2 ，3] ，bn
\b b = ean an 1n n 1 [2 ，3] ，
\an an 1 [ln2， ln3]，故 B 正确；
③Qan an 1…ln2，\S2020 = (a1 a2 ) (a2019 a2010 )…1010gln2 > 693，故C 错误．
④ ( 5 1 5 1) 1 b 1 5 1 5由不动点 ，得 2n-1 < ， < b2n 2 ，2 2 2 2
\b2n > b2n-1，\a2n > a2n-1 ，故 D 正确．
故选：C ．
2
【变式 8-3】（多选题）已知数列 an 满足 a1 = a ， an 1 = an -1a ，记数列 an - 2 的前 n 项和为 Sn ，n
l > S 对 n N*n 恒成立，则下列说法正确的有（ ）
A．若 a > 0，则数列 an - 2 为递减数列
B．若 2 < a < 2，则数列 an 为递增数列
C a 3 l 35．若 ＝ ，则 的可能取值为 12
5 5
D．若 a＝3，则 Sn -2 3 ×2n-1
【答案】BCD
2
【解析】对于 A，令 an 1 = an -1 = aa n ，解得
an = 2 ，即数列 an 的不动点为 2，所以当 a＝2 时，
n
an = 2 ，此时 an - 2 为常数列，A 错误；
2
对于 B，作出函数 y = x -1与函数 y＝x 的图像如图：
x
由图可知 B 正确；
2
对于 C，作出函数 y = x -1与函数 y＝x 的图像如图：
x
1 1 1 2
2 < a < a 3 < a∴ ∴ n 1 2 1
1 1 7 8
= - 1 = 2 - é ,1 由图可知： n 1 n ， 3 a 2 ， a a2 a a 4 ÷ 8 ê ÷
，
n n n n è n 9
8 2 2 - an
即 an an 1 < an ，又∵ an 1 - an = -1 = ，∴ an - 2 = an an - a ，9 a a n 1n n
8 17
一方面，由 an 1 an 得 a9 n
an 1 an ，9
a 9∴ n a a a
9 2 2
，
17 n n 1 n
- 2 = an an - an 1 an - an 1 ，17
∴ Sn = a1 - 2 a2 - 2 L an - 2
9
2 2 2 2 é a1 - a2 a2 - a3
9
L a2 - a2 ùn n 1 = 9 - a217 17 n 1
9 45 35 45
∵ an 1 > 2，且当 n→＋∞， an 1 2，∴ Sn < 9 - 4 = ，∵ > ，17 17 12 17
2 a 2n - 3an 2 an - 2 an -1 a∴ n 1
- 2 1
另一方面，由 an 1 - 2 = an - 3 = = ， 2 < a 3，得 =1-an a a
n
n n an - 2 a
，
n
1 1 1 2< -
2 a 3 ，n
2 5 1
又∵ a1 - 2 = 1， a2 - 2 = ， a3 - 2 = ，且 an 1 - 2 > an - 2 × ，∴3 12 2
S a 2 a 2 L a 2 1 2 2 5 1 5 1
n-3 5 5
n = 1 - 2 - n - × L ×

÷ = - ，3 12 12 2 12 è 2 2 3 × 2n-1
所以 CD 正确.
故选：BCD.
题型九：整数的存在性问题（不定方程）
【典例 9-1】已知等比数列 an 的前n项和为 Sn ，公比 q = 3，S4 =160 .
(1)求a3；
(2)若在 a1与a3之间插入 3 个数，使这 5 个数组成一个等差数列，试问在这 5 个数中是否存在 3 个数可以构
成等比数列？若存在，找出这 3 个数；若不存在，请说明理由.
a1 1- 34 【解析】（1）由 S = =160 ，得 a1 = 4，所以 a3 = a 21q = 36 .4 1- 3
（2）设这 5 个数组成的等差数列为 bn ，
b - b
则b = a 5 11 1 = 4，b5 = a3 = 36，得该数列的公差 d = = 8，4
所以b2 =12，b3 = 20，b4 = 28 .
因为122 = 4 36 ，所以b1，b2，b5成等比数列，即这 3 个数为 4，12，36.
【典例 9-2 *】已知等比数列 an 的前n项和为 Sn ，且 an 1 = 3Sn 2 n N ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an 与 an 1之间插入n个数，使这 n 2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，在数列 dn 中是否存在 3 项
dm ，dk ， d p （其中m， k ， p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在，请说明
理由．
【解析】（1）由题意知当 n = 1时， a1q = 3a1 2 ①
2
当 n = 2时， a1q = 3 a1 a1q 2 ②
联立①②，解得 a1 = 2， q = 4；
所以数列 an 的通项公式 a = 2 4n-1n ．
2 n-1（ ）由（1）知 an = 2 4 ， an 1 = 2 4
n
，
n-1
所以 an 1 = an n 2 -1 d a - a 6 4，可得 d = n 1 nn = ；n 1 n 1
2
设数列 dn 中存在 3 项 dm ，dk ， d p （其中m， k ， p 成等差数列）成等比数列，则 dk = dm ×d p，
k -1 2 6 4 6 4m-1 6 4 p-1 36 42k -2 36 4m p-2
所以 ÷ = × ，即 =
è k 1 m 1 p 1 (k 1)
2 m 1 p ； 1
又因为m， k ， p 成等差数列，所以 2k = m p ，
2
所以 (k 1) = m 1 p 1 ，化简得 k 2 2k = mp m p ，即 k 2 = mp；
又 2k = m p ，所以 k = m = p 与已知矛盾；
所以在数列 dn 中不存在 3 项 dm ，dk ， d p 成等比数列．
【变式 9-1】（2024·天津南开·二模）已知 an 是等差数列，公差 d 0， a1 a5 = 8，且a3是 a1与 a7的等比
中项.
(1)求 an 的通项公式
b - b
(2) b n n 1 1数列 n 满足 = 2a bb b n ，且 1 = .n n 1 2
（ⅰ）求 bn 的前 n 项和 Sn .
（ⅱ）是否存在正整数 m，n（m n），使得 S4 ， S2m ， S2n 成等差数列，若存在，求出 m，n 的值；若不存
在，请说明理由.
【解析】（1）因为 an 为等差数列，且 a1 a5 = 8，所以 a3 = 4．
又a3是 a1与 a 27的等比中项，所以 a3 = a1a7 ，即16 = (4 - 2d ) 4 4d ．
化简得 d 2 - d = 0，解得 d =1或 d = 0 （舍），
所以 an = a3 n - 3 1 = n 1．
bn - bn 1 1 1 1 1
（2）（i）由 = 2an ，得 - = 2an ，所以 - = 2a
1
b b n-1（ n 2），又
b1 = ，
n n 1 bn 1 bn bn bn-1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
当 n 2时， = - ÷ - ÷ L b
- ÷
n è bn bn-1 è bn-1 bn-2 è b2 b1 b1
= 2a 1 2a n -1 n - 2 n-1 n-2 L 2a1 b = 4 n -1 2 2 = n n 1 ，1 2
1
又b
1
1 = 也适合上式，所以 = n n 1 ，2 bn
b 1 1 1则 n = = -n n 1 n n 1，
S = 1 1 1 1 1 1 n所以 n 1- 2 ÷
-2 3 ÷
L - ÷ =1- = ．
è è è n n 1 n 1 n 1
（ⅱ）假设存在正整数 m，n，使得 S4 ， S2m ， S2n 成等差数列，
S S 2S 1 1 1 1 2 1 1 = - - = - 25则 4 2n 2m ，即 ÷ ，整理得 2m = 9 - ，4 1 2n 1 è 2m 1 n 3
显然 n 3是 25 的正约数，又 n 3 4，则 n 3 = 5或 n 3 = 25，
当 n 3 = 5，即 n = 2时，m = 2 与m n矛盾；
当 n 3 = 25，即 n = 22时，m = 4 ，符合题意，
所以存在正整数使得 S4 ， S2m ， S2n 成等差数列，此时m = 4 ， n = 22．
【变式 9-2】（2024·黑龙江·二模）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 S *n 1 = 3Sn 1，其中 n N .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)在 an 与 an 1之间插入 n 个数，使这 n 2 个数组成一个公差为 dn 的等差数列，在数列 dn 中是否存在不
同三项 dm ，dk ， d p （其中m, k, p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说
明理由.
【解析】（1）因为 Sn 1 = 3Sn 1，故 Sn = 3Sn-1 1，故 an 1 = 3an n 2 ，
而 an 为等比数列，故其公比为3，
又 S2 = 3S1 1，故3a1 a1 = 3a1 1，故 a1 =1，
故 an =1 3
n-1 = 3n-1 .
2 d an 1 - an 2 3
n-1
（ ）由题设可得 n = = ，n 2 -1 n 1
若数列 dn 中存在不同三项 dm ，dk ， d p （其中m, k, p成等差数列）成等比数列，
2
2 3k -1 2 3m-1 2 3p-1
则 ÷ = ，因m, k, p为等差数列，
è k 1 m 1 p 1
2
2
故 k 1 = m 1 p 1 即 k 2 = mp m p ，故 ÷ = mp ，
è 2
故m = p即m = p = k ，这样m, k, p不同矛盾，
故数列 dn 中不存在不同三项 dm ，dk ， d p （其中m, k, p成等差数列）成等比数列.
【变式 9-3】（2024·天津北辰·三模）已知 an 为等差数列，前n项和为 Sn ，若 a2 = 3， S8 = 6S3 10；数列
bn 满足： 1
1 1 1 1
- ÷ 1- ÷L 1- ÷ = ， n N* .
è b1 è b2 è bn bn
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2)对任意的m N*，将 a m 2mn 中落入区间 2 ,2 内项的个数记为 cm .
（i）求 cm ；
2 T - t
（ii m 1）记 dm = b d m T m * = d 12 2( m-1) c ， m 的前 项和记为 m，是否存在 ， t N ，使得- T - t t 成立？若存m m
在，求出mt的值；若不存在，请说明理由.
ì a2 = 3 ì a1 d = 3 ìa1 =1
【解析】（1） í í
S8 = 6S3 10 8a
í
1 28d = 6 3a1 3d 10 d
，
= 2
所以 an =1 2 n -1 = 2n -1，
1 1 1 1
1- 1
1
- LL 1- 1- = ①
è b
÷ b ÷ b ÷ ÷1 è 2 è n-1 è bn bn
1 1 1 1 LL 1 1
1
当 n 2时，令 n = n -1得： - ÷ - ÷ - ÷ = ②
è b1 è b2 è bn-1 bn-1
1 b
① ② 1- = n-1得： bb b n
- bn-1 =1，所以 bn 是公差为1的等差数列，
n n
1 1
当 n = 1时有：1- = b1 = 2，所以bn = 2 n -1 = n 1b1 b1
m 2m
（2）（i） 2m < 2n -1 < 22m 2 1 2 1 1 < n < 2m-1 < n < 22m-1 1
2 2 2 2
因为 n N*，所以 2m-1 1 n 22m-1 c = 22m-1 - 2m-1，所以 m
m-2
ii b = 2m -1 c = 22m-1 m-1 d
2 1
（ ） 2 m-1 ，把 m - 2 代入 dm 得： m = =22m-1 - 22m-1 - 2m-1 ÷ ，è 2
é
2 1 1
m
ù
ê - 2 ÷ ú é m
所以 è T ê= ú = 4 1- 1
ù Tm 1 - t d 1 Tm dm 1 - t， = t = dt 1
d
m 1 = d
m 1 ê ÷ ú T - t T
t ，
ê è 2 ú m m
- t Tm - t
1-
2
T t dm 1 1
m 1-t 1 m 1 m 1 1-t 1 m 4 - t
m - = =

÷ 4 - 4 ×

÷ - t =
× ÷ ÷ ÷ =
所以 dt è 2 è 2 è 2 è 2 è 2 1
1-t
4 ÷
è 2
1
m 1-t
1
因为 ÷ > 0， 4 ÷ > 0 ，所以 4 - t > 0 t 1,2,3 ，
è 2 è 2
3 1
当 t =1时，m = log 1 5 （舍去），当 t = 2时，
m = log 1 3 （舍去），2 2
当 t = 3时，m = 3，所以存在 t,m ，mt = 9 .
题型十：数列与函数的交汇问题
【典例 10-1 3】已知定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数且满足 f ( - x) = f (x)， f (-2) = -3，数列{an}是等差2
数列，若 a2 = 3 ， a7 = 13，则 f (a1) f (a2 ) f (a3 ) f (a2015 ) = ( 　　 )
A． -2 B． -3 C．2 D．3
3
【解析】解：Q函数 f (x) 是奇函数且满足 f ( - x) = f (x)，
2
有 f (3 - x) = - f (-x)，
2
则 f (3 - x) = - f (3 - x) = f (-x)，
2
即 f (3 - x) = f (-x) ，
\ f (x)为周期为 3 的函数，
Q数列{an}是等差数列，若 a2 = 3 ， a7 = 13，
\a1 = 1， d = 2，
\an = 2n -1，
\ f (a1) f (a2 ) f (a3 ) f (a2015 ) = f （1） f （3） f （5） f (4029) ，
Q f (-2) = -3， f (0) = 0，\ f （1） = -3，
\ f （1） f （3） f （5） = 0，
\ f (a1) f (a2 ) f (a3 ) f (a2015 ) = f （1） f （3） f （5） f (4029) = f （1） f （3） = -3，
故选： B ．
【典例 10-2】已知数列{a 100n}的通项公式 an = n ，则 | a1 - a2 | | a2 - a3 | | a99 - a100 |= ( 　　 )n
A．150 B．162 C．180 D．210
a n 100【解析】解： n = …2 ng
100
= 20 ，
n n
可得当1 n 10 时，数列{an}递减， n…11时，数列{an}递增，
可得 | a1 - a2 | | a2 - a3 | | a99 - a100 |= a1 - a2 a2 - a3 a9 - a10 a11 - a10 a12 - a11 a100 - a99
= a1 - a10 a100 - a10 = 1 100 100 1- 2(10 10) = 162 ．
故选： B ．
【 变 式 10-1 】 设 等 差 数 列 {an}的 前 n项 和 为 Sn ， 已 知 (a
3
4 -1) 2012(a4 -1) = 1，
(a 32009 -1) 2012(a2009 -1) = -1，则下列结论中正确的是 (　　 )
A． S2012 = 2012 ， a2009 < a4 B． S2012 = 2012 ， a2009 > a4
C． S2012 = 2011， a2009 < a4 D． S2012 = 2011， a2009 > a4
【解析】解：由 (a4 -1)
3 2012(a4 -1) = 1， (a2009 -1)
3 2012(a2009 -1) = -1
可得 a4 -1 > 0， -1 < a2009 -1 < 0 ，即 a4 > 1， 0 < a2009 < 1，从而可得等差数列的公差 d < 0
\a2009 < a4 ，
把已知的两式相加可得 (a -1)34 2012(a4 -1) (a
3
2009 -1) 2012(a2009 -1) = 0
整理可得 (a4 a2009 - 2)g[(a4 -1)
2 (a2009 -1)
2 - (a4 -1)(a2009 -1) 2012] = 0
结合上面的判断可知 (a -1)2 (a 24 2009 -1) - (a4 -1)(a2009 -1) 2012 > 0
a 2012 2012所以 4 a2009 = 2 ，而 s2012 = (a2 1
a2012 ) = (a a2 4 2009
) = 2012
故选： A．
题型十一：数列与导数的交汇问题
【典例 11-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数 f x = a ln x 1- a 1 x x2 .
2
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 a =1时， h x = f x 1- x2 2x 1 *，数列 tn 满足 t1 0,1 ，且 tn 1 = h tn n N 2 x
① t t 1 n N*比较 n 1 ， n 2 ， 的大小
②证明： tn 1 tn 3 > 2tn 2 n N* .
【解析】（1）由题意知 f x 的单调性为 0, ，
2
a x - a 1 x a x - a x -1f x a 1 x = - = = .
x x x
当 a 0时，令 f x > 0，解得 x >1，令 f x < 0，解得0 < x < 1，
f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增；
当 0 < a < 1时，令 f x > 0，解得0 < x < a 或 x >1，令 f x < 0，解得 a < x <1，
f x 在 0,a 上单调递增，在 a,1 上单调递减，在 1, 上单调递增；
当 a =1时， f x 0， f x 在 0, 上单调递增；
当 a > 1时，令 f x > 0，解得0 < x < 1或 x > a，令 f x < 0，解得1< x < a ，
f x 在 0,1 上单调递增，在 1, a 上单调递减，在 a, 上单调递增.
综上所述，当 a 0时， f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增；
当 0 < a < 1时， f x 在 0,a 上单调递增，在 a,1 上单调递减，在 1, 上单调递增；
当 a =1时， f x 在 0, 上单调递增；
当 a > 1时， f x 在 0,1 上单调递增，在 1, a 上单调递减，在 a, 上单调递增.
1 x -1
（2）①当 a =1时， h x = ln x ，则 h x = 2 ，x x
令 h x < 0，得0 < x < 1；令 h x > 0，得 x >1，
所以 h x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
所以 h x h 1 =1，
因为 t1 0,1 ， t2 = h t1 >1， t3 = h t2 >1，L， tn 1 = h tn >1，
令m x = h x - x 1= ln x - x x 1 ，
x
x 1
2 3
2 - -
-
-x x -1

è 2 ÷ 4 ，m x = 2 = 2 < 0x x
所以m x 在 1, 上单调递减，且m x m 1 = 0，
因为 tn 2 - tn 1 = h tn 1 - tn 1 = m tn 1 ，
又 tn 1 >1，所以m tn 1 < 0，
所以 tn 2 - tn 1 < 0，则1< tn 2 < tn 1 .
②要证 tn 1 tn 3 > 2tn 2 ，即证 tn 3 - tn 2 > tn 2 - tn 1，
又 tn 3 = h tn 2 ， tn 2 = h tn 1 ，即证 h tn 2 - tn 2 > h tn 1 - tn 1 .
所以m tn 2 > m tn 1 ，即 h tn 2 - tn 2 > h tn 1 - tn 1，
所以 tn 3 - tn 2 > tn 2 - tn 1成立，
故 tn 1 tn 3 > 2tn 2 .
【典例 11-2】（2024·黑龙江·二模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积
的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应
立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有 1 个球，
第二层有 3 个球，第三层有 6 个球……第 n 1层球数是第 n 层球数与 n 1的和，设各层球数构成一个数列
an ．
(1)求数列 an 的通项公式；
x
(2)证明：当 x > 0时， ln 1 x >
1 x
n
(3)若数列 bn 满足b
2
n = ，对于 n N* ，证明：b1 b2 b3 L bn < n 2
n 1
．
ln(2an ) - 2lnn
【解析】（1）根据题意， a1 =1, a2 = 3,a3 = 6, a4 =10,L，
则有 a2 - a1 = 2, a3 - a2 = 3,L, an - an-1 = n，
当 n 2时， an = an - an-1 an-1 - an-2 L a2 - a1 a1
n n 1
= n n -1 n - 2 L 2 1 = ，
2
a =1 na n 1 又 1 也满足，所以 n = .2
x
（2）设 f x = ln 1 x - ， x 0, ，
1 x
则 f x
1 1 x
= - 2 = > 01 x 1 x 1 x 2 ，
所以 f x 在 0, 上单调递增，则 f x > f 0 = 0，
即 ln 1 x x - > 0，即当 x > 0时， ln 1 x x > .
1 x 1 x
x
（3）由（2）可知当 x > 0时， ln 1 x > ，
1 x
1 n N* ln 1 1 1令 x = ，则 ÷ > ，n è n 1 n
n n n n
b 2 2 2 2n = = = = < n 1 2n
所以 ln(2an ) - 2lnn ln é n n 1 ù - lnn2 én n 1 ù 1 ln ，ê n2 ú
ln 1 ÷
è n
所以b1 b2 b3 L bn < 2 2
1 3 22 4 23 L n 1 2n ，
1
令Tn = 2 2 3 2
2 4 23 L n 1 2n ，
2 3 4
则 2Tn = 2 2 3 2 4 2 L n 1 2n 1，
-T = 2 21 22 23 L 2n所以 n - n 1 2n 1
2 1- 2n
= 2 - n 1 2n 1 = -n 2n 1 ，
1- 2
T = n 2n 1所以 n ，
所以b1 b2 b3 L bn < n 2
n 1 .
【变式 11-1】（2024·湖南长沙·三模）已知函数 fn x = xn xn-1 L x -1 n N ．
(1)判断并证明 fn x 的零点个数
(2)记 fn x 在 (0, )上的零点为 xn，求证;
（i） xn 是一个递减数列
n 1 n
（ii） x1 x2 L xn < 1．2 2
【解析】（1）当n为奇数时， fn (x)有 1 个零点；当n为偶数时， fn (x)有 2 个零点.
证明如下：
当 x 0 时，由 fn (x) = xn xn-1 L x -1，得 f (x) = nxn-1n (n -1)xn-2 L 1 > 0 ，
所以函数 fn (x)在 (0, )上单调递增，又 fn (0) = -1 < 0， fn (1) = n -1 0，
所以函数 fn (x)在 (0, )内有唯一零点；
当 x < 0 时， f (x)
1
= (2x -1- xn 1n )1- x ，
若n为奇数， 2x -1- xn 1 < 0 ，则 fn (x) < 0，此时 fn (x)在 (- ,0)内无零点；
若n为偶数，设 h(x) = 2x -1- xn 1 ，
1
则 h (x) = 2 - (n 1)xn ，方程 h (x) = 0 2有一个解 x = -( )n0 ，n 1
所以函数 h(x) 在 (- , x0 ) 上单调递减，在 (x0 ,0) 上单调递增，
且 h(-2) = -5 - (-2)n 1 > 0,h(x0 ) < h(0) < 0 ，此时 fn (x)在 (- ,0)内有 1 个零点.
综上，当n为奇数时， fn (x)有 1 个零点；当n为偶数时， fn (x)有 2 个零点.
（2）（i）由（1）知，当 n = 1时， f1(x)在在 (0, )内的零点 x1 =1，
当 n 2时， fn (xn ) = 0， f2 (0) = -1 < 0, fn (1) > 0,0 < xn <1，
则 f (x ) = xn 1 xn n 1n 1 n n n L xn -1 = xn > 0 = fn 1(xn 1) ，
故 xn 1 < xn ，所以数列{xn}是一个递减数列；
（ii）由（i）知，当 n = 1时， x1 =1，
当 n 2时， f (1n ) = (
1)n (1)n-1 L (1)1 -1 (1= - )n < 0
2 2 2 2 2 ，
1 1
有 fn ( ) f2 n
(1) < 0，所以1 > xn > xn 1 > 2 ，求和可得
x x L x 1 n -1 n 11 2 n =2 2 ，当且仅当
n = 1时等号成立；
当 n 3时， 2n = C0n C1n L Cnn 2n 2 ，
故 2n ln 2 (2n 2)ln 2 n 1
ln 2 1 ln 4 1
> ，则 > ，得 > n 1 > ln(1
1
)
n 1 2 n 1 2 2n 1 ，
ln 4 (n 1)ln(1 1 ) 4 (1 1 )(n 1) 4 2 1 (1 1即 > (n 1)2n 1 ，即
> n 1 ，即 n 1 - n >2 2 2 2n 1

2n 1
) ，
1 1 (1 1 - )(n 1)1 1 n
即 - (
1 1
)(n 1) 1 1> - ，即 f (
1 1
) = 2 2 2 2
n
-1 > 0 = f (x )
2 2n 2 2n 2 2n n 2 2n 1 1 n n ，-
2 2n
x 1 (1即 n < )
n
，当 n = 2 5 -1 3时， x2 = < ，2 2 2 4
1 1 n
所以当 n 2时，均有 xn < ( ) 成立，求和可得2 2
x x L x 1 n -1 1 1 1 n -1 1 1 n1 2 n < ( )
1 ( )2L ( )n =1 [1- ( )n-1] <1
2 2 2 2 2 2 2 2 .
n 1
综上， x1 x2 L xn <1
n

2 2 .
【变式 11-2】（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列 an 的前n项和为 Sn ，首项 a1 =1 .
(1)若 a2n = 4Sn - 2an -1，求数列 an 的通项公式；
(2)若函数 f (x) = 2ex x，正项数列 an 满足： an 1 = f (an )(n N*) .
n
（i）证明： Sn 3 - n -1；
(1 1（ii）证明： 2 )(1
1 1 1
2 )(1 2 )L(1 2 ) <
3 e(n 2,n N*)
5a 5a 5a 5a .2 3 4 n
2 2
【解析】（1）正项数列 an 中， a *1 =1， n N ， an = 4Sn - 2an -1，当 n 2时， an-1 = 4Sn-1 - 2an-1 -1，
2 2
两式相减得 an - an-1 = 4 Sn - Sn-1 - 2an 2an-1，即 an an-1 an - an-1 = 2 an an-1 ，
而 an > 0，则 an - an-1 = 2，因此数列 an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，
所以数列 an 的通项公式为 an =1 2(n -1) = 2n -1 .
（2）（i）令 h(x) = ex - x -1，求导得 h (x) = ex -1，当 x < 0 时， h (x) < 0，当 x > 0时， h (x) > 0，
即函数 f (x) 在 (- ,0)上单调递减，在 (0, )上单调递增，则 h(x) h(0) = 0 ，即 ex x 1，
a
于是 a nn 1 = f an = 2e an 2 an 1 an = 3an 2，
a 1
即 an 1 1 3 a 1 n 1n ，即 3an 1
，
当 n 2时， an 1 = a1 1
a 1 a 1 a 1 a 1
× 2 × 3 × 4 ×L× n a 1 ×3n-1 = 2 3n-1
a1 1 a2 1 a3 1 an-1 1
1 ，
当 n = 1时 a1 1 = 2 = 2 3
0
，因此 an 2 3
n-1 -1，
所以 Sn = a1 a2 a3 L an 2 30 -1 2 31 -1 2 32 -1 L 2 3n-1 -1
n
= 2 30 31 32 L 3n-1 n 2 1- 3 - = - n = 3n - n -11- 3
（ii a a）由已知 an 1 = f an = 2e n an ，所以 an 1 - a nn = 2e > 0，得 an 1 > an ，
当 n 1时， ean ea1 = e > 2，于是 an 1 - a = 2e
an 2ea1n = 2e > 5，
当 n 2时， an = a1 a2 - a1 a3 - a2 L an - an-1 >1 5(n -1) = 5n - 4，
又 a =1，所以"n N*1 ，恒有 an 5n - 4 ，当 n 2时， (5n - 4)2 > (5n - 7)(5n - 2)，
由 ex x 1，得当 x > -1时， ln(x +1) x ，

则当 n 2时， ln 1
1 1 1 1 1 1
2 ÷ 2 < 2 < = - ，
è 5an 5an 5(5n - 4) 5(5n - 7)(5n - 2) 5n - 7 5n - 2
1 1 ln 1
1
从而 1 ln5a2 ÷
1 ln 1 L ln
5a2 ÷ 5a2 ÷
1
è 2 è 3 è 4 è 5a
2 ÷
n
1 1 1 1 1 1 L 1 1 1 1 1< - - - - = - <
è 3 8 ÷ è 8 13 ÷ è13 18 ÷ è 5n - 7 5n
，
- 2 ÷ 3 5n - 2 3
é
ln 1 1
ù
于是 ê 2 ÷ 1
1
2 ÷ 1
1 1 1

5a 2 ÷
L 1 <
è 2 è 5a3 è 5a4 è 5a
2 ÷ú ，
n 3
1
所以 1 2 ÷ 1
1 1 1
1 3
5a 2 ÷ 2 ÷
L 1 2 ÷ < e .
è 2 è 5a3 è 5a4 è 5an
x
【变式 11-3】（2024· e - x -1高三·江西萍乡·期中）已知函数 f x = 2 .x
1
(1)证明：当 x > 0时， f x > 恒成立；
2
1
(2) a首项为 的数列 an n N 满足：当 n 2时，有 e n = 2 f a nn-1 ，证明： ln 1 2 > an nln2 .3
1 x
1 f x > e - x -1 1> ex - x -1 1- x2【解析】（ ）要证 ，即 ，只需证 > 0，
2 x2 2 2
令 g x = ex - x -1 1- x2 (x > 0) x，则 g x = e - x -1，
2
G x = ex令 - x -1 x，则G x = e -1，
当 x > 0时，G x > 0，G x 单调递增，即 g x 单调递增，
则 g x > g 0 = 0， g x 单调递增，则 g x > g 0 = 0，
故当 x > 0时， f x 1> 恒成立；
2
1
（2） a1 = > 0，由（1）知 2 f a1 >1，则 ea23 >1，即 a2 > 0，依此类推，可知 an > 0 n N ，
ln 1 2n > a nln2 an 等价于 e n -1 1< n ，2
1 27 1
当 n = 1时， ea 1 11 - = e3 -1 < a a（等价于 e < ），下证 e n -1< e n-1 -1 n 2 ，
2 8 2
1 2 a
ean-1 - a
2 f a 1 e 1 n n-1
-1 1
即证 - < n-1n-1 - 2 ，即证 2 -1< ean-1 -1 n 2 ，2 a 2n-1
2 ex - x -1
因为 an > 0 n N ，则只要证 12 -1< ex -1 (x > 0)，x 2
x
即 x 2 é x - 2 e x 2ù > 0(x > 0) ，
令 h x = x - 2 ex x 2(x > 0) ，则 h x = x -1 ex 1，
令H x = x -1 ex 1，则H x = xex > 0，所以H x 单调递增，
即 h x 单调递增， h x > h 0 = 0 ，则 h x 单调递增， h x > h 0 = 0，
x 2 ex - x -1
所以 x 2 é x - 2 e x 2ù 1 > 0(x > 0) ，即 -1< ex -1 (x > 0)，x2 2
a 1
所以 e n -1< ean-1 -1 n 2 ，2
ea 1 1 ea 1 1 ea 1 1 1即 n - < n-1 - < n-22 - ln 1 2n所以 > an nln2 .
题型十二：数列与概率的交汇问题
【典例 12-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的 2 个红球和
1 *个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，记为一次操作．重复进行 n n N 次操作后，记甲盒子中黑
球个数为 X n ，甲盒中恰有 1 个黑球的概率为 an ，恰有 2 个黑球的概率为bn ．
(1)求随机变量 X1的分布列；
(2)求数列 an 的通项公式；
n
(3)求证： 6 -10ai 9< ．
i=1 9aiai 1 5
【解析】（1）由题可知 X1的可能取值为 0，1，2，
根据相互独立事件的概率公式得到： X1 = 0 即为甲盒中拿黑球乙盒中拿红球交换， X1 =1即为甲盒中拿黑
球乙盒中拿黑球交换或甲盒中拿红球乙盒中拿红球交换， X1 = 2即为甲盒中拿红球乙盒中拿黑球交换，则
P X 0 1 2 2 , P X 1 1 1 2 2 51 = = = 1 = = = , P X
2 1 2
3 3 9 3 3 3 3 9 1
= 2 = = ，
3 3 9
X1的分布列为：
X1 0 1 2
2 5 2
P 9 9 9
（2）由全概率公式可知：
P X n 1 =1 = P X n =1 P X n 1 =1 X n =1 P X n = 2 P X n 1 =1 X n = 2
P X n = 0 P X n 1 =1 X n = 0
1 1 2 2= 2 2 ÷ P X n =1 1÷ P X n = 2 1 ÷ P X n = 0
è 3 3 3 3 è 3 è 3
5 2 2
= P X n =1 P X n = 2 P X n = 0 ，9 3 3
a 5 a 2 2即 n 1 = n bn 1- an - bn
1 2 3 1 3
，即 a = - a ， a - = - a - ，
9 3 3 n 1 9 n 3 n 1 5 9 n ֏ 5
a P X 1 5又 1 = 1 = = ，9
ì 3ü 3 1
所以数列 ían - 是以a1 - 为首项，以- 为公比的等比数列， 5 5 9
a 3 2
n-1 n
- = -
1 2
- =
1
n ÷ ÷ -

，
5 ÷è 45 è 9 5 è 9
n
即 an 的通项公式 a 3 2 1n = 5 5 - 9 ÷ ；è
é i ù
6 3 2 1-10 ê -

÷ ú
6 -10a 5 5 9
3 i
ê è ú
（ ） =
9a a é3 2 1 i ù é3 2 i 1i i 1 9 - 1
ù
ê5 5 9 ÷ ú ê5 5
- ÷ ú
ê è ú ê è 9 ú
i
-4 1× -

÷ 1 1
= è 9 = -
é i ù é i 1 ù 3 2 1 i 3 2 1 i 1 ，
9 3 2 1- 3 2 1 ê5 5 9 ÷ ú ê
- ÷ ú - ÷ - ÷
ê è ú ê5 5 è 9 ú 5 5 è 9 5 5 è 9
n
6 -10ai 1 1 1 1= - 2 2 - 3 L
所以 i=1 9aiai 1 3 2 1 - 3 2 1 ÷ -
3 2

1
-
3 2

1
- 5 5 è 9 5 5 è 9 ÷ 5 5 9 ÷ ÷ è 5 5 è 9
1 1 9 1 9
- = - <
3 2 1
i 3 2 1 i 1 5 3 2 1
i 1 5
- - - 得证.
5 5 ÷ ÷ ÷è 9 5 5 è 9 5 5 è 9
【典例 12-2】掷一枚质地均匀的骰子，得分规则如下：若出现的点数为 1，则得 1 分；若出现的点数为 2
或 3，则得 2 分；若出现的点数为 4 或 5 或 6，则得 3 分．
(1)记 X 为连续掷这枚骰子 2 次的总得分，求 X 的数学期望；
(2)现在将得分规则变更如下：若出现的点数为 1 或 2，则得 2 分，其他情况都得 1 分．反复掷这枚骰子，
设总得分为 n n N* 的概率为Pn，证明：数列 Pn 1 - Pn 为等比数列．
1 1 1
【解析】（1）由题知掷一次骰子，得 1 分的概率为 ，得 2 分的概率为 ，得 3 分的概率为
6 3 2
．
X 的所有可能取值为 2，3，4，5，6，
P X 2 1 1 1 P X 3 2 1 1 1= = = ， = = = ，P X = 4 1 1 1 1 5= 2 = ，
6 6 36 3 6 9 3 3 6 2 18
P X = 5 = 2 1 1 1 = ，P X 6 1 1 1= = = ．
3 2 3 2 2 4
E X 2 1 3 1故 = 4 5 5 1 1 14 6 = ．
36 9 18 3 4 3
1
（2
2
）改变规则后，掷一次骰子，得 1 分的概率为 3 ，得 2 分的概率为 ．3
P 2 P 2 2 1 7由题意知 1 = ， 2 = = ，3 3 3 3 9
总得分为 n 1 n 2 有两种情况：一种情况是当得分为n时，下一次再得 1 分；
另一种情况是当得分为 n -1 时，下一次再得 2 分．
2 1
所以Pn 1 = P3 n
Pn-1 n 2 ． 3
故P
2 1 1
n 1 - Pn = Pn Pn-1 - Pn = - P - P n 2 ，3 3 3 n n-1
P 7 2 1又 2 - P1 = - = ，所以 Pn 1 - P
1 1
n 是首项为 ，公比为- 的等比数列．9 3 9 9 3
【变式 12-1】4 月 19 日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念
“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等
使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的
1
回答相互独立．若答对一题记 2 分，答错一题记 1 分，已知甲留学生答对每个问题的概率为 ，答错的概
4
3
率为 ．
4
(1)甲留学生随机抽取3题，记总得分为 X ，求 X 的分布列与数学期望；
(2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取m道题，记总得分恰为 2m 分的概率为Pm ，求数列 Pm 的前m项和；
（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为n分的概率为Qn，求数列 Qn 的通项公式．
【解析】（1）依题意可得 X 的可能取值为3、 4、5、6

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