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重难点突破 02 向量中的隐圆问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：数量积隐圆............................................................................................................................3
题型二：平方和隐圆............................................................................................................................6
题型三：定幂方和隐圆........................................................................................................................8
题型四：与向量模相关构成隐圆......................................................................................................11
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）..............................................................................................15
03 过关测试 .........................................................................................................................................19
技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
乘积型： PA PB
1
定理：平面内，若 A, B 为定点，且 PA PB ,则 P 的轨迹是以 M 为圆心 AB2 为半径的圆
4
证明：由 PA PB ，根据极化恒等式可知， PM 2 1 1 AB2 ，所以 PM AB2 ， P 的轨迹
4 4
是以 M 1为圆心 AB2 为半径的圆．
4
技巧二．极化恒等式和型： PA2 PB2
1 AB2
定理：若 A，B 为定点， P 满足 PA2 PB2 ,则 P 的轨迹是以 AB 中点 M 为圆心， 2 为半
2
1
径的圆。 ( AB2 0)
2
1 2
PA2 PB2 2[PM 2 (1
AB
证明： AB)2 ] ，所以 PM 2 ，即 P 的轨迹是以 AB 中点 M 为圆
2 2
1 AB2
心， 2 为半径的圆．
2
技巧三．定幂方和型
mPA2 PB2 n

若 A B ， 为定点， PA2 mPB2 n ，则 P 的轨迹为圆．
mPA2 nPB
2
证明：mPA2 PB2 n m[ x c 2 y2 ] [ x c 2 y2 ] n
(m 1)(x2 y2) 2c(m 1)x (m 1)c2 n 0
x2 y2 2(m 1)c x c
2 (m 1) n
0．
m 1 m 1
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
技巧五．阿氏圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数 ( 0 , 1) 的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当
1时，点 P 的轨迹是线段 AB 的中垂线．
题型一：数量积隐圆
r r r r r r r r r r r r r
【典例 1-1】已知平面向量 a,b ,c 满足 a b a b 2, a c b 2c 1，则 b c 的最小值为（ ）
A 7 5 B 7 3 C 5 - 3 D 3 1． ． ． ．
2 2 2 2
【答案】A
r r r r r r r r【解析】根据题意，易知 a与 b 的夹角为60°，设 a= 1，3 ， b 2，0 ， c x, y ，由 a c b 2cr 1，
x2 y2 2x 3y 1 0 2 2 1可得 ，所以原问题等价于，圆 x y 2x 3y 0上一动点与点 2，0 之间距
2 2
r r r r r
离的最小值， 利用圆心和点 2，0 的距离与半径的差，即可求出结果.因为 a b a b 2，所以 ar与b 的
r r r
夹角为60°，设 a= 1，3 ，b 2，0 ， c x, y ，
ar r
r
因为 c b 2cr 1 2 2，所以 x y 2x 1 3y 0，2
r
又 b
r
c x 2 2 y2 ，
2 2 1
所以原问题等价于，圆 x y 2x 3y 0上一动点与点 2，0 之间距离的最小值，
2
2 2 1 3
又圆 x y 2x 3y 0的圆心坐标为 1， ÷
5
÷ ，半径为 ，所以点 2，0 与圆2 è 2 2
2
x2 1 y2 2x 3y 0 2 1 2 3
5 7 5
上一动点距离的最小值为
2 ÷÷
.
è 2 2 2
故选：A.
r r r r r r r r
【典例 1-2】（2024·辽宁鞍山·一模）已知平面向量 a，b ， c满足 a b c 1 a
1
，若 b ，则
2
r r2a c r rb c 的最小值为 ( )
A． 2 B． 3 C． 1 D．0
【答案】B
r r r r r r r r 1
【解析】因为平面向量 a，b ， c满足 a b c 1， a b ，2
r r
1
cos ar,b a
r
b 1 r r o

ar
r 2 ，\ a,b 60 ，
b 1 1 2
uuur r uuur r 1 3 r
设OA a 1,0 ，OB b ,2 2 ÷÷， c (cosq ,sinq )，è
r
\ 2ar r c r 1 3 b c 2 cosq ,sinq cosq , sinq ÷÷
è 2 2

2 cosq 1 cosq 3

÷ sinq ÷÷sinq
3
sinq 3 cosq 3 sin q 150o2 2 2 2 ，è è
r
所以 2ar cr r b c 的最小值为 3 ．
故选 B．
r r r r r r r 2π r 1 r r r r
【变式 1-1】设平面向量 a,b,c满足 a 1, b 2, a与b 的夹角为 ,且3
a c ÷ b c 0 ，则 c 的最小值为
è 2
（ ）
A． 3 1 B． 3 C． 3 1 D． 2 3
【答案】A
【解析】依题意建立如图所示平面直角坐标系，
r uuur r r r r不妨令 a OA 1,0 ，因为 a 1, b 2, a 2π与b 的夹角为 ,3
r uuur
所以 xB 2cos
2π
1, yB 2sin
2π
3，所以b OB 1, 33 3 ，
r uuur r 1 r 1 1 r r
设 c OC x, y ，则 a c 1 x, y

÷，b c 1 x, 3 y ，2 è 2 2
ra 1
r r r
由 c

÷ b c 0 1 1 ，所以 1 x ÷ 1 x y 3 y 0 ，
è 2 è 2 2
1 2
2

即 2 x x2 y2 3y 0 ，即 x ÷ y
3
3，
è 2
÷
֏ 2
2
D 1 , 3
2
即C 点表示以 1 3 2 2 ÷÷为圆心， 3为半径的圆，又 OD ÷ ÷÷ 1è è 2 è 2
r uuur
所以 c OC 3 OD 3 1；
故选：A
1
【变式 1-2】（2024· 辽宁沈阳·二模）已知平面向量 a ， b ， c ，满足"x R, a x b a b ，4

a 2, a b 4 ， a c
÷ b 2 c

÷ 6，则 a c 的最小值为（ ）
è è
A 2 6 6 2．1 B． C．3 D．
3 2
【答案】A
1
【解析】因为"x R, a x b a b ， a 2, a b 4，
4
r r r r r
4+x2b 2 1 8x 4 b 2 2,b 0,\ x2 1 所以 ÷b
2 8x+2 0，
16 è 16
2 2
所以 b x2 8x+2 1 b 0对任意 x 都恒成立，
16
1
所以D 64+ | b |4
1 1
8 | b |2 0,\( | b |2 8)2 0,\ | b |2 =8，\|b |=4 .
4 2 2

不妨设 a =(2,0)，b (m, n),\2m 4,\m 2,又 |b |=4，\4+n2 16,\n ±2 3 .

当 b （2,2 3)，设 c (x, y)，

所以 a c ÷ =(2 x, y),

b 2 c ÷ (2 2x, 2 3 2y)，
è è
所以 (2 x)(2 2x) ( y)(2 3 2y) 6，
3 3
所以（x )2 (y )2 4，
2 2
3 3
所以 c 对应的点的轨迹是以 ( , ) 为圆心，以 2 为半径的圆，2 2

所以 a c (x 2)2 (y 0)2 可以看成是 (x, y)到 (2,0)的距离，

所以 a c 3的最小值为 2 （ 2)2 ( 3 0)2 2 1 1 .
2 2

当 b （2, 2 3) 时，同理可得 a c 的最小值为 1.
故选：A
题型二：平方和隐圆
r r r r r r ur r r ur r ur r r r
【典例 2-1】已知 a,b ,c,d 是单位向量，满足 a ^ b ,m a 2b ,| m c |2 | m d |2 20，则 | c d |的最大值为
________．
2 5
【答案】
5
r r
【解析】依题意， a,b 可为与 x 轴、y 轴同向的单位向量，设
r r ra 1,0 ,b 0,1 ,cr cos x,sin x ,d cos y,sin y
ur ur r ur r
\m 1,2 ,\| m c |2 | m d |2 20 cos x 1 2 sin x 2 2 cos y 1 2 sin y 2 2
化简得： 4 cos x 2sin x cos y 2sin y
运用辅助角公式得： 4 5 sin x j 5 sin y j , tanj 1 ,j 0, π
2 2 ֏
4 sin x j sin y j 2sin x y j cos x y
5
÷ ，
è 2 2
cos x y 2
即得： 2 5 sin x y j
，
÷
è 2
cos2 x y 4 4
故 2 5sin2 x y j
5 ；
÷
è 2
r ur
c d x ycos x cos y 2 sin x sin y 2 2 2cos x y 4 4cos2
2
4 2 5
4 4 .
5 5
2 5
故答案为：
5
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
【典例 2-2】已知平面向量PA、PB满足 PA |
2 PB |2 4 2 uuuv uuv uuv ， | AB | 2，设PC 2PA PB，则 PC
________.
é3 6 2 , 3 6 2
ù
【答案】 ê
2 2
ú

uuur 2 uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
【解析】因为 AB AP PB PA PB 2PA PB 2且 PA PB 4，所以 PA PB 1；
uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur
又因为 PA PB PA PB 2PA PB 6，所以 PA PB 6 ；
uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur
由 AB PB PA PA PB 2，所以 PA PB 2 ；
uuur uuur uuur 3 uuur uuur根据 PC 2PA PB PA PB 1 uuur uuurPA PB 可知：2 2
3 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurPA PB PA PB PC 3 PA PB 1 PA PB ，
2 2 2 2
左端取等号时：P, A, B 三点共线且 P 在线段 AB 外且 P 靠近 B 点；右端取等号时，P, A, B 三点共线且 P 在
线段 AB 外且 P 靠近A 点，
3 6 2 uuur 3 6 2 uuur éPC 3 6 2 , 3 6 2
ù
所以 PC ，所以 ê ú .
2 2 2 2
é3 6 2 ù
故答案为： ê ,
3 6 2
ú .
2 2
2
【变式 2-1】在平面直角坐标系中，已知点 A 2,0 ， B 0,2 ，圆C : x a y2 1，若圆C 上存在点 M ，
2
使得 MA MB 2 12，则实数 a的取值范围为（ ）
A． é1,1 2 2ù B． é 1 2 2,1 2 2ù
C． é 1,1 2 2ù é ù D． 1 2,1 2
【答案】B
【解析】先求出动点 M 的轨迹是圆 D,再根据圆 D 和圆 C 相交或相切，得到 a 的取值范围.设M (x, y)，则
(x 2)2 y2 x2 (y 2)2 12，
所以 (x 1)2 (y 1)2 4，
所以点 M 的轨迹是一个圆 D,
由题得圆 C 和圆 D 相交或相切，
所以1 (1 a)2 12 3，
所以1 2 2 a 1 2 2 .
故选：B
【变式 2-2】在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l : x y a 0与点 A(0，2) ，若直线 l上存在点M 满足
MA 2 MO 2 10（O为坐标原点），则实数 a的取值范围是（　　）
A． 5 1, 5 1 B．[ 5 1, 5 1]
C． 2 2 1,2 2 1 D．[ 2 2 1,2 2 1]
【答案】D
【解析】设M x, x a ，
∵直线 l : x y a 0与点 A 0，2 ，直线 l 2 2上存在点M 满足 MA MO 10，
∴ x2 x a 2 x2 x a 2 2 10，
整理,得 4x2 2 2a 2 x a2 a 2 2 10 0 ①，
∵直线 l 上存在点 M,满足 MA 2 MO 2 10，
∴方程①有解，
∴ D 0，
解得： 2 2 1 a 2 2 1 ，
故选 D.
题型三：定幂方和隐圆
【典例 3-1】已知点 A 1,0 ，B 2,0 ，直线 l： kx y 5k 0上存在点 P ，使得PA2 2PB2 9 成立，则实
数 k 的取值范围是______.
é 15 15 ù
【答案】 ê , ú
15 15
【解析】由题意得：直线 l : y k(x 5)，
因此直线 l经过定点 (5,0) ；
设点 P 坐标为 (x0 ， y0 )；QPA2 2PB2 9 ，
\ y 20 (x0 1)2 2y 20 2(x0 2)2 9
化简得： x 2 20 y0 2x0 0，
因此点 p 为 x2 y2 2x 0与直线 l : y k(x 5)的交点．
所以应当满足圆心 (1,0)到直线的距离小于等于半径
| 4k |
\ 1
k 2 1
k [ 15 , 15解得： ]
15 15
k [ 15 , 15故答案为 ]
15 15
r r r r r r r r
【典例 3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量 a、b 、 c，满足 a 3 3 ， b 2， c 2，b c 2，则
r r 2 r r 2 r r r r 2a b a c é a b a c ù 的最大值为（ ）
A．192 3 B．192 C． 48 D． 4 3
【答案】B
uuur r uuur r uuur r
【解析】如下图所示，作OA a，OB b，OC c，取BC的中点D，连接OD，
r
以点O为圆心， a 为半径作圆O，
r r r r
cos BOC cos b c 1 < b,c r r
b c 2 ，Q0
p
BOC p ，\ BOC ，
3
所以，VBOC 为等边三角形，
uuur
QD为BC的中点，OD ^ BC ，所以，VBOC 的底边BC上的高为 OD
p
2sin 3 ，
3
r r uur uuur uur r r uuur uuur uuur
a b OA OB BA， a c OA OC CA，
r r r r uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以， a b a c BA CA AB AC AB AC cos BAC ，
r r 2 r r 2 r r r r 2 uuur uuur uuur uuur 2所以， a b a c é a b a c ù 2 2 AB AC AB AC cos BAC
uuur uuurAB AC sin BAC 2 2S 2△ABC ，
由圆的几何性质可知，当A 、O、D三点共线且O为线段 AD 上的点时，
uuur uuur
VABC 的面积取得最大值，此时，VABC 的底边BC上的高 h取最大值，即 hmax AO OD 4 3 ，则
S 1△ABC 2 4 3 4 3max ，2
r r 2 r r 2 r r r r 2 2因此， a b a c é a b a c ù 的最大值为 4 4 3 192 .
故选：B.
ur uur r
【变式 3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量 e1 ， e2 的夹角为 60°，向量 c
uur r ur
满足 c
r2 r 2e1 e2 cr 3 0，若对任意的 t R ，记 | c te1 |的最小值为 M，则 M 的最大值为2
A 1 3 B 1 3 C 1 3 3． ． ． D．1 3
2 4 2 4
【答案】A
ur uur 2 ur uur 2 ur uurr uur2 r r 3 2e1 e2 r 2e e 1
【解析】由 c 2e1 e2 c 0推出 cr 2e1 e2 3 1 ÷ ，所以 c 1 2 ，如图，2 è 2 2 4 4 2 2
cr 1
uuur uuur uuur uuur uur r r
终点的轨迹是以 2 为半径的圆，设OA e
r
1，OB e
r
2 ，OC
r
c ，OD te1 ，所以 | c te1 |表示CD 的距离，
r r
显然当CD ^ OA 1 1 2 3时 | c te1 |最小，M 的最大值为圆心到OA的距离加半径，即 M max sin 60° ，2 2 4
故选：A
v r v r r r r r r r r r
【变式 3-2】已知 a，b 是两个单位向量，与 a，b 共面的向量 c 满足 c 2 (a b) c a b 0，则 c 的最大
值为（ ）
A． 2 2 B．2 C． 2 D．1
【答案】C
r r r r uuur uuur r uuur
【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得 (c a) ^ (c b)，设DA ar, DC b , DC cr ，
r r uuur r r uuur
则 c a AC, c b BC ，则点 C 在以 AB 为直径的圆 O 周上运动，由图知：当 DC⊥AB 时，|DC|≥|DC′|，
r r
ADC q r r r
r r
设 ，利用三角函数求 c 的最值．由 c 2 (a b) c ar b 0 (cr ar) (cr得： b) 0，即
r r r(c a) (cr^ b)，
uuur r uuur r uuur
设DA a, DC b , DC cr ，
r r uuur r r uuur
则 c a AC, c b BC ，
则点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上运动，
由图知：当 DC⊥AB 时，|DC|≥|DC′|，
设 ADC q ，
则 DC | DO | | AO | sinq cosq 2 sin
q p 4 ÷
，
è
p
所以当q 时，|DC|取最大值 2 ，4
故选：C．
题型四：与向量模相关构成隐圆
r r r r r r r r r r r r
【典例 4-1】已知平面向量 a，b ，且 a b 1
1
， a b ，向量 c满足 c 2a 2b a b ，则2
r r
c b ( R) 的最小值为（ ）
A． 3 1 B． 2 1 C． 3 D． 2
【答案】A
r r r r 1
【解析】因为 a = b =1， a b 2 ，
r r 1r r
所以 cos a,b ar br 2 1 ，
a b 1 2
r r r r p
因为 a,b [0,p ]，所以 a,b ，
3
uur r uuur r uuur r r uuur r r
如图，令OA a,OB b ，则OD a b ，OC 2(a b)，
uuur uuur
所以 OD 3 ，OC 2 3，
r r r 2 r r r2 r r r r r
因为 a b a 2a b b 1 2 1 1 1， c 2a 2b a b ，
2
r r r r r r
所以 c 2a 2b 1，即 c 2(a b) 1，
uuur r
设OP c，则点 P 的轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，
uuur r r r uuur uuur uuur
令OQ b， 则 c b OP OQ QP ，
r r
所以当CQ ^ OQ ，且 C，P，Q 三点共线时， c b ( R) 取最小值，
r r
则 c b OC sin 30° 1 3 1，
min
故选：A
uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur
【典例 4-2】已知向量OA,OB满足 OA 1, OB 2 ，且向量OB 在OA方向上的投影向量为OA．若动点 C 满
uuur 1 uuur uuur
足 OC ，则CAgCB 的最小值为（ ）2
1
A B 4 2 6 C 1 7 D 5 2 7． ． ． ．
2 3 2 4
【答案】D
【解析】如图，
根据投影向量，OA ^ AB，则 AOB 60°，且 AB 3 ，
uuur 1 1
因为 OC ，所以点 C 在以 O 为圆心，半径 r 的圆上运动．
2 2
uuur uuur uuuur2 1 uuur2 uuuur 2 3
设 M 是 AB 的中点，由极化恒等式得：CB·CA CM AB CM ，
4 4
uuuur
CM OM r 7 1
uuuur 2
因为 ，此时 CM 3 8 2 7 3 5 2 7 ，
min 2 4 4 4 4
uuur uuur 5 2 7
即CBgCA的最小值为 ，
4
故选：D．
r r r
【变式 4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足
r r r r r r r
| c a | 1 ，则 | a b c | 2 | c b |最小值为 .
2
5
【答案】
2
uuur r uuur r r r r 1 uuur r
【解析】如图， A 1,0 , B 0,1 , D 1,1 ，设OA a,OB b ，则向量 c满足 | c a | ，设OC c，所以点C2
1
为以A 为圆心，以 2 为半径的圆上的一点，
r r r uuur uuur r r
所以 | a b c | |OD OC | | CD |，同理2 | c b | 2 | BC |，
E 取点 1,
1 AE AC
÷，则 ，又因 CAE DAC4 ，è AC AD
所以DAEC∽DACD，
CE 1
所以 ，即CD 2CE ，
CD 2
av
v v
所以 b c
v 2 cv b CD 2BC 2CE 2BC 2 BC CE ，
3 2
由三角形的三边关系知 2 BC CE 2BE 2 12 2
5 5
.
è 4 ÷ 4 2
5
故填： .
2
r r r ur r r r r r r ur p
【变式 4-2】已知 a 、b 、 c、 d 都是平面向量，且 | a | | 2a b | | 5a c | 1，若 a, d ，则4
r ur r ur
| b d | | c d |的最小值为____________．
【答案】 29 2
【解析】
r uuur r uuur r uuur
作图， a OA，则 2a OB，5a OC ，
r r r
因为 2a b 1，所以b 起点在原点，终点在以 B 为圆心，1 为半径的圆上；
r r r
同理， 5a c 1，所以 c起点在原点，终点在以 C 为圆心，1 为半径的圆上，
r ur r ur
所以 | b d | | c d |的最小值则为 BD CD 2min ，
r ur
a, d p因为 ， BD B D ，当B ，D，C 三点共线时， BD CD B C 52 22 29 ，所以4 min
BD CD 2 29 2min .
故答案为： 29 2 .
r r r r r r r r r
【变式 4-3】已知 a,b是单位向量， a b 0 .若向量 c满足 | c a b | 1，则| c |的最大值是________.
【答案】 2 1/1 2
r r r r
【解析】法一　由 a b 0 ，得 a ^ b .
uuur r uuur r uuur r r
如图所示，分别作OA a,OB b ,作 ,OC a b ，
r r uuur
由于 a,b是单位向量,则四边形 OACB 是边长为 1 的正方形，所以 | OC | 2 ,
uuur r r r r uuur uuur uuur
作OP c，则 | c a b | | OP OC | | CP | 1,
所以点 P 在以 C 为圆心，1 为半径的圆上.
uuur
由图可知，当点 O，C，P 三点共线且点 P 在点 P1处时，|OP |取得最大值 2 1,
r
故| c |的最大值是 2 1,
故答案为： 2 1
r r r r
法二　由 a b 0 ，得 a ^ b，
uuur r uuur r
建立如图所示的平面直角坐标系，则OA a (1,0),OB b (0,1) ，
r uuur r r r
设 c OC (x, y) ，由 | c a b | 1，
得 (x 1)2 (y 1)2 1 ，
所以点 C 在以(1,1)为圆心，1 为半径的圆上.
r
所以 | c |max 2 1
故答案为： 2 1
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）
r r r r r r r r r r 1 r r r r
【典例 5-1】已知平面向量 a ，b ， c，满足 a b 2，且 | a b | 2 2 ， | a b c | 1，则 b c a c2
的最小值为（ ）
A 15． B 15 C 17． ． D． 17
2 2
【答案】C
【解析】建立如图所示的直角坐标系：
uuuur r uuur r uuur r
依题意设MO a 2,0 ， NO b 0,2 ，OC c x, y ，M 2,0 ， N 0, 2 ，
r r r
则 a b c 1 x 2 2 y 2 2 1，故 C 在以D 2, 2 为圆心，半径为 1 的圆上，
3 DC 1 DN 2
如图，取点E , 2
2
2 ÷ ，则 DE 1 ，
2
DC 1 ，且 CDE NDC ，è 2
CN DC
因此VDCN :VDEC ，\ 2 ，故 CN 2 ECEC DE ，
1 r r r rb 1又 c a c x2 y 2 2 x 2 2 y2 1 CN CM CE CM ，
2 2 2
CE 1
2 17
由于 CM EM 2 2 ，
è 2 ÷ 2
当 E，M，C 三点共线且点 C 在线段ME 上时，等号取到，
1 r r r r
因此 b 17 c a c .
2 2
故选:C.
r r r r r r r r r r
【典例 5-2】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量 a，b ， c满足 a ^ b，且 a b 2 ， c a b 1，则
r r r r
c b 2 c a 的最小值为（ ）
A 15． B． 15 C 17． D． 17
2 2
【答案】D
r r uuur r
【解析】建立如图所示的直角坐标系，设 a 2,0 ,b 0,2 ,OC c x, y ，M 2,0 , N (0, 2)
r r r
则 c a b 1 x 2 2 y 2 2 1，故点C 在以 ( 2, 2)为圆心，半径为 1 的圆上，
E( 3
1
如图：取点 , 2) ,则 DE 2 1 DC 12 ,
,且 CDE NDC ,
DC 1 2 DN 2
CN
因此VDCN :VDEC ,所以 2 ,故CN 2EC ,
EC
r r r r
c b 2 c a x2 y 2 2 2 x 2 2 y2 =CN 2CM 2CE 2CM 2 CE CM 由于
1 2CE CM EM 22 17 ,当E, M ,C 三点共线且点C 在线段ME 上时，等号取到，
2 2
r r r r
因此 c b 2 c a 2 CE CM 17 ，
故选：D
r r r r r r
5-1 r r r
r r r r r
【变式 】已知平面向量 a,b,c满足 a ^ b，且 | a | | b | 2,| c a b | 1，则 | c a | 2 | c b |的最小值为
（ ）
A 15． B． 15 C 17． D． 17
2 2
【答案】D
uuur r uuur r uuur r
【解析】建立如图所示直角坐标系，由题意可设OA=a= 2,0 , OB=b= 0,2 ，OC c x, y ，
cr r
uuur r r uuur
则 a= x 2,y =AC, cr ar b= x 2,y 2 cr， b x, y 2 BC ，
r r r| c a b | 1 x 2 2 y 2 2由 得 1，故 C 在以D 2,2 为圆心，半径为 1 的圆上，
3 DE DC 1 EC 1
取E 2, ÷ ，则E 在 AD 上，则 DC DA 2 ，又 CDE ADC ，∴VEDC :VCDA，∴

AC 2 ，即è 2
AC 2 EC ，
r 2
∴ | cr ar | 2 | cr b | AC 2 BC 2 EC BC 2 EB 2 2 0 2 3 2 ÷ 17 .
è 2
故选：D
r r r r r r r r r r
【变式 5-2】（2024·高三·山东日照·期中）已知平面向量 a，b ， c 满足 a ⊥ b ，且 a b 4， a b c 2，
ar cr
r r
则 2 b c 的最小值为（ ）
A． 4 5 B． 2 17 C． 2 5 D． 17
【答案】B
uuur uuur r
【解析】设OA a
r
4,0 ，OB b 0,4 ，
r r r
则 a b 4,4 r， a b cr 2，
即 C 在以D 4，4 为圆心，2 为半径的圆上，
如图，取E 4，3 ，则CD 2DE 2，AD 2CD 4，又 CDE ADC ，
所以有△DAC ～△DCE ，所以 AC 2CE ，
r r uuur uuur
又因为 b c BC ， a
r cr AC ，
r r r r uuur uuur uuur uuur
所以 a c 2 b c AC 2 BC 2 CE 2 BC 2BE 2 17 ．
故选：B.
r r r r r r r r r r 1 r r
【变式 5-3】已知平面向量 a， b ， c满足： a b c 1， a b 0 ，则 2c a c b 的最小值为（2 ）
5
A 17． B．2 C． D．
2 52
【答案】A
p
【解析】如图，eO 为单位圆，A 、 B 、C 在eO 上，OA ^ OB， BOA ，
2
B 在OB的延长线上，OB 2，B 为OB中点， A 为OA中点， A 在OB的延长线上，OA 2 ，
r uuur r uuur r uuur
设 a OA，b OB，C 为eO 上一点， c OC ，
OA OC 1
则 ，
OC OA 2
\DOCA ∽△ OA C ，
\CA 2A C ，
同理CB
1
CB ，
2
r r r 1 r uuur uuur uuuur2c a 2(c a) 2(OC OA ) 2A C
2
1 r r 1 r r 1 r r 1 uuur uuur 1 uuuurc b (c 2b) (c 2b) (OC OB ) B C
2 2 2 2 2
\ | 2cr ar | | 1 cr
r uuuur uuuur
b | 2 | A C | 1 | B C | | B C | 1 17 | CA |… | B A | 4 ，
2 2 4 2
故选：A．
r r r r r r r2 r r r r
1．已知平面向量 a,b,c满足 a 1,cos a,c
1
,b 4a b 3 0，则 b c 的最小值是（ ）
2
A 3 1． B 3． C． 3 D． 3 1
2 2
【答案】D
【解析】
r uuur r uuur r uuur r r r 1 r uuur
建立平面直角坐标系 xOy ，设 a OA,b OB,c OC ，由 a 1,cos a,c ，不妨设 a OA 1,0 ，
2
r r
a,c p C y 3x x 0 r2 r r r2 r r又 ，不妨设 在直线 上，又
3 b 4a b 3 0
可得b 4a b 4 1，即
r2 r r r 2
b 4a b 4a 1，
r r则 b 2a 2 uuur uuur r uuur uuur 2 uuur 1，设D 2,0 ，则OD 2OA 2a，则 OB OD 1，即 2DB 1，则 B 在以D 2,0 为圆心，
1 为半径的圆上；
r r uuur uuur uuur r r uuur
又 b c OB OC CB ，则 b c 的最小值等价于 CB 的最小值，即以D 2,0 为圆心，1 为半径的圆上
一点
r r
到直线 y 3x x 0 2 3上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即 1 3 1，则 b c
1 3
的最小值是 3 1.
故选：D.
r r r r r r r r2．已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 a c b c 0 ，则 c 的最大值是(　　)
A． 2 B． 2 2
C． 3 D．2
【答案】A
r r
【解析】 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，如图所示，
uuur r uuur r uuur
设OA a ，OB b ，OC r c ，
uuur r r uuur r r
则CA a c ，CB b c ，
r
r r uuur uuur由 a c b r c 0 可知CA ^ CB，所以 C 点在以 AB 为直径的圆上，即O，A，C，B四点共圆
r uuur
当OC 为圆的直径时， c 最大，此时 OC 2
故选：A
r r r
3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足
ar cr
r
b r r 2c 0，则 c 的最大值是（ ）
A． 2 B 5． C
3
． D 5．
2 2 5
【答案】B
r r
【解析】因为 a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，
r r r
故可设 a 1,0 ，b 0,1 ， c x, y ，
r r r r
则 a c 1 x, y ，b 2c 2x,1 2y ，
r r r r
因为 a c b 2c 0，所以 1 x 2x y 1 2y 0 ，
2 2
x2 1整理得到 y2 x y 0 1 1 5，即 x ÷ y ÷ ，2 è 2 è 4 16
r 2 2
故 c x2 y2 1 1 5 5的最大值为 2 ÷
+ ÷ + = ，
è è 4 4 2
故选：B.
r r r r r r r r
4．已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足 (a c) (2b c) 0，则 c 的最大值是（ ）
A． 2 B 2 C 5 D 5． ． ．
2
【答案】C
uuur r uuur r uuur r uuur r
【解析】如图，设OA a，OB b，OE 2b，OC c，
r r uuur r r uuur
则 a c CA， 2b c CE，
r r r r uuur uuur uuur uuur
因为 (a c) (2b c) 0，故CA CE 0，故CA ^ CE ，
r
所以C 在以 AE 为直径的圆上，故 c 的最大值为圆的直径 AE 1 4 5 ，
故选：C.
r r5 a,b ,cr r
r r r r r r
．已知 是平面内的三个单位向量，若 a ^ b ，则 a 2c 3a 2b c 的最小值为（ ）
A． 29 3 2 B． 29 C． 29 2 3 D．5
【答案】B
r rQa,b ,cr r
r r r
【解析】 均为单位向量且 a ^ b ，\不妨设 a 1,0
r
，b 0,1 ， c x, y 且 x2 y2 1，
r r r
\a 2c 2x 1,2y 3ar r， 2b c 3 x, 2 y ，
r r r r
\ a 2c 3a r 2b c 2x 1 2 4y2 3 x 2 2 y 2
3 x2 y2 x2 4x y2 1 3 x 2 2 y 2 x 2 2 y2 3 x 2 2 y 2 ，
ar 2cr 3ar
r r
\ 2b c 的几何意义表示的是点 x, y 到 2,0 和 3,2 两点的距离之和，
2,0 和 3,2 2两点确定的直线为 y x 2 ，即 2x 5y 4 0，
5
\ 2x 5y 4 0 d 4 4 29原点到 的距离 <1，
4 25 29
\ x2 y2 1与 2x 5y 4 0相交，
则点 x, y 到 2,0 和 3,2 两点的距离之和的最小值即为 2,0 和 3,2 两点间距离，
\ 2 2所求最小值为 2 3 0 2 29 .
故选：B.
uuur uuur
6．（2024·北京朝阳·一模）在VABC 中， AB AC 2，BC 2 3 ，点 P 在线段BC上.当PA PB 取得最小
值时，PA （ ）
3 7 3 7A． B． C． D．
2 2 4 4
【答案】B
【解析】如图，以BC所在直线为 x 轴，以BC的垂直平分线建立 y 轴，建立平面直角坐标系，
2
由 AB AC 2，BC 2 3 ，则OA 22 3 1，
所以 A 0,1 ，B 3,0 ，C 3,0 ，设P x,0 ，
uuur uuur
则PA x,1 ，PB 3 x,0 ，
uuur uuur 2
则PA PB x 3 x x2 3x 3 3 x ÷÷ ，
è 2 4
3 uuur uuur uuur
2
3 3 7
当 x 时，PA PB 取得最小值，此时PA ,12 ÷÷， PA ÷÷ 1 .2 è è 2 2
故选：B
7．（2024·高三·重庆·开学考试）在同一直角坐标平面内，已知点O 0,0 , A 2,0 , B 0,2 ，点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
PA PB 0 ，则OP OB的最小值为（ ）
A． 2 2 2 B． 2 2 2
C． 2 2 2 D． 2 2 2
【答案】A
uuur uuur
【解析】设P x, y ，PA 2 x, y , PB x, 2 y ，
uuur uuur
所以PA PB x 2 x y 2 y 0，即 x 1 2 y 1 2 2 ，
所以 2 1 y 2 1，
uuur uuur uuur uuur
OP OB 2y 2 2 2 ，所以OP OB的最小值为 2 2 2 .
故选：A
r r r r r r r π r r r r r r
8．已知向量 a ，b ， c满足 a 4， b 2， a,b ， a c 2b c 0，则 a c的最小值等于（ ）3
A．12 6 3 B．12 4 3 C．4 D． 4 2
【答案】C
r r r
【解析】如图，建立平面直角坐标系，依题意令 a (4,0) ，b (1, 3)， c (x, y) ，
r r ra c 4 x, y , 2b cr 2 x, 2 3 y ，
ar cr
r
因为 2b r c 4 x 2 x y 2 3 y 0，
所以 x2 y2 6x 2 3y 8 0，即 (x 3)2 (y 3)2 4，
(x 3)2 4，则1 x 5，
r r
则 a c 4x 4 ，
r r
则 a c的最小值为 4.
故选：C.
r r r r r r π r r r r
9．已知 a ，b 2， e是平面向量， e是单位向量，若非零向量 a 与 e的夹角为 ，向量b 满足4 b 6b e 8 0
，
r r
则 a b 的最小值是（ ）
3 3
A． 2 1 B．
2 2 1
C． 2 1 D．
2 2 2
【答案】A
r r
【解析】设 a ，b 共起点，
r2 r r r r r r
由b 6b e 8 0，可得 b 4e b 2e 0，
r r r r
所以b 4e 与b 2e 垂直，如图
r
由向量减法的几何意义可知，向量b 的终点落在图中的圆上，
r
由题意可知 a 的终点在图中所示的射线上，
r r
所以 a b的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
r r
要求 a b 的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
r r
故 a b 的最小值为3sin π 1 3 2 1 .
4 2
故选：A .
r r r r r r π r r r r
10．（2024·全国·模拟预测）已知向量 a ，b 满足 a b 1， a,b ，则 a b 2 a b 的最小值为（3 ）
A． 6 2 2 B． 6 2 C．8 D．2
【答案】A
uuur r uuur r uuur uuur
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设OA a,OB b 且 OA m, OB n，
r r π
因为 a,b ，可得
3 A(m,0), B(
1 n, 3 n) ，
2 2
r uuur r uuur
a OA 1 3则 (m,0),b OB ( n, n) ，
2 2
r r r r
a b (m 1 n, 3 n), a b (m 1 3所以 n, n) ，
2 2 2 2
r r r r r r r r r
又因为向量 a,b满足 a b 1，可得 a b a b cos a
r,b 1 mn 1，解得mn 2 ，
2
r ra 1所以 b (m n)2 ( 3 n)2 m2 n2 mn m2 n2 2 ，
2 2
ar
r
b (m 1 n)2 ( 3 n)2 m2 n2 mn m2 n2 2 ，
2 2
r r r
则 a b 2 a
r
b m2 n2 2 2 m2 n2 2 ，
设 t m2 n2，因为 t m2 n2 2mn 4，当且仅当m n 2 ，
ar
r r
所以 b 2 a
r
b t 2 2 t 2 ，
又因为 f t t 2 2 t 2 在[4, )上为单调递增函数，
r r
所以 f t f 4 6 2 2 r，即 a b 2 ar bmin 的最小值为 6 2 2 .
故选：A.
r r r r r r r r r r
11．已知 a,b,c是平面内的三个单位向量，若 a ^ b，则 a 2c 3a 2b 2c 的最小值是 ．
【答案】 2 5
r r r r r
【解析】Qar,b ,cr r均为单位向量且 a ^ b ，\不妨设 a 1,0 ，b 0,1 ， c x, y 且 x2 y2 1，
r r
\a 2cr 2x 1,2y ，3ar 2b 2cr 3 2x, 2 2y ，
r 2 2
ar 2cr 3ar 2b 2cr
1 3
\ 2x 1 2 4y2 3 2x 2 2 2 x 2 2 2y ÷ y2 x ÷ y 1 ÷， è 2 è 2 ÷è
ar 2cr 3ar
r
\ 2b r 1 3 2c 的几何意义表示的是点 x, y 到 ,0÷和 ,1÷ 两点的距离之和的 2 倍，
è 2 è 2
1
点 ,0
3
÷在单位圆内，点 ,1÷ 在单位圆外，
è 2 è 2
x, y 1 ,0 3 ,1 1 3 则点 到 ÷和 ÷ 两点的距离之和的最小值即为 ,0÷和 ,1÷ 两点间距离，
è 2 è 2 è 2 è 2
2
\ 2 1 3 所求最小值为 0 1
2 2 5 .
è 2 2 ÷
故答案为： 2 5 .
r r r r r r r 1 r r
12．已知 a,b,c是平面中的三个单位向量，且 a b 0 ，则 2c a c b 的最小值是 .2
17
【答案】
2
r r r
【解析】根据题意可设 a (1,0)，b (0,1) ，设 c (x, y)， 则
r r 1 r r 1 1 r
2c a (2x 1,2y) ， c b x, y 1÷，又 c为单位向量，所以 x2 y2 1，2 è 2 2
r r 1 r r 2
所以 2c a c b (2x 1)2 4y2 1 x2 1
2 4
y 1
è 2 ÷
4x2 4x 1 1 1 4y2 x2 y2 y 1
4 4
1 4x 4 1 y 1
4
1
x2 y2 4x 4 x2 y2 y
4
(x 2)2 y2 x2 y 1
2
2 ֏
1
表示单位圆上的点 (x, y)到点 (2,0)， 0， ÷ 的距离之和，
è 2
1 x y
(2,0) 0 1 =1又过点 ， ， ÷ 两点的直线方程为 2 ，即 x 4y 2 0，
è 2 2
| 2 | 2
所以圆心 (0,0)到直线的距离 d <1，所以直线与圆 x2 y2 1相交，
1 16 17
r r 1 r r 1
所以 2c a c b 的最小值距离为点 (2,0)

， 0

，
2 2 ÷
之间的距离.
è
r r 1 r r 22c a c b 1 17即 的最小值为
2 (2 0)
2 0 ÷ .
è 2 2
17
故答案为：
2
v v p v v v v v
13 v．在平面内，已知非零向量 a与单位向量 e的夹角为 ，若向量b 满足b 2 6e b 8 0 ，则 | a b |的最3
小值为 .
3
【答案】 3 1
2
r r r
【解析】设 a (a, 3a) ， e (1,0)，b (x, y) ，
r2 r r
由 2 2b 6e b 8 0 得： x y 6x 8 0，
即 (x 3)2 y2 1，
r
所以向量b 的末端落在以 3,0 为圆心,以1为半径的圆上,即图中的虚线圆上.
r r p
因为非零向量 a与单位向量 e的夹角为 ,3
r
所以向量 a的末端落在如图所示的射线上.
由向量减法的三角形法则可知,
r r
向量 a b是从圆上的点到射线上的点形成的向量.
由图形的对称性可知，只需考虑上半部分即可.
由几何分析可知,如图:
r r
圆心到射线的距离减去圆的半径即为 | a b |最小值.
r r
所以 a b 3 3 3 3 1 1 .
min 2 2
: 3故答案为 3 1
2
r r r r r r r
14．（2024·高三·浙江· r开学考试）平面中存在三个向量 a，b ， c ，若 | a | 4， | b | 4，且 a b 0，且 c满
cr r
r
足 2 2a cr 15 0，则 | cr | 4 | ar b r c |的最小值 ．
【答案】 257
r r r r 3 r r 5 r r 3 r
【解析】由 argb 0 ，得 a与b 之间的夹角为 90°. r r由 c 2 2agcr 15 0 ，得 c a ÷g c a ÷ 0 ，即 c a
è 4 è 4 4
r 5 r
与 c a 夹角为 90°.数形结合得C 点在以点 A 4,0 为圆心，1 为半径的圆上运动．再根据阿波罗尼斯圆的
4
r r r r r
性质求出 | cr | 4 | ar b cr |的最小值.Q| ar | 4,| b | 4 r，且 agb 0 ，则 a与b 之间的夹角为 90°.
r2 r r r r 15 r r 3 r r 5 r 将 c 2agcr 15 2 2 0 可以改写成 c 2agc | a | 0,\ c a ÷g c a ÷ 0，16 è 4 è 4
cr 3因此 a
r
与 c
r 5
ar 夹角为 90°.
4 4
因此综上条件我们可以做出如下图象
uuur uuur r uuur
OA ar,OB b,OC cr
uuur r 3 r uuurCD c a,CE cr 5 ar
4 4
C 点在以A 点为圆心，1 为半径的圆上动．
| CO | 15
根据阿波罗尼斯圆的性质可知该圆可以看成由 4 G
| CG |
,0÷÷所构成的圆
è è 4
uuur uuur
O x, y
15
（以 为原点，分别以OA,OB所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，则G ,0÷ , H 4,4 ）.
è 4
r r uuur r r r uuura b OH ，a b c CH ，
r r r
\| cr | 4 | ar r b c | 1 4 | c | | a
r b cr | ÷
è 4
4 1 |OC | | HC |

÷ 4(| CG | | CH |) 4 | HG | 257 .
è 4
故答案为： 257 .
2 2 uuuur uuur uuur uuuur uuur15．已知圆Q : x y 16，点P 1,2 ，M、N 为圆 O 上两个不同的点，且PM PN 0若 PQ PM PN ，则
uuur
PQ 的最小值为 .
【答案】3 3 5 / 5 3 3
uuuur uuur
【解析】解法 1：如图，因为PM PN 0，所以 PM ^ PN ，故四边形PMQN 为矩形，
设MN 的中点为 S，连接OS ，则OS ^ MN ，
OS 2所以 OM
2 MS 2 16 MS 2 ，
又VPMN 2为直角三角形，所以 MS PS ，故 OS 16 PS 2 ①，
设 S x, y 2 2，则由①可得 x y 16 é x 1
2 y 2 2 ù ，
1 2
整理得： x ÷ y 1
2 27 ，
è 2 4
T 1S ,1 3 3从而点 的轨迹为以 2 ÷ 为圆心， 为半径的圆，è 2
P PS 3 3 PT 3 3 5显然点 在该圆内部，所以 min ，2 2 2
uuur uuur
因为 PQ 2 PS ，所以 PQ 3 3 5min ；
uuuur uuur
解法 2：如图，因为PM PN 0 ,所以 PM ^ PN ，
故四边形PMQN 2 2 2 2为矩形，由矩形性质， OM ON OP OQ ，
所以16 16 5 OQ
2
，从而 OQ 3 3，
故 Q 点的轨迹是以 O 为圆心，3 3为半径的圆，
uuur
显然点 P 在该圆内，所以 PQ 3 3 OP 3 3 5min .
故答案为： 3 3 5 .
uuur uuur uuur uuur
16．已知VABC 是边长为 2 的正三角形，点D在平面 ABC 内且DA DB 0，则DA DC 的最大值
为 ，最小值为 .
【答案】 3 1
uuur uuur
【解析】因为DA DB 0，所以点D在以 AB 为直径的圆上，
记 AB, AC 的中点分别为O, E，
uuur uuur uuur uuur则DA DC DE EA uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 DE EC DE EA DE EA DE EA ，
uuur uuur uuur2
因为VABC 是边长为 2 的正三角形，EA 1，所以DA DC DE 1，
易知，当D,O, E 三点共线时DE 取得最大值，此时OE OD 1，
uuur uuur uuur
所以DA DC 2的最大值为DE 1 22 1 3，
uuur uuur uuur
当D, E 重合时DE 2取得最小值，此时DA DC 的最小值为DE 1 0 1 1 .
故答案为：3; 1 .
r r r 2ar
r r r r r
17．已知 a,b ,c 为单位向量，且 b 7 ，则 3a c b c 的最小值为 .
【答案】 13
r r r r r r r
【解析】因为 a,b ,c 为单位向量，有 a b c 1，得 ar2 r b 2 c 2 1，
r r r 22a b 7 2ar b 4ar2 4ar r r
r r 1
由 ，得 b b 2 7 ，得 agb ，
2
r r r
cos ar,b a b r r
1 r
rar,b 0, π ar,b 2π所以 a b 2 ，又 ，所以 ，3
r
3ar b 3ar r 2 r r而 b 9ar2 6ar b b 2 13，
r r r r r r
则 3a c b c 3a b 13
r r r r
当且仅当3a c 与b c 方向相反时“=”成立
r r r r
所以 3a c b c 的最小值为 13 ；
故答案为： 13
r r r r r r r r r r r
18．设向量 a,b,c满足 a b 2, a b 2 r， a c与b c 的夹角为60° ，则 c 的最大值为
【答案】4
【解析】如图所示，
uuur r uuur r uuur r r
设OA a,OB b ,OC cr, 因为 ar b | ar || b | cos AOB 2，
1
所以 cos AOB ，因为0° AOB 180°，
2
r r r r
所以 AOB 120° ，因为 a c,b c 60° ，
所以 AOB 120°, ACB 60°，
uuur r r uuur 2 r 2 r r
所以O, A, B,C r r r四点共圆，因为 AB b a， AB b a b 2 a2 2a b 12，
AB
所以 AB 2 3 ，由正弦定理知 2R= 4 ，sin120°
即过O, A, B,C 四点的圆的直径为 4，
r
所以 c 的最大值等于直径 4.
故答案为：4.
r r r ra b 1
r r
19．设 a b 是单位向量，且 c
r r r r 1
，向量 满足 c a c 2b ，则 c 的取值范围是 .2 4
7
【答案】[ 1, 7 1]
2 2
r r r r 1 r r r 2 r2 r r
【解析】单位向量 a b 满足 a b ，则2 | a 2b | a 4b 4a b 7
，
r r2 r r r r r
由 (c
r ar) (cr 1 2b) ，得 c (a 2b)
1
c 2a b ，
4 4
r2 3 r r r r r r r r r r
则 c (a 2b) c | a 2b || c | 7 | c |，当且仅当 a 2b,c 同向时取等号，
4
r2 r r
因此 c 7 | c |
3
0 7，解得
4 1 | c |
7
1.
2 2
cr 7所以 的取值范围是[ 1, 7 1] .
2 2
7 7
故答案为：[ 1, 1]
2 2
r r r r r r r r r r r r r
20．已知平面向量 a ，b ， c满足 a 1， b 2， a,b
π
且 c a c b 0 ，则3 b c 的最大值为 .
5
【答案】 3
2
r uuur 1 3 r uuur r uuur
【解析】由题意可设： a OA , ÷÷ ,b OB 2,0 ,c OC ，
è 2 2
r r uuur uur uuur r r uuur uuur uuur
则 c a OC OA AC,c b OC OB BC ，
r r r r uuur uuur uuur uuur若 c a c b 0 ，即 AC BC 0，则 AC ^ BC ，
5 3
可知点 C 在以 AB 为直径的圆上，即圆心为D , ÷ r 1 3
è 4 4 ÷
，半径 AB ，
2 2
r r 3 5
则 c在b 方向上的投影数量的最大值为 ，
2 4
r r 3 5 5
所以b c 的最大值为 2 ÷÷ 3 .
è 2 4 2
5
故答案为： 3 .
2
r r r r r r r r r r r r r
21．已知向量 a ，b ， c满足 a 4， b 2， a,b
p
， a c 2b c 0，则 a c的取值范围为 .3
【答案】 4，20
r r 1 r r r
【解析】由题意可得： a b 4 2 4，设 c x, y ， a 4,0 ，b 1, 3 ，2
r r r r r r r r
a c 4 x, y ， 2b c 2 x, 2 3 y ，Q a c 2b c 0，\ 4 x 2 x y 2 3 y 0，
2 r r
整理得： x 3 2 y 3 4 ，所以 a c 4x ，
因为 2 x 3 2，所以1 x 5，所以 4 4x 20，
r r
即 a c的取值范围为 4,20 .
故答案为： 4,20 .
r r r r r r r r r r r r
22．已知向量 a ，b ， c满足 a 4， b 2 2
π
， a 与b 的夹角为 ， a c b c 0 ，则 c 的最大值4
为 .
【答案】 10 2
uuur r uuur r uuur r
【解析】设OA a，OB b，OC c，
以OA所在的直线为 x 轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，
r r r r
因为 a 4， b 2 2
π
， a 与b 的夹角为 ，4
所以 A 4,0 ，B 2,2 ，设C x, y ，
uuur uuur r uuur
即OA
r
a 4,0 r，OB b 2,2 ，OC c x, y ，
r r r r
所以 a c 4 x, y ，b c 2 x, 2 y ，
r
因为 ar cr b cr 0 ，所以 x2 6x 8 y2 2 y 0 2，即 x 3 y 1 2 2，
圆心坐标为D 3,1 r，半径 r 2 ， c 表示点C 到坐标原点的距离即为圆上的点到坐标原点的距离，
因为圆心D 3,1 r到原点的距离为 d 32 12 10 ，所以 c d r 10 2max .
故答案为： 10 2 .
r r r r r r r r r
23．在平面内，若有 a
r
2， b a b
r
4， c a 2c a b 0，则 c b 的最大值为 .
【答案】7 2 3
r r r r r r r r ra 2 b a b 4 a b a b cos ar,b 2 4cos ar
r
【解析】由向量 ， ，可得 ,b 4 ，
r r
可得 cos a
r,b 1 r π ，所以 a,b ，
2 3
uuur r uuur r π uuur uuur
如图所示，作OA a,OB b ，则 AOB ，且 OA 2, OB 4，
3
uuur r r
连接 AB AB D OD OD a b，取 的中点 ，连接 ，则 ，
2
r r r r r r r
r r r r
因为 c a 2c a b 0，可得 c a (cr a b r r r a b ) 0，所以 c a ^ (c ) ，
2 2
uuur r uuur r r uuur r r r
AC,CD AC c a, DC c a b作OC c，连接 ，则 ，所以 AC ^ DC ，2
所以点C 在以 AD 为直径的圆上，
uuur uuur r r
所以当C 运动到圆的最右侧时，OC 在OB 上的投影最大，此时 c b 最大，
由 OG
π
OA cos 1， GB 4 1 3 ,
3
1
因为VBEH∽VBAG，且 AE AB ，所以 GH
1 1 3
GB 3 ，
4 4 4 4
uuur uuur 3 3 7 2 3
所以OC 在OB 上的最大投影为1 ，
4 2 4
所以 rcr b 7 2 3 4 7 2 3 .
max 4
故答案为：7 2 3 .重难点突破 02 向量中的隐圆问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：数量积隐圆............................................................................................................................3
题型二：平方和隐圆............................................................................................................................3
题型三：定幂方和隐圆........................................................................................................................4
题型四：与向量模相关构成隐圆........................................................................................................4
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）................................................................................................5
03 过关测试 ...........................................................................................................................................6
技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
乘积型： PA PB
1
定理：平面内，若 A, B 为定点，且 PA PB ,则 P 的轨迹是以 M 为圆心 AB2 为半径的圆
4
证明：由 PA PB ，根据极化恒等式可知， PM 2 1 1 AB2 ，所以 PM AB2 ， P 的轨迹
4 4
是以 M 1为圆心 AB2 为半径的圆．
4
技巧二．极化恒等式和型： PA2 PB2
1 AB2
定理：若 A，B 为定点， P 满足 PA2 PB2 ,则 P 的轨迹是以 AB 中点 M 为圆心， 2 为半
2
1
径的圆。 ( AB2 0)
2
1 2
PA2 PB2 2[PM 2 (1
AB
证明： AB)2 ] ，所以 PM 2 ，即 P 的轨迹是以 AB 中点 M 为圆
2 2
1 AB2
心， 2 为半径的圆．
2
技巧三．定幂方和型
mPA2 PB2 n

若 A B ， 为定点， PA2 mPB2 n ，则 P 的轨迹为圆．
mPA2 nPB
2
证明：mPA2 PB2 n m[ x c 2 y2 ] [ x c 2 y2 ] n
(m 1)(x2 y2) 2c(m 1)x (m 1)c2 n 0
x2 y2 2(m 1)c x c
2 (m 1) n
0．
m 1 m 1
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
技巧五．阿氏圆
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数 ( 0 , 1) 的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当
1时，点 P 的轨迹是线段 AB 的中垂线．
题型一：数量积隐圆
r r r r r r r r r r r r
【典例 1-1】已知平面向量 a,b ,cr满足 a b a b 2, a c b 2c 1，则 b c 的最小值为（ ）
A 7 5 B 7 3． ． C 5 - 3 3 1． D．
2 2 2 2
r r r r r r r r 1
【典例 1-2】（2024·辽宁鞍山·一模）已知平面向量 a，b ， c满足 a b c 1，若 a b ，则2
r r r r2a c b c 的最小值为 ( )
A． 2 B． 3 C． 1 D．0
r r r r r r r 2π r 1 r r r r
【变式 1-1】设平面向量 a,b,c满足 a 1, b 2, a与b 的夹角为 ,且 a c b c 0 ，则 c 的最小值为3 2


（ ）
A． 3 1 B． 3 C． 3 1 D． 2 3
1
【变式 1-2 】（2024·辽宁沈阳·二模）已知平面向量 a ， b ， c ，满足"x R, a x b a b ，4

a 2, a b 4 a c b 2 c ， 6，则 a c 的最小值为（ ）

A 1 B 2 6 C 6 2． ． ．3 D．
3 2
题型二：平方和隐圆
r r r r r r ur r r ur r ur r r r
【典例 2-1】已知 a,b ,c,d 是单位向量，满足 a ^ b ,m a 2b ,| m c |2 | m d |2 20，则 | c d |的最大值为
________．
uuuv uuuv uuuv uuuv2 uuuvPA | uuuv uuv uuv
uuuv
【典例 2-2】已知平面向量PA、PB满足 PB |
2 4 ， | AB |2 2，设PC 2PA PB，则 PC
________.
2
【变式 2-1】在平面直角坐标系中，已知点 A 2,0 ， B 0,2 ，圆C : x a y2 1，若圆C 上存在点 M ，
MA 2 MB 2使得 12，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 1,1 2 2 B． 1 2 2,1 2 2
C． 1,1 2 2 D． 1 2,1 2
【变式 2-2】在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l : x y a 0与点 A(0，2) ，若直线 l上存在点M 满足
MA 2 MO 2 10（O为坐标原点），则实数 a的取值范围是（　　）
A． 5 1, 5 1 B．[ 5 1, 5 1]
C． 2 2 1,2 2 1 D．[ 2 2 1,2 2 1]
题型三：定幂方和隐圆
【典例 3-1】已知点 A 1,0 ，B 2,0 ，直线 l： kx y 5k 0上存在点 P ，使得PA2 2PB2 9 成立，则实
数 k 的取值范围是______.
r r r r r r r r
【典例 3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量 a、b 、 c，满足 a 3 3 ， b 2， c 2，b c 2，则
r ra b 2 r r 2 r r r r 2 a c a b a c 的最大值为（ ）
A．192 3 B．192 C． 48 D． 4 3
ur uur r
【变式 3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量 e1 ， e2 的夹角为 60°，向量 c
uur r ur
满足 c
r2 r 2e1 e2 cr 3 0，若对任意的 t R ，记 | c te1 |的最小值为 M，则 M 的最大值为2
A 1 3 B 1 3 C 1 3 3． ． ． D．1 3
2 4 2 4
v r v r r r r r
【变式 3-2 r r r r】已知 a，b 是两个单位向量，与 a，b 共面的向量 c 满足 c 2 (a b) c a b 0，则 c 的最大
值为（ ）
A． 2 2 B．2 C． 2 D．1
题型四：与向量模相关构成隐圆
r r r r r r 1 r r r r r r
【典例 4-1】已知平面向量 a，b ，且 a b 1， a b ，向量 c满足 c 2a 2b a b ，则2
r r
c b ( R) 的最小值为（ ）
A． 3 1 B． 2 1 C． 3 D． 2
uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur
【典例 4-2】已知向量OA,OB满足 OA 1, OB 2 ，且向量OB 在OA方向上的投影向量为OA．若动点 C 满
uuur uuur uuur
足 OC
1
，则CAgCB 的最小值为（ ）2
1
A． B 4 2 6． C 1 7． D 5 2 7．
2 3 2 4
r r r
【变式 4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足
r r r r r r r
| c a | 1 ，则 | a b c | 2 | c b |最小值为 .
2
r r r ur r r r r r r ur p
【变式 4-2】已知 a 、b 、 c、 d 都是平面向量，且 | a | | 2a b | | 5a c | 1，若 a, d ，则4
r ur r ur
| b d | | c d |的最小值为____________．
r r r r r r r r r
【变式 4-3】已知 a,b是单位向量， a b 0 .若向量 c满足 | c a b | 1，则| c |的最大值是________.
题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）
r r r r r r r r r r r r r r
【典例 5-1】已知平面向量 a ，b ， c，满足 a b 2
1
，且 | a b | 2 2 ， | a b c | 1，则 b c a c
2
的最小值为（ ）
A 15 B 15 C 17． ． ． D． 17
2 2
r r r r r r r r r r
【典例 5-2】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量 a，b ， c满足 a ^ b，且 a b 2 ， c a b 1，则
r r r r
c b 2 c a 的最小值为（ ）
A 15 B 17． ． 15 C． D． 17
2 2
r r r r r r r r
【变式 5-1】已知平面向量 a,b,c满足 a ^ b，且 | ar | | b | 2,| cr ar b | 1，则 | cr r r a | 2 | c b |的最小值为
（ ）
A 15 B 17． ． 15 C． D． 17
2 2
r r r r r r r r r
【变式 5-2】（2024·高三·山东日照·期中）已知平面向量 a，b ， c 满足 a
r
⊥ b ，且 a b 4， a b c 2，
r
则 a
r cr r 2 b c 的最小值为（ ）
A． 4 5 B． 2 17 C． 2 5 D． 17
r r r r r r r r r r 1 r r
【变式 5-3】已知平面向量 a， b ， c满足： a b c 1， a b 0 ，则 2c a c b 的最小值为（2 ）
A 17
5
． B．2 C． D． 5
2 2
r r r r r r 1 r2 r r r r
1．已知平面向量 a,b,c满足 a 1,cos a,c ,b 4a b 3 0，则 b c 的最小值是（ ）
2
A 3 1 B 3． ． C． 3 D． 3 1
2 2
r r r r r r r
2．已知 ar,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 a c b c 0 ，则 c 的最大值是(　　)
A． 2 B． 2 2
C． 3 D．2
r r r
3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足
r r r a c b 2cr 0 cr ，则 的最大值是（ ）
A 2 B 5 C
3 D 5． ． ． ．
2 2 5
r r r r r r r r
4．已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足 (a c) (2b c) 0，则 c 的最大值是（ ）
A． 2 B 5．2 C． 5 D．
2
r r r r r r r
5．已知 ar,b ,cr r是平面内的三个单位向量，若 a ^ b ，则 a 2c 3a 2b c 的最小值为（ ）
A． 29 3 2 B． 29 C． 29 2 3 D．5
uuur uuur
6．（2024·北京朝阳·一模）在VABC 中， AB AC 2，BC 2 3 ，点 P 在线段BC上.当PA PB 取得最小
值时，PA （ ）
3 7 3 7A． B． C． D．
2 2 4 4
7．（2024·高三·重庆·开学考试）在同一直角坐标平面内，已知点O 0,0 , A 2,0 , B 0,2 ，点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
PA PB 0 ，则OP OB的最小值为（ ）
A． 2 2 2 B． 2 2 2
C． 2 2 2 D． 2 2 2
r r r r r r r r r r r r r
8．已知向量 a ，b ， c满足 a 4， b 2， a,b
π
， a c 2b c 0，则3 a c的最小值等于（ ）
A．12 6 3 B．12 4 3 C．4 D． 4 2
r r r r r r π r r r r
9．已知 a ，b ， e是平面向量， e是单位向量，若非零向量 a 与 e 2的夹角为 ，向量b 满足b 6b e 8 0，4
r r
则 a b 的最小值是（ ）
3
A． 2 1
3
B． 2 1 C． 2 1 D．2 2 2 2
r r r r r r π r r r r
10．（2024·全国·模拟预测）已知向量 a ，b 满足 a b 1， a,b ，则 a b 2 a b 的最小值为（3 ）
A． 6 2 2 B． 6 2 C．8 D．2
r r r r r r r r r r
11．已知 a,b,c是平面内的三个单位向量，若 a ^ b，则 a 2c 3a 2b 2c 的最小值是 ．
r r r r r r r r r
12．已知 a,b,c是平面中的三个单位向量，且 a b 0 ，则 2c a
1
c b 的最小值是 .
2
v v p v v v v v v13．在平面内，已知非零向量 a与单位向量 e的夹角为 ，若向量b 满足b 2 6e b 8 0 ，则 | a b |的最3
小值为 .
r r r r r r r
14．（2024·高三· r浙江·开学考试）平面中存在三个向量 a，b ， c ，若 | a | 4， | b | 4，且 a b 0，且 c满
r2 r r | cr | 4 | ar
r
足 c 2a c 15 0，则 b cr |的最小值 ．
uuuur uuur uuur uuuur uuur
15．已知圆Q : x2 y2 16，点P 1,2 ，M、N 为圆 O 上两个不同的点，且PM PN 0若 PQ PM PN ，则
uuur
PQ 的最小值为 .
uuur uuur uuur uuur
16．已知VABC 是边长为 2 的正三角形，点D在平面 ABC 内且DA DB 0，则DA DC 的最大值
为 ，最小值为 .
r r r r r r r
17 r．已知 a,b ,cr为单位向量，且 2a b 7 ，则 3a c b c 的最小值为 .
r r r r r r r r r r r r
18．设向量 a,b,c满足 a b 2, a b 2， a c与b c 的夹角为60° ，则 c 的最大值为
r r r 1 r r r r
19．设 ar b 是单位向量，且 a b ，向量 c 满足 c a
r r 1 c 2b ，则 c 的取值范围是 .2 4
r r r r r r r r r r r r r
20．已知平面向量 a ，b ， c满足 a 1， b 2 a,b
π
， 且 c a c b 0 ，则b c 的最大值为 .3
r r r r r r r r r r r r r
21．已知向量 a ，b ， c满足 a 4， b 2， a,b
p
， a c 2b c 0，则 a c的取值范围为 .3
r r r r r r r π r r r r r
22．已知向量 a ，b ， c满足 a 4， b 2 2 ， a 与b 的夹角为 ， a c b c 0 ，则 c 的最大值4
为 .
r r r r r r r r r r r
23．在平面内，若有 a 2， b a b 4， c a 2c a b 0，则 c b 的最大值为 .

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