资源简介

重难点突破 01 玩转外接球、内切球、棱切球
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................7
题型一：外接球之正方体、长方体模型............................................................................................7
题型二：外接球之正四面体模型........................................................................................................8
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型......................................................................................11
题型四：外接球之直棱柱模型..........................................................................................................13
题型五：外接球之直棱锥模型..........................................................................................................15
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型..........................................................................................18
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型..........................................................................................22
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型......................................................................................25
题型九：外接球之垂面模型..............................................................................................................27
题型十：外接球之二面角模型..........................................................................................................31
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型......................................................................................35
题型十二：外接球之共斜边拼接模型..............................................................................................38
题型十三：外接球之坐标法模型......................................................................................................41
题型十四：外接球之空间多面体......................................................................................................44
题型十五：与球有关的最值问题......................................................................................................46
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型......................................................................................50
题型十七：内切球之正四面体模型..................................................................................................52
题型十八：内切球之棱锥模型..........................................................................................................54
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型..............................................................................................57
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型......................................................................................58
题型二十一：棱切球之正四面体模型..............................................................................................61
题型二十二：棱切球之正棱锥模型..................................................................................................63
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型......................................................................................66
题型二十四：多球相切问题..............................................................................................................67
03 过关测试 .........................................................................................................................................72
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图 1 所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图 2 所示．
（3 PA）正四面体 P - ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长 a = ，如图 3 所示．
2
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图 4 所示
图 1 图 2 图 3 图 4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体 ABCD 2的的棱长为 a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 a，显然正四面体
2
2
和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 R = a 3 6 a R 6× = ，即正四面体外接球半径为 = a ．
2 2 4 4
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体 ABCD 中， AB = CD = m， AC = BD = n ， AD = BC = t ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
ìb2 + c2 = m2

如图，设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c ，则 ía2 + c2 = n2 ，三式相加可得 a2 + b2 + c2 =
2
a + b
2 = t2
m2 + n2 + t2 ,而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 R ，则 a2 + b2 + c2 = 4R2 ，所以
2
m2 + n2 + t2R = ．
8
知识点四：直棱柱外接球
如图 1，图 2，图 3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C C11
A1 O F2 A1 A1 FB1 O2 B1 O2
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O A E1 B O1
B B
图3-1 图3-2 图3-3
图 1 图 2 图 3
第一步：确定球心O的位置，O1 是DABC 的外心，则OO1 ^ 平面 ABC ；
1 1
第二步：算出小圆O1 的半径 AO1 = r ，OO1 = AA1 = h（ AA1 = h 也是圆柱的高）；2 2
OA2 = O A2 + O O2 R2 (h第三步：勾股定理： = )2 2 2 h 21 1 + r R = r + ( ) ，解出 R2 2
知识点五：直棱锥外接球
如图， PA ^ 平面 ABC ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
图5
解题步骤：
第一步：将DABC 画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD ，连接 PD，则 PD必
过球心O；
第二步：O1 为 DABC 的外心，所以OO1 ^ 平面 ABC ，算出小圆O1 的半径O1D = r (三角形的外接圆直
a b c
径算法：利用正弦定理，得 = = = 2r )，OO 11 = PA；sin A sin B sin C 2
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)2 = PA2 + (2r)2 2R = PA2 + (2r)2 ；
② R2 = r2 + OO 2 R = r21 + OO
2
1 ．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
r21 + h
2
、正棱锥外接球半径： R = ．
2h
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， P 的射影是DABC 的外心
三棱锥 P - ABC 的三条侧棱相等
三棱锥 P - ABC 的底面DABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的顶点．
P
O
C
A O1 B
图5-1
解题步骤：
第一步：确定球心O的位置，取DABC 的外心O1 ，则 P,O,O1 三点共线；
第二步：先算出小圆O1 的半径 AO1 = r ，再算出棱锥的高 PO1 = h （也是圆锥的高）；
r2 + h2
第三步：勾股定理：OA2 = O A2 + O O2 R2 = (h - R)2 + r21 1 ，解出 R = ．2h
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体 ABCD 中， AB ^ AD ，CB ^ CD ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的， BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O为公共斜边 BD的中点，根据直
角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA = OC = OB = OD ，即点O到 A， B ，C ， D 四点的距
离相等，故点O就是四面体 ABCD 外接球的球心，公共的斜边 BD就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图 1 所示为四面体 P - ABC ，已知平面 PAB ^ 平面 ABC ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为O1 和O2 ．
（2）分别过O1 和O2 作平面 PAB 和平面 ABC 的垂线，其交点为球心，记为O．
（3）过O1 作 AB 的垂线，垂足记为 D ，连接O2D ，则O2D ^ AB ．
（4）在四棱锥 A - DO1OO2 中， AD 垂直于平面 DO1OO2 ，如图 2 所示，底面四边形 DO1OO2 的四个顶
点共圆且OD 为该圆的直径．
图 1 图 2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图 1 所示为四面体 P - ABC ，已知二面角 P - AB - C 大小为a ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为O1 和O2 ．
（2）分别过O1 和O2 作平面 PAB 和平面 ABC 的垂线，其交点为球心，记为O．
（3）过O1 作 AB 的垂线，垂足记为 D ，连接O2D ，则O2D ^ AB ．
（4）在四棱锥 A - DO1OO2 中， AD 垂直于平面 DO1OO2 ，如图 2 所示，底面四边形 DO1OO2 的四个顶
点共圆且OD 为该圆的直径．
知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为O(x, y, z) ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图1，设圆锥的高为 h，底面圆半径为 r ，球的半径为 R ．通常在△OCB 中，由勾股定理建立方程
来计算 R ．如图 2，当 PC > CB 时，球心在圆锥内部；如图 3，当 PC < CB 时，球心在圆锥外部．和本专
题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图 2 和图 3 两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
h2 + r2
由图 2、图3可知，OC = h - R 或 R - h ，故 (h - R)2 + r2 = R2 ，所以 R = ．
2h
2、球内接圆柱
h
如图，圆柱的底面圆半径为 r ，高为 h，其外接球的半径为 R ，三者之间满足 ( ) + r2 = R2 ．
2
3、球内接圆台
2

R2 r2 r
2 - r2 - h2
= 2 +
2 1 ÷ ，其中 r1,r2 ,h分别为圆台的上底面、下底面、高．
è 2h
知识点十四：锥体内切球
3V
方法：等体积法，即 R = 体积
S表面积
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：外接球之正方体、长方体模型
【典例 1-1】正方体的表面积为 96，则正方体外接球的表面积为
【答案】 48π
【解析】设正方体的棱长为 a，因为正方体的表面积为96，可得6a2 = 96，解得 a = 4，
则正方体的对角线长为 l = 42 + 42 + 42 = 4 3 ，
设正方体的外接球的半径为 R ，可得 2R = 4 3 ，解得R = 2 3，
所以外接球的表面积为 S = 4πR2 = 4π × (2 3)2 = 48π .
故答案为： 48π .
【典例 1-2】已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为 3，则球的表面积为 ．
【答案】9p
【解析】该球为正方体外接球，其半径 R 与正方体棱长 a之间的关系为 2R = 3a，
3
由 a = 3，可得R = ，所以球的表面积
2 S = 4p R
2 = 9p .
答案：9p
【变式 1-1】长方体 ABCD - A1B1C1D1 的外接球的表面积为 25p ， AB = 3 ， AD = 6 ，则长方体
ABCD - A1B1C1D1 的体积为 .
【答案】12 2
【解析】因为长方体 ABCD - A1B1C1D1 的外接球的表面积为 25p ，
5
设球的半径为 R ，由题意 4p R2 = 25p ，R = ，2R = 5，
2
长方体 ABCD - A B C D 的外接球的一条直径为 AC = AB2 + AD2 + AA21 1 1 1 1 1 = 5 .
因为 AB = 3 ， AD = 6 ，所以 3+ 6 + AA21 = 5， AA1 = 4，
则长方体 ABCD - A1B1C1D1 的体积为 AB AD AA1 =12 2 .
故答案为：12 2
题型二：外接球之正四面体模型
【典例 2-1】（2024·天津和平· 3 3二模）已知圆锥底面圆的直径为 3，圆锥的高为 ，该圆锥的内切球也是
2
棱长为 a 的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长 a 为（ ）
3 9
A． 2 B． 2 C．3 D． 3 - 22 2
【答案】A
【解析】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为 P ，球的半径为 r ，圆锥的底面半径为 R，
轴截面上球与圆锥母线的切点为 Q，圆锥的轴截面如图所示，
由已知可得 AB = SA = SB = 3， 所以△SAB 为等边三角形，故点 P 是△SA B 的中心，
r
连接 BP，则 BP 平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故 tan 30° = ，
R
解得 r
3 R 3 3 3 3= = = ，故正四面体的外接球的半径 r = .
3 3 2 2 2
又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，
2
从图中可以得到，当正四面体的棱长为 a时，截得它的正方体的棱长为 a ，而正四面体的四个顶点都在
2
正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以2r 2 6= 3AA1 = 3 a = a = 3 ，解得 a = 2 ,2 2
故选：A
【典例 2-2】已知正四面体 S - ABC 的外接球表面积为 6π ，则正四面体 S - ABC 的棱长为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】D
【解析】Q正四面体 S - ABC 的外接球表面积为 6π ，
\4πR2 = 6π 6，解得R = （负值舍去），
2
设四面体的棱长为 a，取BC 的中点E ，连接 AE ，
设顶点S在底面 ABC 的射影为D，则D是底面VABC 的重心，连接 SD ，则外接球的球心在 SD 上，设为O，
连接 AO ，
则 AE 3= a， AD 2 3= AE = a，
2 3 3
2 2
则 SD = a2
3 6a 6
- a ÷÷ = = a ，
è 3 9 3
OD SD SO 6 a 6所以 = - = - ，
3 2
2 2 2
2 2 2 6 3 6 6 在直角△AOD中， AO = AD + OD ，即 =2 ÷÷ a3 ÷÷ + a -3 2 ÷÷ ，è è è
6 3a2 6a2 6
即 = + - 2a + ，得 2
4 9 9 4 a - 2a = 0，得 a = 0（舍
) 或 a = 2 .
故选：D
【变式 2-1】（2024·陕西咸阳·一模）已知正四面体 S - ABC 的外接球表面积为6p ，则正四面体 S - ABC 的
体积为（ ）
2 2 2 3 2A． B． C D 3 2． ．
3 3 3 4
【答案】A
【解析】设外接球半径为 R ，则 S = 4p R2 6= 6p ，解得R = ,
2
将正四面体 S - ABC 恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，
则正四面体 S - ABC 的外接球即为正方体的外接球，
则正方体的体对角线等于外接球的直径，
故 AB
2 2
3 = 6 ，解得 AB = 2，正方体棱长为 2 = 2 ，
2 2
1 1 2 2
故该正四面体的体积为 ( 2)3 - 4 2 2 2 = ，
3 2 3
故选：A．
【变式 2-2】如图所示，正四面体 ABCD中, E 是棱 AD 的中点, P 是棱 AC 上一动点，BP + PE 的最小值为
14 ，则该正四面体的外接球表面积是（ ）
A．12p B．32p C．8p D． 24p
【答案】A
【解析】将侧面VABC 和VACD沿 AC 边展开成平面图形,如图所示,菱形 ABCD ,
在菱形 ABCD中,连接 BE ,交 AC 于点 P ,则 BE 的长即为BP + PE 的最小值,即BE = 14 ,
因为正四面体 ABCD ,所以 AC = AB ,所以 BCD =120° ,
因为E 是棱 AD 的中点,所以 DCE = 30°，
所以 BCE = BCD - DCE = 90° ,
设DE = x ,则 AB = BC = CD = AD = 2x ,
所以CE = 3x ,则BE = BC 2 + CE2 = 7x = 14 ,所以 x = 2 ,
则正四面体 ABCD的棱长为 2 2 ,
6
所以正四面体的外接球半径为 2 2 = 3 ,
4
2
所以该正四面体外接球的表面积为 S = 4π 3 =12π ,
故选：A
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
【典例 3-1】（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体 ABCD 中， AB = CD = 2 5 ，
AC = BD = 29 ， AD = BC = 41 ，则四面体 ABCD 外接球的体积为（ ）
A 15 5π 45 5π． 45π B． C． D． 24 5π
2 2
【答案】C
【解析】设四面体 ABCD的外接球的半径为 R ,
则四面体 ABCD在一个长宽高为 a,b,c的长方体中，如图，
ìa2 + b2 = 20,
22
íb + c2 = 29, R a + b
2 + c2 45
则 故 = = ，
a2 + c2 = 41,
2 2
ABCD V 4 πR3 4 π 45 45 45 5π故四面体 外接球的体积为 = = = ，
3 3 8 2
故选：C
【典例 3-2】在三棱锥 S - ABC 中， SA = BC = 5， SB = AC = 41， SC = AB = 34 ，则该三棱锥的外接球
表面积是（ ）
A．50π B．100π C．150π D． 200π
【答案】A
【解析】因为 SA = BC = 5, SB = AC = 41, SC = AB = 34 ，
所以可以将三棱锥 S - ABC 如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，
ìa2 + b2 = 41
a2 2则有 í + c = 25，整理得 a2 + b2 + c2 = 50 ，
2
b + c
2 = 34
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有 a2 + b2 + c2 50 5 2= = 2R 2 R = ，
2
2
5 2
所以所求的球体表面积为： S = 4πR2 = 4 π ÷÷ = 50π．
è 2
故选：A．
【变式 3-1】（2024·四川凉山·二模）在四面体 A - BCD中， AB = CD = 7, AD = BC = 29, AC = BD = 2 7 ，
则四面体 A - BCD外接球表面积是（ ）
32π 256π 256A．64π B． C． D． π
3
【答案】B
【解析】由题意可知，此四面体 A - BCD可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为 3，
25， 2，四面体 A - BCD如图所示，
所以此四面体 A - BCD 2的外接球的直径为长方体的体对角线，即 2R = 3 2 + 225 + 22 ,解得R = 2 2 .
2
所以四面体 A - BCD外接球表面积是 S = 4πR2 = 4 π 2 2 = 32π .
故答案为：B.
题型四：外接球之直棱柱模型
【典例 4-1】已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上，若
AB = 3, AC =1, BAC = 60°, AA1 = 2，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
40π
A B 40 30π C 320 30π． ． ． D． 20π
3 27 27
【答案】B
【解析】设△A1B1C1的外心为O1，VABC 的外心为O2，连接O1O2 ,O2B,OB ，如图所示，
由题意可得该三棱柱的外接球的球心O为O1O2 的中点．
在VABC 中，由余弦定理可得BC 2 = AB2 + AC 2 - 2AB AC cos BAC
= 32 +12 - 2 3 1 cos 60° = 7 ，则BC = 7 ，
BC 2 7 7
由正弦定理可得VABC 外接圆的直径 2r = = ，则 r = ，
sin 60° 3 3
而球心 O 到截面 ABC 的距离 d = OO2 = AA1 =1，
设直三棱柱 ABC - A1B1C1的外接球半径为 R ，
2
由球的截面性质可得R2 = d 2 + r2 =12
7 10
+ 30 ÷÷ = ，故R = ，
è 3 3 3
3

V 4 πR3 4 π 30
40 30π
所以该三棱柱的外接球的体积为 = =
3 3 ÷÷
= ，
è 3 27
故选：B．
【典例 4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的 6 个顶点都在球O的表面上，若
AB = AC = 1, AA = 4 BAC 2π1 ， = ，则球O的表面积为（3 ）
A．16π B． 20π C． 28π D．32π
【答案】B
2π
【解析】如图所示，在VABC 中， AB = AC =1，且 BAC = ，
3
2 2π
由余弦定理得BC = AB2 + AC 2 - 2AB × AC cos BAC =1+1- 2 1 1cos = 3 ，
3
设底面VABC 的外接圆的半径为 r
BC
，由正弦定理得 2r = = 2，即O1A =1 sin BAC
再设直三棱柱 ABC - A1B1C1外接球的球心为O，外接球的半径为 R ，
在直角△OO A中，可得R = O A2 + OO21 1 1 = O1A
2 + (O1O2 )2 = 12 + 22 = 5 ，
2
所以球O的表面积为 S = 4πR2 = 4π ( 5)2 = 20π .
故选：B.
【变式 4-1】已知正六棱柱 ABCDEF — A1B1C1D1E1F1的每个顶点都在球 O 的球面上，且 AB = 3， AA1 = 4，
则球 O 的表面积为（ ）
A． 42π B． 48π C．50π D．52π
【答案】D
【解析】因为 AB = 3，所以正六边形 ABCDEF 外接圆的半径 r = 3，
AA 2
所以球 O 的半径R = r 2 + 1 ÷ = 13，故球 O 的表面积为 4πR
2 = 52π．
è 2
故选：D
【变式 4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长
为 3，侧棱长为 4，则其外接球的表面积为（ ）
A． 25p B．34p C．68p D．100p
【答案】B
【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为 d = 32 + 32 + 42 = 34 ，
34
因此其外接球的半径为 r = ，则其表面积为 S=4p r 2 = 34p ，
2
故选:B.
题型五：外接球之直棱锥模型
π
【典例 5-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）在三棱锥 A - BCD中， AD ^ 平面BCD， ABD + CBD = ，
2
BD = BC = 2，则三棱锥 A - BCD外接球表面积的最小值为 .
【答案】 (2 + 2 5)π
a a
【解析】设 CBD = a ，在等腰△BCD中，CD = 2 × BC sin = 4sin ，
2 2
设△BCD的外心是M ，外接圆半径是 r ，
CD 4sin
a 1
则 2r = = 2
2
= r =，∴ a ，
sina 2sin a cos a cos a cos
2 2 2 2
设外接球球心是O，则OM ^ 平面BCD，DM 平面BCD，则OM ^ DM ，
同理 AD ^ BD ， AD ^ DM ，
又 AD ^ 平面BCD，所以 AD / /OM ，OMDA是直角梯形，
设OM = h ，外接球半径为 R ，即OD = OA = R，
ìr 2 + h2 = R2
则 í 2 2 2 ，所以 AD = 2h，
r + (AD - h) = R
π
在直角△ABD 中， ABD = -a ， BAD = a ，
2
tana 2 2= ， AD = ，∴ h
1
= ，
AD tana tana
2 2
R2 1 1 cos a 2 cos a 2= + = + = +
tan2 a 2cos2 a sin a 1+ cosa 1- cos
2 a 1+ cosa
2
3
cos2 a + 2 - 2cosa 2( - cosa )
= = -1+ 2 ，
1- cos2 a 1- cos2 a
3
令 - cosa
1 3
= t ，则 t ( , ) ，
2 2 2
R2 = -1 2t 2t+ = -1+
1 (3- - t)2 -t 2 + 3t 5-
2 4
2 2
= -1+ -1+ = -1 2 1+ 5+ =
3- (t 5+ ) 5 3 - 5 2 ，
4t 3- 2 t × 4t
t 5= t 5当且仅当 ， = 时等号成立，4t 2
所以4πR2 1+ 5的最小值是 4π × = (2 + 2 5)π．
2
故答案为： (2 + 2 5)π .
【典例 5-2】《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑” P - ABC 中，
π
PA ^平面 ABC ，PA = AB， ABC = ， AB + BC = 6 ，则“鳖臑” P - ABC 外接球体积的最小值为 ．
2
【答案】8 6π
【解析】根据题意三棱锥P - ABC 可以补成分别以BC ， AB ，PA为长、宽、高的长方体，如图所示，
其中PC 为长方体的对角线，则三棱锥P - ABC 的外接球球心即为PC 的中点，
要使三棱锥P - ABC 的外接球的体积最小，则PC 最小．
设 AB = x ，则 PA = x ，BC = 6 - x ， | PC |= AB2 + PA2 + BC 2 = 3(x - 2)2 + 24 ，
所以当 x = 2时， | PC |min = 2 6 ，则有三棱锥P - ABC 的外接球的球半径最小为 6 ，
V 4所以 min = πR
3 = 8 6π ．
3
故答案为：8 6π .
【变式 5-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥P - ABC 中， AB = BC =10， ABC =120° ，D 为 AC
的中点，PD ^平面 ABC，且 PD = 15，则三棱锥P - ABC 外接球的表面积为 ．
【答案】500π
【解析】在VABC 中， AB = BC =10， ABC =120° ，
由余弦定理得 AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB × BC × cos ABC = 300，
所以 AC =10 3 ，设VABC 的外接圆O1的半径为 r ，
则由正弦定理得 2r AC 10 3= = ，解得 r =10
sin ABC sin120°
结合图形分析：
因为 D 为 AC 的中点，PD ^平面 ABC，且 PD = 15，
1
在Rt△ABD 中， AD = AC = 5 3 ，
2 BD = AB
2 - AD2 = 5，
又O1B = r = 10，则圆心O1到D点的距离为O1D = 5，
另设三棱锥P - ABC 的外接球球心O到平面 ABC 的距离为OO1 = d ，设外接球的半径为 R ，
则Rt△ O OB O B2 + OO2 21 中， 1 1 = OB ，即102 + d 2 = R2 ，
直角梯形O OPD中，O D2 + PD - OO 2 = OP2 52 + 15 - d 2，即 = R21 1 1 ，
解得 d = 5，R2 = 125，所以 S = 4πR2 = 500π .
故答案为：500π .
π
【变式 5-2】（2024·河南开封·三模）在三棱锥 P - ABC 中， PA = AB， PA ^平面 ABC， ABC = ，
2
AB + BC = 6 ，则三棱锥P - ABC 外接球体积的最小值为（ ）
A．8 6π B．16 6π C． 24 6π D．32 6π
【答案】A
【解析】根据题意三棱锥 P - ABC 可以补成分别以 BC, AB, PA为长、宽、高的长方体，其中 PC 为长方体
的对角线，
则三棱锥P - ABC 的外接球球心即为PC 的中点，要使三棱锥P - ABC 的外接球的体积最小，则PC 最小．
设 AB = x ，则 PA = x ，BC = 6 - x ， PC = AB2 + PA2 + BC 2 = 3 x - 2 2 + 24 ，
所以当 x = 2时， PC = 2 6min ，则有三棱锥P - ABC 的外接球的球半径最小为 6 ，
V 4所以 min = πR
3 = 8 6π ．
3
故选：A
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
【典例 6-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台 ABC - A1B1C1的上、下底面边长分别为 3， 2 3 ，
且侧棱与底面所成角的正切值为 3，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A．9π B．10 2π C．10 3π D． 20π
【答案】D
【解析】分别取VABC 、△A1B1C1的中心E, F ，连结EF ，过A 作 AM ^ A1F ，
AB
因为 AB = 3 ，由正弦定理得 2AE = ，得 AE =1，同理可得 A F = 2，所以 Asin 60o 1 1
M =1，
因为正三棱台 ABC - A1B1C1，所以EF ^ 平面 A1B1C1，EF ∥ AM ，
所以 AM ^ 平面 A1B1C1，所以 AA1M 为侧棱 A1A与底面所成的角，
所以 AM = A1M × tan AA1M = 3，所以EF = AM = 3，
设正三棱台的外接球球心 O，因为E 为上底面截面圆的圆心，F 为下底面截面圆的圆心，
所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O在直线 EF 上，
设外接球 O 的半径为 R 2 2 2，所以OA = OA1 = R，OA2 = AE2 + OE2 ，OA1 = A1F + OF ，
即R2 =12 + OE2 ，R2 = 22 + OF 2 ，
当O在 EF 的延长线上时，可得 R2 -12 - R2 - 32 = 3，无解；
当O在线段 EF 上时，轴截面中由几何知识可得 R 2 -12 + R 2 - 22 = 3，解得R = 5 ，
所以正三棱台 ABC - A1B1C1的外接球表面积为 S = 4πR2 = 20π .
故选：D
【典例 6-2】（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥 A - BCD中，BC = CD = DB = 2 ， AB = AC = AD = 3，则
三棱锥 A - BCD的外接球表面积为（ ）
27π 27π 27π
A． B．9π C． D．
2 5 4
【答案】C
【解析】方法一：如图，取正三角形BCD的中心为 P ，连接 AP, PC ，
则三棱锥 A - BCD的外接球球心O在 AP 上，连接OC .
BCD BC = 2 PC 2 BC sin π 2 3在正三角形 中， ，所以 = = .
3 3 3
4 15
在Rt△APC 中， AC = 3 ，所以 AP = AC 2 - PC 2 = 3 - = .
3 3
设外接球的半径为 R ，
2 2
由OC 2 = OA2，OP2 2 2
15 2 3 9
+ PC = OC - R ÷ + ÷ = R2，解得R = ，
è 3 ÷ è 3 ÷ 2 15
2 27π
所以三棱锥 A - BCD的外接球表面积 S = 4πR = .
5
故选:C.
方法二：在正三棱锥 A - BCD中，过点A 作 AF ^底面BCD于点F ，
则F 为底面正三角形BCD的中心，
BCD 2 BF 2 BC sin π 2 3因为正三角形 的边长为 ，所以 = = .
3 3 3
因为 AB 3 AF AB2 BF 2 15= ，所以 = - = .
3
如图，以F 为坐标原点建立空间直角坐标系，

A 0,0, 15 C 0, 2 3

则 ， ,0 .
è 3 ÷
÷ 3 ÷÷ è
设三棱锥 A - BCD的外接球球心为O 0,0, h ，半径为 R .
2
4 15 1
由OC 2 = OA2，得 + h2 = h =3
h - ÷÷ ，解得 ，
è 3 2 15
R2 4 h2 27所以 = + = ，
3 20
27π
则三棱锥 A - BCD 2的外接球表面积 S = 4πR = .
5
故选：C.
【变式 6-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为 2 3,4 3 ，体积为 42 3 ，
则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
20π 80A B π C 160 5． ． ．80π D．
3 π3
【答案】C
【解析】令给定的正三棱台为正三棱台 ABC - A1B1C1， A1B1 = 2 3, AB = 4 3 ，
3 3
令正VA 2 21B1C1,VABC 的中心分别为O1,O2 ，而 SVA B C = (2 3) = 3 3, SVABC = (4 3) =12 3 ，1 1 1 4 4
1
则V = (3 3 + 3 3 12 3 +12 3) ×O1O2 = 42 3 ，解得O1O2 = 6，3
△A 3 21B1C1的外接圆半径 r1 = 2 3 = 2，VABC 的外接圆半径 r = 4，2 3
显然正三棱台的外接球球心在直线O1O ，设外接球半径为R,OO1 = x，则 | OO2 |=| 6 - x |，
因此R2 = x2 + 22 = (6 - x)2 + 42，解得 x = 4, R2 = 20，
所以该正三棱台的外接球表面积为 S = 4πR2 = 80π .
故选：C
【变式 6-2】（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥P - ABCD 的侧棱长为 2，且二面角P - AB - C 的正切值为
6 ，则它的外接球表面积为（ ）
16
A． π
28
B． 6π C．8π D． π
3 3
【答案】A
【解析】设正方形 ABCD中心为O，取 AB 中点H ，连接PO、PH 、OH ，
则PH ^ AB ，OH ^ AB ，PO ^平面 ABCD，
所以 PHO 为二面角P - AB - C 的平面角，即 tan PHO
PO
= = 6 ，
OH
设正方形 ABCD的边长为 a a > 0 PO 6，则 = a，
2
AO 1 AC 1又 = = a2 + a2 2= a，PA = 2 ，所以PO2 + AO2 = PA2，
2 2 2
2 2
6
即 a
2
÷÷ + a ÷÷ = 4，解得2 2 a = 2
（负值已舍去），
è è
则PO = 3 ， AO =1，设球心为G ，则球心在直线PO上，设球的半径为 R ，
2
则R2 =12 + 3 - R R 2 3，解得 = ，3
2
2 S 4πR 4π 2 3 16所以外接球的表面积 = = 3 ÷÷
= π .
è 3
故选：A
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
【典例 7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥P - ABC 中，PA = PC = AB = BC = AC = 2 3 ，
PB = 3 3，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． 48π B．12π C． 27π D． 28π
【答案】D
【解析】根据题意画出图形，如图所示，
分别取 AC ， PB的中点M ， N ，连接MN ，PM ， BM ，
又PA = PC = AB = BC = AC = 2 3 ，
所以PM ^ AC ，BM ^ AC ，PM = MB = 3，
由图形的对称性可知：球心必在MN 的延长线上，
设球心为O，连接OC ，OB ，
设半径为 R ，ON = x ，OC = OB = R ，
可知VONB，VOMC 为直角三角形，
ì R2 x2 27= +
ì OB2 = ON 2 + NB2 4
所以 í ，所以 ，
OC
2 í 2= OM 2 + MC 2 R2 3= + x + 3
÷ è 2
解得 x
1
= ，R2 = 7，
2
所以球的表面积为 S = 4πR2 = 4π 7 = 28π .
故选：D .
【典例 7-2】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥 P - ABC 中， PA = PB = PC = 2 3 ， AB = 2AC = 6，
BAC π= ，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
3
【答案】 48π
π 2
【解析】因为 AB = 2AC = 6， BAC = 9 + 36 - BC 1，所以由余弦定理可得 cos BAC = = ，解得
3 2 3 6 2
BC = 3 3 ，所以BC 2 + AC 2 = AB2 ，
所以VABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，
因为PA = PB = PC = 2 3 ，
所以点 P 在平面 ABC 内的射影是VABC 的外心，
即斜边 AB 的中点，且平面PAB ^平面 ABC ，
于是VPAB 的外心即为三棱锥P - ABC 的外接球的球心，
因此VPAB 的外接圆半径等于三棱锥P - ABC 的外接球半径．
因为 PA = PB = 2 3 ， AB = 6，
2
cos APB PA + PB
2 - AB2 12 +12 - 36 1
所以 = = = - ，
2PA × PB 2 12 2
3
于是sin APB = ，
2
2R AB 6= = = 4 3
根据正弦定理知VPAB 的外接圆半径 R 满足 sin APB 3 ，
2
所以三棱锥P - ABC 的外接球半径为R = 2 3，
因此三棱锥P - ABC 的外接球的表面积为 4πR2 = 48π ．
故答案为： 48π
【变式 7-1】在三棱锥 S - ABC 中， SA = SB = CA = CB = AB = 2，二面角 S - AB - C 的大小为60°，则三棱
锥 S - ABC 的外接球的表面积为 ．
52 p 52p【答案】 /
9 9
【解析】取 AB 的中点D，连接 SD,CD ，因为 SA = SB = CA = CB = AB = 2，
所以△SAB 和VABC 都是等边三角形，所以 SD ^ AB,CD ^ AB，
所以 SDC 是二面角 S - AB - C 的平面角，即 SDC = 60° ，
设球心为O，△SAB 和VABC 的中心分别为F , E，则OE ^ 平面 ABC ，OF ^平面 SAB ，
因为DE = DF 1 3= 2 3= ，OD 公共边，所以VODE ≌△ODF ，
3 2 3
所以 ODE = ODF = 30°，
3
因为 cos ODE
DE DE 2
= ，所以OD = = 3 = ，
OD cos ODE 3 3
2
所以OA = OD2 4+ AD2 = +1 13= ，
9 3
所以三棱锥 S - ABC 2
52
的外接球的表面积为 4π ×OA = π
9
52
故答案为： π
9
【变式 7-2】已知三棱锥P - ABC 的各侧棱长均为 2 3 ，且 AB = 3, BC = 3, AC = 2 3 ，则三棱锥P - ABC
的外接球的表面积为 .
【答案】16p
【解析】如图：
过 P 点作平面 ABC 的垂线，垂足为 M，则VPMA,VPMB,VPMC 都是直角三角形，
又PA = PB,\VPMA @VPMB ，同理可得VPMA @VPMC ，\MA = MB = MC ，
所以 M 点是VABC 的外心；
又 AB2 + BC 2 =12 = AC 2 ，\VABC 是以 AC 斜边的直角三角形，
\P在底面 ABC 的射影为斜边 AC 的中点M ，如下图：
则PM = PC 2 - CM 2 = (2 3)2 - ( 3)2 = 3，设三棱锥P - ABC 外接球的球心为O，半径为 r ，
则O在PM 上，则OC 2 = OM 2 + CM 2 ，即 (3 - r)2 + ( 3)2 = r 2 ，得 r = 2，外接球的表面积为 4pr 2 =16p；
故答案为：16π.
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
【典例 8-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为 1，高为 2，则该圆锥的外接球表面积为
（ ）
25 π 25A． B． π
25
C 25． π D． π
8 6 4 2
【答案】C
【解析】根据题意，设圆锥外接球的半径为 R ，
5
则有R2 = 1+ (2 - R)2 ，解得R = ，
4
2 25π
则该圆锥的外接球表面积 S = 4πR = 4 ．
故选：C．
【典例 8-2】若一个圆柱的底面半径为 1，侧面积为10π，球O是该圆柱的外接球，则球O的表面积为 ．
【答案】 29π
【解析】设圆柱的高为 h，其外接球的半径为 R ，
因为圆柱的底面半径为 1，侧面积为10π，所以 2πh =10π ，解得 h = 5；
由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，
R 1 5
2 29
所以 = + ÷ = ，所以球的表面积为 S = 4πR
2 = 29π .
è 2 2
故答案为： 29π
【变式 8-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为O1，半径为 r ，下底面圆心为O2，半径为
uuuur uuuur
2r ，高为 h
h
，若该圆台的外接球球心为O，且O1O = 2OO2 ，则 =（r ）
A． 3 B．3 C． 2 D． 2
【答案】B
【解析】由圆台的上底面圆心为O1，半径为 r ，下底面圆心为O2，半径为 2r ，高为 h，
uuuur uuuur 2h
如图所示，因为O1O = 2OO2 ，所以OO1 = ,OO
h
2 = ，3 3
2 2 2
所以 r 2 2h
h
+ ÷ = (2r)
2 h+ ，解得3r 2 h ÷ = ，所以 = 3 .
è 3 è 3 3 r
故选：B.
【变式 8-2】（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为
500π
3和 4，球的体积为 ，则该圆台的侧面积为（
3 ）
A． 60π B．75π C．35π D．35 2π
【答案】D
4πR3 500π
【解析】设球的半径为 R ，则 = ，所以，R = 5，
3 3
取圆台的轴截面 ABCD，如下图所示：
设圆台的上、下底面圆心分别为E 、F ，则E 、F 分别为 AB 、CD 的中点，
连接OE 、OF 、OA、OB 、OC 、OD ，则OA = OB = OC = OD = 5，
由垂径定理可知，OE ^ AB，OF ^ CD ，
所以，OE = OA2 - AE2 = 52 - 42 = 3，OF = OD2 - DF 2 = 52 - 32 = 4，
因为OE = DF ，OA = DO， AE = OF ，所以，Rt△OAE≌Rt△DOF ，
所以， OAE = DOF ，所以， DOF + AOE = DOF + ODF = 90o，
所以， AOD = 90o，则 AD = OA2 + OD2 = 5 2 ，
因此，圆台的侧面积为 π 3+ 4 5 2 = 35 2π，
故选：D.
题型九：外接球之垂面模型
【典例 9-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，VABC 是边长为 4 的正三角形，D 是 BC 的中点，沿 AD 将
VABC 折叠，形成三棱锥 A - BCD．当二面角B - AD - C 为直二面角时，三棱锥 A - BCD外接球的体积为
（ ）
A．5π B． 20π C 5 5π D 20 5π． ．
6 3
【答案】D
【解析】由于二面角B - AD - C 为直二面角，且△ABD 和VACD都是直角三角形，
故可将三棱锥 A - BCD补形成长方体来求其外接球的半径 R，
2
即 2R 2 = 22 + 22 + 2 3 ，解得R = 5 ，
3
从而三棱锥 A - BCD V 4πR 20 5π外接球的体积 = = ．
3 3
故选：D
【典例 9-2】如图，在三棱锥P - ABC 中， ACB = 60°， 2AC = BC = PB = PC ，平面PBC ^平面 ABC ，
D是BC 的中点， PD = 4 3 ，则三棱锥P - ACD 的外接球的表面积为（ ）
160π
A． B． 40π
3
208π
C． D．80π
3
【答案】C
【解析】依题意，VPCB 为等边三角形，且高 PD = 4 3 ，则PC = CB = PB = 8，
而 AC = CD = 4，又 ACB = 60°，则VACD为等边三角形，
平面PBC ^平面 ABC ，PD ^ BC ，平面 ABC I平面 PBC = BC ，PD 平面 PBC ，于是PD ^平面 ABC ，
令VACD的外心为G ，三棱锥P - ACD 外接球的球心为O，则OG ^平面 ACD，
又三棱锥P - ACD 的外接球球心O在线段PD的中垂面上，此平面平行于平面 ACD，
1 2 4 3
因此OG = PD = 2 3 ，等边VACD外接圆半径
2 r = 4sin 60
o = ，
3 3
三棱锥P - ACD 的外接球 R ，则R2 = OG2 + r 2 12 4 3 52= + ( )2 = ，
3 3
2 208π
所以三棱锥P - ACD 的外接球的表面积 S = 4πR = ，
3
故选：C
【变式 9-1】（2024·江西鹰潭·三模）在菱形 ABCD中， AB = 2， AC = 2 3，将VABC 沿对角线 AC 折起，
使点 B 到达B 的位置，且二面角B - AC - D 为直二面角，则三棱锥 B - ACD的外接球的表面积为（ ）
A．5π B．16π C． 20π D．100π
【答案】C
【解析】如图所示：
由题意在菱形 ABCD中， AC, BD 互相垂直且平分，点E 为垂足，
AB = BC = CD = DA = 2, EC 1= EA = AC = 3，
2
由勾股定理得BE = DE = BC 2 - CE2 = 4 - 3 =1，
ADC 2π所以 = ，
3
设点O1为VACD外接圆的圆心，
AC 2 3
则VACD
r1 = O1D = = = 2外接圆的半径为 2sin ADC 3 ，O1E = O1D - DE = 2 -1 =1，2
2
设点O2为△ACB 外接圆的圆心，同理可得△ACB 外接圆的半径为 r2 = O2B = 2，
O2E = O2B - B E = 2 -1 =1，
如图所示：
设三棱锥 B - ACD的外接球的球心、半径分别为点O, R ，
而DE, B E均垂直平分 AC ，
所以点O在面 ADC ，面 ACB 内的射影O1,O2 分别在直线DE, B E上，
即OO1 ^ DE,OO2 ^ B E，
由题意 AC ^ DE, AC ^ B E ，且二面角B - AC - D 为直二面角，
即面DAC ^ 面 ACB ，DE B E = E ，
所以B E ^ ED，即O2E ^ EO1，可知四边形O1OO2E 为矩形，所以O1O = O2E = 1，
OD2 = O O2 + O D2 2由勾股定理以及 1 1 = 5 = R ，
所以三棱锥 B - ACD的外接球的表面积为 S = 4πR2 = 4π 5 = 20π .
故选：C.
【变式 9-2】（2024·四川·三模）如图，在梯形 ABCD中， AB∥CD, AB = 4,BC = CD = DA = 2，将VACD沿
对角线 AC 折起，使得点D翻折到点 P ，若面PAC ^面 ABC ，则三棱锥P - ABC 的外接球表面积为（ ）
A．16π B． 20π C． 24π D．32π
【答案】B
【解析】如图，
设M 为 AC 的中点，O2为 AB 的中点，O1为△APC 的外心，O为三棱锥P - ABC 的外接球球心，
则OO2 ^ 面 ABC,OO1 ^面 APC .
由题意得 ACB = 90o ,\O2为VABC 的外心，
在△APC 中， APC =120o , AP = PC = 2, AC = 2 3 ，
所以O1M = 1，
又四边形OO1MO2 为矩形，
\OO2 = O1M =1，设外接球半径为 R ，
R2则 = O2B
2 + O2O
2 = 5,\外接球表面积 4p R2 = 20p ，
故选：B.
【变式 9-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥 A - BCD中，已知 AC ^ BC, AC = BC = 2, AD = BD = 6 ，
且平面 ABD ^平面 ABC，则三棱锥 A - BCD的外接球表面积为（ ）
A．8π B．9π C．10π D．12π
【答案】B
【解析】如图，设外接球的半径为 R，取 AB 的中点O1，连接O1D ，则由 AD = BD ，得O1D ^ AB ，
因为平面 ABD ^平面 ABC，平面 ABD 平面 ABC = AB，O1D 平面 ABD，
所以O1D ^平面 ABC，则球心 O 在直线O1D 上．
连接 OA，则OD = OA = R，
因为 AC ^ BC, AC = BC = 2，所以 AB = 2 2 ；
因为 AD = BD = 6 ，所以 AO1 = 2,O1D = 2 .
因为O1D > AO1 ，所以球心在线段O1D 上．
在Rt△O1OA
2
中，由勾股定理，得OO1 + O A
2
1 = OA
2
，
3
即 (2 - R)2 + 2 = R2，解得R = ，
2
2
所以三棱锥 A - BCD的外接球表面积为 4πR2 = 4π 3 2 ÷
= 9π .
è
故选：B．
题型十：外接球之二面角模型
【典例 10-1】在三棱锥 A - BCD 中，二面角 A - BD
π
- C 的大小为 ， BAD = CBD ，BD = BC = 2，则
3
三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
8 7 - 4
【答案】 π
3
【解析】
取△ABD 外心O1，△BCD外心O2，BD中点为E ，
则O2 A = O2B = O2D，O1B = O1C = O1D ，OO2 ^ 面 ABD，OO1 ^面BCD
所以O1E ^ BD,O2E ^ BD ， O1EO
π
2 = ，3
设 BAD = CBD = q ，
BD
由正弦定理得 = 2O2B，sinq
2 2 2 q余弦定理得CD = BC + BD - 2BC × BD cosq = 8 -8cosq ，所以CD = 8 -8cosq = 4sin ，2
CD 12O B O B =所以由正弦定理得 = 1 ，即 1 cos q ，sinq 2
O 1 2 1 2 2 q所以 2B = ，O E = O B -1 = ，O E = O B - BE = tan ，sinq 2 2 tanq 1 1 2
q
在四边形OO1EO
tan
2 中，O O2 = O E21 2 1 + O2E
2 - O E O E tan2 q 1 21 × 2 = + -2 tan2 q tanq
2
1- tan2 q ÷ 1- tan2
q 7 tan4 q - 4 tan2 q +1
= tan2 q + è 2 - 2 = 2 ，
2 4 tan2 q 2 4 tan2 q
2 2
R2 OE2 1 O
2
1O2 1 7 tan2 q 1 1 2 7 1 2 7 -1= + = p + = +2 3 2 2 q
- - =
3 9 3 3 ，sin 3tan
3 2
q 1-
当且仅当 tan = 7 4 时等号成立，
2
4 2 7 -1
所以三棱锥外接球表面积最小值为 4πR2 = π，
3
8 7 - 4
故答案为： π .
3
【典例 10-2】如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA = PB = 5 ，CA ^ AB ， AB = AC = 2，二面角 P - AB - C
的大小为120°，则三棱锥P - ABC 的外接球表面积为 .
49 49p
【答案】 p /
3 3
【解析】取BC 和 AB 的中点分别为O1，D，过点 P 作PE ^面 ABC 于点E ，
连结PD， 1，DE , AB 平面 ABC ,故PE ^ AB，
又PA = PB ，则PD ^ AB,又PD PE = P, PD, PE 平面PDE ,
故 AB ^平面PDE ，DE 平面PDE ，故 AB ^ DE
则 PDE 为二面角P - AB - C 的补角， PDE = 60o ，
因为PA = PB = 5 ， AB = AC = 2，则PD = 2，且PE = 3, DE =1，
易知DO1 =1，DO1 ^ AB ， BC = 2 2 = 2AO1
因为VABC 为等腰直角三角形，所以O1是VABC 的外心.
设三棱锥P - ABC 的外接球的球心为O，则OO1 ^面 ABC ，易知PE / /OO1 ，
作OQ ^ PE ，易知OO1EQ 为矩形，OQ = EO1 =1+1 = 2 ，
设OO1 = h，OA = R，则在 RtVAO O中，R2 21 = h + 2，
49
且 Rt△ PQO 中，R2 = ( 3 - h)2 + 4 2，解得R = ，
12
所以外接球表面积为 S = 4πR2
49
= π .
3
49
故答案为： π .
3
【变式 10-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥D - ABC 中， AB = 4, AC = 3, BC = 5，三角形DBC 为正三
角形，若二面角D - BC - A为120°，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
1625 13
【答案】 π
162
【解析】如图，∵ AB = 4, AC = 3, BC = 5，即 AB2 + AC 2 = BC 2 ，∴ BAC = 90° .
∴球心O在过BC 的中点O1与平面 ABC 垂直的直线上，
同时也在过△BCD的中心O2与平面BCD垂直的直线上，.
∴这两条直线必相交于球心O .
∵二面角D - BC - A的大小为120°，
易知 O1OO2 = 60°， OO2O1 = 90°，
2
QO1O
1
2 = O
1 2 5 5 3 5 3 3 5
1D = 5 - ÷ = ，\OO2 = O O × tan 30° = = ，3 3 1 2è 2 6 6 3 6
2
QO2D
2
= O 2 2 5 5 31D = 5 - ÷ = ，3 3 è 2 3
2 2
∴三棱锥D - ABC 的外接球的半径为R = OD OO2 O 2 5 5 3 5 13= 2 + 2D = +6 3 ÷÷
= .
è 6
3
∴ D ABC V 4 πR3 4
5 13 1625 13
三棱锥 - 的外接球的体积为 = = π
3 3 ÷÷
= π .
è 6 162
1625 13
故答案为： π
162
【变式 10-2】（2024·高三·河南·期末）在边长为 1 的菱形 ABCD中 BAD = 60°，将DABD 沿BD折起，使
二面角 A - BD - C 的平面角等于120°，连接 AC ，得到三棱锥 A - BCD，则此三棱锥 A - BCD外接球的表
面积为 .
7p 7
【答案】 / p
3 3
【解析】取BD的中点E ，连接 AE , CE ，
因为 ABCD为菱形，所以 AEC 即为二面角 A - BD - C 的平面角，
因为 BAD = 60°，所以△ABD 和△CBD均为正三角形，
取 AE 靠近E 的三等分点G ，取CE靠近E 的三等分点F ，
过点F 作OF ^平面BCD，过点G 作OG ^平面 ABD，OF ,OG交于点O，
则O为三棱锥 A - BCD外接球的球心，连接 , ，
由对称性知ΔOGE @ ΔOFE 3
1
，则EF = ，BE = ，
6 2
OEF 120°因为 = = 60°，
2
3
所以OE 6 3 ，= =
cos 60° 3
OB BE2 OE2 1 1 7 21所以外接球的半径 = + = + = = ，
4 3 12 6
7 7π
所以外接球的表面积为 4π = .
12 3
7π
故答案为：
3
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
【典例 11-1】（2024·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形 ABCD，且
AC BC 1= = AD =1， AC ^ AD，现将VACD沿 AC 折起，使得点D到达点 P 处，且二面角P - AC - B 的
2
大小为 60°，连接 BP，如图②，若三棱锥 P - ABC 的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． 4π B．5π C． 6π D．7π
【答案】B
【解析】过点C 作CE //PA且CE = PA，连接PE、 BE ，则四边形 ACEP为平行四边形，
所以 AC //PE ，因为 AC ^ AP，所以AC ^ CE ，又 AC ^ BC ，
所以 BCE 是二面角P - AC - B 的平面角，即 BCE = 60°，
1
在VBCE 2 2 2中，由余弦定理可得BE = BC + CE - 2BC ×CE cos 60° =1+ 4 - 2 1 2 = 3，
2
即BE = 3 ，所以BE2 + BC 2 = CE2 ，所以BC ^ BE ，
又BC ^ AC ， AC //PE ，所以BC ^ PE ，PE BE = E，PE, BE 平面 PBE ，
所以BC ^平面 PBE ，PB 平面 PBE ，所以BC ^ PB ，
所以PC 为三棱锥P - ABC 的外接球的直径，
R 1 PC 1 AP2 5所以外接球的半径 = = + AC 2 = ，
2 2 2
2
S 4πR2

4π 5

所以外接球的表面积 = = 2 ÷÷
= 5π .
è
故选：B
【典例 11-2】（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥P - ABC 的外接球为球O，PC 为球O的直径，且
PC = 2，PA = PB = 3 ， AB =1，则三棱锥P - ABC 的体积为 .
2 1
【答案】 / 2
6 6
【解析】如图，易知 PAC = PBC = 90°， AC = BC =1，所以 APC = BPC
π
= ，
6
作 AH ^ PC 于点H ，易知BH ^ PC ，所以 AH = BH 3= ，
2
2 2 2
cos AHB AH + BH - AB 1= = ,sin AHB 2 2= ，
2AH × BH 3 3
S 1VAHB = AH × BH ×sin AHB
3 2 2 2
= = ，
2 8 3 4
故三棱锥P - ABC 的体积为
V V V 1 1 2= P- AHB + C- AHB = SV AHB × PH + HC = SV AHB × PC = .3 3 6
2
故答案为： .
6
【变式 11-1】已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球O的球面上， SC 是球O的直径.若平面 SCA ^ 平面
8
SCB ， SA = AC ， SB = BC ，三棱锥 S - ABC 的体积为 ，则球O的体积为（
3 ）
20p 32p
A． 4p B． C．6p D．
3 3
【答案】D
【解析】取 SC 的中点O，连接OA,OB，
因为 SA = AC ， SB = BC ，所以OA ^ SC ，OB ^ SC .
因为平面 SAC ^ 平面 SBC ，所以OA ^ 平面 SBC .
设OA = r ，
V 1 1 1 1A-SBC = SDSBC OA = 2r r r = r
3
3 3 2 3
1 3 8
所以 r = ，\r = 2
3 3
4 p r3 32p所以球的体积为 = .
3 3
故选：D
1
【变式 11-2】（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥 S - ABC 的体积为 2 ， AC = BC =1，
ACB =120°，若 SC 是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A． 4p B．6p C．8p D．16p
【答案】D
【解析】由 SC 是其外接球的直径，得 SC 中点 O 是 S - ABC 外接球球心，设G 是DABC 的外心，则OG ^
平面 ABC ，且OG 等于S 到平面 ABC 的距离的一半．求出DABC 中 AB 长（用余弦定理），由正弦定理求得
DABC 外接圆半径，求出DABC 面积，求体积求出OG ，从而可得外接圆半径，得表面积．如图，O是 SC
中点，则 O 是 S - ABC 外接球球心，设G 是DABC 的外心，则OG ^平面 ABC ，且OG 等于S 到平面 ABC
的距离的一半．
∵ AC = BC =1， ACB =120°，∴ AB = AC 2 + BC 2 - 2AC BC cos120° = 3，
2GC AB 3= = = 2，GC =1，
sin BCA sin120°
S 1DABC = AC BC sin120
3 1 1 3 1
° = ，VS - ABC = SDABC × 2OG = 2OG = ，2 4 3 3 4 2
OG = 3 ，
∴ OC = GC 2 + GO2 = 2，
S = 4p (OC)2 = 4p 22 =16p ．
故选：D.
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
【典例 12-1】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是菱形，PB ^ 底面 ABCD， O是对角线 AC 与 BD的交点，
p
若PB =1， APB = ，则三棱锥P - BOC 的外接球的体积为（ ）
3
2p 4p
A B C 5p． ． ． D3 ．2p3 3
【答案】B
【解析】解：∵底面 ABCD 为菱形，∴ AC ^ BD ，又PB ^ 底面 ABCD，∴ AC ^ PB ，
p
∴ AC ^ 平面 PBD，∴ AC ^ PO ，即 POC = ，
2
取 PC 的中点 M，如下图：
连结 BM，OM，在Rt△PBC 中，MB=MC=MP= 12 PC，
在Rt△POC 中 MO= 12 PC，
∴点 M 为三棱椎 P-BOC 的外接球的球心，
在△PAC 中，由于PO ^ AC ，O 是 AC 的中点，所以△PAC 是等腰三角形，
PA = PC 1 cos p= = 2 ，
3
1 4
外接球半径为 PC =1 ，外接球的体积为 p ；
2 3
故选：B．
【典例 12-2】已知三棱锥P - ABC 中，PA = 1，PB = 3，PC = 5 ， AB = 2 2 ，CA = CB = 2 ，则此三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
14p 28p
A． B． C．9p D．12p
3 3
【答案】C
【解析】因为PA = 1， AB = 2 2 ，PB = 3，则PB2 = PA2 + AB2 ，所以PA ^ AB ，
又因为 AB = 2 2 ，BC = 2， AC = 2，则 AB2 = BC 2 + AC 2 ，所以 AC ^ BC ，
由PA = 1， AC = 2，PC = 5 ，则PC 2 = PA2 + AC 2 ，所以PA ^ AC ，
又由PC = 5 ，BC = 2，PB = 3，则PB2 = PC 2 + BC 2 ，所以 PC ^ BC ，
可得 PB为三棱锥P - ABC 的外接球的直径，
又由PC 2 = PA2 + AC 2 + BC 2 =1+ 4 + 4 = 9，
4 + 4 +1 3
所以此三棱锥的外接球半径为R = = ，
2 2
所以球的表面积为 S = 4p R2 = 9p ．
故选：C．
【变式 12-1】在三棱锥 A - SBC 中， AB = 10, ASC = BSC
p
= , AC = AS, BC = BS 若该三棱锥的体积为
4
15
，则三棱锥 A - SBC 外球的体积为（ ）
3
p
A．p B． C．
3 5p
D． 4 3p
【答案】D
【解析】如图所示：
设 SC 的中点为 O，AB 的中点为 D，连接 OA、OB、OD，
p
因为 ASC = BSC = , AC = AS , BC = BS ，
4
所以 SAC
p
= SBC = ，
2
则OA = OB = OC = OS ，
所以 O 为其外接球的球心，设球的半径为 R，
因为OD ^ AB， AB = 10 ，
2
10 10
所以 AD = DB = ,OD = R2 -
2 ÷÷
，
è 2
1 1
所以 SVAOB = × AB ×OD = 10R
2 - 25 ，
2 2
因为 SC ^ OA, SC ^ OB,OA OB = O ，
所以 SC ^平面 AOB，
1 1 1 15
所以VA-SBC = × SAOB × SC = × 10R
2 - 25 ×2R = ，
3 3 2 3
解得 R = 3 ，
V 4所以其外接球的体积为 = ×p × R3 = 4 3p ，
3
故选：D
题型十三：外接球之坐标法模型
【典例 13-1】空间直角坐标系O- xyz中， A( 2,0,0), B(0,3,0),C(0,0,5), D( 2,3,5), 则四面体 ABCD 外接球体积
是（ ）
108
A． 25p B．36p C． p D． 288p3
【答案】B
【解析】取E( 2,0,5), F ( 2,3,0),G(0,3,5),O(0,0,0)，则OAFB - CEDG 是长方体，
其对角线长为 l = ( 2)2 + 32 + 52 = 6，
∴四面体 ABCD
l
外接球半径为 r = = 3．
2
V 4 p r3 4= = p 33 = 36p ，
3 3
故选：B．
【典例 13-2】（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥 A - BCD中，
AD ^ AB, AB = AD = 2,VACD 2为等边三角形，三棱锥 A - BCD的体积为 3 ，则三棱锥 A - BCD外接球的表
面积为 .
【答案】 4π 5 - 2 2
【解析】
过 C 作CH ^面 ABD于 H，
1
则三棱锥 A - BCD的体积为V＝ SV ABD ×CH
1 1 2
= 2 2 × CH =
3 3 2 3 ，所以
CH =1，
取 AD 中点 M，连接 CM，MH，
因为VACD为等边三角形，所以 AD ^ CM ，
又CH ^面 ABD， AD 面 ABD，所以 AD ^ CH ，
又CM CH＝C ，所以 AD ^ 面CMH ，
MH 面CMH ，所以 AD ^ MH ，
在RtVCMH 中，CM = 3,CH =1, 所以MH = 2,
以 AB，AD 为 x, y 轴，垂直于 AB，AD 方向为 z 轴，建立如图所示空间坐标系，
A 0,0,0 , B 2,0,0 , D 0,2,0 ,C 2,1,1 ,
设球心O，O在面 ABD的投影为 N ，
由 OA = OB = OD 得 NA = NB = ND ，
所以 N 为Rt△ABD 的外接圆圆心，所以 N 为Rt△ABD 斜边的中点，故设O 1,1, t ,
2
由 OA = OC 得12 +12 + t 2 = 2 -1 + 1-1 2 + t -1 2 ，解得 t =1- 2 ，
2 2
所以R2 = OA =12 +12 + 1- 2 = 5 - 2 2 ，
2
故外接球的表面积为 4πR = 4π 5 - 2 2 ，
故答案为： 4π 5 - 2 2
p
【变式 13-1】如图①，在RtVABC 中，C = 2 ， AC = BC = 2，D，E 分别为 AC ， AB 的中点，将VADE
沿DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1D ^ CD，如图②.若 F 是 A1B 的中点，则四面体FCDE 的外接球体积是
（ ）
A 2p B 2． ． p C 2． p D 2． p
3 6 12
【答案】B
【解析】依题意CD ^ DE ， A1D ^ DE， A1D I DC = D， A1D, DC 平面 A1DC ，所以DE ^ 平面 A1DC ，
又 A1D ^ CD，如图建立空间直角坐标系，则D 0,0,0 、C 1,0,0 、E 0,1,0 、B 1,2,0 、 A1 0,0,1 、
F 1 ,1, 1 1 1 2 2 ÷
，依题意△DCE 为直角三角形，所以△DCE 的外接圆的圆心在CE的中点 , ,02 2 ÷，设外接球è è
的球心为M
1 1
, , m÷，半径为 R ，则 DM = MF = R2 2 ，即è
R 1
2
1
2
m2 1 1
2 1 2 1 2 2
= ÷ + ÷ + =

- ÷ +

1- ÷ + - m

÷ ，解得m = 0，所以R = ，所以外接球的体积
è 2 è 2 è 2 2 è 2 è 2 2
V 4 p R3 2= = p ；
3 3
故选：B
题型十四：外接球之空间多面体
【典例 14-1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将
正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如
图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A．16π B．9π C．8π D．12π
【答案】D
【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为 2 ，
则原正方体棱长的一半为 1，即多面体所在正方体的棱长为 2，
可得正方体体对角线长 2 3 ，外接球半径为 3，
所以外接球表面积为 4π ( 3)2 =12π .
故选：D.
【典例 14-2】（2024·广西贺州·一模）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的
多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有
十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面
体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过 A，B，C 三点的截面面积为6 3 ，则其外接球的
表面积为（ ）
A．8π B．10π C．12π D．16π
【答案】D
【解析】将二十四等边体补全为正方体，则该二十四等边体的过 A，B，C 三点的截面为正六边形
ABCFED ，
1 3
设原正方体棱长为 2a，则正六边形边长为 2a，其面积为6 2a 2a = 6 3 ，解得 a = 2 ，
2 2
因此原正方体的棱长为 2 2 ，由对称性知，二十四等边体的外接球球心是原正方体的体对角线的交点，
2
球半径 R 为该点到点A 的距离 2 2 = 2，所以外接球的表面积为 4πR2 =16π .
2
故选：D
【变式 14-1】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产
生的多面体.如图所示，将棱长为 3 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为 1 的
截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .
11p
【答案】
2
2
2 3 6
【解析】因为棱长为 a的正四面体的高为 a2 - a3 2 ÷÷
= a ，
è 3
6 3 6 1 2 6所以截角四面体上下底面距离为 - = ，
3 3 3
序曲其外接球的半径为 R ，等边三角形 ABC 的中心为O ' ，正六边形EFHILK 的中心为O '' ，则O 'O ''垂直于
2 6
平面 ABC 与平面EFHILK ，则 R2 - O 'C 2 + R2 - O ''H 2 = ,
3
2
2 R 3

R2 12 2 6 R2
11
所以 - ÷
=
÷ + - = ，解得 ，
è 3 3 8
2 11 11p
所以该截角四面体的外接球的表面积为 4p R = 4p = ,
8 2
11p
故答案为：
2
题型十五：与球有关的最值问题
【典例 15-1】（2024·河南·模拟预测）在四棱锥V - ABCD 14 3中，若 AB = 2BC = CD = DA =1，其中
7 3
VVBD 是边长为 2 的正三角形，则四棱锥V - ABCD 外接球表面积的最小值为（ ）
16π
A．32 3π B
16π
． C． D． π
27 9 3
【答案】C
DB AB 2BC 14 3【解析】如图，连接 ，因为 = = CD = DA =1，
7 3
2
所以 AB =1, BC = ,CD 14= , DA = 3 ，所以 AB2 + AD2 = BC 2 + CD2 = BD2 ，
2 2
所以 AB ^ AD, BC ^ CD，所以四边形 ABCD必存在一个外接圆，
且圆心为BD的中点设为O1，设外接球的球心为O，则OO1 ^平面 ABCD，
设OO1 = x，过O作与平面VDB的垂线，垂足设为E ，连接VO，OB，AE ，
则E 为VVBD 的中心，且O必位于底面 ABCD的上方，
2
设O E = y ，外接球的半径为 r ，则 r 2 2 =12 + x2 = 2 3 ÷
+ y ，
è
x2 y2 1 1所以 = + 3，所以 x ，当且仅当 y = 0 时，3 3 3
4 16π
即O 2与E 重合时，外接球表面积取得最小值为 4πr = 4 π = .
3 3
故选：C.
【典例 15-2】在VABC 中，BC = 6， AB + AC = 8，E，F，G 分别为三边BC ，CA， AB 的中点，将
VAFG ，VBEG，△CEF 分别沿 FG ，EG ，EF 向上折起，使得 A，B，C 重合，记为 P ，则三棱锥
P - EFG的外接球表面积的最小值为（ ）
15π 17π 19π 21π
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】B
【解析】设 AB = 2m ， AC = 2n，由题设m + n = 4 .
三棱锥P - EFG中，FG = PE = 3，EF = PG = m，EG = PF = n ，
将P - EFG放在棱长为 x，y，z 的长方体中，如图，
ìx2 + y2 = 32
2 2
则有 íy + z = m2 ，
z2 + x2 = n
2
三棱锥P - EFG的外接球就是长方体的外接球，
(2R)2 = x2 1所以 + y2 + z2 = 9 + m2 + n2 ，2
m2 n2 (m + n)
2
由基本不等式 + = 8，当且仅当m = n = 2时等号成立，
2
1 17π
所以外接球表面积 S = 4πR2 (9 + 8)π = .
2 2
故选：B.
【变式 15-1】（2024·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的底面是等腰直角三角形，
AA1 = 2， AC = BC =1，点D在上底面 A1B1C1（包括边界）上运动，则三棱锥D - ABC 外接球表面积的最
大值为（ ）
81π 243π
A． B． 6π C． D．
16 64 2 6π
【答案】B
【解析】因为VABC 为等腰直角三角形， AC = BC =1，
所以VABC 2的外接圆的圆心为 AB 的中点O1，且 AO1 = ，2
设 A1B1 的中点为E ，连接O1E ，则O1E //AA1，则O1E ^ 平面 ABC ，
设三棱锥D - ABC 外接球的球心为O，由球的性质可得O在O1E 上，

设OO1 = x，DE t 0 t
2
= ÷÷，外接球的半径为 R ，
è 2
2

因为OA = OD = R 2 2，所以 x2 + ÷ = 2 - x + t 2 ÷ ，
è 2
t 2 4x 7 2 7即 = - ，又0 t ，则 x 1，2 2 8
2 2 1 81 2 3
因为R = x + ，所以 R
2 64 2
3
所以三棱锥D - ABC 外接球表面积的最大值为 4π = 6π .
2
故选：B.
【变式 15-2】（ 2024·浙江 ·模拟预测）在三棱锥 D - ABC 中， AB = BC = 2， ADC = 90o，二面角
D - AC - B的平面角为30o，则三棱锥D - ABC 外接球表面积的最小值为（ ）
A．16 2 3 -1 p B．16 2 3 - 3 p
C．16 2 3 +1 p D．16 2 3 + 3 p
【答案】B
【解析】当 D 在△ACD 的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，
故可使 D 点动到一个使得 DA=DC 的位置，取 AC 的中点 M，连接BM , DM ，
因为 AB = BC = 2，DA=DC，所以 AC ^ BM ， AC ^ DM ，故 DMB 即为二面角D - AC - B的平面角，
△ACB 的外心为 O1，过 O1作平面 ABC 的垂线，过△ACD 的外心 M 作平面 ACD 的垂线，两条垂线均在平
面 BMD 内，它们的交点就是球心 O，画出平面 BMD，如图所示；
1 cos 2q
在平面 ABC 内，设 CBA = 2q BC，则 r 1= BO = 2 = ，O1M = O1C cos 2q =1 cosq cosq cos
，
q
因为 DMB = 30o ，所以 O MO = 60o O O 3O M 3 cos 2q1 ，所以 1 = 1 = ，cosq
R2 r2 OO 2 1 3cos
2 2q
所以 = + 1 = +cos2 q cos2 q
2
令 t = cos2 q (0,1)
1 3(2t -1) 4
，则 R2 = + = 12t + -12 2 48 -12 = 8 3 -12 ，
t t t
3
所以 S = 4p R2 16(2 3 - 3)p ，当且仅当 t = 时取等，
3
故选:B
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
【典例 16-1】棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1的内切球的球心为O，则球O的体积为（ ）
2 p 4 8A． B． p C．2p D． p
3 3 3
【答案】B
【解析】正方体 ABCD - A1B1C1D1的内切球的球心为O，由对称性可知O为正方体的中心，球半径为 1，
V 4 p 13 4即球的体积为 = = p .
3 3
故选：B.
【典例 16-2】在正三棱柱 ABC - A B C 中，D 是侧棱BB 上一点，E 是侧棱CC 上一点，若线段
AD + DE + EA 的最小值是 2 7 ﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接
球表面积为（ ）
A．4π B．5π C．6π D．8π
【答案】B
【解析】设正三棱柱 ABC - A B C 的底面边长为 a,高为 h ，
对三个侧面进行展开如图，
要使线段 AD + DE + EA 的最小值是 2 7 ，则连接 AA （左下角A ，右上角 A ），
2
此时D, E 在连接线上，故 3a + h2 = 2 7 ①，
因为正三棱柱 ABC - A B C 内部存在一个半径为 r 的内切球，
ìh = 2r
3
所以 í 3 1 整理得 h = a ，

a = r 3
2 3
3
将 h = a 代入①可得 a = 3,h =1，
3
3 2
所以正三棱柱 ABC - A B C 的底面外接圆半径为 3 =1，
2 3
所以正三棱柱 ABC - A B C 的外接球半径为 1 1 5+ = ，
4 2
2
5
所以该棱柱的外接球表面积为 4π × 2 ÷÷
= 5π
è
故选：B
【变式 16-1】若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
（ ）
A． 2 :1 B．3: 2 C．7 : 3 D．7 : 4
【答案】C
【解析】如图：O1,O2 分别为底面中心，O为O1O2 的中点，D为 AB 的中点
设正六棱柱的底面边长为 2
若正六棱柱有内切球，则OO1 = O1D = 3 ，即内切球的半径 r = 3
OA2 = OO 21 + O
2
1A = 7 ，即外接球的半径R = 7
则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为 4πR2 : 4πr 2 = R2 : r 2 = 7 : 3
故选：C．
【变式 16-2】（2024·高三·辽宁锦州·开学考试）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表
面积为 40π ，则该三棱柱的体积为（ ）
A．6 6 B．12 6 C．6 10 D．12 10
【答案】B
【解析】
如图，设正三棱柱 ABC - A1B1C1的外接球O的半径为 R ，
则4π 2 = 40π，解得R = 10 ，
因三棱柱 ABC - A1B1C1有内切球，设内切球半径为 r ，则正三棱柱的高为 2r ，
连接VABC,VA1B1C1的中心 2, 1，则线段O2O1的中点即为球心O，
依题意，VABC 内切圆半径为 r ，得O2C = 2r, AB = 2 3r，
则 (2r)2 + r2 = R2，解得 r = 2, AB = 2 6 ,
3
故三棱柱的体积为V = (2 6)2 2 2 = 12 6.
4
故选：B．
题型十七：内切球之正四面体模型
【典例 17-1】已知某棱长为 2 2 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
4π
A． 4π B． 2π C． D． π
3
【答案】A
【解析】如图所示，在棱长为 2 的正方体中构造棱长为 2 2 的正四面体 A - BCD ，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径 r =1，
则该球的表面积为 S = 4πr 2 = 4π ．
故选：A．
【典例 17-2】已知正四面体的棱长为12，则其内切球的表面积为（ ）
A．12p B．16p
C． 20p D． 24p
【答案】D
【解析】设正四面体内切球球心为O，内切球半径为 R ，取CD 中点F ，作 AE ^ 平面BCD于E ，则E 为
△BCD中心，
1 1 3V
则V = S + S + S + S × R = S × R，\R = A-BCDA-BCD .3 △BCD △ACD △ABC △ABD 3 表 S表
QBE 2= BF 2= 144 - 36 2= 6 3 = 4 3，\ AE = 144 - 48 = 4 6 ，
3 3 3
1
\VA-BCD = S AE
1 1
× = 122 3 4 6 =144 2 ，
3 △BCD 3 2 2
1 3 3 144 2
又 S = 4S△BCD = 4 12
2 =144 3 ，\R = = 6 ，表 2 2 144 3
\内切球表面积 S = 4p R2 = 24p .
故选：D .
【变式 17-1】边长为1的正四面体内切球的体积为（ ）
A 6π
π
B 2 C D 6π． ． ． ．
8 12 6 216
【答案】D
【解析】将棱长为1的正四面体 ABCD补成正方体 AECF - GBHD 2，则该正方体的棱长为 ，
2
3 3

V 2 4V 2 4 1 1
2 2
A-BCD = 2 ÷÷
- B- ACE = - 4 3 2 2 ÷÷
= ，
è è 12
设正四面体 ABCD的内切球半径为 r ，正四面体 ABCD 3 3每个面的面积均为 12 = ，
4 4
2 1
由等体积法可得VA-BCD = = r S△ABC + S△ACD + S△ABD + S
3
BCD = r ，解得△ r
6
= ，
12 3 3 12
3
4 6 6
因此，该正四面体的内切球的体积为V = π ÷÷ = π .3 è 12 216
故选：D.
题型十八：内切球之棱锥模型
【典例 18-1】（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为SF6 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃
的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，
硫原子位于正八面体的中心，6 个氟原子分别位于正八面体的 6 个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为
m，则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
2 2
A． πm2 B． 2πm2 C
πm 2πm
． D．
3 3
【答案】D
【解析】如图，连接 AC, BD 交于点O，连接OP ，
取BC 的中点E ，连接OE, PE ，
因为 AB = m ,所以OA = OB = OC = OD 2= m ,
2
OP = AP2 - OA2 2= m ,
2
由BE = CE,可得BC ^ OE, BC ^ PE,OE, PE 平面POE ，
且OE PE = E ，所以BC ^平面POE ，
过O作OH ^ PE ，
因为BC ^平面POE ，OH 平面POE ，所以BC ^ OH ,
且BC I PE = E, BC, PE 平面 PBC ，所以OH ^平面 PBC ，
所以OH 为该正八面体结构的内切球的半径，
2 1 3
在直角三角形POE 中，OP = m,OE = m, PE = m，
2 2 2
1 1 6
由等面积法可得， OP OE = PE OH ,解得
2 2 OH = m
，
6
2

所以内切球的表面积为 4π
6
m
2π
÷ = m2 6 ÷
，
è 3
故选:D.
128
【典例 18-2】若正四棱锥P - ABCD 体积为 ，内接于球 O，且底面 ABCD过球心 O，则该四棱锥内切
3
球的半径为（ ）
A．2( 3 -1) B．4 C． 2 3 D． 2
【答案】A
【解析】因为正四棱锥P - ABCD 内接于球 O，且底面 ABCD过球心 O，
设球的半径为 R ，
所以OA = OB = OC = OD = OP = R，
所以 AB = BC = CD = DA = PA = PB = PC = PD = 2R ，
1 2
于是正四棱锥P - ABCD 的体积V = 2R R 128 = ，解得R = 4，3 3
2 2
所以正四棱锥P - ABCD 3的表面积 S = 4 4 2 + 4 2 = 32 3 + 32，4
设正四棱锥P - ABCD 内切球的半径为 r ，
V 1 Sr 1则 = = (32 3 32)r
128
+ = ，解得 r = 2( 3 -1) .
3 3 3
故选：A.
【变式 18-1】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 A - BCD中， AB ^
平面BCD，BC ^ CD，且 AB = BC = CD =1，则其内切球表面积为（ ）
A．3π B． 3π C． 3- 2 2 π D． 2 -1 π
【答案】C
【解析】
因为四面体 ABCD四个面都为直角三角形， AB ^ 平面BCD, BC ^ CD，
所以 AB ^ BD, AB ^ BC, BC ^ CD ， AC ^ CD ，
设四面体 ABCD内切球的球心为O，半径为 r ，
1
则VABCD = VO- ABC +VO- ABD +VO- ACD +VO-BCD = r S + S +S + S 3 V ABC VABD V ACD VBCD
r 3V所以 = S ，ABCD
因为四面体 ABCD的表面积为 SABCD = S△ABC + S△ABD + S△ACD + S△BCD =1+ 2 ，
ABCD V 1 1又因为四面体 的体积 ABCD = 1 1 1
1
= ，
3 2 6
r 3V 2 -1所以 = = ，
S 2
所以内切球表面积 S = 4πr 2 = (3- 2 2)π .
故选：C.
【变式 18-2】已知四棱锥P- ABCD的各棱长均为 2，则其内切球表面积为（ ）
A． (8 - 2 3)π B． (8 - 4 3)π
C． (8 - 6 3)π D． (8 - 3 3)π
【答案】B
【解析】因为四棱锥P- ABCD的各棱长均为 2，所以四棱锥P- ABCD是正四棱锥，
则 SABCD = 2 2 = 4, S表面积 = 4 + 4 3 ，
过 P 作底面垂线，垂足为 H，则PH = 2 ，
V 1 1所以 P- ABCD = SABCD × PH = S表面积 × r r
6 - 2
，则 ，
3 3 = 2
故其内切圆表面积为 4πr 2 = (8 - 4 3)π ，
故选：B．
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
【典例 19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为 3，其内切球表面积为12π，则该圆锥的侧面
积为（ ）
A．9 3π B．18π C．18 3π D． 27π
【答案】B
【解析】球表面积为12π，则该球半径为 3，
设圆锥的高为 h，则圆锥的母线长为 32 + h2 ，
则此圆锥的轴截面面积为
1
6h 1= 3
2 2 6 + 2 32 + h2 ，解之得 h = 3 3 ，
则该圆锥的侧面积为3π 32 + 23 3 =18π
故选：B
【典例 19-2】（2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是 2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均
相切）的半径为（ ）
A 5 +1 5 -1． B．
2 2
C 3 +1 D 3 -1． ．
2 2
【答案】B
【解析】圆锥的轴截面如图所示，设内切球的球心为 D，半径为 R，
则 AB = 2,CG = 2 ，所以 AC BC (
AB
= = )2 + CG2 = 5 ，
2
又 SVABC = SVADB + SVADC + SVBDC ，
1 2 1 1 1即 2 = 2R + 5R + 5R，
2 2 2 2
R 2 5 -1= = 5 -1解得 ，即内切球的半径为 .
1+ 5 2 2
故选：B
【变式 19-1】（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为 2 ，下底面半径为 2 2 的圆台存在内
切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
56π
A．14 6π B 56π C 14 6π． ． D．
3 3
【答案】D
【解析】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为 2 ，下底面半径为 2 2 ，则腰长为3 2 ，
2 2
故梯形的高为 3 2 - 2 = 4 ，
1 é
则该圆台的体积为 4π
3 ê
2
2 + 2 2 2 2 8ù 56π+ ú = . 3
故选：D.
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
【典例 20-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其
S1
所有棱都相切）的表面积分别为 S1, S2 ，则 =S ．2
7
【答案】
4
【解析】
设正三棱柱的棱长为 a，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点O为外接球的球心，
2 3 3
则外接球的半径OB2 = OD2 + BD2 ，BD = a = a ，
3 2 3
2 2
2 a 3a 7a2所以 r1 = +2 ÷ ÷
= ，
è ÷è 3 12
3 2
2 2 2
OE = a = 1
3 3a a
因为 a ÷ + a ÷÷ = OF ，所以O为棱切球的球心，则棱切球半径 r
2
2 = ÷ = ，3 è 2 6 ÷è è 3 3
7a2
S1 4πr
2
所以 = 1
7
2 =
12
2 = .S2 4πr2 a 4
3
7
故答案为：
4
【典例 20-2】已知球O1 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球O2 ，则球O1 与球O2 的表面积之
比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C． 2 : 3 D． 3 : 2
【答案】A
【解析】设正方体棱长为 a，
因为球O1 与正方体的各条棱相切，所以球O1 的直径大小为正方体的面对角线长度，
2
即半径 r = a ；
2
3
正方体内接于球O2 ，则球O2 的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径R = a ；
2
2
2
2 ar è 2
÷
2
所以球O1 与球O2 的表面积之比为 2 = 2 = .R 3 3
a ÷
è 2
故选：A.
【变式 20-1】已知正三棱柱 ABC - A1B1C1的体积为18，若存在球O与三棱柱 ABC - A1B1C1的各棱均相切，
则球O的表面积为 .
【答案】16π
【解析】
如图所示，取上下底面的中心O ,O ''， D、E、F 分别为上底面棱上的切点，
则O为O O ''的中点，设 AB = a, AA1 = 2h，
由题意易知 a = 2h，
2
则C1F
3
= a,O F 3= a = O D,OD = h2 a+ = R2 ，
2 6 12
3
因为V = 2hS 2 2 3△ABC = ha =18 ha = 4h =12 3 h = 3 ，2
所以R = 2 S球 = 4πR
2 =16π .
故答案为：16π .
【变式 20-2】已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积为 18，若存在球 O 与三棱柱 ABC - A1B1C1 的各棱均相切，
则球 O 的表面积为（ ）
A．8p B．12p C．16p D．18p
【答案】C
【解析】设正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面边长为 a，高为b ，上底面中心为O1 ，下底面中心为G ，
连接O1G ，则球O的球心O在O1G 的中点上，设球O切棱 AA1于F ，切棱BC于E ，
则F 、E 分别为所在棱的中点，
由题意V 3 2ABC- A1B1C = a b =18，①1 4
OF AG a 3= = = a
因为 ，
2sin π 3 GE
3
= a，
3 6
2 2
又OG
b
= b a
2 ，所以OE = OG
2 + GE2 = + ，
4 12
3 b2 a2
所以 a = + ，解得 a = b，②
3 4 12
联立①②可得 a = b = 2 3，
3
所以球O的半径为 R = a = 2，
3
所以球 O 的表面积为 S = 4p R2 = 4p 22 =16p ，
故选：C.
题型二十一：棱切球之正四面体模型
【典例 21-1】已知某棱长为 2 2 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比
为（ ）
π π
A 3π． B． C． D 2π．
2 3 3 2
【答案】A
【解析】如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，棱长为 2，
所以，四面体 A1BDC1是棱长为 2 2 的正四面体，
当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为1，
4π
所以，该球的体积为 ，
3
因为正四面体的体积为8 4
1 1 16 8
- 2 2 2 = 8 - = ，
3 2 3 3
4π
3 π
所以，该球与此正四面体的体积之比为 8 = .2
3
故选：A
【典例 21-2】所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为
（ ）
1 1 1 1
A． B． 3 3 C． D．27 2 2 8
【答案】A
【解析】
如图，设E 为正三角形BCD的中心，连接 AE ，
根据对称性可知正四面体的内切球和外接球共球心且球心O在线段 AE 上，
1 2a 2 3
连接BO, AE 2a BE = p = a，设正四面体的棱长为 ，则 2 ，sin 3
3
4a2
故 AE = 4a2 2 6- = a ．
3 3
设外接球的半径为 R ，则 AO = BO = R ，
2 2
R2
2 3 2 6
故 = a ÷÷ +
6
a - R ÷÷ ，解得R = a，
è 3 è 3 2
r 2 6 a 6 a 6
r 1
故内切球的半径为 = - = a ，所以 = ，
3 2 6 R 3
3
r 1
故内切球与外接球的体积之比为 ÷ = ，
è R 27
故选：A．
【变式 21-1】球与棱长为3 2 的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A．6p B．18p C．9p D．10p
【答案】C
【解析】将正四面体补形为一个正方体如图所示（红色线条表示正四面体），则正四面体的棱为正方体的
面对角线，
因为球与正四面体的各条棱都相切，所以球与正方体的各个面都相切，所以所求的球为正方体的内切球，
3 2 3
又因为正方体的棱长为 = 3，所以球的半径R = ，
2 2
2
3
所以球的表面积为： 4p × ÷ = 9p ，
è 2
故选：C.
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
3
【典例 22-1】（2024·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为 1，高为 ，求与该三棱锥 6 条棱都相
3
切的球的表面积为 .
11- 4 6 π
【答案】
3
【解析】如图所示：
设底面 ABC 外接圆的圆心为O，连接PO， AO ，延长 AO 交BC 于点 N ，
球H 与棱PA, BC 分别切于点M , N ，则MH ^ AP，球H 的半径为HM = HN = r ，
2 2 3 3 1
注意到在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， AO = AN = AB = ，ON = AO 3= ，
3 3 2 3 2 6
且PO ^底面 ABC ， AO 底面 ABC ，所以PO ^ AO ，
2
所以HO = HN 2 2

- ON = r 2 3- = r 2 1- , ÷÷ r
2 1> ，
è 6 12 è 12
÷

3
sin APO AO 3 2 MH r= = = = =
AP 2 2 2 PH PH ， 3 3
+3 ÷ ÷è è 3
3 3 1 3
所以PH = 2r，而PO = PH + HO = ，所以 - 2r = r 2 - > 0 ，即 2r < ，
3 3 12 3
6 1 6 1
解得 r1 = - , r2 = + （舍去），3 2 3 2
2
11- 4 6 π
从而与该三棱锥 6 条棱都相切的球的表面积为 S 6 1= 4πr 21 = 4π -3 2 ÷÷
= .
è 3
11- 4 6 π
故答案为： .
3
【典例 22-2】在正三棱锥P - ABC 中， AB = 6，PA = 4 3 ，若球 O 与三棱锥P - ABC 的六条棱均相切，
则球 O 的表面积为 ．
【答案】 76 - 32 3 π
【解析】如图示：
取VABC 的中心 E，连接 PE，则PE ^平面 ABC，且与棱均相切的球的球心 O 在 PE 上.
连接 AE 并延长交 BC 于 D，则 D 为 BC 的中点， AD ^ BC ，连接 OD.
因为PE ^平面 ABC，所有PE ^ BC .
因为PE 平面PAE ， AD 平面PAE ， AD I PE = E ，所有BC ^平面PAE .
因为OD 平面PAE ，所有 BC ^ OD
.过 O 作OF ^ PA，交 PA 于点 F.
球 O 的半径为 r，则OD = OF = r .
3 2
由题意：VABC 为正三角形，因为 AB = 6，所以 AD = AB sin 60° = 6 = 3 3 ， AE = AD = 2 3 ，
2 3
ED = 3 .
2 2
因为PA = 4 3 ， AE = 2 3 ，所以PE = PA2 - AE2 = 4 3 - 2 3 = 6，所以 APE = 30° .
设OE = t 0 < t < 6 ，所以PO = 2OF = 2r ，因为 r = t 2 + 3 ，所以 t + 2 t 2 + 3 = 6，解得: t = 2 3 - 2，所以
2
r 2 = 2 3 - 2 + 3 =19 -8 3，故球 O 的表面积为 76 - 32 3 π．
故答案为： 76 - 32 3 π
【变式 22-1】正三棱锥P - ABC 的底面边长为 2 3 ，侧棱长为 2 2 ，若球 H 与正三棱锥所有的棱都相切，
则这个球的表面积为（ ）
17
A． p
9
B． (44 -16 6)p C． p D．32p
4 2
【答案】B
【解析】设底面 ABC 的外接圆的圆心为O，连接PO, AO ，延长 AO 交BC于 N ，
球 H 与棱PA, BC 分别切于M , N ，设球 H 的半径为 r ，
AO 3 3则 = 2 3 = 2，ON = 2 3 - 2 =1，
3 2
而PO ^底面 ABC ，所以PO ^ AO ，可得PO = 8 - 4 = 2，
在直角三角形ONH 中，OH = r 2 -1，1< r < 2 2 ，
在直角三角形PMH 中，PM = MH = r, PH = 2r ，
所以PO = PH + OH ，即有 2 = 2r + r 2 -1，解得 r = 2 2 - 3 ，
则这个球的表面积为 4p r 2 = 4p 22 2 - 3 = 44 -16 6 p ．
故选：B
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型
【典例 23-1】已知四面体 A - BCD中， AB ^ AC ， AB ^ AD ， AC ^ AD， AB = AC = AD = 2，球心在该四
面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
4 3 3 3 3
A． π 2 -1 32B． π 2 1 4- C． π 2 32+1 D． π 2 +13 3 3 3
【答案】B
【解析】如图，O1是△BCD的中心，
根据对称性，球心O在 AO1 上，球O与BC 、 AB 的切点分别为M ， N ，
且OM ^ BC ，ON ^ AB ，OM = ON 为球的半径．
2 6
由勾股定理易得BC = 2 2 ，由正弦定理可求得BO1 = ，3
2 3
由勾股定理可求得 AO1 = ．3
∵ BM ，BN 均为球O的切线，∴ BN = BM = 2 ，
AN ON
∵△ANO 与VAO1B 相似，∴ =AO1 BO
，
1
2 - 2 ON
=
即 2 3 2 6 ，∴ ON = 2 2 -1 ，
3 3
4
∴球的体积为 π é2
3
3 3
2 -1 ù 32 = π 2 -1 ．3
故选：B．
【典例 23-2】（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4, A1B1 = 2, AA1 = 3 ，若球O
与上底面 A1B1C1D1以及棱 AB,BC,CD,DA均相切，则球O的表面积为（ ）
A．9π B．16π C． 25π D．36π
【答案】C
【解析】设棱台上下底面的中心为 N , M ,连接D1B1, DB ，
则D1B1 = 2 2, DB = 4 2 ，
2 2
所以棱台的高MN = B1B
2 - MB - NB1
2 = 3 - 2 2 - 2 =1 ,
设球半径为 R ,根据正四棱台的结构特征可知：球O与上底面 A1B1C1D1相切于 N ,与棱 AB,BC,CD,DA均相切
于各边中点处，
设BC 中点为E ，连接OE,OM , ME ,
所以OE2 = OM 2 + ME2 R2 = R -1 2 + 22 R
5
，解得 = ，
2
所以球O的表面积为 4πR2 = 25π，
故选：C
题型二十四：多球相切问题
【典例 24-1】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相
切，若 AB =12，则该模型中一个小球的体积为（ ）
A．3π
3π
B 9 6π． C．
2 6π
D．
16
【答案】C
【解析】如图所示，
设O为大球的球心，大球的半径为 R ，大正四面体的底面中心为E ，棱长为 AB =12，高为 h，
CD的中点为F ，连接OA，OB ，OC ，OD ，OE ， BF ，
BE 2 BF 3则 = = 12 = 4 3 ，正四面体的高 h = AE = AB2 - BE2 6= 12 = 4 6 .
3 3 3
因为V正四面体 = 4V
1
O- ABC ，所以 SVABCh = 4
1
S R R 1VABC ，所以 = h = 6 ，3 3 4
设小球的半径为 r ，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，
1 1 6
且小正四面体的高 h小 = h - 2R = 2 6 ，所以 r = h = 2 6 = ，4 小 4 2
3
4
所以小球的体积为 πr3
4
= π 6
3 3 ÷÷
= 6π .
è 2
故选：C
【典例 24-2】已知正四面体的棱长为 12，先在正四面体内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使
得球O2与球O1及正四面体的三个侧面都相切，则球O2的体积为（ ）
A． 6π B． 2 3π C．2 2π D． 3π
【答案】A
【解析】
如图，正四面体V - ABC ，设点O是底面 ABC 的中心，点D是BC 的中点，连接VO,VD .
则由已知可得，VO ^ 平面 ABC ，球心O1,O2 在线段VO 上，球O1,O2 切平面VBC的切点在线段VD 上，分别
设为D1, D2 .
则易知VVD1O1∽VVOD，VVD2O2∽VVD1O1，设球O1,O2 的半径分别为 r1, r2 .
2 2 OD 1因为 AD = AB - BD = 6 3 ，根据重心定理可知， = AD = 2 3 .3
VD = 6 3 ，VO = VD2 - OD2 = 4 6 ，OO1 = O1D1 = r1 ，O1O2 = r1 + r2 ，O2D2 = r2 .
由VVD O
O D VO VO - OO
∽VVOD可得， 1 1 = 1 = 11 1 ，OD VD VD
r1 4 6 - r即 = 1 ，解得， r1 = 6 ，所以VO = 3 6 .2 3 6 3 1
O D VO VO - O O
由VVD O ∽VVD O 2 2 2 1 1 22 2 1 1可得， = =O1D
，
1 VO1 VO1
r2 2 6 - r= 2 r 6即 ，解得 2 = ，6 3 6 2
3
4
所以，球O 的体积为 πr3 4
6
2 2 = π ÷÷ = 6π .3 3 è 2
故选：A.
【变式 24-1】棱长为 2 3 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则
这样一个小球的表面积最大为（ ）
π
A． B． π C． 2π D．2 3π
【答案】A
【解析】
如图，由题意知球和正四面体 A - BCD的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为O，半
径为 R ，空隙处的最大球球心为O1，半径为 r ，G 为△BCD的中心，易知 AG ^面BCD，E 为CD中点，
球O和球O1分别与面 ACD相切于F 和H .
2 2 2 2易得BE = 2 3 - 3 = 3，BG = BE = 2， AG = 2 3 - 223 = 2 2 ，
由VA-BCD = VO-BCD +VO- ABC +VO- ABD +VO- ACD ，
R 3V= A-BCD可得 S ，VBCD + SVABC + SVABD + SVACD
V 1 1 3 1 3又 A-BCD = 2 2 2 3 2 3 = 2 6 ， SVBCD = S3 2 2 VABC
= SVABD = SVACD = 2 3 2 3 = 3 3 ，2 2
2 2 2 3 2
故R = ， AO1 = AG - GO1 = 2 2 - 2 - r = 2 - r ， AO = AG - GO = 2 2 - = ，2 2 2 2
AO O H 2 - r r=
又由VAO1H 和VAOF 1 = 1
2
相似，可得 ，即 ，解得 ，
AO OF 3 2 2 r = 4
2 2
2
即小球的最大半径为 .
4
2
2 π
所以小球的表面积最大值为 4π ÷÷ = .
è 4 2
故选：A
【变式 24-2】（2024·高三·河南新乡·开学考试）已知体积为 3 的正三棱锥 P-ABC，底面边长为 2 3 ，其内
切球为球 O，若在此三棱锥中再放入球O ，使其与三个侧面及内切球 O 均相切，则球O 的半径为（ ）
1
A 3． B 2． C． D 3．
3 9 3 9
【答案】D
【解析】设内切重难点突破 01 玩转外接球、内切球、棱切球
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................7
题型一：外接球之正方体、长方体模型............................................................................................7
题型二：外接球之正四面体模型........................................................................................................7
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型........................................................................................8
题型四：外接球之直棱柱模型............................................................................................................8
题型五：外接球之直棱锥模型............................................................................................................9
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型............................................................................................9
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型..........................................................................................10
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型......................................................................................10
题型九：外接球之垂面模型..............................................................................................................11
题型十：外接球之二面角模型..........................................................................................................12
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型......................................................................................13
题型十二：外接球之共斜边拼接模型..............................................................................................13
题型十三：外接球之坐标法模型......................................................................................................14
题型十四：外接球之空间多面体......................................................................................................15
题型十五：与球有关的最值问题......................................................................................................16
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型......................................................................................17
题型十七：内切球之正四面体模型..................................................................................................17
题型十八：内切球之棱锥模型..........................................................................................................18
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型..............................................................................................19
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型......................................................................................19
题型二十一：棱切球之正四面体模型..............................................................................................20
题型二十二：棱切球之正棱锥模型..................................................................................................20
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型......................................................................................21
题型二十四：多球相切问题..............................................................................................................21
03 过关测试 .........................................................................................................................................22
知识点一：正方体、长方体外接球
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图 1 所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图 2 所示．
（3 PA）正四面体 P - ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长 a = ，如图 3 所示．
2
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图 4 所示
图 1 图 2 图 3 图 4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体 ABCD 2的的棱长为 a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 a，显然正四面体
2
2
和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 R = a 3 6 a R 6× = ，即正四面体外接球半径为 = a ．
2 2 4 4
知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体 ABCD 中， AB = CD = m， AC = BD = n ， AD = BC = t ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
ìb2 + c2 = m2

如图，设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c ，则 ía2 + c2 = n2 ，三式相加可得 a2 + b2 + c2 =
2
a + b
2 = t2
m2 + n2 + t2 ,而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 R ，则 a2 + b2 + c2 = 4R2 ，所以
2
m2 + n2 + t2R = ．
8
知识点四：直棱柱外接球
如图 1，图 2，图 3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C C11
A1 O F2 A1 A1 FB1 O2 B1 O2
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O A E1 B O1
B B
图3-1 图3-2 图3-3
图 1 图 2 图 3
第一步：确定球心O的位置，O1 是DABC 的外心，则OO1 ^ 平面 ABC ；
1 1
第二步：算出小圆O1 的半径 AO1 = r ，OO1 = AA1 = h （ AA1 = h 也是圆柱的高）；2 2
OA2 = O A2 + O O2 R2 (h第三步：勾股定理： = )2 2 2 h 21 1 + r R = r + ( ) ，解出 R2 2
知识点五：直棱锥外接球
如图， PA ^ 平面 ABC ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
图5
解题步骤：
第一步：将DABC 画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD ，连接 PD，则 PD必
过球心O；
第二步：O1 为 DABC 的外心，所以OO1 ^ 平面 ABC ，算出小圆O1 的半径O1D = r (三角形的外接圆直
a b c
径算法：利用正弦定理，得 = = = 2r )，OO 11 = PA；sin A sin B sin C 2
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)2 = PA2 + (2r)2 2R = PA2 + (2r)2 ；
② R2 = r2 + OO 2 R = r21 + OO
2
1 ．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
r21 + h
2
、正棱锥外接球半径： R = ．
2h
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， P 的射影是DABC 的外心
三棱锥 P - ABC 的三条侧棱相等
三棱锥 P - ABC 的底面DABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的顶点．
P
O
C
A O1 B
图5-1
解题步骤：
第一步：确定球心O的位置，取DABC 的外心O1 ，则 P,O,O1 三点共线；
第二步：先算出小圆O1 的半径 AO1 = r ，再算出棱锥的高 PO1 = h （也是圆锥的高）；
r2 + h2
第三步：勾股定理：OA2 = O A2 + O O2 R2 = (h - R)2 + r21 1 ，解出 R = ．2h
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体 ABCD 中， AB ^ AD ，CB ^ CD ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的， BD为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O为公共斜边 BD的中点，根据直
角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA = OC = OB = OD ，即点O到 A， B ，C ， D 四点的距
离相等，故点O就是四面体 ABCD 外接球的球心，公共的斜边 BD就是外接球的一条直径．
知识点九：垂面模型
如图 1 所示为四面体 P - ABC ，已知平面 PAB ^ 平面 ABC ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为O1 和O2 ．
（2）分别过O1 和O2 作平面 PAB 和平面 ABC 的垂线，其交点为球心，记为O．
（3）过O1 作 AB 的垂线，垂足记为 D ，连接O2D ，则O2D ^ AB ．
（4）在四棱锥 A - DO1OO2 中， AD 垂直于平面 DO1OO2 ，如图 2 所示，底面四边形 DO1OO2 的四个顶
点共圆且OD为该圆的直径．
图 1 图 2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图 1 所示为四面体 P - ABC ，已知二面角 P - AB - C 大小为a ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为O1 和O2 ．
（2）分别过O1 和O2 作平面 PAB 和平面 ABC 的垂线，其交点为球心，记为O．
（3）过O1 作 AB 的垂线，垂足记为 D ，连接O2D ，则O2D ^ AB ．
（4）在四棱锥 A - DO1OO2 中， AD 垂直于平面 DO1OO2 ，如图 2 所示，底面四边形 DO1OO2 的四个顶
点共圆且OD为该圆的直径．
知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为O(x, y, z) ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1、球内接圆锥
如图1，设圆锥的高为 h，底面圆半径为 r ，球的半径为 R ．通常在△OCB 中，由勾股定理建立方程
来计算 R ．如图 2，当 PC > CB 时，球心在圆锥内部；如图 3，当 PC < CB 时，球心在圆锥外部．和本专
题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图 2 和图 3 两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
2 2
由图 2、图3可知，OC = h - R 或 R - h ，故 (h - R)2 + r2 = R2 ，所以 R h + r= ．
2h
2、球内接圆柱
h
如图，圆柱的底面圆半径为 r ，高为 h，其外接球的半径为 R ，三者之间满足 ( ) + r2 = R2 ．
2
3、球内接圆台
2
2 2
2
R r r2 - r
2 - h2
= 2 +
1 ÷ ，其中 r1,r2 ,h分别为圆台的上底面、下底面、高．
è 2h
知识点十四：锥体内切球
3V
方法：等体积法，即 R = 体积
S表面积
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
题型一：外接球之正方体、长方体模型
【典例 1-1】正方体的表面积为 96，则正方体外接球的表面积为
【典例 1-2】已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为 3，则球的表面积为 ．
【变式 1-1】长方体 ABCD - A1B1C1D1 的外接球的表面积为 25p ， AB = 3 ， AD = 6 ，则长方体
ABCD - A1B1C1D1 的体积为 .
题型二：外接球之正四面体模型
【典例 2-1】（2024·天津和平· 3 3二模）已知圆锥底面圆的直径为 3，圆锥的高为 ，该圆锥的内切球也是
2
棱长为 a 的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长 a 为（ ）
3 9
A． 2 B． 2 C．3 D． 3 - 22 2
【典例 2-2】已知正四面体 S - ABC 的外接球表面积为 6π ，则正四面体 S - ABC 的棱长为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【变式 2-1】（2024·陕西咸阳·一模）已知正四面体 S - ABC 的外接球表面积为6p ，则正四面体 S - ABC 的
体积为（ ）
A 2 2 B 2 3
2
． ． C． D 3 2．
3 3 3 4
【变式 2-2】如图所示，正四面体 ABCD中, E 是棱 AD 的中点, P 是棱 AC 上一动点，BP + PE 的最小值为
14 ，则该正四面体的外接球表面积是（ ）
A．12p B．32p C．8p D． 24p
题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型
【典例 3-1】（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体 ABCD 中， AB = CD = 2 5 ，
AC = BD = 29 ， AD = BC = 41 ，则四面体 ABCD 外接球的体积为（ ）
A 45π B 15 5π C 45 5π． ． ． D． 24 5π
2 2
【典例 3-2】在三棱锥 S - ABC 中， SA = BC = 5， SB = AC = 41， SC = AB = 34 ，则该三棱锥的外接球
表面积是（ ）
A．50π B．100π C．150π D． 200π
【变式 3-1】（2024·四川凉山·二模）在四面体 A - BCD中， AB = CD = 7, AD = BC = 29, AC = BD = 2 7 ，
则四面体 A - BCD外接球表面积是（ ）
256
A．64π B．32π C． 256π D． π
3
题型四：外接球之直棱柱模型
【典例 4-1】已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上，若
AB = 3, AC =1, BAC = 60°, AA1 = 2，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
40π
A． B 40 30π 320 30π． C． D． 20π
3 27 27
【典例 4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的 6 个顶点都在球O的表面上，若
AB = AC = 1, AA = 4 BAC 2π1 ， = ，则球O的表面积为（3 ）
A．16π B． 20π C． 28π D．32π
【变式 4-1】已知正六棱柱 ABCDEF — A1B1C1D1E1F1的每个顶点都在球 O 的球面上，且 AB = 3， AA1 = 4，
则球 O 的表面积为（ ）
A． 42π B． 48π C．50π D．52π
【变式 4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长
为 3，侧棱长为 4，则其外接球的表面积为（ ）
A． 25p B．34p C．68p D．100p
题型五：外接球之直棱锥模型
π
【典例 5-1】（2024·高三·辽宁大连·期中）在三棱锥 A - BCD中， AD ^ 平面BCD， ABD + CBD = ，
2
BD = BC = 2，则三棱锥 A - BCD外接球表面积的最小值为 .
【典例 5-2】《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑” P - ABC 中，
ABC ABC πPA ^平面 ，PA = AB， = ， AB + BC = 6 ，则“鳖臑” P - ABC 外接球体积的最小值为 ．
2
【变式 5-1】（2024·高三·贵州·开学考试）在三棱锥P - ABC 中， AB = BC =10， ABC =120° ，D 为 AC
的中点，PD ^平面 ABC，且 PD = 15，则三棱锥P - ABC 外接球的表面积为 ．
【变式 5-2】（2024·河南开封·三模）在三棱锥 P - ABC 中， PA = AB， PA ^平面 ABC， ABC
π
= ，
2
AB + BC = 6 ，则三棱锥P - ABC 外接球体积的最小值为（ ）
A．8 6π B．16 6π C． 24 6π D．32 6π
题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型
【典例 6-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台 ABC - A1B1C1的上、下底面边长分别为 3， 2 3 ，
且侧棱与底面所成角的正切值为 3，则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A．9π B．10 2π C．10 3π D． 20π
【典例 6-2】（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥 A - BCD中，BC = CD = DB = 2 ， AB = AC = AD = 3，
则三棱锥 A - BCD的外接球表面积为（ ）
27π 27π 27π
A． B．9π C． D．
2 5 4
【变式 6-1】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为 2 3,4 3 ，体积为 42 3 ，
则该正三棱台的外接球表面积为（ ）
A． 20π
80
B． π C．80π D 160 5．
3 π3
【变式 6-2】（2024·黑龙江·二模）已知正四棱锥P - ABCD 的侧棱长为 2，且二面角P - AB - C 的正切值为
6 ，则它的外接球表面积为（ ）
16 π 28A． B． 6π C．8π D． π
3 3
题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型
【典例 7-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥P - ABC 中，PA = PC = AB = BC = AC = 2 3 ，
PB = 3 3，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． 48π B．12π C． 27π D． 28π
【典例 7-2】（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥 P - ABC 中， PA = PB = PC = 2 3 ， AB = 2AC = 6，
BAC π= ，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
3
【变式 7-1】在三棱锥 S - ABC 中， SA = SB = CA = CB = AB = 2，二面角 S - AB - C 的大小为60°，则三棱
锥 S - ABC 的外接球的表面积为 ．
【变式 7-2】已知三棱锥P - ABC 的各侧棱长均为 2 3 ，且 AB = 3, BC = 3, AC = 2 3 ，则三棱锥P - ABC
的外接球的表面积为 .
题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型
【典例 8-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为 1，高为 2，则该圆锥的外接球表面积为
（ ）
25
A． π
25 25
B． π C． π D 25． π
8 6 4 2
【典例 8-2】若一个圆柱的底面半径为 1，侧面积为10π，球O是该圆柱的外接球，则球O的表面积为 ．
【变式 8-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为O1，半径为 r ，下底面圆心为O2，半径为
uuuur uuuur
2r ，高为 h，若该圆台的外接球球心为O
h
，且O1O = 2OO2 ，则 =（ ）r
A． 3 B．3 C． 2 D． 2
【变式 8-2】（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为
500π
3和 4，球的体积为 ，则该圆台的侧面积为（
3 ）
A． 60π B．75π C．35π D．35 2π
题型九：外接球之垂面模型
【典例 9-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，VABC 是边长为 4 的正三角形，D 是 BC 的中点，沿 AD 将
VABC 折叠，形成三棱锥 A - BCD．当二面角B - AD - C 为直二面角时，三棱锥 A - BCD外接球的体积为
（ ）
A 5π B 20π C 5 5π． ． ． D 20 5π．
6 3
【典例 9-2】如图，在三棱锥P - ABC 中， ACB = 60°， 2AC = BC = PB = PC ，平面PBC ^平面 ABC ，
D是BC 的中点， PD = 4 3 ，则三棱锥P - ACD 的外接球的表面积为（ ）
160π
A． B． 40π
3
208π
C． D．80π
3
【变式 9-1】（2024·江西鹰潭·三模）在菱形 ABCD中， AB = 2 ， AC = 2 3，将VABC 沿对角线 AC 折起，
使点 B 到达B 的位置，且二面角B - AC - D 为直二面角，则三棱锥 B - ACD的外接球的表面积为（ ）
A．5π B．16π C． 20π D．100π
【变式 9-2】（2024·四川·三模）如图，在梯形 ABCD中， AB∥CD, AB = 4, BC = CD = DA = 2，将VACD沿
对角线 AC 折起，使得点D翻折到点 P ，若面PAC ^面 ABC ，则三棱锥P - ABC 的外接球表面积为（ ）
A．16π B． 20π C． 24π D．32π
【变式 9-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）在三棱锥 A - BCD中，已知 AC ^ BC, AC = BC = 2, AD = BD = 6 ，
且平面 ABD ^平面 ABC，则三棱锥 A - BCD的外接球表面积为（ ）
A．8π B．9π C．10π D．12π
题型十：外接球之二面角模型
π
【典例 10-1】在三棱锥 A - BCD 中，二面角 A - BD - C 的大小为 ， BAD = CBD ，BD = BC = 2，则
3
三棱锥外接球表面积的最小值为 ．
【典例 10-2】如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA = PB = 5 ，CA ^ AB ， AB = AC = 2，二面角 P - AB - C 的
大小为120°，则三棱锥P - ABC 的外接球表面积为 .
【变式 10-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥D - ABC 中， AB = 4, AC = 3, BC = 5，三角形DBC 为正三
角形，若二面角D - BC - A为120°，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
【变式 10-2】（2024·高三·河南·期末）在边长为 1 的菱形 ABCD中 BAD = 60°，将DABD 沿BD折起，使
二面角 A - BD - C 的平面角等于120°，连接 AC ，得到三棱锥 A - BCD，则此三棱锥 A - BCD外接球的表
面积为 .
题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型
【典例 11-1】（2024·山东·模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形 ABCD，且
AC = BC 1= AD =1， AC ^ AD，现将VACD沿 AC 折起，使得点D到达点 P 处，且二面角P - AC - B 的
2
大小为 60°，连接 BP，如图②，若三棱锥 P - ABC 的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． 4π B．5π C． 6π D．7π
【典例 11-2】（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥P - ABC 的外接球为球O，PC 为球O的直径，且
PC = 2，PA = PB = 3 ， AB =1，则三棱锥P - ABC 的体积为 .
【变式 11-1】已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球O的球面上， SC 是球O的直径.若平面 SCA ^ 平面
8
SCB ， SA = AC ， SB = BC ，三棱锥 S - ABC 的体积为 ，则球O的体积为（ ）3
20p 32p
A． 4p B． C．6p D．
3 3
1
【变式 11-2】（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥 S - ABC 的体积为 2 ， AC = BC =1，
ACB =120°，若 SC 是其外接球的直径，则球的表面积为（ ）
A． 4p B．6p C．8p D．16p
题型十二：外接球之共斜边拼接模型
【典例 12-1】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面是菱形，PB ^ 底面 ABCD， O是对角线 AC 与 BD的交点，
p
若PB =1， APB = ，则三棱锥P - BOC 的外接球的体积为（ ）
3
2p 4p
A B C 5p． ． ． D．2p3 3 3
【典例 12-2】已知三棱锥P - ABC 中，PA = 1，PB = 3，PC = 5 ， AB = 2 2 ，CA = CB = 2 ，则此三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
14p 28p
A． B． C．9p D．12p
3 3
【变式 12-1】在三棱锥 A - SBC 中， AB = 10, ASC = BSC
p
= , AC = AS, BC = BS 若该三棱锥的体积为
4
15
，则三棱锥 A - SBC 外球的体积为（ ）
3
A．p
p
B． C．
3 5p
D． 4 3p
题型十三：外接球之坐标法模型
【典例 13-1】空间直角坐标系O- xyz中， A( 2,0,0), B(0,3,0),C(0,0,5), D( 2,3,5), 则四面体 ABCD 外接球体积
是（ ）
A． 25p B．36p
108
C． p D． 288p3
【典例 13-2】（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥 A - BCD中，
AD ^ AB, AB = AD = 2,VACD为等边三角形，三棱锥 A - BCD 2的体积为 3 ，则三棱锥 A - BCD外接球的表
面积为 .
【变式 13-1】如图①，在RtVABC 中，C p= ， AC = BC = 22 ，D，E 分别为 AC ， AB 的中点，将VADE
沿DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1D ^ CD，如图②.若 F 是 A1B 的中点，则四面体FCDE 的外接球体积是
（ ）
A．2p B 2． p C 2 2． p D． p
3 6 12
题型十四：外接球之空间多面体
【典例 14-1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将
正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如
图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A．16π B．9π C．8π D．12π
【典例 14-2】（2024·广西贺州·一模）半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的
多面体．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有
十四个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面
体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过 A，B，C 三点的截面面积为6 3 ，则其外接球的
表面积为（ ）
A．8π B．10π C．12π D．16π
【变式 14-1】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产
生的多面体.如图所示，将棱长为 3 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为 1 的
截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 .
题型十五：与球有关的最值问题
【典例 15-1】（2024·河南·模拟预测）在四棱锥V - ABCD AB 2BC 14中，若 = = CD 3= DA =1，其中
7 3
VVBD 是边长为 2 的正三角形，则四棱锥V - ABCD 外接球表面积的最小值为（ ）
32 3π 16π 16πA． B． C． D． π
27 9 3
【典例 15-2】在VABC 中，BC = 6， AB + AC = 8，E，F，G 分别为三边BC ，CA， AB 的中点，将
VAFG ，VBEG，△CEF 分别沿 FG ，EG ，EF 向上折起，使得 A，B，C 重合，记为 P ，则三棱锥
P - EFG的外接球表面积的最小值为（ ）
15π 17π 19π 21π
A． B． C． D．
2 2 2 2
【变式 15-1】（2024·高三·山东青岛·期中）如图，已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的底面是等腰直角三角形，
AA1 = 2， AC = BC =1，点D在上底面 A1B1C1（包括边界）上运动，则三棱锥D - ABC 外接球表面积的最
大值为（ ）
81π 243π
A． B． 6π C． D．
16 2 6π64
【变式 15-2】（ 2024·浙江 ·模拟预测）在三棱锥 D - ABC 中， AB = BC = 2， ADC = 90o，二面角
D - AC - B的平面角为30o，则三棱锥D - ABC 外接球表面积的最小值为（ ）
A．16 2 3 -1 p B．16 2 3 - 3 p
C．16 2 3 +1 p D．16 2 3 + 3 p
题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型
【典例 16-1】棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1的内切球的球心为O，则球O的体积为（ ）
2 p 4A． B． p 8C．2p D． p
3 3 3
【典例 16-2】在正三棱柱 ABC - A B C 中，D 是侧棱BB 上一点，E 是侧棱CC 上一点，若线段
AD + DE + EA 的最小值是 2 7 ﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接
球表面积为（ ）
A．4π B．5π C．6π D．8π
【变式 16-1】若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为
（ ）
A． 2 :1 B．3: 2 C．7 : 3 D．7 : 4
【变式 16-2】（2024·高三·辽宁锦州·开学考试）已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表
面积为 40π ，则该三棱柱的体积为（ ）
A．6 6 B．12 6 C．6 10 D．12 10
题型十七：内切球之正四面体模型
【典例 17-1】已知某棱长为 2 2 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
4π
A． 4π B． 2π C． D． π
3
【典例 17-2】已知正四面体的棱长为12，则其内切球的表面积为（ ）
A．12p B．16p
C． 20p D． 24p
【变式 17-1】边长为1的正四面体内切球的体积为（ ）
A 6π
π
B 2 C D 6π． ． ． ．
8 12 6 216
题型十八：内切球之棱锥模型
【典例 18-1】（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为SF6 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃
的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，
硫原子位于正八面体的中心，6 个氟原子分别位于正八面体的 6 个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为
m，则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
2
A πm 2πm
2
． πm2 B． 2πm2 C． D．
3 3
P ABCD 128【典例 18-2】若正四棱锥 - 体积为 ，内接于球 O，且底面 ABCD过球心 O，则该四棱锥内切
3
球的半径为（ ）
A．2( 3 -1) B．4 C． 2 3 D． 2
【变式 18-1】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 A - BCD中， AB ^
平面BCD，BC ^ CD，且 AB = BC = CD =1，则其内切球表面积为（ ）
A．3π B． 3π C． 3- 2 2 π D． 2 -1 π
【变式 18-2】已知四棱锥P- ABCD的各棱长均为 2，则其内切球表面积为（ ）
A． (8 - 2 3)π B． (8 - 4 3)π
C． (8 - 6 3)π D． (8 - 3 3)π
题型十九：内切球之圆锥、圆台模型
【典例 19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为 3，其内切球表面积为12π，则该圆锥的侧面
积为（ ）
A．9 3π B．18π C．18 3π D． 27π
【典例 19-2】（2024·广东梅州·一模）某圆锥的底面直径和高均是 2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均
相切）的半径为（ ）
A 5 +1． B 5 -1．
2 2
C 3 +1 3 -1． D．
2 2
【变式 19-1】（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为 2 ，下底面半径为 2 2 的圆台存在内
切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
A．14 6π B．56π C 14 6π
56π
． D．
3 3
题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型
【典例 20-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其
S1
所有棱都相切）的表面积分别为 S1, S2 ，则 =S ．2
【典例 20-2】已知球O1 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球O2 ，则球O1 与球O2 的表面积之
比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C． 2 : 3 D． 3 : 2
【变式 20-1】已知正三棱柱 ABC - A1B1C1的体积为18，若存在球O与三棱柱 ABC - A1B1C1的各棱均相切，
则球O的表面积为 .
【变式 20-2】已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积为 18，若存在球 O 与三棱柱 ABC - A1B1C1 的各棱均相切，
则球 O 的表面积为（ ）
A．8p B．12p C．16p D．18p
题型二十一：棱切球之正四面体模型
【典例 21-1】已知某棱长为 2 2 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比
为（ ）
π π
A B C 3π 2π． ． ． D．
2 3 3 2
【典例 21-2】所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为
（ ）
1 1 1 1
A． B． 3 3 C． D．27 2 2 8
【变式 21-1】球与棱长为3 2 的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A．6p B．18p C．9p D．10p
题型二十二：棱切球之正棱锥模型
3
【典例 22-1】（2024·四川乐山·一模）若一个正三棱锥底面边长为 1，高为 ，求与该三棱锥 6 条棱都相
3
切的球的表面积为 .
【典例 22-2】在正三棱锥P - ABC 中， AB = 6，PA = 4 3 ，若球 O 与三棱锥P - ABC 的六条棱均相切，
则球 O 的表面积为 ．
【变式 22-1】正三棱锥P - ABC 的底面边长为 2 3 ，侧棱长为 2 2 ，若球 H 与正三棱锥所有的棱都相切，
则这个球的表面积为（ ）
17 9
A． p B． (44 -16 6)p C． p D．32p
4 2
题型二十三：棱切球之台体、四面体模型
【典例 23-1】已知四面体 A - BCD中， AB ^ AC ， AB ^ AD ， AC ^ AD， AB = AC = AD = 2，球心在该四
面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
4 3 32 3 3 3A． π 2 -1 B． π 2 1 4 32- C． π 2 +1 D． π3 3 3 3 2 +1
【典例 23-2】（2024·浙江宁波·二模）在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4, A1B1 = 2, AA1 = 3 ，若球O
与上底面 A1B1C1D1以及棱 AB,BC,CD,DA均相切，则球O的表面积为（ ）
A．9π B．16π C． 25π D．36π
题型二十四：多球相切问题
【典例 24-1】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相
切，若 AB =12，则该模型中一个小球的体积为（ ）
3π
A 3π B C 6π D 9 6π． ． ． ．2 16
【典例 24-2】已知正四面体的棱长为 12，先在正四面体内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使
得球O2与球O1及正四面体的三个侧面都相切，则球O2的体积为（ ）
A． 6π B． 2 3π C．2 2π D． 3π
【变式 24-1】棱长为 2 3 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则
这样一个小球的表面积最大为（ ）
π
A． B． π C．
2 2π
D． 3π
【变式 24-2】（2024·高三·河南新乡·开学考试）已知体积为 3 的正三棱锥 P-ABC，底面边长为 2 3 ，其内
切球为球 O，若在此三棱锥中再放入球O ，使其与三个侧面及内切球 O 均相切，则球O 的半径为（ ）
A 3
1
． B C 2． ． D 3．
3 9 3 9
1．（2024·重庆·三模）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1的外接球表面积为16π, ABC = 90°, AB = BC = 2 ，则该
三棱柱的体积为（ ）
A．2 B． 3 C．4 D． 2 3
O O 2π 104π2．（2024·安徽·三模）已知圆台 1 2 的上、下底面积分别为 ，18π ，体积为 ，线段 AB ，CD分别3
为圆台O1O2 上、下底面的两条直径，且 A，B，C，D 四点不共面，则四面体 ABCD的外接球表面积为（ ）
A． 48π B．72π C．96π D．144π
3．在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AA1 = 2， AB =1， AC = 3 ， BAC =150° ，该直三棱柱的外接球表面积
为（ ）
A．16π B． 29π C．32π D．36π
4．（2024·高三·四川成都·开学考试）边长为 1 的正方体的外接球表面积为（ ）
3
A． π B．3π C． π
π
D．
4 4
5．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥P - ABC 中，PA = 3 ， PB = PC = 2，底面 ABC 是边长为 1 的正
三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．3π
13π
B． C． 4π D． 6π
3
6．已知四面体 ABCD的体积为 3，从顶点 B 出发的三条棱BA, BC, BD两两垂直，若BA = 4，则该四面体外
接球表面积的最小值为（ ）
125 125
A． 25π B．50π C． π D． π
6 3
7．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥 A - BCD中， AD ^ 平面 ABC ， BAC = 60°， AB =1， AC = 2，
AD = 4，则三棱锥 A - BCD外接球的表面积为（ ）
A．10π B． 20π C． 25π D．30π
1 π
8．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥 A - BCD中， AB = AD = 2 3,cos ABC = - , ABD = ，若△BCD是
8 3
等边三角形，则三棱锥 A - BCD的外接球的体积是（ ）
A 28 7
32
． π B．8 6π C 20 5． π D． π
3 3 3
9．（2024·陕西宝鸡·三模）VABC 与△ABD 都是边长为 2 的正三角形，沿公共边 AB 折叠成三棱锥且CD长
为 3，若点A ， B ，C ，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
13 π 208π 112π 52A． B． C． D． π
9 9 3 9
2
10．已知三棱锥 S - ABC 中， SB ^平面 ABC ，若 SB = 4， AB = 2 ， BC = 5 ， cos ABC = ，则三棱锥
5
S - ABC 的外接球表面积为（ ）
A．39p B． 45p C． 43p D． 41p
11．（2024·四川自贡·二模）在VABC 中， AB = AC = 2，BC = 2 3 ，D为BC 的中点，将VACD绕 AD 旋
转至 APD，使得 BP = 3，则三棱锥P - ABD 的外接球表面积为（ ）
A 8 2π B 5 5p． ． C．5π D．8π
3 6
12．正四棱锥P - ABCD 的底面边长为4 2 ，PA=4 5则平面 PCD截四棱锥P - ABCD 外接球所得截面的
面积为（ ）.
100p 50p 200p 100p
A． B． C． D．
9 3 9 3
13．（2024·河南开封·三模）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，P 为棱 A1D1的中点，则四棱锥 P－
ABCD 的外接球表面积为（ ）
3p 41p 41pA． B．3p C． D．
2 16 64
14．（2024·陕西咸阳·二模）如图，四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD为边长为 4的正方
形，PA = 5，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A 125 2π． B． 48π C．75π D．57π
3
15．在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，VABC 为等边三角形，若三棱柱 ABC - A1B1C1的体积为3 3，则该三棱
柱外接球表面积的最小值为（ ）
A．12p B．6p C．16p D．8p
16．（2024·高三·四川成都·开学考试）在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD为等腰梯形，PB ^ 底面 ABCD .
若PB = AB = CD = AD =1， BC = 2，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．3π B． 4π C．5π D． 6π
17．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱 ABC - A1B1C1的侧面积为 36，则与三棱柱 ABC - A1B1C1各棱均相
切的球的表面积为（ ）
A．8π B．16π C．32π D． 48π
18．棱长为 2 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的
最大半径为（ ）
A 3． B 2 6 6． C． D．
3 6 12 6
19．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1存在内切球，若 AB = 3, BC = 4, AB ^ BC ，则该三棱柱
外接球的表面积为（ ）
A． 26π B． 27π C． 28π D． 29π
20．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八
面体，则该正八面体的内切球表面积为（ ）
π 4π
A． B． π C． D． 4π
6 3
21．已知正三棱锥V - ABC 中，侧面与底面所成角的正切值为 2 ， AB = 6，这个三棱锥的内切球和外接
球的半径之比为（ ）
2 3 -1A B 3 -1 2 1． ． C． D．
3 3 3 3
22．（多选题）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，
则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥PO的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO的底面直径为 6，则
（ ）
A．设圆锥的轴截面三角形为VPAB ，则其为等边三角形
B．设内切球的半径为 r1 ，外接球的半径为 r2 ，则 r2 = 2r1
V1 27C．设圆锥的体积为V1，内切球的体积为V2，则 =V2 8
3π
D．设 S ,T 是圆锥底面圆上的两点，且 ST = 3，则平面PST 截内切球所得截面的面积为
5
23．（多选题）（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为 P ，其轴截面VPAB 是边长为 2 的为等边三角
形，球O内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），Q是球O与圆锥母线 PB的交点，M 是底面圆弧上的动
点，则（ ）
A 4 3．球O的体积为 π
27
B 3．三棱锥 A - QBM 体积的最大值为
3
C．MA + MQ 的最大值为 3
π
D．若M 为 AB 中点，则平面PMQ截球O的截面面积为 7

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