重难点突破01 玩转指对幂比较大小（十一大题型）（含答案）第三章一元函数的导数及其应用 2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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重难点突破 01 玩转指对幂比较大小
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳总结 ...................................................................................................................................3
题型一：直接利用单调性 ...........................................................................................................................................3
题型二：引入媒介值 ...................................................................................................................................................4
题型三：含变量问题 ...................................................................................................................................................6
题型四：构造函数 .......................................................................................................................................................8
题型五：数形结合 .....................................................................................................................................................12
题型六：特殊值法、估算法 .....................................................................................................................................18
题型七：放缩法 .........................................................................................................................................................20
题型八：不定方程 .....................................................................................................................................................23
题型九：泰勒展开 .....................................................................................................................................................25
题型十：同构法 .........................................................................................................................................................27
题型十一：帕德逼近估算法 .....................................................................................................................................31
03 过关测试 .........................................................................................................................................32
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定 a，b，c 的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 a x1 和 a x2 ，利用指数函数 y = a x 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 xa xa1 和 2 利用幂函数 y = xa单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 loga x1和 loga x2利用指数函数 loga x单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量 0，1 或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大
小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
x2 n q x
① ex =1+ x + +L
x e
+ + xn+1
2! n! (n +1)!
3 5 2n+1
② sin x
x x
= x + L+ ( 1)n x + o(x2n+2 )
3! 5! (2n +1)!
2 4 6 2n
③ cos x 1
x x x x
= + +L+ ( 1)n + o(x2n )
2! 4! 6! (2n)!
x2 3 n+1④ ln(1+ x) = x x + L+ ( 1)n x + o(xn+1)
2 3 n +1
1
⑤ =1+ x + x2 +L+ xn + o(xn )
1 x
n(n 1)
⑥ (1+ x)n =1+ nx + x2 + o(x2 )
2!
题型一：直接利用单调性
1-1 a = 30.2 ,b = 0.3 0.2【典例】记 ,c = log0.2 0.3，则（）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > b > a D．b > a > c
【答案】D
10 0.2
【解析】因为b = 0.3 0.2 = ÷ ，幂函数 y = x
0.2 在 0, + 上单调递增，
è 3
10 0.2
又 > 3 10 ，所以 ÷ > 3
0.2 > 30 =1，
3 è 3
所以b > a >1，
又对数函数 y = log0.2x 在 0, + 上单调递减，所以 c = log0.2 0.3 < log0.2 0.2 =1，
故b > a >1 > c .
故选：D.
【典例 1-2】（2024·全国·模拟预测）已知 a = 30.6，b = log25， c = log3 2 3 ，则实数 a，b，c 的大小关系
是（）
A．b > a > c B． a > b > c C．b > c > a D． a > c > b
【答案】A
0.6 0.5 3 5
【解析】由 y = 3x 在 R 上单调递增，可得3 > 3 = 3 > ，又 30.6 = 27 < 25 = 32 ，2
3
< a = 30.6则 < 2．
2
由 y = log2x 在 0, + 上单调递增，可得b = log25 > log2 4 = 2．
由 y = log3x在 0, + 上单调递增，可得 c = log3 2 3 < log
3
33 3 = ．2
所以b > a > c，
故选：A．
1 3
2 4
【变式 1-1】设 a 4= ÷ ，b =
3
÷ ， c = ln1.6，则（）
è 7 è 5
A． c【答案】D
1 4 4é 4 ù 2 é
3 ù 3
ê 2 ú =
4 16 2000 3 4 3 27 1323
【解析】因为 = = ê ， ú = = = ，
ê 7 ÷ ÷ ÷ ÷è ú è 7 49 6125 êè 5 ú è 5 125 6125

1 4 4é 4 ù é
3 ù 1 3
ê 2 ú > ê
3 4 ú 4 2 3 4所以
ê 7 ÷ ÷
，则 > ，即 a > b，è ú êè 5 ú
è 7
÷ ÷
è 5
3
5
55
因为 e0.6 = e5 ÷ = e3 > 2.53 =15.625，1.65 = 8 32768 = <11，
è è 5
÷
3125
所以 e0.6 5 >1.65 ，所以 e0.6 >1.6，则 lne0.6 > ln1.6，即 ln1.6 < 0.6，
3
又b 3
1
=
4
>
3 3
÷ ÷ = ，所以b > c ，
è 5 è 5 5
所以 a > b > c .
故选：D
【变式 1-2】（2024·宁夏银川·三模）已知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，则（）
A． a f 10 ，即 c = lg15 > lg10 =1，
因为 g x 1= 0.2x 在定义域内单调递减，所以 g ÷ < g 0 ，即0 < a = 0.20.5 0
è 2
< 0.2 =1，

因为 h x = cos x在 0, π 上单调递减，所以 h 2 < h π π 2 ÷，即b = cos2 < cos = 0，è 2
综上：b < 0 < a <1< c .
故选：D
题型二：引入媒介值
5 3
14
【典例 2-1】（2024 7 5·甘肃兰州·二模）故 a 5 7= ÷ ，b =

÷ ， c = log3 ，则 a，b，c 的大小顺序是
è 7 è 5 5
（）
A．b < a < c B． c < a b =

7 5 5 ÷
>1 = log > c = log ，3 3
è è è 5 5
所以 c c > a B．b > a > c C． a > c > b D． a > b > c
【答案】A
a sin π 1【解析】 = = ，
6 2
因为 20 < 20.1 < 21，所以1 c > a，
故选：A.
【变式 2-1】（2024·全国·模拟预测）已知 a = log0.3 0.6，b = 0.50.6， c = 2cos2 22.5° 1，那么a，b， c的
大小关系为（）
A．b【答案】B
1
【解析】因为 0.6 2 1> 0.3 1 1，所以0.6 > 0.32 ，则 a = log0.3 0.6 < log 20.3 0.3 = ，即0 < a < ，2 2
0.5 < b = 0.50.6 < 0.50.5 2 1 2= ，即 < b = ，
2 2 2
c = 2cos2 22.5° 1 cos 45° 2= = ，故 a log 2 2 =3 3 3 2 3
2 2 2 ，
1 1
c 23 22 3= < < ，而 c > 0，所以 a < c b > 0,a + b =1且 x = ÷ , y = log1 a, z = log
è a 1 1
ab ，则
b
+
è a b ÷
x, y, z的大小关系是（）
A． x < z < y B． z < y < x
C． y < z < x D． x < y < z
【答案】A
【解析】由 a > b > 0,a + b =1 0 b
1
，可得 < < < a <1，
2
z = log 1 1 ab = log a+b ab = log则 1 ab = 1 +
è a b ÷ ab ab
因为0 logb b = 1b b ，
b
1 b
因为 x = < 1，所以 x < z < y．
è a ÷
故选：A．
【典例 3-2】（多选题）若 0 < a logb(1+ a)
【答案】AC
【解析】A 选项中，因为 0 < a < 1，故 y = a x 在 R 上单调递减，故 ab < aa，
因为 y = xa在 0, + 上单调递增，故 aa < ba ，综上， ab < aa < ba ，A 正确；
B 选项中，由于 a + b ab 1 = (a 1)(1 b) < 0，而已知 0 < a < b <1，所以 B 不正确；
C 1 b 1 a选项中， a g(1) = 0 f (x) > 0，x
所以 f (x) 在 0,1 上递增，这样 f (a) < f (b)，故 C 正确；
1 1 4 2 3 10
D 选项中，取 a = ，b = ，则 log (1+ b) = log = log
9 3 a 1 3 1
， logb (1+ a) = log3 1
，
9 3 3
9
2 3 6 3 10
又 = > >1，故 loga (1+ b) = log
4 10
1 < log3 b
(1+ a) = log1 ，所以 D 错误.
3 9 9 9 3 9
故选：AC.
【变式 3-1】（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知 x，y，z 都为正数，且 2x = 3y = 6z ，则（）
2 1 1 1A． xy > 4z B． + < C． x + y > 4z D． x + y < 5zx y z
【答案】ACD
【解析】令 2x = 3y = 6z = k >1，则 x = log2 k ， y = log3 k ， z = log6 k ，
1 1 log 2 log 3 1所以 + = k + k = logx y k
6 =
z ，B 错误；
z xy xy
xy
= < = x y > 0 4z2 < xy A
x + y 2 xy 2
（注意等号不成立），故，正确；
z xy (x + y)
2 x + y
= < = （注意 x y > 0等号不成立），则 4z < x + y，C 正确，
x + y 4(x + y) 4
由 x + y 5z = log2 k + log3 k 5log6 k ，令 f (x) = log2 x + log3 x 5log6 x 且 x (1,+ )，
f (x) 1 ( 1 1 5 ) 1 [(ln 6)
2 5ln 2ln 3
则 = + = × ]，
x ln 2 ln 3 ln 6 x ln 2 ln 3ln 6
由 (ln 6)2 5ln 2ln 3 = (ln 2 + ln 3)2 5ln 2ln 3
3 1
= (ln )2 ln 2 ln 3 < (ln e)2 ln 2 ln 3 = ln 2 ln 3，
2 4
4
因为 ln 3 > ln e = 1
1
，故 ln 2 ln 3 1 e< ln 2 = ln < 0，
4 4 2
综上， f (x) < 0 ，即 f (x) 在 x (1,+ )上单调递减，
所以 f (x) < f (1) = 0，故 log2 x + log3 x < 5log6 x恒成立，即 x + y < 5z ，D 正确.
故选：ACD
1 1 1
【变式 3-2】（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知当 x > 0时， < ln(1+ ) < ，则（）
1+ x x x
10 1 1 1A． < e9 9< B． ln 9 <1+ +L+ < ln10
9 8 2 9
(10
0 1 9
C 9． ) < 9! D C C C． ( 9 2 9 2 9 2
e 90
) + ( 1 ) +L+ ( ) < e9 99
【答案】ACD
1 1
【解析】因为 < ln(1
1) 1 1 1 1 9+ < ，令 x = 8， = < ln(1+ ) = ln e9 9，则 < ，
1+ x x x 1+ 8 9 8 8 8
1
令 x = 9 ， ln(1
1
+ ) 10 1= ln < 10，则 < e9 ，A 正确；
9 9 9 9
ln(1 1因为 + ) = ln
x +1 1 ln 2 1 ln 3 1 ln 10 1 1 1< ，则 < ， < ，…， < ，以上各式相加有 ln10 <1+ +L+ ，B
x x x 1 2 2 9 9 2 9
错误；
由 ln(1
1
+ ) x +1 1= ln < 得， x ln(x +1) x ln x 1< 0，即 x ln(x +1) (x 1) ln x 1< ln x ，
x x x
于是 ln 2 1< ln1， 2ln 3 ln 2 1< ln 2，3ln 4 2ln 3 1< ln 3，…，9ln10 8 ln 9 1< ln 9，
9 109 10
以上各式相加有9ln10 9 < ln 9!，即 eln10 9 = 9 = ( )
9 < 9!，C 正确；
e e
0 1 9
由 ln(1
1 1
+ ) < 得， (1
1
+ )x < e C，因此 9 C9 L C9 (1 1+ + + = + )90 < e ，x x x 9 91 99 9
k, n N*, k n C
k
n n(n 1)(n 2)L(n k +1)设， k = k 1，n n × k !
k k 0 1 9 0 1 9
则 (Cnk )
2 Cn C C C C C C k ，所以 (
9 )2 + ( 9 2 9 2 9 9 9
n n 90 91
) +L+ ( 9 ) < 0 + 1 +L+ 9 < e，D 正确．9 9 9 9
故选：ACD
【变式 3-3】（多选题）（2024 b·湖北·模拟预测）已知正实数 a，b，c 满足 c < ba <1< logc a ，则一定有
（）
A．a < 1 B． a 1 = logc c ，所以 a < c <1．
所以 ab < cb ，又 cb < ba ，所以 ab < ba ，
ln a ln b
即b ln a < a ln b，等价于 < ，
a b
f x ln x构造函数 = ， x > 0
x
f x 1 ln x=
x2
，
当 x 0,1 f x 1 ln x时， = 2 > 0x
f x ln x故 = 在 0,1 上递增，从而 a < b ．
x
又取b = c b a时，原式为b < b <1< logb a同样成立，
故 CD 不正确，
故选：AB
题型四：构造函数
【典例 4-1】设 a = log
2
3 2 ，b = log4 3， c = ， d = log5 3，则（）3
A． a 0可得： x 0,e ，令 f x < 0可得： x e, + ，x
所以 f x 在 0,e 上单调递增，在 e, + 上单调递减．
f 3 > f 4 = f 2 ln 3 ln 4 ln 2故，即 > = ，
3 4 2
ln 2 2
变形可得 < ，即 log 2
2
3 < ，所以 a < c；ln 3 3 3
2
又3ln 3 = ln 27 > ln 25 = 2ln 5，所以 < log5 3，又因为 log5 3 < log4 3，3
所以 c < d < b，综上， a < c < d < b，
故选：B．
1 1 1 6 6
【典例 4-2】（2024

·湖北武汉·二模）设 a = ,b = 2ln5
sin + cos ÷ ,c = ln ，则 a,b,c的大小关系是
è 10 10 5 5
（）
A． a 0，
所以 f (x) = x sin x 在( 0, 1)上单调递增，
1 1 1 1
所以 f ÷ > f (0) = 0，即 > sin ，所以b = ln 1+ sin ÷ < ln
1 1+
5 5 5 5 5 ÷
，
è è è
设 g(x) = x ln(x +1) ， x (0,1) ，则 g (x) 1
1 x
= = > 0，
x +1 x +1
所以 g(x) = x ln(x +1) 在( 0, 1)上单调递增，
g 1 所以 ÷ > g(0) 0
1
= > ln 1 1+ ，即 > ln
1 sin 1+
è 5 5 è 5 ÷ ÷
，
è 5
综上 a > b，
设 h(x) x
6
= ln(x +1)， x (0,1) ，则 h (x) =1
6 5x 1
= ，
5 5x + 5 x +1
x 0, 1 当 ÷ 时， h (x)
1
< 0
5 ，当
x ,15 ÷时，
h (x) > 0，
è è
1 1
所以 h(x)
6
= x ln(x +1) 在 0,

5 ÷上单调递减，在
,1
5 ÷上单调递增，5 è è
1 1 6 1 6 6
所以 h ÷ < h(0) = 0 ，即 < ln 1+ = ln a < c
è 5 5 5 è 5 ÷ 5 5
，所以，
所以b < a < c
故选：B.
4
【变式 4-1】设 a = ,b = ln1.04,c = e0.04 1，则下列关系正确的是（）
105
A． a > b > c B．b > a > c
C． c > a > b D． c > b > a
【答案】D
【解析】设 f x = ex x +1 , g x = ln x x 1 ，则 f x = ex 1, g x 1 x = ，
x
易知 x > 0 f x > 0,1 > x > 0 g x > 0，且 x < 0 f x 0, x 1 g x < 0，
所以 f x 在 ,0 上单调递减，在 0, + 上单调递增； g x 在 0,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减，
即 f x f 0 = 0 ex 1 x，在 x = 0时取得等号，
且 g x g 1 = 0 ln x x 1 1 1，在 x =1时取得等号，则 ln 1 x > 0 ln x 1 1 ，在 x =1时取得等
x x x
号，
1 4 4
所以 e0.04 1 > 0.04 =1.04 1 > ln1.04 >1 = > ，即 c > b > a .1.04 104 105
故选：D
【变式 4-2】（2024·全国·模拟预测）已知 a = 5050 ，b = 4951， c = 5149，则（）
A．b【答案】B
【解析】因为 a = 5050 ，b = 4951，所以 ln a = 50ln 50， ln b = 51ln 49，
1
令 f (x)
ln x
=
x 1
2 1+ ln xx > e ，则
+ f (x) =
x ，
x +1 2
令 g x =1 1+ ln x x x +1> e2 ，则 g x = x x2 < 0恒成立，
所以 g x 在 e2 ,+ 2 1上单调递减，则 g x < g e =1+ 2 2 < 0，e
所以 f (x) < 0 e2在 ,+ 上恒成立，则 f (x) 上单调递减，又 e2 < 49 < 50，
f 50 < f 49 ln 50 ln 49所以，即 < ，即50ln 50 < 51ln 49 ，
51 50
所以 ln a < ln b ，则 a e2 ，则 h (x) = x ，x 1 x 1 2
1 1 x
令j x =1 ln x x > e2 ，则j x = 2 < 0 恒成立，x x
2 2 1
所以j x 在 e ,+ 上单调递减，则j x < j e =1 e2 2 < 0，
所以 h (x) < 0在 e2 ,+ 上恒成立，则 h(x) 上单调递减，又 e2 < 50 < 51，
所以 h 51 < h 50 ln 51 ln 50，即 < ，即 49ln 51< 50ln 50 ，
50 49
所以 ln c < ln a，则 c < a；
综上， c故选：B．
【变式 4-3】已知 a = log2 986 log2 985,b =1 cos
1 ,c 1= ，则（）
986 985
A．b > a > c B．b > c > a C． a > c > b D． c > b > a
【答案】C
【解析】设 g x = log 2 x +1 x, x 0,1 ，则 g x
1
= 1
x +1 ln 2 ，
x 0, 1当 1

÷ 时， g x > 0， g x 单调递增；
è ln 2
x 1当 1,1

÷时， g x < 0， g x 单调递增；
è ln 2
又 g 0 = g 1 = 0，所以 g x = log2 x +1 x > 0, x 0,1 ，
1 1
所以 a = log2 986 log2 985 = log2 1+ 985 ÷
> = c；
è 985
0 < b =1 cos 1 <1 1 1，0 < < c = <1，
986 986 985
设 f x =1 cos x x ，0 < x <1，
f x = sin x 1< 0，所以函数 f x 在区间 0,1 上单调递减，
所以 f x =1 cos x x < f 0 = 0，
1
所以1 cos x < x ，又0 < <1，
986
所以1 cos
1 1 1
< < ，则b < c ，
986 986 985
综上， a > c > b .
故选：C.
题型五：数形结合
1
【典例 5-1】（2024·高三·海南·期末）若a = ln1.1,b = 0.9 ,c = 0.1，则（）e
A． a < b < c B． c < b < a C． a < c g 0 e 0.9，即 0.9 +1 > e0 0 +1 = 0，即 e 0.9 > 0.1；
1
c = 0.12 > 0.11 = 0.1，故a最小，
1 1 1 0.9 10 9 10b = 0.9 ,c = = ， e < 3 =19683， 10 =105 =100000 ，e 10 10
10 10 1 1
因为19683 <100000 ，所以 e0.9 < 39 < 10 ，所以 e0.9 < 10 ， e0.9 > ，10
所以b > c > a
故选：C
1 3
【典例 5-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）设 a = sin0.2,b = 0.16,c = ln ，则（
2 2 ）
A． a > c > b B．b > a > c
C． c > b > a D． c > a > b
【答案】D
2
【解析】设 f x = sinx x x , x 0,0.2 , f x = cosx 1+ 2x ，
设 g x = f x , g x = sinx + 2 > 0，所以 g x g 0 = 0 ，
所以函数 f x 在 0,0.2 上单调递增，
f 0.2 = sin0.2 0.2 0.22所以 = sin0.2 0.16 > f 0 = 0，即 a > b .
c 1 ln 3 1 1.2 1 1+ 0.2根据已知得 = = ln = ln ，
2 2 2 0.8 2 1 0.2
可设 h x 1= é ln 1+ x ln 1 x sinx, x 0,0.22 ù ，
则 h x 1= 1 1 + ÷ cosx
1
= cosx > 0
2 ，è1+ x 1 x 1 x2
所以函数 h x 在 0,0.2 上单调递增，
所以 h 0.2 > h 0 = 0，即 c > a .
综上， c > a > b .
故选：D.
【变式 5-1】已知 a = 0.80.5 + 0.80.7 + 0.80.9 0.8
8 12 1
，b = 0.6 + 0.70.8 + 0.80.8 ， c = e 15 + e 35 + e 5 ，则（）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D．b > c > a
【答案】A
x
【解析】设 f x = 0.8 ，画出 f x 的图象，
故 f x 为下凸函数，
f x1 + f x2 x + x
当 x1 x 1 22 时 > f2 ÷
，
è 2
所以0.80.5 + 0.80.9 > 2 0.80.7 ， a = 0.80.5 + 0.80.7 + 0.80.9 > 3 0.80.7 .
g x = x0.8设 x > 0 ，画出 g x 图象，
g x + g x故 g x 为上凸函数，当 x x 1 2 g x时 < 1 + x2 1 2 ，2 ÷è 2
所以b = 0.60.8 + 0.70.8 + 0.80.8 < 3 0.70.8 ，
同一坐标系内画出 f x = 0.8x 和 r x = 0.7x 的图象，
又 y = 0.7x 在 R 上单调递减，故0.80.7 > 0.70.7 > 0.70.8 ，所以 a > b .
设 h x = ln x 1 1 + 0 < x <1 ，则 h x 1 1= < 0， h x 在 0,1 上单调递减，
x x x2
所以0 < x <1时 h x > h 1 = 0，
4 5 8
所以 ln x > 1
1
，0.8ln 0.6 >

1 ÷ = x 5 è 3
，
15
8 12 1
所以0.60.8

> e 15 ，同理可得

0.70.8 > e 35 ，0.80.8 > e 5 ，
8 12 1
相加得0.60.8 + 0.70.8 + 0.80.8

> e 15 + e 35 + e 5 ，b > c ，
所以 a > b > c .
故选：A
【变式 5-2】（2024·四川广安·二模）已知a，b， c均为正数， a
4
=1+ 2a 2，b = 4 + b 2 3b ，
a
4 c2
= log4 c + 3 ，则a，b， c的大小关系为（）c
A．b【答案】B
4 a 4 a 2 b 4 b
【解析】 a =1+ 2 可变形为： a =1 2 ，b = 4 + b 2 3 可变形为：b = 2 3 ，
a a b
4 c2
= log4 c + 3
4
可变形为： c = log c + 3 ，
c c 4
令 f x = x 4 ， g x =1 2x， h x = 2 3x ， q x = log4 x + 3 ，且 x > 0，x
可知 a,b,c分别为函数 f x 与 g x ， h x ， q x 的交点横坐标，
当 x > 0时， f x 单调递增且 f 1 = 3， f 2 = 0 ，
g x ， h x ， q x 这三个函数全部单调递减，且 g 1 = h 1 = q 1 = 1 > 3， g 2 = 3 < 0，
h 2 = 7 < 0， q 2 = log4 5 < 1< 0，
由零点存在性定理可知： a,b,c 1,2 ，所以只需判断 g x ， h x ， q x 这三个函数的单调性，在
x 1,2 范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，
由图象可知， q x = log4 x + 3 下降速度最慢，所以 c最大，
g x = 2x ln 2， h x = 3x ln 3， x > 0时， g x > h x ，所以交点 a > b，
故选：B
a 1 b
【变式 5-3】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知 2 = log 1 a， ÷ = log 1b，则下面正确的是（）
2 è 2 2
1
A． a > b B． a <
4
1
C．b 2> D． a b <
2 2
【答案】D
x x
【解析】令 f x = 2 log 1 x = 2 + log x 2
a
2 ，由 = log 1 a，故 f a = 0，
2 2
由 y = 2x 与 y = log2 x 在 0, + 上单调递增，故 f x 在 0, + 上单调递增，
1 1 1 1f 1
1 1 1 1
又 ÷ = 24 + log 42 = 2 2 < 0， f ÷ = 22 + log2 = 2 1 > 0 ，故 a ,4 2 ÷，故 B 错误；è 4 4 è 2 2 è
x x
令 g x 1= ÷ log
1
1 x =

÷ + log2 x，
è 2 2 è 2
y 1
x
由函数 = 的图象及 y = log x的图象可得 g x 在 0, + 上只有一个零点，
è 2 ÷
2

1
b

由 ÷ = log 1b，故 g b = 0，
è 2 2
2 2

又 g 2 1
1
2 2
÷÷ = ÷ + log
2 1 1 1 1
2 2 2
=
2 ÷
> ÷ = 0，
è è è 2 2 è 2 2
1 1
1 1 2 1 1 2 1
0
1 2 g 2 ÷
= ÷ + log2 = ÷ 1 < ÷ 1 = 0，故b , ÷÷，故 C 错误；
è è 2 2 è 2 è 2 è 2 2
有 a 1， n N* ，则 (1+ x)n 1+ nx ．伯努利不等式是数学中的一
种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知
a = log2 2024 log2 2023，b
1 1
= 1 cos ， c = ，则（）
2024 2023
A．b > a > c B． a > c > b C．b > c > a D． c > b > a
【答案】B
【解析】 a = log2 2024 log2 2023 log
2024
= c 1 20242 ， = = 12023 2023 2023
，
令 f x = log2 x, g x = x 1，两函数图象如图所示，
因为 f x 、g x 均单调递增，且 f 1 = g 1 , f 2 = g 2 ，
结合图象可知当 x 1,2 时， f x > g x ，即 log2 x > x -1，
log 2024 2024故 2 > 1 a > c2023 2023 ，故；
π
如图，单位圆 A 中，BD ^ AC 于D，设 BAC = q ，0 < q < ，
2
则B C 的长度 l = q ， AD = cosq ， CD =1 cosq ，
则由图易得， l > BC > CD ，即θ >1- cosθ ，
1 1
所以 > >1- cos
1
，故c > b ；
2023 2024 2024
综上， a > c > b .
故选：B.
1 1 1
【变式 5-5】（2024·高三·江苏苏州·期中）设 a = cos ，b = sin 4， c = e 5 ，则 a，b，c 的大小关系为5 5 5
（）．
A．b < a < c B． a < c < b C．b < c < a D． a S1 > SVABO ，即 tana > a > sina ，故 tana > a > sina ，2 2 2
1 0, π因为
1 1 1
5 ÷，所以
tan > > sin ，
è 2 5 5 5
又 cos
1 0 1 1 1 1 1> ，由 tan > 得 sin > cos ，即b > a，
5 5 5 5 5 5
令 f x = ex x 1， x < 0 ，
则 f x = ex 1，当 x < 0 时， f x = ex 1< 0，
故 f x 在 ,0 上单调递减，
4 4
所以 f ÷ > f 0 0

= 1
5 ，所以 e
5 > ，
è 5
故c > b ，
综上， a < b < c .
故选：D
a b
1
【变式 5-6】（2024 1 ·江西南昌·三模）若 ÷ = log a
1
2 ， ÷ = b
2， c 2 = 2 c，则正数 a,b,c大小关系是è 2 è 2
（）
A． c < a < b B． c < b < a
C． a < c < b D． a < b < c
【答案】B
1 a 1 x
【解析】由 ÷ = log a a

2 ，则为 y = ÷ 与 y = log2 x 交点的横坐标，
è 2 è 2
1 b x
由 ÷ = b
2 1 ，则b为 y = ÷ 与 y = x
2 交点的横坐标，
è 2 è 2
c x
1 1 1 1 1
由 c 2 = 2 c，即 c
2 = 2 ÷
，则 c为 y = ÷ 与
è è 2 y = x
2 交点的横坐标，
x
1 1
作出 y = ÷ ， y = log2 x ， y = x
2 ， y = x 2 的图象如下所示，è 2
由图可知， c b，则（）
A 1
b a
． a <
1
b B． + > 2 C． e
a b >1 D． ln a > ln ba b
【答案】C
【解析】取 a =1,b = 1
1 1
，满足 a > b，但 > ，A 错误；
a b
当 a =1,b = 1
b a
，满足 a > b，但 + = 2 < 2，B 错误；
a b
因为 a > b，所以 a b > 0，所以 ea b >1，C 正确；
当 a<0或b < 0时， ln a, ln b无意义，故 D 错误．
故选：C
【典例 6-2】已知 a = 2x ，b = ln x ， c = x3 ，若 x 0,1 ，则 a、b、c 的大小关系是（）
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > b > a D． c > a > b
【答案】B
3
【解析】取 x
1 1 1
= 1 ，则
2 a = 22 >1
，b = ln < 0， c =
2 ÷
<1，所以 a > c > b．
è 2
故选：B．
1
【变式 6-1】已知 a = 3，b = 24 ， c = log2 e，则a，b， c的大小关系为（）
A． a > b > c B． a > c > b
C．b > a > c D．b > c > a
【答案】B
【解析】由 a4 = 9，b4 = 2 ，可知 a > b >1，
3 3
又由 e2 < 8，从而 e < 2 2 = 22 ，可得 c = log2 e < < a，2
因为b4 (
6)4 2 1296= < 0，所以1 2.75
6
64 > 0，从而 e5 > 26 ，即 e > 25 ，
6 6
由对数函数单调性可知， c = log2 e >log2 25 = ，5
综上所述， a > c > b．
故选：B．
【变式 6-2】（2024 a b·陕西安康·模拟预测）若 a,b,c满足 2 > 2 , log3c < 0，则（）
1
A． > 0 B．ac > bc b a c
C． ac > bc D． a + c > bc
【答案】C
1
【解析】由 2a > 2b , log < 03c < 0，得 a > b,0 < c <1，所以b a < 0，所以 b a c ，所以A 错误；
令 a = 1,b = 2,c
1
= ，此时 ac 与bc 无意义，所以B错误；2
因为 a > b,0 < c <1，所以由不等式的性质可得 ac > bc ，所以C 正确；
令 a = 2,b 3,c
1 3
= = ，则 a + c = = bc ，所以D 错误.
2 2
故选：C .
题型七：放缩法
π 9π
【典例 7-1】（2024·全国·模拟预测）已知 6a = e10 ，b =1+ sin ，，则a，b， c的大小关系为10 c =1.1
（）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D． c > b > a
【答案】C
【解析】令 f x = ex x 1 x 0 ，则 f x = ex 1 0恒成立，
所以 f x 在 0, + 单调递增，
所以当 x > 0时， f x > f 0 = 0 x，即 e > x +1 x > 0 ；
令 g x = x sin x x 0 ，则 g x =1 cos x 0恒成立，
所以 g x 在 0, + 单调递增，
所以当 x > 0时， g x > g 0 = 0，即 sin x < x(x > 0)；
9π
由诱导公式得b =1+ sin =1+ sin
π
，
10 10
b 1 sin π
π
所以 = + <1 π+ < e10 ，因此 a > b；
10 10
π 4 0.4
因为 a = e10 < e10 = e0.4， c =1.1
6 = 1.115 ，
故只需比较 e与1.115 的大小，
15 15 1 1 2 2
由二项式定理得，1.1 = (1+ 0.1) > 1+ C15 (0.1) + C15 (0.1) > 3 > e，
所以 c > a ．
综上， c > a > b .
故选：C
3
1 π
【典例 7-2 4】（2024·全国·模拟预测）已知 a = log 12，b = sin ， 1 ，则（）
3 5 10 c = è 7 ÷
A． a log5 125
1
= ，b sin
π sin π 1= < = ，
3 6 6 2 10 6 2
所以b < a ．
3 1 1
b sin π sin π π 1 π 1 π 1因为 = > cos = sin > sin = ， c 1
4 1 4 1 4 1
10 10 10 2 5 2 6 4 = =

7 ÷ 343 ÷
< ÷ = ，
è è è 256 4
所以 c 2 C． a + b > 2 D． + > 4a b
【答案】C
【解析】因为 a = lg 2,b = lg5，所以 a + b = lg 2 + lg5 = lg10 =1，
对于 A，易得0 < a <1,0 lg = 1，所以 2 > 2 = ，故 B 成立.
5 10 2
对于 C， ( a + b )2 = 1+ 2 ab 1+ a + b = 2，
a b 1当且仅当 = = 时，等号成立，
2
显然等号不成立，所以 a + b < 2 ，故 C 不成立.
对于 D，因为 a + b =1且 a b ，
1 1 (a b) 1 1 b a b a所以 + = + + = 2 + + > 2 + 2 × = 4 ，故 D 成立.
a b ÷è a b a b a b
故选：C.
3 13
【变式 7-2】（2024·江西宜春·模拟预测）若 0.3a = e 10 ，b = 0.3e ， c = ln1.3，则（10 ）
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D． c > b > a
【答案】A
3
【解析】显然 a = e 10 > 0，b = 0.3e
0.3 > 0，
b 0.3e0.3
因为 = 3 = 0.3e
0.6 < 0.3e < 0.9 <1
a ，所以 a > b；e 10
13
又因为b = 0.3e0.3 = e0.3 ln e0.3， c = ln1.3 = 1.3ln1.3，10
令 g x = ex x 1， x > 0 x．则 g x = e 1 > 0，
可知 g(x)在 0, + 上单调递增，
则 g 0.3 > g 0 = 0 e0.3，可得 >1+ 0.3 =1.3 1> ，
e
令 f (x) = x ln x x
1
， > ，则 f x ln x 1 0 1= + > , + 在 e ÷内恒成立，e è
1
可知 f (x)

在 ,+

e ÷内单调递增，è
f e0.3则 > f 1.3 ，即 e0.3 ln e0.3 >1.3ln1.3，所以b > c ；
综上所述： a > b > c．
故选：A．
【变式 7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设 a = log615，b = log8 20， c = log2012 2024，则a、b、 c的
大小关系为（）
A． a < b < c B． a < c < b
C．b < a < c D． c < b < a
【答案】D
a 15= log 15 = log 6 5【解析】 6 6 ÷ = log6 +1，
è 6 2
b log 20 log 20 5= 8 = 8 8÷ = log8 +1
è 8 2
，
c log 2024 log 2024= 2012 = 2012 2012
506
÷ = log2012 +1
è 2012 503
，
5 5
因为 log6 ＞log8 ，所以 a＞b ，2 2
log 5 log 2 1因为 8 ＞ = ，2 8 3
log 506
1 1
＜log 10 = log 3 3 12012 2012 2012 1000 ＜log2012 2012 = ，503 3
所以b＞c ，
所以 c 2.22
C．3.32 > 23.3 D．3.34 < 43.3
【答案】C
【解析】对于 A，由于 2 >1,0 < ln 2 <1，
2 2所以 2 > ln 2 > 0, 2 > ln 2 2 ，故 > ln2，故 A 错误；ln2
对于 BCD，设 f x ln x= ，则 f x 1 ln x= ，
x x2
当 x>e时， f x < 0，此时 f x 单调递减，
当0 < x < e时， f x > 0，此时 f x 单调递增，
因此 f 2.2 > f 2 , f 3.3 > f 4 ，
ln 2.2 ln 2
> 2ln 2.2 > 2.2 ln 2 22.2即 < 2.22 ，故 B 错误；
2.2 2
ln 3.3 ln 4
> 4ln 3.3 > 3.3ln 4 2ln 3.3 > 3.3ln 2 3.32 > 23.3 ，故 C 正确；
3.3 4
ln 3.3 ln 4
> 4ln 3.3 > 3.3ln 4 3.34 > 43.3，故 D 错误.
3.3 4
故选：C
题型八：不定方程
【典例 8-1】已知 a、b、c 是正实数，且 e2a 2ea+b + eb+c = 0，则 a、b、c 的大小关系不可能为（）
A． a = b = c B． a > b > c
C．b > c > a D．b > a > c
【答案】D
【解析】因为 e2a 2ea+b + eb+c = 0，a、b、c 是正实数，
e2a ea+b + eb+c ea+b = ea ea eb + eb所以 ec ea = 0 ，
因为 a,b,c > 0，所以 ea >1,eb >1,ec >1，
对于 A，若 a = b = c，则 ea eb = ec ea = 0，满足题意；
对于 B，若 a > b > c，则 ea eb > 0,ec ea < 0，满足题意；
对于 C，若b > c > a，则 ea eb < 0,ec ea > 0，满足题意；
对于 D，若b > a > c，则 ea eb < 0,ec ea < 0，不满足题意．
故选：D．
【典例 8-2】设实数a，b满足1001a +1010b = 2023a ，1014a +1016b = 2024b ，则a，b的大小关系为（）
A． a > b B． a = b C． a < b D．无法比较
【答案】C
【解析】假设 a b ，则1010a 1010b ，1014a 1014b ，
1001 1010
由1001a +1010b = 2023a 得1001a +1010a 2023a ( )a + ( )a 1，2023 2023
f (x) (1001)x (1010)x 1001 1010 2011因函数 = + 在R 上单调递减，又 f (1) = + = <1，则 f (a) 1 > f (1)，所
2023 2023 2023 2023 2023
以a < 1；
由1014a +1016b = 2024b b b得1014 +1016 2024b (
1014 )b + (1016 )b 1，
2024 2024
g(x) 1014 1016 1014 1016 2030因函数 = ( )x + ( )x 在R 上单调递减，又 g(1) = + = >1，则 g(b) 1 < g(1) ，所以
2024 2024 2024 2024 2024
b >1；
即有 a <1 < b与假设 a b 矛盾，所以 a 1，
所以 (log 22 3) > log2 3，
2 (log 2
所以 a 2 = log 3 + log 4 2 = log 3 + 2 = 2 3) log2 32 6 2 > 0，即 a > 2，1+ log2 3 1+ log2 3
故排除 A， B ，
再比较b 与 2 的大小，
易得，当b = 2 时，由3a + 4a = 5b ，得 a = 2与 a > 2矛盾，舍去，
故 a > 2，则有3a + 4a = 5b ，得b > 2 ，
令 f (x) = 3x + 4x 5x ， x > 2，
令 t = x 2，则 x = t + 2，
故 g(t) = 9 3t +16 4t 25 5t < 25 × 4t 25 ×5t < 0，
故3a + 4a = 5b < 5a ，
从而 2 b > 2 B．b > a > 2 C． 2 > b > a D． a > 2 > b
【答案】 A
Qa log 4 log 9 log 4 log 9 2【解析】 = 33 + 12 = 3 + = loglog 12 3
4 + ，
3 1+ log3 4
2 (log 4)2a 2 log 3 log 4故 = 33 4 + 2 = ，1+ log3 4 1+ log3 4
Q log3 4 > log3 3 = 1，\ (log3 4)
2 > log3 4，
故 a 2 > 0，即 a > 2，
Q5a +12a = 13b ，且 a > 2，
\13b > 52 +122 = 132 ，\b > 2，
令 g(x) = 5x +12x 13x (x > 2)，
则 g(x) = 52 × 5x 2 +122 ×12x 2 132 ×13x 2 < (52 +122 ) ×12x 2 169 ×13x 2 < 0，
故13b = 5a +12a < 13a ，即 a > b ，
故 a > b > 2 ，
故选： A．
【变式 8-3】若 a < 4且 4a = a4 ，b < 5且5b = b5 ， c < 6且 6c = c6 ，则 (　　 )
A． a 0)，则 f (x) 1 lnx=
x x2
．
由 f (x) > 0 得： 0 < x < e ．
\函数 f (x) 在 (0,e)上单调递增，在 (e,+ ) 上单调递减．
Q4a = a4 ，5b = b5 ， 6c = c6 ，\aln4 = 4lna ，bln5 = 5lnb ， cln6 = 6lnc，
f 4 ln4 lna f a f 5 ln5 lnb f b f 6 ln6 lnc\ （） = = = （），（） = = = （），（） = = = f （c）．
4 a 5 b 6 c
Q6 > 5 > 4 > e ，\ f （6）< f （5）< f （4），\ f （c）< f （b）< f （a），
又Qc < 6 ，b < 5， a < 4，\c ， a，b 都小于 e ，\c < b < a ．
故选： B ．
题型九：泰勒展开
31 1 1
【典例 9-1】已知 a = ,b = cos ,c = 4sin ，则（）
32 4 4
【答案】A
2 2 4
【解析】设 x = 0.25 a 31 1 0.25 b cos 1 1 0.25 0.25，则 = = ， = + ，
32 2 4 2 4!
1 sin
1
2 4
c = 4sin = 41 1
0.25 0.25
+ ，计算得 c > b > a，故选 A．
4 3! 5!
4
1
【典例 9-2 a = e0.2】设 1,b = ln1.2,c = ，则 a,b,c的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
5
【答案】b【解析】 a = e0.2 1 >1+ 0.2 1 = 0.2 = c ，由函数切线放缩 ln(1+ x) < x 得b = ln 1+ 0.2 < 0.2 = c，因此
a > c > b．
故答案为：b【变式 9-1】设 a = 0.1e0.1,b 1= ,c = ln 0.9 ，则（）
9
A． a < b < c B． c < b < a C． c < a < b D． a < c < b
【答案】C
2
【解析】 a = 0.1e0.1 0.1 1 0.1 (0.01) 1 + + ÷ = 0.1105，b = 0.1111
è 2 9
1
2

÷
c = ln 0.9 10 1 1= ln = ln 1+ è 9 ÷ = 0.10499 è 9 9 2
\c < a < b
故选C
【变式 9-2】 a = 2ln1.01,b = ln1.02,c = 1.04 1，则（）
A． a < b < c B．b < c < a C． c < a < b D． a < c < b
【答案】B
a 2ln1.01 2ln(1 0.01) 2(0.01 (0.01)
2 (0.01)3
【解析】 = = + + ÷ = 0.0199，2 3
b ln(1 0.02) 0.02 (0.02)
2
= + = 0.0198 ，
2
1 1 2
1 1 2
÷ (0.04)
c = 1.04 1 = (1+ 0.04)2 1 1+ 0.04 + è 2 1 = 0.02 0.00002 = 0.0198
2 2
\b < c < a ，故选 B
【变式 9-3】（2024·全国·模拟预测）已知 a = 0.99 ，b = 0.9999 ， c = sin9 则（）
A． a > b > c B．b > a > c C． c > a > b D．b > c > a
【答案】C
1 10 1 1 100 1a = 0.99 = 【解析】由已知， 99 1 ÷ ，b = 0.99 = 1 ，
è 10 è 100 ÷
1 1 1 1 1 ln 1 x
设 f ÷x = 1 x 1x = eln 1 x x = eè x ， x 0,1 ，
1
1÷ ln 1 x
则 f x = eè x é 1 ù× ê 1

x ÷
ln 1 x ，
è
ú

é 1 ù 其中 1 ln 1 x 1= ln 1 x + 1 1 1 ln 1 x + xê ÷ ú 2 ÷ × = ，
è x 2 x è x 1 x x
令 g x = ln 1 x + x g x 1 x，则 = +1 = ，
1 x x 1
当 x 0,1 时， g x < 0，∴ g x 在 0,1 上单调递减， g x < g 0 = 0，
é 1 ù ∴当 x 0,1 时， ê 1÷ ln 1 x ú > 0， f x > 0， f x 在 0,1 上单调递增，
è x
1 1 1 10 1 1 100 1∴ f > f a > b .
è10 ÷ 100 ÷
，即 1 è 10 ÷
> 1 ÷ ，∴有
è è 100
对于 c与a， c = sin 9 = sin 3π 9 > sin 9.42 9 > sin 0.4，
0.43
将 sin 0.4泰勒展开，得 sin 0.4 > 0.4 > 0.3893，
3!
a = 1 0.1 9 < C0 0.1 0 + C1 0.1 1 + C 2 0.1 2 + C3 0.1 3 + C 4 0.1 49 9 9 9 9
=1 0.9 + 0.36 0.084 + 0.0126 = 0.3886 < 0.3893 < c ，
∴ a < c .
综上所述，a，b， c的大小关系为 c > a > b .
故选：C.
题型十：同构法
【典例 10-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数 a，b 满足 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4，则下
列关系式中可能正确的是（）
A．$a,b (0,+ ) ，使 | a b |> 1 B．$a,b (0,+ ) ，使 ab =1
C．"a,b (1, + )，有b < a < b2 D．"a,b (0,1)，有b < a < b
【答案】ABC
【解析】由 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4
log b 1 log a 1得 3 = log3 b
3 log ，4 a
令 f (x) = log3 x
1

log x ，则
f (x) 分别在( 0, 1)和 (1, + )上单调递增，
3
1
令 g(x) = log3 x log x ，则
g(x)分别在( 0, 1)和 (1, + )上单调递增，
4
当 x (0,1) 时， f x 的值域为R ，当 x (2,+ ) 时， g(x)的值域为 log3 2 2,+ ，
所以存在b (0,1),a (2,+ )，使得 f (b) = g(a) ；
同理可得，存在b (2,+ ),a (0,1)，使得 f (b) = g(a) ，
因此$a,b (0,+ ) ，使 | a b |> 1 ，故选项 A 正确．
令 ab =1，则方程 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4
可化为 logb 3+ logb 4 = 2log3 b，
(ln b)2 ln 3 ln12由换底公式可得 = > 0，
2
显然关于 b 的方程在 (0, + )上有解，所以$a,b (0,+ ) ，使 ab =1，故选项 B 正确．
1 1 1
当a,b (1,+ )时，因为 log3 b = log a < log a f (b) < f (a)log3 b
3 log a 34 log3 a
，所以．
又 f x 在 (1, + )上单调递增，所以b < a ．
因为 log3 b
1
= log 13 a > log a
1

log b log 4 ，3 4 a log4 a
令 h(x) = x
1
，则 h(x) 在 (0, + )上单调递增．
x
因为 h log3 b > h log4 a ，所以 log3 b > log4 a ，
从而 log3 b > log4 a = log2 a > log3 a ，所以b > a ．
综上所述，b < a < b2，故选项 C 正确．
1 1
当 a,b (0,1) 时，因为 log3 b = log3 a > log
1
log b log a 3
a
log a ，所以
f (b) > f (a) ．
3 4 3
又 f x 在( 0, 1)上单调递增，所以b > a．
1 1
因为 log3 b = log3 a < log4 a
1

log3 b log4 a log4 a
．
令 h(x)
1
= x ，则 h(x) 在 (0, + )上单调递增，
x
因为 h log3 b < h log4 a ，所以 log3 b < log4 a，
从而 log3 b < log4 a = log2 a < log3 a ，所以b < a ．
综上所述，b2 < a < b，故选项 D 错误．
故选：ABC．
【典例 10-2】（多选题）已知 a > 0，b > 0且满足 ab 2b + b ln ab = e，则下列结论一定正确的是（）
A．ab > e B．ab < e C． ab > e2 D． ab < e2
【答案】AD
【解析】等式 ab 2b + b ln ab = e，等号两边同除以b，
可得 a 2 + ln ab e= ，
b
所以 a ln a
e
+ = ln b + 2，
b
所以 a + ln a
e
= + 1 ln b +1，
b
a ln a e e所以 + = + ln +1，
b b
a e e
e
构造函数 + ln a = + ln +1

，则 f a = f ÷ +1，b b è b
显然，函数 f x = x + ln x在定义域 0, + 内是增函数，
所以 a
e
> ，即ab > e．
b
而 ab e = b 2 ln ab ，而ab > e，
故 2 ln ab > 0，故 ab < e2 ，故 D 正确.
故选：AD．
【变式 10-1】（2024·高三·浙江·开学考试）已知 a >1,b > 0，若 a + log2a = b + log2b，则（）
A． a > 2b B． a < 2b
C． a > b2 D． a < b2
【答案】D
【解析】当 a = 4时， a + log2a = b + log2b = 4 b + log2b 4 = 0，
函数 g x = x + log2 x 4 是正实数集的上的增函数，
因为 g 2 g 4 = 1 2 < 0，因此b 2,4 2b 4,8 ，显然 a < 2b，
因此选项 A 不正确；
当 a =16时， a + log2a = b + log2b = 8 b + log2b 8 = 0，
函数 h x = x + log2 x 8是正实数集的上的增函数，
因为 h 4 g 8 = 2 3 < 0，因此b 4,8 2b 8,16 ，显然 a > 2b，
因此选项 B 不正确；
因为 a > 1，所以 log2a > 0
由 a + log2a = a + 2log2 a > a + log2 a b + log2b > a + log2 a ，
构造函数 f x = x + log2 x x > 0 ，显然该函数单调递增，
由b + log2b > a + log2 a f b > f a b > a b2 > a ，因此选项 C 不正确，选项 D 正确，
故选：D
b
【变式 10-2 a b】（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 a, b 满足 2 = 8 + log2 ,则（）a
A． a = b B． a < 3b C． a = 3b D． a > 3b
【答案】B
a
【解析】由 2 = 8b log
b
+ a 3b2 可得 2 2 = log2 b log2a = log2 (3b) log2a log2 3,a
log 3 >1 a 3b a 3b因 2 ，则有 2 2 < log2 (3b) log2a,即 2 +log2a < 2 + log2 (3b),（*）
设 f (x) = 2x +log2x，则（*）即 f a < f 3b ，因 f (x) 在 (0, + )上为增函数，故可得： a < 3b .
故选：B.
【变式 10-3】（多选题）（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数 a，b 满足 a > 0， a 1，b > 0，且
ln b a 1= ，则下列结论正确的是（
a ）
A．当 0 < a < 1时，b < a B．当 a > 1时，b > a
C． loga b >1 D． loga b > 2
【答案】ABC
ln b ln a a 1 1【解析】因为 = ln a = a 2ln a ，
a a
1 2
令函数 f x = x 2ln x，则 f x 1 1 2 x 1 = + = 0，x x2 x x2
则函数 f x 在 0, + 上单调递增，且 f 1 = 0，
可知当 x 0,1 时， f x < 0 ；当 x 1,+ 时， f x > 0；
f a ln b ln a a 1且 = = 2ln a ，则有：
a
当0 < a < 1时， f a < 0，即 ln b ln a < 0，可得 0 1时， f a > 0，即 ln b ln a > 0，可得b > a >1，故 B 正确；
又因为当 0 loga a =1；
当b > a >1时， y =loga x在定义域内单调递增，可得 loga b > loga a =1，
所以 C 正确，D 错误．
故选：ABC.
【变式 10-4】（2024·陕西西安·模拟预测）若e2a eb > 4a2 b2 +1，则（）
A． 4a2 > b2 B． 4a2 < b2
1 1 1
C ( )a > ( )b D ( )a (
1
< )b．．
4 2 4 2
【答案】D
【解析】不等式 e2a eb > 4a2 b2 +1 e2a (2a)2 > eb b2 +1 > eb b2 ，
令函数 f (x) = ex x2 ，求导得 f (x) = ex 2x ，令 g(x) = ex 2x，求导得 g (x) = ex 2，
当 x < ln 2时， g (x) < 0，当 x > ln 2时， g (x) > 0，函数 g(x)在 ( , ln 2) 上递减，在 (ln 2,+ ) 上递增，
g(x)min = g(ln 2) = e
ln 2 2ln 2 = 2(1 ln 2) > 0 ，即 f (x) > 0 ，因此函数 f (x) 在 R 上递增，
原不等式等价于 f (2a) > f (b)，于是 2a > b，
对于 AB，取 2a =1,b = 1，有 4a2 = b2，AB 错误；
1
CD ( )2a
1
< ( )b对于，，即 (
1)a 1< ( )b ，C 错误，D 正确.
2 2 4 2
故选：D
题型十一：帕德逼近估算法
1
【典例 11-1】已知 a = e0.2 1，b = ln1.2， c = ，则（）
6
A． a < b < c B． c < b < a C． c【答案】B
2
a e0.2 1 0.2 + 6 0.2 +12 13.24【解析】利用帕德逼近，得 = 2 1 = 1 0.2214，0.2 6 0.2 +12 10.84
2 1
b = ln1.2 3 1.2 3 1.32 = 0.1823， c = 0.16662 ，综上， c < b < a .1.2 + 4 1.2 +1 7.24 6
故选：B
ln1.5
【典例 11-2】已知 a = e0.3，b = +1，
2 c = 1.5
，则（）
A． a < b < c B．b【答案】B
【解析】利用帕德逼近可得，
2
a e0.3 0.3 + 6 0.3+12 13.89= 2 = 1.34990.3 6 0.3 +12 10.29
b ln1.5 1 1 3 1.5
2 3 1 1 3.75= + 2 + = +1 1.20272 2 1.5 + 4 1.5 +1 2 9.25
c 1 1= 1.5 = 1+ 0.5 1+ 0.5 0.52 =1.21875
2 8
综上，b故选：B.
1
【变式 11-1】已知 a = ，b = ln1.01， c = e0.01 1，则（）1.01
A． a < b < c B．b【答案】B
a 1
2
【解析】 = 0.9900 b ln1.01 3 1.01 3， = 2 0.00995，1.01 1.01 + 4 0.1+1
c e0.01 1 0.01
2 + 6 0.01+12 1 12.0601= 2 = 1 0.01005，0.01 + 6 0.01+12 11.9401
综上，b故选：B
【变式 11-2】已知 a = 2ln1.02，b = ln1.05， c = 1.1 1，则（）
A． a < b < c B．b【答案】A
a 2ln1.02 2 3 1.02
2 3 0.1204
【解析】 = 2 = 2 0.03934，1.02 + 4 1.02 +1 6.1204
b ln1.05 3 1.05
2 3 0.3075
= 2 = 0.4879，1.05 + 4 0.5 +1 6.3025
c = 1.1 1 = 1+ 0.1 1 1 1+ 0.1 0.12 1 =1.4875 .
2 8
综上， a 0得0 < x < e ，令 f x < 0得 x > e2x (2x) ，
所以 f x 在 0,e 上单调递增，在 e, + 上单调递减，
2 2
2 ln2 lne2 ln2 ln
e ln e 2
因为 c = = = 2 = 2

2 = f
e ，
e e2 e2 e2 2 ÷è
a ln2 f 4 ,b 1且 = = = = f e ，
4 2e
e
2
则 f e > f ÷ > f 4 ，即 a < c < b .
è 2
故选：C.
2．（2024·宁夏银川·三模）设 a = 90.2 ，b = 30.31， c = 3ln1.3 ，则（）
A． c f 1 = 0，即 f 1.3 =1.3 1 ln1.3 = 0.3 ln1.3 > 0 ，
所以0.3 > ln1.3，
又指数函数 y = 3x 为单调递增，可得30.31 > 30.3 > 3ln1.3 ，即b > c ，
因为 a = 90.2 = 30.4 > 20.4 > 20.31 = b ，所以 c e，求导得 f (x)
1 ln x
= 2 < 0，即函数 f (x) 在 (e, + )上单调递减，x x
ln e
2
ln2 ln4 2 2
而 a = = ,b
ln3
= ,c 4 2ln2= 2 e e2 = e2 ，又
3 < < 4，因此
2 4 3 e f (3) > f ( ) > f (4)
，
2 2
2
所以 a < c b > c B．b > c > a C．b > a > c D． a log5 1
=1
2 ， a
2
= ( )3 = [(2)4 ]12 (16= )12 3 1> ( )12 = ( )4 = c ，而 a 2= ( )3 <1，
2 2 3 3 81 81 3 3
所以 a，b，c 的大小关系为b > a > c .
故选：C
5．已知 a = 3ln 7 ，b = 4ln 6 ， c = 5ln5， d = 6ln 4 ，则在 b a ， c b ， d c ， d b ， d a ， c a 这 6 个数
中最小的是（）
A． b a B． c b C． d b D． c a
【答案】C
【解析】因为 ln a = ln 3 × ln 7， ln b = ln 4 × ln 6，
ln c = ln 5 × ln 5， ln d = ln 4 × ln 6，则 d = b ，故 d b = 0，
又 b a > 0， c b > 0， d c > 0， c a > 0， d a > 0 ，故最小值是 d b ，
故选：C．
6．（2024·全国·模拟预测）已知 a sin
8 b ln 3 c 2= ， = ， = ，则 a,b,c的大小关系为（
5 ）15 2
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D． c > b > a
【答案】A
8
15 8 6 16 8 π π 8 π 1
【解析】Q π = × = >1，又 <1 < ，\sin < sin < sin ，即 < a <1；15 π 5π 15 2 6 15 2 2
6
Q 3 9
3 1 1
= = 2.25 < e ，\ln < ln e = ，即b < ，\a > b；
2 4 2 2 2
2 3 1

Q 2
÷
= è 2 \
2 x 1
3 ，可令 f x = ln x

x >1 ，
5 +1 x +1
2
Q f x 1 4 x 1
2
= 2 = 2 > 0，\ f x 在 1, + 上单调递增，x x +1 x x +1
f 3\ ÷ > f 1 = 0
3 2
，即 ln > ，\b > c ；
è 2 2 5
综上所述： a > b > c .
故选：A.
1
7．（2024·山西·模拟预测）已知实数 a,b,c满足 ln a = ，b = 3log c7 2，6 = 7，则（）5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > c > b D． a > b > c
【答案】C
1 1
【解析】由 ln a = ，可得 a = e5 ，且b = log5 7
8， c = log6 7，
f x ln(x +1) f x x ln x (x +1) ln(x +1)令 = (x >1) ，则 =
ln x x(x +1)(ln x)2
，
设 g x = x ln x, x >1，可得 g x = ln x +1 > 0，所以 g x 为 R 上单调递增函数，
因为 x < x +1，可得 g x < g x +1 ，即 x ln x < (x +1) ln(x +1)，
所以 f x < 0，即 f x 单调递减，所以 f 6 > f 7 ln 7 ln8，即 > ，
ln 6 ln 7
即 log6 7 > log7 8，所以c > b ，
h x = ex再设 (x +1), x > 0 x，可得 h x = e 1 > 0，
1 1 1 6
所以 h x 在 (0, + )上在单调递增，所以 h( ) > h 0 = 0，即 e5 >1+ = ，
5 5 5
log 75 log 66 6 log 7 6又因为 6 < 6 = ，所以 6 < ，所以 a > c ，5
综上可得： a > c > b .
故选：C.
8．（2024 a·湖北黄冈·二模）已知 a,b,c,d 分别满足下列关系：16 =15,b = log17 16, log15 c
17 3
= ,d = tan ，
16 16 2
则 a,b,c,d 的大小关系为（）
A． a < b < c < d B． c < a < b < d
C． a < c < b < d D． a < d < b < c
【答案】B
【解析】由16a = 15,可得a = log1615,
2
a b = log 15 log 16 ln15 ln16= ln15 × ln17 (ln16)16 17 = ,ln16 ln17 ln16 × ln17
2 2 2
因 ln15 × ln17 ln15 + ln17 ln255 ln256< 2 2 ÷
= ÷ < ÷ = (ln16) ，
è è 2 è 2
又 ln16 × ln17 > 0，故 a b < 0 ,即 a e时， y < 0，x x
y ln x (e, + ) 0 ln16 ln15即函数 = 在上单调递减，则有 < < ，故得 c < a；
x 16 15
由b = log17 16 < 1，而d = tan
3
> tan π = 1，即b < d ，
2 4
综上，则有 c < a 0， f x 单调递增，
则 f x f 0 = 0，故 c = e0.3 >1+ 0.3 1.3 5= > .
4
令 g x = lnx x ，则 g x 1 1 e x= = .
e x e ex
当 x e, + 时， g x < 0， g x 单调递减，
g 3 < g e = 0 ln3 3 3 5则，即 < < = .
e 2.4 4
故 a 1 ，
则 f x = ex 1 1 > 0在 1, + 上恒成立，
故 f x 在 1, + 上单调递增，
则有 f π 2 = e π 2 1 π 2 > f 1 = 0，即 a > c ，
令 g x = ln x x +1 x >1 ，
则 g x 1 1 1 x= = < 0在 1, + 上恒成立，
x x
故 g x 在 1, + 上单调递减，
则有 g π 2 = ln π 2 +1 π 2 < g 1 = 0，即b < c ，
故b故选：A.
5c
11．（2024 5a·河南南阳·模拟预测）设 ln = 0.2,b = 0.96,e 2 = 5，则（）
4
A． c < b < a B． cC． a < c < b D． a 0，è
所以 f x 在区间 0,1 内单调递增，
又 f 1 = 0 x 1，则 2lnx < 0 ，
x
即 2xlnx <1 x2，所以 c 0，
所以 g x 在区间 0,1 内单调递增，
则 g x > g 0 = 0，
故 ex x 2> x +1，则 1 x e >1 x ，即b < a ，
所以 c b D．b > a
【答案】BC
【解析】A 选项，因为11t =12，所以 t = log1112，
ln x +1令 f x = log x x +1 = ， x >1，ln x
ln x ln x +1

则 f x x +1 x x ln x x +1 ln x +1 = = ，
ln2 x x x +1 ln2 x
x ln x x +1 ln x +1 因为 x >1，所以 f x = < 0x x 恒成立，+1 ln2 x
ln x +1故 f x = log x x

+1 = 在 1, + 上单调递减，
ln x
故 log1112 > log12 13，
则 a =12t 13 =12log1112 13 >12log12 13 13 = 0，故 A 错误；
B 选项，由 A 选项可知， log10 11 > log1112
b =10t 11 =10log1112 11 <10log10 11 11 = 0，故 B 正确；
CD 选项，由 AB 选项可知，a > 0 > b，C 正确，D 错误.
故选：BC
13 a．（多选题）已知 a > 0， e 1 ln b =1，则（）
A．1 ln b C． ea ln b <1 D．b a <1
【答案】ABD
1
【解析】已知 a > 0，则 ea > 1，有0 <
ea
<1，
a 1
由 e 1 ln b =1，得1 ln b = a ，则0 <1 ln b <1，即0 < ln b <1，e
所以1 0时， f x > 0， f x 单调递增，
f x = f 0 = 0， f x = ex x 1 0min ，即 ex x +1， x = 0时等号成立，
a 0 1 ln b 1已知 > ，由 = a = e
a > a +1，所以a > ln b，B 选项正确；
e
a > 0 a ea 1 1 a
1
已知，则 e > 1， + a e =a 2 e × a = 2，当且仅当 a ，即 e
a =1等号成立，
e e e
所以 ea
1
+ a > 2，有 ae e +1 ln b > 2
，得 ea ln b >1，C 选项错误；
设1 ln b
1
= = t ，有0 < t <1，则 a = ln t ，b = e1 t ，有b a = e1 tea + ln t
，
g t = e1 t设 + ln t 0 < t <1 g t = e1 t 1，有 + ，
t
设 p t = ln t t +1 0 < t <1 ，则 p t 1= 1 > 0 0 < t <1 ，
t
所以 p t = ln t t +1< 0，即 ln t < t 1， ln t >1 t ，
1
> e1 t所以， g t >0在 0,1 上恒成立，
t
得 g t 在 0,1 上单调递增， g t < g 1 =1，即b a <1，D 选项正确.
故选：ABD.
14．（多选题）已知函数 f (x) = ex + x 2 (e = 2.71828 为自然对数的底数）， g(x) = ln x + x 2，若
f (a) = g(b) = 0 ，则下列结论正确的是（）
A． a + b = 2 B． a2 + b2 < 3
C． ea + ln b > 2 D． eb + ln a > 3
【答案】ABD
【解析】由题意 ea + a 2 = elnb + ln b 2 = 0，即 f (a) = f (ln b) = 0，
而 f (x) = ex + x 2 在定义域上递增，故 a = ln b，
所以 ea + ln b 2 = a + b 2 = 0 ，即 ea + ln b = a + b = 2，A 对，C 错；
1 1
由 (
3)2 e 5 1 1< < ( )3 ， f (1) = e3 5 < 0, f (1) = e2 3 > 0，故零点 x = a = ln b ( , )，
2 3 3 3 2 2 3 2
a2 + b2 = a2 + (2 a)2 2所以 = 2a 4a + 4 = 2(a 1)2 + 2
1 26
< 2 ( 1)2 + 2 = < 3，B 对；
3 9
3
由 a (
1 , 1)，则 eb + ln a = e2 a + ln a > e2 a + ln 1 e2 ln 1> + = e3 ln 3 > 20 ln 3 > 4.4 ln 3，
3 2 3 3
7
5 7
而 4.4 ln 3 3 =1.4 ln 3 e= ln ，显然 e
7 > 35 ，则 e5 > 3，故 4.4 ln 3 3 > 0，
3
综上， eb + ln a > 3，D 对.
故选：ABD
15．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）若正实数 a，b满足 a > b，且 ln a × ln b > 0 ，则下列不等式一
定成立的是（）
A． loga b > 0
1 1
B． a > b
b a
C． 2ab+1 < 2a+b D． ab 1 < ba 1
【答案】AD
【解析】因为a > b > 0， y = ln x 为单调递增函数，故 ln a > ln b，
由于 ln a × ln b > 0 ，故 ln a > ln b > 0，或 ln b < ln a < 0，
当 ln a > ln b > 0时， a > b >1，此时 loga b > 0；
a 1 b 1

÷ = a b
1
1 ÷ > 0 a
1 b 1 >
b è a è ab
，故；
b a
ab +1 a +b = a 1 b 1 > 0， 2ab+1 > 2a+b；
当 ln b < ln a < 0时， 0 0， a
1 1
b

÷ = a b
1 1 1
b a
1 ÷ < 0，故 a 0， 2ab+1 > 2a+b；
对于 ABC，A 正确，BC 均错误；
对于 D， ab 1 < ba 1，两边取自然对数， b 1 ln a < a 1 ln b，
因为不管 a > b >1，还是 0 0，
ln a ln b ln a ln b
所以 < ，故只需证 < 即可，
a 1 b 1 a 1 b 1
1 1 ln x
设 f x ln x= （ x > 0且 x 1），则 x ，x -1 f x = x 1 2
令 g x =1 1 ln x 1 1 1 x（ x > 0且 x 1），则 g x = = ，
x x2 x x2
当 x 0,1 时， g x > 0，当 x 1,+ 时， g x < 0，
所以 g x < g 1 = 0 ，所以 f x < 0在 x > 0且 x 1上恒成立，
f x ln x故 = （ x > 0且 x 1）单调递减，x -1
ln a ln b
因为 a > b，所以 < ，结论得证，D 正确．
a 1 b 1
故选：AD．
16 2 2．（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知 a > 0,b > 0， a2 + b2 ab = 2， a b 2 ，下面结论正
确的是（）
A． a + b 2 2 B． a b
6

3
C． log2 a + log2 b 1 D． log2 a + log2 3b 2
【答案】BCD
【解析】A 选项， a2 + b2 ab = 2变形得到 a + b 2 = 2 + 3ab，
a > 0,b > 0 ab a + b
2 3 a + b 2
因为，所以，故 a + b 2 2 = 3ab ，
4 4
解得0 < a + b 2 2 ，当且仅当 a = b时，等号成立，A 错误；
B a2 b2选项，因为 2 ，所以 2 a2 b2 2 ，即 a2 2 + b2 ，
又 a2 = 2 + ab b2，所以 2 + ab b2 2 + b2，即 ab 2b2 ，
因为 a > 0,b > 0，所以 a 2b ，同理可得b 2a ，
由 a 2b 2可得 a b b，故 a a b 2b ，
a2 + b2 ab = 2，所以 a a b = 2 b2 ，
故 2 b2 2b2 6，解得b ，
3
2 2
又b 2a ，即 a
b
，所以 a 8a b b b ，即 2 b2 2，解得b ，2 4 4 3
0 b 2 6 6 b 2 6 6 2 6解得 < ，综上，，同理可得 a ，
3 3 3 3 3
6 a b 6所以，故 B 正确；
3 3
C 选项，因为 a2 + b2 ab = 2，所以 a2 + b2 = 2 + ab 2ab ，解得0 < ab 2，
当且仅当 a = b时，等号成立，
log2 a + log2 b = log2 ab 1，C 正确；
1 a
D 选项，由 B 可知， 2，
2 b
g t 1
2
设 = t + 1， t 22 ，则 g t t
1 t 1
=1
t 2
= 2 ，t
1
故当 t
é ,1 ê ÷时， g t < 0， g t t
1
= +
2 单调递减， t
当 t 1,2 时， g t >0， g t 1= t + 单调递增，
t
又 g
1 5
÷ = g 2 =
5
2 2 ，所以
g t ，
è 2
a2 + b2 a b 5 a2 + b2 2 5 4
所以 = + ，即 = +1 ，解得 ab ，
ab b a 2 ab ab 2 3
log2 a + log2 3b = log2 3ab log2 4 = 2 ，
故选：BCD
3 3 3
17．若 a = ln 4，b = ， c = sin + tan ，则 a，b，c 的大小关系为（
4 4 ）2
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c【答案】A
2
2
3 3
4 < e2 3
3
【解析】因为 ÷ ，所以 4 < e2 ，所以 a = ln 4 < b = = ln e
2 ，
è 2
令 h x = sin x + tan x 2x, x

0,
π
÷÷，所以，则
è è 4
3 2 cos3 x cos2 x cos2 x 1
h (x) = cos x 1 2 cos x 2cos x +1+ =
cos2 x cos2
=
x cos2 x
cos2 x cos x 1 cos x +1 cos x 1 cos x 1 cos2 x cos x 1
= = ，
cos2 x cos2 x
2
cos2 x cos x 1 5 1+ 2 1 = cos x

2 ÷

4
, 1÷
è 2 ÷
，
è
cos x 1 cos2 x cos x 1
所以 h x = ，
cos2
> 0
x
π
即 h x = sin x + tan x 2x, x 0, 4 ÷÷恒为递增函数，è è
3
则 h( ) > h(0) = 0，即 sin
3
+ tan 3 3 > 0，所以c > b ，
4 4 4 2
综上： a < b < c，
故选：A.
2
18 2024 3 e +1
e
4
3

．（ ·高三·四川成都·期末）已知 a = ÷ ，b = ， c = ，则 a，b，c 的大小关系为
è 2 ÷ ÷ è e è 3
（）
A． a < c 0，则 ln f x = x ln

1
1
+
x x ÷
， x > 0
è è
g x = x ln 1 1+ 令 ÷， x > 0x ，è
g x = ln 1 1+ ÷ + x
1 1 1 1× 1 ×

2 ÷ = ln

1+

÷ 则 è x 1+ è x è x 1+ x ，
x
令 h x = ln 1 x+ x ， x > 0，
1+ x
1 1 x
则 h x = = > 01+ x 2 2 在 0, + 1+ x 1 + x 上恒成立，
故 h x = ln 1 x+ x 在 0, + 上单调递增，
1+ x
x
又 h 0 = 0，故 h x = ln 1+ x > 0在 0, + 上恒成立，
1+ x
1
1
将 h x ln 1 x 1= + x > 0 x中 x换为可得， ln 1+ > 0，
1+ x x x ÷è 1 1+
x
即 ln
1 1
1+ ÷ > 0，故 g x > 0x 1 x 在 0, + 上恒成立，è +
1
所以 g x = x ln 1+

÷在 0, + x 上单调递增，è
x
由复合函数单调性可知 f x = 1 1+ ÷ 在 0, + 上单调递增，
è x
1 2 e 3 1+ 1 1< + < 1 1+ 故 ÷ ÷ ÷ ，即 a < b < c .
è 2 è e è 3
故选：D
19．（2024·全国·模拟预测）设 a = 0.2 ln10，b = 0.99， c = 0.9e0.1，则（）
A． a < b < c B． c < b < a C． c < a < b D． a < c 0，
è
所以 f (x)
1
在( 0, 1)上单调递增，则 x 2ln x < 0，即
x 2x ln x <1 x
2 ，所以 a 0，
所以 g(x)在( 0, 1)上单调递增，则g(x) > g(0) ex x 1 > 0 ex > x +1，
所以 (1 x)ex >1 x2 ，即b < c ，
所以 a b > c B． a > c > b
C．b > c > a D．b > a > c
【答案】C
2
ln e ln 14
a = 2 2 b = 5 c ln 2 2【解析】 e2 ， 14 ，
= ，
2 2
2 2 5
ln x 1 ln x
构造函数 f x = ， x > 0，则 f x = 2 ，x x
当0 < x < e时， f x > 0，当 x>e时， f x < 0，
故 f x ln x= 在 0,e 上单调递增，在 e,+ 上单调递减，
x
故 f x ln x= 在 x=e时取得极大值，也是最大值，
x
若 f (x1) = f (x2 )，不妨设0 < x1 < e < x2 ，
2
设F x = f x f e ÷， 0 < x e ，则F e = 0，
è x
2 2 2
F x f x e f e 1 ln x e ln x 1 1 ln x ln x 1= + = + ×
x2 x ÷ x2 x2 2 2
= 2 + 2
è e x e
x ÷è
2 2
= 1 ln x 1 1 1 ln x e x = × ，
è x2 e2 ÷ e2x2
当 0 < x e 时，F x > 0，故F x 在 0,e 上单调递增，
e
2
故F x1 < F e = 0，即 f x1 < f ÷，
è x1
2
又 f (x1)
e
= f (x2 )，故 f x2 < f ÷，
è x1
2
因为0 < x1 < e < x
e
2 ，所以 > e，x1
而 f x ln x= 在 e,+ 上单调递减，
x
e2
故 x2 > ，则 x1x
2
x 2
> e ，
1
e2
由于 2 2 > e，令 x1 = < e，2 2
x x e
2
而 1 × 2 = × x
2
2 > e x2 > 2 2 ，2 2
而 f x ln x= 在 e,+ 上单调递减，
x
e2
\ f ÷ = f (x2 ) < f (2 2) ，即 c > a ，
è 2 2
b f 14= 2 2 14 e 14> > 5 ÷，而，故
f ÷ > f 2 2 ，即b > c5 ，è 5 è
综上，b > c > a .
故选：C
2
21．已知三个互不相等的正数 a,b,c满足 a = e3 ,b = log23 + log9 6,c = log 5 2a +1 ，（其中 e = 2.71828L是一
个无理数），则 a,b,c的大小关系为（）
A． a < b < c B． a < c 2 log2 2 = 23
2
c = log a5 2 +1 = 2log e3 ÷ 25 2 +1÷ < 2log5 2 +1 = 2log5 5 = 2，
è
c log 5 2a +1 ln 2a +1= = log a
a a a 2 +1 =5 a ，ln 5
因为 f x = ln x是递增函数，又因为 a 0,2 ，
y = ln 2a a作出 +1 和 y = ln 5 的图像，如图可得，当 a = 2 a时，两函数值相等； a < 2时， y = ln 2 +1 图
a
像一直在 y = ln 5 的上方，所以 a < c
故 a < c < b，
故选：B
a 1 b log 2023 202322．已知 = ， = 2022 ， c = log ，则（）2022 2022 2023
2022
A． a < c log 2023 2022 > log 2023 1 = 0，
2022 2022 2022 2022
1 1
> 2023 2023
所以 log 2023 2022 log 2023 ，即 log2022 > log2023 2022 2023
，
2022
2022 2022
所以b > c ，
f (x) ln x令 = (x > 0) ，则 f (x)
1 ln x
= 2 (x > 0) ，x x
当 x>e时， f (x) < 0 ，所以 f (x) 在 (e, + )上递减，
ln 2023 ln 2022
因为 2023 > 2022 > e ，所以 < ，所以 2022ln 2023 < 2023ln 2022，
2023 2022
所以 ln 20232022 < ln 20222023 ，所以 20232022 < 20222023 = 20222022 2022，
2023
2022 2022
2023
所以 < 2022 ，所以 log < log 2022 =1，
è 2022 ÷ 2022 2022 ÷ 2022 è
2022log 2023所以 2022 <1，所以 log
2023 1
< ，
2022 2022 2022 2022
所以 a > b，
综上， a > b > c，
故选：D
a b
23．（多选题）已知a > b > 0， c > d > 0， = =1.1， 1 ln c c = 1 ln d d = 0.9，则（）
ln a +1 ln b 1 +
1 1
A． a + b < 2 B． c + d > 2 C． > a b D． ad >1
d c
【答案】BC
x ln x
【解析】令 f x = ，则 f x = 2 ，
ln x +1 ln x +1
当 x

0,
1 1
÷

,1÷ 时， f x < 0，当 x 1, + 时， f x > 0e ，è è e
f x 0, 1 1 故在 e ÷、 ,1e ÷上单调递减，在 1, + 上单调递增，è è

当 x 0,
1
÷时， f x < 0 ，当 x
1
,+
f x > 0
è e è e ÷
时，，

f 1 1= =1，有 f a = f b =1.1 1，故 1.1，故有 < a b ，即 C 正确，1< a < ，即 ad <1，故 D 错误，
d c d
下证： f x < f 2 x ,1 < x 1< 2 恒成立.
e
x 2 x
即证： < ，即证 x ln(2 x) +1 < 2 x ln x +1ln x 1 ln(2 x) 1 ，+ +
设 s x = x ln(2 x) +1 2 x ln x +1 ，
则 s x = ln(2 x) 1 x 2 x + + ln x +1 = ln x(2 x) + 2 x 2 x+ 2 x x 2 x x ÷，è
x 2 x
因为 x 2 x <1， + > 2，故 s x < 0，
2 x x
故 s x 在 1,2
1
÷上为减函数，故 s x < s 1 = 0
è e
，

即 x ln(2 x) +1 < 2 x ln x +1 在 1,2
1
÷成立，
è e
故 f x < f 2 x ,1 < x 1< 2 恒成立.
e
因为 f a = f b =1.1 > 0 1，则 2 ；
e
若1< a
1
< 2 ，则 f b = f a < f 2 a ，
e
1
而 2 a即 a + b > 2 ，故 A 错误；
e e
令 g x = x 1 ln x ，有 g c = g d = 0.9 ，
则 g x =1 ln x 1 = ln x ，
当 x 0,1 时， g x > 0，当 x 1, + ， g x < 0，
故 g x 在 0,1 上单调递增，在 1, + 上单调递减，
有 g 1 =1，又 c > d > 0，故 d <1 < c ，
令G x = g x g 2 x = x 1 ln x 2 x é 1 ln 2 x ù ，
则G x = g x + g 2 x = ln x ln 2 x = ln 2x x2 ，
2
由0 < x <1，故 2x x2 = x 1 +1 <1，即G x > 0，
故G x 在 0,1 上单调递增，又G 1 = 0，故G x < 0恒成立，
即 g x < g 2 x ，由 d <1 < c ，即有 g d < g 2 d ，
又 g d = g c ，即有 g c < g 2 d ，有 2 d >1， c >1，
又 g x 在 1, + 上单调递减，故 c > 2 d ，即 c + d > 2，故 B 正确.
故选：BC.
24．（多选题）（2024·湖南长沙·二模）下列不等式正确的有（）
10190A 3 5
2 3
6
．
10091
> B． >
125 è 4 ÷ ÷ è 5
3 3
C． e2 e > D． tan1 >
2 2
【答案】AD
【解析】由
10190
90 = (1+ 0.01)
90 =1+ C190 0.01+ C
2
90 0.01
2 + C390 0.01
3 +L+ C90 90
100 90
0.01
90
>1+ C190 0.01+ C
2
90 0.01
2 + C390 0.01
3 =1+ 0.9 + 0.4005 + 0.11748 > 2.4 101 0.024 3，则有 > = ，A 正确；
10091 125
(5) 2 6 5 6假定 < ( ) 3 2，有 ( ) < ( ) 3 2 ln
5 6
< 3 ln 2 ln 25 < ( 3 2) ln 6 ，
4 5 4 5 4 5 24 5
令 f (x) ln x
2(x 1)
= , x >1，求导得， f (x) 在 (1, + )上单调递增，
x +1
则 f (x) > f (1) = 0 ln x
2(x 1) ln 6 2 ( 3 2) ln 6 2，即当 x >1时， > ， > ， > ( 3 2)，
x +1 5 11 5 11
g(x) ln x x 1令 = , x >1，求导得， g(x)在 (1, + )上单调递减，
x
x 1 25 1 25 1
则 g(x) < g(1) = 0，即当 x >1时， ln x < ， ln < ， 2 ln <
x 24 10 6 24
，
10 3
2 ( 3 2) 1> 60 20 6 >11 49 > 20 6
11 ，10 3
25 6 5 6
49 2 3因 > 492 1 = 50 48 = 20 6 成立，则 2 ln < ( 3 2) ln 成立，所以 ( ) < ( ) 成立，B 不正24 5 4 5
确；
e2 e 3< e2 e 3 3 3 3假定，有 < 2 e < ln ln < e
1 3 ln 3 < e ln e ，
2 2 2 2 2 2 2 2
令 h(x) = x ln x, x >1，，则 h(x) 在 (1, + )上单调递增，
e 3 3> h( e) > h( ) e2 e 3而，则，所以 < 成立，C 不正确；
2 2 2
令 y = tan x,0 x
p
< < ，求导得，，
2
曲线 y = tan x x
p p
在 = 处切线方程为 y = 4(x ) + 3，
3 3
j(x) tan x 4(x p令 = ) 3,0 x
p
< < p，求导得，即j(x) 在 (0, )3 上单调递减，3 3
而1
p
< ，则j(1)
p p 3 5 4p 3 3.15 3
> j( ) = 0，即 tan1 > 4(1 ) + 3 = + ( + 3 ) > + (2.5 +1.7 4 ) = ，D 正
3 3 3 2 2 3 2 3 2
确.
故选：AD
25．（多选题）（2024·山东聊城·一模）若实数 a 2，则下列不等式中一定成立的是（）
A． (a +1)a+2 > (a + 2)a+1 B． loga (a +1) > loga+1(a + 2)
C． log (a 1)
a +1 log (a 2) a + 2a + < D．a a+1
+ <
a +1
【答案】ABD
ln a +1 lnA a + 2 a +1 ln a +1 a +1【解析】对于选项：原式等价于 > ，对于选项 C： log (a +1) < <
a +1 a + 2 a a ln a a
ln a +1 ln a ln a + 2D ln a +1 ln x < ，对于选项：变形为 < ，构造函数 f x = ，通过求导判断其在
a +1 a a + 2 a +1 x
x e,+ 上的单调性即可判断；
ln a +1 ln a + 2
对于选项 B：利用换底公式： loga (a +1) > loga+1(a + 2) >ln a ln a 1 ，+
2
ln2 a +1 > ln a × ln a + 2 ab a + b f x ln x等价于，利用基本不等式 ÷ ，再结合放缩法即可判断；令 = ，
è 2 x
f x 1 ln x 0 x 3,+ f x ln x则 = 2 < 在上恒成立，所以函数 = 在 x e,+ 上单调递减，x x
对于选项 A：因为 a 2，所以 (a +1)a+2 > (a + 2)a+1 a + 2 ln a +1 > a +1 ln a + 2 ，
ln a +1 ln a + 2 ln a +1 lna +1 < a + 2 a + 2 即原不等式等价于 > ，因为，所以 > ，从而可得
a +1 a + 2 a +1 a + 2
(a +1)a+2 > (a + 2)a+1，故选项 A 正确；
对于选项 C： loga (a +1)
a +1 ln a +1 a +1 ln a +1< ln a < < ，
a ln a a a +1 a
由于函数 f x ln x= 在 e,+ ln 4 ln 3上单调递减，所以 f 4 < f 3 ，即 < ，
x 4 3
ln 4 2ln 2 ln 2 ln 2 ln 3 ln a +1
因为 = = ，所以 < ，取 a = 2 ln a，则 > ，故选项 C 错误；
4 4 2 2 3 a +1 a
ln a + 2 a + 2
对于选项 D： log (a
a + 2 ln a + 2 ln a +1
a+1 + 2) < <

a +1 ln a +1 a +1 < ，与选项 A 相同，故选项 D 正a + 2 a +1
确.
ln a +1 ln a + 2
对于选项 B： loga (a +1) > loga+1(a + 2) >ln a ln a +1 ，因为 a 2，
22 é ln a + ln a + 2 ù
所以等价于 ln a +1 > ln a × ln a + 2 ，因为 ln a × ln a + 2 < ê 2 ú ，
2
2 2
é ln a + ln a + 2 ù é ln a2 + 2a ù é ln a2 + 2a +1 ù
因为 ê ú = ê ú < ê ú = ln
2 a +1 ，
2 ê 2 ú ê 2 ú
所以不等式 loga (a +1) > loga+1(a + 2) 成立，故选项 B 正确；
故选：ABD
1 b26 ．（多选题）（2024·江苏南通·三模）已知2a = log1a, log2b = ÷ ，则（）
2 è 2
A．a + 2a = b + 2 b B．a + b = 2b + 2 a
1 1
C．2b +1 > ea D．
1
2a > e b
【答案】AD
【解析】对 A，由图可知： y = 2x 与 y = log 1 x A a, 2a交点， 0 < a <1
2
x
y = log x y 1= 2 与 ÷ 的交点B b, 2 b , (b >1)，
è 2
根据指数函数与对数函数为一对反函数知：A ， B 关于 y = x 对称，
ìa = 2 b
故 íb 2a
，a + 2a = b + 2 b，故 A 正确；
=
对 B，由 A 知 a + b = 2 b + 2a ，故 B 错误；
b 1 1
对 C，由 a = 2 b知 2 = ，则 2b +1 = +1 x，设 f x = e x 1， x R ，a a
则 f x = ex 1，则当 x ,0 时， f x < 0，此时 f x 单调递减；
当 x 0, + 时， f x > 0，此时 f x 单调递增；
则 f x f 0 = 0，则 ex x 1 0恒成立，即 x +1 ex，当 x = 0时取等；
1 1
x 1 1 1 1令 = ，则有 +1 ea ，因为 0 1，则 +1< ea ，即 2b +1< ea ，故 C 错误；a a a a
对 D，设 h x = ln x +1 x， x 0, + ，则 h x 1 x= ，
x
则当 x 0,1 时， f x > 0，此时 f x 单调递增；
当 x 1, + 时， f x < 0，此时 f x 单调递减；
则 h x h 1 = 0，即 ln x +1 x 0在 0, + 上恒成立，
即 ln x x 1在 0, + 上恒成立，当 x =1时取等，
1 1 1 1 1 1
令 x = ，则 ln ÷ 1，即 ln b 1 ，因为b >1，则 ln b >1 ，则 1 重难点突破 01 玩转指对幂比较大小
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳总结 ...................................................................................................................................3
题型一：直接利用单调性 ...........................................................................................................................................3
题型二：引入媒介值 ...................................................................................................................................................3
题型三：含变量问题 ...................................................................................................................................................4
题型四：构造函数 .......................................................................................................................................................4
题型五：数形结合 .......................................................................................................................................................5
题型六：特殊值法、估算法 .......................................................................................................................................6
题型七：放缩法 ...........................................................................................................................................................6
题型八：不定方程 .......................................................................................................................................................7
题型九：泰勒展开 .......................................................................................................................................................7
题型十：同构法 ...........................................................................................................................................................8
题型十一：帕德逼近估算法 .......................................................................................................................................8
03 过关测试 ...........................................................................................................................................9
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定 a，b，c 的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 a x1 和 a x2 ，利用指数函数 y = a x 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 xa xa1 和 2 利用幂函数 y = xa单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 loga x1和 loga x2利用指数函数 loga x单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量 0，1 或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大
小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
x2 n q x
① ex =1+ x + +L
x e
+ + xn+1
2! n! (n +1)!
3 5 2n+1
② sin x
x x
= x + L+ ( 1)n x + o(x2n+2 )
3! 5! (2n +1)!
2 4 6 2n
③ cos x 1
x x x x
= + +L+ ( 1)n + o(x2n )
2! 4! 6! (2n)!
x2 3 n+1④ ln(1+ x) = x x + L+ ( 1)n x + o(xn+1)
2 3 n +1
1
⑤ =1+ x + x2 +L+ xn + o(xn )
1 x
n(n 1)
⑥ (1+ x)n =1+ nx + x2 + o(x2 )
2!
题型一：直接利用单调性
1-1 a = 30.2 ,b = 0.3 0.2【典例】记 ,c = log0.2 0.3，则（）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > b > a D．b > a > c
【典例 1-2】（2024·全国·模拟预测）已知 a = 30.6，b = log25， c = log3 2 3 ，则实数 a，b，c 的大小关系
是（）
A．b > a > c B． a > b > c C．b > c > a D． a > c > b
1 3
2 4
【变式 1-1】设 a 4 ，b 3= ÷ = ÷ ， c = ln1.6，则（）
è 7 è 5
A． c【变式 1-2】（2024·宁夏银川·三模）已知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，则（）
A． a < b < c B． c < a < b
C．b < c < a D．b < a < c
题型二：引入媒介值
5 3
14
【典例 2-1 2024 7 5】（ ·甘肃兰州·二模）故 a 5 ，b 7= ÷ =

÷ ， c = log3 ，则 a，b，c 的大小顺序是
è 7 è 5 5
（）
A．b < a < c B． c < a c > a B．b > a > c C． a > c > b D． a > b > c
【变式 2-1】（2024·全国·模拟预测）已知 a = log0.3 0.6，b = 0.50.6， c = 2cos2 22.5° 1，那么a，b， c的
大小关系为（）
A．b1 1 1 1
【变式 2-2】（2024 a·江西上饶·模拟预测）设 ( ) = 2,b = log 3
3 1
,c = ( ) ，则有（）
2 3 2
A． a b > 0,a + b =1且 x = ÷ , y = log1 a, z = log ab ，则
è a 1 1+ b a b ÷è
x, y, z的大小关系是（）
A． x < z < y B． z < y < x
C． y < z < x D． x < y < z
【典例 3-2】（多选题）若 0 < a logb(1+ a)
【变式 3-1】（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知 x，y，z 都为正数，且 2x = 3y = 6z ，则（）
1 1 1
A． xy > 4z2 B． + < x + y > 4z x + y < 5zx y z C． D．
1 1 1
【变式 3-2】（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知当 x > 0时， < ln(1+ ) < ，则（）
1+ x x x
10 1 9 ln 9 1 1A． < e9 < B． < + +L
1
+ < ln10
9 8 2 9
(10
0 1 9
C )9． < 9! D (C． 9 )2 C+ ( 90 1 )
2 +L+ (C9 2
e 9 9 99
) < e
【变式 3-3】（多选题）（2024 b a·湖北·模拟预测）已知正实数 a，b，c 满足 c < b <1< logc a ，则一定有
（）
A．a < 1 B． a < b C．b < c D． c < a
题型四：构造函数
【典例 4-1】设 a = log 2
2
3 ，b = log4 3， c = ， d = log5 3，则（）3
A． a < b < c < d B． a < c < d < b
C． a < d < c < b D． c < a < b < d
1 1
【典例 4-2】（2024·湖北武汉·二模）设 a = ,b = 2ln sin + cos
1
÷ ,c
6
= ln 6 ，则 a,b,c5 10 10 5 5 的大小关系是è
（）
A． a b > c B．b > a > c
C． c > a > b D． c > b > a
【变式 4-2】（2024·全国·模拟预测）已知 a = 5050 ，b = 4951， c = 5149，则（）
A．b1 1
【变式 4-3】已知 a = log2 986 log2 985,b =1 cos ,c = ，则（）986 985
A．b > a > c B．b > c > a C． a > c > b D． c > b > a
题型五：数形结合
1
【典例 5-1】（2024·高三·海南·期末）若a = ln1.1,b = 0.9 ,c = 0.1，则（）e
A． a c > b B．b > a > c
C． c > b > a D． c > a > b
【变式 5-1】已知 a = 0.80.5 + 0.80.7 + 0.80.9 ，b = 0.60.8 + 0.70.8 + 0.80.8
8 12 1
， c = e 15 + e 35 + e 5 ，则（）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D．b > c > a
4 a 2
【变式 5-2】（2024·四川广安·二模）已知a，b， c均为正数， a =1+ 2 ，b = 4 + b 2 3b ，
a
4 c2
= log a4 c + 3 ，则，b， c的大小关系为（）c
A．ba b
【变式 5-3 2024 1 】（ ·黑龙江哈尔滨·三模）已知 2 = log 1 a， ÷ = log 1b，则下面正确的是（）
2 è 2 2
1
A． a > b B． a <
4
1
C．b 2> D． a b <
2 2
【变式 5-4】雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705 年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，
他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的
不等式．伯努利不等式的一种形式为："x > 1， n N* ，则 (1+ x)n 1+ nx ．伯努利不等式是数学中的一
种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知
a = log2 2024 log2 2023 b 1 cos
1 c 1， = ， = ，则（）
2024 2023
A．b > a > c B． a > c > b C．b > c > a D． c > b > a
1 1 1 4
【变式 5-5】（2024·高三·江苏苏州·期中）设 a = cos ，b = sin ，
5 5 5 c = e
5 ，则 a，b，c 的大小关系为
（）．
A．b < a < c B． a < c < b C．b < c < a D． a b，则（）
b a
A 1． < 1 B． + > 2 C． ea ba b >1 D． ln a > ln ba b
【典例 6-2】已知 a = 2x ，b = ln x ， c = x3 ，若 x 0,1 ，则 a、b、c 的大小关系是（）
A． a > b > c B． a > c > b
C． c > b > a D． c > a > b
1
【变式 6-1】已知 a = 3，b = 24 ， c = log2 e，则a，b， c的大小关系为（）
A． a > b > c B． a > c > b
C．b > a > c D．b > c > a
【变式 6-2】（2024 a·陕西安康·模拟预测）若 a,b,c满足 2 > 2b , log3c < 0，则（）
1
A． > 0 b a c B．a
c > bc
C． ac > bc D． a + c > bc
题型七：放缩法
π 9π
【典例 7-1】（2024·全国·模拟预测）已知，b =1+ sin ， c =1.16a = e10 ，则a，b， c的大小关系为10
（）
A． a > b > c B． a > c > b C． c > a > b D． c > b > a
3
a 1【典例 7-2】（2024·全国·模拟预测）已知 = log5 12 b = sin
π 1 4，，，则（）
3 10 c = ÷è 7
A． a 2 C． a + b > 2 D． + > 4a b
3 13
【变式 7-2】（2024·江西宜春·模拟预测）若 0.3a = e 10 ，b = 0.3e ， c = ln1.3，则（）10
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D． c > b > a
【变式 7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）设 a = log615，b = log8 20， c = log2012 2024，则a、b、 c的
大小关系为（）
A． a 2.2
2
C．3.32 > 23.3 D．3.34 < 43.3
题型八：不定方程
【典例 8-1】已知 a、b、c 是正实数，且 e2a 2ea+b + eb+c = 0，则 a、b、c 的大小关系不可能为（）
A． a = b = c B． a > b > c
C．b > c > a D．b > a > c
【典例 8-2】设实数a，b满足1001a +1010b = 2023a ，1014a +1016b = 2024b ，则a，b的大小关系为（）
A． a > b B． a = b C． a < b D．无法比较
【变式 8-1】已知实数 a、 b ，满足 a = log 3 + log 4， 3a + 4a = 5b2 6 ，则关于 a、 b 下列判断正确的是 (　　
)
A． a b > 2 B．b > a > 2 C． 2 > b > a D． a > 2 > b
【变式 8-3】若 a < 4且 4a = a4 ，b < 5且5b = b5 ， c < 6且 6c = c6 ，则 (　　 )
A． a < b < c B． c < b < a C．b < c < a D． a < c < b
题型九：泰勒展开
31
【典例 9-1】已知 a = ,b = cos
1 ,c 1= 4sin ，则（）
32 4 4
1
【典例 9-2 a = e0.2】设 1,b = ln1.2,c = ，则 a,b,c的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
5
【变式 9-1】设 a = 0.1e0.1,b 1= ,c = ln 0.9 ，则（）
9
A． a < b < c B． c b > c B．b > a > c C． c > a > b D．b > c > a
题型十：同构法
【典例 10-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数 a，b 满足 log3 a + logb 3 = log3 b + loga 4，则下
列关系式中可能正确的是（）
A．$a,b (0,+ ) ，使 | a b |> 1 B．$a,b (0,+ ) ，使 ab =1
C．"a,b (1, + )，有b < a < b2 D．"a,b (0,1)，有b < a 0，b > 0且满足 ab 2b + b ln ab = e，则下列结论一定正确的是（）
A．ab > e B．ab < e C． ab > e2 D． ab < e2
【变式 10-1】（2024·高三·浙江·开学考试）已知 a >1,b > 0，若 a + log2a = b + log2b，则（）
A． a > 2b B． a < 2b
C． a > b2 D． a < b2
a b b
【变式 10-2】（2024·重庆·模拟预测）已知正实数 a, b 满足 2 = 8 + log2 ,则（）a
A． a = b B． a < 3b C． a = 3b D． a > 3b
【变式 10-3】（多选题）（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数 a，b 满足 a > 0， a 1，b > 0，且
ln b a 1= ，则下列结论正确的是（）a
A．当 0 < a < 1时，b < a B．当 a > 1时，b > a
C． loga b >1 D． loga b > 2
【变式 10-4】（2024·陕西西安·模拟预测）若e2a eb > 4a2 b2 +1，则（）
A． 4a2 > b2 B． 4a2 < b2
1
C． ( )a > (
1)b (1)a (1D． < )b
4 2 4 2
题型十一：帕德逼近估算法
1
【典例 11-1】已知 a = e0.2 1，b = ln1.2， c = ，则（）
6
A． a < b < c B． c < b < a C． cln1.5
【典例 11-2】已知 a = e0.3，b = +1，
2 c = 1.5
，则（）
A． a < b < c B．b1
【变式 11-1】已知 a = ，b = ln1.01，
1.01 c = e
0.01 1，则（）
A． a < b < c B．b【变式 11-2】已知 a = 2ln1.02，b = ln1.05， c = 1.1 1，则（）
A． a < b < c B．bln2 1 2 ln2
1．（2024·江西萍乡·二模）已知 a = ,b = ,c = 2 ，则这三个数的大小关系为（）4 2e e
A． c < b < a B． a < b < c
C． a < c < b D． c < a < b
2．（2024·宁夏银川·三模）设 a = 90.2 ，b = 30.31， c = 3ln1.3 ，则（）
A． c < b < a B．b < c < a C． a < c b > c B．b > c > a C．b > a > c D． a < b < c
5．已知 a = 3ln 7 ，b = 4ln 6 ， c = 5ln5， d = 6ln 4 ，则在 b a ， c b ， d c ， d b ， d a ， c a 这 6 个数
中最小的是（）
A． b a B． c b C． d b D． c a
8 3 2
6．（2024·全国·模拟预测）已知 a = sin ，b = ln ， c = ，则 a,b,c的大小关系为（
5 ）15 2
A． a > b > c B． a > c > b C．b > a > c D． c > b > a
1
7．（2024·山西·模拟预测）已知实数 a,b,c满足 ln a = ，b = 3log7 2，6c = 7，则（）5
A． c > a > b B．b > a > c
C． a > c > b D． a > b > c
17 3
8．（2024·湖北黄冈·二模）已知 a,b,c,d a分别满足下列关系：16 =15,b = log17 16, log15 c = ,d = tan ，
16 16 2
则 a,b,c,d 的大小关系为（）
A． a < b < c < d B． c < a < b < d
C． a < c < b < d D． a < d < b < c
5
9．（2024·青海西宁·模拟预测）已知 a = ln3，b = ， c = e0.3，则（）4
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < a < b
10．（2024 π 3·安徽·三模）已知 a = e ,b = ln eπ 2e ,c = π 2，则（）
A．b11 2024 ln 5a
5c
．（ ·河南南阳·模拟预测）设 = 0.2,b = 0.96,e 2 = 5，则（）
4
A． c b D．b > a
13 a > 0 ea．（多选题）已知， 1 ln b =1，则（）
A．1 ln b C． ea ln b <1 D．b a <1
14．（多选题）已知函数 f (x) = ex + x 2 (e = 2.71828 为自然对数的底数）， g(x) = ln x + x 2，若
f (a) = g(b) = 0 ，则下列结论正确的是（）
A． a + b = 2 B． a2 + b2 < 3
C． ea + ln b > 2 D． eb + ln a > 3
15．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）若正实数 a，b满足 a > b，且 ln a × ln b > 0 ，则下列不等式一
定成立的是（）
log b > 0 a 1 b 1A． a B． > b a
C． 2ab+1 < 2a+b D． ab 1 < ba 1
16．（多选题）（2024·海南海口·模拟预测）已知 a > 0,b > 0， a2 + b2 ab = 2， a2 b2 2 ，下面结论正
确的是（）
A 6． a + b 2 2 B． a b 3
C． log2 a + log2 b 1 D． log2 a + log2 3b 2
3 3 3
17．若 a = ln 4，b = ， c = sin + tan ，则 a，b，c 的大小关系为（
4 4 ）2
A． a < b < c B．b < a < c C． a < c < b D． c2
18 2024 3 e +1
e
4
3

．（ ·高三·四川成都·期末）已知 a = ÷ ，b = ÷ ， c = ÷ ，则 a，b，c 的大小关系为
è 2 è e è 3
（）
A． a < c < b B．b < a < c C．b19．（2024·全国·模拟预测）设 a = 0.2 ln10，b = 0.99， c = 0.9e0.1，则（）
A． a b > c B． a > c > b
C．b > c > a D．b > a > c
2
21．已知三个互不相等的正数 a,b,c满足 a = e3 ,b = log23 + log 6,c = log 2a9 5 +1 ，（其中 e = 2.71828L是一
个无理数），则 a,b,c的大小关系为（）
A． a b > 0， c > d > 0， = =1.1， 1 ln c c = 1 ln d d = 0.9，则（
ln a 1 ln b 1 ）+ +
1 1
A． a + b < 2 B． c + d > 2 C． > a b D． ad >1
d c
24．（多选题）（2024·湖南长沙·二模）下列不等式正确的有（）
10190 2 3A 3． 91 > B
5 6
． >
100 125 4 ÷ ÷è è 5
3 3
C 2 e． e > D． tan1 >
2 2
25．（多选题）（2024·山东聊城·一模）若实数 a 2，则下列不等式中一定成立的是（）
A． (a +1)a+2 > (a + 2)a+1 B． loga (a +1) > loga+1(a + 2)
a +1 a + 2
C． loga (a +1) < D． loga a+1
(a + 2) <
a +1
b
26．（多选题）（2024·江苏南通·三模）已知2a = log 1 1a, log2b = 2 ÷
，则（）
2 è
A．a + 2a = b + 2 b B．a + b = 2b + 2 a
1 1
C． 1 2b +1 > ea D．2a > e b
27．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知 log2 (x +1) = log2 (x 1) + log5 x, log5 (y +1) = log5 (y 1) + log2 y ，
则（）
A． x + y > 7 B． x + y < 7
C． 2x < 5y D． 2x > 5y
28．（多选题）已知 a = 3x，b = 4x +1， c = log3 x + 3 ，则下列结论一定成立的是（）
A．若 a ，则 , + ÷
è 4
D．若 x
1
= ，则b > 2c
2

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重难点突破01 玩转指对幂比较大小（十一大题型）（含答案）第三章 一元函数的导数及其应用 2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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