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重难点突破 02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................4
题型一：平移法求异面直线所成角....................................................................................................4
题型二：定义法求线面角....................................................................................................................5
题型三：等体积法法求线面角............................................................................................................7
题型四：定义法求二面角....................................................................................................................8
题型五：三垂线法求二面角..............................................................................................................10
题型六：射影面积法求二面角..........................................................................................................12
题型七：垂面法求二面角..................................................................................................................14
题型八：补棱法求二面角..................................................................................................................16
题型九：距离问题..............................................................................................................................17
03 过关测试 .........................................................................................................................................19
技巧一：二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角 l 的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面 和 内作垂直于棱的射线OA和
OB ，则射线OA和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面 或面 内找一合适的点 A，作 AO 于O，过 A作 AB c 于 B ，则 BO为斜线 AB 在面 内
的射影， ABO为二面角 c 的平面角．如图 1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点 A，作 AO 于O；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过 A作 AB c 于 B ，连接 BO；
③计算： ABO为二面角 c 的平面角，在 Rt△ABO 中解三角形．
A
C
A
a B
A'
C'
B
O B'
b b
图 1 图 2 图 3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面
S
积公式（ cos 射 =
S A ' B 'C ' ，如图 2）求出二面角的大小；
S S
斜 ABC
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是
二面角的平面角．
技巧二：线与线的夹角
平行直线
共面直线
（1）位置关系的分类： 相交直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
（2）异面直线所成的角
①定义：设 a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线 a ∥a，b ∥b ，把 a 与 b 所成的锐角（或
直角）叫做异面直线 a与b 所成的角（或夹角）．

②范围： (0， ]
2
③求法：平移法：将异面直线 a，b平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
技巧三：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．

②范围：[0， ]
2
③求法：
常规法：过平面外一点 B 做 BB 平面 ，交平面 于点 B ' ；连接 AB ，则 BAB 即为直线 AB 与平
BB h
面 的夹角．接下来在 Rt△ABB 中解三角形．即 sin BAB （其中 h 即点 B 到面 的距离，
AB 斜线长
可以采用等体积法求 h ，斜线长即为线段 AB 的长度）；
题型一：平移法求异面直线所成角
【典例 1-1】在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AA1，D，E 分别是 A1B1，CC1中点，则异面直线BD与
AE 所成角的余弦值为（ ）
1 2
A． B 6 2 6． C． D．
5 5 5 5
【典例 1-2】如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1, AB1 2AB, M 为 A1C1的中点，则 AM 与BC1所成角的余弦
值为（ ）
A．1 B 10 C 6 D 5． ． ．
4 4 10
【变式 1-1】在正四棱台 ABCD A1B1C1D1中， AB 2A1B1 2AA1，点O为底面 ABCD的中心，则异面直线
OB1与CC1所成的角为（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．90°
【变式 1-2】如图，在正四面体 ABCD 中．点 E 是线段 AD 上靠近点 D 的四等分点，则异面直线 EC 与 BD
所成角的余弦值为（ ）
A 3 13 B 13 C 13 D 3 13． ． ． ．
26 13 26 13
【变式 1-3】已知空间四边形 ABCD中， E 、 F 分别是 AC 、 BD的中点，若 AB 2 3 ，CD 4， EF AB，
则EF 与CD所成的角为（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．90°
题型二：定义法求线面角
【典例 2-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）如图，在四面体 ABCD中，DA DB DC 2 .若从直
1
线DA，DB，DC ，BC 中任选两条，则它们互相垂直的概率为 .
2
(1)证明： AD 平面BCD；
(2) 2 3若四面体 ABCD的体积为 ，且BC BD，求直线 AB 与平面 ADC 所成角的正弦值.
3
【典例 2-2】如图，四边形 ABCD是矩形， AD 2，DC 1， AB 平面BCE ， BE EC ，EC 1 .点F 为
线段 BE 的中点.
(1)求证：DE //平面 ACF ；
(2)求 AC 和平面 ABE 所成角的正弦值.
【变式 2-1】如图，已知 AA1 平面 ABC, BB1 //AA1, AB AC 3, BC 2 5 ， AA1 7 ，BB1 2 7 ，点E
为BC 的中点．
(1)求证： AE // 平面 A1CB1；
(2)求直线 A1B1 与平面BCB1所成角的大小．
【变式 2-2】如图，在四棱锥 P ABCD ， PA 底面 ABCD， AB BC，AD / /BC ， PA AD 4， BC 1，
AB 3 .
(1)证明：平面PCD 平面PAC ；
(2)求 AD 与平面 PCD所成角的正弦值.
题型三：等体积法法求线面角
【典例 3-1】如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是棱 PB，PC 的中点，Q
是棱 PA 上一点，且 AQ 3QP .
(1)求证: NQ / /平面 MCD;
(2) AB 14, BC PB PD 8, PA PC 4 6 ，求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值.
【典例 3-2】如图 1，在四边形 ABCD中， AB∥CD, AB 1, A 60°, BD CD, ABD 90°，将△ABD 沿
边 BD 翻折至△PBD ，使得平面PBD 平面BCD，如图 2 所示．E 是线段 PD 上的一点，且BE PD．
(1)求证：平面BEC 平面 PCD；
(2)求直线 BE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
【变式 3-1】正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， P 是线段 A1B 上的动点.
(1)求证：平面BDD1B1 平面 A1BC1；
(2) PB 31与平面 A1BC1所成的角的余弦值为 ，求 PB的长．
3
【变式 3-2】在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D、E 分别是棱 AC, A1C1的中点，F 为线段B1E 上的点．
(1)证明：CF // 平面 A1BD ；
EF
(2)若 AB BC CA BB1 2，当DF
15
与平面 A1BD 所成角的正弦值为 时，求
10 FB
的值．
1
题型四：定义法求二面角
【典例 4-1】如图，在边长为 4 的菱形 ABCD中， ABC 60o, E, F 分别是 AB, BC 的中点，将△BEF 沿
EF 折起，使点 B 到 P 的位置，且PD 4 2 ．
(1)若平面PAC I平面PEF l ，判断 AC 与 l的位置关系并说明理由；
(2)求直线PE与平面 ABCD所成角的正弦值；
(3)求二面角D PE F 大小的余弦值．
【典例 4-2】如图PO为三棱锥P ABC 的高，点O在三角形 ABC 内，D为BP中点（图中未画），
BD BO 2，OD / / 平面PAC .
(1)求直线BP与平面 ABC 所成角；
(2)若OA OC ，且 APB CPB ，求二面角P AC B 的大小.
【变式 4-1】如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个不同的动点E, F .
(1)求证：EF // 平面 ABCD；
(2)二面角 A EF B的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由.
【变式 4-2】五面体 ABCDEF 中， ABC BAD 90°，BC 2AD 2EF 4， ABE ，VADE 均为正三
角形.
(1)证明：BE CD；
(2)求平面 ABF 与平面BDE 所成夹角的余弦值.
【变式 4-3】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD为菱形， BAD 60 o，PA PD ，E 为PC 的中
点.
(1)证明：PA / / 平面BDE ；
(2)若 PA PB 2 3 ，PD 2 .
求二面角P AD B的余弦值；
题型五：三垂线法求二面角
【典例 5-1】如图，在三棱锥 A BCD中，△ABD 是等边三角形，
BD DC, AB 2, AC 4, DBC 60o , E, F 分别为 AD, DC 的中点.
(1)求证：平面BEF 平面 ADC ；
(2)求二面角E BF D 的余弦值.
【典例 5-2】如图 1，平面图形PABCD由直角梯形 ABCD和Rt△PAD 拼接而成，其中 AB BC 1，
BC∥AD， AB AD ，PA PD 2 ，PA PD ，PC 与 AD 相交于点O，现沿着 AD 将其折成四棱锥
P ABCD （如图 2）．
(1)当侧面PAD 底面 ABCD时，求点 B 到平面 PCD的距离；
(2)在（1）的条件下，线段PD上是否存在一点Q．使得平面QAC 与平面 ACD 6夹角的余弦值为 ？若存
3
PQ
在，求出 QD 的值；若不存在，请说明理由．
【变式 5-1】如图，在四棱锥P ABCD 中，M 为 AP 边上的中点， N 为CP边上的中点，平面PBC 平面
ABCD， PBC 90°, AD / /BC, ABC 90°, 2AB 2AD 2CD BC 2．
(1)求证：MN / / 平面 ABCD；
(2)求证：CD 平面PBD ；
(3) 3若直线PD与底面 ABCD所成角的余弦值为 ，求二面角 B PC D的正切值．
3
【变式 5-2】如图，已知四棱锥 S ABCD 中， AB BC 1, ABC 120o , AB AD,CD 平面 SAD，且
uuur uuur
SG 2 SC .
3
(1)证明：BG ∥平面 SAD；
4
(2)已知锐二面角 S AC D的正弦值为 ，求二面角C SA D 的余弦值.
5
题型六：射影面积法求二面角
【典例 6-1】如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD为正方形， PA 平面
ABCD, PA AB a ，求平面 PBA与平面 PDC 所成二面角的大小．
【典例 6-2】在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD 是正三角形，平面 PAD⊥底面
ABCD．
(1)证明：AB⊥平面 PAD；
(2)求面 PAD 与面 PDB 所成的二面角的正切值．
【变式 6-1】如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD为正方形， PA 平面
ABCD, PA AB a ，求平面 PBA与平面 PDC 所成二面角的大小．
【变式 6-2】类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图 1，由射线
PA、 PB、PC 构成的三面角P ABC ， APC ， BPC ， APB g ，二面角 A PC B的大小为
，则cosg cos cos + sin sin cos .
(1)如图 2，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，平面 AA1C1C 平面 ABCD， A AC 60
o
1 ， BAC 45o ，求
A1AB 的余弦值；

(2)当 、 0,

÷ 时，证明以上三面角余弦定理；
è 2
(3)如图 3，斜三棱柱 ABC A1B1C1中侧面 ABB1A1，BCC1B1， ACC1A1 的面积分别为 S1， S2， S3 ，记二面角
A CC1 B，二面角B AA1 C ，二面角C BB1 A的大小分别为 1， 2 ， 3 ，试猜想正弦定理在三维空
间中推广的结论，并证明.
题型七：垂面法求二面角
【典例 7-1】（2024·高三·山东济南·开学考试）如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD和侧面
ABB1A1均是边长为 2 的正方形.
(1)证明：BD1 B1C .
(2)若 B o1BC 120 ，求二面角 A BC D1的余弦值.
【典例 7-2】已知二面角 l ，若直线 a ，直线b ，且直线 a,b所成角的大小为60°，则二面角
l 的大小为_________.
【变式 7-1】如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面PAD 底面 ABCD， PAD为正三角
形，E 是 AB 的中点， AD 2, AB 4 .
(1)求点 C 到平面PDE 的距离.
(2)求二面角D PE C 的余弦值.
【变式 7-2】在三棱台 ABC - A1B1C1 中， AB AC, AB 2A1B1 2, AC 2 2,CC1 2 ， A1AC A1CA，且
平面 ACA1C1 平面 ABC ．
(1)求证：平面 A1BC 平面 ABC1；
(2)求二面角 A A1C B的正弦值．
题型八：补棱法求二面角
【典例 8-1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，在三棱台 ABC A1B1C1中，△AB1C 为正三角形，
AB BC 2， AB BC，点D为 AC 的中点，平面 ABC 平面 AB1C ．
(1)若C1D B1C ，证明：平面BC1D 平面BCC1B1；
(2)若 AA1 CC1 4，记平面 ABB1A1与平面BC1D的交线为 l，求二面角 A1 l C1的余弦值．
【典例 8-2】如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，M 、 N 分别为棱BB1、BC 的中点．
(1)证明：直线DN // 平面 AMD1 ；
(2)设平面 AMD1 与平面 ABCD的交线为 l，求点M 到直线 l的距离及二面角D1 l C 的余弦值．
【变式 8-1】《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪
左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形
成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥 P ABC 中，
PA 平面 ABC .
（1）从三棱锥P ABC 中选择合适的两条棱填空：________ ________，则三棱锥P ABC 为“鳖臑”；
（2）如图，已知 AD PB ，垂足为D， AE PC ，垂足为E ， ABC 90° .
（i）证明：平面 ADE 平面PAC ；
（ii）设平面 ADE 与平面 ABC 交线为 l，若PA 2 3 ， AC 2，求二面角E l C 的大小.
题型九：距离问题
【典例 9-1】（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体 ABCD 中， AB AC AD BC BD 2，
BC BD，E，F 分别为 AB，AC 的中点.
(1)证明：平面 ACD 平面 BCD；
(2)求点 A 到平面 BDF 的距离.
【典例 9-2】如图，在四棱锥P ABCD 中， AB / /CD,CD BC ，PB CD 2AB 2, PA BC 3 ．
(1)若点O为CD中点，求证： AB 平面PAO ；
(2)若二面角P AB C 的平面角为60°，求点D到平面PAC 的距离．
【变式 9-1】多面体 ABC A1B1C1中， AA1∥BB1∥CC1，平面 A1B1C1∥平面 ABC ，平面 AA1C1C 底面 ABC，
BC 2， AC 2 3， ABC 90°， AA1 A1C ，且 AA1 A1C ．
(1)求 AA1与平面 ABC 所成角；
(2)求平面 A1ABB1与平面 ABC 所成二面角的大小；
(3)求侧棱BB1到侧面 AA1C1C 的距离．
【变式 9-2】如图①，已知VAB C 是边长为 2 的等边三角形，D 是 AB 的中点，DH B C ，如图②，将
B DH 沿边 DH 翻折至△BDH .
BF
(1)在线段 BC 上是否存在点 F，使得 AF // 平面BDH ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
FC
(2)若平面 BHC 与平面 BDA 所成的二面角的正切值为 2 2 ，求点 B 到直线 CH 的距离.
1．平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A, / / 平面CB1D1, I平面 ABCD m， I 平面 ABB1A1 n，
则m, n所成角的正弦值为 .
2．在三棱锥 A BCD中， AB 平面 BCD， BD CD， AB 3 且最长的棱长为 13 ， E 为棱 AD 的中点，
则当三棱锥 A BCD的体积最大时，直线 AC 与 BE 所成角的余弦值为 .
3．菱形 ABCD 的对角线 AC 3 ，沿 BD 把平面 ABD 折起与平面 BCD 成120°的二面角后，点 A 到平面
BCD 的距离为 ．
4．在正三棱柱 ABC A1B1C1中，E 为棱BC 的中点，如图所示．
(1)求证： A1B / / 平面 AEC1；
(2)若二面角C AE C1 的大小为60°，求直线 AC 和平面 AEC1所成角的正弦值．
5．如图，在三棱台 ABC A1B1C1中， A1B1 与 A1C, B1C1都垂直，已知 AB 3, A1A AC 5．
(1)求证：平面 A1BC 平面 ABC ．
(2) 21直线 A1B 与底面 ABC 所成的角 为多少时，二面角 A1 AC B 的余弦值为 ？
14
6．如图， AB 是半球 O 的直径，P 是半球底面圆周上一点，Q 是半球面上一点，且 AP PQ ．
(1)求证：PQ BQ；
(2)若 AB 4, AP 1, BQ 3 ,求直线 PQ与平面 ABQ所成角的正弦值．
7．如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PBD 平面 ABCD，四边形 ABCD是梯形， AB / / CD，
BC CD, BC CD 2AB 2 2, E 是棱PA上的一点.
(1)若PE 2EA，求证：PC ∥平面EBD ；
(2)若PA 平面EBD ，且 PA 4 ，求直线BC 与平面EBD 所成角的正弦值.
uuur uuur
8 3．如图，在长方形 SABC中， AB 2 3 ，BC 2， SD lSC( < l < 1)，将 SAD 沿 AD 折起至△S AD ，使
3
平面 S AB 平面 ABC .
(1)证明：BC 平面 S AB ；
2
(2)若二面角 S AD B 的平面角的余弦值为 ，求 SD 的长；
3
1
(3)设直线BC 与平面 S AD 所成的角为 1，二面角 S AD B 的平面角为 2 ，证明： cos 2 1 + 2 2 1cos .2
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）
9．“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧
棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， PA 4 ，平面PAB 平面 ABCD，平面
PAD 平面 ABCD .
(1)求证：四棱锥P ABCD 是“阳马”；
é π π ù
(2)点 M 在正方形 ABCD内（包括边界）．平面 ⊥ 平面 PDM 且 ADM ê , 4 3 ú
，

（i）求 M 点轨迹长度；
（ii）是否存在 M 点，使得平面BPM 平面CPM ，若存在，求二面角 A PD M 的余弦值；若不存在，
请说明理由．
10．如图（1）梯形 ABCD中， AD∥BC ， AB 2 3 ，BC 2，CD 2 2 ，BE AD且BE 2，将梯形沿
BE 折叠得到图②，使平面 ABE 平面BCDE ，CE与BD和交于 O，点 P 在 AB 上，且 AP 2PB，R 是
CD的中点，过 O、P、R 三点的平面交 AC 于 Q．在图（2）中：
(1)证明：Q 是 AC 的中点；
3 AM
(2)M 是 AB 上一点，已知二面角M EC B的正切值为 ，求 的值．
4 AB
11．空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 2π与
多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体
π π
每个顶点均有 3 个面角，每个面角均为 3 ，故其各个顶点的曲率均为 2π 3 π .如图，在直三棱柱3
ABC A B C 2π1 1 1中，点A 的曲率为 ， N ，M 分别为 AB ，CC1的中点，且 AB AC .3
(1)证明：CN 平面 ABB1A1；
(2)若 AA1 2AB ，求二面角B1 AM C1的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面
体的顶点数为D，棱数为 L，面数为M ，则有：D L + M 2 .利用此定理试证明：简单多面体的总曲率
（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
12．如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，点 D 是 BC 的中点， AB AA1 4．
(1)求证： A1B// 平面 ADC1；
(2)求证：平面 ADC1 平面BCC1B1；
(3)求直线 A1B 到平面 ADC1的距离．
13．如图在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 90°， BC 2，CC1 4，E 是 BB1上的一点，且 EB1 1，D、
F、G 分别是CC1、 B1C1 、 A1C1的中点，EF 与B1D相交于H ．
(1)求证：B1D 平面 ABD；
(2)求平面EGF 与平面 ABD的距离．
14．如图，已知三棱台 ABC A1B1C1，底面VABC 是以 B
14 3
为直角顶点的等腰直角三角形，体积为 ，平
3
1
面 ABB1A1 平面 ABC ，且 AA1 A1B1 BB1 AB .2
(1)证明：BC 平面 ABB1A1；
(2)求点 B 到面 ACC1A1 的距离；
π
(3)在线段CC1上是否存在点F ，使得二面角 F AB C 的大小为 ，若存在，求出CF 的长，若不存在，请6
说明理由.
π uuur uuur
15．如图，在VABC 中， ACB , AC 2, BC 4，点 P 满足
2 AP lPB
，沿CP将△ACP折起形成三棱
锥 A1 PBC .
(1)若l 1， A1在面 PBC 上的射影恰好在BC 上，求二面角 A1 CP B 平面角的余弦值；
(2)若二面角 A1 CP B 为直二面角，当 A1B 取到最小值时，求l 的值及点 P 到平面 A1BC 的距离.
16．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：
如图 1，由射线PA， PB，PC 构成的三面角P ABC ，记 APC ， BPC ， APB g ，二面角
A PC B的大小为 ，则 cosg cos cos + sin sin cos ．如图 2，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，
YABCD 为菱形， BAD 60°， 1 = 2 3， AB 2，且 A1点在底面 ABCD内的射影为 AC 的中点O．
(1)求 cos A1AB的值；
π π
(2)直线 AA1与平面 ABCD内任意一条直线夹角为j ，证明： j ；3 2
uuur uuuur
(3)过点 B 作平面h ，使平面h // 平面 A1C1D ，且与直线CC1相交于点 P ，若C1P lC1C ，求l 值．
17．如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD 60°， PB PD， PA PC ，
点 E，F 分别为棱 AD，PC 的中点．
(1)若EF 3，PA 2 ，求异面直线 EF 与 AB 的夹角 的大小；
(2)若直线 PC 与平面 ABCD 所成角的大小为30°．
①求二面角B PA D 的余弦值；
②求点 F 到平面 PAB 的距离．
18．如图，在六面体 PABCD中，△PCD为等边三角形，平面 PAC 平面 PCD， PA PD ， AB CD 2，
BC AD 4，PB 2 3 ，
(1)求证：PA 平面 PCD；
(2)求直线 AD 与平面PAC 所成角的正弦值；
(3) PC M M AB C 8 3
PM
线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的平面角的余弦值为 .若存在，求出 PC 值；15
若不存在，请说明理由.
19．在三棱锥P ABC 中， AB AC PB PC ，点 P 在平面 ABC 内的投影为 H，连接 AH．
(1)如图 1，证明： AP BC；
(2)如图 2，记 PAB ，直线 AP 与平面 ABC 的夹角为 1， BAH 2 ，求证： cos cos 1 ×cos 2 ，并
比较 和 1的大小；
(3)如图 3，已知 AB 5, AP 4, BC 6，M 为平面 PBC 内一点，且 AM 4，求异面直线 AM 与直线 BC 夹
角的最小值．重难点突破 02 利用传统方法求线线角、线面角、二面角与距离
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................4
题型一：平移法求异面直线所成角....................................................................................................4
题型二：定义法求线面角....................................................................................................................7
题型三：等体积法法求线面角..........................................................................................................12
题型四：定义法求二面角..................................................................................................................17
题型五：三垂线法求二面角..............................................................................................................23
题型六：射影面积法求二面角..........................................................................................................32
题型七：垂面法求二面角..................................................................................................................37
题型八：补棱法求二面角..................................................................................................................41
题型九：距离问题..............................................................................................................................47
03 过关测试 .........................................................................................................................................53
技巧一：二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，
如图在二面角 l 的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面 和 内作垂直于棱的射线OA和
OB ，则射线OA和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就
相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面 或面 内找一合适的点 A，作 AO 于O，过 A作 AB c 于 B ，则 BO为斜线 AB 在面 内
的射影， ABO为二面角 c 的平面角．如图 1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点 A，作 AO 于O；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过 A作 AB c 于 B ，连接 BO；
③计算： ABO为二面角 c 的平面角，在 Rt△ABO 中解三角形．
A
C
A
a B
A'
C'
B
O B'
b b
图 1 图 2 图 3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面
S
积公式（ cos 射 =
S A ' B 'C ' ，如图 2）求出二面角的大小；
S S
斜 ABC
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为
补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面
积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是
二面角的平面角．
技巧二：线与线的夹角
平行直线
共面直线
（1）位置关系的分类： 相交直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
（2）异面直线所成的角
①定义：设 a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线 a ∥a，b ∥b ，把 a 与 b 所成的锐角（或
直角）叫做异面直线 a与b 所成的角（或夹角）．

②范围： (0， ]
2
③求法：平移法：将异面直线 a，b平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
技巧三：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．

②范围：[0， ]
2
③求法：
常规法：过平面外一点 B 做 BB 平面 ，交平面 于点 B ' ；连接 AB ，则 BAB 即为直线 AB 与平
BB h
面 的夹角．接下来在 Rt△ABB 中解三角形．即 sin BAB （其中 h 即点 B 到面 的距离，
AB 斜线长
可以采用等体积法求 h ，斜线长即为线段 AB 的长度）；
题型一：平移法求异面直线所成角
【典例 1-1】在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AA1，D，E 分别是 A1B1，CC1中点，则异面直线BD与
AE 所成角的余弦值为（ ）
1 2
A B C 6 D 2 6． ． ． ．
5 5 5 5
【答案】A
【解析】设 AB AA1 4，取 AA1的中点Q， AB 的中点M ， AM 的中点 N ,
易知 AE //QC1 , DB//A1M //QN ,
所以异面直线BD与 AE 所成角为 C1QN 或其补角.
由正三棱柱的几何特征可得 AQ AN , A1Q A1C1，CC1 CN .
QN AQ2 + AN 2 22 +12 5 ,
QC AQ21 1 + (A
2 2 2
1C1) 2 + 4 2 5 ,
CM 4 sin 60° 2 3 ，CN MN 2 + CM 2 1+12 13，
C1N CN
2 + C1C
2 13+16 29 ,
2
C QN cos C QN QN + (QC )
2 C 21 1N 5 + 20 29 1在△ 1 中，由余弦定理可得 1 ,2QN ×QC1 2 5 2 5 5
1
所以直线BD与 AE 所成角的余弦值为 .
5
故选:A.
【典例 1-2】如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1, AB1 2AB, M 为 A1C1的中点，则 AM 与BC1所成角的余弦
值为（ ）
A 1 B 10 6 5． ． C． D．
4 4 10
【答案】B
【解析】如图，取 AC 的中点D，连接DC1、BD，易知 AM ∥DC1，
所以异面直线 AM 与BC1所成角就是直线DC1与直线BC1所成的角，即 BC1D（或其补角），
由题意可知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都相等，
可设三棱柱的棱长都为 2，则 DC1 5 ， BD 3 ， BC1 2 2 ，
2 2 2
因为 BC1 DC1 + BD ，所以 BDC1为直角三角形，
DC1 10
所以 cos BC1D BC1 4
AM BC 10即异面直线 与 1所成角的余弦值为 .
4
故选：B .
【变式 1-1】在正四棱台 ABCD A1B1C1D1中， AB 2A1B1 2AA1，点O为底面 ABCD的中心，则异面直线
OB1与CC1所成的角为（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】如图所示，连接 A1C1, AC, BD，则 AC I BD O ，连接 A1O，因为 AB 2A1B1 2AA1，
所以 AC 2A1C1 ．易知四边形 A1C1CO 为平行四边形，则 A1O / /CC1，且 A1O CC1 ，
所以 A1OB1或其补角为异面直线OB1与CC1所成的角，
同理知B1O DD1，又CC1 DD1 A1B1，所以△A1OB1为等边三角形，所以 A1OB1 60°，
故选：C．
【变式 1-2】如图，在正四面体 ABCD 中．点 E 是线段 AD 上靠近点 D 的四等分点，则异面直线 EC 与 BD
所成角的余弦值为（ ）
A 3 13 B 13 C 13 D 3 13． ． ． ．
26 13 26 13
【答案】A
【解析】过点 E 作直线 BD 的平行线，交 AB 于点 F，连接 CF，
则 CEF 为异面直线 EC 与 BD 所成角或其补角，
不妨设 AB 4，易得 EF 3，
CF CE DC 2 + DE2 2DC × DE cos CDE 13 ，
EC 2 2 2
在△CEF 中，由余弦定理得 cos CEF + EF CF 3 13 ，
2EC × EF 26
所以异面直线 EC BD 3 13与 所成角的余弦值为 ．
26
故选：A．
【变式 1-3】已知空间四边形 ABCD中， E 、 F 分别是 AC 、 BD的中点，若 AB 2 3 ，CD 4， EF AB，
则EF 与CD所成的角为（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】设G 为 AD 的中点，连接GF ，GE ，又E 、F 分别是 AC 、BD的中点，
所以GF 、GE 分别为△ABD 、 ACD的中线，
所以GF //AB 且GF 1 AB 3 ，GE //CD GE 1且 CD 22 2 ，
所以EF 与CD所成的角即为EF 与GE 所成的角，
又EF AB，所以 EF GF ，所以△GEF 为直角三角形，且 GFE 90°，
所以 sin GEF
GF 3
，所以 GEF 60°，
GE 2
即EF 与CD所成的角为60° .
故选：C
题型二：定义法求线面角
【典例 2-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）如图，在四面体 ABCD中，DA DB DC 2 .若从直
1
线DA，DB，DC ，BC 中任选两条，则它们互相垂直的概率为 .
2
(1)证明： AD 平面BCD；
(2)若四面体 ABCD 2 3的体积为 ，且BC BD，求直线 AB 与平面 ADC 所成角的正弦值.
3
2
【解析】（1）证明：从直线DA，DB，DC ，BC 中任选两条，不同的选法共有C4 6 种，
1
因为它们互相垂直的概率为 ，所以互相垂直的直线有 3 对.
2
又DB DC ，所以BC 与BD，CD均不垂直.
若DB DC ，则 AD 恰与BC ，BD，CD的其中两条垂直，
不妨设 AD BD ， AD CD ，则 AD 平面BCD，则 AD BC ，不符合题意.
若DB与DC 不垂直，则 AD BC ， AD BD ， AD CD ，
BD CD D，BD,CD 平面BCD，
则 AD 平面BCD，符合题意，故 AD 平面BCD .
（2）设 BDC V 1，则 ABCD S△BCD × AD
4
sin 2 3 ，
3 3 3
π 2π
解得 sin 3 ，则 或 .
2 3 3
π若 ，则△BCD为正三角形，则BC BD ，不符合题意.
3
2π若 ，则BC BD，符合题意.
3
如图，过点 B 作BH CD ，垂足为H .
因为 AD 平面BCD，BH 平面BCD，所以 AD BH ，
AD ICD D ， AD,CD 平面 ADC ，所以BH 平面 ADC .
连接 AH ，则 BAH 为直线 AB 与平面 ADC 所成的角.
BH DB ×sin 3 ， AB DA2 + DB2 2 2
则 sin BAH
BH 3 6
，
AB 2 2 4
6
故直线 AB 与平面 ADC 所成角的正弦值为 .
4
【典例 2-2】如图，四边形 ABCD是矩形， AD 2，DC 1， AB 平面BCE ， BE EC ，EC 1 .点F 为
线段 BE 的中点.
(1)求证：DE //平面 ACF ；
(2)求 AC 和平面 ABE 所成角的正弦值.
【解析】（1）连接BD交 AC 于M ，连接FM ，因为M , F 为BD、 BE 的中点，
所以FM 为VBDE 的中位线；
所以FM / /DE ，而FM 平面 ACF ，DE 平面 ACF ，
故DE / / 平面 ACF ；
（2）因为 AB 平面BCE ，CE 平面BCE ，所以 AB CE，
又由 BE EC ，而 AB I BE B， AB, BE 平面 ABE ，
故CE 平面 ABE ；
故 CAE 即为 AC 和平面 ABE 所成的角.
由已知， AC AD2 + DC 2 5 ，EC 1，
在直角三角形 ACE 中，可得 sin CAE EC 5 ，
AC 5
5
所以 AC 和平面 ABE 所成角的正弦值为 .
5
【变式 2-1】如图，已知 AA1 平面 ABC, BB1 //AA1, AB AC 3, BC 2 5 ， AA1 7 ，BB1 2 7 ，点E
为BC 的中点．
(1)求证： AE // 平面 A1CB1；
(2)求直线 A1B1 与平面BCB1所成角的大小．
1
【解析】（1）取BB1中点M ，连接 AM ，ME ，B1M BB1 7 AA1 ，如图所示，2
又因为BB1 //AA1，所以B1M //AA1，
所以四边形 AA1B1M 为平行四边形，所以 A1B1 //AM ，
又 A1B1 平面 A1B1C ， AM 平面 A1B1C ，所以 AM // 平面 A1B1C ，
因为点E, M 为BC, BB1 的中点，所以ME //B1C ，
又 B1C 平面 A1B1C ，ME 平面 A1B1C ，所以ME // 平面 A1B1C ，
又ME AM M ，ME, AM 平面 AME ，
所以平面 AME // 平面 A1B1C ，
又 AE 平面 AME ，所以 AE // 平面 A1B1C ．
（2）因为 AA1 平面 ABC ，BB1 //AA1，
所以BB1 平面 ABC ，
因为BB1 平面BCB1，
所以平面BCB1 平面 ABC ，
因为 AB AC ，点E 为BC 的中点，
所以 AE BC ，
因为平面BCB1 I平面 ABC BC, AE 平面 ABC ，
所以 AE 平面BCB1，
由（1）得四边形 AA1B1M 为平行四边形，所以 AM //A1B1，
所以直线 A1B1 与平面BCB1所成角和直线 AM 与平面BCB1所成角相等，
因为 AE 平面BCB1，
所以 AME 即为直线 AM 与平面BCB1所成角，
因为点E 为BC 的中点，BC 2 5 ，
所以BE 5, AE 32 5 2, EM 5 + ( 7)2 2 3 ，
tan AME 2 3 AME 所以 ，由 0,
π
÷，
2 3 3 è 2
AME π所以 ，
6
所以直线 A1B BCB
π
1 与平面 1所成角为 ．6
【变式 2-2】如图，在四棱锥 P ABCD ， PA 底面 ABCD， AB BC，AD / /BC ， PA AD 4， BC 1，
AB 3 .
(1)证明：平面PCD 平面PAC ；
(2)求 AD 与平面 PCD所成角的正弦值.
π
【解析】（1）在VABC 中， AB BC， BC 1， AB 3 ，则 AC AB2 + BC 2 1+ 3 2， ACB ，3
所以 CAD
π

3
ACD CD2在 中， AC 2 + AD2 2AC × AD ×cos
π
4 +16 2 2 1 4 12，
3 2
故 AC 2 + CD2 AD2 ，所以 ACD为直角三角形，故CD CA，
又因为PA 底面 ABCD，CD 底面 ABCD，所以PA CD ，
又因为CAI PA A，CA, PA 平面PAC ，所以CD 平面PAC ，
又CD 平面 PCD，故平面PCD 平面PAC .
（2）如图：作 AH PC 于H ，
因为平面PCD 平面PAC ，且平面PCD I平面PAC PC ， AH 平面PAC ，
所以 AH 平面 PCD，故 ADH 为 AD 与平面 PCD所成的角，
AH PA × AC 4 2 4 PAC AH 4 1 5中， PC ， sin ADH ，2 5 5 DA 5 4 5
5
所以直线 AD 与平面 PCD所成角的正弦值为 .
5
题型三：等体积法法求线面角
【典例 3-1】如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是棱 PB，PC 的中点，Q
是棱 PA 上一点，且 AQ 3QP .
(1)求证: NQ / /平面 MCD;
(2) AB 14, BC PB PD 8, PA PC 4 6 ，求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值.
【解析】（1）取 PA 的中点 S，连接 SM，SD，SC，因为M 为 PB 的中点，
所以 SM / / AB，又 AB / /CD ，所以 SM / /CD ，故 S，M，C，D 四点共面，
由题意知 Q，N 分别为 PS，PC 的中点，故 NQ / /SC ，
又 NQ / 平面MCD, SC 平面 MCD，因此 NQ / /平面 MCD；
（2）连接 AC，BD 交于点O，则O为平行四边形 ABCD 的中心，
又PA PC, PB PD，
则等腰△PAC,△PBD 中，根据三线合一，有PO AC, PO BD ，
又 AC I BD O ， AC, BD 平面 ABCD，
故PO 平面 ABCD，
设OA OC m,OB OD n,OP h, ABC ，
则 BAD π ，
AC2 4m2 BA2 + BC2 2AB × AC ×cos 260 224cos ，
BD2 4n2 AB2 + AD2 2AB × AD ×cos(π ) 260 + 224cos ，
相加并整理得m2 + n2 130，①
在 Rt POA，RtVPOB中，有PO2 + OA2 PA2 , PO2 + OB2 PB2，
即h2 + m2 96，（2），h2 + n2 64，③
解方程组①②③得，m 9,n 7,h 15 ，
cos AB
2 + BC 2 AC 2 2 2 2 3 5
故 ,sin 1
2AB × AC 7

7 ÷
，
è 7
1
于是 S ABC BA × BC ×sin 24 5 ，2
在△PBC 中，BC BP 8, N 是 PC 中点，
故BN PC, BN BC2 CN 2 82 (2 6)2 2 10 ，
于是 S
1
△PBC PC × BN 8 15 ，2
1 1
设点 A 到平面 PBC 的距离为 d ，由VP ABC VA PBC ，得 × h × S3 △ABC
× d × S ，
3 △PBC
d h × S故 △ABC
15 × 24 5
3 5 ，
S△PBC 8 15
sin d 3 5 30故所求线面角 的正弦值 .
PA 4 6 8
【典例 3-2】如图 1，在四边形 ABCD中， AB∥CD, AB 1, A 60°, BD CD, ABD 90°，将△ABD 沿
边 BD 翻折至△PBD ，使得平面PBD 平面BCD，如图 2 所示．E 是线段 PD 上的一点，且BE PD．
(1)求证：平面BEC 平面 PCD；
(2)求直线 BE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
【解析】（1）因为平面PBD 平面 BCD，平面PBD I平面BCD BD，
且CD 平面BCD，由题意易知CD BD ，所以CD 平面 PBD，
又BE 平面PBD ，所以BE CD，
又BE PD, PD ICD D，且PD,CD 平面 PCD，所以BE 平面 PCD，
又BE 平面BEC ，所以平面BEC 平面 PCD；
（2）在△PBD 中，结合已知有PB 1, BD 3, PD 2, BE 3 ．
2
因为平面PBD 平面BCD，平面PBD I平面BCD BD，
且PB 平面PBD ，PB BD，所以PB 平面BCD，
BC 平面BCD，所以PB BC ，
所以△PBC 中，易得PB 1, BC 6 ，
1 6
所以 S△PBC PB × BC ． 2 2
因为CD 平面 PBD，所以 CD 是三棱锥C - PBD 的高，
1
解法一：所以VC PBD S△PBD ×CD
1 1 1
1 3 3 ．
3 3 2 2
设点 D 到平面 PBC 的距离为 h，因为VC PBD VD PBC ，
1 6 h 1 6所以 ，解得h ，
3 2 2 2
1 1 6
易得PE PD ，所以点 E 到平面 PBC 的距离为
4 d h
，
4 8
6
d 6 2 2
所以直线 BE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 8 ．
BE 3 8 3 4
2
1
解法二：在Rt△PBD 中，BE 是边 PD 的高，可求出PE ，
2
V 1所以 C PBE × S△PBE ×CD
1 1 1 3 1
3 ，
3 3 2 2 2 8
设点 E 到平面 PBC 的距离为 d，则V 1 6E PBC × S PBC ×d d ，△ 3 6
1 6 6
由等体积可知，令 d ，解出 d ，
8 6 8
所以直线 BE 与平面 PBC d 2所成角的正弦值为 ．
BE 4
【变式 3-1】正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， P 是线段 A1B 上的动点.
(1)求证：平面BDD1B1 平面 A1BC1；
(2) PB1与平面 A1BC
3
1所成的角的余弦值为 ，求 PB的长．
3
【解析】（1）因为DD1 平面 A1B1C1D1，且 A1C1 平面 A1B1C1D ，可得 A1C1 DD1，
四边形 A1B1C1D1为正方形，则 A1C1 B1D1，
且B1D1 DD1 D1, B1D1, DD1 平面BDD1B1，所以 A1C1 平面BDD1B1，
又 A1C1 平面 A1BC1，所以平面BDD1B1 平面 A1BC1 .
（2）设B1在平面 A1BC1上的射影点为E ，连接EP, EB1，
可知VA 31BC1 是以边长为 2 2 的等边三角形，则 SVA BC 2 2 2 2 2 3 ，1 1 4
V V 1 1 1 2 3因为 B1 A1BC1 B A B 2 3 EB 2 2 21 1C1 ，即 1 ，解得EB1 ，3 3 2 3
设PB1与平面 A1BC1所成的角的大小为 ，因为 cos
3
，则 sin 1 cos2 6 ，
3 3
2 3
则 sin 6 EB 1 3 ，可得PB1 2 ，
3 PB1 PB1
在△BPB 2 2 2
π
1中，由余弦定理得PB1 BB1 + PB 2BB1 PB cos ，4
即 2 4 + PB2 2 2PB，解得 = 2.
【变式 3-2】在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D、E 分别是棱 AC, A1C1的中点，F 为线段B1E 上的点．
(1)证明：CF // 平面 A1BD ；
EF
(2)若 AB BC CA BB 151 2，当DF 与平面 A1BD 所成角的正弦值为 时，求 FB 的值．10 1
【解析】（1）如图，连接 A1B 、BD、CE、CB1 、ED，
由直棱柱性质 A1E / /DC
1 1
且 A1E A1C1 AC DC ，2 2
所以四边形 A1ECD 是平行四边形，故 A1D / /EC ，
又 A1D 平面 A1BD ，EC 平面 A1BD ，故EC / / 平面 A1BD ；
又由直棱柱性质有ED / /C1C 且ED C1C ，C1C / /B1B 且C1C B1B ，
所以ED / /B1B 且ED B1B ，
所以四边形EB1BD 是平行四边形，故EB1 / /DB ，
又DB 平面 A1BD ，EB1 平面 A1BD ，所以EB1 / / 平面 A1BD ，
因为EB1 I EC E，EB1、EC 平面EB1C ，
所以平面 A1BD / / 平面EB1C ，因为CF 平面EB1C ，
所以CF // 平面 A1BD .
（2）因为 AB BC CA BB1 2，
所以BD AC ，ED 2, A1D A1A
2 + AD2 22 +12 5 ，EB1 BD BC
2 CD2 22 12 3，
EF
设 l l 0,1 EB ，则EF lEB1 3l ，所以DF ED2 + EF 2 4 + 3l 2 ，1
由（1）可知点 F 到平面 A1BD 的距离是一个定值，将其设为 h，
由直棱柱性质 A1A 平面 ABC ，BD 平面 ABC ，故 A1A BD ，
又BD AC, A1A AC A， A1A, AC 平面 AA1C1C ，
所以BD 平面 AA1C1C ，
因为 A1D 平面 AA1C1C ，所以BD A1D ，
1 1 1
所以VF A BD S A BDh A1D BD h
1 1 15
5 3 h h ，
1 3 1 3 2 3 2 6
V 1 S A E 1 1 1 1A FBD FBD 1 B1B BD A1E 2 3 1
3
，
1 3 3 2 3 2 3
V 15 3 2 5又 F A1BD VA1 FBD ，所以 h h .6 3 5
2 5 2
所以DF 与平面 A1BD 所成角的正弦值为 h 5 15 4 l 2 即l ，
DF 34 + 3l 2 10 9
2
EF 2 EB1
所以
2 EF 3 2
EB1 3
即EF EB
3 1
，故 .
FB1 EB 21 EB3 1
题型四：定义法求二面角
【典例 4-1】如图，在边长为 4 的菱形 ABCD中， ABC 60o, E, F 分别是 AB, BC 的中点，将△BEF 沿
EF 折起，使点 B 到 P 的位置，且PD 4 2 ．
(1)若平面PAC I平面PEF l ，判断 AC 与 l的位置关系并说明理由；
(2)求直线PE与平面 ABCD所成角的正弦值；
(3)求二面角D PE F 大小的余弦值．
【解析】（1） l / / AC ，理由如下：
由E, F 分别是 AB, BC 的中点，得EF // AC ，而EF 平面PEF ， AC 平面PEF ，
则 AC / / 平面PEF ，又平面PAC I平面PEF l ， AC 平面PAC ，
所以 l / / AC .
（2）令EF BD G，连接PG ，由 ABCD是菱形， ABC 60o ，得△ABC,△PEF 都是正三角形，
则 AC BD ，EF BD, EF PG ，而PG I BD G, PG, BD 平面PBD ，
于是EF 平面PBD ，又EF 平面 ABCD，则平面PBD 平面 ABCD，
在平面PBD 内过 P 作PQ BD于Q，由平面PBD I平面 ABCD BD，
因此PQ 平面 ABCD，连接EQ，则 PEQ是直线PE与平面 ABCD所成的角，
在正!PEF 中，PE 2, PG 3 ，DG BD BG 2AB cos30o 3 3 3，
( 3)2 + (3 3)2 (4 2)2cos 1 PGD ，则 sin PGB 1 cos2 4 5 PGB ，
2 3 3 3 9 9
PQ PG sin PGB 4 15 sin PEQ PQ 2 5于是 ， ，
9 PE 9
2 5
所以直线PE与平面 ABCD所成角的正弦值是 .
9
3 VADE DE2 AE2 + AD2（ ）在 中， 2AE × AD cos120o 4 16 2 2 4 (
1
+ ) 28，
2
即DE 2 7 ，显然DE2 + PE2 32 PD2 ，则有DE PE ，同理DF PF ，
取PE, PD的中点O, M ，连接FO, MO, FM ，则MO / /DE ，有MO PE, FO PE ，
1 1
因此 FOM 是二面角D PE F 的平面角，而FM PD 2 2, MO DE 7, FO 3 ，
2 2
cos FOM ( 3)
2 + ( 7)2 (2 2)2 21
则 ，
2 3 7 21
所以二面角D PE F 21大小的余弦值是 .
21
【典例 4-2】如图PO为三棱锥P ABC 的高，点O在三角形 ABC 内，D为BP中点（图中未画），
BD BO 2，OD / / 平面PAC .
(1)求直线BP与平面 ABC 所成角；
(2)若OA OC ，且 APB CPB ，求二面角P AC B 的大小.
【解析】（1）
因为PO为三棱锥P ABC 的高，故PO 平面 ABC .
又BO 平面 ABC ，故PO BO .
因为点D为BP的中点，则BD DP OD
又BD BO 2，故BD BO OD 2，
DBO π则△BDO 为等边三角形，故 .
3
又PO 平面 ABC ，则 DBO 即为直线BP与平面 ABC 所成的角，
π
故BP与平面 ABC 所成角的大小为 .
3
（2）如图，延长BO交 AC 于点E ，连接PE .
由PO 平面 ABC , AO,CO 平面 ABC ，
故PO AO, PO CO ，又 AO CO ，则PA PC .
BP BP,

在△APB 与△CPB 中， APB CPB,

PA PC,
故 APB @ CPB，\BA BC .
BO BO,

又在 ABO 与 CBO中， BA BC,

AO CO,
故 ABO @ CBO ，故 ABO CBO ，
即 BE 为 CBA的平分线，
又BA BC ，则BE AC ，且E 为 AC 的中点，
又PA PC ，则PE AC ，
则 PEO即为二面角P AC B 的平面角，
由OD / / 平面PAC ，OD 平面BPE ，平面BPE I 平面PAC PE ，故OD // PE .
\ PEO DOB，
由（1）知， DOB
π
，\ PEO
π

3 3
π
即二面角P AC B 的大小为 .
3
【变式 4-1】如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个不同的动点E, F .
(1)求证：EF // 平面 ABCD；
(2)二面角 A EF B的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由.
【解析】（1）直线EF 就是直线D1B1，
根据正方体的性质知EF //BD，
∵ EF 平面 ABCD，BD 平面 ABCD，
∴ EF // 平面 ABCD；
（2）平面 AEF 就是平面 AD1B1，平面BEF 就是平面BDD1B1，
∵平面 AD1B1与平面BDD1B1固定，
∴二面角 A EF B的大小是定值，
设 AC I BD O ， A1C1 B1D1 O1，
∵ AB1 AD1，O1是D1B1的中点，∴ AO1 B1D1，
根据正方体的性质可知OO1 B1D1，OO1 BD ，
∴ AO1O 里二面角 A EF B的平面角，
2
2
在直角 AOO1 中， AO ,OO1 1, AO
2 2 6
1 ÷÷ +1 ，2 è 2 2
∴ cos AO O
1 6
1 6 3 .
2
∴二面角 A EF B 6的余弦值为 .
3
【变式 4-2】五面体 ABCDEF 中， ABC BAD 90°，BC 2AD 2EF 4， ABE ，VADE 均为正三
角形.
(1)证明：BE CD；
(2)求平面 ABF 与平面BDE 所成夹角的余弦值.
【解析】（1）因为BC 2AD 2EF 4， ABE ，VADE 均为正三角形，
所以 AB AD BE DE AE 2，
记BD的中点为G ，连接 AG, EG，则EG BD ，
因为 BAD 90°，所以 AG
1 1
BG BD AB2 + AD2 2 ，
2 2
所以EG BE2 BG2 2 ，则 AE2 AG2 + EG2 4，所以 AG EG，
又 AG BD G, AG, BD 平面 ABCD，所以EG 平面 ABCD，
因为CD 平面 ABCD，所以EG CD .
易知在△BCD中， CBD 45°, BD 2 2, BC 4，
2
由余弦定理可得CD2 42 + 2 2 2 2 4 2 2 8，2
所以BC 2 BD2 + CD2，所以CD BD ，
又EG BD G, EG, BD 平面BDE ，所以CD 平面BDE ，
因为BE 平面BDE ，所以BE CD .
（2）记 AF , DE 的交点为H ，连接BH ， AH 的中点为Q，
作EP BH , AM BH ，垂足分别为P, M ，连接QP,QE ，
因为BD 2 2, BE DE 2，所以BD2 BE2 + DE2 ，所以BE DE ，
由题设易得 AD / /BC ， AD 平面BCFE ，BC 平面BCFE ，所以 AD / / 平面BCFE ，
又 AD 平面 ADFE ，平面 ADFE I平面BCFE EF ，所以 AD / /EF ，
所以四边形 ADFE 为菱形，所以EH 1， AF ED ，
所以BH EH 2 + BE2 5 ，则 5PE EH × EB 2，
2 5 5
解得PE , PH EH 2 EP2 ，
5 5
在 ABH 中， AH 3, BH 5, AB 2，
cos AHB 3+ 5 4 2 15由余弦定理得 ，
2 3 5 15
所以HM AH cos AHB 3 2 15 2 5 ， AM AH 2 55 HM 2
15 5 5
55
所以 P 为HM 的中点，又Q为 AH 的中点，所以PQ ，PQ / / AM，
10
所以PQ BH ，所以 EPQ或者其补角即为平面 ABF 与平面BDE 所成夹角，
2

又EQ EH 2 + HQ2 1 3 7+ 2 ÷÷
，
è 2
2 2 2
2 5 55 7
+
2 2 2 5 ÷ 10 ÷ 2 ÷
所以 cos EPQ PE + PQ EQ 11 è è è ，
2PE × PQ
2 2 5 55
11

5 10
11
所以平面 ABF 与平面BDE 所成夹角的余弦值为 .
11
【变式 4-3】如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD为菱形， BAD 60 o，PA PD ，E 为PC 的中
点.
(1)证明：PA / / 平面BDE ；
(2)若 PA PB 2 3 ，PD 2 .
求二面角P AD B的余弦值；
【解析】（1）连接 AC ，交BD于点O，连接OE ，
因为底面 ABCD为菱形，所以O为 AC 的中点，
因为E 为 PB的中点，所以EO//PA，
又因为PA 平面BDE ，EO 平面BDE ，
所以PA / / 平面BDE ；
（2）因为 AD AB, BAD 60o ，所以△ABD 为等边三角形，
取 AD 的中点F ，连接 BF ，则 BF AD ，
在△PAD中，作 IF AD,交 AP 于点 I ，
所以 IFB 为二面角P AD B的平面角，
在Rt APD 中，因为PA 2 3, PD 2，所以 PAD 30o ，
所以 AD 4, BF 2 3 ，
在Rt△AFI 中， AF 2, PAD 30o ，
FI 2 3所以 , AI 4 3 ，
3 3
AP2 + AB2 BP2 3
在△ABI 中， cos IAB cos PAB ，
2AP × AB 3
由余弦定理得BI AI 2 + AB2 2AI × AB 3 4 6 ，
3 3
2 2
BFI cos IFB FI + BF BI
2 1
在△ 中，由余弦定理 ，
2FI·BF 3
1
所以二面角P AD B的余弦值为 ；
3
题型五：三垂线法求二面角
【典例 5-1】如图，在三棱锥 A BCD中，△ABD 是等边三角形，
BD DC, AB 2, AC 4, DBC 60o , E, F 分别为 AD, DC 的中点.
(1)求证：平面BEF 平面 ADC ；
(2)求二面角E BF D 的余弦值.
【解析】（1）因为BD AB 2， DBC 60 o，BD DC ，
所以DC AB tan DBC 2 tan 60 o 2 3 ，
又 AD 2，AC 4 ，所以 AD 2+ CD 2 AC 2 ，所以 AD CD ，
又BD DC，AD I BD D，AD 、BD 平面 ABD，所以CD 平面 ABD，
又BE 平面 ABD，所以CD BE
因为△ABD 是等边三角形，E 是 AD 的中点，所以 AD BE ，
又CD I AD D ，CD、 AD 平面CDA，所以BE 平面 ADC ，
又BE 平面BEF ，所以平面BEF 平面 ADC .
（2）因为CD 平面 ABD，CD 平面BCD，所以平面BCD 平面 ABD，
在△ABD 中，过E 作BD的垂线，垂足为O，过O作 BF 的垂线，垂足为G ，
连接EG ，如图所示，
因为平面BCD 平面 ABD，平面BCD I平面 ABDD BD, EO BD, EO 平面 ABD，
所以EO 平面BCD，又BF 平面BCD，所以EO BF ，
因为GO BF ,GO IOE O,GO、OE 平面GOE ，所以BF 平面GOE ，
又EG 平面GOE ，所以BF EG，所以 EGO 为二面角E BF D 的平面角，
在Rt△BDF 中，BF BD 2+ DF 2 2 2+（ 3）2 7 ，
又BE 平面 ADC，EF 平面 ADC ，所以BE EF ，
1 BE EF 1在Rt△BEF 中， × BF × EG ，
2 2
EF 1 AC 2, BE BD2 DE2 22 12又 3 ，
2
1 1
所以 3 2 7 EG ，解得
2 2 EG
2 21
，
7
因为EO 平面BCD，OG 3平面BCD，所以EO OG ，又EO DE sin 60o ，
2
在Rt△EOG GO EG2 EO2 2 21 2 3 3 21中， （ ） （ ）2 ，
7 2 14
3 21
所以 cos EGO
OG 3
14 3
EG 4 ，即二面角E BF D 的平面角的余弦值为 .2 21 4
7
【典例 5-2】如图 1，平面图形PABCD由直角梯形 ABCD和Rt△PAD 拼接而成，其中 AB BC 1，
BC∥AD， AB AD ，PA PD 2 ，PA PD ，PC 与 AD 相交于点O，现沿着 AD 将其折成四棱锥
P ABCD （如图 2）．
(1)当侧面PAD 底面 ABCD时，求点 B 到平面 PCD的距离；
(2)在（1）的条件下，线段PD上是否存在一点Q．使得平面QAC 与平面 ACD 6夹角的余弦值为 ？若存
3
PQ
在，求出 QD 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）在Rt△PAD 中，PA PD 2 ，所以 AD PA2 + PD2 2，
因为在直角梯形 ABCD中， AB BC 1，BC∥AD， AB AD ，
所以 AC CD 2 ，所以四边形 ACDP为正方形，
所以PC AD ， AO OD 1，
因为侧面PAD 底面 ABCD，侧面PAD 底面 ABCD AD ，PO 平面PAD ，
所以PO 底面 ABCD，
连接BO，因为BC OD 1，BC / / OD ，所以四边形BCDO为平行四边形，
所以OB / / CD，
因为OB 平面 PCD，CD 平面 PCD，所以OB / / 平面 PCD，
所以点 B 到平面 PCD的距离与点O到平面 PCD的距离相等，
设点O到平面 PCD的距离为 d ，由题意得OP OC OD 1，
则PC PD CD 2 ，
V 1 1因为 O PCD VP OCD ，所以 S PCD × d S OCD × OP ，3 3
1 3
所以 22 d 1 1 1 3 1 1，解得 d ，3 4 3 2 3
所以点 B 到平面 PCD
3
的距离为 ；
3
（2）过Q作QF AD交 AD 于点F ，
因为侧面PAD 底面 ABCD，侧面PAD 底面 ABCD AD ，QF 平面PAD ，
所以QF 底面 ABCD，
作 FH AC 交 AC 于点H ，连接QH ，
因为QF 底面 ABCD， AC 底面 ABCD，所以QF AC ，
因为FH I QF F ，FH ,QF 平面QFH ，所以 AC 平面QFH ，
因为QH 平面QFH ，
所以QH AC ，所以 QHF 为二面角Q AC D 的平面角，
2

则 cos 6 QHF ，所以 sin 6 3 QHF 1
3 3 ÷÷
，
è 3
所以 tan 2 QHF ，
2
连接BO，交 AC 于点E ，因为四边形 ABCO为正方形，所以 AC OB，
所以OE / / FH ，设 FD t ，
OE AO 2
1 2由 ，得
FH AF 2
，得FH 2 t ，
FH 2 t 2
QF FD t tan QHF
QF t 2
t 2因为 ，所以 HF 2 2 ，解得 ，2 t 3
2
因为PO 底面 ABCD，QF 底面 ABCD，所以QF / / OP
DQ QF DQ 2 PQ 1
所以 ，所以 ，即 ,
DP OP DP 3 QD 2
所以线段PD 6上存在一点Q．使得平面QAC 与平面 ACD夹角的余弦值为 ，
3
PQ 1
此时 QD 2 .
【变式 5-1】如图，在四棱锥P ABCD 中，M 为 AP 边上的中点， N 为CP边上的中点，平面PBC 平面
ABCD， PBC 90°, AD / /BC, ABC 90°, 2AB 2AD 2CD BC 2．
(1)求证：MN / / 平面 ABCD；
(2)求证：CD 平面PBD ；
(3)若直线PD 3与底面 ABCD所成角的余弦值为 ，求二面角 B PC D的正切值．
3
【解析】（1）证明：法一：连接 AC ，
在△ACP中，因为M , N 为对应边上的中点，
所以MN 为中位线，MN / / AC ，
又MN 平面 ABCD, AC 平面 ABCD，
\ MN / / 平面 ABCD；
法二：设 AB 中点为 S, BC 中点为T ，连接 SM , ST ,TN ，
在 ABP中，因为 S , M 为对应边上的中点，
1
所以 SM 为中位线， SM / /BP且 SM BP ，
2
1
同理，在 CBP 中，TN / /BP 且TN BP，
2
\TN / /SM 且TN SM ，
\四边形TNMS 为平行四边形，
\MN / /ST ，
又MN 平面 ABCD, ST 平面 ABCD，
\ MN / / 平面 ABCD；
（2）在四边形 ABCD中， AD / /BC, ABC 90°, 2AB 2AD 2CD BC ，
所以 ABD, BCD 都为等腰直角三角形，即CD DB，
又因为平面PBC 平面 ABCD, PBC 90°，平面PBC I平面 ABCD BC ，PB 平面PBC ，
所以直线PB 平面 ABCD，
又CD 平面 ABCD，所以PB CD，
又PB I BD B, PB, BD 平面PBD ，所以CD 平面PBD ．
（3 3）Q直线PD与底面 ABCD所成角的余弦值为 ，且PB 平面 ABCD，
3
\直线PD与底面 ABCD所成的角为 PDB，又BC 2，
则 AB 1,CD BD 2 ，
\ Rt PBD cos PDB BD 3在 △ 中， ，
PD 3
\PD 6, PB 2，
设BC 的中点为E ，连接DE ，过点E 作PC 的垂线交PC 于F ，连接DF ，
由（1）知，DE CB, DE PB，且 PB, BC 平面PBC, PB BC B ，
则DE 平面 PBC ，QPC 平面 PBC ，\DE PC ，
QDE, EF 平面DEF ，\ PC 平面DEF ，
QDF 平面DEF ，\PC DF ，又PC EF ，
则 DFE 是二面角 B PC D的平面角，
QDE AB 1, EF CF , PBC 90°, BC PB 2，
\CF EF ,\CE 2EF 2 1\ EF ，
2
DE
设二面角 B PC D的平面角为 ，则二面角 B PC D的正切值为 tan 2 ．
EF
【变式 5-2】如图，已知四棱锥 S ABCD 中， AB BC 1, ABC 120o , AB AD,CD 平面 SAD，且
uuur 2 uuurSG SC .
3
(1)证明：BG ∥平面 SAD；
4
(2)已知锐二面角 S AC D的正弦值为 ，求二面角C SA D 的余弦值.
5
【解析】（1）法一：如图 1，延长BC 和DA相交于点E ，连接 SE ，
Q ABC 120o ,\ ABE 60o，Q AB AD,\ BAE 90o ，则BE 2AB ，
uuur uuur
又Q AB BC,\BE 2BC
2
，QSG SC,\SG 2GC ，
3
则BG ∥ SE,QBG 平面 SAD, SE 平面 SAD,\BG ∥平面 SAD .
法二：如图 2，过G 作GF 平行 SA交 AC 于点F ，
uuur uuur uuur
Q AB BC 1, ABC 120o ,\ AC 3 AF 2 3，则 ,QBF 1 BA 2+ BC ，
3 3 3
BF 1 BA2 4 4 1 4 2 3\ + BC 2 + BA × BC ×cos120o + ，
9 9 9 9 9 9 3
QBA 1,\BA2 + BF 2 AF 2 ,\BA BF ，QBA AD ，\BF ∥ AD ，
QSA ∥ GF , BF ∥ AD ，\GF , BF 均平行于平面 SAD，
且BF ,GF 是平面BGF 内的两条相交直线，
\平面BGF ∥平面 SAD，又QBG 平面GBF ,\BG ∥平面 SAD .
法三：如图 2，过 B 作 BF 平行 AD 交 AC 于点F ，连接GF ，
Q AB BC 1, ABC 120o ,\ BAC BCA 30o ，且 AC 3 ，
Q AB AD, BF 平行 AD AB 2 3 2，\BF AB，则 AF o AC ，cos30 3 3
\GF 平行于 SA，QSA ∥ GF , BF ∥ AD ，
..GF , BF 均平行于平面 SAD，且BF ,GF 是平面BGF 内的两条相交直线，
\平面BGF ∥平面 SAD，又QBG 平面GBF ,\BG ∥平面 SAD .
（2）法一：QCD 平面 SAD,CD 平面 ABCD,\平面 ABCD 平面 SAD，
如图 3，过点S作 SM AD交 AD 于M ,Q平面 SAD 平面 ABCD AD ，
\SM 平面 ABCD,Q AC 平面 ABCD,\ AC SM .
过点M 作MN AC 交 AC 于 N ，又MN SM M ，
且MN , SM 平面 SMN ，\ AC 平面 SMN ，
SM 4
\ SNM 为二面角 S AC D的平面角，则 sin SNM ，
SN 5
5
设 SM a，则 SN a，
4
QCD 平面 SAD, AD 平面 SAD，\CD AD ，
又Q AB AD ，\ AB∥ CD,Q ABC 120o , AB BC,\ BCA 30o，
\Rt ADC 中， ACD 30o , AC 3 3，则 AD ，
2
过点D作DP SA交 SA于点 P ，连接CP，
则 CPD为二面角C SA D 的平面角，
SM × AD 3
cos CPD DP SM × AD 4 2 SASN AC
2
PC ×
，
SN × AC 5 3 5
SA
2
综上所述，二面角C SA D 的余弦值为 .
5
法二：如图 4，在平面 SAD内过点D作 AD 的垂线于 AS 的延长线交于点Q
过D作DP AC 交 AC 于 P ，连接QP ，
QCD 平面 SAD,CD 平面 ABCD,\平面 SAD 平面 ABCD，
Q平面 SAD 平面 ABCD AD,QD AD,QD 平面 SAD，
\QD 平面 ABCD，
Q AC 平面 ABCD,\QD AC ，
又Q AC DP,..AC 平面QDP，即 QPD 为二面角 S AC D的平面角，
QCD 平面 SAD, AD 平面 SAD，\CD AD ，又Q AB AD ，
\ AB∥ CD,Q ABC 120o , AB BC 1,\ BCA 30o
\Rt ADC 中， ACD 30o , AC 3 AD 3，则 ,CD 3 ，
2 2
DP 1 CD 3 ,Qsin QPD 4 4 ,\ tan QPD ，
2 4 5 3
\QD DP × tan QPD 1，
3
QD × AD 1 2 3
Rt QDA h 中，边QA上的高 QA 2
2 3
7 ，
1 + 2 ֏
设二面角C SA D 的平面角为 ,QCD 平面 SAD，
3
\cos h 2 7
h2 + CD2 2 ，3 3
+
5
7 ֏ 2
2
综上所述，二面角C SA D 的余弦值为 .
5
题型六：射影面积法求二面角
【典例 6-1】如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD为正方形， PA 平面
ABCD, PA AB a ，求平面 PBA与平面 PDC 所成二面角的大小．
【解析】因为 PA 平面 ABCD, AD 平面 ABCD，
所以 PA AD ，
又 AD AB，且 PA AB A， PA, AB 平面 PAB，
所以 AD 平面 PAB，
同理 BC 平面 PAB，
所以DPCD在平面 PBA上的射影为DPAB．
1 a2
设平面 PBA与平面 PCD S 2所成二面角为 ，所以 cos DPAB 21 ，所以 45
o．
SDPCD a × 2a 2
2
故平面 PBA与平面 PCD所成二面角的大小为 45o ．
【典例 6-2】在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD 是正三角形，平面 PAD⊥底面
ABCD．
(1)证明：AB⊥平面 PAD；
(2)求面 PAD 与面 PDB 所成的二面角的正切值．
【解析】（1）证明：∵底面 ABCD 是正方形，
∴AB⊥AD，
∵平面 PAD⊥底面 ABCD，平面 PAD∩底面 ABCD＝AD，
∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面 PAD；
（2）(法一)由题意，△PBD 在面 PAD 上的射影为△PAD．
3
设 AD＝a，则 S PAD a2△ ，
4
△PBD 中，PD＝a，BD 2 a，PB 2 a，
2
∴S△PBD
1
a 2a2 a 7 a2 ，
2 4 4
3
∴面 PAD 与面 PDB 所成的二面角的余弦值为 ，
7
PAD PDB 2 2 3∴面 与面 所成的二面角的正切值为 ．
3 3
（法二）如图所示：取PD中点E ，连接 AE, BE .
设 AD＝a，则BD = PB = 2a ，
所以 AE ^ PD, BE ^ PD ,
所以 AEB是平面 PAD 与平面 PDB 所成的二面角的平面角，
Rt AEB AE 3在 中， = a, AB = a, BAE
π
,
2 2
tan AEB AB a 2 2 3 = = = =
所以 AE 3 3 3 .a
2
【变式 6-1】如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD为正方形， PA 平面
ABCD, PA AB a ，求平面 PBA与平面 PDC 所成二面角的大小．
【解析】因为 PA 平面 ABCD, AD 平面 ABCD，
所以 PA AD ，
又 AD AB，且 PA AB A， PA, AB 平面 PAB，
所以 AD 平面 PAB，
同理 BC 平面 PAB，
所以DPCD在平面 PBA上的射影为DPAB．
1 a2S 2
设平面 PBA与平面 PCD所成二面角为 ，所以 cos DPAB 21 ，所以 45
o．
SDPCD a × 2a 2
2
故平面 PBA与平面 PCD所成二面角的大小为 45o ．
【变式 6-2】类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图 1，由射线
PA、 PB、PC 构成的三面角P ABC ， APC ， BPC ， APB g ，二面角 A PC B的大小为
，则cosg cos cos + sin sin cos .
(1)如图 2，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，平面 AA1C1C 平面 ABCD， A1AC 60
o
， BAC 45o ，求
A1AB 的余弦值；
0, (2)当 、 ÷ 时，证明以上三面角余弦定理；
è 2
(3)如图 3，斜三棱柱 ABC A1B1C1中侧面 ABB1A1，BCC1B1， ACC1A1 的面积分别为 S1， S2， S3 ，记二面角
A CC1 B，二面角B AA1 C ，二面角C BB1 A的大小分别为 1， 2 ， 3 ，试猜想正弦定理在三维空
间中推广的结论，并证明.
【解析】（1）由平面 AA1C1C 平面 ABCD，得 90o ，
由三面角余弦定理得 cos A1AB cos A1AC cos CAB，
因为 A1AC 60°， BAC 45°，
cos A AB 1 2 2所以 1 ；2 2 4
（2）过射线 PC 上一点 H 作MH PC 交 PA 于 M 点，
作MH PC 交 PB 于 N 点，连接 MN，如图所示：
则 MHN 是二面角 A PC B的平面角，
在△MNP中，由余弦定理得：
MN 2 MP2 + NP2 2MP × NP cosg ，
在△MNH 中，由余弦定理得：
MN 2 MH 2 + NH 2 2MH × NH cos ，
两式相减得：
MP2 MH 2 + NP2 NH 2 2MP × NP cosg + 2MH × NH cos 0，
则： 2MP × NP cosg 2PH 2 + 2MH × NH cos ，
两边同除以 2MP × NP ，
得cosg cos cos + sin sin cos ；
（3）已知三棱锥 S ABC ， SA a， = ， = ，侧面 SAB ， SAC ， SBC的面积分别为 S1， S2， S3 ，
以 SA， SB ，SC为棱的二面角分别为 1， 2 ， 3 ，
aS SBC bS SAC cS SAB
求证： sin 1 sin 2 sin
.
3
证明：
在 SA上取点 P ，使得PS 1，过 P 作 PP 平面 SBC，P C SC ，P B SB ，
设 BSC ， ASC ， ASB g ，
则PB PS sin g sin g ，PP PB sin 2 sin g sin 2，
同理PP PC sin 3 sin sin 3，
sin sin g
所以 sin g sin 2 sin sin 3，即 sin 2 sin
，
3
sin sin
同理可证 sin 1 sin
，
2
sin sin sin g
所以 sin 1 sin 2 sin
，
3
1
又因为 S SAB absin g ，所以 sin g
2S
SAB ，
2 ab
sin 2S SAC sin 2S同理 ， SBC ，
ac bc
2S SBC 2S SAC 2S SAB
所以 bc ac ab ，同乘 abc得：
sin 1 sin 2 sin 3
aS SBC bS SAC cS SAB
sin 1 sin 2 sin
.
3
题型七：垂面法求二面角
【典例 7-1】（2024·高三·山东济南·开学考试）如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD和侧面
ABB1A1均是边长为 2 的正方形.
(1)证明：BD1 B1C .
(2)若 B1BC 120
o
，求二面角 A BC D1的余弦值.
【解析】（1）连结BC1，
因为底面 ABCD和侧面 ABB1A1均是边长为 2 的正方形，
所以四边形BCC1B1是边长为 2 的菱形，则B1C BC1，
且四边形 A1B1C1D1和CDD1C1 也是边长为 2 的正方形，
所以C1D1 B1C1，且C1D1 CC1，B1C1 IC1D1 C1，CC1, B1C1 平面BCC1B1，
所以C1D1 平面BCC1B1， B1C 平面BCC1B1
所以C1D1 B1C ，且BC1 IC1D1 C1，且BC1,C1D1 平面BC1D1，
所以 B1C 平面BC1D1，BD1 平面BC1D1 ,
所以B1C BD1；
（2）由（1）可知，C1D1 平面BCC1B1，且 AB / /C1D1，
所以 AB 平面BCC1B1，且 AB 平面 ABCD，
所以平面 ABCD 平面BCC1B1，又因为平面BCC1B1 / / 平面 ADD1A1，
所以平面 ABCD 平面 ADD1A1，且平面 ABCD 平面 ADD1A1 AD ，
因为 B1BC A1AD 120
o o
，所以 D1DA 60 ，
所以△D1DA 为等边三角形，
取 AD 的中点M ，连结D1M ，则D1M AD ，D1M 平面 ADD A1
所以D1M 平面 ABCD，
再取BC 的中点 N ，连结MN , D1N ,则MN BC ，
因为BC 平面 ABCD，所以D1M BC ，
又MN BC ，且 D1M I MN M ，D1M , MN 平面D1MN ，
所以BC 平面D1MN ，D1N 平面D1MN ，
所以BC D1N ，
所以 D1NM 为二面角 A BC D1的平面角，
D1M 3 ，MN 2，D1N 3+ 4 7 ，
cos D NM 2 2 7所以 1 ，7 7
所以二面角 A BC D 2 71的余弦值为 .
7
【典例 7-2】已知二面角 l ，若直线 a ，直线b ，且直线 a,b所成角的大小为60°，则二面角
l 的大小为_________.
【答案】60°或120°
【解析】设点 P 是二面角 l 内的一点，过 P 分别作直线 a,b的平行线 PA, PB ，且PA垂直于 于A ，
PB垂直于 于 B ，设平面PAB交直线 l于点O，连接OA，OB ，由于PA ，PB ， l ， l ，
故PA l ，PB l ，又PAI PB P ，PA, PB 平面PAB，
故 l 平面PAB，又OA，OB 平面PAB，故 l OA， l OB ，
所以 AOB 为二面角 l 的平面角，
因为直线 a,b所成角的大小为60°，所以 APB 60° 或120°，
当 APB 120°时，如图
因为 APB + AOB 180°，所以 AOB 60°；
当 APB 60° 时，
如图
因为 APB + AOB 180°，所以 AOB 120° ;
综上，二面角 l 的大小为60°或120°
故答案为：60°或120°
【变式 7-1】如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面PAD 底面 ABCD， PAD为正三角
形，E 是 AB 的中点， AD 2, AB 4 .
(1)求点 C 到平面PDE 的距离.
(2)求二面角D PE C 的余弦值.
【解析】（1）由题设 AB AD ，面PAD 面 ABCD， AB 面 ABCD，面PAD 面 ABCD AD ，
所以 AB 面PAD ，PA 面PAD ，故 AB PA，即 AE PA，
所以PE PA2 + AE2 22 + 22 2 2 ，而DE AD2 + AE2 2 2 ，PD 2，
1
△ PDE 中PD上的高 7 ，故 S PDE 2 7 7 ，2
1
令点 C 到平面PDE 的距离为d ，又VP CDE VC PDE ，且 S CDE 2 4 4， P 到面CDE 的距离为正三角形2
PAD 的高，
1
7d 1 4 3 d 4 21 4 21所以 ，可得 ，故点 C 到平面PDE 的距离为 .3 3 7 7
（2）由CD AD ，面PAD 面 ABCD，CD 面 ABCD，面PAD 面 ABCD AD ，
所以CD 面PAD ，PD 面PAD ，故CD PD，则PC 22 + 52 2 5 ，
又EC 22 + 22 2 2 PE ，故 PCE 为等腰三角形，则PC 上的高为 3，
C PE h 1 h PE 1 3 PC 2 2h 2 15 h 30令 到 的距离为 ，则 ，
2 2 2
4 21
由（1）知：点 C 到平面PDE 的距离为 ，
7
D PE C sin 4 21 2 4 70若锐二面角 为 ，则 ，故 cos 105 ，
7 30 35 35
D PE C 105所以二面角 的余弦值为 .
35
【变式 7-2】在三棱台 ABC - A1B1C1 中， AB AC, AB 2A1B1 2, AC 2 2,CC1 2 ， A1AC A1CA，且
平面 ACA1C1 平面 ABC ．
(1)求证：平面 A1BC 平面 ABC1；
(2)求二面角 A A1C B的正弦值．
【解析】（1）平面 AA1C1C 平面 ABC ，平面 AA1C1C I平面 ABC AC ， AB AC ，
AB 平面 ABC ，故 AB 平面 AA1C1C ， A1C 平面 AA1C1C ，故 AB A1C ， AC 中点为D，连接 A1D，
A1AC A1CA，则 A1D AC ， AD CD 2 ，
AB 2A1B
1
1 ，则 A1C1 AC 2 ， A1C1 CD ， A1C1∥CD ，2
故四边形 A1DCC1为矩形，
2 2 2 CAC , ACC 0, πtan CAC 1 ， tan ACC ， ，2 2 2 1 1
1 1 1 ÷
2 è 2
故 CAC1 A1CC1，即 A1C AC1，
AB AC1 A， AB, A1C 平面 ABC1，故 A1C 平面，
又 A1C 平面 A1BC ，故平面 A1BC 平面 ABC1 .
（2）设 A1C AC1 O，连接BO， A1C 平面 ABC1，OB 面 ABC1，故 A1C OB ，
又因为 A1C AC1，所以二面角 A A1C B的平面角为 AOB ，
AC1 8 + 4 2 3
2 4 3
， AO AC1 ，3 3
AB 平面 AA1C1C ， AO 平面 AA1C1C ，所以 AB AO，
AB 2 21
Rt OAB OB2 OA2 AB2 28 2 7
sin AOB
在 中， + ，解得OB ，从而 OB
3 2 7 7
，故二面角
3
3
A A1C B
21
的正弦值为 .
7
题型八：补棱法求二面角
【典例 8-1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，在三棱台 ABC A1B1C1中，△AB1C 为正三角形，
AB BC 2， AB BC，点D为 AC 的中点，平面 ABC 平面 AB1C ．
(1)若C1D B1C ，证明：平面BC1D 平面BCC1B1；
(2)若 AA1 CC1 4，记平面 ABB1A1与平面BC1D的交线为 l，求二面角 A1 l C1的余弦值．
【解析】（1）因为平面 ABC 平面 AB1C ，且平面 ABC I平面 AB1C AC ，
因为 AB BC ，且点D是 AC ，所以BD AC ，又BD 面 ABC ，
所以BD 平面 AB1C ， B1C 平面 AB1C ，
所以BD B1C ，C1D B1C ，且BD IC1D D，BD,C1D 平面BC1D，
所以 B1C 平面BC1D，且 B1C 平面BCC1B1，
所以平面BC1D 平面BCC1B1；
1 3
（2）由题意知，BD AC 2 ，B1D AC 6 ，2 2
因为△AB1C 是等边三角形，且点D为 AC 的中点，则B1D ^ AC ，
又因为平面 ABC 平面 AB1C ，平面 ABC I平面 AB1C AC ，B1D 面 AB1C ，
所以B1D 平面 ABC ，且BD 平面 ABC ，
所以B1D BD，可得B 21B B1D + BD
2 2 2 ，
取 AB 的中点M ，连结DM ，B1M ，
因为B1B = AB1， AD DB ，则B1M AB，DM AB，
且B1M DM M ，B1M , DM 平面B1DM ，则 AB 平面B1DM ，
对于梯形 ABB1A1，故点A 作 AD1 A1B1，垂足为D1，
因为B1M AB
2
1 AM
2 7 ，则 AD1 B1M 7 ，可得 A1D1 AA
2
1 AD
2
1 3，
AB 2 1
由 A1B1 A1D1 + B1D1 4，可知 A B B C 4A B 4 2 ，且 1 1 1 1 ， A1C1 4 2 ，1 1
GA GB GC 1
将三棱台 ABC A1B1C1补成三棱锥G - A1B1C1，则 GA1 GB1 GC 2
，
1
NA ND AD 1 NA 1
设C1D I A1G N ，可知 l即为直线BN ，则
4
NA NC AC 4 ，即
，可得 NA ，
1 1 1 1 NA + AA1 4 3
NA AM 1
B M N 4 7由 NA A B 4 ，则 1、 、 三点共线，且 NB1 NA
2
1 A1B
2
1 ，
1 1 1 3
4
可知B1N 为线段 AB 的中垂线，则 NA NB ，3
过点D作DH B1N ，垂足为H ，过H 作HF BN ，垂足为F ，连结DF ，
因为 AB 平面B1DM ，DH 平面B1DM ，所以DH AB，
且B1N I AB M ，B1N , AB 平面GA1B1，
可得DH 平面GA1B1，由 BN 平面GA1B1
可得DH BN ，且DH I HF H ，DH , HF 平面DHF ，
所以BN 平面DHF ，由DF 平面DHF ，可得DF BN ，
可知二面角 A1 l C 的平面角为 DFH ，
因为B1D 平面 ABC ，由DM 平面 ABC ，所以B1D DM ，
在Rt△B1DM 中，B1D 6 ，DM 1，B1M 7 ，
B D × DM 6 6 7 10 7
可得DH 1 ，B 2B M 1H B1D DH
2 ，则 NH B1N B1H ，
1 7 7 21
Rt BMN BN 4在 △ 中， ，BM 1，可得 sin BM 3 BNM 3 ，BN 4
在Rt NHF 5 7中，可得HF NH ×sin BNM ，
14
在Rt DHF 2 2 7
HF 5
△ 中，则DF DH + HF ，可得 cos DHF ，
2 DF 7
5
所以二面角 A1 l C1的余弦值为 .7
【典例 8-2】如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，M 、 N 分别为棱BB1、BC 的中点．
(1)证明：直线DN // 平面 AMD1 ；
(2)设平面 AMD1 与平面 ABCD的交线为 l，求点M 到直线 l的距离及二面角D1 l C 的余弦值．
【解析】（1）证明：取CC1 的中点E ，连接DE 、 NE 、ME ，
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，BB1 //CC1 且BB1 CC1，
QM 、E 分别为BB1、CC1 的中点，则BM //CE 且 BM CE ，
故四边形BCEM 为平行四边形，则ME //BC 且ME BC ，
又因为 AD//BC 且 AD BC，则ME //AD且ME AD，
故四边形 ADEM 为平行四边形，则DE //AM ，
QDE 平面 AMD1 ， AM 平面 AMD1 ，\DE // 平面 AMD1 ，
因为 AB//C1D1 且 AB C1D1，故四边形 ABC1D1为平行四边形，则BC1 //AD1，
Q N 、E 分别为BC 、CC1 的中点，则 NE //BC1，则 NE //AD1 ，
Q NE 平面 AMD1 ， AD1 平面 AMD1 ，\ NE // 平面 AMD1 ，
QDE I NE E ，DE 、 NE 平面DEN ，所以，平面DEN // 平面 AMD1 ，
QDN 平面DEN ，\DN //平面 AMD1 .
（2）延长D1M 、DB交与点 P ，连接 AP ，则直线 AP 即为直线 l，
PM PB BM 1
因为BB1 //DD1且BB1 DD1 ，M 为BB1的中点，则 PD PD DD 2 ，1 1
故点 B 为PD的中点，M 为PD1的中点，
在 ABP中， AB 2 ，BP BD 2 2 ， ABP 135o ，
由余弦定理可得 AP2 AB2 + BP2 2AB × BP cos135o 20，则 AP 2 5 ，
2 2 2
cos BAP AB + AP BP 2 5 5 ，则 sin BAP 1 cos2 BAP ，
2AB × AP 5 5
过点D在平面 ABCD内作DF 直线 AP ，垂足为点F ，连接D1F ，
sin DAF sin 90o BAP cos BAP 2 5 4 5 ，所以，DF AD sin DAF ，5 5
Q DD1 平面 ABCD， l 平面 ABCD，\DD1 l ，
QDF l ，DF I DD1 D，DF 、DD1 平面DD1F ，\l 平面DD1F ，
QD1F 平面DD1F ，\D1F l ，故二面角D1 l C 的平面角为 D1FD，
且D1F DD
2 6 5
1 + DF
2 ，故点M 到直线 l 3 5的距离为 ，
5 5
cos D1FD
DF 2
2
D F 3 ，因此，二面角
D1 l C 的平面角的余弦值为
1 3
.
【变式 8-1】《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪
左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形
成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥 P ABC 中，
PA 平面 ABC .
（1）从三棱锥P ABC 中选择合适的两条棱填空：________ ________，则三棱锥P ABC 为“鳖臑”；
（2）如图，已知 AD PB ，垂足为D， AE PC ，垂足为E ， ABC 90° .
（i）证明：平面 ADE 平面PAC ；
（ii）设平面 ADE 与平面 ABC 交线为 l，若PA 2 3 ， AC 2，求二面角E l C 的大小.
【解析】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又PA 平面 ABC ，所以PA AB ，
PA AC ，PA BC ；即 PAB ，△PAC 为直角三角形；
若BC AB，由 AB I PA A， AB, PA 平面PAB，可得：BC 平面PAB；
所以BC PB ，即 ABC ， PBC为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；
同理，可得BC AC 或BC PB 或BC PC ，都能满足四个面都是直角三角形；
故可填：BC AB或BC AC 或BC PB 或BC PC ；
（2）（i）证明：
∵PA 平面 ABC ，BC 平面 ABC ，
∴PA BC ，
又BC AB，PAI AB A，PA, AB 平面PAB，
∴BC 平面PAB，
又 AD 平面PAB，
∴BC AD ，
又 AD PB ，PB BC B， PB, BC 平面PBC ，
∴ AD 平面PBC ，
又PC 平面PBC ，
∴PC AD ，
又 AE PC ， AE AD A， AD, AE 平面 ADE ，
∴PC 平面 ADE ，
又PC 平面PAC ，
∴平面 ADE 平面PAC .
（ii）由题意知，在平面PBC 中，直线DE 与直线BC 相交.
如图所示，设DE BC F ，连结 AF ，则 AF 即为 l .
∵PC 平面 AED， l 平面 AED，
∴PC l ，
∵PA 平面 ABC ， l 平面 ABC ，
∴PA l ，
又PAI PC P，PA, PC 平面PAC ，
∴ l 平面PAC ，
又 AE, AC 平面PAC ，
∴ AE l ， AC l .
∴ EAC 即为二面角E l C 的一个平面角.
在△PAC 中，PA AC ，PA 2 3 ， AC 2，
∴ PC 4，
又 AE PC ，
AE AP AC 2 3 2∴ 3，
PC 4
∴ cos EAC AE 3 ，
AC 2
∴ EAC 30°，
∴二面角E l C 的大小为30° .
题型九：距离问题
【典例 9-1】（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体 ABCD 中， AB AC AD BC BD 2，
BC BD，E，F 分别为 AB，AC 的中点.
(1)证明：平面 ACD 平面 BCD；
(2)求点 A 到平面 BDF 的距离.
【解析】（1）
取 CD 的中点 O，连接 OA，OB，
1
因为BC BD，BC BD 2，所以OB CD ，且CD 2 2,OB CD 2 ，
2
又 AC AD 2，OA CD，OA2 AC 2 CO2 2，OA 2 ，
所以OA2 + OB2 AB2 ，可得OA OB，
又OB ICD O ，OB、CD 平面BCD，所以OA 平面 BCD，
又OA 平面 ACD，所以平面 ACD 平面 BCD；
（2）因为 AB 2，所以由（1）可得OB 2 ，CD 2 2 ，
S 1 ACD CD OA
1
2 2 2 2，
2 2
V 1 S 1 2 2B ACD 3 ACD
×OB 2 2 ，
3 3
又 F 为 AC 1 2的中点，所以VA BDF VB ACD ，2 3
在△BDF 中， BD 2，BF 3，DF AD2 + AF 2 5 ，
2 2 2
则 cos BFD
BF + DF BD 2
，
2BF × DF 15
sin BFD 11所以 ，
15
则 S 1 BDF BF × DF sin BFD
11
.
2 2
1 11 2
设点 A 到平面 BDF 的距离为 d，则 d ，
3 2 3
d 2 22 2 22解得 ，即点 A 到平面 BDF 的距离为 .
11 11
【典例 9-2】如图，在四棱锥P ABCD 中， AB / /CD,CD BC ，PB CD 2AB 2, PA BC 3 ．
(1)若点O为CD中点，求证： AB 平面PAO ；
(2)若二面角P AB C 的平面角为60°，求点D到平面PAC 的距离．
【解析】（1）
取CD中点O，连接PO．
因为PB CD 2AB 2, PA BC 3 ，
所以PA2 + AB2 PB2 ，即PA AB ， AB OC ，
因为 AB / /OC,CD BC ，所以四边形 ABCO是矩形，
所以 AB AO，
又因为PA AB ， PA, AO 平面PAO ，PAI AO A，
故 AB 平面PAO ．
（2）
因为PA AB, AO AB ，PA 平面PAB， AO 平面 ABC ，平面PAB 平面 ABC AB，
故 PAO即为二面角P AB C 的平面角，所以 PAO 60o．
过点 P 作PE AO于点E ，
因为 AB 平面PAO ，PE 平面PAO ，所以PE AB，
因为 AO AB A, AO, AB 平面 AOCB，
所以PE 平面 ABCD．
因为PA BC AO 3 ， PAO 60o，
所以三角形PAO 是等边三角形，
PO 3, PE 3 3 3 1从而 , S△ACD 2 3 3 ，2 2 2
V 1 1 3 3故 P ACD PE × S△ACD 3 ．3 3 2 2
因为PC PE2 + EC 2 PE2 + EO2 OC 2 9 3+ + +1 2，
4 4
又 AC 1+ 3 2, PA 3 ，
2

则等腰三角形 APC 1 3 39的面积为： S 2 PAC 3 2 2 ÷÷
，
è 2 4
1
记D到平面PAC 的距离为 d ，由VP ACD VD PAC d × S3 △PAC
d 3 3 39 6 13可求得 ．
2 4 13
【变式 9-1】多面体 ABC A1B1C1中， AA1∥BB1∥CC1，平面 A1B1C1∥平面 ABC ，平面 AA1C1C 底面 ABC，
BC 2， AC 2 3， ABC 90°， AA1 A1C ，且 AA1 A1C ．
(1)求 AA1与平面 ABC 所成角；
(2)求平面 A1ABB1与平面 ABC 所成二面角的大小；
(3)求侧棱BB1到侧面 AA1C1C 的距离．
【解析】（1）（1）取 AC 的中点 D，连接 A1D，
∵ A1A A1C .，∴ A1D AC ，
∵平面 AA1C1C 底面 ABC ，平面 AA1C1C 底面 ABC AC ， A1D 平面 AA1C1C ，∴ A1D 底面 ABC ，
∴ A1AC 为 A1A与底面 ABC 所成的角，
∵ A1A A1C 且 A1A A1C ，∴ A o1AC 45 .
即 AA1与平面 ABC 所成角为 45o .
（2）取 AB 中点E ，则DE // BC ，
∵ ABC 90°，∴ CB AB，∴ DE AB，
连接 A1E ，∵ A1D 底面 ABC ，∴ A1E 在平面 ABC 上的射影为DE ，
∴ 1 ⊥ ，∴ A1ED 为侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的平面角.
在等腰Rt△A1AC 中， AC 2 3，∴ A1D 3 ，
在Rt△ABC 中，BC 2，∴ DE 1，
在Rt△A1DE
A D
中， tan A1ED 1 3 ，DE
∴ A1ED 60
o
，即侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小为60o .
（3）过 B 作BH AC 于H ，∵ A1D 底面 ABC ，BH 底面 ABC ，∴ A1D BH ，
∵平面 AA1C1C 底面 ABC ，平面 AA1C1C I底面 ABC AC ，BH AC
∴ BH 平面 AA1C1C ，
在Rt△ABC 中， AC 2 3，BC 2，∴ AB 2 2 ，
BH AB × BC 2 2∴ 6 ，即侧棱BB 到侧面 AAC C 的距离为 6 .
AD 3 1 1 1 3
【变式 9-2】如图①，已知VAB C 是边长为 2 的等边三角形，D 是 AB 的中点，DH B C ，如图②，将
B DH 沿边 DH 翻折至△BDH .
BF
(1)在线段 BC 上是否存在点 F，使得 AF // 平面BDH ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
FC
(2)若平面 BHC 与平面 BDA 所成的二面角的正切值为 2 2 ，求点 B 到直线 CH 的距离.
【解析】（1）在图①中，取B M 的中点 M，连接 AM，如图所示，
因为VAB C 是等边三角形，B C 的中点为 M，
所以 AM B C ,
因为DH B C ，
所以 AM //DH ，
在图②中， AM //DH ， AM 平面 BDH，DH 平面 BDH，
所以 AM //
HM 1
平面 BDH，且 ，
MC 2
BF 1
在线段 BC 上取点 F 使 ，连接 MF，FA，如图所示，
FC 2
HM BF 1
因为 ，
MC FC 2
所以MF //BH ，
又因为BH 平面 BDH，MF 平面 BDH，
所以MF // 平面 BDH，
又因为MF AM M , MF , AM 平面 AMF，
所以平面 AMF // 平面 BDH ，
又因为 AF 平面 AMF ，
所以 AF // 平面 BDH，
BF 1
所以存在点 F 满足题意，且 ；
FC 2
（2）如图所示，连接BB ，取BB 的中点T ，连接TH ,TD，
由折叠性质可得BD B D, BH B H , B 平面 ABD，B 平面BCH ，
因为DH BH , DH CH , BH CH H , BH ,CH 平面BCH ，
所以DH 平面BCH ，
又TH 平面BCH ，所以DH TH ，
因为T 为BB 的中点，
所以TH BB , DT BB ，
所以 DTH 即为平面 BHC 与平面 BDA 所成的二面角的平面角，
1
由（1 3）可得DH ，B H BH , BD B D 1，
2 2
因为平面 BHC 与平面 BDA 所成的二面角的正切值为 2 2 ，
tan DTH DH 2 2 6所以 ，所以 ，
TH TH 8
10 10
所以B T B H 2 TH 2 ，所以B B ，
8 4
设点 B 到直线 CH 的距离为 h，
S 1 BB 1则 BHB × ×TH B H × h，2 2
1 10 6 1 1
即 h 15，解得 h ，
2 4 8 2 2 8
即点 B 到直线 CH 15的距离为 .
8
1．平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A, / / 平面CB1D1, I平面 ABCD m， I 平面 ABB1A1 n，
则m, n所成角的正弦值为 .
3
【答案】
2
【解析】由题意可知，延长B1A1 与平面 交于点E ，延长CB 与平面 交于点F ，连接 AE, AF , EF ，即平
面 AEF 所在平面为平面 ，如图所示
因为平面 AEF / / 平面CB1D1，平面 AEF 平面 ABCD m，又BD // B1D1，
所以m / /B1D1 .
同理可证 n / /CD1 ,
所以m, n所成角的大小与B1D1,CD1 所成角的大小相等，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中， B1C B1D1 CD1，
所以 CB1D1是等边三角形，
所以m, n所成角就是 CD o1B1 60 ,
所以m, n 3所成角的正弦值为 .
2
3
故答案为： .
2
2．在三棱锥 A BCD中， AB 平面 BCD， BD CD， AB 3 且最长的棱长为 13 ， E 为棱 AD 的中点，
则当三棱锥 A BCD的体积最大时，直线 AC 与 BE 所成角的余弦值为 .
26
【答案】
26
【解析】因为BD CD，所以BC > BD ，所以 AC 13 ，
又因为 AB 平面BCD，所以 AB BC，所以BC 13 3 10 ，
又BD2 + CD2 10 2BDgCD，
当且仅当BD CD时等号成立，
V 1 1所以 BD·CD 3 5 3 ，当BD CD 5 时取最大值，
3 2 6
取 AC 的中点F ，连接BE, EF , FB ，所以EF∥ AC ，
所以 BEF （或其补角）为直线 AC 与 BE 所成的角，
因为BE
1 1
AD 13 5 2 EF 1 AC 13
5 5
，
2 2
，BF 5 + ，
2 2 4 2
13 25
2 2 2 2 +
所以 cos BEF
BE + EF BF 26
4 4
2BEgEF 13 26 ，2 2
2
直线 AC 与 BE 26所成角的余弦值为 .
26
3．菱形 ABCD 的对角线 AC 3 ，沿 BD 把平面 ABD 折起与平面 BCD 成120°的二面角后，点 A 到平面
BCD 的距离为 ．
3
【答案】 /0.75
4
【解析】为了区别，设折起后的点 A 为 A ，
设 AC I BD O ，连接 A O ，可知O为BD的中点， AC BD ，
则 A O BD,CO BD ，可知 A OC 120°，即 A OA 60°，
过点 A 作 A E AO，垂足为E ，
则 AO BD, A O BD， AO I A O O， AO, A O 平面 A OE ，
可知BD 平面 A OE ，由 A E 平面 A OE ，可知BD A E ，
且 A E AO， AO I BD O ， AO, BD 平面 ABCD，
可得 A E 平面 ABCD，
所以点 A A 到平面 BCD 的距离为即为 A E AO sin A OA 3 3 3 .
2 2 4
3
故答案为： .
4
4．在正三棱柱 ABC A1B1C1中，E 为棱BC 的中点，如图所示．
(1)求证： A1B / / 平面 AEC1；
(2)若二面角C AE C1 的大小为60°，求直线 AC 和平面 AEC1所成角的正弦值．
【解析】（1）
证明：连接 A1C ，设 A1C AC1 O，连接OE ，
在 A1BC 中， A1O OC ，BE EC ，∴ OE∥ A1B，
又 A1B 平面 AEC1，OE 平面 AEC1，
∴ A1B / / 平面 AEC1．
（2）由正三棱柱 ABC A1B1C1，可得BB1 平面 ABC ，
∵ AE 平面 ABC ，∴ AE BB1，∵ E 为BC 的中点，∴ AE BC ，
又BC I BB1 B，BC ，BB1 平面BCC1B1，
故 AE 平面BCC1B1，
而C1E ，EC 平面BCC1B1，故 AE C1E ， AE EC ，
∴二面角C AE C1 的平面角是 CEC1 60°，
在平面BCC1B1内作CH C1E ，连接 AH ，
∵ AE 平面 AEC1，∴平面 AEC1 平面BCC1B1，
又平面 AEC1 I平面BCC1B1 C1E ，CH 平面BCC1B1，
故CH 平面 AEC1，
∴直线 AC 和平面 AEC1所成的角为 CAH ，
又 AH 平面 AEC1，∴ CH AH ，
∴ sin CAH CH CE ×sin60° 3 ，
AC AC 4
∴直线 AC 和平面 AEC 31所成角的正弦值为 ．
4
5．如图，在三棱台 ABC A1B1C1中， A1B1 与 A1C, B1C1都垂直，已知 AB 3, A1A AC 5．
(1)求证：平面 A1BC 平面 ABC ．
(2)直线 A1B 与底面 ABC 所成的角 为多少时，二面角 A1 AC B
21
的余弦值为 ？
14
【解析】（1）Q A1B1与 A1C, B1C1都垂直，由棱台的性质得 AB∥ A1B1, BC∥B1C1，
\ AB BC, AB A1C ．又BC I A1C C, BC, A1C 平面 A1BC ，
\ AB 平面 A1BC ．又 AB 平面 ABC，
∴平面 ABC 平面 A1BC ，即平面 A1BC 平面 ABC ．
（2）由（1）知，平面 A1BC 平面 ABC．如图，
过 A1作 A1D BC 于 D，Q平面 A1BC 平面 ABC BC, A1D 平面 A1BC ，
则 A1D 平面 ABC ，
\ A1BD是 A1B 与平面 ABC 所成的角，即 A1BD ．
作DE AC 于 E，连接 A1E,Q A1D 平面 ABC， AC 平面 ABC，\ A1D AC ．
又 A1D DE D， A1D, DE 平面 1 ，
\ AC 平面 A1DE.Q A1E 平面 A1DE,\ AC A1E ，
则 A1ED 为二面角 A1 AC B 的平面角．
在Rt△ABC 中， AB 3, AC 5，得BC 4．
Q AB 平面 A1BC ， A1B 平面 A1BC ，所以 AB A1B，则 A1B A1A
2 AB2 4，
在Rt A1DB中， A1B 4, A1D 4sin , BD 4cos , DC 4 4cos ．
Rt ABC AB AC DE AB × DC 12(1 cos )由 △ ∽- Rt△DEC ，得 ，则 ．
DE DC AC 5
Qcos A1ED
21
，则 sin A1ED
175
，
14 14
\ tan A1ED
A1D 5 5sin 5
DE ，即

3 3(1 cos )
，
3
π π 3
于是 sin 3 cos 3 2sin + ，则 + ÷ 3,\sin + ÷ ，
è 3 è 3 2
Q0 π , π π 5π π 2π π< \ < + ,\ + ,\ .
2 3 3 6 3 3 3
6．如图， AB 是半球 O 的直径，P 是半球底面圆周上一点，Q 是半球面上一点，且 AP PQ ．
(1)求证：PQ BQ；
(2)若 AB 4, AP 1, BQ 3 ,求直线 PQ与平面 ABQ所成角的正弦值．
【解析】（1）因为 AB 为半球O的直径， P 为半球底面圆周上一点,
所以 AP BP ,
因为 AP PQ, PQ BP P, PQ 、BP 平面PBQ ,
所以 AP 平面PBQ ，又因为BQ 平面PBQ ,
所以 AP BQ ,
又因为Q为半球面上一点,
所以 AQ BQ ,
又因为 AQ AP A, AQ, AP 平面QAP
所以BQ 平面QAP ,又PQ 平面QAP ,
所以BQ PQ ;
（2）因为三角形 ABP 为直角三角形, AB 4，AP 1
所以BP AB2 AP2 15 ,
又因为BQ 3, BQ 平面QAP ,
所以PQ BP2 PQ2 6 ，
又因为三角形QAB 也是直角三角形，
所以QA AB2 BQ2 7 ,
所以 S 1 QAP × AP × PQ
1 1 6 6 ，
2 2 2
S 1 QA BQ 1 7 3 3 7 QAB × 2 2 2
设点 P 到平面QAB 的距离为 h ,
V 1 1则有 P QAB VB QAP ，即 S QAB × h S QAP × BQ ,3 3
6
S ·BQ 3
h QAP 42所以 2 ，
S QAB 3 7 7
2
42
设直线 PQ与平面 ABQ所成的角为 ，则 sin h 7 7 .
PQ 6 7
7．如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PBD 平面 ABCD，四边形 ABCD是梯形， AB / / CD，
BC CD, BC CD 2AB 2 2, E 是棱PA上的一点.
(1)若PE 2EA，求证：PC ∥平面EBD ；
(2)若PA 平面EBD ，且 PA 4 ，求直线BC 与平面EBD 所成角的正弦值.
【解析】（1）连接 AC ，交BD于点O，连接OE ，如图所示.
因为 AB ∥ CD，易得 OAB : OCD
OA AB 1
，所以 ，
OC CD 2
EA 1
又PE 2EA， ，所以OE ∥ PC ，
PE 2
又OE 平面EBD, PC 平面EBD ，所以PC ∥平面EBD ；
（2）取CD中点M ，连接 AM 交BD于点 N ，连接EN ，
则 AB ∥ CM ，且 AB CM ，所以四边形 ABCM 是平行四边形，
1
N 为BD中点， AN BC 2 .因为PA 平面EBD ，
2
所以直线EN 是直线 AN 在平面EBD 内的射影，
所以 ANE 是直线 AM 与平面EBD 所成的角，
即为直线BC 与平面EBD 所成角的平面角.
如图所示，过点A 作 AG BD，垂足为G ，连接 AG,GP，
因为BC CD, BC CD 2AB 2 2 ，所以 AB BC, AG BG ,易得 AG 1，
因为平面PBD 平面 ABCD，平面PBD I平面 ABCD BD, AG 平面 ABCD，
所以 AG 平面PBD ，
又PG 平面PBD ，所以 AG PG，所以PG PA2 AG2 42 12 15 ，
AE AG 1
在直角 AGE 中，由PA 平面EBD,GE 平面EBD ，则 AE GE, ，解得 AE ，
AG AP 4
1
所以 sin ANE AE 2
2
4 .所以直线BC 与平面EBD 所成角的正弦值为 .
AN 2 8 8
uuur uuur
8．如图，在长方形 SABC中， AB 2 3 ，BC 2， SD lSC( 3 < l < 1)，将 SAD 沿 AD 折起至△S AD ，使
3
平面 S AB 平面 ABC .
(1)证明：BC 平面 S AB ；
2
(2)若二面角 S AD B 的平面角的余弦值为 ，求 SD 的长；
3
1
(3)设直线BC 与平面 S AD 所成的角为 1，二面角 S AD B 的平面角为 2 ，证明： cos 2 1 + 2 2 1cos .2
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）
【解析】（1）因为四边形 SABC为长方形，所以BC AB ,
又平面 S AB 平面 ABC ，平面 S AB I平面 ABC AB ,所以BC 平面 S AB ，
（2）如图所示，在（ii）图中过点 S 作 SO AD ,垂足为 O,
SO 交 AB 于点 E,连接 S O ．由翻折知 S O AD ,
所以二面角 S AD B 的平面角为 S OE ,
AE 4 , SO 2x在（ii）图中设 SD x ,可得 ,OE
8

x ，x2 + 4 x x2 + 4
8
cos S OE 2 OE 2 OE 2 , , x x
2 + 4 2
因为 ，所以 所以 所以 2x ，3 S O 3 SO 3 3
x2 + 4
解得 x2 6 ,即 x 6 或 x 6 （舍去），所以 SD 6 ．
（i）（ii）
（3）如图所示，由（2）知 SO I S O O ,所以 AD 平面 S OS ,
S E 平面 S OS ,所以 AD S E ．由（1）问，
知BC 平面 S AB 且 SA∥BC ,所以 SA 平面 S AB ,
又 S E 平面 S AB ,所以 SA S E ,又 SAI AD A ,
且 SA, AD 平面 ABCD ,所以 S E 平面 ABCD ,
又 AB 平面 ABCD ,所以 S E AB ．
在（ii）图中过点 E 作EH∥BC交 AD 于点 H，
过点 E 作EG S O ,连接GH ．由（2）知 AD 平面 S OE ,
又 AD 平面 S AD ,所以平面 S AD 平面 S OE ,
因为平面 S AD I 平面 S OE S O ,所以EG 平面 S AD ,
所以EH 在平面 S AD 的射影为GH ,
所以 EHG 为直线EH 与平面 S AD 所成角．
2x 8 8 2
注意到 S O > OE , > 8 x 4即 2 2 ，解得 x (2, 2 3)．又EH 2 ，EG OE ×sin 2 ,所以4 + x x x + 4 x x3
sin EG x
2 4
1 ，EH x
2
sin x 4即 ，所以 cos 2 1 1 2sin
2 81 2 11 ，x x
4 1 8 x2
由（2）知 cos 2 2 ,所以 cos 2 1 + 2 1+ 2 2 1x cos 2 x 4
（等号当且仅当 x4 32 时成立32 (16,144) ）．
（i）（ii）
9．“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一条侧
棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， PA 4 ，平面PAB 平面 ABCD，平面
PAD 平面 ABCD .
(1)求证：四棱锥P ABCD 是“阳马”；
é π π ù
(2)点 M 在正方形 ABCD内（包括边界）．平面 ⊥ 平面 PDM 且 ADM , ，
ê 4 3 ú
（i）求 M 点轨迹长度；
（ii）是否存在 M 点，使得平面BPM 平面CPM ，若存在，求二面角 A PD M 的余弦值；若不存在，
请说明理由．
【解析】（1）因为四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，所以BA DA，
因为平面PAB 平面 ABCD，平面PAB 平面 ABCD BA，DA 平面 ABCD，
所以DA 平面PAB，又PA 平面PAB，所以DA PA；
因为平面PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD DA，BA 面 ABCD，
所以BA 平面PAD ，又PA 平面PAD ，所以BA PA .
因为BAI DA A, BA, DA 平面 ABCD，所以PA 平面 ABCD，
所以四棱锥P ABCD 是“阳马”.
（2）（i）如图，以DA为直径在平面 ABCD上作一个半圆，
在该半圆周上任取点M ，连接 AM 、DM 、PM ，则 AM DM ，
又由（1）知PA 平面 ABCD，而DM 平面 ABCD，
所以PA DM ，又PAI AM A, PA, AM 平面PAM ，
所以DM 平面PAM ，又DM 平面 PDM ，
所以平面 ⊥ 平面 PDM ，故点M 的运动轨迹在该半圆周上，
ADM é π , π ù AOM é π 2π ù因为
ê
，所以
4 3 ú ê
,
2 3 ú
，

2π DA π DA 2π π π
所以根据扇形的弧长公式得点M 的运动轨迹长度为 .
3 2 2 2 3 2 6
（ii）存在 M 点，使得平面BPM 平面CPM ，且该点为 AC 与BD交点，
如图，连接 AC 、BD，则由（i）可知此时 AC 与BD交点在（i）中所作的半圆圆周上，且满足
AOM π ，
2
由正方体性质可知，BM CM ，又PA 平面 ABCD，而BM 平面 ABCD，
所以PA BM ，又PAICM A, PA,CM 平面CPM ，
所以BM 平面CPM ，又BM 平面BPM ，
所以平面BPM 平面CPM ，
所以存在 M 点为 AC 与BD交点，使得平面BPM 平面CPM ，
过点 A 作 AG PD交PD于点G ，过A 作 AH PM 交PM 于点H ，连接GH ，
又由 AH 平面CPM 可得 AH BM ，
所以由PM BM M 且PM 、BM 平面PBD 得AH 平面PBD ，
所以 AHG 90o 且由PD 平面PBD 得 AH PD，
因为 AH I AG A， AH 、 AG 平面 AGH ，所以PD 平面 AGH ，
所以 AGH 是二面角 A PD M 的平面角，
因为正方体 ABCD边长为 2， PA 4 ，
1 1
所以 AM AC 22 + 22 2, PD PA2 + DA2 42 + 22 2 5 ，
2 2
PM PA2 + MA2 42 + 2 2 3 2 ，
1
S PA AM
1
AH PAM 2 4 2 4 S
PA AD
AG PAD 2 4 2 4 5所以 1 ， ，PM 1 PM 3 2 3 1 PD 1 PD 2 5 5
2 2 2 2
4
所以 sin AGH
AH 5
3
AG 4 5 3 ，
5
2
5 2
所以 cos AGH 1 3 ÷÷
，
è 3
2
所以二面角 A PD M 的余弦值为 .
3
10．如图（1）梯形 ABCD中， AD∥BC ， AB 2 3 ，BC 2，CD 2 2 ，BE AD且BE 2，将梯形沿
BE 折叠得到图②，使平面 ABE 平面BCDE ，CE与BD和交于 O，点 P 在 AB 上，且 AP 2PB，R 是
CD的中点，过 O、P、R 三点的平面交 AC 于 Q．在图（2）中：
(1)证明：Q 是 AC 的中点；
3 AM
(2)M 是 AB 上一点，已知二面角M EC B的正切值为 ，求 的值．
4 AB
【解析】（1）如图（1）：因为 AD∥BC ， AB 2 3 ，BC 2，CD 2 2 ，BE AD且BE 2，
所以 AB AE2 + BE2 AE 2 2 ，FD 2，EF 2 .
图（2）中：
BP 1 BO BC 1
在△ABD 中， ， ，所以OP / / AD，
PA 2 OD ED 2
又OP 平面PORQ， AD 平面PORQ，所以 AD / / 平面PORQ，
AD 平面 ACD，平面PORQ I平面 ACD QR ，所以 AD / /QR，
在 ACD中， R 为CD中点，所以Q为 AC 中点.
（2）如图：
因为平面 ABE 平面BCDE ，平面 ABE 平面BCDE BE ， AE 平面 ABE ， AE BE ，
所以 AE 平面BCDE .
作MN BE 于E ，则MN 平面BCDE ，作MH EC 于H ，连HN ，
则 MHN 为二面角M CE B 的平面角.
AM
设 l
AB AM l AB 2 3l
，
因为MN / / AE
NE
l NE lEB 2l .
EB
因为△EHN 为等腰直角三角形，所以 NH 2l .
MN BM
又 1 l MN 1 l AE 2 2 × 1 l .
AE BA
2 2 × 1 l
在直角△MNH tan
MN 8
中， MHN 3 l .
NH 4 2l 11
AM 8
即 .
AB 11
11．空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 2π与
多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体
π π
每个顶点均有 3 个面角，每个面角均为 3 ，故其各个顶点的曲率均为 2π 3 π .如图，在直三棱柱3
ABC A1B C
2π
1 1中，点A 的曲率为 ， N ，M 分别为 AB ，CC1的中点，且 AB AC .3
(1)证明：CN 平面 ABB1A1；
(2)若 AA1 2AB ，求二面角B1 AM C1的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面
体的顶点数为D，棱数为 L，面数为M ，则有：D L + M 2 .利用此定理试证明：简单多面体的总曲率
（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
【解析】（1）证明：因为在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 平面 ABC ， AC, AB 平面 ABC ，
所以 AA1 AC, AA1 AB，
π 2π π
所以点A 的曲率为 2π 2 BAC ，得 BAC ，
2 3 3
因为 AB AC ，所以VABC 为等边三角形，
因为 N 为 AB 的中点，所以CN AB，
因为 AA1 平面 ABC ，CN 平面 ABC ，
所以 AA1 CN ，
因为 AA1 I AB A， AA1, AB 平面 ABB1A1，所以CN 平面 ABB1A1；
（2）取 A1C1的中点F ，连接B1F ,MF ，
因为△A1B1C1为等边三角形，所以B1F A1C1，
因为三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱，所以平面 AA1C1C 平面 A1B1C1，
因为平面 AA1C1C I平面 A1B1C1 A1C1，B1F 平面 A1B1C1，
所以B1F 平面 AA1C1C ，
因为 AM , MF 平面 AA1C1C ，所以B1F AM , B1F MF ，
设 AB 2 ，则 AA1 2, AM B1M 3, AB1 6 ，
所以 AM 2 + B M 21 AB
2
1 ，所以 AM B1M ，
因为B1F I B1M B1，B1F , B1M 平面 B1FM ，
所以 AM 平面 B1FM ，
因为MF 平面 B1FM ，所以 AM MF ，
所以 FMB1为二面角B1 AM C1的平面角，
2

因为MF 2 6 ÷÷ +1
2 , B1M 3，
è 2 2
所以在Rt FMB1中， cos FMB
FM 2
1 ，MB1 2
所以二面角B1 AM C
2
1的余弦值为 ；2
（3）证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1,2,× × ×,M 号，
设第 i号（1 i M ）多边形有 Li条边，
L L1 + L2 + × × × + L则多面体共有 M 条棱，
2
L + L + × × × + L
由题意，多面体共有D 2 M + L 2 M + 1 2 M 个顶点，
2
i号多边形的内角之和为 πLi 2π，
所以所有多边形的内角之和为 π(L1 + L2 + × × × + LM ) 2πM ，
所以多面体的总曲率为 2πD [π(L1 + L2 + × × × + LM ) 2πM ]
2π 2 M L1 + L2 + ×××+ L + M ÷ [π(L1 + L2 + ×××+ LM ) 2πM ]
è 2
4π
所以简单多面体的总曲率为 4π .
12．如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，点 D 是 BC 的中点， AB AA1 4．
(1)求证： A1B// 平面 ADC1；
(2)求证：平面 ADC1 平面BCC1B1；
(3)求直线 A1B 到平面 ADC1的距离．
【解析】（1）连接 A1C ，交 A1C 点 O，连接OD ，则 O 是 A1C 的中点，
因为 D 是BC 的中点，所以OD / / A1B，
又OD 平面 ADC1， A1B 平面 ADC1，所以 A1B / / 平面 ADC1 .
（2）因为VABC 为等边三角形，且 D 是BC 的中点，
所以 AD BC ，由正三棱柱的性质知，BB1 平面 ABC ，
因为 AD 平面 ABC ，所以BB1 AD，
又BC I BB1 B, BC、BB1 平面BCC1B1，
所以 AD 平面BCC1B1，因为 AD 平面 ADC1，
所以平面 ADC1 平面BCC1B1 .
（3）由（1）知 A1B / / 平面 ADC1，
以直线 A1B 到平面 ADC1的距离等价于点 B 到平面 ADC1的距离，
由（2）知 AD 平面BCC1B1，所以点 A 到平面BDC1 的距离为 AD ，
S 1 AD DC 1而 ADC × 1 2 3 4
2 + 22 2 15 ，
1 2 2
S 1 1 BDC BD ×CC1 2 4 4，1 2 2
设点 B 到平面 ADC1的距离为 d，
因为VB ADC V1 A BDC1 ，
1 1 1 1
所以 ×d × S ADC × AD × S BDC ，即 × d × 2 15 × 2 3 × 4 d
4 5
，解得
3 3 3 3
，
1 1 5
4 5
所以直线 A1B 到平面 ADC1的距离为 ．
5
13．如图在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 90°， BC 2，CC1 4，E 是 BB1上的一点，且 EB1 1，D、
F、G 分别是CC1、 B1C1 、 A1C1的中点，EF 与B1D相交于H ．
(1)求证：B1D 平面 ABD；
(2)求平面EGF 与平面 ABD的距离．
【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面 ABC 平面BB1C1C ，
又 AB BC，平面 ABC I平面BB1C1C BC ， AB 平面 ABC ，
\ AB 平面BB1C1C ，
又B1D 平面BB1C1C ，
\ AB B1D ，
QBC CD DC1 B1C1 2 ，
\在Rt△DCB 和Rt DC1B1中， BDC B1DC1 45° ，
\ BDB1 90°，即B1D BD，
又 AB I BD B， AB, BD 平面 ABD
\B1D 平面 ABD．
（2）由题意知 EB1 B1F 1，
\在Rt EB1F 中， FEB1 45°，
又 DBB1 45°，\EF //BD，
Q BD 平面 ABD，EF 平面 ABD，
\EF //平面 ABD，
QG 、F 分别为 A1C1、 B1C1 的中点，
\GF //A1B1 ，又 A1B1 //AB ，
\GF //AB，
Q AB 平面 ABD，GF 平面 ABD，
\GF // 平面 ABD，
QEF 平面EFG ，GF 平面EFG ， EFIGF F ，
\平面EFG// 平面 ABD．
QB1D 平面 ABD，平面EGF //平面 ABD，
\B1D 平面EGF ，
\HD为平行平面EFG 与 ABD之间的距离，
\ HD B1D B
2 3 2
1H 2 2 ，2 2
3 2
即平面EFG 与 ABD之间的距离为 ．
2
14 14 3．如图，已知三棱台 ABC A1B1C1，底面VABC 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，体积为 ，平3
面 ABB1A1 平面 ABC ，且 AA1 A1B1 BB
1
1 AB .2
(1)证明：BC 平面 ABB1A1；
(2)求点 B 到面 ACC1A1 的距离；
π
(3)在线段CC1上是否存在点F ，使得二面角 F AB C 的大小为 ，若存在，求出CF 的长，若不存在，请6
说明理由.
【解析】（1）在三棱台 ABC A1B1C1中，平面 ABB1A1 平面 ABC ， AB BC，
而平面 ABB1A1 I平面 ABC AB，BC 平面 ABC ，
所以BC 平面 ABB1A1 .
（2）由棱台性质知：延长 AA1, BB1,CC1交于一点 P ，
由 A
1
1B1 AB ，得 S2 △ABC
4S△A1B1C ，点 P1 到平面 ABC 的距离为到平面 A1B1C1距离的 2 倍，则
VP ABC 8VP A1B1C1 ，
V 8 V 8 14 3 16 3于是 ABB AP ABC ABC A B C ，由BC 平面 1 1，得BC 为点C 到平面PAB的距离，7 1 1 1 7 3 3
又 A1B1 / / AB，则 A1是PA的中点，PA1 AA1 A1B1 PB1，即△PA1B1为正三角形， PAB 为正三角形，
设 AB 2x，则BC PA PB AB 2x ，
V 1 1 3 2P ABC S PAB × BC (2x) 2x
2 3 16 3
x3 ，解得 x 2，
3 3 4 3 3
AB BC PA PB 4，由PB 平面PAB，得BC PB ， AC PC 4 2 ，

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