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重难点突破 02 原函数与导函数混合还原问题
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳总结 ...................................................................................................................................3
题型一：利用 xn f (x) 构造型...................................................................................................................................3
f (x)
题型二：利用 n 构造型 ......................................................................................................................................4x
题型三：利用enx f (x) 构造型 ..................................................................................................................................7
f (x)
题型四：用 nx 构造型 ..........................................................................................................................................9e
题型五：利用sin x 、 tan x 与 f (x) 构造型 ......................................................................................................11
题型六：利用cos x 与 f (x) 构造型 .....................................................................................................................14
题型七：复杂型：en 与 af (x) + bg(x) 等构造型 .............................................................................................16
题型八：复杂型： (kx + b) 与 f (x) 型 ...............................................................................................................18
题型九：复杂型：与 ln(kx + b) 结合型 ...............................................................................................................20
题型十：复杂型：基础型添加因式型 .....................................................................................................................21
题型十一：复杂型：二次构造 .................................................................................................................................23
题型十二：综合构造 .................................................................................................................................................25
题型十三：找出原函数 .............................................................................................................................................28
03 过关测试 .........................................................................................................................................31
1、对于 xf (x) + f (x) > 0 (< 0)，构造 g(x) = x × f (x) ，
2、对于 xf (x) + kf (x) > 0 (< 0) ，构造 g(x) = xk × f (x)
3、对于 x × f (x) - f (x) f (x)> 0 (< 0)，构造 g(x) = ，
x
4 x f (x) kf (x) 0 ( f (x)、对于 × - > < 0) ，构造 g(x) =
xk
5、对于 f (x) + f (x) > 0 (< 0)，构造 g(x) = ex × f (x) ，
6、对于 f (x) + kf (x) > 0 (< 0) ，构造 g(x) = ekx × f (x)
7、对于 f (x) f (x) 0 ( 0) g(x) f (x)- > < ，构造 = ，
ex
8 f (x) f (x)、对于 - kf (x) > 0 (< 0) ，构造 g(x) =
ebx
9、对于 sin x × f (x) + cos x × f (x) > 0 (< 0)，构造 g(x) = f (x) × sin x ，
10、对于 sin x × f (x) - cos x × f (x) > 0 (< 0)，构造 g(x) f (x)=
sin x
11、对于 cos x × f (x) - sin x × f (x) > 0 (< 0)，构造 g(x) = f (x) × cos x ，
12、对于 cos x × f (x) + sin x × f (x) > 0 ( f (x)< 0)，构造 g(x) =
cos x
13、对于 f (x) - f (x) > k (< 0) ，构造 g(x) = ex[ f (x) - k]
14、对于 f (x) ln x f (x)+ > 0 (< 0)，构造 g(x) = ln x × f (x)
x
15、 f (x) + c = [ f (x) + cx] ； f (x) + g (x) = [ f (x) + g(x)] ； f (x) - g (x) = [ f (x) - g(x)] ；
f 16 (x)g(x) - f (x)g
(x) f (x)
、 f (x)g(x) + f (x)g (x) = [ f (x)g(x)] ； 2 = [ ] ．g (x) g(x)
题型一：利用 xn f (x) 构造型
【典例 1-1】函数 f x 是定义在区间 (0, + ) 2上的可导函数，其导函数为 f (x) ，且满足 f x + f x > 0，
x
x + 2023 f x + 2023 2 f 2
则不等式 < 的解集为（ ）
2 x + 2023
A． x | x > -2021 B． x | x < -2021
C． x | -2023 < x < 0 D． x | -2023 < x < -2021
【答案】D
【解析】根据题意， g x = x2 f (x), x > 0，则导函数 g x = x2 f x + 2xf x ，
2
函数 f x 在区间 0, + 上，满足 f x + f x > 0 2，则有 x f x + 2xf x > 0，
x
所以 g x > 0，即函数 g(x)在区间 0, + 上为增函数，
x + 2023 f x + 2023 2 f 2
< x + 2023 2 f x + 2023 < 22 f 2 ，
2 x + 2023
所以 g x + 2023 < g(2)，
则有0 < x + 2023 < 2 ，
解得-2023 < x < -2021，
即此不等式的解集为 x | -2023 < x < -2021 .
故选：D
【典例 1-2】（2024·全国·模拟预测）定义在R 上的函数 f (x) 的导函数是 f (x),3 f (x) + xf (x) < 0，函数
y = f (x +1) + 2022为奇函数，则不等式 x3 f (x) + 2022 > 0的解集为（ ）
A． (- ,1) B． (- , -1) C． (1, + ) D． (-1, + )
【答案】A
【解析】由题意知3 f (x) + xf (x) < 0，
设 g(x) = x3 f (x) + 2022，则 g (x) = 3x2 f (x) + x3 f (x) = x2 3 f (x) + xf (x) 0，
仅当 x = 0时，等号成立，所以 g(x)单调递减．
又因为函数 y = f (x +1) + 2022为奇函数，所以 f (1) + 2022 = 0，即 g(1) = 0，
故由g( x ) > g(1)可得 x <1，
所以不等式 x3 f (x) + 2022 > 0的解集为 (- ,1)，
故选：A
【变式 1-1】设函数 f x 是定义在 (- ,0)上的可导函数，其导函数为 f x ，且有 2 f x + xf x > 0，则
不等式 (x + 2023)2 f (x + 2023) - 4 f (-2) < 0 的解集为（ ）
A． -2023, -2021 B． -2025,0
C． -2025, -2021 D． -2025, -2023
【答案】D
【解析】由 2 f (x) + xf (x) > 0, (x < 0)，得 2xf (x) + x2 f (x) < 0，即 éx2 f (x)ù

< 0，
令 g(x) = x2 f (x)，则当 x < 0 时，得 g x < 0，即 g x 在 (- ,0)上是减函数，
∴ g (x + 2023) = (x + 2023)2 f (x + 2023) ， g -2 = 4 f -2 ，
即不等式等价为 g x + 2023 - g -2 < 0，
∴ g x + 2023 < g -2 ，得 x + 2023 > -2，即 x > -2025，
又 x + 2023 < 0，解得 x < -2023，故-2025 < x < -2023．
故选：D.
【变式 1-2】（2024·江西南昌·三模）已知函数 f (x) 的定义域为R ，且 f 2 = -1，对任意 x R ，
f (x) + xf (x) < 0 ，则不等式 x +1 f x +1 > -2的解集是（ ）
A． - ,1 B． - , 2 C． 1, + D． 2, +
【答案】A
【解析】设 g x = xf x ，则 g 2 = 2 f (2) = -2 ，
Q对任意 x R ， f (x) + xf (x) < 0 ，\ g (x) = f (x) + xf (x) < 0 恒成立，即 g(x)在R 上单调递减，
由 x +1 f x +1 > -2可得 g(x +1) > g(2)，\ x +1 < 2 ，解得 x <1，即解集为 - ,1 .
故选：A
f (x)
题型二：利用 n 构造型x
【典例 2-1】已知函数 f x 的定义域为 - ,0 ， f -1 = -1，其导函数 f x 满足 xf x - 2 f x > 0，则
不等式 f x + 2025 + x + 2025 2 < 0的解集为（ ）
A． -2026,0 B． -2026, -2025
C． - , -2026 D． - , -2025
【答案】B
f x xf
x - 2 f x
【解析】根据题意可令 g x = 2 x < 0 g x = 3 < 0 ，x x
f x所以 g x = 2 在 - ,0 上单调递减，x
f x + 2025
则原不等式等价于 < -1 ，x + 2025 2
f x + 2025
由 g x + 2025 = 2 < -1 = g -1 0 > x + 2025 > -1 ，x + 2025
解之得 x -2026, -2025 .
故选：B
【典例 2-2】已知函数 f x 是定义在 - ，0 U 0，+ 的奇函数，当 x 0，+ 时， xf x < f x ，则不
等式5 f 2 - x + x - 2 f 5 < 0的解集为（ ）
A． - ，- 3 3，+ B． -3，0 0，3
C． -3，0 0，7 D． - ，- 3 2，7
【答案】D
f x 【解析】令 g x = ，
x
Q 当 x 0，+ 时， xf x < f x ，
\ 当 x 0 ，+ 时， g x xf x - f x = < 0 ，
x 2
\ g x 在 0，+ 上单调递减；
又 f x 为 - ，0 U 0，+ 的奇函数，
f -x - fg x x f x \ - = = = = g x ，即 g x 为偶函数，
-x -x x
\ g x 在 - ，0 上单调递增；
又由不等式 5 f 2 - x + x - 2 f 5 < 0 得 5 f 2 - x < 2 - x f 5 ，
f 2 - x f 5
当 2 - x > 0 ，即 x < 2 时，不等式可化为 < ，即 g 2 - x < g 5 ，
2 - x 5
由 g x 在 0，+ 上单调递减得 2 - x > 5 ，解得 x < -3 ，故 x < -3 ；
f 2 - x f 5
当 2 - x < 0，即 x > 2 时，不等式可化为 > ，即 g 2 - x > g 5 = g -5 ，
2 - x 5
由 g x 在 - ，0 上单调递增得 2 - x > -5 ，解得 x < 7 ，故 2 < x < 7 ；
综上所述，不等式 5 f 2 - x + x - 2 f 5 < 0 的解集为： - ，- 3 2，7 ．
故选：D．
【变式 2-1】（多选题）已知函数 f x 为定义在 - ,0 U 0, + 上的奇函数，若当 x < 0 时，
xf x - f x < 0 ，且 f 1 = 0，则（ ）
A．2 f e > ef 2 B．当m < 2时， f m > mf 1
C．3 f -π + πf 3 < 0 D．不等式 f x > 0解集为 -1,0 1, +
【答案】ACD
f x
【解析】构造函数 g x = ，其中 x 0，
x
因为函数 f x 为定义在 - ,0 0, + 上的奇函数，则 f -x = - f x ，
f -x f x所以 g -x = = = g x ，故函数 g x 为偶函数，
-x x

当 x < 0 时， g x xf x - f x =
x2
< 0，
所以函数 g x 在 - ,0 上单调递减，在 0, + 上单调递增，
因为 f 1 = 0 fg 1 1 ，则 = = 0，则 g -1 = g 1 = 0 .
1
因为 e > 2，所以 g e > g 2 f e f 2 ，即 > ， 2 f e > ef 2 ，故 A 正确；
e 2
不妨取m =1，则 f 1 = 0，mf 1 = 0，B 错误；
因为偶函数 g x 在 0, + 上单调递增，则 g -π = g π > g 3 ，
f -π f 3
即 > ，整理可得3 f -π + πf 3 < 0，C 正确；
-π 3
f x
当 x < 0

时，由 f x > 0可得 g x = < 0 = g -1 ，解得-1 < x < 0，
x
当 x > 0时，由 f x > 0 f x可得 g x = > 0 = g 1 ，解得 x >1 .
x
综上所述，不等式 f x > 0解集为 -1,0 1, + ，D 正确.
故选：ACD.
【变式 2-2】已知定义在R 上的函数 f (x) 满足： xf (x) - f (x) > 0，且 f 1 = 2 ，则 f ex > 2ex 的解集为
（ ）
A． 0, + B． ln 2,+ C． 1, + D． 0,1
【答案】A
g(x) f (x)【解析】设 = ， x > 0，
x
因为 xf (x) - f (x) > 0，
xf (x) - f (x)
所以 g (x) = 2 > 0，x
所以 g(x)在 (0, + )单调递增，
因为 f 1 = 2 ，
f (1)
所以 g(1) = = 2，
1
x
由 f ex > 2ex f (e )，且 ex > 0得 x > 2，e
x
则 g(ex ) f (e )= x > 2 = g(1)，e
所以 ex >1 = e0 ，又 y = ex 在 (0, + )单调递增，
所以 x (0,+ )，
故选：A．
题型三：利用enx f (x)构造型
【典例 3-1】设函数 f (x) 的定义域为 R， f (x) 是其导函数，若 f (x) + f (x) > 0， f (1) =1，则不等式
f (x) > e1-x 的解集是（ ）
A． (0, + ) B． (1, + )
C． (- ,0) D．( 0, 1)
【答案】B
【解析】构造函数 g(x) = f (x) ×ex ，则 g (x) = [ f (x) + f (x)]×ex > 0，
故 g(x)在 R 上单调递增， g(1) = e ，
f (x) > e1-x 可化为 g(x) > e = g(1) ，
故原不等式的解集为 (1, + )，
故选：B
1 1
【典例 3-2】已知定义在R 上的函数 h(x) 满足 2h(x) + h (x) > 0 且 h(1) = 2 ，则不等式 h(x) > 2x 的解集为e e
（ ）.
A． - , e2 B 2． e ,+ C． - ,1 D． 1, +
【答案】D
【解析】构造函数H (x) = h(x) ×e2x ，
则H (x) = h (x) ×e2x + 2h(x) ×e2x = e2x h (x) + 2h(x) ，
因为定义在R 上的函数 h(x) 满足 2h(x) + h (x) > 0 ，所以H (x) > 0，
所以H (x)在R 上单调递增，且H (1) = h(1)e2 =1，
1
所以不等式 h x > 2x 可化为 h(x) ×e2x >1，即H (x) > H (1)，所以 x >1，e
1
即不等式 h x > 2x 的解集为 1, + .e
故选：D.
【变式 3-1 】（ 2024 ·云南楚雄·一模）已知 f x 是 R 上的奇函数，且对任意的 x R 均有
f
xf x + > 0 1-x成立．若 f -1 = -1，则不等式 f x < 3 的解集为（ ）
ln 3
A． - , -1 B． - ,1 C． -1, + D． 1, +
【答案】B
f x
【解析】由 f x + > 0得 f x + f x ln 3 > 0．
ln 3
令 g x = 3x f x ，则 g x = 3x ln 3 × f x + f x > 0 ，
所以 g x 在R 上单调递增，
又 f -1 = -1， f x 为奇函数，
所以 f 1 =1， g 1 = 3 f 1 = 3，
f x < 31-x则 3x f x < 3 g x < g 1 x <1．
故选：B.
【变式 3-2】已知定义在R 上的可导函数 f x ，其导函数为 f x ，若 2 f x + f x > 0 ，且 f 1 = e ，则
e2x不等式 f x - e3 > 0的解集为（ ）
A． 1+ B． e, + C． - ,1 D． - , e
【答案】A
2x
【解析】构造函数 g x = e f x ，该函数的定义域为R ，
则 g x = 2e2x f x + e2x f x = e2x é 2 f x + f x ù > 0，
2
所以，函数 g x 在R 上为增函数，且 g 1 = e f 1 = e3 ，
e2x由 f x - e3 > 0 e2x可得 f x > e3 ，即 g x > g 1 ，解得 x >1 .
e2x 3所以，不等式 f x - e > 0的解集为 1+ .
故选：A.
f (x)
题型四：用 nx 构造型e
【典例 4-1】（2024·广东广州·三模）已知可导函数 f (x) 的导函数为 f (x)，若对任意的 x R ，都有
f x > f x +1，且 f (x) - 2024 x为奇函数，则不等式 f x - 2023e <1的解集为（ ）
A． (- ,0) B． (- , e) C． (e, + ) D． (0, + )
【答案】D
x x
f (x) -1 f (x) ×e - f (x) -1 e g (x) f (x) - f (x) +1【解析】设 g(x) = ，由题设条件，得 = = < 0
ex ex 2 ex ，
故函数 g(x)在R 上单调递减.
由 f (x) - 2024为奇函数，得 f (0) - 2024 = 0，得 f (0) = 2024，
所以 g(0) = f (0) -1 = 2023，
f x - 2023ex <1 f x -1不等式 等价于 x < 2023，即 g(x) < g(0)，e
又函数 g(x)在R 上单调递减，所以 x > 0，
x
故不等式 f x - 2023e <1的解集是 (0, + )．
故选：D．
【典例 4-2】（2024 4x·辽宁鞍山·二模）已知定义在 -2,2 上的函数 f x 满足 f x + e f -x = 0，且
f 1 = e2 ， f x 为 f x 的导函数，当 x 0,2 时， f x > 2 f x 2x，则不等式 e f 2 - x < e4 的解集为
（ ）
A． 1, + B． 1,2 C． 0,1 D． 1,4
【答案】D
f x
【解析】设 g x = 2x , 2 < x < 2，e
g x g x f x f -x 1+ - = 2x + -2x = 2x é f x + e
4x f -x ù = 0，
e e e
所以 g x 是奇函数.
当 x 0,2 时， f x > 2 f x ，
f x ×e2x - f x ×2e2x
则 g x f x - 2 f x =
e4x
= 2x > 0 ，e
所以 g x 在 0,2 上单调递增，则 g x 在 -2,2 上单调递增，
e2x f 2 - x < e4 f 2 - x f 1不等式 即 <1 = ，
e4-2x e2
ì-2 < 2 - x < 2
所以 í 1< x < 42 ， - x <1
e2x所以不等式 f 2 - x < e4 的解集为 1,4 .
故选：D
【变式 4-1】已知定义在 -2，2 上的函数 f x 满足 f (x) + e4x f (-x) = 0,f (1) = e2， f x 为 f x 的导函数，
2x 4
当 x 0，2 时， f x > 2 f x ，则不等式 e f 2 - x < e 的解集为（ ）
A． -1，1 B． -1，2
C． 1，4 D． 1，5
【答案】C
【解析】令 g(x)
f (x)
= 2 x ，e
则 f (x) + e4x f (-x) = 0，即 g(x) + g(-x) = 0，
故函数 g(x)是定义在R 上的奇函数，
x [0 2) f x > 2 f (x) g (x) f (x) - 2 f (x)当 , 时， ，则 = 2x > 0e ，
故 g(x)在[0 , 2) 上单调递增，在 (-2 , 0]上单调递增，
所以 g(x)在 -2,2 上单调递增，
f 1 = e2 g 1 f (1)又 ，则 = 2 = 1e ，
则不等式 e2x f (2 - x) < e4
f (2 - x)
，即 2(2-x) = g(2 - x) < 1 = g 1 e ，
ì-2 < 2 - x < 2
故 í ，解得1< x < 4．
2 - x <1
故选：C．
【变式 4-2】（2024·高三·江苏常州·期末）已知定义在R 上的函数 f x 的导数为 f x ， f 1 = e，且
对任意的 x满足 f x - f x < ex x，则不等式 f x > xe 的解集是（ ）
A． - ,1 B． - ,0 C． 0, + D． 1, +
【答案】A
f x f x - f x
【解析】构建 g x = x - x，则 g x = -1，e ex
f x - f x < ex f x - f x 因为 ，则 -1< 0，即 g x < 0x ，e
可知 g x 在R 上单调递减，且 g 1 = 0，
由 f x > xex f x 可得 x - x > 0，即 g x > g 1 ，解得 x <1，e
x
所以不等式 f x > xe 的解集是 - ,1 .
故选：A．
1
【变式 4-3】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知函数 f x 是函数 f x 的导函数， f 1 = ，对任意实
e
数 x f x - f x > 0 f xF x 1都有 ，设 = x ，则不等式F x < 2 的解集为（e ）e
A． - ,1 B． 1, +
C． 1,e D． e, +
【答案】B
fF x x

F fx x - f x 【解析】由 = x ，得 =e ex ，
因为 f x - f x > 0，则F x < 0，可知F x 在R 上单调递减，且F f 11 1= = ，
e e2
由不等式F x 1< 2 可得F x < F 1 ，解得 x >1，e
1
所以不等式F x < 2 的解集为 1, + .e
故选：B
题型五：利用sin x 、 tan x 与 f (x) 构造型
【典例 5-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为 R，其导函数为 f x ，若
f -x - f x x
= sin ，且当 x 0 时， 2 f x + cos x > 0，则 f 2x + π +1 > f x + sin x 2sin
x
+1
2 2 2 ÷
的解集
2 2 è
为（ ）
π
A． -π, ÷ B． - , -π U
π
, +

3 ÷è è 3
π, πC． - -

÷ D． - , -π U
π- ,+
è 3 ÷ è 3
【答案】C
x
【解析】由已知可推得， f x - f -x = -2sin .
2
令 g x x= f x + sin ，则 g -x = f -x + sin -x = f -x sin x- ，
2 2 2
所以 g x - g -x = f x + sin x x- f -x + sin = f x - f -x + 2sin x = 0，
2 2 2
所以， g x 为偶函数.
g x f x 1 cos x 1 又 = + = 2 f x
x
+ cos
2 2 2 2 ÷
，
è
x
因为当 x 0 时， 2 f x + cos > 0，
2
所以， g x > 0，所以 g x 在 - ,0 上单调递增.
又 g x 为偶函数，所以 g x 在 0, + 上单调递减.
由 f 2x + π 1 x x+ > f x + sin 2sin +1

2 2 ÷ 可得，è
f 2x + π +1- 2sin2 x > f x + sin x .
2 2
因为 g 2x 2x + π+ π = f 2x + π + sin = f 2x + π + cos x = f 2x π x+ +1- 2sin2 ，
2 2
所以， g 2x + π > g x .
因为 g x 在 0, + 上单调递减， g x 为偶函数，
所以有 2x + π < x ，
平方整理可得，3x2 + 4πx + π2 < 0，
解得-π
π
< x < - .
3
故选：C.
【典例 5-2】（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数 f x 的定义域为 0, π ，其导函数是 f x .
若对任意的 x 0, π 有 f x sinx - f x cosx < 0 π，则关于 x的不等式 f (x) > 2 f ( )sinx 的解集为（ ）
6
π π π
A． (0,
π) B． (0, ) C． ( , π) D． ( , π)3 6 3 6
【答案】B

【解析】令函数 g(x)
f (x) x (0, π) g (x) f (x)sin x - f (x) cos x= ， ，求导得 = < 0，
sin x sin2 x
π
π f (x) f ( )g(x) (0, π) f (x) > 2 f ( )sinx > 6因此函数 在 上单调递减，不等式 ，
6 sinx sin π
6
即 g(x) > g(
π) 0 x π，解得 < < ，
6 6
π
所以原不等式的解集为 (0, ) .
6
故选：B
【变式 5-1】已知定义在 R 上的函数 f (x) ，满足 f (x) = f (-x) - 2sin x ，且任意0 x1 < x2 时，有
f x1 + sin x1 - f x2 - sin x2 > 0 p成立，则不等式 f x +

÷ > f (x) + sin x - cos x 的解集为（ ）x1 - x2 è 2
A ． - ,
p p p p
÷ B

2 ．
, + C - , D
2 ÷ ． 4 ÷ ．
- , + ÷
è è è è 4
【答案】D
【解析】设 g(x) = f (x) + sin x ，则 g(-x) = f (-x) + sin(-x) ．
由 f (x) = f (-x) - 2sin x ，得 f (x) + sin x = f (-x) + sin(-x)，所以 g(x)为偶函数．
f x1 + sin x1 - f x2 - sin x
因为当 x 0 2时，有任意0 x1 < x2 时，有 > 0成立，x1 - x2
所以 g(x)在 0, + 上单调递增，
又 g(x)为偶函数，所以 g(x)在 (- ,0)上单调递减，
f p p p p因为 x + ÷ + cos x = f x + ÷ + sin x +

÷ > f (x) + sin x，即 g

x +

2 2 2 2 ÷
> g(x)，
è è è è
所以 x
p
+ > x p，解得 x > -2 ．4
故选：D．
【变式 5-2】已知函数 f x = f -x + 2sin 2x ，又当 x 0 时， f x 2，则关于 x 的不等式
f x π π f - x ÷ + 2 sin

4
2x -
4 ÷ 的解集为（ ）．è è
é πA ,
π
+ B é- ,+ ．
8 ÷
． 8 ÷
é π ,+ πC é． ÷ D． - ,+

4 4 ÷
【答案】A
【解析】由 f x = f -x + 2sin 2x ，
f x - sin 2x = f -x - sin -2x ，
设 g x = f x - sin 2x
所以 g x = g -x ，即 g x 为R 上的偶函数
当 x 0 时， g x = f x - 2cos 2x，
因为 f x 2，所以 g x 0
则 g x 在区间 0, + 上单调递增
所以 f x π f - x

÷ + 2 sin

2x
π
-
è 4 ÷ è 4
f x f π即 - x

÷ + sin 2x - cos 2x
è 4
f x - sin 2x f π x π π π即 - ÷ - sin
- 2x = f ÷ - x

÷ - sin 2

- x

è 4 ÷ è 2 è 4 è 4
等价于 g(x) g(
π
- x) ，
4
x π即 - x4
x π解得 ．
8
故选：A.
题型六：利用cos x 与 f (x) 构造型
【典例 6-1】（2024·安徽淮南·二模）定义在R 上的函数 f x 满足 f -x + f x + 2cos x = 0，当 x 0 时，
f x > sin x ，则不等式 f x + 2 cos x > f π - x 的解集为（ ）
A
π , π+ B - , C
π , π． ÷ ． ÷ ． -
D - , π
è 2 è 2 è 2 2 ÷
．

【答案】A
【解析】∵ f (-x) + f (x) + 2cos x = 0，
∴ f (-x) = - f (x) - 2cos x，
令 g(x) = f (x) + cos x，则 g(-x) = f (-x) + cos(-x) = - f (x) - 2cos x + cos x = - f (x) - cos x = -g(x)，
∴ g(x)在R 上为奇函数，
又∵当 x 0 时， f (x) > sin x，
∴当 x 0 时， g (x) = f (x) - sin x > 0，
∴ g(x)在[0, + ) 上单调递增，
又∵ g(x)在R 上为奇函数，
∴ g(x)在R 上单调递增，
又∵ f (x) + 2cos x > f (π - x) ，
∴ f (x) + cos x > f (π - x) - cos x，
又∵ f (π - x) - cos x = f (π - x) + cos(π - x)，
∴ g(x) > g(π - x)，
∵ g(x)在R 上单调递增，
∴ x > π - x
π
，解得： x > .
2
故选：A.
π π π
【典例 6-2
é
】偶函数 f x 定义域为 - ,2 2 ÷，其导函数为 f
x ，若对"x 0, 2 ÷ ，有è
π
f x cosx < f x sinx f成立，则关于 x的不等式 3 ÷2 f x è 的解集为 ．<
cosx
π π- ,- 【答案】 U
π π,
2 3 ÷ 3 2 ÷è è
【解析】令F x = cos x f x π π× π π ， x - ,2 2 ÷，因为 f x 定义域为 - ,2 2 ÷上的偶函数，è è
所以 f -x = f x ，则F -x = cos -x × f -x = cos x × f x = F x ，即F x 为偶函数，
又F x = cos x × f x - sin x × f x ，
é
因为对"x 0,
π
÷ ，有 f x cosx < f x sinx成立，所以当 x
π
é0, ÷时F x < 0， 2 2
é π π
即F x 在 0, F x - ,02 ÷上单调递减，则 在 2 ÷ 上单调递增， è
x π π
π π π
又
- , f ÷，所以 cos x > 0 ÷

2 2 ，则不等式 2 f x è 3 等价于
cos x × f x < cos ÷ f< 3 3 ÷ ，è è è cosx
ì x π >
即F x F π< ÷，即F x < F π 3 π π π π3 3 ÷，所以 í π π ，解得- < x < - 或 < x < ，è è - < x < 2 3 3 2
2 2
π π π π
所以不等式的解集为 - ,- ÷ U , ÷ .
è 2 3 è 3 2
π π
故答案为： - ,-

÷ U
π π
2 3
,
è è 3 2 ÷
π π
6-1 2024 f x - , 【变式 】（ ·四川成都·模拟预测）已知函数 的定义域为 ÷，其导函数是 f x .2 2 有è
f x cos x + f x sin x < 0 ，则关于 x的不等式 f (x) > 2 f
π
÷cos x的解集为 .
è 3
π , π 【答案】 - 2 3 ÷è
π π
【解析】依题意令 F (x)
f (x)
= ， x - , cos x ÷，è 2 2

F (x) f (x)cos x + f (x)sin x则 = cos2 x ，
π π
因为当- < x < 时， f x cos x + f x sin x < 0 ，
2 2
x π π 所以当 - , ÷时， F (x) < 0
è 2 2
，

∴ F (x)
π
- , π 在 2 2 ÷ 上单调递减，è
f π
f (x) > 2 f π cos x f (x)
3 ÷
则 ÷ 等价于 > è ，即 F (x) > F
π
3 π 3 ÷ ，è cos x cos è
3
ìx π

<
π π π π
∴ 3í ，解得- < x <

π π ，所以所求不等式的解集为
- , .
- < x < 2 3
2 3 ֏
2 2
π
故答案为： - ,
π
2 3 ֏
题型七：复杂型：en 与 af (x) + bg(x) 等构造型
【典例 7-1】已知可导函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，若对任意的 x R，都有 f (x) - f (x) >1．且 f (x) - 2022
为奇函数，则不等式 f (x) - 2021ex >1的解集为（ ）
A． - ,0 B． 0, + C． - , e D． e, +
【答案】A
fF x x -1【解析】根据题意，构造 = ，则 f x = F x ex +1x ，e
'
F ' (x) f (x) - f (x) +1且 = x < 0，故F x 在 R 上单调递减；e
又 f x - 2022为 R 上的奇函数，故可得 f 0 - 2022 = 0，
即 f 0 = 2022 ，则F 0 = 2021.
则不等式 f (x) - 2021ex >1等价于F x > 2021 = F 0 ，
又因为F x 是 R 上的单调减函数，故解得 x < 0 .
故选：A.
【典例 7-2】已知函数 f x 的导函数为 f x ，若对任意的 x R ，都有 f x > f x + 2 ，且 f 1 = 2022 ，
则不等式 f x - 2020ex-1 < 2的解集为（ ）
A． 0, 1+ B． - , ÷ C． 1, + D． - ,1
è e
【答案】C
fg x x - 2【解析】设函数 =
ex
，
f x ex - é f x - 2 x
ù e f xg x - f x + 2所以 = = ，因为 f x > f x + 2 ，
e2x ex
所以 f x - f x + 2 < 0，即 g x < 0，所以 g x 在R 上单调递减，因为 f 1 = 2022 ，
f 1 - 2g 1 2020所以 = = ，因为 f x - 2020ex-1 < 2 f x - 2 2020，整理得 x < ，e e e e
所以 g x < g 1 ，因为 g x 在R 上单调递减，所以 x >1 .
故选：C.
【变式 7-1】已知函数 f x 与 g x 定义域都为R ，满足 f x +1 g xx = x ，且有e
g x + xg x - xg x < 0， g 1 = 2e，则不等式 f x < 4的解集为（ ）
A． 1,4 B． 0,2 C． - , 2 D． 1, +
【答案】D
x x
x +1 g x f x g x e + x +1 g x e - x +1 g x e
x xg x + g x - xg x
【解析】由 f x = x 可得 = =e ex 2 ex .
而 g x + xg x - xg x < 0，∴ f x < 0，∴ f x 在 - , + 上单调递减，
又 g 1 = 2e，则 f 1 2 g 1 4e= 1 = = 4 ，e e
所以 f x < 4 = f 1 ，则 x >1，
故不等式 f x < 4的解集为 1, + ．
故选：D．
【变式 7-2】已知定义在 (-3,3) 上的函数 f (x) 满足 f (x) + e4x f (-x) = 0, f (1) = e2 , f (x) 为 f (x) 的导函数，当
x [0,3)时， f (x) > 2 f (x) ，则不等式 e2x f (2 - x) < e4 的解集为（ ）
A． (-2,1) B． (1,5) C． (1, + ) D．( 0, 1)
【答案】B
f x 【解析】令 g x = ，所以 f x = e2x g x ，因为 f x + e4x f -x = 02x ，所以e
e2x × g x + e4x ×e-2x g -x = 0，化简得 g x + g -x = 0，
所以 g x 是 -3,3 上的奇函数；

f x e
2x - 2e2x f x f x - 2 f xg x = 4x =e e2x
，
因为当0 x < 3时， f x > 2 f x ，
所以当 x 0,3 时， g x > 0，从而 g x 在 0,3 上单调递增，又 g x 是 -3,3 上的奇函数，所以 g x 在
-3,3 上单调递增；
f 1
2
考虑到 g 1 e= = =1 e2x，由 f 2 - x < e42 2 ，e e
2x 2 2-x
得 e e g 2 - x < e4 ，即 g 2 - x <1 = g 1 ，
-3 < 2 - x < 3,由 g x 在 -3,3 ì上单调递增，得 í 2 x 1, 解得1< x < 5， - <
2x
所以不等式 e f 2 - x < e4 的解集为 1,5 ，
故选：B.
题型八：复杂型： (kx + b) 与 f (x) 型
【典例 8-1】已知函数 f x 的定义域是（-5，5），其导函数为 f x ，且 f x + xf x > 2，则不等式
2x - 3 f 2x - 3 - x -1 f x -1 > 2x - 4 的解集是 .
【答案】 2,4
【解析】设 g x = xf x - 2x ，
则 g x = f x + xf x - 2 .
因为 f x + xf x > 2，
所以 g x > 0，
则 g x 是 -5,5 上的增函数.
不等式 2x - 3 f 2x - 3 - x -1 f x -1 > 2x - 4 等价于，
2x - 3 f 2x - 3 - 2 2x - 3 > x -1 f x -1 - 2 x -1 ，
ì-5 < 2x - 3 < 5,
即 g 2x - 3 > g x -1 ，则 í-5 < x -1 < 5,

2x - 3 > x -1,
解得 2 < x < 4 .
故答案为： 2,4
3 1
【典例 8-2】已知函数 f (x) 的定义域为R ， f ÷÷ = - ，若对于任意 x R 都有 f (x) + 4x > 0，则当
è 2 2
a (0, 2π)时，则关于a 的不等式 f (sina ) - cos 2a < 0的解集为（ ）
π , 5 π 0, π U 2 A． B． π,2π
è 6 6 ÷ 3 ÷ ÷ è è 3
π , 2 π π 5 C． 3 3 ÷
D． 0, ÷ U π,2π ÷
è è 6 è 6
【答案】B
【解析】由题意构造函数 g(x) = f (x) + 2x2 -1，则 g (x) = f (x) + 4x > 0，
\函数 g(x)在R 上为增函数，

f 3
1 2 3 3 3
÷÷ = -
1 3
，\ g
2 2 ÷÷
= f ÷÷ + 2 2 2 2 ÷÷
-1 = - + -1 = 0，
è è è è 2 2
又 f (sina ) - cos 2a < 0，

\ g(sina ) f (sina ) 3= + 2sin2 a -1 = f (sina ) - cos 2a < 0 = g 2 ÷÷ ，è
3 a (0, 2π) ∴a 0,
π 2
\sina < ，由 ，
2 3 ÷
U π,2π3 ÷è è
故选：B．
【变式 8-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 f（x）为定义在 R 上的偶函数，当 x 0, + 时，
f x > 2x， f 2 = 4，则不等式 xf x -1 + 2x2 > x3 + x 的解集为（ ）
A． -1,0 3,+ B． -1,1 U 3, +
C． - , -1 U 0,3 D． -1,3
【答案】A
【解析】因为 f x > 2x，所以 f (x) - 2x > 0 ，
构造函数F (x) = f (x) - x2 ，当 x (0,+ )时，F (x) = f (x) - 2x > 0，
所以函数F (x)在区间 (0, + )内单调递增，且F (2) = 0，
又 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，所以F (x)是定义在 R 上的偶函数，
所以F (x)在区间 (- ,0)内单调递减，且F (-2) = 0 ．
不等式 xf (x -1) + 2x2 > x3 + x整理可得： xf (x -1) + 2x2 - x3 - x > 0 ，
即 x[ f (x -1) - (x -1)2 ] > 0，当 x > 0时， f (x -1) - (x -1)2 > 0，则 x -1 > 2，解得 x > 3；当 x < 0 时，
f (x -1) - (x -1)2 < 0，则-2 < x -1< 0，
解得-1 < x <1，又 x < 0 ，所以-1 < x < 0．
综上，不等式 xf (x -1) + 2x2 > x3 + x的解集为 -1,0 3,+ ．
故选：A．
【变式 8-2】已知定义在 0, + 上的函数 f x 的导函数为 f x ，若 f x < 2，且 f 4 = 5，则不等式
f 2x > 2x+1 - 3的解集是（ ）
A． 0,2 B． 0,4 C． - , 2 D． - , 4
【答案】C
【解析】设 g x = f x -2x+3，则 g x = f x -2．
因为 f x < 2，所以 f x -2 < 0，即 g x < 0，所以 g x 在 0, + 上单调递减．
x x+1 x x x
不等式 f 2 > 2 - 3等价于不等式 f 2 - 2 2 + 3 > 0，即 g 2 > 0．
因为 f 4 = 5，所以 g 4 = f 4 -2 4+3= 0 x，所以 g 2 > g 4 ．
因为 g x 在 0, + 上单调递减，所以 2 x < 4 ，解得 x < 2．
故选：C．
题型九：复杂型：与 ln(kx + b) 结合型
【典例 9-1】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）若可导函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0时，
有 ln x
1
× f (x) + × f (x) < 0，则不等式 (x - 2) × f (x) > 0的解集为（
x ）
A． -2,0 B． 0,2 C． -2,2 D． 2, +
【答案】B
【解析】令F x = ln x × f x ， x 0, + ，
则F x 1= f x + ln x × f x ，
x
x 0 ln x f (x) 1当 > 时， × + × f (x) < 0，
x
故F x = ln x × f x 在 x 0, + 上单调递减，F 1 = ln1× f 1 = 0
则当 x > 0时， f x < 0 ，
因为可导函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，故 f 0 = 0，
当 x < 0 时， f x > 0
所以 (x - 2) × f (x) > 0 x - 2 < 0 ，解得 x < 2，
又 x 0, + ，故不等式 (x - 2) × f (x) > 0的解集为 0,2 .
故选：B
f x
【典例 9-2】（2024 ·陕西榆林·模拟预测）已知定义在 0, + 上的函数 f x 满足 f x - -1 > 0，且
x
f 1 =1，则不等式 f ex - x +1 ex > 0的解集为（ ）
A． 0, + B． 1, + C． - ,0 D． - ,1
【答案】A
f x xf
x - f x xf x
g x lnx g x 1 - f x - x【解析】设 = - ，则 = - = ．
x x2 x x2
f x f x 因为 - -1 > 0, x > 0，所以 xf x - f x - x > 0，
x
所以 g x > 0，所以 g x 在 0, + 上单调递增．
x
x
不等式 f e - x +1 ex > 0 f e 可转化为 - lnex >1，
ex
f ex f 1
又 g ex = - lnex ，且 g 1 = - ln1 =1，ex 1
x
即 g e > g 1 ，所以 ex >1，解得 x > 0，
x
即不等式 f e - x +1 ex > 0的解集为 0, + ．
故选：A．
【变式 9-1】已知函数 f x 的定义域为 0, + ，其导函数为 f x ，若 xf x -1< 0， f e = 2，则关于 x
x
的不等式 f e < x +1的解集为（ ）
A． 0,1 B． 1,e C． 1, + D． e, +
【答案】C
【解析】设F x = f x - ln x ， x 0, + ，
1 xf
x -1
则F x = f x - = ，
x x
因为 xf x -1< 0，所以 x > 0时，F x < 0，
即F x 在 0, + 上单调递减，
又 f e = 2，则F e = f e - ln e =1，
f ex所以 < x +1 f ex - x <1 f ex - ln ex < F e ，
即F ex < F e ，则 ex > e，解得： x >1，
x
所以关于 x的不等式 f e < x +1的解集为 1, + ，
故选：C.
题型十：复杂型：基础型添加因式型
【典例 10-1】已知 f x 为定义域R 上函数 f x 的导函数，且 f x + f 2 - x = 0 ， x 1，
4
x -1 f x + 2 f x > 0 且 f 3 =1，则不等式 f x > x -1 2 的解集为 ．
【答案】 - , -1 3,+
【解析】由 f x + f 2 - x = 0 ，整理可得 f x = - f 2 - x ，则函数 f x 关于成中心对称，
所以 f x 关于直线 x =1成轴对称，
当 x >1时， x -1 > 0，由 x -1 f x + 2 f x > 0 ，则 x -1 2 f x + 2 x -1 f x > 0，
2
由函数 y = x -1 f x 的导数为 y = x -1 2 f x + 2 x -1 f x ，
2
则函数 y = x -1 f x 在 1, + 上单调递增，易知在 - ,1 上单调递减，
当 x = 3时， y = 3 -1 2 f 3 = 4；当 x=- 1时， y = -1-1 2 f -1 = 4 f 3 = 4，
所以不等式 f x
4
>
- , -1 3,+ x -1 2 的解集为 ，
故答案为： - , -1 3,+ .
【典例 10-2】（2024·高三·湖南株洲·开学考试）已知定义在R 上的可导函数 f x 满足
xf x + f x < xf x ，若 y = f x 1- 3 - x+2是奇函数，则不等式 xf x + 3e > 0的解集是（ ）
e
A． - , -2 B． - , -3 C． -2, + D． -3, +
【答案】B
x × fg x x f xg x + xf
x - xf x
【解析】构造函数 = x ，依题意可知 = < 0，e ex
所以 g x 1在R 上单调递减.由于 y = f x - 3 - 是奇函数，
e
所以当 x = 0时， y = f 3 1- - = 0，所以 f -3 1= ，
e e
3 1- ×
所以 -3 × f -3g -3 = -3 = e-3 = -3e2
，
e e
由 xf x + 3ex+2 > 0 ex得 g x + 3ex+2 > 0，即 g x > -3e2 = g -3 ，所以 x < -3，
故不等式的解集为 - , -3 .
故选：B
【变式 10-1】（2024·山东聊城·三模）设函数 f x 的定义域为R ，导数为 f x ，若当 x 0 时，
f x > 2x -1 2，且对于任意的实数 x, f -x = f x + 2x ，则不等式 f 2x -1 - f x < 3x - 5x + 2的解集为
（ ）
A． 1- ,1 B． ,1

C
1
÷ ． - ,+
D - , - 1÷ ．è 3 è 3 3 1,+
【答案】B
【解析】因为 f -x = f x + 2x，
g x = f x - x2设 + x ，
则 g -x = f -x - x2 - x = f x + 2x - x2 - x = g(x) ，
即 g(x)为R 上的偶函数，
又当 x 0 时， f x > 2x -1，
则 g x = f x - 2x +1 > 0，所以 g(x)在 0, + 上单调递增，在 - ,0 上单调递减，
因为 f 2x -1 - f x < 3x2 - 5x + 2，
2
所以 f 2x -1 - 2x -1 + 2x -1 < f x - x2 + x，
即 g 2x -1 < g x ，所以 2x -1 < x 2，即 2x -1 < x2 ，
1
解得 < x < 1 .3
故选：B
题型十一：复杂型：二次构造
1, + f x f x , f e 2, f (x)【典例 11-1】已知定义为 的函数 的导函数 且 = = f x lnx，则不等式
x
xf x < 2e的解集是
【答案】 1,e
f x f x f x ln x -
【解析】设 g x = ，则 x .
ln x g x = ln x 2
f (x)
因为 = f x lnx ，所以 g x = 0 ，所以 g x = c （ c为常数）.
x
又 f e = 2,所以 g e = 2,所以 g x = 2 .
所以 f x = 2ln x .
则不等式 xf x < 2e为 x ln x < elne .
设 h x = x ln x x >1 ，则 h x =1+ ln x > 0，
所以函数 h x 在 1, + 上单调递增.
x ln x < elne即为 h x < h e ，所以1< x < e .
所以不等式 xf x < 2e的解集是 1,e .
故答案为: 1,e .
1 1
【典例 11-2 x x】函数 f x 满足： 2e f x + e f x = x ， f ( ) =2 ．则 x > 0时， f x 2 2e
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
x x
【解析】因为 2e f x + e f x = x 2e2 x f x + e2 x，所以 f x = ex x ,
令F (x) = e2x f (x)，则 F '(x) = ex x ，
x - 2ex f (x) ex
所以 f '(x) x - 2F (x)= = ，
ex e2 x
ex ex (1- 2x)
令H (x) = ex x - 2F (x) ，则H '(x) = + ex x - 2F '(x) = ，
2 x 2 x
0 x 1 1则当 < < 时，H '(x) > 0 ，当 x > 时，H '(x) < 0
2 2
即函数H (x)
1 1
在 0, ÷为增函数，在 ,+ ÷为减函数，
è 2 è 2
所以H (x)max = H (
1) e 1 1 2e 2e= - 2ef ( ) = - = 0，
2 2 2 2 2
即 f '(x) 0，即函数 f x 在 0, + 为减函数，
即 x > 0时， f x 既无极大值，也无极小值，
故选 D.
p
【变式 11-1】设函数 f (x) 的导数为 f (x) ，且 f (x) + xex = xf (x)， f (1) = -p ， f (2) = - ，则当 x > 0时，
2
f (x)
A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【答案】B
f x f 1 f 2
【解析】由题设 f x ex = + ，所以 f 1 = e + = e -p < 0， f 2 p= e + = e2 - > 0，所以存
x 1 2 4
x
x
在 0 1,2 f x = 0
xf
f x x - f x e使得 0 ，又 = ex + = ex + > 0 ，所以 f x 在 0, + 上单调递增.x2 x
所以当 x 0, x0 时， f x < 0， f x 单调递减，当 x x0 ,+ 时， f x > 0， f x 单调递增.
因此，当 x = x0时， f x 取极小值，但无极大值，故选 B.
2 1 1
【变式 11-2】定义在 0, + 上的函数 f x 满足 xf x + f x = x ln x，且 f = - ，则 f x （ ）
è e ÷ 2e
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
2 1 1
【解析】因为 xf x + f x = x ln x，且 f ÷ = - ，
è e 2e
所以 f
1
e ÷
= 0，①
è
令 g x = xf x ，则 g x = x2 ln x ，
2
又 x f x + xf x = x3 ln x 2，记 h x = x f x = x3 ln x - g x ，
所以 h x = x2 + 3x2 ln x - g x = 2ln x +1 x2 .
当 x

0,
1 1
÷时， h x < 0， h x 递减；当 x ,+

÷时， h x > 0， h x 递增.
è e è e
1 1 2
结合①当 x = 时， h ÷ = 0，所以 h x 的最小值为 0，即 x f x 0，e è e
1
因为 x > 0，则 f x 0，（当且仅当 x = 时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
e
故选：D.
题型十二：综合构造
1
【典例 12-1】已知定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f (x - ) + f (-x -1) = 0， e4 f (2022) =1，若 f (x) > f (-x)，
2
1
则关于 x 的不等式 f (x + 2) > x 的解集为（e ）
A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）
【答案】A
【解析】因为定义在 R 上的偶函数 f x f x 1- 满足 ÷ + f -x -1 = 0 f
1
，故 x - ÷ + f x +1 = 02 ，故è 2 è
f x 3 1+ - + f 3 ÷ x + +1

÷ = 0，即 f x +1 f
x 5+ + 1 5 ÷ = 0

，所以 f x -

÷ = f

x +
f x
è 2 2 2 2 ÷
，即 的周期为
è è 2 è è 2
3. e4又 f 2022 =1，故 e6 f 3 672 + 6 = e2 6，即 e f 6 = e2 .因为 f x > f -x = - f x ，即
f x + f x > 0 x，故构造函数 g x = e f x ，则 g x = ex é f x + f x ù > 0，且 g 6 = e6 f 6 = e2 .综上
有 g x = ex f x 1 g x + 2在 R 2 1 2上单调递增，且 g 6 = e .又 f (x + 2) > x 即 x+2 > ， g x + 2 > e = g 6x ，所e e e
以 x + 2 > 6，解得 x>4
故选：A
【典例 12-2】已知定义在R 上的奇函数 f x ，其导函数为 f x ，当 x 0 时，满足
2 f x f 2x +1 x + 3 f x + 2xf -x > 0，则不等式 x2 + 3 4 x2 + x +1 的解集为（ ）
A． 1, + B． - ,0 C． - , -1 D． 0, +
【答案】C
f x
【解析】令 g x =
x2
，
+ 3
因为 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f -x = - f x ，
则 g -x f -x f x =
x2
= - 2 = -g x ，+ 3 x + 3
所以函数 g x 是R 上的奇函数，
当 x 0 x2时， + 3 f x + 2xf -x > 0 2，即 x + 3 f x - 2xf x > 0，
x2 + 3 f x - 2xf x
则 g x = 2 > 0 ，x2 + 3
所以函数 g x 在 - ,0 上单调递增，
又因为函数 g x 是R 上的奇函数，
所以函数 g x 在R 上是增函数，
f x f 2x +1 f 2x +1
则不等式 =x2 + 3 4 x2 + x +1 2x +1 2 ，+ 3
等价于 g x g 2x +1 ，
所以 x 2x +1，解得 x -1，
f x f 2x +1
所以不等式 x2 + 3 4 x2 + x +1 的解集为 - , -1 .
故选：C.
【变式 12-1】已知函数 f x 的定义域为 0, + ，导函数为 f x ，不等式 x +1 é2 f x + xf x ù > xf x
7 3x +15
恒成立，且 f 6 = ，则不等式 f x + 4 <
12 x + 4 2 的解集为（ ）
A． - , 4 B． 0,2 C． -4,2 D． -4,4
【答案】C
2
【解析】由 x +1 é 2 f x + xf x ù > xf x ，得 x2 f x = 2xf x f xx + x2 f x > ，x +1
g x = x2 f x g x g xg x - g
x x +1
令 ，则 - = < 0， x 0, + ，
x +1 x +1
所以 x +1 > 0，则 g x - g x x +1 < 0，
g x g x
g x x +1 - g x
令G x = ，则G x = = > 0，
x +1 è x +1
÷
x +1 2
所以G x 在 0, + 上是单调递增．
f x 4 3x +15+ < x + 4
2 f x + 4 g x + 4
不等式 x + 4 2 等价于 < 3，即G x 4

+ = < 3，
x + 5 x + 5
g 6 36 f 6
而G 6 = = = 3，所求不等式即G x + 4 < G 6 ．
7 7
x + 4 < 6
由于G x 在 ì0, + 上是单调递增函数，所以 í -4,2
x + 4 0
，故不等式的解集为 .
>
故选：C．
【变式 12-2】（2024·高三·山东烟台·期中）定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f x ，满足
f x +1- e2x 1+ f -x = 0, f 1 = e2 -1，且当 x (0,+ ) x时， f x - f x >1，则不等式 f x -1 > e -1
的解集为（ ）
A． (0,2) B． (-1,1) C． (- ,0) U (2, + ) D． - , -1 1, +
【答案】C
2x
【解析】由 f x +1- e 1+ f -x = 0 f (x) +1 f (-x) +1得 x = - x ， x R ，e e
令 g x f (x) +1= x ，则 g -x = g x ，即 g x 是R 上的偶函数，e

求导得 g (x)
f (x) - f (x) -1
= x ，因为当 x (0,+ )时， f x - f x >1，e
即 f x - f x -1 > 0 ，则 g (x) > 0，则 g x 在 0, + 上单调递增，
g(1) f (1) +1= 1 = e ， f x -1 > e
x -1，即 f x -1 +1 > ex ，
e
f (x -1) +1 1 f (x -1) +1即 x > ，即 x 1 > e ，即 g x -1 > g- 1 ，即 g x -1 > g 1 ，e e
所以 | x -1|>1，解得 x > 2或 x < 0 ，则解集为 (- ,0) U (2, + ) .
故选：C.
【变式 12-3】（2024·高三·河南新乡·开学考试）设函数 f x 在R 上的导函数为 f (x) ，
f (x) + f (-x) = 0，对任意 x (0,+ )，都有 f (x) f (x) > x ，且 f 1 = 2 ，则不等式[ f (x -1)]2 < x2 - 2x + 4 的
解集为（ ）
A． (- ,0) U (2, + ) B． 0,2 C． 1,3 D． (- ,1) U (3,+ )
【答案】B
【解析】因为 f x + f -x = 0， f x 的定义域为R,所以 f x 为奇函数， f (0) = 0，
令 g(x) = [ f (x)]2 - x2， g(0) = 0，
因为对任意 x (0,+ )，都有 f (x) f (x) > x ，所以 g (x) = 2 f (x) f (x) - 2x > 0，
所以 g x 在 (0, + )上单调递增.
因为 g x 为偶函数，所以 g x 在 (- ,0)上单调递减.
不等式[ f (x -1)]2 < x2 - 2x + 4等价于[ f (x -1)]2 - (x -1)2 < 3，因为 f 1 = 2 ，所以 g(1) = [ f (1)]2 -1 = 3，
所以不等式[ f (x -1)]2 - (x -1)2 < 3等价于 g(x -1) < g(1) ，
所以-1 < x -1<1，即0 < x < 2 .
故选：B．
题型十三：找出原函数
x 2
【典例 13-1】设函数 f x 满足 xf x e e+ 2 f x = ， f 2 = ，则 x > 0时， f x （ ）
x 4
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】B
2 '
【解析】由 x f x + 2xf x '= ex ，即 x2 f x = ex ，
e2 ex
结合 f 2 = ，可知 f x = ，
4 x2
x
' e x - 2f x = 3 ，x
可知此函数仅有一个极值点，是极小值点，没有极大值．
故选：B
【典例 13-2】设函数 f (x) 是定义在 (-1, + )上的连续函数，且在 x = 0处存在导数，若函数 f (x) 及其导函数
f (x) ln(x 1) x f (x)f (x) 满足 + = - ，则函数 f (x)
x +1
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
【答案】C
f (x) ln(x 1) x f (x)【解析】由题意可知， + = - ，即 f (x) ln(x
f (x)
+1) + = x ，
x +1 x +1
所以 f (x) ln(x +1) = x，
1 2
令 f (x) ln(x +1)
1
= x2 + c x +c，则
2 f (x) =
2 ，
ln( x+1)
1 2
因为函数 f (x)
x +c 2
在 x = 0处存在导数，所以 lim 2 为定值， c = 0 ， f (x) = xln(x+1) 2ln( x+1) ，x 0
é 1 ù
所以 f (x) x 2ln x+1 += x+1-1 2ln2 ( x ，+1)
令 x +1= t ，当 x > 0时， t > 1，
2t-1
构建函数 g t = 2ln t + 1t -1，则有 g t = 2t - 12 = > 0t t2 ，
所以函数 g t 在 1,+ 上单调递增，
当-1 < x < 0，0 < t <1，令 g t = 0，解得 t = 12 ，
所以 g t 在 0, 1 12 上单调递减，在 2 ,1 上单调递增，
因为 g 1 12 < 0， g 4 = -4ln 2 +3 > 0，
所以当 t 0, 12 时函数 g t = 0必有一解，
令这一解为 x0 ， -1< x0 < 0 ，则当 x -1, x 0 时 f x < 0，
当 x x 0 ,0 时 f x > 0，
综上所述， f x 在 -1, x 0 上单调递减，在 x 0 ,0 上单调递增，在 0,+ 上单调递增，
所以 f x 有极小值，无极大值．
【变式 13-1】（2024·辽宁大连·一模）函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，满足 xf (x) + 2 f (x)
ln x
= ，且
x
f (e) 1= ，则 f (x) 的极值情况为
2e
A．有极大值无极小值 B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】Q xf x lnx+ 2 f x =
x
\ x2 f x + 2xf x = lnx ' \é x
2 f x ù = lnx
\ x2 f x = lnx - x + c 2将 x = e代入可得： e f e = elne - e + c
Q f e 1 c e x2 f x lnx x e f x 2xlnx - 2x + e= \ = 则 = - + =2e 2 2 2x2
4x2 lnx -8x
2lnx + 8x3 - 4ex -xlnx + 2x - e
\ f x = =
4x4 x3
令 g x = -xlnx + 2x - e 则 g x =1- lnx ，当 x

0,e 时， g x > 0，当 x e, + 时， g x < 0 ，故当 x = e
时， g x 取最大值 0，故 g x 0 恒成立，故 f x 0恒成立，故既无极大值也无极小值，故选D
【变式 13-2】设函数 f (x) 是定义在 (0, + )上的连续函数，且在 x =1处存在导数，若函数 f (x) 及其导函数
f (x) 满足 f (x) ln x = x
f (x)
- ，则函数 f (x)
x
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为 f (x) ln x = x
f (x)
- ， ( f (x) ln x) ' = f '(x) ln x
f (x)
+
x x
，
所以 ( f (x) ln x) ' = x，所以 f (x) ln x
1
= x2 + c, (*)，
2
因为函数 f (x)
f (x)
是连续函数，所以由 f (x) ln x = x - ，可得 f (1) =1，
x
代入 (*)
1
，可得 c = - ，
2
ì1, x =1
所以 f (x) =

í x2 -1 ，
, x > 0且x 1 2ln x
2 2
x 1 f '(x)= 2x ln x - (x -1)当 时， ，
2x ln2 x
令 g(x) = 2x2 ln x - x2 +1，所以 g '(x) = 4x ln x ，
当 x >1时， g '(x) > 0 ， g(x)单调递增；当0 < x <1时， g '(x) < 0， g(x)单调递减.
所以当 x =1时， g(x)取得极小值即最小值 g(1) = 0，
所以 f '(x) 0，所以函数 f (x) 在 (0, + )上单调递增，
所以 f (x) 既没有极大值，也没有极小值，
故选 C.
【变式 13-3】（2024·全国·一模）若函数 f x 满足 xf x - f x = x3ex , f 1 = 0，则当 x > 0时， f x
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【答案】B
3 x
【解析】由题设知，当 x > 0 [ f (x)时， ]' xf '(x) - f (x) x e= = = xex，
x x2 x2
f (x)
可得 = (x -1)ex + C(C 为常数），又 f 1 = 0，得 C=0
x
所以 f x = x x -1 ex .
又 f ' x = x2 + x -1 ex , f ' x = 0 x 5 -1 x - 5 -1令 ，解得 = 或 = （舍去）.
2 2
5 -1 x 0, , f x 0, x 5 -1

所以当 x > 0时， 2 ÷÷
,+ ÷÷ , f x 0，
è è 2

所以当 x > 0时， f x f 5 -1有极小值 ÷÷，无极大值.
è 2
故选 B.
【变式 13-4】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为 0, + ， f x 为函数 f x 的导
x2函数，若 f x + xf x =1， f 1 = 0 x，则不等式 f 2 - 3 > 0的解集为（ ）
A． 0,2 B． log23,2 C． log23, + D． 2, +
【答案】D
【解析】由题意得， xf x 1+ f x = ，
x
即 éxf x ù = lnx + c ，
所以 xf x = lnx + c，即 f x ln x c= + ，
x x
ln x
又 f 1 = 0，所以 c = 0 ，故 f x = ，
x
f (x) 1- ln x= 2 = 0 ，可得 x=e，x
在 (0,e)上， f (x) > 0 ， f (x) 单调递增；
在 (e, + )上， f (x) < 0 ， f (x) 单调递减，
所以 f (x)
1
的极大值为 f (e)= .简图如下：
e
所以 f x > 0， 2x - 3 >1， x > 2 .
故选：D.
1．（2024·高三·江苏扬州·期末）已知函数 f x 的导数为 f x ，对任意实数 x，都有 f x - f x > 0，
f 1 =1 f x > ex-1且 ，则 的解集为（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． -1,1 D． - , -1 1,+
【答案】A
x-1 f x 1 f (1)
【解析】由 f x > e ，可得 x > = ，e e e
f x
令 g(x) = ，结合 f x - f x > 0 f x - f (x) x ，则 g (x)

= < 0，
e ex
所以 g(x)在 R 上递减，故 g(x) > g(1) x <1，
则原不等式解集为 - ,1 .
故选：A
2．已知函数 f x 是奇函数 f x x R 1的导函数，且满足 x > 0时， ln x × f x + f x < 0，则不等式
x
x - 985 f x > 0 的解集为（ ）
A． 985,+ B． -985,985 C． -985,0 D． 0,985
【答案】D
【解析】令函数 g x = lnx × f x 1，则 g x = × f x + lnx × f x < 0 ，即当 x > 0时，函数 g x 单调递减，
x
因为 g 1 = 0，所以当0 < x <1时， g x > 0，当 x >1时， g x < 0 .
因为当0 < x <1时， lnx < 0，当 x >1时， lnx > 0，所以当 x 0,1 U 1, + 时， f x < 0 .
又 f 1 × ln1+ f 1 < 0 ， f 1 < 0，所以当 x > 0时， f x < 0 ；
又 f x 为奇函数，所以当 x < 0 时， f x > 0，
x < 0 x > 0
所以不等式 x - 985 f x ì ì> 0 可化为 íx 985 0或 íx 985 0，解得0 < x < 985， - > - <
所以不等式的解集为 0,985 ，
故选：D.
3．（2024·高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数 f (x) 在 R 上的导函数为 f (x) ，若 f (x) < 2 f (x)恒成立，
x
且 f ln 4 = 2，则不等式 f (x) > e2 的解集是（　　）
A． ln 2,+ B． 2ln 2, + C． - , ln 2 D． - , 2 ln 2
【答案】B

【解析】构造新函数 g
f x 2 f x - f xx = x g x

= x ，
e2 2e2
因为 f (x) < 2 f (x)恒成立，
所以 g x > 0，因此函数 g x 单调递增，
f ln 4
g ln 4 2= 1 = =1ln 4 ，
e2 2
x
f (x) e2 f (x)由 > x >1 = g ln 4 g x > g 2ln 2 x > 2ln 2，
e2
故选：B
4．已知可导函数 f x 的导函数为 f x , f 0 = 2023，若对任意的 x R ，都有 f x < f x ，则不等式
f x < 2023ex 的解集为（ ）
2023
A． 0, + B． 2 ,+ e ÷è
, 2023C． -

÷ D． - ,0
è e2
【答案】D
【解析】由题意对任意的 x R ，都有 f x < f x ，即 f x - f x > 0，

g(x) f (x) g (x) f (x) - f (x)令 = ，则 =
ex ex
> 0，
即 g(x)
f (x)
=
ex
为 R 上的增函数，
而 f 0 = 2023 f (0)，故 g(0) = = 2023，
e0
又 f x < 2023ex f x 即 < 2023，即 g(x) < g(0)x ，e
所以 x < 0 ，即不等式 f x < 2023ex 的解集为 - ,0 ，
故选：D
5．（2024·高三·四川内江·期末）已知 f x 是函数 f x 的导函数， f 1 2 ÷ = 2e，其中
e是自然对数的
è
底数，对任意 x R ，恒有 f x + 2 f x > 0 f x - 2e2-2x，则不等式 > 0的解集为（ ）
A． - , e 1 1B． - , C ÷ ． , + ÷ D． e, +
è 2 è 2
【答案】C
【解析】依题意，令函数 g(x) = e2x f (x) ， x R ，求导得 g (x) = e2x[ f (x) + 2 f (x)] > 0，
g(x) R f x - 2e2-2x > 0 e2x则函数 在 上单调递增， f (x) > 2e2，
1 1 1 2 1 1
而 f ( ) = 2e，则 g( ) = e × f ( ) = 2e ，因此有 g(x) > g( ) ，解得 x > ，
2 2 2 2 2
(1所以原不等式的解集为 , + ) .
2
故选：C
6．已知 f x 是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 f x ，对"x R 时，有 f x - 2 f x > 0，则不等式
f x + 2023 - e2x+4042 f 2 < 0（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． -2021, + B． -2025, +
C． - , -2021 D． - , -2025
【答案】C
f x 【解析】设 g x = 2x ， x R ，因为 f x - 2 f x > 0，e
f x e2x - 2e2x f x f
x - 2 f x
所以 g x

= 2 = 2x > 0 2x e ，所以 g x
f x
= 2x 在 x R 上单调递增，e e
f x + 2023 - e2x+4042 f 2 < 0 f x + 2023 f 2 因为 ，所以
e2x+4046
< 4 ，e
即 x + 2023 < 2，解得 x < -2021.
故选：C.
7．定义域为 R 的可导函数 y = f x 的导函数为 f x ，满足 f x > f x 且 f 0 =3，则不等式
f x < 3ex 的解集为（ ）
A． - ,0 B． - ,3 C． 0, + D． 3, +
【答案】C
f x f x - f x
【解析】令 F x = ，则F x = < 0，
ex ex
∴ F x 在 R 上单调递减，又∵ f 0 =3，
f x < 3ex f x∴ f 0 x < 3 = 0 ，即F x < F 0 ，e e
∴ x > 0 .
故选：C.
8．已知定义在 R 上的函数 f x 3，其导函数为 f x ，若 f x - f -x + 2x + 2x = 0 ，且当 x 0 时，
f x + 3x2 +1< 0，则不等式 f x +1 - f x + 3x2 + 3x + 2 0的解集为（ ）
,0 0, , 1 ù é 1A． - B． + C． - - ú D． - , +

2 2 ֏
【答案】D
f x + x3 + x = f -x - x3【解析】由题设， - x ，
令 g x = f x + x3 + x ，则 g -x = g x ，即 g x 为偶函数.
所以 g x = f x + 3x2 +1，
当 x 0 时 g x < 0，则 g x 在 0, + 为减函数，故 g x 在 - ,0 上为增函数，
由 f x +1 + 3x2 + 3x + 2 f x f x +1 + x +1 3 + x +1 f x + x3 + x，即 g x +1 g x ，
1
∴ x +1 > x ，解得 x - .
2
故选：D.
9．定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，若对任意实数 x，有 f x > f x ，且 f x + 2023为奇函数，
则不等式 f x + 2023ex < 0 的解集是（ ）
A． - ,0 1 1 B． - , ÷ C． 0, + D． ,+
è e e ÷ è
【答案】C
【解析】因为 f x + 2023为奇函数，
所以 f 0 + 2023 = 0，即 f 0 = -2023，
F x f x 设 = x + 2023，e

f x - f x 则F x = x < 0，e
f x
所以F x = x + 2023在R 上单调递减，e
F 0 f 0 又 = + 2023 = 0， f x + 2023ex < 0 f x 0 的解集等价于 x + 2023 < 0的解集，即F x < F 0 ，e e
所以 x > 0 x，即不等式 f x + 2023e < 0 的解集为 0, + .
故选：C.
10．（多选题）设定义在R 上的函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，若满足 xf (x) - f (x) = x2ex ，且 f (1) = e ，则下
列结论正确的是（ ）
A． f (x) 在R 上单调递增
B．不等式 f (x) e 的解集为 1, +
ax 1C．若 f x e 恒成立，则 a +1
e
D．若 f x1 = x2 ln x2 = 4，则 x1x2 = 4
【答案】BCD

【解析】因为 xf (x) - f (x) = x2ex xf (x) - f (x)，所以 x
x2
= e .
g(x) f (x)= g (x) xf
(x) - f (x)
令 ，则 = = ex2 ，x x
所以 g(x) = ex + c（c 为常数），所以 f (x) = xex + cx .
因为 f (1) = e ，所以 c = 0 ，即 f (x) = xex .
对于 A，因为 f (x) = (x +1)ex ，
所以 f (x) 在 (- , -1)上单调递减，在 (-1, + )上单调递增，故 A 错误.
对于 B,当 x < 0 时， f x < 0 ， x = 0时， f x = 0， x > 0时， f x > 0
而 f (x) e = f (1)，根据 f (x) 单调性知： x 1，故 B 正确.
对于 C，若 f (x) eax ，则 xex eax .
当 x 0 时， xex 0 < eax 恒成立.
ln x
当 x > 0时， xex eax 等价于 ln x + x ax，即a +1 .x
令 h(x)
ln x
= +1，则 h (x)
1- ln x
= 2 ，x x
所以 h(x) 在 (0,e)上单调递增，在 (e, + )上单调递减，
h(x) 1 1所以 max = h(e) = +1，所以 a +1，故 C 正确.e e
x ln x
对于 D，若 f x1 = x2 ln x2 = 4，即 x1e 1 = x2 ln x2 = e 2 ln x2 = 4 .
因为 f (x) 在 - ,0 恒小于 0，在 (0, + )上又单调递增，且 f (1) = e < 4 ，
x ln x
所以 x1 > 1,ln x2 > 1，且 x1 = ln x2 ，所以 x e 1 = x e 21 1 = x1x2 = 4，
故 D 正确.
故选：BCD
11．已知函数 f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为 f (x) ，且当 x < 0 时， 2 f x + xf (x) < 0，则不等
x - 2023 2式 f (x - 2023) - f (-1) > 0的解集为 ．
【答案】 2022,2024
【解析】令F x = x2 f x ，则F (x) = 2xf (x) + x2 f (x) = x 2 f (x) + xf (x) ，
当 x < 0 时， 2 f x + xf x < 0，
所以当 x < 0 时，F (x) = x 2 f (x) + xf (x) > 0，
即F x 在 - ,0 上是增函数，由题意 f x 是定义在R 上的偶函数，
所以 f -x = f x ，又F (-x) = (-x)2 f (-x) = x2 f (x) = F (x)，
所以F x 是偶函数，所以F x 在 0, + 递减，
所以F (x - 2023) = (x - 2023)2 f (x - 2023), F (-1) = (-1)2 f (-1) = f (-1)，
即不等式等价为F x - 2023 > F -1 ，
所以 x - 2023 <1，所以 2022 < x < 2024 ．
故答案为： 2022,2024 ．
12．已知定义在R 上的函数 f x 满足 f 2 + x = f -x ，且当 x >1时，有 xf x + f x > f x ，若
f 2 =1 1，则不等式 f x < 的解集是 ．
x -1
【答案】 1,2
【解析】因为定义在R 上的函数 f x 满足 f (2 + x) = f (-x),
所以函数 f x 关于直线 x =1对称，即 f (x +1) = f (1- x), x R.
因为当 x >1时,有 xf (x) + f (x) > f (x),即[(x -1) f (x)] = (x -1) f (x) + f (x) > 0
故令 g(x) = (x -1) f (x), 则 g(x) = (x -1) f (x) ，在 (1, + )上单调递增,
因为 g(1+ x) + g(1- x) = xf (1+ x) - xf (1- x) = 0 ，
所以 g(x) = (x -1) f (x) 关于点 1,0 对称，
所以 g(x) = (x -1) f (x) 在R 上单调递增，因为 f (2) =1，
所以 g(2) = (2 -1) f (2) =1,所以当 x >1时, f (x) < x (x -1) f (x) <1 g(x) <1 = g(2) ,
所以1< x < 2，当 x <1时, f (x) < x (x -1) f (x) >1 g(x) >1 = g(2) ，
1
所以 x <1且 x > 2 ,即无解.所以不等式 f (x) < 的解集是 1,2 .
x -1
故答案为： 1,2 .
13．若定义在R 上的函数 f x 满足 f x + 2 f x > 0 ，且 f 0 =1，则不等式 f x 1> 2x 的解集为 e
【答案】 0, +
【解析】构造F x = f x ×e2x ，
所以F x = f x ×e2x + f x × 2e2x = e2x é f x + 2 f x > 0ù > 0，
0
所以F x 在R 上单调递增，且F 0 = f 0 ×e =1，
不等式 f x 1> 2x2x 可化为 f x e >1，即F x > F 0 ，所以 x > 0，e
所以原不等式的解集为 0, + .
故答案为： 0, +
π
14 ．定义在 - ,0
0, π x 0, π f (x) f (x)
2 ÷ 2 ÷ 上的奇函数 的导函数为 ，且当 ÷ 时，
f (x) tan x - f (x) > 0，
è è è 2
f (x) < 2 f π 则不等式 ÷sin x的解集为 ．
è 6
π , π 【答案】 - - ÷ U 0,
π
è 2 6 è 6 ÷
F (x) f (x)
π π
【解析】令 = ，因为 f (x) 是定义在 - ,0÷ U 0,2 2 ÷ 上的奇函数，sin x è è
F ( x) f (-x) - f (x) f (x)则 - = = = = F (x)sin(-x) -sin x sin x ，
所以F (x)为偶函数.
x 当 0,
π
÷ 时， sin x > 0， cos x > 0，
è 2
由已知 f (x) tan x - f (x) > 0，

所以F (x)
f (x)sin x - f (x) cos x cos x
= 2 = 2 f (x) tan x - f (x) > 0，sin x sin x

则F (x)在 0,
π
2 ÷上单调递增，è
f (πf (x) )
由 f (x)
π
< 2 f ( )sin x 6可化为 < π ，6 sin x sin
6
π
即F (x) < F ( ) 0 x
π
，得 < < ；
6 6
π
f (x) f (- )
当 x
π
- ,0
6
÷ ， sin x < 0，则 > ，
è 2 sin x sin( π- )
6
π
即F (x) > F (- )，
6
由F (x)为偶函数，则F (x)
π
在 - ,0

2 ÷上单调递减，è
π
得- < x
π
< - ，
2 6
所以不等式 f (x) < 2 f
π
÷sin x
π
的解集为 - ,
π
- U 0, π
è 6 è 2 6 ÷ è 6 ÷
．

π π π
故答案为： - ,-

2 6 ÷
U 0, ÷ .
è è 6
15．已知定义在R 上的偶函数 f x ，其导函数为 f x ，若 xf x - 2 f x > 0， f -1 1= ，则不等式
2
2 f x < x2 的解集是 .
【答案】 -1,1
【解析】当 x = 0时，由 xf x - 2 f x > 0，得-2 f 0 > 0，则 f 0 < 0，
所以 2 f 0 < 02成立，所以 x = 0符合 2 f x < x2 ，
g(x) f (x)x 0 = g (x) x
2 f (x) - 2xf (x) xf (x) - 2 f (x)
当 时，令 2 ，则 = 4 = 3 ，x x x
因为 xf x - 2 f x > 0，
当 x > 0时， g (x) > 0，
所以 g(x)在 (0, + )上递增，
因为 f x 定义在R 上的偶函数，所以 f (-x) = f (x)，
所以 g( x)
f (-x) f (x)
- = = = g(x) g(x)
(-x)2 x2 ，所以 为偶函数，
因为 f -1 1= ， f x 定义在R 上的偶函数，所以 f 1 1= ，
2 2
g(1) f (1) 1所以 =
12
=
2
由 2 f x < x2 f x 1，得 2 < ，所以 g(x) < g(1)，x 2
所以 g( x ) < g(1)，
因为 g(x)在 (0, + )上递增，
所以 x <1，且 x 0，得-1 < x <1，且 x 0，
综上，-1 < x <1 2，即不等式 2 f x < x 的解集是 -1,1 ，
故答案为： -1,1
16．已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为R ，且 f x > f x ，若 f 0 = 0，则不等式
f 2x2 - 5x - 7 > 0的解集为 .
7
【答案】 (-1, ) .
2
【解析】由函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为R ，且 f 0 = 0，
f x令 g x = x ，可得 g 0 0
f = x - f x ，且 g x = ，
e ex
因为 f x > f x ，可得 g x < 0，所以 g x 在R 上单调递减，
2
不等式 f 2x - 5x - 7 > 0，所以 g 2x2 - 5x - 7 > g 0 ，
所以 2x2
7
- 5x - 7 < 0，解得-1 < x < ，2
2
所以不等式 f 2x - 5x - 7 > 0 7的解集为 (-1, ) .
2
7
故答案为： (-1, ) .
2
17．已知 f x 是函数 f x 的导函数，且满足 f x > f x 在R 上恒成立，则不等式
f 2x -1 - e3x-2 f 1- x > 0的解集是 .（用区间表示）
2
【答案】 ,+
è 3 ÷

【解析】令 g x f x = x ，则 g
f x - fx x = x > 0，所以 g x 在R 上单调递增，e e
f 2x -1 - e3x-2 f 1- x > 0 2 x-1 f 2x -1 f 1- x 由 ，两端同除以e ，并移项得 2x-1 >e e1-x ，
即 g 2x -1 > g 1- x 2，又 g x 在R 上单调递增，所以 2x -1 >1- x ，解得 x > .
3
3x-2 2
所以不等式 f 2x -1 - e f 1- x > 0的解集是 ,+ 3 ÷ .è
2
故答案为： ,+

÷ .
è 3
18． f (x) 是定义域为 (- ,0) U (0, + )上的奇函数， f (2) = 0，当 x > 0时，有 x × f (x) - f (x) < 0，则不等式
x × f (x) > 0 的解集为 ．
【答案】 (-2,0) U (0, 2)
f (x) xf (x) - f (x)
【解析】令 g(x) = ，则 g (x) = 2 < 0，x x
故函数在 - ,0 ， 0, + 上单调递减，
又 f (x) 为奇函数，所以 f (-2) = - f (2) = 0，
x f (x) 0 f (x)因为 × > > 0 ，
x
所以当 x > 0时， f (x) > 0 = f (2)，即0 < x < 2，
当 x < 0 时， f (x) < 0 = f (-2)，即-2 < x < 0，
综上，不等式的解集为 (-2,0) U (0, 2) .
故答案为： (-2,0) U (0, 2)
19．已知定义在 0, + 上的函数 f x 的导函数为 f x ，若 f x < 2，且 f 4 = 5，则不等式
f log2 x > log x22 - 3的解集是 ．
【答案】 1,16
【解析】令 g(x) = f (x) - 2x + 3，则 g (x) = f (x) - 2 < 0，
∴ g(x)在 (0, + )上是减函数，
g(4) = f (4) -8 + 3 = 0，
不等式 f log 22 x > log2 x - 3化为 f (log2 x) > 2log2 x - 3，
即 f (log2 x) - 2log2 x + 3 > 0，也即为 g(log2 x) > g(4) ，
所以0 < log2 x < 4，1< x <16 .
故答案为： (1,16)，
20．（2024 x·高三·上海浦东新·期中）定义在R 上的函数 f x 满足 f x - f x + e < 0，其中 f x 为
f x 的导函数，若 f 3 = 3e3，则 f x > xex 的解集为 .
【答案】 (3, + )
【解析】由题意知 f x - f x + ex < 0，故 f x - f x - ex > 0，
x
设 g(x)
f (x)
= - x, x R f (x) - f (x) f (x) - f (x) - ex ，则 g (x) = x -1 = x > 0，e e e
即 g(x)
f (x)
= x - x 在 R 上单调递增，e
由 f 3 = 3e3 g(3) f (3)，可得 = 3 - 3 = 3- 3 = 0，e
故 f x > xex f x 即 x - x > 0，即 g(x) > 0 ，则 g(x) > g(3)，e
故 x > 3 x，即 f x > xe 的解集为 (3, + )，
故答案为： (3, + )
21．已知定义在 0, + 上的函数 f x 2xf x + x2满足 f x < 0, f 2 3 3= ，则关于 x的不等式 f x > 的
4 x2
解集为 ．
【答案】 (0,2)
【解析】令 g x = x2 f x , x 0, + ，则 g x = 2xf x + x2 f x ，
所以当 x > 0 2xf x + x2时， f x < 0，即当 x > 0时， g x < 0，
所以 g x 在 0, + 上单调递减，
f 2 3又 = ，所以 g 2 = 4 f 2 = 3，
4
3 2
因为 f x > 2 ，即 g x = f x x > 3，所以 g x > g 2 ，x
所以原不等式的解集为 (0,2) .
故答案为： (0,2) .
22．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R 上的可导函数 f (x) 满足： f (x) + f (x) > 0，
f 1 1= 1 ÷ ，则 f x > x 的解集为 .è 2 e e
1
【答案】 ,+

è 2 ÷
x x
【解析】记 g x = e f x ，则 g x = e é f x + f x ù，
因为 f (x) + f (x) > 0，所以 g x > 0， g x 在 R 上单调递增，
f 1 1
1
又 ÷ = ，所以 g
1 e2 f 1=
è 2 e 2 ÷ ÷
=1，
è è 2
所以 f (x)
1
> x e
x f (x) >1 g x > g 1 1 ÷ x >e 2 2 ，è
所以，不等式 f 1 1x > x 的解集为 ,+

÷ .e è 2
1
故答案为： ,+

è 2 ÷
23．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知 f x 为偶函数，且当 x 0, + 时， f x + xf x < 0，其中
f x 为 f x 的导数，则不等式 1- x f x -1 + 2xf 2x > 0的解集为 ．
【答案】 - , -1
【解析】令函数 g(x) = xf (x)，当 x 0, + 时， g (x) = f (x) + xf (x) < 0，即函数 g(x)在[0, + ) 上单调递
减，
由 f x 为偶函数，得 g(-x) = -xf (-x) = -xf (x) = -g(x)，即函数 g(x)是奇函数，于是 g(x)在 R 上单调递
减，
不等式 1- x f x -1 + 2xf 2x > 0 2xf 2x > (x -1) f x -1 g(2x) > g(x -1)，
因此 2x < x -1，解得 x < -1，所以原不等式的解集是 - , -1 .
故答案为： - , -1
24．（2024·山东菏泽·三模）已知奇函数 f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为 f x ，当 x > 0时，
有 2 f x + xf x > x2 ，则 (x + 2023)2 f x + 2023 + f -1 < 0的解集为 ．
【答案】 (- , -2022)
2
【解析】当 x > 0时，因为 2 f x + xf x > x > 0 ，所以 2xf x + x2 f x > 0，
所以 éx2 f (x)ù

> 0 ，所以 g(x) = x
2 f (x)在 (0, + )上为增函数，
因为 f (x) 是定义在R 上的奇函数，所以 f (-x) = - f (x) ，
所以 g(-x) = (-x)2 f (-x) = -x2 f (x) = -g(x) ，且 g(x)的定义域为R ，关于原点对称，
所以 g(x)也是定义在R 上的奇函数，且 g(0) = f (0) = 0，
又因为 g(x) = x2 f (x)在 (0, + )上为增函数，所以 g(x)在R 上为增函数，
由 (x + 2023)2 f x + 2023 + f -1 < 0，得 (x + 2023)2 f x + 2023 < - f -1 = f (1) = g(1)，
所以 g(x + 2023) < g(1) ，因为 g(x)在R 上为增函数，
所以 x + 2023 <1，即 x < -2022 .
所以 (x + 2023)2 f x + 2023 + f -1 < 0的解集为 (- , -2022) .
故答案为： (- , -2022)
25．函数 f (x) 定义域为 0,p ，其导函数是 f (x) ，当 0,p 时，有 f (x)sin x - f (x) cos x < 0，则关于 x的不
p
等式 f (x) < 2 f ÷sin x 的解集为 4 ．è
p
【答案】 ,p
è 4 ÷
f (x) f g(x) g (x) (x)sin x - f (x) cos x【解析】令 = ，则 = 2 ，sin x sin x
因为 x 0,p ，所以 sin x > 0，
因为 f (x)sin x - f (x) cos x < 0，
所以 g (x) < 0，
所以 g(x)在 0,p 上为减函数，
f p ÷
由 f (x)
p
< 2 f f (x) 4 4 ÷
sin x ，得 < è ，
è sin x sin p
4
所以 g(x) < g
p
÷，
è 4
因为 g(x)在 0,p 上为减函数，
p
所以 < x < p ，
4
p
所以不等式 f (x) < 2 f
p
÷sin x

4 的解集为
,p ，
è ÷è 4
p
故答案为： ,p

÷
è 4
26 f x f x f x + f x > 0 R e2x．已知函数 的导函数为 ，且满足 在 上恒成立，则不等式 f 2x +1 >
e2-x f 3 - x 的解集是 ．
2
【答案】 ,+ 3 ÷è
【解析】令 g x = ex f x ，则 g x = ex é f x + f x ù > 0，所以 g x 在R 上单调递增，
e2x由 f 2x +1 > e2-x f 3 - x ，得 e2x+1 f 2x +1 > e3-x f 3 - x ，即 g 2x +1 > g 3- x ，
所以 2x +1 > 3 - x，解得 x
2
> .
3
所以不等式 e2x f 2x +1 > e2-x f 3 2- x 的解集是 ,+ ÷ .
è 3
2 ,+ 故答案为： ÷ .
è 3 重难点突破 02 原函数与导函数混合还原问题
目录
01 方法技巧与总结 ...............................................................................................................................2
02 题型归纳总结 ...................................................................................................................................3
题型一：利用 xn f (x) 构造型...................................................................................................................................3
f (x)
题型二：利用 n 构造型 ......................................................................................................................................3x
题型三：利用enx f (x) 构造型 ..................................................................................................................................4
f (x)
题型四：用 nx 构造型 ..........................................................................................................................................4e
题型五：利用sin x 、 tan x 与 f (x) 构造型 ........................................................................................................5
题型六：利用cos x 与 f (x) 构造型 .......................................................................................................................6
题型七：复杂型：en 与 af (x) + bg(x) 等构造型 ...............................................................................................6
题型八：复杂型： (kx + b) 与 f (x) 型 .................................................................................................................7
题型九：复杂型：与 ln(kx + b) 结合型 .................................................................................................................8
题型十：复杂型：基础型添加因式型 .......................................................................................................................8
题型十一：复杂型：二次构造 ...................................................................................................................................8
题型十二：综合构造 ...................................................................................................................................................9
题型十三：找出原函数 .............................................................................................................................................10
03 过关测试 .........................................................................................................................................11
1、对于 xf (x) + f (x) > 0 (< 0)，构造 g(x) = x × f (x) ，
2、对于 xf (x) + kf (x) > 0 (< 0) ，构造 g(x) = xk × f (x)
3、对于 x × f (x) - f (x) f (x)> 0 (< 0)，构造 g(x) = ，
x
4 x f (x) kf (x) 0 ( f (x)、对于 × - > < 0) ，构造 g(x) =
xk
5、对于 f (x) + f (x) > 0 (< 0)，构造 g(x) = ex × f (x) ，
6、对于 f (x) + kf (x) > 0 (< 0) ，构造 g(x) = ekx × f (x)
7、对于 f (x) f (x) 0 ( 0) g(x) f (x)- > < ，构造 = ，
ex
8 f (x) f (x)、对于 - kf (x) > 0 (< 0) ，构造 g(x) =
ebx
9、对于 sin x × f (x) + cos x × f (x) > 0 (< 0)，构造 g(x) = f (x) × sin x ，
10、对于 sin x × f (x) - cos x × f (x) > 0 (< 0)，构造 g(x) f (x)=
sin x
11、对于 cos x × f (x) - sin x × f (x) > 0 (< 0)，构造 g(x) = f (x) × cos x ，
12、对于 cos x × f (x) + sin x × f (x) > 0 ( f (x)< 0)，构造 g(x) =
cos x
13、对于 f (x) - f (x) > k (< 0) ，构造 g(x) = ex[ f (x) - k]
14、对于 f (x) ln x f (x)+ > 0 (< 0)，构造 g(x) = ln x × f (x)
x
15、 f (x) + c = [ f (x) + cx] ； f (x) + g (x) = [ f (x) + g(x)] ； f (x) - g (x) = [ f (x) - g(x)] ；
f 16 (x)g(x) - f (x)g
(x) f (x)
、 f (x)g(x) + f (x)g (x) = [ f (x)g(x)] ； 2 = [ ] ．g (x) g(x)
题型一：利用 xn f (x) 构造型
2
【典例 1-1】函数 f x 是定义在区间 (0, + )上的可导函数，其导函数为 f (x) ，且满足 f x + f x > 0，
x
x + 2023 f x + 2023 2 f 2
则不等式 < 的解集为（ ）
2 x + 2023
A． x | x > -2021 B． x | x < -2021
C． x | -2023 < x < 0 D． x | -2023 < x < -2021
【典例 1-2】（2024·全国·模拟预测）定义在R 上的函数 f (x) 的导函数是 f (x),3 f (x) + xf (x) < 0，函数
y = f (x +1) + 2022为奇函数，则不等式 x3 f (x) + 2022 > 0的解集为（ ）
A． (- ,1) B． (- , -1) C． (1, + ) D． (-1, + )
【变式 1-1】设函数 f x 是定义在 (- ,0)上的可导函数，其导函数为 f x ，且有 2 f x + xf x > 0，则
不等式 (x + 2023)2 f (x + 2023) - 4 f (-2) < 0 的解集为（ ）
A． -2023, -2021 B． -2025,0
C． -2025, -2021 D． -2025, -2023
【变式 1-2】（2024·江西南昌·三模）已知函数 f (x) 的定义域为R ，且 f 2 = -1，对任意 x R ，
f (x) + xf (x) < 0 ，则不等式 x +1 f x +1 > -2的解集是（ ）
A． - ,1 B． - , 2 C． 1, + D． 2, +
f (x)
题型二：利用 n 构造型x
【典例 2-1】已知函数 f x 的定义域为 - ,0 ， f -1 = -1，其导函数 f x 满足 xf x - 2 f x > 0，则
不等式 f x + 2025 + x + 2025 2 < 0的解集为（ ）
A． -2026,0 B． -2026, -2025
C． - , -2026 D． - , -2025
【典例 2-2】已知函数 f x 是定义在 - ，0 U 0，+ 的奇函数，当 x 0，+ 时， xf x < f x ，则不
等式5 f 2 - x + x - 2 f 5 < 0的解集为（ ）
A． - ，- 3 3，+ B． -3，0 0，3
C． -3，0 0，7 D． - ，- 3 2，7
【变式 2-1】（多选题）已知函数 f x 为定义在 - ,0 U 0, + 上的奇函数，若当 x < 0 时，
xf x - f x < 0 ，且 f 1 = 0，则（ ）
A．2 f e > ef 2 B．当m < 2时， f m > mf 1
C．3 f -π + πf 3 < 0 D．不等式 f x > 0解集为 -1,0 1, +
【变式 2-2】已知定义在R 上的函数 f (x) 满足： xf (x) - f (x) > 0，且 f 1 = 2 ，则 f ex > 2ex 的解集为
（ ）
A． 0, + B． ln 2,+ C． 1, + D． 0,1
题型三：利用enx f (x)构造型
【典例 3-1】设函数 f (x) 的定义域为 R， f (x) 是其导函数，若 f (x) + f (x) > 0， f (1) =1，则不等式
f (x) > e1-x 的解集是（ ）
A． (0, + ) B． (1, + )
C． (- ,0) D．( 0, 1)
【典例 3-2】已知定义在R 上的函数 h(x) 满足 2h(x) + h (x) > 0 且 h(1)
1
= 2 ，则不等式 h(x)
1
> 2x 的解集为e e
（ ）.
A． - , e2 B． e2 ,+ C． - ,1 D． 1, +
【变式 3-1 】（ 2024 ·云南楚雄·一模）已知 f x 是 R 上的奇函数，且对任意的 x R 均有
f x
f x + > 0成立．若 f -1 = -1，则不等式 f x < 31-x 的解集为（ ）
ln 3
A． - , -1 B． - ,1 C． -1, + D． 1, +
【变式 3-2】已知定义在R 上的可导函数 f x ，其导函数为 f x ，若 2 f x + f x > 0 ，且 f 1 = e ，则
2x 3
不等式 e f x - e > 0的解集为（ ）
A． 1+ B． e, + C． - ,1 D． - , e
f (x)
题型四：用 构造型
enx
【典例 4-1】（2024·广东广州·三模）已知可导函数 f (x) 的导函数为 f (x)，若对任意的 x R ，都有
f x > f x +1，且 f (x) - 2024 x为奇函数，则不等式 f x - 2023e <1的解集为（ ）
A． (- ,0) B． (- , e) C． (e, + ) D． (0, + )
【典例 4-2】（2024·辽宁鞍山·二模）已知定义在 -2,2 4x上的函数 f x 满足 f x + e f -x = 0，且
f 1 = e2 ， f x 为 f x 的导函数，当 x 0,2 时， f x > 2 f x 2x，则不等式 e f 2 - x < e4 的解集为
（ ）
A． 1, + B． 1,2 C． 0,1 D． 1,4
【变式 4-1】已知定义在 -2，2 上的函数 f x 满足 f (x) + e4x f (-x) = 0,f (1) = e2， f x 为 f x 的导函数，
当 x 0，2 时， f x > 2 f x 2x，则不等式 e f 2 - x < e4 的解集为（ ）
A． -1，1 B． -1，2
C． 1，4 D． 1，5
【变式 4-2】（2024·高三·江苏常州·期末）已知定义在R 上的函数 f x 的导数为 f x ， f 1 = e，且
对任意的 x满足 f x - f x < ex ，则不等式 f x > xex 的解集是（ ）
A． - ,1 B． - ,0 C． 0, + D． 1, +
1
【变式 4-3】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知函数 f x 是函数 f x 的导函数， f 1 = ，对任意实
e
数 x都有 f x - f x > 0 f x 1，设F x = ，则不等式F x A． - ,1 B． 1, +
C． 1,e D． e, +
题型五：利用sin x 、 tan x 与 f (x) 构造型
【典例 5-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为 R，其导函数为 f x ，若
f -x - f x x x x x
= sin ，且当 x 0 2 f x + cos > 0 时， ，则 f 2x + π +1 > f x + sin 2sin +12 2 2 ÷ 的解集2 2 è
为（ ）

A． -π,
π π
3 ÷
B． - , -π U , + ÷
è è 3
π π
C ． -π,-

÷ D． - , -π U

- ,+

÷
è 3 è 3
【典例 5-2】（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数 f x 的定义域为 0, π ，其导函数是 f x .
若对任意的 x 0, π 有 f x sinx - f x cosx < 0 π，则关于 x的不等式 f (x) > 2 f ( )sinx 的解集为（ ）
6
π (0, π ) (π , π) (πA． (0, )3 B． C． D． , π)6 3 6
【变式 5-1】已知定义在 R 上的函数 f (x) ，满足 f (x) = f (-x) - 2sin x ，且任意0 x1 < x2 时，有
f x1 + sin x1 - f x2 - sin x2 > 0 p 成立，则不等式 f x + ÷ > f (x) + sin x - cos x2 的解集为（x x ）1 - 2 è
A ． - ,
p p p pB
2 ÷ ．
, + ÷ C． - , ÷ D． - , + ÷
è è 2 è 4 è 4
【变式 5-2】已知函数 f x = f -x + 2sin 2x ，又当 x 0 时， f x 2，则关于 x 的不等式
f x f π - x ÷ + 2 sin
2x π -

4 4 ÷ 的解集为（ ）．è è
π π
A ． , + B8 ÷ ．
- ,+
8 ÷
π π
C ,+ D - ,+ ． 4 ÷
． 4 ÷
题型六：利用cos x 与 f (x) 构造型
【典例 6-1】（2024·安徽淮南·二模）定义在R 上的函数 f x 满足 f -x + f x + 2cos x = 0，当 x 0 时，
f x > sin x ，则不等式 f x + 2 cos x > f π - x 的解集为（ ）
π , , π π , πA． + ÷ B． - C

2 2 ÷ ．
- ÷ D． - , π
è è è 2 2
π π π
【典例 6-2】偶函数 f x 定义域为 - , ÷，其导函数为 f x ，若对"x 0,2 2 ÷ ，有è 2
π
f x cosx < f x sinx x f成立，则关于 的不等式 ÷2 f x < è 3 的解集为 ．
cosx
π π
【变式 6-1】（2024 ·四川成都·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为 - ,2 2 ÷，其导函数是 f
x .有
è
f x cos x + f x sin x < 0 ，则关于 x f (x) > 2 f
π
的不等式 ÷cos x的解集为 .
è 3
题型七：复杂型：en 与 af (x) + bg(x) 等构造型
【典例 7-1】已知可导函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，若对任意的 x R，都有 f (x) - f (x) >1．且 f (x) - 2022
为奇函数，则不等式 f (x) - 2021ex >1的解集为（ ）
A． - ,0 B． 0, + C． - , e D． e, +
【典例 7-2】已知函数 f x 的导函数为 f x ，若对任意的 x R ，都有 f x > f x + 2 ，且 f 1 = 2022 ，
x-1
则不等式 f x - 2020e < 2的解集为（ ）
A． 0, + B． - ,
1
÷ C． 1, + D． - ,1
è e
x +1 g x
【变式 7-1】已知函数 f x 与 g x 定义域都为R ，满足 f x = ，且有
ex
g x + xg x - xg x < 0， g 1 = 2e，则不等式 f x < 4的解集为（ ）
A． 1,4 B． 0,2 C． - , 2 D． 1, +
【变式 7-2】已知定义在 (-3,3) 上的函数 f (x) 满足 f (x) + e4x f (-x) = 0, f (1) = e2 , f (x) 为 f (x) 的导函数，当
x [0,3)时， f (x) > 2 f (x) ，则不等式 e2x f (2 - x) < e4 的解集为（ ）
A． (-2,1) B． (1,5) C． (1, + ) D．( 0, 1)
题型八：复杂型： (kx + b) 与 f (x) 型
【典例 8-1】已知函数 f x 的定义域是（-5，5），其导函数为 f x ，且 f x + xf x > 2，则不等式
2x - 3 f 2x - 3 - x -1 f x -1 > 2x - 4 的解集是 .
3 1
【典例 8-2】已知函数 f (x) 的定义域为R ， f 2 ÷÷
= - ，若对于任意 x R 都有 f (x) + 4x > 0，则当
è 2
a (0, 2π)时，则关于a 的不等式 f (sina ) - cos 2a < 0的解集为（ ）
π , 5 π 0, π 2A． ÷ B． ÷ U π,2π

è 6 6 3 ÷ è è 3
π 2
C． , π ÷ D． 0,
π 5
3 3 6 ÷
U π,2π ÷
è è è 6
【变式 8-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 f（x）为定义在 R 上的偶函数，当 x 0, + 时，
f x > 2x f 2 = 4 xf x -1 + 2x2 > x3， ，则不等式 + x 的解集为（ ）
A． -1,0 3,+ B． -1,1 U 3, +
C． - , -1 U 0,3 D． -1,3
【变式 8-2】已知定义在 0, + 上的函数 f x 的导函数为 f x ，若 f x < 2，且 f 4 = 5，则不等式
f 2x > 2x+1 - 3的解集是（ ）
A． 0,2 B． 0,4 C． - , 2 D． - , 4
题型九：复杂型：与 ln(kx + b) 结合型
【典例 9-1】（2024·高三·江苏扬州·开学考试）若可导函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x > 0时，
有 ln x × f (x)
1
+ × f (x) < 0，则不等式 (x - 2) × f (x) > 0的解集为（
x ）
A． -2,0 B． 0,2 C． -2,2 D． 2, +
【典例 9-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知定义在 0, + 上的函数 f x 满足 f f xx - -1 > 0，且
x
f 1 =1，则不等式 f ex - x +1 ex > 0的解集为（ ）
A． 0, + B． 1, + C． - ,0 D． - ,1
【变式 9-1】已知函数 f x 的定义域为 0, + ，其导函数为 f x ，若 xf x -1< 0， f e = 2，则关于 x
x
的不等式 f e < x +1的解集为（ ）
A． 0,1 B． 1,e C． 1, + D． e, +
题型十：复杂型：基础型添加因式型
【典例 10-1】已知 f x 为定义域R 上函数 f x 的导函数，且 f x + f 2 - x = 0 ， x 1，
4
x -1 f x + 2 f x > 0 且 f 3 =1，则不等式 f x > x -1 2 的解集为 ．
【典例 10-2】（2024·高三·湖南株洲·开学考试）已知定义在R 上的可导函数 f x 满足
xf x + f x < xf x y f x 3 1，若 = - - x+2是奇函数，则不等式 xf x + 3e > 0的解集是（ ）
e
A． - , -2 B． - , -3 C． -2, + D． -3, +
【变式 10-1】（2024·山东聊城·三模）设函数 f x 的定义域为R ，导数为 f x ，若当 x 0 时，
f x > 2x -1，且对于任意的实数 x, f -x = f x + 2x ，则不等式 f 2x -1 - f x < 3x2 - 5x + 2的解集为
（ ）
A． 1 1- ,1 B 1． ,1÷ C． - ,+ ÷ D． - , - 3 1,+ è 3 è 3
题型十一：复杂型：二次构造
【典例 11-1】已知定义为 1, + 的函数 f x 的导函数 f x , f e 2, f (x)且 = = f x lnx，则不等式
x
xf x < 2e的解集是 ．
1 1
【典例 11-2】函数 f x 满足： 2ex f x + ex f x = x ， f ( ) = x > 0 f x2 ．则 时， 2 2e
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
p
【变式 11-1】设函数 f (x) 的导数为 f (x) ，且 f (x) + xex = xf (x)， f (1) = -p ， f (2) = - ，则当 x > 0时，
2
f (x) （ ）
A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
1 1
【变式 11-2 2】定义在 0, + 上的函数 f x 满足 xf x + f x = x ln x，且 f ÷ = - ，则 f x （2e ）è e
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
题型十二：综合构造
【典例 12-1】已知定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f (x 1- ) + f (-x -1) = 0， e4 f (2022) =1，若 f (x) > f (-x)，
2
则关于 x 的不等式 f (x
1
+ 2) > x 的解集为（e ）
A．（4，+∞） B．（-∞，4） C．（-∞，3） D．（3，+∞）
【典例 12-2】已知定义在R 上的奇函数 f x ，其导函数为 f x ，当 x 0 时，满足
f x f 2x +1 x2 + 3 f x + 2xf -x > 0，则不等式 x2 + 3 4 x2 + x +1 的解集为（ ）
A． 1, + B． - ,0 C． - , -1 D． 0, +
【变式 12-1】已知函数 f x 的定义域为 0, + ，导函数为 f x ，不等式 x +1 2 f x + xf x ù > xf x
f 6 7
3x +15
恒成立，且 = ，则不等式 f x + 4 < x + 4 2 的解集为（12 ）
A． - , 4 B． 0,2 C． -4,2 D． -4,4
【变式 12-2】（2024·高三·山东烟台·期中）定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f x ，满足
f x +1- e2x 1+ f -x = 0, f 1 = e2 -1，且当 x (0,+ )时， f x - f x >1，则不等式 f x -1 > ex -1
的解集为（ ）
A． (0,2) B． (-1,1) C． (- ,0) U (2, + ) D． - , -1 1, +
【变式 12-3】（2024·高三·河南新乡·开学考试）设函数 f x 在R 上的导函数为 f (x) ，
f (x) + f (-x) = 0，对任意 x (0,+ )，都有 f (x) f (x) > x ，且 f 1 = 2 ，则不等式[ f (x -1)]2 < x2 - 2x + 4 的
解集为（ ）
A． (- ,0) U (2, + ) B． 0,2 C． 1,3 D． (- ,1) U (3,+ )
题型十三：找出原函数
x 2
【典例 13-1】设函数 f x 满足 xf x + 2 f x e= ， f 2 e= ，则 x > 0时， f x （ ）
x 4
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【典例 13-2】设函数 f (x) 是定义在 (-1, + )上的连续函数，且在 x = 0处存在导数，若函数 f (x) 及其导函数
f (x) 满足 f (x) ln(x +1) = x
f (x)
- ，则函数 f (x) （ ）
x +1
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
ln x
【变式 13-1】（2024·辽宁大连·一模）函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，满足 xf (x) + 2 f (x) = ，且
x
f (e) 1= ，则 f (x) 的极值情况为（ ）
2e
A．有极大值无极小值 B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【变式 13-2】设函数 f (x) 是定义在 (0, + )上的连续函数，且在 x =1处存在导数，若函数 f (x) 及其导函数
f (x) ln x x f (x)f (x) 满足 = - ，则函数 f (x) （ ）
x
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值
【变式 13-3】（2024 3 x·全国·一模）若函数 f x 满足 xf x - f x = x e , f 1 = 0，则当 x > 0时， f x
（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【变式 13-4】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数 f x 的定义域为 0, + ， f x 为函数 f x 的导
x2函数，若 f x + xf x =1， f 1 = 0，则不等式 f 2x - 3 > 0的解集为（ ）
A． 0,2 B． log23,2 C． log23, + D． 2, +
1．（2024·高三·江苏扬州·期末）已知函数 f x 的导数为 f x ，对任意实数 x，都有 f x - f x > 0，
且 f 1 =1，则 f x > ex-1的解集为（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． -1,1 D． - , -1 1,+
2．已知函数 f x 是奇函数 f x x R 1的导函数，且满足 x > 0时， ln x × f x + f x < 0，则不等式
x
x - 985 f x > 0 的解集为（ ）
A． 985,+ B． -985,985 C． -985,0 D． 0,985
3．（2024·高三·宁夏石嘴山·期中）已知函数 f (x) 在 R 上的导函数为 f (x) ，若 f (x) < 2 f (x)恒成立，
x
且 f ln 4 = 2，则不等式 f (x) > e2 的解集是（　　）
A． ln 2,+ B． 2ln 2, + C． - , ln 2 D． - , 2 ln 2
4．已知可导函数 f x 的导函数为 f x , f 0 = 2023，若对任意的 x R ，都有 f x < f x ，则不等式
f x < 2023ex 的解集为（ ）
0, 2023A． + B． 2 ,+

e ֏
, 2023 C． - 2 ÷ D． - ,0 è e
1
5．（2024

·高三·四川内江·期末）已知 f x 是函数 f x 的导函数， f ÷ = 2e2 ，其中
e是自然对数的
è
底数，对任意 x R f x + 2 f x > 0 f x - 2e2-2x，恒有 ，则不等式 > 0的解集为（ ）
A． - , e B． - ,
1
C
1
÷ ． , +

2 ÷
D． e, +
è è 2
6．已知 f x 是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 f x ，对"x R 时，有 f x - 2 f x > 0，则不等式
f x + 2023 - e2x+4042 f 2 < 0（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． -2021, + B． -2025, +
C． - , -2021 D． - , -2025
7．定义域为 R 的可导函数 y = f x 的导函数为 f x ，满足 f x > f x 且 f 0 =3，则不等式
f x < 3ex 的解集为（ ）
A． - ,0 B． - ,3 C． 0, + D． 3, +
8．已知定义在 R 上的函数 f x ，其导函数为 f x ，若 f x - f -x + 2x3 + 2x = 0 ，且当 x 0 时，
f x + 3x2 +1< 0，则不等式 f x +1 - f x + 3x2 + 3x + 2 0的解集为（ ）
A． 1 1- ,0 B． 0, + C． - , - ù ú D． - , +

2 2 ֏
9．定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，若对任意实数 x，有 f x > f x ，且 f x + 2023为奇函数，
x
则不等式 f x + 2023e < 0 的解集是（ ）
1
A． - ,0 B． - , ÷ C． 0, +
1
D． ,+

e e ÷è è
10．（多选题）设定义在R 上的函数 f (x) 的导函数为 f (x) ，若满足 xf (x) - f (x) = x2ex ，且 f (1) = e ，则下
列结论正确的是（ ）
A． f (x) 在R 上单调递增
B．不等式 f (x) e 的解集为 1, +
C f x eax．若 恒成立，则 a
1
+1
e
D．若 f x1 = x2 ln x2 = 4，则 x1x2 = 4
11．已知函数 f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为 f (x) ，且当 x < 0 时， 2 f x + xf (x) < 0，则不等
x - 2023 2式 f (x - 2023) - f (-1) > 0的解集为 ．
12．已知定义在R 上的函数 f x 满足 f 2 + x = f -x ，且当 x >1时，有 xf x + f x > f x ，若
f 2 =1，则不等式 f x 1< 的解集是 ．
x -1
13．若定义在R 上的函数 f x 满足 f x + 2 f x > 0 ，且 f 0 =1，则不等式 f x 1> 2x 的解集为 e
π ,0 0, π π- f (x) 14．定义在 2 ÷ 2 ÷ 上的奇函数 的导函数为
f (x) ，且当 x 0, ÷ 时， f (x) tan x - f (x) > 0，
è è è 2
π
则不等式 f (x) < 2 f ÷sin x的解集为 ．
è 6
f x f x xf x - 2 f x > 0 f 1 115．已知定义在R 上的偶函数 ，其导函数为 ，若 ， - = ，则不等式
2
2 f x < x2 的解集是 .
16．已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为R ，且 f x > f x ，若 f 0 = 0，则不等式
f 2x2 - 5x - 7 > 0的解集为 .
17．已知 f x 是函数 f x 的导函数，且满足 f x > f x 在R 上恒成立，则不等式
f 2x -1 - e3x-2 f 1- x > 0的解集是 .（用区间表示）
18． f (x) 是定义域为 (- ,0) U (0, + )上的奇函数， f (2) = 0，当 x > 0时，有 x × f (x) - f (x) < 0，则不等式
x × f (x) > 0 的解集为 ．
19．已知定义在 0, + 上的函数 f x 的导函数为 f x ，若 f x < 2，且 f 4 = 5，则不等式
f log2 x > log2 x2 - 3的解集是 ．
20．（2024·高三·上海浦东新·期中）定义在R 上的函数 f x 满足 f x - f x + ex < 0，其中 f x 为
f x 3 x的导函数，若 f 3 = 3e ，则 f x > xe 的解集为 .
21 2
3 3
．已知定义在 0, + 上的函数 f x 满足 2xf x + x f x < 0, f 2 = ，则关于 x的不等式 f x > 的
4 x2
解集为 ．
22．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R 上的可导函数 f (x) 满足： f (x) + f (x) > 0，
f 1 1 ÷ =
1
2 ，则
f x > x 的解集为 .è e e
23．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知 f x 为偶函数，且当 x 0, + 时， f x + xf x < 0，其中
f x 为 f x 的导数，则不等式 1- x f x -1 + 2xf 2x > 0的解集为 ．
24．（2024·山东菏泽·三模）已知奇函数 f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为 f x ，当 x > 0时，
有 2 f x + xf x > x2 ，则 (x + 2023)2 f x + 2023 + f -1 < 0的解集为 ．
25．函数 f (x) 定义域为 0,p ，其导函数是 f (x) ，当 0,p 时，有 f (x)sin x - f (x) cos x < 0，则关于 x的不
等式 f (x)
p
< 2 f ÷sin x 的解集为 4 ．è
26．已知函数 f x 的导函数为 f x ，且满足 f x + f x > 0 2x在R 上恒成立，则不等式 e f 2x +1 >
e2-x f 3 - x 的解集是 ．

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